theorie der eisensteinschen reihen höherer stufe und ihre anwendung auf funktionentheorie und...

Theorie der Eisensteinschen Reihen hiiherer Stufe und ihre Anwendung auf Funktionentheorie und Arithmetik.

Van E. HECKE in Hamburg.

In der vorliegenden Arbeit bringe ich eine Reihe von Untersuchungeu zur Darstellung, die notwendig sind, um eines der Grundprobleme der Theorie tier elliptischeu Modulfunktionen angreifen zu k(innen: ,,Die Kon- struktion der Integrale 1. Gatluug der ~\\ten Stufe und die Bestimmung ihrer Perioden." Durch die Gruppe F(N) (die Gesamthcit der Modul- substitutionen, welche rood. N der Identiti~t kongruent sind) wird ein im Riemann-Kleinschen Sinne eindeutig bestimmtes algebraisches Gebilde definiert, namlich der K(irper der Funktionen yon v, welche bei der Gruppe r (2Q in v invariant bleiben und nur algebraische Singularitaten besitzen. Man kennt aber noch eine andere Art, ein algebraisches Gebilde durch charakteristische ,,)Ioduln" festzulegen, ni~mlich die Angabe der Perioden der Integrale 1. Gattung dieses Gebildes. Das genannte Grundproblem bedeutet also die Ermittelung des Zusammenhanges zwischen diesen zwei Arten tier transzendenten Festlegung gewisser Riemannscher Fli~chen, und ist daher auch von Interesse fiir die allgemeine komp'lexe Funktionentheorie. Wichtiger scheinen mir aber, nach den bisher gefundenen Resultaten zu urteilen, die arithmetischen Konsequenzen zu sein; da~ solche vorhanden sein werden, ist yon vornherein plausibel, wenn man bedenkt, dab das algebraische Gebilde v(~llig bestimmt ist durch die nattirliche Zahl N.

Bisher sind nur fiir einige numerische Werte von N Integrale 1. Gattung, und zwar mit Hilfe yon Thetareihen dargestellt worden; ffir N ~ 11 ist dabei noch eiue spezielle Gruppe der N-ten Stufe anstatt F(N) zugrunde gelegt worden. Die Bestimmung der Perioden gelang rim" in einem ganz kleinen Teil dieser Fitlle, und eine Bearbeitung dieser Resultate nach der arithmetischen Seite ist noch gar nicht erfolgt. Die Thetareihen erscheinen dahei als deus ex machina, ihre Stellung innerhalb der Theorie der elliptischen Modulfunktionen ist auch heute noch keineswegs gekl~rt, uud man weiB nichts darfiber, ob etwa ffir allgemeine N die Thetareihen zur Konstruktion der Integrale 1. Gattung ausreichen. Um das Auftreten tier Thetareihen (es sind hier ira allgemeinen vierfache Thetareihen zu betrachten) in dieser Theorie zu verstehen, kann man einerseits das Bildungsgesetz dieser Reihen nach der arithmetischen Seite nigher untersuchen, das kommt auf eine arith-

200 E. Hecke.

metische Theofie der definiten quaterni~ren quadratischen Formen heraus, nach dem Muster der Hurwitzschen Theorie der Quaternionen. Andrer- seits kann man versuchen, die Integrale 1. Gattung mit den allgemeinen Methoden der Theorie der automorphen Funktionen zu konstruieren und dann auf Grund dieser Kenntnisse die besondere Natur der durch Theta- reihen darstellbaren Integrale festzustellen.

Die vorliegende Arbeit ist ein Beitrag zur Theorie vorzugsweise unter dem an zweiter Stelle genannten Gesichtspunkt. Es handelt sich dabei zuni~chst wesentlich um die Untersuehung derjenigen Reihen, welche als die naheliegendste Verallgemeinerung der als g~ und ga bekannten Eisensteinschen Reihen zu bezeichnen sind:

Ok (3; al, a~, N) = ~ ' 1 :;-_-:Tmod N,(ml �9 + m2) k"

Ftir k ~ 3, wo die Reihen bekanntlich absolut konvergent sind, sind diese Reihen Modulformen yon der Dimension - - k und der Stufe 5". Ich zeige zuni~chst, dag die Anzahl linear-unabhangiger unter ihnen mit festen N, k ftir ~V~ 2 gleich der Anzahl a(N) der rationalen Spitzen des Fundamentalbereiches von r(N) ist und dag das einzelne Gk durch alas Verhalten in diesen Spitzen eindeutig charakterisiert werden kann.

Diese Reihen sind bekannt als die Teilwerte der ( k - 2),ten Ab- leitungen der Weierstragschen ~a-Funktion. Jedoch ist der eben genannte Satz meines Wissens noch nirgends ausgesprochen. Am wichtigsten ist aber die darauffolgende Untersuchung der Reihen mit k ~--2, die auch noch zu Modulformc~ v~- der Dimension - - 2 ftihren. Sie liefern genau a(N)--1 linear unabhiingige Modulformen der Stt~fe N. Es gelingt, durch eine funktionentheoretische Eigenschaft diese Modulformen voll- sta.ndig zu definieren. Weiter ergibt sich dann, dag man aus jeder ganzen Modulform yon der Dimension - - 2 und der Stufe N ein Integral 1. Gattung herleiten kann, insbesondere ftihrt jede vierfache Thetareihe so zu einem Integral 1. Gattung. 0bwohl die Uberlegungen recht eleraentar sind, lassen sich diese Si~tze auf sehr viele Probleme anwenden und bringen teils neue Ergebnisse, teils groge Vereinfachungen yon schon bekannten Zusammenhi~ngen. Dies wird an Beispielen in den letzten Paragraphen gezeigt: fiir die Kongruenzgruppen des Geschlechtes 0, fiir die Konstruktion yon Integralen 1. Gattung und damit zusammenhi~ngend fiir die Theorie quaternarer quadratischer Formen; endlich fiir die asymptotische Abschi~tzung der Koefilzienten einer beliebigen ganzen Modulform, insbesondere ftir die Anzahl der Darstellungen einer Zahl n durch eine definite quadratische Form. Ftir diese ganze Klasse yon Funktionen braucht man keineswegs den ganzen Apparat der Hardy-

Theorie der Eisensteinschen Reihen. 201

Littlewoodschen Theorie, denn der ganze rechnerische Teil der Ab- schi~tzung wird im letzten Paragraphen viel einfacher erledigt dadurch, daft das Problem in ein solehes fibergeffihrt wird, dessen ,,singulare Reihe" identisch 0 ist.

Wie ich an anderer Stelle zeigen werde, kann man mit diesen Satzen auch die Hurwitzschen Klassenzahlrelationen auf fiberraschend einfaehe Weise herleiten und erheblich verallgemeinern.

w 1. Die E i sens te inschen Reihen fiir den Fal l absoluter Konvergenz (k > 3).

Es seien k, N, a~, a~ ganze rationale Zahlen, N ~ 1; ~ sei eine komplexe Variable mit positivem Imaginarteil. Die doppelt unendliehe Reihe

(1) Gk (v; a,, a~, N) = ~ ' 1 m,_--~ (m,~+m~) k ' m2 ~ a 2 (mod. N)

(wobei der Akzent den Ausschlufi des Wertepaares ml ---~ m~ = 0 bedeutet), in welcher m i , m~ alle ganzen rationalen Zahlen, d ie den angegebenen Bedingungen genfigen, durchlaufen sollen, ist bekanntlich ftir k > 2 absolut konvergent und stellt eine analytische Funktion yon v dar. Ftir sie findet man leicht die folgende Fourierentwickelung �9

al) l

m ~ a ~ ( N ) .

( 2 ) m m , v ( - - 2 ~i) k 2 ~ i - -

m m ~ > O m I -~ a~ (N)

Dabei ist gesetzt

1, wenn x ganz rational,

6(x) = O, wenn x nicht ganz rational, 27ti

~ N ~ C

__ x fiir x 0( 0; sgn0 -~- 0. s g n x - !x I

Es gilt auf Grund der Definition (1)

(3) Gk(~; al, a2, N) = Gk(~; bt, b.,, N),

wenn a, ~--: bl und a~ ~ b2 (rood. 5"), 15

202 E. Hecke.

und fiir jede Modulsubstitntion ( : tbl)

(4)

(a +b ) Gk c v + d ' a l , a ~ , N

(c ~ + ,i) k -~-- GkO; aal~ca.,,, bal+da., , N).

