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8/9/2019 ThurmanWorfolkGeometryHaloOrbits

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T h e g e o m e t r y o f h a l o o r b i t s i n

t h e c i r c u l a r r e s t r i c t e d t h r e e - b o d y p r o b l e m

R o b e r t T h u r m a n a n d P a t r i c k A . W o r f o l k

T h e G e o m e t r y C e n t e r

U n i v e r s i t y o f M i n n e s o t a

1 3 0 0 S . S e c o n d S t . , S u i t e 5 0 0

M i n n e a p o l i s , M N 5 5 4 5 4

O c t o b e r 2 5 , 1 9 9 6

A b s t r a c t

I n t h e s u m m e r o f 1 9 9 6 , w e s u p e r v i s e d t w o u n d e r g r a d u a t e s t u d e n t s d u r i n g a n i n e - w e e k

s u m m e r p r o g r a m a t t h e G e o m e t r y C e n t e r . T h e y w o r k e d o n a p r o j e c t u s i n g d y n a m i c a l

s y s t e m s t e c h n i q u e s t o c o m p u t e a n d v i s u a l i z e o r b i t s i n t h e c i r c u l a r r e s t r i c t e d t h r e e - b o d y

p r o b l e m . T h i s p r o j e c t w a s m o t i v a t e d b y r e c e n t i n t e r e s t i n t h e s p a c e s c i e n c e c o m m u n i t y

t o s e n d m i s s i o n s n e a r t o t h e S u n - E a r t h l i b r a t i o n p o i n t s . A f u l l e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e

g e o m e t r y o f t h e p h a s e s p a c e o f t h e c i r c u l a r r e s t r i c t e d t h r e e - b o d y p r o b l e m c o u l d p r o v i d e

n e w p o s s i b i l i t i e s f o r b a s e l i n e t r a j e c t o r y d e s i g n . T o t h i s e n d , t h e g o a l o f t h i s p r o j e c t

w a s t o d e v e l o p c o m p u t a t i o n a l a n d v i s u a l i z a t i o n t o o l s t o a i d i n t r a j e c t o r y d e s i g n . I n

p a r t i c u l a r , w e w a n t e d t o b e a b l e t o e a s i l y a n d i n t e r a c t i v e l y e x p l o r e t h e g e o m e t r y o f t h e

h a l o o r b i t s a n d t h e i r s t a b l e a n d u n s t a b l e m a n i f o l d s . T h i s r e p o r t p r o v i d e s a s u m m a r y o f

t h e m a t h e m a t i c s u n d e r l y i n g t h e p r o j e c t a n d a b r i e f d i s c u s s i o n o f t h e r e s u l t s .

K e y w o r d s : r e s t r i c t e d t h r e e - b o d y p r o b l e m , h a l o o r b i t s , ( u n ) s t a b l e m a n i f o l d s .


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C o n t e n t s

1 I n t r o d u c t i o n 1

2 T h e c e n t r a l f o r c e p r o b l e m 2

3 T h e t w o - b o d y p r o b l e m 3

4 T h e c i r c u l a r r e s t r i c t e d t h r e e - b o d y p r o b l e m 4

5 L i b r a t i o n p o i n t s 8

6 T h e J a c o b i a n i n t e g r a l 8

7 S y m m e t r i e s 9

8 T h e L a g r a n g i a n f o r m u l a t i o n 9

9 T h e H a m i l t o n i a n f o r m u l a t i o n 1 0

1 0 R i c h a r d s o n ' s a p p r o x i m a t i o n s f o r h a l o o r b i t s 1 1

1 1 N u m e r i c a l c o m p u t a t i o n o f h a l o o r b i t s 2 0

1 2 S t a b i l i t y o f t h e p e r i o d i c o r b i t s 2 3

1 3 S t a b l e a n d u n s t a b l e m a n i f o l d s o f t h e h a l o o r b i t s 2 5

1 4 R e s u l t s 2 6

A A s t r o n o m i c a l c o n s t a n t s 3 1

B S o l v i n g t h e i n h o m o g e n e o u s l i n e a r e q u a t i o n 3 1

C C o e c i e n t s a n d q u a n t i t i e s f r o m S e c t i o n 1 0 3 3

D S o l u t i o n s t o e x e r c i s e s 3 6

i i


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1 I n t r o d u c t i o n

F o r s i x c o n s e c u t i v e y e a r s , t h e G e o m e t r y C e n t e r h a s s p o n s o r e d a S u m m e r I n s t i t u t e f o r u n d e r g r a d u a t e

s t u d e n t s , w h o w o r k i n d i v i d u a l l y o r i n s m a l l g r o u p s u n d e r t h e d i r e c t i o n o f G e o m e t r y C e n t e r s t a

m e m b e r s . I n t h e s u m m e r o f 1 9 9 6 , w e s u p e r v i s e d t w o s t u d e n t s f o r t h e n i n e - w e e k p e r i o d o f t h e

p r o g r a m o n a d y n a m i c a l s y s t e m s p r o j e c t . E s s e n t i a l l y , t h e f o c u s o f t h e p r o j e c t w a s t o u s e d y n a m i c a l

s y s t e m s t e c h n i q u e s t o c o m p u t e a n d v i s u a l i z e n e w s p a c e c r a f t t r a j e c t o r i e s a n d w a s m o t i v a t e d b y o u r

i n t e r a c t i o n w i t h m a t h e m a t i c i a n s a t N A S A ' s J e t P r o p u l s i o n L a b o r a t o r y . T h i s r e p o r t p r o v i d e s t h e

m a t h e m a t i c a l b a c k g r o u n d t h a t w e p r o v i d e d o u r s t u d e n t s a s w e l l a s a b r i e f d i s c u s s i o n o f t h e i r r e s u l t s .

A n o n l i n e H T M L d o c u m e n t 9 ] c r e a t e d b y o u r s t u d e n t s f u r t h e r i l l u s t r a t e s t h e s e r e s u l t s , i n a d d i t i o n

t o d e s c r i b i n g t h e s o f t w a r e t o o l s t h e y d e v e l o p e d .

R e c e n t l y , t h e s p a c e s c i e n c e c o m m u n i t y h a s s h o w n c o n s i d e r a b l e i n t e r e s t i n m i s s i o n s w h i c h t a k e

p l a c e i n t h e v i c i n i t y o f t h e l i b r a t i o n p o i n t s o f t h e S u n - E a r t h s y s t e m . D e s i g n i n g t r a j e c t o r i e s f o r

t h e s e m i s s i o n s i s c h a l l e n g i n g b e c a u s e c o n i c a p p r o x i m a t i o n s ( s o l u t i o n s o f t h e t w o - b o d y p r o b l e m ) a r e

i n a d e q u a t e a n d , i n t h e p a s t , m a n u a l n u m e r i c a l s e a r c h e s h a v e b e e n t h e o n l y r e c o u r s e . R e c e n t w o r k o f

B a r d e n , H o w e l l , a n d L o 3 ] h a s s h o w n t h a t a g r e a t e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e d y n a m i c s o f t h e r e s t r i c t e d

t h r e e - b o d y p r o b l e m c o u l d l e a d t o i n n o v a t i v e b a s e l i n e m i s s i o n c o n c e p t s . D y n a m i c a l s y s t e m s t h e o r y

c o u l d p r o v i d e i n s i g h t s i n t o t h e q u a l i t a t i v e n o n l i n e a r b e h a v i o r . K n o w l e d g e o f t h e g e o m e t r y o f p h a s e

s p a c e a n d t h e e x i s t e n c e o f s t a b l e a n d u n s t a b l e m a n i f o l d s w h i c h b o t h s e p a r a t e r e g i o n s o f s p a c e a n d

p r o v i d e n a t u r a l t r a n s f e r m e c h a n i s m s c a n a l l a i d i n t r a j e c t o r y d e s i g n . O n c e a p r e l i m i n a r y t r a j e c t o r y

d e s i g n h a s b e e n a c c o m p l i s h e d w i t h i n t h e f r a m e w o r k o f t h e r e s t r i c t e d t h r e e - b o d y p r o b l e m , t h e n a l

s o l u t i o n i s c o m p u t e d u s i n g a m o d e l t h a t i n c o r p o r a t e s e p h e m e r i s d a t a a n d s o l a r r a d i a t i o n p r e s s u r e .

T h e p r i m a r y g o a l o f o u r p r o j e c t w a s t o d e v e l o p c o m p u t a t i o n a l a n d v i s u a l i z a t i o n c a p a b i l i t i e s f o r

t h e s t u d y o f t r a j e c t o r i e s n e a r t h e l i b r a t i o n p o i n t s i n t h e r e s t r i c t e d t h r e e - b o d y p r o b l e m . T h i s g o a l w a s

t o b e a c c o m p l i s h e d b y e x t e n d i n g t h e c a p a b i l i t i e s o f t h e d y n a m i c a l s y s t e m s s o f t w a r e p a c k a g e D s T o o l

2 ] a n d u s i n g t h e G e o m e t r y C e n t e r s o f t w a r e G e o m v i e w 1 2 ] f o r t h e v i s u a l i z a t i o n . W e w a n t e d t o

c r e a t e a s o f t w a r e e n v i r o n m e n t w h e r e i t w a s e a s y t o i n t e r a c t i v e l y e x p l o r e a n d v i s u a l i z e t h e d y n a m i c s

o f t h e r e s t r i c t e d t h r e e - b o d y p r o b l e m . T h u s f o r t h e s u m m e r , o u r r s t g o a l s w e r e t o p r o v i d e s u c h a n

e n v i r o n m e n t f o r t h e c o m p u t a t i o n o f t h e l i b r a t i o n p o i n t s a n d t h e s y m m e t r i c h a l o ( p e r i o d i c ) o r b i t s

s u r r o u n d i n g t h e c o l l i n e a r l i b r a t i o n p o i n t s . O u r \ c h a m p i o n s h i p g o a l s " w e r e t o c o m p u t e a n d v i s u a l i z e

t h e s t a b l e a n d u n s t a b l e m a n i f o l d s o f t h e s e h a l o o r b i t s w i t h a n e m p h a s i s o n b e i n g a b l e t o d i s c o v e r

n e w t r a j e c t o r i e s w h i c h w o u l d t r a n s f e r a s p a c e c r a f t n a t u r a l l y f r o m a p a r k i n g o r b i t a b o u t t h e E a r t h

t o t h e v i c i n i t y o f o n e o f t h e l i b r a t i o n p o i n t s .

T h i s p a p e r c o n t a i n s t h e b a s i c m a t h e m a t i c s n e e d e d t o a c c o m p l i s h t h e g o a l s o u t l i n e d a b o v e . M o s t

o f t h e m a t h e m a t i c s i s g e n e r a l l y w e l l - k n o w n , t h o u g h i t i s s p r i n k l e d t h r o u g h o u t t h e l i t e r a t u r e . W e

h a v e t h u s t r i e d t o b r i n g t o g e t h e r t h e b a s i c i d e a s , i n a m a n n e r w h i c h i s a c c e s s i b l e t o u n d e r g r a d u a t e s .

T h e d e t a i l s a r e s k e t c h y i n m a n y p a r t s , b u t a l l t h e i d e a s w e f o u n d n e c e s s a r y t o f o r m a l l y c o n v e y t o

o u r s t u d e n t s h a v e b e e n i n c l u d e d . W e h a v e i g n o r e d t h e l o n g h i s t o r y o f t h e s t u d y o f t h e r e s t r i c t e d

t h r e e - b o d y p r o b l e m w h i c h i s c o v e r e d q u i t e c o m p l e t e l y b y S z e b e h e l y 1 7 ] . W e h a v e a l s o f a i l e d t o g i v e

a c o m p l e t e d e s c r i p t i o n o f L a g r a n g i a n a n d H a m i l t o n i a n m e c h a n i c s a n d a n y f o r m a l i n t r o d u c t i o n t o

d y n a m i c a l s y s t e m s .

