the r package nlstools: a toolbox for nonlinear …...the r package nlstools: a toolbox for...
TRANSCRIPT
The R package nlstools:a toolbox for nonlinear regression
Florent BatySandrine Charles
Jean-Pierre FlandroisMarie-Laure Delignette-Muller
Pneumologie& Interdisziplinäres Zentrum für Schlafmedizin
10/07/2009
Florent Baty (KSSG) R package nlstools 10/07/2009 1 / 17
Introduction
Increasing interest for nonlinear regressionI ChemistryI Agricultural scienceI PharmacologyI Microbiology
Diversity of tools available in R (Ritz &Streibig, 2008)
Florent Baty (KSSG) R package nlstools 10/07/2009 2 / 17
Introduction
Many users still reluctant in using nonlinear regressionI Complexity of the least-squares minimization procedure algorithmsI Definition of starting valuesI Validity of the error modelI Confidence region estimation
nlstoolsI A toolbox which helps the fit of gaussian nonlinear models and assess
its quality of fit
yi = f (xi , θ) + εi , εi ∼ N(0, σ) (1)
I Available on CRAN
Florent Baty (KSSG) R package nlstools 10/07/2009 3 / 17
Overview of nlstools
Main features of nlstools
Help for the fit
Extended summary
Validity of theerror model
ResamplingBootstrapping
Jackknifing
Parameters’
confidence regions
Collection of models
and data sets
nls
Florent Baty (KSSG) R package nlstools 10/07/2009 4 / 17
Help of fit: preview
Estimation of starting values by iterative ”manual” fitting
> preview (formula, data, start, variable = 1)
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
● ●
0 50 100 150
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
t
Pre
dict
ed
+ + +
+
+
+
+
++
+ + + + + +
RSS = 3.1
lag = 40 mumax = 0.1 LOG10N0 = 6 LOG10Nmax = 8.8
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
● ●
0 50 100 150
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
t
Pre
dict
ed
+ + + ++
+
+
+
+
++
+ + + +
RSS = 0.3
lag = 50 mumax = 0.08 LOG10N0 = 6 LOG10Nmax = 8.8
Florent Baty (KSSG) R package nlstools 10/07/2009 5 / 17
Help of fit: preview
Models with non-meaningful parameters (Ratkowsky)
µmax = b(pH − pHmin)(1− exp(c(pH − pHmax)))2 (2)
●● ● ●
●
●
●
●
●
●
●
● ● ● ●
4 5 6 7 8 9 10
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
pH
Pre
dict
ed
+++++ ++ + +
++++++
b = 10c = 0.01pHmin=4pHmax=10
RSS = 2.02
●● ● ●
●
●
●
●
●
●
●
● ● ● ●
4 5 6 7 8 9 10
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
pH
Pre
dict
ed
+++
++
+
+
+
+
+
+
++
++
b = 16c = 0.03pHmin=4pHmax=10
RSS = 0.07
Florent Baty (KSSG) R package nlstools 10/07/2009 6 / 17
Fit: nls
Central function
> nls (formula, data, start, ...)
nlstools requires objects of class ’nls’
Florent Baty (KSSG) R package nlstools 10/07/2009 7 / 17
Fit summary: plotfit, overview
Extended summary of fit
> plotfit (nls) > overview (nls)
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
● ●
0 50 100 150
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
t
LOG
10N
Formula
Parameters estimates andstandard error
Residual sum of squares
Asymptotic confidence intervals
Parameters correlation matrix
Florent Baty (KSSG) R package nlstools 10/07/2009 8 / 17
Error model: nlsResiduals, test.nlsResiduals
Residuals analysis: validation of the error model
> plot(nlsResiduals(nls)) > test.nlsResiduals(nlsResiduals(nls))
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
● ●
●
6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5
−0.
100.
000.
10
Residuals
Fitted values
Res
idua
ls ●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
●
● ●
●
6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5
−2
−1
01
2
Standardized Residuals
Fitted values
Sta
ndar
dize
d re
sidu
als
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10
−0.
100.
000.
10
Autocorrelation
Residuals i
Res
idua
ls i+
1 ●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
−1 0 1
−1.
5−
0.5
0.5
Normal Q−Q Plot of Standardized Residuals
Theoretical Quantiles
Sam
ple
Qua
ntile
s
Normality test:I Shapiro-Wilk
Test of independence:I Runs test
Florent Baty (KSSG) R package nlstools 10/07/2009 9 / 17
Advanced features: nlsConfRegions
Projections of Beale 95% confidence region (Beale, JRSS, 1960)
RSS(θ) < RSSmin[1 +p
n − pF1−α(p, n − p)] (3)
