1. CREDITOS MATEMAT II TEXTO_Maquetacin 1 13-07-10 12:13 Pgina 1TEXTO PARA EL ESTUDIANTE MARIO ZAARTU NAVARROLICENCIADO EN MATEMTICA CON MENCIN EN MATEMTICA,PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DE CHILE. MAGSTER EN HISTORIA DE LA CIENCIA: CIENCIA, HISTORIA Y SOCIEDAD, UNIVERSIDAD AUTNOMA DE BARCELONA.FLORENCIA DARRIGRANDI NAVARRO LICENCIADA ENMATEMTICA CON MENCIN EN ESTADSTICA, MAGSTER EN ESTADSTICA,PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DE CHILE. MAURICIO RAMOS RIVERALICENCIADO EN CIENCIAS CON MENCIN EN MATEMTICALICENCIADO EN CIENCIAS CON MENCIN EN FSICAUNIVERSIDAD DE CHILE

2. CREDITOS MATEMAT II TEXTO_Maquetacin 1 13-07-10 12:13 Pgina 2El material didctico Matemtica 2,para Segundo Ao de Educacin Media, esuna obra colectiva, creada y diseada por elDepartamento de Investigaciones Educativasde Editorial Santillana, bajo la direccin de:MANUEL JOS ROJAS LEIVACOORDINACIN DEL PROYECTO: EUGENIA GUILA GARAYCOORDINACIN REA MATEMTICA: VIVIANA LPEZ FUSTEREDICIN: JAVIERA SETZ MENAAYUDANTE DE EDICIN:ALDO PEREIRA SOLISAUTORES: MARIO ZAARTU NAVARRO FLORENCIA DARRIGRANDI NAVARRO MAURICIO RAMOS RIVERAREVISIN DE ESPECIALISTA:JOS CORTS OTROLAMANUEL SALAZAR CRDOVACORRECCIN DE ESTILO: ISABEL SPOERER VARELA ASTRID FERNNDEZ BRAVODOCUMENTACIN:PAULINA NOVOA VENTURINOMARA PAZ CONTRERAS FUENTESLa realizacin grfica ha sido efectuadabajo la direccin de: VERNICA ROJAS LUNACOORDINACIN GRFICA: CARLOTA GODOY BUSTOSCOORDINACIN LICITACIN: XENIA VENEGAS ZEVALLOSQuedan rigurosamente prohibidas, sin la autorizacin escrita de los titulares delDISEO Y DIAGRAMACIN: "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproduccin total oXIMENA MONCADA LOMEA parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografa y el tratamiento informtico, y la distribucin en ejemplares de ellaMARIELA PINEDA GLVEZmediante alquiler o prstamo pblico.FOTOGRAFAS: 2009, by Santillana del Pacfico S.A. de Ediciones, ARCHIVO SANTILLANADr. Anbal Arizta 1444, Providencia, Santiago (Chile)CUBIERTA: PRINTED IN CHILEXENIA VENEGAS ZEVALLOSImpreso en Chile por World Color Chile S.A.ISBN: 9 - 7895 - 15 - 1566 - 6PRODUCCIN:Inscripcin N 186.188 GERMN URRUTIA GARNwww.santillana.cl Referencias de los Textos Educacin Matemtica 2 y 3, Educacin Media, de los autores: ngela Baeza Pea, Mara Jos Garca Zattera, Marcia Villena Ramrez, Marcela Guerra Noguera, Patricia Urza Figueroa y Rodrigo Hernndez Reyes. Santillana del Pacfico S.A. de Ediciones, Santiago, Chile, 2005.La materialidad y fabricacin de este texto est certificada por el IDIEM Universidad de Chile. 3. CREDITOS MATEMAT II TEXTO_Maquetacin 1 13-07-10 12:13 Pgina 3 PresentacinEl texto Matemtica Segundo Ao Medio ha sido creado y diseado pensando en tus intereses,gustos e inquietudes.Este ao profundizars algunos de los temas vistos en tu Primer Ao de Educacin Media con elestudio de los nmeros reales y de las expresiones algebraicas fraccionarias. Adems, te presentamosuna Unidad de sistemas de ecuaciones lineales que te permitir comprender, modelar y resolversituaciones cercanas a la vida diaria.En el estudio de la Geometra, podrs profundizar tus conocimientos relacionados con la semejanzade figuras planas, incluyendo los teoremas de Thales y de Euclides, y con la circunferencia, tantorespecto de las relaciones entre sus ngulos, como de las relaciones mtricas de sus trazos.Te presentamos una Unidad de Datos y azar cuyo estudio te aportar conceptos para el anlisis einterpretacin de la informacin entregada por los medios de comunicacin y para manejar recursosobjetivos para fundamentar tus opiniones.Te invitamos a que, junto a tus compaeros y compaeras, descubras, deduzcas, hagas conjeturas,inventes y resuelvas problemas usando otras estrategias, distintas a las que planteamos en este Texto,de manera que seas un constructor de tu aprendizaje matemtico. Presentacin | 3 4. PAG 4-11 18/11/09 15:50 Page 4ndice 12 Unidad 1: NMEROS Y RACES14 CUNTO SABES?16 Nmeros racionales en la recta numrica18 Nmeros irracionales20 Nmeros reales22 Aproximacin de un nmero irracional24 MI PROGRESO25 Races cuadradas y races cbicas27 Ubicacin de races en la recta numrica29 Irracionalidad de algunas races cuadradas31 Races ensimas Clculo de races ensimas y33 sus propiedades Relacin entre races ensimas y35 potencias de exponente racional37 Situaciones que involucran races41 MI PROGRESO42 Logaritmos46 Propiedades de los logaritmos48 Propiedades de las operaciones de los logaritmos50 Ecuaciones logartmicas53 Aplicaciones de las ecuaciones logartmicas55 Herramientas tecnolgicas59 MI PROGRESO60 CMO RESOLVERLO62 EN TERRENO64 SNTESIS DE LA UNIDAD66 EVALUACIN DE LA UNIDAD 4 | ndice 5. PAG 4-11 18/11/09 15:50 Page 568 Unidad 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS106 Unidad 3: SISTEMAS DE ECUACIONES FRACCIONARIAS 70CUNTO SABES? 108CUNTO SABES? 72Fracciones algebraicas 110Ecuaciones lineales con dos incgnitas 74Comparacin de fracciones algebraicas Planteo de sistemas de ecuaciones112 lineales con dos incgnitas 76Anlisis de fracciones algebraicas114Mtodo grfico 78Restricciones en fracciones algebraicas116Herramientas tecnolgicas 79Herramientas tecnolgicas Anlisis de las soluciones en el 80Simplificacin de fracciones algebraicas 118 plano cartesiano 82Multiplicacin de fracciones algebraicas120MI PROGRESO 84Divisin de fracciones algebraicas121Mtodo de igualacin 86MI PROGRESO123Mtodo de sustitucin Mnimo comn mltiplo de expresiones 87 125Mtodo de reduccin algebraicas 89Adicin de fracciones algebraicas Anlisis algebraico sobre la existencia127 de las soluciones 91Sustraccin de fracciones algebraicas129Pertinencia de las soluciones Ecuaciones que involucran fracciones 93Otros sistemas asociados a sistemas algebraicas131 de ecuaciones lineales Situaciones que involucran fracciones 95 algebraicas133MI PROGRESO 97MI PROGRESO134CMO RESOLVERLO 98CMO RESOLVERLO136EN TERRENO 100 EN TERRENO 138SNTESIS DE LA UNIDAD 102 SNTESIS DE LA UNIDAD140EVALUACIN DE LA UNIDAD 104 EVALUACIN DE LA UNIDADndice | 5 6. PAG 4-11 18/11/09 15:50 Page 6 142 Unidad 4: SEMEJANZA 144CUNTO SABES? 146Semejanza de figuras 148Semejanza de tringulos: criterio AA 150Semejanza de tringulos: criterio LLL 152Semejanza de tringulos: criterio LAL 154Anlisis de semejanza en figuras planasAplicacin de la semejanza 156en modelos a escala 158MI PROGRESO 159Teorema de Thales 162Teorema general de Thales 163Herramientas tecnolgicas 165Divisin de un trazo en una razn dada 167Teorema de Euclides 169Aplicaciones del teorema de Euclides 171Homotecia 174Herramientas tecnolgicas 175MI PROGRESO 176CMO RESOLVERLO 178EN TERRENO 180SNTESIS DE LA UNIDAD 182EVALUACIN DE LA UNIDAD 6 | ndice 7. PAG 4-11 18/11/09 15:50 Page 7184Unidad 5: CIRCUNFERENCIA 214 Unidad 6: DATOS Y AZAR 186 CUNTO SABES? 216CUNTO SABES? 188 Medicin de arcos218Medidas de dispersin 190 ngulos del centro y ngulos inscritosMedidas de dispersin para datos222 agrupados 194 ngulos semi-inscritos Comparacin de dos o ms 196 MI PROGRESO224 conjuntos de datos 197 ngulos interiores y exteriores226Homogeneidad y heterogeneidad a una circunferencia228Muestreo aleatorio simple Proporcionalidad entre las cuerdas 199 de una circunferencia230Herramientas tecnolgicas Proporcionalidad entre las secantes232MI PROGRESO 201 de una circunferencia233Conjuntos Proporcionalidad entre las secantes y235Tcnicas de conteo 203 tangentes de una circunferencia239Regla de Laplace 205 MI PROGRESO241Probabilidad de la unin 206 CMO RESOLVERLO243Probabilidad de la interseccin 208 EN TERRENO247MI PROGRESO 210 SNTESIS DE LA UNIDAD248CMO RESOLVERLO 212 EVALUACIN DE LA UNIDAD250EN TERRENO252SNTESIS DE LA UNIDAD254EVALUACIN DE LA UNIDAD256SOLUCIONARIO271BIBLIOGRAFA ndice | 7 8. PAG 4-11 18/11/0915:50Page 8 Organizacin del TextoTe damos la bienvenida a este nuevo ao escolar y queremos apoyarte en tu crecimiento y desarrollocon este Texto, que te entregar herramientas para enfrentarte de mejor manera al mundo que terodea, y te invita a comprender que la Matemtica es parte de l.A travs de sus 6 unidades te enfrentars a diversas situaciones, en las que podrs explorar, aprender,construir y consolidar conceptos relacionados con nmeros, lgebra, geometra, datos y azar. En ellasencontrars las siguientes pginas y secciones:Pginas de inicio Expresiones 2Unidad algebraicas fraccionariasCONVERSEMOS DE:Los antiguos griegos eran conocidos por buscar la perfeccin en todas las cosas. El Partenn de Atenas,templo ubicado en la Acrpolis, dedicado a la diosa Atenea y considerado el monumento ms importantede la civilizacin griega antigua, est construido de manera que el largo y ancho de la base forman EN ESTA UNIDAD APRENDERS A: un rectngulo que consideraban ideal. Es un rectngulo tal que, si se quita el mayor cuadrado posible,se obtiene un nuevo rectngulo, cuyos lados estn en la misma proporcin que el rectngulo original. Interpretar las expresiones algebraicas fraccionarias como una generalizacin de laEsta relacin entre los lados del rectngulo se puede expresar como: operatoria con fracciones numricas. x+1=x Reconocer para qu valores una expresin fraccionaria algebraica puede ser positiva, x negativa o cero, y para qu valores se indetermina. Has visto alguna vez una expresin como esta? Resolver situaciones en las que sea necesario simplificar fracciones algebraicas. Existe algn valor de x que satisface tal relacin?, cmo lo sabes? Resolver situaciones en las que sea necesario sumar, restar, multiplicar o dividir Para qu valores de x est definida la fraccin del lado izquierdo? fracciones algebraicas. Intenta dibujar un rectngulo que cumpla con esta condicin.68 | Unidad 2Expresiones algebraicas fraccionarias| 69EN ESTA UNIDAD APRENDERS A...En esta seccin conocers los principalesCONVERSEMOS DE...objetivos que se espera que logres con elA travs de una introduccin al tema de la unidad,desarrollo de la unidad.conectamos elementos e imgenes de la vidadiaria con el contenido que trabajars. Adems,encontrars preguntas relacionadas con laimagen y con los contenidos de la unidad quete permitirn exponer tus ideas, dar opiniones yargumentar a partir de tus experiencias. 8 | Oganizacin del Texto 9. PAG 4-11 18/11/09 15:50Page 9 Cunto sabes?Unidad 2 Recuerda lo que aprendiste en aos anteriores y resuelve en tu cuaderno. 12 5 6 CUNTO SABES?1. Resuelve los siguientes ejercicios con fracciones y simplifica cadavez que sea necesario. 2 5 3 g. (ab + 2b c) (3a c)9 62 59 f. a 2 + a b 5 3b 3 + ab b b 3 a 2 5ab 2 7 10 QU DEBES RECORDAR? 1 3 2 3 2 2 En esta seccin, te invitamosa. + 1 + b. 4 4 3 2 49 6 7 8+ + h. (5xy 3x ) (3y yx)6x 3x 35 52 i. 3 x + x Podrs activar tus conocimientos 55 5 10 a resolver ejercicios yc. 2 8 2 5 9+ + 5 6 3 3 7 3 2 9 3 9 2Compara tus respuestas con las de tus compaeras y compaeros.Te equivocaste en alguna?, cul fue el error? Explcalo y resuelveprevios a travs de un resumend. 5 ++ 2+ correctamente el ejercicio. 5 3 6 2 4 3 problemas que te ayudarn 1 9 3 6 9 3 2 41 9 e. 2 + + 53 4 que incluye los principales a evaluar tus conocimientos 2. