tesit_2012_2013_transformatori

FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA

TEORIJA ELEKTRIČNIH STROJEVA I TRANSFORMATORA

OSNOVNA TEORIJA TRANSFORMATORAMaxwellove jednadžbe, Ampereov zakon, Faradayev zakonMagnetski spregnuti krugoviMagnetski spregnuti krugoviMagnetski krug transformatoraNadomjesna shema, fazorski dijagramPrazni hod, kratki spojPad napona u transformatoru, vanjske karakteristikeRasipni induktivitet

Prof.dr.sc. Zlatko Maljković

Ž

Rasipni induktivitet

ZAVOD ZA ELEKTROSTROJARSTVOI AUTOMATIZACIJU 17.10.2012

Prof.dr.sc. Damir Žarko

Ak. god. 2012/2013 Zagreb,

Definicija transformatoraTransformatori su uređaji koji na principu elektromagnetske indukcije pretvaraju električnuenergiju iz jednog izmjeničnog sustava u drugi iste frekvencije, ali promijenjene vrijednostinapona i struja. U pravilu se sastoje od željezne magnetske jezgre, dva ili više namota kojinapona i struja. U pravilu se sastoje od željezne magnetske jezgre, dva ili više namota kojimogu biti spregnuti samo zajedničkim elektromagnetskim poljem, a u slučajuautotransformatora i električki, te od raznih konstrukcijskih dijelova kao što su stezni sustavjezgre i namota, kotao, konzervator, hladnjaci, itd.j g , , , j ,

217.10.2012

Presjek energetskog transformatora (>100 MVA) Presjek distribucijskog transformatora (50 kVA do 2500 kVA)

Osnovne jednadžbe magnetskog poljaTemeljni fizikalni zakoni pomoću kojih se objašnjava princip rada transformatora suFaradayev zakon magnetske indukcije i Ampèreov kružni zakon ili zakon protjecanja.

F d k i t l blik l iFaradayev zakon u integralnom obliku glasi

d dC S

dS

dt⋅ = − ⋅∫ ∫E l B n

sC S

gdje je E vektor jakosti električnog polja, B je vektormagnetske indukcije, Cs je rubna krivulja koja zatvarag j , s j j jplohu S prema slici, a n je jedinični vektor okomit nainfinitenzimalni dio površine dS

Integral jakosti električnog polja po rubnoj krivulji u stvari predstavlja napon e koji bi seinducirao na krajevima svitka oblika identičnog obliku rubne krivulje. Uzevši u obzir da jeintegral vektora magnetske indukcije B po površini S jednak magnetskom toku Φ Faradayevintegral vektora magnetske indukcije B po površini S jednak magnetskom toku Φ, Faradayevzakon se može pisati u uobičajenom obliku

( ) ( )Φ= −

d te t

317.10.2012

( ) = −e tdt

Inducirani naponU elektrotehničkim uređajima se od vodiča najčešće formiraju svici koji mogu imati više odjednog zavoja kao što je prikazano na slici. U tom slučaju isti magnetski tok Φ prolazi kroz wzavoja. Ako je tok vremenski promjenjiv, inducirat će u svakom zavoju napon ez(t).zavoja. Ako je tok vremenski promjenjiv, inducirat će u svakom zavoju napon ez(t).Spajanjem svih zavoja u seriju se formira svitak, a na njegovim krajevima će se induciratinapon

Φ(t)

( ) ( ) ( ) ( )

l č i k i k

z

d t d te t we t w

dt dt

Φ Ψ= − = − = −

Ψ Φ

S

wulančeni tok svitkawΨ = Φ −

Ako svi zavoji svitka ne ulančuju isti tok Φ, onda je ulančeni tok jednak sumi tokovapojedinih zavoja

i č j Φ Ψ/ k i l t i t ki t k k ji l č j d j l č i t kΨ

1=Ψ = Φ = Φ∑

w

k ek

w

417.10.2012

pri čemu je Φe =Ψ/w ekvivalentni magnetski tok koji ulančen s w zavoja daje ulančeni tok Ψ.

Zakon protjecanja

Vezu između struje i magnetskog polja u magnetskom materijalu opisuje zakon protjecanjakoji glasi

d d∫ ∫ SH l Jd d⋅ = ⋅∫ ∫sC S

SH l J n

gdje je H vektor jakosti magnetskog polja, J je gustoća provodnih struja u vodičima, S jeploha kroz koju prolaze vodiči, a Cs je rubna linije plohe. Odnos između gustoće magnetskogpolja B koju nazivamo magnetskom indukcijom i jakosti magnetskog polja definiran jeizrazom

0μ μ μ= rB H = H

gdje je μ permeabilnost materijala, μ0 je permeabilnosti vakuuma, a μr je relativnapermeabilnost kojom se uzima u obzir magnetiziranje materijala pod utjecajem narinutogpermeabilnost kojom se uzima u obzir magnetiziranje materijala pod utjecajem narinutogmagnetskog polja.

Za zrak se obično uzima da je ukupna permeabilnost jednaka permeabilnosti vakuuma kojaiznosi μ = 4π⋅10‐7 Vs/Am Odatle slijedi da je za zrak μ =1 Relativna permeabilnostiznosi μ0 = 4π 10 Vs/Am. Odatle slijedi da je za zrak μr =1. Relativna permeabilnostferomagnetskih materijala od kojih se izrađuju jezgre transformatora je ovisna o indukciji,tj. μr=μr(B). Odnosi između magnetske indukcije B i jakosti magnetskog polja Hferomagnetskih materijala daju se B‐H krivuljom prvog magnetiziranja i B‐H krivuljom

517.10.2012

feromagnetskih materijala daju se B H krivuljom prvog magnetiziranja i B H krivuljom(petljom) histereze .

Krivulja magnetiziranja feromagnetskog materijala

Petlja histereze Krivulja prvog magnetiziranja

B − remanentna indukcija Ovisnost relativne permebilnosti o magnetskoj indukciji zaBr remanentna indukcijaHc − koercitivna sila

Budući da je površina petlje histereze

Ovisnost relativne permebilnosti o magnetskoj indukciji za transformatorske limove

r

40000-50000rmax

proporcionalna gubicima u materijalu priizmjeničnom magnetiziranju, petlja histerezeferomagnetskog lima je uska s malim iznosomkoercitivne sile

rp

617.10.2012

koercitivne sile.B1,1 – 1,5 T0

Magnetski krug s feromagnetskom jezgrom

Za jednu silnicu magnetskog polja se primjenom zakonaprotjecanja može pisati

SFe

i}

d d d dδδ

δ⋅ = ⋅ + ⋅ = + = ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫Fe

Fe Fel S

H l H S wiH l H l H l J nw

}Su

+

-

Isti magnetski tok prolazi kroz jezgru i zračni raspor pa vrijedilFe

δ δΦ = = Fe FeB S B S

Za poznatu indukciju u željezu BFe jakost polja se određuje iz krivulje magnetiziranja

1 1,1δ = − FeS S

( ) ( ) 0μ μ= = Fe

Fe Fer Fe

BH f BB

Jakost polja u zraku se dobiva iz izraza

δδ =

BH

717.10.2012

0μ

Magnetski krug s feromagnetskom jezgromPrimjenom Ampéreovog zakona dobiva se

δ δ+ =FeB Bl wi( ) 0 0

δμ μ μ

+ =Fer Fe

l wiB

Izraženo preko magnetskog toka slijedi

( ) 0 0 δ

δμ μ μ

Φ Φ+ =Fe

r Fe Fe

l wiB S S

Taj izraz se još može pisati u obliku

wi ΘΦ

Θ‐ protjecanje uzbudne struje

( )

