tgas heri renormalization group
TRANSCRIPT
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
1/83
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
2/83
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
3/83
where J = e/kT and hH/kT. Assume the model has acritical point at T = Tc
corresponding to a critical coupling Jc. Let
The partition function for N spins is
Dimana
being the free energy.
Since the coupling constants J and h are
dimensionless, the unit of length is set by the latticespacing (which does not actually appear in the
Hamiltonian). For example, the correlation function T(i,
j) refers only to site numbers i and j, the "distance"
between sites i and j being defined as the number of
lattice spacings between the sites along a minimal path.
Now divide the lattice into blocks of size bd, and define
the block spin s' = +1 of a given block as some sort ofaverage of the spins contained in the block. For example,
we can use the "majority rule," s' = +1, if the majority of
the spins in the block is +. In case of a tie, we arbitrarily
define s' = s, where st is a particular spin, say the one at
the upper left corner of the block. Denoting by S the sum
of all spins in the block, we have
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
4/83
Dimana J = /Kt dan h = H/Kt dan Asumsikanmodel memiliki titik kritis pada T=Tc sesuai dengan Jc
kopling kritis. Membiarkan
Fungsi partisi untuk berputar N adalah
Dimana
menjadi energi bebas.
Karena konstanta kopling J dan h adalah berdimensi,
satuan panjang adalahditetapkan oleh jarak kisi (yangtidak benar-benar muncul di Hamiltonian).Misalnya,
fungsi korelasi T (i, j) mengacu hanya untuk nomor yang
situs i dan j,"jarak" antara situs i dan j didefinisikan
sebagai jumlah kisi jarak antara lokasi di sepanjang jalan
minimal. Sekarang membagi kisi menjadi blok bd
ukuran, dan mendefinisikan spin blok 's = +1 dari suatu
blok tertentu sebagai semacam rata dari spin yang
terkandung dalam memblokir. Sebagai contoh, kita dapat
menggunakan "kekuasaan mayoritas," 's = +1, jika
mayoritas berputar dalam blok +. Dalam kasus dasi, kita
sewenang-wenang mendefinisikan 's = s , dimana st
adalah spin tertentu, misalnya yang di sudut kiri atas dari
blok. yang menunjukkan dengan S jumlah semua
berputar di blok tersebut, kita harus
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
5/83
After one block-spin transformation, the number of spins
in the system is reduced by a factor b~d:
The new lattice spacing is increased 6-fold, which means
that the unit of length is automatically increased by a
factor b. For example, if the site spins are correlated over
n lattice spacings, the block spins are correlated over n/b
lattice spacings. The process is illustrated in Fig. 18.1.
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
6/83
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
7/83
Fig. 18.1 Block-spin transformation:
averaging the spins in a block, and then
rescaling the lattice to the original size. Inmore than one dimension, the indirect
interaction between B and C gives rise to next-
to-nearest-neighbor interactions of the block
spins.
Kadanoff assumes that sufficiently close to the critical
point one can describe the system by a block-spin
Hamiltonian, which again contains only nearest-neighbor interactions:
The partition function of the block-spin system is thus
Note that the free energy g is the same function
as in (18.3), because by assumption E' is the same
function as E, except for the values of the couplingconstants.
Kadanoff now argues that the block-spin system
is merely another way of describing the original system,
and hence we must have QN. = QN. Using A8.5) one
can write
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
8/83
Gambar. 18,1 Blok-spin transformasi:
rata-rata berputar dalam blok, dan kemudian
rescaling kisi ke ukuran aslinya. Dalam lebih
dari satu dimensi, interaksi langsung antara B
dan C menimbulkan depan-ke-tetangga
terdekat-interaksi dari spin blok.
Kadanoff mengasumsikan bahwa cukup dekat
dengan titik kritis seseorang dapat menggambarkan
sistem dengan blok-spin Hamilton, yang lagi-lagi hanya
berisi terdekat tetangga interaksi:
Fungsi partisi dari sistem blok-spin sehingga
Perhatikan bahwa g energi bebas adalah fungsi
yang sama seperti pada (18.3), karena dengan asumsi E
'adalah fungsi yang sama dengan E, kecuali untuk nilai-
nilai kopling konstanta.
Kadanoff sekarang berpendapat bahwa sistem blok-
spin hanyalah cara lain untuk menggambarkan sistem
yang asli, dan karenanya kita harus memiliki QN. = QN.
Menggunakan (18.5) seseorang dapat menulis
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
9/83
Now assume
Then
which is the homogeneity rule (16.55). We have alreadyseen how it leads to Widom's scaling form. Kadanoffs
ideas have great heuristic value, but do not lead to a
calcula- tional scheme. There are simply too many ad
hoc assumptions, some of them clearly wrong. For
example, block spins generally have more complicated
interac- tions than just nearest neighbor. One can see this
in the two-dimensional case illustrated in Fig. 18.1. The
sites B and C both interact with A. Thus one expects that
the block to which B belongs interacts with the block to
which C belongs, giving rise to next-to-nearest-neighbor
interactions.
18.2 THE ONE-DIMENSIONAL ISING MODEL
A block-spin transformation in one dimension preserves
the nearest-neighbor nature of the interactions, as onecan see by inspecting Fig. 18.2. Unfortunately the model
does not have a critical point, so that its pedagogical
value is somewhat limited. Nevertheless we have here
the only case in which a block-spin transformation can
be carried out analytically. It is worth examining for that
alone.
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
10/83
Sekarang diasumsikan
Kemudian
yang merupakan aturan homogenitas A6.55). Kitatelah melihat bagaimana hal itu mengarah ke Widom
yang scaling bentuk. Kadanoffs ide memiliki nilai
heuristik yang besar, tetapi tidak mengarah pada
perhitungan yang skema nasional. Ada terlalu banyak ad
hoc asumsi, beberapa dari mereka jelas salah. Misalnya,
berputar blok umumnya memiliki interaksi yang lebih
rumit tions dari sekedar tetangga terdekat. Satu dapatmelihat ini dalam kasus dua dimensi diilustrasikan pada
Gambar. 18,1. B dan C kedua situs berinteraksi dengan
A. Jadi kita mengharapkan bahwa blok yang B milik
berinteraksi dengan blok C yang berasal, sehingga
menimbulkan depan-ke-tetangga terdekat-interaksi.
18.2 MODEL ISING SATU-DIMENSI
Sebuah transformasi blok-spin dalam satu dimensimempertahankan terdekat-tetangga sifat interaksi, seperti
yang terlihat dengan memeriksa Gambar. 18,2.