Hieraus folgt, daft die Gk Modulformen von der Dimension - - k und der Stufe N sind. Sie verhalten sich bei T ---- ~ naeh (2) regular in der Ortsuniformisierenden, und das Entsprechende gilt naeh (4) fiir ihr Ver- halten an einer beliebigen rationalen Stelle. Sie sind also ganze (algebraische) Modulformen.

Ein Gk heifie eine t*rimitb'e Form der Stufe A, wenn (a~, a2, N) - - 1, im anderen Fall eine imprimitive Form. Ist

(al, a~, N) ~ d,

so ist offenbar nach (1)

(5) d k Gk (3; a,_,, N ) - - - (5,:

N eine primitive Form der S t u f e - - .

d

d ~ 0 ,

(ll (~2 . / ~ \

d ' e l ' d/

Wir bedienen uns weiter der tibliehen Terminologie: Die Form d

Gk(~; al, a2, N) ist in dem l'ationalen Punkte r - - gleich Null ('

(oder yon Null verschieden)~ wenn in der Fourierentwickelung nach 27H arJ -b

Potenzen der Ortsunifo~i..isieremlcn e --v c":d- YOU (crY-d) kGk(r; al, a2, N} das konstante Glied gleich Null (oder yon Null verschieden) ist. Das ist gleichbedeutend mit der Aussage: Gk(v; a~, a2, N) hat bei senk-

d rechter Ann:,therung yon v an den Punkt r - - den Grenzwert Null

C (oder den Grenzwert ar

Wir wollen feststellen, wieviel linear unabhi~ngige Gk mit gege- benem k, N vorhanden sind. Wir betrachten im folgenden nur Formen mit dcmselben testen k. Zuniichst gibt es offenbar wegen (3) h0chstens N ~ verschiedene Gk mit demselben A~ k. Ferner be.~tehen die trivialen Relationen

(6) G k ( r ; - - a i , - - g2, N ) -~- (--1)kGk(v; al, e2, N) ,

weswegen fth" ungerade k und gleichzeitig N ~- 1 oder 2 die Gk identisch verschwinden. Die Anzahl der primitiven Gk der Stufe N (welche sich iibrigens bei beliebigen Modulsubstitutionen bis auf den Faktor (cv-~d) ~ nur untereinander permutieren) ergibt sich in elementarer Weise gleich

Theorie der Eisensteinschen l~eihen. 20~

( 1) 1 - 7 ,

P

wo p die verschiedenen Primteiler von N durchlauft. Unter Bertick- siehtigung yon (6) gibt es daher htichstens a(N) linear unabhi~ngige primitive Gk tier Stufe iV, wobei

a(1) ----- 1,

- - - - 3, N 2

, ( N ) - 2 ~ ( 1 - - - ~ ) f i i r N > 2 .

Diese Zahl a (N) ist gleichzeitig die Anzahl der rationalen Spitzen des �9 a �9 .~ ]~ undamentalberelche~ der Hauptkongruenzgruppe /" (N). Denn zwei

I

rationale Punkte g_A_~ und g-c-, wo (gl, g~) ~ (g~, g~) z 1, sind bekannt- g~ g2

lich dann und nur dann i~quivalent nach F(N) , wenn

] ! _ _ gl ~ gl und g2 z q2(mod. N)

oder !

gl ~ --ffl und g~ ---- --q~ (rood. N).

Wir beweisen null folgenden Satz: Satz 1.

I. Ist k ungerade und gleic]~zeitig N ~ - 1 oder 2, so "verschwinden die Gk (v; al, a~, N) identisch.

II. In jedem andern Falle gibt es eine lineare Kombination der primiliven Gk der St~fe A, welche i7~ einer einzigen beliebig vorgegebenen Spitze des Fandamentalbereiches yon Null verschiede~, in den i~briflen Spitzen gleich Null ist.

liI. AuSer den tl"ivialen Relationen (6) gibl es keine weiteren Relationen zwischen den primitiven Gk tier Stufe N, und die Anzahl der linear unabhdn.qigen primitiven Gk der Stufe N ist genau ~ a (N).

IV. Jedes imprimitive Gk der St~fe N l~iflt sich als lineare Kombination der primitive~ Gk der Stufe N darslellen. Der erste Teil ist bere.its bewiesen. Um uns eine Funktion mit

den im zweiten Tell behaupteten Eigenschaften zu verschaffelJ, gehen wir unter der Voraussetzung (al, a2, N ) ~ 1 von der Reihe

( 7 ) a ~ ( T ; a . l , a s , . N ) : ~ 1 mi--a~(N) (mr ~: -~ m~) k

(m I , m 2) ~ 1

aus, in der die Bedingung, da~ die Summationsbuchstaben m~, ~ noeh teilerfremd sein sollen, auftritt. Diese Reihe erhi~lt man auch aus tier urspriinglichen (1), indem man dort den Zusatzfaktor

15"

204 E. Hecke.

t~ (d) - i l , d > O

anbringt, wobei I' (n) die M6biussche Funktion ist und d die positiven gemeinsamen Teiler yon m~ und ~n~ durchli~uft. So ergibt sich fiir (at, a2, N) --~ 1

1 ~ ) aT, (~; .,, a~, ~v) = ~ : (.~, �9 + ,,.)~ ( ~ (~) ml-----a~(N) . d I n

\d i m, 'd>O

(s) nm~--= a~(N) ~k t rood _N "

n > o

W0

(9) n>o

also c t - -0 , wenn (t, N ) > 1. Dieses G~' ist also eine lineare Kombination der primitiven G~ der

Stufe N und versehwindet in der Tat in allen rationalen Spitzen mit

Ausnahme der Spitze a, Denn in einem Punkte d ist das kon- a l " C

stante Glied der Fourierentwickehmg yon

G [a~+b ) (cv-Fd)~'Gk(v; tal, ta2, N) ~- k l c ~ - ~ ; t(dal--ca2), t(--bal+aa.,_), N

gleieh r ( t(dal--ca~) ) ~__, 1

~ y m ~_t (_bal+aa2)(mod.N) ~ .k ;

also das konstante Glied bei G~ (wegen (t, N)== 1),

- - C

t m o d . N (n m2) k m 2 ~ - t ( - - b a 1 + a a~) ( N )

n > 0, t n-~-~ 1 (N)

[ dal--ca~ 1 I'(n) = a ~ ~ l ~ ' (nm~)~. n m ~ - - - - b a ~ t a a 2 (rood. N)

~l>0

= ~ [ d ~ , - - c ~ ~ , mk . ( d ) . \ ~V m~--bal+aa~(mod.N )

Wegen ~ # ( d ) ~ - - - 0 , falls m # 4 - l , bleibt also h6chstens das Glied d i m d > 0

mit m ~ 4-1 in dieser Reihe tibrig. Ist N > 2, so ist der ganze Aus- druck gleich 0, aul~er wenn

(10)

Theorie tier Eisensteinschen Reihen.

dal - -ca~ -~ O(N)

und - - b al + a a~ ~ 4- 1 (N),

205

in welchem Falle er den Wert (4-1) k hat. Ist aber N = 1 oder 2, so ist er auch gleich 0, auger wenn (10) bestehen. Er hat aber in diesem Fall den Wert I + ( _ 1) k und versehwindet also fiir ungerade k, wie yon vornherein klar. Aus (10) folgt aber

al ----- 4-c, a, ~--- -4-d(mod. N ) ,

d.h. der rationale Punkt - - d ist naeh F(N) mit a, aquivalent. C q~

Damit ist gezeigt, dag G~, die im zweiten Teil behaupteten Eigen- schaften hat. Daraus folgt, dag fiir die G~ der Stufe N keine m)deren Relationen als die sieh aus (3), (8) ergebenden

G~ (.; - -a , , --a~, 2V) = ( - - a ) k a ; (.; a,, . . , ~ )

bestehen. Ist namlich eine lineare Kombination

z~ C(a,, a~) G~ (~; a~, a~, N) ~ 0, a~. a~ rood. N (al,a~, N ) = I

wo in der Summe von zwei Paaren al, a, und - - a l , - - a , nur eines vorkommen soll, so zeigt das Verhalten in den o(N) Spitzen, dab alle C gleich 0 sein mtissen. Insbesondere ergibt sich, daii e ine l i n e a r e K o m b i n a t i o n der G~ dann und nur dann i d e n t i s c h v e r s c h w i n d e t , w e n n sie in a l l en Sp i t z en des F u n d a m e n t a l b e r e i c h e s yon F(N) v e r s c h w i n d e t .

