@. PENDAHULUAN

Metoda Elemen Hingga adalah suatu prosedur numerik untuk pemecahan

permasalahan phisik yang diatur oleh suatu persamaan diiferensial atau suatu dalil

energi. Terdapat dua karakteristik yang membedakannya dari prosedur numerik

lainnya :

a. Metode menggunakan suatu perumusan integral untuk menghasilkan suatu

sistem persamaan secara aljabar.

b. Metoda menggunakan fungsi mulus piecewise kontinu untuk memperkirakan

jumlah atau kuantitas tak dikenal.

@. Persamaan Eliptik

Pemecah elliptik memberikan persamaan jenis lain untuk kurang lebih

dengan mudah diterapkan. Di bawah ini, kita menunjukkan bagaimana persamaan

parabolik dapat direduksi ke persamaan pemecahan elliptik. Ini dilaksanakan oleh

toolbox fungsi parabolic.

Pertimbangkan persamaan

Dengan syarat awal

dan syarat batas sama halnya untuk persamaan elliptik pada

Mencari solusi numerik persamaan parabolik dengan menggunakan Metode

Elemen Hingga dan PDE Tools Matlab.

@. Persamaan Parabolik

Pertimbangkan persamaan

Dengan syarat awal

1

dan syarat batas sama halnya untuk persamaan elliptik pada

Persamaan panas

dalam kehadiran kehilangan panas didistribusikan ke lingkungan. adalah

kepadatan, kapasitas termal C, daya konduksi termal k, koefisien selaput h,

temperature ambient , dan sumber panas f.

Karena koefisien independent-waktu, solusi posisi mantap dari persamaan

itu adalah solusi terhadap persamaan elliptik standar kita

Mengasumsikan suatu mata jala bersegi tiga terpasang dan pada setiap

waktu , memperluas solusi terhadap PDE (sebagai fungsi x) dalam basis

Metode Elemen Hingga.

Isi perluasan ke dalam PDE, mengalikan dengan suatu fungsi test ,

mengintegrasikan atas , dan menerapkan rumusan Green dan syarat batas

menghasilkan:

2

Dalam notasi matriks, kita harus memecahkan system ODE tipis, besar dan linear

Metoda ini secara tradisional disebut metoda bentuk semidiscretisasi.

Pemecahan ODE dengan nilai awal

menghasilkan solusi kepada PDE pada masing-masing node dan waktu t.

Bahwa K dan F adalah matriks kekakuan dan sisi tangan kanan masalah elliptic.

dengan syarat batas original sedang M adalah hanya matriks massa dari masalah

Ketika kondisi-kondisi Dirichlet adalah bergantung waktu, F berisi kontribusi

dari derivative waktu dan r. Derivative ini dievaluasi oleh beda hingga data

yang ditetapkan-pemakai

Sistem ODE adalah kasus dikondisikan. Integrator waktu eksplisit dipaksa

oleh kebutuhan stabilitas ke langkah-langkah waktu sangat pendek sedang

pemecah implisit dapat mahal karena mereka memecahkan suatu masalah elliptik

pada setiap kali melangkah. Integrasi numerik sistem ODE dilakukan oleh fungsi

deretan MATLAB ODE, yang mana adalah efisien untuk permasalahan kelas ini.

Time-Step dikendalikan untuk mencukupi suatu toleransi atas error, dan

faktorisasi matriks koefisien dilakukan hanya ketika perlu. Saat koefisien adalah

bergantung waktu, keperluan perihal menfaktorisasi dan mengevaluasi matriks

masing-masing time-step boleh masih membuat mengkonsumsi waktu solusi,

walaupun parabolik mengevaluasi dengan pengecualian dengan waktu yang

bervariasi. Dalam kasus tertentu suatu matriks (t) Dirichlet Time-Dependent

boleh menyebabkan kendali kesalahan untuk gagal, sekalipun masalah itu nampak

secara mathematik dan solusi u(t) adalah halus. Ini dapat terjadi karena integrator

3

ODE melihat hanya pada solusi direduksi v dengan u = Bv + ud. Saat berubah,

skema pivoting dipekerjakan untuk stabilitas numeric boleh mengubah order

eliminasi dari satu langkah ke yang berikutnya. Berarti bahwa B,v dan ud semua

perubahan secara discontinu, walaupun u sendiri tidak.

@. Penyelesaian dengan PDE TOOL

Mulailah dengan pdetool GUI dan pilih mode aplikasi Heat Transfer.

Pada mode draw, atur sumbu x- dan sumbu y- terbatas pada dan

pilih pilihan Axis Equal dari menu Options. Daerah persegi memiliki

sudut-sudut (0,0), (3,0), (3,3), dan (0,3). Daerah yang berbentuk berlian

memiliki sudut (1.5,0.5), (2.5,1.5), dan (0.5,1.5).

