teza de doctorat contributii la implementarea...
If you can't read please download the document
TRANSCRIPT
-
MINISTERUL EDUCATIEI, CERCETARII, TINERETULUI SI SPORTULUI
UNIVERSITATEA TEHNICA DE CONSTRUCTII BUCURESTI
FACULTATEA DE INGINERIE A INSTALATIILOR
TEZA DE DOCTORAT
Contributii la implementarea managementului fiabilitatii si
mentenabilitatii in proiectarea instalatiilor
Doctorand:
ing. BOGDAN IVAN
Conducator de doctorat:
Prof. univ. dr. ing. SORIN CALUIANU
BUCURESTI
2014
-
- 2 -
CUPRINS
1. INTRODUCERE ....................................................................................................................... 4
2. FIABILITATE. EVALUAREA FIABILITATII SISTEMELOR ........................................... 9
2.1. Notiuni generale utilizate in fiabilitate .................................................................................. 9
2.2. Indicatorii principali de fiabilitate ........................................................................................ 9
2.3. Modelul structural pentru calculul fiabilitatii sistemelor ..................................................... 11
2.4. Aplicatii ale modelului structural pentru calculul fiabilitatii sistemelor ............................... 15
2.5. Metode de evaluare a fiabilitatii sistemelor ......................................................................... 21
2.5.1. Metoda solutiei generale ........................................................................................... 22
2.5.2. Procedeul grupurilor de defectare ............................................................................. 26
2.5.3. Metoda transformarii triunghi-stea ........................................................................... 27
2.5.4. Metoda simplificarii conditionate .............................................................................. 33
2.5.5. Metoda Monte Carlo. Aplicatie ................................................................................ 34
2.5.6. Metoda arborelui de defectare (FTA) ........................................................................ 38
2.5.7. Metoda analizei modurilor de defectare si a efectelor si consecintelor acestora
(FMECA) ...................................................................................................................................... 40
2.6. Aplicatii ale metodelor de evaluare a fiabilitatii sistemelor ................................................. 45
2.6.1. Analiza comparativa a eficacitatii metodelor de evaluare a fiabilitatii in cazul unei
structuri punte ................................................................................................................................ 45
2.6.2. Program de calcul Matlab pentru estimarea fiabilitatii unui sistem serie-paralel cu 5
elemente prin intermediul metodei Monte Carlo ............................................................................. 51
3. MENTENABILITATE. EVALUAREA MENTENABILITATII SISTEMELOR ............... 62
3.1. Notiuni generale utilizate in mentenabilitate ........................................................................ 62
3.1.1. Mentenabilitatea ....................................................................................................... 62
3.1.2. Mentenanta ............................................................................................................... 63
3.1.3. Disponibilitatea ........................................................................................................ 66
3.2. Metode de optimizare a mentenabilitatii in faza de proiectare ............................................. 67
3.2.1. Mentenanta bazata pe fiabilitate (RCM) ................................................................... 67
3.2.2. Metoda analitica Fitzpatrick-Paasch ......................................................................... 70
3.3. Aplicatie. Metoda RCM aplicata unei instalatii HVAC ....................................................... 79
4. PREOCUPARI ACTUALE PRIVIND MANAGEMENTUL FIABILITATII SI
MENTENABILITATII ............................................................................................................... 85
4.1. Fiabilitatea criteriu sau restrictie in problemele de optimizare ......................................... 85
-
- 3 -
4.2. Cercetari si preocupari actuale in domeniile fiabilitatii si mentenabilitatii .......................... 85
4.3. Managementul riscului ....................................................................................................... 87
4.4. Teoria entropica a sistemelor (TES) .................................................................................... 88
4.4.1. Scurt istoric ............................................................................................................... 88
4.4.2. Principii, legi si marimi fundamentale ....................................................................... 90
4.4.3. Graful entropic canonic (GEC) .................................................................................. 92
4.5. Aplicatie. Analiza comparativa a riscului de defectare in cazul sistemelor punte si
redondante prin intermediul TES .................................................................................................... 93
5. CONTRIBUTII PRIVIND STUDIUL DEFECTARII SISTEMELOR CU
REZERVARE.. ............................................................................................................................. 99
5.1. Metoda propusa privind studiul defectarii sistemelor cu rezervare ....................................... 99
5.2. Program de calcul propriu de analiza a defectarii sistemelor cu rezervare .......................... 100
5.3. Contributii privind analiza defectarii sistemului punte cu viabilitati oarecare ale
componentelor .............................................................................................................................. 109
6. CONTRIBUTII PRIVIND ANALIZA RISCULUI DE DEFECTARE IN CAZUL
SISTEMELOR CU REZERVARE ............................................................................................ 113
6.1. Analiza de risc a structurii punte in ipoteza a patru elemente de viabilitati identice ........... 113
6.2. Analiza comparativa de risc intre structurile punte si redondant 3 din 5 in ipoteza
componentelor de viabilitati identice ............................................................................................ 127
6.3. Analiza de risc a structurii redondante 3 din 5 in ipoteza a patru elemente de viabilitati
identice ......................................................................................................................................... 129
7. CONCLUZII ........................................................................................................................... 135
8. SINTEZA PRINCIPALELOR CONTRIBUTII ORIGINALE ........................................... 137
9. BIBLIOGRAFIE ................................................................................................................... 139
-
- 4 -
1. INTRODUCERE
Fiabilitatea s-a remarcat ca o noua ramura a stiintei in perioada anilor 70-80, devenind
un instrument deosebit de util in toate ariile de activitate economice si ingineresti. Evolutia
continua a tehnicii si diversificarea ramurilor industriale au impus necesitatea studiului
functionarii sistemelor, a ratelor de defectare si a frecventei de aparitie a acestora, cat si a
posibilitatilor de intretinere in scopul unei bune functionari.
In articolul [28] a fost prezentata intr-o maniera interesanta o scurta istorie a fiabilitatii,
din care voi spicui in cele ce urmeaza cele mai importante etape in aparitia si dezvoltarea
domeniului fiabilistic, consecinte firesti ale importantelor inovatii aduse in sec. XX in domeniul
tehnicii militare si civile.
Una dintre primele mentiuni ale fiabilitatii, apropiata de sensul actual, se regaseste in
cadrul contractului dintre armata americana si compania fratilor Wright, contract ce avea drept
scop dezvoltarea unuia dintre primele avioane militare de serie. Acea clauza sustinea ca avionul
trebuie sa satisfaca cerinta de a fi simplu de exploatat si de intretinut (1901).
Alte inovatii dezvoltate in acea perioada, care luau in considerare intr-o anumita masura
criterii fiabilistice, au fost telegraful, becul incandescent, telefonul sau generatorul de curent
alternativ.
In anii 20, in cadrul laboratoarelor Bell, se implementeaza de catre dr. Walter A.
Shewhart metoda controlului statistic al calitatii produselor. Acesta era momentul in care
statistica devenea indispensabila in dezvoltarea teoriei fiabilitatii, fiind utilizata in principal drept
instrument de procesare a informatiilor colectate la functionarea produselor.
In anul 1927 celebrul pilot american Charles Lindbergh reusea performanta extraordinara
de a traversa Oceanul Atlantic intr-un zbor fara oprire. Principala cerinta a acestuia, inainte de
aceasta incercare, a fost ca avionul pe care urma sa-l piloteze sa fie dotat cu un motor care poate
functiona continuu 40 de ore fara a necesita de actiuni de mentenanta.
Cercetarea continua in domeniul rezistentei materialelor a facut ca in anul 1939, la
Institutul Regal de Tehnologie din Suedia, profesorul Weibull sa puna la punct o repartitie
statistica utilizata in scopul evaluarii rezistentei la rupere a materialelor. Aceasta distributie este
utilizata si in prezent si poarta in continuare numele Weibull.
Conceptul de fiabilitate este propus si utilizat pentru prima data de catre oamenii de
stiinta germani in timpul celui de-al doilea razboi mondial in cadrul proiectului de dezvoltare a
sistemelor de rachete V1 si V2, cautandu-se imbunatirea caracteristicilor tehnice ale acestora.
In anii 40 necesitatile impuse de desfasurarea celui de-al doilea razboi mondial au
condus la introducerea unor numeroase inovatii de ordin tehnic, cele mai importante fiind
-
- 5 -
reprezentate aparitia unor echipamente electronice, precum echipamentele radio portabile,
sistemele RADAR sau detonatoarele electronice. Insa, la o analiza atenta efectuata de armata
americana la sfarsitul conflagratiei, s-a evidentiat faptul ca mai bine de 50% din echipamentele
destinate industriei aeronautice nu erau in stare functionala desi nu fusesera utilizate.
In anul 1948 sunt infiintate Societatea Americana de Fiabilitate si Laboratorul de
Cercetare Statistica din cadrul Universitatii din Washington cu scopul de a dezvolta si diversifica
utilizarea statisticii in domeniul industrial.
In anul 1950 se constituie o comisie in cadrul armatei americane (AGREE), cu scopul de
a analiza din punct de vedere fiabilistic tehnica militara la zi din acea vreme si de a propune
masuri de remediere a eventualelor deficiente remarcate. Astfel in 1952 comisia recomanda
respectarea a trei exigente:
- Se impune dezvoltarea unor componente cu un grad ridicat de fiabilitate.
- Armata trebuie sa stabileasca cerintele de calitate si fiabilitate pe care sa le
intruneasca echipamentele militare.
- Datele de functionare ale componentelor trebuie colectate in scopul stabilirii cauzelor
principale de defectare ale sistemelor.
In anul 1957 comisia face public raportul final care contine o serie de consideratii tehnice
cu impact major in dezvoltarea domeniului fibilitatii :
- majoritatea defectarilor tuburilor vidate in intervalul de functionare dat urmaresc
graficul unei cazi de baie;
- trebuie implementata pe cat posibil proiectarea modulara pentru a usura activitatile de
mentenanta;
- sunt necesare teste de fiabilitate prin intermediul carora sa se poate genera intervale
de incredere statistica privind functionarea componentelor;
- se recomanda inasprirea testelor prin intarirea efectului factorilor externi
(temperatura, vibratii).
Unul dintre cele mai importante aporturi aduse de AGREE teoriei fiabilitatii a fost
enuntarea definitiei clasice a fiabilitatii: Fiabilitatea este probabilitatea de functionare fara
defectare a unui produs in conditii date pentru o perioada de timp dat .
Consecinta raportului publicat in 1957 a fost realizarea Standardului Militar American
781.
