UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Departamento de Matematica

Tesis de Licenciatura

Una generalizacion al teorema de singularidad de Hawking

Ariel Matıas Bortz

Director: Osvaldo Santillan

Junio 2015

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Agradecimientos

Si alguien me dijera que cumplio el objetivo de obtener su tıtulo de licenciadoen matematica sin haber recibido la ayuda, directa o indirecta, de nadie, le dirıaque esta mintiendo. Aun cuando sea mi nombre el que aparezca en la caratula,hay muchısima gente que de alguna forma u otra causo que llegara el momentode terminar este proceso. Probablemente me olvide de agradecer a gente que se lomerece, ası que pido disculpas por anticipado.

En primer lugar quiero agradecer a la otra persona que figura en la caratula,Osvaldo Santillan. Su constante colaboracion y ayuda para comprender los conte-nidos y las interpretaciones fısicas de lo estudiado fueron determinantes para queefectivamente pueda entender de que estabamos hablando y trabajar sobre ello.De todas formas, mas alla de su direccion cientıfica, lo que mas agradezco es sucalidad como persona, requisito indispensable y quizas el mas importante que unodebe buscar en un director de tesis.

En segundo lugar, quisiera agradecer a la Universidad de Buenos Aires, a laFacultad de Ciencias Exactas y Naturales y al Departamento de Matematica ya queson los responsables de que la calidad educativa recibida sea de primer nivel. Meparece que es importante no olvidar que estos 6 anos de formacion de excelencia losrecibı de forma gratuita, aun cuando esta no es gratis. Por eso quisiera agradecera la enorme cantidad de personas que aportan para que una pequena cantidadde personas podamos estudiar lo que nos gusta. Ademas, dentro de lo que es elDepartamento de Matematica, me gustarıa agradecer a todos los docentes que mehayan ayudado a entender algo en estos 5 anos, y en particular a aquellos queme han soportado numerosas veces mis consultas fuera de horario sobre algunproblema o inquietud. Dentro de este subconjunto, quisiera destacar a GabrielLarotonda y Mariano Suarez Alvarez que, de alguna forma u otra, me supieronresponder dudas que ahora son parte de esta tesis. Ambos terminaron siendo los

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jurados de la misma.En tercer lugar, es importante notar que el entender algunas cosas mas que lo

que entendıa hace 5 anos es solamente una de las cosas que me llevo de mi pasopor la facultad, ya que tuve la suerte de conocer un conjunto de personas fuerade serie que lograron que el tomarse el 160 para ir todos los dıas a la facultad nosea una tarea engorrosa, sino que se lo hiciera con gusto. No necesite esperar niun minuto en la Facultad para poder empezar a entablar relacion con estos seresde luz. Literalmente: a Pedro lo conocı en la fila para anotarme. En una de lasprimeras materias tuve la suerte de conocer a Pato, con el que luego conformamosel glorioso (pero sufrido) equipo de futbol y gran grupo humano al que nos gustallamar Las Cortaduras de BB King. Estos dos son a su vez parte de un conjuntode seres vivos mas grande, un conglomerado de individuos cuyo destino era encon-trarse, conformando una agrupacion que es mas que simplemente la suma de susindividuos, a la que denominare LCG1. Mis dıas facultativos no hubiesen sido lomismo sin ellos: Nacho, Santi, Mateo, Arribas, Lloveras, Fercho, Villalba, Freddy,Caro, Cecilia, Cambiasso, Mercuri, Martın, Liber y mas. Tambien me gustarıa des-tacar a mis companeros con los que me ha tocado compartir cursada o almuerzoscomo Nacho, Carlo, Santi, Chebi, Melanie, Bruno, Pancho, Jesi y la lista sigue,pero si la hago completa los agradecimientos terminarıan siendo tan largos comola tesis.

En cuarto lugar me gustarıa agradecer a mis amigos no facultativos, que acom-panaron todo este tiempo. No puedo nombrar a todos, pero Ale, Dalila, Dami,David, Denise, Diego, Fede, Lau, Maga, Meli, Nahuel, Mica, Guido, Tojter y Ben-der son buenos representantes de este grupo. Tambien quisiera mencionar a todosaquellos con los que he trabajado en este tiempo, que se bancaron varias veces queme vaya temprano o llegue tarde porque me tenıa que ir a la facultad.

Para finalizar, quiero agradecer a mi familia por acompanarme permanente-mente. A Napo y Sonny, que son lo mas grande que hay. A Julia. A mis abuelosGloria y Roberto y a mi hermana Gaby por su constante apoyo e interes en lo queestaba estudiando, y por su creencia ciega y absolutamente infundada de que yodebo ser el Gauss de la pampa humeda, el Riemann sudamericano. Por ultimo, qui-siera dedicarle estas ultimas lıneas a los maximos responsables de que haya podidocomenzar, continuar y terminar la carrera, quienes apoyaron todas mis decisionesy me aconsejaron cuando fue necesario. A mis papas, Claudia y Jaime, les voy aestar eternamente agradecido, y no hace falta aclarar que este logro es tan mıocomo de ustedes.

1La Cofradıa Golpista.

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Introduccion

En 1915 Einstein postulo lo que se conoce como la Teorıa de Relatividad Gene-ral. Para encontrar soluciones a las ecuaciones de Einstein surgieron varios mode-los en los que, asumiendo ciertas simetrıas, se podıan encontrar soluciones precisasde posibles espaciotiempos. Karl Schwarzschild, Roy Kerr, Alexander Friedmann,Georges Lemaıtre, Howard P. Robertson, Arthur Geoffrey Walker y Abraham Has-kel Taub son algunos de los cientıficos que siguieron este camino. Sin embargo,aun al considerar diferentes simetrıas, los espaciotiempos que se encontraban con-tenıan singularidades, puntos en el espaciotiempo donde el mismo se comportabapatologicamente. Por lo tanto, surgio la pregunta si el concepto de singularidad eraalgo dependiente de las simetrıas que se asumıan, o era algo inherente al modelode espaciotiempo que surge de la Relatividad General. En la decada de los ’60 ycomienzos de los ’70 Roger Penrose, Stephen Hawking y Robert Geroch utilizaronmetodos topologicos y geometricos para demostrar que una solucion generica delas ecuaciones de Einstein que satisface ciertas condiciones fısicas da lugar a estassingularidades.

El objetivo de esta tesis es probar y generalizar los teoremas de singularidad deHawking. Estos teoremas suponen ciertas condiciones de energıa que se satisfacenen muchos de los modelos clasicos, pero existen excepciones: en [6] se mencionanejemplos de modelos donde falla la condicion de energıa fuerte y la debil. Otrade las limitaciones es que estas condiciones de energıa son incompatibles con unode los objetos de investigacion mas interesantes para los fısicos y matematicos: lateorıa cuantica de campos. En estas se pueden construir estados donde el valor deexpectacion para la densidad de energıa son localmente negativos, y en algunoscasos la densidad de energıa en cualquier punto ni siquiera esta acotada por debajo.Por lo tanto, surge la necesidad de generalizar los teoremas de Hawking debilitandolas hipotesis sobre las condiciones de energıa.

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Para lograr el objetivo separamos la tesis en 6 capıtulos. Los primeros doscapıtulos son introductorios a la geometrıa semi-Riemanniana (el primer capıtu-lo) y mas especıficamente a la geometrıa Lorentziana (el segundo capıtulo). Ellector que tenga conocimientos previos basicos en geometrıa Riemanniana (o semi-Riemanniana) podrıa saltear el primer capıtulo (quizas con la salvedad de la sec-cion ’Operadores diferenciales’, ya que no son temas estandar que se encuentrenen todos los libros). Aun teniendo ciertos conocimientos en geometrıa Lorentzia-na, recomendamos no saltear el segundo capıtulo ya que en este ya se desarrollacierta intuicion sobre las variedades de Lorentz que sera muy util en los capıtulossiguientes. Matematicamente, la deteccion de una singularidad se basa en probarque el espaciotiempo es geodesicamente incompleto, y por lo tanto estudiar comose diferencia la geometrıa Lorentziana de la Riemanniana es de suma importancia,porque en el caso Riemanniano tenemos el teorema de Hopf-Rinow que nos carac-teriza las variedades geodesicamente completas, pero que no es cierto en el casoLorentziano. Los teoremas de singularidad cuentan con un componente geometrico,un componente topologico y ciertas restricciones que surgen de observaciones fısi-cas. En el capıtulo 3 desarrollamos la componente geometrica: a traves del calculode variaciones elaboramos los conceptos de campos de Jacobi, puntos conjugadosy puntos focales. En el capıtulo 4 desarrollamos la componente topologica. En estadefinimos dos relaciones sobre nuestra variedad, y estas dos relaciones inducen laconstruccion de dos tipos de conjuntos, a los que denominamos I±p y J±p . Estudia-mos que propiedades topologicas tienen estos conjuntos con respecto a la topologıade la variedad. Luego definimos algunas condiciones de causalidad, prestando espe-cial atencion en el concepto de hiperbolicidad global, que jugara un papel analogoal de la compacidad en Geometrıa Riemanniana. Siguiendo este camino, desarro-llamos diversos criterios para decidir si una variedad es globalmente hiperbolica,introduciendo conceptos esenciales en el estudio avanzado de la Relatividad Ge-neral, como lo son las hipersuperficies de Cauchy, los dominios de dependenciay los horizontes de Cauchy. En el capıtulo 5 desarrollamos las condiciones fısi-cas: mostramos como se relaciona la metrica con la presencia de materia vıa lasecuaciones de Einstein, y definimos algunas condiciones de energia que inducencondiciones sobre el tensor de Einstein, y por lo tanto en el tensor de Ricci. En elsexto capıtulo utilizamos todo lo previamente explicado y probamos dos teoremasde Hawking, que tienen la misma consecuencia pero con hipotesis distintas. Luegoestudiamos algunas condiciones para la no existencia de una solucion global a laecuacion de Riccati, que aplicamos para generalizar los teoremas de Hawking, yaque nos permite refinar las hipotesis de los teoremas.

Buscamos, dentro de lo posible, que la tesis sea autocontenida. Hay casos dondenecesitamos utilizar resultados que excedıan los contenidos de la tesis, y en esoscasos citamos la fuente para que el lector interesado pueda profundizar sobre ellos.

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Indice general

1. Variedades semi-Riemannianas 11.1. Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Propiedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2. Operaciones sobre tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Variedades semi-Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Conexion de Levi Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4. Contraccion metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5. Funcion exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6. Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6.1. Curvatura seccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6.2. Curvatura de Ricci y escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7. Operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.8. Subvariedades semi-Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.8.1. Conexion inducida y normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.8.2. Hipersuperficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.8.3. Mapas biparametricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2. Geometrıa Lorentziana 262.1. Entornos convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2. Caracter causal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3. Conos temporales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4. Orientacion temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3. Campos de Jacobi y calculo de variaciones 343.1. Campos de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

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3.2. Primera y segunda variacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3. La forma del ındice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4. Puntos conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.5. Maximos y mınimos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.6. Puntos focales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4. Hiperbolicidad global y causalidad 454.1. Cronologıa y causalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2. (Cuasi) Lımites en el espacio de caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3. Condiciones de causalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3.1. Separacion temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.3.2. Hiperbolicidad global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.4. Condiciones para la hiperbolicidad global . . . . . . . . . . . . . . . . 614.4.1. Conjuntos acronales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.4.2. Hipersuperficies de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.4.3. Dominios de dependencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.4.4. Hipersuperficies espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.4.5. Horizontes de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5. Relatividad General 735.1. Ecuacion de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.1.1. Heurıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.1.2. Accion de Einstein Hilbert y gravedad f(R) . . . . . . . . . . . 74

5.2. Condiciones de energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6. Teoremas de singularidad 776.1. ¿Que es una singularidad? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.2. Teoremas de singularidad de Hawking . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.3. Generalizacion de los teoremas de Hawking . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.3.1. La ecuacion de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.3.2. Refinando hipotesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.4. Un problema abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

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CAPITULO 1

Variedades semi-Riemannianas

1.1. Tensores

En el contexto de geometrıa diferencial, los tensores nos permiten generalizarelementos como funciones, campos vectoriales y 1-formas, y de esta forma po-der trabajar con elementos mas complicados definidos sobre la variedad sobre laque estamos trabajando. Nuestro mayor interes estara en estudiar y trabajar contensores en X(M) sobre C∞(M) y en TpM sobre R.

Definicion 1. Sean r ≥ 0 y s ≥ 0, R un anillo, V un R −modulo. A una funcionR −multilineal T ∶ (V ∗)r×V s → R se la llama tensor de tipo (r,s) sobre R. Alconjunto de tensores de tipo (r,s) sobre V se lo denota Trs(V ), y forma nuevamenteun R −modulo con la suma y adicion punto a punto.

Observacion 1. Un tensor de tipo (0,0) es un simplemente un elemento del anilloR.

Definicion 2. Sea M una variedad diferenciable. Un campo tensorial sobre M esun tensor sobre el C∞(M)-modulo X(M).

Si A es un campo tensorial de tipo (r, s), entonces toma r 1-formas θ1, ..., θr

(a la i-esima posicion de estas r posiciones se la suele llamar la i-esima posicioncontravariante) y s campos vectoriales X1, ...,Xs (a la j-esima posicion dentro deestas s posiciones de la suele llamar j-esima posicion covariante) y devuelve unelemento en C∞(M). A los tensores de tipo (0, s) se los llama covariantes, y a losde tipo (r,0), con r ≥ 1 se los llama contravariantes.