A n o v e r v i e w o f t h e c o n t e n t s i s a s f o l l o w s . I n S e c t i o n s 2 a n d 3 , w e d i s c u s s t h e c e n t r a l f o r c e

1


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p r o b l e m a n d t h e t w o - b o d y p r o b l e m . F r o m h e r e , w e d e r i v e t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n f o r t h e c i r c u l a r

r e s t r i c t e d t h r e e - b o d y p r o b l e m i n S e c t i o n 4 . I n t h e n e x t s e c t i o n w e c a l c u l a t e t h e l i b r a t i o n p o i n t s a n d

t h e n w e p r e s e n t t h e J a c o b i a n i n t e g r a l . F o l l o w i n g t h i s w e d i s c u s s t h e s y m m e t r i e s o f t h e e q u a t i o n s

o f m o t i o n , s i n c e w e w i l l t a k e a d v a n t a g e o f t h e s e i n o u r n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n s . I n S e c t i o n 8 , w e

p r e s e n t t h e L a g r a n g i a n f o r m u l a t i o n o f t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n , a n d i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n , t h e

H a m i l t o n i a n f o r m u l a t i o n . W e p r e s e n t R i c h a r d s o n ' s t e c h n i q u e f o r a n a l y t i c a l l y a p p r o x i m a t i n g h a l o

o r b i t s i n S e c t i o n 1 0 , i n c l u d i n g m a n y o f t h e g o r y d e t a i l s n o t i n c l u d e d i n h i s p u b l i s h e d w o r k . I n

w o r k i n g t h r o u g h t h i s , w e d i s c o v e r e d a n e r r o r i n h i s c a l c u l a t i o n s a n d p r e s e n t t h e c o r r e c t e d v e r s i o n

h e r e . F o l l o w i n g t h i s i s a s e c t i o n o n t h e n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n o f p e r i o d i c o r b i t s . I n p a r t i c u l a r ,

a n a l g o r i t h m i s g i v e n f o r t h e c o m p u t a t i o n o f t h e s y m m e t r i c h a l o o r b i t s i n w h i c h w e a r e i n t e r e s t e d .

I n S e c t i o n 1 2 w e p r e s e n t a n e c i e n t m e t h o d f o r c o m p u t i n g t h e m o n o d r o m y m a t r i x o f t h e p e r i o d i c

h a l o o r b i t s . F o l l o w i n g t h i s w e g i v e a n a i v e , y e t e e c t i v e , a l g o r i t h m f o r a p p r o x i m a t i n g t h e s t a b l e a n d

u n s t a b l e m a n i f o l d s o f t h e h a l o o r b i t s . F i n a l l y , w e d i s c u s s s o m e o f t h e r e s u l t s o f o u r s t u d e n t s ' w o r k

a n d p o i n t o u t a v a r i e t y o f i n t e r e s t i n g q u e s t i o n s w h i c h w e w e r e u n a b l e t o r e s o l v e i n t h e n i n e - w e e k

p e r i o d .

W e f o u n d i t u s e f u l t o p r o v i d e o u r s t u d e n t s ( a n d o u r s e l v e s ) w i t h a n u m b e r o f e x e r c i s e s a s a m e a n s

o f \ g e t t i n g o u r h a n d s d i r t y " w i t h t h e b a c k g r o u n d m a t e r i a l . W e h a v e l e f t t h e s e e x e r c i s e s e m b e d d e d

i n t h e d o c u m e n t . S o l u t i o n s a r e g i v e n i n A p p e n d i x D .

A c k n o w l e d g m e n t s . M o t i v a t i o n f o r t h i s p r o j e c t o r i g i n a t e d f r o m d i s c u s s i o n s w e h a d w i t h s c i -

e n t i s t s a n d m a t h e m a t i c i a n s a t t h e J e t P r o p u l s i o n L a b o r a t o r y . M a r t i n L o , i n p a r t i c u l a r , h a s b e e n

i n s t r u m e n t a l i n p u s h i n g f o r a d y n a m i c a l s y s t e m s a p p r o a c h t o s p a c e c r a f t t r a j e c t o r y d e s i g n , a n d o u r

t h a n k s g o t o h i m f o r b o t h i n s p i r i n g t h e p r o j e c t , a n d p r o v i d i n g u s w i t h t h e k n o w n t e c h n i q u e s f o r

c o m p u t i n g l i b r a t i o n p o i n t h a l o o r b i t s .

T h e g r e a t s u c c e s s o f t h i s p r o j e c t w a s d u e p r i m a r i l y t o t h e w o r k o f o u r s t u d e n t s , M o l l y M e g r a w

a n d C h r i s t o p h e r S i n c l a i r . I t w a s a j o y t o s t a n d b a c k a n d w a t c h t h e m t a k e o w i t h t h e p r o j e c t

a f t e r w e p r o v i d e d t h e m w i t h t h e b a s i c b a c k g r o u n d m a t e r i a l . T h e s t r i k i n g p i c t u r e s o f m a n i f o l d s t h a t

a p p e a r i n t h i s d o c u m e n t w e r e c r e a t e d w i t h t h e i r s o f t w a r e .

2 T h e c e n t r a l f o r c e p r o b l e m

N e w t o n w a s t h e r s t t o d i s c o v e r t h a t t h e g r a v i t a t i o n a l f o r c e d u e t o a m a s s i v e c e n t r a l o b j e c t i s

o n e e x a m p l e o f a f o r c e v e c t o r e l d w h o s e m a g n i t u d e i s i n v e r s e l y p r o p o r t i o n a l t o t h e s q u a r e o f t h e

d i s t a n c e t o t h e o b j e c t , a n d d i r e c t e d t o w a r d s i t : F ( X ) = ; k X = j X j

3

, w h e r e X = ( x y z ) , a n d t h e

o b j e c t i s l o c a t e d a t t h e o r i g i n . I n s u c h a c a s e , F h a s a p o t e n t i a l f u n c t i o n V : R

3

! R g i v e n b y

V ( X ) =

;k =

jX

j, s o t h a t F =

; rV .

E x e r c i s e 2 . 1 . V e r i f y t h i s .

T h e e q u a t i o n s o f m o t i o n f o r a p a r t i c l e o f u n i t m a s s u n d e r t h e i n u e n c e o f F a r e g i v e n b y N e w t o n ' s

s e c o n d l a w , w h i c h s a y s t h a t F = m a . W i t h m = 1 a n d a =

X ( t ) , w e h a v e

X ( t ) = ; k X = j X j

3

:

2


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T h i s i s a 6 d i m e n s i o n a l s y s t e m a s o l u t i o n i s u n i q u e l y d e t e r m i n e d b y s i x i n i t i a l c o n d i t i o n s { 3 f o r

p o s i t i o n a n d 3 f o r v e l o c i t y .

E x e r c i s e 2 . 2 . W r i t e d o w n t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n a s a s y s t e m o f 6 r s t - o r d e r e q u a t i o n s .

T h e m o t i o n i s p l a n a r

I t s h o u l d n ' t b e t o o s u r p r i s i n g t h a t t h e m o t i o n o f a n o b j e c t i n a c e n t r a l f o r c e e l d s t a y s i n a p l a n e ,

t h a t s p a n n e d b y t h e o b j e c t ' s i n i t i a l p o s i t i o n a n d v e l o c i t y v e c t o r s .

E x e r c i s e 2 . 3 . S h o w t h i s . T o d o s o , c o m p u t e

d

d t

( X ( t )

_

X ( t ) )

f o r a s o l u t i o n X ( t ) . R e c a l l t h a t t h e n o r m a l p r o d u c t r u l e h o l d s f o r t h e d e r i v a t i v e o f c r o s s - p r o d u c t s .

N o w t h i n k g e o m e t r i c a l l y ! T h e v e c t o r m X

_

X f o r a m a s s m i s t h e a n g u l a r m o m e n t u m v e c t o r .

E x p l a i n t h e p h r a s e \ a n g u l a r m o m e n t u m i s c o n s e r v e d " f o r t h i s m o t i o n .

C i r c u l a r s o l u t i o n s

I t c a n b e s h o w n t h a t t h e p a t h o f t h e o b j e c t i s n o t o n l y p l a n a r b u t i n f a c t t r a c e s o u t a c o n i c s e c t i o n

( s e e , f o r e x a m p l e , 5 , C h a p t e r 1 , S e c t i o n 1 . 5 ] ) . T h e p r o o f i s n o t d i c u l t , b u t i n v o l v e s c h a n g i n g t o

p o l a r c o o r d i n a t e s a l o n g w i t h a l i t t l e t r i c k e r y . F o r o u r p u r p o s e s , w e w i l l j u s t v e r i f y t h a t a c i r c u l a r

t r a j e c t o r y i s i n d e e d o n e p o s s i b l e s o l u t i o n .

E x e r c i s e 2 . 4 . V e r i f y t h a t ( a c o s ! t a s i n ! t 0 ) i s a s o l u t i o n . H o w d o e s t h e a n g u l a r v e l o c i t y ! d e p e n d

o n a a n d k ?

A n i m p o r t a n t a s i d e : T h e d i s c o v e r y o f c o n i c s a s s o l u t i o n s i n v o l v e s c h a n g i n g t o p o l a r c o o r d i n a t e s

( r ) i n t h e p l a n e o f m o t i o n , a n d t h e n t r a n s f o r m i n g t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n a n d e l i m i n a t i n g t i m e

a s t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e . T h e r e s u l t i n g e q u a t i o n c a n b e s o l v e d e x p l i c i t l y f o r r i n t e r m s o f . T h u s

i t i s p o s s i b l e t o d e d u c e f r o m i n i t i a l c o n d i t i o n s p r e c i s e l y w h i c h c o n i c s e c t i o n p a t h a n o b j e c t u n d e r

t h e i n u e n c e o f a c e n t r a l f o r c e w i l l f o l l o w . I t i s n o t i n g e n e r a l p o s s i b l e , h o w e v e r , t o n d a n e x p l i c i t

p a r a m e t e r i z a t i o n , u s i n g e l e m e n t a r y f u n c t i o n s , o f t h e p a t h w i t h t i m e a s t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e . T o

d o s o i n v o l v e s i n v e r t i n g a t r a n s c e n d e n t a l f u n c t i o n . W e h a v e t o r e s o r t t o n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n s

t o n d t h i s p a r a m e t e r i z a t i o n . C l e a r l y , t h e f a m i l y o f c i r c u l a r o r b i t s i s a n e x c e p t i o n .

3 T h e t w o - b o d y p r o b l e m

T h e t w o - b o d y p r o b l e m i s t o d e s c r i b e t h e m o t i o n o f t w o b o d i e s , o f m a s s m

1

a n d m

2

, u n d e r t h e

i n u e n c e o f t h e g r a v i t a t i o n a l e l d i n d u c e d b y e a c h . L e t X

1

b e t h e v e c t o r p o s i t i o n o f m

1

a n d X

2

t h e

p o s i t i o n o f m

2

. N e w t o n ' s l a w o f g r a v i t a t i o n s a y s t h a t t h e f o r c e o n m

1

d u e t o m

2

i s

F

1 2

=

G m

1

m

2

j r j

3

r

3


6/46

w h e r e r = X

2

; X

1

i s t h e v e c t o r f r o m m

1

t o m

2

, a n d G i s t h e \ u n i v e r s a l g r a v i t a t i o n a l c o n s t a n t " ( s e e

A p p e n d i x A f o r i t s v a l u e ) . T h e f o r c e o n m

2

d u e t o m

1

i s F

2 1

= ; F

1 2

. N e w t o n ' s s e c o n d l a w a l l o w s

u s t o w r i t e t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n f o r t h e t w o o b j e c t s . A f t e r d i v i d i n g o u t t h e c o m m o n m a s s e s f r o m

b o t h s i d e s o f t h e e q u a t i o n s , w e g e t

X

1

=

G m

2

j r j

3

r

X

2

= ;

G m

1

j r j

3

r :

T h e f o l l o w i n g s e r i e s o f e x e r c i s e s i l l u s t r a t e h o w t h e t w o - b o d y p r o b l e m m a y b e r e d u c e d t o t h e

c e n t r a l f o r c e p r o b l e m .