In anul 1960 aviatia americana pune bazele dezvoltarii manualului de specificatii tehnice
privind mentenabilitatea echipamentelor MIL-M-26512. Ulterior apar si alte standarde militare
privind mentenabilitatea echipamentelor militare (de ex. MIL-STD-470 si MIL-HDBK-472).
-
- 6 -
In anul 1974 a fost publicat Standardul Militar American 1629 care facea referire la
modurile de defectare si efectele acestor defectari asupra exploatarii, functionarii sau starii unui
dispozitiv (analiza FMEA). In acest standard au fost dezvoltatate ideile de factor uman in
fiabilitate si fiabilitatea performantei umane, aspecte importante in aprecierea fiabilitatii de
functionare a sistemelor complexe. Studiul a fost dezvoltat ulterior in 1977 in Manualul de
estimare a fiabilitatii umane.
Anii 80 au fost anii marilor schimbari in tehnologie. Semiconductoarele au fost
introduse la scara larga in domeniul electronicii sau a productiei de automobile. Sistemele de
ventilare/climatizare au fost dotate cu blocuri de automatizare, sistemele de telecomunicatii au
fost inzestrate cu echipamente electronice inlocuind vechile intreruptoare mecanice. In decursul
acestui deceniu s-a observat o reducere de pana la 90% a ratei de defectare a componentelor si
sistemelor electronice.
In anii 90, odata cu imbunatatirea continua a performantelor computerelor, software-ul
capata o amploare deosebita in utilizare, devenind un factor important in estimarea fiabilitatii
unui sistem tehnic.
Noile cercetari intreprinse in aceasta perioada au condus la dezvoltarea unor modele de
rate de defectare bazate pe defectele intrinseci, inlocuind astfel teoriile elaborate in intervalul
anilor 60-80.
Familia de standarde ISO9000 a fost completata cu marimi fiabilistice in scopul
certificarii procedurilor de proiectare si dezvoltare.
Inceputul mileniului 3 regaseste Internetul intr-un proces de evolutie fara precedent,
aducand cu sine noi amenintari calculatoarelor, ceea ce justifica dezvoltarea continua a software-
ului de securitate.
In tot acest rastimp scoala matematica romaneasca s-a implicat activ in promovarea si
dezvoltarea fiabilitatii ca ramura stiintifica de sine statatoare, dovada fiind infiintarea scolii
romanesti de teorie a probabilitatilor si statistica matematica in perioada interbelica multumita
reputatilor matematicieni Octav Onicescu si Gheorghe Mihoc.
In anul 1975 matematicianul Gheorghe Mihoc publica cartea Bazele matematice ale
teoriei fiabilitatii, ulterior publicandu-se numeroase articole si carti in limba romana referitoare
la teoria fiabilitatii si fiabilitate aplicata in diverse ramuri ale tehnologiei.
Managementul fiabilitatii si mentenabilitatii inca din faza de proiectare reprezinta o tema
de continua actualitate urmarind optimizarea fiabilitatii si mentenabilitatii in raport cu costurile
de investitie si cele de intretinere in perioada de functionare a sistemului.
-
- 7 -
Un caz particular al managementului fiabilitatii si mentenabilitatii este managementul
riscului prin intemediul caruia se urmareste inca din faza de proiectare reducerea riscului de
producere a unor evenimente catastrofice asupra omului sau mediului inconjurator.
Tema abordata se afla atat in atentia institutelor de cercetare nationale si internationale de
profil cat si a sectiilor si laboratoarelor de cercetare din cadrul marilor companii producatoare de
sisteme si subsisteme tehnice prin prisma importantei economice deosebite pe care o are
estimarea cat mai precisa a fiabilitatii si mentenabilitatii.
In lucrarea Contributii la implementarea fiabilitatii si mentenabilitatii in proiectarea
instalatiilor imi propun elaborarea unui model matematic pentru studiul defectarii instalatiilor
cu rezervare cu ajutorul grafului entropic canonic. Acest model matematic sta la baza unui
program de calcul propriu conceput pentru efectuarea analizelor de risc asupra diverselor
structuri de fiabilitate in faza de proiectare.
In acest capitol am incadrat tema lucrarii intr-un context istoric si stiintific justificand
necesitatea abordarii acestei teme de actualitate, care se regaseste intre preocuparile nationale si
internationale prin prisma importantei economice. Sunt subliniate contributiile doctorandului,
originalitatea si gradul de aplicabilitate al acestora.
In urmatoarele doua capitole sunt prezentate considerente teoretice legate de fiabilitatea
si mentenabilitatea instalatiilor si o serie de aplicatii menite sa valideze sau sa analizeze
comparativ eficacitatea metodelor prezentate. Trebuie mentionat faptul ca in acest capitol sunt
aduse o serie de contributii software si analitice pentru metodele expuse.
In al patrulea capitol sunt prezentate cateva dintre preocuparile actuale in privinta
managementului fiabilitatii si mentenabilitatii instalatiilor. Dintre acestea, teoria entropica a
sistemelor va sta la baza modelului matematic elaborat pentru studiul degradarii instalatiilor,
motiv pentru care va fi detaliata intr-un subcapitol dedicat.
In prima parte a capitolului 5 se regasesc contributiile teoretice prin modelul matematic
pe care l-am elaborat in scopul studiului defectarii instalatiilor redondante, pentru ca in
continuarea acestuia sa fie detaliate contributiile de software prin prezentarea principiului de
utilizare al programul de calcul propriu realizat pe baza modelului.
In ultima parte a capitolului am adus o serie de contributii aplicative prin efectuarea
analizei generale a modurilor de defectare pentru un sistem punte cu viabilitati oarecare ale
componentele.
In capitolul urmator sunt aduse alte contributii aplicative prin efectuarea analizelor de
risc pentru sistemele cu rezervare punte sau redondante in cazul unor viabilitati cunoscute ale
elementelor.
-
- 8 -
Capitolul 7 se constituie intr-o sinteza clara si coerenta a metodelor si solutiilor propuse
in teza, prezentand avantajele si dezavantajele tehnico-economice ale acestora, masura in care au
fost atinse obiectivele propuse in capitolul introductiv si directii de continuare a cercetarii in
domeniu.
Capitolul 8 este dedicat prezentarii punctuale a contributiilor originale din cadrul lucrarii
atat sub forma cantitativa cat si sub forma calitativa.
Modelul matematic elaborat in lucrare pentru studiul evolutiei riscului entropic de
defectare a instalatiilor cu ajutorul grafului entropic canonic (GEC) se pare ca este primul model
care nu se bazeaza numai pe o functie de una sau mai multe variabile, ci ia in considerare insasi
structura sistemului care se schimba dupa fiecare pas. Acest lucru nu contrazice, ci chiar
confirma, principiul de baza al lanturilor Markov conform caruia in fiecare stare este cuprinsa
intreaga informatie referitoare la evolutia anterioara a sistemului.
A rezultat in acest fel un lant Markov finit neomogen, in care datele de intrare nu mai
sunt probabilitatile de tranzitie precum in modelele cunoscute, ci probabilitatile starilor din GEC,
calculate pentru structura sistemului rezultata dupa fiecare pas. Valoarea probabilitatilor de
tranzitie rezulta sub forma rapoartelor intre probabilitatile starilor si nu mai sunt constante,
precum in cazul lanturilor Markov finite omogene, singurele care au fost utilizate pana acum cu
un oarecare succes in modelarea fiabilitatii si mentenabilitatii in scopul optimizarii, conform
datelor pe care le avem la dispozitie.
A rezultat in acest fel si o procedura pentru analizele de risc in faza de proiectare, care va
putea fi utilizata nu numai in instalatii si in ingineria sistemelor, ci si in multe alte domenii
(economie, medicina, meteorologie, biologie, etc.).
Modelul si procedura ofera un plus de informatie de cea mai mare necesitate si utilitate
pe parcursul evolutiei proceselor.
-
- 9 -
2. FIABILITATE. EVALUAREA FIABILITATII SISTEMELOR
IN FAZA DE PROIECTARE
2.1. Notiuni generale de fiabilitate
Fiabilitatea (in sens restrans) este aptitudinea unei entitati de a indeplini o cerinta
functionala in conditii date si de-a lungul unui interval dat [73, pag.15].
Fiabilitatea in sens larg sau siguranta in functionare este data de ansamblul proprietatilor
unei entitati care descriu disponibilitatea si factorii care o conditioneaza:
- fiabilitatea;
- mentenabilitatea;
- logistica de mentenanta.
Disponibilitatea este aptitudinea unei entitati de a fi intr-o stare in care sa poata indeplini
o cerinta functionala, in conditii date, la un moment dat sau intr-un interval de timp dat,
presupunand ca resursele exterioare in acest caz sunt asigurate [73, pag.16].
Mentenabilitatea este aptitudinea unei entitati de a fi mentinuta sau restabilita, in conditii
de utilizare date, intr-o stare in care sa poata indeplini cerinta functionala, daca mentenanta este
realizata in conditii date, cu proceduri si resurse prescrise [73, pag.16].
Logistica de mentenanta este aptitudinea unui sistem (structura, organizatie) de a putea
oferi la cerere, in conditii date, resursele necesare pentru mentenanta unei entitati, in
conformitate cu o politica de mentenanta data [73, pag.16].
Mentenanta este ansamblul tuturor actiunilor tehnice si administrative, inclusiv actiuni de
supraveghere, destinate mentinerii sau restabilirii unei entitati intr-o stare care sa poata indeplini
o cerinta functionala [73, pag.16].
Defectarea reprezinta incetarea aptitudinii unui sistem de a-si indeplini cerinta
functionala.
Intre notiunile de calitate si fiabilitate exista o stransa legatura. Daca calitatea reprezinta
un instantaneu la inceputul utilizarii unui produs, atunci fiabilitatea reprezinta filmul utilizarii
acelui produs. Practic fiabilitatea este capacitatea sistemului de a-si putea mentine calitatea pe
toata durata sa de functionare.
2.2. Indicatorii principali de fiabilitate
Principalii indicatori de fiabilitate utilizati in aprecierea unui produs sunt:
- Durata medie de functionare;
- Fiabilitatea ( )tR ;
-
- 10 -
- Probabilitatea de defectare (sau riscul tehnic de defectare) ( )tF ;
- Rata de defectare ( )t . Definirea termenilor prezentati in continuare se face in conformitate cu standardele
internationale in vigoare si cu Dictionarul Terminologiei Electrotehnice Standardizate [73,
pag.26]
2.2.1. Durata medie de functionare [73, pag.25,26]
Media variabilei aleatoare durata de functionare pana la defectare se numeste durata
medie de functionare pana la defectare. Se noteaza cu MTTF. Aceasta marime caracterizeaza
fiabilitatea sistemelor fara restabilire. In cazul sistemelor reparabile se utilizeaza MTBF (durata
medie de functionare intre defectari).