Sayangnya model tidak memiliki titik kritis, sehingga
nilai pedagogis adalah agak terbatas. Namun kita miliki
di sini satu-satunya kasus di mana suatu blok-spin
transformasi dapat dilakukan secara analitis. Perlu
memeriksa untuk itu saja.
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
11/83
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
12/83
Gambar. 18,2 Blok-spin transformasi dalam
satu dimensi. Itu blok berputar hanya memiliki
terdekat-tetangga interaksi.
Fungsi partisi untuk rantai N spin adalah jejak kekuatan
dari N. Dari matriks transfer P, seperti terlihat pada
(14.81). Jika kita ingin menggambarkan sistem dalam
hal 2-berputar blok, fungsi partisi yang sama harus
kembali dinyatakan sebagai melacak dari matriks
transfer baru 'P pangkat N/2. Hal ini dicapai melalui
sepele menulis ulang fungsi partisi:
dimana
Batas u dan v berasal dari kondisi J > 0 dan h > 0. yang
pertama membatasi kita untuk kasus feromagnetik.
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
13/83
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
14/83
Kesempatan kondisi kedua tanpa kehilangan
umum karena model adalah invarian dalam h ---> ---h.
Matriks transfer untuk berputar blok adalah
Kami menuntut 'P memiliki bentuk yang sama dengan P:
yang mendefinisikan parameter u 'dan v' dalam
sistem blok-spin. Sebuah baru
C parameter harus diperkenalkan, karena untukmencocokkan A8.13) dengan A8.14) membutuhkan
pencocokan elemen matriks tiga, yang umumnya tidak
mungkin dengan hanya dua variabel u 'dan v'. Dengan C,
kami memiliki tiga tidak diketahui untuk memenuhi tiga
kondisi
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
15/83
The solution is
The block-spin transformation can be regarded as
a mapping (u, v) - (', f') in parameter space. By
carrying out the block-spin transformation repeatedly, an
initial point (u, v) in parameter space generates a
sequence of points, which may be connected to form atrajectory. By doing this for different initial points, we
obtain the "flow diagram" of Fig. 18.3.
A salient feature of the mapping are the "fixed
points"values (u, v) that remain unchanged under thetransformation:
w = 0, v = 1 ( interaction, 0 field)
u = 1, all v (0 interaction, any field)
The fixed point @,1) is unstable in the sense that any
point in its neighborhood will tend to go away from it
under a block-spin transformation. The fixed points on
the line u = 1 are stable. At the fixed points the
correlation length ? is invariant under a scale change,
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
16/83
Solusinya adalah
Transformasi blok-spin dapat dianggap sebagai
pemetaan (u, v) - (', F') di ruang parameter. Dengan
melakukan transformasi blok-spin berulang kali, sebuah
titik awal (u, v) di ruang parameter menghasilkan urutan
poin, yang dapat dihubungkan untuk membentuklintasan. Dengan melakukan ini untuk berbagai poin
awal, kita mendapatkan "diagram alir" Gambar. 18,3.
Sebuah fitur menonjol dari pemetaan adalah "titik
tetap"-nilai (u, v) yang tetap tidak berubah dalam
transformasi:
u = 0, v = 1 ( interaksi, 0 lapangan)
u = 1, semua v (0 interaksi, bidang apapun)
Titik tetap (0,1) tidak stabil dalam arti bahwa setiap titik
di lingkungan yang akan cenderung pergi dari bawah
transformasi blok-spin. Tetap poin pada baris u = 1
adalah stabil. Pada titik tetap panjang korelasi? adalah
invarian dalam perubahan skala,
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
17/83
and therefore can only be 0 or oo. The line u = 0
corresponds to T = 0, with ? = oo at @,1). The line u = 0
corresponds to T = oo, with ? = 0 all along this line.Unfortunately the fixed point @,1) is inaccessible. You
are either already there or you go away from it. This
expresses the fact that the system has no critical point.
Fig. 18.3 Flow diagram of one-dimensional Ising
model, showing how the coupling constant e and
the external field H change under successive
block-spin transforma- tions.
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
18/83
dan karena itu hanya bisa 0 atau oo. Garis u = 0
sesuai dengan T, = 0 dengan = di (0,1). Jalur ini u =0 sesuai dengan T = , dengan = 0 selama ini line.Sayangnya titik tetap (0,1) tidak dapat diakses. Anda
baik yang sudah ada atau Anda pergi jauh dari itu. Hal
ini mengungkapkan fakta bahwa sistem tidak memiliki
kritis titik.
Gambar. 18,3 Aliran diagram satu-dimensi Ising,
menunjukkan bagaimana e konstan kopling dan eksternal
bidang H perubahan di bawah blok berturut-spin
transformasi tions.
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
19/83
18.3 RENORMALIZATION-GROUP
TRANSFORMATION
The operation of coarse-graining followed by
rescalmg is called a "renormaliza- tion-group" (RG)
transformation, of which the block-spin transformation
in an Ising model is an example. We now give a formal
and general definition of the latter. This is possible
owing to the simplicity of the model.* But the results are
very instructive, and the concepts illustrated in this case
are useful in more general models.
Consider an Ising model with N spin variables s,,
= +1 defined on sites of a ^-dimensional cubic lattice.
We will have to include the most general types of
interactions, in order that a block-spin transformation,
which may generate arbitrarily complicated interactions,
can be described as a mapping in parameter space. To
this end, let / denote an arbitrary set of site labels. LetSa denote the product of all spins on the sites in Ia:
The most general Hamiltonian (in units of kT) is
where Ka is a coupling constant for the set of
spins in Sa, and the sum over a extends over all possible
sets Ia. Note that
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
20/83
18.3 RENORMALIZATION-GROUP
TRANSFORMASI
Pengoperasian kasar-kembang kayu diikuti oleh
rescalmg disebut "renormaliza- tion-kelompok "(RG)
transformasi, dimana transformasi blok-spin dalam Ising
model contoh. Kami sekarang memberikan definisi
formal dan umum terakhir. Hal ini karena mungkin
untuk kesederhanaan model * Tapi. Hasilnya sangat
instruktif, dan konsep diilustrasikan dalam hal iniberguna untuk lebih model umum. Pertimbangkan model
Ising dengan N berputar variabel s1 = 1 didefinisikan
pada situs dari d-dimensi kisi kubik. Kami harus
menyertakan jenis yang paling umum interaksi, agar
transformasi blok-spin, yang dapat menghasilkan
interaksi sewenang-wenang rumit, dapat digambarkan
sebagai pemetaan pada parameter ruang. Untuk tujuan
ini, mari / "menunjukkan set sewenang-wenang labelsitus. Mari Sa menyatakan produk dari semua berputar
pada lokasi di Ia:
Hamiltonian yang paling umum (dalam satuan kT)
adalah
dimana Ka adalah konstanta kopling untuk set spin di Sa,
dan jumlah lebih dari membentang di atas semua set Ia
mungkin. Perhatikan bahwa
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
21/83
In principle we can solve for Ka through
For formal manipulations it costs us nothing toregard Ka as completely arbitrary. For practical purposes
it suffices for us to think of E{s} as
where (i, j) denote nearest-neighbor pairs, ((i,j))
next-to-nearest pairs, and (i,j, k) nearest-neighbor
triplets, etc. Now divide the entire lattice into identical
cubical blocks that cover the whole lattice, with b sites
along each edge of the block. There are thus bd spins in
the block B, which we denote collectively as {s}B. The
block spin is
where f is a mapping of {s }B into the set {1, -1}.
