théorie des nombres composites
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Il s'agit d'une révision de la Théorie des nombres en PDF.TRANSCRIPT
Les nombres composites… En quoi sont-ils différents des nombres ordinaires ? Sont-ils d’une quelconque utilité ?
BILEOMBELE WA LUMONA
Table des matièresI. CONCEPTION ET PROPRIÉTÉS PRÉLIMINAIRES...............................................................................3
A. Somme et différence..................................................................................................................3
B. Multiplication et division............................................................................................................3
C. Puissance....................................................................................................................................5
II. RELATION FONDAMENTALE...........................................................................................................7
III. CE QUE SUGGÈRE LA NOTATION « C1 »...................................................................................23
A. Triangle des indices ou triangle naturel...................................................................................24
1. Iso-IDK..................................................................................................................................29
2. Iso-IDP..................................................................................................................................29
B. Définition de Cn.......................................................................................................................29
IV. EXPRESSION APPROCHÉE D’UNE FONCTION............................................................................30
V. LE ZÉRO APPARENT ET LES LIMITES..............................................................................................35
VI. TOUR D’HORIZON DES NOMBRES COMPOSITES.......................................................................40
A. Somme.....................................................................................................................................40
B. Différence.................................................................................................................................40
C. Multiplication...........................................................................................................................40
1. Colonombre..........................................................................................................................40
2. Colonombre et nombres composites...................................................................................43
3. Autre emploi de la colonombre............................................................................................46
D. Division.....................................................................................................................................49
E. Puissance..................................................................................................................................54
F. Relation fondamentale.............................................................................................................66
VII. STRUCTURES DES NOMBRES COMPOSITES..............................................................................72
A. ¿................................................................................................................................................72
B. (Cn ,+,×)................................................................................................................................74
C. Cn ¿¿........................................................................................................................................77
VIII. FONCTIONS À VARIABLE COMPOSITE......................................................................................79
A. Limites......................................................................................................................................79
B. Continuité.................................................................................................................................81
C. Dérivées partielles de ϝ=f (s) par rapport aux variables réellesx , y ,…, z..........................81
D. Dérivée de ϝ=fs en s0............................................................................................................82
E. Quelques fonctions d’une variable composite.........................................................................84
1. La fonction linéaire...............................................................................................................84
2. La fonction homographique.................................................................................................88
3. La fonction puissance...........................................................................................................91
4. La fonction polynôme...........................................................................................................91
5. La fonction rationnelle..........................................................................................................96
6. La fonction exponentielle.....................................................................................................97
7. La fonction logarithme népérienne......................................................................................97
8. La fonction cosinus...............................................................................................................98
9. La fonction sinus...................................................................................................................98
10. La fonction tangente.........................................................................................................98
11. La fonction cosinus hyperbolique.....................................................................................98
12. La fonction sinus hyperbolique.........................................................................................98
13. La fonction tangente hyperbolique...................................................................................99
I. CONCEPTION ET PROPRIÉTÉS PRÉLIMINAIRES
L’équation 1
x2=0 n’a pas de solution dans R. Soit
1j
une solution de cette équation dans un
ensemble qu’on nommeraC1. Il s’agit en fait de l’ensemble des nombres composites à une branche. La notation quelque peu « singulière » de cet ensemble sera éclaircie plus tard. Toutefois cet
ensemble peut être défini comme suit : C1={v : v=p+ qj
avec ( p ;q )∈R2et 1
j2=0}Les
nombres composites à une branche correspondent évidemment aux nombres duaux avec cependant un côté plus subtil.
Soient a+ bjet a'+ b '
jdeux éléments de C1.
On a les propriétés suivantes :
A. Somme et différence
a+ bj+a'+ b '
j=a+a '+ b+b '
j.
a+ bj−(a'+ b '
j )=a−a'+ b−b'
j.
B. Multiplication et division
(a+ bj )(a'+ b '
j )=aa '+ ab '+a' bj
.
a+ bj
a'+ b 'j
= aa '
+
a'b−ab'a '2
javec a ' ≠0.
*Cas particuliers de division
On a : a+ b
jj
=aj.
En effet : a+ b
jj
=aj+b
j2 or 1
j2=0¿ aj.
Division par un composite aréel :
Un composite aréel est un nombre composite sans partie réelle et non nul.
Exemple de composites aréels :
1j;−96
j;
12,3j
.
Soit c∈R¿
On a : a+ b
jcj
={bc + ?j
si a= 0
ou n'est pas défini dans l'ensemble C1 si a≠0
En effet si nous posons : a+ b
jcj
=x+yj
avec ( x ; y ) un couple d'inconnus.
On aura : a+ bj= c
j (x+ yj )¿ cx
jsoit alors{ a=0
b=cx
Il apparait donc que a est nécessairement nul et que x=bc
. En revanche y reste indéterminé.
Conséquences :
Pour qu’une division par un composite aréel soit possible il faut obligatoirement que le numérateur soit aussi un composite aréel.
( 1j )
−1
= 11j
= jn'est pas défini dans C1.
L'écriture p+ qj
est dorénavant confortée car l'écriture « pj+qj
»est dénuée de sens dans C1.
C. Puissance
(a+ bj )
n
=an+Cn1an−1 b
j+Cn
2an−2( bj )2
+Cn3an−3( bj )
3
+…+( bj )n
¿an+ nan−1bj
+( bj )2[Cn
2an−2+Cn3an−3( bj )+…+( bj )
n−2]or (bj )2
=b2×1j2
=0¿an+ nan−1bj
.
Cependant cette formule n’a de sens que poura≠0.
En effet si l’on applique cette formule lorsquea=0, on aura :
(0+ bj )
1
=01+ 1×00bj
or 00 n'est pas défini
d'où (a+ bj )
n
=an+ nan−1bj
avec a≠0.
Exemple :
(a+ pj )
n
=1+ npj.
Quelle est la racine carrée du nombre composite A+ Bj
sachant A>0?
Soit x+ yj
tel que (x+ yj )
2
=A+Bj.
On aura alors : x2+ 2xyj
=A+ Bj
soit { x2=A2xy=B
soit encore {x=±√A
y= B2 x
Alors A+Bj
admet deux racines carrées : √A+
B2√A
jet −√A+
B−2√A
j.
Cinématique
Mouvement uniformément varié
{x=12g t 2+V 0 t+x0
V =¿+V 0
Démontrons que : V 2−V 02=2 g (x−x0 ) .
On a : V+gj=¿+V 0+
gj
⇒(V + gj )
2
=(¿+V 0+gj )
2
⇒V 2+ 2gVj
=g2 t 2+2 gV 0 t+V 02+
2g (¿+V 0 )j
⇒V 2−V 02+ 2 gV
j=g2t 2+2gV 0 t+
2 g (¿+V 0 )j
.(1)
On a aussi : x+Vj=1
2g t 2+V 0t+x0+
¿+V 0
j
⇒ x−x0+Vj=1
2g t 2+V 0 t+
¿+V 0
j
⇒2 g (x−x0 )+ 2gVj
=g2 t2+2 gV 0t+2g (¿+V 0 )
j.(2)
De (2) et (1) on déduit que : 2g ( x−x0 )+ 2 gVj
=V 2−V 02+ 2gV
j.
Alors V 2−V 02=2g (x−x0 ) .
Soient v1=a+ bj
et v2=a '+ b'
jayant pour conjugués respectifs v1=a−b
jet v2=a '−b '
j.
On a:
v1±v2=v1± v2 v1 . v1=a2
v1v2=v1 . v2 v12+v1
2=2a2
( v1
v2)= v1
v2
v12−v1
2=4 abj
v1+v1=2a v1n=v1
n
v1−v1=2bj
II. RELATION FONDAMENTALE
Pour une fonction polynôme f on constate que : f (x+ kj )= f ( x )+ kf ' ( x )
javec k∈C 1.
Soit en effet f ( x )=a xn+bxn−1 + +⋯ px +q .
On aura : f (x+ kj )=a(x+ k
j )n
+b(x+ kj )
n−1
+ +⋯ p(x+ kj )+q
¿a (xn+ nkxn−1
j )+b(xn−1+ nkxn−2
j )+ +⋯ p (x+ kj )+q
¿a xn +bxn−1 +⋯+ px+q+k (anxn−1+b (n−1 ) xn−2+⋯+ p )
j¿ f ( x )+ kf '(x )
j.
Soient g et h deux fonctions dérivables et supposons que :
{g (x+ kj )=g ( x )+ k g ' ( x )
j
h(x+ kj )=h ( x )+ kh ' ( x )
j
(k∈C1)
Soient s=g+h et donc s'=g'+h' .
On a : s ( x )=g ( x )+h (x )
d'où s( x+ kj )=g(x+ k
j )+h(x+ kj )¿ g ( x )+ k g' ( x )
j+h ( x )+ k h' ( x )
j¿ g ( x )+h (x )+
k (g' ( x )+h' ( x ) )j
¿ s ( x )+ ks '(x )j
.
Alors s (x+ kj )=s (x )+ ks ' (x)
j.
Soient p=gh et doncp'=gh'+g' h.
On a : p ( x )=g ( x )h ( x )
d'où p( x+ kj )=g(x+ k
j )h( x+ kj )¿(g ( x )+ k g' ( x )
j )(h (x )+ k h' ( x )j )
¿ g ( x )h ( x )+ g ( x ) k h' ( x )+k g' ( x )h ( x )j
¿ g ( x )h ( x )+k (g ( x )h' ( x )+g ' ( x )h ( x ) )
j¿ p ( x )+ kp ' (x)
j.
Alors p(x+ kj )=p ( x )+ kp '( x)
j.
Soient r=gh
et donc r '=g' h−gh 'h2 .
On a : r ( x )=g (x)h(x )
d'où r (x+ kj )=
g( x+ kj )
h(x+ kj )
¿g ( x )+ k g' ( x )
j
h ( x )+ k h' (x )j
¿g (x )h(x )
+
k g' ( x )h (x)−g ( x ) k h' ( x )h(x )2
j
¿g (x )h(x )
+
k (g ' ( x )h(x)−g ( x )h' (x ) )h(x )2
j
¿ r ( x )+ kr ' (x)j
.
Conclusion :
Pour toute fonction dérivable f on a l'égalité suivante : f (x+ kj )=f ( x )+ k f ' ( x )
javec k∈C1.
Si F est une fonction en v àcoefficients réels, on a :F (v )=F (v ) .
En effet si v=x+ yj,on aura :
F ( v )=F ( x )+ y F ' ( x )j
d'où F (v )=F ( x )− y F ' ( x )j
¿ F (x− yj )¿ F ( v ) .
Conséquence : Si F (v0 )=0alors F (v0 )=0.
Un nombre composite peut se présenter sous deux formes différentes :
forme algébrique du genre a+ bj
avec (a ;b)∈ R2
forme analytique du genre f ( p )+ q f ' ( p )j
ou f ( p+ qj)avec (p; q)∈R2
Autres propriétés :
o f (x+ kj )=f (x+ k−n
j )+ nf ' (x )j
En effet : f (x+ kj )=f ( x )+ k f ' ( x )
j¿ f ( x )+
(k−n+n ) f ' ( x )j
¿ f ( x )+(k−n ) f ' (x )
j+n f ' (x )
j
¿ f (x+ k−nj )+ n f ' ( x )
j.
of (x+ k
j )j
=f (x )j
En effet : f ( x+ k
j )j
=f ( x )+ k f ' ( x )
jj
=f ( x )j
.
of (x+1
j )=f ( x )+f (x+ k
j )j
En effet : f (x )+f '(x+ k
j )j
=f ( x )+ f ' ( x )j
¿ f (x+ 1j ) .
of (x+ k+1
j )=f (x+ kj )+
f '(x+ k '
j )j
En effet : f (x+ kj )+
f '( x+ k '
j )j
= f (x )+ k f ' ( x )j
+f ' ( x )j
= f ( x )+(k+1 ) f ' ( x )
j
= f ( x+ k+1j ).
À l’aide des nombres composites à une branche retrouvons les dérivées de quelques fonctions
usuelles. f ' ( x ) est la dérivée de la fonction considérée.
sinx
On a : sinx+f ' (x )j
=sin (x+ 1j )
d'où f '(x )
j=sin(x+1
j )−sinxor sin α−sin β=2sin12
(α−β ) cos12
(α +β )¿2 sin
12j
cos( x+ 12j )
¿2 sin(0+
12j )cos (x+ 1
2j )¿2(sin 0+
12f ' (0 )
j )(cosx+ 12g ' ( x )
j )avec g' ( x )= (cosx )'¿f ' (0 ) cosx
j.
donc f ' ( x )= f ' (0 )cosx or f ' (0 )=limx→ 0
sinx−sin 0x−0
¿ limx→0
sinxx
¿1.
alors f ' ( x )=cosx
Ainsi ( sinx )'=cosx .
cosx
On a : cosx+f ' ( x )j
=cos( x+ 1j )
⇒f '( x)
j=cos (x+ 1
j )−cosx or cosα−cosβ=−2 sin12
(α+β ) sin12
(α−β )¿−2sin(x+ 1
2j )sin
12j
¿−2 sin(x+ 12j )sin(0+
12j )¿−2(sinx+ 1
2g ' ( x )
j )(sin 0+
12g' (0 )
j )avec g ' ( x )=(sinx )'¿−g ' (0 )sin x
j
donc f ' ( x )=−g' (0 ) sinxor g' (0 )=limx→0
sinx−sin 0x−0
=1
alors f ' ( x )=−sinx
Ainsi (cosx )'=−sinx .
tanx
On a : tanx+f ' ( x )j
=tan(x+ 1j ) or tan (α+ β )= tanα+tanβ
1−tanα tanβ¿
tanx+ tan1j
1−tanx tan1j
¿tanx+ tan(0+ 1
j )1−tanx tan (0+ 1
j )¿
tanx+ tan 0+f ' (0 )j
1−tanx( tan 0+f ' (0 )j )
¿tanx+
f ' (0 )j
1−f ' (0 ) tanx
j
¿ tanx+f ' (0 )+ f ' (0 ) tan2 x
j
donc f ' ( x )=f ' (0 ) (1+ tan2 x ) or f ' (0 )=limx→0
tanx−tan 0x−0
¿ limx→ 0
tanxx
¿1
alors f ' ( x )=1+ tan2 x
Ainsi (tanx )'=1+ tan2 x .
cotanx
On a : cotan(x+1j )= 1
tan( x+ 1j )
⇒ cotanx+f ' (x )j
= 1
tanx+ 1+ tan2 xj
¿ 1tanx
−1+ 1
tan2 xj
¿cotanx−1+cotan2 xj
alors f ' ( x )=−(1+cotan2 x )
Ainsi (cotanx ¿ '=−(1+cotan2 x) .
arc tanx
On a : arc tan(x+ 1j )=arc tanx+
f ' ( x )j
⇒ tan [arc tan(x+1j )]=tan [arc tanx+ f ' ( x )
j ]⇒ x+ 1
j=tan [arc tanx ]+ f ' ( x ) [1+ tan2 (arc tanx ) ]
j¿ x+
f ' ( x ) [1+x2 ]j
donc 1= f ' ( x ) [1+x2 ]
alors f ' ( x )= 1
1+ x2
Ainsi (arc tanx )'= 1
1+x2.
arc sinx
On a : arc sin (x+ 1j )=arc sinx+
f ' ( x )j
⇒ sin [arc sin(x+1j )]=sin [arc sinx+
f ' (x )j ]
⇒ x+ 1j=sin [arc sinx ]+ f ' ( x ) cos [arc sinx ]
j¿ x+
f ' ( x ) cos [arc sinx ]j
donc 1=f ' ( x )cos [arc sinx ]
alors f ' ( x )= 1cos [arc sinx ]
¿ 1
√1−sin2 [arc sinx ]pour −π
2<arc sinx< π
2¿ 1
√1−x2
Ainsi (arc sinx )'= 1
√1−x2.
lnx
On a : lnx+f ' ( x )j
=ln(x+1j )
⇒f ' ( x )j
=ln(x+ 1j )−lnx¿ ln ( x+ 1
jx )¿ ln (1+
1xj )¿ ln 1+
1xf ' (1 )
j¿
1xf ' (1 )
j
donc f ' ( x )= f ' (1 )x
or f ' (1 )=limx→1
lnx−ln1x−1
¿ limx→1
lnxx−1
¿1
alors f ' ( x )=1x
Ainsi (lnx )'=1x.
ex
On a : ex+f ' (x )j
=ex+1
j
⇒f ' ( x )j
=ex+1
j−ex
¿ex (e1j−1)¿ex (e0+
1j−1)¿ex (e0+
f ' (0 )j
−1)¿ ex f ' (0 )j
donc f ' ( x ) =ex f ' (0 ) or f ' (0 )=limx→0
ex−e0
x−0
¿ limx→0
e x−1x
¿1
alors f ' ( x )=ex
Ainsi (ex )'=ex .
ax
Si aest positif et non nul on aura : a=elna
⇒ ax +1
j = (e lna)x+1
j
⇒ ax+f '(x )
j=e
xlna+ lnaj
¿exlna+ exlna lnaj
donc ax=exlna
f ' ( x )=exlna lna}f ' (x )=ax lna
Ainsi (ax )'=ax lna.
