thomas calculus 11ed(tr) -1

C A L C U L U S T H O M A S
O N B ‹ R ‹ N C ‹ B A S K I
George B.Thomas, Jr.
ISBN 978 - 605 - 377 - 068 - 8
Authorized translation from the English language edition, entitled THOMAS’ CALCULUS, 11th Edition by THOMAS, GEORGE B.; WEIR, MAURICE D.; HASS, JOEL; GIORDANO, FRANK R., published by Pearson Education, Inc, publishing as Addison-Wesley, Copyright © 2005
TURKISH language edition published by BETA BASIM YAYIM DAITIM A.S. Copyright © 2009
All rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording or by any information storage retrieval system, without permission from Pearson Education, Inc.
Copyright© 2009 Bu kitabn Türkiye’deki yayn haklar BETA Basm Yaym Datm A..’ye aittir. Her hakk sakldr. Hiçbir bölümü ve paragraf ksmen veya tamamen ya da özet halinde, fotokopi, faksimile, taranarak, internet ortamnda elektronik posta ile herhangi bir ekilde çoaltlamaz, datlamaz. Normal ölçüyü aan iktibaslar yaplamaz. Normal ve kanunî iktibaslarda kaynak gösterilmesi zorunludur.
Dizgi : B e t a B a s m A . . Sayfa Düzenleme : Gülgonca Çarpk Bask - Cilt : Kahraman Neriyat Ofset San. Tic. Ltd. ti. (Sertifika No: 12084)
Yüzyl Mah. Matbaaclar Cad. Atahan No: 34 K: 4 Baclar/stanbul (0-212) 629 00 01
Beta BASIM YAYIM DAITIM A.. Himaye-i Etfal Sokak Talas Han No. 13-15 Caalolu - STANBUL

1 Önbilgiler 1
1.1 Reel Saylar ve Reel Doru 1 1.2 Dorular, Çemberler ve Paraboller 9 1.3 Fonksiyonlar ve Grafikleri 19 1.4 Fonksiyonlar Tanmlamak; Matematik Modeller 28 1.5 Fonksiyonlar Birletirmek; Grafikleri Kaydrmak ve Ölçeklemek 38 1.6 Trigonometrik Fonksiyonlar 48 1.7 Hesap Makinesi ve Bilgisayarla Grafik Çizmek 59
TEKRAR SORULARI 68 PROBLEMLER 69 EK VE LER ALITIRMALAR 71
2 Limitler ve Süreklilik 73
2.1 Deiim Oranlar ve Limitler 73 2.2 Limit Kurallarn Kullanarak Limitler Hesaplamak 84 2.3 Bir Limitin Kesin Tanm 91 2.4 Tek Tarafl Limitler ve Sonsuzda Limitler 102 2.5 Sonsuz Limitler ve Dikey Asimptotlar 115 2.6 Süreklilik 124 2.7 Teetler ve Türevler 134
3 Türev 147
3.1 Bir Fonksiyon Olarak Türev 147 3.2 Türev Alma Kurallar 159
iii

3.3 Bir Deiim Oran Olarak Türev 171 3.4 Trigonometrik Fonksiyonlarn Türevleri 183 3.5 Zincir Kural ve Parametrik Denklemler 190 3.6 Kapal Türetme 205 3.7 likili Oranlar 213 3.8 Lineerizasyon ve Diferansiyeller 221
4 Türev Uygulamalar› 244
4.1 Fonksiyonlarn Ekstremum Deerleri 244 4.2 Ortalama Deer Teoremi 255 4.3 Monon Fonksiyonlar ve Birinci Türev Testi 262 4.4 Konkavlk ve Eri Çizimi 267 4.5 Uygulamal Optimizasyon Problemleri 278 4.6 Belirsiz ekiller ve L’Hôpital Kural 292 4.7 Newton Yöntemi 299 4.8 Ters Türevler 307
5 ‹ntegrasyon 325
5.1 Sonlu Toplamlarla Tahminde Bulunmak 325 5.2 Toplam Notasyonu ve Sonlu Toplamlarn Limitleri 335 5.3 Belirli ntegral 343 5.4 Analizin Temel Teoremi 356 5.5 Belirsiz ntegraller ve Dönüüm Kural 368 5.6 Deiken Dönüümü ve Eriler Arasndaki Alan 376
6 Belirli ‹ntegrallerin Uygulamalar› 396
6.1 Dilimleyerek Hacim Bulmak ve Bir Eksen Etrafnda Dönme 396 6.2 Silindirik Kabuklarla Hacim Bulmak 409 6.3 Düzlem Erilerin Uzunluklar 416 6.4 Momentler ve Kütle Merkezleri 424 6.5 Dönel Yüzey Alanlar ve Pappus Teoremleri 436 6.6 447 6.7 Akkan Basnçlar ve Kuvvetleri 456
iv ‹çindekiler
7 Transandant Fonksiyonlar 466
7.1 Ters Fonksiyonlar ve Türevleri 466 7.2 Doal Logaritmalar 476 7.3 Üstel Fonksiyon 486 7.4 ve log 495 7.5 Üstel Büyüme ve Bozunma 502 7.6 Bal Büyüme Oranlar 511 7.7 Ters Trigonometrik Fonksiyonlar 517 7.8 Hiperbolik Fonksiyonlar 535
8 ‹ntegrasyon Teknikleri 553
8.1 Temel ntegrasyon Formülleri 553 8.2 Ksmi ntegrasyon 561 8.3 Rasyonel Fonksiyonlarn Ksmi Kesirlerle ntegrasyonu 570 8.4 Trigonometrik ntegraller 581 8.5 Trigonometrik Dönüümler 586 8.6 Integral Tablolar ve Bilgisayar Cebir Sistemleri 593 8.7 Saysal ntegrasyon 603 8.8 Genelletirilmi ntegraller 619
9 Integrasyonun Di¤er Uygulamalar› 642
9.1 Eim Alanlar ve Ayrlabilir Diferansiyel Denklemler 642 9.2 Birinci Mertebe Lineer Diferansiyel Denklemler 650 9.3 Euler Yöntemi 659 9.4 Otonom Diferansiyel Denklemlerin Grafik Çözümleri 665 9.5 Birinci Mertebe Diferansiyel Denklemlerin Uygulamalar 673
a xa x
10.1 Konik Kesitler ve Kuadratik Denklemler 685 10.2 Konik Kesitleri Dmerkezliklerine Göre Snflandrmak 697 10.3 Kuadratik Denklemler ve Dönmeler 702 10.4 Konikler ve Parametrik Denklemler; Sikloid 709 10.5 Kutupsal Koordinatlar 714 10.6 Kutupsal Koordinatlarda Grafik Çizmek 719 10.7 Kutupsal Koordinatlarda Alanlar ve Uzunluklar 725 10.8 Kutupsal Koordinatlarda Konik Kesitler 732
11 Konik Kesitler ve Kutupsal Koordinatlar 746
11.1 Diziler 747 11.2 Sonsuz Seriler 761 11.3 ntegral Testi 772 11.4 Karlatrma Testleri 777 11.5 Oran ve Kök Testleri 781 11.6 Alterne Seriler, Mutlak ve Koullu Yaknsaklk 787 11.7 Kuvvet Serileri 794 11.8 Taylor ve Maclaurin Serileri 805 11.9 Taylor Serisinin Yaknsakl; Hata Tahmini 811 11.10 Kuvvet Serilerinin Uygulamalar 822 11.11 Fourier Serileri 833
12 Vectörler ve Uzayda Geometri 848
12.1 Üç Boyutlu Koordinat Sistemleri 848 12.2 Vektörler 853 12.3 Nokta Çarpm (Skaler Çarpm) 862 12.4 Vektörel Çarpm 873 12.5 Uzayda Dorular ve Düzlemler 880 12.6 Silindirler ve Kuadrik Yüzeyler 889
vi ‹çindekiler
13 Vektör-De¤erli Fonksiyonlar ve Uzayda Hareket 906
13.1 Vektör Fonksiyonlar 906 13.2 At Hareketini Modellemek 920 13.3 Yay Uzunluu ve Birim Teet Vektör T 931 13.4 Erilik ve Birim Normal Vektör N 936 13.5 Burulma ve Birim Binormal Vektör B 943 13.6 Gezegen Hareketi ve Uydular 950
14 K›smi Türevler 965
14.1 Çok Deikenli Fonksiyonlar 965 14.2 Yüksek Boyutlarda Limitler ve Süreklilik 976 14.3 Ksmi Türevler 984 14.4 Zincir Kural 996 14.5 Dorultu Türevleri ve Gradiyent Vektörler 1005 14.6 Teet Düzlemler ve Diferansiyeller 1015 14.7 Ekstremum Deerler ve Eyer Noktalar 1027 14.8 Lagrange Çarpanlar 1038 14.9 Kstlanm Deikenlerle Ksmi Türevler 1049 14.10 ki Deiken çin Taylor Formülü 1054
15 Katl› ‹ntegraller 1067
15.1 ki Katl ntegraller 1067 15.2 Alan, Momentler ve Kütle Merkezleri 1081 15.3 Kutupsal Formda ki Katl ntegraller 1092 15.4 Kartezyen Koordinatlarda Üç Katl ntegraller 1098 15.5 Üç Boyutta Kütle ve Momentler 1109 15.6 Silindirik ve Küresel Koordinatlarda Üç katl ntegraller 1114 15.7 Çok Katl ntegrallerde Deiken Dönüümü 1128
‹çindekiler vii
16 Vektör Alanlar›nda ‹ntegrasyon 1143
16.1 Erisel ntegraller 1143 16.2 Vektör Alanlar, , Dolam ve Ak 1149 16.3 Yoldan Bamszlk, Potansiyel Fonksiyonlar ve Korunmal Alanlar 1160 16.4 Düzlemde Green Teoremi 1169 16.5 Yüzey Alan ve Yüzey ntegralleri 1182 16.6 Parametrize Yüzeyler 1192 16.7 Stokes Teoremi 1201 16.8 Diverjans Teoremi ve Bir Birletirilmi Teori 1211
Ekler EK-1
A.1 Matematik ndüksiyon EK-1 A.2 Limit Teoremlerinin spatlar EK-4 A.3 Sk Karlalan Limitler EK-7 A.4 Reel Saylarn Teorisi EK-9 A.5 Kompleks Saylar EK-12 A.6 Vectörel Çarpm çin Dalma Kurallar EK-22 A.7 Kark Türev Teoremi ve Artma Teoremi EK-23 A.8 Bir Paralelkenarn Bir Düzlem Üzerine zdüümünün Alan EK-28 A.9 Temel Cebir, Geometri, ve Trigonometri Formülleri EK-29
Cevaplar C-1
‹ndeks ‹-1
Krediler K-1
viii ‹çindekiler
Önsöz
G‹R‹fi Thomas Calculus’un 11.basmnn hazrlanmasnda önceki basmlarn tarzn ve gücünü yakalamaya çaltk. Amacmz, birçok kullancmz ve eletirmenimizi dikkatlice dinleyerek Thomas Calculus’un klasik basmlarnn en iyi özelliklerini tekrar ziyeret etmek oldu. Aklmzdaki bu yüksek standartlarla, altrmalar yeniden kurduk ve baz zor konular aydnlattk. George Thomas’n sözleri ile ‘‘Kitab, olabilecei kadar açk ve kesin olarak yazmaya çaltk’’. Ek olarak, daha mantkl ve standart müfredat program ile ayn hizada olmas için içerii yeniden yaplandrdk. Geriye bakmakla, mühendisler ve bilim adamlar için kullanl ve çekici bir calculus metni hazrlamakta bize yardmc ola- cak çok ey örendik.
On birinci basmda metin, örenciye sadece calculus’un yöntemlerini ve uygulamalarn deil ayrca bir matematiksel düünme yolu da tantr. Altrmalardan örneklere kav- ramlar gelitiren ve teoriyi okunabilir bir lisanla aça çkaran anlatma, bu kitap matematiksel fikirleri düünme ve iletme hakkndadr. Calculus, matematiin anahtar örneklerinden bir çounu içerir ve fiziksel ve matematiksel konular hakknda doru ve mantkl bir yolla nasl düünüleceinin gerçek balangçlarn iaret eder
Materyale hakim olmalar ve gücünü kullanmak için gerekli matematiksel olgunlua ulamalar için örencilere yardm etmeyi deniyoruz. Derin bir bilgiden gelen kavraylar gayrete deerdir. Bu kitab tamamlayan örencilerin , bilimde ve mühendislikte bir çok uygulamaya calculus kavramlarn uygulamak için ihtiyaç duyulan, matematiksel lisan konusunda oldukça bilgi edinmi olmalar gerekir. Ayrca, diferansiyel denklemler, lineer cebir ve ileri analiz derslerine iyi bir ekilde hazrlanm olmalar gerekir.
Onbirinci Bas›mdaki De¤ifliklikler
ALIfiTIRMALAR Altrmalar ve örnekler calculus örenmede çok önemli bir rol oynarlar. Thomas Calculus’un önceki basmlarnda yer alan ve o basmlarn muazzam gücünü olu- tan altrmalardan bir çounu bu yeni basma dahil ettik. Her bölümde, hesaplamal prob- lemlerden uygulamal ve teorik problemlere ilerleyen altrmalar konulara göre düzenle- dik ve grupladk. Bu düzenleme örencilere, calculus yöntemlerini kullanma becerilerini gelitirme ve deerlendirmelerini derinletirmenin yannda calculus uygulamalarn ve mantkl matematiksel yaplarn anlamalar frsatn verir.
ÖZEN Özen seviyesi, önceki basmlarla karlatrldnda batan sona daha tutarldr. kisi arasndaki fark ortaya koymak için hem biçimsel ve hem de biçimsel olmayan tart- malar verdik. Ayrca, kesin tanmlar ve örencilerin anlayabilecei ispatlar dahil ettik. Metin, materiyalin gayri resmi olarak anlalabilecei ekilde düzenlenmitir. Bu, öret-
ix

