théorie des graphes (2)
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Theorie des graphes (2)
Michel Rigo
http://www.discmath.ulg.ac.be/
Annee 2015–2016
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Sous-graphe
&
Forte connexite
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Sous-graphe
Definition
Soit G = (V ,E ) un graphe (oriente ou non).Le graphe G ′ = (V ′,E ′) est un sous-graphe de G si
◮ V ′ ⊆ V ,
◮ E ′ ⊆ E ∩ (V ′ × V ′).
! Si on enleve un sommet v de G ,il faut enlever tous les arcs incidents a v .
Definition
G ′ est un sous-graphe propre de G si E ′ ( E ou V ′ ( V .
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Sous-graphe
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Sous-graphe
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Sous-graphe
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Sous-graphe
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Sous-graphe
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Sous-graphe
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Sous-graphe
Notation
◮ G − e sous-graphe G ′ de G obtenu en supprimant l’arc e,
◮ G − v sous-graphe G ′ obtenu en supprimant le sommet vet les arcs adjacents,
◮ G = G ′ + e graphe obtenu par adjonction a G ′ d’une arete,
◮ G = G ′ + v graphe obtenu par adjonction a G ′ d’un sommet.
Extension : si W = {v1, . . . , vk} ⊆ V , alors G −W est lesous-graphe
(· · · ((G − v1)− v2) · · · − vk−1)− vk := G − v1 − · · · − vk .
On procede de meme pour un ensemble fini d’arcs eton introduit la notation G − F pour F ⊂ E .
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Sous-graphe
Definition
W ⊆ V . Le sous-graphe de G induit par W estle sous-graphe G ′ = (W ,E ′) avec E ′ = E ∩ (W ×W ).
Definition
Si W ⊆ V est tel que le sous-graphe induit par W ne contientaucune arete, alors les sommets de W sont dits independants.
α(G) = nombre maximal de sommets independants de G
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Sous-graphe
Definition
Soient G = (V ,E ) un graphe et G ′ = (V ′,E ′) un sous-graphe.
G ′ est un sous-graphe couvrant G , si V ′ = V et si
∀v ∈ V ,∃z ∈ V : {z , v} ∈ E ′.
On dira que E ′ est une couverture (par des aretes) de G
i.e., tout sommet de G est une extremite d’une arete de E ′.
Notion duale : W ⊂ V est une couverture (par des sommets) sitoute arete a une extremite dans W .
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Sous-graphe
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Sous-graphe
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Sous-graphe
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Coupes, points d’articulation, k-connexite
Definition
Soit G = (V ,E ) un multi-graphe non oriente.
v est un point d’articulation, (cut vertex)si # comp. connexes de G − v > # comp. connexes de G .
Si G connexe et n’a aucun point d’articulation,alors G est au moins 2-connexe (pour les sommets).
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Coupes, points d’articulation, k-connexite
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Coupes, points d’articulation, k-connexite
Definition
multi-graphe connexe G = (V ,E )W ⊂ V ensemble d’articulation de G
si G −W n’est plus connexe ou reduit a un sommet.
κ(G)= taille minimale d’un ensemble d’articulation de G ,κ(Kn) = n − 1.
Definition
Pour un multi-graphe G non connexe,W est un ensemble d’articulationsi # comp. connexes de G −W > # comp. connexes de G .
κ(G) = 0 car non connexe.
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Coupes, points d’articulation, k-connexite
Terminologie
Si κ(G) = k ≥ 1, H est k -connexe (pour les sommets).
κ(G) = k :
◮ quels que soient les k −1 sommets supprimes, G reste connexe
◮ il est possible de supprimer k sommets “bien choisis”pourdisconnecter G (ou le rendre trivial).
G est au moins k -connexe : κ(G) ≥ k .
Remarque
Si G est au moins (k + 1)-connexe, alors il est au moins k -connexe
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Coupes, points d’articulation, k-connexite
Un graphe 2-connexe
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Coupes, points d’articulation, k-connexite
notion analogue pour les aretes
Definition
Soit G = (V ,E ) un multi-graphe non oriente.
e est une arete de coupure (bridge, cut-edge, isthmus)si # comp. connexes de G − e > # comp. connexes de G .
