tiempo y espacio en biomatemáticas; bifurcaciones y dinámica
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Vctor F. Brena MedinaCentro de Ciencias Matematicas, UNAM
Department of Engineering Mathematics, UoB
Tiempo y espacio en biomatematicas;bifurcaciones y dinamica aplicada
Escuela de Matematicas de America latinay el Caribe,
Casa Matematica Oaxaca
14 de junio, 2016
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Forma y movimiento Eventos especiales Algunos ejemplos Comentarios finales
Tabla de contenidos
1 Forma y movimiento2 Eventos especiales3 Algunos ejemplos4 Comentarios finales
http://matmor.unam.mx/victorb http://pccm.umich.unam.mx/
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Forma y movimiento Eventos especiales Algunos ejemplos Comentarios finales
Sistemas biologicosConchas marinas
H. Meinhardt, 1995
Piel de pecesA. R. Sandersen, 2006
Glioblastoma multiformaO. Clatz et al., 2004
Tejido danadoS. Kondo & T. Miura, 2010
http://matmor.unam.mx/victorb http://pccm.umich.unam.mx/
http://youtu.be/IeUANxFVXKc?t=1m16s -
Forma y movimiento Eventos especiales Algunos ejemplos Comentarios finales
Sistemas fsicos
Respiradores en descarga de gasesV. K. Vanag & I. R. Epstein, 2007
FerrosolitonesR. Richter & I. V. Barashenkov, 2005
Oscilones de arcillaB. L. Gary, 1999
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Forma y movimiento Eventos especiales Algunos ejemplos Comentarios finales
Interacciones bioqumicas
Procesos de iniciacionbioqumica a nivelsubcelular
C. Grierson, 2009
S. Rigas et al., 2001
J. Massuci &J. Schiefelbein, 1994
M. Jones &J. Smirnoff, 2006
C. Grierson, 2009
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Forma y movimiento Eventos especiales Algunos ejemplos Comentarios finales
Tabla de contenidos
1 Forma y movimiento2 Eventos especiales3 Algunos ejemplos4 Comentarios finales
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Forma y movimiento Eventos especiales Algunos ejemplos Comentarios finales
Bifurcaciones basicas
y
R
y
R
y
R
y
R
z
C
z
C
y = f(y;)
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Forma y movimiento Eventos especiales Algunos ejemplos Comentarios finales
SIN energa asociada
Difusion + Reaccion Estabilidad temporal + Inestabilidad espacial
U, V : concentraciones de sustancias (bio)qumicasD1, D2 : coeficientes de difusion F,G : terminos cineticos
D1D2 max{D1, D2} , sign{(
F
U
)(G
V
)}< 0 .
Activador-inhibidor Activador-substrato
Koch & Meinhardt , 1994
Bifurcacion de Turing
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Forma y movimiento Eventos especiales Algunos ejemplos Comentarios finales
CON energa asociada
Ecuacion de SwiftHohenberg:
Ut = EijU
,
E35(U) =R
[[(1 + yy)U ]
2
2+U2
2 U
4
4+U6
6
]dy ,
E23(U) =R
[[(1 + yy)U ]
2
2+U2
2 U
3
3+U4
4
]dy .
La ecuacion de estados (dinamica espacial):
EijU
= (1 + yy)2U U + U3,2 U5,3 = 0 ,
u = f(u;) , u = [U,Uy, Uyy, Uyyy]T ,
R2 = I , Rf(u;) = f(Ru;) .
Bifurcacion de HamiltonHopf
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Forma y movimiento Eventos especiales Algunos ejemplos Comentarios finales
CON energa asociada
< 0
C
= 0
C
> 0
C
Avitabile et al., 2010
Bifurcacion de HamiltonHopf
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Forma y movimiento Eventos especiales Algunos ejemplos Comentarios finales
CON energa asociada
E35(U) Avitabile et al. , 2010
E23(U) Lloyd et al. , 2008
Bifurcacion de HamiltonHopf
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Forma y movimiento Eventos especiales Algunos ejemplos Comentarios finales
Tabla de contenidos
1 Forma y movimiento2 Eventos especiales3 Algunos ejemplos4 Comentarios finales
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Forma y movimiento Eventos especiales Algunos ejemplos Comentarios finales
Patrones localizados
Ut = D1U+
Reaccion k2U
2V (c+ r)U + hV ,
Vt = D2V Difusion
k2U2V + cU hV + b .