Temperature dijaga pada titik 0 pada semua batas luar, jadi kita tidak harus

mengubah syarat batas yang telah ditetapkan. Bergeraklah untuk

mendefinisikan parameter-parameter PDE (pastikan bahwa mode aplikasi

Heat Transfer dipilih) pada mode PDE dengan mengklik dua kali pada

masing-masing dari dua daerah dan masukkan parameter PDEnya. Kita ingin

menyelesaikan persamaan panas parabolic, pastikan bahwa pilihan Parabolic

terpilih. Pada daerah persegi, masukkan kepadatan 2, kapasitas panas 0.1,

koefisien konduksi panas 10. Tidak ada sumber panas, sehingga atur ia sama

dengan 0. Pada daerah berbentuk berlian, masukkan kepadatan 1, kapasitas

panas 0.1, koefisien konduksi panas 2. Masukkan 4 pada field edit untuk

sumber panasnya. Istilah perpindahan panas transversal h . (Text - T) tidak

digunakan, sehingga atur h, koefisien perpindahan panas konvektif, menjadi 0.

Karena kita sedang menyelesaikan PDE dinamik, kita harus

mendefinisikan nilai awal, dan waktu dimana kita ingin menyelesaikan PDE.

Buka kotak dialog Solve Parameters dengan memilih parameter-parameter…

dari menu Solve. Dinamisasi dari masalah ini sangat cepat-temperaturnya

mencapai keadaan setimbang kira-kira di unit waktu 0.1. Untuk menangkap

bagian menarik dari dinamisasi, masukkan logspace(-2,-1,10) sebagai vector

waktu yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan panas. Logspace (-2,-

4

1,10) memberikan bilangan logaritma basis 10 antara 0.01 dan 0.1. Atur nilai

awal dari temperature adalah 0. Jika syarat batas dan nilai awal berbeda,

rumusan masalah mengandung diskontinuitas.

Selesaikan PDE. Pada dasarnya, distribusi temperature pada waktu yang

lalu terplot. Cara yang paling baik untuk memvisualisaikan tindakan dinamik

pada temperature adalah menganimasi solusinya. Ketika penganimasian,

aktifkan pilihan Height (plot 3-D) untuk animasi suatu plot 3-D. juga, pilih

pilihan Plot in x-y grid. Penggunaan grid persegipanjang sebagai pengganti

grid segitiga mempercepat proses animasi secara signifikan.

Visualisasi menarik lainnya dibuat dengan memplot garis isothermal

dengan menggunakan plot contour, dan dengan memplot vector perubahan

panas yang terus menerus dengan panah.

@. Penyelesaian dengan Command LINE

% program heat transfer % inisialisasi mesh[p,e,t]=initmesh('crackg');figure(1);pdeplot(p,e,t); % refine mesh[p,e,t]=refinemesh('crackg',p,e,t);

5

figure(2);pdeplot(p,e,t); % hitungtlist=0:0.1:10;u=parabolic(0,tlist,'crackb',p,e,t,1,0,0,1); % plot hasilnewplot;n=max(size(tlist)); % n = frameM=moviein(n)for i=1:n,pdeplot(p,e,t,'xydata',u(:,i),'mesh','off','colormap','jet',... 'contour','on','levels',20);M(:,i)=getframe;end movie(M,10)

Persamaan panas : Balok Logam Terpanaskan

Masalah parabolik yang umum adalah persamaan panas :

Kasus ini meneliti tentang suatu balok logam tang dipanaskan dengan sebuah

lubang dan ce lah berbentuk persegi panjang. Sisi kiri dari balok dipanaskan

hingga 1000. Pada sisi kanan balok logam, panasnya mengalir dari balok sampai

udara disekitarnya pada level konstan. Batas-batas balok lainnya terisolasi. Hal ini

menuntun kita kepaa himpunan syarat batas (ketika penskalaan t yang seharusnya

dipilih)

u = 100 pada ruas kiri (syarat Dirichlet)

= -10 pada ruas kanan (syarat Neumann)

= 0 pada batas-batas lainnya (syarat Neumann)

6

Untuk persamaan panas dibutuhkan suatu nilai awal, yaitu temperature

balok logam pada waktu awal t0. Pada kasus ini, temperature balok adalah 00 pada

waktu kita memulai pemakaian panas.

Akhirnya, untuk melengkapi rumusan masalah, kita khususkan bahwa waktu

awal samadengan 0 dan bahwa kita ingin meneliti distribusi panas selama 5 detik

pertama.