( ) 1Fe Fe m

Fe

R B R RlR B

δ

ΘΦ = =

+

=

Rm – magnetski otpor kruga

magnetski otpor željezne jezgre( ) ( ) 0

1

Fe Fer Fe Fe

R BB S

lRSδ

δ

μ μ=

= ‐magnetski otpor zračnog raspora

‐magnetski otpor željezne jezgre

817.10.2012

0 Sδμ

Magnetski krug s istosmjernim magnetiziranjem

Za namot omskog otpora R vrijedi jednadžba

= ⇒ =UU IR I

SFe

i}

Magnetski tok u jezgri će biti

⇒U IR IR

w

i}

SU+

lFe

( ) δ

Φ =+Fe Fe

wIR B R

Magnetska indukcija u jezgri i zračnom rasporu je onda

( ) ( )1 1, δ

Φ Φ= = = =

+ +FewI wIB B

S S R B R S S R B R( ) ( )δ δ δ δ+ +Fe Fe Fe Fe Fe FeS S R B R S S R B R

Magnetsku indukciju treba odrediti iterativnim postupkom zbog ovisnosti magnetskogotpora o indukciji Ako magnetski krug nije zasićen (B <1 5 T) može se pretpostavitiotpora o indukciji. Ako magnetski krug nije zasićen (BFe<1,5 T), može se pretpostavitikonstantan iznos permeabilnosti jezgre i time pojednostaviti proračun.Pri istosmjernom magnetiziranju struja ovisi jedino o naponu izvora i omskom otporunamota. Magnetska indukcija u jezgri ovisi o struji namota, geometriji magnetskog kruga i

917.10.2012

namota. Magnetska indukcija u jezgri ovisi o struji namota, geometriji magnetskog kruga imagnetskim svojstvima jezgre.

Magnetski krug s izmjeničnim magnetiziranjem

Napon je zadan izrazom

( ) ( ) ( )2 cos 2 cos 2ω π= =u t U t U ft

SFe

i}

Za namot vrijedi naponska jednadžbaw Su+∼

( ) Ψ Φ= + = + = −

d du t iR iR w iR elFe

( ) = + = + =u t iR iR w iR edt dt

Između magnetskog toka i struje vrijedi odnos2Ψ Φw w

Ako se zbog jednostavnosti pretpostavi da je permeabilnost jezgre konstantna onda će

( ) δ

Ψ ΦΨ = ⇒ = = =

+Fe Fe

w wLi Li i R B R

Ako se zbog jednostavnosti pretpostavi da je permeabilnost jezgre konstantna, onda ćestruja i magnetski tok biti sinusno promjenjive veličine. U tom slučaju se naponskajednadžba može pisati u fazorskoj domeni uzimajući u obzir da je za magnetske veličine(tok i indukcija) uobičajeno koristiti maksimalne vrijednosti, a za napone i struje efektivne(to du c ja) uob čaje o o st t a s a e jed ost , a a apo e st uje e e t evrijednosti

( )12 j2 j4,44 22 2

π π πΨ= + = + Φ = + Φ = +U IR j f IR f w IR fw I R j fL

1017.10.2012

( )2 2

−E

Magnetski krug s izmjeničnim magnetiziranjem

Odnos između induciranog napona E i pada napona na omskom otporu IR ovisi o omjerureaktivne i radne komponente impedancije. U magnetskim krugovima sa željeznomjezgrom koji nisu jako zasićeni obično vrijedi E>>IR.

Φ E U

Magnetska indukcija u željezu je onda

4,44 4,44= = ≈Fe

Fe Fe Fe

BS fwS fwS

Magnetska indukcija u jezgri će prvenstveno ovisiti o iznosu narinutog napona.

Struja u namotu

( )22=

UI

( )22 2π+R fL

Iznos struje će ovisiti o impedanciji namota, tj. u najvećoj mjeri o iznosu induktivitetanamotanamota.Induktivitet je parametar koji ovisi o geometriji magnetskog kruga i svojstvima materijalakroz koji se zatvara magnetsko polje. Permeabilnost materijala varira u ovisnosti omagnetskoj indukciji. S porastom indukcije smanjuje se permeabilnost, a time se smanjuje i

1117.10.2012

magnetskoj indukciji. S porastom indukcije smanjuje se permeabilnost, a time se smanjuje iinduktivitet namota.

Struja magnetiziranja

Na namot je narinut sinusni napon ( ) ( ) ( )2 cos 2 cos 2ω π= =u t U t U ft

Uz zanemarenje omskog otpora vrijedi ( ) ( )2 2sin 2Φ π= ⇒ Φ = =U U Ut ft

f f f( ) ( )

2 2 4,44π πf

w f w f fw

Magnetski indukcija u jezgri Φ=Fe

Fe

BS

Prema Amperéovom zakonu uz pretpostavku jednolike raspodjele polja u jezgri iPrema Amperéovom zakonu uz pretpostavku jednolike raspodjele polja u jezgri izanemarenje rasipnog toka u prozoru jezgre vrijedi δδ+ =Fe FeH l H wi

Realni transformatori nemaju zračni raspor, no mala zračnost postoji u limovima naj ti j t i j St ij di H δ <H lmjestima spoja stupa i jarma. Stoga vrijedi Hδδ <HFelFe .

Krivulja magnetiziranja željeza jezgre zadana je petljom histereze B(H). Zbogproporcionalnosti magnetske indukcije s magnetskim tokom i struje s jakošću polja, može seiz petlje histereze formirati krivuljaΦ(i)

1217.10.2012

iz petlje histereze formirati krivuljaΦ(i).

Struja magnetiziranja u slučaju statičke petlje histereze

Za svaku vrijednost toka se iz krivulje Φ(i) očitava pripadna vrijednost struje. Iz statičke petlje histerezedobivene pri polaganommagnetiziranju može se konstruirati valni oblik struje magnetiziranja.

1317.10.2012

Statička petlja histereze i valni oblik struje magnetiziranja

Komponente struje magnetiziranja

U materijalu izloženom izmjeničnom magnetskompolju u jednom ciklusu magnetiziranja dio energijese predaje materijalu, a dio energije se vraća izmaterijala u polje. Odatle slijedi da je površinazatvorena petljom histereze jednaka energiji pojedinici volumena izgubljenoj za svaki ciklusmagnetiziranja što predstavlja tzv gubitke zbogmagnetiziranja, što predstavlja tzv. gubitke zboghistereze. Za pokrivanje tih gubitaka potrebna jekomponenta struje magnetiziranja u fazi snaponom.

Rastavljanje struje magnetiziranja na radnu i jalovu komponentu

irh − radna komponenta struje za pokrivanje gubitaka zbog histereze (sinusna)

iμ − jalova komponenta struje za magnetiziranje željeza i ekvivalentnog zračnog raspora u jezgri

1417.10.2012

Predaja i povrat magnetske energije za vrijeme jednog ciklusa magnetiziranja feromagnetskog materijala

(nesinusna)

Utjecaj vrtložnih struja

Budući da feromagnetski materijal ima i električnu vodljivost, izmjenično (dinamičko) magnetsko poljeće u materijalu inducirati vrtložne struje koje stvaraju dodatne gubitke i svojim vlastitim poljem sesuprotstavljaju polju koje ih je izazvalo.Ako se u jednom ciklusu magnetiziranja uzmu u obzir obje vrste gubitaka, onda se statička petljahistereze zamjenjuje dinamičkom petljom koja je nešto šira, a u valnom obliku struje se pojavljujedodatna radna komponenta struje irv koja pokriva gubitke zbog vrtložnih struja.