1

Observacion 2. La suma de tensores solamente tiene sentido si ambos son delmismo tipo, sin embargo siempre podemos multiplicar 2 tensores, sin importar deque tipo sean: si A ∈ Trs(M) y B ∈ Tr′s′(M), se define

A⊗B ∶ X∗(M)r+r′ ×X(M)s+s′ Ð→ C∞(M)

de tal forma que

(A⊗B)(θ1, . . . , θr+r′

,X1, . . . ,Xs+s′)= A(θ1, . . . , θr,X1, . . . ,Xs)B(θr+1, . . . , θr+r

′

,Xs+1, . . . ,Xs+s′) (1.1)

A A⊗B se lo llama producto tensorial de A y B. De la definicion se deduce queel producto es asociativo, C∞(M)-bilineal, pero no necesariamente conmutativo.

Observacion 3. Hay algunas identificaciones que reultan claras de la definicionde campo tensorial:

1. T01(M)←→ X∗(M)

2. T10(M)←→ X(M)

3. A ∶ X(M)s Ð→ X(M), A es C∞(M) −multilineal←→ A ∈ T1s(M)

mediante la identificacion

A(θ,X1, . . . ,Xs) = θ(A(X1, . . . ,Xs)),∀θ ∈ X∗(M),Xi ∈ X(M)

Definicion 3. Sea M una variedad diferenciable, (U,ϕ) una carta, A ∈ Trs(M).Las componentes de A relativas a la carta (U,ϕ) son las funciones

Ai1,...,irj1,...,js= A(dϕi1 , . . . , dϕir , ∂j1 , . . . , ∂js)

Notar que esta definicion coincide con el concepto de componentes en el caso deque A sea un campo vectorial o una 1-forma. Ademas, para un producto tensorialse cumple la siguiente propiedad:

(A⊗B)i1,...,ir+r′j1,...,js+s′= Ai1,...,irj1,...,js

Bir+1,...,ir+r′js+1,...,js+s′

1.1.1. Propiedades basicas

Probaremos algunas propiedades basicas de los campos tensoriales sobre unavariedad diferenciable, que nos daran una idea mas completa de como se comportanestos elementos. Lo primero que probaremos sera que los campos tensoriales sonefectivamente campos tensoriales; o sea, que un A ∈ Trs(M) asigna a cada puntop ∈M un tensor Ap, con Ap ∶ (TpM)r × (TpM)s Ð→ R. La clave para lograr esto esver que cuando evaluamos el campo tensorial A en las r 1-formas y los s camposvectoriales, el valor de la funcion que obtenemos, evaluada en un punto p ∈ M ,depende solamente de los valores de las 1-formas y de los campos en ese punto.

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Lema 1. Sea A ∈ Trs(M). Si alguna de las 1-formas θ1, . . . , θr o de los camposX1, . . . ,Xs da cero al evaluarlo en p ∈M , entonces A(θ1, . . . , θr,X1, . . . ,Xs)(p) = 0.

Demostracion. Sin perder generalidad, supongamos que Xs∣p = 0. Tomo una carta(U,ϕ) alrededor de p. En esta carta, Xs = ∑X i∂i. Sea f una funcion chichonsoportada en U , con f(p) = 1. Luego fX i ∈ C∞(M) y f∂i ∈ X(M). Entonces

f 2A(θ1, . . . , θr,X1, . . . ,Xs) = A(θ1, . . . , θr,X1, . . . , f2Xs)

= A(θ1, . . . , θr,X1, . . . ,∑fX if∂i) =∑fX iA(θ1, . . . , θr,X1, . . . , f∂i). (1.2)

Como Xs∣p = 0, X i(p) = 0. Evaluando la formula en p, recordando que f(p) = 1,obtenemos que A(θ1, . . . , θr,X1, . . . ,Xs)(p) = 0.

Proposicion 1. Sea p ∈ M y A ∈ Trs(M). Sean θ1, . . . , θ

ry θ1, . . . , θr 1-formas

tal que θi∣p = θi∣p, 1≤i≤r, y sean X1, . . . ,Xs campos tales que X i∣p = X i∣p, 1≤i≤s.Entonces

A(θ1, . . . , θr,X1, . . . ,Xs)(p) = A(θ1, . . . , θr,X1, . . . ,Xs)(p)

Demostracion. Lo veremos en el caso r=1, s=2 (el caso general es analogo). Usandola identidad (que se extiende para el caso general)

A(θ,X,Y ) −A(θ,X,Y ) = A(θ − θ,X,Y ) +A(θ,X −X,Y ) +A(θ,X,Y − Y )

Usando que θ − θ, X −X y Y − Y se anulan en p por hipotesis y el Lema 1, quedademostrado.

La importancia de esta propiedad es que si llamamos TM rs = ⋃

p∈Mp × TpM r

s ,

con TpM rs los tensores de tipo (r, s) sobre TpM , entonces todo campo tensorial

A ∈ Trs(M) se puede pensar como una seccion suave de M en TM rs . En particular,

esta interpretacion nos dice que la restriccion de un campo tensorial a un abiertoU es un campo tensorial bien definido en el abierto.

1.1.2. Operaciones sobre tensores

Existen algunas operaciones que se suelen utilizar al trabajar con tensores.Algunas de estas son la contraccion, el pull back, las derivaciones y la contraccionmetrica.La contraccion es una operacion C ∶ Trs(M) Ð→ Tr−1

s−1(M), que en cierta formadescribe un equivalente al concepto de traza en tensores. La definicion generalparte de un caso particular.

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Lema 2. Existe una unica funcion C ∶ T11(M) Ð→ C∞(M) C∞(M) − lineal, a la

que llamaremos contraccion (1,1) tal que C(X ⊗ θ) = θ(X) para todo X ∈ X(M),θ ∈ X∗(M).

Demostracion. Sea (U,ϕ) una carta en M . Un campo tensorial A de tipo (1,1) seescribe localmente ∑Aij∂i ⊗ dϕj. Como necesitamos que C(∂i⊗dϕj) = dϕj(∂i) = δji ,la unica posible definicion es C(A) = ∑Aii, que cumple con lo deseado en esta carta.Para ver que esta bien definida globalmente hay que probar que no depende de lacarta elegida:

∑mAmm = ∑mA(dψm, ∂

∂ψm) = ∑mA(∑i

∂ψm

∂ϕi dϕi,∑j∂ϕj

∂ψm∂∂ϕj )

= ∑m,i,j

∂ψm

∂ϕi∂ϕj

∂ψmA(dϕi, ∂

∂ϕj) =∑

i,j

δijA(dϕi, ∂

∂ϕj) =∑

i

A(dϕi, ∂

∂ϕi) (1.3)

Ahora extenderemos el concepto de contraccion a tensores de tipo (r, s). SeaA ∈ Trs(M), 1 ≤ i ≤ r, 1 ≤ j ≤ s. Fijo θ1, . . . , θr−1, X1, . . . ,Xs−1. La funcion

(θ,X)Ð→ A(θ1, . . . , θ, . . . , θr−1,X1, . . . ,X, . . . ,Xs−1)

(donde θ y X ocupan la posicion contravariante i-esima y covariante j-esimarespectivamente), resulta ser un tensor de tipo (1,1). Si aplico la contracciondefinida en el Lema 2, obtengo una funcion a valores reales que denotaremos(Ci

jA)(θ1, . . . , θr−1, X1, . . . ,Xs−1). CijA resulta ser un tensor de tipo (r − 1, s − 1),

al que se lo llama contraccion de A sobre i,j.Sean M,N variedades diferenciables. El pull back es un metodo para formar untensor sobre M a partir de un tensor covariante sobre N y un morfismo M Ð→ N .

Definicion 4. Sea φ ∶M Ð→ N una funcion suave. Si A ∈ T0s(N) (s ≥ 1), entonces

se define el pull back de A por φ como el tensor φ∗A ∈ T0s(M), que cumple que

(φ∗A)(v1, . . . , vs) = A(dφv1, . . . , dφvs)

para todo vi ∈ TpM , p ∈M . Si f ∈ T00(N), φ∗f ∶= f φ

Dado una funcion suave φ ∶M Ð→ N , esta induce una funcion φ∗ ∶ T0s(N) Ð→

T0s(M) R-lineal que cumple con las siguientes dos propiedades:

1. Respeta el producto tensorial: φ∗(A⊗B) = φ∗A⊗ φ∗B

2. Es funtorial: si ψ ∶ N Ð→ P es suave, entonces (ψ φ)∗ = φ∗ ψ∗.

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Ahora estudiaremos las definciones basicas del calculo tensorial; en particular, delas derivaciones tensoriales.

Definicion 5. Una derivacion tensorial D en una variedad diferenciable M es unconjunto de funciones R-lineales D=Dr

s ∶ Trs(M) Ð→ Trs(M) (r ≥ 0, s ≥ 0) quecumplen que

1. D(A⊗B) =DA⊗B +A⊗DB

2. D(CA) = C(DA) para toda contraccion C.

Es claro que si f ∈ T00(M), una derivacion es simplemente un campo vectorial.

Las derivaciones tensoriales tienen dos propiedades importantes: son de caracterlocal, y satisfacen la llamada regla del producto. Mas precisamente, cumplen conlo siguiente:

1. Si U ⊆ M es un abierto, entonces existe una unica derivacion tensorial DU

en U tal que DU(A∣U) = (DA)∣U

2. Si A ∈ Trs(M)), entonces

D(A(θ1, . . . , θr,X1, . . . ,Xs)) = (DA)(θ1, . . . , θr,X1, . . . ,Xs)

+r

∑i=1

A(θ1, . . . ,Dθi, . . . , θr,X1, . . . ,Xs)

+s

∑j=1

A(θ1, . . . , θr,X1, . . . ,DXj . . . ,Xs)

(1.4)

Observacion 4. De esta segunda propiedad y del hecho de que

(Dθ)(X) =D(θX) − θ(DX)

obtenemos que si dos derivaciones D1 y D2 coinciden en C∞(M) y en X(M),entonces son iguales.

1.2. Variedades semi-Riemannianas

El marco teorico sobre el cual se monta toda la teorıa de la Relatividad Generales el estudio de las variedades semi-Riemannianas, objetos que definiremos en estaseccion y estudiaremos en profundidad en las siguientes.

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Definicion 6. Sea M una variedad. Un tensor metrico g sobre M es un campotensorial de tipo (0,2) simetrico y no degenerado de ındice constante. O sea, g ∈ T0

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es una funcion suave que a cada p ∈M le asigna un producto escalar gp en TpM ,y el ındice de gp no varıa con p.

Recordar que el ındice de una forma bilineal simetrica b en un espacio vectorialV es ν=maxr ∈ Z:∃W ⊆ V subespacio de dim(W)=r tal que b∣W es definidanegativa

Definicion 7. Al par (M,g), siendo M una variedad diferenciable y g un tensormetrico sobre M , se lo llama variedad semi-Riemanniana.Al ındice ν de g se lo llama el ındice de M, y 0 ≤ ν ≤ dimM . Si ν = 0, M es unavariedad Riemanniana; si ν ≥ 1 y dimM ≥ 2, a M se la llama una variedad deLorentz. Seran de especial interes las variedades de Lorentz de ındice 1.

Notaciones 1. εi = −1 si 1 ≤ i ≤ ν, y εi = 1 si ν + 1 ≤ i ≤ n.

Observacion 5. La nocion de isomorfismo entre variedades semi-Riemannianasviene dado por las isometrıas. Sean M,N dos variedades semi-Riemannianas conmetricas gM y gN respectivamente. Una isometrıa φ ∶M Ð→ N es un difeomorfismoque preserva el tensor metrico: φ∗(gN) = gM .

Notaciones 2. 1. ⟨V,W ⟩ ∶= g(V,W ) para V,W ∈ X(M), y ⟨v,w⟩ ∶= gp(v,w)para v,w ∈ TpM

2. gij ∶= g(∂i, ∂j) en una carta U

3. (gij(p))−1 ∶= (gij(p)) (esta bien definida porque g es no degenerada, luego gpes inversible para p ∈M).

Definicion 8. Al conjunto de vectores v ∈ TpM se lo divide en tres grupos: si⟨v, v⟩ > 0 o v = 0, entonces v es espacial. Si ⟨v, v⟩ < 0, entonces es temporal. Si⟨v, v⟩ = 0 y v ≠ 0, entonces v es nulo. Si es temporal o nulo, se dice que el vector escausal. La categorıa donde cae cada vector v define su caracterıstica causal.

Definicion 9. Sea P ⊆ M una subvariedad de una variedad semi-Riemanniana,sea i ∶ P Ð→ M la inclusion. Si el pullback i∗g define un tensor metrico en P,entonces a P se la llama subvariedad semi-Riemanniana.

1.3. Conexion de Levi Civita

En esta seccion veremos como se construye un elemento central en el estudiode la geometrıa Riemanniana y semi-Riemanniana: la conexion de Levi Civita.

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Recordemos que el objetivo es que, dados V,W ∈ X(M), se construya un campovectorial ∇VW que tenga la propiedad que en cada p ∈M represente el cambio deW en la direccion Vp.

Definicion 10. Una conexion ∇ en una variedad diferenciable es una funcion∇ ∶ X(M) ×X(M)Ð→ X(M) que cumple con tres propiedades:

1. ∇VW es C∞(M)-lineal en V .

2. ∇VW es R-lineal en W .

3. ∇V (fW ) = (V f)W + f∇VW para f ∈ C∞(M)

Al campo ∇VW se lo llama la derivada covariante de W con respecto a V.Ahora enunciaremos uno de los teoremas mas importantes de la geometrıa semi-Riemanniana. La demostracion del mismo se encuentra en cualquier libro de geo-metrıa Riemanniana.

