TECSUP PFRMatemtica Aplicada 111 Unidad IV C CO ON NT TE EO O Y Y P PR RO OB BA AB BI IL LI ID DA AD DE ES S 1.DEFINICIONES 1.1.EXPERIMENTO ALEATORIO Unexperimentoaleatoriooestadsticoescualquierexperimentou operacincuyoresultadonopuedepredecirseconexactitudantesde realizar el experimento. Ejemplo:-Lanzar un dado. -Extraer un artculo de un lote que contiene artculos defectuosos y no defectuosos. -Contarelnmerodeautomvilesquecruzanlainterseccindedos calles antes de que ocurra u accidente.-Observar el tiempo de vida de un componente mecnico. 1.2.ESPACIO MUESTRAL Elespaciomuestralligadoaunexperimentoaleatorioeselconjuntode todos los resultados posibles de dicho experimento aleatorio. Ejemplo: Elespaciomuestralligadoalosexperimentosaleatoriosdelejemplo1 son: { } 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 = O{ } N , D = O{ } ,.... 4 , 3 , 2 , 1 , 0 = O{ } 0 t /R t > = O Matemtica AplicadaTECSUP PFR 112 1.3.EVENTO Sehadefinidoalespaciomuestralcomoelconjuntodetodoslos resultadosposiblesdeunexperimentoaleatorio.Podemosdefiniral espacio muestral como un conjunto universal. Luego podemos definir en l subconjuntos y elementos. Se llama evento a CUALQUIER SUBCONJUNTO del espacio muestral y se denotara por A,B,C, luego C... B, A, . OESPACIO MUESTRALEVENTOSUCESOXYAB Figura 1. 1.4.SUCESO Es todo elemento de un espacio muestral y se designa por x,y. 1.5.VARIABLE ALEATORIA Es toda funcin definida sobre los elementos de un espacio muestral. Se representa por X. Ejemplo: Sea la variable aleatoria: X = Obtener un nmero par al tirar un dado. Luego: { } 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 = O{ } 6 , 4 , 2 X =La probabilidad de ocurrencia de esta variable aleatoria se designaria: TECSUP PFRMatemtica Aplicada 113 5 , 02163) X ( p = = =La probabilidad de obtener un nmero par al tirar un dado es del50% Figura 2. 2.CONTEO Supongamos que un consumidor que realiza pruebas de servicio clasifica equipos pesados mviles segn sean fciles, promedio o difciles de operar; de alto o bajo costo,ydealto,promedioobajocostodereparacin.Decuntasmaneras diferentes podra clasificarse los equipos con esta prueba de servicio? Para el manejo sistemtico de este tipo de problema, es til trazar un diagrama derbol,dondelastresalternativasdefacilidaddeoperacinestndenotadas por; E1

1c2c3c1c2c3c1c2c3c1c2c3c1c2c3c1c2c3c1P2P1P2P1P2P1E2E3E0.070.130.060.050.070.020.070.140.070.080.110.030.020.030.010.010.010.02PROBABILIDADASIGNADA A CADA SUCESO POR FRECUENCIA DIAGRAMA DE RBOLO Fig. 3. Clasificaciones de equipos pesados mviles y su asignacin de probabilidades. ; E2y; E3El precioes 1P o, P2ylastresalternativasdecostodereparacin estndenotadaspor; C1; C2y 3C .Siguiendouncursodadodeizquierdaa Matemtica AplicadaTECSUP PFR 114 derecha,obtenemosunaclasificacinenparticular;cadaresultadoserun suceso. 3.NOTACIN FACTORIAL 1 ! 1=2 1 2 ! 2 = =6 1 2 3 ! 3 = =24 1 2 3 4 ! 4 = = En general 1 2 3 ).... 2 n )( 1 n ( n ! n = .. 1 ! 0 = 4.PERMUTACIONES Engeneral,sir objetossonseleccionadosdeunconjuntoden objetos distintos,cualquierdisposicinuorden,particular(Interesaelorden)deestos objetos se llama permutacin. Elnmerodepermutacionesder objetosseleccionadosdeunconjuntodenobjetos distintos es ) 1 r n ( ) 2 n )( I n ( n Pr n+ = O, en notacin factorial, )! r n (! nPr n= EJEMPLO 1 De cuantos maneras diferentes se puede realizar una primera, segunda, tercera o cuarta seleccin entre 12 empresas arrendadoras de equipo para construccin? Solucin Para12 n = y , 4 r =la primera frmula da como resultado 11880 9 10 11 12 P4 12= = Y la segunda frmula da como resultado TECSUP PFRMatemtica Aplicada 115 11880! 8! 8 9 10 11 12! 8! 12)! 4 12 (! 12P4 12= = == EJEMPLO 2 Unmecanismoelectrnicodecontrolrequieredecincochipsdememoria idnticos.Decuntasmaneraspuedeensamblarseestemecanismocolocando los cinco chips en las cinco posiciones dentro del controlador? Solucin Para 5 n = y 5 r =tenemos: 120 1 2 3 4 5 P5 5= = O tambin: 120 ! 5! 0! 5)! 5 5 (! 5P5 5= = == 5.COMBINACIONES Paradeterminarelnmerodecombinacionesenquer objetospueden seleccionarsedeunconjuntoden objetosdistintos,denotadospor r nC o,rn||.|

