Tesis de Maestría en Ingeniería Mecánica

Reporte de Avance de Tesis

Título:

Optimización topológica de un generador piezoeléctrico

Resumen: Se buscan generar topologías óptimas para vigas piezoeléctricas con una o múltiples

capas que permitan obtener ahorro de material, así como también maximizar la

obtención de energía para el desarrollo de un generador de electricidad basado en el

fenómeno piezoeléctrico. Para ello es necesario revisar el estado del arte de la tecnología

de generación eléctrica utilizando materiales piezoeléctricos, comparar los diferentes

materiales piezoeléctricos y estudiar las diferentes técnicas de optimización topológica. Como apoyo para las simulaciones numéricas se está utilizando el programa Comsol® en

conjunción con el programa Matlab para automatizar las simulaciones. Uno de los

componentes de este proyecto de investigación es el caracterizado de las vibraciones a

las que está sujeto el dispositivo, por lo que se tomó el curso de vibraciones mecánicas.

Y finalmente utilizando técnicas de dinámica analítica se obtendrán las ecuaciones de

movimiento del dispositivo.

Asesor:

Dr. Gilberto Mejía Rodríguez

Alumno:

Ing. Diego García de la Torre

Primera entrega de avance de Tesis

1. Revisión bibliográfica de teoría del fenómeno piezoeléctrico y dispositivos

piezoeléctricos.

2. Simulaciones numéricas del fenómeno piezoeléctrico en Comsol® de una viga

multicapa en voladizo.

Introducción El proceso de adquirir la energía que rodea a un sistema y convertirla en energía

eléctrica utilizable es conocido como recolección de energía. En los últimos años la

investigación en el área de recolección de energía se ha intensificado. Este incremento en

la investigación ha dado lugar a los más modernos dispositivos micro electromecánicos

(MEMS) y a avanzadas tecnologías inalámbricas, de aplicación práctica en el mundo real.

El uso de materiales piezoeléctricos para capitalizar las vibraciones ambientales que rodean a un sistema es un método que ha visto un crecimiento dramático en el campo de

la recolección de energía. Los materiales piezoeléctricos cuentan con una estructura

cristalina que los provee de la habilidad de transformar la deformación mecánica en

carga eléctrica y viceversa para convertir un potencial eléctrico aplicado en deformación

mecánica. Esta propiedad provee a los materiales la habilidad de absorber la energía

mecánica de los alrededores, normalmente vibraciones ambientales, y transformarla en

energía eléctrica utilizable para alimentar otros dispositivos. Es verdad que los materiales piezoeléctricos son el método más utilizado en la recolección de energía pero existen

otros métodos, por ejemplo, los dispositivos electromagnéticos. El objetivo de este

proyecto de tesis es lograr acercar los sistemas de recolección de energía a la meta

necesaria para que sean utilizables en el día a día.

Con los recientes avances en tecnología inalámbrica y micro electromecánica, la

demanda por dispositivos portables y sensores inalámbricos está creciendo rápidamente.

A la vez se está convirtiendo una necesidad el que los dispositivos sean autónomos y se

carguen por medio de fuentes ambientales. En la mayoría de los casos el suministro de

energía se obtiene de baterías convencionales; sin embargo, las baterías presentan el

problema de su limitado ciclo de vida. Para los dispositivos electrónicos, remplazar la batería es problemático debido a que el dispositivo puede quedarse sin energía en

cualquier momento y remplazar la batería puede ser costoso y tedioso. En el caso de los

sensores inalámbricos, estos se pueden colocar en locaciones muy remotas. Cuando la

batería se agota, el sensor debe ser retirado y la batería remplazada. Ya que estos

dispositivos están en lugares remotos, cambiar la batería puede volverse una tarea muy

costosa o incluso imposible. Por ejemplo, los sensores que se colocan en animales para darles seguimiento en su medio salvaje suelen perderse para siempre. Pero si fuera

posible recolectar la energía del ambiente, entonces se podría utilizar directamente o

para recargar la batería. Un método es utilizar materiales piezoeléctricos para obtener

energía perdida debido a vibraciones de la estructura anfitriona. Esta energía capturada

se puede utilizar para prolongar la vida del suministro de energía o en un caso ideal

proveer energía durante un periodo de tiempo igual o mayor al ciclo de vida del

dispositivo electrónico. Por estas razones, la cantidad de investigación dedicada a la recolección de energía ha aumentado rápidamente.