mene önemli derecede bir esneklik salar. Örnein, kapal ve snrl bir aralkta sürekli olan bir fonksiyonun bu aralkta bir maksimumunun bulunduunu ispat etmediimiz halde bu teoremi çok dikkatli bir ekilde ifade ettik ve takip eden çeitli sonuçlar ispat etmek için bunu kullandk. Bundan baka, limitlerle ilgili bölüm, açkla ve kesinlie kar bü- yük bir dikkatle önemli ölçüde yeniden düzenlenmitir. Önceki basmlarda olduu gibi limit kavram yine bir eriye üzerindeki bir noktada teet olan dorunun eimini elde etme fikri ile motive edilmektedir.
‹ÇER‹K Bu basmn hazrl srasnda, Thomas Calculus’un önceki basmlarnn kullan- clar ve eletirmenlerimizin önerilerine ve yorumlarna önemli ölçüde dikkat sarf ettik. Bu, baz bölümlerde büyük revizyonlara ve deiikliklere yol açt.
• Önbilgiler Bölüm 1’i, temel fonksiyonlarn ksa bir incelemesi olarak tekrar yazdk. Bir çok eitimcinin bu bölümü atlamay seçebilecek olmasna ramen, bölüm örenciye kolay bir referans ve inceleme olana sunar, notasyonu standart hale geti- rir ve altyap materyali olarak nelerin kabul edildiine iaret eder. Ayrca birçok ö- rencinin, bir hesap makinesine veya bilgisayara bir fonksiyonun grafiini vermesi konusunda tam olarak güvenmedeki tuzaklar gibi, görmemi olabilecei baz yardmc materyal içerir.
• Limitler Bölüm 2’de içerilenler, limitlerin epsilon-delta tanmlar, birçok teoremin ispat, sonsuzda limitler ve sonsuz limitlerdir (ve bunlarn bir grafiin asimptotlar ile ilikileri).
• Ters türevler Türev ve önemli uygulamalarn, bütünlüü salayan ters türev kavram ile sonuçlanan Bölüm3 ve Bölüm 4’te verdik.
• ntegrasyon Çeitli sonlu toplam örneklerini tarttktan sonra Bölüm 5’te, erinin altndaki alan, geleneksel çerçevesi içinde belirli integrali tanttk. Türevleri ve ters tü- revleri birbirine balayan Analizin Temel Teoremini iledikten sonra, integrasyon için Deiken Dönüümü’nün yannda belirsiz integrali tanttk. Bunlar, belirli integralin uygulamalar hakkndaki allm bölüm takip eder.
• ntegrasyon Teknikleri ntegrasyonun, saysal integrasyonu da içeren temel teknikleri Bölüm 8’de verilmektedir. Bunlar, bir integral olarak doal logaitmay ve onun tersi olarak üstel fonksiyonu tanmladmz transandant fonksiyonlarn tant- mn takip etmektedirler.
• Diferansiyel denklemler Temel diferansiyel denklemlerin çözümleri hakkndaki materiyalin önemli ksm, imdi tek bir bölümde, Bölüm 9’da düzenlenmitir. Bu dü- zenleme, bu konularn kavranmas açsndan eitimcilere önemli ölçüde esneklik salar.
• Konikler Birçok kullancnn istei üzerine, konik kesitler hakkndaki Bölüm 10 tamamen yenilendi. Bu bölüm ayrca, parabollerin, hiperbollerin ve sicloidlerin pa- rametrizasyonlarn vererek parametrik denklemler hakkndaki materyali tamamlar.
• Seriler Bölüm 11’de, dokuzuncu basmda gözüken, serilerin yaknsaklk testleri- nin daha bütün bir geliimini yeniden düzenledik. Ayrca, bölümün sonuna (atlana- bilecek olan) Fourier serilerini tantan ksa bir bölüm ekledik.
• Vektörler Temel cebirsel ve geometrik fikirlerin tekrarndan kaçnmak için, iki ve üç boyutlu vektörlerin ilenmesini tek bir bölümde Bölüm 12’de birletirdik. Bu ta- ntm, düzlemde ve uzayda vektör-deerli fonksiyonlar hakkndaki bir bölüm takip etti.
• Reel saylar Calculus’a uyglanmasndan dolay Reel saylar teorisi hakknda ksa ve yeni bir ek yazdk
x Önsöz
y
x
2 y R( y)
Önsöz xi
fiEK‹L 6.13, sayfa 403 Burada üretilen dönel cismin dik-kesiteri diskler deil pullardr.

G‹R‹fi Bu bölüm analize balamak için bilmeniz gereken temel konular tekrar eder. Bu konular reel say sistemi, düzlemde kartezyen koordinatlar, düz çizgiler, paraboller, çem- berler, fonksiyonlar ve trigonometridir.
1
Bu bölümde reel saylarn, eitsizliklerin, aralklarn ve mutlak deerlerin tekrar yapl- maktadr.
Reel Say›lar
Analizin büyük bir bölümü reel say sisteminin özellikleri üzerine kurulmutur.Reel saylar, ondalk say olarak ifade edilebilen saylardr; örnein
Saylarn sonlarndaki üç nokta ondalk basamak dizisinin sonsuza kadar devam ettii- ni gösterir. Her ondalk açlm bir reel sayy temsil eder, baz saylarn iki temsili olsa da- hi. Örnein ve sonsuz ondalk açlmlar 1 reel saysn temsil ederler. Benzer ifade ondalk açlm eklinde olan her say için geçerlidir.
Reel saylar goemetrik olarak reel doru diye adlandrlan bir say dorusunun üze- rindeki noktalar eklinde gösterilebilirler.
sembolü ya reel say sistemini ya da buna edeer olarak reel say dorusunu ifade eder. Reel say sisteminin özellikleri üç kategoride incelenir: cebirsel, sralanma ve tamlk
özellikleri. Cebirsel özellikler reel saylarn, bilinen aritmetik kurallar altnda baka reel saylar üretecek ekilde toplanabileceini, çkartlabileceini, çarplabileceini ve (sfr ile olmamak üzere) bölünebileceini söyler. Asla 0 ile bölemezsiniz.

1 3
Á
Reel saylarn sralanma özellikleri Ek 4 te verilmitir. Aadaki kullanl kurallar onlardan elde edilebilir, sembolü ‘‘gerektirir’’ anlamndadr.Q
2 Bölüm 1: Ön Bilgiler
Eitsizlik Kurallar a, b ve c reel saylar ise,
1.
2.
3.
5.
6. a ve b’nin her ikisi de pozitif veya negatifse a 6 b Q 1 b
6 1 a
a 7 0 Q 1 a 7 0
a 6 b Q -b 6 -a a 6 b and c 6 0 Q bc 6 ac
a 6 b and c 7 0 Q ac 6 bc
a 6 b Q a - c 6 b - c
a 6 b Q a + c 6 b + c
Bir eitsizliin bir say ile çarpm kurallarna dikkat edin. Bir pozitif say ile çarpmak eitsizlii korur; bir negatif say ile çarpmak eitsizlii tersine çevirir. Ayrca, ayn iaretli saylar için ters almak eitsizlii tersine çevirir. Örnein dir fakat ve 1@2 1@5 dir.
Reel say sisteminin tamlk özelliini tam olarak tanmlamak daha derin ve daha zor- dur. Ancak, özellik, limit kavram için gereklidir (Bölüm 2). Kabaca, hiçbir “boluk” veya “delik” kalmayacak ekilde, reel say dorusunu “tamamlamaya” yetecek kadar reel say bulunduunu söyler. Reel say sisteminin tamlk özellii olmasayd analiz teoremlerinin çou geçersiz olurdu. Bu konu daha ileri seviyede derslerin konusudur, fakat Ek 4, nelerin içerildii ve reel saylarn nasl kurulduu hakknda ip uçlar vermektedir.
Reel saylarn üç özel alt kümesini ayryoruz.
1. Doal saylar, yani 1, 2, 3, 4
2. Tamsaylar, yani
3. Rasyonel saylar, yani m ve n tamsay ve n 0 olmak üzere m@n gibi bir kesir eklinde yazlabilen saylar; örnein,
Rasyonel saylar esas olarak ondalk açlmlar ya
(a) sonlanan (sonsuz bir sfr dizisiyle son bulan), örnein
(b) tekrarlanan (sürekli olarak tekrarlanan bir say dizisiyle biten),örnein
eklinde olan saylardr. Sonlanan bir ondalk açlm, sondaki sfrlar tekrar ettiinden, tekrarlanan ondalkla-
rn bir özel halidir.
23 11
, Á