\| dividimosr nP entre! r . En este caso no interesa el orden de la seleccin. r nC= ! r) 1 r n ( ) 2 n )( 1 n ( nrn+ =||.|

\| O tambin: )! r n ( ! r! nrn=||.|

\| EJEMPLO 1 Decuntasmanerasdiferentespuedenseleccionarse3de20asistentesde laboratorio para colaborar en un experimento? Matemtica AplicadaTECSUP PFR 116 Solucin Para20 n =y , 3 r = la primera frmula de ||.|

\|rn da como resultado 1140! 318 19 20320Cr n= =||.|

\|= maneras EJEMPLO 2 Seprecisalarealizacindeunestudiodecalibracinparacomprobarsilos registrosde15mquinasdepruebaofrecenresultadossimilares.Decuntas maneras pueden seleccionarse 3 de las 15 para la investigacin inicial? Solucin 4551 2 313 14 15315Cr n= =||.|

\|= maneras O tambin: 455! 12 ! 3! 15315Cr n= =||.|

\|=maneras EJEMPLO 3 Decuntasmanerasdiferenteseldirectordeunlaboratoriodeinvestigacin puedeseleccionaradosqumicosentresietecandidatosyatresfsicosentre nueve candidatos? Solucin Los dos qumicos pueden seleccionarse de2127=||.|

\| maneras y los tres fsicos de 8439=||.|

\| maneras. Por efecto de la regla de la multiplicacin, la seleccin total puede realizarse de 1764 84 21 = maneras. TECSUP PFRMatemtica Aplicada 117 6.MULTIPLICACIN DE PROBABILIDADES Silosconjuntos k 2 1A ......, A , A contienen,respectivamente, k 2 1n ,...., n , nelementos, entonces existen: k 2 1n ...... n n P = Maneras de elegir primero un elemento de, A1 despus un elemento de,...., A2 y finalmente un elemento de KA . Ennuestroejemplotenamos3 n1 = ,2 n2 = y3 n3 = ,yporlotanto 18 3 2 3 = posibilidades. EJEMPLO 1 Decuntasmanerasdiferentesunaseccinsindicalcon25miembrospuede elegir un presidente y un vicepresidente? Solucin Puestoqueelvicepresidentepuedeserelegidode25manerasy, subsecuentemente, el presidente de 24, existen en total600 24 25 = maneras en las que puede tomarse la decisin completa. EJEMPLO 2 Siunapruebasecomponede12preguntasde Verdadero-Falso,De cuntas maneras diferentes un estudiante puede marcar el papel con una respuesta para cada pregunta? Solucin Dado que cada pregunta puede contestarse de dos maneras, existen en total 4096 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 212= = Posibilidades EJEMPLO 3 Unfabricantedeseaobtenerlarespuestaderesistenciaaaltastensinesentre tresmquinaslocalizadasenlaplantadeproduccin.Almismotiempo,hay Matemtica AplicadaTECSUP PFR 118 cuatroposiblestcnicos:Toms,Jos,EnriqueyCarolinaquienesoperanal menos una de las mquinas. -Cuntosmedicionesdebenincluirseenunexperimentoplaneadoenelque cada operador pruebe todas las mquinas? -Siserequierequeencadapruebaserealicenasuvezochomedicionesen cada mquina; Cuntas mediciones se realizaran en total? Solucin -Hay4 A1 = operadoresy3 A2 = mquinas;porlotanto,serealizaran 12 3 x4 =pruebas. -Son8 A3 = mediciones en cada prueba, luego son96 12 x8 =mediciones en total. 7.PROBABILIDAD Hastaaquslohemosestudiadocualessonlosresultadosdeunasituacin dada; ahora analizaremos qu es probable y qu es improbable. Histricamente, el mtodo ms antiguo para la medicin de incertidumbres es el concepto clsico de probabilidad, desarrollo originalmente en relacin con los juegos de azar. Se aplicacuandotodoslosresultadosposiblessonigualmenteprobables,encuyo caso decimos que: Si existen n posibilidades igualmente probables, una de las cuales debe ocurrir y s considerarse como favorables, o como un xito, entonces la probabilidad de un xito est dada por:.ns En la aplicacin de estaregla, los trminos favorable y xito se emplean en sentidomsbienamplio;favorablepuedesignificarqueuntelevisorno funciona y xito puede significar que alguien se contagie de gripe. EJEMPLO 1 Qu probabilidad hay de extraer un as de unmonte debidamente barajado de 52 naipes? Solucin Hay4 s = ases entre los52 n =naipes, de los que obtenemos TECSUP PFRMatemtica Aplicada 119 131524ns= = EJEMPLO 2 Si3de20neumticosalmacenadossondefectuososyseseleccionan aleatoriamente para su inspeccin 4 de ellos (o sea, que cada neumtico tiene la mismaoportunidaddeserelegido),Culeslaprobabilidaddequeenla inspeccin se encuentre un neumtico defectuoso? Solucin Existen4845420=||.|