(−a )x
On suppose que a>0.
On a : (−a )x+
1j (−a )
x+1j=[ (−a )
x+1j ]2
⇒((−a )x+ f ' ( x )j )( (−a ) x+ f ' ( x )
j )= [ (−a )2 ]x+ 1
j
⇒((−a )x+ f ' ( x )j )
2
=a2x +2
j
⇒ [ (−a )x ]2+ 2 (−a )x f ' ( x )j
=a2x+ 2a2x lnaj
⇒ a2 x+2 (−a ) x f ' ( x )
j=a2 x+ 2a2x lna
j
donc 2 (−a ) x f ' ( x )=2a2x lna
alors f ' ( x )=(−a )x lna
Ainsi [ (−a )x ]'=(−a )x lna.
Puisque (ax )'=ax lna et [ (−a )x ]'=(−a )x lna on déduit donc que (ax )'=ax ln ǀ aǀ ∀ a∈ R¿ .
Application :
Calculons (A+ Bj )
α+βj avec A un réel non nulet (α ; β ) un couple de réels .
On a : (A+Bj )α+
βj=A
α +βj+
(α+ βj )A
α+ βj−1
B
j¿ A
α +βj+
(α+ βj )A
α−1+ βj B
j
¿ Aα+β Aα ln|A|
j+(α+ β
j )(Aα−1+β Aα−1 ln|A|
j )Bj
¿ Aα+α Aα−1B+ β Aα ln|A|
j.
Exemple :
21+1
j=2+ ln2j
.
(x+ 1j )
x+ 1j=xx+
(1+ ln|x|)x x
j¿
Déterminer deux nombres composites connaissant leur somme S+ S '
j et leur produit P+ P'
j.
On aura alors : X2+(S+ S'
j )X+P+P '
j=0
d'où ∆=(S+ S'
j )2
−4(P+ P'
j )¿ S2−4 P+ 2S S'−4 P'
j.
Si R (∆) ≥0 on aura : X=−(S+ S '
j )±∆12
2.
f [u (x)]
On a : f [u (x+ 1j )]=f [u (x )+ u' ( x )
j ]¿ f [u ( x ) ]+u ' ( x ) f ' [u (x ) ]
j.
Alors [ f (u ) ]'=u ' f ' (u ) .
Cinématique
Mouvement curviligne
Écrivons les équations de mouvement suivantes sous une forme composite.
1er exemple :
{x=3 sint+costy=sint−3cost
On aura :
x+ yj=3 sint+cost+ sint−3cost
j¿3 sint+cost−3cost−sint
j¿3 sin(t−1
j )+cos (t−1j )
Le mouvement peut donc être défini par l'expression : 3 sin(t−1j )+cos (t−1
j ) .2e exemple :
{x=a (1+cost )y=bsint
On aura :
x+ yj=a (1+cost )+bsint
j ¿a (1+cost )−
−aba
sint
j¿a (1+cost )−
ba
(−asint )
j¿a [1+cos(t− b
aj )] .
Le mouvement peut donc être défini par l'expression : a [1+cos (t− baj )] .
3e exemple :
{x=a(cosπ2t−sin
π2t )
y=b(cosπ2t+sin
π2t)
(a>b>0 )
On aura :
x+ yj=a(cos
π2t−sin
π2t)+
b(cosπ2t+sin
π2t)
j¿a (cos
π2t−sin
π2t)−
aba (−sin
π2t−cos
π2t)
j
¿a (cosπ2t−sin
π2t)−
ba [a(−sin
π2t−cos
π2t)]
j¿a [cos( π2 t−
baj )−sin( π2 t−
baj )] .
Le mouvement peut donc être défini par l'expression : a [cos ( π2 t−
baj )−sin( π2 t−
baj )] .
4e exemple :
a⃗ , le vecteur accélération, est la r ésultante de 2 vecteurs :
a⃗ t , accélération tangentielle, portée par la tangente : |a⃗t|=d vdt
a⃗n ,accélération normale à la trajecto ir e dirigée vers la concavité : |a⃗n|=v2
R
Soit v a⃗ l'affixe de a⃗ dans un plan composite :
On aura : v a⃗= |⃗an|+|a⃗t|j ¿
v2
R+
d vdtj
¿v2
R+
2v Rd v2 v Rdt
j¿
v2
R+
R2v
×2 vd vRdt
j ¿ v2
R+
R2v
×d (v2
R )dt
j
¿v2( t+ R
2 vj )
R
Donc : v a⃗=v2( t+ R
2vj )
R.
Mouvement harmonique
Ramenons les équations suivantes à la forme Acos (ωt−φ )
1er exemple : x=5 sin2 3 t+2cos23 t−72
Soit Acos (ωt−φ )=5sin23 t+2cos23 t−72.(¿)
Si t=1j
on aura : Acos(−φ+ωj )=5sin2 3
j+2 cos2 3
j−7
2
⇒ A (cosφ+ωsinφj
)=−32
⇒{Acosφ=−32
Aωsinφ=0
or A≠0 et ω≠0 ; autrement Acos (ωt−φ ) serait une constante, ce qui ne doit pas être le cas.
il vient donc: Acosφ=−32
sinφ=0⇒φ=0 }A=−32
Si t= π12
+ 1j
la relation (¿) deviendra : −32
cos(ωπ12
+ωj )=9
j
9j=−3
2cos (ωπ
12+ω
j )¿−32 (cos
ωπ12
−ωsin
ωπ12
j )⇒{−3
2cos
ωπ12
=0
32ωsin
ωπ12
=9
⇒{cosωπ12
=0
sinωπ12
= 6ω
⇒(cosωπ12 )
2
+(sinωπ12 )
2
=( 6ω )
2
⇒1=( 6ω )
2
⇒ω=±6
Alors x=−32
cos6 t .
2e exemple : x=3 cos (ωt− π3 )+5 sin(ωt−π
4 )Soit Acos (ωt−φ )=3 cos(ωt−π
3 )+5sin (ωt− π4 )
Si t=1j
on aura : Acos(−φ+ωj )=3cos(−π
3+ω
j )+5 sin(−π4
+ωj )
⇒ A ¿
⇒Acosφ=3cos
π3−5 sin
π4
Aωsinφ=ω (3 sinπ3
+5cosπ4
)}tanφ=3sin
π3+5 cos
π4
3cosπ3−5 sin
π4
=3√3+5√23−5√2
alors φ=−1,25 radians et on déduit que A=4,76
ainsi x=4,76 cos (ωt+1,25).
Mouvements vibratoires
Cas de 2 sources synchrones produisant des déformations de même direction :
Si {y1=a1 sin (ωt+φ1)y2=a2 sin (ωt+φ2)
sont les déformations que produirait chacune d'elles au point M, l'élongation de ce point est
Y= y1+ y2 , fonction sinusoïdale de même période, donc de m ême pulsation, Y=Asin (ωt+φ ) .
Déterminons Y autrement dit A et φ.
On a : Y= y1+ y2
soit Asin (ωt+φ )=a1 sin (ωt+φ1)+a2 sin (ωt+φ2 )
Si t=1j
on aura : Asin(φ+ωj )=a1sin (φ1+
ωj )+a2 sin(φ2+
ωj )
⇒ A (sinφ+ωcosφj )=a1(sinφ1+
ωcosφ1
j )+a2(sinφ2+ωcosφ2
j )¿a1sinφ1+a2sin φ2+
ω (a1 cosφ1+a2 cosφ2 )j
⇒{ Asinφ=a1 sinφ1+a2sinφ2
Aωcosφ=ω (a1cos φ1+a2 cosφ2 )
⇒ Asinφ=a1 sinφ1+a2 sinφ2
Acosφ=a1 cosφ1+a2cos φ2}tanφ=
a1sinφ1+a2 sinφ2
a1 cosφ1+a2 cosφ2
d'autre part on a : (a1sin φ1+a2 sinφ2 )2 + (a1cos φ1+a2 cos φ2 )2= A2 ( sinφ2+cosφ2 )
soit A2=a12+a2
2+2a1a2 cos (φ1−φ2 )
soit enfin A=√a12+a2
2+2a1a2cos (φ1−φ2 ) .
On note ici que l’emploi des nombres composites constitue une alternative intéressante à la construction d’Augustin Fresnel.
Courant alternatif
Oscillateurs électriques
Soit le montage RLC suivant :
On y établit une tension instantané e u (t )=R Imcosωt+Lω Im cos(ωt+ π2 )+ Im
Cωcos (ωt− π
2 ) .Déterminons l'impédance Z (Z=
UI
¿ du circuit et φ (l'avance de phase de u par rapport à i ¿ .
La tension u ( t ) , somme de trois tensions sinusoïdales de m ême fréquence, est de la forme :
u (t )=Um cos (ωt+φ) .
On aura :Umcos (ωt+φ )=R Imcosωt+Lω Imcos (ωt+ π2 )+ Im
Cωcos (ωt− π
2 ) .
C L
R
Si t=1j
on aura : U m cos(φ+ωj )=R Imcos
ωj+Lω Imcos( π2 +ω
j )+ImCω
cos (−π2
+ωj )
⇒U m(cosφ−ωsinφj )=RIm−
Lω2 Imj
+
ImCj
¿ R Im−Lω2 Im−
ImC
j
⇒{ U mcosφ=R Im(1)
Umωsinφ=Lω2 Im−ImC
(2)
⇒
Um
Imcosφ=R
Um
Imsinφ=Lω−
1Cω
}(U m
Im )2
( cosφ2+ sinφ2 )=R2+(Lω− 1Cω )
2
⇒Um
Im=√R2+(Lω− 1
Cω )2
or U m
Im=U
Icar {Um=U√2
Im=I √2
donc Z=U m
Im=√R2+(Lω− 1
Cω )2
.
Quant à déterminer φ on procède comme suit :
(2 )(1 )⟹ωtanφ=
Lω2− 1C
R
soit tanφ=Lω− 1
CωR
et (1)⟹cosφ=R ImUm
=RZ
.
III. CE QUE SUGGÈRE LA NOTATION « C1 »
1J
se comporte comme le nombre zéro. En effet 0−1 n'est pas défini dans C 1 tout comme ( 1j )
−1
.
D’autre part on a les similitudes suivantes :
Cependant on sait que 1jest différent de zéro puisque ce n'est pas un réel .
Du fait de la similitude de 1j
avec zéro on peut à juste titre le nommer: « zéro apparent ».
Un nombre composite v=a+ bj
est composé de deux parties :
la partie réelle R ( v¿=a le coefficient du zéro apparent ou branche B (v ¿=b
On sait jusqu’ici qu’un nombre composite se présente sous deux formes : la forme algébrique et la forme analytique. La forme analytique justement ainsi que la notation « C1 » nous suggèrent l’existence des nombres composites aux formes analytiques plus complexes. Voici précisément ces nombres :
f + f '
j2
+ f ' '
j3
avec { 1j2
2 =2!j3
1j2
3 =0
x 01j
sinx 01j
cosx 1 1
lnx
ex 1+0 1+ 1j
f +f '
j4
+f ' '
j5+f ' ' '
j6
avec {1j4
2 =2!j5
1j4
3 =3 !j6
1
j44=0
f + f 'j7
+ f ' 'j8
+ f ' ' 'j9
+ f ' ' ' 'j10
avec {1j7
2 =2!j8
1
j73=3 !
j9
1
j74 =
4 !j10
1j7
5 =0
⋮
Conséquences :
Il apparaît donc qu’il existe des nombres composites à deux branches, à trois branches, à n branches. Ici le terme « branche » fait référence à la quantité ou aux quantités autres que la partie réelle.
Les nombres de la forme f + f '
j sont donc des nombres composites à une branche et on sait d’ores et
déjà que leur ensemble est notéC1.
De façon générale Cn est l’ensemble des nombres composites à n branches avec n∈N ¿ .
Pourquoi les avoir appelés nombres composites ?
Une chose est dite composite lorsqu'elle est composée d'éléments très différents. Il en va de cette espèce de nombres. Ces nombres sont composés des fractions dont le numérateur et le dénominateur sont de nature très différente. En effet le numérateur est un réel tandis que le dénominateur, ce qui est certain, n'est pas un réel. C'est donc à juste titre que ces nombres sont appelés nombres composites.
Les nombres composites sont donc regroupés en différents ensembles suivant leur nombre de branche. On peut toutefois définir une famille d’ensembles des nombres composites qu’on notera C
tel que : C ¿ {Cn avecn∈N ¿ } .
A. Triangle des indices ou triangle naturel
Àquel ensemble desnombres composites appartient4+ 7j2013
?
Pour répondre à cette question il est judicieux de recourir au triangle des indices des nombres composites que voici :
On voit bien que les indices ou les nombres, que nous appelerons briques, sont disposés de façon à former un triangle rectangle. D’autre part les lignes ainsi que les colonnes sont numérotées. Un indice est donc facilement localisable dans ce triangle par le numéro de sa ligne et le numéro de sa colonne. Par exemple l’indice « 9 » est repéré par l’intersection de la 4e ligne et de la 3e colonne. Par souci de simplicité on notera : (9) < 4;3 >.
Le triangle des indices ou triangle naturel se trouve donc être un système de coordonnées. Dans ce système le premier nombre représente naturellement l’indice, le second nombre est appelé son idadi ya kwanza1 (abrégé IDK) tandis que le dernier nombre est l’idadi ya pili2 (abrégé IDP) du dit-indice. L’indice, l’IDK et l’IDP sont tous des entiers naturels non nuls. D’autre part l’IDP n’excède jamais l’IDK.
Pour (k )<m;n>¿(qu’on lit k d'IDK m et d'IDP nou k de coordonnées met n)on a les particularités suivantes :
1 Expression swahilie signifiant « premier nombre ».2 Expression swahilie signifiant « deuxième nombre ».
1e 2e 3e 4e …
1e 1
2e 2 3
3e 4 5 6
4e 7 8 9 10
⋮
k=m (m−1 )
2+nouk=Cm
2 +qavecm≥2
m a la même valeur que √2k arrondi au nombre entier le plus proche1jk∈Cm
1
jαn=n!
jk avec (α )<m;1>¿
1
jαm+1
=0 avec (α )<m;1>¿
( k (k+1 )2 )<k ;k>¿
(k ± r )<m;n±r>¿
En effet soit (k )<m;n>et (k ' )<m;n± r>¿
On aura : k=
m (m−1 )2
+n
k '=m (m−1 )
2+n± r}k '=k ± r
Répondons maintenant à la question posée précédemment. Pour ce faire il suffit de déterminer l’IDK de la brique 2013.
On a : √2×2013≈63
Ainsi 4 +7j2013
∈C63.
Déterminer ( x )<700;100>¿
On a : x=C7002 +100
¿244750.
Déterminer la relation qui lie aet b sachant que (ab )<a;b>¿
De (ab )<a ;b>on a : ab=a (a−1 )
2+b
d'où b=a2.
Quelle relation existe-il entre 1jx
et 1j y
sachant que (x )<39 ;1>et ( y )<39;27>?
Déterminer ensuite x et y .
On a : 1
jx27
=27 !j y
.
On a : x=C392 +1 d'où x=742
D'autre part on aura : (742+26 )<39;1+26>soit (768 )<39 ;27>d'où y=768.
À quelle condition a-t-on ( 1jγ )( 1
j ε )=0sachant que ( γ )< p;m>et ( ε )<p; n>?
Soit (α )< p ;1> .
On a : { 1jα
m=m!jγ
1jα
n=n !jε
soit :{ 1jγ
=
1m!jα
m
1jε=
1n!jα
n
d'où ( 1j γ )( 1
jε )=1
m!×n!
j αm+n .
Si ( 1jγ )( 1
jε )=0
⇒
1m!×n!
jαm+n =0
⇒ 1
jαm+n
=0
d'où m+n> p .
Quand a-t-on ( 1jγ )
r
=0sachant que (γ )< p ;m>et r un entier naturel non nul ?
Soit (α )< p ;1> .
On a : 1
jαm=m!
jγ
soit ( 1jγ )
r
=( 1m! )
r
jαm× r
Si ( 1jγ )
r
=0
⇒( 1m! )
r
jαm× r =0
⇒ 1
jαm× r
=0
d'où m×r> p .