Rasyonel saylar kümesi reel saylarn tüm cebirsel ve sralanma özelliklerine sahip- tir, ancak tamlk özellii yoktur. Örnein, karesi iki olan bir rasyonel say yoktur; yani rasyonel doruda ’nin bulunmas gereken yerde bir “boluk” vardr.
Rasyonel olmayan reel saylara irrasyonel saylar denir. Ondalk açlmlarnn ke- silmeyen ve tekrarlanmayan olmalaryla belirlenirler; örnein ve Her ondalk açlm bir reel sayy temsil ettiinden u açk olmaldr, sonsuz tane irrasyonel say vardr. Reel doru üzerindeki herhangi bir noktaya yeterince yakn, hem rasyonel hemde irrasyonel saylar bulunur.
Küme gösterimi, reel saylarn özel bir alt kümesini belirlemede çok kullanldr. Bir küme bir nesneler topluluudur, ve bu nesneler kümenin elemanlar dr. S bir küme ise, “ ” gösterimi “a, S ’nin bir elemandr” anlamndadr ve gösterimi “a, S ’nin bir eleman deildir” anlamndadr. S ve T kümeler ise, bunlarn birleimi dir veya S ye ya da T ye (veya herikisine) ait bütün elemanlardan oluur. kesiimi hem S ye ve hem de T ’ye ait bütün elemanlardan oluur. Bo küme eleman bulundurmayan küme dir. Örnein, rasyonel saylar ve irrasyonel saylarn kesiimi bo kümedir.
Baz kümeler, elemanlar parantezler içinde listelenerek tanmlanabilir. Mesela, 6’dan küçük doal saylar (veya pozitif tam saylar ) kümesi A
eklinde gösterilebilir. Bütün tamsaylar kümesi
eklinde yazlr. Bir kümeyi tanmlamann baka bir yolu, kümenin bütün elemanlarn üreten bir
kural parantezler içine almaktr. Örnein,
kümesi 6’dan küçük pozitif tam saylar kümesidir.
Aral›klar
çinde en azndan iki say varsa ve elemanlarndan herhangi ikisinin arasnda bulunan bütün reel saylar içeriyorsa, reel dorunun bir alt kümesi aralk adn alr. Örnein, x 6 eklindeki bütün x’lerin kümesi bir aralktr, –2 x 5 eklindeki bütün x’lerin olduu gibi. çinde sfr olmadndan; sfrdan farkl bütün reel saylarn kümesi bir aralk deildir, kümede (örnein) –1 ile 1 arasndaki bütün reel saylar bulunmamaktadr.
Geometrik olarak, aralklar reel dorunun yansra, reel doru üzerindeki nlara ve doru parçalarna karlk gelirler. Doru parçalarna karlk gelen say aralklarnasonlu aralklar, nlara kar gelenlere ise sonsuz aralklar denir.
Sonlu aralklar, iki uç noktalarn da içeriyorlarsa kapal, tek uç noktalarn içeriyor- larsa yar-açk , iki uç noktalarn da içermiyorlarsa açk olarak adlandrlrlar. Uç nokta- larna snr noktalar da denir, bunlar araln snrlarn olutururlar. Araln dier noktalar ise iç noktalar dr, birlikte araln içini olutururlar. Sonsuz aralklar, sonlu bir uç nokta içeriyorlarsa kapaldrlar, aksi halde açktrlar. Bütün reel doru , hem açk hem kapal olan sonsuz bir aralktr.
Eflitsizliklerin Çözümü
x’in bir eitsizliini salayan aralk veya aralklar bulma ilemine eitsizliiçözme denir.

A = 5 x ƒ x is an integer and 0 6 x 6 66
50, ;1, ;2, ;3, Á 6 .
A = 51, 2, 3, 4, 56 .
¤ S ¨ T
log10 3.p, 2 2, 2 3 5,
2 2

ÖRNEK 1 Aadaki eitsizlikleri çözün ve çözüm kümelerini reel doruda gösterin.
(a) (b) (c)
(b)
ki tarafa da x ekleyin.
ki taraftan da 3 çkarn.
7 ile bölün- 3 7
6 x
- x 3
2 x - 1 6 x + 3
6 x - 1
TABLO 1.1 Aral›k Çeflitleri
Notasyon Açklama Tip Resim
Sonlu: (a, b) Açk
hem kapal
5 x ƒ x 6 b6s - q , bd
5 x ƒ x Ú a6[a, q d
5 x ƒ x 7 a6sa, q d
5 x ƒ a 6 x … b6 5 x ƒ a … x 6 b6 5 x ƒ a … x … b6 5 x ƒ a 6 x 6 b6
a b
a b
a b
çözüm kümeleri
Çözüm kümesi araldr (ekil 1.1b).
(c) 6@( x – 1) 5 eitsizlii ancak x 1 için geçerli olabilir, çünkü öteki türlü 6@( x – 1) tanmsz veya negatiftir. Dolaysyla, iki taraf da ( x – 1) ile çarparsak eitsizlik ko- runacaktr.
ki taraf da ( x – 1) ile çarpn
ki tarafa da 5 ekleyin.
Çözüm kümesi (1, 11@5] yar-açk araldr (ekil 1.1c).
Mutlak De¤er
Bir x saysnn u x u ile gösterilen mutlak deeri
formülü ile tanmlanr.
ÖRNEK 2 Mutlak De¤erleri Bulmak
Geometrik olarak x’in mutlak deeri, reel say dorusu üzerinde x’ten 0’a olan uzaklktr. Uzaklklar daima pozitif veya 0 olduklarndan, her x reel says için u x u 0 olduunu görürüz. Ancak ve yalnz x = 0 ise u x u = 0 dr. Ayrca,
u x – y u= reel doru üzerinde x ve y arasndaki uzaklk
dr (ekil 1.2 ).
sembolü daima a’nn negatif olmayan karekökünü belirttii için, u x u ’in baka bir tanm da
olduunu unutmayn. a 0 olduunu kesin olarak bilmeden sakn yazmayn.
Mutlak deerin özellikleri aada verilmitir (Altrmalarda bu özellikleri ispat etmeniz istenmektedir).
2 a2 = a2 a2 = ƒ a ƒ .
ƒ x ƒ = 2 x2 .
2 a
ƒ 3 ƒ = 3, ƒ 0 ƒ = 0, ƒ -5 ƒ = -s -5d = 5, ƒ - ƒ a ƒ ƒ = ƒ a ƒ
ƒ x ƒ = e x, x Ú 0
- x, x 6 0.
6
1.1 Reel Say›lar ve Reel Do¤ru 5
Mutlak Deerin özellikleri
1. Bir say ve onun ters iaretlisinin mutlak deerleri ayndr.
2. Bir çarpmn mutlak deeri mutlak deerlerin çarpmdr.
3.
4. Üçgen eitsizlii. ki saynn toplamnn mutlak deeri, mutlak deerlerinin toplamndan küçük veya ona eittir.
ƒ a + b ƒ … ƒ a ƒ + ƒ b ƒ
Bir bölümün mutlak deeri mutlak deerlerin bölümüdür.
` a b
ƒ -a ƒ = ƒ a ƒ

– 5 0 3
aada verilmitir (Altrmalarda bu
özellikleri ispat etmeniz istenmektedir).
11 veya x —–

u –a u – u a u olduuna dikkat edin. Örnein, u –3 u = 3’dür oysa – u3 u = –3’dür. a ve b nin iaretleri farklysa u a + b u mutlak deeri u a u + u b u den küçüktür. Dier bütün durumlarda u a + b u ve u a u + u b u eittir u –3 + 5 u gibi ifadelerde mutlak deer çizgileri parantezler gibidir: mutlak deeri almadan önce içini hesaplarz.
ÖRNEK 3 Üçgen Eflitsizli¤ini Aç›klamak
u x u a eitsizlii, x’in sfra olan uzakln pozitif a saysndan daha küçük olduunu söyler. Dolaysyla ekil 1.3 te görülecei gibi x says, – a ile a arasnda bulunmak zo- rundadr.
Aadaki ifadelerin hepsi mutlak deer tanmnn sonuçlardr ve mutlak deer bu- lunduran denklemleri veya eitsizlikleri çözerken oldukça faydaldrlar.
ƒ -3 - 5 ƒ = ƒ -8 ƒ = 8 = ƒ -3 ƒ + ƒ -5 ƒ
ƒ 3 + 5 ƒ = ƒ 8 ƒ = ƒ 3 ƒ + ƒ 5 ƒ
ƒ -3 + 5 ƒ = ƒ 2 ƒ = 2 6 ƒ -3 ƒ + ƒ 5 ƒ = 8
– a 0 a x
aa
x
fiEK‹L 1.3 u xu a ifadesi x’in – a ile a
arasnda olmas demektir.
Aralklar ve Mutlak Deerler a herhangi bir pozitif say ise,
5. | x | = a ancak ve ancak x = a ise
6. | x | a ancak ve ancak – a x a ise
7. | x | a ancak ve ancak x a veya x – a ise
8. | x | a ancak ve ancak –a x a ise
9. | x | a ancak ve ancak x a veya x –a ise
sembolü, matematikçiler tarafndan “ancak ve ancak” veya “ gerekir ve gerektirir” anlamnda sklkla kullanlr. Ayn zamanda “ifade eder ve ifade edilir” anlamndadr.
ÖRNEK 4 Mutlak De¤erli bir Denklemi Çözmek
u2 x – 3 u = 7 denklemini çözün.
Çözüm Özellik 5 ten, 2 x – 3 =7 dir, u halde iki olaslk vardr:
2 x – 3 = 7 2 x – 3 = –7
2 x = 10 2 x = –4 Her zamanki gibi çözün.
x = 5 x = –2
u2 x – 3u = 7’nin çözümleri x = 5 ve x = –2’dir.
ÖRNEK 5 Mutlak De¤er ‹çeren Bir Eflitsizli¤i Çözmek
eitsizliini çözün.` 5 - 2 x ` 6 1.
Mutlak deersiz edeer denklemler
Özellik 6
5 çkarn
terslerini aln.
Eitsizlikler hakkndaki deiik kurallarn burada nasl kullanldna dikkat edin. Bir negatif say ile çarpmak eitsizlii tersine çevirir. Her iki taraf da pozitif olan bir eitsiz- likte iki tarafn terslerini almak da ayndr. Asl eitsizlik ancak ve ancak (1@3) x (1@2) ise salanr. Çözüm kümesi (1@3, 1@2) açk araldr.
ÖRNEK 6 Eitsizlikleri çözün ve çözüm kümesini reel doruda gösterin.
(a) u2 x – 3u 1 (b) u2 x – 3u 1
Çözüm
–1 2 x – 3 1 Özellik 8
2 2 x 4 3 ekleyin
1 x 2 2 ile bölün
Çözüm kümesi [1, 2] kapal araldr (ekil 1.4a).
(b) u2 x – 3u 1
2 x – 3 1 veya 2 x – 3 –1 Özellik 9
2 ile bölün
Çözüm kümesi (ekil 1.4b).s - q , 1] ´ [2, q d
3 2
3 2
… - 1 2
.
5 - 2 x ` 6 1 3 -1 6 5 -
2 x 6 1
1 2
1 2
fiEK‹L 1.4 Çözüm kümesi (a) [1, 2] ve (b)
Örnek 6.s - q , 1] ´ [2, q d
ALIfiTIRMALAR 1.1
Ondal›k Gösterimler
1. Tekrarlanan basamaklarn üzerine bir çizgi koyarak, 1@9’u tekrarlanan bir ondalk olarak yazn. 2@9, 3@9, 8@9 ve 9@9’un ondalk gösterimleri nedir?
2. Tekrarlanan basamaklarn üzerine bir çizgi koyarak, 1@11’i tekrarlanan bir ondalk olarak yazn. 2@11, 3@11, 9@11 ve 11@11’in ondalk gösterimleri nedir?
Eflitsizlikler 3. 2 x 6 ise, x hakknda aada verilen eitsizliklerin hangileri
doru, hangileri yanltr?
a. b.
c. d.
e. f.
g. h. -6 6 - x 6 -2-6 6 - x 6 2
ƒ x - 4 ƒ 6 21 6 6 x 6 3
1 6
0 6 x - 2 6 40 6 x 6 4
1 – — ile çarpn

