1

Bölüm Özeti Kümeler

Kümelerin Dili Küme İşlemleri Küme Özdeşlikleri

Fonksiyonlar Fonksiyon Tipleri Fonksiyonlar Üzerindeki İşlemler Hesaplanabilirlik

Diziler ve Toplamlar Dizilerin Tipleri Toplamları Formülleştirme

Bir Kümenin Büyüklüğü Sayılabilir Kümeler

Matrisler Matris Aritmetiği

2

3

Özet Kümelerle İlgili Tanımlar

Kümelerin Gösterimi Listeleme Yöntemi

Küme Kurma Gösterimi

Matematikteki Bazı Önemli Kümeler

Boş Küme ve Evrensel Küme

Alt Kümeler ve Küme Eşitliği

Kümelerin Büyüklükleri

Demetler (Tuples)

Kartezyen Çarpım

4

Giriş Kümeler Ayrık Matematiğin en temel konularından

biridir

Sayma problemleri için önemli

Programlama dillerinin kümelerle ilgili fonksiyonları bulunur

5

Kümeler Bir küme, nesnelerin sırasız bir topluluğudur

sınıftaki öğrenciler

odadaki sandalyeler

Bir kümedeki nesnelere elemanlar ya da üyeler denir. Bu kümeye de bu elemanları içeriyor denir.

a ∈ A gösterimi a nesnesinin A kümesinin bir elemanı olduğunu ifade eder.

Eğer a nesnesi A kümesinin elemanı değilse a ∉ A yazılır

6

Bir kümeyi tanımlama: Listeleme Yöntemi S = {a,b,c,d}

Sıra önemli değil

S = {a,b,c,d} = {b,c,a,d}

Her bir ayrık nesne üyedir ya da değildir. Birden fazla yazmak birşeyi değiştirmez.

S = {a,b,c,d} = {a,b,c,b,c,d}

Eğer bir kümenin deseni biliniyorsa bazı elemanları göstermek için (…) kullanılabilir

S = {a,b,c,d, ……,z }

7

Listeleme Yöntemi İngiliz alfabesindeki sesli harflerin kümesi:

V = {a,e,i,o,u}

10’dan küçük tek pozitif tamsayıların kümesi:

O = {1,3,5,7,9}

100’den küçük bütün pozitif tamsayıların kümesi:

S = {1,2,3,……..,99}

0’dan küçük bütün tamsayıların kümesi:

S = {…., -3,-2,-1}

8

Bazı Önemli Kümeler N = doğal sayılar = {0,1,2,3….}

Z = tamsayılar = {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}

Z⁺ = pozitif tamsayılar = {1,2,3,…..}

R = gerçek sayılar kümesi

R+ = pozitif gerçek sayılar kümesi

C = karmaşık sayılar kümesi

Q = rasyonel sayılar kümesi

9

Küme Kurma Gösterimi Her bir üyenin sağlaması gereken özellikleri belirt:

S = {x | x 100’den küçük pozitifi tamsayıdır}

O = {x | x 10’dan küçük pozitif tek tamsayıdır}

O = {x ∈ Z⁺ | x tektir ve x < 10}

Bir yüklem de kullanılabilir:

S = {x | P(x)}

Örnek: S = {x | Asal(x)}

Pozitif rasyonel sayılar:

Q+ = {x ∈ R | x = p/q, bazı pozitif tamsayılar p,q için}

10

Aralık Gösterimi

[a,b] = {x | a ≤ x ≤ b}

[a,b) = {x | a ≤ x < b}

(a,b] = {x | a < x ≤ b}

(a,b) = {x | a < x < b}

Kapalı aralık [a,b]

Açık aralık (a,b)

11

Evrensel Küme ve Boş Küme Evrensel küme U, üzerinde çalışılan bütün nesneleri

içeren kümedir.

Hiçbir elemanı olmayan küme

Boş kümedir. ∅ ile gösterilir, bazen

{} kullanılır.

U

Venn Diagram

a e i o u

V

John Venn (1834-1923) Cambridge, UK

12

Unutulmaması gerekenler Kümeler bir başka kümenin elemanı olabilir

{{1,2,3},a, {b,c}}

{N,Z,Q,R}

Boş küme, boş kümeyi içeren bir küme ile aynı şey değildir.