Quels sont les indices des branches utilisés dans les nombres composites à 60 branches ?
Si x est l'un des ces indices, on aura :
( x )<60 ;r>avec 1≤r≤60
soit x=C602 +r
¿1770+r avec r∈ {1 ;2 ;⋯;59 ;60 }.
On peut donc établir le tableau suivant :
r 1 2 ⋯ 59 60x 1771 1772 ⋯ 1829 1830
De ce tableau on déduit que les indices des branches utilisés dans les nombres composites à 60 branches sont : 1771 ;1772;⋯ ;1829 et 1830.
Calculer (−13j84 )
2
On a (84)<13;6> et de là on déduit (79)<13;1>.
On aura alors : 1
j796= 6 !
j84
⇒1j84
=
16 !
j796
⇒−13j84
=−13
6 !
j796
⇒(−13j84 )
2
=( 13
6 ! )2
j7912 or
1j79
12 =12 !j90
¿12!×( 13
6 ! )2
j90
¿ 156156j90
Nota :
Si (α )<n ;1>et r un entier naturel tel que 1≤r ≤nalors : 1
jαr= r !
jα+r−1
.
1. Iso-IDK
Les iso-IDK sont des briques ayant même IDK.
Exemple :
Les briques 46 et 55 sont des iso-IDK car on a : (46 )<10 ;1>et (55 )<10 ;10>.
Nota :
Dans un nombre composite tous les indices des branches sont des iso-IDK.
Exemple :
À quel ensemble des nombres composites appartient 1+ 2j55
+ 3j56
?
On a : (55 )<10 ;10>et (56)<11;1>.
Les indices des banches du nombre donné ne sont pas des iso-IDK et de ce fait le nombre considéré n’est pas un nombre composite.
2. Iso-IDP
On appelle iso-IDP des briques ayant même IDP.
Exemple :
Les briques 666 et 1261 sont des iso-IDP car on a : (666 )<36 ;36>et (1261 )<50 ;36> .
B. Définition de Cn
À ce stade de la théorie on est maintenant à même de définir n’importe quel ensemble des nombres composites :
Cn={s :s=a+ bjα
+ cjα+1
⋯+ lj n (n+1 )
2
avec { n∈N ¿
(a ;b ;c ;⋯ ; l )∈ Rn+1
(α )<n ;1>¿ 1jα
2=2!jα+1
1jα
3 =3 !jα+2
⋮1jα
n=n!
j n (n+1)2
1jα
n+1 =0
}
Remarque :
En vertu du triangle des indices un nombre composite à une branche doit en principe être de la
forme : a+bj1
avec (a ;b)∈R2 . Puisque nous avons affaire à une seule branche, on peut de ce fait
opter pour l’écriture simplifiée : a+bj
avec (a ;b)∈ R2 en ôtant l’indice. C’est d’ailleurs cette
dernière écriture qui a été préférée depuis le début de cette théorie.
Dans un nombre composite quelconque une branche sera appelée branche alpha lorsque l’IDP de son indice est égal à l’unité. La branche oméga sera celle dont l’IDK et l’IDP de son indice sont identiques.
IV. EXPRESSION APPROCHÉE D’UNE FONCTION
Grâce au zéro apparent il est possible de trouver une expression approchée d’une fonction lorsque la variable est proche de zéro.
Cherchons une expression approchée des fonctions suivantes (la variable est supposée voisine de zéro).
f ( x )= (1+x )2
On a : f (1j )=(1+ 1
j )2
¿1+ 2j.
Alors f ( x )≈1+2 x .
f ( x )= (1−x )2
On a : f (1j )=(1−1
j )2
¿1−2j.
Alors f ( x )≈1−2x .
f ( x )= (1+x )n
On a : f (1j )=(1+ 1
j )n
¿1+ nj.
Alors f ( x )≈1+nx .
f ( x )= (1−x )n
On a : f (1j )=(1−1
j )n
¿1−nj.
Alors f ( x )≈1−nx .
f ( x )= 11+x
On a : f (1j )= 1
1+ 1j¿1−1
j.
Alors f ( x )≈1−x .
f ( x )= 11−x
On a : f (1j )= 1
1−1j¿1+ 1
j.
Alors f ( x )≈1+x .
f ( x )=√1+x
On a : f (1j )=(1+ 1
j )12
¿1+
12j.
Alors f ( x )≈1+ x2.
f ( x )=√1−x
On a : f (1j )=(1−1
j )12
¿1−
12j.
Alors f ( x )≈1− x2.
f ( x )= n√1+x
On a : f (1j )=(1+ 1
j )1n
¿1+
1nj.
Alors f ( x )≈1+ xn.
f ( x )= n√1−x
On a : f (1j )=(1−1
j )1n
¿1−
1nj.
Alors f ( x )≈1− xn.
f ( x )=3+2 x3√1+x
On a : f (1j )=
3+ 2j
(1+ 1j )
13
¿3+ 1j.
Alors f ( x )≈3+ x .
f ( x )=ln (1+ x )
On a : f (1j )=ln(1+ 1
j )¿ 1j
Alors f ( x )≈x .
Dans les cas qui suivent l’unité d’angle est le radian.
f ( x )=cosx
On a : f (1j )=cos
1j¿1.
Alors f ( x )≈1.
On a : f (1j )=cos
1j¿1−2sin2
12j¿1−
12
j2 .
Alors f ( x )≈1− x2
2.
f ( x )=sinx
On a : f (1j )=sin
1j¿ 1j.
Alors f ( x )≈x .
f (x)=tanx
On a : f (1j )=tan
1j¿ 1j.
Alors f ( x )≈x .
Dynamique
La formule de l’intensité du champ de pesanteur en un point situé à une altitude h au-dessus de la surface de la Terre est donnée par la formule :
g (h)g0
=RT
2
(RT+h )2 { g0 : pesanteur en un point du solRT : rayon de la Terre
Déterminons une approximation de cette formule pour h <<RT .
On a : g (h )g0
=RT
2
(RT +h )2
⇒g (h )g0
= 1
(1+ hRT )
2or h≪ RT et par voie de conséquence
hRT
≈ 0.
Posons alors : 1
(1+ hRT
)2 =f ( h
RT).
On aura : f ( 1j )= 1
(1+ 1j )
2
⇒ f ( 1j )=1−2
j
donc f ( hRT
)≈1−2hRT
.
Ainsi g (h )g0
≈1−2hRT
.
Relativité
En relativité restreinte l’énergie cinétique est donnée par la formule :
Ec=moc2[(1−V 2
c2 )−12 −1] .
Retrouvons l’expression de l’énergie cinétique utilisée en mécanique classique sachant que V 2
c2 ≈0.
Posons mo c2[(1−V 2
c2 )−12 −1]= f (V 2
c2 ) .
On aura : f ( 1j )=mo c
2[(1−1j )
−12 −1]¿
12m0 c
2
j.
Alors f (V 2
c2 )≈ 12mo c
2×V 2
c2≈
12moV
2 .
Ec=12moV
2 est l'expression recherchée.
Il résulte de ce précède que le zéro apparent permet de retrouver les expressions approchées
remarquables. D’autre part le fait de substituer 1j
à une quantité « apparemment » nulle justifie
quelque peu pourquoi il porte le nom de zéro apparent.
V. LE ZÉRO APPARENT ET LES LIMITES
Recourir au zéro apparent peut se révéler utile dans le calcul des limites des fonctions. À cette fin on fait appel à la propriété suivante (voir page 84):
Si limx→x0+
kj
f ( x )=a+ bj
alors limx→x0
f ( x )=a ( x0 un réel fini et k un composite).
Soit à calculer les limites suivantes :
limx→0
sinx
x
On a : limx→
1j
sinxx
=sin
1j
1j
¿
1j1j
¿1+ ?j.
Alors limx→0
sinxx
=1.
limx→1
lnx
x−1
On a : limx→1+
1j
lnxx−1
=ln (1+1
j )1+ 1
j−1
¿
1j1j
¿1+ ?j.
Alors limx→ 1
lnxx−1
=1.
limx→0
e x−1
x
On a : limx→
1j
ex−1x
=e
1j−11j
¿
1j1j
¿1+ ?j.
Alors limx→0
ex−1x
=1.
limx→0
1+x−√1+x
√x+1−1
On a : limx→1
j
1+x−√1+x√ x+1−1
=1+ 1
j−(1+ 1
j )12
(1+1j )
12−1
¿
1/2j
1/2j
¿1+ ?j.
Alors limx→0
1+x−√1+x√ x+1−1
=1.
limx→0
√1+x2−1
√4+x2−2
On a : limx→
1j
√1+x2−1
√4+x2−2=
(1+ 1j2 )
12−1
(4+ 1
j2 )12−2
¿(1+
1jj )
12
−1
(4+
1jj )
12
−2
¿1+
1/2jj
−1
2+
1/4jj
−2
¿
1/2jj
1/4jj
¿
1/2j
1/ 4j
+?j¿ 1/2
1/4+ ?
j¿2+ ?
j.
Alors limx→0
√1+x2−1
√4+x2−2=2.
limx→0
1
x[ 3√5 x2+1−3√8 x+1 ]
On a : limx→
1j
1x
[ 3√5 x2+1−3√8x+1 ]=( 5j2 +1)
13 −( 8
j+1)
13
1j
¿
−8 /3j1j
¿−83+ ?
j.
Alors limx→ 0
1x
[ 3√5 x2+1− 3√8 x+1 ]=−83
.
limx→
π2
sinx−√2cosx2
sin 2 x
On a : limx→
π2+
1j
sinx−√2cosx2
sin 2 x=
sin( π2 +1j )−√2 cos( π2 + 1
j2 )
sin[2( π2 +1j )]
¿
1/2j
−2j
¿−14+ ?
j.
Alors limx→
π2
sinx−√2cosx2
sin 2 x=
−14
.
De la propriété énoncée plus haut on peut tirer la conséquence suivante :
On a : limx→x0+
kj
f ( x )g ( x )
=f (x0+
kj )
g(x0+kj )
(on suppose que f (x0 ) et g (x0 )existent)
¿f (x0 )+
kf ' (x0 )j
g (x0 )+kg ' (x0 )
j
.
Supposons maintenant que f ( x0 )=g (x0 )=0et g ' (x0 )≠0
alors
limx→x0+
kj
f ( x )
g ( x )=
kf ' (x0 )j
kg' (x0 )j
=f ' (x0 )g' (x0 )
+ ?j
.
Ainsi limx→x0
f ( x )
g ( x )=
f ' (x0 )g' (x0 )
si f (x0 )=g (x0 )=0 et g' (x0 )≠0.
limx→1
x3+2 x2−x−2
x2+x−2
limx→1
x3+2 x2−x−2
x2+x−2=
3 (1 )2+4 (1 )−12 (1 )+1
¿2
limx→e
xlnx−e
x−e
limx→e
xlnx−e
x−e=lne+1
1¿2
limx→3
√ x+1−2
x−3
limx→3
√ x+1−2
x−3=
12√3+1
1
¿ 14
VI. TOUR D’HORIZON DES NOMBRES COMPOSITES
Soit (α )<m;1>.
Soient également a+ bjα
+…+ ljm (m+1 )
2
et a'+ b'
jα+…+ l'
jm (m+1)2
deux nombres composites .
A. Somme
a+ bjα
+…+ ljm (m+1 )
2
+a'+ b'
jα+…+ l'
jm (m+1)2
=a+a'+ b+b'
jα+⋯+ l+ l'
jm (m+1)2
.
B. Différence
a+bjα
+…+l
jm (m+1 )2
−(a '+b'
jα+…+
l'
jm (m+1)2
)=a−a'+b−b '
jα+⋯+
l−l'
jm (m+1)2
.
C. Multiplication
1. Colonombre
Ici on va faire appel à un outil qu’on va appeler « colonombre3 ».
Ses formes sont :
( aa') : colonombre à 0 intervalle.
( a ba' b' ): colonombre à 1 intervalle .
( a b ca' b ' c '): colonombre à 2 intervalles .
⋮
Nota :
La colonombre à 0 intervalle indique qu’il n’y a pas d’intervalle entre les colonnes de nombres ; c’est qui est tout à fait logique puisqu’elle ne comporte qu’une seule colonne.
La colonombre à 1 intervalle suggère l’existence d’un intervalle entre les colonnes de nombres consécutives. En effet dans la colonombre à 1 intervalle il n’y a que deux colonnes et par conséquent un intervalle entre les deux.
La colonombre à n intervalles comporte n intervalles entre les colonnes de nombres consécutives.
On a:
( aa')=C00aa ' .
( a ba' b' )=C1
0 (ab'+a 'b ) .
3 C’est un mot qui résulte de la fusion des mots « colonne » et « nombre ».
( a b ca' b' c' )=C2
0( a ca' c ')+C2
1( bb ') .
( aa' bb ' cc ' dd ')=C30( a da' d' )+C3
1( b cb' c' ).
( aa'
bb '
cc '
dd'
ee ')=C4
0 (a ea' e')+C4
1 (b db' d ')+C4
2( cc ') .⋮
Si ( aa'
bb'⋯⋯
rr 'ss ')est une colonombre à n intervalles .
On aura : ( aa ' bb '⋯⋯ rr 'ss ')=Cn
0( a sa' s' )+Cn
1( b rb' r ' )+⋯
Propriétés particulières de la colonombre :
Une colonombre à 0 intervalle ne change pas de valeur lorsqu’on intervertit ses éléments.
En effet soit ( aa') une colonombre à 0 intervalle.
On a : ( aa')=C00a a'
¿C00a' a¿(a'
a ) .Conséquence :
Une colonombre dont le nombre d’intervalles est pair ne change pas lorsqu’on intervertit les éléments de sa colonne du milieu.
Une colonombre à 1 intervalle ne change pas de valeur lorsqu’on fait une permutation circulaire de ses éléments.
En effet soit (a bd c)une colonombre à 1 intervalle.
On a:
(a bd c)=C1
0 (ac+db )=ac+bd
(d ac b)=C1
0 (db+ca )=ac+bd
(c db a)=C1
0 (ca+bd )=ac+bd
(b ca d)=C1
0 (bd+ac )=ac+bd}(a bd c)=(d a
c b)=(c db a )=(b c
a d) .
Conséquence :
Une colonombre à n intervalles (n≠0) ne change pas lorsqu’on fait une permutation circulaire des éléments appartenant aux colonnes de nom opposé (par exemple la première colonne et la dernière colonne, la deuxième colonne et l’avant dernière colonne, etc.).
Une colonombre ne change pas de valeur lorsqu’on intervertit ses lignes.
Soit ( aa '
bb'⋯⋯rr 'ss') une colonombre à n intervalles.
On a :
( aa'
bb '⋯⋯rr 'ss' )=Cn
0( a sa ' s ')+Cn
1( b rb ' r ')+⋯¿Cn
0 (as '+a' s )+Cn1 (b r '+b ' r )+⋯
¿Cn0 (a' s+as ' )+Cn
1 (b ' r+b r ' )+⋯¿(a 'a b 'b⋯⋯r 'rs 's ).
Multiplication d’une colonombre par un facteur composite.
Soient ( aa '
bb '⋯⋯rr 'ss' )une colonombre de degré net k un composite quelconque.
On a :
k (aa'bb'⋯⋯
rr 'ss ')=k (Cn
0( a sa' s')+Cn
1( b rb' r ' )+⋯)¿k (Cn
0 (a s'+a ' s)+Cn1 (br '+b' r )+⋯ )
¿Cn0 ( (ak ) s '+a' (sk ))+Cn
1 ( (bk )r '+b ' (rk ) )+⋯¿(aka'
bkb '
⋯⋯rkr 'sks' ) .
On a aussi :
k (aa'
bb'⋯⋯
rr 'ss ')=k (Cn
0 (a ( s 'k )+ (a' k ) s )+Cn1 (b (r 'k )+ (b' k ) r )+⋯ )¿( a
a' kbb' k
⋯⋯
rr 'k
ss' k) .
Alors k ( aa'
bb'⋯⋯rr 'ss ')=(aka'
bkb'⋯⋯rkr 'sks ' )=( a
a' kbb' k
⋯⋯
rr ' k
ss ' k) .
2. Colonombre et nombres composites
(a+ bj )(a'+ b '
j )=( aa')+( a ba' b ')
j¿aa '+ ab '+a' b
j.
(a+ bj2
+ cj3 )(a'+ b'
j2
+ c'
j3)=( aa ')+
( a ba' b' )j2
+( a b ca' b ' c ')
j3
¿aa '+ ab '+a' bj2
+ ac'+a 'c+2bb 'j3
.
