tesis juan facundo gonzalez

UUNNIIVVEERRSSIIDDAADD DDEE BBUUEENNOOSS AAIIRREESS

Facultad de Ingeniería

TTEESSIISS DDEE IINNGGEENNIIEERRÍÍAA MMEECCÁÁNNIICCAA

Presentada por:

Juan Facundo GONZALEZ

DDIISSPPOOSSIITTIIVVOO PPAARRAA MMEEDDIICCIIÓÓNN DDEE PPEEQQUUEEÑÑOOSS

FFLLUUJJOOSS EENN SSOOLLUUCCIIOONNEESS AACCUUOOSSAASS

Director:

Dr. Ing. Guillermo ARTANA

Diciembre de 2003

DISPOSITIVO PARA MEDICIÓN DE PEQUEÑOS FLUJOS EN SOLUCIONES ACUOSAS

Alumno: JUAN FACUNDO GONZALEZ Padrón: 75.836 Lugar de Trabajo: Laboratorio de Mecánica de Fluidos,

Dto. de Ingeniería Mecánica y Naval, Facultad de Ingeniería. UBA. Director: Dr. Ing. GUILLERMO ARTANA. Fecha de Presentación: Informe final aprobado por: __________________________ _____________________________ Alumno __________________________ _____________________________

Director _____________________________

CONTENIDOS

1

Contenidos

INTRODUCCIÓN ......................................................................................................................................6

1- GENERALIDADES SOBRE GOTAS Y EL FENÓMENO DE “GOTEO”......................................9

1.1 – INTRODUCCIÓN ................... ............................................................................................................10

1.2 – MECÁNICA DEL CRECIMIENTO DE LAS GOTAS. ................... ..................................................11

1.3 – EQUILIBRIO DE UNA GOTA PENDIENDO EN EL EXTREMO DE UN TUBO ..........................14

1.4 – SISTEMA DE PRODUCCIÓN DE GOTAS EN RÉGIMEN DE “DRIPPING” O “GOTEO”...........15

1.4.1 – Gotas de tamaño uniforme ....................................................................................................16

1.4.2 – Gotas cargadas eléctricamente ..............................................................................................17

1.5 – VOLUMEN DE LAS GOTAS PRIMARIAS ......................................................................................18

1.6 – GENERACIÓN DE GOTAS SATÉLITE ............................................................................................18

1.7 – EFECTO DE LA PARED DEL TUBO EN LA FORMACIÓN DE LAS GOTAS .............................20

1.8 – ELONGACIÓN Y DESPRENDIMIENTO DE UNA GOTA .............................................................21

1.9 – LONGITUD LIMITE DE LA GOTA ..................................................................................................23

1.10 – VARIACIÓN DEL VOLUMEN Y LONGITUD LÍMITE CON EL CAUDAL ...............................26

1.11 – COMPORTAMIENTO DE LAS GOTAS AL CAER. ......................................................................28

1.11.1 – Velocidad terminal de las gotas. .........................................................................................28

1.11.2 – Forma de las gotas al caer. ..................................................................................................30

1.12 - CONCLUSIONES. ..................................................................... .......................................................32

REFERENCIAS....................................................................... .....................................................................34

2- APLICACIONES BIOMÉDICAS DEL FENÓMENO DE GOTEO...............................................36

2.1 – INTRODUCCIÓN. ...................................................................... ........................................................37

2.2 – FUNDAMENTOS TEÓRICOS BÁSICOS. .........................................................................................38

2.3 – MEDICION DEL VOLUMEN DE LAS GOTAS................................................................................39

2.3.1 - CAUDALIMETRO INDICADOR.........................................................................................40

2.3.2 - TIEMPO DE PASAJE DE LA GOTA ..................................................................................40

2

Contenidos

2.3.3 – CAPACITANCIA .................................................................................................................42

2.4 - MEDICION DE LA MASA DE LA GOTA .........................................................................................43

2.4.1 – MÉTODO DEL DESPLAZADOR DEL HAZ .....................................................................43

2.4.2 - CAMBIOS EN LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO .........................................................45

2.5 – CONCLUSIONES. ....................................................................... .......................................................48

REFERENCIAS ............................................................................................................................................49

3- COMPORTAMIENTO DE LA LUZ EN PRESENCIA DE PARTÍCULAS .................................51

3.1 – INTRODUCCIÓN. ...............................................................................................................................52

3.2 –TEORÍAS DE DISPERSIÓN DE LA LUZ. .........................................................................................53

3.2.1 – Características generales. ......................................................................................................53

3.2.2 – Dispersión de Rayleigh..........................................................................................................55

3.2.3 – Dispersión de Rayleigh-Ganz. ..............................................................................................56

3.2.4 – Teoría de Mie. .......................................................................................................................57

3.3 – DISPERSIÓN EN PARTÍCULAS DE GRAN TAMAÑO. .................................................................59

3.3.1 – Dispersión en esferas de gran tamaño. .................................................................................61

3.4 – CONSIDERACIONES PARA EL PRESENTE TRABAJO. ..............................................................61

3.5 – CONCLUSIONES. .............................................................................................................................. 63

REFERENCIAS.............................................................................................................................................64

4- MONTAJE EXPERIMENTAL ...........................................................................................................65

4.1 – INTRODUCCIÓN....................................................................... .........................................................66

4.2 – SISTEMA FLUIDO DINÁMICO DE GENERACIÓN DE GOTAS. .................................................67

4.2.1 – Subsistema de regulación y alimentación de agua. ..............................................................67

4.2.2 – Subsistema de generación de gotas y drenaje. ......................................................................70

4.3 – SISTEMA ÓPTICO DE MEDICIÓN. .................................................................................................75

4.4 – SISTEMA DE AMPLIFICACIÓN Y ADQUISICIÓN DE DATOS. ..................................................80

4.5 – ESTIMACIÓN DE LA ESCALA TENSIÓN-LONGITUD. ...............................................................82

4.6 – ESQUEMA Y VISTA DEL MONTAJE EN CONJUNTO. ................................................................84

3

Contenidos

REFERENCIAS ............................................................................................................................................86

ANEXO 4.1 ...................................................................................................................................................87

ANEXO 4.2 ...................................................................................................................................................90

5- DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA DE MEDICIÓN ...........................................................................92

5.1 – INTRODUCCIÓN.................................................................................................................................93

5.2 – DESCRIPCIÓN GENERAL DEL SISTEMA DE MEDICIÓN...........................................................94

5.3 – LÍMITES EXPERIMENTALES. .........................................................................................................95

5.4 – ESTABILIDAD DE LA SEÑAL TRANSMITIDA: TRANSITORIO DEL LÁSER. ....................... 96

5.5 – TRATAMIENTO DE LA SEÑAL........................................................................................................97

5.5.1 - Análisis de la incidencia del haz en el fotodiodo. .................................................................97

5.5.2 - Análisis de la señal sin procesar. .........................................................................................100

5.5.3 - Primera corrección a la señal. ..............................................................................................101

5.5.4 - Variación del radio instantáneo de la gota. ........................................................................ 102

5.5.5 - Selección de los datos que pertenecen a la gota. .................................................................103

5.5.6 – Resolución temporal. ..........................................................................................................104

5.5.7 - Escala de tiempos y constante de tiempo del circuito de adquisición. ................................105

5.6 – CÁLCULO DEL VOLUMEN DE LA GOTA. ..............................................................................107

5.6.1 - Reconstrucción de la gota. ...................................................................................................107

5.6.1.1 - Reconstrucción del radio instantáneo de la gota. ................................................107

5.6.1.2 - Reconstrucción del eje axial de la gota. ..............................................................110

5.6.2 – Cálculo del volumen de la gota. ..........................................................................................115

5.7 – AJUSTE DEL SISTEMA DE MEDICIÓN. ...................................................................................116

5.8 – CONTRASTE DEL SISTEMA DE MEDICIÓN. .............................................................................117

5.8.1 – Sistema desarrollado Vs. Cronómetro y pipeta. .................................................................117

5.8.2 – Contraste de la reconstrucción de la gota. ..........................................................................119

5.9 – CONCLUSIONES. .........................................................................................................................121

REFERENCIAS.......................................................................................................................................... 122

4

Contenidos

ANEXO 5.1 ...............................................................................................................................................123

ANEXO 5.2 ................................................................................................................................................125

6- ANÁLISIS DE RESULTADOS EXPERIMENTALES ..................................................................129

6.1 – INTRODUCCIÓN. ............................................................................................................................130

6.2 – RESULTADOS EXPERIMENTALES. ............................................................................................ 131

6.2.1 – Sistema con cámara abierta. ...............................................................................................131

6.2.2 – Sistema con cámara cerrada. ...............................................................................................134

6.3 – RELACIÓN ÁREA/VOLUMEN DE LAS GOTAS. .........................................................................138

6.4 – PÉRDIDA DE POTENCIA EN LA GENERACIÓN DE LAS GOTAS. ..........................................140

6.5 – CONCLUSIONES...............................................................................................................................144

REFERENCIAS. .........................................................................................................................................146

CONCLUSIONES GENERALES .........................................................................................................147

5

INTRODUCCIÓN

6

Introducción

La formación de gotas líquidas desde tubos capilares o pequeñas toberas ha sido siempre un tema

de interés por su ocurrencia en un amplia variedad de aplicaciones ingenieriles, tales como: pulverización

de pesticidas, pulverización de pinturas, atomización de combustibles, impresión a chorro de tinta y

aplicaciones biomédicas, entre otras.

En la actualidad, existe una creciente demanda dentro del campo de la medicina sobre la medición

de bajos caudales, especialmente para líquidos fisiológicos y en el control de caudales de infusión de

varias drogas y fluidos.

Actualmente, solo se dispone de una pequeña cantidad de sensores de medición de bajos caudales

basados en principios térmicos. Algunas investigaciones han sido llevadas a cabo con sensores de flujo

microfabricados, pero ellos no son adaptables para aplicaciones medicinales.

Debido a esto, los flujos son controlados por dispositivos que reúnen volúmenes conocidos con

anterioridad y desplazamientos controlados (por ejemplo: bombas peristálticas, a jeringas, etc.), pero en

ellos los caudales no son verdaderamente medidos.

Los contadores de gotas son muy comunes en la medición de sistemas de infusión. Estos

dispositivos miden el caudal sensando el pasaje de gotas de volumen presupuesto que caen dentro de una

cámara. Sin embargo, el volumen de las gotas que se desprenden varía en función de distintos parámetros

caudal, temperatura, período de goteo, tipo de líquido, entre otros, por lo que la medición de caudales solo

a partir del conteo de gotas puede conducir a errores importantes. Debido a esto es que se requiere

alcanzar mejoras en el sistema de medición.

Teniendo en cuenta esta necesidad, este trabajo se plantea con un doble objetivo:

- Desarrollar un sistema de medición de pequeños flujos de soluciones acuosas (1-150

ml/h) que escurren por gravedad en condiciones similares a las que se encuentran en los

dispositivos convencionales utilizados para realizar infusiones parenterales.

7

Introducción

- Estudiar el fenómeno de formación de gotas en el régimen se escurrimiento llamado de

“goteo”y su relación con las distintas componentes del circuito hidráulico aguas arriba y

aguas abajo del capilar donde se produce la formación de las mismas.

El presente trabajo se encuentra organizado de la siguiente manera:

En el Capítulo 1 se brinda un marco teórico conceptual resumido sobre la mecánica de formación

de gotas y analizan las distintas variables que juegan un rol importante durante su formación en el

régimen de dripping o goteo. Se pone énfasis en la identificación de aquellas variables que modifican el

volumen de las gotas asi como su relación con el caudal. Finalmente se hace un breve análisis sobre el

comportamiento de la gota en su caída luego de ser desprendida.

La descripción de algunos dispositivos que han sido preparados para mejorar la precisión de la

medición de pequeños caudales en aplicaciones biomédicas es presentada en el Capítulo 2.

En el Capítulo 3 se presentan en forma simplificada una descripción de las distintas teorías que

describen el comportamiento de la luz al incidir sobre partículas de distinto tamaño. Intentamos aquí

contextualizar una parte de nuestro trabajo ya que el sistema de medición propuesto comprende la

utilización de un plano láser atravesando una gota de agua.

En el capítulo siguiente se describe el dispositivo experimental utilizado para desarrollar el

sistema de medición, y se presenta el rango de mediciones posibles a realizarse en el mismo.

En el capítulo 5 se realiza un descripción del procesamiento de la señal obtenida con el sistema de

medición y la calibración del mismo.

La presentación de los resultados experimentales junto con el análisis de los mismos es realizada

en el capítulo 6.

Esta Tesis concluye realizando un análisis global del sistema de medición desarrollado. Además

son presentadas algunas consideraciones que podrán ser tenidas en cuenta en estudios futuros.

8

CAPITULO I

Generalidades sobre gotas y el fenómeno de “goteo”

9

Generalidades sobre gotas y el fenómeno de “goteo” 1.1 – INTRODUCCIÓN.

Un método común para dispersar un líquido en un ambiente fluido, quieto e inmiscible es hacerlo

fluir constantemente a través de una tobera o un orificio plano desde el cual emerja hacia éste y rompa en

gotas. A bajos caudales, el líquido siendo impulsado sale desde la tobera como gotas discretas por su

propio peso. En el caso de caudales elevados, el líquido es impulsado desde la tobera como un chorro que

subsecuentemente rompe en pequeñas gotas debido a la inestabilidad de Rayleigh [1]. Estos dos modelos

de formación de gotas son a veces convenientemente referidos como el modo de dripping y el modo de

jetting respectivamente. En este capítulo analizaremos el modo de dripping, ya que es el que se encuentra

presente al momento de realizar las mediciones.

Comenzaremos presentando la dinámica de la formación de gotas en el extremo de una tobera

vertical en la forma de tubo capilar de sección circular en aire para el régimen de bajos caudales. Luego

caracterizaremos al fenómeno en su conjunto, presentando los distintos factores que influyen tanto en la

formación de las gotas como en el volumen final de las mismas. Buscaremos además la relación de

algunas variables con el caudal que se encuentra circulando. Finalmente analizaremos el comportamiento

que tienen las gotas al caer.

Algunos análisis teóricos del régimen a bajos caudales han sido basados en el balance de fuerzas

macroscópicas, y han separado a la formación de las gotas en dos etapas: la primera correspondiente al

crecimiento puro de la gota, que termina con la pérdida del equilibrio de las fuerzas dando lugar a una

segunda etapa cuando se visualiza la formación del cuello y el desprendimiento de la gota. Estos estudios

han concluido en que el volumen de las gotas formadas de esta manera dependen no sólo del tamaño de la

tobera y de las propiedades del líquido, como es el caso de gotas suspendidas y estáticas, [2] sino también

del caudal del líquido a través de la tobera.

10

Generalidades sobre gotas y el fenómeno de “goteo” 1.2 – MECÁNICA DEL CRECIMIENTO DE LAS GOTAS.

Consideremos como sistema a una gota de un líquido incompresible y newtoniano formándose

inmersa en aire quieto desde el extremo de un tubo capilar vertical, cilíndrico circular cuyos radios

interno y externo son Ri y R respectivamente, y por el cual circula un caudal constante Q según muestra la

figura 1.1

Fig. 1.1: esquema de la formación de una gota a través de un tubo a caudal constante por acción de la gravedad.

El fluido ambiente ejerce un presión uniforme y una resistencia aerodinámica despreciable. En el

presente desarrollo trabajaremos con un sistema de coordenadas cilíndricas r,z,θ donde r es la

coordenada radial, z la coordenada axial y θ el ángulo azimutal.

Un flujo isotérmico de un líquido de viscosidad µ y densidad ρ dentro de una gota en crecimiento

es gobernado por las ecuaciones de Navier-Stokes. Adimensionalizándolas, usando R como escala de

longitudes y 2RQu⋅

≡π

como la escala de velocidades obtenemos:

11


0'=⋅∇ vρ

(1)

zeCaGTvv

tv

+⋅∇=

∇⋅+ '''

''Re

ρρδδ (2)

donde,

, es la velocidad adimensionalizada 'v

' , es el tensor de tensiones adimensionalizado T

' , es el tiempo adimensionalizado t

ez, representa el versor de la dirección z, cuyo sentido se indica en la Fig. 1.1.

Re, es el número de Reynolds, que mide la importancia de las fuerzas de inercia respecto a las

fuerzas viscosas

µρ Ru ⋅⋅

=Re

G, es el número de Bond, que mide la importancia relativa de las fuerzas gravitacionales frente a

las fuerzas de tensión superficial

σρ gRG ⋅⋅

=2

siendo σ la tensión superficial de la interfaz líquido-gas

Ca, es el número capilar, que mide la importancia de las fuerzas viscosas frente a las fuerzas de

tensión superficial.

σµ uCa ⋅

=

En la línea de contacto de las tres fases (tubo, aire, líquido) se verifica:

1=Rr , en 0=

Rz

Aguas arriba del extremo del tubo, el flujo se encuentra totalmente desarrollado, entonces:

0' =rv ,

−⋅

⋅=

22

12'ii

z Rr

RRv a medida que −∞→

Rz , para 10 ≤≤

iRr

12


donde es la componente radial de la velocidad y v la componente axial. A lo largo de las

superficies donde el líquido y el tubo están en contacto, el líquido obedece las condiciones de no resbalar

y no penetrar, entonces:

rv z

0=v , en 0=Rz , para 1≤≤

Rr

RRi

en 1=iR

r , para −∞>≥Rz0

A lo largo de la interfaz líquido-aire, la conservación de la cantidad de movimiento requiere que,

'21' HCa

T ⋅⋅⋅=⋅ nn (3)

donde n es el versor normal con sentido hacia fuera de la gota y es la curvatura de la interfase local 'H

adimensionalizada. Si no hay transferencia de masa por la interfaz liquido-aire, la condición cinemática

es,

( ) 0=−⋅ svvn (4)

donde el subíndice s simboliza la velocidad en los puntos de la interfase.

Por lo tanto, la mecánica del fluido en la formación de gotas es gobernada por 4 adimensionales:

Re, Ca, G y la relación Ri/R.

Cuando la cantidad, 132

3* <<

⋅=

RVGG , siendo V el volumen de la gota, la forma de las gotas

que se encuentran suspendidas del extremo del tubo capilar de forma estática son secciones de esferas [2].

En el crecimiento de las gotas existen distintas fuerzas en oposición que gobernarán el perfil de la

misma. Este fenómeno se da entre las fuerzas de inercia y las fuerzas de tensión superficial, fuerzas

relativizadas por el número de Weber, We = Re . Ca, y entre fuerzas viscosas y fuerzas de tensión

superficial, relativizadas por el número capilar. Cuando la gota crece desde un tubo capilar fino y el

caudal líquido es relativamente bajo tal que G*, We, Ca << 1, la tensión superficial hace que durante la

primer etapa de formación mantenga siempre la forma de una esfera.

Como se anticipó en la figura 1.1, en el desarrollo del presente capítulo adoptamos llamar:

13


• L, a la longitud instantánea de la gota medida a lo largo del eje del tubo,

• “a”, al radio instantáneo del cuello en su sección más angosta,

• Ld a la longitud L medida en el momento en que la gota está a punto de desprenderse,

• t al tiempo medido desde el instante en que la gota previa fue desprendida, y

• Td al período de goteo.

1.3 – EQUILIBRIO DE UNA GOTA PENDIENDO EN EL EXTREMO DE UN TUBO.

En nuestro análisis del comportamiento de una gota que pende en equilibrio, tomamos como

sistema un tubo que tiene una columna de líquido dentro del mismo y del cual pende una gota en su

extremo inferior. En la figura 1.2, PQ es el eje de simetría del sistema, siendo P el centro del menisco que

se forma en la parte superior de la columna líquida y Q el punto mas bajo de la gota. A la distancia PQ la

llamamos h, y en P al radio principal de curvatura de la superficie, lo llamamos R. El líquido en P tiene

una presión de acuerdo con la ecuación de Laplace-Young,

RRRσσ 211

=

+⋅ (5)

Fig. 1.2: a) Equilibrio de una gota que pende del extremo de un tubo; b) Detalle de la sección de una gota en equilibrio donde se ven las fuerzas presentes.

b) a)

14


Si consideramos la sección contenida en una altura “y” por encima de Q (ABQ en la Fig 1.2 “b”),

la presión diferencial en el líquido entre el plano AB y Q está dada por,

ρ . g . (h – y) (6)

donde ρ = ρliquido - ρaire

Por lo tanto considerando las ecuaciones 5 y 6 podemos decir que la presión del líquido en B viene

dada por,

( )R

yhgp σρ ⋅−−⋅⋅=

2 (6)

Las fuerzas que actúan en la gota debajo de la sección AB son:

a) Fuerza de tensión superficial actuando tangencialmente al perímetro de la superficie.

b) Fuerza debido a la presión producida por la columna líquida por sobre la sección.

c) Peso de la porción de líquido delimitado por ABQ, de volumen V.