∅ ≠ { ∅ }

13

Küme Eşitliği Tanım: Ancak ve ancak iki küme aynı elemanlara

sahipse eşittir.

A ve B iki küme olsun,

A ve B eşit kümelerse A = B yazılır.

{1,3,5} = {3, 5, 1}

{1,5,5,5,3,3,1} = {1,3,5}

14

Alt küme Tanım: A kümesinin bütün elemanları B kümesinin

de elemanıysa, A kümesi B kümesinin alt kümesidir.

Gösterim A ⊆ B

ise

A ⊆ B gösterimi sağlanır

1. Because a ∈ ∅ is always false, ∅ ⊆ S ,for every set S.

2. Because a ∈ S → a ∈ S, S ⊆ S, for every set S.

15

Bir kümenin diğer bir kümenin alt kümesi olduğunu ya da olmadığını göstermek A kümesinin B kümesinin alt kümesi olması: A

kümesinin bütün elemanlarının B kümesinin de elemanları olduğunu göstermek yeterli.

A kümesinin B kümesinin alt kümesi olmaması : A kümesinin elemanı olup, B kümesinin elemanı olmayan en az bir eleman bulmak yeterli. (x ∈ A x ∈ B) önermesi için ters örnek bulmak gibi

16

Küme eşitliğine bir başka bakış İki kümenin eşitliğinin gösterimi

A = B, iff

Mantıksal denklikleri kullanalım

Sonuç:

A ⊆ B and B ⊆ A

17

Öz alt küme Tanım: Eğer A ⊆ B ise, fakat A ≠B ise A kümesi B

kümesinin öz alt kümesidir denir ve A ⊂ B ile gösterilir. A ⊂ B ise

Venn Diagram

U B

A

18

Küme Büyüklüğü Tanım: n, negatif olmayan tamsayı olmak üzere eğer S

kümesinde n adet farklı eleman varsa S kümesi sonludur. Diğer durumda ise sonsuzdur.

Tanım: Sonlu bir A kümesinin büyüklüğü, |A|, A kümesindeki farklı elemanların sayısıdır.

Örnekler: 1. |ø| = 0 2. S kümesi İngiliz alfabesinin harflerinin kümesi olsun. |S| = 26 1. |{1,2,3}| = 3 2. |{ø}| = 1 3. Tamsayılar kümesi sonsuzdur.

19

Kuvvet Kümeleri Tanım: Bir A kümesinin bütün alt kümelerini içeren

küme. P(A) ile gösterilir ve A’nın kuvvet kümesi olarak okunur.

Örnek: A = {a,b}

P(A) = {ø, {a},{b},{a,b}}

Eğer bir küme n elamana sahipse kuvvet kümesinin büyüklüğü 2ⁿ olur.

20

Demetler (Tuples) Sıralı n-demet (a1,a2,…..,an) a1 ‘in ilk eleman olduğu,

a2 ‘nin ikinci eleman olduğu ve an ‘in n. eleman olduğu sıralı bir yapıdır.

İki n-demet ancak ve ancak ilgili bütün elemanları eşitse birbirine eşittir.

2-demet sıralı çift olarak anılır.

Sıralı çiftler(a,b) ve (c,d) ancak ve ancak a = c ve b = d ise eşittir.

21

Kartezyen Çarpım Tanım: A ve B kümelerinin kartezyen çarpımı A × B ile

gösterilir ve (a,b) sıralı çiftlerinin kümesidir. Burada a ∈ A ve b ∈ B .

Örnek: A = {a,b} B = {1,2,3} A × B = {(a,1),(a,2),(a,3), (b,1),(b,2),(b,3)} Tanım: A × B kartezyen çarpımının bir alt kümesi olan

R A kümesinden B kümesine bir ilişki olarak tanımlanır.

René Descartes (1596-1650)

22

Kartezyen Çarpım Tanım: A1,A2,……,An kümelerinin kartezyen çarpımı

A1 × A2 × …… × An şeklinde gösterilir ve sıralı (a1,a2,……,an) n-demetlerin bir kümesidir. Burada ai nesnesi i = 1, … n için Ai kümesinin bir elemanıdır

Örnek: A × B × C kartezyen çarpımını bulunuz. A = {0,1}, B = {1,2} and C = {0,1,2}

Çözüm: A × B × C = {(0,1,0), (0,1,1), (0,1,2),(0,2,0), (0,2,1), (0,2,2),(1,1,0), (1,1,1), (1,1,2), (1,2,0), (1,2,1), (1,1,2)}

23

Doğruluk Kümeleri ve Niceleyiciler P yüklemi ve D alanı için, P’nin doğruluk kümesi D’nin

içinde P(x)’in doğru olduğu x elemanlarının kümesi olarak tanımlanır. P(x)’in doğruluk kümesi şu şekilde gösterilir.