El Fenómeno Piezoeléctrico El fenómeno piezoeléctrico existe en dos dimensiones. El primero es el efecto

piezoeléctrico directo que describe la habilidad del material para convertir deformación

mecánica en carga eléctrica. El segundo es el efecto inverso, el cual consiste en la

habilidad de convertir un potencial eléctrico en deformación mecánica. El efecto directo le da la capacidad al material de funcionar como un sensor y el efecto inverso la capacidad

de funcionar como actuador.

Los materiales piezoeléctricos pertenecen a una clase de materiales llamados

ferroeléctricos. Una característica principal de los materiales ferroeléctricos es que su

estructura molecular está orientada de tal manera que el material exhibe una separación

de carga local conocida como dipolo eléctrico. A través de toda la composición del

material los dipolos están orientados de forma aleatoria, pero cuando el material se calienta mas allá de cierto punto, conocido como la temperatura de Curie, y se le aplica

un fuerte campo eléctrico, los dipolos eléctricos se reorientan de forma relativa al campo

eléctrico, este proceso es conocido como polarización (poling). Una vez que el material se

enfría, los dipolos mantienen su orientación y el material entonces se dice que esta

polarizado (poled). Después del proceso de polarización el material presentará efecto

piezoeléctrico.

El comportamiento mecánico y eléctrico de un material piezoeléctrico puede ser

modelado por dos ecuaciones constitutivas linearizadas. Estas ecuaciones contienen dos

variables mecánicas y dos eléctricas. El efecto directo e inverso se pueden modelar por

las siguientes ecuaciones matriciales (IEEE Standard on Piezoelectricity, ANSI Standard

176-1987):

( , ) E (Efecto inverso) [1]

( , ) E (Efecto directo) [2]

E

i ij j ki i

i ij j ij k

E c e

D E e

Es más fácil entender estas matrices si se muestran en su forma extendida, para el

efecto directo es la siguiente:

Símbolo Descripción Unidades Índices

E

ijc Rigidez elástica N/m2

i,j=1…6

SE

ij Adaptabilidad elástica m2/N i,j=1…6

i Esfuerzo mecánico N/m2

i=1…6

j Deformación mecánica 1 j=1…6

ik

Permisividad absoluta bajo deformación constante C2/(Nm

2) o

F/m

i,k=1…3

ij

Permisividad absoluta bajo esfuerzo constante C2/(Nm

2) o

F/m

i,j=1…3

iD Desplazamiento eléctrico o densidad de flujo eléctrico C/m2 i=1…3

Ei Fuerza de campo eléctrico N/C o V/m i=1…3

Pi Polarización eléctrica C/m2 i=1…3

dij Constante piezoeléctrica campo-deformación m/V o C/N i=1…3,

j=1..6

eij Constante piezoeléctrica campo-esfuerzo C/m2 o

N(Vm)

i=1…3,

j=1..6

Después de que el material ha sido polarizado, un campo eléctrico puede ser aplicado

para inducir expansión o contracción del material. Sin embargo, el campo eléctrico puede

ser aplicado a lo largo de cualquier superficie del material, resultando en esfuerzos y

deformaciones diferentes en cada caso. Por esto, las propiedades piezoeléctricas deben

contener una convención para facilitar la aplicación de campos eléctricos en las tres

dimensiones. El material piezoeléctrico se puede generalizar en dos casos. El primero es

la configuración de apilamiento que opera en la dirección -33 y la segunda es la

configuración de deformador que actúa en el modo -13. La convención asume que la

dirección de polarización es siempre la “3”; sabiendo esto los dos modos pueden ser entendidos. En el modo -33, el campo eléctrico es aplicado en la dirección 3 y el material

se deforma también en esa dirección. En el modo -31 el campo eléctrico es aplicado en la

dirección 3 y el material se deforma en la dirección 1 la cual es perpendicular a la

dirección de polarización. Esta convención es particularmente importante para definir los

coeficientes de acoplamiento d para actuadores y g para sensores. Entonces por ejemplo

g13 se refiere al coeficiente de sensibilidad de un elemento tipo deformador polarizado en la dirección 3 y deformado a lo largo de 1.