4. –1 y – 5 1 ise, y hakknda aada söylenenlerden hangileri dorudur?
a. b.
c. d.
e. f.
g. h.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14. 15.
16. 17. 18.
19. 20. 21.
22. 23. 24.
25. 26. 27.
28. 29. 30.
31. 32. 33.
34. ` 3r 5
` r + 1 2
` Ú 1ƒ 2 - 3 x ƒ 7 5ƒ 1 - x ƒ 7 1
ƒ s + 3 ƒ Ú 1 2ƒ 2 s ƒ Ú 4` 2 x - 4 ` 6 3
` 3 - 1 x ` 6
5 - 1 ` … 1
ƒ 2 y + 5 ƒ 6 1ƒ 3 y - 7 ƒ 6 4ƒ t + 2 ƒ 6 1
ƒ t - 1 ƒ … 3ƒ x ƒ … 2ƒ x ƒ 6 2
` s 2
- 1 ` = 1ƒ 8 - 3 s ƒ = 9 2ƒ 1 - t ƒ = 1
ƒ 2t + 5 ƒ = 4ƒ y - 3 ƒ = 7ƒ y ƒ = 3
- x + 5
1 3 s x - 6d
6 - x 4
3s2 - xd 7 2s3 + xd5 x - 3 … 7 - 3 x
8 - 3 x Ú 5-2 x 7 4
ƒ y - 5 ƒ 6 1 1 6
6 1 y 6
y 6 6 y 7 4
-6 6 y 6 -44 6 y 6 6
‹kinci Dereceden Eflitsizlikler 35–42 altrmalarndaki eitsizlikleri çözün. Çözüm kümelerini aralklar veya aralklarn birleimi olarak ifade edin ve çizin. Uygun durumlarda sonucunu kullann.
35. 36. 37.
38. 39. 40.
41. 42.
Teori ve Örnekler 43. | – a | = a gibi bir tuzaa dümeyin. Hangi a reel saylar
için bu eitlik dorudur? Hangileri için yanltr?
44. | x – 1| = 1 – x denklemini çözün.
45. Üçgen eitsizliinin bir ispat Üçgen eitliinin aadaki is- patndaki numaralanm admlar açklayacak nedenleri söyleyin.
(1)
(2)
(3)
(4)
46. Her a ve b says için olduunu gösterin.
47. ve x –1@2 ise, x hakknda ne söyleyebilirsiniz?
48. u x u + u y u 1 eitsizliini çizin.
49. ƒ( x) = 2 x + 1 ve herhangi bir pozitif say olsun. u x – 1 u d’nn u ƒ( x) – ƒ(1) u 2d y gerektiini gösteriniz. Bu- rada ƒ(a) notasyonu 2 x + 1 ifadesinin x = a için deeridir. Bu fonksiyon notasyonu Bölüm 1.3’te açklanmaktadr.

| x – 0 | < — iken | ƒ( x) – ƒ(0) | < olduunu gösteriniz. Burada 2
ƒ(a) notasyonu 2 x + 3 ifadesinin x = a için deeridir. (Bölüm 1.3’e bakn)
51. Herhangi bir a says için u –a u = u a u olduunu ispat edin.
52. a herhangi bir pozitif say olsun ancak ve yalnz x a veya x – a için | x | | a | olduunu ispat edin.
53. a. b sfrdan farkl herhangi bir reel say ise u 1@b u = 1@u b u olduunu ispat edin.
b. herhangi a ≠ 0, b ≠ 0 reel saylar için olduunu is-
pat edin.
54. Matematik ndüksiyon yöntemini kullanarak (Bak Ek 1) herhangi bir a says ve herhangi bir pozitif n tamsays için | an | = | a |n
olduunu ispat edin.
d 7 0
ƒ a + b ƒ … ƒ a ƒ + ƒ b ƒ
= s ƒ a ƒ + ƒ b ƒ d2
= ƒ a ƒ 2 + 2 ƒ a ƒ ƒ b ƒ + ƒ b ƒ 2 … a2 + 2 ƒ a ƒ ƒ b ƒ + b2
= a2 + 2ab + b2
x2 - x - 2 Ú 0 x2 - x 6 0
s x + 3d2 6 2s x - 1d2 6 4 1 9
6 x2 6 1 4
4 6 x2 6 94 … x2 x2 6 2
2 a2 = ƒ a ƒ
a
b =
a
b
Do¤rular, Çemberler ve Paraboller
Bu bölümde, düzlemde koordinatlar, dorular, uzaklk, çemberler ve paraboller tekrar- lanacaktr. Ayrca, artm kavram da tartlacaktr.
Düzlemde Kartezyen Koordinatlar
Önceki bölümde doru üzerindeki noktalar, koordinatlar dediimiz reel saylar ile belirle- dik. Düzlemdeki noktalar, sral reel say ikilileri ile belirtilebilir. Balarken, 0 noktalarnda kesien birbirine dik iki koordinat dorusu çizeriz. Bu dorulara düzlemde koordinat eksenleri denir. Yatay x-ekseninde, saylar x ile gösterilir ve saa doru artarlar. Dikey y– ekseninde ise, saylar y ile gösterilir ve yukar doru artarlar (ekil 1.5). Böylece ‘‘yu- karya’’ ve ‘‘saa’’ yönleri pozitif yönlerdir, buna karlk ‘‘aaya’’ ve ‘‘sola’’ yönleri negatif yönlerdir. Koordinat sisteminin orijini O, ayn zamanda 0 ile de gösterilir, düzlem- de x ve y’nin her ikisinin de sfr olduu noktadr.
P düzleme herhangi bir nokta ise, tam olarak bir sral reel say ikilisiyle u ekilde ko- numlandrlabilir. P den iki koordinat eksenine dik dorular çizilir. Bu dorular eksenleri ve koordinatl noktalarda keserler (ekil 1.5). (a, b) sral ikilisi P noktas ile elenir ve bu ikiliye P ’nin koordinat çifti denir. Birinci say ‘‘a’’ P ’nin x –koordinat (veya apsisi) dr; ikinci say ‘‘b’’ P ’nin y – koordinat (veya ordinat ) dr. y– ekseni üzerindeki her noktann x– koordinat 0 dr. x– ekseni üzerindeki her noktann y– koordinat 0 dr. Orijin (0, 0) noktasdr.
Bir (a, b) sral ikilisi ile balayarak, ilemi tersine çevirebiliriz ve düzlemde bu ikiliye kar gelen bir P noktasna ularz. Çou kez P ’yi sral ikili ile tanmlar ve P (a, b) yazarz. Bazen “(a, b) noktas’’ olarak da adlandrrz ve (a, b)’nin reel doru üzerinde bir açk aral deil de düzlemde bir noktay gösterdii sözün geliinden anlalacaktr. ekil 1.6 da koordinatlar ile iaretlenmi birkaç nokta gösterilmitir.
Bu koordinat sistemine dik koordinat sistemi veya Kartezyen koordinat sistemi denir (16.yy Fransz matematikçi René Descartes’den sonra). Bu koordinat veya Kartezyen düzlemin koordinat eksenleri, düzlemi dörtte bir (quadrant) denen, ekil 1.6 gösterildii gibi saat yönünün tersine numaralanan, dört bölgeye ayrr.
x ve y deikenlerine bal bir denklemin veya bir eitsizliin grafii, koordinatlar denklemi veya eitsizlii salayan düzlemdeki bütün P ( x, y) noktalarnn kümesidir. Koor- dinat düzleminde veri çizerken veya deikenlerinin birimleri farkl olan formüllerin grafiklerini çizerken, iki eksen üzerinde ayn ölçei kullanmak zorunda deiliz. Örnein, bir roket motoru için zaman- itme çiziyorsak, zaman ekseninde 1 sn’yi gösteren iareti, orijinden, itme ekseninde 1 lb’yi gösteren iaretle ayn uzakla koymak için bir neden yoktur.
Genellikle deikenleri fiziksel büyüklükler temsil etmeyen fonksiyonlarn grafiklerini çizerken, geometrilerini ve trigonometrilerini incelemek için düzlemde ekiller çiz- erken, eksenler üzerindeki ölçei ayn almaya çalrz. Böylece, bir dikey uzaklk birimi ile yatay uzaklk birimi ayn gözükür. Bir ölçümcü haritasnda veya ölçekli çizimde olduu gibi, ayn uzunlukta olduu kabul edilen doru parçalar öyleymi gibi gözükecek- tir ve e olduu kabul edilen açlar e gözükecektir.
Bilgisayar ekranlar ve hesap makinesi ekranlar ayr bir sorundur. Makine ile üretilen grafiklerde dikey ve yatay ölçekler genellikle farkldr ve buna bal olarak uzaklklarda, eimlerde ve açlarda bozukluklar vardr. Çemberler elips gibi, dikdörtgenler kare gibi, dik açlar dar aç veya geni aç gibi, vs. görünebilir. Bu ekran ve bozukluklar Bölüm 1.7 de geni ayrntlar ile tartyoruz.
1.2
y
1
–1
–2
–3
2
3
b
x
koordinatlar, orijinde dik kesien iki eksene
oturtulmutur.
x
y
düzlem de iaretlenmi noktalar. Eksenler
üzerindeki bütün noktalarn koordinat
say ile gösterilirler, ( böylece x-ekseni
üzerindeki noktas (1, 0) ile 1
iaretlenmitir). Dörtte bir bölgelerin