Örnek: D alanı bütün tamsayılarsa ve P(x) “|x| = 1” ise P(x)’in doğruluk kümesi {-1,1} olur.

24

25

Bölüm Özeti Küme İşlemleri

Birleşim

Kesişim

Tümleme

Fark

Küme Büyüklüğü

Küme Eşitlikleri

Eşitliğin İspatı

Üyelik Tabloları

26

Birleşim Tanım: A ve B iki küme olsun. A ve B kümelerinin

birleşimi A ∪ B ile gösterilir.

Örnek: {1,2,3} ∪ {3, 4, 5}?

Çözüm: {1,2,3,4,5}

U

A B

Venn Diagram for A ∪ B

27

Kesişim Tanım: A veB, kümelerinin kesişimi A ∩ B ile

gösterilir

Note if the intersection is empty, then A and B are said to be disjoint.

Örnek: {1,2,3} ∩ {3,4,5} ?

Çözüm: {3}

Örnek:

{1,2,3} ∩ {4,5,6} ?

Çözüm : ∅

U

A B

Venn Diagram for A ∩B

28

Tümleyen Tanım: A bir küme ise, A kümesinin tümleyeni (U’ya

göre), Ā ile gösterilir ve U – A’ya eşittir.

Ā = {x ∈ U | x ∉ A}

Örnek: Eğer U 100’den küçük pozitif tam sayılar ise,

{x | x > 70} kümesinin tümleyeni nedir?

Çözüm: {x | x ≤ 70}

A

U

Venn Diagram for Complement

Ā

29

Fark Tanım: A ve B iki küme olsun. A’nın B’den farkı, A – B

şeklinde gösterilir; ve A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesi olarak tanımlanır.

A – B = {x | x ∈ A x ∉ B} = A ∩B

U A

B

Venn Diagram for A − B

30

Birleşim Kümesinin Büyüklüğü • |A ∪ B| = |A| + | B| - |A ∩ B|

U

A B

Venn Diagram for A, B, A ∩ B, A ∪ B

31

Sorular Örnek: U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} A = {1,2,3,4,5}, B ={4,5,6,7,8}

1. A ∪ B

Çözüm: {1,2,3,4,5,6,7,8}

2. A ∩ B

Çözüm : {4,5}

3. Ā

Çözüm : {0,6,7,8,9,10}

4.

Çözüm : {0,1,2,3,9,10}

5. A – B

Çözüm : {1,2,3}

6. B – A

Çözüm : {6,7,8}

32

Simetrik Fark Tanım:

Örnek:

U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

A = {1,2,3,4,5} B ={4,5,6,7,8}

Çözüm: {1,2,3,6,7,8}

U

A B

Venn Diagram

33

Küme Eşitlikleri Identity laws

Domination laws

Idempotent laws

Complementation law

Continued on next slide 34

Küme Eşitlikleri Commutative laws

Associative laws

Distributive laws

Continued on next slide 35

Küme Eşitlikleri De Morgan’s laws

Absorption laws

Complement laws

36

Küme Eşitliklerini İspatlamak Farklı yollar var:

1. Eşitliğin her iki tarafının, diğer tarafın alt kümesi olduğunu göster.

2. Küme kurma gösterimini ve önermeler mantığını kullan.

3. Üyelik Tabloları

37

İkinci De Morgan Kuralının İspatı Örnek: eşitliğini ispatlayın

Çözüm: Birbirlerinin alt kümeleri olduğunu göster:

1) ve

2)

Continued on next slide 38

İkinci De Morgan Kuralının İspatı 1. AŞAMA:

Continued on next slide 39

İkinci De Morgan Kuralının İspatı 2. AŞAMA:

40

Küme Kurma Gösterimi İle İkinci De Morgan Kuralının İspatı

41

Üyelik Tablosu

A B C

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1 1 1

1 0 1 0 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1 1

0 1 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0

Örnek:

Çözüm:

Dağıtım kuralının doğru olduğunu göstermek için üyeli tablosu oluşturun.