For example, for the majority rule with tiebreaker, f is
the function defined in (18.4). It is convenient to define
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
22/83
Pada prinsipnya kita bisa mencari melalui Ka
Untuk manipulasi resmi harganya kita tidak
menganggap Ka sebagai benar-benar sewenang-wenang.
Untuk tujuan praktis itu sudah cukup bagi kita untukmemikirkan E {s} sebagai
dimana (i,j) menyatakan terdekat tetangga-
pasangan, ((i,j)) berikutnya ke terdekat pasangan, dan(i,j,k)-tetangga terdekat kembar tiga, dll Sekarang
membagi kisi tersebut ke dalam blok kubus identik yang
menutupi seluruh kisi, dengan situs b sepanjang setiap
ujung blok. Ada berputar sehingga bd di blok B, yang
menunjukkan kita secara kolektif sebagai {s} B. Spin
blok adalah
dimana f adalah pemetaan dari {s} B ke himpunan
{1, -1}. Misalnya, bagi mayoritas memerintah dengan
tiebreak, f adalah fungsi didefinisikan dalam (18.4). Hal
ini mudah untuk mendefinisikan
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
23/83
where SK is the Kronecker S. This function tells
us whether a particular configuration {s}B gives s'B = 1
or s'B =1. Taking the product of PB over all blocks,we have a weight function
which depends on the set of all block spins {s1}
and the set of all original spins {s}. It is equal to 1 if {s}
gives rise to {s'}, and 0 otherwise. Clearly,
These are the only properties of a block spin we
shall use. The partition function of the system can now
be written as
where we have used (18.25). The block-spin
Hamiltonian E'{s'} is denned by
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
24/83
mana SK adalah S. Kronecker Fungsi ini
memberitahu kita apakah suatu tertentu
konfigurasi {s} B memberikan s'B = 1 atau s'B = - 1.
Mengambil produk PB atas semua blok, kita memiliki
fungsi bobot
yang tergantung pada himpunan semua berputar
blok {s1} dan himpunan semua berputar asli {s}. Hal ini
sama dengan 1 jika {s} menimbulkan {'s}, dan 0 jika
tidak. jelas,
Ini adalah sifat hanya dari spin blok yang akan kita
gunakan. Fungsi partisi dari sistem sekarang dapat ditulis
sebagai
mana kita telah menggunakan (18.25). Blok-spin
Hamiltonian E '{s'} yang didefinisikan oleh
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
25/83
where the constant ft is to be so chosen that
which conforms to A8.19). Thus, E' is again of
the form A8.18), except that Ka is replaced by a new
value K^.* We can now rewrite (18.24) as
The transformation from E to E' is called a
renormalization-group (RG) transformation, formally
indicated by
In the limit of an infinite system, the sets {s} and{s'} become the same, and only the coupling constants
Ka change in an RG transformation. Thus it is more
appropriate to represent an RG transformation in the
form
Regarding K as components of a vector, and R a matrix
operator, we can also write
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
26/83
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
27/83
The RG transformations are so named because they
"renormalize" the coupling constants, and that they have
group property: If Ri(K) and R2(K) are RGtransformations, so is R1R2(K). They do not form a
group because block spins cannot be "unblocked," and
thus there are no inverse transformations. (Mathe-
matically one can invert the map R, except possibly at
isolated singular points; but this has no physical
relevance.)
Define the free energy per spin g(K) (in units ofkT) by
In the block-spin system we have
where N' = b~dN. The same function g appears in
both (18.33) and (!8.34) because E{s) and E'{s'} axe the
same functions except for the values of thecoupling
constants. Using (18.29) we obtain
This, together with (18.32), describes how the
system behaves under an RG transformation, which
increases the unit of length by a factor b.
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
28/83
Transformasi RG yang dinamakan demikian karena
mereka "renormalize" koplingkonstanta, dan bahwa
mereka memiliki properti kelompok: Jika Ri (K) dan R2(K) adalah RG transformasi, begitu juga R1R2 (K).
Mereka tidak membentuk kelompok karena blok
berputar tidak dapat "dibuka," dan dengan demikian
tidak ada transformasi invers. (Mathe- matically
seseorang dapat membalikkan R peta, kecuali mungkin
pada titik-titik singular terisolasi; tapi ini tidak memiliki
relevansifisik.)Tentukan energi bebas per putaran g (K) (dalam
satuan kT) oleh
Dalam sistem blok-spin kita memiliki
di mana 'N = b ~ dN. G fungsi yang sama muncul
di kedua (18.33) dan (18.34)
karena E {s) dan E '{s'} kapak fungsi yang sama kecuali
untuk nilai-nilai konstanta thecoupling. Menggunakan
(18.29) kita memperoleh
Ini, bersama dengan (18.32), menjelaskan
bagaimana sistem berperilaku bawah RG sebuah
transformasi, yang meningkatkan satuan panjang dengan
b faktor.
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
29/83
18.4 FIXED POINTS AND SCALING FIELDS
Let a'("-) denote the coupling constants resultingfrom n successive applications of a given RG
transformation. These coupling constants are given by
the recursion relation
It is important to note that R is independent of n,a fact that can be proven by constructing R formally
through (18.22).
A fixed point K * of the map R is defined by
We assume that A'*"-1 approaches a fixed point
as n> oo.* The Hamiltonian E * corresponding to K *is called the fixed-point Hamiltonian. A fixed point
could be physically significant, because it is a point at
which the system becomes invariant under a change of
length scale. That means the correlation length is either 0
or oo. The latter corresponds to a critical point, which is
the physically interesting case. The case with zero
correlation length, as we have encountered in the one-
dimensional Ising model, corresponds to infinite
temperature, and usu- ally can be recognized and
rejected. We now investigate the behavior of the system
near a fixed point, which we assume to correspond to a
critical point. Subtracting A8.37) from A8.36), we have
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
30/83
18.4 TETAP POIN DAN BIDANG PENSKALAAN
Biarkan '("-) menyatakan konstanta kopling yangdihasilkan dari aplikasi n berturut-turut dari transformasi
RG diberikan. Konstanta ini kopling diberikan oleh
rekursi hubungan
Penting untuk dicatat bahwa R adalah
independen dari n, sebuah fakta yang dapat dibuktikandengan membangun R secara resmi melalui A8.22).