Da wir bereits festgestellt haben, dag nicht mehr als a(N) linear unabhangige primitive Gk der Stufe N existieren, so fol~i dal~ a(N) auch die genaue Anzahl dieser ist und dag sich diese auch durch die G~ linear darstellen lassen miissen. In der Tat finder man leicht als Um- kehrung von (8)

. 1 (11) ak(~; ~,, a~, x ) = ~ . Gk(~; ta~, ta~, ~Y). ~ n~"

t m u d N t n ~ 1 (N) n > 0

Um endlich die Behauptung IV. zu beweisen, geniigt es wegen (5) offenbar, zu zeigen, da6 jedes G~ der Stufe No dureh die G~ der Stufe No N~ linear darstellbar ist, wo ,\~ irgendeine natfirliche Zahl ist. Das folgt aber unmittelbar aus der Reihendarste]lung (7). Delta es wird

206 E. Heeke.

G~ (v;a,, az, No) ~ * v = Gk ( ; b,, b~, No N~) b t, b I m o d . N o N t bi=--a~(mod. N o)

~--- ~, G~(r;al+nNo, a~+m.~o, No h~). n , m m o d . - N t

Dabei bedeutet das Zeiehen G~ die Null, falls die drei letzten Argumente einen yon -4-1 verschiedenen gemeinsamen Teiler besitzen.

Als Folgerung heben wir noch besonders hervor: In der linearen Schar tier G~, mit demselben k, N ist das einzelne Individuum v611ig bestimmt, wenn alas konstante Glied in der Fourierentwickelung bei jeder der a(N)Spi tzen des Fundamentalbereiches bekannt ist.

Die Koeflizienten ct oder richtiger die allein in Betracht kommenden Werte ct--}-(--I) k c-t lassen sich in endlicher Form auf dem Umwege tiber "die Werte yon rationalen L-Reihen im Punkte k darstellen und ergeben sich als rationale Zahlen. Ihre Berechnung ist, wenn nicht gerade N eine Primzahl ist, ziemlich umsti~ndlich, und soil hier nicht welter ertirtert werden.

w 2. Die Eisensteinschen Reihen im Falle bedingter Konvergenz (k = 2 ode,' 1).

Von gr6fierer Bedeutung fiir die Funktionentheorie der Gruppe F(N) sind die ganzen Modulformen yon der Dimension--2 und der Stufe A\ Integriert man eine solche Form nach r, so ist das Resultat fiir das algebraische Gebilde ein Integral 3. Gattung, dessen logarithmische Verzweigungspunkte diejenigen rationalen Spitzen sind, in welchen die betr. Modulfovm yon Null verschieden ist. Ist eine solche Modulform in allen Spitzen 0, so entsteht durch Integration also ein Integral 1. Gattung. Umgekehrt entstehen auch alle Integrale 3. Gattung, welche nur in den rationalen Spitzen Singularitaten haben, und alle Integrale 1. Gattung auf diese Art. Wir bezeichnen deshalb entsprechend diese Modulformen als Intollranden 1. odor 3. Gattung. Die Anzahl aller linear- unabhangigen ganzen Modu]formen yon der Dimension - - 2 und der Stufe N ist daher bekanntlich

q(N)-- 1 +p(N),

wo p(N) das Geschlecht der Gruppe F(N) ist:

p(N) = 1 + ~ , : --6).

[Die Zahl ~ ( N ) - 1 gibt die Anzahl der wesentlich verschiedenen Integrale 3. Gattung mit Verzweigungen nur in den Spitzen an, da durch die


Residuen in a ( N ) - - 1 Punkten das Residuum auch in dem letzten Punkte wegen der Bedingung: ,,Residuensumme ~ 0": bestimmt ist.]

Um nun Modulformen der Dimension - - 2 zu erhalten, verstehen wir unter Gs(~-; at, a : , N ) den W e r t der a n a l y t i s c h e n F u n k t i o n VOII 8

l (12) ~ ' ( m l ~ + m ) ~ l m , v + m ~ ! s fiir s -~- 0,

mi~--ai(N)

der aueh, falls er iiberhaupt existiert, als der Grenzwert obiger absoht konvergenter Reihe bei Anni~herung an s ~ 0 yon positiven 8 her definiert werden kann. Die Regulariti~t der Funktion (12) yon s zeigt man dureh Entwickelung in eine Fourier-Reihe, eine Rechnung, welehe ich bereits an anderer Stelle ~) durchgeffihrt habe, mit dem Ergebnis:

(13)

- - 2 n - i (a,)N 1 O.,(~; a,, a~ N) - - + ~ ~;~' :V2(~__ ~ ) ml=a~(N ) ms ~"

4 7~ 2 27li mm'tr

'm'BI, 1 ~ 0

ml~- al ( N.)

ist dabei die konjugiert imagini~re Gr(il~e zu ~. Abgesehen yon dem ersten Term auf der rechten Seite, welcker nicht-analyt isch in ~ ist,

erhalten wir also den sich aus (2) formal fiir k ~ 2 ergebenden Aus- druck. Wesentlich ist, dag der nicht-analytische Bestandteil yon al, as unabhangig ist. Bei Modulsubstitutionen verhalt sicb Gs ebenso wie die Gk mit k ~ 3:

[a,-+l, (c r ~- d) ~ --~ G~_ (r ; a al -~- c as ,. b a~ -~- d a~, N ) .

Diese Gleichung ist die unmittelbare Folge der fiir (12) und s ~ 0 bestehenden Gleichung. Das ist wohl der einfachste Beweis dafiir, daft die durch (13) defiuierte Gs.diese Invarianzeigenschaft besitzt. Er hat, was ffir spiitere Untersuclmngen bedeutungsvoll ist, gegeniiber dem bekannten Hurwitzschen neben dem Vorzug grtifierer Einfachheit den, dag er auf mehrere Variable fibertragbar ist.

Aus der Potenzreihe (13) oder auch direkt durch Untersuchung yon (12) folgt der Zusammenhang mit den Teilwerten der Weierstrafischen Sa- Funktion:

a) Diese Abhandlungen, Bd. IV (1925), p. 217: Darstellung yon Klassenzahlen als Perioden yon Integralen 3. Gattung . . . .

208 E. Heeke.

04) N's~{ a '~+a" ) / f - ; ~'1 = G~(~, a,, a_., N)- - G~(~; 0, 0, N),

einer analytischen Funktion yon v, welehe eine ganze Modulform von der Dimension - - 2 uud der Stufe N ist. Denselben Charakter haben alle und nur die ]ndividuen der linearen Schar

C(a,, a~)G~(~; ax, as, N), at, a2mod. N

wo die Summe der Koeffizienten C gleich Null ist. Im fibrigen lassen sich alle Uberlegungen des vorigen Paragraphen ohne wesentliche -/~nderung fibertragen:

Von den primitiven G., der Stufe N gehen wir zunachst zu dem linear aquivalenten System der G~ fiber durch

(15) G~ (v; az, a2, N) : ~ G2(v; ta~, ta2, N) . ct, tmod.N

W0

_ ~ , . ( n ) c t - - ~ ~ ; ct ~ O, wenn ( t , N ) ~ l .

tn-~-l(N) n I t ~ 0

Damit gleiehbedeutend ist die Aufl6sung (wenn wieder (a~, a~, N) ~ 1)

(16) G._,(v;al, a2, N) = ~ O*(v ; ta t , ta~,N) ~ 1 t rood. ~" / J r - - 1 (27) ~,"

~ 0

Die G~ sind wieder ~iu1" je in einziger Spitze von Null verschieden und genfigen daher aufier

(17) * * G2 (v, a l , a2, N) ~ G2 (v , - - az , - - a2, N )

keiner anderen linearen Relation. Daraus folgt: Satz 2. In der linearen Schar der G~ (v, ai, as, N) gibt es genau

a (N) - - 1 linear unabhiingige anaiytische Modulformen. Die imprimitiven G2 der Slufe N lassen sich linear homogen durch die primitiven der Stufe N darstellen.