42

Genelleştirilmiş Birleşim ve Kesişim A1, A2 ,…, An indekslenmiş bir küme grubu olsun.

43

44

Bölüm Özeti Bir Fonksiyonun Tanımı

Tanım kümesi, Değer kümesi

Görüntü, Ön görüntü

birebir, örten, birebir örten

Ters fonksiyon

Fonksiyonların bileşimi

Fonksiyonların gösterimi

Taban, Tavan, Faktöriyel

45

Fonksiyonlar Tanım: A ve B boş olmayan kümeler. A’dan B’ye bir f

fonksiyonu f: A → B ile gösterilir ve A’nın her bir

elemanını B’nin sadece bir elemanı ile eşleştirir.

f(a) = b

Fonksiyonlara

haritalama veya

dönüşüm de denir.

A

B

C

Students Grades

D

F Kathy Scott

Sandeep Patel

Carlota Rodriguez

Jalen Williams

46

Fonksiyonlar f: A → B fonksiyonu A×B çarpımının bir alt kümesi

olarak da tanımlanabilir. Bu alt kümedeki hiçbir sıralı ikilinin ilk elemanı aynı olamaz.

47

Fonksiyonlar f: A → B için: f A’yı B’ye haritalar denir

A f’nin tanım kümesidir. B f ’nin değer kümesidir. Eğer f(a) = b ise

b a’nın f altındaki görüntüsüdür. a b’nin ön görüntüsüdür.

İki fonksiyon, tanım ve değer kümeleri aynı ise ve aynı zamanda tanım kümesindeki her bir elemanı değer kümesindeki aynı elemanla eşleştiriyorsa aynıdır.

48

Fonksiyonların Gösterimi Farklı gösterimler var:

Eşleştirme durumlarının açıkça gösterilmesi.

Öğrenciler ve notlar gibi.

Bir formül ile.

f(x) = x + 1

Bir bilgisayar programı ile

49

Sorular f(a) = ? A B

a

b

c

d

x

y

z

z

d’nin görüntüsü? z

Tanım kümesi? A

Değer kümesi? B

y’nin ön görüntüsü? b

{a,c,d} z’nin ön görüntüleri? 50

Sorular Eğer ise ve S, A’nın bir alt kümesi ise

A B a

b

c

d

x

y

z

f {c,d} is ?

{y,z} f {a,b,c,} is ?

{z}

51

Birebir (Injections) Tanım: Ancak ve ancak f(a) = f(b) eşitliği bütün a ve b

elemanları için a = b eşitliğini gerektiriyorsa f fonksiyonu birebirdir.

v

w

A B a

b

c

d

x

y

z

52

Örten (Surjections) Tanım: Ancak ve ancak bütün elemanları için

yapan en az bir varsa f fonksiyonu örtendir.

A B a

b

c

d

x

y

z

53

Birebir Örten (Bijections) Tanım: Bir fonksiyon aynı anda birebir ve örten

özellikleri gösteriyorsa.

A B a

b

c

d

x

y

z

w 54

Ters Fonksiyonlar Tanım: f A’dan B’ye birebir ve örten bir fonksiyon

olsun. f’nin tersi ile gösterilir ve B’den A’ya tanımlı bir fonksiyondur.

Birebir ve örtenlik yoksa neden fonksiyonun tersi olamaz?

55

Ters Fonksiyonlar A B

a

b

c

d

V

W

X

Y

f A B

a

b

c

d

V

W

X

Y

56

Sorular Örnek: f {a,b,c} kümesinden {1,2,3} kümesine bir

fonksiyon olsun. f(a) = 2, f(b) = 3, and f(c) = 1 ise f fonksiyonunun tersi alınabilir mi?

57

Sorular Örnek: f: Z Z ve f(x) = x + 1 ise f fonksiyonunun

tersi alınabilir mi? Alınabilirse neden? Tersi nedir?

Çözüm: Evet. Birebir örten olduğu için. Tersif-1 (y) = y – 1.

58

Sorular Örnek: f: R → R

Çözüm: Tersi yoktur. Birebir değil.