E x e r c i s e 3 . 1 . W r i t e d o w n t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n f o r t h e r e l a t i v e p o s i t i o n v e c t o r r a n d s h o w t h a t

t h e p r o b l e m o f t w o b o d i e s r e d u c e s t o a c e n t r a l f o r c e p r o b l e m . T h i s m e a n s t h a t t h e m o t i o n o f o n e

b o d y r e l a t i v e t o a n o t h e r t r a c e s o u t a c o n i c .

E x e r c i s e 3 . 2 . A s s u m e t h e E a r t h ' s o r b i t a r o u n d t h e s u n i s c i r c u l a r , a n d u s e w h a t y o u ' v e l e a r n e d s o

f a r t o d e t e r m i n e t h e a n g u l a r r o t a t i o n r a t e a n d p e r i o d o f t h e E a r t h ' s o r b i t . H o w d o e s t h i s c o m p a r e

w i t h t h e \ e x p e r i m e n t a l " v a l u e ? ( A s s u m e t h e m a s s o f t h e E a r t h i s n e g l i g i b l e . T h e r a d i u s o f E a r t h ' s

o r b i t i s 1 A . U . ( a s t r o n o m i c a l u n i t ) . S e e A p p e n d i x A ) .

E x e r c i s e 3 . 3 . T o w a r d s f u r t h e r a n a l y s i s , c o m p u t e t h e l o c a t i o n r

0

o f t h e c e n t e r o f m a s s o f m

1

a n d

m

2

, i n t e r m s o f X

1

a n d X

2

. T h e c e n t e r o f m a s s i s t h e l o c a t i o n o n t h e l i n e c o n n e c t i n g t h e m a s s e s

a t w h i c h p o i n t t h e m o m e n t s m

1

j r

0

; X

1

j a n d m

2

j r

0

; X

2

j a r e e q u a l . ( A n s w e r : r

0

=

X

1

m

1

+ X

2

m

2

m

1

+ m

2

)

T h e n c o m p u t e t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n f o r r

0

a n d s h o w t h a t t h e c e n t e r o f m a s s a l w a y s m o v e s a l o n g

t h e l i n e a r p a t h r

0

( t ) = a t + b , f o r a r b i t r a r y c o n s t a n t s a a n d b . T h u s w e c a n a s s u m e t h a t t h e c e n t e r

o f m a s s r e m a i n s s t a t i o n a r y a t t h e o r i g i n .

E x e r c i s e 3 . 4 . W r i t e X

1

a n d X

2

i n t e r m s o f r , a s s u m i n g r

0

= 0 .

4 T h e c i r c u l a r r e s t r i c t e d t h r e e - b o d y p r o b l e m

T h e r e s t r i c t e d t h r e e - b o d y p r o b l e m ( R T B P ) i n t r o d u c e s a t h i r d b o d y w h o s e m o t i o n i s a e c t e d b y

b u t d o e s n o t a e c t t h e o r i g i n a l t w o b o d i e s , c a l l e d t h e p r i m a r i e s . T h e p r i m a r i e s m o v e a l o n g a

c o n i c s e c t i o n , a s d e s c r i b e d a b o v e , a n d t h e p o t e n t i a l w e l l ( w h i c h e v o l v e s w i t h t i m e ) g e n e r a t e d b y

t h e p r i m a r i e s c o n t r o l s t h e m o t i o n o f t h e t h i r d b o d y . I n t h e c i r c u l a r r e s t r i c t e d t h r e e - b o d y p r o b l e m

( C R T B P ) w e a s s u m e a c i r c u l a r o r b i t f o r t h e p r i m a r i e s . T h i s p r o b l e m , e s p e c i a l l y r e s t r i c t e d t o m o t i o n

o f t h e t h i r d b o d y i n t h e p l a n e o f m o t i o n o f t h e p r i m a r i e s , h a s b e e n w e l l s t u d i e d 1 7 ] .

T h e e q u a t i o n s o f m o t i o n

L e t t h e c e n t e r o f m a s s o f t h e p r i m a r i e s c o n s t i t u t e t h e o r i g i n o f o u r ( x y z ) c o o r d i n a t e s y s t e m , a n d

a s s u m e t h a t t h e p r i m a r i e s o r b i t i n t h e ( x y ) - p l a n e . L e t X ( t ) d e n o t e t h e p o s i t i o n o f t h e t h i r d b o d y

w i t h m a s s m a n d l e t X

1

( t ) a n d X

2

( t ) d e n o t e t h e p o s i t i o n s o f t h e p r i m a r i e s .

4


7/46

E x e r c i s e 4 . 1 . F o r t h e m o m e n t , a s s u m e t h e p o s i t i o n s X

1

a n d X

2

a r e x e d , a n d u s e t h e f a c t t h a t

t h e p o t e n t i a l ( a n d f o r c e ) d u e t o t w o m a s s e s i s j u s t t h e s u m o f t h e i n d i v i d u a l p o t e n t i a l s ( a n d f o r c e s )

t o w r i t e d o w n t h e t w o - b o d y p o t e n t i a l ( a n d f o r c e ) i n t e r m s o f X

1

a n d X

2

.

F o r t h e C R T B P w e a s s u m e t h e p r i m a r i e s m o v e i n c i r c l e s ( o f r a d i u s a f o r m

1

a n d b f o r m

2

, s a y )

a b o u t t h e o r i g i n , w i t h c o m m o n a n g u l a r v e l o c i t y ! .

E x e r c i s e 4 . 2 . U s e t h i s t o w r i t e d o w n t h e t i m e - d e p e n d e n t e q u a t i o n s o f m o t i o n f o r X . A s s u m e a t

t = 0 t h a t X

1

i s o n t h e p o s i t i v e x - a x i s , a n d X

2

o n t h e n e g a t i v e x - a x i s .

D i m e n s i o n l e s s c o o r d i n a t e s

T h r o u g h a s e q u e n c e o f c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n s , w e c a n r e d u c e t h e n u m b e r o f f r e e p a r a m e t e r s i n

t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n t o o n e . T h e n a l c o o r d i n a t e s a r e c a l l e d d i m e n s i o n l e s s c o o r d i n a t e s .

W e c a n w r i t e t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n i n t e r m s o f t h e p o t e n t i a l a s

X =

; r

X

V

w h e r e

V ( X t ) = ; G

m

1

j X ; X

1

j

+

m

2

j X ; X

2

j

a n d

X

1

( t ) = ( a c o s ! t a s i n ! t 0 )

X

2

( t ) = ( ; b c o s ! t ; b s i n ! t 0 ) :

N o r m a l i z e l e n g t h . F i r s t , w e n o r m a l i z e s o t h a t t h e d i s t a n c e l = a + b s e p a r a t i n g t h e p r i m a r i e s

i s o n e . T h u s w e w a n t t o s u b s t i t u t e = X = l . T h i s m e a n s

=

X = l , s o t h a t t h e n e w e q u a t i o n s o f

m o t i o n b e c o m e

= ;

1

l

r

X

V ( l ) :

B u t n o w l e t

~

( t ) =

1

l

2

V ( l t ) . T h e n

r

~

=

1

l

2

r

X

V ( l )

d X

d

=

1

l

r

X

V ( l )

w h i c h a l l o w s u s t h e c o m p a c t n o t a t i o n

= ; r

~

.

N o r m a l i z e t i m e . N e x t w e n o r m a l i z e t h e t i m e s o t h a t t h e a n g u l a r v e l o c i t y o f t h e p r i m a r i e s i s

o n e , b y s u b s t i t u t i n g

~

t = ! t . W e h a v e

d

2

d

~

t

=

1

!

2

d

2

d t

2

= ;

1

!

2

r

~

~

t

!

= ; r

5


8/46

w h e r e

(

~

t ) =

1

!

2

~

(

~

t = ! ) = ;

G

!

2

l

3

m

1

j ;

1

l

X

1

(

~

t ) j

+

m

2

j ;

1

l

X

2

(

~

t ) j

!

:

A s d i s c o v e r e d i n E x e r c i s e 2 . 4 , t h e a n g u l a r v e l o c i t y ! s a t i s e s !

2

=

G M

l

3

, w h e r e M = m

1

+ m

2

. T h u s

(

~

t ) = ;

1

M

m

1

j

;

1

l

X

1

(

~

t )

j

+

m

2

j

;

1

l

X

2

(

~

t )

j

!

:

N o r m a l i z e m a s s . F i n a l l y w e n o r m a l i z e s o t h a t t h e t o t a l m a s s o f t h e p r i m a r i e s i s o n e . S u b s t i -

t u t i n g = m

1

= M a n d

0

= m

2

= M = 1 ; , w e g e t

(

~

t ) = ;

j ;

1

l

X

1

(

~

t ) j

+

1 ;

j ;

1

l

X

2

(

~

t ) j

!

:

A n d s i n c e n o n e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e s d e p e n d s o n t h e m a s s e s , t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n r e m a i n

= ; r .

F u r t h e r m o r e , w e h a v e t h e r e l a t i o n s

b

l

=

m

1

M

a n d

a

l

=

m

2

M

.

E x e r c i s e 4 . 3 . S h o w t h i s .

T h u s

1

l

X

1

(

~

t ) =

;

( 1 ; ) c o s

~

t ( 1 ; ) s i n

~

t 0

1

l

X

2

(

~

t ) =

;

; c o s

~

t ; s i n

~

t 0

:

S e t X = ( x y z ) = a n d

~

t = t , a n d d e n e

1

= j X ; X

1

j

2

= j X ; X

2

j

w h e r e w e r e d e n e X

1

a n d X

2

t o b e t h e n o r m a l i z e d p r i m a r y v e c t o r s ( 1 ; ) ( c o s

~

t s i n

~

t 0 ) , a n d

; ( c o s

~

t s i n

~

t 0 ) , r e s p e c t i v e l y . T h e n

( x y z t ) = ;

1

+

1 ;

2

a n d t h e n a l e q u a t i o n s o f m o t i o n a r e

x ( t ) = ;

x

=

x ; ( 1 ; ) c o s t

3

1

+ ( 1 ; )

x + c o s t

3

2

y ( t ) = ;

y

=

y ; ( 1 ; ) s i n t

3

1

+ ( 1 ; )

y + s i n t

3

2

z ( t ) = ;

z

=

z

3

1

+ ( 1 ; )

z

3

2

T h e o n l y f r e e p a r a m e t e r i s , w h i c h i s u s u a l l y t a k e n t o b e l e s s t h a n o r e q u a l t o 1 / 2 t o r e p r e s e n t t h e

s m a l l e r o f t h e t w o p r i m a r y m a s s e s .

6


9/46

R o t a t i n g c o o r d i n a t e s

A d i s a d v a n t a g e o f t h e a b o v e r e p r e s e n t a t i o n i s t h a t t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t a p p e a r s e x p l i c i t l y i n

t h e p o t e n t i a l f u n c t i o n . W e w i l l n o w i n t r o d u c e a n o t h e r c h a n g e o f c o o r d i n a t e s w h i c h t a k e s o u t t h e

r o t a t i o n o f t h e p r i m a r i e s , a n d r e m o v e s t i m e e x p l i c i t l y f r o m t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n s .

L e t R

d e n o t e t h e m a t r i x o f r o t a t i o n ( c l o c k w i s e ) b y a n g l e a b o u t t h e z - a x i s :

R

=

0

@

c o s s i n 0

; s i n c o s 0

0 0 1

1

A

S i n c e a t t i m e t t h e p r i m a r i e s l i e o n a l i n e a t a n g l e t m e a s u r e d c o u n t e r c l o c k w i s e f r o m t h e x - a x i s , w e

w a n t t o m a k e t h e c h a n g e o f c o o r d i n a t e s W = R

t

X .