Teorema 1. Dada M una semi-Riemanniana, existe una unica conexion ∇, a laque llamaremos conexion de Levi Civita, que cumple con las siguientes dospropiedades para todo X,V,W ∈ X(M):

1. No tiene torsion: [V,W ] = ∇VW −∇WV

2. X⟨V,W ⟩ = ⟨∇XV,W ⟩ + ⟨V,∇XW ⟩

Mas aun, la conexion esta caracterizada por la formula de Koszul:

2⟨∇VW,X⟩ = V ⟨W,X⟩ +W ⟨X,V ⟩ −X⟨V,W ⟩− ⟨V, [W,X]⟩ − ⟨W, [X,V ]⟩ − ⟨X, [V,W ]⟩ (1.5)

Definicion 11. Sea U ⊆ M una carta con coordenadas x1, . . . , xn en una varie-dad semi-Riemanniana M. Los sımbolos de Christoffel para esta carta son elconjunto de funciones Γkij a valores reales que satisfacen, para 1 ≤ i, j ≤ n

∇∂i(∂j) =∑k

Γkij∂k

De las propiedades de la conexion se deduce facilmente que

1. ∇∂i(∑W j∂j) = ∑k∂Wk

∂xi+∑ΓkijW

j∂k

2. Γkij = 12 ∑m g

km∂gjm∂xi

+ ∂gim∂xj

− ∂gij∂xm (para probarlo basta con colocar V = ∂i,

W = ∂j y X = ∂m en la formula de Kozsul).

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Necesitamos extender el concepto de derivada covariante a tensores de cualquiertipo. Como ya tenemos definida la derivada covariante para campos, por la Obser-vacion 4 solamente necesitamos definirla sobre C∞M . En base a esto, tenemos lassiguientes tres definiciones:

Definicion 12. Sea V ∈ X(M). Llamaremos la derivada covariante de LeviCivita ∇V a la unica derivacion tensorial que cumple que ∇V f = V f para todof ∈ C∞M y ∇VW es la derivada covariante de Levi Civita que ya conocemos paratodo W ∈ X.

Definicion 13. El diferencial covariante es una aplicacion ∇ ∶ Trs(M) Ð→Trs+1(M) que cumple que, para cada A ∈ Trs(M),

(∇A)(θ1, . . . , θr,X1, . . . ,Xs, V ) = (∇VA)(θ1, . . . , θr,X1, . . . ,Xs)

En el caso de que r=s=0, ∇f = df . El tensor ∇A acumula toda la informacion delas derivadas covariantes de A. Cuando se trabaja localmente, las componentes deltensor ∇A se denotan con un ;: Ai1,...,irj1,...,js;k.

Definicion 14. Un campo tensorial A se dice que es paralelo si ∇VA para todoV ∈ X.

1.4. Contraccion metrica

En toda variedad semi-Riemanniana, tenemos un isomorfismo entre los camposvectoriales y las 1-formas, como especifica la siguiente proposicion, que lleva la ideadel lema de Riesz al contexto de variedades semi-Riemanniana:

Proposicion 2. Sea M una variedad semi-Riemanniana, y sea ψ ∶ X(M) Ð→X∗(M) la aplicacion V z→ V ∗, con V ∗(X) = ⟨V,X⟩ para todo X ∈ X(M). Enton-ces ψ es un isomorfismo C∞(M)-lineal.

Demostracion. ψ es C∞(M)-lineal, y V ∗ es una 1-forma, porque es C∞(M)-lineal.Luego basta probar dos cosas:

ψ es inyectiva: hay que ver que ⟨V,X⟩ = ⟨W,X⟩ para todo X ∈ X(M), entoncesV = W . Esto es consecuencia directa del hecho de que el tensor metrico es nodegenerado.

ψ es sobreyectiva: sea θ ∈ X∗(M), busco un V ∈ X(M) tal que θ(X) = ⟨V,X⟩.Basta verlo en coordenadas locales. Si θ = ∑ θidxi, tomo V = ∑i,j g

ijθi∂j. Luego,tenemos que

⟨V, ∂k⟩ =∑i,j

θigijgjk =∑

i

θiδik = θ(∂k)

Luego, como es C∞(M)-lineal, ⟨V,X⟩ = θ(X) para todo X localmente y, como loscampos se pegan bien, globalmente.

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De esta forma, tenemos el isomorfismo T01 ≃ T1

0. Queremos extender el isomor-fismo a tensores de cualquier tipo.

Definicion 15. Fijamos 1 ≤ a ≤ r, 1 ≤ b ≤ s. Si A ∈ Trs, definimos ↓ab A ∈ Tr−1s+1(M)

al tensor que evaluado en 1-formas y campos arbitrarios se comporta de la siguientemanera:

(↓ab A)(θ1, . . . , θr−1,X1, . . . ,Xs+1)

= A(θ1, . . . ,

a−esimaposicion↓X∗b , . . . , θr−1,X1, . . . ,Xb−1,Xb+1, . . . ,Xs+1) (1.6)

X∗b es la 1-forma equivalente al campo Xb vıa la la aplicacion ψ. A la operacion↓ab se la suele llamar bajar un ındice.

↓ab es C∞(M)-lineal, y es un isomorfismo con inversa ↑ab , definida analogamente,que se suele llamar subir un ındice.

Un caso importante es cuando tenemos un tensor A ∈ T1s expresado como una

funcion C∞(M)-lineal A ∶ X(M)s Ð→ X(M). En este caso, el tensor ↓11 A secomporta de la siguiente forma:

(↓11 A)(V,X1, . . . ,Xs) = A(V ∗,X1, . . . ,Xs)= V ∗(A(X1, . . . ,Xs)) = ⟨V,A(X1, . . . ,Xs)⟩ (1.7)

El proceso de subir y bajar ındices genera una relacion de equivalencia entre lostensores sobre una variedad:

Definicion 16. Sean A,B tensores sobre una variedad semi-Riemanniana M. Sedice que A y B son metricamente equivalentes si puedo obtener B subiendo ybajando ındices en A.Dos tensores metricamente equivalentes contienen la misma informacion.

Por ejemplo, en coordenadas locales,

Rijkl = (↓11 R)(∂i, ∂j, ∂k, ∂l) = ⟨∂i,R∂k∂l∂j⟩ =∑ gimRmjkl

.

Definicion 17. En una variedad semi-Riemanniana se define la contraccionmetrica como la operacion Cab ∶ Trs(M) Ð→ Trs−2(M), con 1 ≤ a < b ≤ s y rarbitrario que primero sube el ındice contravariante y luego contrae el tensor de laforma que ya definimos.En coordenadas locales, la contraccion metrica toma la siguiente forma:(CabA)j1,...,jri1,...,is−2

= ∑p,q gpqAj1,...,jri1,...,p,...,q,...,is−2

con p en la a-esima posicion y q en la b-esima posicion.Cab ∶ Trs(M)Ð→ Tr−2

s (M) se define analogamente.

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Lema 3. El diferencial covariante ∇ y la derivada covariante ∇V conmutan concambiar el tipo y la contraccion.

Demostracion. Como la operacion de subir un ındice es la inversa de bajarlo, bastaprobarlo solamente para bajar ındices. Es mas, si permutamos operaciones vemosque basta probarlo para cambos del tipo ↓a1. Localmente se ve que ↓a1 A = Ca

1 (g⊗A).∇V conmuta con la contraccion porque es una derivacion tensorial. Como el tensormetrico es paralelo, tenemos que

∇V (↓a1 A) = ∇V (Ca1 (g ⊗A)) = Ca

1 (g ⊗∇VA) =↓a1 (∇VA)

La cuenta para el diferencial covariante es similar.

1.5. Funcion exponencial

Empezaremos definiendo lo que es el transporte paralelo, para luego estudiarel concepto de geodesicas en una variedad semi-Riemanniana. Comenzamos conuna proposicion clasica, cuya demostracion se puede encontrar en cualquier librode geometrıa Riemanniana, que trata sobre la existencia y unicidad de la derivadacovariante inducida.

Proposicion 3. Sea α ∶ I Ð→M una curva suave en una variedad semi- Rieman-niana M . Entonces existe una unica funcion ′ ∶ X(α) Ð→ X(α) que cumple con lasiguientes propiedades:

1. (aZ1 + bZ2)′ = aZ ′1 + bZ ′

2, con a, b ∈ R

2. (hZ)′ = dhdtZ + hZ ′, con h ∈ C∞(M)

3. (Vα)′(t) = ∇α′(t)(V ), con V ∈ X(M), t ∈ I.

4. ddt⟨Z1, Z2⟩ = ⟨Z ′

1, Z2⟩ + ⟨Z1, Z ′2⟩

En coordenadas el campo Z ′ toma la siguiente forma:

Z ′ =∑k

dZk

dt+∑i,j

Γkijd(xi α)

dtZj∂k

Si Z ′ = 0, el campo de dice que es paralelo. Luego, por el teorema de existencia yunicidad de soluciones a sistemas lineales de ecuaciones diferenciales, tenemos lasiguiente propiedad:

Proposicion 4. Dada una curva α ∶ I Ð→M , un a ∈ I y un z ∈ Tα(a)M , existe ununico campo paralelo Z tal que Z(a) = z.

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En base a esto, se define el transporte paralelo a traves de α desde p =α(a) hasta q = α(b) a la aplicacion P = P b

a(α) ∶ TpM Ð→ TqM que cumple queP ba(α)(z) = Z(b).

Proposicion 5. El trasporte paralelo es una isometrıa lineal.

Demostracion. Sea c ∈ R y sean v,w ∈ TpM , que corresponden a campos paralelosV,W respectivamente. Como cV +W tambien es paralelo, P (cv+w) = (cV +W )(b) =cV (b)+W (b) = P (cv)+P (w), luego P es lineal. Si P (v) = 0, por el teorema de exis-tencia y unicidad, V ≡ 0, y luego v = V (a) = 0. Como los espacios tangentes tienenla misma dimension y P es monomorfismo, P resulta ser un isomorfismo lineal.Finalmente, recordando que d

dt⟨V,W ⟩ = ⟨V ′,W ⟩ + ⟨V,W ′⟩, tenemos que ⟨V,W ⟩ esconstante. Por lo tanto, ⟨P (v), P (w)⟩ = ⟨V (b),W (b)⟩ = ⟨V (a),W (a)⟩ = ⟨v,w⟩,luego P es una isometrıa lineal.

Definicion 18. Una geodesica en una variedad semi-Riemanniana es una curvaγ cuyo campo asociado γ′ es paralelo.

Proposicion 6. Dado un v ∈ TpM , existe una unica geodesica γv ⊆ M tal queγ′v(0) = v y su dominio de definicion Iv es maximal.

Una variedad semi-Riemanniana para la cual todas las geodesicas maximalesestan definidas en todo R se llama geodesicamente completa. Por el teorema deHopf-Rinow, esto es equivalente a ser metricamente completa.Una curva en α ∈M se dice espacial si α′(t) es espacial para todo t; analogamentese define las curvas temporales y nulas. Una curva cualquiera puede no tenerninguna de estas caracterısticas causales, sin embargo una geodesica siempre caedentro de una de estas tres categorıas, ya que α′ es paralelo, y el trasporte paraleloes una isometrıa, luego preserva el caracter causal de los vectores.En Relatividad General, hay un atlas que suele ser utilizado dado que tiene pro-piedades que simplifican las cuentas. Este atlas es el generado por las cartas concoordenadas normales. Para definir lo que son estas coordenadas, primero debe-mos definir lo que es la funcion exponencial en variedades semi-Riemannianas.Para ello, primero enunciaremos dos proposiciones:

Proposicion 7. Sea v ∈ TM . Entonces existe un entorno v ∈ U ⊆ TM y unintervalo 0 ∈ I tal que (w, s) z→ γw(s) resulta una funcion bien definida y suavede U × I Ð→M .

Proposicion 8. Dado v ∈ TM , sea G ∈ X(TM) el campo vectorial que cumple queGv es la derivada de la aplicacion sz→ γ′v(s). Entonces la proyeccion π ∶ TM Ð→M define una biyeccion entre las curvas integrales maximales de G y las geodesicasmaximales de M .

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Demostracion. Si γ es una geodesica en M , entonces γ′ es una curva integral deG: para todo s, definimos α(s) = γ′(s). Para un t fijo arbitrario, sea w = γ′(t) yβ(s) = γw(s). Sabemos que γ(t+ s) = γw(s). Tomando velocidades en M , tenemosque α(t + s) = γ′w(s) = β(s). Luego, tomando velocidades en TM , tenemos queα′(t + s) = β′(s). Evaluando en s = 0, tenemos que α′(t) = β′(0) = Gw = Gα(t).

Si α es una curva integral de G, entonces π α es una geodesica de M : siv = α(0), entonces por lo anterior la aplicacion s z→ γ′v(s) es una curva integralde G. Al igual que α empieza en v, luego, por lo menos en un intervalo, π α =π γ′v = γv. Para un t arbitrario, sea δ la curva integral de G que comienza en α(t).Luego α(t+s) = δ(s), y por lo tanto πα(t+s) = πδ(s) = γα(0)(s). Para terminar,el hecho que π γ′ = γ y (π α′) = α implica que las aplicaciones α z→ π α yγ z→ γ′ son inversas, definiendo la biyeccion deseada.

Definicion 19. Sea p ∈ M , y sea Dp ⊆ TpM el conjunto de vectores v tales que[0,1] ⊆ Iv (el dominio de definicion de γv). El mapa exponencial de M en p es lafuncion expp ∶Dp Ð→M tal que expp(v) = γv(1) para todo v ∈Dp.

Por Hopf-Rinow, M es completa si y solo si Dp = TpM para todo p ∈ M (yaque estamos trabajando en dimension finita).Si fijamos v ∈ TpM y t ∈ R, la geodesica s z→ γv(ts) tiene velocidad inicialtv. Entonces γtv(s) = γv(ts) (donde la igualdad tenga sentido), y por lo tantoexpp(tv) = γtv(1) = γv(t). Esto quiere decir que expp manda rectas a traves delorigen en TpM a geodesicas que pasan a traves de p en M .