ΦΦu

Φdinamička

i

u

t 00 TT/2

statička

T/2

i

i

T

irv

1517.10.2012

Grafička konstrukcija za određivanje struje magnetiziranja iz dinamičke petlje histerezet

Ukupna struja magnetiziranja

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 02 cos sinμ ω ω∞

′ ′′= + + = +∑rh rv n ni t i t i t i t I n t I n t

Ukupna struja magnetiziranja se može napisati u obliku Fourierovog reda

Ako je napon sinusan zadan izrazom

( )1,3,5,...=

rn

i t

( ) ( )2 cos ω=u t U t

u tom slučaju je jedino komponenta struje

iste frekvencije kao i napon te iz izvora donosi radnu komponentu snage. Odatle vrijedi da je

( )01 2 cos ω′I t

Komponentaje iste frekvencije kao i napon no fazno je pomaknuta u odnosu na napon za 90 električnih stupnjeva

( ) ( )01 2 cos ω′=ri t I t

( )01 2 sin ω′′I tje iste frekvencije kao i napon, no fazno je pomaknuta u odnosu na napon za 90 električnih stupnjevapa doprinosi samo jalovoj snazi. Sve ostale komponente struje magnetiziranja također predstavljajujalovu struju jer se po frekvenciji razlikuju od frekvencije napona pa prema tome ne mogu doprinositiradnoj komponenti snage. Ukupna efektivna vrijednost struje magnetiziranja se onda računa premaizrazu

( ) ( )2 20 0 0

∞

′ ′′= +∑ n nI I I

1617.10.2012

( ) ( )0 0 01,3,5,...=∑ n n

n

Utjecaj 3. harmonika u struji magnetiziranja na inducirani naponU struji magnetiziranja je osim osnovnog harmonika izražen i treći harmonik. Ako je f frekvencijaosnovnog harmonika, onda njegov period iznosi T = 1/f. Frekvencija trećeg harmonika je 3f, a njegovperiod je T/3. U simetričnom trofaznom sustavu struje su fazno pomaknute za 120 električnih stupnjeva.To znači da će struje trećeg harmonika biti istofazne u sve tri faze jer su fazno pomaknute za kut koji jejednak njihovom periodu.Posebnost trećeg harmonika struje je u tome što je u trofaznom namotu za njegov tijek nužan povratnivod jer u svakom vremenskom trenutku suma trećih harmonika struje u sve tri faze iznosi i 3 +i 3 +i 3vod jer u svakom vremenskom trenutku suma trećih harmonika struje u sve tri faze iznosi iμ3U+i μ 3V+i μ 3W.Ako se pojednostavljeno struju magnetiziranja prikaže kao sumu osnovnog i trećeg harmonika, ondavrijedi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 3 1 3sin sin 3ω ω= + = +U U U U Ui t i t i t I t I t( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 3 1 3

1 3 1 3

sin sin 3

2sin sin 33

μ μ μ μ μ

μ μ μ μ μ

ω ω

πω ω

+ +

⎛ ⎞= + = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

U U U U U

V V V V V

i t i t i t I t I t

i t i t i t I t I t

( ) ( ) ( ) ( )1 3 1 34sin sin 33μ μ μ μ μπω ω⎛ ⎞= + = − +⎜ ⎟

⎝ ⎠W W W W Wi t i t i t I t I t

U t t k d ij di i i i iUz pretpostavku da vrijedi iμ3U=i μ 3V=i μ 3W= iμ3

( ) ( ) ( ) ( )33 sin 3μ μ μ μ ω+ + =U V Wi t i t i t I t

1717.10.2012

Struja magnetiziranja trofaznog transformatora s izvedenim nul‐vodomMagnetski tok je sinusnog valnog oblika jer se može nul‐vodom zatvoriti treći harmonik struje potreban za stvaranje sinusnog toka zbog nelinearne krivulje magnetiziranja.

iii

i 1

tti 3

1817.10.2012

Struja magnetiziranja trofaznog transformatora bez nul‐voda

Zbog nemogućnosti protoka trećeg harmonika struje magnetiziranja javlja se treći harmonikmagnetskog toka u jezgri zbog kojeg se deformira krivulja magnetskog toka i valni oblikinduciranog napona.induciranog napona.Iznos toka φ3 ovisi o tipu jezgre transformatora.

1uui

ii

t3t

1917.10.2012

Magnetski tok i inducirani napon trostupnog transformatora (namoti spojeni u zvijezdu bez nul‐voda)U transformatoru s trostupnom jezgrom i namotom spojenim u zvijezdu bez nulvoda trećiharmonik magnetskog toka je istofazan u sva tri stupa. Budući da za treći harmonik toka nepostoji povratni put kroz jezgru, on se može zatvarati samo rasipnim putevima, tj. kroz okolnipostoji povratni put kroz jezgru, on se može zatvarati samo rasipnim putevima, tj. kroz okolnizrak koji ima vrlo veliki magnetski otpor Rm. Budući da vrijedi Φ3 = (wiμ3)/Rm, gdje je w brojzavoja, u tom slučaju će treći harmonik toka, a time i treći harmonik napona, biti relativnomali.

2017.10.2012

Magnetski tok i inducirani napon peterostupnog transformatora ili tri jednofazna transformatora (namoti spojeni u zvijezdu bez nul‐voda)

U slučaju peterostupne jezgre ili trofazne grupe tri jednofazna transformatora za trećiharmonik toka postoji povratni put kroz jezgru. Budući da je magnetski otpor jezgre znatnomanji od magnetskog otpora rasipnih puteva, u tom slučaju će udio trećeg harmonika toka, amanji od magnetskog otpora rasipnih puteva, u tom slučaju će udio trećeg harmonika toka, atime i trećeg harmonika induciranog faznog napona, biti znatno veći.

2117.10.2012

Transformator s namotima spojenima u zvijezdu bez nul‐voda i tercijarnim namotom spojenim u trokut

Tercijar je kratkospojeni namot malog otpora, jednoliko razdijeljen na sva tri stupa tako da susvi svici spojeni u seriju – spoj trokut. Redovito je smješten prvi do jezgre.

Treći harmonik toka u jezgri će u tercijaru inducirati istofazne napone koji će kroz taj namotTreći harmonik toka u jezgri će u tercijaru inducirati istofazne napone koji će kroz taj namotpotjerati struju trećeg harmonika. Ta struja će svojim amperzavojima slabiti djelovanje tokaΦ3 koji ju je inducirao na način da će u jezgri preostati samo mala komponenta trećegharmonika toka jednaka razlici tokova Φ3 i Φ3t potrebna za tok struje trećeg harmonikaharmonika toka jednaka razlici tokova Φ3 i Φ3terc potrebna za tok struje trećeg harmonikaiμ3terc u namotu spojenom u trokut. Na taj način namot spojen u trokut osigurava amperzavojestruje trećeg harmonika koji nedostaju u namotu u kojemu ta komponenta struje ne možeteći (npr. spoj zvijezda bez nulvoda). Svi drugi namoti namotani oko istih stupova više neće( p p j j ) g pulančiti treći harmonik toka, tj. neće doći do deformacije napona u njima.

i 3terc

terc terc terc

2217.10.2012

Gubici zbog histereze

Petlja histereze ovisi o kemijskom sastavu i kristalnoj strukturi materijala.Zbog obrade transformatorskog lima (štancanje ili lasersko rezanje) te slaganja u jezgru, pričemu se na spojevima limova javljaju zračnosti, petlja histereze transformatorske jezgre sečemu se na spojevima limova javljaju zračnosti, petlja histereze transformatorske jezgre serazlikuje od petlje histereze limova od kojih je načinjena.U praksi se gubici zbog histereze računaju približnom formulom koja uzima u obzir da sugubici proporcionalni broju ciklusa magnetiziranja u jedinici vremena, tj. frekvencijig p p j g j j , j jmagnetskog polja f i nekoj potenciji maksimalne vrijednosti indukcije. Pojednostavljeni izrazza gubitke zbog histereze po jedinici mase glasi

, W/kg= xh hP k fB

gdje je kh eksperimentalno utvrđeni koeficijent za određeni materijal, a x je eksponentt k i d k ij k j bič k ć d 1 6 d 2 2 V ij d t k tmagnetske indukcije koja se obično kreće u rasponu od 1,6 do 2,2. Vrijednost eksponenta x

ovisi o magnetskoj indukciji i u pravilu većim vrijednostima indukcije odgovara veći x.Ukupni gubici zbog histereze

, W= xhuk Fe hP m k fB

gdje je mFe ukupna masa željeza.

2317.10.2012

Gubici zbog vrtložnih struja

Vremenski promjenjivi magnetski tok u jezgri će inducirati napon zbog kojeg ćejezgrom poteći vrtložne struje te stvarati gubitke.