Bir parçack düzlemde bir noktadan dierine hareket ederken, koordinatlarndaki net deiikliklere artm denir. Balangç noktasnn koordinatlar biti noktasnnkilerden çkartlarak hesaplanrlar. x, x1 den x2 ye deiirse x teki artm
Δ x = x2 – x1
ÖRNEK 1 A (4, –3) noktasndan B(2, 5) noktasna gidilirken x- ve y-koordinatlarndaki artmlar
Δ x = 2 – 4 = – 2, Δ y = 5 – (–3) = 8
dir. C (5, 6)’dan D(5, 1)’e koordinat artmlar
Δ x = 5 – 5 = 0, Δ y = 1 – 6 = –5
dir. Baknz ekil 1.7. Düzlemde P 1( x1, y1) ve P 2( x2, y2) noktalar verilmise, Δ x = x2 – x1 ve Δ y = y2 – y1
artrmlarna srasyla P 1 ve P 2 arasndaki ilerleme ve yükselme denir. Böyle iki nokta daima, bu noktalardan geçen tek bir doru belirler. Doruya P 1 P 2 dorusu ad verilir.
Düzlemde dikey olmayan herhangi bir dorunun, doru üzerinde seçilen her P 1( x1, y1) ve P 2( x2, y2) noktas için geçerli olan bir özellii
orannn ayn olmasdr (ekil 1.8). Bunun nedeni, benzer üçgenlerde karlkl kenarlarn oranlarnn ayn olmasdr.
m = yükselme
TANIM E¤im
sabitine dikey olmayan P 1 P 2 dorusunun eimi denir.
m = yükselme
x 2 – x 1
Eim bir dorunun yönünü (yukar, aa) ve dikliini belirler. Eimi pozitif olan bir doru saa doru yukar çkar, eimi negatif olan bir doruysa saa doru aa iner (ekil 1.9). Eimin mutlak deeri ne kadar büyük olursa, yükselme veya alçalma o kadar hzl olur. Dikey bir dorunun eimi tanmszdr . Dikey bir doru için Δ x ilerlemesi sfr olduundan, m eim orann hesaplayamayz. Bir dorunun yönü ve diklii bir açyla da ölçülebilir. x ekseninden geçen bir dorunun eim açs, x ekseninden doruya saat yönünün tersine olan en küçük açdr (ekil 1.10). Yatay dorunun eim açs 0° dir. Dikey dorunun eim açs ise 90° dir. f bir dorunun eim açsysa, 0 f 180° dir.
y 8
x – 2
D(5, 1)
C(5, 6)
B(2, 5)
1
2
3
4
5
6
–1
–2
–3
y
x
P 2( x2, y2)
P 2
benzerdir dolaysyla kenarlarnn oran,
P 1¿Q¿ P 2¿ P 1 QP 2
TARHSEL BYOGRAF*
René Descartes
(1596–1650)

Dikey olmayan bir dorunun eimi m ile dorunun eim açs f arasndaki iliki ekil 1.11’de gösterilmektedir:
m = tan f
Dorularn denklemleri basittir. x-eksenindeki a noktasndan geçen dikey doru üz- erindeki bütün noktalarn x koordinatlar a’dr. Yani, x = a dikey dorunun denklemidir. Ayn ekilde, y = b de y-eksenini b noktasnda kesen yatay dorunun denklemidir. (ekil 1.12 ye baknz).
Eimini ve üzerindeki bir P 1( x1, y1) noktasnn koordinatlarn biliyorsak, dikey olmayan bir L dorusunun denklemini yazabiliriz. P ( x, y) L üzerindeki herhangi bir baka noktaysa P 1 ve P noktalarn
eimini hesaplamak için kullanabiliriz, dolaysyla
y – y1 = m( x – x1) veya y = y1 + m( x – x1)
m = y - y1
y = y1 + m( x – x1)
denklemi ( x1, y1) noktasndan geçen ve eimi m olan dorunun nokta-eim denklemi dir.
ÖRNEK 2 (2, 3) noktasndan geçen ve eimi –3@2 olan dorunun denklemini yazn.
Çözüm Nokta-eim denkleminde x1 = 2, y1 = 3 ve m = –3@2 yerletirir ve
elde ederiz. x = 0 için y = 6 d›r. Dolay›s›yla do¤ru y-eksenini y = 6 da keser.
ÖRNEK 3 ‹ki noktadan geçen bir do¤runun denklemi
(–2, –1) ve (3, 4) noktalarndan geçen dorunun denklemini yazn.
Çözüm Dorunun eimi
dir. Bu eimle birlikte nokta-eim denkleminde verilen iki noktadan birini kullanabiliriz:
ile ile
Ayn sonuç
Her iki ekilde de dorunun denklemi y = x +1’dir (ekil 13).
y = x + 1 y = x + 1
y = 4 + x - 3 y = -1 + x + 2
y = 4 + 1 # s x - 3d y = -1 + 1 # s x - s -2dd
s x1 , y1d s3, 4ds x1 , y1d s 2, 1d
m = -1 - 4 -2 - 3
= -5 -5
y = 3 - 3 2 A x - 2 B , or y = -
3 2 x + 6.
f
eimi, eim açsnn tanjant dr.
bu
yönünün tersine ölçülür.
L2
L1
dir. Yani, x 3 birim arttkça, y 8 birim artar.
L2’in eimi ise
azalr.
= 8 3

Dikey olmayan bir dorunun y-eksenini kestii noktann y koordinatna dorunun y-kesim noktas denir. Ayn ekilde, x-kesim noktas da yatay olmayan bir dorunun x-ekseninden geçtii noktann x koordinatdr (ekil 1.14). Eimi m ve y-kesim noktas b olan bir doru (0, b) noktasndan geçer ve denklemi
y = b + m( x – 0) veya, daha basit olarak, y = mx + b
dir.
x
y
0
1
2
3
4
5
6
(2, 3)
fiEK‹L 1.12 (2, 3) ten geçen dikey ve yatay
dorularn standart denklemleri x = 2 ve
y = 3 tür.
y = mx + b
denklemine eimi m ve y-keseni b olan dorunun eim-kesim noktas denklemi denir.
Denklemi y = mx eklinde olan dorularn y-kesim noktalar 0’dr ve dolaysyla orijinden geçerler.
Ax + By = C ( A ve B’nin ikisi birlikte 0 olmamak üzere)
denklemine, x ve y’nin genel lineer denklemi denir, çünkü grafii her zaman bir doruyu temsil eder ve her dorunun denklemi (eimi tanml olmayan dorular da dahil) bu ekil- dedir.
ÖRNEK 4 E¤imi ve y -kesimini bulmak
8 x + 5 y = 20 dorusunun eimini ve y-kesim noktasn bulun.
Çözüm Eim-kesim noktas ekline sokmak için denklemi y’ye göre çözelim:
Eim m = –8@5 dir. y-kesim noktas b = 4’tür.
Paralel ve Dik Do¤rular
Paralel dorularn eim açlar ayndr. Yani eimleri ayndr (dikey birer doru deillerse). Tersine, eimleri ayn olan dorularn eim açlar ayndr ve dolaysyla paraleldirler.
Dikey olmayan L1 ve L2 dorular birbirine dikse, m1 ve m2 eimleri m1m2 = –1 eitliini salar, yani her eim dierinin çarpmaya göre negatif tersidir:
Bunu görmek için, ekil 1.15’teki benzer üçgenleri inceleyerek m1 = a@h ve m2 = – h@a olduuna dikkat edin. Dolaysyla,m1m2 = (a@h) (– h@a) = –1 dir.
m1 = - 1
m2 , m2 = -
1 m1
x
y
b
y-kesimi b dir.
(–2, –1)
(3, 4)
fiEK‹L 1.13 Örnek 3 teki doru.

Düzlemde Uzakl›k ve Çemberler Düzlemdeki noktalar arasndaki uzaklk, Pisagor formülünden gelen bir formülle hesa- planr (ekil 1.16).
1.2 Do¤rular, Çemberler ve Paraboller 13
x
y
üçgenine benzerdir. Dolaysyla f1 ayn
zamanda ΔCDB üçgeninin üst açsdr.
ΔCDB üçgeninin kenarlarndan

2d ( x2 – x1)

y1
y2
x2
dir.
fiEK‹L 1.16 P ( x1, y1) ve Q( x2, y2), arasndaki
uzakl hesaplamak için, PCQ üçgenine
Pisagor Teoremini uygulayn.
Düzlemdeki Noktalarn Arasndaki Uzaklk Formülü P ( x1, y1) ve Q( x2, y2) arasndaki uzaklk aadaki gibidir:
d = 2 s¢ xd2 + s¢ yd2 = 2 s x2 - x1d2 + s y2 - y1d2 .
( x – h)2 + ( y – k )2 = a2 (1)
ÖRNEK 5 Uzakl›k Hesaplamak
(a) P (–1, 2) ile Q(3, 4) arasndaki uzaklk
(b) Orijinden P ( x, y) noktasna olan uzaklk
Tanm olarak; a yarçapl bir çember, bir C (h, k ) merkezine uzaklklar a olan bütün P ( x, y) noktalarnn kümesidir (ekil 1.17). Uzaklk formülünden, ancak ve yalnz
ise, P noktas çember üzerindedir. Dolaysyla
2 s x - hd2 + s y - k d2 = a ,
2 s x - 0d2 + s y - 0d2 = 2 x2 + y2 .
2 s3 - s -1dd2 + s4 - 2d2 = 2 s4d2 + s2d2 = 2 20 = 2 4 # 5 = 22 5.
dir.
(1) denklemi (h, k ) merkezli ve a yarçapl bir çemberin standart denklemidir. Yarçap ve merkezi orijinde olan birim çember’ in denklemi
x2 + y2 = 1’dir.
C(h, k )
(h, k )’da olan a yarçapl bir çember.