( )dttRMTTF
=0
(2.1)
2.2.2. Probabilitatea de functionare ( )tR
Fiabilitatea este probabilitatea ca entitatea sa-si indeplineasca cerinta functionala, in
conditii date, de-a lungul unui interval de timp dat [73, pag.21]
( ) ( )tTfobtR = Pr , unde Tf este timpul de functionare al entitatii (2.2)
Caracteristicile functiei de fiabilitate sunt cele ale unei functii monoton descrescatoare
pentru care ( ) 10 =R si ( ) 0lim =
tRt
.
2.2.3. Probabilitatea de defectare ( )tF
Functia ( ) ( ) ( )tTfobtRtF == Pr1 se numeste functia de repartitie a variabilei
aleatoare timpul de functionare Tf sau functia nonfiabilitatii [73, pag.22]. Vom vedea pe
parcursul lucrarii ca prin intermediul acestei functii se poate exprima cantitativ si calitativ riscul
de defectare al unui sistem.
2.2.4. Rata de defectare ( )t Rata de defectare reprezinta probabilitatea unei entitati de a se defecta intr-un interval de
timp 0t , cu conditia ca aceasta sa fie in stare de indeplinire a cerintei functionale la
inceputul intervalului de timp [73, pag.22].
( ) ( )( )tRtf
t = (2.3)
-
- 11 -
2.3. Modelul structural pentru calculul fiabilitatii sistemelor
Prima conditie necesara pentru elaborarea modelului structural este data de definirea
corecta a cerintei functionale a sistemului analizat. Odata ce a fost definita cerinta functionala se
poate trece la conceperea schemei logice de fiabilitate pentru sistemul in cauza.
Schema logica de fiabilitate este modelul structural care indica modul de interconectare a
elementelor unui sistem pentru satisfacerea cerintei functionale impuse.
Schema logica este conceputa sub forma unei retele, in care sunt reprezentate elementele
relevante in stabilirea fiabilitatii sistemului [73, pag.37].
2.3.1. Structura serie [73, pag.39], [10, 4.2]
Fiabilitatea sistemului in cazul configuratiei serie cu timp continuu:
=
=n
i
is tRtR1
)()( (2.4)
unde )(tRi sunt fiabilitatile componentelor iar )(tRs este fiabilitatea sistemului.
Daca duratele pana la defectare sunt distribuite exponential, atunci fiabilitatile
componentelor pot fi evaluate conform relatiei:
( ) ti ietR = (2.5)
unde i sunt ratele de defectare constante in timp, corespunzatoare componentelor i .
Din relatiile (2.4) si (2.5) rezulta ca:
=
=n
i
is ttR1
)exp()( (2.6)
Pentru valori foarte mici ale 05.0ti , ecuatia (2.6) devine:
=
n
i
is ttR1
1)( (2.7)
Durata medie pana la defectare este, conform (2.1),
=0
)(tRMTTF s , astfel incat
inlocuind (2.6) in (2.1) rezulta:
=
=n
i
i
sMTTF
1
1
(2.8)
unde sMTTF este durata medie pana la defectare a sistemului analizat.
-
- 12 -
Rata de defectare a sistemului serie este data sub forma ( )dt
tdR
tRtR
tft s
ss
s
s
)(
)(
1
)(
)(== si
inlocuind aceasta formula in relatia (2.1) in obtinem:
=
=n
i
is t1
)( (2.9)
unde i sunt ratele de defectare constante in timp, corespunzatoare componentelor i .
Daca ratele de defectare sunt variabile in timp, atunci putem scrie ca:
tt iis +=)( (2.10)
unde t este timpul si i , i si sunt parametri corespunzatori componentei i .
Se cunoaste ca:
= ))(exp()( dtttR ii (2.11)
Daca inlocuim (2.15) in (2.16), atunci obtinem:
++=
+
1exp)(
1
t
ttR iii (2.12)
Inlocuind (4.9) in (4.1) obtinem:
++=
=
+
= 1exp)( 1
1
1
n
i
in
i
is
t
ttR (2.13)
Notam cu =
=n
i
iA1
; tAT = ; =
=n
i
iB1
si obtinem:
++=
+
AABT
TtRs )1(exp)(
1
(2.14)
Pentru valori mari ale lui n , A iar raportul )1( +A
B are valoare finita, astfel incat:
==
=
tetR
n
i
i
T
s
1
exp)( (2.14)
Deci, fiabilitatea unui sistem serie cu un numar mare de componente cu rate de defectare
variabile este egala cu fiabilitatea aceluiasi sistem cu componente cu rate de defectare constante.
In figura urmatoare este prezentata o structura simpla de tip serie cu doua elemente.
-
- 13 -
Fig.2.1. Structura serie cu doua elemente
2.3.2. Structura redondanta simpla [73, pag.39,159], [10, 4.3]
Fiabilitatea unui sistem cu configuratie redondanta simpla si rate de defectare variabile in
timp este:
( )( )=
=n
i
ip tRtR1
11)( (2.16)
Pentru rate de defectare constante si identice, atunci (2.21) se reduce la:
( )ntp etR = 11)( (2.17) Daca 05.0
-
- 14 -
Fiabilitatea sistemului in timp continuu in cazul a n componente identice se poate
calcula cu formula:
=n
k
knkn
ks RRCR )1( (2.20)
2.3.4. Structura redondanta secventiala [10, 5.7]
In situatia unui sistem paralel alcatuit din n elemente, in care un element functioneaza in
sarcina iar celelalte 1n elemente sunt in asteptare, nefunctionand in sarcina, spunem ca avem
un sistem redondant de tip secvential.
Fig.2.4. Structura redondanta secventiala
Acest tip de configuratie se va defecta in momentul in care toate componentele ei vor fi
defecte.
Fiabilitatea sistemului redondant secvential se calculeaza cu relatia:
( ) ( )
=
=1
0 !
n
i
i
t
si
tetR
(2.21)
unde ( )tRs este fiabilitatea sistemului secvential, este rata de defectare constanta iar n este
numarul de componente ale sistemului.
Sa mentionam ca pentru obtinerea relatiei (2.21) au fost luate in considerare urmatoarele
aspecte:
- Comutatorul este perfect (are fiabilitate unitara);
- Componentele sunt identice;
- Rata de defectare a componentei este constanta;
- Componentele se defecteaza in mod independent;
- Componentele redondante nu se uzeaza in intervalul de asteptare.
Integrand ecuatia (2.21) obtinem durata medie pana la defectare:
( )n
dttRMTTF s ==
0
(2.22)
Trebuie avut in vedere ca redondanta conduce intotdeauna la cresterea:
- Greutatii produsului;
-
- 15 -
- Spatiului alocat;
- Costurilor de mentenanta preventiva;
- Consumului de energie;
- Numarului de defectari in instalatia utilizata.
2.3.5. Structura punte [73, pag.175], [10, 4.7]
Daca fiabilitatile componentelor sunt diferite, atunci fiabilitatea sistemului punte se
calculeaza cu relatia:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+++= tRtRtRtRtRtRtRtRtRtRtRtRs 531432543212
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )++ tRtRtRtRtRtRtRtR 54325241 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tRtRtRtRtRtRtRtR 32154321
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tRtRtRtRtRtRtRtR 54215431 (2.23)
Pentru componente identice fiabilitatea sistemului devine:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2345 2252 tRtRtRtRtRs ++= (2.24)
Durata medie pana la defectare se obtine integrand relatia (2.24):
60
49=MTTF (2.25)
Fig.2.5. Structura complexa de tip punte
2.4. Aplicatii ale modelului structural pentru calculul fiabilitatii sistemelor
2.4.1. Solutii pentru modelarea si optimizarea riscului de nefunctionare a instalatiilor
Riscul este o notiune veche care, conform DEX editia 2009, reprezinta posibilitatea
de a ajunge intr-o primejdie, de a avea de infruntat un necaz sau de suportat o paguba; pericol
posibil [32].
-
- 16 -
In limba engleza, potrivit Dictionarului Oxford, utilizarea termenului este consemnata
inca din anul 1621, fiind definit drept posibilitatea unei pierderi, a unei daune sau a unei alte
circumstante adverse. Se cunoaste, de asemenea, ca in Evul Mediu termenul risicum era
utilizat in comertul maritim, reprezentand riscurile legale si financiare pe care acesta le implica
[31].
In Standardul de management al riscului ISO 31000:2009 definitia riscului este aceea de
efect al incertitudinii asupra obiectivelor propuse [31].
Riscul in fiabilitatea si mentenabilitatea instalatiilor. Generalitati
In teoria clasica a fiabilitatii sistemelor riscul este definit de functia de nonfiabilitate [73,
p.22]:
( ) ( )tRtF = 1 , Tt < (2.26)
unde t este timpul de functionare fara defectiuni;
T este limita superioara a duratei stabilite de buna functionare.
Pentru evaluarea impactului pe care il are riscul de nefunctionare a instalatiei analizate se
utilizeaza relatia:
)(Im tFIR = , (2.27)
unde IR - indice de risc;
Im - impactul evenimentului neprevazut (finaciar, uman, etc);
)(tF - probabilitatea de aparitie a evenimentului neprevazut (nonfiabilitatea).
Modelarea si optimizarea riscului de nefunctionare a instalatiilor
In continuare sunt analizate comparativ, din punct de vedere al riscului, patru scheme
logice de fiabilitate des utilizate:
- structura punte;
- structura redondanta 3 din 5;
- structura redondanta 1 din 3;
- structura redondanta secventiala (stand-by) cu 2 elemente.
Vom analiza schemele mentionate in ipoteza RRRRRR ===== 54321 , unde iR sunt
fiabilitatile celor 5 componente.
Fiabilitatile componentelor sunt calculate in functie de rata de defectare a componentei,
fixata ca ipoteza de calcul la valoarea 61025 =comp defectari/ora, si durata stabilita de
functionare a componentei, respectiv, a sistemului.
-
- 17 -
Rata de defectare a componentei a fost stabilita la o valoare frecvent intalnita in cadrul
sistemelor tehnice actuale.
Fiabilitatea sistemului pentru configuratia punte este [73, pag.177]:
2345 2252 RRRRRs ++= (2.28)
unde Rs este fiabilitatea sistemului in cazul configuratiei punte cu cinci elemente.