La fuerza de tensión superficial tiene una componente vertical que balancea a las otras dos fuerzas

cuyas direcciones son verticales y de igual sentido que la aceleración gravitatoria.

Finalmente el equilibrio de fuerzas viene dado por

( ) VgxR

yhgx ⋅⋅+⋅⋅

⋅

−−⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ ρπσρθσπ 22)cos(2 (7)

donde,

x: distancia de B al eje de simetría

θ: ángulo respecto a la vertical de la tangente en B

1.4 – SISTEMA DE PRODUCCIÓN DE GOTAS EN RÉGIMEN DE “DRIPPING” O “GOTEO”.

Las gotas pueden ser formadas por un gran número de dispositivos diferentes, algunos de los

cuales son extremadamente complejos. En muchas investigaciones dedicadas al estudio de generación de

dispersiones heterogéneas que resultan de las rupturas de chorros, se han realizado esfuerzos para

determinar el efecto de distintos aspectos como la tensión superficial y de las fuerzas aerodinámicas. Otro

grupo de trabajo, basados en teorías de inestabilidad, buscó definir estrategias para la producción de gotas

15

Generalidades sobre gotas y el fenómeno de “goteo” de tamaño uniforme. En este último caso se han desarrollado un gran número de dispositivos. Nuestro

estudio se limita a uno de los mas simples que detallamos a continuación.

1.4.1 – Gotas de tamaño uniforme.

El método más simple de producir gotas individuales de tamaño conocido es hacer uso del

mecanismo de formación de gotas desde el extremo de un tubo de sección circular dispuesto en forma

vertical. Si el mismo tiene un diámetro uniforme, y la frecuencia de goteo es baja, el peso de una gota más

sus gotas satélites se mantienen constante siempre que no varíe la temperatura, y podría ser calculado,

considerando el tamaño del tubo, con la expresión,

⋅⋅⋅⋅=⋅

ARfRgm σπ2

donde R es el radio externo del tubo circular, σ es la tensión superficial del líquido, y A es la raíz

cuadrada de la llamada constante capilar, g⋅ρ

σ2 .

En el curso de su trabajo, Harkins y Brown (1919) [7], hicieron una determinación muy

aproximada de los valores de la función f(R/A), pesando las gotas formadas desde el extremo de tubos de

distintos radios y usando líquidos de conocida tensión superficial. Sus resultados pueden ser usados para

calcular el tamaño de una gota y sus gotas satélites para un determinado tubo y para cualquier líquido que

no sea muy viscoso. Si se desea conocer el tamaño de una gota, una calibración experimental debe ser

hecha sobre un rango de tamaños de gotas; la relación entre el tamaño de gotas satélites y la gota principal

no ha sido derivada teóricamente [8].

En otro aspecto, se ha encontrado dificultades para producir tubos de tamaño tal que permitan

obtener gotas de diámetros menores a 1 mm, y otros métodos deben ser utilizados. Un esquema simple ha

sido propuesto por Lane (1947) [9] quien ha desarrollado una microbureta para producir gotas de un

tamaño conocido y uniforme del orden de los 0,1 mm de diámetro. Las gotas se formaban en el extremo

de una aguja hipodérmica pero eran sopladas de su extremo por una corriente de aire antes de llegar a

tener el tamaño que tomaría en condiciones normales. La corriente de aire, que era direccionada de forma

vertical descendente y paralela al eje de la aguja, asiste a la gravedad para superar la tensión superficial

16

Generalidades sobre gotas y el fenómeno de “goteo” que causa que la gota se adhiera al extremo del tubo. De esta manera, el tamaño de la gota obtenido puede

ser variado en un amplio rango, modificando la velocidad de la corriente del aire.

1.4.2 – Gotas cargadas eléctricamente.

Las gotas cayendo desde un tubo capilar finamente fabricado, se hacen más chicas cuando un alto

potencial es aplicado al líquido. Cuando éste alcanza algunos miles de Volts las gotas son muy pequeñas

y son expulsadas desde el extremo del capilar a tal velocidad que parecen formar un chorro delgado y

continuo. La superficie de una gota esférica de radio r, con una carga eléctrica q, experimenta una presión

externa de 4

2

8 rq

⋅⋅π [8] la cual, en oposición a la tensión superficial, hace que la gota se desprenda con

anterioridad.

Si el potencial aplicado es suficientemente alto, un rocío de gran cantidad de finas gotas se verán

desprenderse desde el extremo del capilar. Este es indudablemente un ejemplo de la inestabilidad de la

superficie de un líquido electrificado. Para una gota esférica de radio r en aire, la ecuación de equilibrio

es,

08

22

2

=⋅⋅

−−⋅

rVp

r πσ

donde p es la presión en la gota, r el radio de la misma y V el potencial aplicado.

El equilibrio comienza a ser inestable cuando un pequeño decaimiento en r resulta en una gran

presión externa que puede ser contrabalanceada por la tensión superficial.

Cuando las fuerzas eléctricas en la superficie de un líquido alcanzan un valor crítico, la superficie

se torna inestable y cualquier perturbación es amplificada. Este valor crítico depende de la tensión

superficial del líquido y del radio de curvatura de la superficie. Esta condición es inicialmente alcanzada

en el punto mas bajo de la gota donde la intensidad eléctrica es mayor y en el líquido es inducida la

formación de un cuello fino que romperá en pequeñas gotas que forman una nube tipo pincel.

17

Generalidades sobre gotas y el fenómeno de “goteo” 1.5 – VOLUMEN DE LAS GOTAS PRIMARIAS.

Un número de predicciones empíricas ó semiteóricas del volumen de gotas primarias desprendidas

desde un tubo han sido analizadas en distintos trabajos. Schele y Meister [16], por ejemplo, obtuvieron la

siguiente relación empírica para gotas líquidas formándose en aire,

⋅

⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅⋅

−⋅

⋅⋅⋅⋅=

31

2

22

2

2

14,73

42ρ

σπρ

σπg

RQgR

Qg

RFV

Donde F es el factor de corrección de Harkins-Brown a considerar por el hecho de que parte de la

gota queda en el tubo cuando una gota es desprendida. La ecuación presentada considera la contribución

del volumen de la gota debido a la gravedad, tensión superficial, inercia del fluido, y el volumen sumado

durante el período de formación del cuello y desprendimiento de la gota. Es importante destacar, que el

dispositivo utilizado experimentalmente para obtener tal relación empírica, tenía la característica de poder

variar la presión a la salida del tubo para forzar la circulación de un caudal determinado.

Además podemos agregar que el volumen de las gotas primarias creado durante la formación de

las mismas en el modo de dripping, aumenta con el radio del tubo R. Además, a medida que la tensión

superficial disminuye, el volumen de las gotas primarias disminuye también [6].

1.6 – GENERACIÓN DE GOTAS SATÉLITE.

La creación de gotas satélite son observadas en muchos trabajos como resultado del corte que se

produce en el cuello de la gota en formación al momento de ser desprendida. En la formación de gotas a

bajos caudales, el cuello que se forma en el líquido se estrecha debido al peso de la misma. Aquellas

secciones que unen, el cuello con la gota en formación aguas abajo del mismo, y por otro lado, la sección

que une el cuello con el cono líquido que se forma hacia el tubo aguas arriba del cuello, se contraen a

medida que el cuello se estrecha. Sin embargo, la forma del cuello no es simétrica respecto a un plano

horizontal que divida a éste en dos partes de igual longitud. Cuando el cuello es conectado a una gota de

gran volumen por un lado y a un pequeño cono líquido por el otro, una gran curvatura es desarrollada en

la parte inferior del cuello comparado con el resto de las curvaturas a lo largo de toda la superficie. De

18

Generalidades sobre gotas y el fenómeno de “goteo” esta manera el cuello se rompe en este lugar debido a la gran presión capilar que se desarrolla por la gran

curvatura, cf. Stone et al [13]. Inmediatamente luego del corte, la superficie que quedó libre en el cuello

se acelera debido al desbalanceo que se produce con la tensión superficial [14].Luego, el cuello tiende a

enrollarse y se generan ondas superficiales que se propagan a lo largo del mismo. De manera similar al

primer corte, el cuello se corta nuevamente en aquélla sección donde se unía con el cono líquido superior,

generando de esta manera una gota satélite.

Una vez creada, la gota satélite tiende a seguir al líquido remanente que se dirige hacia el tubo

llevado por las fuerzas de tensión superficial que se encuentran desbalanceadas.

El comportamiento de las gotas satélites dependen de dos factores: por un lado de la deformación

inicial del cuello en el momento de realizarse el primer corte, y por otro lado, el tiempo de interacción,

que es el intervalo de tiempo entre los dos cortes sucesivos. Este tiempo es del orden de los milisegundos

o aún mas chicos. Cuando el radio externo del tubo es lo suficientemente pequeño, las fuerzas

desbalanceadas de tensión superficial en el cuello después del primer corte es lo suficientemente fuerte

como para conducir a liquido residual hacia el tubo, y el tiempo que toma el cuello para enrollarse luego

de su primer corte es pequeño comparado con los tiempos de interacción.

Cuando un cuello puede tener una elongación muy grande (comparada con el radio del tubo donde

se forma la gota) y un gran tiempo de interacción, las fuerzas de tensión superficial desbalanceadas en la

gota satélite es lo suficientemente grande como para conducirla hacia arriba a una velocidad de tal

magnitud que impacta y se une nuevamente al líquido que pertenecía al cono superior. Esto ocurre

usualmente cuando el radio es pequeño o la viscosidad del líquido es lo suficientemente grande como

para obtener una elongación muy pronunciada.

Si el radio del tubo es muy pequeño, la elongación relativa del cuello es tan grande y el tiempo en

el cual el cuello tiende a subir es tan corto que el segundo corte de cuello desaparece, eliminando de esta

manera la generación de gotas satélites [6].

De esta manera estamos en condiciones de afirmar que si R < 0,5 mm para gotas de agua, no se

observarán gotas satélite.

19


En contraste, si la elongación relativa del cuello es lo suficientemente pequeña y el tiempo de

interacción muy corto, la gota satélite que se forma se mueve directamente hacia abajo siguiendo a la gota

primaria.

Por lo que podemos decir que si R > 2 mm para gotas de agua, se producirán gotas satélite.

En aquellos casos donde el valor de R esté entre 0,5 y 2 mm, deberá realizarse un análisis

particular de la situación en cuestión y es difícil efectuar predicciones al respecto.

1.7 – EFECTO DE LA PARED DEL TUBO EN LA FORMACIÓN DE LAS GOTAS.

En la física de formación de gotas, el espesor de la pared del tubo, o la relación Ri/R juega un rol

importante. La figura 1.3 muestra la variación de Ld y del volumen V de gotas de agua con Ri/R obtenido

en un capilar de R = 0,8 mm y donde circulaba un caudal Q = 1 ml/min. Los resultados mostrados en

dicha figura fueron obtenidos haciendo seis mediciones de Ld y V para cada valor de Ri/R y

promediándolos. Si Q y R son mantenidos fijos, la velocidad media Q/(π.Ri2) en el tubo aumenta como la

relación Ri/R disminuye. A medida que disminuye Ri/R la elongación de la gota en el momento de su

desprendimiento aumenta y su volumen, o lo que se denomina volumen de la gota primaria, disminuye.

La figura 1.3 muestra también que el efecto del tamaño del radio interno del tubo disminuye a medida que

Ri/R aumenta y se transforma en despreciable cuando esta relación excede un valor crítico. Cuando Ri/R

> 0,2 , cambiando el espesor de pared en un 50% el volumen de la gota formada cambia menos que el

0,04 % (valor que puede ser asociado a un error experimental en la medición del volumen).

20


Fig. 1.3: variación del volumen adimensional de las gotas primarias, V/R3, y la elongación límite adimensionalizada de las mismas, Ld/R, respecto a la relación entre radio interno y externo. Para R = 0,8 mm, gotas de agua, y Q = 1mL/min

1.8 – ELONGACIÓN Y DESPRENDIMIENTO DE UNA GOTA.

Inicialmente, a medida que el volumen de una gota en crecimiento aumenta, ésta se deforma

lentamente en largo y en ancho. Luego, la misma alcanza un determinado volumen tal que el incremento

de las fuerzas gravitatorias sobre las de tensión superficial causa que la gota caiga casi instantáneamente

en el tiempo que hemos adoptado llamar Td. La porción holgada del líquido que conecta a la gota con el

resto del líquido suspendido desde el extremo del tubo, se elonga rápidamente y la gota mantiene

virtualmente un radio constante. El tiempo durante esta última etapa es mucho menor que en la primera y

depende débilmente del caudal [6].

A pesar de que el tiempo del proceso de formación de gotas o la frecuencia de producción de las

mismas, depende fuertemente del caudal del líquido, la elongación adimensional de la gota aumenta sólo

lentamente con el aumento de caudal, como se ve en la figura 1.4 [6].

21


Fig. 1.4: Evolución de la longitud adimensional de gotas de agua en función del tiempo, creciendo desde el extremo de un tubo de radio R = 1,6 mm a varios caudales

Observando las figura 1.4 distinguimos dos etapas diferentes en la formación de la gota, la primera

relativamente larga y caracterizada por pequeños cambios en la topología de la interfase, y la segunda

relativamente corta y caracterizada por grandes cambios que finalizan con el desprendimiento de la gota.

En la figura 1.5 puede verse como varía la longitud de la gota en formación en función del tiempo,

y su relación con el radio externo del tubo.

22


Fig. 1.5: evolución temporal de la longitud adimensional de gotasde agua, L/R creciendo en el extremo de tubos de distintos radios a un caudal Q = 1 mL/min

1.9 – LONGITUD LIMITE DE LA GOTA.

En la formación de gotas, la tensión superficial controla el tamaño, el volumen, y la forma de la

misma. Incrementando la tensión superficial se refuerza el período en que la gota se mantiene esférica

durante la primer etapa de crecimiento, y en la segunda etapa, aumenta el volumen de la gota que se

desprenderá y la tendencia a ser esférica. La viscosidad, por otro lado, juega un rol importante en la

estabilización del crecimiento de la gota. Hace posible mayores elongaciones por su amortiguamiento, y

además produce la eliminación de las oscilaciones en la interfase. Sin embargo, esto no tiene efecto sobre

el tamaño de la gota [11]. Asimismo, el efecto disipativo de la viscosidad amortigua las oscilaciones en la

interfase producidas en la porción remanente después del desprendimiento de la gota anterior [12]. Por

motivos análogos, se observa que esta propiedad juega un rol importante en la conservación de la forma

esférica de la gota primaria una vez desprendida del tubo.

23


En la figura 1.6 vemos la variación de la longitud límite de la gota adimensionalizada Ld/R como

función del número capilar para dos caudales distintos Q = 0,1 ml/min y Q = 1 ml/min, en un tubo de

radio externo R = 1,6 mm.

Fig. 1.6: Longitud límite adimensional de las gotas, Ld/R, para distintos caudales en función del número capilar, para gotas de agua creciendo desde el extremo de un tubo de radio R = 1,6 mm

En la figura 1.7 se grafica en función del número de Ohnesorge, que se define como

RCaOh

⋅⋅==

σρ

υRe

siendo ρµ

υ = la viscosidad cinemática.

En la misma vemos que la longitud límite adimensionalizada de la gota aumenta a medida que el

número de Weber aumenta. Este crecimiento es más fuerte para altos números de Ohnesorge (por

ejemplo en gotas hechas con soluciones de alta concentración de glycerol). La diferencia en los valores de

Ld de dos gotas idénticas creciendo a dos valores distintos de We es más grande cuando el Oh es alto que

cuando éste es bajo.

24


Fig. 1.7: Longitud límite adimensional de las gotas, Ld/R, en función del número de Ohnesorge para distintos valores de número de Weber de gotas creciendo en el extremo de un tubo de R = 1,6 mm

A medida que el caudal aumenta, la presión a la salida del tubo y la masa de líquido acumulada en

el cono que se forma encima del cuello aumentan rápidamente. Esto se debe en parte al aumento de la

cantidad de movimiento lineal del líquido y también a la resistencia que ejerce el cuello sobre la gran

cantidad de líquido que existe en el tubo durante el período de formación del mismo y desprendimiento de

la gota. En la figura 1.8 podemos ver la variación de la longitud límite adimensionalizada con el caudal,

para gotas de agua, y una solución de glycerol al 85 % formándose desde un tubo de radio constante R =

1,6 mm.

Fig. 1.8: longitud límite adimensional de gotas de agua y de soluciones al 85% de glicerol en función del caudal. El radio externo se ha mantenido constante en R = 1,6 mm

25


En la figura 1.9 observamos como el volumen de la gota de agua desprendida, adimensionalizada

con el cubo del radio externo del capilar, varía con R para un caudal líquido constante e igual a 1 ml/min.

Evidentemente, V/R3 aumenta considerablemente a medida que el radio del tubo disminuye, lo que tiene

algunas implicancias prácticas para obtener gotas muy pequeñas utilizando tubos de radio muy pequeños.

Además, a medida que R tiende a 0, para alcanzar una reducción de 10 veces en el radio de la gota es

requerida una reducción de 1000 veces en el radio del tubo. Además de la dificultad inherente en la

fabricación de tubos de diámetros muy pequeños, éstos son de una fragilidad considerable y pueden ser

obstruidos con facilidad con cualquier partícula que acarree el líquido.

Fig. 1.9: Variación del volumen adimensional de gotas primarias de agua en función del radio externo del tubo para un caudal Q = 1 mL/min

1.10 – VARIACIÓN DEL VOLUMEN Y LONGITUD LÍMITE CON EL CAUDAL.

Algunos trabajos de análisis de formación de gotas fueron realizados utilizando dispositivos que

imponen la presión necesaria para hacer circular un caudal determinado. Uno de ellos fue el realizado por

Zhang y Basarán (1995) en cuyos resultados puede observarse que tanto la longitud límite como el

volumen adimensionalizados con el radio externo del capilar, aumentan a medida que lo hace el caudal.

Estos resultados pueden verse en las figuras 1.10 y 1.11.

26


Fig. 1.10: volumen adimensional de las gotas primarias de agua y soluciones de Triton en función del caudal cuando el radio externo del tubo vale R = 1,6 mm.

Fig. 1.11: longitud límite adimensional de gotas de agua y soluciones de Triton en función del caudal cuando el radio externo del tubo vale R = 1,6 mm.

27

Generalidades sobre gotas y el fenómeno de “goteo” Puede verse también en las figuras 1.10 y 1.11 que fueron realizadas experiencias agregando un

surfactante al agua donde se ve que el volumen que se obtiene de las gotas es menor a medida que sube

la concentración del mismo. Esto se debe a la reducción de la tensión superficial que sufre la solución en

presencia del surfactante.

1.11 – COMPORTAMIENTO DE LAS GOTAS AL CAER.

1.11.1 – Velocidad terminal de las gotas.

Si se deja caer una gota desde el equilibrio en aire, la misma se acelerará hasta alcanzar una

velocidad constante y conocida como velocidad terminal.

El movimiento de las gotas cayendo libremente a través del aire puede ser dividido en dos tipos

dependiendo si la misma es lo suficientemente pequeña o demasiado grande como para comportarse

como una esfera.

Se ha observado experimentalmente que gotas de distintos líquidos cayendo a través de aire, sufre

una deformación que es despreciable cuando el parámetro σ

ρ gdl ⋅⋅ 2

es menor que 0,4. En este

parámetro adimensional, d es el diámetro de la gota y ρl es la densidad del líquido. Para líquidos

ordinarios, el valor límite está en las gotas de 1 a 1,5 mm de diámetro, y bajo cualquier condición

atmosférica, gotas menores a estas pueden ser consideradas como esferas en el momento de calcular su

velocidad terminal.

Las velocidades terminales de gotas de diámetro mayor a 1mm, son menores que la de las esferas

rígidas de igual volumen. Este decaimiento se debe principalmente a la deformación que sufre la gota

como consecuencia del desbalanceo de presiones entre su parte frontal y trasera, generando un incremento

de la sección transversal y así aumentando la resistencia del aire. Por otro lado, la circulación del líquido

dentro de la gota genera una reducción del Drag, pero a su vez aumenta la sección transversal de la gota

debido a las fuerzas centrífugas que este genera, aumentando el Drag.

28


Fig. 1.10: velocidades terminales de esferas por unidad de dnsidad y de gotas de agua cayendo en aire a 20ºC y 750 mmHg de presión.

Un cálculo exacto de la velocidad terminal en gotas de gran tamaño no es de fácil resolución, pero

mediciones de velocidades terminales de gotas cayendo a través de aire han sido realizadas por distintos

autores como Porton y Davis (1939), Laws (1941) y Gunn y Kinzer (1949).