Sebuah K * titik tetap R peta didefinisikan oleh
Kami berasumsi bahwa A '* "-1 mendekati titik
tetap sebagai n -.> Oo * E Hamiltonian * sesuai dengan
* K disebut fixed-point Hamiltonian. Sebuah titik tetapbisa secara fisik yang signifikan, karena merupakan titik
di mana sistem menjadi lain dalam suatu perubahan
skala panjang. Itu berarti panjang korelasi 0 atau .Yang terakhir ini berkaitan dengan suatu titik kritis, yang
secara fisik menarik kasus. Kasus dengan nol panjang
korelasi, seperti yang kita temui dalam model Ising satu
dimensi, sesuai dengan suhu yang tak terbatas, dan USU-sekutu dapat diakui dan ditolak. Kita sekarang
menyelidiki perilaku dari sistem dekat titik tetap, yang
kami asumsikan sesuai dengan titik kritis.
Mengurangkan (18.37) dari (18.36), kita memiliki
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
31/83
Assuming n to be very large we can make the linearapproximation
where W is the matrix whose elements are
Substituting (18.39) into (18.38), using (18.37), we
obtain
Now choose K * as the origin in the coupling-constantspace, and introduce new coordinate axes along the
directions defined by the left eigenvectors of the matrix
W:
There are of course many different eigenvectors. We
suppressed their labeling for simplicity. The vector K(n)
can be represented by the coordinates
which are called "scaling fields." Their usefulness lies in
the fact that they do not mix with one another under the
RG transformation, as the following calculation shows:
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
32/83
Dengan asumsi n menjadi sangat besar kita dapat
membuat aproksimasi linier
mana W adalah matriks yang elemen
Mengganti (18.39) ke (18.38), menggunakan (18.37),
kita memperoleh
Sekarang pilih * K sebagai asal dalam ruang kopling-
konstan, dan memperkenalkan baru koordinat sumbu
sepanjang arah didefinisikan oleh vektor eigen kirimatriks W:
Tentu saja ada vektor eigen yang berbeda. Kami ditekan
label mereka untuk kesederhanaan. K vektor (n) dapat
diwakili oleh koordinat
yang disebut "bidang scaling." Kegunaannya terletak
pada kenyataan bahwa mereka tidak mencampur satu
sama lain dalam transformasi RG, seperti perhitungan
berikut menunjukkan:
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
33/83
Under the RG transformation, v is said to "scale" with a
factor X. It increases if X > 1, and decreases if X < 1.
Since the RG transformation increases the unit of length
by a factor b, we expect X to have the form
where y is the dimension of v.
In the neighborhood of a fixed point, it is
convenient to use the scaling fields {v1, v, ...} as
independent variables, replacing the coupling constants {
K1 K2...} The fixed point corresponds to all v = 0. We
can rewrite (18.35) in the form
There being no reason for ft to be singular at the fixed
point, we shall assume it is regular. We identify the fixed
point with a critical point, and identify the second term
in A8.46) as the singular part of the free energy. It
satisfies the homogeneity rule
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
34/83
Berdasarkan transformasi RG, v dikatakan "skala"
dengan faktor X. Ini meningkat jika X > 1, dan menurun
jika X < 1. Sejak transformasi RG meningkatkan unit
panjang dengan b faktor, kami berharap X untuk
memiliki bentuk
dimana y adalah dimensi v Disekitar titik tetap, akan
lebih mudah untuk menggunakan bidang scaling {v,, v2,
} sebagai variabel independen, menggantikankonstanta kopling
{Kv K2, |. |} | Titik tetap sesuai dengan semua v = 0.
Kita bisa menulis ulang (18.35) di
formulir
Karena tidak ada alasan untuk kaki menjadi tunggal pada
titik tetap, kita akan menganggap itu adalah biasa. Kami
mengidentifikasi titik tetap dengan titik kritis, danmengidentifikasi kedua istilah dalam (18.46) sebagai
bagian tunggal dari energi gratis. Ini memenuhi
homogenitas yang mengesampingkan
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
35/83
A scaling field is called "irrelevant" if X < 1,
because it tends to 0 under repeated coarse-graining. In
the neighborhood of a critical point the system behavesas if it had never existed. It is called "relevant" if X > 1,
for any nonzero initial value will be magnified under
coarse-graining. To be at the critical point, we have to
specially set it to zero. The case X = 1 is called
"marginal," which we shall not consider, for it depends
on the details of the system. In the coupling-constant
space (K space), the fixed point lies on a hyper- surface,called the "critical surface," defined by y, = 0 for all the
relevant scaling fields Vj. A point on the critical surface
will approach the fixed point under successive RG
transformations, while a point not on the surface will
eventually veer away from the fixed point, as illustrated
schematically in Fig. 18.4. Since
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
36/83
Bidang skala disebut "tidak relevan" jika X < 1,
karena cenderung di bawah 0 diulang kasar-kembang
kayu. Di sekitar titik kritis sistem berperilaku seolah-olah tidak pernah ada. Hal ini disebut "relevan" jika X >
1, untuk setiap nol nilai awal akan diperbesar di bawah
kasar-kembang kayu. Berada di titik kritis, kita harus
khusus mengatur ke nol. Kasus X = 1 disebut "marjinal",
yang kita tidak akan mempertimbangkan, karena
tergantung pada rincian dari sistem. Dalam ruang
kopling-konstan (K spasi), titik tetap terletak pada hiper-permukaan, yang disebut "permukaan kritis,"
didefinisikan oleh y = 0 untuk semua skala yang relevan
bidang Vj. Sebuah titik pada permukaan kritis akan
mendekati titik tetap bawah berturut RG transformasi,
sedangkan titik tidak di permukaan akhirnya akan
membelok jauh dari titik tetap, seperti yang digambarkan
secara skematis pada Gambar. 18,4. Sejak
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
37/83
Fig. 18.4 The critical surface for a particular
fixed point. It is a hypersurface in coupling-
constant space obtained by setting all rele- vantvariables to zero. Points on this surface
correspond to systems in the same universal- ity
class, with the same critical exponents.
each point in K space represents a physical system, the
critical surface contains different systems belonging to a
universality class, sharing the same critical properties.