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.Justifica tu respuesta.a. La adicin de fracciones cumple con las propiedades asociativa y QU DEBES RECORDAR? Para sumar o restar fracciones con igual denominador, se suman o restan los numeradoresconceptos trabajados en aos conmutativa.y se conserva el denominador. y a recordar lo que aprendiste b. Si a 0, entonces 0 a =0c. Si a, b y a 0, entoncesa+b a=b Para sumar o restar fracciones con distinto numerador, se puede amplificar o simplificar hasta obtener fracciones equivalentes con igual denominador y, luego, sumarlas o restarlas. Al multiplicar fracciones, se obtiene una fraccin cuyo numerador corresponde al productoanteriores y que te servirn de los numeradores, y cuyo denominador, al producto de los denominadores.ab en aos anteriores y que d. Si a, b y a 0, entoncese. 1 0 existe. a=bEn general, si a, b, c, d ,b 0, d 0a c =b d ac bd Para dividir fracciones, se puede multiplicar la primera fraccin por el inverso multiplicativocomo apoyo para losf. La multiplicacin de fracciones cumple con las propiedadesde la segunda.aprendizajes que se espera quea ca d sern la base para el desarrolloconmutativa y asociativa. 3. Resuelve los siguientes ejercicios: En general, si a, b, c, d ,b 0, c 0, d 0 Algunas factorizaciones y productos notables son:: = b db c 2 22 6 6 (a b) = a 2ab + b (cuadrado de binomio) de la unidad.a. 2x + 5x 2b. 5y y 3 2 42 2 (a + b) (a b) = a b2 x + (a + b) x + ab = (x + a) (x + b) (suma por su diferencia) (producto de dos binomios con un trmino comn)logres en la unidad.c. 3x 5x 3 3 223 (a b) = a 3a b + 3ab b(cubo de binomio) 2 3d. 6a : 4a332 2 a b = (a b) (a ab + b ) (suma y diferencia de cubos) 4a 73a e. 5a 3b 6b + 2 5b 4b b70 | Unidad 2Expresiones algebraicas fraccionarias | 71 Pginas de desarrollo ANALICEMOS...EN TU CUADERNOFracciones algebraicas Unidad 2 Por medio de preguntas, Ana debe trotar cuatro vueltas a la pista de atletismo de su colegio. SuEN TU CUADERNOResolvers variadas actividades desempeo es como sigue: se demora t segundos en dar la primera vuelta, trabajars el razonamiento, luego trota ms rpido, demorndose t 10 segundos en la segunda, pero cerca del final se cansa un poco, y se demora t 5 segundos en la tercera vuelta y t + 5 segundos en dar la ltima vuelta. 1. Calcula cul sera la rapidez de Ana en cada vuelta suponiendo ahora que en la primera vueltase demora: a. 1 minuto. b. 1 minuto y 10 segundos. c. un minuto y medio.para ir construyendo los ANALICEMOS... En cada caso, en qu vueltas se tienen la mayor y menor velocidad? explorars el contenido Si la distancia recorrida en una vuelta es a, qu expresin permite calcular la rapidez con que recorri cada vuelta? En qu vuelta trot a mayor rapidez y en qu vuelta a menor rapidez? Existe alguna diferencia con el ejemplo? De ser as, en qu casos cambian? 2. Determina el valor de las siguientes fracciones algebraicas si n = 1, 2, 3, 4, 5:conceptos y reforzando as matemtico que aprenders,Si los datos de la situacin anterior se organizan en una tabla, se obtiene: Distancia recorrida Tiempo Rapidez a. 1n+1c.2 n 1 2n + 7 e. 2+n 3 n +1 n 2tu aprendizaje.3 2n 4n 1(1) nRECUERDA QUE... ab. d. f. pondrs en prctica lo La rapidez es el cuociente entre la distancia recorrida y el tiempoPrimera vueltaSegunda vueltaaa t t 10ta t 105n 3. Observa el siguiente ejemplo:2n 2n +1 empleado en recorrerla.a 1 2 3 4 5n que ya sabes, compartirs tus v=dtTercera vueltaCuarta vueltaaat5t+5t5 t+5a Las fracciones, , , ,3 5 7 9 11 , ..., son generadas por la fraccin algebraica al remplazar n = 1, 2, 3, 4 y 5, respectivamente. 2n + 1, porque se obtienen Los elementos de una fraccin son:aaaaEncuentra la fraccin algebraica que genera las siguientes fracciones en cada caso: ideas y extraers Luego, las expresiones, ,y representan la rapidez de t t 10 t 5 t + 5 a Numerador 1 4 9 16 252 5 10 17 26 Ana en cada vuelta. Expresiones como las anteriores son llamadas expresionesa. , ,, , , ... c., ,, , , ... b Denominador 4 9 16 25 36 2 9 28 65 126 algebraicas fraccionarias o simplemente fracciones algebraicas. conclusiones.GLOSARIO Observa que corresponden a cuocientes entre expresiones algebraicas. Tal como en las fracciones, se llama numerador y denominador a cada parte de la fraccin algebraica. Ahora, considerando que una pista de atletismo tiene 400 m se puede remplazar 1 1 1 1 1 b. , , , , , ... 3 6 11 18 27 1 2 3 4 5 d. , , , , , ... 2 5 10 17 26 EN RESUMENDesigualdad: expresin matemticaeste valor por a, y suponiendo que en la primera vuelta Ana se demor 80 s,que sirve para representar que ciertacantidad es menor o mayor que otra. se obtiene: Primera vuelta: a 400 t =80=5 Rapidez: 5 m/s EN RESUMENEncontrars explicaciones, a 400GLOSARIOformalizaciones o definiciones Segunda vuelta: = = 5,71 Rapidez: 5,71 m/st 1070 Dadas dos expresiones algebraicas representadas por p y q, con q 0, llamaremos expresin algebraica lgebra:: rama de la matemtica ena400p Tercera vuelta:= = 5,33Rapidez: 5,33 m/sfraccionaria o fraccin algebraica a toda expresin de la forma . la cual las operaciones aritmticast575q se generalizan empleando nmeros, Cuarta vuelta: a=400= 4,7 Rapidez: 4,7 m/s Ejemplo:que destacan y precisan lo que letras y signos. Cada letra o signot+585 representa simblicamente un2n+1 Las expresionesyson fracciones algebraicas. nmero u otra entidad matemtica. Luego, Ana trot con mayor rapidez durante la segunda vuelta, y con menor n 1 3n2 n + 9 rapidez en la ltima vuelta.72 | Unidad 2Expresiones algebraicas fraccionarias | 73vas aprendiendo.Restricciones en fracciones algebraicas Unidad 2 x+1HERRAMIENTAS TECNOLGICASPedro y Pablo necesitan analizar la fraccin algebraica x . Quieren sabercundo se obtienen valores positivos y negativos de esta expresin. En esta actividad, aprenders cmo analizar expresiones algebraicas y obtener sus valores utilizando una planillade clculo como Excel. HERRAMIENTAS ANALICEMOS... Si x es un nmero real cualquiera, cmo son los valores que se obtienenpara la expresin dada?, positivos o negativos?, enteros o decimales?Justifica tus respuestas..Primero, debes familiarizarte con el procedimientopara escribir frmulas, y la manera de remplazar valoresen ellas. Considera, por ejemplo, la frmula x + 5.2TECNOLGICAS Selecciona en la celda A2 y escribe un nmero real. Existen valores que hacen indefinida esta expresin?, cul o cules? Cmo se describe lo que ocurre para estos casos? A continuacin, al lado escribe la frmula,escribiendo en lugar de x la celda en la que escribistetu nmero. Es decir, escribe como frmula Aprenders a utilizar planillas= A2^2 + 5. GLOSARIOPara diversos valores de x, Pedro y Pablo obtienen la siguiente tabla:Valor de x 10 42 1 0,5 0,1 00,1 0,512 Aparecer el resultado de remplazar en la frmula elvalor escrito antes. de clculo o programasx x+1x 9 3 10 4 1 20 0,5 0,9 1 0,5 0,1 1 01,1 1,50,1 0,5 2 132Ahora ests en condiciones de analizar fracciones algebraicas. Como ejemplo considera la expresinEn una planilla de clculo como Excel, haz lo siguiente: 1x . computacionales. Te presentar nuevos GLOSARIOCuociente0,9 0,75 0,5 01 911321,5 En la columna A escribe, hacia abajo, una serie de nmeros, los cuales pueden ser enteros,fraccionarios, positivos o negativos. Para anotar fracciones, anota en la celda correspondiente, porejemplo =5/7. Luego, en B1 escribe lo siguiente: trminos matemticosUna fraccin algebraica est indefinida para un cierto valor de una variable si su denominador se anula para tal valor y el numeradorSegn los valores que aparecen en la fila de los cuocientes, se observa que: Cuando x = 1, el valor de la expresin es 0. Si x es positivo y cercano a 0, el cuociente es cada vez mayor.=A1/(1-A1), ya que con esto ingresars la frmula;al terminar, aprieta enter. El nmero que aparece esel resultado de remplazar en la expresin el valorSi x es positivo y lejano a 0, el cuociente es un nmero cercano a 1.escrito en A1. es distinto de 0. relacionados con el a Si a 0, est indefinida. 0 Si x es negativo y cercano a 0, el cuociente es cada vez menor. Si x es negativo y lejano a 0, el cuociente es un nmero cercano a 1. Cuando x = 0, la expresin se indefine, y se dice que tiene una restriccin.A continuacin, copia el resultado que aparece en B1de manera que aparezca abajo de cada valor escritoanteriormente. Lo que hace la planilla de clculo escopiar la frmula escrita (en este caso, la fraccin contenido que seEN RESUMENPara el anlisis de expresiones algebraicas fraccionarias, es importante considerar valores distintos,algebraica) y mostrar el resultado inmediatamente.Si aparece el mensaje #DIV/0!, el valor al queacompaa es una restriccin para x.positivos y negativos, grandes y pequeos. Adems, se debe distinguir si la expresin se indefine yEjercicios est desarrollando.los valores para los cuales se anula.Repite el procedimiento anterior de anlisis, indicando los valores de x para los cuales las expresionesson positivas, negativas o cero, adems de los puntos donde la expresin no est definida.2x1 2x1.2.3. 4 x 5 1x 2x4 2 x +278 | Unidad 2 Expresiones algebraicas fraccionarias| 79Oganizacin del Texto | 9 10. PAG 4-11 18/11/0915:50Page 10Mnimo comn mltiplo Unidad 2de expresiones algebraicas MI PROGRESODiego recibi de regalo un tablero separado en dos partes, cada una con 1. Ordena las siguientes fracciones algebraicas de menor a mayor. Considera todas las variablesbloques triangulares y rectangulares iguales entre s. Como es curioso, notque la altura de los tringulos era el doble del largo del rectngulo y que labcon valores positivos.base de los tringulos meda la suma del largo y del ancho del rectngulo.a3a 3a 1 6a 11 1 23b 1 2b 1 1a. , ,b. , ,c. ,,2b 2b 4bb + 1 b 2b + 1 6b 4b2 ANALICEMOS... Si hay suficientes bloques de cada forma como para cubrir una misma 2. Determina los valores de x para los cuales se anulan las siguientes fracciones algebraicas. Luego,rea, cul es la menor rea que puede cubrirse con bloques de una 2bdetermina los valores para los cuales quedan indefinidos. misma forma? Es posible encontrar el mnimo comn mltiplo (mcm) de expresiones22 2a+b3x 1x 1 x(x 25) 6x + 5 algebraicas de la misma forma que en el caso numrico?, por qu?a. b. c.d.7xx+26x 72x +2En la situacin anterior, se debe determinar cul es la menor rea que puede 3. Determina los valores de x para los cuales las siguientes fracciones algebraicas son positivas: cubrirse con bloques de una misma forma.Considera que a es el largo y b el ancho del rectngulo. Entonces, la base RECUERDA QUE...4x 2x71 xa. b. c.d.del tringulo mide a + b, y la altura del tringulo es igual a 2b.x+5 2x2 x 1 2 x x6 Ahora, observa cmo calcular el rea de cada figura:rea del rectngulo: a b = ab El rea de un rectngulo de lados 4. Calcula las siguientes multiplicaciones de fracciones algebraicas:x e y es x y.3 22422 2 3x 1 6x3a 1 9a 44a (a 1) a + a + 1 9a 9rea del tringulo: (a + b) 2b = ab + b El rea de un tringulo de base ba.b. c. 7 x 3x 2 4 x + 16a 4 a 2 16a 4 6a 4 6 a6 a 3b hy altura h es .Ahora, se calcula el mcm de ambas expresiones. Una buena idea es factorizar2cada una de las expresiones, y buscar su mcm. En este caso, se obtiene como 5. Calcula las siguientes divisiones de fracciones algebraicas:factores a, b y (a + b). Por lo tanto, el mcm de ab y de b(a + b) es igual a 21x 14 35a b b a 2 x + 5x x 13ab(a + b). Luego, a tringulos cubren la misma rea que (a + b) rectngulos.GLOSARIOa.: 4b.:c. : 14 x3x 4 x 3 + x 2 a + b b21 x x + 2 x 2Mltiplos de un nmero:: nmeros s e nComo debe ser el menor de los mltiplos comunes, hay que fijarse enque se obtienen al multiplicar elMI PROGRESOCmo voy?los factores para no considerar ms factores de los necesarios. Observa.2 2 21. Encuentra el mcm de a ab y a b . Factorizando: 2nmero dado por otro.Mnimo comn mltiplo (mcm): onoentre dos o ms nmeros es el menor a ab = a (a b) de los mltiplos comunes de ellos.Resolvers actividades que teRevisa tus respuestas y, luego, escribe la cantidad de ejercicios correctos en tu cuaderno. CRITERIO PREGUNTA EJERCICIOS CORRECTOS 22 a b = (a + b) (a b) Los factores que contienen son a, (a b) y (a + b), y por tanto el mcm 32 es a (a b) (a + b) = a ab . Ordenar fracciones algebraicas. 