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Coupes, points d’articulation, k-connexite
Proposition
Une arete e est une arete de coupure du graphe H = (V ,E )SSI e n’appartient a aucune piste fermee de H .
⇒ Si e est une arete de coupure∃ sommets u et v connectes dans Hmais qui ne sont plus connectes dans H − e.
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Coupes, points d’articulation, k-connexite
Il existe un chemin joignant u et v qui passe par e.
e
e1
v u
e2
Dans H − e,une partie de ce chemin joint u a une extremite de e : e2l’autre partie du chemin joint v a l’autre extremite de e : e1.
P.A. Si e appartient a une piste fermee, il existe un cheminjoignant e1 a e2 et ne passant pas par e.u et v sont encore connectes dans H − e, impossible !
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Coupes, points d’articulation, k-connexite
Reciproque. Supposons que e = {e1, e2} n’est pas une arete decoupure.
H et H − e ont les memes composantes connexes.
❀ les extremites de e restent connectees dans H − e.
Ainsi, dans H , e appartient a une piste fermee.
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Coupes, points d’articulation, k-connexite
Definition
Soit G = (V ,E ) un multi-graphe non oriente connexe.
F ⊂ E est un ensemble de coupure, une coupe, une coupuresi F est un ensemble minimal (pour l’inclusion)tel que G − F n’est pas connexe.
λ(G) = taille minimale d’une coupe
On rencontre aussi la notation κ′(H ).
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Coupes, points d’articulation, k-connexite
Definition
Soit G = (V ,E ) un multi-graphe non oriente non connexe.
F ⊂ E est un ensemble de coupure, une coupe, une coupuresi F est un ensemble minimal (pour l’inclusion) tel que# comp. connexes de G − F > # comp. connexes de G .
On pose λ(G) = 0 car G non connexe.
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Coupes, points d’articulation, k-connexite
Definition
Si λ(G) = k ≥ 1 : H est k -connexe (pour les aretes).
λ(G) = k :
◮ quelles que soient les k − 1 aretes supprimees, G reste connexe
◮ il est possible d’enlever k aretes ”bien choisies”pour ledisconnecter.
G est au moins k -connexe (pour les aretes) : λ(G) ≥ k .
! k -connexite pour les sommets 6= k -connexite pour les aretes
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Coupes, points d’articulation, k-connexite
Probleme des sens uniques
Graphe non oriente connexe. On desire orienter ses aretes pourobtenir un graphe f. connexe.
Les aretes de coupure doivent necessairement etre remplacees pardeux arcs (pas de sens unique).
Les autres aretes appartiennent toutes a une piste fermee qu’il estaise d’orienter (creation de sens uniques).
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Coupes, points d’articulation, k-connexite
Un autre exemple
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Coupes, points d’articulation, k-connexite
Un autre exemple
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Theoreme de Robbins
On peut orienter un graphe connexe pour le rendre f. connexe SSIce graphe est au moins 2-connexe pour les aretes.
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Coupes, points d’articulation, k-connexite
κ(G) = 1 et λ(G) = 2 :
κ(G) = 1 et λ(G) = k :
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Coupes, points d’articulation, k-connexite
Meme avec un graphe simple : pas de lien entre λ(G) et κ(G).Ici, λ(G) = 4 et κ(G) = 1 :
Remarque
Si deg v = k , supprimer les k aretes incidentes a v isole v
λ(G) ≤ minv∈V
deg(v).
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Definition
Une clique d’un graphe non oriente et simple G = (V ,E ) est unsous-graphe complet de G .
La taille d’une clique est le nombre de sommets qui la composent.
ω(G) = taille maximale d’une clique de G .
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Theoreme(s) de Menger
Un autre resultat, pour information, sans preuve.
On considere des graphes simples non orientes— aucune difference pour des multi-graphes.
Definition
Soient un graphe G = (V ,E ) et u, v 2 sommets distincts de G .Un sous-ensemble S ⊆ V \ {u, v} separe u et v s’il n’existe aucunchemin joignant u et v dans le sous-graphe de G induit par V \ S .
Definition
Deux chemins joignant u et v sont independantssi les seuls sommets qu’ils ont en commun sont u et v .