@. Menggunakan Interface Grafis

Pertama, jalankan pdetool GUI dan pilihlah mode Generic Scalar, menggambar

model CSG dapat diselesaikan dengan sangat cepat. Gambar persegi (R1)

dengan sudut pada x = [-0.5 0.5 0.5 -0.5] dan y = [-0.8 -0.8 0.8 0.8]. gambar

persegi yag lain (R2) untuk mewakilkan lubang persegipanjang. Sudut-sudutnya

seharusnya memiliki koordinat x = [-0.05 0.05 0.05 -0.05] dan y = [-0.4 -0.4 0.4

0.4]. Untuk membantu dalam menggambar lebar sempitnya persegi yang

mewakili lubang, buka kotak dialog Grid Spacing dari Options dan masukkan x-

axis extra ticks pada -0.05 dan 0.05. Kemudian aktifkan grid dan “snap-to-grid”.

Lubang persegi panjang dengan dimensi yang benar lebih mudah untuk digambar.

7

Model CSG balok logam sekarang dinyatakan secara sederhana sebagai

himpunan rumus R1-R2. Tinggalkan mode Draw dan masuk pada mode

Boundary dengan menekan tombol dan lanjutkan dengan memilih batas-batas

dan mengkhususkan syarat batas. Gunakan pilihan Select All dari menu Edit dan

kemudian mendefinisikan syarat Neumann = 0 untuk semua batas pertama

adalah ide yang bagus karena hal itu hanya menyisakan batas yang paling kiri dan

yang paling kanan untuk didefinisikan sendiri. Langkah selanjutnya adalah

membuka kotak dialog PDE Specification dan masukkan koefisien PDE.

PDE generic parabolic yang PDE Toolbox selesaikan adalah :

,

Dengan nilai awal u0 = u(t0) dan waktu untuk menghitung solusi khusus dalam

bentuk tersusun daftar t.

Untuk kasus ini, kita memiliki d = 1, c = 1, a = 0, dan f = 0.

Inisialisasi mesh dengan menekan tombol . Jika ingin, kita dapat

mencari kembali mesh dengan menekan tombol Refine.

Nilai awal u0 = 0, dan daftar waktu dimasukkan sebagai MATLAB array

[0;0.5;5]. Mereka dimasukkan ke dalam kotak dialog Solve Parameters, yang

diakses dengan memilih Parameters… dari menu Solve.

Sekarang masalahnya dapat diselesaikan. Menekan tombol = menyelesaikan

persamaan panas pada 11 waktu yang berbeda dari 0 hingga 5 detik.

Cara yang lebih menarik untuk menvisualisasikan dinamika proses distribusi

panas adalah dengan menganimasi solusinya. Untuk memulai animasinya, berikan

8

tanda pada kotak tanda Animation pada kotak dialog Plot selection. Selain itu,

pilih colormap hot. Tekan tombol Plot untuk memulai perekaman plot-plot solusi

pada jendela pemisahan figure. Animasi yang terekam kemudian dimainkan lima

kali.

Cobalah untuk mengubah koefisien kapasitas panas d dan aliran panas pada

batas paling kanan untuk melihat bagaimana merekamempengaruhi distribusi

panas.

@. Menggunakan Fungsi Command-Line

Pertama, kita harus membuat syarat geometri dan batas file-M. Geometri balok

logam digambarkan dalam crackg.m dan syarat batas dapat ditemukan dalam

crackb.m.

Untuk membuat suatu initial mesh, panggil initmesh:

>> [p,e,t] = initmesh (‘crackg’);

9

Untuk menghitung solusinya, panggil parabolic:

» u=parabolic(0,0:0.5:5,'crackb',p,e,t,1,0,0,1);

Solusi u ditampilkan dalam bentuk matriks dengan 11 kolom, yang mana

setiap kolom berkoresponden dengan solusi pada 11 titik pada waktu 0,0.5,

…,4,5,50. Plot solusi pada t = 5.0 detik dengan menggunakan pembuat bayangan

terinterpolasi dan mesh tersembunyi. Gunakan hot colormap :

» pdeplot(p,e,t,'xydata',u(:,11),'mesh','off',...'colormap','hot')

Distribusi Panas pada Balok Radiaktif

Masalah distribusi panas ini adalah suatu contoh dari masalah persamaan

differensial parsial parabolic 3-D yang tereduksi menjadi masalah 2-D dengan

menggunakan koordinat silinder.