> plot(nlsConfRegions(nls))
++
+
++
+
++
+
++
+
++
+
+++++
+
+
++ ++
+
+
++
+
+
++
++
+
+
++
+
+
++
++
+ + +
++
+
+
+
+
+
+
++
+++
+
+
+
+
++
+
+
+ ++
+
++
+
+++
+
+
+
+
+
++
+
+
++
++++
+
+
+
+
++
+
++
++++
+
+
+
+
+ ++
++
+
++
+
+
+
+
+
+ +
++
+
+
+
++
+
++
+
+
++
++
+
+
++
+
+
+
+
+
++ +
+
+++
+
+
++
+
+
+
+
+
+
++
+++
++
+
+
++
+
+
+
+++
+
+++
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
++ ++
+
+
++
+
++
++
+
+
+
+
++
+
++
+++ +
+
+
+
+
+
+
+
++
+ +
+
++
+
++
+
+ +
++ +
+
+
++
+ +
+
++ +
+
+
+
+
+
++
+
++++
++
++
++
++
+
++ +
+
++
+
+++
+
++
+
+
+
+
+
+
+
++++
++
+
+
++
+
+
+
+
+
+++
+++++
++
+
++
++
+
+
+
++
+
+
+++
++
+
+
+++
++
+
+
+
+
+
+++ +
+
+
+
+
+ ++
+
++
+
++++
++
++
++
+
+
++
+
++
+
+ +++
++
+
+
+
+++
++
+
++++
+
+
++
++
+
+
+
++
+ +
+++
+
+
++
++
++
+
+
+
+++
+++
+ +
+
+
+ ++
+
+
++
+
+
+
+
++
+
+
+ +
+
+
+
+++ +
+
++
++
++
+
++
++
+
++
+
++
+
+
+
+ +
+
++
+
++
++
++
++
+++
++
+
+
+
+
+
+
++
++
++
++
+
+
++
+
++ +
+
+
+
+
+
+++
+
++
+
+ ++
++
+
+
++
++
+
+
+
++ +
+
+
+
+
+
+
++
+
+ ++
++
+
+
+
++ +
+
++
++
++
+++
+++
+
+
+
+
+
++
+
+
+ +
+
+
++
+
++
+
+
+
+
+
+
++ ++
+
++
++
+
+
+
++++
+
++ + ++
+ ++
+++
++
++ +
+
++
+
+
++
++
+
++
+
+
+
+
+
+
+++
+
+
+
++
+
++
+
++
++
+
+
+
++
+ ++
+ ++
+
+ ++
+
+++
+
+
+
++
+
+
+
+
++
+
+ +
+
+
++
++
++
++
+ ++ ++ +
+
+
+ +
+
++
+
+
+
+
+
+++
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+++
+
+
+
+
++
+
+++
+
+
++
++
+
+
+
+
++ +
++++
+
+
+
+
+++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
++
++
+++
+++
+
++
+
+
++
++
++
+
+
+
+
++
+
++
++
+
+
+
+
+
++
++
+
+
++
++
+
+
+
+
+
+
+
++
++
+
+
++
+
+
+
+
+ +
++
+ +
++
++
+
++
++++
+
+
+ +
+++
++
+
++
++
+
++ +
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
++
+
+
+
+
++
+
+
+
+
++
+
+
+
++
++++
+
+
+ +
+
++ +++
+++ +
+
++
+
+
+
+
+
+
++
+
+
++
++
+
+
+
+
+
++
++
+
+
+
+
+
+
+
35 40 45 50 55 60
0.06
00.
070
0.08
00.
090
lag
mum
ax
+
+
+
++
+ +
+
++
+
+
+
++
++++
+
+
++
+
+
+
+
+
++
+
+ +
+++ +
++
++
+
++
+
+
+
+ +
+
+
+ +
++
+
+
+
+
+
++
+
+++
+ ++
+
+ +++
++
+
+
+
+
+
++
++
+
+
++
+
+
++
++
+
++
+
+++
+
+
++
+
+ +
+
++
+
+
+
+
++
+
++
+
+
+
+
+
+++
++
+ +
++
++
+
+
+
+
++
++
+
++ +
+
+
+
+
+
+++
+
+
+
+
+
+
+ +++
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
++ +
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
++
+
+
+ +++ +
+++
+++
+
+
++
+
+
+
+
+
+
++
+
+++
++
++
+
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+
++
+
+
+
++
+
+
+ +
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
++
++
+
++
+
++
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
++
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+ ++
+
+
+
+++
+ ++
++
+
++
+
+
+++
+
+
++
+
+++
+
+
++
++
+
+
++
+++
+
+++
+
++
++
++
+++
++++
+
++
+
+
+
+++
++++
+
+
+
+
+ ++
+
++
+
+
+++
+
++
+
+++
+
+ +
+
+
+
+
+
++
+
+
+
++
++
++
+
+
+
++
+ ++
+
+
++
+
+
+
+
++ +
+
+
+
++
+
+
+ +
+
+++
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+++++
+
+
++++
+
+
+
+
++
++
++++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
++
++
+
++
++
+ ++
+
+
++ ++
++
++ +
+
+
+
++++ +
+
+
+
+
+
+
+
+
++
++
+
+
++
++
+
+
+
++
+
+ +
+
+
+
+
+ +
+
++
+
+
+
+
+
++
+
+
+++
+
+
+++
++
+
++
++
++ ++
+
+++
++
+
+++
++
+
+
++
+
+
+
+
++
+ ++
+
+
+++
+
+++
+
+
+ +
+
+
++
++
+
+
+
+
+ +
+ +
+
+++
+
+++
++
+
+
+
+
+
+
+
+ ++++
+++
+
+
+
+
+ ++
++
++ +
+
+
+++ +
++
+
+++
+
+
+
++
+
++
+
++
+
++
++
++
+
+ +
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+ +++
++
++
+
+++
+
+
+
++
++
+
+
++
+++
+
++
+
+
+
+
+++ ++ +
+
++
+
++
+++
+
+
+
+
+ ++
+
+
++
+
+
+
+++
+
++
+
+
+
+++
+
+
++ ++++
+
+
+++
++ +
++
+ ++
+
++
+
++
++
+
+
+++ +
++
+
+
++
++ +++
+ +
++
+
+
+
++
++
+
++
+
+
+
++
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
++
++
+++
+
+
+++
+
+
++
++
++
+
+
+
++
+++
+ +
+ ++
++ ++ +
+
++
+
++
++
++
+ +
++
+
+
+
++
+
+
+
+
++
+
++
+
++
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++++
+
+
+
++
++
+++
++
+++
+
+
+
+ + +
+
++
+
+
+
35 40 45 50 55 60
5.7
5.8
5.9
6.0
lag
LOG
10N
0
++
++
+
++
++
+
+
+
+
++ +++
+
++
+
++
++
+
+++
+
+
+++
++
++
+ +
+ ++
+
+
++
+
+
+++
+
+
+
+++ +
++
+
+ +
+
+
+++
+
++
+
+++
+
++
++
+
+
+++
+
+ ++
+++
+ +
+
+
+
+
+
+
++ +