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Theoreme(s) de Menger
Theoreme de Menger (1927)
Soient u, v deux sommets non adjacents d’un graphe connexe.La taille minimum d’un ensemble de sommets separant u et v
=
le nombre max. de chemins 2 a 2 independants joignant u et v .
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Theoreme(s) de Menger
u
v
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Theoreme(s) de Menger
u
v
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Theoreme(s) de Menger
u
v
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Theoreme(s) de Menger
u
v
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Theoreme(s) de Menger
u
v
1
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Theoreme(s) de Menger
u
v2
1
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Theoreme(s) de Menger
u
v2
3
1
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Theoreme(s) de Menger
Corollaire, Menger (1927)
Soit k ≥ 2.Un graphe G = (V ,E ) est au moins k -connexe (pour les sommets)
SSI
toute paire de sommets distincts de G est connectee par au moinsk chemins independants.
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Tri topologique
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Tri topologique
Algorithmique Théorie des graphes Analyse 1 Analyse 2 Analyse NumériqueCalculabilité
Algorithmique
Théorie des graphes
Calculabilité
Analyse 1
Analyse 2
Analyse Numérique
determiner une indexation des sommets d’un graphe oriente sans
cycle de maniere telle que s’il existe un arc de vi a vj , alors i < j .
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Tri topologique
MATH069-1
MATH0701-1 MATH071-1MATH072-1
MATH1472-1MATH0248-1
MATH0499-1 MATH2011-1
MECA4749-1
PHYS2002-3
MATH1203-1
MATH257-2 MATH247-4 MATH2006-2MATH0482-3
MATH0473-1 MATH0251-1MATH0474-1
MATH503-1
sous-graphe des prerequis, bachelier sc. math., 2015–2016
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Tri topologique
On peut se limiter au cas des graphes simples.
Lemme
Si un graphe simple (fini) oriente G = (V ,E ) est sans cycle,alors ∃ v tel que d−(v) = 0 (resp. d+(v) = 0).
Considerer un chemin simple (x1, . . . , xk ) de G de longueurmaximale determine par des sommets de G .
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Tri topologique
Proposition
Un graphe simple (fini) oriente G = (V ,E ) est sans cycle
SSI
∃v ∈ V tel que d−(v) = 0 et∀v tel que d−(v) = 0, le graphe G − v est sans cycle.
⇒ Decoule du lemme precedent.
⇐ Soit v un sommet tel que d−(v) = 0.Par hypothese, G − v est sans cycle.
Si G possede un cycle, ce dernier doit passer par v .Si un cycle passe par v , d−(v) ≥ 1. Impossible !
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Tri topologique
Algorithme permettant de decider si un graphe est sans cycle.Tant qu’il existe v ∈ V tel que d−(v)=0,G:=G − v
Si G=∅alors sortie : "oui, G sans cycle"
sinon sortie : "non, G possede un cycle"
Complexite
Une implementation a l’aide de listes d’adjacence,pour detecter v t.q. d−(v) = 0, on parcourt l’ensemble du graphe.
Un tel parcours est effectue a chaque etape de la boucle.
❀ Complexite quadratique en #E +#V .
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Tri topologique
Theoreme
Un graphe simple (fini) oriente G = (V ,E ) est sans cycle SSIil est possible d’enumerer les sommets de V = {v1, . . . , vn} t.q.∀i = 1, . . . ,n, le demi-degre entrant de vi restreint au grapheGi = G − v1 − · · · − vi−1 soit nul : d−
Gi(vi ) = 0.
⇒ Supposons G sans cycle.Par le lemme ..., ∃v1 de G = G1 tel que d−(v1) = d−
G1(v1) = 0.
Par la prop..., G1 − v1 = G2 est sans cycle.Par le lemme ..., ∃v2 tel que d−
G2(v2) = 0.
...De proche en proche, on obtient l’enumeration proposee.
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Tri topologique
⇐ Supposons disposer d’une enumeration des sommets ayant lesproprietes indiquees. Procedons par recurrence.
Gn est restreint a l’unique sommet vn : sans cycle.
Gn−1 contient les sommets vn et vn−1 et d−
Gn−1(vn−1) = 0.