E x e r c i s e 4 . 4 . S h o w t h a t u n d e r t h i s c h a n g e o f c o o r d i n a t e s , t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n b e c o m e

W ; 2 K

_

W + K

2

W = ; r

W

U ( W )

w h e r e

K =

0

@

0 1 0

; 1 0 0

0 0 0

1

A

K

2

=

0

@

; 1 0 0

0 ; 1 0

0 0 0

1

A

a n d

U ( W ) = ;

j R

; t

W ; X

1

( t ) j

+

1 ;

j R

; t

W ; X

2

( t ) j

= ;

jW

;( 1

; ) e

1

j

+

1 ;

jW + e

1

j

a n d w h e r e e

1

= ( 1 0 0 ) . U i s t h e t r a n s f o r m e d p o t e n t i a l .

R e - i n t r o d u c e t h e v a r i a b l e X = ( x y z ) f o r W , a n d d e n e

( X ) = ;

1

2

K

2

X X

; U ( X ) :

T h e n t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n b e c o m e

X ; 2 K

_

X = r

X

o r

x ; 2 _y =

x

( 1 )

y + 2 _x =

y

( 2 )

z =

z

: ( 3 )

7


10/46

5 L i b r a t i o n p o i n t s

T h e C R T B P , w h e n e x p r e s s e d b y ( 1 ) - ( 3 ) i n r o t a t i n g c o o r d i n a t e s , h a s v e e q u i l i b r i u m p o i n t s , c a l l e d

L a g r a n g i a n , o r l i b r a t i o n p o i n t s .

E x e r c i s e 5 . 1 . F i n d t h e m ! S h o w t h a t e q u i l i b r i u m s o l u t i o n s o c c u r w h e n

x

=

y

=

z

= 0 . A r g u e

t h a t a l l s o l u t i o n s l i e i n t h e x y - p l a n e , a n d s h o w t h a t t w o o f t h e s o l u t i o n s ( c a l l e d L

4

a n d L

5

) f o r m

e q u i l a t e r a l t r i a n g l e s w i t h t h e p r i m a r i e s . T h e o t h e r t h r e e l i b r a t i o n p o i n t s ( L

1

{ L

3

) l i e o n t h e x - a x i s ,

b r a c k e t i n g t h e m a s s e s . S h o w t h a t t h e x - c o o r d i n a t e s o f t h e s e p o i n t s c a n b e f o u n d b y s o l v i n g q u i n t i c

p o l y n o m i a l s .

6 T h e J a c o b i a n i n t e g r a l

A n i n t e g r a l o f a s e c o n d o r d e r s y s t e m i s a n o n - c o n s t a n t f u n c t i o n G ( x

1

: : : x

n

_x

1

: : : _x

n

) t h a t i s

c o n s t a n t o n s o l u t i o n s t o t h e s y s t e m . T h u s , e v e r y s o l u t i o n l i e s o n s o m e l e v e l s e t o f G . T h i s i s

e x p r e s s e d m a t h e m a t i c a l l y b y t h e e q u a t i o n

d

d t

G ( x

1

( t ) : : : x

n

( t ) _x

1

( t ) : : : _x

n

( t ) ) = 0

f o r a n y s o l u t i o n ( x

1

( t ) : : : x

n

( t ) ) .

E x e r c i s e 6 . 1 . V e r i f y t h a t

J 2 ( x y z ) ; ( _x

2

+ _y

2

+ _z

2

) ( 4 )

i s a n i n t e g r a l f o r t h e C R T B P . I t i s c a l l e d t h e J a c o b i a n i n t e g r a l , a n d t h e v a l u e i t t a k e s o n a s o l u t i o n

i s c a l l e d t h e J a c o b i a n c o n s t a n t .

T h e J a c o b i a n i n t e g r a l a l l o w s o n e i n p r i n c i p l e t o r e d u c e t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n i n t h e C R T B P

f r o m a 6 t h o r d e r s y s t e m t o a 5 t h o r d e r s y s t e m . A n o t h e r i m m e d i a t e a p p l i c a t i o n o f t h e J a c o b i a n

i n t e g r a l i s t h e f o l l o w i n g . A g i v e n s e t o f i n i t i a l c o n d i t i o n s d e n e s a p a r t i c u l a r v a l u e f o r t h e J a c o b i a n

c o n s t a n t , s a y C . T h e s i m p l e o b s e r v a t i o n t h a t t h e s q u a r e o f t h e v e l o c i t y _ x

2

+ _y

2

+ _z

2

m u s t b e p o s i t i v e

i m p l i e s w i t h ( 4 ) t h a t t h e r a n g e o f m o t i o n i n x y z - s p a c e f o r t h a t p a r t i c u l a r s o l u t i o n m u s t l i e o n o n e

s i d e o f t h e s u r f a c e d e n e d b y ( x y z ) = C = 2 . T h i s s u r f a c e i s c a l l e d t h e s u r f a c e o f z e r o v e l o c i t y f o r

t h e J a c o b i a n c o n s t a n t C . ( S e e 1 7 , C h a p t e r 4 , S e c t i o n 1 0 . 2 ] f o r p r o p e r t i e s o f , a n d a d i s c u s s i o n o f

c u r v e s a n d s u r f a c e s o f z e r o v e l o c i t y . )

N o t e t h a t d e s p i t e t h e n a m e , i f a p a r t i c l e i s o n a s u r f a c e o f z e r o v e l o c i t y , i t d o e s n o t n e c e s s a r i l y

h a v e z e r o v e l o c i t y . T h e s u r f a c e r e p r e s e n t s a b a r r i e r t h r o u g h w h i c h s o l u t i o n s f o r a p a r t i c u l a r v a l u e

o f t h e J a c o b i a n c o n s t a n t c a n n o t p a s s . S o l u t i o n s w i t h d i e r e n t J a c o b i a n c o n s t a n t s w i l l h a v e d i e r e n t

s u r f a c e s o f z e r o v e l o c i t y .

E x e r c i s e 6 . 2 . U s e M a p l e o r M a t h e m a t i c a t o g r a p h s o m e s u r f a c e s o f z e r o v e l o c i t y f o r v a r i o u s J a c o -

b i a n c o n s t a n t s , a n d i d e n t i f y t h e r e g i o n s o f p o s s i b l e m o t i o n .

8


11/46

7 S y m m e t r i e s

S y m m e t r i e s i n t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n a l l o w u s t o n d n e w s o l u t i o n s w h e n s o m e s o l u t i o n s a r e g i v e n .

W e p r e s e n t t w o s y m m e t r i e s h e r e . T h e r s t s y m m e t r y i s a r e e c t i o n a c r o s s t h e ( x y ) - p l a n e a n d t h e

s e c o n d i s a r e e c t i o n a c r o s s t h e ( x z ) - p l a n e w i t h a t i m e - r e v e r s a l . A s s u m e t h a t ( x ( t ) y ( t ) z ( t ) ) i s a

s o l u t i o n t o t h e C R T B P , t h e n t h e f o l l o w i n g a r e a l s o s o l u t i o n s :

( x ( t ) y ( t ) ; z ( t ) )

( x (

;t )

;y (

;t ) z (

;t ) ) :

T h e r e i s a l s o a s y m m e t r y i n v o l v i n g p a r a m e t e r s i n t h e e q u a t i o n . T h i s i s g i v e n b y :

( x ( t ) y ( t ) z ( t ) ) 7! ( ; x ( t ) ; y ( t ) z ( t ) 1 ; ) :

T h i s m e a n s t h a t i n f a c t w e o n l y n e e d t o s t u d y t h e e q u a t i o n s i n t h e p a r a m e t e r r a n g e 0 <


12/46

T h e C R T B P i n d i m e n s i o n l e s s n o n - r o t a t i n g c o o r d i n a t e s h a s a L a g r a n g i a n w h i c h i s g i v e n b y

L ( X

_

X t ) =

1

2

_

X

2

; U ( X t )

w h e r e

U ( X t ) = ;

j X ; X

1

( t ) j

;

1 ;

j X ; X

2

( t ) j

:

W e c a n w r i t e t h e L a g r a n g i a n i n r o t a t i n g c o o r d i n a t e s W = R

t

X . F i r s t c a l c u l a t e X = R

; t

W a n d

_

X =

_

R

; t

W + R

; t

_

W a n d s u b s t i t u t e i n t o t h e e q u a t i o n f o r L t o g e t

L =

1

2

(

_

W ; K W )

2

; U ( W )

w h e r e

U ( W ) = ;

j W ; T

t

X

1

( t ) j

;

1

;

j W ; R

t

X

2

( t ) j

= ;

j W ; ( 1 ; ) e

1

j

;

1 ;

j W + e

1

j

:

E x e r c i s e 8 . 2 . V e r i f y t h a t t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n i n r o t a t i n g c o o r d i n a t e s d e r i v e d f r o m u s i n g t h i s

L a g r a n g i a n a n d t h e E u l e r - L a g r a n g e e q u a t i o n s a r e t h e s a m e a s t h e o n e s w e d e r i v e d e a r l i e r .

9 T h e H a m i l t o n i a n f o r m u l a t i o n

T h e C R T B P i s a H a m i l t o n i a n d y n a m i c a l s y s t e m . T h i s m e a n s t h a t t h e r e e x i s t c o o r d i n a t e s p q a n d

a f u n c t i o n H ( p q t ) s u c h t h a t t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n a r e g i v e n b y

_q = @ H = @ p

_p =

;@ H = @ q :

( 5 )

T h i s i s o f t e n w r i t t e n i n t h e c o m p a c t f o r m

_z = J r

z

H ( z )

w h e r e z = ( q p ) a n d J i s t h e m a t r i x o f f o u r s q u a r e b l o c k s g i v e n b y

J =

0 1

; 1 0

:

F o r a d i s c u s s i o n o f t h i s e x t e n s i v e t h e o r y , s e e , f o r e x a m p l e , 1 , 4 , 7 , 1 0 ] .

W e w i l l w r i t e d o w n t h e H a m i l t o n i a n a n d c o r r e s p o n d i n g c a n o n i c a l c o o r d i n a t e s i n r o t a t i n g v a r i a b l e s

s i n c e t h i s w i l l b e m o s t u s e f u l f o r u s . T y p i c a l l y t h i s i s d o n e b y s t a r t i n g f r o m t h e L a g r a n g i a n w r i t t e n

u s i n g t h e t r a d i t i o n a l c o o r d i n a t e s q _q . T h u s , w e s t a r t w i t h

L ( q _q t ) =

1

2

( _q ; K q )

2

; U ( q ) :

1 0


13/46

T h e g e n e r a l i z e d m o m e n t a p a r e g i v e n b y p = @ L = @ _q , s o

p = _q ; K q :

T h e H a m i l t o n i a n i s d e n e d b y H ( p q t ) = < p _q > ; L , s o w e c o m p u t e

H =

1

2

p

2

+ < p K q > + U ( q ) :

T h e e q u a t i o n s o f m o t i o n a r e g i v e n b y a p p l y i n g E q u a t i o n 5 t o t h i s H a m i l t o n i a n .

E x e r c i s e 9 . 1 . V e r i f y t h a t t h e s e e q u a t i o n s o f m o t i o n c o i n c i d e w i t h t h o s e f r o m t h e L a g r a n g i a n f o r -

m u l a t i o n .

S i n c e t h e H a m i l t o n i a n f o r t h i s p r o b l e m i s i n d e p e n d e n t o f t i m e , i t i s a c o n s t a n t o f t h e m o t i o n .

T h i s c a n b e v e r i e d b y c o m p u t i n g d H = d t =

@ H

@ q

_q +

@ H

@ p

_p = 0 .