+
+
+
+
+ +
+
+
++
++
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
++
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
++
+++
+
++
+
+
++
+
+
++
+
+
+ ++
+
+
+
+
+
+
++++
++
+
+
++
+
+
+
+++
++
+
++
+++
+
+
+
+
+
++
+
+
+++
+
+
+
++
+
++
+
++
+
+ +
++
++
+++
++
++
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+++
+
+++
+ ++ +
+
+
+
++ +
+
++
++
+
+
+
+
++
+ + +
++
+
+++
+++
++
+
+
+
+
++
+
+++
+
+
++
+
++
+
+
+
++
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ ++
++
+
+++
++
+
++
+
++
++
++
+
++ +
+
+ +
+
+
+
+
+
++
+
+
+
++
++
++
++ +
++
+
+
+ +
+
++
+
+++
+++
+
+
++
++
++ +++
+ +
++
+
++
++
+
+
++
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
++
++
+
+
+
+
+
++
++
+++
+
++
+
+
+++
+
+++
+
++ +
+
+
++++
+
+
+
+
+
+ + +
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+
++
+ +
++
+
+
+
++
++
++
+
+
++
+
++
+
+
+
++
+
+
+
++
+ +++
+
+ ++
+
+
+
+ +++
+
+
+
++++++
++
+
++++
+
+
++
++
++
+
++
+
++++ +
+
+
+
+
++ ++
+
+
+
+
+
+
+
+
+ + +
+
+
+++
++
+
+
+
+++
+
+
++
+
+
+++
+
+
+
+
+
++
+
++
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
++
+
+++
+++
++
+++
+++
+ ++
+
+
+
+
+
+ + +
+
+
+
+
++
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
++
+++
+
+
++ +
++
+
+
++
+
+
+
+
+
++ +
+
++
+++
+++
+++
+
+++
+ +
+
+
+
++
++
+
+
+
+
++
+ ++
+
+
++
+
+
+
+
++
++
+
+
+ ++
+++
+
+
+
+
++
++
+
+
++
+ +++
+
+
+
++ +
+
++
+
+
+
+
++
+
+
++
+
+++
+
+
++
+ +
++
++
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
++
+
+
++
++
+
+++
++
++
+
+
+ +
+
+
+
++
++
++++
+
+ +
++
+ ++
+ + ++
++
++
+
+
+
+ + +
++
++
++ +++
+
+++ +
+
+
+
+ +
+
+
++
++
+
+
+
+ +
+
+ +
++
++
+
+
++
+
+++
++
+
+
+
++
++
++++
+
+++
+++
+
+
+
++
++
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
++
+
+
++
+++
++
++
+ +
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
++
+
+
+
+
+
+
+
35 40 45 50 55 60
8.6
8.8
9.0
9.2
9.4
9.6
lag
LOG
10N
max
+
+
+
++
+ +
+
++
+
+
+
++
++++
+
+
++
+
+
+
+
+
++
+
+ +
+++ +
++
++
+
++
+
+
+
++
+
+
+ +
++
+
+
+
+
+
++
+
++++++
+
++++
++
+
+
+
+
+
++
++
+
+
++
+
+
++
++
+
++
+
+++
+
+
++
+
+ +
+
++
+
+
+
+
++
+
++
+
+
+
+
+
+++
++
+ +
++
++
+
+
+
+
++
+ +
+
++ +
+
+
+
+
+
+++
+
+
+
+
+
+
+ +++
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
++ +
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
++
+
+
+ ++++
+++
+ ++
+
+
++
+
+
+
+
+
+
++
+
+++
++
++
+
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+
++
+
+
+
++
+
+
+ +
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
++
++
+
++
+
++
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
++
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+ ++
+
+
+
+++
+++
+ +
+
++
+
+
++
+
+
+
++
+
+++
+
+
++
++
+
+
++
+++
+
+++
+
++
++
++
+++
++++
+
++
+
+
+
+++
+ +++
+
+
+
+
+++
+
+++
+
++
+
+
++
+
+++
+
++
+
+
+
+
+
++
+
+
+
++
++
++
+
+
+
++
+ ++
+
+
++
+
+
+
+
++ +
+
+
+
++
+
+
++
+
+++
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+++++
+
+
++++
+
+
+
+
++
++
++
+++
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
++
++
+
++
+ +
+ ++
+
+
++ ++
++
+++
+
+
+
++++ +
+
+
+
+
+
+
+
+
++
++
+
+
++
++
+
+
+
++
+
+ +
+
+
+
+
++
+
++
+
+
+
+
+
++
+
+
+++
+
+
+++
++
+
++
++
+ + ++
+
++
+
++
+
+++
++
+
+
++
+
+
+
+
++
+ ++
+
+
+++
+
+ +++
+
+ +
+
+
++
++
+
+
+
+
+ +
+ +
+
+ ++
+
+ ++
++
+
+
+
+
+
+
+
+ ++
+ +
++ +
+
+
+
+
+ ++
++
+++
+
+
+++ +
++
+
++
+
+
+
+
++
+
++
+
++
+
++
+ +
+ +
+
+ +
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
++++
++
++
+
++++
+
+
++
++
+
+
++
+++
+
++
+
+
+
+
+++ ++ +
+
++
+
++
++ +
+
+
+
+
+ ++
+
+
++
+
+
+
+++
+
++
+
+
+
+++
+
+
+++ + +
+
+
+
+++
+ ++
++
+ ++
+
++
+
++
++
+
+
+++ +
++
+
+
++
++ +++
+ +
++
+
+
+
++
++
+
++
+
+
+
+ +
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
++
++
+++
+
+
+++
+
+
++
+++
+
+
+
+
++
+++
++
+ ++
++ ++ +
+
++
+
++
++
++
+ +
++
+
+
+
++
+
+
+
+
++
+
++
+
++
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+ ++
+
+
++
++
+++
++
+++
+
+
+
+ + +
+
++
+
+
+
0.060 0.070 0.080 0.090
5.7
5.8
5.9
6.0
mumax
LOG
10N
0
++
++
+
++
++
+
+
+
+
++ ++
+
+
++
+
++
++
+
+++
+
+
+++
++
+++ +
+++
+
+
++
+
+
+++
+
+
+
+++ +
++
+
+ +
+
+
+++
+
++
+
+++
+
++
++
+
+
+++
+
+ ++
+++
+ +