Proposicion 9. Para todo punto p ∈M existen entornos 0 ∈ U ⊆ TpM , p ∈ U ⊆Mtales que expp ∶ UÐ→ U es un difeomorfismo.

Demostracion. Como expp es diferenciable en TpM , basta con probar que dexp ∶T0(TpM)) Ð→ TpM es un isomorfismo en p. Es claro que TpM y T0(TpM) tienenla misma dimension. Ademas,

tz→ tv en TpMÐ→exp tz→ exp(tv) = γv(t)

Luego dexp(v) = v. Por el teorema de la funcion inversa se deduce la proposicion.

Si en la proposicion anterior U resulta ser estrellado alrededor del 0, entoncesa U se lo llama entorno normal de p.

Proposicion 10. Si p ∈ U ⊆ M es un entorno normal de p, entonces para todoq ∈ U existe una unica geodesica σ ∶ [0,1] Ð→ U que une a p con q. Mas aun,σ′(0) = exp−1

p (q) ∈ U.

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Demostracion. Por definicion, U es un entorno estrellado de 0 en TpM tal queexpp∣U es un difeomorfismo en U. Para q ∈ U, sea v = exp−1

p (q) ∈ U. Como U es

estrellado, ρ(t) = tv, 0 ≤ t ≤ 1 ⊆ U. Luego, σ = expp ρ, 0 ≤ t ≤ 1 ⊆ U y σ une ap con q. Ademas, σ′(0) = v.Veamos la unicidad: supongamos que τ ∶ [0,1] Ð→ U es una geodesica contenidaen U que une p con q. Si w = τ ′(0), entonces las geodesicas t z→ expp(tw) y τtienen las mismas velocidades iniciales, luego son iguales.El segmento radial t z→ tw, 0 ≤ t ≤ 1 esta contenido en U, luego w ∈ U. Peroexpp(w) = ρ(1) = p = expp(v) y expp es biyectiva en U, luego v = w. Por la unicidadde las geodesicas, ρ = σ.

Una geodesica rota es una curva diferenciable a trozos cuyos segmentos suavesson geodesicas. Esta definicion nos lleva al siguiente lema:

Lema 4. Una variedad semi-Riemanniana M es conexa si y solo si, dados dospuntos, existe una geodesica rota que los une.

Demostracion. Fijo p ∈M . Sea C ∈M el conjunto de puntos en M que pueden serunidos con p por una geodesica rota. Para q ∈M , sea U un entorno normal de q.Si q ∈ U, entonces U ∈ C. Si q ∈M −C, U ⊆M −C. Luego, C es abierto y cerrado.Como M es conexo, M = C. La vuelta es obvia.

Definicion 20. Sea p ∈ U ⊆M un entorno normal de p, sean e1, . . . , en una baseortonormal de TpM , con ⟨ei, ej⟩ = δijεj. Las coordenadas normales (x1, . . . , xn)determinadas por e1, . . . , en son las que asignan a cada q ∈ U el vector relativo a labase e1, . . . , en:

exp−1p (q) =∑xi(q)ei

Luego, si f 1, . . . , fn es la base dual de ei, entonces xi expp = f i en U.

Proposicion 11. Si x1, . . . , xn son coordenadas normales en p ∈M , entonces paratodo i, j, k, se cumple que gij(p) = δijεj y Γkij(p) = 0.

Demostracion. Si v ∈ TpM , lo escribimos como v = ∑aiei. Como expp(tv) = γv(t),xi(γv(t)) = f i(tv) = tf i(v) = tai. Por lo tanto, v = γ′v(0) = ∑ai∂i∣p. En particular,ej = ∂j ∣p, y luego se deduce la primera afirmacion. Teniendo en cuenta lo querecien demostramos de xi γv, la ecuacion diferencial de las geodesicas toma laforma ∑i,j Γkij(γv(t))aiaj = 0 para todo k. En particular, ∑i,j Γkij(0)aiaj = 0 paratodo a = (a1, . . . , an) ∈ R. Fijando k, esto significarıa que cierta forma bilinealen R es identicamente cero. Por la formula de polarizacion de formas bilineales,obtenemos que Γkij(0) = 0.

El hecho de que los sımbolos de Christoffel se anulen cuando utilizamos coor-denadas normales suele simplificar notablemente las cuentas.

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1.6. Curvatura

Definicion 21. Sea (M,∇) una variedad semi-Riemanniana dotada de una cone-xion de Levi Civita. A la funcion R ∶ X(M)3 Ð→ X(M) definida por R(X,Y )Z =RXYZ = ∇[X,Y ]Z − [∇X ,∇Y ]Z se lo llama tensor de curvatura o tensor deRiemann. Este resulta ser un tensor de tipo (1,3).

Si fijamos p ∈M , dados x, y ∈ TpM , tenemos el operador lineal Rxy ∶ TpM Ð→TpM que manda z z→ Rxy(z), al que se lo llama operador de curvatura. Unade las ventajas de este operador es que cuenta con varias simetrıas utiles al hacercuentas.

Proposicion 12. Si x, y, z, v,w ∈ TpM , entonces

1. Rxy = −Ryx

2. ⟨Rxyv,w⟩ = ⟨Rxyw, v⟩ (el operador de curvatura es antiadjunto)

3. Rxyz +Ryzx +Rzxy = 0 (primera identidad de Bianchi)

4. ⟨Rxyv,w⟩ = ⟨Rvwx, y⟩

Demostracion. Como ∇X y [⋅, ⋅] son operaciones locales, basta ver estas propieda-des en un entorno p ∈ U. Como las identidades son tensoriales, podemos extenderlos vectores x, y, z, v,w a campos X,Y,Z,V,W , eligiendo estos campos de tal for-ma que el corchete de ellos dos a dos sea siempre cero (basta extenderlos de talforma que tengan componentes constantes para cierta base coordenada). Bajo estaeleccion, el tensor de curvatura se simplifica: RXYZ = ∇Y∇XZ −∇X∇YZ. De aca,(1) es claro.(2) Por la formula de polarizacion, basta ver que ⟨Rxyv, v⟩ = 0. Pero tenemos que,por la propiedad 2 del Teorema 1 y por la formula de Koszul,

⟨RXY V,V ⟩ = ⟨∇Y∇XV,V ⟩ − ⟨∇X∇Y V,V ⟩= Y ⟨∇XV,V ⟩ − ⟨∇XV,∇Y V ⟩ −X⟨∇Y V,V ⟩ + ⟨∇Y V,∇XV ⟩

= 1

2[Y,X]⟨V,V ⟩ = 0 (1.8)

(3) Si F ∶ X(M)3 Ð→ X(M) es simplemente R-lineal, y sea GF (X,Y,Z) la sumasobre las permutaciones cıclicas de X,Y,Z:

GF (X,Y,Z) = F (X,Y,Z) + F (Y,Z,X) + F (Z,X,Y )

Luego, una permutacion cıclica de X,Y,Z deja invariante a GF (X,Y,Z). Luego,

GRXYZ = G∇Y∇XZ −G∇Y∇XZ

= G∇X∇ZY −G∇Y∇XZ = G∇X[Z,Y ] = 0 (1.9)

14

(4) La idea de esta demostracion es la siguiente: por (3), ⟨GRY VX,W ⟩ = 0. Sisumamos sobre las 4 permutaciones cıclicas de Y,V,X,W y expandimos GRY V ,obtenemos 12 terminos. Usando (1) y (2), 8 de estos terminos se cancelan y obte-nemos 2(⟨RXY V,W ⟩ + ⟨RWVX,Y ⟩) = 0, y de aca obtenemos (4).

Recordando que ∇R ∈ T14(M), estas simetrıas inducen una quinta simetrıa:

Proposicion 13 (Segunda identidad de Bianchi). Si x, y, z ∈ TpM , entonces(∇zR)(x, y) + (∇xR)(y, z) + (∇yR)(z, x) = 0.

Demostracion. Extendemos (x, y, z)z→ (X,Y,Z) de tal forma que para un siste-ma de coordenadas normal, las extensiones tienen componentes constantes. Conesta eleccion se anulan los corchetes dos a dos, pero tambien se anulan los sımbolosde Christoffel en p, de esta forma, de la formula en la Definicion 1.3, las 9 derivadascovariantes que involucran a X,Y,Z dan 0. Por la regla del producto, tenemos que

(∇ZR)(X,Y )V= ∇Z(R(X,Y )V ) −R(∇ZX,Y )V −R(X,∇ZY )V −R(X,Y )(∇ZV ) (1.10)

Como las derivadas covariantes se anulan en p, los dos terminos del medio de laparte derecha de la igualdad se anulan. Luego, sacando a V de la ecuacion, tenemosque

(∇ZR)(X,Y ) = [∇Z ,R(X,Y )] = [∇Z , [∇Y ,∇Z]] en pLuego, por la identidad de Jacobi para el corchete, sumando sobre las permuta-ciones cıclicas X,Y,Z, obtenemos que G(∇ZR)(X,Y )) = 0 en p.

Lema 5. En una carta con coordenadas x1, . . . , xn, R∂k∂l(∂j) = ∑iRijkl∂i, con

Rijkl =

d

dxlΓikj −

d

dxkΓilj +∑

m

ΓilmΓmkj −∑m

ΓikmΓmlj

Demostracion. Se deduce directamente de la definicion del tensor R, del hecho que[∂i, ∂j] = 0 y de las propiedades de la derivada covariante.

1.6.1. Curvatura seccional

En general, el tensor de curvatura es difıcil de calcular. Es por eso que surgela necesidad de buscar otros elementos mas sencillos que describan al tensor decurvatura completamente, y en base a ello se define la curvatura seccional.

A un subespacio de dimension 2 Π ∈ TpM se lo llama plano tangente. Dadosv,w, se define Q(v,w) = ⟨v, v⟩⟨w,w⟩ − ⟨v,w⟩2. El plano Π se dice no degeneradosi Q(v,w) ≠ 0 para alguna (toda) base v,w de Π. Q(v,w) es positivo si g∣Π esdefinida, y negativo si es indefinida.

15

Lema 6. Sea Π un plano tangente a M en p no degenerado. El numero

K(v,w) = ⟨Rvwv,w⟩Q(v,w)

no depende de la base v,w de Π, y se lo llama curvatura seccional K(Π) de Π.

Demostracion. Dadas v,w y x, y dos bases de Π, tenemos que existe ( a bc d ) ∈GL2R tal que ( vw ) = ( a bc d )(

xy ). Luego

⟨Rvwv,w⟩ = (ad − bc)2⟨Rxyx, y⟩

Q(v,w) = (ad − bc)2Q(x, y)

De esta forma, K es una funcion bien definida a valores reales en el conjuntode planos tangentes no degenerados a M .

Es claro que el tensor de curvatura define a K. La propiedad interesante es queK determina a R. El objetivo de esta subseccion es probar tal propiedad.

Lema 7. Dados dos vectores v,w en un espacio dotado de un producto escalar,entonces existen vectores v,w arbitrariamente cercanos a v,w que generan un planono degenerado.

Demostracion. Asumimos que v,w son linealmente independientes, porque pode-mos aproximarlos por vectores linealmente independientes. El plano generado porv,w lo asumimos degenerado, luego el producto escalar es indefinido. Si v es nulo,tomamos x tal que ⟨v, x⟩ ≠ 0; si v es no nulo, tomamos x de caracter causal opues-to. Luego Q(v, x) < 0.Ahora queremos ver que dado ε ≠ 0, v y w + εx generan un plano no degene-rado. Si expandimos Q(v,w + εx), obtenemos algo de la forma bε + ε2Q(v, x). Sib = 0, da distinto de 0 porque Q(v, x) < 0. Si b ≠ 0, para ε ≪ 1, ε > ε2, y luegoQ(v,w + εx) ≠ 0.

Proposicion 14. Si Kp = 0, entonces R = 0 en p. O sea, si K(Π) = 0 para todoplano Π ⊆ TpM no degenerado, entonces Rxyz = 0 para todo x, y, z ∈ TpM .

Demostracion. (1) Primero veamos que ⟨Rvwv,w⟩ = 0 para todo v,w ∈ TpM .Si v,w generan un plano no degenerado, entonces ⟨Rvwv,w⟩ = 0. Por el lema,cualquier par de vectores se puede aproximar por este tipo de vectores. Como⟨Rxyv,w⟩ es multilineal, es continua en TpM4, vale la afirmacion.(2) Ahora probemos que Rvwv = 0 para todo v,w ∈ TpM .Para un x arbitrario, tenemos que

⟨Rv,w+xv,w + x⟩ = ⟨Rv,wv,w⟩ + ⟨Rv,xv,w⟩ + ⟨Rv,wv, x⟩ + ⟨Rv,xv, x⟩

16

Por (1), tres miembros se anulan, y debido a la simetrıa del tensor de curvatura,tenemos que ⟨Rvwv, x⟩ para todo x.(3) Probemos que Rvwx = Rwxv, para todo v,w, x ∈ TpM .Rv+x,w(v + x) = Rvwv +Rxwv +Rvwx +Rxwx. Por (2), 3 terminos se anulan, y porla antisimetrıa en los subındices obtenemos lo deseado.Por (3), Rvwx es invariante ante permutaciones cıclicas de x, v,w. Por la primeraidentidad de Bianchi, Rvwx = 0 para todo v,w, x, y luego R ≡ 0.