Pentru o schema de fiabilitate cu redondanta din n , fiabilitatea sistemului se
calculeaza cu relatia [73, p.167]:
=n
nnRRCnR
)1(/ (2.29)
In particular, pentru schema cu redondanta 3 din 5 rezulta:
3455/3 10156 RRRR += (2.30)
unde 5/3R este fiabilitatea sistemului in cazul configuratiei cu redondanta 3 din 5.
Fiabilitatea sistemului cu redondanta activa 1 din 3 este data de relatia:
3)1(1 RRs = (2.31)
In cazul structurii redondante secventiale, formula de calcul a fiabilitatii unui sistem cu n
elemente este data de relatia (2.26):
( ) ( )
=
=1
0 !
n
i
i
t
si
tetR
In particular, pentru structura cu doua elemente relatia de calcul va deveni:
( ) ( )tetR ts += 1 (2.32)
Algoritmul propus in aceasta lucrare pentru comparatia riscului diferitelor scheme logice
considerate presupune parcurgerea urmatoarelor etape:
- Ipoteza de calcul: componentele sunt identice din punct de vedere a fiabilitatii;
- Se fixeaza valoarea ratei de defectare a componentei;
- Se atribuie valori fiabilitatii componentei in intervalul 10 =R , cu un pas 02.0=p ;
- In functie de fiabilitate si rata de defectare a componentei, se calculeaza durata de
functionare (vezi anexa 1);
- Fiabilitatile componentelor si fiabiltatile si riscurile sistemelor sunt centralizate intr-
un tabel de calcul anexat lucrarii;
Se traseaza doua grafice (vezi fig.2.6, 2.7) care vor folosi drept instrumente de analiza
asupra riscurilor sistemelor:
- Variatia riscului sistemului in raport cu durata stabilita de functionare;
- Variatia riscului sistemului in raport cu fiabilitatea componentei.
-
- 18 -
Variatia riscului sistemului in raport cu durata stabilita de functionare
0.000
0.100
0.200
0.300
0.400
0.500
0.600
0.700
0.800
0.900
1.000
0.00
0.19
0.38
0.58
0.80
1.02
1.25
1.50
1.76
2.04
2.33
2.65
2.99
3.35
3.75
4.18
4.67
5.20
5.81
6.52
7.35
8.37
9.68
11.53
14.70
31.54
Durata stabilita de functionare [ani]
Riscul de defectare a sistemului
F sist punte
F sistem "3 din 5"
F sistem "1 din 3"
F sistem stand-by cu 2 elem
Fig.
2.6.
Var
iati
a ri
scul
ui te
hnic
al s
iste
mul
ui in
rap
ort c
u du
rata
sta
bili
ta d
e fu
ncti
onar
e
-
- 19 -
Variatia riscului sistemului in raport cu fiabilitatea componentei
0.000
0.100
0.200
0.300
0.400
0.500
0.600
0.700
0.800
0.900
1.000
1.000
0.960
0.920
0.880
0.840
0.800
0.760
0.720
0.680
0.640
0.600
0.560
0.520
0.480
0.440
0.400
0.360
0.320
0.280
0.240
0.200
0.160
0.120
0.080
0.040
0.001
Fiabilitatea componentei
Riscul de defectare a sistemului
F sist punte
F sistem "3 din 5"
F sistem "1 din 3"
F sistem stand-by cu 2 elem
Fig
.2.7
. Var
iatia
ris
culu
i teh
nic
al s
iste
mul
ui in
rap
ort c
u fi
abil
itat
ea c
ompo
nent
ei
-
- 20 -
In tabelul din anexa 1 au fost utilizate urmatoarele notatii:
- comp - rata de defectare a componentei;
- t - durata stabilita de functionare a sistemului;
- compR - fiabilitatea componentei;
- puntesistR _ - fiabilitatea sistemului in cazul structurii punte;
- puntesistF _ - riscul de defectare a sistemului in cazul structurii punte;
- "53_" dinsistR - fiabilitatea sistemului in cazul structuriii redondante 3 din 5;
- "53_" dinsistF - riscul de defectare a sistemului in cazul structurii 3 din 5;
- "31_" dinsistR - fiabilitatea sistemului in cazul structurii redondante 1 din 3;
- "31_" dinsistF - riscul de defectare a sistemului in cazul structurii 1 din 3;
- elRSR 2, - fiabilitatea sistemului in cazul structurii redondante secventiale cu doua
elemente;
- elRSF 2, - riscul de defectare a sistemului in cazul structurii redondante secventiale cu
doua elemente.
Concluzii
1. Structura redondanta secventiala obtine un risc foarte mic, in comparatie cu
structurile alcatuite din cinci elemente, ceea ce o recomanda spre utilizare de fiecare
data cand este posibil prin prisma costurilor reduse de mentenanta.
2. Analiza comparativa structura punte structura 3 din 5
- Pentru o fiabilitate a componentei 5.0>Rcomp , riscul de defectare in cazul
configuratiei punte este mai mare decat cel in cazul configuratiei 3 din 5;
- Pentru o fiabilitate a componentei 5.0=Rcomp , riscul de defectare a sistemului
punte este egal cu riscul de defectare in cazul configuratiei 3 din 5;
- Pentru o fiabilitate a componentei 5.0
-
- 21 -
3. Analiza comparativa structura 1 din 3 structura redondanta secventiala cu doua
elemente:
- Pentru o fiabilitate a componentei 32.0>Rcomp , riscul de defectare in cazul
configuratiei redondante secventiale cu doua elemente este mai mare decat cel in
cazul configuratiei 1 din 3;
- Pentru o durata de functionare a sistemului de pana la 5 ani, riscul de defectare in
cazul configuratiei redondante secventiale cu doua elemente este mai mare decat
cel in cazul configuratiei 1 din 3;
- Tinand cont de faptul ca fiabilitatile componentelor sunt foarte ridicate in cadrul
sistemelor tehnice, atunci riscul sistemului 1 din 3 este mai mic in cadrul
acestui scenariu considerat.
- Datorita faptului ca diferentele de risc sunt suficient de mici, recomand utilizarea
structurii redondante secventiale prin prisma faptului ca utilizeaza un numar mai
mic de componente, care rezulta intr-un cost mai mic de investitie si mentenanta;
- Gradul de uzura al componentei secundare din structura redondanta secventiala
este mult mai scazut decat al componentelor secundare din celelalte scheme
logice studiate.
2.5. Metode de evaluare a fiabilitatii sistemelor
Procesul de evaluare a fiabilitatii se demareaza in faza de proiect sub forma de fiabilitate
estimata, fiind calculata ulterior in faza de exploatare sub forma de fiabilitate realizata.
In scopul simplificarii metodelor si procedeelor de evaluare a fiabilitatii se utilizeaza o
serie de ipoteze, dupa cum urmeaza [77]:
- Ipoteza functiei de repartitie exponentiala a duratelor de functionare;
- Ipoteza elementelor independente din punct de vedere al defectarii (defectarea
unui element nu influenteaza probabilitatile de defectare ale celorlalte);
- Ipoteza limitarii numarului de stari ale unei entitati (entitatile se pot afla in stare
de functionare sau stare de defect, daca nu se specifica altfel);
- Ipoteza limitarii numarului de tranzitii posibile intr-un interval (probabilitatea ca
intr-un interval de timp finit sa produca mai mult o defectare este neglijabila;
doua sau mai multe defectari simultane sunt neglijabile);
- Ipoteza neglijarii tranzitiei dintr-o stare de defect intr-o alta stare de defect;
- Ipoteza raportului mare intre durata medie pana la defectare si durata medie de
reparare.
-
- 22 -
In continuare voi prezenta o serie de metode de evaluare a fiabilitatii cu un grad ridicat de
aplicabilitate.
2.5.1. Metoda solutiei generale [73, pag.66-72]
Sisteme cu restabilire
Metoda solutiei generale este o metoda derivata din metoda Markov, bazandu-se pe
posibilitatea de generalizare a relatiilor de determinare a probabilitatii absolute a starilor,
rezultate in urma intocmirii tabelului starilor. Astfel se evita rezolvarea sistemului de ecuatii
rezultat din tabel, care este un calcul foarte anevoios de cele mai multe ori.
Probabilitatile absolute ale starilor se pot obtine cu ajutorul regulii de inmultire a
probabilitatilor starilor independente.
Descrierea si analiza starilor sistemului este prezentata in tabelul starilor in cele ce
urmeaza.
Se cunoaste ca indisponibilitatea U poate fi exprimata in functie de disponibilitatea A cu
relatia:
AU = 1 (2.33)
iar daca
+
=A (2.34)
unde este rata de reparare;
este rata de defectare, atunci
+
=U (2.35)
=A
U (2.36)
Generalizat, pentru un element i :
i
i
i
i
A
U
= (2.37)
Daca notam cu 1210
,...,,n
PPP probabilitatile celor 12 n stari ale sistemului (vezi tab.
2.1.), atunci acestea se pot scrie sub forma:
=
=n
i
iAP1
0 (2.38)
1
10
1
101
P
A
UPP == (2.39)
2
20
2
202
P
A
UPP == (2.40)
-
- 23 -
2
20
2
202
==
n
n
n
nn P
A
UPP
(2.41)
1
10
1
101
==
n
n
n
nn P
A
UPP
(2.42)
n
n
n
nn P
A
UPP
00 == (2.43)
21
210
11
2101
P
AA
UUPPn =
=+ (2.44)
31
310
31
3102
P
AA
UUPPn =
=+ (2.45)
nn
nn
nn
nnn P
AA
UUPP
2
20
2
2012
=
= (2.46)
nn
nn
nn
nnn P
AA
UUPP
2
20
2
2012
=
= (2.47)
nn
nn
nn
nnn P
AA
UUPP
1
10
1
102
=
= (2.48)
321
3210
221
321012
P
AAA
UUUPP n =
=+ (2.49)
nnn
nnn
nnn
nnn PAAAAA
UUUUUPP n
1231
12310
1231
1231032 ...
...
...
...
=
= (2.50)
nnn
nnn
nnn
nnn PAAAAA
UUUUUPP n
1231
12310
1231
1231032 ...
...
...
...
=
= (2.51)
nnn
nnn
nnn
nnn PAAAAA
UUUUUPP n
1232
12320
1232
1232022 ...
...
...
...
=
= (2.52)
nnn
nnn
nnn
nnn PAAAAAA
UUUUUUPP n
12321
123210
12321
12321012 ...
