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IntroducaoTestes de hipoteses para a media (µ)
Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios
TESTES DE HIPOTESES
Lucas Santana da Cunhahttp://www.uel.br/pessoal/lscunha/
Universidade Estadual de Londrina
16 e 18 de outubro de 2017
Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ ESTATISTICA ECONOMICA - TURMA 1000
IntroducaoTestes de hipoteses para a media (µ)
Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios
Tipos de HipotesesTipos de errosConstrucao de um teste de hipoteses
Introducao
Viu-se a construcao de intervalos de confianca e que eles podemser usados para tirar conclusoes a respeito de parametros dapopulacao;
Entretanto, existem situacoes em que e necessario decidir seuma determinada hipotese especıfica e verdadeira ou nao. As-sim, lanca-se mao dos chamados testes de hipoteses;
Portanto, teste de hipoteses e uma suposicao ou afirmacao re-lativa a uma ou mais populacoes, baseada nos parametros po-pulacionais, que pode ser verdadeira ou falsa.
Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ ESTATISTICA ECONOMICA - TURMA 1000
IntroducaoTestes de hipoteses para a media (µ)
Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios
Tipos de HipotesesTipos de errosConstrucao de um teste de hipoteses
Introducao
Viu-se a construcao de intervalos de confianca e que eles podemser usados para tirar conclusoes a respeito de parametros dapopulacao;
Entretanto, existem situacoes em que e necessario decidir seuma determinada hipotese especıfica e verdadeira ou nao. As-sim, lanca-se mao dos chamados testes de hipoteses;
Portanto, teste de hipoteses e uma suposicao ou afirmacao re-lativa a uma ou mais populacoes, baseada nos parametros po-pulacionais, que pode ser verdadeira ou falsa.
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IntroducaoTestes de hipoteses para a media (µ)
Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios
Tipos de HipotesesTipos de errosConstrucao de um teste de hipoteses
Introducao
Viu-se a construcao de intervalos de confianca e que eles podemser usados para tirar conclusoes a respeito de parametros dapopulacao;
Entretanto, existem situacoes em que e necessario decidir seuma determinada hipotese especıfica e verdadeira ou nao. As-sim, lanca-se mao dos chamados testes de hipoteses;
Portanto, teste de hipoteses e uma suposicao ou afirmacao re-lativa a uma ou mais populacoes, baseada nos parametros po-pulacionais, que pode ser verdadeira ou falsa.
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IntroducaoTestes de hipoteses para a media (µ)
Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios
Tipos de HipotesesTipos de errosConstrucao de um teste de hipoteses
A ideia basica e que a partir de uma amostra da populacao seraestabelecida uma regra de decisao, segundo a qual a hipoteseproposta sera nao rejeitada ou rejeitada. Esta regra de decisaoe chamada de teste.
Para conduzir um teste de hipotese, vamos considerar duasafirmacoes a respeito do parametro as quais chamaremos dehipotese nula, H0 e hipotese alternativa, H1.
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Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios
Tipos de HipotesesTipos de errosConstrucao de um teste de hipoteses
A ideia basica e que a partir de uma amostra da populacao seraestabelecida uma regra de decisao, segundo a qual a hipoteseproposta sera nao rejeitada ou rejeitada. Esta regra de decisaoe chamada de teste.
Para conduzir um teste de hipotese, vamos considerar duasafirmacoes a respeito do parametro as quais chamaremos dehipotese nula, H0 e hipotese alternativa, H1.
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Tipos de HipotesesTipos de errosConstrucao de um teste de hipoteses
Tipos de Hipoteses
A hipotese nula e expressa sempre pela igualdade. Assim, as possıveishipoteses sao:
a) H0 : θ = θ0 vs H1 : θ 6= θ0 (para testes bilaterais);
b) H0 : θ = θ0 vs H1 : θ > θ0 (para testes unilaterais a direita);
c) H0 : θ = θ0 vs H1 : θ < θ0 (para testes unilaterais a es-querda).
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Tipos de HipotesesTipos de errosConstrucao de um teste de hipoteses
Exemplos
Alguns exemplos de hipoteses estatısticas sao:
a) A altura media da populacao brasileira e superior a 1,65 m;
c) A proporcao de paulistas com aplicacoes financeiras e inferiora 12%;
d) O tempo medio para a realizacao de um teste e de 80 min.
e) A media do consumo de gasolina e a mesma para duas marcasdiferentes de carros;
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Tipos de HipotesesTipos de errosConstrucao de um teste de hipoteses
Tipos de erros
Ao testarmos uma hipotese chegamos a uma decisao (de rejeitar ounao H0) que pode ser correta ou incorreta. Ao concluirmos a favor,ou contra H0, estamos sujeitos a dois tipos de erros.