To illustrate how the critical exponents can be obtainedfrom the eigenvalues X, let us specialize to a familiar
case by assuming that there are two relevant fields, v1
and v2, identified respectively with field h and
temperature t:
The behavior of the correlation length ? at h = 0 can be
deduced as follows. Under an RG transformation the unit
of length increases by a factor b. Hence ' = ,/b. Bydefinition t =bD1 . Hence D1 t is invariant under theRG, i.e., D1t ~ 1. Therefore
a result we had assumed earlier in (16.56).
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
38/83
Gambar. 18,4 Permukaan penting untuk tertentu
tetap titik. Ini adalah hypersurface di kopling-
ruang konstan diperoleh dengan mengatur semuarele- relevan ju variabel ke nol. Titik pada
permukaan ini sesuai dengan sistem di sama
universal- ity kelas, dengan eksponen kritis yang
sama
setiap titik dalam ruang K mewakili sistem fisik,
permukaan kritis mengandung sistem yang berbeda yang
termasuk kelas universalitas, berbagi kritis yang samaproperti. Untuk menggambarkan bagaimana para
eksponen kritis dapat diperoleh dari nilai eigen X, mari
kita mengkhususkan diri pada kasus akrab dengan
mengasumsikan bahwa ada dua yang relevan bidang, v1
dan v2, diidentifikasi masing-masing dengan bidang h
dan t suhu:
Perilaku panjang korelasi di h = 0 dapat disimpulkan
sebagai berikut.
Dalam transformasi RG satuan panjang meningkat
dengan b faktor. karenanya
= T, / b. Dengan definisi = t 'b'D < t. Oleh karena itu
D't Adalah invarian dalam RG tersebut, yaitu,
D> t ~
1. oleh karena itu
hasil kami telah diasumsikan sebelumnya di (16.56).
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
39/83
The argument above can be rephrased more
physically. Under successive block-spin transformations,
there will be come a point when the correlation length isequal to the size of a block, so that nearest-neighbor
blocks are uncorrelated. This point must correspond to a
definite tQ, which cannot depend on the initial
temperature. Suppose one starts at some temperature t,
and arrives at t0 after n RG transformations. Then
Noting that ? = b" at this point, we obtain A8.49).
Substituting A8.48) into A8.47), we obtain
which is the same as (16.55). The discussion then
reduces to that following (16.55). The crucial step in
obtaining the Widom scaling form, from which the
critical exponents can be calculated, is the condition
which chooses the block size to be the order of thecorrelation length. This step is the "true"
renormalization. With it, the block size b disappears
from the problem, blotting out all reference to the
microscopic structure. The critical exponents are given
in terms of Dh and Dt in (16.59). In conclusion, we have
shown that
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
40/83
Argumen di atas dapat diulang lebih secara fisik.
Di bawah berturut-turut blok-spin transformasi, ada akan
datang satu titik ketika korelasi panjangnya sama denganukuran blok, sehingga tetangga-terdekat blok
berkorelasi. Hal ini harus sesuai dengan tQ pasti, yang
tidak dapat bergantung pada suhu awal. Misalkan
seseorang mulai di beberapa t suhu, dan tiba
di t0 setelah transformasi RG n. kemudian
Memperhatikan bahwa = B "pada titik ini, kita
memperoleh (18.49).
Mengganti (18.48) ke (18.47), kita memperoleh
yang sama dengan (16.55). Diskusi kemudiandisederhanakan menjadi berikut yang
(16.55). Langkah penting dalam memperoleh bentuk
skala Widom, dari mana
eksponen kritis dapat dihitung, adalah kondisi
yang memilih ukuran blok untuk menjadi urutan panjangkorelasi. Langkah ini yang "benar" renormalization.
Dengan itu, b ukuran blok menghilang dari masalah,
blotting semua referensi ke struktur mikroskopis. Kritis
eksponen diberikan dalam hal Dh dan Ulangan di
(16.59). Kesimpulannya, kami telah menunjukkan bahwa
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
41/83
1. A calculation of the eigenvalues of the
matrix W, which represents the RG
transformation near a fixed point, willyield all the critical exponents
corresponding to that fixed point.
2. The critical exponents are the same for all
systems in the universality class defined
by the critical surface containing the fixed
point.
18.5 MOMENTUM-SPACE FORMULATION
We shall define the RG transformation for the physically
more interesting Landau theory. In principle we have to
consider the most general form of the Hamiltonian (in
units of kT) in Landau theory:
where terms not written out involve higher derivatives
of m(x), each with its own coupling constant. The
coefficient of the first term is chosen to be \ to fix the
scale of the order parameter. The coupling constantsare functions of the cutoff A, which eventually tends to
infinity. Our goal is to obtain finite physical answers in
that limit. To that end, we continue the coarse-graining,
which introduced A in the first place, to ever longer
wavelengths. As before, the RG transformation is
defined as coarse-graining followed by rescaling, to
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
42/83
1. Sebuah perhitungan nilai eigen dari matriksW, yang mewakili RG transformasi dekat
titik tetap, akan menghasilkan semuaeksponen kritis yang sesuai dengan titik
tetap.
2. Para eksponen kritis adalah sama untuksemua sistem di universalitas kelas
didefinisikan oleh permukaan kritis yang
berisi titik tetap.
18.5 MOMENTUM SPACE FORMULASI
Kita akan mendefinisikan transformasi RG bagi
penyandang lebih menarik Landau teori. Pada prinsipnya
kita harus mempertimbangkan bentuk paling umum dari
Hamilton (dalam satuan kT) dalam teori Landau:
mana hal tidak ditulis melibatkan turunan yang lebih
tinggi dari m (x), masing-masing dengan sendiri kopling
konstan. Koefisien suku pertama dipilih untuk menjadi \
untuk memperbaiki skala parameter ketertiban.
Konstanta kopling adalah fungsi dari cutoff A, yangakhirnya cenderung tak terhingga. Tujuan kami adalah
untuk mendapatkan jawaban fisik terbatas di batas itu.