(a+ bjα
+⋯+k
jm (m+1 )2
−1
+l
jm (m+1)2
)(a '+b'
jα+⋯+
k '
jm (m+1)2
−1
+l'
jm (m+1)2
)¿( aa')+
(a ba' b')jα
+⋯+( aa '
bb'⋯⋯kk ')
jm (m+1)2
−1
+( aa '
bb '⋯⋯kk '
ll' )
jm (m+1)2
.
Exemple :
(1+2j7
+3j8
+4j9
+5j10
)(5− 4j7
+3j8
−2j9
+1j10
)
¿(15)+
(1 25 −4)
j7
+(1 2 35 −4 3)
j8
+(15
2−4
33
4−2)
j9
+(15
2−4
33
4−2
51)
j10
¿1×5+C1
0 (1× (−4 )+2×5 )j7
+C2
0(1 35 3)+C2
1( 2−4)
j8
+C3
0(1 45 −2)+C3
1( 2 3−4 3)
j9
+C4
0 (1 55 1)+C4
1 ( 2 4−4 −2)+C4
2(33)
j10
¿1×5+1× (−4 )+2×5
j7
+C2
0 (1×3+3×5 )+C21 (2×−4 )
j8
+C3
0 (1×−2+4 ×5 )+C31 (2×3+3×−4 )
j9
+C40 (1×1+5×5 )+C4
1 (2×−2+4×−4 )+C42×3×3
j10
¿5+ 6j7
+ 2j8
.
Déterminer aet b de façon que la division suivante soit possible. Trouver le quotient.
(x4−3 x3+ax2+bx−1 )÷ (x2+1 ) .
On peut poser x 4−3 x3+a x2+bx−1=(x2+1 ) ( x2+mx−1¿ .
Si x= 1j4
on aura :
−1+bj4
+2aj5
−18j6
=(1+2j5
)(−1+mj4
+2j5
)¿( 1−1)+
( 1 0−1 m)
j4
+( 1 0 2−1 m 2)
j5
+( 1 0 2−1 m 2
00)
j6
¿−1+mj4
+6mj6
d'où { b=ma=0m=−3
soit { a=0b=−3
alors (x4−3x3+a x2+bx−1 )÷ (x2+1 )=x2−3 x−1.
Décomposition en un produit de deux fonctions linéaires.
Soit à décomposer le polynôme F (x , y )=−9 x2+6 xy+8 y2−12 y+18 x−8
On s’assure tout d’abord que le discriminant du polynôme est nul ; ce qui est le cas car on a :
∆=(8 ) (−9 ) (−8 )+2 (3 ) (−6 ) ( 9 )−(8 ) (9 )2−(−9 ) (−6 )2−(−8 ) (3 )2¿0
On peut poser −9 x2+6 xy+8 y2−12 y+18 x−8= (−9 x+by+c )(x+b' y−8c ) .
Pour y=x2 on aura :8 x4+6 x3−21 x2+18 x−8=(b x2−9x+c )(b' x2+x−8c ) .
Si x= 1j4
on aura :
−8+ 18j4
−42j5
+36j6
=(c− 9j4
+ 2bj5 )(−8
c+ 1
j4
+ 2b'
j5)
¿( c−8c )+ ( c −9
−8c
1 )j 4
+( c −9 2b−8c
1 2b ')j5
+( c −9 2b−8c
1 2b '00)
j6
¿−8+c+ 72
cj4
+2(b 'c−8b
c )−18
j5+
6 (−9b'+b )j6
.
d'où { c+ 72c
=18(1)
b'c−8bc
=−12(2)
−9b'+b=6(3)
(1 )⟹{c=12c=6
On choisit une valeur de c au choix qu’on remplace dans l’équation (2). Si nous choisissons 6 comme la valeur de c on obtient alors le système :
{6b'−4 b3
=−12
−9b'+b=6
d'où {b'=23
b=12
Alors −9 x2+6 xy+8 y2−12 y+18 x−8=(−9 x+12 y+6 )(x+23y−4
3 ) .
Soit à décomposer le polynôme F (x , y )=2 y2+12xy+18 x2+ y+3 x−1.
On s’assure que le discriminant du polynôme est nul.
∆=(2 ) (18 ) (−1 )+2 (6 ) (0,5 ) (1,5 )−(2 ) (1,5 )2−(18 ) (0,5 )2− (−1 ) (6 )2¿0
On peut poser 2 y2+12 xy+18x2+ y+3 x−1= (2 y+bx+c )( y+b' x−1c ) .
Pour x= y2 ,on aura :18 y4+12 y3+5 y2+ y−1=(b y2+2 y+c )(b' y2+ y−1c ) .
Si y= 1j4
on aura:
−1+ 1j4
+ 10j5
+ 72j6
=(c+ 2j4
+ 2bj5
)(−1c
+ 1j4
+2b '
j5)
¿( c−1c )+ ( c 2
−1c
1)j4
+( c 2 2b−1c
1 2b ')j5
+( c 2 2b−1c
1 2b '00)
j6
¿−1+c−2
cj4
+2(b'c−b
c )+4
j5
+6 (2b '+b )
j6
.
d'où { c−2c=1(1)
b' c−bc=3(2)
2b '+b=12(3)
(1 )⟹{ c=2c=−1
On choisit une valeur de c au choix qu’on remplace dans l’équation (2). Si nous choisissons −1 comme la valeur de c on obtient alors le système :
{−b'+b=32b'+b=12
d'où {b'=3b=6
Alors 2 y2+12 xy+18 x2+ y+3 x−1=(2 y+6x−1 ) ( y+3 x+1 ) .
3. Autre emploi de la colonombre
Soit r un entier naturel.
On a :
(a+b )r=Cr0ar+Cr
1ar−1b+Cr2ar−2b2+…+Cr
r−2a2br−2+Crr−1abr−1+Cr
rbr or Cmn=Cm
m−n
donc (a+b )r=Cr0 (ar+br )+Cr
1 (ar−1b+abr−1 )+Cr2 (ar−2b2+a2br−2 )+…
= Cr0(1 ar
1 br)+Cr1(a ar−1
b br−1)+Cr2(a2 ar−2
b2 br−2)+…
=(1 a a2
1 b b2 ⋯⋯
ar−2 ar−1 ar
br−2 br−1 br)
alors (a+b )r =(1 a a2
1 b b2 ⋯⋯
ar−2 ar−1 ar
br−2 br−1 br).
Application :
(a+b )1=(1 a1
1 b1)=a+b .
(a+b )2=(1 a a2
1 b b2)=C20(1 a2
1 b2)+C21(ab)=a2+b2+2ab .
(a−b )2=(1 a a2
1 −b b2)=C20(1 a2
1 b2)+C21( a−b)=a2+b2−2ab .
(a+b )3=(1 a a2
1 b b2a3
b3)=C30(1 a3
1 b3)+C31(a a2
b b2)=a3+b3+3 ab2+3a2b .
(a−b )3=(1 a a2
1 −b b2a3
−b3)=C30(1 a3
1 −b3)+C31( a a2
−b b2)=a3−b3+3ab2−3a2b .
Calculer (√1+x2+1 )5−(√1+x2−1 )5 .
On a :
(√1+x2+1 )5−(√1+x2−1 )5
¿(1 √1+x2 1+x2
1 1 1√ (1+x2 )3 (1+x2 )2 √ (1+x2 )5
1 1 1 )−(1 √1+x2 1+x2
1 −1 1√( 1+ x2 )3 (1+x2 )2 √ (1+x2)5
−1 1 −1 )¿C5
0(1 √(1+x2 )5
1 1 )+C51(√1+x2 ( 1+x2 )2
1 1 )+C52(1+x2 √ (1+ x2 )3
1 1 )−[C50(1 √ (1+x2 )5
1 −1 )+C51(√1+x2 (1+x2 )2
−1 1 )+C52(1+x2 √(1+x2 )3
1 −1 )]¿C5
0 (1+√ (1+x2 )5+1−√ (1+x2 )5 )+C51 (√1+x2+( 1+ x2 )2−√1+x2+(1+x2 )2 )+C5
2 (1+x2+√ (1+ x2 )3+1+x2−√(1+x2 )3 )
¿2 C50+2 (1+x2 )2 C5
1+2(1+x2)C52
¿10 x4+40 x2+32.
Calculer (a+b+c )4 .
On a : (a+b+c )4=(1 a+b (1 a a2
1 b b2)
1 c c2
(1 a a2
1 b b2a3
b3) (1 a a2
1 b b2a3 a4
b3
b4)
c3 c4 )¿c4+a4+b4+4 (ab3+a3b )+6a2b2+4 [ac3+bc3+c (a3+b3+3 ab2+3a2b ) ]+6c2 (a2+b2+2ab )
¿a4+b4+c4+4 (ab3+a3b+ac3+b c3+a3 c+b3 c )+6 (a2b2+a2 c2+b2c2 )+12 (ab2c+a2bc+abc2 ) .
Développer (3 x+ y )5 puis ranger suivant les puissances croissantes et décroissantes de x et de y.
(3 x+ y )5=(1 3 x 9 x2
1 y y2 27 x3
y3 81x4 243 x5
y4 y5 )¿C5
0(1 243x5
1 y5 )+C51(3x 81x4
y y4 )+C52(9 x2 27 x3
y2 y3 )¿C5
0 ( y5+243x5 )+C51 (3 x y4+81x4 y )+C5
2 (9 x2 y3+27 x3 y2 )¿ y5+243 x5+15 x y4+405x 4 y+90x2 y3+27 0 x3 y2 .
Rangeons suivant les puissantes croissantes de x .
(3 x+ y )5= y5+243 x5+15 x y4+405x 4 y+90x2 y3+27 0 x3 y2 .
alors (3 x+ y )5= y5+15 x y4+90 x2 y3+27 0 x3 y2+405 x4 y+243 x5 .
Rangeons suivant les puissantes décroissantes de x .
(3 x+ y )5= y5+243 x5+15 x y4+405x 4 y+90x2 y3+27 0 x3 y2 .
alors (3 x+ y )5=243 x5+405 x4 y+27 0 x3 y2+90 x2 y3+15 x y 4+ y5 .
Rangeons suivant les puissantes décroissantes de y .
(3 x+ y )5= y5+243 x5+15 x y4+405x 4 y+90x2 y3+27 0 x3 y2 .
alors (3 x+ y )5= y5+15 x y4+90 x2 y3+27 0 x3 y2+405 x4 y+243 x5 .
Rangeons suivant les puissantes croissantes de y .
(3 x+ y )5= y5+243 x5+15 x y4+405x 4 y+90x2 y3+27 0 x3 y2 .
alors (3 x+ y )5=243 x5+405 x4 y+27 0 x3 y2+90 x2 y3+15 x y 4+ y5 .
Nota :
La méthode qui vient d’être utilisée est la méthode du saut de locuste.
Si dans le développement d’une colonombre on combine à la fois la multiplication par la diagonale montante et la diagonale descendante, la méthode du saut de locuste n’est plus d’aucun intérêt.
D. Division
Une division est possible dans Cm dans les cas suivants :
La partie réelle du dénominateur est non nulle Les parties réelles du numérateur et du dénominateur sont toutes nulles ; le plus petit
indice des branches du dénominateur est inférieur ou égal au plus petit indice des branches du numérateur
Soit à calculer
a+ bjα
+…+ ljm (m+1 )
2
a'+ b'
jα+…+ l'
jm (m+1)2
avec a ' ≠0.
On pose
a+ bjα
+…+ ljm (m+1)
2
a'+ b '
jα+…+ l'
jm (m+1 )2
= aa' +
xjα
+…+ zjm (m+1)
2
Ensuite on résout l'équation.
Exemple :
Soit à calculer
1+ 5j7
− 5j8
+ 9j9
+ 8j10
4+ 7j7
+ 6j8
− 1j9
.
On pose
1+ 5j4
+ 8j6
4+ 7j4
+ 6j5
− 1j6
= 14+ x
j4
+ yj5
+ zj6
⇒1+5j4
+8j6
=( 14+xj4
+yj5
+zj6
)(4+7j4
+6j5
−1j6
)⇒( 1
4+
xj4
+yj5
+zj6
)(4+7j4
+6j5
−1j6
)=1+5j4
+8j6
⇒( 144 )+ ( 1
4x
4 7)j4
+( 1
4x y
4 7 6 )j5
+( 1
4x y
4 7 6
z−1)
j6
=1+ 5j4
+ 8j6
⇒1+4 x+ 7
4j4
+14 x+4 y+ 3
2j5
+18 x+21 y+4 z−1
4j6
=1+5j4
+8j6
⇒{ 4 x+ 74=5
14 x+4 y+ 32=0
18 x+21 y+4 z−14=8
⇒{ x=1316
y=−10332
z=1959128
Alors
1+ 5j4
+ 8j6
4+ 7j 4
+ 6j5
− 1j6
=14+
1316j4
−
10332j5
+
1959128j6
.
*Cas particulier de division : division par un composite aréel
On rappelle qu’un composite aréel est un nombre composite sans partie réelle et non nul.
Exemple des composites aréels :
1j;
4j742
− πj768
.
Soient ¿
Calculons
1j λ1j λ
.
Posons
1jλ1jλ
=x+ yjα
+⋯+ zj n(n+1 )
2
.
⇒
1r !
jαr
1r !
jαr
=x+
y1 !jα
+⋯+
zn !jα
n car1jα
r=r !j λ
⇒
1r !
jαr=
xr!
jαr +
yr !1 !
jαr+1 +⋯+
zr ! n!
jαr+n .
Cette dernière relation suggère que les r dernières branches vont disparaître du fait de l’égalité1
jαn+1
=0. Cela aura pour conséquence l’indétermination de leurs coefficients. Toutefois les autres
parties sont tout à fait déterminables. Par exemple on voit aisément que x=1.
Il apparaît tout au moins que :
1jλ1jλ
=1+⋯+ ?j n (n+1)
2
.
Exemple :
1j1j
=1+?j.
En effet on a :
1j1j
=
1j11j1
; or (1)<1; 1> d'où la dernière branche est indéterminée.
1j3
1j3
=1+ ?j2
+ ?j3
.
En effet on a : (3 )<2;2>d'où les deux dernières branches sont indéterminées.
1j10
1j10
=1+ ?j7
+ ?j8
+ ?j9
+ ?j10
.
En effet on a : (10 )<4 ; 4>d'où les quatre dernières branches sont indéterminées.
Application :
On suppose que a ' ≠0.
ajλ
+bj λ+1
+⋯+l
j n (n+1)2
a'
jλ+
b '
j λ+1
+⋯+l'
j n (n+1)2
=
ar !
jαr +
b(r+1 ) !jα
r+1 +⋯+
ln !
jαn
a'
r !
jαr +
b'
(r+1 ) !jα
r+1 +⋯+
l'
n !
jαn
car1jα
r=r !j λ
¿
ar !
+
b(r+1 ) !jα
r +⋯+
ln !
jαn−1
jαr
a'
r !+
b'
(r+1 ) !jα
r +⋯+
l'
n !jα
n−1
jαr
¿
1
jαr
1jα
r
×
ar !
+
b(r+1 ) !jα
r +⋯+
ln !
jαn−1
a'
r !+
b '
(r+1 ) !jα
r +⋯+
l'
n!
jαn−1
¿
r !jλr !jλ
×
ar !
+
b(r+1 ) !jα
r +⋯+
ln !
jαn−1
a'
r !+
b'
(r+1 ) !jα
r +⋯+
l'
n !
jαn−1
¿
1jλ1jλ
×
ar !
+
b(r+1 ) !jα
r +⋯+
ln !
jαn−1
a'
r !+
b'
(r+1 ) !jα
r +⋯+
l'
n !
jαn−1
.
Or nous avons constaté que les r dernières branches de
1jλ1jλ
ne sont pas déterminables.
Il s’ensuit alors que les r dernières branches de
ajλ
+ bj λ+1
+⋯+ lj n (n+1)
2
a'
jλ+ b '
j λ+1
+⋯+ l'
j n (n+1)2
sont aussi indéterminables.
En revanche on déduit que sa partie réelle est égale à a
a' .
Dans la pratique pour calculer le rapport
ajλ
+ bj λ+1
+⋯+ lj n (n+1)
2
a'
jλ+ b '
j λ+1
+⋯+ l'
j n (n+1)2
on identifie d’abord le plus petit
indice des branches du dénominateur, c’est-à-dire λ (si ( λ )<n;r>¿ alors r représente le nombre des branches qui ne seront pas déterminées, en l’occurrence les dernières branches). Une fois ce nombre connu on pose l’équation ci-dessous qu’on résout par l’égalité entre le produit des moyens et le produit des extrêmes :
ajλ
+ bj λ+1
+⋯+ lj n (n+1)
2
a'
jλ+ b '
j λ+1
+⋯+ l'
j n (n+1)2
= aa '
+ xjα
+⋯+ ?j n (n+1 )
2
.