$atz 3. Zwischen den primitiven ~o-Teilwerten der Stufe N besteht a ~ e r den trivialen Relatior.en

~ " N , r , 1 -~- ~o N ; r , 1

~ur noch die einzige lineare Relation, daft ihre Summe gleich 0 ist.

Theorie der Eiseusteiusehen Reihen. 209

Denn diese Summe ist bereits der Stufe 1 zugehCirig; aber der Fundamentalbereieh von F ( I ) hat nur eine einzige Spitze, daher ist diese Summe ein Integrand 1. Gattung, a l s o ' = 0, weil das Gesehlecht von F (1) gleich Null ist. Wegen Satz 2 und Gl. (14) mtissen genau a ( N ) - 1 linear unabhi~ngige primitive ~d-Teilwerte vorhanden sein, also ~bt es keine weitere lineare Relation.

Satz 4. D/e imprimitiven ~a-Teilwerte der Stufe N lassen sieh linear dutch die primiliven Teilwerte ausdriirken. Die Schar aller ~a-Teilwerle N-ter Stufe enthiilt genau 6 ( i V ) - 1 linear unabl~iingige Formen, und das einzelne [ndividuum der Schar ist eindeutig dutch seine ,Residuen" in den a (N) Spitzen charakterisiert.

Wegen Satz 2 ktlnnen in der Schar aller ~a-Teilwerte N-ter Stufe namlich nicht mehr als a ( N ) - - 1 linear unabhangige vorhanden sein; dies, e werden nach Satz 3 bereits durch die primitiven reprasentiert; damit ist der erste Teil der Behauptung bewiesen.

Eine analytische Modulform mit gegebenen Residuen in den a (N) Spitzen lgtfit sich aus den a (N) linear unabhi~ngigen G~ aber nur auf eine einzige Weise bilden, und zwar dann und nur dann, wenn die Summe der Residuen gleich 0 ist, womit auch der letzte Tell yon Satz 4 bewiesen ist.

Daraus folgt nun offenbar als Zusammenfassung Satz 5. (Erster Fundame~talsatz tiber die ~a-l'eilwerte): Zn j()der

ganzen Modulform M~ (~) yon der Dimension - - 2 und der Stufe N gibt es ein eindeutig bestimmtes Element der linearen Schar der ~d-Teilwerte der Stufe N, etwa P (~), derart, daJ3

M._ = P (0 + (,).

wo ,q~ (~) eine in allen Sl)itzen verschwindende Modul form, also ein htteqrand erster Oattung ist.

Man bride sich namlich gemiifi Satz 4 eiu P (~), welches mit M2 (0 in a (N)---1 Spitzen das gleiche Residuum hat, wodurch P ( Q voll- standig bestimmt ist. Dann ist aber M., ( r ) - - P ( v ) auch in der letzten Spitze gleich Null, weil diese Differenz andernfalls als Integrand 3. Gattung in mindestens zwei Spitzen yon Null verschieden sein miilite; daher ist g~ (~) nach dem zu Anfang dieses Paragraphen Gesagten ein Integrand I. Gattung.

Es gelingt nun, die ga-Teilwerte unter allen ganzen Modulformen der Dimension - - 2 durch eine funktionentheoretische Eigenschaft eindeutig zu charakterisieren. Zu diesem Zwecke ftihren wir folgenden Begriff ein:

Definition: Unter einem speziellen Integral 3. Gattung der Stufe u verstehen wir ein Integral 3. Gattung der Stufe N, dessen logarithmische

210 E. ]lecke.

Verzwei.,_,'un.,_,'.~slcllen au.~sehlieBlieh ill den rationah, n Spitzen des Fun- daluentalbereM,,s yon /'(N) liegen, nnd weh'hes iiberdies als lineare Verbindmlg ton l,ogarithmen yon l'mlktionen der (;ruppe I" (X) dargestellt werden kann: die ebenfalls nur in diesen Spitzen :ingularitiiten besitzen. Die Differentialquotienten dieser spezielh, n Integrale 3. G;Ittung bezeiehnen wir welter als die spe,.iellen lMe!/rauden .~. (h,tt,n.q.

Wenn es iiberhaupt spezielle Integrale 3. Gattung gibt. so ist jedes solehe eiudeutig dm'eh seine Residuen eharakterisiert; dram die I)ifferenz zweier Integrale 3. GaHmlg mit den gleiehen Residuen ist ein Integral 1 o ~ , (,attung; ein solehes kam~ aber nieht eine Summe yon Logarithmen yon algebraisehen Funktionen des Kqirpers sein, aufier wenn es eine Konstante ist. Es kal.n also hiiehstens a ( X ) - 1 linear unabhiingige spezielle Integrale 3. Gatmng' o der Stufe A" geben. Es gilt nun

Satz 6. (Za'eiter Fnndamenlalsa/z iiber die v~-T~4l,'er/e): Es f/ibt genau a ( N ) - - I linear unabhiin.qoe spezielle lnteqrmuh.n 5'. Gattlmg der Stqt'e iV. und die lineare Schar derselben ist ideulisch rail der linem'cn S d m r der ~a-Teihcerte der St~{/'e i~\

Dieser Satz spricht eine besondere Eigenschaft tier Pmlktgl'uppe aus, welehe aus den a(N) Spitzen des Fundamentalbereiches besteht. und kennzeiehnet dic zunitchst dureh einen analytisehen Rechenausdruck definierten ,v~-Teilwerte dutch eine inhere Eigenschaft.

Zum Beweise betrachten wir die lineare Schar tier Modulformen

O(,,b,.,,..N)" . =- N~" Z ,'"'b-a"-' . , " ( ' 1 ' ' 4 - a " -" r. 1) al , '~ rood N N : '

( i s ) - - ~ ~.:,"--'-"':~'1 ( a . ( ~ ; ~,,, a:, u ) - - a ~ ( ~ , o, o, 3")). a l , o 2 l n o d N

Hierin steht ~ zur Abkiirzmlg fiir ~.~-; b~, b_~ sind ganze rationale Zahlen. die offenbar nut rood. N in Betraeht kommen. Die Sehar der q) ist ersiehtlieh linear iiquivalent mit der Sehar der s.,-Teilwerte; ferner ist �9 (~; O, O, N) ~ O. j.

Wir zeigen ram, dag O d r bis auf einen konstanten Faktor der

Logarithmus einer Funktion yon I ' (N) ist. Aus (18) folgt, wenn nieht zugleich b~ und b. ~ 0 (rood. N),

�9 -. :,1,.-,,.~,, G,( r ; a j a.~, N) o ( , , b , . ~ , . . ~ v ) = ~ ., - - . , al, a, moll. N

7ll ~'1~ 1 ."

; ",", 4 . ~ E , �9 (19) := ~.~ %-~' ., : ~ ] e- ~' m., 1~17, N m . m l > o

2~bl n C O S - - .) / / I ill I T

~ I I I 2 ~V ' " I ~ � 9 : S I r


Wir setzen ffir reelle x

�9 -n- i ~ ~ ' - - R ( x ) + R ' ( x ) n : - I

wo R ( x ) der kleinste nicht-negative Rest yon x rood. 1 ist, und erhalten

tp(r; b~, b_~, N) = f * ( . ; b~, b~, N ) d*

(20) " ~ b,.(N)

== "27r r . q [ - N J - - 2 r r i l o g | H ( l - r 2 1 5

Wir wi~hlen jetzt, was keine Einsehrgnkung der Allgemeinheit ist, b~, b~ innerhalb ihrer Restklasse so, daft

wobei nach Voraussetzung das Paar A, N also nieht auftritt. Dann ergibt eine kleine Rechnung

2 h i -== e N - - e �9 P ,

b I "r b I v - i - b s

P = 1 - - e 1 - - e x .