Una variedad semi-Riemanniana cuyo tensor R es constantemente cero (o, porlo de recien, si K ≡ 0) se dice que es flat. En la demostracion de la Proposicion 13solamente utilizamos las simetrıas del tensor R, no explıcitamente que es R. Poreso, si una funcion multilineal F ∶ TpM4 Ð→ R tiene las mismas simetrıas que lafuncion (v,w, x, y) z→ ⟨Rvwx, y⟩ expresadas en la Proposicion 13, entonces tam-bien cumplira con la propisicion. Luego F (v,w, v,w) = 0 para todo v,w generandoun plano no degenerado en TpM implica que F = 0. En base a esto, obtenemos elresultado que buscamos:

Corolario 1. Sea F ∶ TpM4 Ð→ R una funcion multilineal que tiene las mismassimetrıas que (v,w, x, y)z→ ⟨Rvwx, y⟩ y tal que

K(v,w) = F (v,w, v,w)Q(v,w)

para todo v,w que genera un plano no degenerado en TpM . Entonces ⟨Rvwx, y⟩ =F (v,w, x, y) para todo v,w, x, y ∈ TpM .

Demostracion. La funcion ∆(v,w, x, y) = ⟨Rvwx, y⟩−F (v,w, x, y) tiene las mismassimetrıas que la Proposicion 12. Por hipotesis, ∆(v,w, v,w) = 0 si v,w generan unplano no degenerado. Luego, ∆ = 0.

1.6.2. Curvatura de Ricci y escalar

Comenzamos esta subseccion recordando que toda variedad semi-Riemannianaes localmente paralelizable; o sea, existen E1, . . . ,En campos vectoriales unitariosy ortogonales dos a dos definidos localmente. A este conjunto se lo suele llamarmarco ortonormal. Una variedad es paralelizable si existe un marco ortonormalglobal.

Definicion 22. Se define al tensor de Ricci como Ric = C13(R) ∈ T0

2. Mas aun,debido a las simetrıas del tensor R, sus unicas contracciones no identicamente ceroson ±Ric.Otra forma de interpretar al tensor de Ricci es verlo como la traza de cierto ope-rador: Ric(X,Y ) = Tr(V z→ RXV Y ).En coordenadas locales, Rij = ∑Rm

ijm.

17

Lema 8. Ric es simetrico y, dado un marco ortonormal E1, . . . ,En con εm ∶=⟨Em,Em⟩, se escribe como Ric(X,Y ) = ∑m εm⟨RXEmY,Em⟩.

Demostracion. Notamos R(X,Y,Em) = RY EmX. Luego

Ric(X,Y ) = (C13(R))(X,Y ) =∑ εm⟨Em,R(X,Y,Em)⟩ =∑

m

εm⟨RY EmX,Em⟩

Por simetrıa obtenemos la formula deseada y muestra que Ric es simetrico.

Como el tensor de curvatura define al tensor de Ricci, y la curvatura seccionaldetermina el tensor de curvatura, es importante estudiar de que forma la curvaturaseccional determina al tensor de Ricci.Sea p ∈M . Sea u ∈ TpM un vector unitario, y sea e1, . . . , en un marco ortonormalen TpM tal que e1 = u. Entonces

Ric(u,u) =∑m

εm⟨Ruemu, em⟩ = ⟨u,u⟩∑K(u, em)

Recordando que 2Ric(u, v) = Ric(u + v, u + v) − Ric(u,u) − Ric(v, v), obtenemosque el tensor de Ricci en cada punto se escribe en funcion de las curvas seccionales.

Definicion 23. La curvatura escalar S de M se define como la contraccionC(Ric) ∈ C∞(M).Relativo a un marco ortonormal, el tensor cumple que S = ∑i≠jK(Ei,Ej).Localmente, S = ∑ gijRij = ∑ gijRk

ijk.

1.7. Operadores diferenciales

Hay 4 operadores diferenciales muy utilizados en calculo en 3 dimensiones quese pueden generalizar a variedades semi-Riemannianas, y que terminan siendoutiles para la deduccion original de las ecuaciones de Einstein, ası como para lainterpretacion de ciertos modelos cosmologicos: radiente, divergencia, hessiano ylaplaciano.

Definicion 24. El gradiente grad ∶ C∞(M)Ð→ X(M) es la aplicacion que a cadaf ∈ C∞(M) le asigna el campo metricamente equivalente a df ; o sea, para todocampo X,

⟨grad(f),X⟩ = df(X) =Xf

Localmente, df = ∑ ∂f∂xidxi, luego grad(f) = ∑i,j g

ij ∂f∂xi∂j.

Proposicion 15. Si f ∶ M Ð→ R es una funcion suave con ∣grad(f)∣ constante,entonces las curvas integrales del campo grad(f) son geodesicas.

18

Demostracion. Tenemos que

⟨∇Xgrad(f), Y ⟩ =X⟨grad(f), Y ⟩ − ⟨grad(f),∇XY ⟩=XY (f) −∇XY (f) = Y X(f) −∇YX(f)

= ⟨∇Y grad(f),X⟩ (1.11)

Ahora veremos que grad(f) es paralelo cuando es visto como campo sobre suscurvas integrales, lo que implicarıa que estas curvas integrales son geodesicas. SeaX un campo.

⟨∇grad(f)grad(f),X⟩ = ⟨∇Xgrad(f), grad(f)⟩ =1

2X⟨grad(f), grad(f)⟩ = 0

porque ∣grad(f)∣ es constante.

Definicion 25. Dado un tensor A, al proceso de contraer la nueva posicion cova-riante de ∇A con una de las posiciones originales se lo suele llamar divergenciade A, o div(A).

Hay dos casos destacados donde la divergencia esta unıvocamente definida:

1. Si V ∈ X(M), div(V ) = C(∇V ) ∈ C∞(M). En un marco ortonormal, div(V ) =∑ εi⟨∇Ei

V,Ei⟩, y, en coordenadas locales,

div(V ) =∑i

∂Vi

∂xi+∑

j

ΓkijVj

2. Si A ∈ T02, div(A) = C13(∇A) = C23(∇A) ∈ X∗(M). En un marco ortonor-

mal, div(A)(X) = ∑ εi(∇EiA)(Ei,X). En coordenadas locales, (div(A))i =

∑r,s grsAri;s = ∑sA

si;s.

Definicion 26. Dada f ∈ C∞(M), se define el Hessiano de f como Hf =∇(∇(f)).

Lema 9. Hf es el tensor (0,2) simetrico que cumple que

Hf(X,Y ) =XY f − (∇XY )f = ⟨∇X(grad(f)), Y ⟩

Demostracion. Como ∇f = df , tenemos que

Hf(X,Y ) = ∇(df)(X,Y ) = ∇Y (df)(X) = Y (df(X))− df(∇YX) = Y Xf − (∇YX)f

Como XY − Y X = [X,Y ] = ∇XY − ∇YX, en la formula anterior podemos inter-cambiar X con Y, y de esta forma vemos que el tensor es simetrico. Por ultimo,

⟨∇X(grad(f)), Y ⟩ =X⟨grad(f), Y ⟩ − ⟨grad(f),∇XY ⟩ =Hf(X,Y )

.

19

Definicion 27. Dada f ∈ C∞(M), se define el Laplaciano de f como ∆f =div(grad(f)) ∈ C∞(M).

Como el diferencial covariante conmuta con cambiar el tipo de tensor, se deduceque

∆f = div(grad(f)) = C∇grad(f) = C∇(↑11 df) = C ↑11 ∇df = (C ↑11)Hf = C12Hf

Por lo tanto, el Laplaciano resulta ser la contraccion de Hessiano.En coordenadas locales,

∆f =∑i,j

gijHij =∑i,j

gij ∂2f

∂xi∂xj−∑

k

Γkij∂f

∂xk

Para terminar esta seccion, demostraremos una propiedad que relaciona lo desa-rrollado en la seccion de curvatura con lo hecho en esta seccion sobre operadoresdiferenciales.

Proposicion 16. Siendo S la curvatura escalar de M , entonces dS = 2div(Ric).

Demostracion. Tomando coordenadas normales notamos

(∇∂rR)∂k∂l(∂j) =∑Rijkl;r∂i

Por la segunda identidad de Bianchi, tenemos que

Rijkl;r +Ri

jlr;k +Rijrk;l = 0

Usando la simetrıa, intercambiamos r y k en el tercer termino. Tomamos el casoi=r y contraemos en r:

∑r

Rrjkl;r +∑

r

Rrjlr;k −∑

r

Rrjkr;l = 0

Como ∑rRrjlr;k = Ricjl;k y ∑rR

rjkr;l = Ricjk;l, nos queda

∑r

Rrjkl;r +Ricjl;k −Ricjk;l = 0

Multiplicamos por gjk y contraemos en j y k:

∑r,j,k

gjkRrjkl;r +∑

j,k

gjkRicjl;k + S;l = 0

Analicemos el segundo termino. Recordando que el tensor metrico es simetrico,hacemos un cambio de tipo y obtenemos que

∑j,k gjkRicjl;k = ∑j,k,m g

jkgjmRicml;k = ∑k,m(∑j gkjgjm)Ricml;k= ∑k,m

δkmRicml;k =∑

m

Ricml;m (1.12)

20

Por la simetrıas del tensor de curvatura, sabemos que Rmjkl;r = Rjmlk;r. Entonces,en el primer termino tenemos que

∑r,j,k gjkRr

jkl;r = ∑r,j,k,m gjkgrmRmjkl;r

= ∑r,j,k,m

grmgjkRjmlk;r = ∑r,k,m

grmRkmlk;r

=∑r,m

grmRicml;r =∑r

Ricrl;r =∑m

Ricml;m (1.13)

Por lo tanto, juntando todo, tenemos que

2∑m

Ricml;m = S;l

Finalmente, esta es la expresion local de la igualdad

2div(Ric) = ∇S = dS

1.8. Subvariedades semi-Riemannianas

El objetivo de esta seccion sera dar a conocer al lector la teorıa de subvariedadesde variedades semi-Riemannianas, sobre como la geometrıa del espacio ambientese relaciona con la geometrıa de la subvariedad. Para eso, enunciaremos los teo-remas y propiedades mas importantes, y solamente haremos las demostracionesque creemos que estas agregan algo al lector. Para una lectura mas completa,recomendamos [15], capıtulo 4.

Como notacion general, trabajaremos con subvariedades M ⊆M , y para distin-guir entre objetos definidos en el espacio ambiente M y la subvariedad M usaremosla raya superior. Por ejemplo, el tensor de curvatura enM lo notaremos R, mientrasque el tensor de curvatura en M lo notaremos R. Para campos vectoriales sobreuna curva, usaremos el punto para indicar que estamos en el espacio ambiente (Y )y el tilde (Y ′) para indicar que estamos trabajando en la subvariedad.

Llamamos X(M) = X ∶ M Ð→ TM / Xp ∈ TpM, que tiene estructura deC∞(M)-modulo. Para todo Y ∈ X(M), Y ∣M ∈ X(M). Si identificamos de la formaevidente los vectores con su imagen vıa la inclusion, tenemos que X(M) ⊆ X(M)es un submodulo.

Como cada TpM es un subespacio no degenerado de TpM , tenemos la descom-posicion

TpM = TpM ⊕ TpM⊥

21

con TpM⊥ no degenerado. Luego, para cada v ∈ TpM tenemos la descomposicion

v = tan(v) + nor(v), con

tan ∶ TpM Ð→ TpM y nor ∶ TpM Ð→ TpM⊥

las proyecciones ortogonales.Si llamamos X(M)⊥ al submodulo de X(M) cuyo vectores en cada punto per-

tenecen a TpM⊥, entonces aplicando tan y nor en cada punto nos deja dos proyec-

ciones ortogonales C∞(M)-lineales bien definidias (ya que los campos resultantesson suaves):

tan ∶ X(M)Ð→ X(M) y nor ∶ X(M)Ð→ X(M)⊥

En lo que sigue, usaremos las letras V,W para notar campos tangentes a M , y Zpara campos normales.

1.8.1. Conexion inducida y normal

En M ya hemos definido la conexion de Levi Civita. El proposito de esta secciones construir la conexion inducida en M ∇ ∶ X(M) ×X(M)Ð→ X(M).Sean (V,X) ∈ X(M) ×X(M). Dado p ∈M , tomamos (V ,X) ∈ X(M)2 extensioneslocales en un entorno U. Definimos ∇VX ∶= (∇VX)∣U∩M .

Lema 10. ∇VX ∈ X(M) esta bien definido.

Demostracion. Basta ver que ∇VX no depende de la eleccion de las extensio-nes V ,X. En una carta U, escribimos X = ∑ f i∂i. Luego ∇VX = ∑V (f i)∂i +∑ f i∇V (∂i). Pero en q ∈ U ∩M , (V f i)(q) = Vq(f i) = Vq(f i∣U∩M) y ∇V (∂i)∣q =∇V (∂i)∣q. Por lo tanto ∇VX solamente depende de V y X.

En el caso de la conexion inducida, mantendremos la notacion ∇. La conexioninducida cumple con las 5 propiedades analogas listadas en la Definicion 10 y elTeorema 1.

Lema 11. Sean V,W ∈ X(M), entonces ∇VW = tan(∇VW ), ∇ la conexion deLevi Civita en M .

Definicion 28. Se define el tensor de forma o segunda forma fundamentala la funcion Π ∶ X(M)×X(M)Ð→ X(M)⊥ que cumple que Π(V,W ) = nor(∇VW ).

El tensor de forma resulta ser C∞(M)-bilineal y simetrico.En base a estas ultimos comentarios, obtenemos la siguiente descomposicion:

∇VW = ∇VW +Π(V,W )

Esta descomposicion nos lleva a lo que se suele llamar la ecuacion de Gauss:

22

Teorema 2. Sean V,W,X,Y ∈ X(M). Entonces

⟨RVWX,Y ⟩ = ⟨RVWX,Y ⟩ + ⟨Π(V,X),Π(W,Y )⟩ − ⟨Π(V,Y ),Π(W,X)⟩

Corolario 2. Si v,w son base de un plano no degenerado tangente a M , entonces

K(v,w) =K(v,w) + ⟨Π(v, v),Π(w,w)⟩ − ⟨Π(v,w),Π(v,w)⟩Q(v,w)

Analicemos brevemente estos mismos conceptos aplicados a campos sobre cur-vas.