Gn−1 possede au mieux un arc de vn−1 a vn : sans cycle.
Appliquons ce raisonnement pour une etape i quelconque.
Si le graphe Gi+1 est sans cycle,alors Gi se compose du graphe Gi+1 auquel on ajoute viet eventuellement des arcs de vi vers les sommets de Gi+1.On en conclut que Gi est sans cycle.
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Tri topologique
Algorithme base sur le thm.
La variable d associee a chaque sommet stocke le demi-degreentrant (du graphe envisage au moment de la construction).
Pour tout v ∈ V , initialiser d(v)=0Pour tout v ∈ V ,
Pour tout w ∈ succ(v), d(w)=d(w)+1aTraiter := ∅nbSommet := 0Pour tout v ∈ V ,
Si d(v) = 0, alors
aTraiter=aTraiter∪{v}nbSommet:=nbSommet+1
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Tri topologique
Tant que aTraiter 6= ∅, faire
Soit v, le premier element de aTraiter
Enumerer/Print v
aTraiter := aTraiter \{v}Pour tout w ∈ Succ(v), faire
d(w)=d(w)-1si d(w)=0, alors
aTraiter=aTraiter∪{w}nbSommet := nbSommet+1
Si nbSommet=#V
alors sortie : "oui, G sans cycle"
sinon sortie : "non, G possede un cycle"
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Tri topologique
Definition
Soit G = (V ,E ) un graphe simple oriente.Un tri topologique de G est une enumeration v1, . . . , vn de V t.q.si (vi , vj ) est un arc de G , alors i < j .
Theoreme
Un graphe simple oriente admet un tri topologiqueSSI il est sans cycle.
Si un graphe possede un cycle, alors quelle que soit l’enumerationde ses sommets, il ne peut s’agir d’un tri topologique.
Si un graphe est sans cycle, alors une enumeration de ses sommetsdonnant lieu a un tri topologique est donnee par le thm. precedent.
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Tri topologique
Remarque
Il n’y a pas qu’un seul tri topologique pour un graphe donneG = (V ,E ). En effet, si on denote par
S (G) = {v ∈ V | d−(v) = 0}
l’ensemble des sources de G , alors l’ensemble des tris topologiquesde G est donne par la formule recursive suivante
Π(G) =⋃
v∈S(G)
{v .σ | σ ∈ Π(G − v)}
ou σ est un tri topologique de G − v et ou v .σ designel’enumeration des sommets de G en debutant par v puis en suivantl’enumeration prescrite par σ.
![Page 57: Théorie des graphes (2)](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020623/61f24252d72ae556d978a783/html5/thumbnails/57.jpg)
Arbres
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Arbres
Definition
Un arbre est un graphe simple non orienteconnexe et sans cycle (i.e., sans circuit simple)
Une foret est un graphe simple non oriente dontchaque composante connexe est un arbre.
Un arbre A = (V ,E ) n-aire est t.q.pour tout sommet v ∈ V , deg(v) ≤ n.
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Arbres
Dans un arbre :
◮ Toute paire de sommets distincts de G est connectee parexactement un chemin simple.
◮ Les aretes d’un arbre sont toutes des aretes de coupure.
◮ Soit e ∈ (V × V ) \ E qui n’est pas une boucle. Le grapheG + e contient une piste fermee, c’est-a-dire, G + e n’est plusun arbre.
Reciproquement, un graphe connexe dont toutes les aretes sont desaretes de coupure est un arbre.
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Arbres
Lemme
Tout arbre non trivial (non reduit a un sommet) contientun sommet de degre 1.
❀ Si un graphe connexe est tel que tout sommet est de degre ≥ 2,alors ce graphe contient un cycle.
Lemme
Si A = (G ,V ) est un arbre, alors #V = #E + 1.
Preuve par recurrence sur #V .OK pour #V = 1 (graphe trivial) ou #V = 2 (K2).
Si OK pour n, est-ce OK pour n + 1 ?A possede un sommet v de degre 1, le graphe A− v est encore unarbre et on applique l’hypothese de recurrence.
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Arbres
Proposition
Un graphe est connexe SSI il possede un sous-arbre couvrant.
⇐ Clair.