Figura 1. Ejemplos de convención direccional

Vibraciones Mecánicas Uno de los métodos más efectivos de implementar un sistema de recolección de energía,

es el utilizar vibraciones mecánicas como medio para inducir deformación en un material

piezoeléctrico o para desplazar una bobina electromagnética. La generación de energía a

partir de vibraciones mecánicas utiliza vibraciones ambientales de los alrededores como

fuente de energía, la cual es convertida en energía eléctrica utilizable para alimentar

dispositivos que pueden ir desde electrónicos digitales a transmisores inalámbricos.

William y Yates (1996) propusieron un dispositivo que generaba electricidad cuando

estaba sujeto a un ambiente vibratorio, y para esto utilizaron una bobina

electromagnética. Realizaron un análisis armónico para evaluar la viabilidad del

dispositivo y optimizar el diseño. Determinaron que la cantidad de energía generada era

proporcional al cubo de la frecuencia de vibración. Esto mostró que el generador

funcionaba pobremente a bajas frecuencias. También mostraron que es necesario un bajo factor de amortiguamiento para maximizar la recolección de energía, por esto el diseño

debía permitir grandes deflexiones de la masa. Encontraron que para un funcionamiento

a 330 Hz podían obtener 0.1 mW asumiendo una deflexión de 50 μm.

Aunque se ha demostrado en investigaciones más recientes que es posible obtener

35.4 mJ/cm3 utilizando materiales piezoeléctricos.

Eficiencia de recolección

Umeda et al. (1996) llevaron a cabo una investigación sobre los fundamentos de un

generador, que transformaba energía mecánica a eléctrica utilizando un vibrador

piezoeléctrico y una canica de acero. También investigaron el efecto de las diferentes

características del vibrador piezoeléctrico. Para simular el mecanismo de generación,

ellos introdujeron un modelo eléctrico equivalente. Se calcularon los modos de vibración

para dos modelos, uno utilizando el transductor con la bola de metal y el otro con el transductor solamente. Descubrieron que la forma de onda del voltaje de salida de los

resultados obtenidos era similar a los medidos experimentalmente; se trazó una curva de

eficiencia para diferentes entradas mecánicas, y determinaron que mientras la energía

potencial de la canica aumentaba, la eficiencia decrecía. Una gran parte de la energía

aplicada era retornada a la canica en forma de energía cinética causando que saltara

fuera del plato. Al final determinaron que una máxima eficiencia de 52% podía ser obtenida. Los efectos de las características del vibrador piezoeléctrico fueron investigados

y se determinó que la eficiencia aumentaba si el factor de calidad mecánica

incrementaba, el coeficiente de acoplamiento mecánico incrementaba y la pérdida

dieléctrica se reducía.

Goldfarb y Jones (1999) analizaron la eficiencia de un material piezoeléctrico en una

configuración de apilamiento para propósitos de generación de energía. Un modelo analítico fue presentado y se sugirió que el problema fundamental para generar potencia

a partir de un material piezoeléctrico es que la mayor parte de la energía producida era

acumulada y regresada a la fuente de excitación. Los autores propusieron que eso era

particularmente problemático cuando el piezocerámico estaba colocado en paralelo con

un capacitor en serie con la carga. Por esto, se sugirió que la máxima eficiencia se podría

obtener minimizando la cantidad de energía almacenada en el piezoeléctrico. La eficiencia máxima del modelo fue obtenida a 5 Hz, y la mínima cuando la frecuencia

superaba los 100 Hz. Se hizo notar que la frecuencia de 5 Hz estaba muy por debajo de

las frecuencias de resonancia mecánica,40 kHz. Los autores argumentaron que la

máxima eficiencia ocurría a tan baja frecuencia debido a la estructura energética del

apilamiento. En adición, se encontró que la eficiencia del apilamiento era dependiente de

la frecuencia de excitación, con la resistencia eléctrica proveyendo un pequeño efecto sobre él.

Fuentes de energía implantables y vestibles.