1 /3permitirn evaluar tu progreso Determinar para qu valores se anula una fraccin algebraica y queda indefinida. Determinar para qu valores una fraccin algebraica es positiva. 2 3 /4 /4 22 a 10 + 21 = (a 3) (a 7)22. Encuentra el mcm de a 10a + 21 y a 9. Factorizando: 2 a 9 = (a 3) (a + 3)en el logro de los aprendizajes. Resolver multiplicaciones de fracciones algebraicas. Resolver divisiones de fracciones algebraicas. 4 5 /3 /3 Los factores que contienen son (a 7), (a 3) y (a + 3), y por tanto el mcm es (a 7)(a 3)(a + 3). 86 | Unidad 2Expresiones algebraicas fraccionarias | 87 RECUERDA QUE... Te recordar un contenido o procedimiento ya aprendido y necesario para lograr tus nuevos aprendizajes.Pginas de cierreCMO RESOLVERLOEn estas dos pginas observars dos problemasresueltos paso a paso a travs de una determinadaestrategia, podrs practicar la estrategia utilizada oaplicar otras que te permitan encontrar la solucin.Eso s, en Matemtica siempre hay ms de un caminopara resolver un problema. Cmo resolverlo Unidad 2Problema resuelto 1 Problema resuelto 2Se considera un rectngulo dividido en cuatro partes como se muestraUn tren va a una rapidez de v km/h. Un pasajero que va en l ve pasar a otro2 A cm en la figura. Si se conoce el rea de tres de estas partes, determina eltren en sentido contrario, y el tiempo que tarda este en pasar por su vista esrea del rectngulo azul en funcin de las reas conocidas. de 2 segundos y medio. Si la rapidez del tren en que va era las dos terceras2 2 B cm C cmpartes de la del otro tren, y ambos mantienen su rapidez en ese instante,Solucin: cul es la longitud del tren que vio el pasajero?Primero, se debe considerar que no se conocen las longitudes de los lados deningn rectngulo, de modo que debemos ponerles nombres provisionales.Solucin:De esta forma, el largo y el ancho del mayor de los rectngulos menores Primero se debe determinar la longitud del tren que el pasajero ve pasar por cadasern m cm y p cm, respectivamente. De modo que tenemos la relacin:segundo. Entonces, su longitud es igual al producto de la longitud que ve pasarcada segundo por el tiempo que lo ve pasar. mp=ACada segundo que avanza el tren en el que viaja, recorre como distancia vEl segundo rectngulo, ubicado debajo del que tiene rea A, tiene el mismometros.largo (igual a m cm), pero es de ancho distinto (digamos, q cm).3,63Por tanto, tenemos: Pero, a su vez, el tren que viaja en sentido contrario recorre de la distancia2mq=Bdel primer tren, ya que su rapidez es dos tercios la rapidez del primer tren.Y el tercer rectngulo de rea conocida, tiene el mismo ancho del segundo 3 vEs decir, el otro tren recorre en el sentido contrario metros en un segundo,(es decir, q cm), pero su largo es distinto del de los anteriores (digamos, 2 3,6n cm), luego tenemos: y como los trenes van en sentido contrario, en realidad el pasajero ve pasarnq=C cada segundo la suma de las distancias recorridas por ambos trenes, es decir:RECUERDA QUE... v3 v 5 vDe lo anterior, podemos deducir que el rectngulo desconocido tiene+ = el mismo largo del tercer rectngulo (es decir, n), y que su ancho es igual 3,6 2 3,6 2 3,6 1 m/s = 3,6 km/hal del primer rectngulo (es decir, p). Por tanto, podemos calcular su rea:Como el pasajero ve el segundo tren durante 2 segundos y medio en total,entonces el largo del tren es igual a:Luego, v km/h corresponde a rea = n p v v m/s. NO OLVIDES QUE...C A 5 v 5 5 v 5 5 5v 5 125 v3,6 3,6= = = = 2 3,6 2 2 18 2 2 18 272 Si el problema tiene datos con q m 5 unidades de medida, la respuesta alA C A C==125 problema se debe escribir con la m q BEs decir, el largo del tren corresponde a v metros. unidad de medida correspondiente. 72 AC 2El rea del rectngulo azul es igual a cm .B EN TU CUADERNO EN TU CUADERNO 1. Determina la longitud del tren en el caso de que el pasajero viaje a 80 km/h y vea pasar el tren ensentido contrario a 120 km/h.1. Un terreno rectangular se divide en cuatro partes, de manera que tres de sus partes tienen reas 2. Determina la longitud del tren que ve el pasajero, para el caso en que ambos trenes viajen a la misma iguales a 40, 160 y 80 hectreas. Determina el rea del rectngulo restante.rapidez.2. Un cuadrado se divide en 4 partes, de forma que el rea de la parte mayor es la suma de las reas de los 3. Encuentra la longitud del tren que ve si el pasajero viaja a 70 km/h, el segundo tren est inmvil, rectngulos restantes. En qu proporcin quedaron los lados del cuadrado despus de los cortes?y lo ve durante 5 segundos. 98 | Unidad 2Expresiones algebraicas fraccionarias | 99NO OLVIDES QUE...Te recordar que debes revisar tusprocedimientos, analizar la pertinenciay consistencia de las soluciones, entre otras. 10 | Oganizacin del Texto 11. PAG 4-11 18/11/09 15:50 Page 11En terrenoUnidad 2ton iento de NewINVESTIGUEMOS Ley de enfriam historia, tanto porel ores de la ms grandes pensad significaron en su poca.Ahora trabajen en grupos de cuatro personas: como uno de los es queNewton figura los giros radical la llamadateoras como porn desarroll esimpacto de susclculo que Newto1. Comparen las soluciones obtenidas por cada integrante y discutan sobre cul debera ser la solucin correcta aplicaciones del Una de las tantasen caso de que existan diferencias entre los resultados obtenidos.la que dice: mente proporcional ley de enfriamiento, se enfra es directa 2. Discutan en conjunto si existe una manera de determinar el valor de la constante k, ya que para este caso fue que un objetoque lo rodea. EN TERRENO La rapidez cona la diferencia deEl modelo matem temperaturas entretico de esta ley se expresa por: el objeto y el medioktdada. 3. El valor de k dado en el ejemplo, depende de las condiciones del problema? Discutan. eT(t) = T0 + T 4. Cada uno resuelva el siguiente problema:te, T es la A partir de una situacin En este modelodiferencia entre, k es una constala temperaturante positiva, T0inicial del objeto es la temper atura del ambieny la temperaturaEn algunos casos, del medio que losirve para determ rodea, inar la hora deUn objeto fue colocado en una habitacin que se encuentra a temperatura constante de 15 C; sin embargo,solamente luego de un instante se toma la temperatura, la cual es en ese momento de 26 C.Qu temperatura tiene el objeto pasados 10 minutos despus de ese instante?, con qu temperaturael objeto ingres a la habitacin, si pasaron 10 minutos antes de que fuese tomada esta?expresado en horas.y el tiempo t est te ejemplo:as. Veamos el siguien desarrollada en un contextomuerte de las person El doctor lleg al a esa hora era delugar de los hechos a las 10 29 C. La temperde la maana y atura de la pieza atura del cuerpo la temperatura del donde se encontr baj a 27 C. El doctor cadverel cuerpo era de23 C. necesitaba saber laPara todos los clculos, consideren k = 0,031 y sigan estos pasos: Primero, dado que el tiempo est expresado en minutos, deben considerar la variable t como tiempotranscurrido desde que se toma la temperatura al objeto, en minutos.despus, la temperado de defuncin. Luego, se remplazan los valores dados en la frmula, y con esto encuentra el valor de T.Una hora y media e para llenar el certific real o laboral, desarrollarshora exacta de laConsiderando kmuerte de su pacient = 0,27031007, a qu horamuri el paciente? Conocido este valor, se encuentra la temperatura del objeto pasados 10 minutos. Finalmente, dado que se desea saber la temperatura en un instante anterior al primer registro, se debeconsiderar un valor de t negativo para saber la temperatura con la cual ingres el objeto a la habitacin. (primero individualmente y EVALUEMOS NUESTRO TRABAJO Comparen sus resultados con los obtenidos por sus compaeros y compaeras. Se obtienen los mismos valores? De no ser as, cules son las diferencias?EN TU CUADERNO luego en equipo) actividades 1. Con ayuda de una calculadora, y usando la aproximacin e = 2,71828, encuentra los valores de T0 y de T, a fin de determinar el modelo. Qu sucede si el tiempo se mide ahora en horas o en segundos? El valor de k considerado sirve para este caso o debe ser cambiado? De ser as, cmo podra determinarse el nuevo valor de k? Se relaciona de alguna manera el valor de la constante k con los parmetros y unidades de medida2. Luego, encuentra una aproximacin para la temperatura del cuerpo humano, si se sabe que muri que te permitirn aplicar loa las 7 de la maana. El tiempo est considerado en horas. Observa que para este caso debes considerar un valor negativo de t, dado que la muerte usados? Existe una dependencia de los datos conocidos?, por qu? del paciente fue antes de las 10 de la maana. que aprendiste en la unidad. 3. Qu otros tipos de problemas se pueden resolver mediante este modelo?4. Qu otras situaciones se pueden modelar usando esta frmula?5. De qu manera el valor de k depende de los datos aportados en el problema? 100 | Unidad 2Expresiones algebraicas fraccionarias| 101 Sntesis de la Unidad Unidad 2 SNTESIS DE LA UNIDADA continuacin, se presentan los conceptos fundamentales trabajados en la unidad. Construyecon ellos un mapa conceptual, en tu cuaderno. No olvides agregar las palabras de enlace queh. Las fracciones 1 2 3, ,13 21 31 son generadas por la expresin 2n 2n + n 1 .indican las relaciones que hay entre los conceptos. Este es un espacio para queExpresiones algebraicasfraccionariasi. La nica solucin positiva de la ecuacin x + 2 =j.8xes x = 2.Para dividir dos fracciones algebraicas, es necesario multiplicar la primera, por el inversomultiplicativo de la segunda. construyas tu mapa conceptual Anlisis Ecuaciones Simplificacink. En el caso x > 0, a > 0, x < a, el valor de la fraccin 32a 32x aa es menor que 1.l.La expresin se anula nicamente para a = 4.3 (a + 2a 1) 2 de todo lo trabajado en la unidad Ordenmcm de expresionesm. La nica solucin de la ecuacin x + 2 8x= 0 es x = 2. Problemas algebraicas 3 6 93n a partir de algunos conceptosRestriccionesn. Las fracciones , , 7 26 63 son generadas por la expresin(n + 1)3 1 . Adicin Multiplicacin fundamentales. Tambin y sustraccin y divisin 2Aplica lo que aprendiste en la unidad para desarrollar las siguientes actividades:a. Halla un nmero positivo tal que, al restarle 63 veces su inverso multiplicativo, se obtenga 2. Es el nico nmero que satisface esta propiedad?, cmo lo sabes? responders preguntas de1Determina si las expresiones siguientes son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta.a. Para simplificar una fraccin, basta dividir numerador y denominador por un nmero enterob. Dos aviones se utilizan para fumigar una parcela. Si uno de ellos se demora la mitad del tiempo que el otro, y juntos se demoran 5 horas, encuentra el tiempo que le toma a cada avin por s solo cubrir toda la parcela. cualquiera. verdadero o falso y actividadesb. La fraccin algebraica23 a 125b 7a + 35ab + 175b 3 2 es irreducible.c. Resuelve la ecuacin 2 22x x + 5 10 x + 6 x 19=15.d. Un grupo de 60 estudiantes de un colegio acordaron poner una cuota para asistir al cine. Pero 10 dec. Una fraccin algebraica queda indefinida en a = 3 si su denominador se anula para tal valor de a. de desarrollo para evaluar lo qued. La fraccina 17+b 2 es mayor que la fraccin2a 1 14 + 2b2, para a > 0 y b < 0. ellos se retiran, debiendo el resto poner $ 400 adicionales. Determina el valor original de la cuota.e. Factoriza las siguientes expresiones y determina los valores de x para los cuales no estn definidas.e. Una fraccin algebraica aumenta de valor si el numerador queda fijo y el de su denominador disminuye.x3( x + 1) ( x 2 + 1) (2x + 2) has aprendido en la unidad.f. Para determinar los valores donde una fraccin algebraica queda indefinida, es necesario revisar los valores para los cuales el numerador se anula.i.12 x 12 x3ii. 9 14 x 14 x 2 2 2 2g. El mnimo comn mltiplo de 6ab y 4a b (a + 1) es 12a b (a + 1). 