59

Bileşim Tanım: f: B → C, g: A → B.

Bileşke fonksiyon : A → C

60

Bileşim

A C a

b

c

d

i

j

h

A B C a

b

c

d

V

W

X

Y

g

h

j

i

f

61

Bileşim Örnek1: ve ,

ise

ve

62

Bileşke Fonksiyonlarla İlgili Sorular Örnek 2: g, {a,b,c} kümesinden kendine bir

fonksiyon olsun. Yani, g(a) = b, g(b) = c, and g(c) = a. f, {a,b,c} kümesinden {1,2,3} kümesine bir fonksiyon olsun. Yani, f(a) = 3, f(b) = 2, and f(c) = 1.

f ve g bileşke fonksiyonu ile g ve f bileşke fonksiyonu nedir?

Çözüm: The composition f∘g is defined by f∘g (a)= f(g(a)) = f(b) = 2.

f∘g (b)= f(g(b)) = f(c) = 1.

f∘g (c)= f(g(c)) = f(a) = 3.

g∘f tanımlanabilir mi?

63

Fonksiyonların Grafiksel Gösterimi f A kümesinden B kümesine bir fonksiyon olsun. F

fonksiyonunun «grafı» sıralı çiftlerin bir kümesidir. {(a,b) | a ∈A and f(a) = b}.

Z’den Z’ye tanımlı f(n) = 2n + 1 ‘in grafiği

Z’den Z’ye tanımlı f(x) = x2 fonksiyonunun grafiği

64

Bazı Önemli Fonksiyonlar Taban fonksiyonu

x’e eşit veya x’den küçük en büyük tam sayı.

Tavan fonksiyonu

x’e eşit veya x’den büyük en küçük tam sayı.

Örnek:

65

Taban ve Tavan Fonksiyonları

Taban (a) ve Tavan (b) fonksiyonların grafikleri

66

Faktöriyel Fonksiyon Tanım: f: N → Z+ , f(n) = n! İlk n pozitif tamsayının

çarpımı.

f(n) = 1 ∙ 2 ∙∙∙ (n – 1) ∙ n, f(0) = 0! = 1

Örnekler:

f(1) = 1! = 1

f(2) = 2! = 1 ∙ 2 = 2

f(6) = 6! = 1 ∙ 2 ∙ 3∙ 4∙ 5 ∙ 6 = 720

f(20) = 2,432,902,008,176,640,000.

Stirling’s Formula:

67

68

Bölüm Özeti Seriler

Örnekler: Geometrik İlerleme, Aritmetik İlerleme

Özyineli İlişkiler

Örnek: Fibonacci Dizisi

Toplamlar

69

Giriş Seriler, elemanların sıralı listeleridir

1, 2, 3, 5, 8

1, 3, 9, 27, 81, …….

Seriler botanikten müziğe, bilgisayar bilimine kadar birçok yerde karşımıza çıkar.

Serilerin gösterimi için temel terminoloji ve serideki elemanların toplamı ile ilgili konular üzerinde duracağız.

70

Seriler Tanım: Bir Seri, tam sayıların bir alt kümesinden

(genellikle {0, 1, 2, 3, 4, …..} ya da {1, 2, 3, 4, ….} gibi) bir S kümesine tanımlanan bir fonksiyondur.

an terimi, n sayısının görüntüsü için kullanılır. an ‘I f(n) fonksiyonunun sonucu gibi düşünebiliriz. Burada f {0,1,2,…..} kümesinden S kümesine bir fonksiyondur. an ‘e serinin bir elemanı denir.

71

Seriler Örnek: serisini göz önünde bulunduralım.

72

Geometrik İlerleme Tanım: Bir geometrik ilerleme,

şeklindeki bir seridir. Başlangıç terimi olan a ve ortak oran r reel sayılardır.

Örnekler: 1. a = 1 ve r = −1. ise:

2. a = 2 ve r = 5. ise:

3. a = 6 ve r = 1/3. ise:

73

Aritmetik İlerleme Tanım : Bir aritmetik ilerleme

şeklindeki bir seridir.

Başlangıç terimi olan a ve ortak fark d reel sayılardır. Örnek:

1. a = −1 ve d = 4:

2. a = 7 ve d = −3:

3. a = 1 ve d = 2:

74

Strings (Dizi, Katar) Tanım: Bir string sonlu bir kümedeki (bir alfabe)

sonlu karakterlerin serisidir.