...
...
...
=
= (2.53)
Odata ce au fost obtinute probabilitatile starilor posibile se pot calcula indicatorii de
fiabilitate ai sistemului cu relatiile urmatoare:
=Fk
kPA (2.54)
unde A este disponibilitatea sistemului.
( )
=Fk
kPTT (2.55)
-
- 24 -
unde ( )T este durata medie totala de disponibilitate a sistemului.
( )
=
FkkPTT 1 (2.56)
unde ( )T este durata medie totala de indisponibilitate a sistemului.
Starea Elementul Probabilitatile starilor
1 2 3 n-2 n-2 n Disponibilitati in regimul stationar
0 F F F F F F nnn AAAAAA 12321 ...
1 D F F F F F nnn AAAAAU 12321 ...
2 F D F F F F nnn AAAAUA 12321 ...
.
.
.
n-2 F F F D F F nnn AAUAAA 12321 ...
n-1 F F F F D F nnn AUAAAA 12321 ...
n F F F F F D nnn UAAAAA 12321 ...
n+1 D D F F F F nnn AAAAUU 12321 ...
n+2 D F D F F F nnn AAAUAU 12321 ...
.
.
.
2n-1 F F F D F D nnn UAUAAA 12321 ...
2n F F F F D D nnn UUAAAA 12321 ...
2n+1 D D D F F F nnn AAAUUU 12321 ...
.
.
.
2n-3 D F D D D D nnn UUUUAU 12321 ...
2n-2 F D D D D D nnn UUUUUA 12321 ...
2n-1 D D D D D D nnn UUUUUU 12321 ...
Tab.2.1. Tabelul starilor sistemului
-
- 25 -
Sisteme fara restabilire
Pentru aceasta metoda nu se pune problema intocmirii unui graf de tranzitii intre stari sau
a unei matrici a probabilitatilor, deoarece analiza se face pentru o singura stare, starea de
functionare.
Probabilitatile absolute ale starilor se pot determina din tabelul starilor.
( ) ( )=
=n
i
i tPtP1
0 (2.57)
( ) ( ) ( )( )tRtQ
tPtP1
101 = (2.58)
( ) ( ) ( )( )tRtQ
tPtP2
202 = (2.59)
( ) ( ) ( )( )tRtQ
tPtPn
n
n 0= (2.60)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )tRtR
tQtQtPtPn
21
2101 =+ (2.61)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )tRtR
tQtQtPtPn
31
3102 =+ (2.62)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )tRtR
tQtQtPtP
nn
nn
n
1
102
= (2.63)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )tRtRtR
tQtQtQtPtP n
321
321012 =+ (2.64)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )tRtRtR
tQtQtQtPtP n
421
421022 =+ (2.65)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )tRtRtRtR
tQtQtQtQPtP
nn
nnn
132
132022 ...
...
= (2.66)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )tRtRtRtR
tQtQtQtQPtP
nn
nnn
121
121012 ...
...
= (2.67)
( ) ( )=
=n
i
i tRtP1
0 ; ( ) ( )=
=
n
i
i tQtP n1
12 (2.68)
-
- 26 -
Fiabilitatea sistemului este data de suma probabilitatilor starilor de functionare a
sistemului:
( )
=Fk
kS PtR (2.69)
Rata de defectare se calculeaza cu relatia:
( ) ( )tRdt
dt Sln= (2.70)
Durata medie pana la defectare (MTTF) se calculeaza cu relatia:
( )
=0
tRMTTF S (2.71)
2.5.2. Procedeul grupurilor de defectare [73, pag.73,74]
Procedeul grupurilor de defectare se aplica sistemelor complexe greu reductibile la
configuratii clasice, fiind inlesnit ulterior calculul prin modelele structurale serie si paralel.
In scopul aplicarii metodei este necesar sa facem urmatoarele ipoteze:
- elementele sunt independente sin punct de vedere al fiabilitatii;
- este neglijata probabilitatea ca la un moment dat sa fie defecte mai mult de doua
elemente relevante ale schemei.
Grupul de defectare este multimea elementelor, pentru care starea de functionare a
multimii este asigurata de starea de functionare a cel putin unui element al multimii.
In practica s-a observat ca intr-un sistem tehnic oarecare se pot defecta cel mult doua
elemente intr-un interval de timp relativ scurt. In consecinta, in cadrul metodei se considera
grupuri de defectare multimile constituite numai din unul sau doua elemente.
Constituirea grupurilor de defectare consta in alcatuirea unei matrici patratice cu numarul
de linii si coloane egal cu numarul de elemente al sistemului analizat.
Se cauta toate defectarile posibile ale sistemului cauzate de grupul alcatuit dintr-un
element de pe linii si un element de pe coloane. Fiecare situatie de acest fel este marcata in
matricea de analiza, cele doua elemente alcatuind un grup de defectare.
Analiza matricii se face numai deasupra diagonalei principale (inclusiv pe diagonala) din
motive de simetrie.
Ulterior, toate grupurile de defectare se reprezinta in serie intr-o schema logica
echivalenta de fiabilitate. Grupul de defectare alcatuit dintr-un singur element se reprezinta ca
atare prin acel element iar grupul de defectare alcatuit din doua elemente se reprezinta sub forma
a doua elemente in paralel.
-
- 27 -
2.5.3. Metoda transformarii triunghi-stea
Teoremele de transformare sunt instrumente deosebit de puternice si valoroase in
calcularea fiabilitatii unui sistem complex, motiv pentru care le voi detalia in cele ce urmeaza.
Modelarea sistemelelor complexe sub forma schemelor logice de fiabilitate si asemanarea
acestora in multe privinte cu schemele circuitelor electrice au determinat imprumutarea unor
denumiri si notiuni utilizate in electrotehnica. Un astfel de exemplu este dat de teoremele de
transformare.
Teoremele de transformare sunt utilizate pentru echivalarea schemelor serie si paralel cu
cate un element sau pentru echivalarea schemelor triunghi cu schemele stea si, respectiv, a
schemelor stea cu scheme triunghi. De mentionat este faptul ca, spre deosebire de electrotehnica,
echivalarea schemei stea cu schema triunghi nu prezinta o importanta deosebita in fiabilitatea
instalatiilor. In schimb transformarea schemelor triunghi in scheme echivalente stea este deosebit
de importanta in analiza fiabilistica a schemelor de instalatii electrice, motiv pentru care vor fi
detaliate in cele ce urmeaza.
Relatii matematice de transformare triunghi-stea
Fie o schema logica de fiabilitate alcatuita din trei componente dispuse in triunghi cu
fiabiltatile 231312 ,, RRR .
Se cere transformarea schemei logice triunghi intr-o schema logica de fiabilitate de tip
stea.
Fig.2.8. Schema logica tip triunghi Fig.2.9. Schema logica tip stea
Daca notam cu:
( ) )1(11 231312 RRRA = (2.72)
( ) )1(11 131223 RRRB = (2.73)
( ) )1(11 231213 RRRC = (2.74)
-
- 28 -
atunci B
ACR =1 ;
C
ABR =2 ;
A
BCR =3 (2.75)
Demonstratia teoremei de transfigurare este redata pe larg in literatura de specialitate.
Teorema de transformare triunghi-stea [73, pag. 198-212]
a. Transformarea triunghi-stea pentru elemente identice din punct de vedere al fiabilitatii
Fig.2.10. Transformarea triunghi-stea
pentru elemente identice din punct de vedere al fiabilitatii
Teorema de transformare triunghi-stea, pentru cazul particular al elementelor identice din
punct de vedere al fiabilitatii, consta in urmatoarele relatii de calcul:
- pentru cazul in care nodurile 1 si 2 reprezinta puncte de alimentare iar nodul 3
reprezinta un consumator, atunci
3
2
21 3
2
+
== (2.76)
321 2 == (2.77)
- pentru cazul in care nodul 1 reprezinta un punct de alimentare iar nodurile 2 si 3
reprezinta consumatori, atunci
1
2
32 3
2
+
== (2.78)
132 2 == (2.79)
Reamintesc ca este vorba despre situatia in care:
=== 312312 si === 312312
-
- 29 -
In conditiile in care raportul 01.0=
, eroarea de aproximare este sub 0.05%. In cazurile
reale , cand 005.0 , unde 2P si 3P sunt puterile corespunzatoare sarcinii maxime a
consumatorilor 2 si 3.
Se disting patru cazuri posibile pentru aceasta schema in functie de puterea luata in calcul
la dimensionarea celor trei circuite.
In ipoteza 32 PP > , trebuie satisfacute inegalitatile:
3332232 PkPPkPP >>+> (2.98)
2
32 1
P
Pk < (2.99)
Circuitul Puterea considerata in calculul de dimensionare
1 2 3 4
1-2 32 PP + 32 PP + 32 PP + 332 PkP +
1-3 32 PP + 223 PkP + 3P 3P
2-3 2P 223 PkP + 3P 33Pk
Tab.2.5. Variante de dimensionare a schemelor in triunghi
in cazul unei alimentari si a doi consumatori
Problema consta in determinarea parametrilor echivalenti de fiabilitate la nivelul
nodurilor 2 si 3. Cea mai comoda metoda de rezolvare a acestei probleme este procedeul
grupurilor de defectare cu utilizarea relatiilor aproximative.
2.5.4. Metoda simplificarii conditionate [10, 6.5]
Aceasta metoda este utilizata pentru evaluarea fiabilitatii in cazul sistemelor complexe,
care pot fi simplificate in subsisteme prin aplicarea teoriei probabilitatilor conditionate.
Principiul metodei este acela de a alege un element relevant cu scopul de a putea
descompune sistemul in subsisteme mai simple. O alegere nefericita a acestui element relevant
poate conduce la o eficienta scazuta in calculul fiabilitatii sistemului. In prima faza a calculului
elementul relevant este ipotetic considerat de fiabilitate ideala, urmand ca in cea de-a doua faza
sa fie ipotetic considerat defect.
Daca notam cu k elementul relevant, atunci fiabilitatea sistemului ar putea fi scrisa sub
forma relatiei:
( ) ( ) )0/()1/( ksistemRkFksistemRkRRs += (2.100)
unde sR - fiabilitatea sistemul analizat;
-
- 34 -
)1/( ksistemR fiabilitatea sistemului cu conditia ca elementul k sa fie ideal din punct de
vedere al fiabilitatii;
)0/( ksistemR fiabilitatea sistemului cu conditia ca elementul k sa fie defect;
( )kR - fiabilitatea elementului ( )k ;
( )kF - probabilitate de defectare a elementului ( )k .