En un esfuerzo por incorporar computadoras y sistemas digitales en nuestro día a día, se

han conducido investigaciones para introducirlos en nuestra ropa, o dentro de sistemas

biológicos tales como el cuerpo humano. La utilización de dispositivos de recolección de energía para capturar la energía perdida por el cuerpo humano durante la vida cotidiana

es una idea cautivadora y se ha convertido en uno de los tópicos principales, facilitando

así el crecimiento del área de recolección de energía. Como por ejemplo, la literatura

muestra algunas aplicaciones de este tipo. Una se basa en el concepto de la energía

gastada por el proceso de respiración, otra utiliza el movimiento periódico del torso para

deformar un convertidor, en otra investigación se fijó una malla piezoeléctrica a un perro y su respiración espontanea condujo a un pico de voltaje de 18 V, lo que correspondía a

una potencia de 17μW. Sin embargo, la potencia generada fue insuficiente para energizar

los aparatos deseados. En estos trabajos se especula que con optimización de las

propiedades del PVDF (El piezopolímero más común, “pólifloruro de vinilideno”) se puede

obtener una salida de 1mW. En adición este estudio fue realizado en una etapa temprana

de esta tecnología (1984), lo que nos hace pensar que utilizando los nuevos materiales y

electrónicos más eficientes es posible obtener resultados más prometedores.

En otras investigaciones, Starner (1996) calculó que 67W son gastados al caminar,

argumentando que un piezoeléctrico montado en los zapatos con una eficiencia de

conversión de 12.5% podría alcanzar 8.4W de potencia. Dos métodos de generación

durante el caminado han sido identificados, piezoeléctrico y generador rotatorio, cada uno con ventajas particulares. Otra idea de Starner ha sido el colocar una piezopelícula

en las costuras de la ropa para recolectar energía y ha calculado que 0.33 watts pueden

ser obtenidos de esta forma. Es notorio que la energía producida no es constante y en

algún momento será nula, por lo que es necesario utilizar un medio de almacenamiento

como pueden ser capacitores o baterías recargables. Starner argumenta que un capacitor

sería suficiente para fuentes de bajo poder como la presión de la sangre o el calor corporal, pero sería necesario el uso de baterías recargables para lugares de alta energía

como el movimiento de extremidades o el caminado.

Los trabajos de Starner han atraído a otros investigadores, y provocado que se realicen

más estudios sobre tela piezoeléctrica. En la actualidad podemos encontrar incluso

pintura piezoeléctrica, desarrollada por Yunfeng Zhang, para el monitoreo de la

estructura de los edificios y los esfuerzos a los que son sometidas las paredes de los mismos.

Optimización Topológica

Existen varios métodos de optimización topológica, es importante destacar que la

optimización topológica es un método para determinar la mejor distribución de material para un grupo de restricciones dadas. Típicamente en optimización estructural se busca

minimizar la energía de deformación de estructuras, manteniendo una cierta restricción

en su masa.

Método de Homogenización: Bendsøe y Kikushi [8] desarrollaron el bien conocido método, el

cual usa la formulación de homogenización en el modelo estructural, según Kaminski El

método de homogenización es una manera muy eficiente para modelar computacionalmente materiales compuestos, donde usualmente se asume que existe

alguna relación de escala entre los diferentes elementos que conforman el material. La

principal desventaja de este método es la imposibilidad del análisis de sensibilidad de los

elementos compuestos homogeneizados con respecto a las relaciones geométricas. La

idea principal en la utilización de homogenización es calcular una distribución óptima del

material sobre el dominio de diseño, el cual se encuentra sujeto a la acción de cargas y

condiciones de frontera. La distribución del material está conformada por microestructuras periódicas. Un modelo típico de una microestructura consiste en una

celda unitaria cuadrada con un agujero rectangular en el centro, en donde los lados del

rectángulo, así como la orientación de la celda son tratadas como las variables de diseño.

Por medio de un criterio de optimización se determina si un elemento es sólido o vacío.

De acuerdo con Sigmund, este método tiene la desventaja de que la determinación y

evaluación de una microestructura óptima, así como su orientación son muy complicado de resolver. Por otra parte, también se tiene que las estructuras resultantes no pueden

ser construidas ya que no se tiene una longitud definida de escala asociada con las

microestructuras.