102 | Unidad 2Expresiones algebraicas fraccionarias | 103 Evaluacin de la Unidad Unidad 2 EVALUACIN DE LA UNIDAD Resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno y selecciona la alternativa correcta en cada caso.9. La expresina+3a+1no es equivalente a: 12. La operacin 3 + 6 1 m 2 m2 4 m + 2 1. Cul de las siguientes fracciones es la mayor 5. Qu fraccin no est generada por la misma 2 da como resultado:a + 4a + 3 En estas dos pginas, podrs para a > 1?A. 1 2D. a 2a + 1expresin que las restantes? A.25 C. 814E. 1 2 A. B.(a + 1)a 922A. 2(m + 5)2 m 42 a +1a6 a 2a 3B. 2m + 5 B. 10 autoevaluar los aprendizajes que B.C.2a a 1E. 2a 1 17 D.211 a 1 m +42 6b 3 C.2a + 2a 3a 12C.2 m 4 2(m + 7 )2a 6. El resultado de 2es: 2m 42b a 1 m 4 16 (a + 3) lograste en la unidad. Tomando en 2. Cul de las siguientes fracciones es la menorpara a > 0?A. a +1 23b(m + 4 ) 2 D.a +13b(m 4 )2 D. E.2 a + 4a + 32 a + 5a + 6D. 2m 72 m 4 1D. 2a 1 2 2A.3b(a + 1) 3b (a + 1) a 3a + 22(m 7 ) cuenta que una de las alternativas B. 2 4a 38aE.4a a 12a B. m +4 23b(a + 1) E.m 42 10. El resultado de 3+ 6 es igual a:E.2 m 4 C.a 1 a2 1 2 13. Determina un nmero positivo tal que m 4C. 3a 2 al egresar de la Educacin Media6a 7. El resultado de2 a + 4a + 3 2a 4: a+14a + 8 es:A.3a + 3a 12D.6a + 3 2a 1 si se le suma 7, el resultado se divide por 3, y si finalmente se le suma nuevamente 7, se obtiene 20 veces el inverso multiplicativo 3. Si a > 1, cul de las siguientes fracciones es a34(a + 3)B.(3 a+3 ) E. 3a 3del nmero. 1 es rendir la PSU, incluimos algunasla ms cercana a ?A. a +12a 2C. a 2a + 1E. B y C A. B.4(a 2 ) a+34(a 2 ) D. E. a24(a + 3) a+2C.a 123 (2a + 3)22 a 1A. 2B. 4D. 5E. 1a 1C. 3 a 1 preguntas tipo de esta prueba. B.2aD. A y B 4. Cul de las siguientes no es una restriccin C.4(a 3) a21014 11. La solucin para x de la ecuacin23x 3x + 6 = 3 es: 14. Por asistir a cierto lugar, a un grupo de amigos se les cobraba $ 6 000 en total. 8. El resultado de: es:22x + 4x 22 Pero dos de ellos no pudieron asistir,23 ( x 2)2 ( x 5)a 1 a 1 de modo que cada uno de ellos debi pagarpara la fraccin? ( x 3 x ) ( x + 5)A. 5(a + 1) D.2a + a +1A. x = 1 $ 150 ms, pues el precio por el grupo 2a +17(a + a + 1)B. x = 1 se mantuvo. Cuntos amigos habaA. x = 5 D. x = 12al comienzo? 7(a + 1) 5(a + a + 1) B.E. C. x = 2B. x = 1 E. x = 2 27(a + 1)5(a + a + 1)A. 7D. 12D. x = 2C. x = 0 a +1 B. 8E. 15 C. 2a + a +1E. x = 0C. 10 104 | Unidad 2Expresiones algebraicas fraccionarias | 105 Cada vez que encuentres este icono, te invitamos a seguir aprendiendo con tu hipertexto.Oganizacin del Texto | 11 12. U1 PAG 12-41_Maquetacin 1 13-07-10 12:38 Pgina 121UnidadNmerosy races EN ESTA UNIDAD APRENDERS A: Caracterizar los nmeros irracionales como aquellos que no pueden ser escritos como un cuociente entre dos nmeros enteros. Caracterizar los nmeros reales como aquellos que corresponden a la unin de los nmeros racionales e irracionales. Utilizar los nmeros reales en la resolucin de problemas, reconocer sus propiedades y realizar aproximaciones por defecto, por exceso y por redondeo. Ubicar algunas races en la recta numrica y explorar situaciones geomtricas en las que ellas estn presentes. Analizar la demostracin de la irracionalidad de algunas races cuadradas. Interpretar y calcular la raz ensima de un nmero real y reconocer algunas propiedades. Relacionar las races ensimas con las potencias de exponente racional.12 | Unidad 1 13. U1 PAG 12-41_Maquetacin 1 13-07-10 12:38 Pgina 13CONVERSEMOS DE:El matemtico italiano Leonardo Fibonacci (1170-1230), famoso por sus estudios acerca dela validez del sistema de numeracin rabe y la importancia del cero, formul la siguiente sucesin: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...Si observas, cada nmero de la sucesin es igual a la suma de los dos trminos anteriores; adems,estos vienen dados por la frmula: n n1 1 + 5 1 5 Fn = 5 2 2 Aos despus del planteamiento de la sucesin, los astrnomos descubrieron que la relacin entrelos planetas en el sistema solar poda ser descrita mediante los nmeros de Fibonacci;otros descubrimientos surgieron en la Biologa, relacionando la sucesin con la conformacin de las plantascuyos tallos o ptalos tienen forma de espiral, as como en la concha de algunos moluscos, por ejemplo,la concha de un nautilus. En el ejemplo anterior, se muestra una de las mltiples aplicaciones de las races,que estudiars en esta unidad, como tambin se ensea una vez ms la increble relacin entrela Matemtica y el mundo que nos rodea.Nmeros y races | 13 14. U1 PAG 12-41_Maquetacin 1 13-07-10 12:38 Pgina 14Cunto sabes?Recuerda lo que aprendiste en aos anteriores y resuelve en tu cuaderno.1. Descompn los siguientes nmeros como producto de factores primos: a. 256 c. 1 525 e. 1 936 b. 441 d. 2 020 f. 2 1872. Determina cul o cules de las siguientes expresiones son verdaderas. Justifica tu decisin.2222 2 0 a. 3 : 3 =1c. 3 + 4 = 5 e. (5x) = 1, x 005 1 2 1 3 b. 3 = 15d. = 16f. = 0, x 0 4 x 3. Resuelve cada ejercicio aplicando las propiedades de las potencias. 3 1 1 2 425 3 a. + g. 3 3 2 27 2 1 2453 b. + 3 h. 4:4 9 2 332 2 33 c. (1) + (1) + (1) + (1) i. (a:a )a 32 d. 22 :24 1 : n5 1 , n 0j. n n 2a 3 3a + 45aa47 3a 2a e. x x x k. w w w 22 3 2 p 3q 26a x a f. ,z0 l. 3 p 2q , a 0 3z a 4. Resuelve los siguientes problemas y explica, paso a paso, el procedimiento que utilizaste. a. Si el lado de un cuadrado aumenta al doble, a cunto aumentasu rea?, y su permetro? b. La arista de un cubo mide a cm. Si la arista del cubo se disminuyea su cuarta parte, a cunto disminuye el volumen del cubo?14 | Unidad 1 15. U1 PAG 12-41_Maquetacin 1 13-07-10 12:38 Pgina 15Unidad 1 5. Reduce las siguientes races (con a y b nmeros positivos): 3 a.2 8 18 e.4b 12b6 648a b. f.44 4a b c. 3 7 3 28 3 14 g. 3 64a 3 4a 3 a 3 7 4 a b d. 3 4 3 12 3 9h. 3 4 10a b Compara tus respuestas con las de tus compaeras y compaeros. Te equivocaste en alguna?, cul fue el error? Explcalo y resuelve correctamente el ejercicio. QU DEBES RECORDAR? Al resolver operaciones con nmeros racionales, tienen prioridad la multiplicacin y divisinantes que la adicin y la sustraccin. En las potencias de base racional y exponente entero, se cumplen las siguientes propiedades:n m n+ma ,n, m ,a 0, a a = a nn na, b n ,a b = (a b)n anma ,n, m ,a 0, m = aaan a na, b, n ,b 0, = bnb Si a y b son nmeros racionales, se cumple lo siguiente:Multiplicacin de races a b = a b , con a, b 0.3a b= 3a 3b aaDivisin de races =, con a 0, b > 0. bb a 3a3=, con b 0. b 3bNmeros y races | 15 16. U1 PAG 12-41_Maquetacin 1 13-07-10 12:38 Pgina 16Nmeros racionales en la recta numricaTe imaginasuna regla tan buena,Francisca y Claudia resuelven una tarea midiendo con una regla. Observanque tuviera marcadosque en la regla hay solo nmeros naturales. todos los nmeros necesarios para medir?Tendra que tenertodos los nmerosdecimales.ANALICEMOS... Es posible construir una regla que sea capaz de medir cualquier longitud? Qu conjunto de nmeros nos permite asignar nmeros a cada puntode una recta? Todo nmero entero es un nmero racional? Tiene cada nmero representado en la recta un sucesor en ella?, por qu? Cuntos puntos distintos hay en un segmento de una recta? Cuntos nmeros racionales hay entre el 0 y el 1?En la recta numrica, se pretende representar todos los nmeros, para estoes necesario asignar a cada punto de la recta un nmero. Estos nmerosindican la distancia desde el punto al 0. Si el punto se encuentra ala derecha del 0, el nmero correspondiente a ese punto ser positivo.Si est a la izquierda, negativo.Qu conjunto numrico podra representar todos los puntos de una recta?Se pueden colocar todos los nmeros racionales en una recta conlos siguientes trucos geomtricos: 3Por ejemplo, considera el nmero . Como es menor que 1, se divide 5la unidad en cinco partes iguales y de estas, se toman tres.1 Se marca en una recta el 0 y la unidad. 2 Se dibuja una recta que pase por 0 y se marcancinco puntos a igual distancia. 0 1 0 116 | Unidad 1 17. U1 PAG 12-41_Maquetacin 1 13-07-10 12:38 Pgina 17Unidad 1 3 Se dibuja un segmento desde el quinto punto4 Se dibujan los otros segmentos paralelos enhasta la unidad.los puntos restantes. Los puntos de interseccinSe traza un segmento paralelo respectoentre los segmentos dibujados y el segmentoal segmento dibujado que pase por el cuarto punto. 1 2 3 4unidad son , , y . 5 5 5 50 1012 34155 55 RECUERDA QUE... Este mtodo permite dividir la unidad en cualquier nmero de partes y determinar un nmero racional cualquiera entre 0 y 1. Tambin se puedea c realizar en otra parte de la recta, por ejemplo, entre 7 y 8, de modo que se 0b d puede dividir, idealmente, toda la recta y sealar todos los nmeros2 a 2a racionales que se puedan representar en ella. b =b2 , con b 0EN RESUMEN La recta numrica es una recta en la que a cada punto le corresponde un nmero que indica su posicin respecto del 0. Un segmento se puede dividir en cualquier nmero de partes. Para esto se procede como en el ejemplo, pero copiando un segmento tantas veces como se quiera dividir la unidad.EN TU CUADERNO 1. Dibuja en tu cuaderno un segmento de 1 centmetro con una regla y divdelo en 10 partes igualesutilizando el mtodo explicado anteriormente. Verifica con tu regla si la divisin se corresponde conlos milmetros de la misma. 2. Dibuja una recta numrica y ubica en ella los siguientes nmeros racionales:7 21 99 5 100; ; ; ; 0; 1; ;5 3 100 100 799 Nmeros y races| 17 18. U1 PAG 12-41_Maquetacin 1 13-07-10 12:38 Pgina 18Nmeros irracionalesEn cursos anteriores, aprendiste a reconocer los nmeros racionales comoaquellos que se pueden escribir como una fraccin. Los nmeros naturalesy enteros son tambin nmeros racionales. Los nmeros decimales finitostambin, ya que son equivalentes a una fraccin decimal. En el caso delos decimales infinitos, solo si son peridicos o semiperidicoscorresponden a nmeros racionales y, de hecho, existen procedimientospara escribir como fraccin estos nmeros.Pero existen otros nmeros decimales infinitos. Observa. 