Andererseits ist

�9 6 "24

Vra (~)

wo A(Q die Diskriminante und

v : II Aus der so sich ergebenden Gleiehung

(blZ - L b , b~ t,, :fi ,911 r , ' z i r - ~ - , ~ , T i " - . \ "

. \ . 2 A ' " (21) r '-'ai = e '24

Va0)

hi2 (eair - - e -a ir ) ~ I (1--e2aiv+eninr)(1--e-2niv+znisr) '

,,)

212 E. Hecke.

ist zu vernmten, dab diese Funktion, oder wenigstens eine gewisse Potenz davon eine algebraische Funktion yon F(N) ist, womit dann Satz 6 bewiesen ware. Durch die Anwendung der bekannten Transformations- formeln der Thetafunktionen kalm man in der Tat zeigen~), da~ z.B. die 24N~-te Potenz der obigen Funktion invariant bei F(N) ist. lhrer Herkunft naeh ist sie im Inneren der oberen Halbebene regul~ir und yon Null verschieden.

Die bisher entwickelten S~itze gelten mutatis mutandis fib' jede l(ougruenzgruppe F~(N) N t e r Stufe tier Modulgruppe, aueh wenn sie F(N) als echten Teile]' enth/ilt. Die Anzahl der linear unabh~ingigen Formen aus der Schar der Gk, welche zu 1"1(N) geh0ren, ist bei gerade,n k und k -~ 4 ~ eich der Anzahl der Spit zen des Fm~damental- bereiches von F~(N), im Falle k : : 2 aber um 1 kleinev als diese S " , p~tzenzahl.

Von besonderem Interesse ist die Gruppe lo(N), definiert durch c :: : 0(rood. N). Im Falle einer Primzahl N - - q besitzt bekanntlich der Fundamentalbereich yon Fo(q) nut zwei Spit zen,. etwa t ~ und r 0. Es gibt also genau eine Kombination der .9~-Teilwerte q-ter Stufe, welche in der Spitze v : - Qr etwa das Residuum 1 besitzt. Man findet hierfiir leicht, dal~ die, Form

(22) qH(q,)--H(r) := E ( , ; q)

zur Gruppe to(q) geh0rt, wo

2,vi ~" (23) H ( , ) : G.~(,; 0 , 0 , 1 ) + ~ . u - - 3

Also

(24) ~: (~' q) ,~-- I S :& 24 + ~-~ dq(7,),'2='i"r, - I ~ = 1

w o

8 ~9" E )/l ~f23immt v" ?It > 0

din (d, q ) : l , d > o

die Summe der positiven Teiler w m n ist, in denen q nieht aufgeht. ~2

Das Residuum yon E ( r ; q ) bei r = ~ ist ~-(q--l). Dm'eb

Integrat ion nach r entsteht das wohlbekannte spezielle Integral 3. Gaitung der Gruppe Fo(q)

t (25) E(~ ; ,j) d~ . . . . . ,~i log' j (~) ;, 6 j (7) "

2) Vgl. etwa KLEIN-FRI~'KE, Ellipt. Modulfunktionen, Bd. II. p. 26 ft.

The,,rie der Eisenstvi,s,:hcn ][eihen. 213

Was endlieh die E i s e n s t e i n s e h e n R e i h e n you de r D i m e n s i o n -- 1 anlangt, so mug man daruntcr den Wert der analytisehen Funktion Y o n S

1

' t a i = t t i (~ ' . '~;

fib' s = 0 verstehen. Daft diese Funktion bei s = 0 (wie tiberhaupt fib' alle endlichen s) reguli~r ist~ beweist man analog wie oben dutch die Fourierentwickelung. Bezeichnen wir jenen Wert mit

G, (,; a~, a:.,, N ) .

so findet man, dal~ dies bereits eine analytisehe Funktion yon v ist und da~ folgende Entwickelung gilt:

r (.-; (t,, .~, N )

~126) : ( : ( , , , , ,.:, .v) ~ ~ ;

m l ~ a I { tnod , A' )

Hierin ist aber das konstante Glied

711 DI 1 T 2 , ' ~ i - - ~ a ~ / i t A'

s g n ~1~ . A' e

r (a,, ..~, 2V)

(27) : : O \N!["t'] ,~' sgn m~ .~=o ,~ i ,a~' sgn ,, , , : o

Diese Reihen sind niehts anaeres als die Teilwerte der WeierstraBschen .~-Funktion, welche man sonst 3) mittels der Produktdarstellung der O-Funkt ionen und der Legendreschen Relation zwischen den Perioden der elliptischen Integrale 1. und 2. Gattung herzuleiten pflegt. An Stelle dieser Legendreschen Relation tri t t bei unserer Herleitung das Problem, die in der Konstanten (27) auftretende L-Re ihe im Punkte s = 0 zu bestimmen.

Zur weiteren Diskussion bezeichnen wir abkiirzend das ,konstante G!ied C(al, a~, N) in (26) als ,,Residuum" yon G~ff; a~, a.~, 57) im Punkte ~ = ~ und wegen

{ a*-t-b )

cv + d z GI(v; aal + ca,, bal+ da2, N)

3) Siehe etwa E. HECKE, Zur Theorie der elliptischen Modulfunktionen, Math. Ann. 97 (1927), p. 232 ft. undp. 235.

214 E. Hecke.

auch als ,,Residuum" yon G, (r ; tl a~ --- c a~ , - - b a~ + a o~. , ~\ ) im Punkte a �9

- ( c > 0). Hier fiihren nun die oben bei k > 1 angewandten Methoden c uicht unmittelbar zu den entsprechenden Resultaten. Bilden wir aber

WO

O~'(v, al, a2, N ) = ~ G1 ('t-; tal , ta2, N ) . c t , tmod.aV

ct = Y t , , - , ]n t~+l sgnn~=o ' (al, a.,. N ) : 1,

und die Umkehrung

1 G, (~-; ([1, a21 ~7) = ~)- ~ O~ (I; t al , t a21 2~') ~ sgn ,i ] ,.od Inl "+1 I ,=o'

so sieht man, daft die reellen Teile der Residuen yon G~ wieder nur je in einer einzigen Spitze yon Null verschieden sind. Daher gibt es eine lineare Kombination der G* mit reellen Koeffizienten, welche in den a(N) Spitzen Residuen mit beliebig vorgeschriebenem reellen Teil hat. Nun sind aber bei einer ganzen Modulform der Dimens ion"- 1 allein durch die Realteile der a ( N ) R e s i d u e n auch die Imagin~trteile v011ig bestimmt. Denn die Differenz zweier solcher FolTnen mit Residuen yon gleichem Realteii hat rein imaginiire Residuen, ihr Quadrat muff also als Form der Dimension - - 2 die Residuensumme 0 haben. Daher verschwindet die Quadratsumme jener rein imaginitren Residuen, sie sind daher alle Null. Hieraus folgt zun~tehst

Satz 7. Zu jeder ganzen Modulform 311 (v) der S tu fe N und der Dimension - - 1 gibt e.r eine lineare Kombination Z(v) der primitiven G, der 8tufe N mit reellen Koeffizienten, so daft M, (,) - - Z(r) in allen a ( N ) Spitzen verschwindet.

Aus dem Vorangehenden folgt, dag zwischen den primitiven G1 der Stufe N keine linearen Relationen mit reellen Koeffizienten aufier den trivialen (6) bestehen. Bflden wir nun zu iG* (v; al, a2, N) nach Satz 7 die entsprechende Kombination Z(v), so versckwinden die Residuen yon i G ~ - - Z ( ~ ) in allen Spilzen. Es zeigt sich weiter, daft diese Funktionen bereits auch identiseh Null sind. Eine genauere Untersuchung dieser Relationen durch cand. math. R. FEYERABEND (Hamburg) hat ergeben, daft bier genau �89 linear unabh~tngige neue Relationen entstehen, welehe iibrigens mit den leicht angebbaren ,,Symmetrie- relationen" identisch sind, die ich gelegentlich s) angegeben habe; und als Schlufresultat findet sich dann, daft die Anzahl der linear unabhangigen G, der Stufe N fiir N > 2 gleich .~a(N) ist, und daf das einzelne Individuum der linearen Schar eindeutig durch die (nicht frei w~thlbaren) Residuen in den Spitzen festgelegt ist.