+
+
+
+
+
+
++ +
+
+
+
+
+ +
+
+
++
++
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+ +
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
++
++ +
+
+ +
+
+
++
+
+
++
+
+
+ ++
+
+
+
+
+
+
+++ +
++
+
+
++
+
+
+
+++
++
+
++
+++
+
+
+
+
+
++
+
+
+++
+
+
+
++
+
++
+
++
+
+ +
++
++
++
+++
++
+
+
+
+
++
+
+
+
+ ++
+
+++
+ +++
+
+
+
+++
+
+ +
++
+
+
+
+
++
+ ++
++
+
+++
++ +
++
+
+
+
+
++
+
+++
+
+
++
+
++
+
+
+
++
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ ++
++
+
+++
++
+
++
+
++
++
++
+
++ +
+
+ +
+
+
+
+
+
++
+
+
+
++
++
++
+++
++
+
+
+ +
+
++
+
+++
+++
+
+
++
++
+ +++
+
++
++
+
++
++
+
+
++
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
++
++
+
+
+
+
+
++
++
+ ++
+
+ +
+
+
+++
+
+ ++
+
+ + +
+
+
+ +++
+
+
+
+
+
++ +
+
+
+
+
++
+
+
+
+
++
+ +
++
+
+
+
++
++
++
+
+
++
+
++
+
+
+
++
+
+
+
+++ +
++
+
+ ++
+
+
+
+ +++
+
+
+
+++
+++++
+
++
++
+
+
++
++
++
+
++
+
++++ +
+
+
+
+
++++
+
+
+
+
+
+
+
+
++ +
+
+
+ ++
++
+
+
+
+++
+
+
++
+
+
+++
+
+
+
+
+
++
+
++
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
++
+
+++
+++
++
+ ++
+++
+++
+
+
+
+
+
+++
+
+
+
+
++
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+++
+++
+
++ +
++
+
+
++
+
+
+
+
+
+++
+
++
+++
+++
+++
+
+++
+ +
+
+
+
++
++
+
+
+
+
++
+ ++
+
+
++
+
+
+
+
+ +
++
+
+
+ ++
+++
+
+
+
+
++
++
+
+
++
+++
+
+
+
+
++ +
+
++
+
+
+
+
++
+
+
++
+
+ ++
+
+
++
+ +
++
++
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
++
+
+
++
++
+
+++
++
++
+
+
+ +
+
+
+
++
++
++++
+
+ +
++
+ ++
+ +++
++
++
+
+
+
+ ++
++
++
++ + ++
+
++++
+
+
+
+ +
+
+
++
++
+
+
+
+ +
+
++
++
++
+
+
++
+
+++
++
+
+
+
++
++
+++ +
+
+++
+++
+
+
+
++
++
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
++
+
+
++
++ +
++
++
+ +
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
++
+
+
+
+
+
+
+
0.060 0.070 0.080 0.090
8.6
8.8
9.0
9.2
9.4
9.6
mumax
LOG
10N
max +
+
++
+
++
+ +
+
+
+
+
++ +++
+
++
+
++
++
+
+++
+
+
+++
++
++
++
+ ++
+
+
++
+
+
+ ++
+
+
+
++++
++
+
+ +
+
+
+++
+
++
+
+ ++
+
++
++
+
+
+++
+
+ ++
+++
+ +
+
+
+
+
+
+
++ +
+
+
+
+
+ +
+
+
++
++
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
++
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
++
++ +
+
++
+
+
++
+
+
++
+
+
+ ++
+
+
+
+
+
+
++++
++
+
+
++
+
+
+
++ +
++
+
++
+++
+
+
+
+
+
++
+
+
+++
+
+
+
++
+
++
+
++
+
++
++
++
++
+++
++
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+++
+
++++ +
+ ++
+
+
++ +
+
++
++
+
+
+
+
++
+ + +
++
+
+++
+++
++
+
+
+
+
++
+
+++
+
+
++
+
++
+
+
+
++
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ ++
++
+
+++
++
+
++
+
++
++
++
+
++ ++
+ +
+
+
+
+
+
++
+
+
+
++
+++
++
+ ++
+
+
+
+ +
+
++
+
+++
+++
+
+
++
+ +
++ ++
+
++
++
+
+ +
++
+
+
++
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
++
++
+
+
+
+
+
++
++
+++
+
++
+
+
+++
+
+++
+
+ ++
+
+
++++
+
+
+
+
+
+ + +
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+
++
+ +
++
+
+
+
++
++
+++
+
++
+
++
+
+
+
++
+
+
+
+++ +
++
+
+ ++
+
+
+
+ ++ +
+
+
+
++ +
+++++
+
++
++
+
+
++
++
++
+
++
+
+++ + +
+
+
+
+
++ ++
+
+
+
+
+
+
+
+
++ +
+
+
+++
++
+
+
+
++
++
+
+++
+
+ ++
+
+
+
+
+
++
+
++
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
++
+
+ ++
+++
++
+++
+++
+ ++
+
+
+
+
+
+ + +
+
+
+
+
++
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
++
+++
+
+
++ +
++
+
+
++
+
+
+
+
+
+++
+
++
+++
+++
+++
+
+ ++
+ +
+
+
+
++
++
+
+
+
+
++
+++
+
+
++
+
+
+
+
++
++
+
+
+ ++
+ +++
+
+
+
++
++
+
+
++
+ +++
+
+
+
++ +
+
++
+
+
+
+
++
+
+
++
+
+++
+
+
++
++
++
++
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
++
+
+
++
++
+
+++
++
++
+
+
+ +
+
+
+
++
++
++ ++
+
++
++
+++
+ + ++
++
++
+
+
+
++ +
++
++
+++++
+
+++ +
+
+
+
+ +
+
+
++
++
+
+
+
+ +
+
+ +
++
++
+
+
++
+
+ ++
++
+
+
+
++
+ +
++++
+
+++
+++
+
+
+
++
++
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
++
+
+
++
+++
++
++
+ +
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
++
+
+
+
+
+
+
+
5.7 5.8 5.9 6.0
8.6
8.8
9.0
9.2
9.4
9.6
LOG10N0
LOG
10N
max
Florent Baty (KSSG) R package nlstools 10/07/2009 10 / 17
Advanced features: nlsContourRSS
Contour of the RSS (+ sections of Beale 95% confidence region)
> plot(nlsContourRSS(nls))
lag
mum
ax
35 40 45 50 55 60
0.06
00.