Untuk itu, kami melanjutkan kembang kayu-kasar, yang
memperkenalkan A dalam pertama menempatkan, untuk
panjang gelombang pernah lagi. Seperti sebelumnya,
transformasi RG didefinisikan sebagai kasar-kembang
kayu diikuti dengan rescaling,
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
43/83
make the system look like the original one. We shall
define the procedure in "momentum space," the k
space of Fourier
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
44/83
untuk membuat tampilan sistem seperti aslinya satu. Kita
harus menetapkan prosedur dalam "ruang momentum," k
ruang Fourier
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
45/83
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
46/83
Gambar. 18,5 kasar-kembang kayu dalam ruang momentum
dan secara real ruang. Pada yang pertama, satu efektif
menurunkan cutoff. Di yang terakhir, satu bercak keluar
perincian yang lebih bagus, memperbesar efektif kisi spasi.
analisis. Gambar 18.5 menunjukkan perbandingan antara
kasar-kembang kayu dalam momentum dan di ruang
yang "nyata": Daripada memperluas sel satuan dalam
ruang nyata, kita menurunkan cutoff efektif dalam ruang
momentum. Dalam hal transformasi Fourier m (k) dari
urutan parameter yang didefinisikan dalam (17,8),
Hamiltonian mengambil formulir
dimana kita hanya menampilkan istilah Gaussian(menempatkan K2 = ro / 2) untuk menetapkan
normalisasi m (k). Fungsi partisi diberikan oleh
di mana perdana menunjukkan bahwa produk itu harus
diambil hanya lebih dari setengah dari ruang k (karenakita berhadapan dengan urutan parameter nyata). Kita
juga bisa mengabaikan prima, tetapi mengambil akar
kuadrat dari jawabannya. Transformasi RG terdiri dari
"mengintegrasikan keluar" nilai-nilai k dalam shell
antara jari-jari A dan A / b (b> 1), dan kemudian
rescaling. Secara khusus prosedur terdiri dari tiga
langkah:
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
47/83
1. Integration. Define a new Hamiltonian E' by"integrating out" the k values whose magnitude
lies between A and A/b (b >1):
where the constant 0 is a function of A and all
the coupling constants. The new Hamiltonian
E'[m] depends only on m{k) with \k\ < A/b. Apart
from that, it has the same form as (18.53) with
new coupling constants:
Note that the coefficient of the k2 term is
changed. The partition function can be rewritten
as
2. Rescaling. Restore the cutoff to A by increasingthe unit of length by a factor b, by changing the
variable of integration to
The Hamiltonian now reads
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
48/83
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
49/83
3. Normalization. Restore the standardnormalization of the order parameter, i.e., make
the coefficient of the k'2 term in (18.59) equal to
2
1. This can be done by replacing m {k) by
which is the analog of the block-spin
transformation. The final RG-transformed
Hamiltonian is
The partition function is, in terms of E',
where J/"' is a new normalization constant. (It is
infinite both in the infinite-volume limit and the
infinite-cutoff limit, but physically irrelevant.)
The net result is a mapping in coupling-constant
space, of the same form as (18.32). The free energy also
satisfies a relation like (18.35). Therefore the formal
analysis in the last section can be taken over without
change.
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
50/83
3. Normalisasi. Mengembalikan normalisasi standardari urutan parameter, yaitu, membuat koefisien
jangka K `2 di (18.59) sebesar2
1. Ini dapat
dilakukan dengan menggantikan m {k) dengan
yang merupakan analog dari transformasi blok-
spin. Final RG-transformasi Hamiltonian adalah
Fungsi partisi, dalam hal 'E,
dimana J / "'adalah normalisasi baru konstan.
(Tidak terbatas baik dalam batas yang tak
terbatas-volume dan batas yang tak terbatas-
cutoff, tetapi secara fisik tidak relevan.)
Hasil akhirnya adalah pemetaan di kopling-konstan ruang,
bentuk sama dengan (18,32). Energi bebas juga memenuhi
hubungan seperti (18,35). Oleh karena itu analisis formal
dalam bagian terakhir dapat diambil alih tanpa perubahan.
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
51/83
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
52/83
Karena sifat kontinyu dari model di sini, kita dapat
melakukan transformasi RG dalam langkah-langkah yang
sangat kecil, yaitu, kita dapat mengambil b ~ 1. Transformasiinfinitesi-mal berisi semua informasi yang dibutuhkan untuk
mendapatkan sifat kritis dari sistem. Secara khusus, semua
kita perlu tahu adalah tingkat, perubahan dari konstanta
kopling sehubungan dengan b. Dengan demikian, masalah
dapat dikurangi untuk memecahkan satu set persamaan
diferensial. Kita tidak harus mengembangkan teori umum
lebih lanjut, tetapi hanya menggambarkan poin utama
melalui contoh.18,6 ATAS GAUSSIAN MODEL
Tiga Langkah
Kami menggambarkan resep untuk momentum-ruang
transformasi RG di Gaussian model. Hamiltonian adalah
where h = H/kT is a spatially constant external field.
Langkah 1 adalah sepele, karena hal k dapat
diintegrasikan secara individu:
Perhatikan bahwa E '= E. Satu-satunya perubahan
adalah cutoff, dan normalisasi konstan.
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
53/83
Step 2 restores the old cutoff by changing the
variable of integration to
k' = bk:
Step 3 restores the normalization of m(k):
Where
The only fixed point is r0 = h = 0, and both r0 and h are
relevant variables, (since b > 1). The scaling of these
variables are just what naive dimensional analysis would
predict.
The correlation length can be obtained by
setting ?2r0 = const., by the same reasoning as in the
derivation of (18.48). Thus
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
54/83
Langkah 2 mengembalikan cutoff tua dengan
mengubah variabel integrasi untuk
k '= bk:
Langkah 3 mengembalikan normalisasi m (k):
Dimana
Satu-satunya titik tetap adalah r0 = h = 0, dan keduanya
r0 dan h adalah variabel yang relevan, (karena b> 1).
Skala dari variabel-variabel ini hanya naif apa dimensi
analisis akan memprediksi.
Panjang korelasi dapat diperoleh dengan
pengaturan? 2R0 = konstan, dengan sama. penalaran
seperti pada derivasi dari (18.48). demikian
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
55/83
The critical exponents can be obtained from (16.59)
using Dt and Dh, with results as given earlier in (17.91).
Though trivial, the above example illustrates an
important point: To obtain the critical exponents in a
continuous system, it suffices to make an infinitesimal
RG transformation, because all we need is the rate of
change of the coupling constants.
Renormalization of the Partition Function Since
the partition function can be calculated exactly, we canshow explicitly how one can renormalize it to obtain a
finite free energy in the limit of infinite cutoff. For
simplicity consider the case of no external field. The
partition function has been explicitly calculated in
(17.79):
We see that Q would diverge as A , if a0 werefixed. But a0 may depend on A. (It is an
"unrenormalized" coupling constant.) Hence we can
hope to make the above finite.
It is trivial to push the effective cutoff down,
from A to A/b (b > 1):
We can set t = 0 in the second factor, since it is a regular
at t = 0. This makes it a constant, which can be absorbed
into the normalization factor:
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
56/83
Para eksponen kritis dapat diperoleh dari (16.59)
menggunakan Ulangan dan Dh, dengan hasil seperti yang
diberikan sebelumnya di (17,91).Meskipun sepele, contoh di atas menggambarkan
sebuah hal yang penting: Untuk mendapatkan eksponen
penting dalam sistem kontinyu, cukup untuk membuat
sebuah transformasi RG sangat kecil, karena semua yang kita
butuhkan adalah laju perubahan dari konstanta kopling.