Tabla 1.1: Velocidades terminales de gotas de agua en aire a 20ºC y 750 mmHg de presión

29

Generalidades sobre gotas y el fenómeno de “goteo” 1.11.2 – Forma de las gotas al caer.

El motivo por el cual la pendiente de la curva que se presentó en la figura 1.10 decrece

rápidamente, se debe principalmente al aplastamiento que sufren las gotas de gran tamaño, lo que

incrementa la sección transversal y así su resistencia con el aire. La forma que adopta una gota al caer

puede ser determinada midiendo sus dimensiones en fotografías como se muestra en la figura 1.11. Estas

han sido tomadas en gotas de agua cayendo aproximadamente a la velocidad terminal, y las dimensiones

que adoptaron pueden verse en la tabla siguiente, Best 1947 [15].

Fig 1.11: Forma de gotas de agua cayendo a la velocidad terminal. Tabla: dimensiones en mm de gotas de agua cayendo según Best, 1947. D = diámetro de la esfera equivalente calculado a igual volumen. D1 = (l.d2)1/3 e1 y e2 son las excentricidades de las semielipses superior e inferior respectivamente.

30


Comparando los valores de “a” con los de d/2, puede verse que la mitad superior de la gota difiere

de ser una hemiesfera hasta que D alcanza un valor de 4 mm. Por otro lado, los bajos valores de b

muestran el aplastamiento que sufre la gota.

31


1.12 - CONCLUSIÓN.

A lo largo del capítulo pudimos realizar una caracterización de los factores que consideramos mas

relevantes referidos al modo de “dripping” o “goteo”, ya que será el que estará presente al momento de

realizar nuestras experiencias.

Comenzamos analizando la física del crecimiento de una gota bajo la hipótesis de líquido

incompresible y newtoniano formándose inmersa en ambiente fluido calmo desde el extremo de un

capilar vertical de sección circular. Pudo concluirse que este fenómeno es gobernado por 4

adimensionales: Re, Ca, G y Ri/R. Asimismo se estudió el equilibrio de una gota pendiendo del extremo

de un tubo, donde se vio que una componente de la fuerza de tensión superficial es la que balancea a la

producida por el peso de la columna de agua por encima de la gota y el peso de la gota misma.

Se analizó el comportamiento de una gota cuando se la carga eléctricamente al momento de su

formación, y se vio que la misma experimenta una presión en oposición a la tensión superficial que hace

que la gota se desprenda con anterioridad.

Observamos que el radio externo del capilar es de gran importancia en el momento de prever la

formación de gotas satélite. En los casos donde R < 0,5 mm y utilicemos agua como fluido de trabajo

podremos asegurarnos que no se formarán gotas satélite. Surge asimismo que aquellos capilares cuyos

radio externo se encuentre en el intervalo entre 0,5 y 2 mm, deberán ser analizados en detalle y es difícil

realizar predicciones. Finalmente, si utilizamos tubos de R > 2 mm (empleando agua como fluido de

trabajo) se formarán gotas satélites luego del desprendimiento de la gota primaria.

Se señaló que existen dos etapas diferentes en la formación de la gota, la primera donde la gota

crece en volumen rápidamente, relativamente larga, y la segunda relativamente corta que empieza con el

estrechamiento del cuello y finaliza con el desprendimiento de la gota.

Se puso en relieve la influencia de la pared del tubo en la formación de las gotas, donde se vio que

manteniendo el radio externo del capilar donde se forman las mismas, cuando la relación Ri/R > 0,2, el

espesor de pared deja de ser un factor que incida en el volumen de la gota primaria que se forma.

32

Generalidades sobre gotas y el fenómeno de “goteo” En el trascurso del capítulo se analizaron también algunos parámetros importantes donde pudo

verse que:

- La longitud límite en la formación de las gotas disminuye con la relación Ri/R hasta cierto

valor y luego permanece constante; aumenta a medida que lo hace el Ca; permanece constante

hasta cierto valor de Oh y luego comienza a aumentar, y aumenta con Q. Este parámetro fue

tenido en cuenta en el momento de diseñar el dispositivo experimental.

- El volumen de la gota aumenta a medida que lo hace R y luego permanece constante. Además,

aumenta con el caudal. Este parámetro y su relación con el caudal son importantes para

relacionarlos con los obtenidos con nuestro sistema de medición.

Es conveniente resaltar que los resultados presentados fueron realizados en un dispositivo que

impone la presión necesaria para hacer circular un caudal constante requerido, dispositivo que difiere en

cierta medida con el que nosotros consideraremos (presión constante y caudal variable).

Finalizamos este capítulo analizando el comportamiento de las gotas en su caída. De esta manera

se conoció bajo que condiciones puedo analizar la caída de una gota comportándose mecánicamente

como una esfera. Se analizó cual es la velocidad terminal que logran alcanzar, y pudo verse que las gotas

de diámetros mayores al milímetro sufren un aplastamiento debido a la distribución de presiones

alrededor de la misma que hace que aumente su sección transversal y así su resistencia con el aire. De

esta manera, su velocidad terminal se ve disminuida comp. Rada con una esfera de igual volumen.

33


REFERENCIAS

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York, (1978)

2. D. H. Michael, “Meniscus Stability”, Annu. Rev. Fluid Mech. 13, 189, (1981)

3. G. F. Schele and B. J. Meister, “Drop formation at Low velocities in liquid-liquid systems: Part I.

Prediction of drop volumen”, AIChe J. 14, 9, (1968)

4. P. M. Heertjes, L. H. De Nie, and H. J. De Vries, “Drop formation in liquid-liquid systems – I

Prediction of drop volumens at moderate speed of formation”, Chem. Eng. Sci. 26, 441, (1971)

5. P. M. Heertjes, L. H. De Nie, and H. J. De Vries, “Drop formation in liquid-liquid systems - II.

Testing of the considerations in Pat I, from drop volumens below the jetting velocity and criterion

for the jetting velocity” Chem. Eng. Sci. 26, 451, (1971)

6. Xiaoguang Zhang and Osman A. Basaran, “An experimental study of dynamics of drop

formation”, Phys. of Fluids, 7 (6), 1185, (1995)

7. E. V. L. Narasinga Rao R. Kuman, and N. R. Kuloor, “Drop formation studies in liquid-liquid

system”, Chem Eng. Sci. 21, 867, (1966)

8. W. R Lane and H. L. Green, “The Mechanics of drops and bubbles”, in Surveys in Mechanics, by

Batehelor G. & Davis C., Cambridge Univ. Press, (1956)

9. J. Zeleny, “On the conditions of inestability of electrified drops”, Proc Camb. Phil. Soc., 18, 71

(1916)

10. X. Zhang, M.T. Harris, and O. A. Basaran, “Measurement of dynamic surface tension by a

growing drop technique”, J. Colloid Interface Sci., 168, 47, (1994)

34


11. H. A. Stone, B. J. Bentley, and L. G. Leal “An experimental study of transient effects in the

breakup of viscous drops”, J. Fluid Mech. 173,131, (1986)

12. D. H. Peregrine, J. Shoker and A. Symon, “The bifurcation of liquid bridges””, J. Fluid. Mech.

212, 25, (1990)

13. CYRIL ISENBERG, “The science of soap films and soap bubbles”, Dover Publications Inc., New

York, (1992)

35

CAPITULO II

Aplicaciones biomédicas del fenómeno de “goteo”

36

Aplicaciones biomédicas del fenómeno de goteo

2.1 – INTRODUCCIÓN.

En este capítulo presentamos algunas alternativas de medición utilizadas para la determinación del

volumen y de la masa de la gota. Estos dispositivos permiten mejorar la precisión de los contadores de

gotas convencionales utilizados para medir caudales en los sistemas de infusión.

En líneas generales los métodos que serán presentados están basados en algunas especificaciones

en común:

1- La velocidad de flujo es menor a 200 ml/h

2- Los líquidos típicos son el agua y las soluciones para infusión

3- Los métodos de medición deben trabajar con cámaras de sistemas de infusión estándar o con pequeñas

modificaciones.

37


2.2 – FUNDAMENTOS TEÓRICOS BÁSICOS.

El caudal Q de un líquido fluyendo a través de una tubería, es definido como la relación de un

volumen V, por un tiempo t :

tVQ = (1)

Esta ecuación puede también escribirse de la siguiente manera :

fVQ ⋅= (2)

donde f es la frecuencia en la que un volumen V se encuentra circulando (caso de flujos pulsantes como

puede ser el que se ve circular en los sistemas convencionales de infusión a través de la cámara cuenta

gotas).

La ecuación (3) expresa la definición de caudal másico, m&, y su relación con el caudal

volumétrico:

Qfmtmm ⋅=⋅== ρ& (3)

A veces es más ventajoso usar el caudal másico en lugar del caudal volumétrico, por ejemplo para

aplicaciones analíticas o dosis. Observando las ecuaciones (2) y (3) es evidente que para la medición del

flujo es necesario conocer el volumen o la masa de cierta cantidad de líquido. Esa cantidad de líquido

puede ser retenido en una cámara o tanque.

Para la determinación del flujo a través de la cámara de gotas, el volumen Vdr de las gotas debe ser

considerado. En este caso, la ecuación para el caudal volumétrico es:

fVt

VQ dr

dr ⋅== (4)

Y el caudal másico a través de una cámara de gotas puede escribirse de la siguiente manera:

fmt

mm dr

dr ⋅==& (5)

donde mdr es la masa de la gota.

38


El volumen (o masa) de las gotas depende de la viscosidad, de la tensión superficial del líquido y

además, del tipo de líquido. La temperatura y el caudal también influyen en el volumen en forma directa o

indirecta.

2.3 – MEDICION DEL VOLUMEN DE LAS GOTAS

La medición del volumen de una gota es una técnica común para la determinación de la tensión

superficial de los líquidos. Este tipo de mediciones han sido realizadas desde fines del siglo pasado y han

demostrado que los errores en las mediciones son grandes si los caudales son calculados con un volumen

asumido con anterioridad [1]. Así, los errores pueden ser reducidos a través de mediciones del volumen o

la masa de las gotas. Con este propósito pueden distinguirse dos métodos:

1- El volumen o masa de la gota es conocido previamente. El volumen o masa de la gota debe ser

medido como una función del caudal. Así, el volumen o masa de la gota puede predecirse para el

mismo líquido si la temperatura se mantiene constante.

2- El volumen o masa de la gota debe ser medido. Es posible medir el volumen o masa de una gota antes

de ser liberada o a medida que cae.

Es posible recolectar un cierto número de gotas y medir su volumen o masa promedio y así

determinar la variación del mismo respecto al caudal circulante. El volumen típico de una gota que cae en

la cámara de gotas convencional utilizada en los sistemas de infusión está en el rango de 30 a 60 µlitros.

Este método no es independiente del medio y ni de otros factores. Debido a que el segundo método no

tiene estas desventajas, es que se presentan distintas maneras de medir a las gotas.

Existen algunos estudios donde fue medido el tamaño de las gotas al caer. Éstas fueron observadas

con una cámara de alta velocidad la que mostró que el perfil de la gota no es constante mientras cae. Las

gotas oscilan a lo largo de un eje paralelo a la dirección de la gravedad, de manera que sus formas

alternan entre una esfera y un elipse. Esta oscilación ha sido conocida por algún tiempo, como lo presenta

39

Aplicaciones biomédicas del fenómeno de goteo Bouasse en su trabajo [3], y fue considerada muy regular. Algunos experimentos realizados por Gotz

Schnell [4] mostraron que la oscilación no es muy regular, lo cual es debido, probablemente, a la

excitación de la cámara de gotas por pequeñas vibraciones. Estos efectos también fueron observados en

otros estudios.

2.3.1 - CAUDALIMETRO INDICADOR

Una posibilidad para la medición del volumen de la gota es capturarla en un pequeño tubo que

actúe como cámara de gotas [5]. A medida que las gotas caen dentro del tubo, el nivel del mismo sufrirá

una variación y conociendo las dimensiones del tubo podríamos determinar el volumen de la gota. Así, la

cámara de gotas se convierte en un tipo de caudalímetro indicador. El volumen de la gota, Vdr, puede ser

calculado usando:

lAVdr ⋅= (6)

donde A es la sección transversal del tubo, y L es la longitud de la columna de líquido en el tubo.

2.3.2 - TIEMPO DE PASAJE DE LA GOTA

Si la velocidad de la gota que cae es conocida, es posible medir el volumen de la misma, midiendo

el tiempo requerido para viajar entre dos puntos. El volumen de la gota (asumiendo una forma esférica)

puede ser calculada usando:

48

3 ep

dr

tvV

⋅⋅=π

(8)

En esta ecuación, v es la velocidad promedio de la gota y tp es el tiempo de pasaje entre los dos

puntos en cuestión. La velocidad puede ser determinada por calibración o a través de una segunda

medición.

El diseño de un sensor basado en este principio, es similar al contador de gotas utilizado en los

sistemas de infusión, como se puede ver en la Fig. 2.1

40


Fig. 2.1: disposición del sensor de gotas para medir tiempos de pasaje. 1) Diodo emisor de luz; 2) Lente; 3) Fotodiodo diferencial con barrera de luz.

El sensor consiste en una barrera de luz con un fotodiodo diferencial y un sistema óptico. Las

áreas del fotodiodo están separadas una distancia de 0,08 mm. Frente al fotodiodo se encuentran dos

ranuras de 0,02 mm de ancho. Cuando la gota pasa frente a las ranuras, es detectada por los fotodiodos.

La señal de salida del fotodiodo cambia cuando la gota empieza a atravesar la barrera de luz y luego

cambia nuevamente cuando la gota abandona la misma. El tiempo que tarda la gota en pasar por los dos

fotodiodos es luego computado.

La fig. 2.2 muestra el diagrama de los errores relativos que fueron obtenidos con este sistema para

cada volumen el volumen de la gota, en el trabajo de Schnell [4]. El volumen es un promedio de 10 gotas

de agua, y las mediciones fueron hechas con una balanza de precisión como referencia. La

reproducibilidad de este método es pobre porque depende del tipo de cámara de gotas usado. La señal de

salida depende de la inclinación del sensor. Todos los sensores ópticos de gotas son sensibles a cualquier

golpe y la forma de la gota en una posición definida no puede predecirse. Por lo tanto no puede lograrse

una precisa calibración.

41


Fig. 2.2: Errores relativos en mediciones de tiempo de pasaje, frel (%) Vs volumen de gota (ml)

2.3.3 – CAPACITANCIA

La medida del volumen de una gota puede obtenerse también, haciendo uso del alto valor de

constante dieléctrica que tiene las soluciones acuosas. Si εo es la constante dieléctrica, εr la permitividad,

y C la capacitancia, el volumen de la gota (asumiendo una esfera) se puede calcular como:

220

2

3

48 rdr

CVεεπ ⋅⋅⋅

= (9)

Una cámara de gotas convencional debe ser modificada para obtener esta medición. El líquido es

inducido a fluir a través de un tubo de metal donde las gotas están eléctricamente cargadas con 30V

aproximadamente. Luego, las gotas caen sobre un electrodo donde son descargadas y la señal resultante

es amplificada. La Fig.2.3 muestra el sensor electrostático de gotas. Para evitar perturbaciones, una jaula

de Faraday puede ser colocada alrededor de la cámara de gotas donde serán realizadas las mediciones. El

sensor debe estar calibrado ya que la forma de la gota no es exactamente una esfera, y los parámetros

eléctricos del líquido no son conocidos con precisión.

42


Fig. 2.3: Disposición del sensor de gotas electrostático. 1) Tubo metálico, 2) Electrodo, 3) Pantalla

La señal de salida depende del tipo de líquido, pero la diferencia de la señal de salida para

distintos líquidos es pequeña.

2.4 - MEDICION DE LA MASA DE LA GOTA

Además de la medición del volumen de la gota, existen investigaciones en la medición de la masa

de la gota. Como no existe un método para medir la masa de la gotas usando cámaras de gotas estándar,

son necesarios nuevos diseños de cámaras para tal finalidad.

2.4.1 – MÉTODO DEL DESPLAZADOR DEL HAZ

A medida que se genera, la masa de la gota puede ser medida utilizando una balanza de alta

resolución. Con tal motivo se utiliza una cámara de gotas especialmente diseñada que dispone de un tubo

de entrada dispuesto en forma horizontal. Esto hace posible la medición del cambio de masa en el

extremo del tubo debido al crecimiento de la gota. La masa de la gota, mdr, es función de su peso ó fuerza

gravitatoria FG, y de la aceleración gravitatoria, g:

43


gF

m Gdr = (10)

El dispositivo de medición, tiene un diseño muy simple, como se muestra en la Fig.2.4. El fluido

fluye a través de un tubo de silicona de aproximadamente 40mm de longitud y un diámetro externo de

5mm. El mismo está diseñado para actuar como un elemento donde se refleje un haz láser que se

encuentra apuntándolo constantemente. Este haz es reflejado en la superficie del tubo de silicona y

captado con un elemento óptico.

Fig. 2.4: disposición del sensor de masa de gotas. 1) Cámara de gotas con tubo de siliconas, 2) Sensor de posición.

La gota crece al final del tubo de silicona lo cual provoca que éste se incline, con un

desplazamiento máximo al final del tubo de 80 µm. Cuando el tubo de silicona se inclina, el haz láser es

reflejado hacia otra posición sobre la superficie del sensor e incidiendo sobre éste con otro ángulo.

Usando la geometría, este cambio de posición es utilizado para calcular el desplazamiento al final del

tubo. Los sensores utilizados en estos casos [4] tienen un rango de medición de 2 mm y una resolución de

0,5µm. Utilizando el desplazamiento del haz, se calcula posteriormente la masa de la gota.

La señal de salida del sensor de posición también es utilizada para determinar la relajación del

tubo. Sin embargo, algunos estudios no observaron ninguna relajación del tubo durante un período de

varios días, probablemente debido a la pequeña inclinación. Sin embargo, un algoritmo de recalibración

puede ser implementado para eliminar estos corrimientos en el software.

La ecuación para la inclinación del haz está dada por:

44


( )44

3

364

dDElgmdr

−⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=π

χ (11)

donde,

mdr = masa de la gota

g, es la constante gravitacional

l = longitud del tubo

E = módulo de Young

D = diámetro externo del tubo

d = diámetro interno del tubo.

Como la constante gravitacional es el único parámetro en el cálculo de la masa de la gota (ec.10),

este tipo de medición es independiente del tipo de líquido. Sin embargo, la inclinación del dispositivo

influye en la señal de salida, así como las perturbaciones causadas por oscilaciones mecánicas. Pueden

utilizarse sensores de buena linealidad, con una diferencia entre los valores y su línea de regresión menor

al 3%, y lograrse una reproducibilidad es mejor al 95%. La rigidez del tubo, sin embargo, depende de la

temperatura. Este problema puede resolverse en parte mediante calibración mientras se realiza la

medición para determinar la nueva posición de comienzo con un algoritmo como se mencionó

anteriormente.

2.4.2 - CAMBIOS EN LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

La medición de la fuerza causada por el cambio en la cantidad de movimiento cuando la gota es

liberada en una situación similar a la anterior también fue estudiada en el trabajo de Scnell [4]. Si un tubo

flexible es preparado en condiciones similares a las mostradas en el caso anterior, y la gota es liberada, el

tubo oscila. La amplitud de la oscilación depende de la masa de la gota. El dispositivo puede ser llevado a

cabo también como se mostró en la Figura 2.4. El mismo combina la medición de la masa de la gota por

la fuerza gravitacional con la masa determinada por la fuerza causada por el cambio en la cantidad de

45

Aplicaciones biomédicas del fenómeno de goteo movimiento. La Figura 2.5 muestra la señal de salida del sensor de posición. En ella puede verse la señal

resultante que se obtiene de las oscilaciones del tubo luego de que la gota ha sido liberada y la inclinación

del haz causada por el crecimiento de una nueva gota.

Para una primera aproximación, el desplazamiento al final del tubo, χ (l), puede expresarse como:

−

−⋅⋅−

⋅⋅⋅

=⋅⋅−

2

'1

21 1

)cos(1)(

1

α

ψψχ

α twewm

gml

tw

t

dr (12)

Con,

Sen(ψ) = α

mdr = masa de la gota

g = constante gravitacional

mt = masa del tubo

w1 = primer modo de la frecuencia de vibración

α = coeficiente de amortiguamiento (damping)

w’1 = frecuencia de camping

El método fue probado de la misma forma que los otros: un valor promedio de 40 gotas

comparado con aquellos obtenidos con una balanza de precisión. El error en linealidad de este método fue

menor al 2% y el error de reproducibilidad fue menor al 5%. La amplitud de la primera (máxima)

oscilación del tubo vs la masa de la gota es mostrada en la Fig. 2.6 para el agua. La medición depende del

líquido. Si el medio tiene alta viscosidad (aceite), las oscilaciones al final del tubo son muy pequeñas. Sin

embargo, es muy dificultoso utilizar el cambio en la cantidad de movimiento para medir la masa de la

gota de estos líquidos. La influencia de temperatura sobre la rigidez del tubo debe ser considerada

también.