Application :
Dans ce qui suit on suppose que a'≠0.
Soit à calculer
aj2
+ bj3
a'j2
+ b 'j3
.
On a (2 )<2;1>donc la dernière branche sera indéterminée.
Posons alors
aj2
+ bj3
a '
j2
+ b'
j3
= aa'
+ xj2
+ ?j3
⇒ aj2
+ bj3
=( aa '
+ xj2
+ ?j3
)( a'
j2+ b'
j3)¿ a
j2
+
ab 'a '
+2a' x
j3
⇒ ab 'a '
+2a' x=b
⇒ x=a 'b−ab'
2a'2 .
Alors
aj2
+bj3
a'
j2
+ b'
j3
= aa '
+
a 'b−ab'
2a'2
j2
+ ?j3
.
Soit à calculer
aj8
+ bj9
a'j8
+ b'
j 9
.
On a (8 )<4 ;2>donc les deux dernières branches seront indéterminées.
Posons alors
aj8
+ bj9
a 'j8
+ b'
j9
= aa '
+ xj7
+ yj8
+ ?j9
+ ?j10
⇒ aj8
+ bj9
=( aa '
+ xj7
+ yj8
+ ?j9
+ ?j10
)( a'j8
+ b'
j9)¿ a
j8
+
ab 'a '
+3a ' x
j9
+4 b' x+6 a' y
j10
.
⇒{ ab 'a '
+3a' x=b
4 b' x+6 a' y=0
⇒{ x=a' b−ab '
3a '2
y=2b ' (ab '−a ' b )
9a '3
Alors
aj8
+ bj9
a 'j8
+ b '
j9
= aa'
+
a ' b−ab '
3a ' 2
j7
+
2b' (ab '−a ' b )9a' 3
j8
+ ?j9
+ ?j10
.
Disparité entre un composite aréel et zéro : la division par un composite aréel, dans une certaine mesure, est faisable, ce qui est loin d'être le cas de la division par zéro.
E. Puissance
(a≠0 ; (α )<m;1>et r un entier naturel )
Si r ≤mon aura :
(a+ bjα )
r
=¿ ar+Cr
1ar−1 bjα
+Cr2ar−2( bjα )
2
+Cr3ar−3( bjα )
3
+…+( bjα )r
¿ar+ r !1 ! (r−1 )!
ar−1 bjα
+ r !2 ! (r−2 )!
ar−2( bjα )
2
+ r !3 ! (r−3 )!
ar−3( bjα )3
+…+( bjα )r
or{ ( bjα )2
=2!b2
jα+1
( bjα )
3
=3 !b3
jα+2
⋮
( bjα )
r
= r !br
jα +r−1
¿ar+
r !(r−1 )!
ar−1b
jα+
r !(r−2 ) !
ar−2b2
jα+1
+
r !(r−3 )!
ar−3b3
jα+2
+…+r !br
jα+r−1
¿ar+
r !(r−1 )!
ar−1b
jα+
r !(r−2 ) !
ar−2b2
jα+1
+
r !(r−3 )!
ar−3b3
jα+2
+…+
r !0 !
a0br
jα +r−1
¿ar+
r !(r−1 )!
ar−1b
jα+
r !(r−2 ) !
ar−2b2
jα+1
+
r !(r−3 )!
ar−3b3
jα+2
+…+
r !(r−r )!
ar−rbr
jα+r−1
¿ar+A r
1ar−1bjα
+Ar
2ar−2b2
jα+1
+Ar
3ar−3b3
jα+2
+…+Ar
rar−rbr
jα+r−1
.
Si r≥m+1on aura :
(a+ bjα )
r
=¿ ar+Cr
1ar−1 bjα
+Cr2ar−2( bjα )
2
+Cr3ar−3( bjα )
3
+…+( bjα )r
¿ar+ r !1 ! (r−1 )!
ar−1 bjα
+ r !2 ! (r−2 )!
ar−2( bjα )
2
+ r !3 ! (r−3 )!
ar−3( bjα )3
+…+ r !m! (r−m ) !
ar−m( bjα )
m
+ r !(m+1 ) ! (r−m−1 )!
ar−m−1( bjα )m+1
+⋯ or { ( bj α )2
=2 !b2
jα +1
( bjα )3
=3 !b3
jα +2
⋮
( bjα )m
= m!bm
jm (m+1 )2
( bjα )m+1
=0
¿ar+
r !(r−1 )!
ar−1b
jα+
r !(r−2 ) !
ar−2b2
jα+1
+
r !(r−3 )!
ar−3b3
jα+2
+…+
r !(r−m) !
ar−mbm
jm (m+1 )2
¿ar+A r
1ar−1bjα
+Ar
2ar−2b2
jα+1
+Ar
3ar−3b3
jα+2
+…+Ar
mar−mbm
jm (m+1 )2
.
De façon générale on a :
(a+ bjα )
r
=ar+Ar
1ar−1bjα
+A r
2ar−2b2
jα +1
+…+Ar
m−1ar−m+1bm−1
jm (m+1 )2
−1
+Ar
mar−mbm
jm (m+1 )2
avec a≠0.
Application :
Dans ce qui suit on suppose que aest non nul .
(a+ bj )
r
=ar+A r
1ar−1bj
¿ar+ r ar−1bj
.
(a+ bj2
+ cj3
)r
=(a+ b+
c2 !j2
j2
)r
¿ar+
A r1ar−1(b+ c
2!j2
)j2
+
A r2ar−2(b+ c
2!j2
)2
j3
¿ar+ r ar−1bj2
+r (r−1)ar−2b2+r ar−1c
j3.
Décomposer la fraction rationnelle ( x+1 )3
( x−1 )4 en une somme de fractions simples ayant chacune pour
dénominateur, un diviseur du dénominateur de la fraction considérée.
Posons ( x+1 )3
( x−1 )4=
A
( x−1 )4+
B
( x−1 )3+
C
(x−1 )2+
Dx−1
⇒ ( x+1 )3=A+B ( x−1 )+C (x−1 )2+D ( x−1 )3 .
Si x=1+ 1j4
onaura :(2+ 1j4 )
3
=A+ Bj4
+2Cj5
+ 6 Dj6
⇒ A+ Bj4
+ 2Cj5
+ 6Dj6
=8+12j4
+ 12j5
+ 6j6
⇒{ A=8B=12C=6D=1
Alors ( x+1 )3
(x−1 )4=
8
(x−1 )4+
12
(x−1 )3+
6
( x−1 )2+
1x−1
.
Chercher le coefficient de x6 dans le développement de (1−2 x+3x2−4 x3 )4 .
On peut écrire : (1−2 x+3x2−4 x3 )4=A+Bx+C x2+⋯+G x6+⋯+M x12 .
Il apparaît donc que chercher le coefficient demandé revient à déterminer la valeur de G.Si x=0,5
j16
on aura :
A+ 0,5 Bj16
+⋯+ 11,25Gj21
= (1− 1j16
+1,5j17
− 3j18 )
4
¿ [(1 −1 1,51 −1 1,5
−3 0 0−3 0 0
00)
j21
+1− 2j16
+ 5j17
−15j18
+37,5j19
− 90j20
]2
¿(1− 2j16
+ 5j17
−15j18
+ 37,5j19
−90j20
+ 180j21 )
2
.
On peut déjà déduire que 11,25G=(1 −2 51 −2 5
−15 37,5 −90−15 37,5 −90
180180)
d'où G=1124.
Nota :
On peut se contenter d’écrire la colonombre de la branche oméga et déduire les valeurs des autres colonombres par suppression d’une ou plusieurs colonnes de nombres à partir de la gauche. C’est ce qui a été fait ci-dessus. Chercher le coefficient de x8 dans le développement de (1+2x+22 x2+23 x3 )5 .
On peut écrire : (1+2x+22 x2+23 x3 )5=A+Bx+⋯+H x8+⋯+P x15 .
Chercher le coefficient demandé revient à déterminer la valeur de H.Si x=0,25
j29
on aura :
A+0,25 Bj29
+⋯+
8 ! H
48
j35
= (1+ 0,5j29
+ 0,5j30
+ 0,75j31 )
5¿(1+ 0,5j29
+ 0,5j30
+ 0,75j31 )(1+ 0,5
j29
+ 0,5j30
+ 0,75j31 )
4
¿(1+ 0,5j29
+ 0,5j30
+ 0,75j31
)[ (1 0,5 0,51 0,5 0,5
0,75 0 00,75 0 0
0 0 00 0 0)
j36
+1+ 1j29
+1,5j30
+ 3j31
+ 4,5j32
+ 7,5j33
+ 11,25j34
]2
¿(1+0,5j29
+0,5j30
+0,75j31
)[ (1 1 1,51 1 1,5
3 4,5 7,53 4,5 7,5
11,25 0 011,25 0 0)
j36
+1+2j29
+5j30
+15j31
+46,5j32
+150j33
+495j34
+1575j35
]On peut déjà déduire que
8 ! H48 =(1 2 5
1 0,5 0,515 46,5 150
0,75 0 0495 1575 4882,5
0 0 0 )d'où H=39680.
Si on a : (α )<n;1> alors ( Ajα + Bjα+1
+⋯+ Lj n (n+1 )
2)n+1
est toujours nulle ∀ A ,B ,⋯ , L.
En effet on aura : {1
jα2= 2 !
jα+1
⋮1jα
n=n !
j n (n+1)2
1jα
n+1 =0
alors : ( Ajα + Bjα +1
+⋯+ Lj n (n+1)
2)n+1
=[ 1jα (A+
B2 !jα
+⋯+
Ln!jα
n−1 )]n+1
¿ 1jα
n+1 (A+
B2 !jα
+⋯+
Ln!jα
n−1)n+1
or1
jαn+1=0¿0.
Application :
Montrer de trois façons différentes que ( Mj2
+ Nj3 )
3
=0.
1ère méthode
On a : ( Mj2
+ Nj3 )
3
=( Mj2 )3
+3( Mj2 )2
( Nj3 )+3( Mj2 )( Nj3 )2
+(Nj3 )3
¿ Mj2
3
3
+3Mj2
2
2
×Nj3
+3Mj2
×Nj3
2
2
+ Nj3
3
3
or{ 1j2
2 =2 !j3
1j2
3 =0¿0+3×0+3×0+0¿0.
Alors ( Mj2
+ Nj3 )
3
=0.
2e méthode
On a : ( Mj2
+ Nj3 )
3
=(0+ Mj2
+Nj3 )(0+ M
j2
+ Nj3 )(0+M
j2
+Nj3 )
¿ [(0+ Mj2
+ Nj3 )(0+M
j2
+Nj3 )](0+ M
j2
+ Nj3 )¿ [(00)+
(0 M0 M )
j2
+(0 M N0 M N )
j3](0+
Mj2
+Nj3
)¿(0+ 0
j2
+ 2 M2
j3)(0+ M
j2
+ Nj3 )¿(0
0)+(0 00 M)
j2
+(0 0 2 M2
0 M N )j3
¿0.
Alors ( Mj2
+ Nj3 )
3
=0.
3e méthode
On a : ( Mj2
+ Nj3
)3
=(1 Mj2
2M 2
j3
0
1Nj3
0 0 )¿C30(1 0
1 0)+C31( Mj2
2 M 2
j3
Nj3
0 )¿0.
Alors ( Mj2
+ Nj3 )
3
=0.
Équation de type [ f (x )]n=0avec n un entier naturel supérieur à 1.
Soit (α )<n−1 ;1>et A ,⋯ , Ldes nombrescomposites quelconquesàn−1branches .
[ f (x)]n=0⟹ [ f (x) ]n=( Ajα +⋯+ Lj(n−1)n
2)n
car( Ajα +⋯+ Lj(n−1)n
2)n
=0
⇒{f ( x )=±( Ajα +⋯+ Lj (n−1)n
2)sin pair
f ( x )= Ajα
+⋯+ Lj (n−1)n
2
sin impair
Nota :
L ' équationdu type [ f (x )]n=0admet une infinité de solutions puisque A ,⋯ , L sont
des nombres compositesquelconquesàn−1branches .
Exemple:
Résoudre dans C1 l'équation x2+2x+1=0.
On a : ( x+1 )2=0
⇒ ( x+1 )2=( kj )2
avec k∈C1
⇒ x+1=±kj
⇒ x=−1±kj
donc S={−1+C 1j }.
Résoudre dans C2 l'équation (2x−7 )3=0.
On a : (2x−7 )3=( pj2
+ qj3 )
3
avec ( p;q )∈C2×C 2
⇒2 x−7= pj2
+ qj3
⇒ x=72+
p2j2
+
q2j3
donc S={72+C2j2
+C 2j3
}.Résoudre dans C1 l'équation cosx=1.
Soit p∈C 1.
On a :
cospj=cos (0+ p
j )¿cos 0− psin0j
¿1
donc cosx=1⇒ x= pj+2kπ avec k∈ z
alors S= {2π z+C1j }.
Soit l'équation (a+ bjα
+⋯+l
j n (n+1 )2
) x2+(a'+b '
jα+⋯+
l'
j n (n+1)2
)x+a' '+b' '
jα+⋯+
l' '
j n (n+1)2
=0 .
On aura : ∆=(a '+b'
jα+⋯+
l'
j n (n+1 )2
)2
−4 (a+ bjα
+⋯+l
j n (n+1)2
)(a' '+b' '
jα+⋯+
l' '
j n (n+1)2
) .Si ∆ admet une racine carr ée r éelle ou composite alors cette é quation peut ê tre r é solue dans Cn .
Dans ce cas on aura : x=
−(a'+b '
jα+⋯+
l'
j n (n+1)2
)±∆12
2(a+ bjα
+⋯+ ljn (n+1 )
2)
Nota :
∆ peut admettre deux racines carrées, et même une infinité de racines carrées. (voir page 103).
Si x présente des branches indéterminées, c’est-à-dire est de la forme p+⋯+ ?j n (n+1)
2
, il est toutefois
possible de déterminer ces branches. Pour ce faire il suffira d’attribuer à chacune de ces « ? » une lettre différente et de remplacer la valeur de x ainsi constituée dans l’équation de départ. La nouvelle équation ainsi engendrée permettra alors de déterminer ces branches.
Exemple :
6jx2+(2+ 7
j )x+8+ 1j=0.
∆=(2+7j )
2
−4( 6j )(8+ 1
j )¿4−164j
donc x=−(2+ 7
j )±(2+ 41j )
2( 6j )
¿−(2+ 7
j )±(2+ 41j )
12j
.
Puisque le dénominateur est un composite aréel alors cette fraction n’est définie que si le numérateur est également un composite aréel.
d'où x=−(2+ 7
j )+(2+ 41j )
12j
¿−4+?j.
Posons x=−4+ yj.
On aura :
6jx2+(2+ 7
j )x+8+ 1j=0
⇒ 6j (−4+ y
j )2
+(2+ 7j )(−4+ y
j )+8+ 1j=0
⇒ 2 y+69j
=0
⇒ y=−34,5.
Alors x=−4−34,5j
.
Soit Bj α
+…+ Ljm (m+1 )
2
∈Cmavec (α )<m;1> .
( Bjα +…+ Ljm (m+1)
2)−1
est-il défini dans Cm?
Supposons que ( Bjα +…+ Ljm (m+1)
2)−1
soit défini dans Cm.
Dans ce cas on aura :
( Bjα +…+ Ljm (m+1)
2)−1
=A '+B'
jα+⋯+ L'
jm (m+1)2
avec A ' ,B ' ,⋯ , L' des réels
⇒ 1Bjα
+…+ Ljm(m+1)
2
=A '+ B'
jα+⋯+ L'
jm (m+1 )2
⇒1=(A '+B'
jα+⋯+
L'
jm (m+1 )2
)( Bjα +…+L
jm(m+1 )2
)¿(A '0 )+
(A ' B'
0 B )jα
+⋯+(A ' B' …
0 B …L'
L )jm (m+1 )
2
¿(A ' B'
0 B )jα
+⋯+(A' B' …
0 B …L'
L )jm (m+1 )
2
.
⇒{1=0
0=(A ' B'
0 B )⋮
0=(A ' B' …0 B …
L'
L )
« 1=0 »voilà une absurdité !
On constate que l'existence de ( Bj α +…+ Ljm (m+1)
2)−1
conduit à une absurdité.
On conclut alors que ( Bjα +…+ Ljm (m+1)
2)−1
n’est nullement défini dansCm.
Conséquences :
Un composite aréel n’est pas inversible.