Ley de las potencias: Conocido también como material sólido isotrópico con penalización

(solid isotropic material with penalization, SIMP [11]) el cual fue presentado por Bendsøe

[8]. En este método las propiedades del material se asumen constantes para cada

elemento usado en la discretización del dominio de diseño y las variables de diseño son

las densidades de los elementos. De acuerdo con Sigmund [13], este método puede ser

criticado desde el punto de vista que no existe ningún material físico el cual se comporte

con las propiedades descritas por la interpolación de la ley de las potencias. Sin

embargo, como han probado Bendsøe y Sigmund [8], la ley de las potencias es físicamente correcta siempre y cuando cumpla con una condición en la potencia de p>=3

para la relación de Poisson igual a 1/3. Para asegurar la existencia de solución el método

debe de ser combinado con limitaciones de perímetro y con técnicas de filtrado. Este

método ha sido aplicado a problemas de optimización topológica en donde se tienen

múltiples cargas y múltiples materiales. Sin embargo, de acuerdo con M. Yu y X. Wang

[14] la inestabilidad numérica y la complejidad computacional permanecen como las mayores dificultades para necesidades reales.

Optimización de evolución estructural (ESO): Este es un método simple para la optimización

de la forma y el diseño, el cual fue propuesto por Xie y Steven[15]. Este se basa en el

concepto de eliminación gradual de material, con el cual se consigue llegar un diseño

óptimo. Este enfoque se basa en una estrategia evolutiva la cual se centra en

consecuencias locales, mas no en la optimización global. La más notoria desventaja de

esta metodología es su alto costo computacional. Método de Conjunto de Nivel (Level Set): El método de level set para mover problemas de

interface fue primeramente desarrollado por Osher y Sethian[16]. Este método se

encuentra actualmente bien desarrollado y es usado en una amplia variedad de áreas de

investigación , sin embargo el método de level set ha sido aplicado recientemente en el

área de optimización topológica. De acuerdo con [17], grupos de investigación alrededor

del planeta han utilizado este método exitosamente como una alternativa de

aproximación para la distribución de material en la optimización topológica.

Recientemente se han tenido algunos éxitos utilizando el método level set como base para la optimización topológica, como son, por mencionar algunos, Optimización

topológica robusta (de. Gournay et al 2008) y diseño de materiales multifuncionales

(Challis et al 2008).

Método Autómata Celular Híbrido (Hybrid Cellular Automaton, HCA): Este método es una

técnica computacional que puede ser usado para sintetizar topologías óptimas. Mientras

que el método HCA no es explícitamente una técnica de optimización, leyes locales

producen este comportamiento. Este método está inspirado por el proceso biológico de la remodelación del hueso, en el cual material es apropiadamente distribuido para

uniformemente distribuir los efectos de algún estímulo mecánico, a lo largo del dominio

de diseño. El método (HCA) combina el paradigma del modelo autómata celular (CA) con

análisis de elemento finito para propósitos de optimización estructural. De misma forma

que en los métodos de optimización topológica tradicionales, el dominio de diseño es

discretizado en elementos de materia.

Posible enfoque de optimización para piezoeléctricos

Bin Zheng et al. (2008) proponen un método interesante de optimización aplicado a una

viga piezoeléctrica para maximizar el factor de conversión de energía.

( , ) E (1)

( , ) E (2)

E

i ij j ki i

i ij j ij k

E c e

D E e

Partiendo de las ecuaciones que modelan cualquier material piezoeléctrico, determinan

que la deformación y el campo eléctrico de un elemento piezoeléctrico pueden ser

representados por funciones de forma utilizando una formulación por método de

elemento finito:

(3)

(4)

e e

u

e e

B u

E B

Donde ue yφe

son el desplazamiento y el potencial en los nodos del elemento e;Bu y Bφ

son sus funciones en forma matricial. Aplicando esto a las ecuaciones (1) y (2) se tiene:

( , ) (5)

( , ) (6)

E e e

i ij u ki

e e

i ij u ij

E c B u e B

D E e B u B

Considerando que la fuerza externa es aplicada al elemento, el trabajo virtual interno es

equivalente al realizado por la fuerza externa, este equilibrio se puede representar como:

( ) ( )e

e t e e t edv du F

(7)

De forma similar, cuando un campo eléctrico se aplica al elemento, el trabajo virtual

interno es igual al trabajo realizado por las cargas eléctricas externas, por lo que

tenemos equilibrio:

( ) ( )e

e t e e t eE D dv Q

(8)

Sustituyendo todo las ecuaciones (5) y (6) en (7) y (8) y sabiendo que Ωe representa el

domino relativo a un elemento llegamos a:

( ) ( ) (9)