\| maneras igualmente probables de seleccionar 4 de los 20 neumticos,demodoque4845 n = .Elnmeroderesultadosfavorablesesel nmerodemanerasenquepuedenseleccionarseunodelosneumticos defectuososytresdelosneumticosnodefectuosos,o. 2040 680 331713s = =||.|

\|||.|

\|=De ello se desprende que la probabilidad es de42 , 019848452040nsp ~ = = = Unadelasprincipalesdeficienciasdelconceptoclsicodeprobabilidadessu limitadaaplicabilidad,yaexistenmuchassituacionesenlasqueresultan imposibleconsiderarigualmenteprobablestodaslasdiversasposibilidades.Tal seraelcaso,porejemplo,sianalizaramossillovermaana,siellanzamiento deunproyectilserunxito,siunmotorrecientementediseadofuncionar durante al menos 1000 horas. Entre los diversos conceptos de probabilidad, el ms ampliamenteapoyado es la interpretacin de frecuencias. De acuerdo a ello estimamos la probabilidad de un evento observando en qu fraccin de veces eventos similares han ocurrido en el pasado. 8.AXIOMAS DE LA PROBABILIDAD DadosunespaciomuestralfinitoSyuneventoAenS,definimosP(A),la probabilidad de A, con los siguientes axiomas: Axioma 1:1 ) a ( P 0 s spara cada evento A en S. Axioma 2:1 ) S ( P =Matemtica AplicadaTECSUP PFR 120 Axioma3:SiAyBsoncualesquieraeventosmutuamenteexcluyentesenS, entonces) B ( P ) A ( P ) B A ( P + = Teorema 1: Si A1, A2, . An, son eventos mutuamente excluyentes en un espacio muestral S entonces: ) A ( P ....... ) A ( P ) A ( P ) A .... A A ( Pn 2 1 n 2 1+ + + = EJEMPLO 1 Lasprobabilidadesdequeunconsumidorquepruebaelserviciodeunnuevo dispositivo anticontaminante para automviles lo clasifique como muy deficiente, deficiente, suficiente, bueno, muy bueno o excelente son: 0,07;0,12;0,17;0,32;0,21;0,11.Culesdonlasprobabilidadesdequelas clasificaciones del dispositivo sean: -Muy deficiente, deficiente, suficiente o bueno. -Bueno, muy bueno o excelente. Solucin Puesto que las probabilidades son mutuamente excluyentes, la sustitucin directa del teorema da como resultado: -0,07+0,12+0,17+0,32=0,68 -0,32+ 0,21+ 0,11=0,64 Teorema 2: SiAesuneventoenelespaciomuestralfinitoS,entoncesP(A)esigualala suma de las probabilidades de los resultados individuales comprendidos en A. ) E ( P ....... ) E ( P ) E ( P ) E ....... E E ( P ) A ( Pn 2 1 n 2 1+ + + == EJEMPLO 2 Con referencia al ejemplo de la figura 1. Determine: -) E ( P1