46


Fig. 2.5: Desplazamiento del final del tubo, l (mm) e función del tiempo t (s) seguido del crecimiento de una nueva gota.

Fig. 2.6: Amplitud de la oscilación máxima a (mV) en función de la masa de la gota (mg) siguiendo el crecimiento de la gota.

47


2.5 – CONCLUSIONES.

En este capítulo, presentamos distintas alternativas propuestas para mejorar la precisión en la

medición de caudales que existen en los sistemas de infusión convencionales. En líneas generales, todos

los métodos presentados estuvieron basados en algunas especificaciones generales, como velocidad de

flujo menor a 200 ml/h, los líquidos típicos fueron el agua y las soluciones para infusión. Además

presentaron la característica de que trabajaban con cámaras de sistemas de infusión estándar o con

algunas modificaciones.

Como veremos en capítulos siguientes, el método de medición de volumen que se caracteriza bajo

el nombre “tiempo de pasaje de la gota” nos servirá como base para el desarrollo de nuestro sistema de

medición.

48


REFERENCIAS

1. P.A. Guye, F.L. Perrot, “Etude experimentale sur la forme et le poids des gouttes statiques et

dynamiques”, Archives des sciences physiques et naturelles 15, 132-188, (1903)

2. M.R. Hillman, “The prediction of drop size from intravenous infusion controllers”, Journal of

Medical Engineering & Technology 13, pp. 166-176, (1989)

3. H . Bouasse, “Jets, tubes et canaux”, Librairie Delagrave, Paris, (1923)

4. Gotz Schnell, “Medical Flow measurements with drop counters. Methods for improving

accuracy”, IEE Engineering in Medicine and Biology, pp. 72-76, January/Febrary, (1997).

5. A. Reinhart, “Das Verhalten fallender Tropfen”, PhD-Thesis, Zurich, (1964)

6. G.A. Dawe, “Volumetric drop detector”, United States Patent 4, 432, 761 Feb. 21, (1984)

7. P.J.D. Wickham, R. Harding, “Flowmeter for slow-flowing physiological liquid”,

Medical&Biological Engineering and Computing 22, 406-410, (1984)

8. H.J. Boer, “Liquid-flow. Liquid mass flow meter/controller”, Solid State Technology, p149,

(1996)

9. J. Lotters, “New generation of liquid flow sensors, Sensor 03, Nuremberg,Germany, (2003)

49


10. T.S.J. Lammerink et al., “Micro-liquid flow sensor”, Eurosensors VI.: A 4, 6 , Oct 5-7, (1992)

11. C. Yang, M. Kummel, H. Soeberg, “A self-heated thermistor flowmeter for small liquid flow in

microchannels”, Sensors and Actuators. 15: 51-62, (1988)

50

CAPITULO III

Comportamiento de la luz en presencia de partículas

51



En el presente capítulo describiremos en forma simplificada el comportamiento que tiene la luz al

encontrarse con partículas de distinto tamaño durante su propagación.

Comenzamos presentando las distintas teorías que estudian a su dispersión, así como su

atenuación y su absorción. De esta manera, estudiaremos cual es el comportamiento que tiene la luz en las

condiciones que se presentan para nuestras experiencias.

52


3.2 –TEORÍAS DE DISPERSIÓN DE LA LUZ.

En el presente apartado presentaremos algunas teorías para el análisis de la dispersión de la luz al

incidir sobre una partícula.

3.2.1 – Características generales.

El objetivo de este apartado es resaltar las propiedades y características generales de la luz y su

dispersión al encontrarse con una partícula.

Definimos:

a) La dirección de dispersión se caracteriza principalmente por el ángulo θ (como puede

verse en la figura 3.1) conocido como ángulo de scattering ó dispersión, y por su ángulo

azimutal φ (ver la figura 3.3 para visualizar los ángulos de dispersión y azimutal en el

mismo gráfico).

Fig. 3.1: Definición de ángulo de dispersión. La luz incide desde debajo de la figura.

b) La distribución de la intensidad de la luz dispersa a una distancia r medida desde la

partícula viene dada por:

220 ),(

rkFI

I⋅

⋅=

ϕθ

donde,

53


I0: es la intensidad de la luz que incide sobre la partícula.

F(θ,φ), es una función adimensional que depende de la dirección pero no de la

distancia a la partícula.

λπ2

=k , es el número de onda, donde λ es la longitud de onda de la luz.

c) La energía total dispersa en todas direcciones es igual a la energía de la onda incidente

sobre el área CSCA, donde:

( ) ωϕθ dFk

CSCA ⋅= ∫ ,12

y el elemento de ángulo sólido, dω = sen (θ) . dθ . dφ

De la misma forma se define un área característica CABS para relacionar la energía que

absorbe la partícula con la intensidad del haz que incide sobre la misma.

La energía total removida de la luz incidente puede ser también caracterizada por un área

Cext, con la misma propiedad que las anteriores, que por conservación de la energía se cumple:

CEXT = CSCA + CABS

Las cantidades CEXT, CSCA y CABS, se denominan secciones transversales de la partícula referidas a

la atenuación, dispersión y absorción respectivamente.

d) Los factores de eficiencia para la atenuación, dispersión y absorción vienen dados por la

relación de sus secciones transversales características con la sección transversal

geométrica. De esta manera:

geom

extext C

CQ =

geom

scasca C

CQ =

geom

absabs C

CQ =

54


Para una esfera,

4

2DGCgeom⋅

==π , siendo D el diámetro de la esfera

e) Finalmente definimos:

λπ aakx ⋅

=⋅=2

parámetro muy utilizado que en una esfera da la relación entre la longitud de la circunferencia y la

longitud de onda de la luz que incide sobre la misma, siendo “a” el radio de la esfera.

3.2.2 – Dispersión de Rayleigh

La teoría de dispersión de Rayleigh se desarrolló para aquellos casos donde se está en presencia de

partículas de tamaño pequeño comparado con la longitud de onda de la luz que incide sobre la misma. Por

lo tanto, puede ser aplicada en los casos donde,

a) Long. característica <<πλ⋅2

b) m . Long. característica <<πλ⋅2

donde m es el índice de refracción entre la partícula y el medio donde se propaga la luz

Si se cumple únicamente la condición “a” (ej. si m→ la condición “b” no sería cumplida) hay

que hacer consideraciones particulares [1].

∞

De acuerdo con la Teoría de dispersión de Rayleigh, la distribución de la intensidad viene dada

por:

02

242

2))(cos1(

Ir

kI ⋅

⋅

⋅⋅+=

αθ

y la sección transversal para la dispersión,

24

38 απ ⋅⋅= kCSCA

donde α proviene de,

55


0Epρρ ⋅=α

siendo pρel vector momento dipolar inducido en la partícula, y 0Eρ

el vector campo eléctrico.

Esta teoría ha tenido diversos usos, entre otros la determinación del número de Avogadro desde la

luz dispersa de un gas ideal (ej. aire) de conocido índice de refracción. Además, para la determinación del

peso molecular de algunos polímeros y de simples moléculas por el Método de Debye.

3.2.3 – Dispersión de Rayleigh-Gans.

Las condiciones para utilizar esta teoría son:

a) (m – 1) << 1

b) Long. característica << 1−m

λ

c) QEXT << 1

De acuerdo con la Teoría de Rayleigh-Gans, la dispersión total viene dada por:

)(1 2 xmQSCA ϕ⋅−=

donde,

( )∫ ⋅⋅+⋅

⋅⋅⋅⋅=

π

θθθθϕ0

224 )()(cos12

294)( dsensenxGxx

y la distribución de la intensidad,

( ) 02

2

2

242

,2

12

)(cos1 IRmr

VkI ⋅⋅

−⋅

⋅⋅

+= ϕθ

πθ

donde V es el volumen de la partícula y ( ) ∫ ⋅= dVeV

R iδϕθ 1,

Esta teoría es aplicada en la dispersión en pequeños ángulos de Rayos-X, dispersión generada por

un tipo de vidrios, etc.

3.2.4 – Teoría de Mie.

56


La teoría de Mie nos brinda un conjunto de ecuaciones deducidas a partir de la ecuaciones de

Maxwell que caracterizan al campo electromagnético de la luz incidiendo sobre una partícula en

cualquier punto dentro y fuera de la misma. De esta manera dice,

)()cos( 2 φϕωθ Se

kriE tiikr ⋅−= +− ,

)()( 1 φϕωϕ Ssene

kriE tiikr ⋅−=− +−

donde las funciones S1(φ) y S2(φ) representan las componentes de la función amplitud de la

partícula en función del ángulo de dispersión y vienen dadas por,

∑ +++

=∞

=1nnnnn1 )cos(b)cos(a

)1n(n1n2)(S θτθπθ

∑ +++

=∞

=1nnnnn2 )cos(a)cos(b

)1n(n1n2)(S θτθπθ

donde,

)(')()()(')(')()()('

xynxyxynxy

annnn

nnnnn ςψςψ

ψψψψ⋅−⋅⋅−⋅

=

)(')()()(')(')()()('

xyxynxyxyn

bnnnn

nnnnn ςψςψ

ψψψψ⋅−⋅⋅−⋅

=

Siendo ψn y ζn funcions de Ricatti-Bessel.

Y las funciones πn y τn pueden verse a continuación en la figura 3.2

57


Las componentes perpendicular y paralela del campo eléctrico y de la onda incidente son,

E0r = sen(φ), E0l = cos(φ)

Y aquellas de las ondas dispersas,

Er = -Eφ El = Eθ

Fig. 3.3: descomposición del vector eléctrico de la onda incidente y

La formulación de Mie, para el caso en que x → , admite una distinción entre luz reflejada,

refractada y difractada.

∞

58


Brinda además un riguroso patrón de dispersión para esferas de cualquier tamaño, inclusive

aquellas en las cuales el parámetro λπ ax ⋅

=2 es muy grande (estas fórmulas pueden ser utilizadas cada

vez que la validez de la óptica de rayos se ponga en duda [1]).

3.3 – DISPERSIÓN EN PARTÍCULAS DE GRAN TAMAÑO.

Cuando hablamos de partículas de gran tamaño lo hacemos comparando sus dimensiones con la

longitud de onda de la luz que incide sobre la misma.

Para poder analizar la dispersión de la luz de la forma en que la describimos en este apartado,

además de la condición de gran tamaño, que se explicita como x >> 1, el factor ρ = 2.x.(m – 1) debe ser

grande también (ρ>>1).

El análisis óptico que se debe realizar en las grandes partículas difiere considerablemente de

aquellas que tienen un tamaño comparable con la longitud de onda. El hecho fundamental es que el haz

de luz incidente, el cual forma un frente de onda plano de extensión infinita, puede pensarse constituido

por un conjunto de rayos de luz independientes que siguen su propio camino. Una pequeña parte de un

frente de onda amplio puede ser considerado como un rayo que se comporta, para una determinada

longitud, de manera independiente respecto del resto del frente de onda.

El comportamiento de los rayos en este caso están gobernado por dos fenómenos que en su

conjunto los podemos llamar como scattering (dispersión).

1) Reflexión y refracción. Los rayos que inciden sobre la superficie de una partícula son

parcialmente reflejados y parcialmente refractados. La luz refractada puede salir de la

partícula luego de otra refracción, posiblemente luego de varias reflexiones internas. La

luz que emerge de la partícula y la luz reflejada directamente de la superficie externa,

contribuyen al scattering de la partícula. La energía que no emerge de la partícula

queda absorbida en la misma. La cantidad de energía absorbida o la energía dispersa, y

la distribución angular de la luz dispersa, dependen fuertemente de la forma y

59


composición de la partícula y de la condición de su superficie. En la Fig. 3.4 se

encuentra representado este comportamiento de la luz en un esfera.

2) Difracción. Los rayos pasando a través de la partícula forman un frente de onda plano

del cual una parte, en la forma y tamaño de la sombra geométrica de la partícula, es

perdida. Este frente de onda incompleto da lugar a una determinada distribución

angular de la intensidad debido al principio de Huygens (a distancias muy largas),

conocido como el patrón de difracción de Fraunhofer.

Fig. 3.4: pasaje de un rayo de luz a través de una esfera de acuerdo con la óptica geométrica.

3.3.1 – Dispersión en esferas de gran tamaño.

Si consideramos un esfera de gran tamaño, sólo la mitad de la dispersión total de la luz es debida

a refracciones y reflecciones a través de la misma. La otra mitad proviene de la difracción alrededor de la

esfera bajo la forma de difracción de Fraunhofer. Los rayos incidentes sobre una esfera de gran tamaño

dan un patrón idéntico en intensidad y fase que el encontrado con la óptica geométrica [1].

60


El patrón de óptica geométrica es amplio y de intensidad moderada, proviniendo de reflecciones y

refracciones de rayos que impactaron sobre la esfera. El patrón de difracción es angosto, de gran

intensidad, y concentrado cerca de la dirección de la luz. La radiación total contenida en ambos patrones

(para esferas no absorbentes) iguala a la energía incidente en la sección transversal geométrica, π.a2. La

teoría de Mie nos brinda un riguroso patrón de los dos efectos combinados.

Es importante aclarar, que cerca del ángulo de scattering de 0º existe una muy intensa difracción

de Fraunhofer que hace despreciables cualquier otro efecto.

El lugar de incidencia de un determinado rayo es caracterizado por su ángulo azimutal φ y por su

distancia al eje. El mismo puede ser escrito como a.cos(τ), donde “a” es el radio de la esfera y τ el ángulo

entre el rayo incidente y la superficie. De esta manera, un ángulo τ = 90º caracteriza a un rayo central y

τ = 0º caracteriza a un rayo razante.

La energía es dividida debido a las sucesivas reflexiones y refracciones. En la figura 3.5 pueden

verse las distintas reflexiones y refracciones de un rayo, caracterizadas con la letra “p” dependiendo del

orden en que abandonan la esfera (p = 0, 1, 2, 3, etc. ).

3.4 – CONSIDERACIONES PARA EL PRESENTE TRABAJO.

En el trabajo que nos encontramos describiendo, utilizamos gotas de agua que, de considerarlas

esféricas, tienen radios del orden del milímetro. Las mismas atraviesan un plano láser (como se verá en el

capítulo siguiente) cuya longitud de onda es λ = 637,4 . 10-9 m.

De esta manera, calculando el parámetro x obtenemos que:

4102≅

⋅=⋅=

λπ aakx

Con lo que podemos asegurar que estamos frente a un caso de partículas muy grandes comparadas

con su longitud de onda, y por lo tanto podemos utilizar la óptica geométrica y el análisis de la difracción

de Fraunhofer para describir el comportamiento del plano láser al incidir sobre las gotas.

Consideraciones más específicas serán realizadas en el capítulo 5 cuando se analice en particular

la imagen que se forma detrás de la gota cuando ésta atraviesa al plano láser.

61


62



En el presente capítulo hemos podido presentar las distintas formas en que la luz se dispersa al

incidir sobre una partícula. De su análisis, podemos decir que la óptica geométrica puede ser utilizada

cuando las dimensiones características del objeto de estudio sea muy grande comparado con la longitud

de onda de la luz que incide sobre el mismo. En los demás casos, debemos tener presente el

comportamiento de la luz como onda electromagnética y emplear las deducciones de Rayleigh, Rayleigh-

Gans o directamente la Teoría de Mie para prever su comportamiento.

Finalmente, y como surgirá en el desarrollo de los capítulos sucesivos, podemos afirmar que

debido a las dimensiones de las gotas en estudio en este trabajo, en nuestras experiencias podemos

efectuar el análisis óptico basándonos en la óptica geométrica y en la difracción que se da en el momento

en que las gotas inciden sobre el plano láser.

63


REFERENCIAS

1. H.C. Van De Hulst, “Light Scattering by Small Particles”, Dover Publications Inc., New

York, (1981)

2. M.K. Choi And J.R. Brock, “Light Scattering and absorption by a radially inhomogeneous

sphere: application of a hybrid numerical method”, J. Opt. Soc. Amb. B/Vol 14, 3, (1997)

3. Gerhard Gobel et al, “Monte Carlo simulation of Light Scattering by Inhomogeneous

spheres”, Proceedings of the second International Symposium on Radiation Transfer,

Kusadasi, Turkey, (1997)

4. J.A. Stratton, “Electromagnetic Theory”, McGraw-Hill Book Co, New York, (1941)

5. G.N. Watson, “Theory of Bessel Functions”, p 403, Cambridge Univ. Press, (1922)

6. A. Guinier and G. Fournet, “Small-Angle Scattering of X-Rays”, John Wiley&Sons, New

York, (1955)

7. P.M. Morse and H. Freshbach, “Methods of Theoretical Physics”, par, part II, pp 1381 and

1955, McGraw-Hill Book Co, New York, (1953)

64

CAPITULO IV

Montaje experimental

65

Montaje Experimental

4.1 – INTRODUCCIÓN

En el presente capítulo se describe el montaje experimental diseñado y construido para realizar las

mediciones.

Podrán verse dos tipos de dispositivos utilizados para la generación de gotas y su medición. En el

primero se generan las gotas en una cámara abierta a la atmósfera, y en el otro se produce en una cámara

cerrada herméticamente a la atmósfera donde la presión depende de otros parámetros del sistema

hidráulico.

El líquido utilizado en las experiencias fue, en todos los casos, agua destilada.

La presentación del montaje experimental es dividido en las siguientes partes a los fines de su

descripción:

• Sistema fluido dinámico de generación de gotas.

• Sistema óptico de medición.

• Sistema de codificación de señal y adquisición de datos.

A continuación se detallan cada uno de los sistemas recientemente nombrados. Posteriormente se

presentará el cálculo para la determinación de la constante que relaciona tensión con longitudes

utilizada como uno de los factores necesarios en el cálculo del volumen de las gotas.

En el Anexo 4.1 que se presenta al final de este capítulo se incluyen las especificaciones mas

relevantes de algunos de los elementos que forman parte del montaje experimental así como los planos de

las piezas diseñadas para el dispositivo experimental.

66


4.2 – SISTEMA FLUIDO DINÁMICO DE GENERACIÓN DE GOTAS.

El sistema fluido dinámico de nuestro dispositivo experimental encargado de generar las gotas que

serán medidas puede dividirse a su vez en dos subsistemas desde el punto de vista funcional:

- Subsistema de regulación y alimentación de agua.

- Subsistema de generación de gotas y drenaje.

4.2.1 – Subsistema de regulación y alimentación de agua.

Un esquema del mismo que se presenta a continuación en la Fig. 4.1:

3

2

9

8 47

65

1

1- Recipiente con agua. 6- Reductor 2- Tornillo de ajuste 7- Accesorio “T” 3- Plataforma de apoyo 8- Accesorio “Y” 4- Guías 9- Válvula reguladora de flujo 5- Escala graduada

Fig. 4.1: Subsistema de regulación y alimentación de agua.

67


El líquido es almacenado en un recipiente de vidrio (1), que tiene una capacidad de

almacenamiento de aproximadamente 2 litros, a presión atmosférica. Esta capacidad, para los caudales

medios utilizados, resulta en una autonomía al dispositivo de funcionamiento de más de 20 hs. Sin

embargo, debido a que durante el vaciamiento del recipiente se modifica la altura de carga del líquido en

el sistema, la autonomía de funcionamiento para una variación de un 3% de la altura de carga se reduce a

1,5 hs.

El recipiente es ubicado sobre una plataforma (3) a una altura determinada para conseguir de esta

manera la energía que inducirá al escurrimiento del fluido por el sistema. La plataforma consta de una

base plana donde se apoya el recipiente contenedor del líquido sostenida por una armazón de hierro que

se fija a unas guías (4) por medio de dos tornillos de ajuste (2). De esta forma, la altura en la que se

dispone el recipiente puede ser regulada desajustando los tornillos y deslizando la plataforma por las

guías hasta la altura deseada.

En la Fig. 4.2 puede verse una foto del recipiente con la base del mismo.

Fig. 4.2: A) Recipiente contenedor del líquido; B) Accesorio “Y”.

B)

A)

Debido a que el diámetro de la manguera que se coloca en la boca de salida del recipiente

contenedor del líquido de es de 15mm y el diámetro de entrada de la válvula reguladora de caudal (9) es

68


de 8mm, fue necesario colocar un reductor (6) para adaptar las mangueras que comunican los distintos

componentes del sistema.