070
0.08
00.
090
lag
LOG
10N
0
35 40 45 50 55 60
5.7
5.8
5.9
6.0
lag
LOG
10N
max
35 40 45 50 55 60
8.6
8.8
9.0
9.2
9.4
9.6
mumax
LOG
10N
0
0.060 0.070 0.080 0.090
5.7
5.8
5.9
6.0
mumax
LOG
10N
max
0.060 0.070 0.080 0.090
8.6
8.8
9.0
9.2
9.4
9.6
LOG10N0
LOG
10N
max
5.7 5.8 5.9 6.0
8.6
8.8
9.0
9.2
9.4
9.6
Sections of the Beale 95% confidence interval
Florent Baty (KSSG) R package nlstools 10/07/2009 11 / 17
Advanced features: nlsContourRSS
Problems of ill-conditioning in parameter estimation (Ratkowsky model)
> plot(nlsContourRSS(nls))
b
c
−300 −100 0 100 300
−0.
3−
0.1
0.1
0.3
b
pHm
in
−300 −100 0 100 300
3.8
4.0
4.2
4.4
4.6
b
pHm
ax
−300 −100 0 100 300
9.4
9.6
9.8
10.0
10.2
c
pHm
in
−0.3 −0.1 0.1 0.2 0.3
3.8
4.0
4.2
4.4
4.6
c
pHm
ax
−0.3 −0.1 0.1 0.2 0.3
9.4
9.6
9.8
10.0
10.2
pHmin
pHm
ax
3.8 4.0 4.2 4.4 4.6
9.4
9.6
9.8
10.0
10.2
Florent Baty (KSSG) R package nlstools 10/07/2009 12 / 17
Advanced features: nlsConfRegions vs. nlsContourRSS
Comparison of both representations of the confidence region:Projections vs. sections of the Beale region
●
●
●
● ●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●● ●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●●
●
●
● ●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ● ●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2
7.4
7.6
7.8
8.0
p
LOG
10N
Both representations equivalentin models with 2 parameters
Different when number ofparameters > 2
Projections more suitable toassess global correlationsbetween parameters
Florent Baty (KSSG) R package nlstools 10/07/2009 13 / 17
Advanced features: nlsJack
Jackknifing
> plot(nlsJack(nls)) > summary(nlsJack(nls))
2 4 6 8 10 12 14
02
4
lag
Observation #
Rel
Diff
(%
)
* *
2 4 6 8 10 12 14
01
23
mumax
Observation #
Rel
Diff
(%
)
* *
2 4 6 8 10 12 14
0.0
0.4
0.8
LOG10N0
Observation #
Rel
Diff
(%
)
* *
2 4 6 8 10 12 14
0.0
0.6
1.2
LOG10Nmax
Observation #
Rel
Diff
(%
)
*
Jackknife estimate
Confidence interval
Influential observations
Florent Baty (KSSG) R package nlstools 10/07/2009 14 / 17
Advanced features: nlsBoot
Nonparametric bootstrapping of mean centered residuals
Bootstrap estimates and confidence intervals
> plot(nlsBoot(nls)) > plot(nlsBoot(nls), type="boxplot")
+ ++
+
++
+
+
+
++
++
++
+
+
++
++
+
++
+
++
+
++ ++
+
+ +
+
++
+
+
++
+
++ +++
+
+
+
++
+++
++
+
+ +
+ +
++
+
+ +
+
+
++
++
+
++
+
+
++
+ ++
+
+++
++
+
+ +
++
++
+
++
+
+
+ +
+
++ ++
++
+
+ +
+
+
+
+
+
++ ++ ++
+
+
+
+
+
+++
+
++
+
+
++
++
++ ++
++
+++
+++
++
+
+
+
+ +++
+
++
++
++
+
+
+
++ ++
+
+
+
+
+
++++
++
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+++
+
+
++
++ +
+++
+
+
+ +++
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
++
++
+
+
++ +
+
+
+
+
++
+
++
+ +
+
++
++
++
+
+++
+
+
+
+ +++ +
++
++
+ +
++
+ +
+
+
+
++
++
+
+
+
++
+
++
+
++
++
+++
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
++
+
++
+ +
++
++
+
+
+
+
++
+
+
++
++
+
+
++
+++++
+
+
+
+
+++
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
++
+
+
+
+
+
+
+
++
+
++
++
+
+++
+
+
+
++
++
++
+++
+
+++
++
+
+ ++
+
+
++ +
+ ++
+
+
++
++
+
+
+
+
++
+
+
+++
++
++ ++
++ +
++
+
++
++
+
+
+
+++
+
++
++
++
+
+
+
++
+
+
+
+
++
++
+
+
+
++
+
++
++
+
++
+
+
+++
+
+
++
+
+
++
+
+
++++
++
+
+
+
+
+
++
+
+
++
++
+
+++
+
++
++ +
++
++
+ +
++
+
++
+
+
+ ++
+
++
+
+
+
++
++
+
+++
+
++
++
++
++
++
++
++
++ ++
+ ++
++
+
+
++
++
+
++
+
+
++
+
+
+
+ +
+
++
+
+
++++
++
++
+
+
+++
++
+++
+
+
+
+ +
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+++
+
+
++
+
+ ++ ++
++
++ +
+
+++
+
++
+
+
++
+
+
++
+
++
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
++
+ +
++
++
++
+
+
+
+
++
+
++
+
++
+
+
+
++
+
+
++
++
+++
+
+ +
+
+++
+
+
++
+
++
++
+++
+
+
+
+++++ +
+
+ ++
+
++
+ +
+
+
+
+
+
+
++ +
+++
+
++
+
+
++
+
++
+
++ +
+
+
+
+
++
+
+
+
+
++
++
++
+
++
+
+
+
++
++ ++
++
+
+
++
+
+
++
+
+
+
+++ +++
+++
+
+++
+
+
+++
+
+ +++
+
+++
+
+++
+
+ +++ +
+
+
+
++
+
++
+
++
+
+
+
++
+
+ + ++
+
+
+
+
++
++
+++
+
+
+ +
+
+
+
+
+
++
++
++
++++
++
+ ++
+
+
++
+
+++
+
++ +
+
+
+++
+
+
+
+
++
+
+
++
++ +
+++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+++
+ +
+
+
+ +
+
+
++
+
+ +
++
+
+
+
+
+
+
++
++
+
+
++
+
40 45 50 55
0.06
50.