Karakter serileri veya bit serileri bilgisayar bilimi için önemlidir.

Boş string λ ile gösterilir.

abcde stringinin uzunluğu 5’tir.

75

Özyineli İlişkiler Tanım: {an} serisi için bir özyineli ilişki, an terimini

seride kendinden önce gelen bir ya daha fazla terimle gösteren bir eşitliktir. Yani, a0, a1, …, an-1, bütün n tamsayıları için; n ≥ n0, ve n0 pozitif bir tamsayı.

Eğer bir serinin elemanları bir özyineli ilişkiyi sağlıyorsa, bu seriye özyineli ilişkinin çözümü denir.

Bir seri için başlangıç koşulları, ilk elemandan önce gelen ve özyineli ilişkiyi başlatan terimlerdir.

76

Özyineli İlişkilerle İlgili Sorular Örnek 1: {an} , an = an-1 + 3 for n = 1,2,3,4,…. Özyineli

ilişkisini sağlayan bir seri olsun ve a0 = 2 olsun. a1 , a2 ve a3 nedir?

[Burada a0 = 2 başlangıç koşuludur.]

Çözüm: Özyineli ilişkinin şöyle olduğunu görürüz:

a1 = a0 + 3 = 2 + 3 = 5

a2 = 5 + 3 = 8

a3 = 8 + 3 = 11

77

Özyineli İlişkilerle İlgili Sorular Örnek 2: {an} , an = an-1 – an-2 özyineli ilişkisini sağlayan

bir seri olsun. Burada n = 2,3,4,…. ve a0 = 3 ve a1 = 5.

a2 ve a3 nedir?

[Burada başlangıç koşulları a0 = 3 ve a1 = 5. ]

Çözüm: Özyineli ilişkinin şöyle olduğunu görürüz:

a2 = a1 - a0 = 5 – 3 = 2

a3 = a2 – a1 = 2 – 5 = –3

78

Fibonacci Serisi Tanım: Fibonacci serisi, f0 ,f1 ,f2,…, :

Başlangıç koşulları: f0 = 0, f1 = 1 Özyineli ilişki: fn = fn-1 + fn-2

Örnek: f2 ,f3 ,f4 , f5 ve f6 elemanlarını bulunuz . Cevap: f2 = f1 + f0 = 1 + 0 = 1, f3 = f2 + f1 = 1 + 1 = 2, f4 = f3 + f2 = 2 + 1 = 3, f5 = f4 + f3 = 3 + 2 = 5, f6 = f5 + f4 = 5 + 3 = 8.

79

Özyineli İlişkileri Çözmek Bir özyineli ilişki tarafından oluşturulmuş olan bir

serinin n. elemanını bulmak, özyineli ilişkiyi çözmek olarak adlandırılır.

Böyle bir formüle kapalı formül denir.

Bölüm 8’de özyineli ilişkilerle ilgili kapsamlı bilgi bulunmakta.

Burada, iterasyon yöntemi ile düzen çıkarmaya çalışacağız.

80

İteratif Çözüm Örneği Yöntem 1: Yukarıya doğru çalışma, ileriyi doğru yerine

koyma. {an} , an = an-1 + 3 for n = 2,3,4,…. İlişkisini sağlayan bir seri

olsun ve a1 = 2 olsun. a2 = 2 + 3 a3 = (2 + 3) + 3 = 2 + 3 ∙ 2 a4 = (2 + 2 ∙ 3) + 3 = 2 + 3 ∙ 3 . . .

an = an-1 + 3 = (2 + 3 ∙ (n – 2)) + 3 = 2 + 3(n – 1)

81

İteratif Çözüm Örneği Yöntem 2: Aşağıya doğru çalışma, geriye doğru yerine

koyma. {an} , an = an-1 + 3 for n = 2,3,4,…. İlişkisini sağlayan bir

seri olsun ve a1 = 2 olsun. an = an-1 + 3 = (an-2 + 3) + 3 = an-2 + 3 ∙ 2

= (an-3 + 3 )+ 3 ∙ 2 = an-3 + 3 ∙ 3 . . . = a2 + 3(n – 2) = (a1 + 3) + 3(n – 2) = 2 + 3(n – 1)

82

Finansal bir uygulama Örnek: Bir kişi bir bankaya yıllık %11 bileşik faiz ile

$10,000 yatırıyor. 30 yıl sonunda ne kadar parası olur?