E x e r c i s e 9 . 2 . V e r i f y t h a t H = ; J = 2 , w h e r e J i s t h e J a c o b i a n i n t e g r a l i n t r o d u c e d i n S e c t i o n 6 .

1 0 R i c h a r d s o n ' s a p p r o x i m a t i o n s f o r h a l o o r b i t s

I n t h i s s e c t i o n w e d i s c u s s a t h i r d - o r d e r a n a l y t i c a p p r o x i m a t i o n t o t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n w h i c h

p r o d u c e s p e r i o d i c s o l u t i o n s a b o u t t h e c o l l i n e a r l i b r a t i o n p o i n t s . O u r d i s c u s s i o n f o l l o w s t h e w o r k o f

D . L . R i c h a r d s o n 1 4 , 1 5 , 1 6 ] , w h o u s e d t h i s t e c h n i q u e s u c c e s s f u l l y i n d e s i g n i n g o r b i t s f o r t h e I S E E 3

m i s s i o n t o L

1

i n t h e l a t e 1 9 7 0 s .

Y e t a n o t h e r c h a n g e o f c o o r d i n a t e s

W e w i l l d i s c u s s o w i n a n e i g h b o r h o o d o f L

1

a n d L

2

, r e c a l l i n g t h a t o w n e a r L

3

i s t h e s a m e a s t h a t

n e a r L

2

b u t f o r a d i e r e n t p a r a m e t e r v a l u e . I n o r d e r t o s t u d y t h e m o t i o n n e a r a l i b r a t i o n p o i n t i t i s

e a s i e s t t o c h o o s e a c o o r d i n a t e s y s t e m t h a t i s c e n t e r e d a t t h e l i b r a t i o n p o i n t . W e w i l l a l s o n o r m a l i z e

d i s t a n c e s s o t h a t t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e l i b r a t i o n p o i n t a n d t h e m a s s M

1

i s o n e u n i t .

I n t h e r o t a t i n g c o o r d i n a t e s y s t e m , l e t t h e l o c a t i o n s o f t h e l i b r a t i o n p o i n t s L

i

b e g i v e n b y

L

i

=

i

e

1

w h e r e t h e

i

a r e r o o t s o f t h e a p p r o p r i a t e q u i n t i c a s d i s c u s s e d i n a n e a r l i e r s e c t i o n . L e t t h e v e c t o r s

f r o m L

i

t o t h e m a s s e s M

1

a n d M

2

b e g i v e n b y

r

1

= ( 1 ; ) e

1

; L

i

= ( 1 ; ;

i

) e

1

r

2

= ; e

1

; L

i

= ; ( +

i

) e

1

:

N e w r o t a t i n g c o o r d i n a t e s c e n t e r e d a t t h e l i b r a t i o n p o i n t L

i

a n d r e s c a l e d b y j r

1

j a r e g i v e n b y

= ( W ; L

i

) = j r

1

j :

1 1


14/46

W e w r i t e t h e L a g r a n g i a n i n t h e s e n e w c o o r d i n a t e s a s

L ( _ ) =

j r

1

j

2

2

( _ ; K )

2

+

i

j r

1

j < e

1

> ; U ( )

+

i

jr

1

j +

1

2

2

i

w i t h

U ( ) =

; = j r

1

j

j e

1

j

+

; ( 1 ; ) = j r

1

j

j +

j r

2

j

j r

1

j

e

1

j

w h e r e f r o m n o w o n w a r d s t h e t o p s i g n i s t a k e n f o r L

1

a n d t h e b o t t o m f o r L

2

. W e w a n t t o d e v e l o p

t h i s a s a p o w e r s e r i e s i n j j a n d t h u s w a n t j r

2

j j r

1

j . C o n s e q u e n t l y , t h i s a n a l y s i s w i l l g i v e r e s u l t s

f o r L

1

w h e n 0 < 1 = 2 a n d f o r L

2

w h e n 0 <


15/46

N o t e t h a t P

i

i s e v e n o r o d d i n c o s e x a c t l y w h e n i i s e v e n o r o d d . A l s o r e c a l l t h e f o r m u l a f o r t h e

d e r i v a t i v e o f a L e g e n d r e p o l y n o m i a l ,

d P

n

( C )

d C

=

X

0 k ( n ; 1 ) = 2 k 2 Z

( 2 n ; 4 k ; 1 ) P

n ; 2 k ; 1

( C ) :

A p p l y i n g t h i s t o t e r m s i n o u r p o t e n t i a l f u n c t i o n w e s e e t h a t

1

j

e

1

j

=

1

X

n = 0

P

n

(

x

= j j ) j j

n

j r

2

j = j r

1

j

j +

j r

2

j

j r

1

j

e

1

j

=

1

X

n = 0

P

n

( ;

x

= j j )

j r

1

j

n

j r

2

j

n

j j

n

:

W h e n i n t r o d u c i n g t h e e x p a n s i o n s i n t o t h e L a g r a n g i a n w e c a n o n c e a g a i n n e g l e c t t h e c o n s t a n t t e r m s

a n d w e w i l l c o l l e c t t h e l i n e a r t e r m s . T h i s r e s u l t s i n a L a g r a n g r i a n o f

L ( _ ) =

1

2

( _ ; K )

2

+

j r

1

j

3

1

X

n = 2

P

n

(

x

= j j ) j j

n

+

( 1 ; )

j r

1

j

2

j r

2

j

1

X

n = 2

P

n

( ;

x

= j j )

j r

1

j

n

j r

2

j

n

j j

n

+

x

j r

1

j

i

j r

1

j

2

;

1

;

j r

2

j

2

:

N o w r e c a l l t h a t

i

j r

1

j

2

;

1 ;

j r

2

j

2

=

i

(

i

; ( 1 ; ) )

2

;

1 ;

(

i

+ )

2

= 0

s i n c e t h i s i s t h e e q u a t i o n w h i c h d e n e s t h e l i b r a t i o n p o i n t ! O f c o u r s e w e k n o w t h i s q u a n t i t y w i l l b e

z e r o s i m p l y b e c a u s e w e h a v e p l a c e d t h e o r i g i n o f t h e c o o r d i n a t e s y s t e m a t a n e q u i l i b r i u m p o i n t t h u s

g u a r a n t e e i n g t h a t l i n e a r t e r m s w i l l n o t e x i s t .

C o m b i n i n g t h e s u m s i n t h e L a g r a n g i a n , w e w r i t e

L ( _ ) =

1

2

( _ ; K )

2

+

1

X

n = 2

c

n

P

n

(

x

= j j ) j j

n

w h e r e

c

n

= ( 1 )

n

j r

1

j

3

+ ( ; 1 )

n

( 1 ; ) j r

1

j

n ; 2

j r

2

j

n + 1

= (

1 )

n

j

i

; ( 1 ; ) j

3

+ (

;1 )

n

( 1

; )

j

i

; ( 1 ; ) j

n ; 2

j

i

+ j

n + 1

:

I f y o u i n s i s t o n n d i n g t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n i n a n e i g h b o r h o o d o f L

3

, t h e n i n t h e c o o r d i n a t e s

= ( L

3

; W ) = j r

2

j t h e a b o v e L a g r a n g i a n h o l d s a n d t h e c

n

a r e t h e s a m e a s t h o s e f o r L

2

e x c e p t t h e y

1 3


16/46

m u s t b e c o m p u t e d f o r p a r a m e t e r v a l u e 1 ; . P e r f o r m i n g t h i s c o m p u t a t i o n , w e n d t h a t t h e c

n

f o r

t h e L a g r a n g i a n a t L

3

a r e g i v e n b y

c

n

= ( ; 1 )

n

1 ;

j r

2

j

3

+ ( ; 1 )

n

j r

2

j

n ; 2

j r

1

j

n + 1

:

T h e e q u a t i o n s o f m o t i o n a r e d e r i v e d f r o m t h e L a g r a n g i a n u s i n g t h e E u l e r - L a g r a n g e e q u a t i o n s .

C o n s e q u e n t l y , t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n a r e

;2 K _ + K

2

=

1

X

n = 2

n c

n

P

n

(

x

=

j

j)

j

j

n ; 2

+

1

X

n = 2

c

n

P

0

n

(

x

= j j ) j j

n ; 2

( j j e

1

;

x

j j

) :

W e c a n n o w a p p r o x i m a t e t h e d y n a m i c a l s y s t e m n e a r t h e l i b r a t i o n p o i n t s b y u s i n g p e r t u r b a t i o n

m e t h o d s . E s s e n t i a l l y , w e w i l l e x p a n d a l l q u a n t i t i e s i n a p o w e r s e r i e s o f a s m a l l p a r a m e t e r ( e . g . , t h e

a m p l i t u d e o f t h e s o l u t i o n ) a n d c o n s i d e r o n l y a n i t e n u m b e r o f t e r m s i n t h e i n n i t e s u m . W e c a n

t h e n a t t e m p t t o n d e x p l i c i t s o l u t i o n s f o r t h e s e d y n a m i c a l s y s t e m s a n d h o p e t h a t t h e y a p p r o x i m a t e

s o l u t i o n s o f t h e f u l l p r o b l e m .

T h e l i n e a r a p p r o x i m a t i o n

F i r s t w e w i l l s t u d y a l i n e a r a p p r o x i m a t i o n t o t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n j u s t d e v e l o p e d . W e s h o w

t h a t s o l u t i o n s t o s u c h a n a p p r o x i m a t i o n a r e i n a d e q u a t e i n t h e s e n s e t h a t t h e y a r e n o t , i n g e n e r a l ,

p e r i o d i c . W e w i l l r e q u i r e t h e s e s o l u t i o n s , h o w e v e r , w h e n w e m o v e t o h i g h e r - o r d e r a p p r o x i m a t i o n s .

T h e l i n e a r a p p r o x i m a t i o n i n v o l v e s t a k i n g o n l y t h e q u a d r a t i c t e r m s i n t h e L a g r a n g i a n . T h i s g i v e s

u s

L

2

( _ ) =

1

2

( _ ; K )

2

+ c

2

( 3

2

x

;

2

) = 2

w i t h

c

2

=

j

i

; ( 1 ; ) j

3

+

1 ;

j

i

+ j

3

:

U s i n g t h e E u l e r - L a g r a n g e e q u a t i o n s w e w r i t e d o w n t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n t o g e t

; 2 K _ +

0

@

; ( 2 c

2

+ 1 ) 0 0

0 c

2

; 1 0

0 0 c

2

1

A

= 0 :

T h i s i s a l i n e a r d e g r e e t w o s y s t e m o f o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n s w h i c h w e c a n s o l v e b y s p e c t r a l

m e t h o d s . N o t e t h a t t h e z - c o m p o n e n t i s d e c o u p l e d f r o m t h e o t h e r t w o . W e c o m p u t e t h e c h a r a c t e r i s t i c

p o l y n o m i a l t o b e

(

2

+ c

2

) (

4

+

2

( 2

;c

2

) + 1 + c

2

;2 c

2

2

) = 0

a n d s o l v i n g f o r n d

=

j

p

c

2

=

s

c

2

; 2

p

9 c

2

2

; 8 c

2

2

1 4


17/46

w h e r e j r e p r e s e n t s t h e c o m p l e x i n v o l u t e . I f c

2

> 1 t h e n 9 c

2

2

; 8 c

2

> ( c

2

; 2 )

2

a n d t h e r e w i l l b e t w o

p a i r s o f p u r e l y i m a g i n a r y e i g e n v a l u e s a n d o n e p a i r o f r e a l e i g e n v a l u e s .

E x e r c i s e 1 0 . 1 . S h o w t h a t c

2

> 1 .