Invariante ante traslaciones en el espacio.
Reversibilidad espacial:
[Ux, Vx]T [Ux,Vx]T y [Uy, Vy]T [Uy,Vy]T ,
x x y y y .
Estado de equilibrio unico: [U0, V0]T .
No tiene energa asociada.
Transicion de criticalidad en bifurcaciones de Turing (tenedor).
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Forma y movimiento Eventos especiales Algunos ejemplos Comentarios finales
Patrones localizados
150 100 50 0 50 100 150150
100
50
0
50
100
150
x
yu
8
16
24
32
40
48
56
150 100 50 0 50 100 150150
100
50
0
50
100
150
x
yu
8
16
24
32
40
48
56
150 100 50 0 50 100 150150
100
50
0
50
100
150
x
yu
0
8
16
24
32
40
48
56
64
... junto con A. ChampneysPhys. Rev. E 90, 032923 (2014).
http://matmor.unam.mx/victorb http://pccm.umich.unam.mx/
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Forma y movimiento Eventos especiales Algunos ejemplos Comentarios finales
Patrones localizados
150 100 50 0 50 100 150150
100
50
0
50
100
150
x
yu
8
16
24
32
40
48
56
40 20 0 20 40
40
20
0
20
40
x
yu
0.6
1.2
1.8
2.4
3.0
3.6
4.2
4.8
5.4
150 100 50 0 50 100 150150
100
50
0
50
100
150
x
yu
8
16
24
32
40
48
56
150 100 50 0 50 100 150150
100
50
0
50
100
150
x
y
u
0.6
1.2
1.8
2.4
3.0
3.6
4.2
4.8
5.4
150 100 50 0 50 100 150150
100
50
0
50
100
150
x
yu
0
8
16
24
32
40
48
56
64
40 20 0 20 40
40
20
0
20
40
y
x
u
5
10
15
20
25
30
35
40
... junto con A. ChampneysPhys. Rev. E 90, 032923 (2014).
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Forma y movimiento Eventos especiales Algunos ejemplos Comentarios finales
Crecimiento, protenas y una hormona
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
k20
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
||U|| 2
Mutant with basal end patch
Wild type with single interior patch
Mutant with basal end and interior patch
Mutant with two interior patch
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
k20
20
30
40
50
60
70
80
90
100
L
AB
Boundary patch
Interior patch
Boundary and interior patch
Two interior patch
... junto con A. Champneys, C. Grierson & M. WardSIAM J. Appl. Dyn. Syst. 13(1), pp. 210248 (2014).
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Forma y movimiento Eventos especiales Algunos ejemplos Comentarios finales
Una poblacion de cerdos
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
xt+
1
xt
r=2.90000
0 10 20 30 40 50 60
t
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
xt
xt+1 = rxt(1 xt) , 0 r 4 .
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Forma y movimiento Eventos especiales Algunos ejemplos Comentarios finales
Una poblacion de cerdos
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
xt+
1
xt
r=2.90000
0 10 20 30 40 50 60
t
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
xt
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
xt+
1
xt
r=3.30000
0 10 20 30 40 50 60
t
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
xt
xt+1 = rxt(1 xt) , 0 r 4 .