Theorie tier Eisensteinschen Reihen. 215

w 3. Anwendungen. 1. Anwendungen auf Kongruenzgruppen des Geschlechtes O. Ist

/'1 (N) irgendeine Kongruenzgruppe N-ter Stufe des Geschlechtes 0, so kann man mit Hilfe der Darstellung der speziellen Integrale 3. Gattung durch die ~a-Teilwerte sofort zwangliiufig eine Grundfunktion von/'1 (N) angeben, d.h. eine Funktion von F~(N), die im Fundamentalbereich jeden Wert nur einmal annimmt. Man konstruiert sich ni~mlich das- jenige spezielle Integral yon /11 (N), das in zwei willkfirlich gewi~hlten Spitzen resp. die Residuen + 1 und - -1 hat, in den iibrigen Spitzeu das Residuum 0. Dieses ist dann offenbar der Logarithmus einer Grund- funktion yon F~(N), welche in den genannten Spitzen resp. eine Null- stelle oder einen Pol hat. Die Methode versagt, wenn nur eine einzige Spitze vorhanden ist, d. h. im Falle der vollen Modulgruppe F(1). lm Falle der Gruppe Fo (N) bedeutet diese Methode nur eine bereits bekannte Benutzung eiuer sehon frfih gefundenen Eigensehaft der ,,Multiplikator- gleichung 1. Stufe"; die Allgemeinheit dieses Sachverhaltes ffir die Gruppen des Geschlechtes 0 hat man dagegen anseheinend noch nicht bemerkt.

2. Anwendungen auf die Konstruktion der Integrale 1. Gattung. Ist irgendeine ganze Modulform der Dimension - - 2 und der Stufe N gegeben, etwa M~(r), so gibt es nach Satz 4 eine lineare Verbindung P(v) yon gd-Teilwerten, derart, dal~ Jl~ (v)- -P(v) ein Integrand 1. Gattung fiir F(N) ist (der natfirlich auch identisch 0 sein kann). In diesem Sinne gibt also j e d e s M_,(~) Anlal~ zur K o n s t r u k t i o n e ine s I n t e - g r a l e s 1. Ga t tung . Zu diesen M~(v) geh0ren z. B~ alle vievfachen Thetareihen. Es sei ni~mlich allgemeiner

Q ( X l , . . . , X2r) = a l l Xl 2 -]- a12 x 1 x2~[- . - . -[- a2r,2 r ~'2 r

eine positiv definite quadratisehe Form einer geraden u 2 r mit ganzen rationalen aik. Danu ist die Thetareihe

(2s) Q) - - 2 : d

eine ganze Modulform yon der Dimension - - r u n d einer gewissen, dureh Q bestimmten Stufe N. Man sieht das, ohne die allgemeine Theorie der mehrfaehen Thetareihen heranziehen zu mfissen, so ein: Bekanntlieh liilit sieh Q dureh eine Substitution mit rationalen Koeffizienten auf ,Hauptaehsen" transformieren. D.h. es gibt ganze rationale Ckh, lh, M, so dab

l~ Yl'-' + 12 Y',_2 § "'" § 1,,,. y,,r '~ Q . . . , = -

M

216 E. Hecke.

mit

yk = ~ CkaXh (k - - 1, - - . , 2r) . h = l

Dabei entsprechen ganzzahligen x auch ganzzahlige y. Umgekehrt mtissen die y gewissen Kongruenzbedingungen nach einem festen Modul Ko (der Determinante ICkhl) genfigen, damit zu diesen y ganze x geh0ren. Es ist also 4~(v, Q) ein lineares Aggregat yon endlich vielen Reihen yore Typus

l I ~l 1 "~ 4 - . . . + l~,. ng_r~ 27tit

n i m b i ( r o o d K )

Jede solche Reihe ist abet eine ganze Modulform einer gewissen Stufe, weil jeder Faktor

2 7 t i t

ni~---b~(mod.K)

ein endliches lineares Aggregat yon bin~ren Thetareihen yon der Art (~; r a, Q I / D ) ist, wie ieh sie z. B. in der frtiher genannten Arbeit s)

untersueht habe. Dort wurde gezeigt, dal] (29) eine ganze Modulform der DimenSion - -1 yon gewisser Stufe ist. Damit ist die Behauptung tiber die 2r-fache Reihe (28) bewiesen.

Besonders einfach werden dieVerhMtnisse wieder fiir die Gruppe Fo(q), wo q eine Primzahl ist, da hier P(~) bis auf einen konstanten Faktor mit der Funktion E (3; q) aus w 2 identisch ist. Man nehme etwa noch an, da~ q = 3 (mod. 4) Im quadratischen K0rper K ( 1 / ~ - q ) mit der Diskriminante ---:q bilde man die bini~re 3-Reihe

27t~v =

�9 ~.~--O(mod. a)

wo a ein beliebiges ganzes Ideal aus K ( I / ~ q ) mit der Norm A ~=0 ist und )~ si~mtliche ganzen Zahlen aus o durchli~uft. Wie ich gezeigt habe, gilt fiir jede Substitution aus /lo (q)

=q) 5' c~ + d ' O, a, I / c v + d = ( ~ ) . ~ ( v ; O , a , V - - q ) ,

w o ( ~ / q ) das JaeobiseheRestsymbol ist. Jede quadratiseheVerbindung

dieser 3 mit de m gleichen q ist aber eine ganze Modulform von der Dimension ~ 2 der Gruppe Fo (q). Jeder Idealklasse o ist so ein be- st immtes dieser 3 zugeordnet, reziproken Idealklas~en dabei dasselbe 3.


Ftir kleine Werte yon q sind dureh die quadratischen Verbindungen dieser ~ alle ganzen Modu|formen von Fo(q) ersch(Ipft. Nehmen wir z.B. q - - -31 , wo der K(irper K ( ~ ) die Klassenzahl 3 hat. Die 3 Klassen werden reprRsentieri dutch die Ideale 1 und die Faktoren ~2 und 09'. yon 2~ Setzen wir

o, (.) = ,~(.; o, 1, V - - - - ~ ) = ~ e:'~'(", '+",,",+*".'), nt,n~

o~(~) = a(~; o, v,, V~-~]--) = ~ e"~(~" , '+" ," .+ ' - , ' ) , f/l ' ~12

so sind ~ , O3 linear unabhangig, also auch Ol 2, ~1 ~2, 4~22. Diese drei ganzen Modulformen ( - -2 ) t e r Dimension ersch(ipfen alle derartigen Formen yon Fo(31), da diese Gruppe nur zwei Spitzen und das Ge- schlecht 2 hat. Zwei Integranden 1. Gattung mfissen sich also in d~r Gestalt

4 E(v, 31) 5 8~ ~

ergeben, und aul~erdem mu~ genau eine lineare Relation zwischen den drei #-Produkten und E(v, 31) bestehen. Man findet

(30) E(~, 31) 5 S~ ' - - t + ~ d,, (n) ~'~"T - - 1 0 , lu .l_O.xO,2§ 1 4 -2 022.

Der Fall q ~ 23 bietet dieselben Verhitltnisse wie q = 31, Klassen- zahl yon k ( V - - 23 ) ----- 3, Geschlecht yon Fo(23)~--2. Die zu (80) analoge Relation lautet

(31) E(~, 23) 1 8 u S 12

Ein interessantes Resultat ergibt sich fiir q ~ 11, wo Klassenzahl und Gesehlecht gleich 1 sind. Hier ist also ftir

n 1 ~ n 2

as(~) 12 E(v, 11) 5 8 ~ - - ~ (~)

ein (nicht identisch verschwindendes) Integrand 1. Gattung yon /'o(ll). Andererseits ist

~1~(~)

a 0 ) a(11~) 16

218 E. Heeke.

eine Funktion von Fo(ll) , die im Innern und in den beiden Spitzen regulitr, also eine Konstante ist. So ergibt sich

(32) 0"(v) .--- 12 E(r, 11) 8 TM

5 8~ ~ + - 5 - V a ( , ) a ( ~ ) .