W e c a n t h u s w r i t e t h e s o l u t i o n t o t h e l i n e a r e q u a t i o n i n t h e f o r m :

x ( t ) = A

1

e

t

+ A

2

e

; t

+ A

3

c o s t + A

4

s i n t

y ( t ) =

;k

1

A

1

e

t

+ k

1

A

2

e

; t

;k

2

A

3

s i n t + k

2

A

4

c o s t

z ( t ) = A

5

c o s

p

c

2

t + A

6

s i n

p

c

2

t

w h e r e

=

s

c

2

; 2 +

p

9 c

2

2

; 8 c

2

2

=

s

;

c

2

; 2 ;

p

9 c

2

2

; 8 c

2

2

k

1

= ( 2 c

2

+ 1 ;

2

) = 2

k

2

= ( 2 c

2

+ 1 +

2

) = 2

a n d A

1

: : : A

6

a r e a r b i t r a r y c o n s t a n t s d e t e r m i n e d b y t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s .

S i n c e w e a r e i n t e r e s t e d i n p e r i o d i c a n d q u a s i p e r i o d i c s o l u t i o n s w e t a k e A

1

= A

2

= 0 . T h e n t h e

s o l u t i o n t o t h e l i n e a r p r o b l e m c a n b e w r i t t e n i n t e r m s o f a m p l i t u d e a n d p h a s e a s

x ( t ) = ; A

x

c o s ( t + )

y ( t ) = k A

x

s i n ( t + )

z ( t ) = A

z

s i n (

p

c

2

t + )

w i t h k = k

2

. F o r o u t o f p l a n e s o l u t i o n s ( A

z

6= 0 ) , w e d o n o t e x p e c t a n d c

2

t o b e r a t i o n a l l y r e l a t e d

a n d t h u s e x p e c t q u a s i p e r i o d i c s o l u t i o n s . W e m u s t t h e r e f o r e i n c l u d e n o n l i n e a r i t i e s i f w e h o p e t o n d

p e r i o d i c s o l u t i o n s .

T h e m e t h o d o f L i n d s t e d t - P o i n c a r e

T o n d b e t t e r a p p r o x i m a t i o n s t o t h e n o n l i n e a r p r o b l e m i n a n e i g h b o r h o o d o f t h e e q u i l i b r i u m p o i n t

s o l u t i o n s w e w i l l u s e t h e p e r t u r b a t i o n t e c h n i q u e s o f L i n d s t e d t - P o i n c a r e 1 1 ] .

T h e r s t t h i n g w e d o i s a l l o w f o r a f r e q u e n c y c o r r e c t i o n b y s e t t i n g = ! t a n d l e t t i n g '

0

' d e n o t e

d = d . W e w i l l t h e n t r u n c a t e t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n a t d e g r e e 3 . D o i n g t h i s w e g e t

!

2

x

0 0

; 2 ! y

0

; ( 1 + 2 c

2

) x =

3

2

c

3

( 2 x

2

; y

2

; z

2

)

+ 2 c

4

( 2 x

2

; 3 y

2

; 3 z

2

) x

!

2

y

0 0

+ 2 ! x

0

+ ( c

2

; 1 ) y = ; 3 c

3

x y ;

3

2

c

4

( 4 x

2

; y

2

; z

2

) y

!

2

z

0 0

+

2

z = ; 3 c

3

x z ;

3

2

c

4

( 4 x

2

; y

2

; z

2

) z + z

1 5


18/46

w h e r e

=

2

; c

2

:

W e c o n t i n u e t h e p e r t u r b a t i o n a n a l y s i s b y a s s u m i n g s o l u t i o n s o f t h e f o r m :

x ( ) = x

1

( ) +

2

x

2

( ) +

3

x

3

( ) + : : :

y ( ) = y

1

( ) +

2

y

2

( ) +

3

y

3

( ) + : : :

z ( ) = z

1

( ) +

2

z

2

( ) +

3

z

3

( ) + : : :

a n d l e t t i n g

! = 1 + !

1

+

2

!

2

+ : : : :

W e s u b s t i t u t e t h e s e q u a n t i t i e s i n t o t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n a n d e q u a t e c o m p o n e n t s o f t h e s a m e

o r d e r . H e r e w e m a k e t h e a s s u m p t i o n t h a t = O (

2

) a n d s e t = .

T h e r s t o r d e r e q u a t i o n s

T h e O ( ) e q u a t i o n s a r e t h e l i n e a r i z a t i o n o f t h e v e c t o r e l d w h i c h w e s o l v e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n ,

w i t h a m o d i e d f r e q u e n c y f o r t h e o u t o f p l a n e o s c i l l a t i o n s :

x

0 0

1

; 2 y

0

1

; ( 1 + 2 c

2

) x

1

= 0

y

0 0

1

+ 2 x

0

1

+ ( c

2

; 1 ) y

1

= 0

z

0 0

1

+

2

z

1

= 0 :

S i n c e w e a r e o n l y i n t e r e s t e d i n b o u n d e d s o l u t i o n s w e w r i t e t h e s o l u t i o n s

x

1

( ) = ; A

x

c o s ( + )

y

1

( ) = k A

x

s i n ( + )

z

1

( ) = A

z

s i n ( + ) :

L a t e r , i n o r d e r t o a v o i d s e c u l a r s o l u t i o n s w e w i l l n e e d t o p u t c o n s t r a i n t s o n t h e c o n s t a n t s A

x

A

z

,

b u t f o r n o w t h e y a r e a r b i t r a r y .

T h e s e c o n d o r d e r e q u a t i o n s

T h e O (

2

) e q u a t i o n s d e p e n d o n t h e a b o v e s o l u t i o n s a n d a r e g i v e n b y

x

0 0

2

; 2 y

0

2

; ( 1 + 2 c

2

) x

2

= ; 2 !

1

( x

0 0

1

; y

0

1

) +

3

2

c

3

( 2 x

2

1

; y

2

1

; z

2

1

)

y

0 0

2

+ 2 x

0

2

+ ( c

2

; 1 ) y

2

= ; 2 !

1

( y

0 0

1

+ x

0

1

) ; 3 c

3

x

1

y

1

z

0 0

2

+

2

z

2

= ; 2 !

1

z

0 0

1

; 3 c

3

x

1

z

1

:

1 6


19/46

S u b s t i t u t i n g i n t h e s o l u t i o n s f o r x

1

y

1

z

1

, w e g e t

x

0 0

2

;2 y

0

2

;( 1 + 2 c

2

) x

2

= + 2 !

1

A

x

( k

; ) c o s

1

+

1

+

1

c o s 2

1

+

2

c o s 2

2

y

0 0

2

+ 2 x

0

2

+ ( c

2

; 1 ) y

2

= 2 !

1

A

x

( k ; 1 ) s i n

1

+

1

s i n 2

1

z

0 0

2

+

2

z

2

= 2 !

1

A

z

2

s i n

2

+

1

s i n (

1

+

2

) +

1

s i n (

2

;

1

)

w h e r e

1

= +

2

= +

a n d t h e e x p r e s s i o n s f o r t h e o t h e r c o e c i e n t s a r e g i v e n i n A p p e n d i x C . T h e s e a r e a s e t o f i n h o m o -

g e n e o u s l i n e a r d i e r e n t i a l e q u a t i o n s w h o s e s o l u t i o n s a r e s u m m a r i z e d i n A p p e n d i x B . W e k n o w t h e

b o u n d e d h o m o g e n e o u s s o l u t i o n w h i c h i s i n c o r p o r a t e d i n t o t h e s o l u t i o n t o t h e r s t o r d e r e q u a t i o n s

a n d s i m p l y n e e d t o n d a p a r t i c u l a r s o l u t i o n . T h e s e c u l a r t e r m s ( t h o s e r e s p o n s i b l e f o r p r o d u c i n g u n -

b o u n d e d s o l u t i o n s ) a r e t h e s i n

1

, c o s

1

a n d s i n

2

t e r m s w h i c h a r e a l l e l i m i n a t e d b y s e t t i n g !

1

= 0 .

T h u s w e n d t h e s o l u t i o n

x

2

=

2 0

+

2 1

c o s 2

1

+

2 2

c o s 2

2

y

2

=

2 1

s i n 2

1

+

2 2

s i n 2

2

z

2

=

2 1

s i n (

1

+

2

) +

2 2

s i n (

2

;

1

)

w h e r e t h e e x p r e s s i o n s f o r t h e c o e c i e n t s a r e g i v e n i n A p p e n d i x C .

T h e t h i r d o r d e r e q u a t i o n s

T h e O (

3

) e q u a t i o n s a r e ( a f t e r s e t t i n g !

1

= 0 )

x

0 0

3

; 2 y

0

3

; ( 1 + 2 c

2

) x

3

= ; 2 !

2

( x

0 0

1

; y

0

1

)

+ 3 c

3

( 2 x

1

x

2

; y

1

y

2

; z

1

z

2

)

+ 2 c

4

x

1

( 2 x

2

1

; 3 y

2

1

; 3 z

2

1

)

y

0 0

3

+ 2 x

0

3

+ ( c

2

; 1 ) y

3

= ; 2 w

2

( x

0

1

+ y

0 0

1

)

; 3 c

3

( x

1

y

2

+ x

2

y

1

)

;

3

2

c

4

y

1

( 4 x

2

1

; y

2

1

; z

2

1

)

z

0 0

3

+

2

z

3

= ; 2 !

2

z

0 0

1

+

2

z

1

; 3 c

3

( x

2

z

1

+ x

1

z

2

)

;

3

2

c

4

z

1

( 4 x

2

1

; y

2

1

; z

2

1

) :

1 7


20/46

S u b s t i t u t i n g i n t h e s o l u t i o n s f o r x

1

y

1

z

1

x

2

y

2

z

2

, w e g e t

x

0 0

3

; 2 y

0

3

; ( 1 + 2 c

2

) x

3

=

1

+ 2 !

2

A

x

( k ; ) ] c o s

1

+

3

c o s 3

1

+

4

c o s (

1

+ 2

2

)

+

5

c o s ( 2

2

;

1

)

y

0 0

3

+ 2 x

0

3

+ ( c

2

; 1 ) y

3

=

2

+ 2 !

2

A

x

( k ; 1 ) ] s i n

1

+

3

s i n 3

1

+

4

s i n (

1

+ 2

2

)

+

5

s i n ( 2

2

;

1

)

z

0 0

3

+

2

z

3

=

3

+ A

z

( 2 !

2

2

+ =

2

) ] s i n

2

+

3

s i n 3

2

+

4

s i n ( 2

1

+

2

)

+

5

s i n ( 2

1

;

2

)

w h e r e t h e e x p r e s s i o n s f o r t h e c o e c i e n t s a r e g i v e n i n A p p e n d i x C . T h e r e a r e s e c u l a r t e r m s i n t h e

x

3

; y

3

e q u a t i o n s a n d i n t h e z

3

e q u a t i o n s w h i c h c a n n o l o n g e r b e r e m o v e d b y s i m p l y s e t t i n g a v a l u e

f o r t h e f r e q u e n c y c o r r e c t i o n !

2

. W e s t a r t b y e x a m i n i n g t h e s e c u l a r t e r m s i n t h e z

3

e q u a t i o n s m o r e

c l o s e l y .

T o r e m o v e t h e

5

s i n ( 2

1

;

2

) t e r m w e w o u l d n e e d

5

= 0 . S i n c e w e c a n n o t f r e e l y a d j u s t t h i s

p a r a m e t e r , w e c a n a t t e m p t t o r e m o v e t h e s e c u l a r t e r m b y a d j u s t i n g t h e p h a s e s o f

1

a n d

2

s o t h a t

s i n ( 2

1

;

2

) s i n

2

. T o d o t h i s w e n e e d

= + n

2

w h e r e n = 0 1 2 3 . T h e n t h e z

3

s o l u t i o n w i l l b e b o u n d e d i f

3

+ A

z

( 2 !