ÖRNEK 6
(a) Merkezi (3, 4)’te olan 2 yarçapl çemberin standart denklemi
( x – 3)2 + ( y – 4)2 = 22 = 4
tür.
(b) ( x – 1)2 + ( y + 5)2 = 3
çemberinde, h = 1, k = –5 ve a = √ 3 ’tür. Merkezi (h, k ) = (1, –5) noktasdr ve yarçap
a = √ 3 ’tür. Bir çemberin denklemi standart eklinde deilse, çemberin merkezini ve yarçapn
denklemi önce standart ekle sokarak bulabiliriz. Bunu yapmak için gereken cebirsel yön- teme kareyi tamamlama denir (Ek 9 a bakn).
ÖRNEK 7 Bir Çemberin Merkezini ve Yar›çap›n› Bulmak
Aadaki çemberin merkezini ve yarçapn bulun.
x2 + y2 + 4 x – 6 y – 3 = 0
Çözüm x ve y’nin karelerini tamamlayarak denklemi standart ekline döndürürüz:
x2 + y2 + 4 x – 6 y – 3 = 0
( x2 + 4 x) + ( y2 – 6 y) = 3
Merkez (–2, 3) ve yarçap a = 4 tür.
( x – h)2 + ( y – k )2 a2
eitsizliini salayan noktalar, merkezi (h, k ) ve yarçap a olan çemberin içi denilen böl- geyi olutururlar (ekil 1.18). Çemberin d
( x – h)2 + ( y – k )2 a2
Paraboller
Genel parabollerin geometrik tanm ve özellikleri bölüm 10.1 de incelenmektedir. Bu- rada parabollere y = ax2 + bx + c eklindeki eitliklerin grafikleri olarak bakacaz.
s x + 2d2 + s y - 3d2 = 16
s x2 + 4 x + 4d + s y2 - 6 y + 9d = 3 + 4 + 9
3 + a4 2 b2
+ a-6 2
b 2
a x2 + 4 x + a4 2 b2b + a y2 - 6 y + a-6
2 b 2b =
Verilen denklemle balayn.
Terimleri bir araya getirin. Sabiti sa tarafa geçirin.
x’in katsaysnn yarsnn karesini denklemin iki tarafnda da ekleyin Aynsn y için yapn. Sol taraftaki parantez içindeki ifadeler artk tam karelerdir.
Her kareyi karesi alnm lineer açlmlar olarak yazn.
D: ( x h)2 ( y k )2 a2
ç: ( x h)2 ( y k )2 a2
(h, k )
y
k
Üzeri: ( x h)2 ( y k )2 a2
fiEK‹L 1.18 ( x – h)2 + ( y – k )2 = a2
çemberinin içi ve d
ÖRNEK 8 Parabolü
y = x2 eitliini göz önüne aln. Koordinatlar bu eitlii salayan baz noktalar
ve (–2, 4)’tür. Bu noktalar (ve eitlii salayan
bütün dierleri) parabol denen düzgün bir eri oluturur (ekil 1.19).
y = ax2
eklindeki bir denklemin grafii, ekseni (simetri ekseni) y-ekseni olan bir paraboldür. Parabolün tepe noktas (parabol ve eksenin kesitii nokta) orijinde bulunur. a 0 ise parabol yukar, a 0 ise aa doru açlr. u a u deeri ne kadar büyükse, parabol o kadar dar olur (ekil 1.20 ).
Genel olarak y = ax2 + bx + c eitliinin grafii, y = x2 parabolünün grafiinin kaydrlm ve uyarlanm eklidir. Grafiklerin kaydrlmasn ve uyarlanmasn daha de- tayl olarak Bölüm 1.5 te inceleyeceiz.
s0, 0d, s1, 1d, a3 2
, 9 4 b , s -1, 1d, s2, 4d ,
y = x 2
0 1 2 –1 –2
1
(Örnek 8)
y = ax 2 + bx + c, a ≠ 0’n Grafii
y = ax2 + bx + c, a 0 denkleminin grafii bir paraboldür. a 0 ise parabol yukar, a 0 ise aa doru açlr. Ekseni
(2)
dorudur. Parabolün tepe noktas eksen ve parabolün kesitii noktadr. Tepe noktasnn x-koordinat x = – b@2a’dr; y-koordinat ise parabol denkleminde x = – b@2a konularak elde edilir.
b x = – —–
2a
a = 0 ise y = bx + c doru denklemini elde ettiimize dikkat edin. (2) denklemi ile verilen eksen, kareye tamamlama veya Bölüm 4.1 de incelenen bir teknikle bulunabilir.
ÖRNEK 9 Bir parabolü çizmek
denkleminin grafiini çizin.
Çözüm Denklem, y = ax2 + bx + c ile karlatrlrsa
olduu görülür. a 0 olduundan parabol aaya doru açlr. (2) denkleminden, eksen
dikey dorusudur.
S i m e t r i
e k s e n i
Orijinde tepe noktas
y = – x2
yönü belirlerken a says bir ölçü
faktörüdür. a sfr’a yaklatkça parabol
geniler, | a | büyüdükçe parabol daralr.

x = –1 için
dir. Tepe noktas (–1, 9@2) dir. x-kesim noktalar y = 0 olduu yerdedir:
Baz noktalar iaretler, ekseni (silik olarak) çizer ve açlma yönünü kullanarak grafii tamamlarz (ekil 1.21).
x = 2, x = -4
x2 + 2 x - 8 = 0
- 1 2 x2 - x + 4 = 0
y = - 1 2 s -1d2 - s -1d + 4 =
9 2
Kesim noktalar x –4 ve x 2’de
-kesim noktas simetrik nokta
(0, 4)(–2, 4)
– 1
x
y
’dir
ALIfiTIRMALAR 1.2
Art›mlar ve Uzakl›k lk dört altrmada, bir parçack koordinat düzleminde A’dan B’ye il- erlemektedir. Parçacn koordinatlarndaki Δ x ve Δ y artmlarn ve A’dan B’ye olan uzakl bulun.
1. 2.
3. 4.
5. x2 + y2 = 1 6. x2 + y2 = 2
7. x2 + y2 3 8. x2 + y2 = 0
E¤imler, Do¤rular ve Kesim Noktalar› 9–12 altrmalarindaki noktalar iaretleyin ve (varsa) eimlerini bulun. Ayrca AB dorusuna dik dorularn ortak eimlerini bulun.
9. A(–1, 2), B(–2, –1) 10. A(–2, 1), B(2, –2)
11. A(2, 3), B(–1, 3) 12. A(–2, 0), B(–2, –2)
13–16 altrmalarnda, verilen noktalardan geçen (a) dik doru ve (b) yatay doru için bir denklem yazn.
13. 14.
15. 16.
17–30 altrmalarnda tanmlanan dorunun denklemini yazn.
17. –1 eimiyle (–1, 1) noktasndan geçer.
s -p, 0dA0, -2 2 B A2 2, -1.3 Bs -1, 4>3d
As2 2, 4d, Bs0, 1.5d As -3.2, -2d, Bs -8.1, -2d
As -1, -2d, Bs -3, 2d As -3, 2d, Bs -1, -2d
18. 1@2 eimiyle (2, –3) noktasndan geçer.
19. (3, 4) ve (–2,5) noktalarndan geçer.
20. (–8, 0) ve (–1, 3) noktalarndan geçer.
21. Eimi –5@4 ve y-kesim noktas 6’dr.
22. Eimi 1@2 ve y-kesim noktas –3’tür.
23. 0 eimle (–12, –9) noktasndan geçer.
24. Eimi yoktur ve (1@3, 4) noktasndan geçer.
25. y-kesim noktas 4 ve x-kesim noktas –1’dir.
26. y-kesim noktas –6 ve x-kesim noktas 2’dir.
27. (5, –1) noktasndan geçer ve 2 x + 5 y = 15 dorusuna paraleldir.
28. noktasndan geçer ve dorusuna paraleldir.
29. (4, 10) noktasndan geçer ve 6 x – 3 y = 5 dorusuna diktir.
30. (0, 1) noktasndan geçer ve 8 x – 13 y = 13 dorusuna diktir.
31–34 altrmalarnda, dorunun x- ve y-kesim noktalarn bulun ve bu bilgiyi kullanarak doruyu çizin.
31. 32.
33. 34.
35. Ax + By = C 1 ve Bx – Ay = C 2 ( A ≠ 0, B ≠ 0) dorular arasndaki ilikinin bir özellii var mdr? Cevabnzn nedenlerini açklayn.
36. Ax + By = C 1 ve Ax + By = C 2 ( A ≠ 0, B ≠ 0) dorular arasndaki ilikinin bir özellii var mdr? Cevabnzn nedenlerini açklayn.
1.5 x - y = -32 2 x - 2 3 y = 2 6 x + 2 y = -43 x + 4 y = 12

Art›mlar ve Hareket 37. Bir parçack A(–2, 3) noktasndan harekete balar ve koordinatlar
Δ x = 5 ve Δ y = –6 artmlaryla deiir. Parçacn yeni konumunu bulunuz.
38. Bir parçack A(6, 0) noktasndan harekete balar ve koordinatlar Δ x = –6 ve Δ y = 0 artmlaryla deiir. Parçacn yeni konumunu bulunuz.
39. A( x, y)’den B(3, –3)’ye giderken, bir parçacn koordinatlar Δ x = 5 ve Δ y = 6 olarak deiir. x ve y’yi bulun.
40. Bir parçack A(1, 0) noktasndan balayarak orijin etrafnda saat yönünün tersine bir çember çizer ve A(1, 0)’a geri döner. Koordinat- larndaki net deiiklik nedir?
Çemberler 41–46 altrmalarnda verilen C (h, k ) merkezli ve a yarçapl çembe- rin denklemini bulun. Çemberi xy-düzleminde çizin ve merkezini gra- fiinizde belirtin. Ayrca, varsa çemberin x ve y kesim noktalarn koordinat ikilileriyle birlikte gösterin.
41. 42.
43. 44.
45. 46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53. 54.
55. 56.
57. 58.
59. 60.
61.
62.
63.
64.
65.
x2 + y2 7 1, x2 + y2 6 4
x2 + s y - 2d2 Ú 4
s x - 1d2 + y2 … 4
x2 + y2 6 5
x2 + y2 7 7
1 2 x2 + x + 4
y = 2 x2 - x + 3 y = - x2 - 6 x - 5
y = - x2 + 4 x - 5 y = - x2 + 4 x
y = x2 + 4 x + 3 y = x2 - 2 x - 3
x2 + y2 + 2 x = 3
x2 + y2 - 4 x + 4 y = 0
x2 + y2 - 4 x - s9>4d = 0
x2 + y2 - 3 y - 4 = 0
x2 + y2 - 8 x + 4 y + 16 = 0
x2 + y2 + 4 x - 4 y + 4 = 0
C s3, 1>2d, a = 5C A -2 3, -2 B , a = 2
C s1, 1d, a = 2 2C s -1, 5d, a = 2 10
C s -3, 0d, a = 3C s0, 2d, a = 2
67.
68.
69. Merkezi (-2, 1) ve yarçap √ 6 olan çemberin içinde bulunan noktalar tanmlayan bir eitsizlik yazn.
70. Merkezi (-4, 2) ve yarçap 4 olan çemberin dnda bulunan noktalar tanmlayan bir eitsizlik yazn.
71. Merkezi (0, 0) ve yarçap √ 2 olan çemberin içinde veya üstünde bulunan ve (1, 0)’dan geçen dikey dorunun üstünde veya sanda kalan noktalar tanmlayan bir eitsizlik çifti yazn.
72. Merkezi (0, 0) ve yarçap 2 olan çemberin dnda ve merkezi (1, 3) olan ve orijinden geçen çemberin içinde kalan noktalar tanmlayan bir eitsizlik çifti yazn.
Kesiflen Do¤rular, Çemberler ve Paraboller 73–80 altrmalarnda, iki denklemi çizin ve grafiklerin kesitikleri noktalar bulun.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
Uygulamalar 81. Yaltm ekildeki eimleri ölçerek, derece@ft olarak (a) alç du-
vardaki, (b) fiberglas yaltmdaki ve (c) tahta kaplamadaki scaklk deiimlerini bulunuz.
x2 + y2 = 1, x2 + y = 1
x2 + y2 = 1, s x - 1d2 + y2 = 1
y = 1 4 x2, y = s x - 1d2
y = - x2, y = 2 x2 - 1
x + y = 0, y = -s x - 1d2
y - x = 1, y = x2
x + y = 1, s x - 1d2 + y2 = 1
y = 2 x, x2 + y2 = 1
x2 + y2 - 4 x + 2 y 7 4, x 7 2
x2 + y2 + 6 y 6 0, y 7 -3
1.2 Do¤rular, Çemberler ve Paraboller 17
I s ( ° F )
Alç duvar Kaplama