075
0.08
5
lag
mum
ax
+
++
+
+++
++
++
+
+
+
+++
+
+
+
++ +
+
+
++
+
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+
++
++
+
+
+
+
+
++
++ + +
+ ++
+
++
+ ++
+
+
+
+ + +
+
+
+ +
+
+
+++ +
+
+
+
+
+
++
+
+
+
++ ++
+ +
+
+
+ +
++
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
++
+ ++
+
+
+
++
++
+
++
+
+
++++
++
+
+
++
+ +
++
++
+
+
+
+
+
+
+++
+
+++
+
+
+
+
+
++
++
++
+ ++
+
+++
+
+
++
+
++
++
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+++
+
+
+
+++
+
+
++
+
+
+
+ ++
++
+
+
+
+
++
+
+++ +
+++
+
+
+
+ ++
+
+
+
+
++
+
+
+
+++
+
++
++
+
+
++
++
+
+
+
++
+
++
++
++
++
+++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+++
+
+
+
+
+
++
++
++
+
+ ++
+
+
++
++
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
++
++
+
++
+
++
+
+
+
++
+
+
+
+
+
++
+
+
+++
+
+
++
+
+
+
++
+ +
++
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+ +
+
+
+++
+++
++
+++
+ ++
+
++
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+ ++
+
+
+
+ +
+
++++ +++
++
++ ++
+
+
+++
++
+
+
+
+
+
+
+++
+
+++
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+ ++
+
+
+
+
+
+
+ ++
+
+
+
+++
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
++
++
+
+
+
+
++
+
+
++
++
+
+
+
+
+
++++
+
+++
++
+ ++
+
++
+
+
++
+
++
+
++
+ +
++
+++
+
+++
+
+
+
+ +
++
++
+
++
+
++ +
+
+
+
+
+
++
+
++
+
+
+
+
+
++
+ ++
+
+
++ ++
+
+
+
+
++
+
+
++
+
+
+++
+
++
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
++
+
+
+
+
+ ++
+
++ +
+
+
++
+
+
+
+
++
++
+
+
+
+
++
++
+
+
++
+
+
+
+++
++
+ +
++
+
++
++
+
++
+
++
++
++
++
+
+
++
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
++
++
+
++
+
+++
+
++
++
+
+ +
++
+
+
+
++
+
++ +
++ +
++
+
+
+
++ +
++ +++
+
+
+
++
+ +
+
+
++
+ +
++
++
++ +
++
+
+
+
+
+
++
+
+++
+ +++
+++
+
+
+
+
+
+
++
++
++ +
+
+ +++
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
++
++
++
++
+
+
+
+
++
++
+++ +
+ ++ ++
+
+
++
+
++
++
+
+
+
++ +
++
+
++
+
+ ++
+ +
+
+
+
+
+
+
++++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
++
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
++
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+ ++
++
+
+
++
+++
++
+
+
+ +
+
+
+
+++
+
+++
+
+
++
+
+
++
++
++ +
+
+
+ +
+++
+
+
+
+
+
+
+
++
+
++++
40 45 50 55
5.75
5.85
lag
LOG
10N
0
++
+
+
++
+
+
+++
+
++
+
+
+
+
+
++
++
++
++ + +
+ +
+
+
++
+
++
+
+
+
+
+
++ +
+
++
++
+++
++
++
+ + ++ ++
++ + +
+
++
++
+
+
++
+
++
++ ++ ++
+
+
+++
+
+
+
+
++
+
+
+
++
++
+ ++
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+++
++
+++
+
+ ++++
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+++
++
++
++
+
+ +
+
+
++
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
++
+
+
++
++
+
++
++
+
++
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++ ++
++
+
+
+
+
+
++
++
+
+
+
+
+
+
+
++
+
++
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+ +
+
+
+++ ++
++
+
+
+
+ ++
+
+ +
++
+ +++
++
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
++
+++
+
+
+
++
++
+
++
+
+
+++
+
+
++
+
+
++
+
+
++
++ +
++
+ ++ ++
+
+
+
+
+
++
+
+
+
++
+
+
+
++ +
+
+
+
++
++
+
+
+
+
+
++
++
++
+
+
+
+
++
++
+
+ +
++
+
+
++ +
+
+
+
+
+
+
++
+ +++
+
+
+
++
+
++
++++
++
++
+
+
+
+
+
+
+
+++
+
++
+
+ +
+
++
+
+
+ +
++
++
++
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
+
++
+
+
++
+
+
+
+
+
+++
+
+
+
++
++
+
+++
++
+++
+ +
+
+
+
+
+
+++
++
++
+
+
+++
+
+
+
+
+
+ +
+
+
++ +
+
+
+
+
+
+
+
+ ++
++
+
++
+
+
++
+
+++
+
+
+ +
+
+
+++
++
+ + ++
+
+
++ +
+ + ++++
+
+
++
++
++ +
+
+
+
+ +
+
+++
++
++
++
+++
+
+
+
++
+
+
++
+ +
+
+
+
++ ++
+
+
++
+ + +++
+
+
+
+
+ +
+++
+
+
+
+ +
+
++
+
++
+
+
+
+
+
+ +
++
+++
++ + ++++
+
++
+
+
++
++
++
+
+
+
+
+
+
++
+
+
++
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
++
++
++
+++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+ +
++ +
++
++
++
+
+ +
+++
+
++ +
++
++
+
++
+
+
+
+
+
++
+ ++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++ +
++
+
++
+
+
+++++
+
++ +
+
++++
+
+
+++ +
+
+
+
+
+
+ ++
+
+ +
++
+
+
++