2 2 2 , W/kg=v v mP k d f B

Gubici u jednom limu jezgre po jediničnoj masi

Prikaz presjeka željezne jezgre s

gdje je kv koeficijent gubitaka vrtložnih struja koji ovisi o električnojvodljivosti i gustoći lima, d je debljina lima, f je frekvencija polja, a Bm je vršnavrijednost magnetske indukcije.I t i lij di d j j j d blji li j či k itiji čiPrikaz presjeka željezne jezgre s

induciranom vrtložnom strujomIz tog izraza slijedi da je smanjenje debljine lima najučinkovitiji način zasmanjenje vrtložnih struja i gubitaka koje one izazivaju. Primjerice, akodebljinu lima smanjimo na 1/2, obuhvaćeni magnetski tok Φ smanjit će se na1/2, a otpor strujnice Rs će se povećati 2 puta, čime se gubici smanjuju 4/ , p j s p p , g j jputa. Zbog toga za potrebe energetskih transformatora najčešće koristimolimove debljine od 0,23 mm do 0,35 mm.

Ukupni gubici zbog vrtložnih struja u željezu mase mFe su ondaFe

2 2 2 , W=vuk Fe v mP m k d f B

2417.10.2012

Vrtložne struje u slučaju dvostrukog smanjenja debljine lima

Vlastiti induktivitet

Ψ=L

i

Omjer ulančenog toka i struje svitka se naziva vlastitim induktivitetom i definira izrazom

iNa primjeru svitka sa željeznom jezgrom i zračnim rasporom je pokazano da vrijedi

21ΦΨ= = = =e wi wL w w

δ δ

= = = =+ +Fe Fe

L w wi i R R i R R

Na iznos induktiviteta u najvećoj mjeri utječe broj zavoja i magnetska svojstva (permeabilnost)ij l k k ji l i k lj Š j i d k i i ći ć bi i ći i l č i kimaterijala kroz koji prolazi magnetsko polje. Što je induktivitet veći, to će biti veći i ulančeni magnetski

tok za istu vrijednost struje.U linearnim magnetskim krugovima u kojima permeabilnosti dijelova kruga nisu ovisne o magnetskojindukciji za inducirani napon se može pisati

( )dd d dd d d dΨ

= − = − = − −Li i Le L i

t t t t

j p p

Ako se razmatra statički magnetski krug u kojemu se induktivitet ne mijenja s vremenom, onda vrijedi

d= −

ie L

2517.10.2012

d=e L

t

Vlastiti induktivitet

d d dΨ Ψ i

U nelinearnim magnetskim krugovima potreban je oprez kada se koristi induktivitet za proračuninduciranog napona. Ispravno je pisati

d d dd d dΨ Ψ

= − = −ie

t i t

Član (dΨ)/(di) predstavlja tzv diferencijalni induktivitet koji se označava s L za razliku od ranijeČlan (dΨ)/(di) predstavlja tzv. diferencijalni induktivitet koji se označava s Ld, za razliku od ranijedefiniranog induktiviteta L koji je jednak omjeru (Ψ)/(i). Induktivitet L se koristi za izračun ulančenogtoka, dok Ld služi za izračun induciranog napona. U linearnom magnetskom krugu ta dva parametra sujednaka

d0

limΔ →

ΔΨ=

ΔiL

i1

1

Ψ=L

i

2617.10.2012

Međuinduktivitet

Vezu između struje jednog svitka i toka koji ulančuje drugisvitak u istom magnetskom polju definiramo pojmommeđuinduktiviteta između dvaju svitaka za koji vrijedi izraz

21 121 1 1 1 221 2 2 1 2 1 1

1 1 1 1 1 1

Φ ΦΨ= = = = =e e

m m

w i w wL w w k w k ki i i i R R

gdje je Φ21e ekvivalentni magnetski tok koji stvara strujasvitka 1, a ulančuju jednako svi zavoji (w2) svitka 2, k1<1 jekoeficijent ulančenja toka svitka 1, a Rm1 je ukupni

t ki t lj itk 1 k j b h ć t k ΦPrimjer ulančenja magnetskog toka dva svitka

( t j t č itk 1) magnetski otpor polja svitka 1 koje obuhvaća tokove Φ1σe(rasipni tok) iΦ21e

.

(struja teče svitkom 1)

Ukupni tok svitka 1 jednak je

1 1 21σΦ = Φ +Φe e e

Odatle slijedi da je

11 21

1

1σ

−Φ = Φe e

kk

U slučaju teoretski savršenog ulančenja svitak 2 bi ulančio sav tok svitka 1 pa bi tada vrijedilo k1 = 1 a

2717.10.2012

U slučaju teoretski savršenog ulančenja svitak 2 bi ulančio sav tok svitka 1 pa bi tada vrijedilo k1 = 1, a Φ1σe = 0.

Međuinduktivitet

Slično razmatranje vrijedi u slučaju kada je svitak 2 napajanstrujom i2, a promatra se ulančeni tok svitka 1. Tada se možedefinirati međuinduktivitet

12 212 2 2 1 212 1 1 2 1 2 2

2 2 2 2 2 2

Φ ΦΨ= = = = =e e

m m

w i w wL w w k w k ki i i i R R

gdje je Φ12e ekvivalentni magnetski tok koji stvara strujasvitka 2, a ulančuju jednako svi zavoji (N1) svitka 1, k2<1 jekoeficijent ulančenja svitka 2, Rm2 je ukupni magnetskit lj itk 2 k j b h ć t k Φ iΦ

Primjer ulančenja magnetskog toka dva svitka otpor polja svitka 2 koje obuhvaća tokove Φ2σe iΦ12e

.(struja teče svitkom 2)

U ovom slučaju također vrijedi

22 12

2

1σ

−Φ = Φe e

kk

Za međuinduktivitete vrijedi L12 = L21 jer oni ovise o zajedničkom toku koji ulančuju oba svitka pri čemu je svejedno koji svitak uzbuđuje, a koji ulančuje tok. U slučaju nelinearnog magnetskog kruga jednakost međuinduktiviteta vrijedi samo ako su oni određeni u uvjetima jednakog zasićenja magnetskog kruga.

2817.10.2012

Međuinduktivitet

211 1 1 1

1 1 1ΦΨ

= = = =e w i wL w wi i i R R

Od ranije je već poznato da se vlastiti induktiviteti svitaka 1 i 2 mogu definirati na sljedeći način

1 1 1 1 12

22 2 2 22 2 2

2 2 2 2 2

ΦΨ= = = =

m m

e

m m

i i i R R

w i wL w wi i i R R2 2 2 2 2m m

Kombinirajući prethodno napisane jednadžbe može se izvesti veza između međuinduktiviteta i vlastitihinduktiviteta svitaka

2 22 1 2 1 2 1 2w w w w w wL L L k k k k k k L L2 1 2 1 2 1 2

12 21 12 2 1 1 2 1 2 1 22 1 1 2

12 1 2 1 2 1 2

= = = =

= =m m m m

L L L k k k k k k L LR R R R

L k k L L k L L

U slučaju kada struja teče kroz oba svitka ulančeni tokovi će ovisiti o vlastitim induktivitetima,međuinduktivitetu i obje struje. Tada vrijedi

1 1 1 12 2L i L iΨ = ±1 1 1 12 2

2 2 2 12 1

L i L i

L i L i

Ψ ±Ψ = ±

Ulančeni tok zbog međuinduktivne veze može biti istog ili suprotnog smjera od smjera toka zbogdjelovanja vlastitog induktiviteta To znači da međuinduktivitet L može biti veći ili manji od nule

2917.10.2012

djelovanja vlastitog induktiviteta. To znači da međuinduktivitet L12 može biti veći ili manji od nule.Predznak međuinduktiviteta ovisi o smjeru struje, ali i o smjeru namatanja svitaka.

Primjeri označavanja smjera namatanja svitaka i određivanja predznaka međuinduktiviteta

1 1 1 12 2

2 2 2 12 1

Ψ = +Ψ = +

L i L iL i L i

1 1 1 12 2

2 2 2 12 1

Ψ = −Ψ = −

L i L iL i L i

1 1 1 12 2Ψ = +L i L i 1 1 1 12 2Ψ = −L i L i

3017.10.2012

2 2 2 12 1Ψ = +L i L i 2 2 2 12 1Ψ = −L i L i

Matematički model transformatora

Magnetski krug u kojemu postoji magnetska spregaizmeđu dva namota koji nisu galvanski vezani je osnovniprimjer načela rada transformatora.