82. Yaltm Altrma 81’deki ekle göre, malzemelerden hangisi en iyi, hangisi en kötü yaltkandr? Açklayn.
83. Su alt basnc Su altndaki bir dalgç tarafndan hissedilen p basnc dalgcn derinlii d ’ye, p = kd + 1 (k bir sabit) eklinde bir denklemle baldr. Yüzeyde basnç 1 atmosferdir. 100 metredeki basnç ise 10.94 atmosfer civarndadr. 50 metredeki basnc bulun.
84. Yansyan k Bir k demeti ikinci bölgeden x + y = 1 dorusu boyunca gelir ve x ekseninden yansr (ekle baknz). Geli açs yansma açsna eittir. Yansyan n izledii dorunun denklemini yaznz.
88. Köeleri A(0, 0), ve C(2, 0) noktalarnda olan üç- genin ekenar olduunu gösterin.
89. A(2, –1), B(1,3) ve C (–3, 2) noktalarnn bir karenin köeleri olduunu gösterin ve dördüncü köeyi bulun.
90. Aada gösterilen dikdörtgenin kenarlar eksenlere paraleldir. Uzunluu geniliinin üç katdr ve çevresi 56 birimdir. A, B ve C noktalarnn koordinatlarn bulunuz.
91. Üç farkl paralelkenarn köeleri (–1, 1), (2, 0) ve (2, 3) nokta- larndadr. Bunlar çizin ve herbirinin dördüncü köesini bulun.
92. Orijin çevresinde saat yönünün tersine 90°’lik bir dönme, ekilde gösterildii gibi (2, 0) noktasn (0, 2) noktasna ve (0, 3) noktasn (–3, 0) noktasna götürür. Aadaki noktalar bu dönme altnda hangi noktaya giderler?
a. (4, 1) b. c.
d. ( x, 0) e. (0, y) f. ( x, y)
g. (10, 3) noktasna gelen nokta hangisidir?
93. Hangi k deeri için 2 x + ky = 3 dorusu 4 x + y = 1 dorusuna diktir? Hangi k deeri için bu dorular paraleldir?
94. (1, 2) noktasndan ve x + 2 y = 3 ve 2 x – 3 y = –1 dorularnn kesiim noktasndan geçen doruyu bulun.
95. Bir doru parçasnn orta noktas Koordinatlar
olan noktann P ( x1, y1) noktasn Q( x2, y2) noktasna balayan
doru parçasnn orta noktas olduunu gösterin.
a x1 + x2
2 , y1 + y2
Geli açs
Yansma açs
1
göre ölçülürler.
85. Fahrenheit ve Santigrad FC düzleminde, Fahrenheit ve santigrad scaklklar arasndaki ilikiyi veren
denklemini çizin. Ayn garfik üzerinde C = F dorusunu belirtin. Santigrad ölçen termometrenin Fahrenheit ölçen bir termometrey- le ayn saysal deeri gösterdii bir scaklk var mdr? Varsa, bu scakl bulun.
86. Washington Cog Tren Yolu naat mühendisleri bir yol yatann eimini yükseldii veya alçald mesafenin yatayda ald mesafeye oran olarak ölçerler. Genellikle yüzde olarak yazlan bu orana da yol yatann mertebesi derler. Bir ky boyunca, ticari tren yollarnn mertebesi genellikle %2’den azdr. Dalarda ise %4’e kadar çkabilir. Otoyollarn mertebesi genellikle %5’ten azdr.
New Hampshire’daki Washington Cog Tren Yolu’ nun en dik ksmnn mertebesi bir istisna olarak %37.1’dir. Yolun bu ksmnda, vagonun önündeki koltuklar arkasndakilerden 14 ft daha yüksektir. Ön ve arka koltuklarn arasndaki uzaklk nedir?
Teori ve Örnekler 87. Kenarlarnn uzunluklarn hesaplayarak, köeleri A(1, 2), B(5, 5)
ve C (4, –2) noktalarnda bulunan üçgenin ikizkenar olduunu fakat ekenar olmadn gösteriniz.
C = 5 9 s F - 32d

Fonksiyonlar ve Grafikleri
Fonksiyonlar; Tan›m ve De¤er Kümeleri
Suyun kaynad scaklk deniz seviyesinden yükseklie baldr (yükseldikçe kaynama noktas düer). Bir yatrma ödenen faiz, yatrmn ne kadar süreyle tutulduuna baldr. Bir çemberin alan çemberin yarçapna baldr. Doru bir yolda, bir balangç noktasndan hareket eden bir cismin kat ettii yol, cismin hzna baldr.
Her durumda, y olarak adlandrabileceimiz bir deiken büyüklüün deeri, x olarak adlandrabileceimiz baka bir deiken büyüklüün deerine baldr. y’nin deeri x’in deeriyle kesin olarak belirlenebildiinden dolay, y’ye x’in bir fonksiyonu deriz. y deeri genellikle, x deikeninden nasl hesaplanacan söyleyen bir kural veya bir formülle verilir. Örnein, A = pr 2 denklemi, r yarçapndan, bir çemberin A alann hesaplayan bir kuraldr.
Analizde, herhangi bir formülü olmayan, belirlenmemi bir fonksiyona bavurmak isteyebiliriz. ‘‘ y, x’in bir fonksiyonudur’’ demenin sembolik yolu
y = ƒ( x) (“ y, ƒ’te x’e eittir”)
yazmaktr. Bu gösterimde, ƒ sembolü fonksiyonu temsil etmektedir. Bamsz deiken ad verilen harfi ƒ’nin girdi deerini ve baml deiken x ise ƒ’nin x’teki deerine karlk gelen, çkt deerini göstermektedir.
1.3
TANIM Fonksiyon
Bir D kümesinden bir Y kümesine bir fonksiyon, D’deki her x elemanna Y ’de tek bir ƒ( x) eleman karlk getiren bir kuraldr.
Bütün olas girdi deerlerinin kümesi D’ye fonksiyonunun tanm kümesi denir. x, D üzerinde deiirken bütün ƒ( x) deerlerinin kümesine fonksiyonun deer kümesi denir. Deer kümesi Y’deki her eleman içermeyebilir.
Bir fonksiyonun tanm ve deer kümeleri nesnelerden oluan herhangi kümeler olabilirler. Ancak, analizde bunlar çou kez reel say kümeleridir (13–16 Bölümlerde birçok deiken dahil edilecektir).
Bir ƒ fonksiyonu, tanm kümesinden bir x deeri verdiimizde deer kümesinde bir ƒ( x) çkts oluturan bir makine gibi düünün (ekil 1.22). Bir hesap makinesinin ilem
Girdi (Tanm)
Çkt (Deer)
diyagram
96. Bir noktadan bir doruya olan uzaklk Bir P ( x0, y0) noktasndan
bir L: Ax +By = C dorusuna olan uzakl aadaki admlar izle-
yerek bulabiliriz (Bölüm 12.5’te daha hzl bir yöntem verilmekte-
dir):
1. P ’den geçen ve L’ye dik olan M dorusunun denklemini bulun
2. M ve L dorularnn kesitikleri Q noktasnn koordinatlarn bulun.
3. P ve Q arasndaki uzakl bulun.
Bu admlar kullanarak, aadaki her durum için P ’den L’ye olan uzakl bulun.
a.
b.
c.
P sa, bd, L : x = -1
P s4, 6d, L : 4 x + 3 y = 12
P s2, 1d, L : y = x + 2

tular, bir fonksiyonun bir makine olarak örneini verir. Örnein, bir hesap makinesi üze- rindeki tuu, negatif olmayan bir x deeri girip tuuna bastnzda bir çkt deeri verir (karekök). Ekranda gözüken çkt deer genellikle x’in karekökünün bir ondalk yaklam dr. Bir x 0 says girerseniz, hesap makinesi bir hata bildirecektir çünkü: x 0 fonksiyonun tanm kümesinde deildir ve bir girdi olarak kabul edilemez. Bir hesap makinesi üzerindeki tuu, sadece ondalk çktlarla snrlanm olduundan ve sadece sonlu sayda girdisi bulunduundan, ile tanml tam matematikselƒ fonksiyonu ile ayn deildir.
Bir fonksiyon bir ok diyagram olarak da resmedilebilir (ekil 1.23). Her ok, D tanm kümesinin her elemann Y kümesinde birtek elemana balar. ekil 1.23 te oklar, ƒ(a) nn a ile, ƒ( x)’in x ile vs. elendiini gösterir.
Bir fonksiyonun tanm kümesi konu gerei kstlanabilir. Örnein, A = pp2 ile verilen alan fonksiyonunun tanm kümesi,r yarçapnn sadece pozitif olmasna izin verir. Bir y = ƒ( x) fonksiyonunu bir formülle tanmlyorsak ve tanm kümesi açkça belirtilmemise veya konu gerei kstlanmamsa, tanm kümesi, formülün reel y-deerleri verecei en büyük x-deerleri kümesi olarak kabul edilir ve doal tanm kümesi adn alr. Tanm kü- mesinin bir ekilde kstlanmasn istiyorsak bunu belirtmemiz gerekir. y = x2 fonksiyonunun tanm aral bütün reel say kümesidir. Tanm kümesini, örnein, pozitif x deerleri- ne kstlamak istiyorsak, “ y = x2, x 0” yazmamz gerekir.
Bir formülün uyguland bir tanm kümesini deitirmek genellikle deer kümesini de deitirir. y = x2 fonksiyonun deer kümesi [0, )’dur. y = x2, x 2 fonksiyonunun deer aral ise, 2’ye eit veya ondan büyük saylarn karelerini alarak elde edilen bütün saylarn kümesidir. Küme notasyonu ile, deer kümesi { x2 | x 2} veya { y | y 4} veya [4, )’dur.
Bir fonksiyonun deer kümesi reel saylardan oluuyorsa fonksiyonareel-deerli denir. Bir reel deikenin reel deerli fonksiyonu olan birçok fonksiyonun tanm ve deer kümeleri, aralklar veya aralklarn birleimidir. Aralklar açk, kapal, yar açk, sonlu veya sonsuz olabilirler.
ÖRNEK 1 Tan›m ve De¤er Kümelerini Belirlemek
Verilen fonksiyonlarn tanm ve deer kümelerini salayn.
Fonksiyon Tanm aral ( x ) Deer aral ( y)
[0, 1]
Çözüm y = x2 formülü her x reel says için reel bir y-deeri verir, dolaysyla tanm kümesi (– , ) dur. y = x2 nin deer kümesi [0, ) dur çünkü herhangi bir reel saynn karesi negatif olmayan bir saydr ve negatif olmayan her y says kendi karekökünün kare- sidir, y 0 için y = (√ y )2 dir.
y = 1@ x formülü x = 0 harici her x için reel bir y-deeri verir. Hiç bir sayy sfr ile böle- meyiz. y = 1@ x ’in deer kümesi, yani 0 hariç bütün reel saylarn çarpmaya göre terslerinin kümesi, y = 1@(1@ y) olduundan, sfrdan farkl bütün reel saylar kümesidir.
qqq
[0, q ds - q , 4] y = 2 4 - x
[0, q d[0, q d y = 2 x s - q , 0d ´ s0, q ds - q , 0d ´ s0, q d y = 1/ x
[0, q ds - q , q d y = x2
q
q
2 x2 x
D = tanm kümesi Y = deer kümesini içeren küme
fiEK‹L 1.23 Bir D kümesinden bir Y
kümesine bir fonksiyon D’deki her
elemana Y ’deki tek bir eleman eler.