Fiir q ~ 47 ist die Klassenzahl yon K ( ~ ) g l e i e h 5, das Geschlecht yon Io(47) gleich 4. Es existieren daher zuni~chst drei linear-unabh~ngige bin~tre Thetareihen, die resp. den Idealklassen tier Primfaktoren 1, p,, Ps yon 1, 2, 3 zugehOren. Setzen wit abkiirzend

O, (3) = a(v , 0, 1, V----47) , 3~ (3) : a (v, 0, p~, V - - ~ ) ,

0:~ (,) = a (3, 0, p., V - - - - ~ ) ,

so folgt, dal] unter den quadratischen V.erbindungen dieser ~ mindestens vier linear-unabhi~ngige Integranden 1. Gattung vorhanden sein mfissen, und da das Geschlecht gleich 4 ist, gibt es also genau 5 linear-unal)- hRngige Produkte ,9i. :~k. Die zwischen diesen 6 Produkten bestehende Relation lautet

(33) a~l ~2 "-~ ~tl ~8 "-~ ~2 ~8 ~ ~12 "-~ 2 ~k8 2

und auBerdem ist

(34) E(v, 47) 1 0.1.~+ 1 ,~,, 1 , ~ 1

Jede der Funktionen

4~i �9 Ok 12 E(v, 47) 23 8 z~

ist ein Integrand 1. Gattung von Fo(47). Endlich ist noch

19 (35) ( ~ - - ~3) ~ ~-- 4 V A (3) A (47 3).

Alle diese Relationen zwischen den $o-Teilwerten und den quaterni~ren Thetas (die schon durch FRICKE bekannt sind) sind als Verallgemeinerungen der bekannten Jacobischen Identiti~t zu bezeichnen, durch die er den Satz fiber die Darstellung einer Zahl als Summe yon vier Quadraten aus der Theorie der Thetafunktionen erschlofi. Sie sind welter ein Analogon zu den Relationen, welche DIRICHLET zwischen den binaren Thetas und den yon uns oben als G1 (3; a~, a~, N) bezeichneten ~-Teil- werten hergeleitet hat. VermCige der Zahlentheorie der imagin~tr quadratischen K(irper beherrscht mall seit DIRICHLET diese Relationen ffir die Formen (--1)- ter Dimension. Vom Standpunkte der Funktionentheorie ware es nun sehr zu wiinschen, jene Dirichletschen Relationen rein


funktionentheoretisch herzuleiten. Es herrscht hier eine sehr bemerkenswerte Verschri~nkung zwischen Arithmetik und Funktionentheorie, die deutlich zu formulieren vielleicht nicht uninteressant ist:

Liegt eiu numerisch gegebenes System yon ganzen Modulformen N-ter Stufe vor. so ist es ein rein numerisches Problem, s~tmtliche linearen Relationen zwischen diesen Funktionen aufzustellen, und also auch zu entscheiden, ob eine vermutete Relation richtig ist oder nicht. Man braucht nfimlich bekanntlich nur die Anfangsglieder der Potenzreihe zu untersuchen, bis zu einem Exponenten, de rnur von N und der Dimension abh~tngt, da eine solche Modulform bei v = ~ in nicht zu hoher Ordnung verschwinden kann, ohne identisch zu verschwinden. Von jeder einzelnen der Dirichletschen Identiti~ten li~l~t sich also in diese'r Art, ohne die Arithmetik der Zahlk0rper hereinzuziehen, rein funktionentheoretisch ihre Gfiltigkeit entscheiden. Dagegel~ zu beweisen, dal~ die erwi~hnten Relationen ffir alle Stufen zutreffen, vermag bisher nur die Arithmetik. Der Grund ist offenbar der, dal~ es bisher nieht gelungen ist, die Thetas durch rein funktionentheoretische Eigenschaften zu charakterisieren.

Genau das gleiche gilt yon den oben betraehteten Relationen zwischen den ~o-Teilwerten und den quaterni~ren Thetas, und natfirlich auch yon den analog gebildeten Formen h0herer Dimension. Hier wird das entscheidende Wort yon der arithmetischen Theorie der Quaternionen und ihrer algebraischen Erweiterungen gesprochen werden, die in den letzten Jahren durch Herrn BRANDT wesentlich gef0rdert ist. Vorl~ufig bietet jedenfalls die Funktionentheorie eine Reihe yon Beispielen fiir die vielen M0glichkeiten in diesem noch nnerforschten Gebiet.

Eine andere, damit zusammenhi~ngende Frage k0nnen wir aber mit unseren Mitteln hier tiberraschend einfach erledigen, namlich die Frage nach der Darstellung einer ganzen Zahl durch eine gegebene definite quadratische Form von einer graden Variablenzahl; das ist der Inhalt des folgenden Paragraphen.

w 4. Verwendung der Eisensteinschen Reihen in der additiven Zahlentheorie in Verbindung mit den Methoden

yon Hardy-Littlewood. 1st jetzt irgendeine ganze Modulform Mk(~) yon der Dimension

- - k und der Stufe N durch ihre Potenzreihe

av 27~i n ' r

gegeben, so fragen wir nunmehr nach dem asymptotischen Gesetze der Koeffizienten an. Wendet man die Hardy-Littlewoodsehe Methode an.

16"

2 2 0 E. Heeke.

so hatte man zuerst das Verhalten in dell rationalen Randpunkten zu ermitteln, damit die ,,singulitre Reihe" zu bilden und dann die Rest- funktion abzusch~ttzen. Mit unseren Si~tzen ist das Problem aber erheblieh zu vereinfachen. Wir bestimmen n~tmlieh flit k ~ 1 die lineare Kom- bination der G~ (r, at, a~, N), welehe nach Satz 1, II bzw. Satz 4 und 7 ill den rationalen Randpunkten dasselbe asymptotische Verhalten wie Mk (7) aufweist. Diese Kombination mag mit Gk (r) bezeiehnet sein, sie ist zu ermitteln dutch die Untersuchung yon Mk (r) in den a (N) Spitzen. Dann wird

(35a) i k (~)-- Gk (r) ~ F~ (7)

eine ganze Modulform, welche in allen Spitzen verschwindet, und deren ,,singulare Reihe" (ira tiblichen Sinne beim Hervorheben der rationalen Randpunkte) also iden~isch versehwindet. Zur Bestimmung des asymptotischen Koeffizientengesetzes yon einem solchen Ek (7) braucht man aber nun nicht mehr in die Tiefen der Hardy-Littlewoodschen Analyse hinein. zagehen, sondern kommt, wenigstens fiir k ~ 2 mit sehr viel weniger aus, natiirlieh unter Ausnutzung des Charakters von Fk (7) als Modulform.

Dazu .dieuen zwei Hilfssi~tze: Hilfssatz I: Es sei die Potenzreihe

f ( v ) = ~ cne 2uinr n ~ O

in der oberen Halbebene konvergent, und bei Anni~herung an die reelle Achse mit v -~- x q - i y (x, y reell) sei

. f (x q- i y) ~- 0 (Y-O gleiehm~t6ig ill x

mit einem gewissen festen positiven r. Dann ist

cn = 0 (n")

Beweis: Ist 7o ein ebene, so ist

beliebiger Punkt im Innern der oberen Halb-

Vo+ 1 j. Cn = j~ ( r ) e - '- 'ai 'r d v .

"~o

i Wi~hlen wir 7o - - , so kommt

1

j ( ) Cn = f - ~ ~ - X e 2zt-2uinx

0

dx ~ O(ng.