21ei1 i2

12e

+

1 21 2,Cu Cul lR R

S Sρ ρ= =

Budući da se namoti izrađuju od bakrene žice, moraju seuzeti u obzir i njihovi omski otpori R1 i R2 za koje vrijedi

R1 R2e

eu1 L1 L2

u2+

1 21 2Cu CuS S

ρ ρ

Pojednostavljeni prikaz opterećenog d t t f t

gdje je ρ specifični otpor bakra izražen u Ωm, lCu1 i lCu2 suukupne duljine vodiča, a SCu1 i SCu2 su površine poprečnog

Primijeni li se II Kirchhoffov na električne krugove namota 1 i 2, tada vrijedi

dvonamotnog transformatora presjeka vodiča namota 1 i 2.

1 1 1 1 21 1 1 1 1 1 1 1

1 2

2 2 1 2 2

d d d d dd d d d d

d d d d dψ

Ψ Ψ Ψ= − = + = + +

Ψ Ψ

i iu i R e i R i Rt i t i t

i i2 2 1 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2

1 1 1 12 2

d d d d d0d d d d dψ Ψ Ψ

= + − = + + = + + +

Ψ = −

i iu i R e u i R u i Rt i t i t

L i L i

3117.10.2012

2 2 2 12 1Ψ = −L i L i

Matematički model transformatora

Ako se pretpostavi da je magnetski krug linearan, iz toga slijedi da su induktiviteti L1, L2 i L12 konstantni,pa se može pisati

1 2d di ii R L L1 21 1 1 1 12

2 12 2 2 2 12

d dd d

d dd d

= + −

− = + −

i iu i R L Lt t

i iu i R L Lt td dt t

Druga jednadžba se može pisati i u obliku

d d1 212 2 2 2 2

d dd d

= + +i iL i R L ut t

Taj oblik jednadžbe uzima u obzir činjenicu da je napon induciran u namotu 2 posredstvom među‐

U transformatoru se namot 1 obično naziva primarnim a namot 2 sekundarnim Ti nazivi su definirani

Taj oblik jednadžbe uzima u obzir činjenicu da je napon induciran u namotu 2 posredstvom međuinduktivne veze u stvari naponski izvor iz čije pozitivne stezaljke izlazi struja pa se nalazi na lijevoj stranijednadžbe, a na desnoj strani su padovi napona na otporu, vlastitom induktivitetu i pasivnom trošilu.

U transformatoru se namot 1 obično naziva primarnim, a namot 2 sekundarnim. Ti nazivi su definiranismjerom toka energije kroz transformator. Smjer energije je uvijek od primarnog ka sekundarnomnamotu. Primarni namot može biti višeg ili nižeg napona od sekundarnog namota. Umjesto terminaprimarni i sekundarni namot mogu se koristiti i termini višenaponski (VN) i niženaponski (NN) namot

3217.10.2012

samo tada nije jasno koji je smjer energije.

Naponske jednadžbe transformatora u fazorskoj domeni

U stacionarnom stanju naponi i struje transformatora su sinusne veličine pa se naponske jednadžbeprimarnog i sekundarnog namota koje vrijede za trenutne vrijednosti mogu pisati u fazorskoj domeni

U I R j L I j L I1 1 1 1 1 12 2

2 2 2 2 2 12 1

ω ω

ω ω

= + −

− = + −

U I R j L I j L I

U I R j L I j L IIste jednadžbe se mogu napisati i na sljedeći načinIste jednadžbe se mogu napisati i na sljedeći način

21 1 1 1 1 12ω ω= + −

IU I R j L I j aLa

I I

Pri tome koeficijent a mora biti različit od nule i različit od beskonačnosti. Odatle slijedi da postojib k č b j k i l ih j d džbi k ji ž ik i f P ž lj j k i i i

2 22 22 2 2 12 1ω ω− = + −

I IaU a R j a L j aL Ia a

beskonačan broj ekvivalentnih jednadžbi kojima se može prikazati transformator. Poželjno je koristitione vrijednosti koeficijenta a koje imaju fizikalnog smisla. Uzimajući u obzir koeficijente ulančenja obanamota može se pisati

w w w w1 2 1 21 2

1 212 2 12 11 22 2

1 21 1 2 2

= = = =m m

w w w wk kR RL w L wk k

w wL w L w

3317.10.2012

1 2m mR R

Naponske jednadžbe transformatora u fazorskoj domeni

Budući da su zbog prisutnosti rasipnog toka u transformatoru koeficijenti ulančenja k1 i k2 manji od 1,fizikalno su ispravni odnosi

( )1 1 0wL L L k( )

( )

11 12 1 1

2

22 12 2 2

1 0

1 0

− = − >

− = − >

wL L L kwwL L L k( )2 12 2 2

1w

Za dobivanje fizikalno prihvatljivih parametara transformatora poželjno odabrati koeficijent a uintervalu

1 12 1 12

2 2 12 1 2

1= ≤ ≤ =

w L L wk aw L L k w

3417.10.2012

Opća nadomjesna shema transformatora

Dodavanjem dvaju suprotnih članova i u naponsku jednadžbu primara te

i u jednadžbu sekundara dobije se

12 1ωj aL I 12 1ω− j aL I

212ω Ij aL 2

12ω−Ij aLa

( ) 21 1 1 1 12 1 12 1ω ω

⎛ ⎞= + − + −⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

IU I R j L aL I j aL Ia

a a

( )2 22 2 22 2 2 12 12 1ω ω

⎛ ⎞− = + − − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

I I IaU a R j a L aL j aL Ia a a

Na temelju ovih jednadžbi crta se opća nadomjesna shema transformatora.

3517.10.2012

T/2 nadomjesna shema transformatora

Odabirom a = L12/L2 naponske jednadžbe prelaze u oblik

2 212 12 2

1 1 1 1 1 1 21ω ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟L L LU I R j L I j I I1 1 1 1 1 1 21 2 2 12

2 212 2 12 12 2

2 2 2 1 2

1ω ω

ω

+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

U I R j L I j I IL L L L

L L L L LU I R j I IL L L L L

Koeficijent rasipanja magnetskog toka

2 2 2 1 22 12 2 2 12

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

jL L L L L

22212

1 2

1 1σ = − = −L kL L

Umnožak L1⋅σ se često označava s Lσ i predstavlja rasipni induktivitet transformatora.Struja koja teče poprečnom granom se definira kao struja magnetiziranja

2LI I I 21 2

12μ = −

LI I IL

To je ona komponenta struje primara koja je potrebna da se uspostavi preostali magnetski tok u jezgri

3617.10.2012

j p j p j j p p p g j gdovoljan za induciranje napona e1 i e2.