Renormalization Fungsi Partisi
Karena fungsi partisi dapat dihitung dengan tepat, kita dapatmenunjukkan secara eksplisit bagaimanaseseorang dapat
renormalize untuk memperoleh energi bebas terbatas dalam
batas cutoff tak terbatas.Untuk mempermudah
mempertimbangkan kasus ada bidang eksternal. Fungsi
partisi memiliki secara eksplisit dihitung (17.79):
Kita melihat bahwa Q akan menyimpang sebagai A,jika a0 yang tetap. Tapi a0mungkin tergantung padaA.
(Ini adalah "unrenormalized" kopling konstan.) Oleh
karena itu kita bisa berharap untuk membuatyang
terbatas atas.
Hal ini sepele untuk mendorong cutoff efektif
bawah, dari A ke A / b (b> 1):
Kita dapat mengatur t = 0 dalam faktor kedua, karena
merupakan teratur pada t = 0. Hal ini membuat konstan,
yang dapat diserap ke dalam faktor normalisasi:
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
57/83
Now put k = k'/b to restore the cutoff to A:
where N(A) is the number of k values contained in a J-
sphere of radius A. Equating the right sides of (18.72)
and (18.73) yields the relation
where N(A) is the number of k values contained in a J-
sphere of radius A. Equating the right sides of (18.72)
and (18.73) yields the relation
which can be rewritten
Choosing b = A/, where is arbitrary, we have
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
58/83
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
59/83
where a is called the renormalized coupling constant. It
is an arbitrary parameter of the theory, since a0 is
unknown and physically unknowable. The constant Z =(A/)-N() is physically irrelevant. Thus, the originalcutoff disappears from the problem.
Dropping an irrelevant additive constant, we
obtain a finite expression for the Gibbs free energy per
unit volume:
where Sd(k) is the surface area of a J-sphere of radius k.
The arbitrary constant is called the renormalization
point. Changing it only leads to a finite additive constantto the free energy density, without affecting the infrared
singularities of the integral in the limit t 0. Thisexplains why all dimensions are canonical in the
Gaussian model. In more complicated models could beentangled with the infrared singularity at t 0 and leadto anomalous dimensions. We can of course obtain the
critical exponents by direct calculation of the
thermodynamic func- tions, as was done in Section 17.7,except that there are no divergent constants anywhere.
18.7 THE LANDAU-WILSON MODEL
We now discuss m4 theory, the simplest nontrivial case
in Landau theory*:
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
60/83
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
61/83
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
62/83
Renormallzatlon-Group Persamaan
Kita akan mengintegrasikan keluar cangkang amat sangat
tipis nilai k dalam momentumruang, efektif menurunkancutoff untuk A / b (b ~ 1). Dalam volume besar tetapi
terbatasV, jumlah negara bagian di shell adalah:
mana Sd (A) adalah luas permukaan bola-^ A. radius Kami
menulis m (x) = m (x) + m (x), dimana m (x) hanya berisikomponen Fourier untuk diintegrasikan keluar, dan m (x)
adalah parameter pesanan rata-rata, sedikit lebih kasar dari
m(x).
Daripada Fourier analisa m (x) kitamengembangkannya dalam satu set N nyata gelombang paket (x), ..., N (x), yang dibentuk olehmensuperposisikan gelombang bidang yang k nilai-nilai
terletak pada shell tipis, dan pusat mereka sehingga
dipilih bahwa mereka menutupi seluruh ruang dari
sistem. Mereka agak diperpanjang objek dengan dimensi
Ax ~ 1/k, mengandung gelombang panjang gelombangsangat pendek (~ I / ), dan memiliki sifat sebagaiberikut:
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
63/83
Only approximate orthogonality is required, to avoid
having long tails in the wave packets. In view of the
qualitative nature of subsequent calculations, there is nopoint in specifying these states in greater detail. Thus, in
summary,
To carry out step 1 in the RG recipe, substitute (18.81)into (18.78) and integrate out the terms containing
m(x). We use (18.80) plus the following
approximations:
(a) m(x) is assumed to be constant over a wave packet.
(b) (dx)|Vi|2
~ A2.
(c) (m)4 terms are neglected.Some estimates are given below:
where w(x,) denotes w(x) at the center of the /th wave
packet. Thus
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
64/83
Hanya orthogonality perkiraan diperlukan, untuk
menghindari ekor panjang digelombang paket.
Mengingat sifat kualitatif perhitungan berikutnya,adaada gunanya menentukan negara-negara ini secara
lebih rinci. Dengan demikian, secara ringkas,
Untuk melaksanakan langkah 1 dalam resep RG, pengganti(18,81) menjadi (18,78) dan mengintegrasikan keluar istilah
yang mengandung m (x). Kami menggunakan (18,80)
ditambah sebagai berikut
perkiraan:
(a) m (x) diasumsikan konstan selama paket gelombang.
(b) (dx) | Vi|2~ A
2.
(c) (m) 4 istilah diabaikan.Beberapa perkiraan diberikan di bawah ini:
dimana w (x,) menandakan w (x) di pusat dari paket
gelombang / th. Demikian
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
65/83
The RG-transformed Hamiltonian E' is defined by
which gives
Note that in this approximation the coefficient of |Vm|2
is not changed by coarse-graining. This immediately tells
us that the rescaling of m(x) will be dictated by naive
dimensional analysis, as in the Gaussian model. The
same considerations as we went through in the Gaussian
model will yield a canonical value for the dimension of
the external field:
Returning to (18.86), we can replace the sum there by an
integral, by noting (18.79):
Expanding the logarithm in (18.86), keeping only terms
up to second order in r0 and u0, and dropping an
irrelevant constant, we obtain
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
66/83
RG-transformasi Hamilton 'E didefinisikan oleh
yang memberikan
Perhatikan bahwa dalam pendekatan ini koefisien | Vm|2
tidak berubah dengan kasar-kembang kayu. Hal ini langsung
mengatakan kepada kita bahwa rescaling m (x) akan
ditentukan oleh analisis dimensi naif, seperti dalam model
Gaussian. Pertimbangan yang sama seperti yang kita pergi
melalui dalam model Gaussian akan menghasilkan nilai
kanonik untuk dimensi bidang eksternal:
Kembali ke (18,86), kita dapat mengganti jumlah yang ada
oleh integral, dengan mencatat (18.79):
RExpanding logaritma di (18,86), menjaga hal hanya sampai
urutan kedua di r0 dan U0, dan menjatuhkan sebuah
konstanta tidak relevan, kita memperoleh
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
67/83
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
68/83
Menggunakan (18,78), kita menulis ulang ini dalam bentuk
Pada langkah 2 dari transformasi RG kita meningkatkan
satuan panjang dengan b faktor, sehingga mengubah variabel
integrasi spasial dari x ke x '= x / b. Pada langkah 3, kita
mengembalikan normalisasi standar m (x). Hasil bersih
adalah untuk menggantikan r0 dan U0, masing-masing,
dengan
Sejak b ~ 1, kita menulis b "= 1 + n log b Mengganti (18,90)
menjadi (18,91), menjaga hal hanya untuk urutan pertama di
log b,. Kita memperoleh
Istilah pertama di sisi kanan memberikan perubahan
yang diharapkan di bawah naif dimensi-professional analisis.