Theoric tier Eisensteinschen Reihen. 221

Hi!fssatz 2: Ist Fk (r) eine ganze Modulforln einer gewissen Stufe N, dic in alMl rationalen Spitzen verschwindet, so erfiillt F ~ ( N r ) die

k Voraussetzungen des Hilfssatzes 1 iiber f0: ) mit r = -2-; es ist also

k

i F k ( x + i y ) l < K y "~ flu' y - ) O

mit yon x, y unabh~tngigem K. Beweis: Wegen der Elgensctaft, Modulform einer festen Stufe N

zu sein, gibt es miter den unendlich vielen Funktionen

~:' tW-+--d-/ (36) ( o r + d ) k '

(a b) wenn s~mtliehe Substitutionen der Modulgruppe durehl~iuft, nur

( ' d

endlieh viol versehiedene, da es nur au~ die Werte yon a, b, c, d mod. N ankommt. L~berdies ist jede dieser Funktionen naeh Voraussetzung

. n'/" 271~ T

eine Potenzreihe ~N'~,~I' e ~ , in welcher bo - - 0 ist. Wegen n - I

] ~ b ." '"~': - ~'' 1 i~..e-"''i<K,~ ~"fii,',=x+iy, y>~ I n = l

mit einem von r unabhitngigen K~ gilt also ffir jede Substitution der Modulgruppe

( a r + b I

-W y fiir y ~It > 2 (or + d) k < h~ e = - - ,

wo K_~ yon a, b, c, d, r unabhitngig ist. Diese Gleichung benutzen wit, a

um Fk in der N a h e e i n e s r a t i o n a l e n P u n k t e s - - z u u n t e r s u e h e n . W i r ( ,

wiihlen c > 0 und schliel~en

ar-J- b a 1 a c r Jr- d c c (e r q- d) ,, -4- ri,

WO

t37)

--I ~ - - c (c ~ + d) - - x~ -4- i y , ,

- - 1 d Yt 17 - - y , / ] - -

c2~, c c~(xl 2 + yl~) ' 2rt y

FI~ + x + iy ~<. . d , . , x + i y l k ,

g 1 wenn T-'-(:..'+/1') ;" -:i'

222 E. Hecke.

Es sei nun ~o ~ x o + i y o ein willkiirlicher Punkt mit y o > 0 ; zu der reellen Zahl Xo gibt es nach einem elementaren Satz aus der Theorie der Diophantischen Approximationen unter den reduzierten Brtichen mit

1 den Nennern < Vyo

X 0 - -

Setzen wir

- - e i n e n Bruch a , so daft

a .< Vy, 1 < c - = : - ~ C

X ~ X O - - - - -

Y o > ~-(~" + Yo'#

a , so wird Ix] < 5 - - ,

c e

Yo 1 1 \ - - 1 + c s > - - '

c~[Y~ ~ t -}- Yo"] Yo 2

Mithin ist (37) anwendbar und also

2 71 Yo

k e - - k ~ ,,02~ ~ (x 2 + yo2) --~ yo-S

wobei 2 g k

(u) ~ e iv . u 2 .

Diese Funkt ion von u hat offenbar ffir u >_ 0 ein endliches Maximum K3, und damit folgt in der Ta t

iFk(xo~_iyo)t< ( K , . K 3 _ O l y . - ~ ) k " ,)

yo-

Jedenfalls ergibt sich aus den beiden Hilfssiitzen: Satz 8. Ist

:~_ e - - N - -

eine ganze Modulform ton der Dimension - - k und der Stufe 5, welche in allen rationalen Spitze~l verschwindet, so ist

j

, , . = o ( , J ! (k > o).

1St al~erdem f l i t eine .qanze Zahl I auch (lie l-re Wurzcl aus Fk in der oberen Halbebene nm'h ei~le eindeutiqe Funktion der Gestalt

I /Fk (~) =: l,,~ e- -g, wo M ~. O, I t s ' |

Theorie der Eisensteinschen Reihen. 2 2 3

so ist auch noch hi~n'f#r

, , , . = o

In ganz derselben Weise erh~lt man auch fiir die summatorische Funktion

2 : , . , , = o log.), k * l ,

~_~c~,, = O(nk), ~_~lc,,,[ = O l n T ) . m ' - n m'=n

Um dieses Resultat anzuwenden, stellen wir zunitchst das Koeffizienten- gesetz eines Gk aus w 1, 2 fest und erhalten ffir die Stufe N

27I~} . L

G k ( 0 = ~ n k-~ ~ (n) e ~ , t l , = 0

wo der Koeffizient @ (n), die ,singulitre Reihe" des Problems, die Gestalt hat

d k - 1 "

Hierin sind die x (al, a~) Funktionen der ganzzahligen Argumente a~, a2 welche nur von deren Verhalten rood. N abhfingen:

(39) x (al, a~) = x (bl, b~), wenn ai ~ bi (mod. N ) ,

x ( - - al, - - a,) --- ( - - 1)k x (a,, a~).

In (38) durchltiuft d die positiven Teiler yon n. dann sofort

Satz 9. Stufe N

gilt

(40)

Naeh (35a) folgt

Fiir jede ga~z.e Modulform der Dimension - - k und der

27~in~

Mk (~) = 2 a,,e ~' 7t=0

' R

an ,j,k , ~(n)-~- 0 (n~), u'enn k ~ 1,

wo ~ ( n ) dutch (38), (39) definiert ist, mit geeigneten t, on n un- abhdng~qen x (al, a~).

Bedeutet insbesondere, was n a c h w 3 zulRssig ist, an die Anzahl der ganzzahligen L6sungen y von

n =- Q(yl , y:, . . . , y~D

224 E. Hecke.

mit den Nebenbedingungen y/ ~ ri (rood. M), i = 1 , 2 , . . . , 2 k ,

wo M und die ri feste ganze Zahlen, Q aber eine ganzzahlige positiv definitive quach'atische Form einer geraden Zahl yon Variablen bedeutet, so gilt ebenfalls (40)~).

Ffir eine Form Q einer ungeraden Variabelnzahl werden ahnliche Aussagen sieh beweisen lassen, wenn man statt der Gk die Reihen gebrochener Dimension benutzt, welehe Herr MORDELL 5) unter der Bezeichnung X eingeffihrt hat.

I~ (n) [ist offenbar bei k > 2 immer nach oben besehrankt; wann es auch nach unten bes lr~nkt ist, ls sich nur durch genauere Unter- suehung von Q, d .h . Bestimmung der Stufe N und der x(a~, a~) entscheiden. Immerhin folgt doeh ffir Primzahlen n = p die nicht-triviale Aussage: Wenn p~, p~ positive Primzahlen und pl --= p~ (rood. N), so ist

1 pl ~-1

1) p2k-1 ",

wo r eine nur v o n d e r Restklasse yon pL rood. N abhi~Dgige Zahl ist. Ffir k ~--- 1, 2 ist das Fehlerglied nicht .genau genug, um aus (40)

fiber die Grtil3e yon an Schlfisse ziehen zu ktinnen. Hier entfaltet erst die ausffibrliche Methode yon HARDY-LITTLEWOOD ihre volle Kraft. Herr KLOOSTERMAN6), der bereits fiir quaterni~re Formen spezieller Art das Fehlerglied erheblich verbessert hat, hat inzwischen auf diesem Wege

j ~ �9 k 1

die Aussage des Satzes 7 zu cn = 0 (n -~-~+t l bei k ~ 1 verscharfen k0nnen. Sein Beweis erscheint im nachsten Heft dieser Abhandlungen. Ffir k = 2 ergeben sich hieraus h(Ichst bemerkenswerte arithmetische S~ttze, z.B. fiber die Darstellung einer Zahl n durch quaterni~re Formen der im w 3 betrachteten Art (Summe von zwei biniiren Formen).

4) Eine Formel yon diesem Typus hat bereits Herr A. WALFISZ hergeleitet, aber olme ,lie singul~re Reihe in eudlicher Gestalt anzugeben: t~ber Gitterpunkte in mehr- dimensionalen Ellipsoiden, Math. Zschr. 19 (1924), p. 303.

�9 ~) MOZDELL, On the representations of a number as a sum of an odd number of squares. Cambr. Philos. Transact., 1919, vol. XXII.

~) On the representation of Numbers in the form ax~-by2-kcz~-4-dF, Acta mathematica 49 (1926).

theorie der eisensteinschen reihen höherer stufe und ihre anwendung auf funktionentheorie und...

Documents