Similar lui (2.105) se poate scrie expresia nonfiabilitatii sistemului sub forma:
( ) ( ) )0/()1/( ksistemFkFksistemFkRFs += (2.101)
unde sF - probabilitatea de defectare a sistemul analizat;
)1/( ksistemF probabilitatea de defectare a sistemului cu conditia ca elementul k sa fie
ideal din punct de vedere al fiabilitatii;
)0/( ksistemF probabilitatea de defectare a sistemului cu conditia ca elementul k sa
fie defect;
( )kR - fiabilitatea elementului ( )k ;
( )kF - probabilitatea de defectare elementului ( )k .
2.5.5. Metoda Monte Carlo [33]
Metodele Monte Carlo reprezinta o clasa de algoritmi de calcul care se bazeaza pe
generarea aleatoare de probe pentru obtinerea rezultatelor. Aceste metode sunt deseori utilizate
pentru simularea sistemelor si sunt potrivite calculului informatic pentru ca se bazeaza in
totalitate pe generarea numerelor aleatoare sau pseudo-aleatoare, tinzand sa fie utilizate atunci
cand este imposibil de obtinut rezultatul exact prin intermediul algoritmilor deterministi.
Metodele Monte Carlo sunt in special utilizate in studierea sistemelor cu numar mare de
grade de libertate, cum ar fi fluidele, materialele neordonate, solidele si structurile celulare. Mai
mult, aceste metode sunt corespunzatoare pentru modelarea fenomenelor cu un grad semnificativ
de incertitudine al datelor de intrare (de exemplu, riscul asumat in afaceri).
De asemenea, sunt des utilizate in matematica pentru evaluarea integralelor definite sau a
integralelor multidimensionale cu conditii limita complicate.
Numele metodei, Monte Carlo, a fost dat in anii 40 de fizicienii care lucrau la
proiectele de dezvoltare a armelor nucleare in cadrul Laboratorului National Los Alamos din
SUA.
Primele idei in legatura cu aceasta clasa de metode au fost aduse de fizicienii Enrico
Fermi (anii 1930) si Stanislaw Ulam (anii 1940). Ulam l-a contactat mai tarziu pe John von
Neumann in acest sens.
-
- 35 -
Fizicienii de la Laboratorul Los Alamos investigau scuturile de radiatie si capacitatea de
penetrare a neutronilor prin diverse materiale. In ciuda faptului ca dispuneau de majoritatea
datelor necesare, cum ar fi distanta pe care o parcurge un neutron printr-un material inainte de se
ciocni cu un nucleu atomic si energia eliberata la de neutron dupa ciocnirea cu nucleul atomic,
problema nu putea fi rezolvata prin metode analitice.
John von Neumann si Stanislaw Ulam au sugerat ca problema ar putea fi rezolvata prin
intermediul modelarii informatice a experimentului utilizand principiile probabilistice. Astfel,
proiectul secret la care lucrau a primit numele de cod Monte Carlo. Numele provine de la
orasul Monte Carlo, capitala statului Monaco, pentru similitudinea dintre jocurile de noroc si
principiul metodei bazat pe generarea numerelor aleatoare.
Metodele Monte Carlo au fost utilizate pentru proiectul Manhattan (proiectul pentru
construirea primei bombe atomice), desi erau destul de limitate din cauza slabei dezvoltari a
instrumentelor informatice de la acea vreme. De aceea, numai dupa ce au fost construite
calculatoarele electronice (dupa cel de-al doilea razboi mondial), metoda Monte Carlo a inceput
sa fie dezvoltata in profunzime.
Domeniile de aplicare a metodelor Monte Carlo sunt foarte diverse, in continuare fiind
prezentate cateva dintre ele:
- Fizica - aplicatii de la cromodinamica cuantica la proiectarea scuturilor termice sau a
formelor aerodinamice, modelarea moleculara, modelele de ansamblu care formeaza
teoria de baza a meteorologiei moderne;
- Proiectie vizuala - calculele de iluminare globala care produc imagini fotorealiste ale
modelelor 3D cu aplicatii in jocurile video, arhitectura, proiectare, filme generate pe
calculator sau efecte speciale;
- Finante - calcularea valorii de piata a companiilor, pentru evaluarea investitiilor sau
pentru evaluarea altor derivate financiare; industria asigurarilor are la baza
dezvoltarea unor astfel de metode stochastice.
- Telecomunicatii in proiectarea unei retele wireless trebuie sa se tina cont de faptul
ca sistemul trebuie sa lucreze in conditii optime pentru o larga varietate de scenarii
care trebuie sa tina cont de nmarul de utilizatori, locatia lor si serviciile pe care doresc
sa le utilizeze.
Algoritmul procedeului Monte Carlo
- Pasul 1: Se intocmeste modelul descriptiv ),...,,( 21 nxxxfy = ;
- Pasul 2: Se genereaza aleator setul de date de intrare nxxx ,...,, 21 ;
-
- 36 -
- Pasul 3: Se evalueaza modelul iy ;
- Pasul 4: Se repeta pasii 2 si 3 pentru ri ...1= , unde r este numarul stabilit de iteratii;
- Pasul 5: Se analizeaza rezultatele utilizand procedeele statistice, histogramele,
intervalele de incredere, etc.
Avantajele metodei:
- Modelarea functionarii sistemului este apropiata de functionarea reala, oferind
posibilitatea luarii in calcul a oricarei caracteristici cunoscute;
- Rezultatele sunt precise;
- Algoritmii de simulare sunt relativ simpli;
- Exista posibilitatea utilizarii diferitelor tipuri de distributii pentru modelarea
functionarii sistemului (tipuri de functionare, reparare, parametri caracteristici);
- Exista posibilitatea determinarii unui numar mare de de indicatori de fiabilitate si
disponibilitate, fie ca valori medii, fie ca valori momentane.
Dezavantajele metodei:
- Timpul de simulare este mare in cazul unui numar mare de elemente;
- Rezultatele sunt dependente de numarul de simulari in care sunt generate numerele
aleatoare;
- Pentru obtinerea unor rezultate precise este nevoie de un numar mare de simulari,
care pot conduce la reducerea abaterilor de calcul.
Aplicatie. Estimarea numarului prin intermediul metodei Monte Carlo aplicata in
cadrul programului de calcul MATLAB.
In figura 2.16 este prezentata constructia geometrica a unui cerc inscris cu raza 1=R
intr-un patrat cu latura 2=l .
Se fixeaza un sistem cartezian de coordonate xOy in centrul O ale cercului inscris.
Se vor genera numerele aleatoare ]1,0[ix si ]1,0[iy . Se calculeaza 22
iii yxz += .
Daca 1iz , atunci punctul se afla in interiorul cercului sau pe cerc. In caz contrar
punctul se afla in exteriorul cercului.
Se cunoaste ca 2RAcerc = si 24RApatrat = , de unde rezulta 4
=
patrat
cerc
A
A.
-
- 37 -
Fig.2.16. Constructia geometrica pentru estimarea numarului
Se vor contoriza punctele situate in interiorul cercului si pe cerc (succese) cat si numarul
total de iteratii (numarul total de puncte generate).
In final se obtine valoarea estimata punctetotalnr
erioarepunctenr
A
A
patrat
cerce _.
int_.44 =
= .
Fig.2.17. Estimarea numarului prin intermediul programului MATLAB
-
- 38 -
Se poate calcula eroarea relativa a valorii estimate e fata de valoarea teoretica t prin
urmatoarea relatie:
100[%]
=t
teiE
; (2.102)
In figura 2.17 este prezentat graficul de variatie in programul MATLAB al valorii
estimate e in functie de numarul total de iteratii pentru un numar de iteratii 3125=N .
Se constata o buna estimare a numarului prin aceasta metoda facila, obtinandu-se o
aproximare din ce in ce mai fina pe masura cresterii numarului de iteratii in cadrul programului
de calcul.
2.5.6. Metoda arborelui de defectare [10, 6.3]
Metoda arborelui de defectare consta in construirea unei scheme logice de defectare prin
intermediul careia sunt analizate defectarile componentelor care produc un anumit tip de
defectare in sistem.
Este o metoda foarte des utilizata in industrie, pentru ca prezinta avantajul identificarii
tutror cauzelor posibile care pot conduce catre realizarea tipului de defectare studiat.
Schema logica utilizeaza urmatoarele tipuri de simboluri:
- SI evenimentul defectare se produce, daca toate evenimentele de intrare sunt de
defectare;
- SAU evenimentul defectare se produce, daca unul sau mai multe evenimente de
intrare sunt de defectare;
- Cerc reprezinta defectarea unei componente elementare a sistemului;
- Dreptunghi reprezinta un eveniment de defectare care se produce prin utilizarea
unui operator logic si/sau;
- Romb reprezinta o defectare a carei cauze nu sunt pe deplin cunoscute.
Fig.2.18. Simboluri utilizate in metoda arborelui de defectare
-
- 39 -
Algoritmul de realizare a unui arbore de defectare consta in urmatoarele etape:
- Intelegerea functionarii sistemului si a scopului in care a fost realizat;
- Definirea defectarilor nedorite a sistemului analizat;
- Catalogarea importantei defectarilor analizate, construirea arborilor de defectare
pentru fiecare dintre defectari si interconectarea logica a arborilor obtinuti;
- Evaluarea calitativa si cantitativa a arborelui compus obtinut.
Metoda permite prezentarea intr-o maniera clara a interconexiunilor dintre diferite
evenimente care pot conduce la realizarea evenimentului principala de defectare analizat.
Tinand cont de faptul ca aceasta metoda nu ia in calcul severitatea defectarii, ci numai
aparitia acesteia, trebuie avuta in vedere atentia deosebita cu care sunt selectionate spre analiza
evenimentele principale de defectare care fac subiectul unei analize de tip arbore de defectare.
.
Fig.2.19. Arbore de defectare
In fig.2.19 am schitat un exemplu de arbore de defectare intocmit pentru un subsistem
constituit din coloana de distributie, racord si robinetele corespunzatoare in cadrul unui sistem
interior de distributie apa rece potabila, aferent unei cladiri de locuit.