Pn 30 yıl sonraki para olsun. Pn aşağıdaki özyineli ilişkiyi sağlar:

Pn = Pn-1 + 0.11Pn-1 = (1.11) Pn-1

başlangıç koşulu P0 = 10,000

Devam 83

Finansal bir uygulama Pn = Pn-1 + 0.11Pn-1 = (1.11) Pn-1

başlangıç koşulu P0 = 10,000

Çözüm: İleriye doğru yerine koyma

P1 = (1.11)P0

P2 = (1.11)P1 = (1.11)2P0

P3 = (1.11)P2 = (1.11)3P0

:

Pn = (1.11)Pn-1 = (1.11)nP0 = (1.11)n 10,000

Pn = (1.11)n 10,000 (Tümevarım ile ispat edilebilir. Bölüm 5)

P30 = (1.11)30 10,000 = $228,992.97

84

Faydalı Seriler

85

Toplamlar

serisindeki terimlerinin toplamı Gösterim:

şunu ifade eder:

j değişkeni, toplamın indeksi olarak isimlendirilir. Alt sınır

olan m’den başlar ve n’ye kadar ilerler.

86

Toplamlar Daha genel olarak bir S kümesi için:

Örnek:

87

Geometrik Serileri Bir geometrik ilerlemedeki terimler toplamı

İspat: Let Sn ‘i hesaplamak için ilk olarak eşitliğin her iki tarafını r ile çarpın ve daha sonra çıkan toplam sonucunu şu şekilde yazın

Devam

88

Geometrik Serileri

Toplamın indeksini bir kaydır. k = j + 1.

k = n + 1 . Terimi çıkar ve k = 0 terimini ekle.

Toplam formülünü elde etmek için S’yi yerine koy.

∴

eğer r ≠1

eğer r = 1

Önceki slayttaki ifade

89

Bazı Faydalı Toplam Formülleri

90

91

Bölüm Özeti Büyüklük (Nicelik/Eleman Sayısı)

Sayılabilir Kümeler

92

Büyüklük Tanım: A kümesinin büyüklüğü B kümesinin

büyüklüğü ile aynı ise bu şu şekilde gösterilir:

|A| = |B|,

Ancak ve ancak A’dan B’ye birebir-örten ilişki varsa bu durum doğrudur.

Eğer A’dan B’ye birebir ilişki varsa A’nın eleman sayısı B’nin eleman sayısından küçüktür ya da ona eşittir. |A| ≤ |B|.

|A| ≤ |B| durumunda, A ve B kümeleri farkı büyüklüklere sahipse, |A| < |B| durumu oluşur.

93

Kolaylıkla görülebilecek bazı durumlar:

1. S kümesi S kümesinin alt kümesi ise ve sonsuzsa S kümesi de sonsuzdur.

2. Sonlu bir kümenin bütün al kümeleri sonludur.

3. Eğer f : S T birebirse ve S sonsuzsa, bundan dolayı T de sonsuzdur.

4. Eğer S sonsuz bir küme ise P(S) de sonsuzdur.

5. Eğer S ve T sonsuz kümelerse, S T sonsuzdur.

6. Eğer S sonsuzsa ve T , ise S T sonsuzdur.

7. Eğer S sonsuzsa ve T , ise T’den S’ye tanımlanabilecek fonksiyonların kümesi de sonsuzdur.

94

95

Bölüm Özeti Bir matrisin tanımı

Matris Aritmetiği

Transpoz ve Aritmetik Üs

Sıfır-Bir Matrisleri

96

Matrisler Matrisler kullanışlı ayrık yapılardır. Örneğin, şunlar

için kullanılabilirler:

Lineer dönüşümlerin tanımlanması.

Graf düğümlerinin tanımlanması

Matrisleri şunlar için kullanacağız:

Ulaştırma sistemleri

Haberleşme ağları

Bu bölümde matrislerin temellerini göreceğiz.

97

Matris Tanım: Bir matris, sayılardan oluşan dikdörtgen bir

dizidir. m tane satır ve n tane sütundan oluşan bir matris mxn matris olarak anılır. Satır ve sütun sayıları eşitse kare matris adını alır.