Proposicion 17. Sea Y un campo tangente a M sobre una curva α ⊆M . EntoncesY = Y ′ +Π(α′, Y )

Corolario 3. α = α′′ +Π(α′, α′)

Corolario 4. Una curva α ⊆ M es geodesica de M si y solo si su aceleracion enM (α) es normal a M en todo punto.

Estos ultimos dos corolarios muestran el porque del nombre tensor de forma:sean p ∈ M , v ∈ TpM y γ la geodesica en M con velocidad inicial v. En M , γes recta, luego su curvatura en M es la forzada por la curvatura misma de M enM . Por el corolario, sabemos que γ(0) = Π(v, v). Luego, para todo V , Π define laforma de M en M en cada punto p ∈M .Por ahora estudiamos la geometrıa de M a traves de los vectores tangentes aella. Ahora presentamos un estudio analogo, que busca deducir propiedades de lageometrıa de M a traves del estudio de los vectores normales a ella.

Definicion 29. La conexion normal de M ⊆ M es una funcion ∇⊥ ∶ X(M) ×X(M)⊥ Ð→ X(M)⊥ tal que, para todo V ∈ X(M) y Z ∈ X(M)⊥,

∇⊥VZ = nor(∇VZ)

A ∇⊥VZ se lo llama la derivada normal covariante de Z con respecto a V , y midecuanto varıa la normal Zp cuando p se mueve vıa V .

La derivada normal covariante cumple con propiedades similares a la de lasconexiones.

Definicion 30. Sean V,X,Y ∈ X(M), y Π el tensor de forma en M ⊆ M . Sedefine ∇V Π ∶ X(M)2 Ð→ X(M)⊥ como la funcion C∞(M)-bilineal y simetrica quecumple que

∇V Π(X,Y ) = ∇⊥V (Π(X,Y )) −Π(∇VX,Y ) −Π(X,∇XY )

23

Ası como cuando trabajamos con la conexion inducida obtuvimos la ecuacionde Gauss, que describe tan(RVWX) en terminos del tensor de forma, de trabajarcon la conexion normal se obtiene la ecuacion de Codazzi:

Proposicion 18. Si V,W,X ∈ X(M), entonces

nor(RVWX) = (∇WΠ)(V,X) − (∇V Π)(W,X)

1.8.2. Hipersuperficies

Una hipersuperficie semi-Riemanniana M de M es una subvariedad decodimension 1.

Lema 12. Sea z un vector normal a M tal que ⟨z, z⟩ = 0. Entonces z = 0.

Demostracion. Como z es un vector normal a M con la propiedad ⟨z, z⟩ = 0, zes perpendicular a TpM , y a si mismo. Como codim(M) = 1, esto implica quees perpendicular a TpM . Por la no degeneracion del tensor metrico, tenemos quez = 0.

Definicion 31. El signo ε de una hipersuperficie M de M es

+1 si ⟨z, z⟩ > 0 para todo vector normal z ≠ 0-1 si ⟨z, z⟩ < 0 para todo vector normal z ≠ 0

Definicion 32. Sea U un campo vectorial unitario y normal a una hipersuperficieM . Definimos el operador de forma de M en M derivado de U al tensorde tipo (1,1) S que cumple que, para todo V,W ∈ X(M),

⟨S(V ),W ⟩ = ⟨Π(V,W ), U⟩

Localmente siempre existe un campo normal unitario, y por eso S esta biendefinido salvo por el signo, ya que si en lugar de tomar U tomo −U , el signo de Scambia.

Proposicion 19. Sea S el operador de forma derivado de U . Entonces S(V ) =−∇VU y el operador inducido S ∶ TpM Ð→ TpM es autoadjunto.

Demostracion. Como ⟨U,U⟩ es constante, ⟨∇VU,U⟩ = 0. Luego ∇VU es tangentea M para todo V ∈ X(M). Pero si W ∈ X(M), entonces

⟨S(V ),W ⟩ = ⟨Π(V,W ), U⟩ = ⟨∇VW,U⟩ = ⟨−∇VU,W ⟩

La segunda igualdad es consecuencia de que U es normal, y la tercera igualdadconsecuencia de que ⟨U,W ⟩ es constante. Entonces, como g es no degenerado,S(V ) = −∇VU , y el hecho de que el operador inducido es autoadjunto se deducedirectamente de la simetrıa de Π.

24

Corolario 5. Sea v,w una base de un plano tangente a una hipersuperficie M nodegenerado, y ε el signo de M . Entonces

K(v,w) =K(v,w) + ε⟨Sv, v⟩⟨Sw,w⟩ − ⟨Sv,w⟩2

Q(v,w)

1.8.3. Mapas biparametricos

Para empezar, supongamos que M es una variedad diferenciable. Sea D ⊆ R2

un abierto. Un mapa a dos parametros es una funcion suave h ∶ D Ð→M . De h seobtienen dos familias de curvas parametricas:

1. Fijo v = v0 y tengo la curva uz→ h(u, v0) con velocidad hu = dh(∂u).

2. Fijo u = u0 y tengo la curva v z→ h(u0, v) con velocidad hv = dx(∂v).hu, hv son las velocidades parciales de h, y son campos vectoriales sobre h.Si h cae dentro de una carta con coordenadas x1, . . . , xn, sus funciones coordenadashi = xi h son funciones a valores reales sobre D. Entonces

hu =∑∂hi

∂u∂i , hv =∑

∂hi

∂v∂i

Ahora supongamos que M tiene estructura de variedad semi-Riemanniana. Si Z esun campo vectorial sobre h, definimos Zu y Zv como las derivadas covariantes de Zsobre las curvas de parametros u y v, respectivamente. Explıcitamente, Zu(u0, v0)es la derivada covariante en u0 del campo vectorial u z→ Z(u, v0) sobre la curvauz→ h(u, v0).

En coordenadas, si Zi = Z xi, tenemos que Z = ∑Zi∂i. Luego,

Zu =∑k

(∂Zk

∂u+∑i,j

ΓkijZi∂x

j

∂u)∂k

Proposicion 20. Si h es un mapa a dos parametros en una variedad semi-Riemanniana M , entonces huv = hvu.

Demostracion. Siguiendo la formula en coordenadas,

huv =∑k

( ∂2hk

∂v∂u+∑i,j

Γkij∂xi

∂u

∂xj

∂v)∂k

Como los Γkij son simetricos en i, j, la formula es simetrica en u, v.

Proposicion 21. Si Z es un campo vectorial en h, entonces

Zuv −Zvu = R(hu, hv)Z

Demostracion. De la formula en coordenadas de Zu se calcula Zuv−Zvu se obtienenlos componentes del tensor de curvatura como en el Lema 5.

25

CAPITULO 2

Geometrıa Lorentziana

Luego del estudio de variedades semi-Riemannianas realizado en el capıtulo1, en este capıtulo nos dedicaremos a estudiar una clase particular de estas va-riedades: las variedades Lorentzianas de ındice 1. Una metrica en una variedadRiemanniana le da a cada espacio tangente una estructura de espacio vectorialcon producto interno, linealmente isometrico a Rn, mientras que una metrica enuna variedad de Lorentz dota a cada espacio tangente de una estructura que lohace linealmente isometrico al espacio de Minkowski Rn

1 (recordemos que el espa-cio de Minkoski se suele definir como un R-espacio vectorial junto con una formabilineal no degenerada, simetrica con signatura (−,+ . . . ,+)).

En este capıtulo daremos los resultados basicos que se obtienen en estas geo-metrıas, prestando especial enfasis en la construccion de una estructura causal enuna variedad de Lorentz. Lo estudiado en este capıtulo se retomara en el capıtulo4 para estudiar mas profundamente ciertos aspectos topologicos y geometricos quesurgen naturalmente en variedades de Lorentz, que son la base desde donde seconstruyen los teoremas de singularidad.

Antes de comenzar con el estudio local, enunciaremos el lema de Gauss, unode los resultados mas utiles a la hora de estudiar la geometrıa local de variedadessemi-Riemannianas, ya que nos da cierta intuicion de como se comporta la fun-cion exponencial en un entorno de un punto p ∈ M : logra describir a la funcionexponencial expp como una isometrıa parcial cuyas distorciones se encuentran endirecciones ortogonales a las direcciones radiales en TpM . Ademas, la longitud delos vectores radiales se preserva. La demostracion del mismo se puede encontraren [3].

26

Lema 13 (Gauss). Sea p ∈ M y v ∈ TpM tal que exppv esta definida. Sea w ∈TpM ≃ Tv(TpM). Entonces

⟨(dexpp)v(v), (dexpp)v(w)⟩ = ⟨v,w⟩

2.1. Entornos convexos

Sea M una variedad semmi-Riemanniana, en principio completa. El conjuntode funciones exponenciales expp ∶ TpM Ð→ M induce una funcion exponencialglobal exp ∶ TM Ð→M . Si π ∶ TM Ð→M es la proyeccion canonica, se define E ∶TM Ð→ M ×M como E(v) = (π(v), exp(v)). Si M no fuera completa, llamamosD ∶= v ∈ TM tal que γv esta definida por lo menos en el intervalo [0,1] aldominio maximo de definicion de exp, y resulta ser el dominio maximo de definicionde E. Luego, Dp = D ∩ TpM es el dominio maximo de definicion de expp. TantoD ⊆ TM como Dp ⊆ TpM son abiertos, y Dp resulta ser estrellado alrededor del 0.

Definicion 33. Sea M una variedad semi-Riemanniana, y C ⊆ M un abierto. AC se lo llama convexo si es un entorno normal de cada uno de sus puntos.

Lema 14. Si expp ∶ Dp Ð→M es no singular en x ∈ Dp, entonces E ∶ D Ð→M ×Mes no singular en x.

Demostracion. Supongamos que dE(v) = 0 para v ∈ Tx(TM). Sea π ∶ TM Ð→M laproyeccion canonica, y π1 ∶M ×M Ð→M la proyeccion a la primera coordenada.Tenemos que π1 E = π, entonces dπ(v) = dπ1(dE(v)) = 0. Luego v debe sertangente a TpM , con p = π(x). Pero E∣TpM ≃ expp con la identificacion dada porel difeomorfismo p ×M ≃M . Por lo tanto, dexpp(v) = 0, que por hipotesis implicaque v = 0, y E resulta ser no singular en x.

Observacion 6. Como dexpp es siempre no singular en 0 ∈ TpM ⊆ TM , entonces,por el teorema de la funcion inversa, E resulta ser un difeomorfismo entre algunentorno de 0 ∈ TM y algun entorno de (p, p) ∈M ×M .

Proposicion 22. Todo punto p ∈M tiene un entorno convexo.

Demostracion. Sea (V , ξ = (x1, . . . , xn) un entorno normal de p ∈ V . Si N = ∑(xi)2,para alguna δ > 0 suficientemente chica, V(δ) = p ∈ V ∶ N(p) < δ es un entornode p difeomorfo a una bola abierta de Rn. Por la observacion anterior, quizasachicando δ, obtenemos que E es un difeomorfismo de un entorno W ⊆ TM del0 ∈ TpM con V(δ) × V(δ).Sea B el (0,2)-tensor cuyas componentes son δij −∑k Γkijx

k. Como las coordenadasson normales, en p los sımbolos de Christoffel se anulan, y luego B es definida

27

positiva en p. Reduciendo δ si fuera necesario, B es positivo en V(δ). Afirmamosque U = V(δ) es un entorno normal de cada punto q ∈ U .Sea Wq = W ∩ TqM . Por construccion, E∣W es un difeomorfismo en q × U , luegoexpq ∣Wq es un difeomorfismo en U .Falta probar que Wq es estrellado alrededor del 0. Si r ∈ U , r ≠ q, defino v =E−1(q, r) ∈ Wq y σ = γv ∣[0,1] es una geodesica que va desde q hasta r. Si σ semantiene dentro de U entonces la demostracion de la Proposicion 9 muestra quetv ∈Wq para t ∈ [0,1]. Luego, Wq serıa estrellado.Falta probar entonces que σ ⊆ U Supongamos que no. Como N(q),N(r) < δ, lafuncion N σ debe tener un maximo en un punto t0 ∈ (0,1). Para no recargar lanotacion, notaremos xi a xi σ, y calculamos

d2(N σ)dt2

= 2∑(dxi

dt)

2

+ xid2(xi)dt2

Por la formula de las geodesicas en coordenadas locales, tenemos que

∑k

xkd2(xk)dt2

= −∑i,j,k

xkΓkijdxi

dt

dxj

dt

Ademas, escribimos

(dxi

dt)

2

=∑j

δijdxi

dt

dxj

dt

Entonces nos queda

d2(N σ)dt2

= 2∑i,j

δij −∑k

Γkijxk dx

i

dt

dxj

dt

Recordando que σ′ = ∑ dxi

dt ∂i, nos queda que

d2(N σ)dt2

(t0) = 2B(σ′(t0), σ′(t0)) > 0

lo que contradice que t0 es un maximo.

Definicion 34. En una variedad de Lorentz, se suele usar la letra L para definira la funcion que a cada curva le asigna su longitud. O sea, si α es una curva,notamos ∣α∣ = ∣⟨α, α⟩∣1/2 y L(α) = ∫

1

0 ∣α∣dt. Si la curva es espacial nos queda ladefinicion de longitud que se usa en geometrıa Riemanniana.

Definicion 35. Si p, q son punto en un entorno convexo C y σpq en C es la geodesicaque los une, se denomina vector desplazamiento a σ′pq(0) ∈ TpM y se lo notaÐ→pq.Observacion 7. 1. La aplicacion ∇ ∶ C × C Ð→ TM definida por ∇(p, q) = Ð→pq

es suave.