Jednadžbe transformatora sada glase

2 21 1 1 1 1 1 1 2ωσ ω

⎛ ⎞= + + −⎜ ⎟

LU I R j L I j k L I I1 1 1 1 1 1 1 212

2212 2 12 2

2 2 2 1 1 2

ωσ ω

ω

+ + ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

U I R j L I j k L I IL

L L L LU I R j k L I IL L L L2 2 2 1 1 2

2 12 2 12⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

jL L L L

R1 R2(L12/L2)2 I2L2/L12j L1I1

j k2LU1 U2L12/L2

I

I L /L j t i j t f ij j h d k d j t f t j

j k L1

Izraz L12/L2 je u stvari omjer transformacije napona jer u praznom hodu kada je transformator napajansa sekundarne strane, a stezaljke primara su otvorene vrijedi

1 1 12 2 12ωψ ω= = = =u

e j j L i LK

3717.10.2012

2 2 2 2 2ωψ ωu e j j L i L


Recipročna vrijednost omjera transformacije napona (Ku) je omjer transformacije struje (Ki)

1 21 1= = =i

L wKK L k w

Kada je koeficijent ulančenja k2 blizak jedinici, što je slučaj kod transformatora sa željeznom jezgrom,tada je omjer transformacije napona blizak omjeru broja zavoja w1/w2, a omjer transformacije struje je

12 2 1uK L k w

blizak omjeru w2/w1. Tada približno vrijedi

1 2

2 1

,≈ ≈u iw wK Kw w

2= =uKK K

2 1

Faktor redukcije impedancije sa sekundarne na primarnu stranu

z ui

K KK

Reducirane vrijednosti sa sekundarne na primarnu stranu se označavaju crticom pa se obično piše

′ ′ ′K U U K I I K Z Z2 2 2 2 2 2

21 1 1 1 1 1

2

, ,

μωσ ω

ω

′ ′ ′= = =

= + +

′ ′ ′

u i zK U U K I I K Z Z

U I R j L I j k L I

U I R j k L I

3817.10.2012

2 2 2 1 μω− = −U I R j k L I

T nadomjesna shema transformatora

Odabirom naponske jednadžbe prelaze u oblik

1 1 21 1 1 1 12 1 12 1 2ω ω

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

L L LU I R j L L I j L I I

1 2=a L L

1 1 1 1 12 1 12 1 22 2 1

1 2 1 1 1 2 1 22 2 2 2 12 2 12 1 2

ω ω

ω ω

+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = + − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

U I R j L L I j L I IL L L

L L L L L L L LU I R j L L I j L I IL L L L L L L L

Ako se uzme u obzir da vrijedi

2 2 2 2 12 2 12 1 22 1 2 2 2 1 2 1

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

j jL L L L L L L L

⎛ ⎞12 1 2=L k L L

( ) 21 1 1 1 1 1 1 2

1

1ω ω

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟

LU I R j L k I j kL I IL1

μ

⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟

I

( )1 2 1 2 22 2 2 1 2 1 1 2

2 1 2 1 1

1ω ω⎜ ⎟⎜ ⎟− = + − − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠I

L L L L LU I R j L k I j kL I IL L L L L

3917.10.2012

μ⎝ ⎠I

Odatle slijedi T nadomjesna shema transformatora.


21w

Također vrijedi

1

1 21 1212 2 1

= = =m m

m

R RL wawL w RR 2mR

U literaturi je uobičajen odabir koeficijenta a = w1/w2 jer su u transformatoru sa željeznom jezgrom Rm1i Rm2 praktički jednaki.m2 p j

1 1 21 1 1 1 12 1 12 1 2( ) ( )ω ω= + − + −

w w wU I R j L L I j L I Iw w w1

2 2 1

2 2

σ μ μ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

L L I

w w w

w w w w w w w w

2 2 22 2

1 2 1 1 1 2 1 22 2 2 2 12 2 12 1 2

2 1 2 2 2 1 2 1

[ ] ( )

μ μσ

ω ω

′ ′ ′′ ′

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = + − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠U I I L IR L

w w w w w w w wU I R j L L I j L I Iw w w w w w w w

4017.10.2012

2 2 μ μσ


Konačni oblik naponskih jednadžbi transformatora je tada

1 1 1 1 1σ μ μω ω= + +U I R j L I j L I

Transformator obično radi na krutoj mreži konstantne frekvencije pa se u nadosmjesnoj shemi umjesto

2 2 2 2 2

μ μ

σ μ μω ω′ ′ ′ ′ ′− = + −U I R j L I j L I

induktiviteta koriste reaktancije.

1 1 2 2, ,σ σ σ σ μ μω ω ω′ ′→ → →j L X j L X j L X

Ove jednadžbe ne mogu u potpunosti nadomjestiti realni transformator jer njima nisu obuhvaćenigubici u jezgri transformatora (histereza, vrtložne struje). Budući da je inducirani napon proporcionalanglavnom toku, tj. indukciji u jezgri, gubici u jezgri se mogu uzeti u obzir tako da se paralelno reaktancijil i d kti it t d d d i t R t k lik d k j t č t j I t b k i jglavnog induktiviteta doda radni otpor R0 tako velik da kroz njega teče struja I0r potrebna za pokrivanjegubitaka u jezgri PFe. 2 2

1 120 0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟= = =⎜ ⎟Fe r

E EP I R R

R R‐ jednofazni transformator

0 0

2 2

1 120 0 03 3 3

⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟= = =⎜ ⎟Fe r

R R

E EP I R R ‐ trofazni transformator

4117.10.2012

0 0 00 0⎜ ⎟

⎝ ⎠Fe r R R


1 1 1 1 1σ μ μ= + +U I R jX I jX I

2 2 2 2 2σ μ μ′ ′ ′ ′ ′− = + −U I R jX I jX I

R1 R'2 I'2X1I1 X'2

II r

I

XU1 U'2

R0

E1 E'2

4217.10.2012

Konačni oblik T sheme transformatora


21 1 1 1 1 1 μωσ ω ⎫= + +

⎪ = + +⎪L L

U I R j L I j k L IU I R jX I jX I1 1 1 1

22 2 22 2 2 1

σ μ

μ

σ μ μ

μ μμω

= + +⎪⇒⎬ ′ ′ ′− = −′ ′ ′− = − ⎪⎪⎭

L L

L

U I R jX I jX IU I R jX IU I R j k L I

μ ⎭

R1 R'2 I'2XI1

II r

I

X

U1 U'2

I

R0

I r

E1 E'2

4317.10.2012

Konačni oblik T/2 sheme transformatora

Fazorski dijagram transformatora

Naponske jednadžbe transformatora iz kojih su izvedene T/2 i T sheme transformatora semogu prikazati i grafički fazorskim dijagramom Pri crtanju fazorskog dijagrama polazi semogu prikazati i grafički fazorskim dijagramom. Pri crtanju fazorskog dijagrama polazi seod fazora napona koji se crta pod proizvoljnim faznim kutom. Najčešće se odabire 900. Uzpretpostavku poznate impedancije tereta fazor struje se određuje prema

22 ϕ

′′ = −

UIZ

i crta se u fazorskom dijagramu s faznim zaostajanjem za naponom za kut ϕ u slučajuinduktivnog tereta. U slučaju kapacitivnog tereta kut ϕ će biti negativan pa će u tomslučaju struja prethoditi naponuslučaju struja prethoditi naponu.

4417.10.2012

Fazorski dijagrami transformatora prema T/2 nadomjesnoj shemi

Induktivno opterećenjeKapacitivno opterećenje

4517.10.2012

Fazorski dijagrami transformatora prema T nadomjesnoj shemi

Induktivno opterećenje Kapacitivno opterećenje

X'I1X1

I 2R 2I1 1I'2X

'2I1X1

U 2E 2U1

I0

I1I 2

I

2I0

I0r

4617.10.2012

I

Određivanje parametara nadomjesne sheme transformatoraPOKUS PRAZNOG HODATransformator se priključi na napon sa strane VN ili NN namota, a s druge strane se stezaljke ostave otvorene. Izmreže će u tom slučaju poteći samo struja praznog hoda koja se sastoji od jalove komponente za magnetiziranjejezgre i radne komponente u fazi s naponom koja služi za pokrivanje gubitaka (namot i jezgra).Obično se u praksi napon priključuje s VN strane jer tada transformator uzima iz mreže manju strujuObično se u praksi napon priključuje s VN strane, jer tada transformator uzima iz mreže manju struju.

Gubici na omskom otporu namota se često zanemaruju u pokusu praznog hoda jer je struja praznog hoda kodsuvremenih transformatora redovito manja od 0,1 % nazivne struje, a otpor je manji od 1 % bazne vrijednostiimpedancije transformatora Zb koja je jednaka omjeru nazivnog faznog napona i nazivne fazne struje (Zb=Ufn/Ifn).

ž k k ž d d b lZanemariti se može i rasipna reaktancija jer iako ona može iznositi i do 20 % impedancije Zb, zbog male strujepraznog hoda pad napona na njoj ne prelazi 0,02% nazivnog napona.