2

2

+ =

2

) +

5

= 0

w h e r e = ( ; 1 )

n

. T h i s p h a s e c o n s t r a i n t a e c t s t h e x

3

; y

3

e q u a t i o n s , w h i c h n o w e a c h c o n t a i n o n e

s e c u l a r t e r m . I n s t e a d o f f o r c i n g t h e r e m o v a l o f t h e s e t e r m s w i t h t w o a d d i t i o n a l c o n s t r a i n t e q u a t i o n s ,

w e s e e f r o m A p p e n d i x C t h a t w e c a n s i m u l t a n e o u s l y e l i m i n a t e t h e u n b o u n d e d t e r m s f r o m b o t h

p a r t i c u l a r s o l u t i o n s w i t h a s i n g l e c o n s t r a i n t e q u a t i o n . T h e r e q u i r e m e n t i s

(

1

+ 2 !

2

A

x

( k ; ) +

5

) ; k (

2

+ 2 !

2

A

x

( k ; 1 ) +

5

) = 0 :

W e s a t i s f y t h i s l a s t e q u a t i o n b y s e t t i n g

!

2

=

1

; k

2

+ (

5

; k

5

)

2 A

x

( 1 + k

2

) ; 2 k ]

= s

1

A

2

x

+ s

2

A

2

z

w h e r e t h e e x p r e s s i o n s f o r s

1

s

2

a r e g i v e n i n A p p e n d i x C . S u b s t i t u t i n g t h i s i n t o t h e r s t c o n s t r a i n t

w e g e t

l

1

A

2

x

+ l

2

A

2

z

+ =

2

= 0

1 8


21/46

w i t h l

1

l

2

g i v e n i n A p p e n d i x C , a n d t h u s c a n s a t i s f y t h i s c o n s t r a i n t b y l e t t i n g o n e a m p l i t u d e b e

d e t e r m i n e d b y t h e o t h e r .

A s s u m i n g t h e s e c o n s t r a i n t s t h e t h i r d o r d e r e q u a t i o n s r e d u c e t o

x

0 0

3

; 2 y

0

3

; ( 1 + 2 c

2

) x

3

= k

6

c o s

1

+ (

3

+

4

) c o s 3

1

y

0 0

3

+ 2 x

0

3

+ ( c

2

; 1 ) y

3

=

6

s i n

1

+ (

3

+

4

) s i n 3

1

z

0 0

3

+

2

z

3

=

( ; 1 )

n = 2

(

3

+

4

) s i n 3

1

n = 0 2

(

;1 )

( n ; 1 ) = 2

(

4

;

3

) c o s 3

1

n = 1 3

w h e r e

6

=

2

+ 2 !

2

A

x

( k ; 1 ) +

5

. T h e s o l u t i o n t o t h i s i s g i v e n b y

x

3

=

3 1

c o s 3

1

y

3

=

3 1

s i n 3

1

+

3 2

s i n

1

z

3

=

( ; 1 )

n = 2

3 1

s i n 3

1

n = 0 2

( ; 1 )

( n ; 1 ) = 2

3 2

c o s 3

1

n = 1 3

w h e r e t h e e x p r e s s i o n s f o r t h e c o e c i e n t s a r e g i v e n i n A p p e n d i x C . R i c h a r d s o n ' s s o l u t i o n 1 4 , 1 5 , 1 6 ]

n e g l e c t e d t h e

6

t e r m s a n d t h u s d i d n o t i n c l u d e t h e

3 2

c o r r e c t i o n { a c u b i c c o r r e c t i o n t o t h e

a m p l i t u d e o f t h e p r i m a r y f r e q u e n c y .

T h e n a l a p p r o x i m a t i o n

A p p l y i n g t h e m a p p i n g A

x

7! A

x

= a n d A

z

7! A

z

= w i l l r e m o v e f r o m a l l t h e e q u a t i o n s . T h e n w e

c a n u s e A

x

o r A

z

a s a s m a l l p a r a m e t e r . C o m b i n i n g t h e s o l u t i o n s w e h a v e c o m p u t e d t o t h i r d o r d e r ,

w e g e t

x ( ) =

2 0

; A

x

c o s

1

+ (

2 1

+

2 2

) c o s 2

1

+

3 1

c o s 3

1

y ( ) = ( k A

x

+

3 2

) s i n

1

+ (

2 1

+

2 2

) s i n 2

1

+

3 1

s i n 3

1

z ( ) =

( ; 1 )

n = 2

A

z

s i n

1

n = 0 2

( ; 1 )

( n ; 1 ) = 2

A

z

c o s

1

n = 1 3

+

( ; 1 )

n = 2

(

2 1

s i n 2

1

+

3 1

s i n 3

1

) n = 0 2

( ; 1 )

( n ; 1 ) = 2

(

2 1

c o s 2

1

+

2 2

+

3 2

c o s 3

1

) n = 1 3 :

1 9


22/46

T h e s e e q u a t i o n s m a y b e r e w r i t t e n t o m o r e c l e a r l y s e e t h e d e p e n d e n c e o n t h e s m a l l p a r a m e t e r s A

x

a n d A

z

. T h i s i s

x ( ) = ; A

x

c o s

1

+ a

2 1

A

2

x

+ a

2 2

A

2

z

+ ( a

2 3

A

2

x

+ a

2 4

A

2

z

) c o s 2

1

( 6 )

+ ( a

3 1

A

3

x

+ a

3 2

A

x

A

2

z

) c o s 3

1

y ( ) = k A

x

s i n

1

+ ( b

2 1

A

2

x

+ b

2 2

A

2

z

) s i n 2

1

+ ( b

3 1

A

3

x

+ b

3 2

A

x

A

2

z

) s i n 3

1

( 7 )

+ ( b

3 3

A

3

x

+ b

3 4

A

x

A

2

z

+ b

3 5

A

x

A

2

z

) s i n

1

z ( ) =

( ; 1 )

n = 2

A

z

s i n

1

n = 0 2

( ; 1 )

( n ; 1 ) = 2

A

z

c o s

1

n = 1 3

+

( ; 1 )

n = 2

d

2 1

A

x

A

z

s i n 2

1

n = 0 2

( ; 1 )

( n ; 1 ) = 2

d

2 1

A

x

A

z

( c o s 2

1

; 3 ) n = 1 3

( 8 )

+

( ; 1 )

n = 2

( d

3 1

A

3

z

+ d

3 2

A

2

x

A

z

) s i n 3

1

n = 0 2

( ; 1 )

( n ; 1 ) = 2

( d

3 2

A

z

A

2

x

; d

3 1

A

3

z

) c o s 3

1

n = 1 3 :

T h e e x p r e s s i o n s f o r t h e c o e c i e n t s a r e g i v e n i n A p p e n d i x C .

1 1 N u m e r i c a l c o m p u t a t i o n o f h a l o o r b i t s

I n t h i s s e c t i o n w e d i s c u s s s o m e s t r a t e g i e s f o r t h e n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n o f p e r i o d i c o r b i t s . T h e

m e t h o d w e w i l l d i s c u s s i s b a s i c a l l y a N e w t o n ' s m e t h o d s c h e m e , w i t h t h e i d e a t h a t R i c h a r d s o n ' s

a n a l y t i c a p p r o x i m a t i o n w i l l p r o v i d e c o n v e r g e n t i n i t i a l s e e d s f o r t h e m e t h o d . W e w i l l r s t e x a m i n e

t h e p r o b l e m o f c o m p u t i n g p e r i o d i c o r b i t s i n t h e 2 - d e g r e e s o f f r e e d o m C R T B P { t h a t i s , o r b i t s w h i c h

l i e i n t h e ( x y ) - c o o r d i n a t e p l a n e . T h e n w e w i l l l o o k a t o u t - o f - p l a n e o r b i t s . I n b o t h c a s e s w e w i l l

r e s t r i c t t h e d i s c u s s i o n t o n d i n g o r b i t s w h i c h h a v e a s y m m e t r y a c r o s s t h e x z - p l a n e .

S y m m e t r i c p e r i o d i c o r b i t s f o r t h e 2 - d e g r e e s o f f r e e d o m C R T B P

W e w o u l d l i k e t o n d a p e r i o d i c o r b i t w h i c h l i e s i n t h e x y - c o o r d i n a t e p l a n e a n d i s s y m m e t r i c a b o u t

t h e x - a x i s . T h e r e a r e f a m i l i e s o f s u c h o r b i t s s u r r o u n d i n g t h e c o l l i n e a r l i b r a t i o n p o i n t s . W e s h a l l

d e n e o n e o f t h e s e o r b i t s b y t h e l o c a t i o n o f i t s i n t e r s e c t i o n w i t h t h e x - a x i s a n d i t s v e l o c i t y . T h u s

i f a p o i n t i n p h a s e s p a c e i s g i v e n b y X = ( x y v

x

v

y

) , t h e n a p e r i o d i c o r b i t c a n b e s p e c i e d b y

( x 0 0 v

y

) . W e h a v e s e t y = 0 t o s p e c i f y t h e i n t e r s e c t i o n o f t h e o r b i t w i t h t h e x - a x i s , a n d w e s e t

v

x

= 0 i n o r d e r t o s a t i s f y t h e s y m m e t r y c o n d i t i o n .

S u p p o s e t h a t t h e o r b i t o n l y c r o s s e s t h e x - a x i s i n t w o p o i n t s . T h e n t h e s e c o n d p o i n t w i l l b e

h a l f w a y a r o u n d . W e c a n t h e n u s e t h e s y m m e t r y o f t h e p r o b l e m t o g e n e r a t e t h e e n t i r e o r b i t f r o m

t h e h a l f o f t h e o r b i t l y i n g t o o n e s i d e o f t h e x - a x i s .

L e t

_

X = f ( X ) b e t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n . W e a r e o f c o u r s e h e r e o n l y i n t e r e s t e d i n t h e C R T B P ,

b u t t h e s e t e c h n i q u e s w i l l w o r k i n a g r e a t v a r i e t y o f p r o b l e m s . L e t ( X t ) b e t h e s o l u t i o n t o t h e

d i e r e n t i a l e q u a t i o n , w h i c h m e a n s t h a t ( X 0 ) = X a n d @ ( X t ) = @ t = f ( ( X t ) ) .

2 0


23/46

L e t X = ( x 0 0 v

y

) b e a n i n i t i a l g u e s s f o r a p o i n t o n a s y m m e t r i c p l a n a r p e r i o d i c o r b i t o f t h e

C R T B P . F l o w t h e p o i n t u n d e r t h e v e c t o r e l d u n t i l y = 0 a g a i n a n d l e t T

1 = 2

b e t h e t i m e o f t h e o w .

T h u s ( X T

1 = 2

) = ( ~ x 0 ~v

x

~v

y

) . I f ~ v

x

= 0 t h e n t h e i n i t i a l g u e s s i s p a r t o f t h e p e r i o d i c o r b i t a n d w e

a r e d o n e i f n o t t h e n w e n e e d t o i m p r o v e t h e i n i t i a l g u e s s i n o r d e r t o a t t e m p t t o d r i v e ~ v

x

t o z e r o .

T h u s w e c o m p u t e

( X + X T

1 = 2

+ t ) = ( X T

1 = 2

) +

@ ( X T

1 = 2

)

@ X

X

+

@ ( X T

1 = 2

)

@ t

t + h . o . t . :

S i n c e w e w i s h t o r e s t r i c t o u r c h o i c e o f i n i t i a l c o n d i t i o n s , w e l e t X = ( x 0 0 v

y

) a n d s o l v e t h e

f o l l o w i n g e q u a t i o n s w h i c h c o m e f r o m t h e a p p r o x i m a t i o n f o u n d b y d r o p p i n g t h e h i g h e r o r d e r t e r m s

i n t h e a b o v e e q u a t i o n :

@

@ X

0

B

B

@

x

0

0

v

y

1

C

C

A

+ f ( ( X T

1 = 2

) ) t =

0

B

B

@

0

;~v

x

1

C

C

A

:

W e u s e ' ' i n t h e a b o v e e q u a t i o n t o i n d i c a t e q u a n t i t i e s w h o s e v a l u e s d o n o t c o n c e r n u s . S o w e e n d

u p w i t h e x a c t l y t w o e q u a t i o n s a n d t h r e e u n k n o w n s . T h i s i s e x p e c t e d s i n c e w e w i l l n d a f a m i l y

o f p e r i o d i c s o l u t i o n s w h i c h c a n b e p a r a m e t e r i z e d b y , f o r e x a m p l e , t h e i n t e r s e c t i o n w i t h t h e x - a x i s .