-
- 40 -
2.5.7. Analiza modurilor de defectare si a efectelor si consecintelor acestora (FMECA)
[10,6.6], [1], [25], [69]
FMECA este o procedura inductiva, care este, in general, rezultatul unei munci de
echipa realizata de proiectant si inginerii de fiabilitate. Procedura este stabilita in standardul IEC
60812. Este o metoda usor de aprofundat, dar destul de anevoioasa pentru sisteme sau
echipamente complexe. Din acest motiv este recomandata concentrarea eforturilor asupra
componentelor critice, in particular, asupra componentelor redondante []. Analiza FMECA
este utilizata, de asemenea, in scopul optimizarii mentenabilitatii [9, pag.72].
Metoda de analiza FMECA este alcatuita din doua tipuri de metode de analiza
complementare, respectiv metoda de analiza modurilor de defectare si a efectelor acestora
(FMEA) si metoda de analiza a consecintelor defectarilor (CA).
In timp ce metoda FMEA studiaza diferite moduri de defectare posibile ale
componentelor si efectul acestora asupra sistemului, metoda de analiza a consecintelor urmareste
prioritizarea consecintelor defectarilor pe baza ratei de defectare si a severitatii efectului
defectarii.
Este o metoda foarte des intalnita in industrie utilizata in scopul analizei sistemelor tehnic
din punct de vedere al fiabilitatii.
Istoricul metodei
Metoda FMECA a fost dezvoltata de agentia spatiala americana NASA pentru
imbunatatirea fiabilitatii si verificarea echipamentelor din cadrul programului spatial.
Procedurile metodei au fost enuntate in standardul militar american MIL-STD-785B iar,
ulterior, in standardul militar american MIL-STD-1629A au fost enuntate cerintele si procedurile
pentru evaluarea si documentarea din punct de vedere fiabilistic al modurilor de defectare, tinand
cont de impactul acestora asupra succesului misiunii, personalului, sigurantei, mentenabilitatii si
performantei sistemului.
Desi in momentul de fata MIL-STD-1629A nu mai este in vigoare, procedurile descrise
in paginile lui se regasesc in fazele de dezvoltare ale tuturor produselor, militare sau nu.
Resurse necesare pentru aplicarea metodei
- Planuri si scheme functionale ale sistemului analizat;
- Liste de cantitati de lucrari;
- Diagrame bloc suplimentare, daca schemele functionale nu furnizeaza toate
informatiile necesare;
- Cunoasterea perfecta a functionarii sistemului;
-
- 41 -
- Intelegerea functionarii componentelor sistemului si a rolului acestora in cadrul
sistemului;
- O echipa de fiabilitate care sa evalueze corect potentialele moduri de defectare ale
componentei si cuantumul acestora in rata de defectare a componentei.
Metodologia de implementare FMECA [25]
Pentru a putea fi aplicata o metoda FMECA trebuie sa avem in primul rand implementata
FMEA asupra sistemului in cauza.
In continuare sunt prezentati pasii corespunzatori pentru implementarea metodei FMECA
pentru un sistem analizat:
1) Definirea sistemului analizat
La acest pas este definit scopul sistemului pe baza schemelor de functionare si ale
detaliilor tehnologice.
2) Definirea caracteristicilor componentelor analizate (cerinta functionala a
componentei, durata propusa de functionare, categoria utilizata in clasificarea
indicilor de severitate, sursele ratelor de defectare ale componentelor, metode de
determinare a defectarii in exploatare)
3) Construirea schemelor bloc de fiabilitate
4) Identificarea modurilor de defectare
Modurile de defectare depind de componenta, sistem, mediu si istoria defectarilor
componentelor similare.
5) Intocmirea analizei efectelor defectarilor
6) Alocarea metodelor de detectie si a masurilor de compensare
Metode de detectie pot fi automatizate, precum sistemul SCADA (control si achizitie
date) prin intermediul semnalelor sonore si vizuale.
Daca nu exista semnalizare, atunci este important de stiut daca defectarea pune in pericol
functionarea sistemului sau siguranta oamenilor sau a mediului inconjurator.
Masurile de compensare sunt singurele masuri pe care le poate lua un operator al
sistemului astfel incat sa anihileze sau sa minimizeze efectele defectarilor asupra sistemului.
7) Atribuirea indicilor de severitate
Dupa ce toate coloanele din tabelul FMEA au fost completate, se trece la intocmirea unei
clasificari privind severitatea defectarilor posibile ale componentelor din sistemul analizat.
Aceasta clasificare sta la baza atribuirii indicilor de severitate corespunzatori modurilor de
defectare ale componentelor.
-
- 42 -
Metoda de analiza a consecintelor (CA) [25]
Daca metodologia FMEA a fost integral descrisa de catre pasii 1..7, pasul 8 reprezinta
metoda de analiza a consecintelor defectarilor.
Aceasta metoda permite identificarea fiabilitatii sistemului in raport cu severitatea
modurilor de defectare.
Metoda de analiza a consecintelor se poate aplica atat din punct vedere calitativ cat si din
punct de vedere cantitativ.
Metoda cantitativa este utilizata atunci cand sunt cunoscute ratele de defectare, modurile
de defectare, cuantumurile ratelor de defectare ale modurilor in rata de defectare a componentei
si probabilitatile efectelor defectarii. Aceste variabile sunt utilizate in calcularea indicelui
consecintei defectarii.
Se noteaza cu probabilitatea de realizare a efectului defectarii fiind utilizata pentru
cuantificarea efectului defectarii pentru fiecare dintre modurile de defectare posibile. In general,
1= .
Se noteaza cu probabilitatea unei componente, exprimata sub forma de fractie
zecimala, de a se defecta in modul de defectare enuntat.
Rata de defectare a unei componente este exprimata in mod curent ca raportul de
defectari la un milion de ore de functionare (testare). Sunt recomandate pentru o analiza corecta
date provenite din sistemul analizat. In cazul in care astfel de date lipsesc, se pot utiliza cu succes
si date provenite din alte surse.
Conform definitiilor de mai sus se pot scrie urmatoarele relatii:
cm = (2.103)
unde m este rata de defectare a modului de defectare;
probabilitatea de defectare a componentei in modul de defectare stabilit;
c este rata de defectare a componentei.
Indicele consecintei modului de defectare este masura relativa a frecventei de aparitie a
modului de defectare a unei componente. Aceasta notiune este utilizata in scop matematic pentru
o clasificare a componentelor.
Formula matematica de calcul al indicelui consecintei modului de defectare este:
tc cm = (2.104)
unde mc este indicele consecintei defectarii in modul respectiv de defectare;
este probabilitatea de realizare a efectului defectarii;
-
- 43 -
este probabilitatea de defectare a componentei in modul de defectare stabilit;
t este timpul de functionare stabilit.
Acest tip de analiza furnizeaza informatii importante care pot fi folosite in cadrul altor
analize precum metoda arborelui de defectare (FTA) sau a programului de mentenanta bazat de
fiabilitate (RCM).
Indicele consecintei defectarii componentei este o masura relativa a consecintei defectarii
unei componente. Aceasta valoare este obtinuta prin insumarea tuturor indicilor privind
consecinta modurilor de defectare.
Relatia matematica de calcul este data in continuare sub forma:
= rc cc (2.105)
Metoda calitativa este utilizata cand nu sunt disponibile rate de defectare. Riscul asociat
fiecarei defectari este clasificat in mod subiectiv de catre membrii echipei de fiabilitate.
Clasificarea subiectiva se refera la estimarea indicilor de severitate si aparitie ai modului de
defectare. Pe masura ce apar informatii se recomanda dezvoltarea acestei metode prin efectuarea
analizei cantitative.
O activitate corespunzatoare de tip FMEA ajuta echipa de fiabilitate sa identifice
potentialele moduri de defectare pe baza experientei precedente in dezvoltarea produselor
similare. In acest mod defectarile pot fi inlaturate din sistem cu minimul posibil de efort si
resurse.
Efectul defectarii consta in consecinta pe care defectarea o are asupra exploatarii,
functionarii sau starii unei componente sau subansamblu.
Indicele de aparitie a modului de defectare reflecta frecventa cu care apare acel tip de
defectare (rata de defectare, probabilitate de nefunctionare, nonfiabilitate). Poate fi exprimat prin
numere de la 1 la 10 sau prin procente.
Indicele de severitate reprezinta consecinta modului de defectare din punct de vedere al
potentialului vatamator, potentialului de distrugere a mediului inconjurator, potentialului de
distrugere a sistemului sau a timpului alocat remedierii defectarii.
Indicele de detectie reflecta abilitatea de a descoperi o defectare in cadrul unui control de
calitate sau a unei actiuni de mentenanta.
Indicele de risc se calculeaza ca produs al indicilor de aparitie, severitate si detectie.
Astfel, modurile de defectare cu cei mai mari indici de risc trebuie sa fie prioritare in luarea
masurilor preventive corespunzatoare.
-
- 44 -
INDICE DE SEVERITATE
Valoare indice Efect Observatie
1 Nici un efect defectarea nu are nici un efect
2 Foarte scazut reparatia se realizeaza imediat
3 Scazut reparatia dureaza ceva mai mult, dar nu afecteaza scopul
4 Scazut spre moderat reparatia afecteaza in mica masura scopul
5 Moderat reparatia afecteaza moderat scopul
6 Moderat spre ridicat reparatia afecteaza moderat spre ridicat scopul
7 Ridicat intarziere moderata in restabilire; scopul este partial compromis
8 Foarte ridicat intarziere importanta in restabilire; scopul este total compromis
9 PERICOL Risc ridicat; defectare apare cu avertizare
10 PERICOL Risc major; defectare apare fara avertizare
Tab.2.6. Clasificarea generala a indicilor de severitate
INDICE DE APARITIE
Valoare
indice Rata de defectare Observatie
1 0.0001 probabilitate extrem de redusa de aparitie
2 0.0002 probabilitate foarte redusa de aparitie
3 0.0005 probabilitate redusa de aparitie
4 0.001 probabilitate ocazionala de aparitie
5 0.002 probabilitate moderata de aparitie
6 0.005 probabilitate moderata spre ridicata de aparitie
7 0.01 probabilitate ridicata de aparitie
8 0.02 probabilitate ridicata de aparitie
9 0.05 probabilitate foarte ridicata de aparitie
10 0.1 probabilitate foarte ridicata de aparitie
Tab.2.7. Clasificarea generala a indicilor de aparitie
Avantajele metodei FMEA:
- Identificarea timpurie a potentialelor defectari;
- Imbunatatirea calitatii, fiabilitatii si sigurantei produselor/proceselor;
- Imbunatatirea competitivitatii companiei producatoare;
- Cresterea satisfactiei clientului;
- Reducerea timpului si resurselor implicate in dezvoltarea produsului;
-
- 45 -
- Dezvoltarea unei baze de date corespunzatoare in prevenirea unor defectari viitoare;
- Reducerea cheltuielilor aferente garantiei produsului;
- Cresterea randamentului de productie;
- Reducerea impactului defectarilor asupra cifrei de afaceri.