Snaga, struja i faktor snage transformatora u ovisnosti o naponu praznog hodag , j g p p g

4717.10.2012

Nadomjesna shema transformatora u pokusu praznog hoda

Fazorski dijagram transformatora u praznom hodup

0 0f 00 0

00 0 0

0 0

, cos3 3

X

U U PZII U I

Z ZR

ϕ= = =⋅ ⋅ ⋅

T/2 T

4817.10.2012

0 0μ 0

0 0

X ,sin cos

Rϕ ϕ

= =

Određivanje parametara nadomjesne sheme transformatoraPOKUS KRATKOG SPOJAPri pokusu kratkog spoja transformatora stezaljke NN namota se kratko spoje, a VN namot se napaja sniženimnaponom tolikog iznosa da namotom poteče nazivna struja. Otpor kratkospojnika kod velikih transformatora nijezanemariv jer je usporediv s otporom NN namota, te je nužno obaviti korekciju njegovih gubitaka (otpora).Napon kratkog spoja je znatno manji od nazivnog napona (3‐10 % kod malih i 10‐20 % kod velikih transformatora) paNapon kratkog spoja je znatno manji od nazivnog napona (3‐10 % kod malih i 10‐20 % kod velikih transformatora) paje struja magnetiziranja za taj mali napon zanemariva.Gubici izmjereni u pokusu kratkog spoju Pk se sastoje od:

•gubitaka u omskim otporima namota,• tzv "dodatnih gubitaka" zbog vrtložnih struja induciranih u konstrukcijskim dijelovima (steznici kotao vlačne• tzv. dodatnih gubitaka zbog vrtložnih struja induciranih u konstrukcijskim dijelovima (steznici, kotao, vlačne motke) te efekta potiskivanja struje koji dovodi do neravnomjerne raspodjele struje po presjeku vodiča čime se povećava otpor namota i radni gubici.

f fSnaga, struja i faktor snage transformatora u ovisnosti o naponu kratkog spoja

4917.10.2012

Dodatni gubici u pokusu kratkog spoja

Gubici u konstrukcijskim dijelovima najčešće izrađenima od čelika nastaju zbog djelovanja rasipnogpolja namota koje u njima inducira vrtložne struje. Radi smanjenja tih gubitaka u većimtransformatorima se ugrađuju zasloni s unutarnje strane kotla transformatora koji su načinjeni odmagnetskih limova s ciljem da na sebe privuku rasipno polje namota i time smanje pojavu vrtložnihstruja u kotlu.

Jezgra

Steznik

Rasipne

Jezgra

Steznik Rasipne silnice

Kotao

s p esilnice

Kotao

Zaslon

5017.10.2012

Nadomjesna shema transformatora u pokusu kratkog spojaFazorski dijagram transformatora u

kratkom spoju

T/2

k= cos sinϕ ϕ= =UZ R Z X Z

I1=I 2

I1X k k k k k k kk

kk

k k

, cos , sin3

cos3

ϕ ϕ

ϕ

= =

=⋅ ⋅

Z R Z X ZI

PU II 2R 2

I1 1

I'2X'2

1

Uk

5117.10.2012

k σ k 1σ 2σT/2 : , T: ′= = +X X X X X2 2

T

Gubici zbog tereta

Gubici zbog tereta predstavljaju gubitke u namotima i konstrukcijskim dijelovima zbog protoka struje.Oni su jednaki gubicima izmjerenima u pokusu kratkog spoja.Otpor Rk je nešto veći od omskih otpora namota R1 i R'2 izmjerenih U‐I metodom zato što su u Pksadržani i dodatni gubici u transformatoru Odatle za trofazni transformator vrijedi

2 2k k 1 k 2 dod

2

3 3

3tP P I R I R P

P I R

′= = + +

=

sadržani i dodatni gubici u transformatoru. Odatle za trofazni transformator vrijedi

dod k dod3P I R=

gdje je Rdod ekvivalentni otpor kojim se uzimaju u obzir dodatni gubici. Otpori namota se običnopreračunavaju na pogonski toplo stanje. Za promjenu otpora s temperaturom za bakrene namote vrijedip j p g p j p j p p j

00

235235

R Rϑ ϑϑϑ+

= ⋅+

dj j R t k d t t ϑ (t li t ) R j t k d t t ϑ (hl d i t ) 235gdje je Rϑotpor kod temperature ϑ (topli otpor), Rϑ0 je otpor kod temperature ϑ0 (hladni otpor), a 235je konstanta za bakar kod 20 °C. Konstanta za aluminij iznosi 225.Dodatni otpor se smanjuje s povećanjem temperature zbog toga što su amplitude vrtložnih struja kojeinducira rasipno polje proporcionalne ekvivalentnom induciranom naponu, tj. promjeni ulančenogp p j p p p , j p j grasipnog toka i obrnuto proporcionalne ekvivalentnom otporu željeza kroz koje teku. S povećanjemtemperature povećava se i otpor pa se stoga dodatni gubici smanjuju (Pdod = E2ekv/Rekv). Budući da sedodatni gubici računaju kao gubici na nadomjesnom otporu Rdod spojenom u seriju s otporom namota, spovećanjem temperature se mora R smanjivati da bi se ispravno uzelo u obzir ono što se fizikalno

5217.10.2012

povećanjem temperature se mora Rdod smanjivati da bi se ispravno uzelo u obzir ono što se fizikalnodogađa u transformatoru.

Napon kratkog spoja

k fn k n kk% 2

3100% 100% 100%U I Z S ZuU U

= = =

Napon kratkog spoja se najčešće izražava u postocima nazivnog napona i određuje se prema izrazima

k% 2n nfn

n n n fn fn

n fn

3

3 3

U UU

S U I U II I

= ==n fn

gdje Un i Ufn predstavljaju nazivni linijski i fazni napon za spoj nadomjesne zvijezde, Uk je linijski naponkratkog spoja, In i Ifn su linijska i fazna struja, a Sn je ukupna prividna snaga transformatora. Za radnu ij l k t k tk j ij dijalovu komponentu napona kratkog spoja vrijedi

fn k k n kr% 2

fn n n

100% 100% 100%,I R P S RuU S U

= = =

fn k n k% 2

fn n

100% 100%.I X S XuU Uσ = =

P t t ij d ti ih k t k tk j i t k ji t k tkPostotne vrijednosti svih komponenata napona kratkog spoja su neovisne o tome koji namot se kratkospaja, a na kojem se mjeri napon kratkog spoja.

5317.10.2012

Pad napona u transformatoru

Primarni i sekundarni napon reduciran na primarnu stranu po svom iznosu se razlikuju, tj. postojiodređeni pad napona u transformatoru. Ta razlika ovisi o iznosu impedancije kratkog spojatransformatora, opterećenju transformatora i faznom kutu između sekundarnog napon i struje. Podefiniciji pad napon u transformatoru je razlika efektivnih vrijednosti primarnog i reduciranogsekundarnog napona izražena u postocima primarnog napona. Utjecaj struje magnetiziranja na padnapona u realnom transformatoru se redovito može zanemariti pa se za izračun pada napona koristipojednostavljeni fazorski dijagrampojednostavljeni fazorski dijagram.