-) P ( P1

TECSUP PFRMatemtica Aplicada 121 -) C E ( P1 1 Solucin -) E ( P1 = 0,07 + 0,13 + 0,06 + 0,05 + 0,07 + 0,02 = 0,40 -) P ( P1= 0,07 + 0,13 + 0,06 + 0,07 + 0,14 + 0,07 + 0,02 + 0,03 + 0,01 = 0,60 -) C E ( P1 1 = 0,07 + 0,05 = 0,12 Teorema 3: Si A y B son cualesquiera eventos en S, entonces: ) B A ( P ) B ( P ) A ( P ) B A ( P + = EJEMPLO 3 Conreferenciaalejemplodelafigura1.Determinelaprobabilidaddequeun mquina sea clasificada como fcil de operar, con un alto promedio de costo de reparacin o ambas condiciones es decir:) C E ( P1 1 Solucin ) C E ( P ) C ( P ) E ( P ) C E ( P1 1 1 1 1 1 + = Reemplazando los valores: 58 , 0 12 , 0 30 , 0 40 , 0 ) C E ( P1 1= + = EJEMPLO 4 Silasprobabilidadesdeque,encondicionesdegaranta,unautomvilnuevo requiera reparaciones del motor, la transmisin o ambos son 0,87; 0,36 y 0,29. Cul es la probabilidad de que un auto requiera uno o el otro o ambos tipos de reparacin durante el periodo de garanta? Solucin ) B A ( P ) B ( P ) A ( P ) B A ( P + = Reemplazando los valores: 94 , 0 29 , 0 36 , 0 87 , 0 ) B A ( P = + = Matemtica AplicadaTECSUP PFR 122 Teorema: Si A es cualquier evento en S, entonces: ) A ( P 1 ) A ( P = ' EJEMPLO 5 Con referencia al ejemplo de la figura 1. Determine: -La probabilidad de que una mquina no sea clasificada como fcil de operar. -Laprobabilidad deque unamquinanoseaclasificadayaseacomofcilde operar o con un alto promedio de costo de reparacin. Solucin -a) 60 , 0 40 , 0 1 ) E ( P 1 ) E ( P1 1= = = '-b)Dado que: ) C E ( C E1 1 1 1' = ''88 , 0 12 , 0 1 ) C E ( P 1 ) C E ( P ) C E ( P1 1 1 1 1 1= = = ' = '' PROBLEMAS PROPUESTOS 9 1.Uninspectordeconstruccionestienequerevisarelcableadodeunnuevo edificio de departamentos ya sea lunes, martes, mircoles o jueves, a las 8 A.M.,la1A.M.olas2P.M.Traceundiagramaderbolenelquese muestrenlasdiversasmanerasenlasqueelinspectorpuedeprogramarla inspeccin del cableado del nuevo edificio de departamentos. Sol: 2.SiloscincofinalistasdeuntorneointernacionaldevolibolsonEspaa, Estados Unidos, Uruguay, Portugal y Japn, elabore un diagrama de rbol en elquesemuestrenlosvariosposiblesfinalistasenprimeroysegundo lugares. Sol: 3.Un dispositivo biomecnico para emergencias mdicas puede operar 0,1 o 2 veces por noche. Trace un diagrama de rbol para demostrar que existen 10 manerasdiferentesenlasquepuedeoperarparauntotalde6vecesen cuatro noches. Sol: 4.Enunestuchedeinstrumentospticoshayseislentescncavas,cuatro lentesconvexasytresprismas.Decuntasmanerassepuedeseleccionar TECSUP PFRMatemtica Aplicada 123 unadelaslentescncavas,unadelaslentesconvexasyunodelos prismas? Sol: 5.Unacomputadoradepropsitoespecialcontienetresconmutadores,cada unodeloscualespuedeinstalarsedetrsmanerasdiferentes.Decuntas maneras puede instalarse el banco de conmutadores de la computadora? Sol: 6.Enunpequeogrupodeestudiantesdegeologa,cadaunodeloscuatros alumnosdeberedactaruninformesobreunadeochoprcticasdecampo. De cuntas maneras diferentes puede seleccionar cada uno de ellos una de las prcticas de campo si: -Dos estudiantes no pueden seleccionar la misma prctica de campo; -No se imponen restricciones a la seleccin? Sol: -1680 -4096 7.Sienunacarreraparticipannueveautomvilesdecuntasmaneras diferentes pueden quedar primero, segundo, y tercer lugares? Sol: 8.De cuntas maneras ordenadas puede programar un director de televisin seis anuncios comerciales diferentes en los seis intermedios para comerciales durante la transmisin televisiva del primer tiempo de un partido de futbol? Sol: 720 9.Determine el