⇒ Soient G = (V ,E ) un graphe connexe et C = (V ,E ′) unsous-graphe couvrant connexe minimal (i.e., on ne peut pasremplacer E ′ par un sous-ensemble strict et garder la connexite).
Vu la minimalite de C , chacune de ses aretes est une arete de
coupure de C . ❀ C est un arbre.
Corollaire
Si G = (V ,E ) est un graphe (simple non oriente) connexe, alors#E ≥ #V − 1.
G possede un sous-arbre couvrant C = (V ,E ′). De la, il vient
#E ≥ #E ′ = #V − 1
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SpanningTree(G)
1 Choose a vertex v ;2 Component ← {v} ; New ← {v} ; Edges ← ∅ ;3 while New 6= ∅,4 do Neighbors ← ∅ ;5 for all u ∈ New ,6 do Neighbors ← Neighbors ∪ ν(u) ;7 New ← Neighbors \ Component ;8 for all v ∈ New ,9 do choose an edge {u, v} with u ∈ Component ;
10 Edges ← Edges ∪ {{u, v}} ;11 Component ← Component ∪New ;12 if Component 6= V (G)13 then return ’Error : G is not connected’ ;14 else return (Component ,Edges) ;
![Page 63: Théorie des graphes (2)](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020623/61f24252d72ae556d978a783/html5/thumbnails/63.jpg)
Si on dispose d’un graphe connexe ponderee
❀ recherche d’un sous-arbre couvrant de poids minimum
◮ Algorithme de Prim (meme philosophie que Dijkstra)Jarnık–Prim–Dijkstra algorithm
◮ Algorithme de Kruskal
◮ ...
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Arbres
Definition
Un arbre A = (V ,E ) avec un sommet privilegie v0 estun arbre pointe : (A, v0) et v0 est la racine de l’arbre.
sommets de A ordonnes selon leur distance a v0.Si d(v0, v) = i v est un sommet de niveau i .
v0
1
2
4
3
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Arbres
Definition
Si v est un sommet de niveau i et si tous ses voisins sont deniveau i − 1, on dit alors que v est une feuille de l’arbre.
La hauteur d’un arbre est le niveau maximal de ses feuilles.
Definition
Pointer un arbre definit une orientation des aretes :orienter les arcs de facon a ce qu’ils joignent les sommets de niveaui aux sommets de niveau i + 1.
fils (resp. pere) d’un noeud v : ses successeurs(resp. son unique predecesseur).
descendants (resp. ancetres) de v : les elements de succ∗(v)(resp. pred∗(v)).
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Arbres
Definition
Un arbre pointe est k -aire si tout sommet a au plus k fils.
Si k = 2, on parle d’arbre binaire.
Un arbre k -aire de hauteur n possede au plus
1 + k + · · ·+ kn =kn − 1
k − 1
sommets. S’il en possede exactement ce nombre, on parle d’arbrek -aire complet.
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Parcours d’arbres
ordonner les noeuds : on suppose que les fils d’un noeud vi sontordonnes vi ,1, . . . , vi ,ki .Cet ordre est connu et fixe une fois pour toutes.
Parcours en profondeur
◮ parcours prefixe : d’abord la racine puis, de maniere recursive,les sous-arbres pointes de racine respective v0,1, . . . , v0,k0 .
◮ parcours suffixe : d’abord, de maniere recursive, les sous-arbrespointes de racine v0,1, . . . , v0,k0 , puis la racine v0.
◮ parcours infixe (arbre binaire) : d’abord, de maniere recursive,le sous-arbre de gauche, puis la racine, et enfin le sous-arbrede droit (Si un sommet n’a qu’un seul fils : sous-arbre dedroite vide).
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Parcours d’arbres
parcours prefixe
d’abord la racine puis, de maniere recursive, les sous-arbres pointes
g h i j k
fed
b
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c
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Parcours d’arbres
parcours prefixe
d’abord la racine puis, de maniere recursive, les sous-arbres pointes
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Parcours d’arbres
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d’abord la racine puis, de maniere recursive, les sous-arbres pointes
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Parcours d’arbres
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Parcours d’arbres
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Parcours d’arbres
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d’abord la racine puis, de maniere recursive, les sous-arbres pointes
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Parcours d’arbres
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Parcours d’arbres
parcours prefixe
d’abord la racine puis, de maniere recursive, les sous-arbres pointes
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Parcours d’arbres
parcours suffixe
d’abord, de maniere recursive, les sous-arbres pointes de racinev0,1, . . . , v0,k0 , puis la racine v0.