0,1436487965798085312346574568 0,0011122223333344444455556789 1,4142135623730950488016887242 0,2463547680987540000876432456 3,1415926535897932384626433832ANALICEMOS... Algn nmero de estos tiene perodo?, crees que si se conocieran mscifras decimales se podra observar algn perodo?, por qu? Con los procedimientos conocidos, se podran escribir como fraccin?Justifica. Estos nmeros son racionales?, por qu? Reconoces algn nmero de estos?, cul o cules?Existen nmeros decimales infinitos que, aunque se conozcan 100, 1 000 1 000 000 cifras decimales, no tienen perodo alguno. Luego, no se podranescribir como fraccin con alguno de los procedimientos conocidos.GLOSARIOUn nmero decimal infinito que no es racional se llama nmero irracional.Nmero irracional: nmero que noEs imposible escribirlos completamente, ya que tienen infinitas cifrasse puede obtener como cuociente dedecimales, por lo que usualmente se aproximan a la cantidad de cifrasdos enteros.decimales necesarias, o bien se representan mediante operaciones, comoNmero racional: se puede expresar1 + 3 , o con constantes, como el caso del nmero .como cuociente de dos enteros.Algunos nmeros irracionales destacadosEl nmero irracional ms conocido es el nmero , que es la razn entrela longitud de una circunferencia y su dimetro, es decir:longitud de una circunferencia =dimetroMuchas han sido las aproximaciones de en el transcurso de los aos,por ejemplo, en 1987 se calcul con una precisin de ms de 100 millonesde cifras decimales, sin encontrarse perodo alguno.18 | Unidad 1 19. U1 PAG 12-41_Maquetacin 1 13-07-10 12:38 Pgina 19Unidad 1 Otro importante nmero irracional es el nmero e 2,718281 GLOSARIO El nmero e data del siglo XVI y aparece en forma natural cada vez que seNmero ureo: estudian fenmenos de crecimiento o decrecimiento poblacional o se modelan las curvas, por ejemplo, que aparecen en los cables de tendido elctrico. 1+ 5 El nmero = 1,61803398, llamado nmero ureo o nmero de2 oro fue descubierto en la Antigedad al observar la proporcin que hay en algunas figuras geomtricas (relacin entre la diagonal y el lado del pentgono regular), tambin en algunas proporciones de la anatoma humana (por ejemplo, diagonal 1+ 5 entre la altura de una persona y altura de su ombligo, o la relacin entre el== lado 2 dimetro de la boca y dimetro de la nariz) y en la naturaleza (como en la disposicin de los ptalos de las flores o en la distancia entre espiras de 1,61803398... cualquier caracol).EN RESUMEN Un nmero irracional es un nmero que no puede representarse como una fraccin. Es un nmero decimal infinito que no tiene perodo. Algunos nmeros irracionales destacados son , el nmero e y el nmero de oro, .EN TU CUADERNO 1. Clasifica los siguientes nmeros en racionales e irracionales: a. 0,737c. 154,154154...e. 0,121231234...g. 26,0625 b. 2,1732929... d. 23,242526... f. 14,1010010001...h. 12,4666... 2. Determina si m e y son nmeros irracionales o no. Justifica tu decisin. 1+ 6 2 1 6 21+ 2 3 1 2 3a. m = + b. y = 2 2 3 3 3. Encuentra un nmero irracional que cumpla lo siguiente:a. Sea mayor que 2 y menor que 3 . c. Sea mayor que 1 y menor que 2.b. Sea mayor que 15 y menor que 4. d. Sea mayor que 23 y menor que 24 . 4. Completa con los signos o =, segn corresponda. a.21,4142c.3 1,73 e.52,23b. 21,41d.3 1,733f.52,236Nmeros y races | 19 20. U1 PAG 12-41_Maquetacin 1 13-07-10 12:38 Pgina 20Nmeros realesNmeros naturales, Daniel necesita dibujar un diagrama que le permita comprender cmoenteros, racionales, se relacionan todos los conjuntos de nmeros que conoce. l sabe que todos irracionales... los nmeros naturales tambin son nmeros enteros, que todos los enteros tambin son racionales y que los nmeros irracionales, por definicin, no son racionales. ANALICEMOS... Existe un conjunto de nmeros que los agrupe a todos o, al menos, una manera comn de llamarlos a todos? Qu propiedades tienen los nmeros de este conjunto que no se cumplen en los otros? Cmo se representaran en la recta numrica? La unin del conjunto de los nmeros racionales con el conjunto de los 1 nmeros irracionales recibe el nombre de conjunto de los nmeros reales,0,53 1 y se denota con el smbolo . 31 4Las propiedades de las operaciones que involucran nmeros racionales se 3 0,1 extienden naturalmente a los nmeros reales:1 2 3 0 Las operaciones bsicas tienen como resultado nmeros reales; es decir, 3,2 de la adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin de nmeros reales se obtiene siempre un nmero real. Es decir, el conjunto de los nmeros reales es cerrado. La adicin y la multiplicacin de nmeros reales satisfacen las propiedades 2 de conmutatividad y asociatividad; cada operacin tiene un elemento neutro y cada nmero real tiene su elemento inverso, tanto aditivo como multiplicativo (excepto el 0, que no tiene inverso multiplicativo). Adems, la multiplicacin es distributiva respecto de la adicin. Es un conjunto denso, esto es, entre dos nmeros reales siempre hay otro nmero real.GLOSARIO Los nmeros racionales, cuando se escriben como nmeros decimales,Decimal finito: nmero decimal cuyason finitos, infinitos peridicos o infinitos semiperidicos. Sin embargo,parte decimal es finita. los nmeros irracionales son siempre nmeros decimales infinitos peroDecimal infinito peridico: nmero no peridicos. Considerando su representacin en la recta numrica,decimal cuya parte decimal estlos nmeros reales ocupan la recta numrica por completo, ya quecompuesta por una cifra o un los nmeros irracionales completan todos los espacios dejados porconjunto de cifras que se repitenlos racionales en la recta numrica.indefinidamente. El nmero que serepite se llama perodo.20 | Unidad 1 21. U1 PAG 12-41_Maquetacin 1 13-07-10 12:38 Pgina 21 Unidad 1EN RESUMEN El conjunto de los nmeros reales contiene a todos los nmeros racionales e irracionales. Los nmeros reales conservan las propiedades de las operaciones entre nmeros racionales.EN TU CUADERNO 1. Resuelve las siguientes operaciones y determina si sus resultados son iguales o no, en cada caso. 4 3 1 4 3 1 3 3 a. + + + +f. +0 0+ 7 5 10 7 5 10 7 7 2 5 7 2 5 7 b. g. (20,4 + 12,6) 3,5 (20,4 3,5) + (12,6 3,5) 7 8 9 7 8 92 2 2 2 c. 18 0 018 h.+ + 3 37 7 7 73 22 3 d. 7 (4 9)(7 4) (7 9) i. 8 11 11 84 5 5 4 4 7 7 4 e.+ + j. 9 3 3 9 7 4 4 7 Qu propiedad se est aplicando en cada caso? 2. Encuentra dos nmeros reales que estn entre:7 1199 1001 2 a.yc. ye. y3 13 100992 3 7 899 101 1 2 b.yd. yf. y13 131019950 101 3. Ordena de menor a mayor los siguientes nmeros racionales:5 6 65 7 a., ,c., ,1e. 0,3; 0,34; 0,344; 0,346 5 73 5 7 2 13 b. , , d. 0,7501; 0,7051;f. 0,6; 0,56; 0,56; 0,65 9 5 34 4. Decide si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta.a a a. a < b < 1 a, b > 0 b. a < b > 1 a, b = 0 /b bNmeros y races | 21 22. U1 PAG 12-41_Maquetacin 1 13-07-10 12:38 Pgina 22Aproximacin de un nmero irracionalGLOSARIOTatiana quiere decorar un viejo tambor metlico para usarlo de parageroEl nmero es la razn entre en la sala de clases. Tiene un trozo de cuerda muy gruesa que va a pegarla longitud de una circunferencia en el contorno del borde superior. El dimetro del tambor mide 58,5 cm.y su dimetro:Ella decide cortar la cuerda de 175,5 cm de longitud para que le quede longitud de una circunferencia justa, pero le faltaron ms de 7 cm. = dimetro ANALICEMOS... 3,141592 Cul fue el error de Tatiana? Cmo aproximaras ?, por qu? Qu entiendes por aproximar por defecto?, y por exceso? Cul es la mejor aproximacin de con dos cifras decimales?, qu errorse comete con esta aproximacin? Cul es la ventaja de aproximar por redondeo?Tatiana calcul el permetro del tambor usando 3 como aproximacin de , RECUERDA QUE...as: P = 58,5 3 = 175,5. Despus decidi aproximarlo a 3,2, para que nole quedara corta, P = 58,5 3,2 = 187,2, pero, en este caso, le sobraroncasi 4 cm. Entonces, decidi utilizar una calculadora y obtuvo Aproximar un nmero a ciertas cifras P = 58,5 = 183,78317 y cort nuevamente la cuerda, ahora de 183,8 cm, decimales consiste en encontrar un para cubrir completamente el contorno. nmero con las cifras pedidas que est muy prximo al nmero dado. Al realizar una aproximacin por defecto, se busca el nmero, con un Aproximar por redondeo un nmero determinado nmero de cifras decimales, que es inmediatamente menor consiste en dar la mejor de lasque el dado. En cambio, para aproximar por exceso, se busca el nmero, aproximaciones, es decir, aquella concon las cifras decimales fijadas, inmediatamente mayor. la que se comete un error menor. Por ejemplo, dado el nmero , al aproximarlo con dos cifras decimales: Error de una aproximacin es la por defecto es 3,14. diferencia, en valor absoluto, entre por exceso es 3,15. un nmero y su aproximacin.Al utilizar la aproximacin en lugar del nmero se comete un error, en elejemplo anterior, los errores que se cometen son: por defecto: 3,141592 3,14 < 0,001592 por exceso: 3,15 3,141592 < 0,008408Entonces, al aproximar por redondeo, se escoge la aproximacin con la quese comete el menor error, en este caso, 3,14. NO OLVIDES QUE...Ahora, si no se conocen las cifras decimales de una raz no exacta, porejemplo 5 , se puede aproximar por tanteo de la siguiente manera: La cantidad de cifras decimales de2 una aproximacin depende de la Sea D tal que D = 5, entonces2 2 2 cantidad de cifras de los datos y2 < D < 2,3, ya que 2 = 4 < D < 5,29 = 2,3 2 2 2 tambin de la precisin requerida, 2,2 < D < 2,25, ya que 2,2 = 4,84 < D < 5,0625 = 2,25 segn el contexto del problema. 22 22,23 < D < 2,24, ya que 2,23 = 4,9729 < D < 5,0176 = 2,24 .Es decir, D 2,23, aproximado con dos cifras decimales.22 | Unidad 1 23. U1 PAG 12-41_Maquetacin 1 13-07-10 12:38 Pgina 23Unidad 1EN TU CUADERNO 1. Aproxima con dos cifras decimales por exceso y luego, por defecto, cada uno de los siguientesnmeros irracionales. Considerando estos resultados, aproxima por redondeo. a. 2,718281d. 1,732050g. 7,540182 b. 3,141592e. 2,645751h. 4,376525 c. 1,618033f. 3,605551i. 2,231748 2. Indica, en cada caso, el error cometido al aproximar 22 a: a. 4,69 c. 4,7e. 5 b. 4,690416 d. 4,6904 f. 4,69042 3. Determina por tanteo aproximaciones con dos cifras decimales para a. 15 c. 12 e. 17 b. 10 d.21f.30 EN RESUMEN Si al aproximar el nmero obtenido es menor, se ha aproximado por defecto. Si es mayor, se ha aproximado por exceso. Si de los dos valores posibles, se ha considerado aquel con el que se comete el menor error respecto del nmero original, se ha aproximado por redondeo.HERRAMIENTAS TECNOLGICAS En esta actividad, aprenders a aproximar nmeros utilizando una planilla de clculo como Excel. Escribe el nmero decimal que quieres aproximar en la celda A1. En la celda B1 escribe =REDONDEAR.MAS(A1;3). En la celda C1 escribe =REDONDEAR.MENOS(A1;3). En la celda D1 escribe =REDONDEAR(A1;3). En todos los casos, el nmero 3 indica que se aproximar con tres cifras decimales. Observa que los nmeros obtenidos corresponden a aproximaciones por exceso, defecto y redondeo, respectivamente. Si quieres aproximar varios nmeros simultneamente, escrbelos en la columna A y copia las frmulas correspondientes en las columnas B, C y D. Nmeros y races | 23 24. U1 PAG 12-41_Maquetacin 1 13-07-10 12:38 Pgina 24MI PROGRESO1. Clasifica los siguientes nmeros en racionales e irracionales:2 2 + 2 2 2 2 2 a.c. 2 + 1 2 1 e. 2 3 3 4 4 3 +1 2 + 1 2 1 2 + 2 2 2 2 2 b.d. + f. + 6 3 3 4 4 2. Entre qu nmeros enteros se ubican los nmeros irracionales de la pregunta anterior?3. Usando que2 1, 41; 3 1, 73;5 2, 24; ordena de mayor a menor los siguientes nmeros:43252 2 +1 2 2 2 2 2 1 a. ,,,c. , , 4325 66 5 3 +13 +1 3+255 +1 5 b., , d.,,6 76101011 1 3 15 3 2 54. Ordena de menor a mayor los nmeros:,, ,, ,. 