L’écriture des nombres composites jusqu’alors adoptée est plus que jamais confortée.
1j
est une quantité à part entière; « 1 » ne peut être dissocié de « j». Il en va de même des autres
composites aréels.
a+ bjα
+…+ ljm (m+1)
2
b'
jα+⋯+ l'
jm (m+1 )2
≠(a+ bjα
+…+ ljm (m+1 )
2)× 1
b'
jα+⋯+ l'
jm (m+1)2
car 1
b'
jα+⋯+ l'
jm (m+1)2
n'existe pas.
Soit Bj α
+…+ Ljm (m+1 )
2
∈Cmavec (α )<m;1.
( Bjα +…+ Ljm (m+1)
2)
0
est-il défini dans Cm?
On a : ( Bjα +…+ Ljm (m+1 )
2)
0
=( Bj α +…+ Ljm (m+1 )
2)k−k
avec k∈ IR¿
=( Bjα +…+ Ljm (m+1)
2)k
×( Bjα +…+ Ljm(m+1)
2)−k
.
( Bjα +…+ Ljm (m+1)
2)−k
est l'inverse de ( Bjα +…+ Ljm (m+1)
2)k
.
Or un composite aréel n’est pas inversible ; alors l’un des ces deux nombres n’est pas défini et du coup
( Bjα +…+ Ljm (m+1)
2)
0
n'est pas défini dans Cm .
Nota :
Cn¿¿ ¿
Cn (): l'ensemble des nombres composites à nbranches ne contenant que les composites aréels et zéro.
Maintenant cherchons la racine nede Bjα
+ Cjα+1
+… Kjm (m+1)
2−1
+ Ljm (m+1 )
2
avec (α )<m;1> .
Supposons a+ bjα
+…+ ljm (m+1 )
2
avec a≠0 la racine nede Bjα
+ Cj α+1
+… Kjm (m+1 )
2−1
+ Ljm (m+1 )
2
.
Dans ce cas on aura :
Bjα
+ Cj α+1
+… Kjm (m+1 )
2−1
+ Ljm (m+1 )
2
=(a+ bjα
+…+ ljm (m+1 )
2)n
¿(a+ b+⋯+
lm !jα
m−1
jα)n
¿an+
n!(n−1 )!
an−1(b+⋯+
lm!jα
m−1 )jα
+⋯+
n !(n−m) !
an−m(b+⋯+
lm!jα
m−1 )m
jm (m+1 )2
.
d'où {an=0⋮
or l'équation an=0n'a pas de solution dans R car a≠0 .
Ainsi la racine nede Bjα
+ Cjα+1
+… Kjm (m+1 )
2−1
+ Ljm (m+1)
2
est , si elle existe, de la forme : bjα
+…+ ljm (m+1)
2
.
Supposons maintenant que : Bjα
+ Cjα+1
+…K
jm (m+1)2
−1
+ Ljm (m+1)
2
=( bjα
+…+ ljm (m+1 )
2)n
.
Cas où n≥m+1.
Dans ce cas on aura aussitôt ( bjα +…+ ljm (m+1)
2)n
=0 (voir page 58).
Du coup on aura : Bjα
+ Cj α+1
+… Kjm (m+1 )
2−1
+ Ljm (m+1 )
2
=0.
L’égalité Bjα
+ Cj α+1
+… Kjm (m+1 )
2−1
+ Ljm (m+1 )
2
=0n’a pas de sens si l’un des réels B ,C ,⋯ , L est non nul
et dans ce cas Bjα
+ Cj α+1
+… Kjm (m+1 )
2−1
+ Ljm (m+1 )
2
n’aura pas de racine ne .
Cas où n≤m.
Bjα
+ Cj α+1
+… Kjm (m+1 )
2−1
+ Ljm (m+1 )
2
=( bjα +…+ ljm (m+1)
2)n
¿( b+⋯+
lm!jα
m−1
jα)n
¿n !(b+⋯+
lm!jα
m−1 )n
jα +n−1
;posons(b+⋯+
lm !jα
m−1 )n
jα+n−1
=b '
j α+n−1
+⋯+l '
jm (m+1 )2
¿n !( b 'jα+n−1
+⋯+ l 'jm (m+1 )
2).
Si n=2 on aura obligatoirement B=0 .
Il devient évident que { si B est non nulalors Bjα
+ Cj α+1
+… Kjm (m+1 )
2−1
+ Ljm (m+1 )
2
n'aura pas de racine ne
si B est nul alors Bj α
+ Cjα+1
+…K
jm (m+1 )2
−1
+ Ljm (m+1)
2
peut admettre de racine ne
Si n=3on aura nécessairement B et C nuls .
Il devient manifeste que { si B et C sont non nuls alors Bj α
+ Cjα+1
+…K
jm (m+1 )2
−1
+ Ljm (m+1)
2
n'aura pas de racine ne
si B et C sont nulsalors Bjα
+ Cjα+1
+… Kjm (m+1)
2−1
+ Ljm (m+1 )
2
peut admettre de racine ne
⋮
Si n=mon aura inévitablement B ,C ,⋯ , K nuls
Il devient clair que { si B ,C ,⋯ ,K sont non nuls alors Bj α
+ Cjα+1
+…K
jm (m+1 )2
−1
+ Ljm (m+1)
2
n'aura pas de racine ne
si B ,C ,⋯ , K sont nulsalors Bjα
+ Cjα+1
+… Kjm (m+1)
2−1
+ Ljm (m+1 )
2
peut admettre de racine ne
Conclusion :
Un composite aréel n’a pas de racine ne si l’une de ses n−1 premières branches est non nulle.
Il résulte de ce qui précède que 1jα
n'admet jamais de racine ne avec (α )<m;1>.
Exemple :
Déterminer la racine carrée de 1j3
.
Posons ( xj2
+ yj3 )
2
= 1j3.
⇒ 2x2
j3
= 1j3
⇒ x=±1
√2
alors la racine carrée de1j3
est ±
1
√2j2
+C2j3
.
On constate que 1j3
admet une infinité de racines carrées.
F. Relation fondamentale
Soit P une fonction polynôme telle que : P ( x )=a xr+b xr−1+⋯+ px+q .
On aura :
P( x+ kj α )=a( x+ k
jα )r
+b(x+ kjα )
r−1
+⋯+ p( x+ kjα )+qavec k∈Cnet (α )<n;1>¿
¿a (xr+A r
1 xr−1 kjα
+⋯+Ar
n xr−n kn
j n (n+1 )2
)+b( xr−1+Ar−1
1 xr−2 kjα
+⋯+Ar−1
n xr−1−n kn
j n (n+1)2
)+⋯+ p(x+ kjα )+q
¿a xr+b xr−1+⋯+ px+q+r axr−1 k+(r−1)bxr−2 k+⋯+ pk
jα+⋯+
r !(r−n )!
axr−n k n+(r−1 )!
(r−1−n ) !bxr−1−n kn+⋯
j n (n+1)2
¿P ( x )+ k P ' (x )jα
+k2 P ' ' (x )
jα+1
+⋯+kn−1 P (x )(n−1)
jn (n+1 )2
−1
+kn P ( x )(n )
j n (n+1 )2
.
De façon générale on aura pour toute fonction dérivable f :
f (x+ kjα )=f (x )+ k f ' ( x )
jα+k2 f ' ' ( x )jα+1
+⋯+kn−1 f ( x )(n−1)
jn (n+1 )2
−1
+k n f ( x )(n)
j n (n+1 )2
avec ¿
Application :
f (x+ pj2
+ qj3
)=f (x+ p+
q2 !j2
j2
)car 1j2
2 =2!j3
¿ f ( x )+( p+ q
2!j2
) f ' ( x )
j2
+( p+ q
2!j2
)2
f ' ' ( x )
j3
¿ f ( x )+ p f ' ( x )j2
+q f ' ( x )+ p2 f ' ' (x)
j3.
À quelle condition la fonctionf (x)=asinαx+bcosβx est-elle sinusoïdale ?
f est sinusoïdale si elle peut s'écrire sous la forme f ( x )=Asin (Bx+C ) .
Dans ce cas on aura : asinαx+bcosβx=Asin (Bx+C ) .
Si x= 1j2
cette équation donnera :
asin( αj2)+bcos( βj2 )=Asin(C+
Bj2
)⇒ asin(0+
αj2
)+bcos (0+βj2
)=Asin(C+Bj2
)⇒ a(sin 0+ αcos0
j2
−α 2sin 0j3
)+b(cos0− βsin0j2
−β2 cos0j3
)=A(sinC+ BcosCj2
− B2 sinCj3
)⇒b+ αa
j2
− β2bj3
=A (sinC+BcosCj2
−B2 sinCj3
)
⇒{ AsinC=b(1)ABcosC=αa
AB2 sinC=β2b(2)
(2)(1)
⇒B2=β2 .
Il apparaît donc que 2πβ
est la période de f .
Alors f ( x± 2 πβ )=f (x )
⇒ asin[α(x ± 2πβ )]+bcos [ β (x± 2 π
β )]=asinαx+bcosβx ⇒sin (αx ± 2απ
β )=sinαx or2πα
est la période de sinax
⇒sin (αx ± 2απβ )=sin[α (x± 2 π
α )]⇒sin (αx ± 2απ
β )=sin(αx ± 2α πα ).
Alors β=α .
Ainsi la fonction f (x)=asinαx+bcosβx est sinusoïdale si α=β .
Déterminer la période de la fonction sinusoïdale 5 sin2 3 x+2 cos23 x−72.
Posons Asin (Bx+C )=5 sin23 x+2cos23 x−72
.
Si x=1j2
on aura : Asin(C+Bj2
)=5 sin2 3j2
+2cos2 3j2
−72
⇒ A (sinC+ BcosCj2
−B2 sinCj3 )=−3
2+ 54
j3
⇒{ AsinC=−32
(1)
ABcosC=0−A B2 sinC=54 (2)
(2 )(1 )⇒B2=36 soit B=6.
Alors la période de la fonction considérée est 2π6
soit π3.
Soit (α )<n;1>et F , f , g trois fonctions dérivables telles que : F=fg .
On a :
F ( x )=f ( x )g ( x )
⇒F (x+ 1jα )=f (x+ 1
jα )g (x+ 1jα )
⇒F (x )+ F' ( x )jα
+⋯+F ( x )(n )
j n (n+1)2
=( f ( x )+ f ' ( x )jα
+⋯+f ( x )(n )
j n (n+1)2
)(g ( x )+ g ' ( x )jα
+⋯+g ( x )(n)
j n (n+1 )2
)¿( f ( x )
g (x))+( f (x) f ' ( x )g(x ) g '(x ))
jα+⋯+
( f (x) f ' (x) ⋯g( x) g ' (x) ⋯
f ( x )(n )
g ( x )(n ))j n(n+1 )
2
donc { F ( x )=( f ( x )g(x ))
F ' ( x )=( f (x ) f ' ( x )g(x ) g '(x ))⋮
F ( x )(n )=( f (x) f ' (x) ⋯g(x ) g '( x) ⋯
f ( x )(n )
g ( x )(n ))
soit { F=( fg)F'=( f f
'
g g ')⋮
F (n )=( f f ' ⋯g g ' ⋯
f (n )
g (n ))
soit encore { fg=( fg)(fg )'=( f f
'
g g ')⋮
( fg )(n)=( f f ' ⋯g g ' ⋯
f (n)
g(n))ainsi ( fg )(n)=( f f ' ⋯
g g ' ⋯f (n)
g(n)) .
Application :
( fg )'=( f f '
g g ')¿ f g'+ f ' g .
( fg )' '=( f f ' f ' '
g g' g ' ')¿C20( f f ' '
g g ' ' )+C21( f 'g ')¿ f g' '+f ' ' g+2 f ' g' .
( fg )' ' '=( f f ' f ' '
g g' g' 'f ' ' '
g' ' ' )¿C30( f f ' ' '
g g ' ' ')+C31( f ' f ' '
g' g' ')¿ f g' ' '+ f ' ' ' g+3 f ' g ' '+3 f ' ' g' .
Calculer (x2lnx )(4 )
.
On a : (x2lnx )(4 )=( x2 2x 2
lnx x−1 −x−20 0
2 x−3 −6 x−4)¿C4
0( x2 0lnx −6 x−4)+C4
1( 2 x 0x−1 2 x−3)+C4
2( 2−x−2)¿−6 x−2+16 x−2−12x−2¿− 2
x2.
Calculer ( fgh)' ' .
On a : (fgh )' '=( fg ( f f '
g g' ) ( f f ' f ' '
g g'
g' ' )
h h' h' ' )¿ fgh' '+h (f g' '+ f ' ' g+2 f ' g ' )+2h ' ( f g'+ f ' g )
¿ f ' ' gh+ f g' 'h+ fgh ' '+2 (f ' g 'h+ f g'h '+ f ' gh' ) .
Les nombres composites et les limites :
Si limx→x0+
kjα
f ( x )=a+ bjα
+⋯+ lj n (n+1)
2
alors limx→x0
f ( x )=aavec {x0 un réel fini
n∈¿¿
(α )<n;1> k∈Cn
a ,b ,⋯ ,l des réels
(voir page 84).
Conséquence :
Soient { get hdeux fonctions dérivablesx0 un réel fini
n∈N ¿
(α )<n ;1>¿k∈Cn
On a : limx→x0+
kjα
g ( x )h ( x )
=¿g( x0+
kjα )
h(x0+kjα )
(on suppose que g (x0 ) , h (x0 ) , g (x0 )( i) ,h (x0 )( i) existent )¿
¿
g (x0 )+kg ' ( x0)
jα+⋯+
kn g (x0 )(n)
j n (n+1)2
h (x0 )+kh' (x0 )
jα+⋯+
k nh (x0 )(n)
j n (n+1 )2
.
Supposons que {h (x0 )=h ' (x0 )=⋯=h (x0 )(n−1)=0et h (x0 )(n)≠0
g (x0 )=g' ( x0 )=⋯=g (x0 )(n−1)=0
alors limx→x0+
kjα
g ( x )h ( x )
=¿
k ng (x0 )(n )
j n (n+1)2
knh ( x0 )(n)
j n (n+1)2
¿
¿g (x0 )(n)
h (x0 )(n )+?jα
+⋯+ ?j n (n+1)
2
.
On peut enfin déduire que limx→x0
g ( x )h ( x )
=g (x0 )(n)
h (x0 )(n).
Ainsi limx→x0
g ( x )h (x )
=¿g (x0 )(n )
h ( x0 ) (n ) si {h ( x0 )=h' (x0 )=⋯=h (x0 )(n−1)=0et h (x0 )(n)≠0
g (x0 )=g' (x0 )=⋯=g (x0 )(n−1 )=0¿
Cette formule vaut celle de L’Hospital avec cependant l’obligation pour la variable de tendre vers un réel fini.
Exemples :
Calculons limx→ 0
sin x2
x2 .
On a : (x2 )'=2 x ; (x2 )' '=2.
D'autre part on a: (sin x2 )'=2xcos x2; (sin x2 )' '=2cos x2−4 x2 sin x2 .
On constate aussi que : {02=2×0 et 2≠0 sin 02=2×0×cos 02=0
alors limx→ 0
sin x2
x2 =2cos 02−4 02 sin 02
2¿1
Dans un nombre composite s=a+ bjα
+…+ lj n(n+1)
2
on distingue n+1 parties :
la partie réelle R ( s¿=a la première branche 1ℜB (s )=b ⋮ la ne branche ne B ( s )=l
VII. STRUCTURES DES NOMBRES COMPOSITES
A. ¿
Soient a+ bjα
+…+ lj n (n+1 )
2
, a'+ b'
jα+…+ l'
j n (n+1 )2
et a ' '+ b' '
jα+…+ l' '
j n (n+1)2
trois éléments
quelconques de Cn.
+est associative dans Cn
En effet :
(a+ bjα
+…+l
j n(n+1 )2
+a'+b'
jα+…+
l'
j n (n+1)2
)+a' '+b' '
jα+…+
l' '
j n (n+1)2
¿a+a'+b+b'
jα+…+ l+l'
j n (n+1)2
+a' '+ b' '
jα+…+ l' '
j n (n+1 )2
¿a+a'+a' '+ b+b'+b' '
jα+…+ l+l'+l' '
j n (n+1 )2
.
a+bjα
+…+l
j n (n+1)2
+(a '+b'
jα+…+
l'
j n (n+1)2
+a' '+b' '
jα+…+
l' '
j n(n+1 )2
)¿a+ b
jα+…+ l
j n (n+1)2
+a'+a' '+b '+b' '
jα+…+ l'+l' '
j n (n+1)2
¿a+a'+a' '+ b+b'+b' '
jα+…+ l+l'+l' '
j n (n+1 )2
.
