theorie du bipotentiel un fil conducteur pour la modélisation des lois de comportement
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THEORIE DU BIPOTENTIEL
un fil conducteurpour la modélisation
des lois de comportement
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Plan de l’exposé
Le bipotentiel
Mécanique du contact
Plasticité des sols
L’écrouissage non linéaire
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LOI DE COMPORTEMENT
VARIABLES
PRIMALES
déformations, déplacements, vitesses, incréments,...
x
DUALES
contraintes, forces,...
y
PRODUITSCALAIRE .x ytravail, puissance,...
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LOI DE COMPORTEMENT
, . .loi x y VRAI
Loi de normalité univoque :POTENTIEL
Loi de normalité multivoque :SURPOTENTIEL
Loi non associée :BIPOTENTIEL
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COUPLE EXTREMAL (x, y)
*( ) ( ) .x y x y
*( )x y loi inverse
( )y x
loi de comportement
loi de normalité multivoqueou de sous-normalité
INEGALITE DE FENCHEL
*( , ) ( ) ( ) .x y x y x y
( )x x convexe
SURPOTENTIEL
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MATERIAUX STANDARDS
Matériaux admettantun surpotentiel
Bonnes propriétés dela loi de normalité
Calcul des Variations:existence de fonctionnelles
Analyse limite:théorèmes de bornes
Calcul pas-à-pas:la matrice de rigidité tangenteest symétrique et définie-positive
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Contraintehydrostatique
contrainte déviatorique
K
p
surface d’écoulement
PLASTICITE NON ASSOCIEE
FORMULATION DU BIPOTENTIEL:
une fonction de deux variables
LA FORMULATION CLASSIQUE:
)(ffonction de charge:
potentiel plastique (Melan): tel que :)(g )(
gp
deux fonctions d’une variable
0)( f
teCg )(
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bBIPOTENTIEL
b BI-CONVEXE
( , ) ( , ) .x y b x y x y
INEGALITEFONDAMENTALE
( , ) ( , )x y b x y
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COUPLE EXTREMAL (x, y)
b x y x y( , ) .
x b x yy ( , )Loi inverse
LOI DE SOUS-NORMALITE IMPLICITE
y b x yx ( , )
Loi de comportement
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MATERIAU STANDARD
Le bipotentielest séparable
*( , ) ( ) ( )b x y x y
MATERIAU STANDARD IMPLICITE
matériau admettantun bipotentiel
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Le bipotentiel
Mécanique du contact
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CONTACT UNILATERALA FROTTEMENT SEC
DE COULOMB
rn
un
non contact
contact
0 0
0 0
0 0 0
/
n n
n t n
n t n n
t t t
r u
r r r u
r r r u
tel que u r r
si alors
sinon si et alors
sinonsi et alors et
rt
ut
glissement
adhérence
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u
nr pression de contact
tr
force de frottement
n’admet pas de surpotentiel ...
... mais admet un bipotentiel
loi de glissementnon associée
LA LOI DE CONTACT UNILATERALAVEC FROTTEMENT SEC
DE COULOMB
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BIPOTENTIEL DE CONTACT bc
0( , ) n t n
c
r u si r K et ub u r
autrement
permet de représenter laloi complète de contactde manière compacte
( , )u b u rr c
r b u ru c ( , )
nr pression de contact
tr force de frottement
r réaction de contact
cône de frottementde Coulomb
K
rn
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SCHEMA PREDICTEUR/CORRECTEUR PARPROJECTION SUR LE CONE DE COULOMB
r proj r u u n Kt ,technique
du Lagrangienaugmenté
Predicteur
Correcteur
r u u nt
r proj K ,
K*
nr pression de contact
t
force de frottement
r
r
rglissement
adhérence
non contact
K
cône dual
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Absorbeur de chocDe Saxcé & Feng (1998)
polyurethane
rigide
rigide
polyurethane
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Problèmes quasi-statique
31400 mkg
mmd 4
3.0
Estimateur de l’erreur en loi de comportement
),(
.),(
rub
rurub
c
c
De Saxcé & J. Fortin (2000)
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Compaction isotrope (2470 particules)
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Vidange d’un silo (1600 particules)
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Vidange d’un silo (1580 particules)