Para poder conocer a que altura se encuentra la superficie libre del líquido dentro del recipiente

respecto al capilar donde se formarán las gotas, se colocó una escala graduada en milímetros (5) fija en la

pared. En la misma se referencia la distancia respecto al primer plano láser (ver sistema óptico de

medición). Luego, conociendo a que distancia se encuentra el capilar respecto al plano láser, fue posible

realizar mediciones modificando la altura de carga del líquido durante la formación de las gotas. Para

poder realizar la medición de la altura, se dispuso de una bifurcación en “T” (7) desde donde salía una

manguera que era fijada a la derecha de la escala, como se muestra en la Fig. 4.1. Por la propiedad que

tienen los vasos comunicantes, la medición realizada sobre dicha manguera refleja la altura de la

superficie libre del líquido que se encuentra dentro del recipiente.

A)

Fig. 4.3: A) Corte de la válvula reguladora de flujo. B) Curva de respuesta en caudal, respecto al caudal máximo que puede circular por el sistema, en función de la lectura en la válvula.

B)

69


Pasando la bifurcación en “T”, se colocó una válvula reguladora de caudal (9) para controlar en

algunos casos el flujo que circulaba en el sistema. En la Fig. 4.3 puede verse un corte de dicha válvula y

la curva que representa la respuesta de la misma.

Finalmente, antes de acceder al dispositivo donde se formarán las gotas, se colocó un accesorio,

“Y”, a los fines de poder retirar cualquier burbuja de aire que ingrese al sistema. El mismo puede verse en

la Fig. 4.2 .

4.2.2 – Subsistema de generación de gotas y drenaje.

En nuestro sistema de medición hemos trabajado con dos dispositivos para generar las gotas y

donde se realiza el drenaje correspondiente. En el primero, las gotas se generan en lo que hemos adoptado

llamar “cámara abierta”. En éste la formación de las gotas es producida contra una presión igual a la

atmosférica. En el segundo caso, las gotas se generan en lo que adoptamos llamar “cámara cerrada”,

donde la formación de las mismas se produce en una cámara sellada herméticamente de forma tal que la

presión en la misma es regulada por el sistema fluido dinámico en su totalidad y depende de las

características del mismo. En la Fig. 4.4 puede verse como está constituido el sistema de generación de

gotas del tipo “cámara abierta”.

70


Fig. 4.4: Dispositivo de generación de gotas y drenaje del tipo “cámara abierta”.

desde la alimentación

al drenaje 9

8

7

6543

2

1

1- Capilar

2- Porta capilar

3- Anillo

4- Tapa de la estructura de la cámara

5- Estructura de la cámara

6- Anillo de bronce

7- Base de estructura

8- Anillo soporte.

9- Tubo de drenaje

Este dispositivo tiene como fin primordial la generación de las gotas que serán medidas. Con ese

motivo se utilizó un capilar plástico (1) cuyas dimensiones, al igual que la de las demás piezas

componentes, puede verse en el Anexo 4.2 que se encuentra al final de esté capítulo. El capilar es

sujetado por un porta capilar (2) fabricado de teflón y cuyas dimensiones le permiten al capilar

mantenerse fijo y estático en su posición para mantener inmóvil en todo momento la ubicación de su eje

axial en el espacio. Una vez determinada la posición que debía tener el capilar dentro de la cámara, se

desplazó el porta capilar por el orificio de la tapa de la estructura de la cámara (4) con el fin de establecer

su posición. Además, para evitar cualquier pequeño desplazamiento que pudiera producirse

ocasionalmente, el porta capilar fue fijado utilizando un anillo de goma (3).

Una base de teflón (7), además de servir de alojamiento para el anillo de bronce y de permitir su

aislamiento respecto del medio, es utilizado como base para la estructura que forma la cámara (5) por

donde caerán las gotas y donde serán medidas. Además, se lo utiliza para sujetar el tubo de drenaje (9)

por donde finalmente circulará el agua. El anillo soporte (8) fue fabricado de acrílico y tiene dos

71


funciones: ser el elemento mediante el cual todo el dispositivo generador de gotas se fija al dispositivo

soporte, y ser la base donde se fija el porta electrodo.

En la Fig. 4.5 puede verse como está constituido el sistema de generación de gotas del tipo

“cámara cerrada”. Es preciso recalcar que para este caso se realizaron mediciones modificando el caudal

que se encontraba en circulación con la válvula presentada en el subsistema de regulación y alimentación

de agua aguas arriba (como se presentó en el esquema) y aguas debajo de la cámara.

desde la alimentación

Fig. 4.5: Dispositivo de generación de gotas y drenaje del tipo “cámara cerrada”.

al drenaje

5

4

3

2

1

1- Capilar

2- Porta Capilar

3- O’Ring

4- Cuerpo de la cámara

5- Capuchón

Al igual que para el sistema de cámara abierta, al final del capítulo en el Anexo 4.2 se presentan

los planos de cada una de las piezas que forman al sistema de cámara cerrada.

En la Fig. 4.5 puede verse que fue utilizado el mismo capilar (1) que el utilizado en el caso

anterior. Puede verse además como fue constituido el porta capilar (2), que en este caso es de un material

plástico. El capilar era introducido en el mismo y era sellada la unión entre capilar y porta capilar en su

extremo superior para evitar el ingreso de líquido por fuera del mismo. Además, a la salida del orificio

que tiene el porta capilar es colocado un o’ring (3) que se utiliza para centrar el capilar y que de esa

72


manera éste mantenga su eje axial siempre fijo y coaxial con el eje del resto del dispositivo. Cubriendo al

mismo se inserta y ajusta con una abrazadera la manguera que proviene de la alimentación de agua. Al

porta capilar se le suelda el cuerpo de la cámara (4) que está constituido por un tubo delgado de material

plástico transparente de 14,5 mm de diámetro externo y de espesor iguala a 0,5 mm. A tal efecto fue

utilizado ciclohexanona para obtener un aislamiento total del medio por su parte superior. Y para terminar

de sellar la cámara del medio, se soldó al tubo un capuchón (5) también con ciclohexanona de donde sale

la manguera que dirige al flujo hacia el drenaje.

Para ambos tipos de cámaras, el drenaje del líquido fue producido a través de una manguera de

aproximadamente 4mm de diámetro externo y 3 mm de diámetro interno.

Ambos sistemas de generación de gotas se colocan en un dispositivo soporte compuesto por

distintos accesorios que nos permiten ajustar el lugar en el espacio en el que se encontraría el eje central

del dispositivo y por donde luego caerían las gotas. En la Fig. 3.6 puede verse un esquema del soporte

utilizado.

∆Φ

∆Y

∆X

Fig. 4.6: Esquema del dispositivo usado como soporte del dispositivo generador de gotas.

1- Soporte del dispositivo

generador de gotas

2- Parante

3- Mesa giratoria con escala

4- Accesorio para regulación

de altura gradual.

5- Mesa de laboratorio.

2

3

4

5

1

En la figura pueden destacarse 5 accesorios como los principales del dispositivo representado. En

primer lugar se tiene al accesorio que es utilizado para sostener al dispositivo generador de gotas (1). El

73


mismo está compuesto de un anillo de acero con tres tornillos centradores que nos permite ajustar al

anillo plástico exterior que se representó en el dispositivo generador de gotas. Este anillo está unido a un

cilindro que le permite ser desplazado en forma horizontal de acuerdo a su eje. Además, el mismo está

unido a un parante (2) que permite una regulación de la altura respecto a la mesa giratoria (3). Esta mesa

permite ser girada a voluntad y tiene una escala graduada en grados donde es posible establecer el giro

que se requiera. La mesa giratoria está unida a un accesorio que permite la regulación de la altura de la

misma (4). De esta manera logramos poder ajustar la ubicación del soporte en cualquier punto del

espacio. Finalmente todo el soporte está unido mediante un tornillo de fijación a la mesa de laboratorio

(5), y ésta se encuentra sobre cuatro apoyos de goma de altura variable para poder fijar la mesa en un

plano horizontal y eliminar cualquier inclinación que posea.

En la Fig. 4.7 que se presenta a continuación pueden verse algunos de los accesorios empleados en

el dispositivo que nos encontramos describiendo.

Fig. 4.7: A) Mesa giratoria con escala graduada; B) Base con regulación de altura gradual; C) Parantes; D) Base para parantes con tornillos de ajuste; E) Anillo con tornillos centradores.

E) B)

D) C) A)

74


4.3 – SISTEMA ÓPTICO DE MEDICIÓN.

Para describir mejor al sistema óptico utilizado en el sistema de medición que nos encontramos

describiendo, se presenta un esquema del mismo en la Fig 4.8.

Fig. 4.8: esquema del sistema óptico de medición.

1- Láser y generador de plano.

2- Ranura

3- Filtro

4- Fotodiodo

VISTA EN PLANTA

2 3

2 3 4

4

1

1

Como puede verse en el esquema presentado, el sistema óptico de medición está compuesto

fundamentalmente por dos subsistemas “mellizos”. A cada subsistema lo componen un láser, un accesorio

encargado de abrir al haz en un plano láser, una ranura horizontal, un filtro y un fotodiodo. Como se

observa en el esquema, la disposición de los mismos es tal que los ejes ópticos de cada uno de estos

subsistemas se encuentran desplazados 90º en el plano horizontal ó plano paralelo a la mesa de

laboratorio. A su vez, estos subsistemas se encuentran corridos en altura una distancia h determinada

experimentalmente según se detalla en el capítulo 4.

El punto de intersección de los dos ejes que pueden verse en la figura 4.8 determinan el punto por

donde pasará el eje axial del dispositivo generador de gotas, y por ende, por donde caerán las gotas a ser

medidas.

75


A continuación haremos una descripción de la función que cumple cada uno de las componentes

presentados. El conjunto formado por el láser y su accesorio incorporado proveen un plano láser que será

atravesado por la gota al caer desde el capilar. A medida que la gota atraviesa el plano láser, se proyectará

una sombra de la misma que irá variando instante a instante. A continuación la ranura nos permite tomar

de todo el plano láser una determinada porción del mismo en ancho y alto. Luego el filtro solo deja pasar

algunas longitudes de onda correspondientes a su rango espectral que está compuesto por los rayos X

hasta 1150 nm. El fotodiodo actúa como trasductor generando una corriente determinada proporcional a

la energía total del láser que incide sobre el mismo.

Tanto el fotodiodo como el filtro fueron encapsulados dentro de una armazón metálica para evitar

de esta manera que ruidos externos perturben la señal generada por el fotodiodo. El conexionado del

fotodiodo fue realizado también dentro del encapsulado, de forma tal que de él salga únicamente una

ficha BNC para la conexión del cable que transmitirá la señal para ser tratada. En la Fig. 4.9 puede verse

una fotografía del encapsulado con su conexión externa y puede verse la disposición de la ranura respecto

al encapsulado.

Fig. 4.9: Encapsulado del filtro y fotodiodo.

B)

A)

76


El encapsulado fue montado sobre un parante y éste a su vez fue introducido en una base en la que

pudimos regular la altura del mismo (ver Fig. 4.7 C y D). Además, se le agregó al parante (como en casi

todos los casos) un anillo de ajuste para poder hacer girar libre al encapsulado hasta encontrar el ángulo

correcto sin modificar la altura del mismo. En la Fig. 4.10 puede verse una foto de este anillo.

Fig. 4.10: Anillo para giro libre.

Las ranuras utilizadas fueron realizadas con dos planchas delgadas de acero inoxidable adheridas a

una planchuela de bronce mas gruesa para darle rigidez a las mismas. Las dimensiones de las ranuras son

de 5 x 0,24mm, la del plano láser 1 (superior, primero que intercepta la gota), y 5 x 0,26mm la del plano

láser 2. Las mismas fueron dispuestas sobre una delgada guía vertical que nos permitió regular la altura

de la ranura al plano medio del plano láser. Además, el parante de esta guía por donde se pudo regular la

altura de las ranuras podía ser desplazado para regular la distancia a la que se pondría la ranura respecto al

filtro. Se le puso también otro anillo como el presentado en la Fig. 4.10 para poder, de esta manera,

buscar que la ranura quede paralela al fotodiodo.

77


Fig. 4.11: A) Guía para ranura; B) Plano de la guía para ranura; C) Desplazador regulado por tornillo.

B)

C)

A)

El láser fue montado de manera tal de poder regular que el plano que este genera quede paralelo a

la mesa de laboratorio y previendo que el eje óptico del mismo incida en el eje central del dispositivo

generador de gotas y en el centro del fotodiodo. Para tal fin, además de los accesorios esenciales, se le

monto al pie de la base un accesorio para realizar pequeños desplazamientos (se lo puede ver en la Fig.

4.11). En las Fig. 4.12 y Fig. 4.14 pueden verse dos vistas distintas de la disposición del sistema óptico y

el dispositivo generador de gotas.

78


Fig. 4.12: Sistema óptico y el dispositivo generador de gotas.

Fig. 4.13: láser utilizado en las experiencias.

79


Fig. 3.14: Vista superior del sistema óptico y el dispositivo generador de gotas.

4.4 – SISTEMA DE AMPLIFICACIÓN Y ADQUISICIÓN DE DATOS.

Como hemos dicho el fotodiodo genera una señal de corriente proporcional a la intensidad del

láser que incide sobre el mismo. La salida del fotodiodo es conectada a una amplificador, cuyo circuito

puede verse en la Fig. 4.15, que traduce dicha señal de corriente en una señal en tensión. La ranura fue

calibrada de forma tal que la señal a la salida del amplificador se mantenga en valores de entre 4 y 6 Volts

cuando el fotodiodo se encuentra en su estado de máxima excitación para las condiciones de la

experiencia. El amplificador consta de dos salidas para la señal de cada láser. Las salidas fueron

conectadas en paralelo una a un osciloscopio, para visualizar la señal a medida que la gota atravesaba el

plano láser, y la otra a una placa de adquisición de datos en la PC.

80


Fig. 4.15: circuito del amplificador utilizado en la experiencia.

La forma en que almacenamos los datos que era adquiridos por la placa de adquisición, fue

realizada mediante el uso de un software que desarrollamos el cual nos brindaba, entre otras, las

siguientes posibilidades:

- Encender/apagar los láser.

- Adquirir la señal correspondiente a un canal de adquisición o a los dos.

- Visualizar la señal una vez adquirida.

- Contar la cantidad las gotas que caen en un intervalo de tiempo.

- Calcular el período de goteo promedio de 2,5,20 o 50 gotas consecutivas (con un error de 50

mseg.)

- Variar la frecuencia de muestreo.

- Modificar la escala del gráfico donde se visualiza la señal

- Modificar el tamaño del buffer de datos

81


Fig. 4.16: Software utilizado como interfaz para la adquisición de datos

De esta manera fue posible manipular fácilmente las distintas opciones que nos daba la placa de

adquisición de acuerdo a los requirimientos que teníamos.

4.5 – ESTIMACIÓN DE LA ESCALA TENSIÓN-LONGITUD.

Es necesario poder conocer la relación que existe entre el valor de tensión a la salida del

amplificador y la longitud del segmento de luz que se encuentra incidiendo sobre el fotodiodo para el

cálculo del volumen de la gota, según se verá en el capítulo 5 del presente trabajo.

A continuación describimos la estrategia utilizada para su determinación.

82


Fig. 4.17: Longitudes características utilizadas para la determinación de la relación Volt/mm

Según puede verse en la Fig. 4.17, cuando el fotodiodo se encuentra en su estado de máxima

excitación para las condiciones de la experiencia, incide sobre el mismo un segmento de longitud D.

Teniendo en cuenta las longitudes características de nuestra experiencia, geométricamente pudimos

determinar la longitud máxima del segmento que podía incidir en el fotodiodo:

1L

LAD ⋅=

Siendo,

A: longitud de la ranura.

L: distancia entre el punto de emisión del láser y el fotodiodo.

L1: distancia entre el punto de emisión del láser y la ranura.

De esta manera, leyendo cual es el valor de tensión a la salida del amplificador para estas

condiciones, podemos determinar el valor de la constante:

=

mmVolts

DUC

83


4.6 – ESQUEMA Y VISTA DEL MONTAJE EN CONJUNTO.

A modo de conclusión de lo expresado en el presente capítulo, se incluyen a continuación una

representación esquemática general y una fotografía del montaje experimental.

1

1

8

10

6

9

21

4

3

5

2

12

1

17 13

7

18

11

14

16 19

20

15

Fig. 4.18: 1) Recipiente con agua; 2) Soporte del recipiente; 3) Reductor; 4) Accesorio “T”; 5) Escala graduada; 6) Válvula reguladora de caudal; 7) Accesorio “Y”; 8) Manguera de alimentación; 9) Osciloscopio; 10) Amplificador; 11) Conjunto Filtro y fototiodo; 12) Ranuras; 13) Conjunto Filtro y fototiodo; 14) Soporte del dispositivo generador de gotas; 15) Dispositivo generador de gotas; 16) Láser; 17) Láser; 18) Controlador; 19) Manguera de drenaje; 20) Vaso de precipitados; 21) PC.

84


Fig. 4.19: Foto general del montaje experimental

85


REFERENCIAS

1. H. TAUB, “Investigation of nonlinear waves on liquids jets, Physics of Fluids 19, 1124-

1129, (1976) 2. G. WETSEL, “Capillary oscillations on liquid jets”, Journal of Applied Physics 51 (7),

3586-3592, (1980)

3. DESIMONE G., Estudio experimental de la modificación del escurrimiento alrededor de un cilindro circular a través de la electroconvección, Tesis de Grado, Facultad de Ingeniería, Universidad de Buenos Aires, (2000)

4. SÁNCHEZ L.H., Propagación de perturbaciones pulsantes en flujos convectivos sometidos

a fuerzas eléctricas, Tesis de Grado, Facultad de Ingeniería, Universidad de Buenos Aires, (2001)

86

ANEXO 4.1

87

Anexo 4.1

ESPECIFICACIONES TÉCNICAS DE EQUIPOS

Láser.

• Longitud de onda: 634,7 nm

• Potencia: 5 mW

• Distribución de intensidad: Uniforme (no gauseana) a lo largo, gauseana a lo ancho

• Ángulo de Fan: 30º

• Peso: 65 g

• Temperatura de operación: -10ºC – 48ºC

• Corrimiento de la longitud de onda: 0,25 nm/ºC

88

Anexo 4.1

Filtro.

• Transmisión de línea láser: 80% mínimo (típico: 85%)

• Fuera de banda de transmisión: 0,001% (atenuación de 50db)

• Rango espectral: Rayos X hasta 1150 nm

• Índice de efectividad: 2,1

• Temperatura de operación: -20ºC a 80ºC

• Diámetro: 25,4 mm

• Espesor: 4mm +/-0,25

Fotodiodo

• Área: 44 mm2

• Respuesta: 0,65 A/W

• Capacitancia (0 –10V): (700 ; 130 pF)

• Corriente a oscuras: 1 nA

• Voltaje de corte: 30V

• Rise Time: 24 nseg

• Temperatura de operación: -40º a 100ºC

89

ANEXO 4.2

90

Anexo 4.2

Planos de las piezas componentes del dispositivo generador de gotas tipo cámara abierta

Porta electrodo / Base de estructura

O’Ring Electrodo

Base del porta electrodo

Capilar Porta Capilar Tapa de la estructura de la cámara

90

Anexo 4.2

Estructura de la cámara Tubo de drenaje

Planos de las piezas componentes del dispositivo generador de gotas tipo cámara cerrada

Capilar O’Ring

Cuerpo de la cámara

Capuchón

Porta Capilar

91

CAPITULO V

Descripción del Sistema de Medición

92


5.1 – INTRODUCCIÓN

El presente capítulo tiene como objeto la descripción general del sistema de medición, el

procesamiento de la señal obtenida y la calibración que hemos efectuado del mismo.

En una primera parte consideramos las hipótesis consideradas para la medición del volumen de la

gota. Luego se determinarán los límites del sistema de medición y seguidamente se realiza un análisis de

los efectos transitorios del mismo. Posteriormente, se describen las distintas correcciones que se le hacen

a la señal y los criterios para discriminar entre señal y ruido. La señal con que se cuenta es una señal

amplificada de corriente del fotodiodo (o tensión) a lo largo del tiempo.

Luego de este procesamiento, para el cálculo del volumen de la gota, se procederá entonces a la

reconstrucción de la misma, proceso que consiste en transformar la señal a un espacio R2. Con tal motivo,

se calcularán algunas constantes y se validarán las hipótesis efectuadas. Finalmente se presentará el

cálculo del volumen de las gotas y la forma en la que se ajustaron todas las variables en consideración.

Con el volumen de gota medido, en un mismo proceso de “goteo” y con el período de goteo

promedio se puede determinar el caudal que se encuentra circulando. Un primer contraste de nuestra

medición se efectúa en caudal determinando el tiempo que tarda en circular un volumen conocido de

agua.

Un segundo contraste de nuestra medición se realiza en forma fotográfica, contrastando la forma

reconstruida con fotos de gotas obtenidas con una cámara ultrarrápida.