F i x i n g t h i s q u a n t i t y , w e m u s t t a k e x = 0 a n d t h e n c a n s o l v e f o r v

y

a n d t . T h i s w i l l g i v e u s a

n e w g u e s s f o r t h e i n i t i a l v e l o c i t y v

y

+ v

y

a n d a n e s t i m a t e o f T

1 = 2

+ t f o r t h e r e t u r n t i m e . T h e

w h o l e p r o c e s s m a y b e r e p e a t e d .

W e h a v e n o t y e t d i s c u s s e d t h e q u a n t i t y

@

@ X

. S i n c e w e d o n o t h a v e a n e x p l i c i t f o r m u l a f o r

( X t ) , w e c a n n o t c o m p u t e t h i s m a t r i x o f f u n c t i o n s e x p l i c i t l y . I n t h e n e x t s e c t i o n w e d i s c u s s t h i s

q u a n t i t y , w h i c h i s k n o w n a s t h e f u n d a m e n t a l s o l u t i o n m a t r i x .

T h e f u n d a m e n t a l s o l u t i o n m a t r i x

L e t ( X t ) s o l v e t h e n - d i m e n s i o n a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n

_

X = f ( X ) , s o ( X 0 ) = X a n d @ ( X t ) = @ t =

f ( ( X t ) ) . I f w e w i s h t o s e e h o w a s m a l l c h a n g e i n i n i t i a l c o n d i t i o n X w i l l a e c t t h e s o l u t i o n a f t e r

t i m e t , t h e n t o a p p r o x i m a t e t h i s t o r s t o r d e r w e m u s t c o m p u t e

@

@ X

. T h i s m a t r i x o f f u n c t i o n s i s a

p a r t i c u l a r f u n d a m e n t a l s o l u t i o n m a t r i x . T h e r o l e o f t h i s m a t r i x s h o u l d b e c l e a r f r o m t h e f o l l o w i n g

c a l c u l a t i o n :

( X + X t + t ) = ( X t ) +

@ ( X t )

@ X

X +

@ ( X t )

@ t

t

+ h . o . t .

S i n c e ( X 0 ) = X , w e c o m p u t e

@ ( X 0 )

@ X

= 1 :

2 1


24/46

T h u s f o r t = 0 t h e m a t r i x i s t h e i d e n t i t y m a t r i x . W e c a n t h e n s e e h o w t h e m a t r i x e v o l v e s i n t i m e

b y c o m p u t i n g

@

@ t

@

@ X

=

@

@ X

@

@ t

=

@

@ X

f ( ) =

@ f

@ X

j

X =

@

@ X

:

T h u s w e h a v e a l i n e a r , n o n a u t o n o m o u s d i e r e n t i a l e q u a t i o n i n n

2

d i m e n s i o n s w h i c h d e s c r i b e s t h e e v o -

l u t i o n o f a f u n d a m e n t a l s o l u t i o n m a t r i x . T h e s e a r e s o m e t i m e s c a l l e d t h e r s t v a r i a t i o n a l e q u a t i o n s .

W e c a n s e t u p a s y s t e m t o s i m u l t a n e o u s l y c o m p u t e t h e s o l u t i o n a n d t h e f u n d a m e n t a l s o l u t i o n

m a t r i x

@

@ X

, b y a u g m e n t i n g t h e i n i t i a l n d i m e n s i o n a l v e c t o r e l d b y n

2

d i m e n s i o n s . L e t t i n g M

d e n o t e t h e f u n d a m e n t a l s o l u t i o n m a t r i x , t h e r e s u l t i n g n

2

+ n d i m e n s i o n a l i n i t i a l v a l u e p r o b l e m t h a t

w e s o l v e i s :

_

X = f ( X )

_

M =

@ f

@ X

M

w i t h i n i t i a l c o n d i t i o n s

X ( 0 ) = X

0

M ( 0 ) = 1 :

W h e n t h e s o l u t i o n i s a p e r i o d i c o r b i t a n d t h i s f u n d a m e n t a l s o l u t i o n m a t r i x i s c o m p u t e d a t a t i m e

e q u a l t o o n e p e r i o d , t h e n t h e r e s u l t i n g m a t r i x i s c a l l e d t h e m o n o d r o m y m a t r i x . T h e e i g e n v a l u e s o f

t h i s m a t r i x d e t e r m i n e t h e s t a b i l i t y o f t h e p e r i o d i c o r b i t .

H a l o o r b i t s - s y m m e t r i c p e r i o d i c o r b i t s f o r t h e 3 - d e g r e e s o f f r e e d o m C R T B P

I n t h i s s e c t i o n w e e x t e n d t h e p r e v i o u s d i s c u s s i o n r e g a r d i n g t h e c o m p u t a t i o n o f p e r i o d i c o r b i t s t o

t h e f u l l 3 d e g r e e s o f f r e e d o m p r o b l e m . T h i s i s n e a r l y i d e n t i c a l t o t h e p r e v i o u s d i s c u s s i o n , e x c e p t

t h a t t h e d i m e n s i o n s a r e i n c r e a s e d . T h e s e o r b i t s s u r r o u n d i n g t h e l i b r a t i o n p o i n t s L

1

, L

2

, a n d L

3

a r e

c a l l e d h a l o o r b i t s .

L e t X = ( x y z v

x

v

y

v

z

) . A n i n i t i a l g u e s s i s n o w l o c a t e d o n t h e ( x z ) - p l a n e w i t h a c o m p o n e n t

o f v e l o c i t y o n l y i n t h e y d i r e c t i o n . L e t X = ( x 0 z 0 v

y

0 ) b e a n i n i t i a l g u e s s . I f T

1 = 2

i s t h e t i m e

o f r s t r e t u r n t o t h e ( x z ) - p l a n e , t h e n w e c o m p u t e ( X T

1 = 2

) = ( ~ x 0 ~z ~v

x

~v

y

~v

z

) : W e a r e l o o k i n g

f o r i n i t i a l c o n d i t i o n s t h a t g i v e u s ~ v

x

= ~v

z

= 0 i n o r d e r t o g i v e u s t h e r s t h a l f o f a p e r i o d i c o r b i t .

A d j u s t i n g t h e i n i t i a l c o n d i t i o n a n d o w t i m e w e g e t :

( X + X T

1 = 2

+ t ) = ( X T

1 = 2

) +

@ ( X T

1 = 2

)

@ X

X

+

@ ( X T

1 = 2

)

@ T

t + h . o . t . :

2 2


25/46


26/46

L e m m a 1 . I f X ( t ) i s a s o l u t i o n t o

_

X = f ( X ) , a n d ; S f = f S , t h e n S X ( ; t ) i s a l s o a s o l u t i o n .

W e v e r i e d e a r l i e r t h a t t h e C R T B P i n r o t a t i n g c o o r d i n a t e s h a s t h i s s y m m e t r y . W e n o w s h o w

t h a t t h e v a r i a t i o n a l e q u a t i o n s a l s o h a v e t h i s s y m m e t r y .

L e m m a 2 . A s s u m e t h a t ; S f = f S . L e t F ( X ) = @ f = @ X a n d l e t

_

M = F ( X ) M , t h e n ; S F ( X ) =

F ( S X ) S .

T h u s , w e h a v e

L e m m a 3 . I f ( X ( t ) M ( t ) ) i s a s o l u t i o n t o

_

X = f ( X )

_

M = F ( X ) M

t h e n s o i s ( S X ( ; t ) S M ( ; t ) ) .

N o w s u p p o s e t h a t X ( 0 ) i s p a r t o f a p e r i o d i c o r b i t w i t h p e r i o d 2 T t h a t i s s y m m e t r i c , i . e . , X ( t )

a n d S X ( ; t ) a r e t h e s a m e o r b i t s . F u r t h e r , a s s u m e t h a t X ( 0 ) = S X ( 0 ) , a p o i n t o f s y m m e t r y . N o w

l e t M ( t X ( t

0

) M ( t

0

) t

0

) d e n o t e t h e s o l u t i o n t o t h e v a r i a t i o n a l e q u a t i o n s f o r t h e p e r i o d i c o r b i t X ( t ) .

T h e m o n o d r o m y m a t r i x i s g i v e n b y M ( 2 T X ( 0 ) 1 0 ) . W e w i s h t o u s e t h e s y m m e t r y o f t h e p e r i o d i c

o r b i t i n o r d e r t o w r i t e t h e m o n o d r o m y m a t r i x i n t e r m s o f t h e s o l u t i o n f o r o n l y h a l f w a y a r o u n d t h e

o r b i t , M ( T X ( 0 ) 1 0 ) . W e w i l l p r o v e t h e f o l l o w i n g

T h e o r e m 4 . 6 ]

M ( 2 T X ( 0 ) 1 0 ) = S

0 1

; 1 2 K

M ( T X ( 0 ) 1 0 )

2 K ; 1

1 0

S M ( T X ( 0 ) 1 0 )

w h e r e t h e

r e p r e s e n t s m a t r i x t r a n s p o s e .

P r o o f . W e s t a r t b y n o t i n g t h a t

M ( 2 T X ( 0 ) 1 0 ) = M ( 2 T X ( t ) 1 T ) M ( T X ( 0 ) 1 0 ) :

N e x t w e u s e t h e s y m m e t r y t o w r i t e

M ( 2 T X ( T ) 1 T ) = M ( 0 X ( ; T ) 1 ; T ) :

S i n c e ( X ( t X ( T ) T ) M ( t X ( T ) 1 T ) i s a s o l u t i o n , t h e n w e c a n a p p l y o u r s y m m e t r y t o g e t a

s o l u t i o n ( S X ( ; t X ( ; T ) ; T ) S M ( ; t X ( ; T ) 1 ; T ) ) . A t t i m e T , t h i s n e w s o l u t i o n t a k e s o n t h e

v a l u e s ( S X ( ; T ) S ) . T h u s b y u n i q u e n e s s o f s o l u t i o n s w e h a v e t h e e q u a l i t i e s :

S X ( ; t X ( ; T ) ; T ) = X ( t S X ( ; T ) T )

S M ( ; t X ( ; T ) 1 ; T ) = M ( t S X ( ; T ) S T ) :

E v a l u a t i n g a t t = 0 a n d u s i n g t h e p e r i o d i c i t y a n d s y m m e t r y o f X ( t ) w e g e t

S M ( 0 X ( ; T ) 1 ; T ) = M ( 0 X ( T ) 1 T ) S :

2 4


27/46

S o n o w w e h a v e

M ( 2 T X ( 0 ) 1 0 ) = S M ( 0 X ( T ) 1 T ) S M ( T X ( 0 ) 1 0 ) :

W e a r e i n p r i n c i p l e d o n e w i t h e x p r e s s i n g t h e m o n o d r o m y m a t r i x i n t e r m s o f t h e f u n d a m e n t a l s o l u t i o n

m a t r i x e v a l u a t e d a t t i m e T s i n c e M ( 0 X ( T ) 1 T ) = M ( T X ( 0 ) 1 0 )

; 1

. B u t w e c a n d o a l i t t l e

b e t t e r t h a n t h i s , s i n c e M ( T X ( 0 ) 1 0 )

; 1

m a y b e w r i t t e n i n t e r m s o f M ( T X ( 0 ) 1 0 )

. T h i s i s d o n e

b y r e c a l l i n g t h a t t h e f u n

thurmanworfolkgeometryhaloorbits

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