Aynı satı ve sütun sayılarına sahip olup, ilgili hücreleri eşit olan matrisler birbirlerine eşittir.

3 2 matrix

98

Gösterim m ve n pozitif tamsayılar olsun.

A matrisinin i. Satırı 1xn bir matrisdir. [ai1, ai2,…,ain].

j. sütunu mx1 bir matrisdir:

Bir matrisi şu şekilde gösterebiliriz: A = [aij ]

99

Matris Aritmetiği: Toplama Tanım: A = [aij] ve B = [bij] olsun

A + B = [aij + bij] olur

Örnek:

100

Matris Çarpımı Tanım: A mxk matris ve B kxn matris olsun. Çarpımları:

AB = [cij] then cij = ai1b1j + ai2b2j + … + akjb2j. olur

Örnek:

İlk matrisin sütun sayısı ikinci matrisin satır sayısına eşit değilse matris çarpımı tanımsızdır.

101

Matris Çarpımının Gösterimi A = [aij] ve B = [bij] matrislerinin çarpımı

102

Matris Çarpımının Değişme Özelliği Yoktur Örnek:

AB = BA?

Çözüm:

AB ≠ BA

103

Birim Matris ve Matrislerin Kuvveti Tanım: n boyutlu bir birim matris mxn bir matristir

In = [ij], burada ij = 1 eğer i = j ve ij = 0 eğer i≠j.

AIn = ImA = A

A mxnbir matris

Kare matrislerin kuvvetleri tanımlanabilir. A n n bir matris olsun:

A0 = In Ar = AAA∙∙∙A

r defa 104

Matrislerin Transpozu Tanım: A = [aij] mxn bir matris olsun. A’nın

transpozu, At ile gösterilir, nxm bir matristir ve A matrisinin sütun ve satırlarının yer değiştirmesi ile elde edilir.

Eğer At = [bij], ise bij = aji bütün i =1,2,…,n için ve j = 1,2, ...,m. için

105

Matrislerin Transpozu Tanım: A bir kare matris olsun. Eğer A = At ise A

matrisine simetrik matris denir.

Yani A = [aij] simetriktir, eğer aij = aji ise, i ve j

1≤ i≤ n and 1≤ j≤ n.

106

Sıfır-Bir Matrisler Tanım: Bütün elemanları sıfır ve birlerden oluşan

matrislerdir.

Sıfır ve birler mantıksal değerler oldukları için bu tip matrisler üzerinde mantıksal işlemler yapılabilir.

107

Sıfır-Bir Matrisler Tanım: A = [aij] ve B = [bij] m n sıfır-bir matrisler

olsun.

A ve B matrislerin join işlemi aij ∨ bij olarak tanımlanır ve A ∨ B şeklinde gösterilir.

A ve B matrislerin meet işlemi aij ∧ bij olarak tanımlanır ve A ∧ B şeklinde gösterilir.

108

Sıfır-Bir Matrisler Üzerinde join ve meet işlemleri Örnek: Aşağıdaki matrislerin join ve meet sonuçlarını

bulunuz.

Çözüm: A ve B join işlemi

A ve B meet işlemi

109

Sıfır-Bir Matrislerin İkili Çarpımı Tanım: A = [aij] mxk sıfır-bir matris ve B = [bij] kxn

sıfır-bir matris olsun. A ve B matrislerinin ikili çarpımı, A ⊙ B ile gösterilir; (i,j). elemanı aşağıdaki şekilde hesaplanan mxn sıfır-bir matristir.

cij = (ai1 ∧ b1j)∨ (ai2 ∧ b2j) ∨ … ∨ (aik ∧ bkj).

Örnek: A ve B matrislerinin ikili çarpımını bulunuz

110

Sıfır-Bir Matrislerin İkili Çarpımı Çözüm:

111

Sıfır-Bir Matrislerin İkili Çarpımı Tanım: A sıfır-bir kare matris olsun. r pozitif bir

tamsayı. A matrisinin r. İkili çarpımı A[r] şeklinde gösterilir.

112

Sıfır-Bir Matrislerin İkili Kuvvetleri Örnek:

An bütün pozitif n tamsayıları için hesaplayınız.

Çözüm:

113