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Forma y movimiento Eventos especiales Algunos ejemplos Comentarios finales
Una poblacion de cerdos
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
xt+
1
xt
r=2.90000
0 10 20 30 40 50 60
t
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
xt
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
xt+
1
xt
r=3.30000
0 10 20 30 40 50 60
t
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
xt
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
xt+
1
xt
r=3.47016
0 10 20 30 40 50 60
t
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
xt
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0xt+
1
xt
r=3.55726
0 10 20 30 40 50 60
t
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
xt
xt+1 = rxt(1 xt) , 0 r 4 .
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Forma y movimiento Eventos especiales Algunos ejemplos Comentarios finales
Una poblacion de cerdos
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
xt+
1
xt
r=2.90000
0 10 20 30 40 50 60
t
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
xt
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
xt+
1
xt
r=3.30000
0 10 20 30 40 50 60
t
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
xt
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
xt+
1
xt
r=3.47016
0 10 20 30 40 50 60
t
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
xt
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0xt+
1
xt
r=3.55726
0 10 20 30 40 50 60
t
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
xt
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
xt+
1
xt
r=3.73000
0 10 20 30 40 50 60
t
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
xt
xt+1 = rxt(1 xt) , 0 r 4 .
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Forma y movimiento Eventos especiales Algunos ejemplos Comentarios finales
Una poblacion de cerdos
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
xt+
1
xt
r=2.90000
0 10 20 30 40 50 60
t
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
xt
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
xt+
1
xt
r=3.30000
0 10 20 30 40 50 60
t
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
xt
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
xt+
1
xt
r=3.47016
0 10 20 30 40 50 60
t
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
xt
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0xt+
1
xt
r=3.55726
0 10 20 30 40 50 60
t
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
xt
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
xt+
1
xt
r=3.73000
0 10 20 30 40 50 60
t
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
xt
2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0r
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
2.9
3.3
3.4
7016
3.5
5726
3.7
3
xt+1 = rxt(1 xt) , 0 r 4 .
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Forma y movimiento Eventos especiales Algunos ejemplos Comentarios finales
Caos espacio-temporal
Ruta al caos RuelleTakensNewhouse
Aragon et al., 2012
Caos: un orden para el desorden?,SAHUARUS, Revista de Matematicas, Depto. de Mat.,U. de Sonora (por aparecer).
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Forma y movimiento Eventos especiales Algunos ejemplos Comentarios finales
Caos espacio-temporal Ruta al caos RuelleTakensNewhouse
Aragon et al., 2012
Caos: un orden para el desorden?,SAHUARUS, Revista de Matematicas, Depto. de Mat.,U. de Sonora (por aparecer).
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Forma y movimiento Eventos especiales Algunos ejemplos Comentarios finales
Caos espacio-temporal Ruta al caos RuelleTakensNewhouse
Aragon et al., 2012
Caos: un orden para el desorden?,SAHUARUS, Revista de Matematicas, Depto. de Mat.,U. de Sonora (por aparecer).
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Forma y movimiento Eventos especiales Algunos ejemplos Comentarios finales
Tabla de contenidos
1 Forma y movimiento2 Eventos especiales3 Algunos ejemplos4 Comentarios finales
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Forma y movimiento Eventos especiales Algunos ejemplos Comentarios finales
Los sistemas dinamicos (discretos o continuos) pueden arrojar luzal entendimiento de fenomenos biologicos.
Las bifurcaciones son fenomenos dinamicos clave para elentendimiento de procesos que experimentalmente soninaccesibles.
No siempre es posible asociar un funcional de energa.
La descripcion de fenomenos biologicos pueden ser descritos poringredientes de naturaleza no-homogenea en un sistema dinamico.
Como incorporar hipotesis mas realistas en estos sistemas?Procesos de difusion heterogeneos, propiedades geometricas,interacciones simultaneas en diversas escalasespacio-temporales. . . .
Becas de elaboracion de tesis de licenciatura para esteano.
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Forma y movimiento Eventos especiales Algunos ejemplos Comentarios finales
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Forma y movimiento Eventos especiales Algunos ejemplos Comentarios finales
Alberto Montt
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Forma y movimientoEventos especialesAlgunos ejemplosComentarios finales