2 3 4 5 4 55. Con ayuda de una calculadora, aproxima por exceso y por defecto con dos cifras decimales. a.3 +1c.7 3 e.11 4 b. 4 5d. 4 10f. 6 2 10Cmo voy?Revisa tus respuestas y, luego, escribe la cantidad de ejercicios correctos en tu cuaderno.CRITERIOPREGUNTA EJERCICIOS CORRECTOSReconocer nmeros racionales e irracionales.1 /6Ubicar nmeros irracionales en la recta numrica. 2 /6Ordenar nmeros irracionales.3y4/5Aproximar nmeros irracionales. 5 /624 | Unidad 1 25. U1 PAG 12-41_Maquetacin 1 13-07-10 12:38 Pgina 25 Races cuadradas y races cbicasUnidad 1 Enrique decidi hacer un marco de madera para poner una fotografa con forma cuadrada de los Juegos Olmpicos de Atenas, cuya superficie es 2 de 1 225 cm . Sin embargo, esta informacin no parece servir mucho para determinar la medida de los lados. Por otro lado, su hermana Paula dispone de un pliego de papel de regalo, de 70 cm de ancho y 100 cm de largo, para envolver un joyero con forma 3 de cubo, cuyo volumen es de 3 375 cm . ANALICEMOS... Cunto mide el lado de la fotografa que va a enmarcar Enrique?, cmo lo calculaste?, cunta madera necesita? Cunto mide el lado del joyero que quiere envolver Paula?, le alcanza con el pliego de papel que tiene? Dada la superficie de una regin cuadrada, existe una forma de obtener la medida del lado del cuadrado?, cmo? Dado el volumen de un cuerpo cbico, se puede calcular la medida del lado?, cmo? Enrique debe calcular qu nmero al cuadrado es igual a 1 225. Este nmero se escribe con el smbolo 1 225 y se lee como raz cuadrada de 1 225. En este caso, ya que 35 35 = 1 225, el lado del cuadrado mide 35 cm. Y como 4 35 = 140, entonces, debe comprar al menos 140 cm de madera para cubrir el permetro de la fotografa. Tambin podra considerarse al nmero 35 como raz cuadrada de 1 225, ya que se cumple que (35) (35) = 1 225, pero esto no corresponde. Para evitar confusiones, al referirse a 1 225 solo se considera el valor positivo, que en este caso es 35. Adems, la raz cuadrada solo puede aplicarse a nmeros reales positivos o al cero, ya que el cuadrado de todo nmero real es siempre positivo o cero. Paula, en cambio, para determinar la medida del lado del cubo debe calcular qu nmero al cubo es igual a 3 375. En este caso, se escribe con el GLOSARIO smbolo 3 3 375 y se lee como raz cbica de 3 375, que en este caso es 3 Trminos de una raz: dada la igual a 15, ya que 15 = 15 15 15 = 3 375. Entonces, si Paula dispone de expresin n a , n es el ndice de la 2 un pliego de 7 000 cm , el papel de regalo le alcanza para cubrir el joyero,raz y a es la cantidad subradical. 2 ya que su superficie total es de 1 350 cm .Nmeros y races | 25 26. U1 PAG 12-41_Maquetacin 1 13-07-10 12:38 Pgina 26 EN RESUMEN Recuerda que si a es un nmero positivo o 0 (a > 0), la expresin a denota al nico nmero (mayor o igual a 0) cuyo cuadrado es a. a : se lee raz cuadrada de a. Si a > 0: x = a si a = x 2 ( a )2 = a Si a es un nmero real cualquiera, la expresin 3 a corresponde al nico nmero cuyo cubo es a, y su signo es el mismo que el de a, y se lee raz cbica de a.33 x = 3 a si x = a (3 a )=a 30 = 0 Los nmeros negativos no tienen raz cuadrada real, pero s tienen raz cbica.3 Por ejemplo: 3 8 = 2 , ya que (2) = 8 EN TU CUADERNO1. Resuelve: 2 a. Encuentra la medida del lado de un cuadrado de rea igual a 121 m . 2 b. Determina el radio de un crculo cuya rea es de 81 cm . c. Si la medida del lado de un cuadrado se expresa por A , donde A es el rea del cuadrado,cul es la expresin del permetro del cuadrado?, y de la mitad del permetro del cuadrado? 2 d. Encuentra el permetro de una circunferencia que encierra un rea de 361 m .2. Decide si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifica tu decisin. a.2 + 3 = 2+3c. 32 = 4 + 2e. 60 = 2 15 b.32 = 8 2 d. 28 = 2 + 7f. 40 = 2 103. Responde:3 a. Determina el rea de una cara de un cubo si su volumen es de 64 cm .3 b. El volumen de un cubo es 125 m . Se quiere calcular el rea de una de sus caras, por lo que se2plantea que este clculo es equivalente a resolver ( 3 125 ) . Es correcta la afirmacin anterior?,por qu? c. Si la medida de la arista de un cubo se expresa por 3 V , cmo se expresa el rea de unade sus caras?, cmo se expresa el volumen del cubo?3 d. Calcula la medida de la arista de un cubo, cuyo volumen es de 24 m .26 | Unidad 1 27. U1 PAG 12-41_Maquetacin 1 13-07-10 12:38 Pgina 27 Ubicacin de races en la recta numrica Unidad 1 Los nmeros racionales son un conjunto que no completa la recta numrica; es decir, que por ms nmeros decimales que usemos, siempre existirn huecos entre ellos. Estos huecos corresponden a los nmeros irracionales, como 2 , que completan la recta numrica. ANALICEMOS... Cmo pueden ubicarse en la recta numrica algunos nmeros irracionales? Es posible representar todos los nmeros correspondientes a races cuadradas? Para ubicar las races no exactas, por ejemplo 2 , se puede aplicar el teorema de Pitgoras a un tringulo rectngulo issceles cuyos catetos miden 1 unidad: la hipotenusa de este tringulo ser 2 . Luego, al trazar 21 un arco de circunferencia centrada en el punto 0 de la recta numrica de radio igual a la hipotenusa, en la interseccin con la recta numrica estar ubicado el nmero 2 . 01 2 En general, para localizar de manera geomtrica n , siendo n cualquier nmero natural, se puede aplicar el teorema de Pitgoras a un tringulo rectngulo de catetos 1 y la raz cuadrada del nmero natural anterior, es decir, n 1 . Por ejemplo, con el segmento de longitud 2 y un segmento de longitud 1, se construye un nuevo tringulo rectngulo. Se traza un arco de circunferencia centrada en el punto 0, y de radio igual a la hipotenusa de este nuevo tringulo. La interseccin de este arco con la recta numrica es el punto 3 .23 1 10 1 2 3 2EN RESUMEN Algunos nmeros irracionales pueden representarse en la recta numrica, como, por ejemplo, las races cuadradas de un nmero natural y expresiones compuestas que contienen races cuadradas. Nmeros y races | 27 28. U1 PAG 12-41_Maquetacin 1 13-07-10 12:38 Pgina 28 EN TU CUADERNO1. Ubica los nmeros5, 7, 10 , 17 en la recta numrica.2. Completa la construccin grfica del nmero ureo siguiendo las instrucciones: Copia en tu cuaderno la siguiente figura. D C Observa que ABCD es un cuadrado.A B Marca el punto medio del lado AB como el punto E. Con la ayuda de un comps, traza un arco de circunferencia con centro en E y radio EC. La interseccin entre el arco de circunferencia y la recta AB determina el punto F.Demuestra que la medida del segmento AF es igual a . HERRAMIENTAS TECNOLGICASEn esta actividad, aprenders a ubicar nmeros en la recta numrica usando el programa GeoGebra, que seencuentra disponible en el sitio web: www.geogebra.at Una vez instalado el programa, seleccionaCuadrcula y Vista algebraica en el men Vista. Selecciona Redondeo en el men Opciones paracambiar la cantidad de lugares decimales. Con el botn Crculo marca en el plano cartesiano,primero el punto (0, 0) y luego el punto (1, 1).De esta manera, se dibujar el crculo de centro (0, 0)y radio 2 , que es la diagonal del cuadradocorrespondiente. Ahora, con el botn Punto, marca el punto deinterseccin entre la circunferencia dibujada y el ejehorizontal de la rejilla. Para que efectivamente seaun punto de la circunferencia, esta debe ennegrecerse.Observa las coordenadas de este punto. Corresponde a 2 ?, cmo lo supiste?Ejercicio Siguiendo el mismo procedimiento, ubica en la recta otras races no exactas.28 | Unidad 1 29. U1 PAG 12-41_Maquetacin 1 13-07-10 12:38 Pgina 29 Irracionalidad de algunas races cuadradas Unidad 1 Observa cmo se determinaGLOSARIO geomtricamente la longitud de 1 Diagonal: segmento que une la diagonal de un cuadrado.dos vrtices no consecutivos de unD polgono.Demostracin: conjunto ordenadode argumentos que permiten obtener0 1 D 2 una verdad como consecuencialgica de otra. ANALICEMOS... Segn los datos de la figura, cunto mide la diagonal del cuadrado D?, cmo lo supiste? D es un decimal finito, o un decimal infinito (peridico o semiperidico)? Es D un nmero racional?, se puede representar como fraccin?2RECUERDA QUE... Aplicando el teorema de Pitgoras, se tiene que D = 2. Luego, D = 2 . Cunto es 2 ?Teorema de Pitgoras: Al utilizar una calculadora, arrojar algo como: 2 = 1,4142135 Si a y b son los catetos y c la14 142 135hipotenusa de un tringulo Esto no significa que: 2 =10 000 000rectngulo, entonces: Al observar el resultado de la calculadora, se podra pensar que 2 es una2 + b2 = c2 decimal finito, pero con muchos decimales, o bien infinito, cuyo perodo sea ms largo que la precisin de la calculadora, o bien infinito, pero que no tenga perodo. Es 2 un nmero racional? Si as fuera, 2 se debe poder escribir comoc a una fraccin irreducible, con denominador distinto de 0. b Para demostrar que 2 no es un nmero racional, se debe demostrar primero que:2 Sea p un nmero natural. Si p es un nmero par, entonces p es par. Demostracin por reduccin al absurdo: supn que la propiedad no es cierta.GLOSARIO Luego, debe haber un p impar cuyo cuadrado sea par. Para este nmero p Reduccin al absurdo: argumento existen nmeros n y m naturales que cumplen: de demostracin, que consiste en p = 2n + 1(porque p es impar)suponer que la propiedad que se 22 quiere demostrar no es cierta y p = 2m(porque p es par)deducir a partir de esto una2 contradiccin. Entonces, como tal Pero si p = 2n + 1, entonces, calculando p se obtiene: 22 2 2 contradiccin se debe a que la p = 4n + 4n + 1 = 2(2n +2n) + 1, y, necesariamente, p es impar.2 suposicin era incorrecta, la Por lo tanto, p es un nmero par e impar. Lo cual es una contradiccin.propiedad debe ser cierta. Entonces, la suposicin era incorrecta y la propiedad queda demostrada.Nmeros y races| 29 30. U1 PAG 12-41_Maquetacin 1 13-07-10 12:38 Pgina 30Ahora, se puede demostrar que 2 no es un nmero racional.Demostracin por reduccin al absurdo:GLOSARIOSupn que 2 es un nmero racional, en tal caso existen p y q, primos relativos,Nmero primo: nmero cuyos p22tales que 2 = con q 0. De modo que p = 2q, y p = 2q , por lo quedivisores son el 1 y l mismo. q 2p es par. 2Pero si p es par, por la demostracin anterior, se sabe que p debe ser par.Si p es par, existe un natural n tal que p = 2n. 2 p 2n(2n)Ahora, 2 = = , y elevando al cuadrado 2 = 2 de donde: q q q22 222q = 4n . Simplificando se obtiene: q = 2n . 