( ) ( ) (10)

e e

S

e e

t E e t e e

u u u

t t e t e e

u

B c B dv u B eB dv F

B e B dv u B B dv Q

Sustituyendo las funciones de forma integrales, podemos escribir estas igualdades de

forma simplificada como:

K

K

e e e e e

uu u

e e e e e

u

u K F

u K Q

Lo interesante de estas ecuaciones es que solo involucran funciones de forma y constantes del material, por lo que quedan en función de la fuerza mecánica aplicada y

del campo eléctrico presente. Con este método ya se han obtenido resultados como el

presentado en la Figura 2. En este trabajo se utilizaron las ecuaciones antes

mencionadas, con la intención de maximizar la energía eléctrica almacenada en el

piezoeléctrico, se aplicó una carga estática de 100N y se obtuvo la topología óptima, que

es capaz de almacenar 34.4% más energía eléctrica que el diseño rectangular sin optimizar.

Figura 2. Viga piezoeléctrica bajo carga estática optimizada

Diseño propuesto

Se propone un dispositivo generador de energía eléctrica utilizando materiales

piezoeléctricos. Consiste en una caja de 30x30x10 dentro de la cual se coloca la mayor cantidad posible de vigas piezoeléctricas optimizadas para maximizar la

generación de electricidad, la imagen muestra de forma muy básica el posible

dispositivo.

Figura 3. Posible configuración del dispositivo.

Inicialmente se propone que las vigas estén en voladizo, pero se analizarán otro

tipo de configuraciones. El soporte no contara con amortiguadores, por lo que

solo contará con amortiguamiento estructural, reduciendo así el factor de

amortiguamiento. A continuación se muestra la imagen de una viga sin optimizar,

con el voltaje en su superficie.

Figura 4. Viga en voladizo, generando potencial eléctrico.

Actividades Realizadas:

Revisión de literatura y de estado del arte de las tecnologías para recolección

de energía basadas en piezoeléctricos

Propuesta de diseño.

Simulaciones en Comsol tanto en 2D como en 3D, se realizaron estudios para

obtener los modos de vibración (frecuencias de resonancia), a trabajar con el

modulo piezoeléctrico definiendo tierra y paredes con carga cero, y a conectar

con Matlab. Aun no se ha logrado hacer la conexión automática con Matlab, ni

tampoco obtener las matrices de resultados arrojadas con Comsol. Otra

dificultad importante encontrada es como simular la extracción de energía una

vez que el piezoeléctrico ya la ha generado. Para realizar una simulación en

Comsol dentro del modulo piezoeléctrico es necesario definir el material, y el

programa ya cuenta con el modelo de un material piezoeléctrico de uso común que es el PZT 5H. También es necesario definir la tierra y el campo de

movimiento al que el cuerpo estará sujeto, con estos datos el programa es

capaz de arrojarnos toda la información relacionada con el estudio de

piezoeléctricos, tal como desplazamiento eléctrico, deformaciones, esfuerzos,

etc.

Asistencia a seminarios presenciales y vía red de Comsol

Curso de Vibraciones mecánicas

Curso de Dinámica analítica.

Conclusiones

Es necesario entender el fenómeno piezoeléctrico y las ecuaciones que lo caracterizan para poder determinar la función objetivo a optimizar. La conexión entre Comsol y Matlab

es vital para realizar el proceso de optimización de forma automática y eficiente. La

investigación para generar dispositivos piezoeléctricos cada vez más avanzados es un

tema de creciente interés en la comunidad científica. Los esfuerzos por alcanzar

dispositivos viables para generar energía con procesos de recolección de energía son una

constante en un sinnúmero de universidades y centros de investigación, el crecimiento de esta tecnología está muy lejos de alcanzar su cenit y la optimización topológica de los

mismos es indispensable para su mejoramiento.

Figura 5. Resultado obtenido en primera simulación. Cortes en la viga

para apreciar la distribución de energía en el interior del material

Actividades a realizar en próximos 6 meses

Validar resultados de simulaciones, ya sea a través de literatura o de

experimentación.

Tomar curso de Optimización topológica.

Obtener matrices de resultados en Matlab.

Caracterización de las vibraciones a las que se verá sometido el dispositivo. Realizar simulaciones MEF de diferentes configuraciones de viga (Voladizo,

hiperestática, etc.)

Cronograma

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Mechanical Impact Energy to Electrical Energy Using a Piezoelectric Vibrator,”

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