Persyaratan tambahan menimbulkan non-Gaussian
eksponen.
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
69/83
The cutoff A is defined only up to a finite factor.
The same is true of r, for we only require that it be
proportional to t. Thus the factor Cd in A8.92) can beabsorbed by changing A and r by suitable factors.
Since the RG transformations here proceeds by
infinitesimal steps instead of finite steps, we regard the
transformed coupling constants as continuous func- tions
of log b. Let us define
with the "initial" values r(0) = r0, u(0) = u0. We then have
the differential equations
These are called renormalization-group equations.
development above is of the nature of a fable, it
is not really true, but illustrates a point. Specifically, it isnot true that m(x) is approximately constant over a
wave packet, for it contains wavelengths only
infinitesimally longer than those in the latter. But if we
did not make believe it was true, the RG transformation
would have generated arbitrary powers of m(x), which
would have to be included from the beginning, making
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
70/83
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
71/83
the problem hopeless. The simplification has enabled us
to illustrate the spirit of the method in a simple way.
The real reason we could be so bold is that the resulting
RG equations turn out to be valid in the neighborhood
of d = 4, namely, they are correct to first order in = 4
d. Somehow the approximations work, at least in a
limiting case.
Fixed Points and Trajectories
To analyze the implications of the RG equations A8.94),it is convenient to convert them into dimensionless
forms, by introducing the dimensionless cou- pling
constants
Then
Where
which we shall consider a small quantity.
The fixed points x* and y* are defined to be
points at which dx/dr = dy/dr 0. There are two fixed
points:
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
72/83
masalah harapan. Penyederhanaan ini telah
memungkinkan kita untuk menggambarkan semangat
dari metode ini dengan cara yang sederhana. Alasansebenarnya kita bisa menjadi begitu berani adalah bahwa
persamaan RG yang dihasilkan berubah menjadi berlaku
di lingkungan d = 4, yaitu, mereka adalah benar untuk
urutan pertama di = 4 - d. Entah bagaimana perkiraanbekerja, setidaknya dalam kasus yang membatasi.
Tetap Poin dan Lintasan
Untuk menganalisis implikasi dari persamaan RGA8.94), akan lebih mudah untuk mengkonversikannya
menjadi bentuk berdimensi, dengan memperkenalkan
berdimensi cou-
pling konstanta
Kemudian
Dimana
yang akan kita mempertimbangkan jumlah kecil.
Poin yang tetap x * dan y * didefinisikan sebagai titik di
mana dx / dy = dr / dr - 0. Ada dua titik tetap:
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
73/83
We see that the nontrivial fixed point approach the
Gaussian fixed point as e - 0. This is reason why one
can solve this problem for small it is close to the
trivial Gaussian model.
In the neighborhood of a fixed point write
Then
Fig. 18.6 Coordinate system determined by the
scaling fields vx and v2, in the neighborhood of a fixed
point.
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
74/83
Kita melihat bahwa pendekatan titik trivial tetap titik
tetap Gaussian sebagai e - 0. Ini adalah alasan
mengapa seseorang dapat memecahkan masalah ini
untuk kecil -dekat dengan Gaussian Model sepele.
Di sekitar titik tetap menulis
Kemudian
Gambar. 18,6 Koordinat sistem ditentukan oleh
scaling bidang v1 dan v2, di lingkungan dari tetap titik.
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
75/83
The left eigenvectors , and eigenvalues , of T areeasily found to be
Now define scaling fields v1, v2 by
Under the RG transformation we have dvd = ,v.
Hence
Exph'citly we have
Figure 18.6 shows the direction along which each
scaling field increases with the other held fixed, in the
neighborhood of a fixed point.
The scaling fields and eigenvalues for the two
fixed points are given below:
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
76/83
Para vektor eigen kiri, dan nilai eigen , T mudahditemukan
Sekarang mendefinisikan bidang scaling v1, v2 oleh
Berdasarkan transformasi RG kita memiliki dv d = , v
karenanya
Exph'citly kita memiliki
Gambar 18.6 menunjukkan arah sepanjang yang masing-masing bidang scaling meningkat denganlain diselenggarakan
tetap, di sekitar titik tetap.
Bidang scaling dan nilai eigen untuk dua titik tetap
diberikan di bawah ini:
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
77/83
Fig. 18.7 Flow diagram of Landau-Wilson model for d 0 (d < 4). For the nontrivialfixed point, v2 is an irrelevant scaling field and v1 a
relevant one. Hence the critical surface is the line v1 = 0.
Neglecting the irrelevant field means setting y = 0,hence v1 = x. Hence Dt is the temperature variable t.
From (18.103) we have
For illustration, we call attention to the points A,
B, C, which correspond to three different initial
temperatures. The system at B has t = 0, and will tend
toward the fixed point under RG transformations. The
system at A has t < 0, and will veer off to a region of
increasing negative r0, with pronounced broken
symmetry. The system at C has t > 0, and will run off to
higher temperatures.
The correlation length can be obtained, as in the
derivation of (18.48), by setting ~ b when b1t ~ 1.Thus we again have ~ t-1/D1, or v = l/Dt The rest of the
critical exponents can now be obtained from (16.59)using Dh and Dt.
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
80/83
Poin yang tetap dan lintasan dari konstanta kopling dalam
transformasi RG berturut ditunjukkan pada Gambar. 18,7 dan
18,8. Perhatikan bahwa pesawat bagian bawah termasuk
sumbu x negatif adalah unphysical. Gambar 18.7
menunjukkan kasus untuk> 0 (d
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
81/83
Fig. 18.8 Flow diagram of Landau-Wilson model for d >
4.
The nontrivial fixed point is in an unphysical region. To
stabilizethe system, one needs an mb term, which probably will
bring
about a first-order phase transition, as indicated by
mean-field
theory.
The results to first order in e are given below:
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
82/83
-
7/31/2019 Tgas Heri Renormalization Group
83/83