1.3 Fonksiyonlar ve Grafikleri 21
formülü ancak x 0 ise reel bir y-deeri verir. Negatif olmayan her say bir baka saynn karekökü olduu için (yani, kendi karesinin kareköküdür), ’in deer kümesi
’te ise, 4 – x negatif olamaz. Yani, 4 – x 0 veya x 4 olmaldr. For- mül, x 4 için reel y- deerleri verir. ’in deer kümesi yani bütün negatif olmayan saylar kümesidir.
formülü [–1, 1] kapal aralndaki her x için reel bir y-deeri verir. Bu araln dnda, 1 – x2 negatiftir ve karekökü reel bir say deildir. 1 – x2’nin ve karekökünün deerleri 0 ile 1 arasnda deiir. ’nin deer kümesi [0, 1] dir.
Fonksiyonlar›n Grafikleri
Bir fonksiyonu göz önünde canlandrmann bir baka yolu fonksiyonun grafiidir. Tanm kümesi D olan bir fonksiyon ƒ ise grafii, Kartezyen düzlemde koordinatlar ƒ için girdi- çkt çiftleri olan noktalardan oluur. Küme notasyonu ile grafik
kümesidir. ƒ( x) = x + 2 fonksiyonunun grafii, koordinatlar y = x + 2 eitliini salayan ( x, y)
noktalarnn kümesidir. Grafii, ekil 1.24’te çizilmitir. Bir ƒ fonksiyonunun grafii, onun davran hakknda kullanl bir resimdir. ( x, y)
grafik üzerinde bir nokta ise y = ƒ( x) deeri x-noktasnda grafiin yüksekliidir. Yüksek- lik, ƒ( x)’in iaretine bal olarak pozitif veya negatif olabilir (ekil 1.25).
5s x, ƒs xdd ƒ x H D6 .
2 1 - x2
[0, q d ,2 4 - x y = 2 4 - x ,
[0, q d y = 2 x
y = 2 x
y x 2
fiEK‹L 1.24 ƒ( x) = x + 2’in grafii y = x + 2 denklemini salayan ( x, y) noktalarnn kümesidir.
y
üzerinde ise y = ƒ( x) deeri x noktasnda
grafiin yüksekliidir (veya ƒ( x) negatif ise
x noktasnn altndaki yükseklik).
[–2, 2] aralnda y = x2 fonksiyonunun grafiini çizin
Çözüm 1. Fonksiyon kuraln, yani bu durumda y = x2 eitliini salayan xy-ikililerinin bir
tablosunu yapn.
Bu soruyu cevaplamak için daha fazla nokta iaretleyebiliriz. Ancak bunlar nasl birletireceiz? Temel soru hala karmzdadr: aretlediimiz noktalar arasndaki grafiin neye benzediini kesin olarak nasl bileceiz? Sorunun cevab, Bölüm 4’te görülecei gibi, analizde yatmaktadr. Orada iaretlenen noktalar arasndaki erinin eklini bulmak için türev kullanacaz. O zamana kadar, noktalar iaretlemek ve on- lar elimizden geldii kadar iyi birletirmekle yetineceiz.
ÖRNEK 3 Bir Fonksiyonu Grafi¤inden Hesaplamak
ekil 1.26. da bir meyve sinei nüfusunun p grafii verilmitir.
(a) 20 ve 45 gün sonraki nüfuslar bulunuz. (b) 0 t 50 zaman aralnda nüfus fonksiyonunun deer kümesi (yaklak olarak)
nedir?
Çözüm
(a) ekil 1.26 dan (20, 100) noktasnn grafik üzerinde olduunu görürüz, dolaysyla, 20 de p nüfus deeri p(20) =100 dür. Benzer ekilde p(45) yaklak olarak 340 tr.
(b) 0 t 50 aralnda nüfus fonksiyonunun deer kümesi yaklak olarak [0, 345] dr. Ayrca unu gözleyebiliyoruz, zaman ilerledikçe nüfus giderek p = 350 deerine yaklar gibi gözükmektedir.
y = x2 grafiinin aadaki erilerden biri gibi görünmediini nereden biliyoruz?
y x 2?
10 20 30 40 50
Zaman (gün)
zamana kar grafii (Örnek 3).
2. Koordinatlar tabloda görülen (x, y) noktalarn iaretleyin. Hesaplama bakmndan kolaylk için kesirler kullann
3. aretlenmi noktalarda düzgün bir eri geçirin. Eriyi denklemiyle adlandrn.
0 1 2 –1 –2
1
2
3
1
2
3
4
x
y

Bir Fonksiyonu Say›sal Olarak Temsil Etmek
Bir fonksiyonun, cebirsel olarak bir formülle (alan fonksiyonu) ve görsel olarak bir gra- fikle ( Örnekler 2 ve 3 ) nasl temsil edilebildiini gördük. Bir fonksiyonu temsil etmenin bir baka yolu, bir deerler tablosundan saysal gösterimdir. Saysal gösterimler daha çok mühendisler ve uygulamal konularda çalan bilim adamlar tarafndan kullanlr. Bir grafik, uygun bir deerler tablosundan Örnek 2 de gösterilen yöntem kullanlarak, muhteme- len bir bilgisayar yardmyla, elde edilebilir. Sadece tablo noktalarnn grafiine dank- çizim denir.
ÖRNEK 4 Tablo De¤erleri ile Tan›mlanm›fl Bir Fonksiyon
Müzik notalar, hava içinde kaydedilebilir basnç dalgalardr. Tablo 1.2 deki veriler bir akor borusu tarafndan üretilen bir müzik notasnn, saniye olarak zamana kar kaydedil- mi basnç kaymasn vermektedir. Tablo, zaman üzerinde basnç fonksiyonunun bir gös- terimini vermektedir. Önce dank bir grafik çizer ve sonra tablodaki (t, p) veri noktalar- n birletirirsek ekil 1.27 de gösterilen grafii elde ederiz.
TABLO 1.2 Akor Borusu Verileri
Zaman Basnç Zaman Basnç
t (sn)
p (basnç)
Veri
verir.
Dikey Do¤ru Testi
Çizdiiniz her eri bir fonksiyonun grafii deildir. Bir ƒ fonksiyonu tanm aralndaki her x için tek bir ƒ( x) deerinden bakasn alamaz, dolaysyla hiçbir dik doru bir fonksiyonun grafiini bir kereden fazla kesemez. Yani bir çember bir fonksiyonun grafii olamaz, çünkü baz dik dorular çemberi iki kere keser (ekil 1.28a). a bir ƒ fonksiyonunun tanm kümesinde ise, x = a dikey dorusu ƒ’nin grafiini tek bir (a, ƒ(a)) noktasnda kesecektir.
Halbuki ekil 1.28a’daki çember x’in iki fonksiyonunun grafiini içermektedir; fonksiyonu ile tanml üst yarçember ve fonksi-

–1 10 x
–1 10 x
y
(b) y 1 x 2 (c) y – 1 x 2
fiEK‹L 1.28 (a) Çember bir fonksiyonunun grafii deildir; dik doru testini salamaz. (b) üst yarçember bir fonksiyonun
grafiidir. (c) alt yarçember bir fonksiyonun grafiidir. g s xd = -2 1 - x2 .
ƒs xd = 2 1 - x2 .
Parçal› Olarak Tan›mlanan Fonksiyonlar
Bazen bir fonksiyon tanm aralnn farkl bölgeleri için deiik formüllerle verilebilir. Bunlardan biri graf ii ekil 1.29’da verilen mutlak deer fonksiyonu dur:
Aada bu tip fonksiyonlara birkaç örnek verilmektedir.
ÖRNEK 5 Parçal› Olarak Tan›ml› Fonksiyonlar›n Grafiklerini Çizmek
fonksiyonu bütün reel doru üzerinde tanmldr, ancak deerleri x’in konumuna bal olan farkl formüllerle bulunur. ƒ’nin deerleri: x 0 iken y = –x ile, 0 x 1 iken y = x2 ile ve x 1 iken y = 1 ile verilir. Halbuki fonksiyon, tanm kümesi bütün reel saylar kümesi olan sadece bir fonksiyondur. (ekil 1.30).
ÖRNEK 6 En Büyük Tamsay› Fonksiyonu
Herhangi bir x saysndaki deeri x’ten küçük veya x’e eit en büyük tamsay olan fonksiyona en büyük tamsay fonksiyonu veya tamsay taban fonksiyonu denir. [ x ] veya ba- z kitaplarda [ x ] veya [[ x ]] ile gösterilir. ekil 1.31’de graf ii görülmektedir.:2.4; = 2, :1.9; = 1, :0; = 0, : -1.2; = -2,:2; = 2, :0.2; = 0, : -0.3; = -1 : -2; = -2.
ƒs xd = • - x, x 6 0
x2, 0 … x … 1
1, x 7 1
- x, x 6 0,
1
2
x
y
için, tanm aralndaki farkl
y
1
2
3
fonksiyonunun tanm kümesi

ÖRNEK 7 En Küçük Tamsay› Fonksiyonu
Herhangi bir x saysndaki deeri x’ten büyük veya x’e eit en küçük tamsay olanfonksi- yona en küçük tamsay fonksiyonu veya tamsay tavan fonksiyonu denir. ile gös- terilir. ekil 1.32’de grafii görülmektedir. Bu fonksiyon, x’in pozitif deerleri için örne- in, bir saat için $1 alan bir park yerinde x saat kalmann ederini gösteriyor olabilir.
ÖRNEK 8 Parçal› Olarak Tan›ml› Fonksiyonlar ‹çin Formüller Yazmak
ekil 1.33 te, grafii iki doru parçasndan oluan y = ƒ( x) fonksiyonu için bir formül yaznz.
Çözüm (0, 0)’dan (1, 1)’e ve (1, 0)’dan (2, 1)’e olan doru parçalar için formüller bulur ve bunlar Örnek 5 teki gibi birletiririz.
(0, 0)’dan (1, 1)’e olan do¤ru parças›: (0, 0) ve (1, 1) den geçen dorunun eimi m = (1 – 0)@(1 – 0) = 1 dir ve y-kesim noktas b = 0 dr. Eim-kesim noktas denklemi y = x dir. (0, 0)’dan (1, 1)’e olan ve (0, 0) noktasn içeren fakat (1, 1) noktasn içermeyen doru parças, 0 x 1 yar-açk aralna kstlanm y = x fonksiyonunun grafii dir, yani fonksiyon
y = x, 0 x 1
dir.
(1, 0)’dan (2, 1)’e olan do¤ru parças›: (1, 0) ve (2, 1) den geçen dorunun eimi m = (1 – 0)@(2 – 1) = 1 dir ve (1, 0) noktasndan geçer. Doruya kar gelen nokta-eim denklemi
y = 0 + 1 ( x – 1) veya y = x – 1
dir. (1, 0)’dan (2, 1)’e olan ve her iki uç noktasn da içeren doru parças, 1 x 2 kapal aralna kstlanm y = x – 1 fonksiyonunun grafii dir, yani fonksiyon
y = x – 1, 1 x 2
Parçal› formül Grafiin iki parças için elde edilen formüller birletirilerek
elde edilir.
x - 1, 1 … x … 2.

–2
–1
1
2
(0, 0) noktasn içerir fakat (1, 1)
noktasn içermez. Sadaki doru
içerir (Örnek 8).
fonksiyonu y = ’in grafi
üstünde bulunur ve böylece x için
bir tamsay tavan oluturur.
y x
y x
fonksiyonu y = ’in grafi

ALIfiTIRMALAR 1.3
Fonksiyonlar 1–6 alt

thomas calculus 11ed(tr) -1

Documents