93


5.2 – DESCRIPCIÓN GENERAL DEL SISTEMA DE MEDICIÓN

El sistema de medición de volumen de gotas que se describe en el presente trabajo se implementó

bajo la hipótesis de que la geometría de las mismas tiene simetría axial. Además, para el cálculo de su

volumen se considerará a las gotas como una sucesión continua de discos de altura infinitesimal cuyos

radios varían con la posición relativa al eje axial, según puede verse en la Fig. 5.1 .

Fig. 5.1: Forma de considerar a la gota para el cálculo de su volumen.

De esta manera, el volumen de la gota se podrá calcular integrando las sucesivas áreas A(x) de los

mismos a lo largo del eje axial de la gota:

∫ ⋅= dxxAV )(

Por lo tanto, el sistema tendrá que identificar el valor de cada uno de los diámetros de los

sucesivos discos (a los que denominaremos diámetros instantáneos) para calcular así su área (o área

instantánea). Luego se representará a tales áreas a lo largo del eje axial de la gota para poder finalmente

realizar la integral.

94


5.3 – LÍMITES EXPERIMENTALES.

En este apartado se discuten las limitaciones del estudio experimental asociadas con el tamaño de

las gotas a ser medidas y el caudal máximo permitido en nuestro dispositivo para realizar las mediciones.

Haciendo un análisis geométrico del dispositivo experimental utilizado, se distinguió en primer

lugar su limitación en lo que respecta al diámetro de las gotas a ser medidas. Basándonos en la teoría de la

óptica geométrica se puede determinar que la limitación geométrica del dispositivo experimental utilizado

nos acotaba el diámetro de las gotas a medir a 4 mm.

Fig. 5.2: Limitación del tamaño máximo de la gota a medir debido a la geometría del dispositivo experimental.

195

110

Fotodiodo Gota Punto de emisión del laser

Diámetro máximo = 4 mm

10

Ranura l = 5 mm

139

Vista en Planta (fuera de escala)

PlanoLaser

Asimismo, otra limitación está dada por el caudal máximo que puede fluir durante la medición.

Superados los 150 ml/h, el régimen de goteo que se visualiza estable y uniforme comienza a tener signos

de inestabilidad donde el desprendimiento de la gotas se realiza de forma tal que las mismas al

desprenderse se desplazan del eje axial del capilar. De esa manera, parte de las gotas no caen dentro del

campo detectado por el sistema óptico y se pierde información fundamental para la reconstrucción de la

gota. Además, para valores de caudal de aproximadamente 170 ml/h se comenzó a visualizar un chorro

continuo.

Considerando los efectos ópticos producidos entre el plano láser y la gota al atravesarlo, si la gota

tuviera dimensiones del orden de los micrones debiéramos cambiar la forma de interpretar a la señal y

95


basarnos en la teoría de Rayleigh [1]o utilizar la Teoría de Mie. Es por eso que en nuestro sistema de

medición no se podrán medir gotas de ese orden de magnitud.

Aún más, debido al proceso de filtrado del ruido que se acopla en la señal del sistema, que se

explicará más adelante, no será posible distinguir diámetros instantáneos de aproximadamente 0,015 mm.

Por lo tanto, esto nos trae la limitación de no poder medir gotas de diámetro menor a 0,3 mm porque se

estaría desechando una gran cantidad de datos que nos ofrecen información muy valiosa para la

reconstrucción de la gota.

5.4 – ESTABILIDAD DE LA SEÑAL TRANSMITIDA: TRANSITORIO DEL LÁSER.

Con la finalidad de obtener una señal que se mantenga estable en el tiempo y por lo tanto

mantener al sistema de medición en esa condición, se midió la estabilidad del sistema óptico en función

de la señal que se obtenía con la placa de adquisición. Se pudo observar que la señal tenía una leve

variación en función del tiempo originada por transitorios térmicos de los distintos componentes

electrónicos, como puede verse en la Fig. 5.3 .

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-4.500

-4.495

-4.490

-4.485

-4.480

-4.475

-4.470

-4.465

-4.460

-4.455

-4.450

-4.445

-4.440

-4.435

Frecuencia de muestreo: 100KHz

660 seg (11 min)

Señal estable

Val

or m

edio

de

la s

eñal

(Vol

ts)

Tiempo (seg.)

Fig. 5.3: Análisis Transitorio del sistema óptico.

De esta manera determinamos el tiempo necesario que debemos dejar transcurrir para que el

sistema se vuelva estable y garantizar así el resultados de nuestras mediciones. Ese tiempo es

aproximadamente de 11 minutos.

96


5.5 – TRATAMIENTO DE LA SEÑAL

En este apartado trataremos de explicar el tratamiento previo que debemos realizarle a la señal que

obtenemos de la placa de adquisición para dejarla en condiciones de poder reconstruir a la gota originaria

de tal señal.

5.5.1 - Análisis de la incidencia del haz en el fotodiodo.

Como puede verse en la Fig. 5.4, la pequeña abertura de la ranura limita a los rayos del plano láser

que luego de incidir en la gota alcanzan al fotodiodo. De acuerdo con la teoría de la óptica geométrica que

dice que la luz se propaga en forma de haces rectos [2], los únicos rayos que luego de incidir sobre la gota

alcanzarán al fotodiodo, serán los que tengan un ángulo de scattering de 0º, o sea los que salgan con

dirección paralela al plano láser.

Fig. 5.4: Vista lateral del sistema óptico.

Ahora bien, si analizamos cuales son los rayos que pueden salir luego de reflecciones y/o

refracciones internas de la gota con dicho ángulo (ver Fig. 5.5 y Fig. 5.6), vemos que ocurre para un

ángulo de incidencia de 0º, caso en el que el rayo incide en forma rasante, y para un ángulo de incidencia

de 90º, o sea cuando el área de la gota en la que incide el plano láser tenga una normal paralela al mismo

[1]. Por lo tanto, en el único momento en que podrían llegarle al fotodiodo haces del láser que hayan

97


pasado por la gota, es en el momento en que su mayor diámetro transversal es atravesado por el láser. De

todas maneras, al observar las señales obtenidas no se ven distorsiones en el máximo de la misma, lo que

nos dice que la fracción del haz de luz que podría atravesar la gota en su totalidad es absorbida por la

misma o posee una intensidad despreciable para los valores de la señal (esto puede observarse en

cualquiera de las señales que serán presentadas posteriormente).

Fig. 5.6: Ángulo de scattering en función del ángulo de incidencia para p<4.

Fig. 5.5: pasaje de un rayo de luz a través de una esfera de acuerdo con la óptica geométrica.

Asimismo, debido a que sobre la gota no es cubierta en su totalidad por el láser sino que sobre ella

incide únicamente una línea, y además distancia que existe entre la gota y el fotodiodo es pequeña, es que

no se observan fenómenos de difracción dentro del área de detección de luz.

Teniendo en cuenta el ancho de la ranura, podríamos pensar en la aparición de fenómenos de

difracción en la misma que afecten también a la medición. Pero analizando la difracción que se produce a

través de una ranura delgada según Fraunhofer, los efectos son totalmente despreciables para nuestra

experiencia [2] (ver cálculos en anexo 5.1).

98


En la Fig. 5.7 presentada a continuación podemos ver un esquema que describe como se ve la

incidencia del haz láser en el fotodiodo y la señal que a la salida del amplificador se genera a medida que

la gota atraviesa el haz láser.

0

Fig. 5.7: Esquema representativo de la variación de la señal a medida que la gota atraviesa el plano láser.

Tensión (V)

datos

• Variación de la señal en función del pasaje de la

gota

• Distintas etapas de la gota incidiendo en el plano láser

• Variación de la luz que incide sobre el

fotodiodo

Plano láser

gota

sombra

Haz láser que incideen el fotodiodo

Área de incidencia del Fotodiodo

En el fotodiodo se genera una corriente proporcional a la intensidad de la luz que incide sobre el

mismo y al área en que esta incide. Como el área de incidencia siempre permanece constante debido a la

invariabilidad de la geometría de la experiencia, el fotodiodo estará suministrando una salida en corriente

proporcional a la intensidad del haz que incida sobre el mismo. La única razón por la cual la intensidad

del láser que inicialmente incidía en el fotodiodo se ve disminuida, se debe a la gota que se interpone en

el camino libre del haz. Como el amplificador genera una salida en tensión proporcional a la entrada de

corriente, se estará generando en todo momento una variación de la tensión de salida del mismo

equivalente al segmento de sombra que genere la gota. Asimismo, como el espesor del haz láser que

incide en el fotodiodo es despreciable frente a su longitud (por la geometría de la ranura), una variación

de área puede considerarse una variación de su longitud. De esta manera, una variación en tensión de la

99


salida del amplificador, simbolizará una variación de lo que hemos adoptado llamar como “diámetro o

radio instantáneo” de la gota.

Continuando nuestro análisis, antes de que la gota incida por primera vez en el haz láser, el

fotodiodo se encuentra en su máxima excitación para las condiciones de la experiencia. De esta manera,

en el fotodiodo impacta una línea de luz de intensidad constante y puede leerse a la salida del

amplificador un potencial negativo prácticamente invariable en el tiempo. En el momento en el que la

gota comienza a atravesar el haz láser, parte de la línea de luz que incidía en el fotodiodo comienza a

desaparecer debido a que el plano láser se absorbe, refleja y refracta al incidir en la gota. Por consiguiente

se genera un segmento de sombra que nace en el centro y va aumentando de tamaño hacia los laterales a

medida que la gota continúa su movimiento descendente.

5.5.2 - Análisis de la señal sin procesar.

El software desarrollado para la adquisición nos devuelve un conjunto de valores de tensión

correspondiente a los dos canales de adquisición utilizados (según se determinaron los parámetros de

entrada del software) correspondientes a cada uno de los subsistemas láser/ranura/filtro/fotodiodo. La

señal así adquirida se ve como lo muestra la Fig. 5.8 .

Fig. 5.8: Señal típica sin procesar.

100


Puede verse en la señal que los niveles de tensión iniciales para sendos subsistemas son distintos.

Cabe señalar que como estos tienen funciones diferentes, el primer láser la de obtener la señal que luego

será procesada y analizada, y el segundo la de obtener la información del momento en que incide y se

aparta la gota únicamente, no era necesario ajustarlos al mismo nivel de tensión. De todas maneras las

diferencias entre estos valores responden a distintos motivos, como ser diferencia de potencia emitida por

los láser ó diferencias dimensionales de los componentes de los subsistemas (ranuras, distancias relativas

entre componentes, etc.).

5.5.3 - Primera corrección a la señal.

Debido a que lo que se desea obtener finalmente es una medida del radio instantáneo de la gota, y

ya que el valor de tensión inicial es un valor independiente de la gota en cuestión, deberemos normalizar

la salida de tensión de forma tal que cuando al fotodiodo le llegue el haz de luz en su totalidad, la señal

sea nula y que muestre un máximo cuando al fotodiodo le llegue el segmento de sombra de mayor

magnitud. De esta manera, estaremos pasando de tener una señal proporcional a la luz que incide en el

fotodiodo a una señal proporcional a la sombra que genera la gota al atravesar el plano láser.

Para llevar a cabo lo antedicho, se toman como referencia los primeros valores adquiridos de cada

señal, y se lo restan a cada dato que compone nuestra señal. En el caso ejemplificado que se ve en la Fig.

5.4 estos valores son:

A1 = -5,26 V (láser 1)

A2 = -4,44 V (láser 2)

Para verificar el hecho de haber escogido el primer valor de la señal como parámetro para

desplazar a la misma, se realizó para todos los casos un chequeo que constó en calcular el error porcentual

cometido debido a la variación de los valores antes de que la gota incida en el plano láser. En todos los

casos, la relación entre la desviación estándar de tales valores y el módulo del primer dato (valor

adoptado) variaba entre el 0,1 y el 0,2 %.

Realizando este corrimiento, la señal queda desplazada como lo muestra la Fig. 5.9 .

101


Fig.5.9: Corrimiento de la señal.

5.5.4 - Variación del radio instantáneo de la gota.

De la manera en que quedó la señal, podemos interpretarla como una variación del diámetro

instantáneo de la gota a medida que se desplaza a través del plano láser. Como el valor que se requerirá

para su procesamiento es el radio instantáneo, se procede a dividir a cada uno de los datos por dos para

obtener la variación del radio instantáneo.

Fig. 5.10: Interpretación de la señal en función del radio instantáneo.

102


5.5.5 - Selección de los datos que pertenecen a la gota.

El paso siguiente es tomar únicamente los datos que corresponden a la gota para poder realizar su

correspondiente análisis. Para reconocer que datos corresponden a la gota y cuales no se realizó un

análisis que pasaremos a detallar.

Detalle A 0 50

Detalle B

150

Fig. 5.11: Visualización del ruido de la señal.

La necesidad de generar un método que automatice todo el procesamiento en nuestro sistema de

medición, hizo que introduzcamos este paso dentro del algoritmo que finalmente calcula el volumen de la

gota.

Para reconocer de todos los datos cuales pertenecen a la gota, lo que se hizo fue asignarle un valor

de 0Volt a aquellos datos que identifiquemos que no pertenecen a la misma. Con esta disposición serán

fácilmente identificables los datos que pertenecen a la gota para cualquier algoritmo. Para esta parte del

proceso tuvimos en cuenta lo siguiente:

- Como se puede ver en la Fig. 5.11, en la señal se acopla otra señal de ruido que si bien no nos

trae problemas en el cálculo del volumen de la gota, nos trae algunos inconvenientes en el momento de

decidir a partir de que dato y hasta cual de ellos se considera que pertenecen a la gota. Debido a esto es

103


que en primer lugar se aplica un filtro de forma tal que si el valor de tensión es menor que 0,025V se lo

considera ruido y se le asigna un valor de 0 V.

- Pero como puede verse, existen valores esporádicos que sobrepasan dicha banda de filtrado.

Tales valores serían considerados erróneamente como parte de la gota, por lo que es necesario

reconocerlos y anularlos como parte del ruido de la señal. Por lo tanto se procedió de la siguiente manera:

si existe un dato o grupo de hasta 6 datos que se encuentran entre dos valores de 0Volt, se lo/s

considerará/n un pico de ruido fuera del límite que encierra la banda de filtrado, y por lo tanto se le asigna

el valor de 0Volt.

5.5.6 – Resolución temporal.

Como los datos se obtienen a una frecuencia determinada inicialmente, y la frecuencia que se fija en

el software corresponde a la de adquisición para ambas señales, se puede calcular el intervalo de tiempo

entre dos datos consecutivos de la siguiente manera:

FNCt

⋅=∆

1000

Donde:

NC: número de canales utilizados.

F: frecuencia de muestreo en kHz

En las mediciones que hemos realizado, en todos los casos adoptamos el mayor valor de

frecuencia de adquisición que nos permitía la placa y siempre adquirimos en dos canales para tener las

señales correspondientes a sendos subsistemas láser-fotodiodo.

De esta manera, el intervalo de tiempo entre dos datos era:

seg. 1021001000

2 5−⋅=⋅

=∆t

104


5.5.7 - Escala de tiempos y constante de tiempo del circuito de adquisición.

En nuestro análisis hemos adoptado al primer dato correspondiente a la señal del primer láser

como dato adquirido en t = 0 seg. y los siguientes se relativizaron a éste.

Fig. 5.12: señal de la gota en función del tiempo real.

Tiempo [10-5 seg]

El análisis de la señal permite observar que tanto al inicio de la misma como al final, existe un

cambio de concavidad que suponemos inicialmente que no se debe a la geometría de la gota, sino a la

constante de tiempo del circuito de adquisición.

La constante de tiempo pudo ser determinada mediante el método geométrico de cálculo de

respuesta temporal de un sistema lineal frente una entrada de rampa unitaria por tener características

similares a esta [3].

Fig. 5.13: Cálculo de la constante de tiempo del sistema de adquisición.

Tensión

Datos

105


De esta manera, gráficamente determinamos la constante de tiempo del sistema de adquisición:

τ = 0.52 mseg

Ahora teniendo el valor de la constante de tiempo y conociendo el intervalo de tiempos entre los

cuales fueron tomados los distintos datos, se pueden corregir los datos que caen dentro del intervalo de la

constante de tiempo ya que la información que darían respecto a la forma de la gota sería errónea.

Al momento de corregir estos datos, y procurando un método que sea independiente del tamaño y

forma de la gota, probamos inicialmente descartando los datos que caían dentro de la constante de tiempo

y los resultados fueron positivos. El error cometido al no considerar estos datos en el cálculo del volumen

de la gota era despreciable y entonces adoptamos truncar la señal .

Cantidad de datos a no considerar en el cálculo:

CP = Int(τ / Ut) + 1

Donde:

Int: es la función que devuelve un valor entero.

Ut: es el intervalo de tiempo entre dato y dato.

De esta manera, la señal nos queda:

Tiempo [10-5 seg]

Fig. 5.14: Corrección de la señal debido a la constante de tiempo del circuito de adquisición.

106


En el Anexo 5.2 del presente capítulo puede verse el error cometido al despreciar estos valores si

considerásemos a la gota como una esfera.

De esta manera queda lista la señal para poder utilizarla en la reconstrucción de la gota y para el

posterior cálculo de su volumen.

5.6 – CÁLCULO DEL VOLUMEN DE LA GOTA.

En el presente apartado explicaremos como se procedió para el cálculo del volumen de la gota que

atravesó el plano láser una vez que la señal adquirida fue tratada según se explicó en el punto 5.5 del

presente capítulo. Con tal motivo, se describirá inicialmente la manera de reconstruir a la gota y luego la

forma en que se calcula su volumen.

5.6.1 - Reconstrucción de la gota.

Como fue previsto en la introducción del presente capítulo, reconstruiremos el perfil de la gota

que ha atravesado nuestro plano láser. Para tal motivo, es necesario trabajar en los dos ejes del plano

donde se monta la señal que tenemos a nuestra disposición, tensión-tiempo, para pasar al plano con ejes

espacio-espacio donde podremos apreciar la forma de la gota en cuestión.

En primer lugar deberemos obtener una lectura del radio instantáneo de la gota en milímetros en

lugar de Volts, y en segundo lugar, tendremos que reconstruir el eje axial de la gota.

5.6.1.1 - Reconstrucción del radio instantáneo de la gota.

En el capítulo 3 hemos calculado cual era la relación que existe entre el valor de tensión a la salida

del amplificador y su correspondiente valor de longitud iluminada en el fotodiodo, a la que llamamos

constante “C”. Debido al corrimiento que hemos explicado como primer corrección de la señal en el

punto 5.5.3 del presente capítulo, tal constante puede ser utilizada en forma directa para obtener la

longitud de sombra proyectada sobre el fotodiodo.

107


Fig. 5.15: Representación de los segmentos de luz y sombra que inciden sobre el fotodiodo.

b) Segmentos de luz y de sombra que

inciden sobre el fotodiodo

a) Segmento de luz que

incide sobre el fotodiodo

Tensión a la salida del amplificador: U1

Tensión a la salida del amplificador: U0

LUC 0=Según se estableció en el capítulo 3:

De esta manera para la situación “b” de la Fig. 5.16:

CUdL 1=−

)(110

1 UUCC

ULd −⋅=−=

CUd ∆

=Donde el ∆U representa el corrimiento que se le hizo a la señal inicialmente.

De esta manera estamos obteniendo el valor de la longitud del segmento de sombra proyectado

sobre el fotodiodo. Como se explicó en el punto 5.5.4 de este capítulo, al dividir previamente el valor de

tensión de la señal por dos, estaríamos obteniendo la longitud de medio segmento de sombra. Pero como

Fig. 5.16: Segmento de sombra proyectado sobre el fotodiodo.

108


queremos obtener el valor del radio instantáneo de la gota, debemos multiplicar por otro factor

geométrico determinado por la siguiente relación:

21

LLer ⋅=

21)()(

LLtetr ⋅= e : ver Fig.5.16 ó

De esta manera podemos simplificar los cálculos en la siguiente ecuación:

*2

121)(

00 CUUL

LL

UU

LL

CUtr

⋅∆

=⋅⋅∆

=⋅∆

=

Factor geométrico denominado preconstante. LL

LC⋅

=1

2*

mm1

Donde se ve que teniendo la señal procesada como se la ha descrito hasta el momento, el valor de

radio instantáneo depende del valor de tensión inicial U0 y de un factor geométrico C* que hemos

llamado preconstante.

Es debido destacar que el valor de la preconstante fue calculado según las dimensiones

geométricas del dispositivo experimental y fue ajustado mediante la medición del volumen de esferitas de

acero de diámetro conocido, según se describe en el punto 5.7 del presente capítulo.