Alors (a+ bjα
+…+l
j n (n+1 )2
+a '+b'
jα+…+
l'
j n (n+1)2
)+a ' '+b' '
jα+…+
l' '
j n (n+1 )2
¿a+bjα
+…+l
j n (n+1)2
+(a '+b'
jα+…+
l'
j n (n+1)2
+a' '+b' '
jα+…+
l' '
j n(n+1 )2
) .
+ est commutative dans Cn
En effet :
a+ bjα
+…+ lj n (n+1)
2
+a'+ b'
jα+…+ l'
j n (n+1 )2
=a+a '+ b+b 'jα
+…+ l+l 'j n (n+1)
2
¿a '+a+b '+bjα
+…+ l'+ lj n (n+1)
2
¿a '+ b'
jα+…+ l'
j n (n+1)2
+a+ bjα
+…+ lj n (n+1 )
2
.
+a un élément neutre 0 qui appartient à Cn
En effet :
a+ bjα
+…+ lj n (n+1)
2
+0=0+a+ bjα
+…+ lj n (n+1)
2
=a+ bj α
+…+ lj n (n+1)
2
.
tout élément de Cna un symétrique dans Cnpour la loi +
En effet :
a+ bjα
+…+ lj n (n+1)
2
+(−a− bjα
−…− lj n (n+1)
2)=(−a− b
jα−…− l
jn (n+1 )2
)+a+ bjα
+…+ lj n (n+1 )
2
=0.
Ces propriétés réunies confèrent à ¿ une structure de groupe commutatif.
B. (Cn ,+,×)
Associativité de ×
Posons a'+ b '
jα+…+ l'
j n(n+1 )2
=k .
[(a+ bjα
+…+l
j n (n+1 )2
)(a'+b'
jα+…+
l'
j n (n+1)2
)](a' '+b' '
jα+…+
l' '
j n(n+1 )2
)¿ [(a+ b
j α+…+ l
j n (n+1)2
)k ](a' '+ b ' '
j α+…+ l' '
j n (n+1)2
)¿(ka+ kb
jα+…+
klj n (n+1 )
2)(a' '+
b ' '
jα+…+
l' '
j n (n+1)2
)¿( kaa ' ')+
( ka kba ' ' b ' ')
jα+…+
(ka kb …a ' ' b ' ' …
kll' ' )
j n (n+1)2
.
(a+ bjα
+…+l
j n(n+1 )2
)[(a '+b'
jα+…+
l'
j n (n+1)2
)(a' '+b' '
jα+…+
l' '
j n(n+1 )2
)]¿(a+ b
jα+…+
lj n (n+1)
2)[k (a' '+
b' '
jα+…+
l' '
j n (n+1 )2
)]
¿(a+ bjα
+…+l
j n (n+1)2
)(k a' '+k b' '
jα+…+
k l' '
j n (n+1 )2
)¿( a
k a' ')+( a bk a' ' k b' ')
jα+…+
( a b …k a' ' k b ' ' …
lk l' ')
j n (n+1)2
¿k ( aa' ')+k ( a b
a' ' b' ')jα
+…+k ( a b …
a' ' b' ' …ll' ')
j n (n+1 )2
¿(kaa ' ' )+(ka kba' ' b' ' )
jα+…+
(ka kb …a' ' b' ' …
kll' ' )
jn (n+1 )2
.
Alors [(a+ bjα
+…+l
j n (n+1)2
)(a'+b '
jα+…+
l'
j n (n+1)2
)](a' '+b ' '
j α+…+
l' '
j n (n+1)2
)¿(a+ b
jα+…+
lj n (n+1)
2)[(a'+
b '
jα+…+
l'
jn (n+1 )2
)(a' '+b ' '
j α+…+
l' '
j n (n+1)2
)] . Distributivité de × par rapport à +¿
Posons a+ bjα
+…+ lj n (n+1)
2
=k .
(a+ bjα
+…+l
j n(n+1 )2
)(a'+b'
jα+…+
l'
j n (n+1)2
+a ' '+b' '
jα+…+
l' '
j n (n+1 )2
)¿k (a'+a' '+
b'+b' '
jα+…+
l'+l' '
j n (n+1 )2
)¿k (a'+a' ' )+ k (b'+b' ' )
jα+…+
k (l'+l' ' )j n(n+1 )
2
¿k a '+ kb '
jα+…+ k l'
j n (n+1)2
+k a' '+ kb ' '
jα+…+ kl' '
j n (n+1)2
¿k (a'+b'
jα+…+
l'
j n (n+1 )2
)+k (a' '+b' '
jα+…+
l' '
j n (n+1 )2
)¿(a+ b
jα+…+
lj n (n+1)
2)(a'+
b'
j α+…+
l'
j n (n+1)2
)+¿
(a+ bjα
+…+l
j n(n+1 )2
)(a' '+b ' '
jα+…+
l' '
j n (n+1)2
) .
(a'+b '
jα+…+
l'
j n (n+1)2
+a' '+b ' '
jα+…+
l' '
j n (n+1)2
)(a+ bjα
+…+l
j n (n+1 )2
)¿(a'+a' '+
b '+b' '
jα+…+
l'+ l' '
j n (n+1)2
)k=(a'+a ' ' )k+ (b '+b ' ' )kj α
+…+(l'+ l' ' )kj n (n+1)
2
¿a 'k+ b' kjα
+…+ l' kj n (n+1)
2
+a' 'k+ b ' ' kjα
+…+ l' 'kj n (n+1)
2
¿(a'+b'
jα+…+
l'
j n (n+1 )2
)k+(a' '+b' '
jα+…+
l' '
j n(n+1 )2
)k¿(a'+
b'
jα+…+
l'
j n (n+1 )2
)(a+ bj α
+…+l
j n (n+1)2
)+¿
(a' '+b' '
jα+…+
l' '
jn (n+1 )2
)(a+ bjα
+…+l
j n (n+1)2
) .
Alors (a+ bjα
+…+l
j n (n+1 )2
)(a '+b'
jα+…+
l'
j n (n+1)2
+a' '+b' '
jα+…+
l' '
j n (n+1 )2
)
¿(a'+b'
jα+…+
l'
j n (n+1 )2
+a ' '+b' '
jα+…+
l' '
j n (n+1)2
)(a+ bjα
+…+l
j n (n+1)2
) .
Commutativité de ×
(a+ bjα
+…+ lj n(n+1 )
2)(a'+ b'
jα+…+ l'
j n (n+1)2
)=(aa' )+( a ba ' b')jα
+…+( a b …a' b ' …
ll')
j n (n+1)2
¿(a 'a )+(a ' b 'a b )
jα+…+
(a ' b ' …a b …
l'l )
j n (n+1)2
¿(a'+b'
jα+…+
l'
j n (n+1 )2
)(a+ bj α
+…+l
j n (n+1)2
) .
Existence de l’élément neutre 1
(a+ bjα
+…+ lj n(n+1 )
2)×1=1×(a+ b
jα+…+ l
j n (n+1 )2
)=a+ bjα
+…+ ljn (n+1 )
2
.
L’ensemble de ces propriétés confèrent à (Cn ,+,×) une structure d’anneau commutatif unitaire.
C. Cn¿¿ ¿
Associativité de ×
Posons a'+ b '
jα+…+ l'
j n(n+1 )2
=k .
[(a+ bjα
+…+l
j n (n+1 )2
)(a'+b'
jα+…+
l'
j n (n+1)2
)](a' '+b' '
jα+…+
l' '
j n(n+1 )2
)¿(ak+ bk
jα+…+
lkj n (n+1)
2)(a' '+
b' '
jα+…+
l' '
j n(n+1 )2
)¿( aka ' ')+
( ak bka ' ' b ' ')
jα+…+
( ak bk …a ' ' b ' ' …
lkl ' ')
j n(n+1 )2
¿k ( aa' ')+k ( a b
a' ' b' ')jα
+…+k ( a b …
a' ' b' ' …ll' ')
j n (n+1 )2
¿( ak a' ')+
( a bk a' ' k b' ')
jα+…+
( a b …k a' ' k b ' ' …
lk l' ')
j n (n+1)2
¿(a+ bjα
+…+l
j n (n+1)2
)(k a' '+k b' '
jα+…+
k l' '
j n (n+1 )2
)
¿(a+ bjα
+…+l
j n (n+1)2
)[k (a' '+b' '
jα+…+
l' '
j n (n+1 )2
)]¿(a+ b
jα+…+
lj n (n+1)
2)[(a'+
b '
jα+…+
l'
jn (n+1 )2
)(a' '+b ' '
j α+…+
l' '
j n (n+1)2
)] . Commutativité de ×
(a+ bjα
+…+ lj n(n+1 )
2)(a'+ b'
jα+…+ l'
j n (n+1)2
)=(aa' )+( a ba ' b')jα
+…+( a b …a' b ' …
ll')
j n (n+1)2
¿(a 'a )+(a ' b 'a b )
jα+…+
(a ' b ' …a b …
l'l )
j n (n+1)2
¿(a'+b'
jα+…+
l'
j n (n+1 )2
)(a+ bj α
+…+l
j n (n+1)2
) .
Existence de l’élément neutre 1
(a+ bjα
+…+ lj n(n+1 )
2)×1=1×(a+ b
jα+…+ l
j n (n+1 )2
)=(a+ bjα
+…+ lj n (n+1)
2) .
Tout élément de Cn¿¿ ¿a un symétrique pour la loi ×
(a+ bjα
+…+ lj n(n+1 )
2)× 1
(a+ bjα
+…+ lj n (n+1)
2)
¿ 1
(a+ bjα
+…+ lj n(n+1 )
2)×(a+ b
jα+…+ l
j n (n+1)2
)¿1.
Alors ¿ est un groupe abélien.
Conclusion :
Cn¿¿ ¿ constitue un corps commutatif.
VIII. FONCTIONS À VARIABLE COMPOSITE
On considère n variables réelles indépendantes x , y ,…, z prenant leurs valeurs sur l’ensemble des
nombres réels et on forme la quantité composite s= x+ yjα
+…+ zj n (n+1)
2
.
Cette quantité est appelée une variable composite. Pour chaque valeur de x , y ,…, z , s prend pour valeur un nombre composite ; la variable s prend donc ses valeurs sur un ensemble de nombres composites qui est appelé l’ensemble de variations de s.
Une variable ϝ (digamma), composite ou réelle est appelée une fonction d’une variable composite indépendante s si à chaque valeur de s de l’ensemble de variation de s correspond une ou plusieurs valeurs de ϝ. Si ces valeurs de ϝ sont aussi des nombres composites, l’ensemble de variation de ϝ est aussi un ensemble de nombres composites. On écrit ϝ ¿ f (s ); ϝ est dite une fonction composite d’une variable composite.
La fonction ϝ ¿ f (s )est dite définie si elle prend des valeurs finies pour toutes les valeurs de s de son ensemble de variation ; cet ensemble de variation de s est alors appelé l’ensemble de définition de ϝ ¿ f ( s ) .
On a : ϝ = f (s )
¿ f (x+ yjα
+…+ zjn (n+1 )
2)¿ f (x+ y+⋯+
zn !j α
n−1
jα)
¿ f ( x )+( y+⋯+
zn !j α
n−1 ) f ' (x)jα
+⋯+( y+⋯+
zn!jα
n−1 )n
f ( x )(n )
j n (n+1)2
.
On constate que ϝ est définie si les variablesf ( x ) , f ' ( x ) ,…, f ( x)(n ) existent.
Il devient donc évident que l’ensemble de définition de ϝ est :
Dϝ¿ (D f ∩Df '∩…∩D
f (n) )×D y×…×D z .
A. Limites
Soit s0=x0+y 0
jα+…+
z0
j n (n+1 )2
.
lims→s0
ϝ=lims→s0
f (s)¿ lim
x→x0
y→ y0
⋮z→z0
( f ( x )+( y+⋯+
zn!jα
n−1 ) f '(x )jα
+⋯+( y+⋯+
zn !jα
n−1 )n
f (x)(n)
j n (n+1)2
)¿ lim
x→x0
f ( x )+ limx→x0
y→y0
⋮z →z0
( y+⋯+
zn!jα
n−1 ) f '(x )jα
+…+ limx→x0
y→y0
⋮z→z0
( y+⋯+
zn!jα
n−1 )n
f (x )(n)
j n(n+1 )2
¿ limx→x0
f ( x )+( y0+⋯+
z0
n !jα
n−1 ) limx→x0
f '(x )jα
+…+( y0+⋯+
z0
n!jα
n−1 )n
lim¿
f (x )(n)
j n (n+1)2
¿ limx→x0
( f (x )+( y0+⋯+
z0
n!
jαn−1 ) f ' ( x )
jα+…+
( y0+⋯+
z0
n!
jαn−1 )
n
f (x )(n)
j n (n+1)2
).
Alors lims→s0
ϝ= limx→x0
( f (x )+( y0+⋯+
z0
n !
jαn−1 ) f ' ( x )
jα+…+
( y0+⋯+
z0
n!
jαn−1 )
n
f (x )(n)
j n (n+1)2
) .Conséquences :
Il apparaît donc que : R ( lims→s0
ϝ ¿=limx→x0
f ( x )
ainsi limx→x0
f ( x ) =R ( lims→s0
ϝ ¿=R [ limx+ y
jα+…+ z
j n( n+1 )2
→x0+y0
jα+…+
z0
j n( n+1)2
f ( x+ yj α
+…+ zj n (n+1)
2)] .
Supposons que {( y ;…; z )=(0 ;…;0)y0∈R
(…; z0 )=(0 ;…;0)
alors limx→x0
f ( x ) =R [ limx→x0+
y0
jα
f (x )] . Voilà enfin une démonstration de la propriété qui a été énoncée dans le calcul des limites.
lims→s0
f ( s)
g (s )=
lims→s0
f (s )
lims→s0
g (s )¿
limx→x0
( f ( x )+( y0+⋯+
z0
n!
jαn−1 ) f ' ( x )
jα+…+
( y0+⋯+
z0
n !
jαn−1 )
n
f (x)(n)
j n(n+1 )2
)limx→x0
(g ( x )+( y0+⋯+
z0
n!jα
n−1 )g ' ( x )
jα+…+
( y0+⋯+
z0
n !jα
n−1 )n
g (x)(n)
j n (n+1)2
).
Alors lims→s0
f (s )
g (s )=
limx→x0
( f ( x )+( y0+⋯+
z0
n!
jαn−1 ) f ' ( x )
jα+…+
( y 0+⋯+
z0
n!
jαn−1 )
n
f (x)(n)
j n(n+1 )2
)limx→x0
(g ( x )+( y0+⋯+
z0
n!jα
n−1 )g ' ( x )
jα+…+
( y0+⋯+
z0
n !jα
n−1 )n
g (x)(n)
j n (n+1)2
).
B. Continuité
Une fonction ϝ ¿ f (s ) est dite continue en s0 si :
Elle est définie et uniforme au voisinage de s0 (on considère des voisinages circulaires)
lims→s0
ϝ=lims→s0
f ( s)=f ( s0 )
C. Dérivées partielles de ϝ=f (s) par rapport aux variables réellesx , y ,…, z.
∂ϝ∂ x
=f ' ( x )+( y+⋯+
zn !jα
n−1 ) f ' ' ( x )
jα+⋯+
( y+⋯+
zn !jα
n−1 )n
f (x)(n+1)
j n (n+1 )2
¿ f ' (x+ y+⋯+
zn !jα
n−1
jα) .
∂ ϝ∂ y
=f ' ( x )jα
+⋯+
n ( y+⋯+
zn!jα
n−1 )n−1
f (x )(n)
j n (n+1)2
.
⋮
∂ϝ∂ z
=
1n!jα
n−1 f' ( x )
jα⋯+
nn !jα
n−1 ( y+⋯+
zn !jα
n−1 )n−1
f ( x )(n )
j n (n+1 )2
.