2Por tanto, q es par y, como ya vimos, q es par.pGLOSARIOEn consecuencia, si 2 = , entonces p y q son ambos pares. Entonces,qFraccin irreducible: es aquellano es posible que exista una fraccin irreducible. Pero todo nmero racionalcuyo numerador y denominadordebe tener una fraccin irreducible que lo represente. Esta es lano poseen divisores comunesdistintos de 1. contradiccin. Luego, 2 no es un nmero racional. Por lo tanto,se dice que 2 es un nmero irracional.La medida de la diagonal de un cuadrado, que hoy nos parece natural, generuna crisis en la escuela pitagrica, en el siglo VI a. C. en Grecia puesaparecieron cantidades inexpresables; es decir, que no se pueden representarcomo una fraccin, algo que los egipcios y los babilonios ya dominaban.Este descubrimiento afect el curso del pensamiento matemtico griegoy les hizo abandonar la idea de que la medicin sea un gran puente entrela geometra y la aritmtica de los nmeros racionales. De hecho, el conjuntode nmeros racionales es notoriamente inadecuado para propsitosgeomtricos simples, ya que en su gran mayora aparecen nmeros irracionales. EN TU CUADERNO1. De manera similar, demuestra que 3 y 5 no son nmeros racionales. Recuerda demostrar primero la propiedad anterior correspondiente.30 | Unidad 1 31. U1 PAG 12-41_Maquetacin 1 13-07-10 12:38 Pgina 31 Races ensimas Unidad 1 En cursos anteriores, aprendiste a calcular el promedio o media aritmtica, ahora veremos cmo se puede obtener la media geomtrica. Observa. Para obtener la media geomtrica de 2 y 18, se calcula: 2 18 = 36 = 6 . Geomtricamente, este resultado se puede interpretar como la medida del lado del cuadrado que tiene igual rea que un rectngulo de lados 2 y 18.18 6 2 6 Para obtener la media geomtrica de 6, 16 y 18, se calcula:12 3 3 12 6 16 18 = 3 1 728 = 12, es decir, 12 es igual al producto de 6, 16 y 18. Geomtricamente, este resultado se puede interpretar como la medida12 de la arista de un cubo que tiene igual volumen que un prisma rectangular de dimensiones 6, 16 y 18.18 ANALICEMOS... Si se necesita obtener la media geomtrica de 2, 4, 9 y 18, cmo se16 puede calcular?, corresponde a 2 4 9 18 ?, por qu? Cmo se relaciona el producto de los cuatro nmeros con su media geomtrica?6 En este caso, la media geomtrica se puede interpretar geomtricamente?, por qu? Comenta. En el caso de calcular la media geomtrica de cinco nmeros, cmo se podra expresar ese nmero? La media geomtrica depende de la cantidad de nmeros involucrados.GLOSARIO Luego, no se puede usar siempre la raz cuadrada.La media geomtrica de n trminos La media geomtrica de 2, 4, 9 y 18 corresponde a la solucin de la ecuacin:x1, x2, ... xn es la raz ensima del4 x = 2 4 9 18 = 1 296, es decir, expresado con notacin de races:producto de los n trminos 4 x = 1 296 , lo que se lee raz cuarta de 1 296. G = n x1 x 2 ... xn 5 De la misma forma, la solucin de x = a corresponde a x = 5 a y se lee raz quinta de a, y as sucesivamente. GLOSARIO En general, la raz ensima de un nmero a es el nmero que resuelve laRaz ensima de un nmero: n ecuacin x = a. Es decir, se busca el nmero cuya potencia ensima sea a.expresin que se puede representarpor n a , cuya ensima potencia es Por ejemplo, para calcular 4 625 , se puede calcular por tanteo primeroigual al nmero a.4 4 3 = 3 3 3 3 = 81, luego revisar 4 = 4 4 4 4 = 64, y tambinNmeros y races | 31 32. U1 PAG 12-41_Maquetacin 1 13-07-10 12:38 Pgina 32 45 = 5 5 5 5 = 625. Entonces, por lo anterior, 4 625 = 5.Al igual que en el caso de las races cuadradas y cbicas, no todaslas races ensimas son exactas, ni todas son nmeros reales. Por ejemplo,la raz cuarta de un nmero negativo no es un nmero real, porque ningnnmero elevado a su cuarta potencia es un nmero negativo.Cuando las races ensimas no son exactas, existen dos posibilidades pararealizar clculos y estimaciones con ellas: Calcular el valor aproximado de la raz ensima, con las cifras decimales que se requieran, por tanteo, tal como para aproximar races cuadradas. Simplificar la expresin cuando se pueda, factorizando el nmero apropiadamente y aplicando las propiedades de multiplicacin y divisin de races.O bien, segn las caractersticas del problema, ocupar la notacin de races,porque representa exactamente el nmero irracional correspondiente. EN RESUMEN Si a es un nmero real y n un nmero natural, entonces la expresin n a denota al nmero cuya potencia ensima es a.n a = b bn = a Si a > 0 y n un nmero par, n a existe y es siempre un nmero positivo. Si a < 0 y n un nmero par, n a no es un nmero real. Cuando n es un nmero impar, n a conserva el signo de a y es siempre un nmero real. Al nmero n se le llama ndice, y al nmero a se le llama cantidad subradical. EN TU CUADERNO1. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas.a. 5 243 = 3e. El nmero 6 17 es real.i. 6 64 + 4 81 = 5 b. n 0 = 0 para cualquier valor de n.f. El nmero 7 5 es real. j. 4 625 + 5 32 =2 n n 4 c. ( b ) = a a = b, n impar. g. 256 = 4 256k. 4 81 + 81 = 66 64 = 38 = 2 d. h. 7 128 = 7 128l. 3 32 = 5 3232 | Unidad 1 33. U1 PAG 12-41_Maquetacin 1 13-07-10 12:38 Pgina 33 Clculo de races ensimas y sus propiedades Unidad 1 Felipe est buscando una estrategia para calcular races usando las que ya conoce. Observa. 6 64 = 3 64 = 3 8 = 2 4 625 =625 = 25 = 5 ANALICEMOS... Estn correctos los clculos de Felipe? Comprueba calculando la potencia correspondiente del resultado en cada caso. Esta estrategia se puede usar siempre?, sirve para calcular una raz quinta, por ejemplo? Las propiedades de las operaciones de producto y cuociente de races cuadradas y cbicas, se extienden a las races ensimas?, qu puedes concluir? Para comprobar si los clculos de Felipe estn correctos, debemos calcular las potencias que corresponden. En ambos casos vemos que: 6 2 = 2 2 2 2 2 2 = 644 5 = 5 5 5 5 = 625 Y por lo tanto, ambos resultados son correctos. Pese a lo anterior, los clculos anteriores no justifican la estrategia usada por Felipe de separar las races de ndice mayor, de modo que para comprobar usaremos algunas propiedades de las potencias. Observando los resultados obtenidos, vemos que podemos escribirlos como: NO OLVIDES QUE... 6 32322 2 =2= (2 ) = 8 = 64 Con la adicin y la sustraccin no se 42222 2puede desarrollar: 5 =5 = (5 ) = 25 = 625 n a+b na +nb Y por tanto, la propiedad de potencia de potencia justifica el uso de na b na nb la separacin de races de ndice mayor.5 Por otro lado, para calcular por ejemplo 6 , podemos descomponerlo como 555 55 2 3 , obteniendo 6 = 2 3 = 32 243 = 7 776. Asimismo, podemos calcular la raz quinta de 7 776 a partir del producto anterior, obteniendo:5 7 776= 5 32 243 = 5 32 5 243 = 2 3 = 6 De modo que la propiedad de potencias de igual exponente permite obtener la raz ensima de un producto como producto de races ensimas.Nmeros y races | 33 34. U1 PAG 12-41_Maquetacin 1 13-07-10 12:38 Pgina 34EN RESUMEN Si a y b son nmeros reales, n y m nmeros naturales, se cumplen las siguientes propiedades: Adicin y sustraccin de races: para que dos o ms races se puedan sumar o restar, es necesario que sean semejantes; es decir, deben tener el mismo ndice y la misma cantidad subradical. Multiplicacin de races de igual ndice n a n b = n a b (si n es par, a, b 0) na na Divisin de races de igual ndice= , con b 0.b nbn mn mm nm n Raz de una raz a=a=a= a EN TU CUADERNO 1. Resuelve. a. 5 7 + 55 7 2 5 7 + 115 7 c. 6 9 36 9 46 18 + 156 18 b. 4 12 + 6 4 12 4 4 12 + 3 4 12d. 3 25 + 2 4 25 + 53 25 7 4 25 2. Calcula las siguientes multiplicaciones de races de igual ndice. a. 5 3 5 4 5 7b. 4 3 4 27 c. 5 64 : 5 2d. 6 256 : 6 4 3. Expresa las siguientes races o productos de races de la forma ms simple posible.7 3 4 a. 43 4 54 c. 4 93 729 e. 3 3125 4 b. 2 3 4 6 d. 12 4 6 2 f. 4 5 6 10 6 5 25 4 4. Simplifica las siguientes expresiones, aplicando las propiedades de las races.6 3 3 6 6 2 44 2 3212 3679 a. 18+ 2 3 + 2( c. 5 8 5 128 ) 6 e. 3 3 2 3 4 7 49 63 63 102 2 2 b. 7 5 49 = d. 2 2 2 = f. 5 9 12 6 3 4 48 26 24 234 | Unidad 1 35. U1 PAG 12-41_Maquetacin 1 13-07-10 12:38 Pgina 35 Relacin entre races ensimasUnidad 1 y potencias de exponente racional En cursos anteriores, se estudiaron las potencias con exponente entero. Por ejemplo: 5 3 =33333 411 1 1 11 2 = 4 = =2 2 2 2 2 16 Es posible ampliar el concepto de potencia a potencias con exponente 1 13 3 racional, como por ejemplo: 7 , 8 , 4 2 . 2 ANALICEMOS...nm n m Supn que se cumple (a ) = a , con n y m fracciones, 2 cul es el resultado de 7 2 ? ( ) 1 Por otra parte, qu nmero elevado al cuadrado da como resultado 7?, ocurrir siempre lo mismo?, cmo lo sabes? Qu puedes concluir? 2 Observa que (7 ) 1 1 22 1 2 2 =7 = 7 = 7, y por otra parte ( 7 ) = 7 (por 1 definicin de raz cuadrada), luego 7 2 = 7 . De la misma manera: 3 (8 )1 31 = 8 , por lo tanto 8 3 = 3 8 = 2 2 (4 )3 23 3 = 4 = 64, por lo tanto 4 2 = 4 = 64 = 83 Representar las races como potencias con exponente fraccionario permite verificar ciertas propiedades de las races aplicando las propiedades de las potencias. Ejemplo 1 3a= 6 a ; con a 0, ya que > 3a= (3 a ) = a 1 2 ( ) 1 2 311 = a3 2 1= a6 = 6 a EN RESUMEN En general: m1n m Si n 0, entonces a n=na Si n 0, entonces a n = a Nmeros y races | 35 36. U1 PAG 12-41_Maquetacin 1 13-07-10 12:38 Pgina 36 EN TU CUADERNO1. Expresa las siguientes potencias en forma de raz:2 1 5 1 7 3 a. 45 3b. 27 3 c. d. ( 0, 00032 ) 510 2. Escribe las siguientes races en forma de potencia, y luego calclalas: a. 3 343b. 4 324 c. 5 0, 00001 d. 9 5123. Utilizando las propiedades anteriores: 1 1 a. Cmo expresaras en forma de raz ( x )( )? 2 5 3 b. De manera anloga, expresa como raz (a )( ).1 3 34. Expresa en trminos de una sola raz las siguientes expresiones: 3 25 a.ab. 3 4 5 2 c. 3 2d. 2 2 25. Encuentra el valor de x. x a.5 = 20 5 b. x x x 13 = 8 136. Responde las siguientes preguntas.2 a. Cul es la medida del lado de un cuadrado de rea 5 2 m ? 3 b. Cul es la medida de la arista de un cubo que tiene por volumen 3 5 cm ? 1 273 2 + 6 77. Observa el ejemplo y luego resuelve: a a = a 2 3= a 6 = a = a6 a 3 4 4 12 a. 5 2 2 b.x x x F8. Dada la siguiente figura, contesta. a. Calcular el rea del cuadrado DBEF si AB = 6 cm. E C2 b. Si el rea ABCD es 30 cm , calcula el lado del cuadrado Dy el rea del cuadrado DBEF. c. Calcula el rea de cada cuadrado si: el lado del cuadrado menor mide x cm.B 2 el rea del cuadrado menor es y cm .A36 | Unidad 1 37. U1 PAG 12-41_Maquetacin 1 13-07-10 12:38 Pgina 37 Situaciones que involucran racesUnidad 1 Mediante la experimentacin y la aplicacin de modelos matemticos, se ha logrado determinar que la relacin entre distancia d (medida en metros) desde la que cae un objeto partiendo del reposo y el tiempo transcurridod t (medido en segundos) est expresada por la frmula: t = .5 Antonio y Eduardo decidieron verificar esta frmula dejando caer una piedra desde un puente y tomando el tiempo que la piedra tarda en llegar al ro. ANALICEMOS... Cul es la altura del puente, segn la frmula, si la piedra cay en 2 segundos? Explica, paso a paso, cmo lo resolviste. Para solucionar este problema, es necesario resolver una ecuacin que contiene races y cuya incgnita forma parte de su cantidad subradical. Observa el siguiente ejemplo y explica los pasos realizados:RECUERDA QUE... dddt=2=4= d = 20 m Observa la ecuacin x +1 = 3 : 555la solucin no pertenece a los Remplaza la solucin en la ecuacin original y comprueba que la satisface. nmeros reales, pues la expresin Siempre, al resolver una ecuacin que posea alguna incgnita en la cantidad x +1 , debe ser positiva o cero, subradical, debe comprobarse que la o las soluciones encontradas realmente segn la definicin de raz cuadrada. satisfacen la ecuacin. Ejemplo 1 RECUERDA QUE... Resuelve la ecuacinx +5 + x + 2 = 6. Se considera primero las restricciones de los valores que puede tomar x. En la expresin n a , n indica el Como la cantidad subradical de una raz cuadrada debe ser positiva o cero, ndice de la raz y a seala la se tiene que x + 5 0 y x + 2 0, por lo tanto, las soluciones no pueden cantidad subradical. ser menores que 2. Ahora, se resuelve la ecuacin. Observa.x +5 +x +2 =6x +5 =6 x +2 Elevando al cuadrado 22 GLOSARIO( x + 5 ) = (6 x + 2 ) Desarrollandox + 5 = 36 12 x + 2 + x + 2 Ecuaciones con radicales: igualdaden la que intervienen races cuyas 12 x + 2 = 33incgnitas forman parte de una o Elevando al cuadrado ms cantidades subradicales. 