De esta manera, como pudo verse en el análisis realizado, multiplicando este valor de preconstante

con el valor de tensión inicial para cada caso, se puede obtener la relación entre Volts y milímetros del

radio instantáneo. De esta manera, podemos realizar una lectura del valor de radio instantáneo en mm en

función del tiempo en el que fueron adquiridos los datos, restándonos únicamente la reconstrucción del

eje axial de la gota.

109


5.6.1.2 - Reconstrucción del eje axial de la gota.

Para la reconstrucción del eje axial de la gota adoptamos las siguientes dos hipótesis:

a) La gota se comporta como un sólido indeformable en su paso entre los dos planos láser

(tiempo del orden de los 10 mseg).

b) En el momento de la adquisición la cinemática de la gota se reduce a un movimiento

lineal de aceleración constante o uniformemente acelerado.

A continuación discutiremos la validez de estas dos hipótesis:

1) Para poder corroborar la hipótesis “a”, pasamos a calcular cual es la frecuencia de vibración

natural de la gota [4] para compararla con los tiempos característicos de pasaje por los planos láser.

F

8 γ⋅

3 π⋅ m⋅:=

F: frecuencia de vibración natural de las gotas

γ: tensión superficial

m: masa

Para gotas de 1,5 mm de radio y a una temperatura de 20ºC, la frecuencia toma uo valor de:

F = 66,11 Hz

Y considerando:

NC = F . tL

Donde tL es el tiempo total medio del paso de la gota por el plano láser y NC el número de ciclos

que se completan a lo largo del tiempo tL.

Si,

tL = 9 mseg

NC = 0.595

110


Por lo que se puede ver que en el lapso en que la gota traspasa en su totalidad el plano láser, se

desarrolla medio período de la vibración natural de la misma.

1º Plano láser

Fig. 5.17: Visualización del perfil de la gota en sucesivas posiciones al caer desde el capilar hasta atravesar el plano láser.

Sin embargo, en la Fig. 5.17 puede verse que en el momento en que la gota atraviesa el primer

plano láser (últimas cuatro fotos), la variación del diámetro medido en la dirección del desplazamiento de

la gota es del 1%. De esta manera, debido a que el segundo plano láser se encuentra muy próximo al

primero en comparación con la distancia entre el capilar y el primer plano láser, podemos concluir en la

aceptación de la hipótesis “a”.

2) Como la gota se encuentra desplazándose inmersa en un fluido, además de la fuerza gravitatoria

la gota está sometida a otras fuerzas. La ecuación diferencial general para una partícula esférica que se

encuentra desplazando en línea recta a través de un medio resistente a bajos Re [5], viene dada por:

∫ −−−−=

x

gg xtdx

dxdVrrV

dtdVrtF

dtdVm

0

23 6632)( πηγπηπγ

Donde:

V: velocidad

γg: densidad del medio (gas)

η: viscosidad del medio

r: radio de la esfera

m: masa de la esfera

111


El primer término del miembro de la derecha, son las fuerzas externas que actúan sobre la

partícula que en general varían en función del tiempo. El segundo término es la resistencia de un fluido

ideal al movimiento acelerado de una esfera. Es equivalente a un incremento de masa de la esfera de la

mitad de la masa del medio desplazado; debido a la baja densidad del medio comparada con la de la

partícula, este término puede ser despreciado. El tercer término es la resistencia del medio para una

velocidad constante e igual al valor instantáneo de la velocidad de la partícula. El término integral de la

ecuación también ha sido despreciado en muchas publicaciones de aerosoles sin dar a conocer ningún

argumento para justificar la simplificación [5].

De esta manera, cmo en la ecuación que gobierna el comportamient de la gota al caer no

aparecen términos donde la aceleración dependa del tiempo o de la distancia, podemos dar como válida la

hipótesis “b”.

Aceptando estas dos hipótesis pasaremos a definir los tiempos característicos del pasaje de la gota.

Para su correcta comprensión presentaremos un esquema con las escalas de tiempos correspondientes

para cada señal:

Fig. 4.18: Distribución de los datos adquiridos.

Referencias: d- Datos correspondientes a la gotas adquiridos con el sistema láser-fotodiodo 1 e- Datos correspondientes a la gotas adquiridos con el sistema láser-fotodiodo 2 f- Datos adquiridos por el sistema láser-fotodiodo 2 mientras la gota atravesaba alláser 1 sin alcanzar al láser 2 g- Datos adquiridos por el sistema láser-fotodiodo 1 mientras la gota atravesaba alláser 2 sin interferir en el haz del láser 1

112


Por lo tanto, sea:

T11 = tiempo en que la gota comienza a interferir con el láser 1.

T11 = 0 (se le asigna ese valor para tomarlo como referencia)

T12 = tiempo en que la gota incide por primera vez en el láser 2

T12 = f . Ut

T21 = tiempo en que la gota abandona el láser 1

T21 = (d . Ut) - τ

T22 = tiempo en que la gota abandona el láser 2

T22 = [(f + e) . Ut] - τ

Una vez determinada la distancia entre ambos planos láser (ver 5.7 ajuste del sistema de

medición), estamos en condiciones de determinar las velocidades y aceleración características para así

calcular cual fue la distancia barrida por la gota en el tiempo que transcurre entre dos datos consecutivos.

De esta manera se determinaron las velocidades medias características, a saber:

11121 TT

hV−

=

21222 TT

hV−

=

h: diferencia de alturas entre los dos láser

V1: velocidad media a la que la primer partícula se desplazo en el camino comprendido entre los

dos planos láser.

V2: velocidad media a la que la última partícula traspaso el camino comprendido entre los dos

planos láser.

113


Se calculan los tiempos T01 y T02 en los que las respectivas velocidades medias cortan la recta de

V(t):

21112

01TT

T+

=

2

222102

TTT

+=

Fig. 5.19: Representación de los parámetros cinemáticos característicos.

De esta manera, considerando la explicación previa en la validación de la hipótesis “b”, no

podemos conocer a priori la aceleración con la que se desplazará la gota. Teniendo en cuenta las hipótesis

previamente realizadas, el próximo paso será determinar la aceleración con que la gota atraviesa ambos

planos láser:

0102

12

TTVV

dtdva

−−

==

Se calcula además la variación de velocidad de la primer velocidad media y de la segunda, ∆V1 y

∆V2:

∆V1 = a . (T01 - T11)

∆V2 = a . (T02 - T21)

V01 = V1 - ∆V1

V02 = V1 + ∆V1

114


Conociendo de esta manera la velocidad que la gota tenía al incidir en el primer láser y la

aceleración con la que la gota lo atravesó, estamos en condiciones de otorgarle a cada uno de los datos

adquiridos una posición determinada respecto al eje axial de la gota y de esa manera reconstruir así el

perfil de la misma.

La posición relativa de cada uno de los datos adquiridos respecto al eje axial será determinada en

función de las variables que se determinaron con anterioridad. A continuación se presenta la forma en que

se distribuirán los datos:

Fig. 5.20: Forma de distribuir a los datos adquiridos.

X1(t) = V0.t + a.t2 / 2 X2(t) = 2.V0.t + 2.a.t2

X3(t) = 3.V0.t + 9.a.t2 / 2

5.6.2 – Cálculo del volumen de la gota.

Una vez reconstruido el perfil de la gota, el paso siguiente para la determinación de su volumen es

el cálculo del área de esos discos. Tales elementos pueden ser considerados de sección circular debido a

la hipótesis de simetría axial previamente presentada.

De esta manera, para cada valor de radio instantáneo se calcula el área del disco correspondiente:

A(x) = π . r(x) 2

115


Una vez calculada el área de cada uno de los discos A(x) que conforman la gota, se pasa a realizar

la integración de las áreas a lo largo del eje axial de la gota:

∫ ⋅= dxxAV )(

Determinando de esta forma el volumen de la gota.

5.7 – AJUSTE DEL SISTEMA DE MEDICIÓN.

Una vez montado el dispositivo experimental, fue necesario ajustar las constantes utilizadas en el

proceso de reconstrucción de la gota que fueron determinadas en forma geométrica para minimizar los

errores producidos en su cálculo. Las variables en cuestión eran la preconstante C*, la diferencia de

alturas entre los planos láser h y la constante de tiempo del circuito de adquisición τ. Con tal motivo, se

realizaron mediciones con tres esferitas de acero de forma y dimensiones conocidas como patrón de

medición.

Las esferitas de acero utilizadas fueron medidas utilizando un durómetro “IBERTEST” que nos

permitió ver el perfil de las esferitas con una amplificación de 100 veces. En el mismo se hicieron

mediciones rotando a las mismas a 8 posiciones distintas cada una para identificar posibles

deformaciones, determinando de esa manera los siguientes valores:

Variación del

diámetroEsferita 1 2.015 mm 0.49%Esferita 2 2.007 mm 0.53%Esferita 3 2.019 mm 0.11%

Diámetro

Para realizar tales mediciones, se dejaron caer las 3 esferitas desde 3 alturas distintas y se

recogieron las señales obtenidas de las mismas. Las alturas fueron desde las cuales las esferitas se dejaban

caer fueron 17, 20 y 24 mm respecto al primer plano láser.

Una vez procesadas las señales, comparando la longitud del eje axial de la esfera reconstruida

ajustamos el valor de h; el valor de C* fue ajustado comparando el valor del máximo de la señal

116


reconstruida con el valor del radio de la esferita, y finalmente comparando la señal de la esfera

reconstruida con la forma real de una esfera de iguales dimensiones ajustamos el valor de τ previamente

determinado.

Realizados los ajustes correspondientes, el error producido en el cálculo de volumen de las

esferitas con nuestro sistema de medición en todos los casos fue menor al 3,5 %.

5.8 – CONTRASTE DEL SISTEMA DE MEDICIÓN.

En el presente apartado se destaca una comparación del sistema de medición desarrollado en el

presente trabajo con otro sistema de medición convencional, y una comparación de la reconstrucción de la

gota con una foto tomada con la cámara ultrarrápida presentada en el Capítulo 3.

De esta manera se busca garantizar la validez del sistema de medición que se presenta, así como la

validez de los hipótesis que fueron realizadas en el desarrollo del mismo.

5.8.1 – Sistema desarrollado Vs. Cronómetro y pipeta.

El software utilizado como interfaz entre la placa de adquisición y el usuario tenía la posibilidad

de devolvernos además un valor medio del período de goteo calculado con 10 gotas consecutivas. El

sistema de adquisición de datos utiliza funciones que devuelven el valor del período de goteo con una

discrepancia máxima de 50mseg. Por lo tanto, teniendo el valor medio del período de goteo y el valor de

los tamaños de las gotas que se desprendían, pudimos calcular el caudal que se encontraba fluyendo

durante la medición. Este valor de caudal era fácilmente contrastable contra el sistema convencional de

medición de caudal por pipeta y cronómetro.

Para este contraste, se utilizó una pipeta de 5 ml con divisiones de 0,1 ml y un cronómetro cuya

menor división era la centésima del segundo. Dado que el error que puede producirse en la medición del

tiempo es despreciable frente al producido en la del volumen, estaremos contrastando nuestra medición

contra un sistema cuyo error es de aproximadamente 2%.

117


Se trabajó con 5 alturas de columna de agua distintas y se actuó sobre el caudal para tener un

contraste que abarque una amplia gama de caudales. De esta manera, se obtuvo:

Alturas de columna de agua sobre el orificio

del capilar:

H1 = 15 cm H2 = 13 cm H3 = 10 cm H4 = 7,5 cm H5 = 5 cm

Fig. 5.21: Contraste del sistema de medición desarrollado contra el sistema convencional de medición de caudal.

Fig. 5.22: Diferencia porcentual entre los sistemas de medición contrastados en la figura 5.21

-10.00%

-8.00%-6.00%

-4.00%

-2.00%0.00%

2.00%

4.00%

6.00%8.00%

10.00%

0 5 10 15 20 25 30

Mediciones

%

118


5.8.2 – Contraste de la reconstrucción de la gota.

A continuación presentamos una comparación de la reconstrucción de la gota que se realiza para

calcular su volumen y una foto de la misma tomada con una cámara ultrarrápida en el momento en que el

plano medio de la gota se encuentra atravesando el láser.

capilar

A)

Esc.: 1mm

Incidencia del plano láser

B)

Gota

C)

Fig. 5.23: A) Foto tomada en el momento en que el plano central de la gota incidía en el plano láser; B) Reconstrucción de la gota con el sistema presentado; C) A y B superpuestas

119


Una vez obtenida la foto de la gota, se puede calcular su volumen interpretándola como formada

de infinitos discos de espesor infinitesimal de manera similar a como pensamos a la gota en nuestro

sistema de medición. Se pueden discretizar un conjunto de puntos y medir el valor del radio instantáneo

en cada caso.

De esta manera pudimos determinar el valor del volumen de acuerdo a la imagen que adquirimos

con la cámara ultrarrápida y compararlo con el volumen de la gota según nuestro sistema de medición.

Las diferencias encontradas fueron de aproximadamente el 3 % en defecto.

120



En este capítulo se analizó el sistema de medición de volumen de gotas y su variante como

caudalímetro de pequeños flujos, cuyo desarrollo es uno de los objetivos del presente trabajo.

Identificando las limitaciones del dispositivo experimental utilizado, hemos determinado que en

nuestro estudio sobre el fenómeno de “dripping”o “goteo” no podemos superar el caudal de 150ml/h.

Debido a que cada uno de los pasos necesarios para procesar la señal obtenida de cada gota son de

carácter general y usan como variables a los datos que provienen de la señal, los mismos pueden ser

integrados en un algoritmo que automatiza el procesamiento de las señales de forma tal que lee la señal

I(t)y devuelve el volumen de la gota.

Considerando grupos de 10 gotas se converge a un valor medio que difiere como máximo en un

2,5%, por lo que tomamos como válido adoptar el valor de 10 gotas como número de muestras que

representen a una condición determinada en el análisis del fenómeno de “dripping”. como

Finalmente, hemos realizado dos contrastes a nuestro sistema de medición:

1) Contrastamos nuestro sistema de medición contra otro de medición de caudal cuyo error

de medición es del 2%, y encontramos que la mayor diferencia entre estos es del 4%.

2) Obtuvimos una foto con una cámara ultrarrápida de la gota en el momento de su caída

sobre el plano láser. A partir de la foto, reconstruimos a la gota y calculamos su

volumen. En este caso, el volumen que obtuvimos con nuestro sistema de medición

difería con el de la foto en aproximadamente un 3%.

121


REFERENCIAS.

1. H.C. VAN DE HULST, Leiden Observatory, Light Scattering by Small Particles, Dover Publications Inc., New York, (1981)

2. FEYNMAN, FISICA, VOL I, Mecánica, radiación y calor, Ed. Addison-Wesley

Iberoamericana (1987)

3. OGATA K, Ingeniería de Control Moderna, 3º Edición, Prentice-Hall, (1998)

4. RONAY M., “Determination of the dynamic surface tension of liquids from the instability of excited capillary jets and from the oscillation frequency of drop issued from such jets”, I.B.M. T.J. WatsonResearch Center, New York, USA, (1977)

5. FUCKS N.A., The Mechanics of aerosols (1964)

6. GORAZD PLANINSIC, “Water-Drop Proyector”, The Physics Teacher, 39, Feb (2001)

122

ANEXO 5.1

123

Anexo 5.1

DIFRACCIÓN DE FRAUNHOFER EN LA RANURA.

Examinando para el primer mínimo,

Resolviendo para y,

Usualmente se usa la siguiente aproximación:

Para cualquier mínimo, la condición de mínimo se obtiene, y ~= . D . m / a

Para nuestro caso, las condiciones en que se da la difracción en la ranura, los dos primeros

mínimos se obtienen en:

a = 246 µm l = 634,7 nm

m = 1 D = 5,5 cm

y = 0,01419 cm θ = 0.148º

a = 246 µm l = 634,7 nm

m = 2 D = 5,5 cm

y = 0,02838 cm θ = 0.296º

124

ANEXO 5.2

125

Anexo 5.2

CÁLCULO DEL ERROR COMETIDO AL DESPRECIAR LOS DATOS CORRESPONDIENTES A

LA CONSTANTE DE TIEMPO DEL CIRCUITO DE ADQUISICIÓN.

ACLARACIÓN: se trabajará en forma adimensional debido a que se busca la relación porcentual del

volumen que se pierde al no considerar parte de los datos adquiridos.

Las hipótesis a considerar serán las siguientes:

a) Elemento a considerar: esfera de diámetro 10-2 (correspondiente al tiempo equivalente al pasaje de

una gota promedio a través del plano láser en segundos)

b) Parte a despreciar: casquete esférico correspondiente a una flecha de longitud equivalente a la

constante de tiempo del circuito de adquisición σ = 7 . 10-4.

126

Anexo 5.2

Para el análisis, calcularemos el volumen del casquete que se desprecia, el volumen de la esfera

total y de esa manera calcularemos el porcentaje del volumen que nos encontramos despreciando.

Para tales cálculos, realizaremos integrales de volumen en coordenadas esféricas.

En el caso del volumen del casquete los límites de integración serán:

Θ: 0 → 2π

Φ: 0 → cos-1(4,3/5) ~ π/6

r: 4,3/cos(Φ) → 5

Entonces:

Vcasquete0

2 π⋅

Θ

0

π

6Φ

4.3

cos Φ( )

5

rr2 sin Φ( )⋅⌠⌡

d⌠⌡

d

⌠⌡

d:=

V casquete = 7.321

En el caso de la esfera los límites de integración serán:

Θ: 0 → 2π

Φ: 0 → π

r: 0 → 5

Y el volumen de la esfera:

Vesfera0

2 π⋅

Θ0

π

Φ0

5

rr2 sin Φ( )⋅⌠⌡

d⌠⌡

d⌠⌡

d:=

127

Anexo 5.2

V esfera = 523.6

Por lo tanto el error:

ErrorVesfera 2Vcasquete−( ) Vesfera−

Vesfera:=

Error = -2.79%

128

CAPITULO VI

Análisis de Resultados Experimentales

129



El presente capítulo tiene como objeto la presentación de los resultados experimentales obtenidos

mediante el montaje experimental anteriormente descrito. Se realizará entonces un estudio experimental

del fenómeno de goteo en el dispositivo desarrollado para el presente trabajo.

Serán presentados los resultados que se obtuvieron de la sucesivas mediciones para dos casos

particulares: aquel en que el desprendimiento de la gota se hace en un ambiente a presión atmosférica

(caso de cámara abierta) y el que el desprendimiento de la gota se hace dentro de una cámara cuya presión

depende de las condiciones del sistema hidráulico (cámara cerrada). Asimismo, para ambos casos se

analiza la inferencia sobre el volumen de la gota de parámetros tales como altura de carga, período de

goteo, caudal ó el lugar dentro del sistema donde se hace la regulación de la presión para ver como

interactúan con el volumen de las gotas.

Luego se presentan resultados acerca de la relación área/volumen de las gotas que se generan en

cada situación.

Finalmente, se hace un análisis particular de la potencia que necesita el sistema para poder generar

las gotas y la relación que mantiene con el caudal que circula por el mismo.

130


6.2 – RESULTADOS EXPERIMENTALES.

En el presente apartado presentamos los resultados de las mediciones realizadas con el sistema de

medición desarrollado. En primer lugar se hará una diferenciación entre las mediciones realizadas con

cámara abierta a la atmósfera, donde la contrapresión a vencer por la gota en formación es la atmosférica,

y aquellas que fueron realizadas con cámara cerrada, donde la contrapresión dependerá de las condiciones

del resto del sistema.

En sendos casos, se analizará el cambio del volumen de las gotas con el período de goteo, con el

caudal circulante y la relación que existe entre el caudal que circula por el sistema y el período de goteo.

Además, se presentará cual es el rango de reproducibilidad de sucesivas mediciones para ambos casos.

Es preciso destacar que para obtener finalmente el resultado del volumen de las gotas medidas, se

procedió a la medición de 10 gotas de las cuales se tomó su valor medio como volumen de gota para tales

condiciones. En todos los casos, sea bureta abierta o bureta cerrada, la dispersión de los valores de

volumen obtenidos no superaba los 2 ó 2,5 %.

6.2.1 – Sistema con cámara abierta.

Como se anticipó previamente, se presentarán los resultados obtenidos de las mediciones

realizadas a cámara abierta. Estos casos tendrán todos en común la contrapresión que se opone a la

formación de la gota que será siempre la atmosférica.

Los resultados son presentados en un conjunto de gráficos en los que se contrastará la variación

del volumen de la gota de agua en función de distintos parámetros, a saber: altura de columna de agua por

sobre el orificio del capilar, frecuencia o período de goteo y caudal circulante. Asimismo, se presentará un

gráfico en el que se podrá analizar el grado de variabilidad en la medición de sucesivas gotas en iguales

condiciones.