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++ ++
+
+
+
++++
+
++
+ +
++
+
+
++
+
+
++
++
+
+
+
+
++
+
+ ++ ++
++
++
+
++
+ ++ ++
+
++
+++ +
++
+ ++
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
+
++
++ +
+++
+
+ +
+
++++++
++ +
++
++
+
+
++++
+
+
+
+
+
+
+
+ +++
+
+ +
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+ +
++
++
+
+
+++
+
+
+
+
+
+
++
++
+
+ ++
+
40 45 50 55
8.9
9.1
9.3
lag
LOG
10N
max
+
++
+
+++
++
++
+
+
+
+++
+
+
+
++ +
+
+
++
+
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+
++
+ +
+
+
+
+
+
++
++ + +
+ ++
+
++
+++
+
+
+
+ ++
+
+
+ +
+
+
+++ +
+
+
+
+
+
++
+
+
+
++ +++ +
+
+
+ +
++
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
++
+ ++
+
+
+
++
++
+
++
+
+
++++
++
+
+
++
++
++
++
+
+
+
+
+
+
+++
+
+++
+
+
+
+
+
++
++
++
+ ++
+
++
+
+
+
++
+
++
++
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+++
+
+
+
+ ++
+
+
++
+
+
+
+ ++
++
+
+
+
+
++
+
++
+ +
+++
+
+
+
+ ++
+
+
+
+
++
+
+
+
+ ++
+
++
++
+
+
++
++
+
+
+
++
+
++
++
++
++
++ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+++
+
+
+
+
+
++
++
++
+
+ ++
+
+
++
++
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
++
++
+
++
+
++
+
+
+
++
+
+
+
+
+
++
+
+
+++
+
+
++
+
+
+
++
+ +
++
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+ +
+
+
+++
++
+
++
+++
+ ++
+
++
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+ ++
+
+
+
+ +
+
+++ + +
+ +++
++++
+
+
+++
++
+
+
+
+
+
+
+++
+
+ ++
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+ ++
+
+
+
+
+
+
+ ++
+
+
+
++
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
++
++
+
+
+
+
++
+
+
++
++
+
+
+
+
+
++++
+
+++
++
+ ++
+
++
+
+
++
+
++
+
++
+ +
++
+++
+
++
+
+
+
+
+ +
++
++
+
+ +
+
++ +
+
+
+
+
+
++
+
++
+
+
+
+
+
++
++ +
+
+
++ ++
+
+
+
+
++
+
+
++
+
+
+++
+
++
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
++
+
+
+
+
+ ++
+
+++
+
+
++
+
+
+
+
++
++
+
+
+
+
++
++
+
+
++
+
+
+
+++
++
+ +
++
+
++
++
+
++
+
++
++
++
++
+
+
++
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
++
+ +
+
++
+
+++
+
++
++
+
+ +
++
+
+
+
++
+
++ +
++ +
++
+
+
+
++ +
+ ++ ++
+
+
+
++
++
+
+
++
+ +
++
++
++ +
++
+
+
+
+
+
++
+
+++
+ ++++
+ +
+
+
+
+
+
+
++
++++ +
+
+ +++
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
++
++
++
++
+
+
+
+
++
++
+++ +
+ ++ ++
+
+
++
+
++
++
+
+
+
++ +
++
+
++
+
+ ++
+ +
+
+
+
+
+
+
+++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
++
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
++
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+ ++
++
+
+
++
+++
++
+
+
+ +
+
+
+
+++
+
+++
+
+
++
+
+
++
++
++ +
+
+
++
+++
+
+
+
+
+
+
+
++
+
++++
0.065 0.075 0.085
5.75
5.85
mumax
LOG
10N
0
++
+
+
++
+
+
+++
+
+++
+
+
+
+
++
++
++
++ + +
++
+
+
++
+
++
+
+
+
+
+
+++
+
++
++
+++
++
++
+ ++++ ++
+ ++
+
++
++
+
+
++
+
++
++++ +
++
+
+++
+
+
+
+
++
+
+
+
++
++
+ ++
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
++++
++++
+
+ ++++
+
+
+
+
+
+
+
++
+
++
+
+ +
++
++
+
+ +
+
+
++
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
++
+
+
++
+++
++
++
+
++
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+++ +
++
+
+
+
+
+
++
++
+
+
+
+
+
+
+
++
+
++
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+ +
+
+
++++ +
++
+
+
+
+ ++
+
+ +
++
++++
++
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
++
++
+
+
+
+
++
++
+
++
+
+
+ ++
+
+
++
+
+
++
+
+
++
+ + +
++
++ +++
+
+
+
+
+
++
+
+
+
+++
+
+
++ +
+
+
+
++
++
+
+
+
+
+
++
++
++
+
+
+
+
++
++
+
+ +
++
+
+
+++
+
+
+
+
+
+
++
+ +++
+
+
+
++
+
++
++++
++
++
+
+
+
+
+
+
+
++ +
+
++
+
++
+
++
+
+
+ +
+ +
++
++
+
+
+
+
+++
+
+
+
+
+
++
+
+
+
+
++
+
+
++
+
+
+
+
+
++ +
+
+
+
++
++
+
+++
++
++++ +
+
+
+
+
+
++
+
++
++
+
+
++ +
+
+
+
+
+
+ +
+
+
++ +
+
+
+
+
+
+
+
+ ++
++
+
++
+
+
++
+
+++
+
+
+ +
+
+
+++++
+ +++
+
+
++ +
++ ++++
+
+
++
++
++++
+
+
+ +
+
++ +++
++
++
+++
+
+
+
++
+
+
++
+ +
+
+
+
++ ++
+
+
++
+ +++ +
+
+
+
+
+ +
++
+
+
+
+
+ +
+
++
+
++
+
+
+
+
+
+ +
++
+++
+++ ++ ++
+
++
+
+
++
++
++
+
+
+
+
+
+
++
+