Situacao Real
H0 verdadeira H0 falsa
Nossa decisaoRejeitar H0 Erro do tipo I Decisao correta
nao rejeitar H0 Decisao correta Erro tipo II
α = P(Erro do tipo I) = P(rejeitar H0 dado H0 verdadeira);
β = P(Erro do tipo II) = P(nao rejeitar H0 dado H0 falsa).
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Tipos de HipotesesTipos de errosConstrucao de um teste de hipoteses
Construcao de um teste de hipoteses
1) Formulacao da hipotese nula H0 (a ser testada) e da hipotesealternativa H1;
2) Use a teoria estatıstica e as informacoes disponıveis para decidirqual estatıstica (estimador) sera usada para testar a hipoteseH0;
3) Fixe a probabilidade α de cometer o erro tipo I e use este valorpara construir a regiao crıtica (regra de decisao);
4) Use as observacoes da amostra para calcular o valor da es-tatıstica do teste;
5) Se o valor da estatıstica calculado com os dados da amostranao pertencer a regiao crıtica, nao rejeite H0, caso contrario,rejeite H0.
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Tipos de HipotesesTipos de errosConstrucao de um teste de hipoteses
Construcao de um teste de hipoteses
1) Formulacao da hipotese nula H0 (a ser testada) e da hipotesealternativa H1;
2) Use a teoria estatıstica e as informacoes disponıveis para decidirqual estatıstica (estimador) sera usada para testar a hipoteseH0;
3) Fixe a probabilidade α de cometer o erro tipo I e use este valorpara construir a regiao crıtica (regra de decisao);
4) Use as observacoes da amostra para calcular o valor da es-tatıstica do teste;
5) Se o valor da estatıstica calculado com os dados da amostranao pertencer a regiao crıtica, nao rejeite H0, caso contrario,rejeite H0.
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Tipos de HipotesesTipos de errosConstrucao de um teste de hipoteses
Construcao de um teste de hipoteses
1) Formulacao da hipotese nula H0 (a ser testada) e da hipotesealternativa H1;
2) Use a teoria estatıstica e as informacoes disponıveis para decidirqual estatıstica (estimador) sera usada para testar a hipoteseH0;
3) Fixe a probabilidade α de cometer o erro tipo I e use este valorpara construir a regiao crıtica (regra de decisao);
4) Use as observacoes da amostra para calcular o valor da es-tatıstica do teste;
5) Se o valor da estatıstica calculado com os dados da amostranao pertencer a regiao crıtica, nao rejeite H0, caso contrario,rejeite H0.
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Tipos de HipotesesTipos de errosConstrucao de um teste de hipoteses
Construcao de um teste de hipoteses
1) Formulacao da hipotese nula H0 (a ser testada) e da hipotesealternativa H1;
2) Use a teoria estatıstica e as informacoes disponıveis para decidirqual estatıstica (estimador) sera usada para testar a hipoteseH0;
3) Fixe a probabilidade α de cometer o erro tipo I e use este valorpara construir a regiao crıtica (regra de decisao);
4) Use as observacoes da amostra para calcular o valor da es-tatıstica do teste;
5) Se o valor da estatıstica calculado com os dados da amostranao pertencer a regiao crıtica, nao rejeite H0, caso contrario,rejeite H0.
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Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios
Tipos de HipotesesTipos de errosConstrucao de um teste de hipoteses
Construcao de um teste de hipoteses
1) Formulacao da hipotese nula H0 (a ser testada) e da hipotesealternativa H1;
2) Use a teoria estatıstica e as informacoes disponıveis para decidirqual estatıstica (estimador) sera usada para testar a hipoteseH0;
3) Fixe a probabilidade α de cometer o erro tipo I e use este valorpara construir a regiao crıtica (regra de decisao);
4) Use as observacoes da amostra para calcular o valor da es-tatıstica do teste;
5) Se o valor da estatıstica calculado com os dados da amostranao pertencer a regiao crıtica, nao rejeite H0, caso contrario,rejeite H0.
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Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios
Variancia conhecidaVariancia desconhecida
Variancia conhecida
Se temos um teste para a media em que a variancia e conhe-cida, entao, a estatıstica do teste e dada por:
Z =Y − µ0σ√n
∼ N(0, 1)
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Variancia conhecidaVariancia desconhecida
Se H0 : µ = µ0 vs H1 : µ 6= µ0, entao
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Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios
Variancia conhecidaVariancia desconhecida
Se H0 : µ = µ0 vs H1 : µ < µ0, entao
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IntroducaoTestes de hipoteses para a media (µ)
Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios
Variancia conhecidaVariancia desconhecida
Se H0 : µ = µ0 vs H1 : µ > µ0, entao
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IntroducaoTestes de hipoteses para a media (µ)
Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios
Variancia conhecidaVariancia desconhecida
Exemplo 1
Um fabricante informa que a duracao media da vida de um equipa-mento e 500 horas com desvio padrao de 5 horas. Foram amostra-das 100 desses equipamentos, obtendo-se media de 498 horas. Haevidencias suficientes para rejeitar a afirmacao do vendedor, com umnıvel de confianca de 95%?