2. Por las propiedades de la exponencial, L(σpq) = ∣Ð→pq∣.

28

2.2. Caracter causal

Comenzaremos estudiando los espacios tangentes a una variedad de Lorentz.Definimos un espacio vectorial de Lorentz como un espacio de producto escalar deındice 1 y dimension mayor o igual a 2. Buscamos extender la nocion de caractercausal definida en vectores (Definicion 8) a subespacios vectoriales.Sea W un subespacio de un espacio de Lorentz V , con g el producto escalar de V .Hay tres posibilidades mutuamente excluyentes:

1. g∣W es definida positiva, y esto le da a W la estructura de espacio con pro-ducto interno. A los W que cumplen con esto se los llama espaciales.

2. g∣W es no degenerada de ındice 1. A estos W se los llama temporales.

3. g∣W es degenerada. A estos W se los llama lumınicos o nulos.

El grupo donde cae W determina su caracter causal, y es consistente con lo definidopara vectores. Recordamos que al vector cero se lo considera espacial.

Lema 15. Si z es temporal en un espacio vectorial de Lorentz V , entonces z⊥ esespacial y V = ⟨z⟩⊕ z⊥. Mas aun, un subespacio W es temporal si y solo si W ⊥ esespacial.

Ahora veremos dos resultados que nos permiten identificar el caracter causalde un subespacio W en un espacio vectorial de Lorentz V de dimension ≥ 2.

Lema 16. Son equivalentes:

1. W es temporal.

2. W contiene dos vectores nulos linealmente independientes.

3. W contiene un vector temporal.

Demostracion. (1)⇒ (2): Sea e1, . . . , en una base ortonormal de W con e1 el vec-tor temporal. Entonces e1 ± e2 son vectores nulos linealmente independientes.(2)⇒ (3): primero afirmamos que dos vectores nulos y ortogonales deben ser coli-neales. Supongamos que x, y son nulos, ortogonales y linealmente independientes.Entonces generan un subespacio L de dimension 2, que, salvo el 0, consta total-mente de vectores nulos. Pero por el Lema 15, V contiene un subespacio espacialS de dimension (n-1). Por dimension, L∩S ≠ 0, que es una contradiccion. En basea este resultado, si u, v son nulos y linealmente independientes, entonces algunode los vectores u ± v es temporal.(3)⇒ (1): si z ∈W es temporal, z⊥ es espacial, luego W ⊥ ⊆ z⊥ es espacial. ComoW = (W ⊥)⊥, W es temporal.

29

Lema 17. Son equivalentes:

1. W es lumınico.

2. W contiene un vector nulo pero no un vector temporal.

3. W ∩ Λ = L − 0, con Λ = v ∈ V ∶ g(v, v) = 0 el cono nulo de V y L unsubespacio de dimension 1.

Demostracion. (1)⇒ (2): como W es lumınico debe contener un vector nulo. Porel lema previo, no puede contener un vector temporal.(2) ⇒ (3): como W contiene un vector nulo, W ∩ Λ ≠ ∅. Por el lema previo, sihubiera otro vector nulo linealmente independiente, W deberıa contener un vectortemporal.(3) ⇒ (1): por el lema previo, W no puede ser temporal, y claramente no puedeser espacial. Luego es lumınico.

Si tenemos una subvariedad P en una variedad de Lorentz M tal que paratodo p ∈ P el subespacio TpP ⊆ TpM tiene el mismo caracter causal, entonces se leatribuye ese caracter causal a P mismo.

2.3. Conos temporales

Sea T el conjunto de vectores temporales de un espacio vectorial de LorentzV . Para u ∈ T , se define

C(u) = v ∈ T ∶ ⟨u, v⟩ < 0

al cono temporal de V que contiene a u. El cono opuesto es

C(−u) = v ∈ T ∶ ⟨u, v⟩ > 0

Como u⊥ es espacial, T = C(u) ∪C(−u), y la union es disjunta.

Lema 18. Dos vectores v,w temporales en un espacio vectorial de Lorentz estanen el mismo cono temporal si y solo si ⟨v,w⟩ < 0.

Demostracion. Supongamos que v ∈ C(u). Veamos que w ∈ C(u) si y solo si⟨v,w⟩ < 0. Como C(u/∣u∣) = C(u), suponemos que u es unitario.Escribimos v = au+Ð→v , w = bu+Ð→w , con Ð→v ,Ð→w ∈ u⊥. Como son vectores temporales,sabemos que ∣a∣ > ∣Ð→v ∣ y ∣b∣ > ∣Ð→w ∣. Tenemos que ⟨v,w⟩ = −ab+⟨Ð→v ,Ð→w ⟩, y, por Cauchy-Schwartz en vectores espaciales, ∣⟨Ð→v ,Ð→w ⟩∣ ≤ ∣Ð→v ∣∣Ð→w ∣ < ∣ab∣. Como v ∈ C(u), a > 0.Luego sg(⟨v,w⟩) = sg(−ab) = sg(b), lo que termina la prueba.

30

Observacion 8. Notar que este lema implica que

u ∈ C(v)⇔ v ∈ C(u)⇔ C(u) = C(v)

. Ademas, los conos temporales son convexos: si v,w ∈ C(u) y (a, b) ≠ (0,0),av + bw ∈ C(u).

La desigualdad de Cauchy-Schwartz y la desigualdad triangular valen en espa-cios con producto interno. Sin embargo, hay propiedades analogas para vectorestemporales.

Proposicion 23. v,w son vectores en un espacio vectorial de Lorentz. Entonces

1. ∣⟨v,w⟩∣ ≥ ∣v∣∣w∣ y la igualdad vale si y solo si son colineales.

2. Si v,w estan en el mismo cono temporal, entonces existe un unico numeroϕ ≥ 0, llamado angulo hiperbolico entre v y w, que cumple que

⟨v,w⟩ = −∣v∣∣w∣cosh(ϕ)

.

Demostracion. Escribimos w = av +Ð→w con Ð→w ∈ v⊥. Tenemos que

0 > ⟨w,w⟩ = a2⟨v, v⟩ + ⟨Ð→w,Ð→w ⟩

Luego, como ⟨Ð→w,Ð→w ⟩ ≥ 0 y ⟨v, v⟩ < 0,

⟨v,w⟩2 = a2⟨v, v⟩2 = (⟨w,w⟩ − ⟨Ð→w,Ð→w ⟩)⟨v, v⟩ ≥ ⟨w,w⟩⟨v, v⟩ = ∣w∣2∣v∣2

Es claro que la igualdad vale si y solo si ⟨Ð→w,Ð→w ⟩ = 0, que es equivalente a que Ð→w = 0(porque Ð→w es espacial), o sea, w = av.

La segunda proposicion es clara si notamos que ⟨v,w⟩ < 0, entonces −⟨v,w⟩∣v∣∣b ≥ 1.

Corolario 6. Si v,w son vectores temporales en un mismo cono temporal, entonces∣v∣ + ∣w∣ ≤ ∣v +w∣ y vale la igualdad si y solo si son colineales.

Demostracion. Por Cauchy-Schwartz, ∣v∣∣w∣ ≤ −⟨v,w⟩. Luego

(∣v∣ + ∣w∣)2 = ∣v∣2 + 2∣v∣∣w∣ + ∣w∣2 ≤ −⟨v +w, v +w⟩ = ∣v +w∣2

y la igualdad se da si y solo si ∣v∣∣w∣ = −⟨v,w⟩ = ∣⟨v,w⟩∣, luego es equivalente a quesean colineales (por Cauchy-Schwartz).

Observacion 9. Notar que esta proposicion nos dice que en un espacio vectorialde Lorentz, el camino mas corto entre dos puntos ya no es una recta, y que si unolos dos puntos con un camino que ’dobla’, este camino resulta mas corto que larecta.

31

2.4. Orientacion temporal

En la ultima seccion de este capıtulo estudiaremos ciertas propiedades de los es-pacios vectoriales de Lorentz, preparandonos para una pregunta sobre la geometrıaglobal de una variedad de Lorentz. En cada TpM tenemos dos conos temporales, aquien llamaremos C+

p y C−p , pero no tenemos, a priori, una forma intrınseca de dis-

tinguir uno del otro. Si pudieramos hacerlo, se dice que elegimos una orientaciontemporal de TpM . La pregunta que nos hacemos es: ¿podemos orientar temporal-mente cada TpM de forma continua en p? O sea, ¿existe una forma continua dediferenciar las nociones de pasado y futuro globalmente?

Sea τ una funcion que a cada p ∈ M le asigna un cono temporal en TpM .τ es suave en cada p si existe un campo vectorial X en un entorno U de p talque Xq ∈ τq para cada q ∈ U . A una funcion con estas propiedades se la llamaorientacion temporal de M.

Definicion 36. Una variedad de Lorentz M se dice temporalmente orientablesi admite una orientacion temporal. Al cono elegido se lo llama futuro, y al otro

se lo llama pasado. Se dice que la asignacion pτpÐ→ C+

p dota a la variedad M deuna estructura causal.

Teorema 3. Una variedad de Lorentz M es temporalmente orientable si y solo siexiste X ∈ X(M) temporal.

Demostracion. Si existe tal campo X, entonces la funcion que a cada p le asignael cono temporal que contiene a Xp nos da una orientacion temporal.Sea τ una orientacion temporal de M . En cada p ∈M , tenemos un entorno U y uncampo XU definido en el tal que XUq ∈ τq. Tomamos fi ∶ i ∈ I una particion de launidad subordinada al cubrimiento de M por estos entornos. Luego, el soporte decada fi esta contenido en Ui. Como las fi son no negativas y los conos temporalesson convexos, el campo X = ∑i∈I fiX

Ui es temporal.

Observacion 10. La orientacion temporal no tiene relacion con el concepto deorientacion de una variedad diferenciable, en el sentido que ninguno de ambosconceptos implica el otro. Por ejemplo, si M es la cinta de Mobius, sabemos queno es orientable como variedad diferenciable. La metrica g = −dt⊗ dt + dx⊗ dx leda estructura de variedad de Lorentz no temporalmente orientable, mientras quela metrica h = dt⊗ dt − dx⊗ dx la hace temporalmente orientable.

Para terminar este capıtulo, enunciaremos un resultado que nos describe que va-riedades diferenciables admiten una metrica de Lorentz. Comenzaremos probandoel siguiente lema:

32

Lema 19. Sea U un campo vectorial unitario en una variedad Riemanniana(M,g). Entonces g = g − 2U∗ ⊗ U∗ es una metrica de Lorentz en M , y U resultaser temporal, luego (M,g) es temporalmente orientable.

Demostracion. Por definicion, U∗(X) = g(U,X) para X ∈ X(M). Localmente,existe campos E2, . . . ,En tal que U,E2, . . . ,En es un marco ortonormal con respectoa g. Luego g(Ei,Ej) = g(Ei,Ej) = δij, g(U,Ei) = g(U,Ei) = 0 y g(U,U) = −1. Porlo tanto, g es una metrica de Lorentz con U un campo temporal. Por el Teorema3, M es temporalmente orientable.

Ahora enunciamos dos teoremas. El primero fue probado por Milnor y el se-gundo fue probado por Hopf en el ano 1925.

Teorema 4.

1. Una variedad diferenciable M no compacta siempre admite un campo vecto-rial suave nunca nulo.

2. Si M es compacta y X (M) = 0, entonces admite un campo vectorial suavenunca nulo.

Si tenemos un campo vectorial nunca nulo, lo normalizamos y obtenemos uncampo unitario en M . Sabemos que a cualquier variedad diferenciable le podemosdar una estructura de variedad Riemanniana. Usando el Lema 19 y el Teorema 4,obtenemos que si M es no compacta o es compacta y X (M) = 0, entonces admiteuna metrica Lorentziana (mas aun, admite una metrica Lorentziana que la hacetemporalmente orientable).Si este resultado no fuera suficiente, vale la vuelta. O sea, si M es una variedaddiferenciable que admite una metrica de Lorentz, entonces es no compacta, o escompacta y X (M) = 0.

33

CAPITULO 3

Campos de Jacobi y calculo de variaciones

En este capıtulo estudiaremos los campos de Jacobi e introduciremos los pri-meros conceptos relacionados al calculo variacional, que nos seran de gran utilidadal estudiar como varıan las longitudes de curvas (en particular, geodesicas) antepequenos cambios. En este capıtulo nos basamos en los capıtulos 8 y 10 del libro[15].

3.1. Campos de Jacobi

Nuestro primero objetivo sera definir un metodo para comparar curvas que seencuentran cercanas.

Definicion 37. Una variacion de un segmento de curva α ∶ [a, b] Ð→ M es unmapa biparametrico x ∶ [a, b] × (−δ, δ)Ð→M tal que x(t,0) = α(t), a ≤ t ≤ b.

Llamaremos longitudinales a las curvas de la forma x(t, ⋅) y transversales alas de la forma x(⋅, s). Ademas, llamaremos campo variacional a V (t) = xs(t,0).Si todas las curvas longitudinales son geodesicas, a x se lo llama una variaciongeodesica.

Definicion 38. Si γ es una geodesica, sea Y un campo sobre la misma. Diremosque Y es un campo de Jacobi si satisface la ecuacion diferencial de Jacobi

Y ′′ = RY,γ′(γ′)

.

34

Lema 20. El campo variacional de una variacion geodesica es un campo de Jacobi.

Demostracion. Como cada curva longitudinal es una geodesica, obtenemos quextt = 0. Por las Proposiciones 20 y 21,

xstt = xtst = xtts +Rxs,xtxt = Rxs,xtxt

Por lo tanto xs es un campo de Jacobi en todas las curvas longitudinales, y enparticular Y (t) = xs(t,0) lo es.