Misalkan sebuah balok radioaktif silinder. Pada ujung kiri, panas bertambah

secara kontinu. Ujung kanan tersimpan pada temperature yang konstan. Pada

batas yang lebih luar, panas berubah dengan sekitarnya dengan transfer. Pada

waktu yang sama, panas diproduksi secara seragam dalam lubang balok selama

proses radioaktif. Asumsikan bahwa temperature awal adalah nol. Hal ini berarti

masalah di bawah ini:

adalah kepadatannya, C adalah kapasitas panas balok, k adalah

konuktivitas panas, dan f adalah sumber panas radioaktif.

Kepadatan untuk balok logam ini adalah 7800 kg/m3, kapasitas panasnya

500 Ws/kgoC, dan konduktivitas panasnya 40 W/ moC. Sumber panasnya 20000

W/m3. Temperature pada ujung kanan adalah 100oC. Temperature di sekitarnya

pada batas yang lebih luar adalah 100, dan koefisien pergantian panas 50 W/ m2 oC

. perubahan panas pada ujung kiri adalah 5000 W/ m2.

10

Tapi ini adalah masalah silinder, jadi kita perlu untuk mentransformasi

persamaan, menggunakan koordinat silinder r, z, dan . Karena simetris,

solusinya tidak bergantung pada , sehingga persamaan yang tertransformasi

adalah

t-syarat batasnya adalah :

ñ . = 5000 pada ujung kiri balok (syarat Neumann). Karena syarat

Neumann yang digeneralisasi pada PDE Toolbox adalah ñ . + qu =

g, dan c bergantung pada r pada masalah ini (c=kr), syarat batas ini

dinyatakan sebagai ñ . = 5000r.

u = 100 pada ujung kanan balok (syarat Dirichlet)

ñ . = 50(100-u) pada batas lebih luar (syarat Neumann

tergeneralisasi). Pada PDE toolbox ini pasti dinyatakan sebagai ñ .

+ 50r . u = 50r . 100.

Axis silinder r = 0 bukan sebuah batas dalam masalah original, tapi ia

menjadi batas dalam hambatan 2-D kita. Kita harus memberikan syarat

batas artificial ñ . = 0.

Nilai awalnya adalah u(t0) = 0.

Menggunakan Pemakai Interface Grafis

11

Selesaikan masalah ini dengan pdetool GUI. Modelkan balok sebagai persegi

panjang dengan dasarnya sepanjang sumbu-x, dan misalkan sumbu-x sebagai arah

z dan sumbu-y sebagai arah r. persegi panjang dengan sudut pada (-1.5,0), (1.5,0),

(1.5,0.2), dan (-1.5, 0.2) akan kemudian memodelkan suatu balok dengan panjang

3 dan radius 0.2.

Masukkan syarat batasnya dengan mengklik dua kali pada batas-batas untuk

membuka kotak dialog Boundary Condition. Untuk ujung kiri, gunakan syarat

Neumann dengan 0 untuk q dan 5000*y utuk g. untuk ujung kanan, gunakan

syarat Dirichlet dengan 1 untuk h dan 100 untuk r. utuk batas lainnya. Gunakan

syarat Neumann dengan 50*y untuk q da 50*y untuk g. untuk sumbu-x, gunakan

syarat Neumann dengan 0 untuk q dan g.

Masukkan koefisiennya ke dalam kotak dialog PDE Specificaton : c adalah

40*y, a adalah nol, d adalah 7800*500*y, dan f adalah 20000*y.

Animasi solusinya di atas rentang 20000 detik(hitung solusi setiap 1000 detik).

Kita dapat melihat bagaimana panas mengalir di atas sebelah kanan dan di batas

yang lebih luar sepanjang u < 100, dan keluar ketika u > 100. Kita dapat juga

membuka kotak dialog PDE Specificaton, dan ubah tipe PDE ke Elliptic. Ini

menunjukkan bahwa solusi ketika u tidak bergantung pada waktu, seperti solusi

setimbang. Pengaruh yang sangat besar dari pendinginan pada batas-batas luar

dapat di demonstrasikan dengan mengatur koefisien pergantian panas menjadi nol.

KESIMPULAN

1. Metode Elemen Hingga sangat baik dalam memberikan solusi numerik untuk

persamaan diferensial parsial parabolik.

2. Penggunaan PDE Tools menarik dan memudahkan dalam penentuan solusi

numerik.

12

DAFTAR PUSTAKA

Kreyszig E, 1999, Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Sons Inc.,

New York.

Nakhle H. A, 2005, Partial Differential Equations With Fourier Series and

Boundary Value Problem, Person Prentice Hall, New Jersey.

Smith. I. M, Griffiths. D.V. 1997. Programming the finite element method. Third

edition. John Wiley & Sons.

The MathWorks,Inc, 1995, Partial Differential Equation Toolbox User’s Guide.

13