131


Fig. 6.1: Variación del caudal en función del período de goteo para el caso de cámara abierta a la atmósfera.

0 1 2 3 4 50

20

40

60

80

100

120

140

160

Curva de aproximación

Q(T) = -2,41 + 195,14.e- (T / 0,364) + 49,76.e- (T / 3,192)

[ ]

Cau

dal (

ml/h

)

Período de goteo T (seg.)

Altura de columna de agua por sobre el orificio del

capilar:

H = 25 cm

En la figura 6.1 puede verse la relación que existe entre período de goteo y el caudal que circula

por el sistema. En la misma se destaca la gran sensibilidad que tiene el caudal frente a un cambio en el

período de goteo para frecuencias de goteo elevadas, o períodos de hasta T = 1 seg. A partir de ese valor,

se va perdiendo la sensibilidad de forma tal que frente a un cambio en el período de goteo, no se percibe

una gran variación en el caudal.

Mediante la ecuación que se presenta en la misma figura, podemos estimar la respuesta en caudal

que tendrá el sistema midiendo únicamente el período de goteo T.

132


Fig. 6.2: Variación del volumen de las gotas en función del caudal que se encuentra circulando por el sistema para cámara abierta a la atmósfera.

0 20 40 60 80 100 120 140 1600123456789

101112131415

Volu

men

de

gota

(10-3

. m

l)

Caudal (ml/h)


capilar:

H = 25 cm

Fig. 6.3: Variación del volumen de las gotas en función del período de goteo para el caso de cámara abierta a la atmósfera.

0 20 40 60 80 100 120 140 1600123456789

101112131415

Volu

men

de

gota

(10-3

. m

l)

Caudal (ml/h)


capilar:

H = 25 cm

Las figuras 6.2 y 6.3 muestran la variación del volumen de las gotas en función del caudal que se

encuentra circulando y en función del período de goteo. Puede verse que el volumen de las gotas tiende a

disminuir a medida que aumenta el caudal que circula por el sistema y tiende a aumentar a medida que lo

hace el período de goteo, o lo que es lo mismo, a medida que se reduce la frecuencia de goteo.

En las figuras pueden verse 3 valores que se alejan de la tendencia pero este fenómeno se atribuye

a errores experimentales.

133


6.2.2 – Sistema con cámara cerrada.

En este apartado se presentarán los resultados obtenidos de las mediciones realizadas a cámara

cerrada. A diferencia del caso anterior, donde la contrapresión que sufrían las gotas en su formación era

constante e igual a la atmosférica en todos los casos, aquí dependerá de las condiciones del sistema: altura

de carga, regulación aguas abajo o aguas arriba de la cámara ó del capilar, etc.

A continuación son presentados un conjunto de gráficos en los que se estudia la variación del

volumen de la gota de agua en función de distintos parámetros, a saber: altura de columna de agua por

sobre el capilar; regulación aguas arriba o aguas abajo del capilar; frecuencia o período de goteo; caudal

total circulando.

En la Fig. 6.4 puede verse para tres alturas de columna de agua por sobre el capilar, como varía el

volumen de la gota que se forma en función del período de goteo, según la posición relativa de la válvula

de regulación respecto a la cámara ó al capilar. En los tres casos presentados, puede verse que para

frecuencias de goteo bajas (períodos de goteo elevados), si la regulación se hace aguas arriba el volumen

de la gota que se encuentra cayendo es mayor en todos los casos. Esta misma tendencia se cumple para

frecuencias mas elevadas (ó períodos mas bajos) en los casos en que la altura de columna de agua por

sobre el orificio del capilar es H > 5 cm.

134


Fig. 6.4: Comparación del volumen de las gotas para distintos períodos de goteo según sea la regulación aguas abajo o aguas arriba respecto al capilar.

0.1 16

7

8

9

10

11

12

13

14

Altura de columna de agua por sobre el orificio del capilar

H = 13 cm

Volu

men

de

gota

(10-3

. m

l)

Período de goteo (seg.)

Regulación Aguas Arriba Regulación Aguas Abajo

0.1 16

7

8

9

10

11

12

13

14


H = 17 cm

Volu

men

de

gota

(10-3

. m

l)



0.1 16

7

8

9

10

11

12

13

14


H = 5 cm

Volu

men

de

gota

(10-3

. m

l)



En la figura 6.5 puede verse la variación del volumen de las gotas con el período de goteo. De la

misma se desprenden distintas conclusiones. En primer lugar es notorio que para períodos de goteo bajos

(o lo que es lo mismo frecuencias elevadas) de hasta 0,5 seg. el tamaño de las gotas son muy sensibles a

una variación del mismo. Esta sensibilidad se atenúa fuertemente para frecuencias de goteo bajas,

períodos de goteo del orden de los 1,75 seg., tendiendo a mantenerse estable alrededor de un valor

constante que depende de la altura de columna de agua por sobre el orificio del capilar. Estos valores en

135


los que se estabiliza el volumen de las gotas para distintos períodos de goteo dependen de la altura de

columna de agua por sobre el capilar, siendo mayores cuanto mayor sea dicha altura.

Fig. 6.5: Variación del volumen de las gotas con el período de goteo para distintas alturas de columna de agua por sobre el capilar y cuya regulación se hace aguas arriba del capilar.

14

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14Regulación Aguas Abajo del capilar

Alturas de columna de agua por sobre el orificio del capilar

Volu

men

de

gota

(10-3

. m

l)


H = 25cm H = 17cm H = 13cm H = 5cm

En la figura 6.6 se puede ver como varía el volumen de las gotas en función del caudal que se

encuentra fluyendo a través del sistema cuando la regulación se hace aguas abajo del capilar. En la misma

notamos que existe una relación entre ambas variables de forma tal que a medida que aumenta el caudal

que circula por el sistema, el volumen de las gotas que se desprenden disminuye. Además, se cumple en

la mayoría de los casos que para un caudal determinado, cuanto mayor es la altura de carga en el capilar

donde se forman las gotas, el volumen de las mismas es mayor.

136


Fig. 6.6: Variación del volumen de gota con respecto al caudal que circula por el sistema para el caso de cámara cerrada.

0 20 40 60 80 100 120 1400

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14


Regulación Aguas Abajo del capilar

H = 5 cm H = 13 cm H = 17 cm H = 25 cm

Volu

men

de

gota

(10-3

. m

l)

Caudal (ml/h)

Fig. 6.7: Variación del caudal con el período de goteo para el caso de cámara cerrada y regulación aguas abajo de la cámara.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.50

20

40

60

80

100

120

140


Curva de aproximación

y = 43.x-0,8 R2=0,98

Regulación Aguas Abajo del capilar

Cau

dal (

ml/h

)


H = 5 cm H = 13 cm H = 17 cm H = 25 cm

137


De la Fig. 6.7 se desprende la existencia de una fuerte dependencia entre el caudal que circula por

el sistema y el período de goteo como pasaba también en el caso de cámara abierta. De manera similar,

puede verse que para altas frecuencias de goteo, o períodos de goteo bajos, la variación del caudal es muy

sensible a una variación de este parámetro. Sin embargo, para períodos de goteo superiores a T = 1,5 seg.,

una variación de este parámetro no afecta demasiado al caudal que circula.

6.3 – RELACIÓN ÁREA/VOLUMEN DE LAS GOTAS.

En el presente apartado se pretende analizar cual es la relación que existe entre la superficie

externa de las gotas y su volumen. Con este motivo representaremos el área en función del volumen para

las distintas condiciones estudiadas en las figuras 6.8 a 6.10

CÁMARA ABIERTA

9 10 11 12 13 14 15 1617

18

19

20

21

22

23

24

25

26

Supe

rfici

e de

la g

ota

[mm

2 ]

Volumen de gota (mm3)

Superficie(mm2)

Aproximación lineal

Y = 5.41+1,28 . X3

Fig. 6.8: relación entre superficie exterior y volumen de las gotas que se forman desde el capilar con una altura de columna de agua de H = 25 cm por sobre el orificio del capilar . Cámara abierta a la atmósfera.

138


139

Fig. 6.10: relación entre superficie exterior y volumen de las gotas que se forman desde el capilar para distintas alturas de columna de agua por sobre el orificio del capilar . Cámara cerrada regulación aguas arriba.

Fig. 6.9: relación entre superficie exterior y volumen de las gotas que se forman desde el capilar para distintas alturas de columna de agua por sobre el orificio del capilar . Cámara cerrada regulación aguas abajo.

7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0 12.5 13.0 13.5 14.0

14.014.515.015.516.016.517.017.518.018.519.019.520.020.521.021.5

CÁMARA CERRADAREGULACIÓN AGUAS ABAJO


Supe

rfici

e de

la g

ota

(mm

2 )

Volumen de la gota (mm3)

H = 25 cm H = 30 cm H = 5 cm H = 13 cm H = 17 cm Y = 4,98 + 1,19 . X

6 7 8 9 10 11 12 13 1412

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22


CÁMARA CERRADAREGULACIÓN AGUAS ARRIBA

Supe

rfici

e de

la g

ota

(mm

2 )

Volumen de la gota (mm3)

H = 17 cm H = 5 cm Y = 4.87 + 1.23 . X

En los tres casos presentados puede verse una relación lineal entre superficie y volumen de la gota.

Analizando las rectas con las que se aproximó tal relación puede verse que la pendiente de las mismas es

en los tres casos prácticamente la misma (su diferencia puede atribuirse a errores experimentales). Así

mismo, los dos casos que se presentan para cámara cerrada tienen una muy parecida ordenada al origen.


De esta manera, la relación Area/Volumen de las gotas si bien no permanece constante para todos los

caudales, se mantiene acotada dentro de un entre rango que va desde 1,64 hasta 1,75 1/mm para cámara

abierta, desde 1,57 hasta 1,82 1/mm para cámara cerrada con regulación aguas abajo del capilar y desde

1,61 a 1,84 1/mm para cámara cerrada con regulación aguas arriba del capilar.

6.4 – PÉRDIDA DE POTENCIA EN LA GENERACIÓN DE LAS GOTAS.

Analizamos en este apartado algunos aspectos termodinámicos y su relación con la dinámica del

fluido del proceso de formación de gotas en un sistema como el que estudiamos nosotros.

Es intuitivo que el fenómeno de formación de gotas requiera que el sistema realice o aporte un

trabajo adicionalal que sería necesario si no existiese formación de superficie alguna. Este trabajo se

puede estimar [Defay] con:

dτ = p’dV’ + p’’ dV’’ – σ dΩ

donde,

p’: presión de la fase 1

p’’: presión de la fase 2

dV’: variación del volumen de la fase 1

dV’’: variación del volumen de la fase 2

σ: tensión superficial

dΩ: variación del área

En todo sistema se puede expresar que la variación de entropía vale,

TdQ

TdQds '

+=

donde el primer término representa la variación de entropía por intercambio de calor con el medio,

en tanto que el segundo representa la entropía creada en el sistema por los fenómenos irreversibles que

toman lugar en el mismo. La diferencia existente de entropía entre las partículas fluidas que están en la

superficie y a aquellas que están en el seno del fluido.

140


El segundo principio de la termodinámica establece que dQ’>0.

Además, en la generación de gotas se cumple que:

Ω⋅−= ddTd

TdQ σ

Para líquidos tiene siempre signo positivo (para el caso del agua a 293K es igual a 0,595σ) por lo

que una expansión de la superficie es un fenómeno que absorbe calor del medio.

En el fenómeno de formación de la gota dQ’ representa las pérdidas por fricción que ocurren por

procesos como la circulación del fluido en el interior de la gota en el proceso de formación de la misma o

la fricción con el aire circundante.

La variación de la energía interna total, partiendo de la primera Ley de la Termodinámica, se

puede expresar entonces de la siguiente forma,

τddQdei −=

'''''' dVpdVpdQddTdTddei ⋅−⋅−+Ω

−Ω⋅=σσ

A continuación realizaremos las siguientes consideraciones,

1) dQ’ < dτ

2) dτ ≈ – σ dΩ

Bajo estas condiciones el trabajo dτ o la potencia (dτ * frecuencia de goteo) es el que se requiere

del circuito hidráulico superior para formar las gotas y actúa en forma análoga a una “pérdida localizada”

en un circuito hidráulico.

Asi podemos expresar,

AdAEA

⋅=⋅= ∫ σσ0

donde,

141


E: energía de generación de superfice

σ: tensión superficial y

A: área de la gota

Y conociendo la frecuencia con la que se forman las gotas, podemos obtener la potencia necesaria

para la generación de la superficie de las gotas.

fETEP ⋅==

donde,

P: potencia de generación de las gotas

T: período de goteo

f: frecuencia de goteo

A continuación se presentan en tres gráficos la variación de la potencia necesaria para la

generación de la superficie de las gotas en función del caudal que se encuentra circulando, de acuerdo a

las distintas condiciones que fueron presentadas en el presente trabajo.

CÁMARA ABIERTA

Fig. 6.11: Variación de la potencia necesaria para la generación de gotas en función del caudal circulante. Bureta Abierta

0 20 40 60 80 100 120 140 1600.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

Altura de columna de agua por encima del orificio del capilar

Pote

ncia

(10-6

. W

)

Caudal (ml/h)

H = 25 cm

142


CÁMARA CERRADA

Fig. 6.12: Variación de la potencia necesaria para la generación de gotas en función del caudal circulante. Bureta Cerrada y Regulación aguas abajo del capilar.

0 20 40 60 80 100 120 140

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

REGULACIÓN DE CAUDAL AGUAS ABAJO DEL CAPILAR


Pote

ncia

(10-6

. W

)

Caudal (ml/h)

H = 5 cm H = 13 cm H = 17 cm H = 25 cm H = 30 cm

0 20 40 60 80 100 120 140 1600.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0


REGULACIÓN DE CAUDALAGUAS ARRIBA DEL CAPILAR

Pote

ncia

(10-6

. W

)

Caudal (ml/h)

H = 17 cm H = 5 cm

Fig. 6.13: Variación de la potencia necesaria para la generación de gotas en función del caudal circulante. Bureta Cerrada y Regulación aguas arriba del capilar.

En las figuras 6.11 a 6.13 pueden verse las distintas situaciones bajos las cuales se realizaron

mediciones en el presente trabajo: cámara abierta, cámara cerrada con regulación de caudal aguas abajo

del capilar y cámara cerrada con regulación de caudal aguas arriba del capilar. En los tres casos, se

presenta una relación lineal entre la potencia que el sistema utiliza para la generación de la superficie de

las gotas y el caudal que se encuentra circulando. De esta manera, el sistema debe incurrir en un mayor

gasto de energía, por unidad de tiempo, a medida que se requiere que un mayor caudal circule por el

mismo. Por lo tanto, estamos frente a un tipo de pérdida de carga que es variable y lineal con el caudal.

Este hecho diferencia alas pérdidas localizadas frentre a otras donde habitualmente la dependencia es con

el caudal al cuadrado, Q2.

Podemos recalcar además que prácticamente no se ven diferencias notorias entre los tres gráficos,

con lo que podemos concluir que la recta de variación que se presenta en los tres gráficos muestra una

característica del sistema en sí, o particularmente, una característica del capilar como componente

primordial en la generación de las gotas que nos encontramos midiendo.

143


6.5 – CONCLUSIONES

El presente capítulo tuvo como objetivo caracterizar de esta manera al fenómeno de dripping o

goteo en nuestro sistema. Los resultados se analizaron tanto para el caso de cámara abierta como para

cámara cerrada, distinguiéndose para el último los casos de regulación aguas arriba y regulación aguas

abajo del capilar. La diferencia de estos dos casos radica en que en el primero, caso de regulación aguas

arriba del capilar, la presión tanto a la salida del capilar como en la cámara será menor que en el caso en

que la regulación se haga aguas abajo del capilar para iguales condiciones de altura de columna de agua

del sistema.

En los distintos gráficos de resultados que se presentaron, pudimos observar una variación del

volumen de las gotas medidas entre 6 y 14 ml (ó mm3) aproximadamente. Esto se corresponde con gotas

de entre 1,13 y 1,49 mm de radio si se las supone como esferas.

Tanto en los casos de cámara abierta como cámara cerrada se observó que el volumen de las gotas

aumentaba con el período de goteo. Esta variación resulta más notoria para valores de períodos bajos

(T<1 seg) pero a períodos mayores existe una tendencia a mantenerse constante alrededor de un cierto

valor. Este valor depende de la altura de columna de agua por sobre el orificio del capilar, siendo mas

grande para valores de H mayores. Si la cámara se encuentra cerrada, el valor tiende a ser mayor si la

regulación se hace aguas arriba del capilar.

Asimismo, pudo verse también que en los dos casos el volumen de las gotas creadas tendía a

disminuir a medida que aumentaba el caudal. Este resultado en particular difiere del obtenido por Zhang y

Basaran donde el volumen de las gotas adimensionalizado con el radio externo del capilar al cubo,

aumenta con el caudal. Esta diferencia la atribuimos a que el dispositivo en el que los investigadores

realizaron sus experiencias disponía de una bomba que forzaba a circular un caudal determinado por su

sistema de medición, mientras que en nuestro dispositivo experimental regulamos una altura de columna

de agua por sobre el capilar, fijamos la válvula en una posición determinada y permitimos al sistema

adoptar su configuración de escurrimiento.

144


El estudio de la variación del caudal con el período de goteo indica que si bien la relación no es

exactamente igual en los casos de cámara abierta y cámara cerrada, ambos muestran una variación del

tipo hiperbólica, que varía con 1/x. A priori podríamos pensar que esta información puede llegar a servir

para predecir el caudal midiendo únicamente el período de goteo. Sin embargo se debe considerar que

solo hemos probado que esto se cumple exclusivamente en las condiciones que se realizaron los

experimentos.

La relación Superficie/Volumen de las gotas creadas, para los casos de cámara abierta y cámara

cerrada, presenta una relación lineal cuya recta de aproximación tiene una pendiente que resulta

prácticamente independiente de la altura de columna líquida y de la cámara considerada.

Estos resultados pueden ser analizados en términos de la potencia necesaria para la generación de

la superficie de las gotas y del caudal que se encuentra circulando en el sistema. Existe una fuerte

linealidad entre estas dos variables y surge del análisis que al aumentar el caudal circulante por el sistema,

el mismo debe suministrar una mayor potencia para poder generar la superficie de las gotas. La potencia

consumida en la generación de superficie, actúa de manera análoga a una pérdida de carga localizada en

el circuito hidráulico. El valor de esta pérdida resulta en todos los casos lineal con el caudal y es función

de una constante que en un principio depende del tipo de capilar utilizado y de las propiedades físicas del

fluido en cuestión.

Este resultado resulta de interés en las distintas áreas de la ingeniería donde los procesos de goteo

se encuentran presentes (desalinizadores, destiladores, infusiones parenterales, etc.).

145


REFERENCIAS.

1. R. DEFAY and PRIGOGINE I., “Tension superficielle et adsorption”, Editions Desoer 21,

rue Ste-Véronique Liége, (1951)

146

CONCLUSIONES GENERALES

147

Conclusiones

A lo largo del presente trabajo se describió un método para realizar mediciones de gotas con radio

del orden del milímetro. Este método resultó de probada eficiencia y en consecuencia resulta adecuado en

todas aquellas aplicaciones donde se requiera medir gotas de ese orden de magnitud.

La determinación del volumen de gotas junto con su período permite realizar mediciones de

pequeños caudales de soluciones acuosas similares a los usados en infusiones parenterales. Para el estudio

del fenómeno de “dripping” o “goteo”, este sistema permite una automatización y tratamiento de los datos

muy simple que permite considerar un gran número de muestras y con ello disminuir errores de

procedimiento. Esto facilita fuertemente el estudio de la interdependencia de las distintas variables y

particularmente de la influencia de parámetros vinculados al circuito hidráulico.

Así, el sistema desarrollado nos permitió establecer fehacientemente la potencia consumida en la

generación de superficie de las gotas. Este fenómeno actúa de manera análoga a una pérdida de carga

localizada en el circuito hidráulico y el valor de esta pérdida resulta en todos los casos lineal con el

caudal. Es función de una constante que en un principio depende del tipo de capilar utilizado y de las

propiedades físicas del fluido en cuestión. Por lo que este resultado es de interés en las distintas áreas de

la ingeniería donde los procesos de goteo se encuentran presentes (desalinizadores, destiladores, etc.).

A los efectos de dar una mayor generalidad a nuestros resultados, consideramos que desde el

punto de vista experimental trabajos futuros podrían orientarse a determinar la influencia de parámetros

físicos en el fenómeno considerado y del tipo de capilar en la pérdida de carga localizada existente en el

fenómeno de “goteo”. Algunas variantes serían el agregado de surfactantes al agua para modificar su

tensión superficial, la consideración de otros líquidos y capilares de distintos espesores de pared y de

diámetros diferentes.

148

tesis juan facundo gonzalez

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