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Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios
Variancia conhecidaVariancia desconhecida
Exemplo 2
Num estudo de custos de seguro contra colisao de automoveis, umaamostra de n = 35 consertos de colisoes frontais contra um muro auma velocidade especıfica teve um custo medio de 1438,00 unidadesmonetarias. Sabendo σ = 269, 00 unidades monetarias, pode-seafirmar que o custo medio verdadeiro e inferior a 1500,00 unidadesmonetarias, a um nıvel de significancia de 5%?
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Variancia conhecidaVariancia desconhecida
Variancia desconhecida
Se temos um teste para a media em que a variancia e desco-nhecida, entao, a estatıstica do teste e dada por:
T =Y − µ0
s√n
∼ t(α,n−1)
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IntroducaoTestes de hipoteses para a media (µ)
Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios
Variancia conhecidaVariancia desconhecida
Se H0 : µ = µ0 vs H1 : µ 6= µ0, entao
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Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios
Variancia conhecidaVariancia desconhecida
Se H0 : µ = µ0 vs H1 : µ < µ0, entao
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IntroducaoTestes de hipoteses para a media (µ)
Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios
Variancia conhecidaVariancia desconhecida
Se H0 : µ = µ0 vs H1 : µ > µ0, entao
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Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios
Variancia conhecidaVariancia desconhecida
Exemplo 1
O gerente de um banco presume que a renda media anual de seusclientes e no maximo R$ 38000,00. Uma amostra aleatoria de 60clientes acusou uma media de R$ 39500,00 e um desvio padrao deR$ 3000,00. Considerando um nıvel de significancia de 2,5%, pode-se dizer que a renda media anual dos clientes desse gerente e superiora R$ 38000,00?
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Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios
Teste de hipoteses para Proporcao
Se temos um teste para a proporcao, π, entao, a estatısticado teste e dada por:
Z =P − π√π(1−π)
n
∼ N(0, 1).
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Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios
Se H0 : π = π0 vs H1 : π 6= π0, entao
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Testes de hipoteses para a proporcao (π)Exercıcios
Se H0 : π = π0 vs H1 : π < π0, entao
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Se H0 : π = π0 vs H1 : π > π0, entao
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Exemplo 1
Uma estacao de televisao afirma que 60% dos telespectadores es-tavam ligados no seu programa especial da ultima segunda-feira.Um canal concorrente contestando tal afirmacao decide coletar umaamostra com 200 famılias e perguntar se o programa escolhido pelafamılia era o programa do canal concorrente. Na amostra foramregistradas 104 respostas afirmativas. O que voce conclui ao nıvelde 5% de significancia?
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Exercıcios
Exercıcio 1
Numa industria de autopecas, sabe-se que o nıvel de dureza de umproduto feito a base de ceramica tem variabilidade σ2 = 0, 49. Umaamostra de 16 pecas foram testadas e o resultado e apresentadoabaixo:
18,1 19,0 18,8 18,5 18,1 18,8 18,1 18,018,5 19,8 17,8 19,1 18,0 19,2 19,8 19,2
Com um nıvel de significancia de 10%, pede-se:
a) pode-se afirmar que a media do nıvel de dureza e superior a18,4?
b) testar a hipotese bicaudal de que a media e igual a 18,4.
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Exercıcio 2
Em fevereiro de 2016, o custo medio para um voo domestico compassagens de ida e volta com desconto foi de R$ 290,00. Umaamostra aleatoria dos precos de 15 passagens de ida e volta comdesconto durante o mes de marco forneceu os seguintes valores:
310 260 265 255 300 310 230 250265 280 290 240 285 250 260.
Usando α = 5% de significancia, pode-se dizer que o preco medioda passagem de ida e volta, com desconto, diminui em marco, emrelacao a fevereiro?
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Exercıcio 3
Um fabricante de creme dental alega que no maximo 3% dos seusprodutos apresentam menos de 100 gramas por embalagem. Umaamostra aleatoria com 300 produtos revelou que 14 possuıam menosde 100 gramas. Assumindo o nıvel de significancia de 1% e possıveldizer que o fabricante esta mentindo?
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