1fn 1 2fn 2 tn n krn 2

I R I R P S RuU S U

′ ′+= = =} 1 1fnU U=

1fn n n

1fn σ n σσn 2

1fn n

U S U

I X S XuU U

= =

} 11

1fn

1U

uU

U

= =

′2 2 n

kn rn σn 2n

% 100

kS Zu u uU

u u

= + =

=

22

1fn

1 2

Uu

U

I I

′ =

′=%

%

1 2

100

100

i iu u uu u

=′Δ = −

Δ = Δ

1

n 1fn

ISS I

i I

α = =

′ ′

5417.10.2012

% 100u uΔ = Δ2 2ni Iα′ ′=

Pad napona u transformatoru

%

rn% 2

AG AE EF FG

cos

u

AE uα ϕ

Δ = = + +

= }n% 2

221% 1%

sinEF u

FG OG OF u u CF

σα ϕ=

= − = − −

}n% 2 rn% 2cos sinCF u uσα ϕ α ϕ= −

Izraz pod korijenom u gornjoj jednadžbi se može napisati u obliku koji se možeprikazati Taylorovim redom razvijenim oko nuleprikazati Taylorovim redom razvijenim oko nule

2 2 41 11 1 ...2 8

x x x− = − −

Za transformatore za koje vrijedi uσn% ≤ 20 % dovoljno je uzeti samo prva dva člana Taylorovog redačime se uz u1% = 100 % dobiva

2

( )

( )

22n% 2 rn% 2

n% 2 rn% 2

2

cos sin100 100 1 0,005 cos sin100

cos sin 0 005 cos sin

u uFG u u

u u u u u

σσ

α ϕ α ϕ α ϕ α ϕ

α ϕ ϕ α ϕ ϕ

−⎛ ⎞= − − ≈ −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤Δ = + +⎣ ⎦

5517.10.2012

( )% rn% 2 n% 2 n% 2 rn% 2cos sin 0,005 cos sinu u u u uσ σα ϕ ϕ α ϕ ϕ⎡ ⎤Δ = + + −⎣ ⎦

Pad napona u transformatoru (posebni slučajevi)

Ako transformator ima uσn% <4%, drugi član se može zanemariti čime se dobije pojednostavljeni izraz

( )% rn% 2 n% 2cos sinu u uσα ϕ ϕΔ = +

Ako transformator ima uσn% > 20 %, tada je ponekad potrebno uzeti u obzir i treći član Taylorovogreda pa se onda dobije

( ) ( )( )

22% rn% 2 n% 2 n% 2 rn% 2

47 4n% 2 rn% 2

cos sin 0,005 cos sin

1,25 10 cos sin

u u u u u

u u

σ σ

σ

α ϕ ϕ α ϕ ϕ

α ϕ ϕ−

Δ = + + −

+ ⋅ −( )

Kako bi se ograničila promjena napona sekundara u transformatore se ugrađuju regulacijski namoti iregulacijske sklopke. Oni se najčešće ugrađuju na visokonaponskoj strani zbog manje struje namota,g j p j g j p j g j j ,što olakšava preklapanje pod teretom.

5617.10.2012

Ovisnost pada napona o faktoru snage pri nazivnom teretu

Mali (distributivni) transformator Veliki (energetski) transformator

5717.10.2012

Ovisnost pada napona o opterećenju pri različitim konstantnim faktorima snage


5817.10.2012

Vanjske karakteristike transformatora

Vanjske karakteristike definiraju ovisnost napona sekundara nereguliranog transformatorao opterećenju pri različitim konstantnim faktorima snage.


106108

u'2%

cos 0

98100102104

SSn0,9

0,7

kap

92949698

0,20,70,9

1,0kap.

ind.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,292 0,2

5917.10.2012

Rasipno polje

Rasipno polje u transformatoru je rezultat djelovanja oba protjecanja, primarnog i sekundarnog. Upokusu kratkog spoja su ta dva protjecanja praktički jednaka, ali su suprotnog predznaka. Isto vrijedi i unormalnom pogonu zbog malog udjela struje magnetiziranja u odnosu na struje primara i sekundara.Sumiranje doprinosa oba namota rezultira poništavanjem njihovih protjecanja u zoni jezgre, unutarnamota rezultantno protjecanje linearno raste i opada, dok je u rasporu između namota konstantnomaksimalnog iznosa.

Silnice rasipnog polja u stvarnosti neće biti aksijalno usmjerene paralelneSilnice rasipnog polja u stvarnosti neće biti aksijalno usmjerene paralelnelinije kao što je pretpostavljeno ovim jednostavnim analitičkim modelom,nego će postojati i radijalna komponenta polja.

6017.10.2012

Rasipno polje u prozoru trofaznog transformatoraRaspodjela protjecanja i magnetske indukcije u prozoru jednofaznog transformatora

Magnetska energija akumulirana u prostoru rasipnog tokaVeza između rasipnog induktiviteta Lσ, energije rasipnogmagnetskog polja Aσ i struje primara i1 je dana izrazom

21A 2σ σ 1

12

A L i=

Magnetska energija rasipnog polja pohranjena u volumenuV jednaka jeV jednaka je

2

σ1 d2 V

BA Vμ

= ∫

Zbog natno ećeg i nosa relati ne permeabilnosti je greZbog znatno većeg iznosa relativne permeabilnosti jezgre uodnosu na permeabilnost vakuuma, udio energije rasipnogmagnetskog polja u volumenu jezgre je zanemariv o udnosuna energiju u volumenu prozora pa odatle slijedig j p p j

2σ σ1 σ2

0

1 d2 V

A B V A A Aδμ= = + +∫

gdje je Aσ1 energija akumulirana u prostoru primara, Aσ2 jeenergija u prostoru sekundara,a Aδ je energija u prostoruizmeđu namota.

6117.10.2012

Magnetska energija u prostoru primarnog namota Aσ1,između namota Aδ i u prostoru sekundarnog namota Aσ2

Indukcija u prozoru kao funkcija položaja

21B xB B Bδ⎛ ⎞⎜ ⎟

1 2

21

1 2

, 1x xB x B Ba aδ

δ= = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Infinitenzimalni dijelovi volumena po kojima se vrši integracija

( ) ( )1 2σ 1u 1 1 σ 2u 2 2d 2 d , d 2 dx xV l D x x V l D x xπ π= + = +

gdje je lσ srednja duljina magnetskih silnica koja se računa prema Rogowskom

σll =

R

σR

11 2

R R R R1 1 1 ,

K

a aK el

σ δσ σ σ−⎛ ⎞ + +

= − − ≈ − =⎜ ⎟⎜ ⎟ lπ⎜ ⎟⎝ ⎠

6217.10.2012

Magnetska energija u prostoru primarnog namota Aσ1,između namota Aδ i u prostoru sekundarnog namota Aσ2

Odatle slijedi

12

1 1 a B⎛ ⎞ ( )1

1 1

2σ1 1 1u 1 1

0 0 10

2

1 1d 2 d2 2

3

x xBA B V x l D x xa

B l a a

δσ

δ

πμ μ

π

⎛ ⎞= = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞

∫ ∫

( ) ( )

σ 1 11u

02

2

32 3 2

1

B l a aD

B lA B D l D

δ

δ σ

πμ

πδ π δ δ δ

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

= − = −( ) ( )

( )

2 20 0

2

1 1

2 2

22

u u

u

A B D l D

B l D a

δ δ σ

δ σ

δ π δ δ δμ μ

π δ

= =

= +( )

( )2

2 2

1 10

22 2

σ2 2u 2 2

2

1 1d 1 2 d2 2

u

a

x xxA B V D x xa

μ

πμ μ

⎛ ⎞= = − +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ ( )

0 0 20

2σ 2

1u0

2 2

22 3

a

B l a Dδ

μ μ

πμ

⎝ ⎠

= +

∫ ∫

21 2 .

3aa δ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

6317.10.2012

0μ ⎝ ⎠

Rasipni induktivitet

Ukupna magnetska energija rasipnog polja je

2σ 1 1 2 2

σ s 1 12 3 2 3 3

B l a a a aA DD D D D

δ π δ δδ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − − + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

σ s0 s s s s2 3 2 3 3D D D Dμ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

gdje je Ds srednji promjer određen izrazom s 1u 12 .D D a δ= + +Prema zakonu protjecanja uz zanemarenje pada magnetskog napona uželjezu jezgre vrijedi

1 10

w iBlδ μ=σl

Konačni izraz za rasipni induktivitet

2 D a a a aπ δ δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞2 s 1 1 2 2σ 1 0

σ s s s s

1 13 2 3 3

D a a a aL wl D D D Dπ δ δμ δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − − + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

Ako su širine primarnog i sekundarnog namota približno jednake a1 ≈ a2,1 2tada vrijedi

2 s 1 2σ 1 0

σ 3D a aL wlπμ δ+⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

6417.10.2012

Ovi za rasipni induktivitet odgovaraju parametru Lσ u T/2 nadomjesnoj shemi transformatora.

tesit_2012_2013_transformatori

Documents