Niveau : 1

Jaune

Le thorme des restes chinois

1 Prsentation du problmeIl sagit dtudier ce quil se passe lorsquon travaille avec deux modules. Autrement dit si on a une relation entre deux entiers qui est vraie modulo m et modulo n, que peut on en conclure. Thorme 1.1 Si m et n sont premiers entre eux alors la condition : ab ab est quivalente : a b (mn). Preuve. Si a b (mn) les deux relations a b (m) et a b (n) ont bien lieu. Rciproquement si ces deux relations ont lieu alors il existe k1 et k2 tels que : a b = k1 m = k2 n. On voit alors que m divise k2 n et comme il est premier avec n il divise k2 . Si bien que : a b = k3 mn. (m) (n)

2 Thorme des restes chinoisSoient m et n premiers entre eux. On cherche toutes les solutions entires de : xa xb On considre u et v tels que um + vn = 1. Thorme 2.1 (Thorme des restes chinois) On obtient une solution en prenant : x = bum + avn. Toutes les solutions sont alors de la forme : x + kmn. (m) (n)

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Preuve. Par un calcul direct on vrie que x = bum + avn est bien une solution. On vrie alors que pour tout entier k, x + kmn est aussi une solution. Si maintenant x et y sont deux solutions par diffrence on obtient : xy xy ce qui nous permet de conclure : y = x + kmn grce au thorme ??.1.1. Remarque: Il y a donc une solution unique y vriant 0 y < mn ; ce qui peut sexprimer encore en disant quil y a une unique solution dans Z/mnZ. Thorme 2.2 Lanneau Z/mnZ est isomorphe Z/mZ Z/nZ. Preuve. En appliquant le thorme prcdent on montre que lapplication T de Z/mnZ dans Z/mZ Z/nZ dnie par : T (x mod mn) = ((x mod m), (x mod n)) est un isomorphisme danneaux. Remarquons que la classe de x modulo mn est inversible modulo mn si et seulement si les classes de x modulo m et modulo n sont inversibles respectivement modulo m et modulo n. (m) , (n)

Auteur : Ainigmatias Cruptos Diffus par lAssociation ACrypTA2