D. Dérivée de ϝ=f (s ) en s0
f' ( s0 )=
lims→s0
f ( s )−f ( s0 )
s−s0
¿ limx→x0
y→ y0
⋮z→z0
f ( x )−f (x0 )+( y+⋯+
zn !jα
n−1 ) f ' ( x )−( y0+⋯+
z0
n!jα
n−1 ) f ' (x0 )
jα+…+
( y+⋯+
zn!jα
n−1 )n
f ( x )(n)−( y0+⋯+
z0
n !jα
n−1 )n
f
(n)
(x0 )
jn (n+1 )2
x−x0+y− y0
jα+…+
z−z0
j n (n+1 )2
¿ limx→x0
f (x )−f (x0 )+( y0+⋯+
z0
n !jα
n−1 ) ( f ' ( x )−f ' ( x0 ) )
jα+…+
( y0+⋯+
z0
n !jα
n−1 )n
(f ( x )(n)−f (x0 )(n ))
j n (n+1 )2
x− x0
¿ limx→x0
( f ( x )−f (x0 )x−x0
+( y0+⋯+
z0
n!
jαn−1 ) ( f ' ( x )−f ' (x0 ))
x−x0
jα+…+
( y0+⋯+
z0
n!
jαn−1 )
n
(f ( x )(n)−f (x0 )(n ))x−x0
j n (n+1 )2
)¿ lim
x→x0
f (x )−f (x0 )x−x0
+( y0+⋯+
z0
n!jα
n−1 )jα
limx→x0
f ' ( x )−f ' (x0 )
x−x0
+…+( y0+⋯+
z0
n !jα
n−1 )n
j n (n+1)2
limx→x0
f ( x )(n)−f (x0 )(n)
x−x0
¿ f ' (x0 )+( y 0+⋯+
z0
n!jα
n−1 ) f ' ' (x0 )
jα+…+
( y0+⋯+
z0
n!jα
n−1 )n
f (x0 )(n+1)
j n (n+1)2
¿ f '( x0+
y0+⋯+
z0
n!jα
n−1
jα).
Donc ϝ '=f ' (s )=f ' (x+ y+⋯+
zn !j α
n−1
jα)
soit ϝ'=∂ϝ∂ x
.
*Fonction harmonique
On appelle fonction harmonique, une fonction réelle F de deux variables x et y satisfaisant à l’équation aux dérivées partielles de second ordre :
∂2F∂ x2 + ∂2 F
∂ y2 =0.
Tentons de trouver une fonction composite ϝ d’une variable composite s= x+ yj
de type harmonique.
On aura : ϝ=f ( s)=f ( x )+ yf ' (x)j
∨{∂2ϝ
∂x2 =f ' '(s)
∂2 ϝ∂ y2=0
donc ∂2ϝ∂ x2 + ∂2 ϝ
∂ y2=f ' ' ( s ) .
ϝ est une fonction harmonique si : f ' ' (s )=0.
f ' ' (s )=0⇒ f (s )=∬0.ds=ps+q ( avec ( p ;q )∈C1×C 1 ) .
Ainsi une fonction ϝ d’une variable composite sest harmonique s’il est de la forme :
ϝ=ps+q (avec (p ; q)∈C1×C1 ).
E. Quelques fonctions d’une variable composite
1. La fonction linéaire
C'est la fonction ϝ=as+boùaet b sont des constantes composites.
Exemples :
La translation :ϝ=s+wV⃗ .
L’homothétie :ϝ=ks+ (1−k )ω.
Étude de la fonction f (s )=(a+ a'
j )s+b+ b '
j.
Df=C1.
f ( s )=0
⇒(a+ a '
j ) s+b+b '
j=0
⇒ s=−b+ b'
j
a+ a'
j
.
Si s=x+ yj
on aura : f ( s )=ax+b+ a' x+ay+b'
j.
R [ f (s)]= ax+b .
B [ f (s)] = a' x+ay+b ' .
Application :
f ( s )=(4+ 27j )s+ 1
10−2,3
j.
Df=C1.
f ( s )=0
⇒(4+ 27j )s+ 1
10−2,3
j=0
⇒ s=−140
+
119160j
.
Si s=x+ yj
on aura : f ( s )=4 x+ 110
+ 27 x+4 y−2,3j
.
R [ f (s ) ]= 4 x+ 110
B [ f (s)] = 27 x+4 y−2,3
Étude de la fonction f (s )=(a+ a 'j2
+a ' 'j3
) s+b+b 'j2
+b ' 'j3
.
Df=C2.
f ( s )=0
⇒(a+ a'
j2
+ a' '
j3) s+b+ b'
j2
+ b' '
j3
=0
⇒ s=−b+ b '
j2
+ b' '
j3
a+a '
j2
+a' '
j3
.
Si s=x+ yj2
+ zj3
on aura : f (s )=ax+b+ a' x+ay+b '
j2
+ a' ' x+2a' y+az+b ' 'j3
.
R [ f (s)]= ax+b .
1ℜ B [ f (s ) ]= a ' x+ay+b' .
2e B [ f (s )]= a' ' x+2a' y+az+b' ' .
Application :
f ( s )=(1+2j2
+3j3
)s+4+5j2
+6j3
.
Df=C2.
f ( s )=0
⇒(1+2j2
+3j3
)s+4+5j2
+6j3
=0
⇒ s=−4+ 3j2
− 6j3
.
Si s=x+ yj2
+ zj3
on aura : f (s )=x+4+ 2x+ y+5j2
+3 x+4 y+z+6j3
.
R [ f (s ) ]= x+4
1ℜ B [ f (s ) ]= 2 x+ y+5
2e B [ f ( s ) ]= 3x+4 y+z+6.
2. La fonction homographique
C'est la fonction ϝ=as+bcs+d
où a ,b ,c , d sont des constantes composites telles que {ad−bc≠0c≠0
L’existence de cette fonction est tributaire des conditions de division (voir page 49).
Étude de la fonction :
f ( s )=(a+ a'
j )s+b+ b 'j
(c+ c 'j )s+d+ d '
j
avec{(a+ a'j )(d+ d '
j )−(b+ b'
j )(c+ c '
j )≠0
c+c 'j≠0
f ( s ) existe si R[(c+ c'
j )s+d+ d '
j ]≠0soit R (cs+d )≠0; soit enfin R (s )≠−dc.
Dans ce cas s∈C1−{−dc
+C1j }.
Si s∈{−dc
+C1j } et que la partie réelle du numérateur est nulle alors :
f (s ) existe avec la condition expresse pour le dénominateur d'être non nul.
f ( s )=0
⇒ s=−b+ b'
j
a+ a'
j
.
f ' ( s)=(a+ a'
j )(d+ d'
j )−(b+ b'
j )(c+ c '
j )[(c+ c '
j )s+d+ d '
j ]2 .
Application :
f ( s )=(6+ 1
j )s+9+ 6j
(3+ 6j )s+8
.
f ( s ) existe si R[(3+ 6j )s+8]≠0soit R (3 s+8 )≠0 ;soit enfin R ( s)≠−8
3.
Dans ce cas s∈C1−{−83
+C1j }.
On remarque que pour déterminer la partie réelle de s on « élague » les autres parties. Pour déterminer une branche donnée de s on procède de façon analogue en élaguant la partie réelle et, dans le cas des nombres composites à plus d’une branche, les autres branches.
Si s∈{−83
+C1j } la partie réelle du numérateur est non nulle.
Alors Df=C1−{−83
+C 1j }.
f ( s )=0
⇒ s=−32
−
34j.
f ' ( s)=21−64
j
[(3+ 6j ) s+8 ]
2 .
Étude de la fonction :
f ( s )=(a+ a'
j2
+ a ' 'j3
)s+b+ b'
j2
+ b ' 'j3
(c+ c'
j2
+ c ' 'j3
) s+d+ d '
j2
+ d ' 'j3
avec {(a+ a'
j2+ a ' '
j3)(d+ d '
j2
+ d ' 'j3 )−(b+ b'
j2
+ b ' 'j3
)(c+ c '
j2
+ c ' 'j3
)≠0
c+ c '
j2
+ c ' 'j3
≠0
f ( s ) existe si R[(c+ c '
j2
+ c ' 'j3
)s+d+ d '
j2
+ d ' 'j3 ]≠0 soit R (cs+d )≠0 ;soit enfin R ( s)≠−d
c.
Dans ce cas s∈C2−{−dc
+C2j2
+C 2j3
}.Si s∈{−d
c+C2j2
+C 2j3
} et que la partie réelle du numérateur est nulle alors :
f (s ) existe si le plus petit indice des branches du dénominateur est inférieur ou égal au plus petit indice des branches du numérateur.
f ( s )=0
⇒ s=−b+ b '
j2
+ b' '
j3
a+a '
j2
+a' '
j3
.
f ' ( s)=(a+ a'
j2
+ a' 'j3
)(d+ d'
j2+ d ' '
j3)−(b+ b'
j2
+b ' 'j3
)(c+ c '
j2
+ c ' 'j3
)[(c+ c '
j2
+ c ' 'j3
)s+d+ d'
j2+ d ' '
j3 ]2 .
Application :
f ( s )=(2+
3j2
+3j3 )s+ 3
j2
+9j3
(6+ 9j2 ) s+ 6
j2
+ 6j3
.
f ( s ) existe si R[(6+ 9j2 )s+ 6
j2
+ 6j3 ]≠0 soit R (6 s )≠0 ;soit enfin R ( s)≠0.
Dans ce cas s∈C2¿¿ ¿.
Si s∈C2() la partie réelle du numérateur est nulle.
Pour que f (s ) existe il faut que 1ℜ B[(6+ 9j2 ) s+ 6
j2
+ 6j3 ]≠0
⇒ 1ℜ B [(6+ 9j2 )s+ 6
j2 ]≠0 ;posons 1ℜB (s )=x
⇒ 1ℜ B[(6+ 9j2 ) x
j2
+ 6j2 ]≠0
⇒ 1ℜ B( 6+6 xj2
)≠0
⇒ x ≠−1.
Dans ce cas s∈C2()−{−1j2
+C 2j3
}
Si s∈{−1j2
+C2j3 } la 1ℜ branche du numérateur est non nulle.
Alors Df=C2¿ ¿¿¿C2−{−1j2
+C2j3
}.f ( s )=0
⇒ s=−1,5j2
.
f ' ( s)=
−6j2
−60j3
[(6+ 9j2
) s+ 6j2
+ 6j3 ]
2 .
3. La fonction puissance
C'est la fonction ϝ= smoù mest un nombre naturel.
Dϝ=Cn .
ϝ'=msm−1 .
4. La fonction polynôme
C'est la fonction ϝ=a0 sm+a1 s
m−1+…+am−1 s+amoù { a i(i=0,1 ,…,m)sont des constantes compositesm est un nombre naturel
Étude de la fonction f (s )=(a+ a'
j )s2+(b+ b'
j )s+c+ c 'j.
Df=C1.
f ( s )=0
⇒(a+ a '
j ) s2+(b+ b'
j )s+c+ c 'j=0.
∆=(b+ b'
j )2
−4 (a+ a'
j )(c+ c '
j )¿b2−4 ac+
2bb'−4 (ac'+a 'c )j
.
Si R (∆ )>0 on aura : s=−(b+ b'
j )±(b2−4 ac+2bb '−4 (ac '+a'c )
j )12
2(a+ a'
j ).
Si R (∆ )=0alors cette équation n'aura pas de solution.
Si s=x+ yj
on aura : f ( s )=a x2+bx+c+ a ' x2+2axy+b' x+by+c 'j
.
R [ f (s)]= a x2+bx+c .
B [ f (s)] = a' x2+2axy+b' x+by+c ' .
Application :
f ( s )=(3+ 7j )s2+(11−3
j )s+7−1j.
Df=C1.
f ( s )=0
⇒(3+ 7j )s2+(11−3
j )s+7−1j=0
⇒ s=±(√37−116
+
−317 √37333
+ 439
j ) .Si s=x+ y
jon aura : f ( s)=3x2+11 x+7+ 7 x2+6 xy−3 x+11 y−1
j.
R [ f (s ) ]= 3 x2+11 x+7
B [ f ( s) ] = 7 x2+6 xy−3 x+11 y−1
Étude de la fonction f (s )=(a+ a'
j2
+ a ' 'j3
)s2+(b+ b'
j2
+ b ' 'j3
) s+c+ c '
j2
+ c ' 'j3
.
Df=C2.
f ( s )=0
⇒(a+ a'
j2
+ a ' 'j3
)s2+(b+ b '
j2
+ b ' 'j3 )s+c+ c '
j2+ c ' '
j3
=0.
∆=(b+ b '
j2
+ b ' 'j3
)2
−4(a+ a '
j2
+ a ' 'j3
)(c+ c'
j2
+ c ' 'j3
)¿b2−4 ac+
2bb'−4 (ac'+a 'c )j2
+2bb ' '+2b '2−4 (a c' '+a' 'c+2a' c ' )
j3
Si R (∆ )>0 on aura : s=
−(b+ b '
j2
+ b ' '
j3)±∆
12
2(a+ a '
j2
+ a' '
j3 ).
Si R (∆ )=0et 1ℜ B (∆ ) ≠0 alors ∆ n'admettra pas de racine carrée. Ainsi l’équation n’aura pas de solution.
Si R (∆ )=1ℜB (∆ )=0 et 2eB (∆ ) ≠0 alors ∆ pourrait soit admettre une infinité de racines carrées soit aucune racine carrée. Dans le premier cas l’équation aurait indubitablement une infinité de solutions.
Si s=x+ yj2
+ zj3
on aura :
f (s )=ax2+bx+c+ a' x2+2axy+b ' x+by+c 'j2
+a ' ' x2
+2a y2+b' ' x+2b' y+bz+( 2a+4 a' )xy+c ' 'j3
.
R [ f (s)]= a x2+bx+c .
1ℜ B [ f (s ) ]= a ' x2+2axy+b' x+by+c ' .
2e B [ f (s )]= a' ' x2+2a y2+b' ' x+2b' y+bz+(2a+4 a' )xy+c' ' .
Application :
f ( s )=s2+2 sj3
− 1j2
.
Df=C2.
f ( s )=0
⇒ s2+ 2 sj3
− 1j2
=0 et ∆=−4j2
¿− 4j2
n'a pas de racine carrée, alors cette équation n'admet aucune solution composite.
Si s=x+ yj2
+ zj3
on aura :
f ( s )=x2+ 2 xy−1j2
+ 2 y2+2x+2 xyj3
.
R [ f (s ) ]= x2
1ℜ B [ f (s ) ]= 2 xy−1
2e B [ f ( s ) ]=2 y2+2 x+2xy
f ( s )=s2− sj2
− 1j3
.
Df=C2.
f ( s )=0
⇒ s2−sj2
−1j3
=0et ∆=6j3;∨∆=(√3
j2
+C2j3
)2
alors s=
1±√32j2
+C2j3
.
Ainsi cette équation admet une infinité de solutions.
5. La fonction rationnelle
C'est la fonction ϝ=a0 s
m+a1 sm−1+…+am
b0 sn+b1 s
n−1+…+bn
où ai(i=0,1 ,…,m)bk (k=0,1 ,…,n )}sont des constantes composites.
É tude de la fonction f ( s)=(a0+
a0 '
j )sm+(a1+a1 '
j )sm−1+…+am
(b0+b0 'j )sn+(b1+
b1 'j )sn−1+…+bn
.
L’existence de cette fonction est tributaire des conditions de division (voir page 49).
f ( s )=0
⇒(a0+a0 '
j )sm+(a1+a1 '
j )sm−1+…+am=0.
Application :
f ( s )=(6+ 8
j )s+2
6js2+(2+ 7
j ) s+8+ 1j
.
f ( s ) existe si R[ 6js2+(2+ 7
j )s+8+ 1j ]≠0 soit R (2 s+8 )≠0 ;soit enfin R ( s)≠−4.
Dans ce cas s∈C2−{−4+C1j }.
Si s∈{−4+C1j } la partie réelle du numérateur est non nulle.
Alors Df=C2−{−4+C1j }.
f ( s )=0⟹ s=−13
+
49j.
6. La fonction exponentielle
C'est la fonction ϝ=es .
Dϝ=Cn .
ϝ'=es .
7. La fonction logarithme népérienne
C'est la fonction ϝ=lns avec R ( s¿∈R+¿¿ ¿
ϝ'=1s.
8. La fonction cosinus
C'est la fonction ϝ=cos (s ) .
Dϝ=Cn .
ϝ'=−sin ( s ) .
9. La fonction sinus
C'est la fonction ϝ=sin ( s) .
Dϝ=Cn .
ϝ'=cos ( s ) .
10. La fonction tangente
C'est la fonction ϝ= tan (s ) avec R ( s¿∈ R−{± π2+2kπ aveck un entier}.
ϝ '=1+ tan (s )2 .
11. La fonction cosinus hyperbolique
C'est la fonction ϝ=ch ( s )= es+e−s
2.
Dϝ=Cn .
ϝ'=sh (s ) .
12. La fonction sinus hyperbolique
C'est la fonction ϝ=sh ( s)= es−e−s
2.
Dϝ=Cn .
ϝ'=ch (s ) .
13. La fonction tangente hyperbolique
C'est la fonction ϝ= t h (s )= sh(s)ch (s)
.
Dϝ=Cn .
ϝ'= 1
[ch ( s ) ]2.