nmero de maneras en las que un fabricante puede seleccionar 2 de 15 ubicaciones para un nuevo almacn. Sol: 105 10.Unacajade12baterarecargablescontieneunadefectuosaDecuntas maneras un inspector puede seleccionar tres de las bateras y: -Obtener la defectuosa; -No obtener la defectuosa? Sol: -55 -65 Matemtica AplicadaTECSUP PFR 124 11.Con referencia al ejercicio anterior supongamos que dos de las bateras son defectuosas. De cuntas maneras el inspector puede seleccionar tres de las bateras y obtener: -Ninguna de las bateras defectuosas; -Una de las bateras defectuosas -Las dos bateras defectuosas Sol: - - - 12.Eldepartamentodesuministrostieneochodiferentesmotoreselctricosy cincodiferentesinterruptoresdearranque.Decuntasmaneraspueden seleccionarsedosmotoresydosconmutadoresparaunexperimento referente a una antena de rastreo? Sol: 280 13.Unaagenciaderentadeautomvilescuentacon18autoscompactosy12 autosdetamaomediano.Siseseleccionanaleatoriamentecuatrodelos automvilesparaunainspeccindeseguridad.Quprobabilidadhayde obtener dos de cada tipo? Sol: 0,368 14.Entre los primeros 842 hornos de conveccin vendidos a consumidores, 143 requirierondeciertoajusteduranteelperododegaranta.Estimela probabilidad de que un horno de conveccin de compra reciente requiera de cierto ajuste durante el perodo de garanta. Sol: 15.En un grupo de 160 estudiantes graduados de ingeniera, 92 se inscriben en uncursoavanzadodeestadstica;63enuncursodeinvestigacinde operaciones; y 40 en ambos. Cuntos de estos estudiantes no se inscriben en ninguno de los cursos? Sol: 45 16.Entre150personasentrevistadascomopartedeunestudiodetransporte urbano masivo, algunas de ellas viven a mas de 3 kilmetros del centro de la ciudad(A),otrassetransportanregularmenteasutrabajoensupropio TECSUP PFRMatemtica Aplicada 125 automvil (B) y a otras ms les gustara optar por el transporte pblico si se hallara disponible (C). Determinar: Figura 4. -) B A ( N -) C B A ( N -) C B A ( N''-)) C A ( B ( NSol: 17.Expliqueporqudebehaberunerrorencadaunodelossiguientes enunciados: -La probabilidad de que una muestra de minerales contenga plata es de 0.38 y la probabilidad de que no contenga plata es de 0.52 -La probabilidad de que una operacin de perforacin sea un xito es de 0.34 y la probabilidad de que no lo sea, de -0.66. -Untcnicoenreparacindeaireacondicionadoafirmaquehay0.82de probabilidades de que el compresor se halle en perfectas condiciones, 0.64 de queelmotordelventiladorestenperfectascondicionesy0.41deque ambos estn en ptimo estado. 18.Un departamento de polica necesita nuevos neumticos para sus patrullas y existen0.17,0.22,0.03,0.29,0.21y0.08deprobabilidadesdeque adquiera neumticos de las siguientes marcas: Uniroyal, Goodyear, Michelin, General,GoodrichoArmstrong.Determinelasprobabilidadesdeque compre: -Neumticos Goodyear o Goodrich; -Neumticos Uniroyal, General o Goorich; -Neumticos Michelin o Armstrong; -Neumticos Goodyear, General o Armstrong A BC220 1691454827Matemtica AplicadaTECSUP PFR 126 Sol: -0,43 -0,67 -0,11 -0,59 19.Laprobabilidaddequeelchipdeuncircuitointegradotengaungrabado defectuosoesde0.12,laprobabilidaddequetengaundefectode cuarteadora es de 0.29 y la probabilidad de que ambos defectos es de 0.07. -Qu probabilidad hay de que un chip de fabricacin reciente tenga ya sea un defecto de grabado o de cuarentena? -Quprobabilidadhaydequeunchipdefabricacinrecientenotenga ninguno de tales defectos? Sol: - Ref. PROBABILIDAD Y ESTADISTICA PARA INGENIEROS DE MILLER Y FREUND Autor Richard A. Jonson 519 J67