2 33 2 1 089( x + 2) = x +2= 12 144 801 89x== 144 16 Nmeros y races | 37 38. U1 PAG 12-41_Maquetacin 1 13-07-10 12:38 Pgina 38Finalmente, se verifica que la solucin realmente satisface la ecuacin: 898989 + 80 89 + 32+5 ++2 = + 16161616 169 121 13 11 24 =+= + ==616164 4 4Como se satisface la igualdad original, la solucin encontrada es vlida.Ejemplo 2Considera la ecuacin 6x + 1 + 3x = 0 .Antes de resolverla, se debe considerar las restricciones para el valor de x,ya que 6x + 1 y 3x deben ser ambos positivos. Para esto, se considera 3x 0 1y 6x + 1 0, lo que da x 0 y x . Luego, la solucin no puede ser 6 1menor que . Observa. 6 6x + 1 + 3x = 0( 6x + 1)2 = ( 3x )26x + 1 = 3x 6x 3x = 1 1 x= 3Como se observa en la imagen que la solucin hallada es menor que elvalor determinado como restriccin, esta ecuacin no tiene solucin en los 11 1 0nmeros reales. Naturalmente, no es necesario comprobar la solucin. 3 6Ejemplo 32Resuelve la ecuacin x + 2 = x 2 .2Las restricciones para los valores de x estn dadas solo por x + 2 0, perocomo todo cuadrado de un nmero es positivo, no existen restricciones eneste caso. Ahora, se resuelve la ecuacin: 2x +2 = x 2 22x + 2 = x 4x + 44x = 4 2 1 x= 238 | Unidad 1 39. U1 PAG 12-41_Maquetacin 1 13-07-10 12:38 Pgina 39 Unidad 1 Observa qu sucede al remplazar esta solucin en la ecuacin:2( 2) + 2 = 2 21 ?1 1? 1 4 +2 = 4 29342 Como la igualdad de la ltima lnea no es cierta, la solucin encontrada no satisface la ecuacin. Por lo tanto, la ecuacin no tiene solucin en los nmeros reales. Ejemplo 4 Resuelve la ecuacin 7 3 x 1 = 14 3 . Las restricciones para los valores de x estn dadas por la relacin x 1 0, ya que los coeficientes restantes son positivos, de donde x 1. Ahora, se resuelve la ecuacin:7 3 x 1 = 14 3 3 x 1 = 2 33 x 1 = 12x 1 = 16x = 17 Y es fcil comprobar que la solucin encontrada s satisface la ecuacin original.EN RESUMEN Una ecuacin con radicales es una igualdad en la que intervienen races cuya incgnita formaparte de una o ms cantidades subradicales. En una ecuacin con radicales, las soluciones encontradas algebraicamente deben ser siemprecomprobadas, de modo que la ecuacin original est definida para valores reales.Nmeros y races | 39 40. U1 PAG 12-41_Maquetacin 1 13-07-10 12:38 Pgina 40 EN TU CUADERNO1. Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales. Luego, comprueba la solucin. a. x5=5e. x 2 + 8 x + 3 = x +1i. 2 2 3 x = 62 3 b. x 1 = 7 f. x =1j. 9x + 1 1 = 3 x3 4 c. 2 5 x 1+1= 7g. 23x = 4 k. x + x+2 = 2 d. 2 3 x + 4 = 16 h. 3 x +1 = 1l. x+5+ 3 = x+82. Por qu existen valores que no satisfacen una ecuacin radical? Menciona un ejemplo para responder la pregunta.3. Analiza las siguientes proposiciones: a. La solucin a la ecuacin x = 3 es x = 9. Justifica tu respuesta. b. El valor real de x que satisface la ecuacinx = 1 es x = 1.4. Existe algn nmero natural tal que su raz cuadrada tenga tres unidades ms que la raz cuadrada de su antecesor?, por qu?5. Indica si los siguientes procedimientos estn correctos. En caso contrario, seala el error. a.2x + 1 + x = 0b.x 1 x = 2 2 22 x +1 = x/( ) x 1= x + 2/( )( 2 x + 1)2 = ( x )2( x 1)2 = ( x + 2 )2x 1= x + 4 x + 42x + 1 = x 5 = 4 x x = 1 525x =x= 4166. Resuelve las siguientes ecuaciones: 11 8x 32x 3 22 a.= 2 b.= 3 2x+ 3218 + 2 x7. En cuntos centmetros cuadrados se incrementa el rea de un cuadrado de 20 cm de permetro cuando al lado se agregan 2 cm? Explica, paso a paso, cmo lo resolviste.40 | Unidad 1 41. U1 PAG 12-41_Maquetacin 1 13-07-10 12:38 Pgina 41Unidad 1 MI PROGRESO 1. Determina si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas. Justifica.a. 7 2 = 98 b. 14 = 2 + 7 c. 4 3 3 3 5 = 3 60 2. Realiza las siguientes operaciones y reduce el resultado cuando sea posible. 4 4 + 4 64 7 7 7 4 4 4a.c. 3 4 5 2 16 e. 7 3 3 243 + 3b. 3 5 9 2 5 27 d. 14 3 1296 : 7 3 6f. 14 6 256 : 2 6 4 3. Realiza las siguientes operaciones y reduce el resultado, si es posible, expresndolo como una sola raz.3a. 5 53 25c.3 3 27e. 2 2 2 4 2 3 1 31 5 6b. 7 7 7 1 312d. a ( ) (a ) 2 3 4 1 2 3f. ((11) ) ((11) ) 3 6 53 25 4. Resuelve las siguientes ecuaciones:a. 4 3 x = 12 2 b. 2 x 1 = 21 c.x + 8 x 1 = 1 2 5. Si tengo un terreno que tiene una superficie de 11 m , a qu se parecera? Escoge entrelas siguientes alternativas:A. Una cancha de tenis.B. Una mesa de comedor.C. Una habitacin.D. Una sala de clases. Cmo voy? Revisa tus respuestas y, luego, escribe la cantidad de ejercicios correctos en tu cuaderno. CRITERIO PREGUNTA EJERCICIOS CORRECTOS Resolver operaciones con races ensimas. 1y2/9 Relacionar potencias con races. 3 /6 Resolver ecuaciones con radicales. 4 /3 Aproximar races cuadradas.5 /1 Nmeros y races| 41 42. U1 PAG 42-59_Maquetacin 1 13-07-10 12:59 Pgina 42LogaritmosHasta hace casi 400 aos, la tarea de un calculador poda ser agotadora, imaginacalcular multiplicaciones, divisiones, potencias, o sacar races, no solo denmeros enteros sino tambin de fracciones y nmeros decimales, obviamente,sin tener una calculadora.Observa las siguientes multiplicaciones:16 128 81 2187 256 16 384625 78 125ANALICEMOS... Calcula los productos de las multiplicaciones anteriores sin usar calculadoray compara los resultados en tu curso. Existen diferencias?, por qu? Existe alguna forma de simplificar estos clculos, sin calculadora?Explica. Observa la siguiente tabla. Reconoces en ella algunos de los factoresanteriores?, y algunos de tus resultados?, qu tienen en comn?nn n n n2 3 45 1 234 5 2 49 1625 3 8 27 64 125 41681 256 625 532 243 10243125 664 729 409615 625 7128 2187 16 38478 125 8256 6561 65 536 390 625 951219 683262 1441 953 12510 102459 049 1 048 576 9 765 62511 2048 177 147 4 194 30448 828 12512 4096 531 441 16 777 216244 140 625 Escribe los factores y el resultado, en cada caso, en forma de potencias.Qu puedes concluir?42 | Unidad 1 43. U1 PAG 42-59_Maquetacin 1 13-07-10 12:59 Pgina 43Unidad 1 Observa que todos los resultados conseguidos en la tabla anterior se ubican en la fila correspondiente a n = 11. Es decir, 11 es el exponente al que hay que elevar el 2 para obtener 2048, o el 3 para obtener 177 147, por ejemplo. Para referirnos a este exponente, al que hay que elevar el 2 para obtener 2048, decimos que el logaritmo de 2048, en base 2, es 11 y lo denotamos: 11log2 2048 = 11, pues 2 = 2048GLOSARIO Logaritmo: exponente al que es o que el logaritmo de 177 147 en base 3 es 11 y lo denotamos: necesario elevar una cantidad 11positiva para que resulte un nmerolog3 177 147 = 11, pues 3 = 177 147determinado. Y as sucesivamente. Cmo se podra simplificar el clculo de 625 78 125 utilizando la tabla? Se ubican en la tabla cada uno de los factores y se expresan como potenciasRECUERDA QUE... 4 7 11 con igual base: 625 78 125 = 5 5 = 5nmn+m n a a =a Entonces, se busca en la tabla, en la columna que corresponde a 5 , su valorcon a 0, n, m para n = 11. Este valor es 48 828 125, tal como cuando resolviste la multipli-n cacin mediante el algoritmo habitual.a n mm =a a De manera similar, podramos efectuar otras operaciones, como divisiones, por ejemplo:12244 140 6255 4= 8 = 5 = 625390 625 5logc B Adems, utilizando la expresin logb B =, se puede determinar ellogc b resultado de log27 19 683. A partir de la tabla, se observa que 19 683 y 27 son ambos potencias de 3, luego se pueden escribir utilizando los logaritmos en base 3 y ubicar los valores en la tabla. Observa.log3 19 683 93log27 19 683 == = 3. Es decir, 27 = 19 683log3 27 3 De esta manera, las multiplicaciones se pueden convertir en sumas, las divi- siones en restas y las races por divisiones, con lo que se facilita notablemente el clculo, ms cuando los nmeros implicados son muy grandes y se cuenta, obviamente, con tablas apropiadas. Nmeros y races | 43 44. U1 PAG 42-59_Maquetacin 1 13-07-10 12:59 Pgina 44Volvamos a la definicin de logaritmo: exponente al que es necesario elevaruna cantidad positiva para que resulte un nmero determinado. Si lo escri-biera como ecuacin, corresponde a resolver logb a = x, donde b es la basedel logaritmo y a es su argumento, con a y b positivos.Por ejemplo, calcular log2 16 equivale a resolver la ecuacin log2 16 = x. En-tonces, ya que la base del logaritmo es 2, el exponente no se conoce y 16 es el xargumento, es decir, el valor de la potencia, se puede escribir 2 = 16. Y como 4x 416 es una potencia de 2, de hecho, 2 , esto equivale a 2 = 2 , luego, igualandolos exponentes, se concluye que x = 4.Ejemplo 1:Calcula el valor de log7 343 x 3log7 343 = x 7 = 343 = 7 x=3Luego, log7 343 = 3Ejemplo 2:Obtener el valor de log2 81 13 2 =( ) x2x3 2 log2 8 = x 2=82= 22 3Luego, log2 8 = 2Al igual que en el caso de las races, no todos los logaritmos se pueden cal-cular. Esta es la razn de la condicin de valores positivos para a y b. Observa.Ejemplo 3:Obtener el valor de log8 512 xlog8 512 = x 8 = 512Pero la potencia de un nmero positivo puede ser negativa? No, en ningncaso. Luego, log8 512 no existe.Ejemplo 4:Calcula el valor de log(2) 8 x 3log(2) 8 = x (2) = 8 = 2En este caso, la base de la potencia es negativa y su exponente es impar, luegoel valor de la potencia debiera ser negativo tambin. Como esto no se cumple,no existe log(2) 8.Ejemplo 5:Cunto resulta log1 5? xlog1 5 = x 1 = 5 xYa que toda potencia de 1 es 1, no existe un valor de x, tal que 1 sea igual a 5.44 | Unidad 1 45. U1 PAG 42-59_Maquetacin 1 13-07-10 12:59 Pgina 45Unidad 1 Considerando situaciones como estas, es que se ha definido que el valor de la base y el argumento del logaritmo deben ser positivos. En particular, la base debe ser distinta de 1. En un mundo sin calculadoras, los logaritmos fueron utilizados como la prin- cipal herramienta en los clculos aritmticos. Usndolos se ahorr un increble esfuerzo, pues permitieron trabajar con los pesados clculos necesarios en las aplicaciones a la agrimensura, la astronoma, y particularmente la navegacin. Adems, permiti realizar otros clculos matemticos que sin su invencin no hubieran sido posibles. Las tablas de logaritmos y las reglas de clculo eran imprescindibles en cualquier centro de clculo, hasta la aparicin de las calculadoras y computa- dores. Actualmente los logaritmos ya no son necesarios para lo que fueron descubiertos. Sin embargo, ciertas caractersticas y utilidades, que durantes estos