INDICE DE DETECTIE
Valoare indice Detectie
1 Aproape sigura
2 Foarte ridicata
3 Ridicata
4 Moderat ridicata
5 Moderata
6 Scazuta
7 Foarte scazuta
8 Foarte scazuta
9 Extrem de scazuta
10 Aproape imposibila
Tab.2.8. Clasificarea generala a indicilor de detectie
Dezavantajele metodei FMEA:
- Este limitata de experienta membrilor echipei de analiza;
- Poate identifica numai defectarile majore ale unui sistem;
- Nu se pot descoperi defectarile complexe ale unui sistem sau subsistem;
- Prin efectuarea produsului celor trei indici de risc, o defectare cu un indice de
severitate mai mare poate obtin un indice de risc mai mic decat a alta defectare.
2.6. Aplicatii ale metodelor de evaluare a fiabilitatii sistemelor
2.6.1. Analiza comparativa a eficacitatii metodelor de evaluare a fiabilitatii in cazul
unei structuri punte
Se da un sistem punte fara restabilire (vezi fig.2.20), pentru care se cunosc ratele de
defectare ale elementelor 61 105= def./ora, 62 108
= def./ora, 63 1012= def./ora,
64 107
= def./ora, 65 1015= def./ora, si durata de functionare asteptata a sistemului
1000=T ore.
-
- 46 -
Fig.2.20. Sistem punte
Se cere sa se calculeze fiabilitatea sistemului prin intermediul urmatoarelor metode:
a. metoda solutiei generale
b. procedeul grupurilor de defectare;
c. transformarea triunghi-stea;
d. metoda simplificarii conditionale;
Rezolvare:
Fiabilitatile elementelor se calculeaza cu formula fiabilitatii in cazul distributiei
exponentiale a duratelor de functionare TiieR= , tinand cont de faptul ca ratele de defectare
sunt constante. Rezulta ca: 95.01 =R , 92.02 =R , 88.03 =R , 93.04 =R , 86.05 =R
Metoda solutiei generale
Se construieste tabelul starilor si se calculeaza probabilitatile starilor de succes in cazul
sistemului punte. Se insumeaza probabilitatile starilor de succes, astfel rezultand fiabilitatea
sistemului in cazul metodei solutiei generale (SGR ).
In tabel sunt starile de functionare cu F si starile de defect cu D.
Fiabilitatea sistemului calculata prin metoda solutiei generale este 98407.0=SGR .
Starea Elem. 1 Elem. 2 Elem. 3 Elem. 4 Elem. 5 Tipul starii Probabilitatea starii
0 F F F F F F 0.61514
1 D F F F F F 0.03238
2 F D F F F F 0.05349
3 F F D F F F 0.08388
4 F F F D F F 0.04630
5 F F F F D F 0.10014
-
- 47 -
6 D D F F F F 0.00282
7 D F D F F F 0.00441
8 D F F D F D 0.00244
9 D F F F D F 0.00527
10 F D D F F F 0.00729
11 F D F D F F 0.00403
12 F D F F D D 0.00871
13 F F D D F F 0.00631
14 F F D F D F 0.01366
15 F F F D D F 0.00754
16 D D D F F F 0.00038
17 D D F D F D 0.00021
18 D D F F D D 0.00046
19 D F D D F D 0.00033
20 D F D F D D 0.00072
21 D F F D D D 0.00040
22 F D D D F D 0.00055
23 F D D F D D 0.00119
24 F D F D D D 0.00066
25 F F D D D F 0.00103
26 D D D D F D 0.00003
27 D D D F D D 0.00006
28 D D F D D D 0.00003
29 D F D D D D 0.00005
30 F D D D D D 0.00009
31 D D D D D D 0.00000
Fiabilitatea sistemului 0.98407
Tab.2.6. Tabelul starilor pentru sistemul punte
Procedeul grupurilor de defectare
Se construieste matricea patratica pentru constituirea grupurilor de defectare.
Analiza matricii se face numai deasupra diagonalei principale (inclusiv pe diagonala) din
motive de simetrie.
S-au constituit doua grupuri de defectare alcatuite din elementele (1, 4), respectiv, (2,5).
Se trece la realizarea schemei logice achivalente de fiabilitate cu aceste doua grupuri de
defectare, tinand cont de faptul ca grupurile de defectare alcatuite din doua elemente se
reprezinta sub forma a doua elemente in paralel.
-
- 48 -
Fig.2.21. Schema logica echivalenta
1 2 3 4 5
1 X
2 X
3
4
5
Tab.2.7. Matricea grupurilor de defectare pentru schema punte
Se calculeaza fiabilitatea sistemului in situatia aplicarii metodei grupurilor de defectare:
[ ] [ ])1)(1(1)1)(1(1 524121 RRRRRRR GGGD ==
unde GDR este fiabilitatea sistemului punte calculata prin procedeul grupurilor de defectare;
1GR este fiabilitatea primului grup de defectare;
2GR este fiabilitatea celui de-al doilea grup de defectare.
Rezulta ca =GDR 0.985.
Transformarea triunghi-stea
Notam cu 1, 2, 3 si 4 nodurile schemei punte precum in figura urmatoare.
Fig.2.22. Notatia nodurilor in schema punte
-
- 49 -
Transformam triunghiul forma de nodurile 1, 2 si 3 intr-o schema stea.
( ) )1(11 231312 RRRA = ; ( ) )1(11 131223 RRRB = ; ( ) )1(11 231213 RRRC =
Dar 95.0112 == RR ; 93.0413 == RR ; 88.0323 == RR
de unde rezulta ca ( ) 990.0)88.093.01)(95.01(1)1(11 231312 === RRRA
( ) 986.0)93.095.01)(88.01(1)1(11 131223 === RRRB
( ) 988.0)88.095.01)(93.01(1)1(11 231213 === RRRC
si, conform regulii de transformare,
B
ACR ='1 ;
C
ABR ='2 ;
A
BCR ='3
Fig.2.23. Schema punte transfigurata
Rezulta ca: 995.0986.0
988.0990.0'1 =
==
B
ACR
994.0988.0
986.0990.0'2 =
==
C
ABR
992.0990.0
988.0986.0'3 =
==
A
BCR
In acest moment se poate calcula fiabilitatea sistemului punte obtinuta prin metoda de
transformarea ( TRR ), deoarece se pot utiliza relatiile simple de calcul pentru scheme serie si
paralel.
( )( )[ ]'35'22'1 111 RRRRRRTR = ( )( )[ ] 983.0992.086.01994.092.011995.0 ==TRR
-
- 50 -
Metoda simplificarii conditionate
Conform metodologiei, se observa ca daca alegem elementul 3 drept element relevant,
atunci:
- In cazul fiabilitatii ideale a elementului 3, sistemul se reduce la un sistem serie-
paralel;
- In cazul defectarii elementului 3, sistemul se reduce la un sistem paralel-serie.
( )[ ] ( )( )[ ]5241 1111)1(1)1/( RRRRksistemR =
( )( )5421 111)0/( RRRRksistemR =
( ) 3RkR =
( ) 31 RkF =
Din relatiile (4.121)(4.124) rezulta fiabilitatea sistemului punte:
( )[ ] ( )( )[ ]+= 52413 1111)1(1 RRRRRRsc
( ) ( )( )[ ]54213 1111 RRRRR +
Rezulta ca fiabilitatea sistemului calculata prin metoda simplificarii conditionate ( scR )
este 984.0=scR .
Valorile erorilor relative din tabelul de mai jos au fost calculate cu formula:
100[%]
=SG
SGMETi
R
RRE (2.106)
unde SGR - este fiabilitatea sistemului calculata cu metoda solutiei generale;
METR - este fiabilitatea sistemului calculata cu alta metoda de analiza.
Concluzii
Metoda solutiei generale este singura metoda exacta dintre toate cele 4 metode
prezentate. In consecinta, fiabilitatea calculata prin intermediul metodei solutiei generale a fost
considerata fiabilitate de reper pentru calculul erorilor relative date de celelalte metode de calcul
analizate.
Am efectuat o analiza comparativa a metodelor aplicate in cazul schemei punte in functie
de o serie de criterii de evaluare considerate importante in faza de proiectare a instalatiilor.
Din tabelul centralizator putem trage concluzia ca sunt indicate metoda solutiei generale
si metoda grupurilor de defectare pentru o utilizare eficienta in proiectare.
-
- 51 -
CRITERII DE
EVALUARE
METODA
SOLUTIEI
GENERALE
METODA
GRUPURILOR
DE
DEFECTARE
METODA
TRANSFORMARII
TRIUNGHI-STEA
METODA
SIMPLIFICARII
CONDITIONATE
Valoarea
fiabilitatii
sistemului
0.98407 0.985 0.983 0.98407
Riscul sistemului 0.016 0.015 0.017 0.016
Acuratetea
rezultatului Exacta
Abateri foarte
mici pentru valori
relativ mari ale
fiabilitatilor
elementelor
Abateri foarte mici
rezultate din
rotunjirea valorilor
Abateri foarte mici
Eroarea relativa - 0.1 % -0.1 % 0 %
Facilitatea
utilizarii Relativ facila Facila Relativ facila Relativ facila
Utilizarea cu sau
fara programe de
calcul
Fara Fara
Depinde de
complexitate; calculul
este anevoios
Depinde de
complexitate;
calculul este
anevoios
Este suficienta
pentru calculul
fiabilitatii
sistemului?
Da Da Nu Da
CLASIFICAREA
METODELOR 1 2 4 3
Tab.2.8. Tabel de analiza comparativa a metodelor aplicate
2.6.2. Program de calcul MATLAB pentru estimarea fiabilitatii unui sistem serie-
paralel cu 5 elemente prin intermediul metodei Monte Carlo
In figura 2.24 este prezentat un sistem redondant serie-paralel fara restabilire, alcatuit din
5 elemente cu fiabilitati 54321 ,,,, RRRRR .
-
- 52 -
Fig.2.24. Sistem complex serie-paralel cu 5 elemente
Se mentioneaza faptul ca fiabilitatile componentelor respecta modelul exponential cu rata
de defectare .cti = , pentru care ti
i eR= .
Datele de intrare ale algoritmului de calcul al fiabilitatii teoretice a sistemului