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Parcours d’arbres
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d’abord, de maniere recursive, les sous-arbres pointes de racinev0,1, . . . , v0,k0 , puis la racine v0.
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Parcours d’arbres
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d’abord, de maniere recursive, les sous-arbres pointes de racinev0,1, . . . , v0,k0 , puis la racine v0.
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Parcours d’arbres
parcours suffixe
d’abord, de maniere recursive, les sous-arbres pointes de racinev0,1, . . . , v0,k0 , puis la racine v0.
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parcours suffixe
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d’abord, de maniere recursive, les sous-arbres pointes de racinev0,1, . . . , v0,k0 , puis la racine v0.
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d’abord, de maniere recursive, les sous-arbres pointes de racinev0,1, . . . , v0,k0 , puis la racine v0.
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Parcours d’arbres
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d’abord, de maniere recursive, les sous-arbres pointes de racinev0,1, . . . , v0,k0 , puis la racine v0.
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Parcours d’arbres
parcours suffixe
d’abord, de maniere recursive, les sous-arbres pointes de racinev0,1, . . . , v0,k0 , puis la racine v0.
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parcours suffixe
d’abord, de maniere recursive, les sous-arbres pointes de racinev0,1, . . . , v0,k0 , puis la racine v0.
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d’abord, de maniere recursive, les sous-arbres pointes de racinev0,1, . . . , v0,k0 , puis la racine v0.
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Parcours d’arbres
parcours suffixe
d’abord, de maniere recursive, les sous-arbres pointes de racinev0,1, . . . , v0,k0 , puis la racine v0.
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Parcours d’arbres
parcours suffixe
d’abord, de maniere recursive, les sous-arbres pointes de racinev0,1, . . . , v0,k0 , puis la racine v0.
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![Page 100: Théorie des graphes (2)](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020623/61f24252d72ae556d978a783/html5/thumbnails/100.jpg)
Parcours d’arbres
parcours suffixe
d’abord, de maniere recursive, les sous-arbres pointes de racinev0,1, . . . , v0,k0 , puis la racine v0.
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Parcours d’arbres
parcours suffixe
d’abord, de maniere recursive, les sous-arbres pointes de racinev0,1, . . . , v0,k0 , puis la racine v0.
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Parcours d’arbres
parcours suffixe
d’abord, de maniere recursive, les sous-arbres pointes de racinev0,1, . . . , v0,k0 , puis la racine v0.
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Parcours d’arbres
parcours suffixe
d’abord, de maniere recursive, les sous-arbres pointes de racinev0,1, . . . , v0,k0 , puis la racine v0.
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Parcours d’arbres
parcours infixe
d’abord, de maniere recursive, le sous-arbre de gauche, puis laracine, et enfin le sous-arbre de droit (Si un sommet n’a qu’un seulfils : sous-arbre de droite vide).
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![Page 105: Théorie des graphes (2)](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020623/61f24252d72ae556d978a783/html5/thumbnails/105.jpg)
Parcours d’arbres
parcours infixe
d’abord, de maniere recursive, le sous-arbre de gauche, puis laracine, et enfin le sous-arbre de droit (Si un sommet n’a qu’un seulfils : sous-arbre de droite vide).
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Parcours d’arbres
parcours infixe
d’abord, de maniere recursive, le sous-arbre de gauche, puis laracine, et enfin le sous-arbre de droit (Si un sommet n’a qu’un seulfils : sous-arbre de droite vide).
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Parcours d’arbres
parcours infixe
d’abord, de maniere recursive, le sous-arbre de gauche, puis laracine, et enfin le sous-arbre de droit (Si un sommet n’a qu’un seulfils : sous-arbre de droite vide).
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Parcours d’arbres
parcours infixe
d’abord, de maniere recursive, le sous-arbre de gauche, puis laracine, et enfin le sous-arbre de droit (Si un sommet n’a qu’un seulfils : sous-arbre de droite vide).