+
++
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
++
++
++
+++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
++
++ +
++
++
++
+
+ +
+++
+
++ +
++
++
+
++
+
+
+
+
+
++
+++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++ +
++
+
++
+
+
++++
+
+
+++
+
++ ++
+
+
+++ +
+
+
+
+
+
+ ++
+
+ +
++
+
+
++
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++ ++
+
+
+
+ +++
+
++
+ +
++
+
+
++
+
+
++
++
+
+
+
+
++
+
+ ++ ++
++
++
+
++
+++ ++
+
++
+ ++ +
++
+ +++
+
+
+
+
+
++
+
+
+
+
++
+++++
+
+
+ +
+
+ +++ ++
+++
++
++
+
+
++ ++
+
+
+
+
+
+
+
+ +++
+
+ +
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
++
++
++
+
+
+++
+
+
+
+
+
+
++
++
+
+ ++
+
0.065 0.075 0.085
8.9
9.1
9.3
mumax
LOG
10N
max
++
+
+
++
+
+
+ ++
+
++
+
+
+
+
+
++
++
++
+++ +
+ +
+
+
++
+
++
+
+
+
+
+
++ +
+
++
++
+++
++
++
+ ++++++
+++
+
++
++
+
+
++
+
++
++ ++ ++
+
+
+++
+
+
+
+
+ +
+
+
+
++
++
+ ++
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
++++
++++
+
+ +++ ++
+
+
+
+
+
+
++
+
++
+
+ +
++
++
+
+ +
+
+
++
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
++
+
+
++
++
+
++
++
+
++
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++ ++
++
+
+
+
+
+
+++
++
+
+
+
+
+
+
++
+
++
+
+
+
+
++
+
+
+
+
++
+
+
+ ++ ++
++
+
+
+
+ ++
+
++
++
+ +++
++
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
++
++
+
+
+
+
++
++
+
++
+
+
+++
+
+
++
+
+
++
+
+
++
+++
++
+ ++ ++
+
+
+
+
+
++
+
+
+
++
+
+
+
+++
+
+
+
++
++
+
+
+
+
+
++
++
++
+
+
+
+
++
++
+
+ +
++
+
+
++ +
+
+
+
+
+
+
++
++++
+
+
+
++
+
++
+++ +
++++
+
+
+
+
+
+
+
+++
+
++
+
+ +
+
++
+
+
++
++
++
++
+
+
+
+
+++
+
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+ +
+
+
++
+
+
+
+
+
+++
+
+
+
++
++
+
+ ++
++
+++
++
+
+
+
+
+
++
+
++
++
+
+
+++
+
+
+
+
+
+ +
+
+
++ +
+
+
+
+
+
+
+
+ ++
+ +
+
++
+
+
++
+
+++
+
+
+ +
+
+
+++
++
++ ++
+
+
++ +
+ +++
++
+
+
++
++
++ +
+
+
+
++
+
+++
++
++
++
+++
+
+
+
++
+
+
++
+ +
+
+
+
++ ++
+
+
++
++ ++ +
+
+
+
+
+ +
++
+
+
+
+
+ +
+
++
+
++
+
+
+
+
+
+ +
++
++ +
+++ ++++
+
++
+
+
++
++
++
+
+
+
+
+
+
++
+
+
++
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
++
++
++
+ ++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+ +
++ +
++
++
++
+
+ +
+++
+
++ +
++
++
+
++
+
+
+
+
+
++
+ + +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+++
++
+
++
+
+
+++ +
+
+
++ +
+
++++
+
+
++++
+
+
+
+
+
+++
+
+ +
++
+
+
++
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++ ++
+
+
+
++++
+
++
++
++
+
+
++
+
+
++
++
+
+
+
+
++
+
+ +++ +
++
+++
++
+ ++ ++
+
++
+++ +
++
+++
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
+
++
++ +
+++
+
+ +
+
++ +++ +
++ +
+++
+
+
+
+ +++
+
+
+
+
+
+
+
++++
+
+ +
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
++
++
++
+
+
+++
+
+
+
+
+
+
++
++
+
+ +++
5.75 5.80 5.85 5.90
8.9
9.1
9.3
LOG10N0
LOG
10N
max
●
●●
●●●
4045
5055
lag
●
●●
●
●●
●
●●
●
0.06
50.
075
0.08
5
mumax
●●●●
5.75
5.80
5.85
5.90
LOG10N0
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
8.9
9.0
9.1
9.2
9.3
9.4
LOG10Nmax
Florent Baty (KSSG) R package nlstools 10/07/2009 15 / 17
Summary
nlstools includes a set of tools which extend the functionalities ofnonlinear regression in R
A particular attention was paid in the development of:I representations of confidence regionsI resampling techniques (jackknifing and bootstrapping)
nlstools is particularly helpfulI to fit models with non-meaningful parametersI to detect problematic models (overparameterized, highly correlated
parameters, ill-conditioning estimation in parameter estimation, ...)
Florent Baty (KSSG) R package nlstools 10/07/2009 16 / 17
Conclusion
nlstools: user-friendly interface of a set of basic and more advanceddiagnostic functions in the framework of gaussian nonlinear regression
Available on CRAN, including a didactic vignetteI http://cran.r-project.org/web/packages/nlstools
Some improvements:I HypervalidationI Better flexibility of graphics
Florent Baty (KSSG) R package nlstools 10/07/2009 17 / 17