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Parcours d’arbres
parcours infixe
d’abord, de maniere recursive, le sous-arbre de gauche, puis laracine, et enfin le sous-arbre de droit (Si un sommet n’a qu’un seulfils : sous-arbre de droite vide).
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Parcours d’arbres
parcours infixe
d’abord, de maniere recursive, le sous-arbre de gauche, puis laracine, et enfin le sous-arbre de droit (Si un sommet n’a qu’un seulfils : sous-arbre de droite vide).
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Parcours d’arbres
parcours infixe
d’abord, de maniere recursive, le sous-arbre de gauche, puis laracine, et enfin le sous-arbre de droit (Si un sommet n’a qu’un seulfils : sous-arbre de droite vide).
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Parcours d’arbres
parcours infixe
d’abord, de maniere recursive, le sous-arbre de gauche, puis laracine, et enfin le sous-arbre de droit (Si un sommet n’a qu’un seulfils : sous-arbre de droite vide).
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Parcours d’arbres
parcours infixe
d’abord, de maniere recursive, le sous-arbre de gauche, puis laracine, et enfin le sous-arbre de droit (Si un sommet n’a qu’un seulfils : sous-arbre de droite vide).
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Parcours d’arbres
parcours infixe
d’abord, de maniere recursive, le sous-arbre de gauche, puis laracine, et enfin le sous-arbre de droit (Si un sommet n’a qu’un seulfils : sous-arbre de droite vide).
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Parcours d’arbres
parcours infixe
d’abord, de maniere recursive, le sous-arbre de gauche, puis laracine, et enfin le sous-arbre de droit (Si un sommet n’a qu’un seulfils : sous-arbre de droite vide).
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Parcours d’arbres
parcours infixe
d’abord, de maniere recursive, le sous-arbre de gauche, puis laracine, et enfin le sous-arbre de droit (Si un sommet n’a qu’un seulfils : sous-arbre de droite vide).
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Parcours d’arbres
parcours infixe
d’abord, de maniere recursive, le sous-arbre de gauche, puis laracine, et enfin le sous-arbre de droit (Si un sommet n’a qu’un seulfils : sous-arbre de droite vide).
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Parcours d’arbres
parcours infixe
d’abord, de maniere recursive, le sous-arbre de gauche, puis laracine, et enfin le sous-arbre de droit (Si un sommet n’a qu’un seulfils : sous-arbre de droite vide).
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Parcours d’arbres
parcours infixe
d’abord, de maniere recursive, le sous-arbre de gauche, puis laracine, et enfin le sous-arbre de droit (Si un sommet n’a qu’un seulfils : sous-arbre de droite vide).
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Parcours d’arbres
parcours infixe
d’abord, de maniere recursive, le sous-arbre de gauche, puis laracine, et enfin le sous-arbre de droit (Si un sommet n’a qu’un seulfils : sous-arbre de droite vide).
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Parcours d’arbres
parcours infixe
d’abord, de maniere recursive, le sous-arbre de gauche, puis laracine, et enfin le sous-arbre de droit (Si un sommet n’a qu’un seulfils : sous-arbre de droite vide).
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Parcours d’arbres
parcours infixe
d’abord, de maniere recursive, le sous-arbre de gauche, puis laracine, et enfin le sous-arbre de droit (Si un sommet n’a qu’un seulfils : sous-arbre de droite vide).
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Parcours d’arbres
Parcours en largeur
parcours en largeur : parcours des noeuds de l’arbre pointe parniveau croissant.
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a, b, c, . . . , k , l .
![Page 124: Théorie des graphes (2)](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020623/61f24252d72ae556d978a783/html5/thumbnails/124.jpg)
Parcours d’arbres
Remarque
Soit G = (V ,E ) un graphe (oriente ou non) simple et connexe.Un parcours en profondeur de G est defini recursivement.
Selectionner un sommet v0.A l’etape k ≥ 1, choisir un voisin de vk−1 qui n’a pas encore eteselectionne.Si un tel voisin n’existe pas, on cherche dans l’ordre, un voisin nonselectionne de vk−2, . . . , v0.
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Figure : Un labyrinthe