El concepto de campo de Jacobi tiene una interpretacion fısica. Si consideramosuna variacion geodesica x como una familia a un parametro de partıculas en caıdalibre, entonces el campo V nos da la posicion relativa a γ de las partıculas cercanas,V ′ la velocidad y V ′′ la aceleracion. Si a cada partıcula se le asigna masa unitaria,la ecuacion de Jacobi

Y ′′ = RY,γ′(γ′)

se puede interpretar como la segunda ley de Newton, con RY,γ′ cumpliendo el rolde la fuerza.

Lema 21. Sea γ una geodesica con γ(0) = p y v,w ∈ TpM . Entonces existe ununico campo de Jacobi Y en γ tal que Y (0) = v y Y ′(0) = w

Demostracion. Sea E1, . . . ,En un marco paralelo en γ, y llamamos Y = ∑ yiEi.Si llamamos vi y wi a las coordenadas de v y w en ese marco (evaluado en 0),entonces

Y (0) = v⇔ yi(0) = vi

Y ′(0) = dyi

dr(0) = wi

Como γ′ es paralelo, γ′ = ∑aiEi, con coeficientes constantes. Por lo tanto, comoqueremos que Y sea un campo de Jacobi, la ecuacion de Jacobi

Y ′′ = RY,γ′(γ′)

toma la siguiente forma (coordenada a coordenada):

d2ym

dr2=∑ijk

Rmijka

iyjak

Tomando como condiciones iniciales las que describimos anteriormente para Y (0)y Y ′(0), obtenemos un sistema de ecuaciones diferenciales que tienen solucionunica en γ.

35

Observacion 11. Como la ecuacion de Jacobi es lineal el conjunto de campos deJacobi es un R-espacio vectorial. El lema muestra que la dimension de este espacioes 2n.

Proposicion 24. Sea p ∈M y x ∈ TpM . Si v ∈ Tx(TpM), entonces

dxexpp(v) = V (1)

con V el unico campo de Jacobi a lo largo de γ = γx(t) = expp(tx) con condicionesiniciales V (0) = 0, V ′(0) = v.

Demostracion. Llamamos f(t) = expp(t(x + sv)) = γx+sv(t), que es una varia-cion geodesica de γx∣[0,1]. Consideramos el campo variacional V (t) = fs(t,0) =dxexpp(tv), que es un campo de Jacobi a lo largo de γx, y ademas V (1) = dxexpp(v).Veamos que este campo es efectivamente el que estamos buscando. Como la curvaf(0, s) ≡ p, V (0) = 0 y V ′(0) = fst(0,0) = fts(0,0). Como ft(t, s) = dt(x+sv)expp(x +sv), ft(0, s) = d0expp(x+ sv) = x+ sv que implica que fts(0, s) = v. Tomando s = 0,tenemos que V ′(0) = v.

Definicion 39. Un campo vectorial Y sobre una curva α ∶ I Ð→M se dice tangentesi Y = fα′ en cada punto para cierta funcion f y se dice perpendicular si ⟨Y,α′⟩ = 0.

Esto nos da una descomposicion unica para cada campo Y sobre α de la formaY = Y ⊥ + Y ⊺, con el primer termino respresentado la parte perpendicular y elsegundo representando la parte tangente. Si γ es geodesica, tambien tenemos queY ⊥ γ ⇒ Y ′ ⊥ γ, y analogamente para campos tangentes. Por lo tanto derivarconmuta tanto con la restriccion al campo tangente como con la restriccion alcampo perpendicular.

Proposicion 25. Sea Y un campo de Jacobi sobre una geodesica γ. Entoncestenemos las siguientes equivalencias:

1. Y ⊥ γ

2. existen a ≠ b tal que Y (a) ⊥ γ, Y (b) ⊥ γ

3. existe a tal que Y (a) ⊥ γ, Y (a) ⊥ γ′

Demostracion. Sabemos que la derivada covariante de la geodesica γ se anula, porlo tanto d2

dt2 ⟨Y, γ′⟩ = ⟨Y ′′, γ′⟩. Como Y es de Jacobi, Y ′′ = RY,γ′γ′. Por las simetrıas

del tensor de curvatura, sabemos que RV V = 0. Entonces d2

dt2 ⟨Y, γ′⟩ = ⟨RY γ′γ′, γ′⟩ =⟨Rγ′γ′Y, γ′⟩ = 0. Esto implica que ⟨Y, γ′⟩ = As + B, y desde aquı se deduce laproposicion.

36

3.2. Primera y segunda variacion

Supongamos que tenemos una variacion x ∶ [a, b] × (−λ,λ)Ð→M , y para cadav ∈ (−λ,λ) llamamos Lx(s) a la longitud de la curva t ↦ x(t, s). La funcion Lxtoma valores en R y cumple que Lx(0) es la longitud de α. Nuestro objetivo en estaseccion sera encontrar formulas para las llamadas primera y segunda variacion dela longitud de arco en x, que se definen, respectivamente, como

L′(0) = dLds

∣s=0

L′′(0) = d2L

ds2∣s=0

En esta seccion nos interesaran las curvas α que cumplen que ∣α′∣ > 0. Notaremosε = sgn⟨α′, α′⟩ = ±1.

Lema 22. Sea x una variacion de α ∶ [a, b] Ð→ M con ∣α′∣ > 0 y V el campovectorial variacional. Entonces

L′(0) = ε∫b

a⟨ α

′

∣α′∣, V ′⟩dt

Demostracion. Sabemos que L(s) = ∫b

a ∣xt(t, s)∣dt. Si tomamos (−λ,λ) es lo sufi-cientemente chico, nos podemos asegurar de que ∣xt∣ es positivo. Entonces

L′(0) = ∫b

a

d

ds∣xt∣dt

Como ∣xt∣ = (ε⟨xt, xt⟩)12 ⟩ y xts = xst, tenemos que

d

ds∣xt∣ =

2ε⟨xt, xts⟩2(ε⟨xt, xt⟩)

12

= ε⟨xt, xts⟩∣xt∣

Si s = 0, xt(t,0) = α′(t) y xs(t,0) = V (t). Luego xst(t,0) = V ′(t), lo que implica elresultado.

Una variacion x de una curva suave a trozos α ∶ [a, b] Ð→ M es en si mismasuave a trozos si x es continua y para cierta particion a = t0 < t1 < . . . < tk = bla restriccion de x a [ti, ti+1] × (−δ, δ) es suave. Sin perder generalidad podemosasumir que la particion para α y para x son la misma. El campo variacional de xV es siempre suave a trozos, pero el campo α′ tendra saltos en cada punto de laparticion. En base a esta discontinuidad, se define

∆α′(ti) = α′(t+i ) − α′(t−i ) ∈ Tα(ti)M

37

Proposicion 26 (Formula de la primera variacion). Sea α ∶ [a, b] Ð→ M unsegmento de curva suave a trozos con velocidad constante c > 0 y signo ε. Si x esuna variacion de α, entonces

L′(0) = −εc ∫

b

a⟨α′′, V ⟩dt − ε

c

k

∑i=0

⟨∆α′(ti), V (ti)⟩ +ε

c⟨α′, V ⟩∣b

a

Demostracion. La prueba se basa en el lema anterior e integrar por partes.

Corolario 7. Un segmento de curva suave a trozos α con velocidad constante c esuna geodesica si y solo si L′x(0) = 0 para toda variacion x con extremos fijos de α.

Demostracion. Si α es geodesica, α′′ = 0 y ∆α′(ti) = 0 para todo i. Para variacionescon extremos fijos, V (a) = V (b) = 0. Luego L′(0) = 0.Ahora supongamos que L′x(0) = 0 para toda variacion con extremos fijos x. Veamosprimero que cada segmento α∣[ti,ti+1] es geodesica. Bastarıa ver que α′′(u) = 0para todo u ∈ [ti, ti+1]. Sea y ∈ Tα(u)M y sea f una funcion chichon en [a, b]con soporte contenido en [u − δ, u + δ] ⊂ [ti, ti+1]. Sea Y el campo sobre α que seobtiene al transportar paralelamente a y y sea V = fY . Consideremos la variacionx(t, s) = expα(t)(sV (t)). Como V (a) = V (b) = 0, es una variacion con extremosfijos cuyo campo variacional es V . Como L′(0) = 0, al formula de la Proposicion26 nos dice que

0 = ∫b

a⟨α′′, V ⟩dt = ∫

u+δ

u−δ⟨α′′, fY ⟩dt

Esto vale para todo δ, y y f . Por lo tanto ⟨α′′(u), y⟩ = 0 para toda y, lo que implicaque α′′(u) = 0.Falta ver que los cortes son triviales, por lo tanto α es una geodesica (no unageodesica a trozos). Como antes, tomamos un y ∈ Tα(ti)M , f una funcion chichonen ti con soporte en [ti−1, ti+1]. Para una variacion con extremos fijos con campovariacional fY la formula de la primera variacion se reduce a

0 = L′(0) = −εc⟨∆α′(ti), y⟩

para y arbitrario. Luego ∆α′(ti) = 0 para todo i.

Las formulas de variacion son interesantes porque proveen un metodo paracomparar los valores de L(s) con L(0) cuando s es chico. Si L′(0) fuera distintode cero, ya se tendrıa toda la informacion necesaria para poder realizar la com-paracion. Si L′(0) = 0, se requiere calcular L′′(0). Por el Corolario 7, basta conestudiar el caso en el que α es una geodesica.

Definicion 40. Si x es una variacion de una curva α, llamaremos campo trans-versal de aceleracion a A = xss(t,0)

38

Teorema 5 (Formula de Synge para la segunda variacion). Sea σ ∶ [a, b] Ð→ Mun segmento de geodesica con velocidad c y signo ε. Sea x es una variacion de σ,V su campo variacional y A su campo transversal de aceleracion. Entonces

L′′(0) = εc ∫

b

a(⟨V ′⊥, V ′⊥⟩ − ⟨RV σ′V,σ

′⟩)dt + εc⟨σ′,A⟩∣b

a

Demostracion. Si llamamos h(t, s) = ∣xt(t, s)∣ tenemos que L(s) = ∫b

a h dt y L′′(s) =∫b

ad2hds2 dt. En la demostracion del Lema 22 ya hemos probado que dh

ds =εh⟨xt, xts⟩.

Por lo tanto, derivando una vez mas obtenemos que

d2h

ds2= ε

h2h dds

⟨xt, xts⟩ − ⟨xt, xts⟩dh

ds = ε

h⟨xts, xts⟩ + ⟨xt, xtss⟩ −

ε

h2⟨xt, xts⟩2

Como xts = xst y xtst = xsts = Rxt,xsxs + xsst, obtenemos que

d2h

ds2= εh⟨xst, xst⟩ + ⟨xt,R(xt, xs)xs⟩ + ⟨xt, xsst⟩ −

ε

h2⟨xt, xst⟩2

Si evaluamos en s = 0, nos quedan las siguientes identificaciones:

h↦ c, xt ↦ σ′, xs ↦ V, xst ↦ V ′, xss ↦ A, xsst ↦ A′

Por lo tanto,

d2h

ds2∣s=0

= εc⟨V ′, V ′ − ⟨RV σ′V,σ

′⟩ + ⟨σ′,A′⟩ − ( εc2

) ⟨σ′, V ′⟩2

Para simplificar esta igualdad, notemos dos cosas:

1. Como σ es geodesica, ⟨σ′,A′⟩ = ddt⟨σ′,A⟩.

2. Como σ′

c es un campo unitario, la componente tangencial de V ′ es εσ′

c ⟨V ′, σ′

c ⟩.Por lo tanto

V ′ = ε

c2⟨V ′, σ′⟩σ′ + V ′⊥

Tomando el producto de V ′ contra si mismo obtenemos

⟨V ′, V ′⟩ = ε

c2⟨V ′, σ′⟩2 + ⟨V ′⊥, V ′⊥⟩

Sustituyendo,

d2h

ds2∣s=0

= εc⟨V ′⊥, V ′⊥⟩ − ⟨RV σ′V,σ

′⟩ + d

dt⟨σ′,A⟩

Integramos entre a y b y obtenemos el resultado buscado.

Observacion 12. Si L′(0) = 0 y L′′(0) ≠ 0, el signo de L′′(0) nos dice si las curvaslongitudinales cercanas son mas largas o mas cortas que la geodesica σ = x(⋅,0).

39

3.3. La forma del ındice

Antes de comenzar el desarrollo de la forma del ındice, primero fijaremos algu-nas notaciones. Dados p, q ∈M , [0, b] un intervalo, notaremos

Ω(p, q) = α ∶ [0, b]Ð→M ∶ α(0) = p, α(b) = q, α es suave a trozos

La idea es pensar a Ω(p, q) como si fuera una variedad1 en el siguiente sentido:si x es una variacion con extremos fijos de α ∈ Ω(p, q), cada curva longitudinalt ↦ x(t, s) sera un punto αs ∈ Ω(p, q) y s ↦ αs serıa una curva en Ω(p, q). Lavelocidad inicial de x vendrıa dada por el campo variacional V . Como x tieneextremos fijos, V es cero en los extremos. Para completa, la analogıa, recordandoque TpM se puede caracterizar como todas las velocidades iniciales de las curvasque comienzan en p ∈M , tenemos la siguiente definicion.

Definicion 41. Si α ∈ Ω = Ω(p, q), el espacio tangente a Ω en α (notaremosTαΩ) es el conjunto de campos V sobre α suaves a trozos tales que V (a) = V (b) = 0

Cada V ∈ TαΩ es el campo variacional de alguna variacion x en Ω. La funcionlongitud L toma valores en Ω. Manteniendo la analogıa con la teorıa de variedadesdiferenciales, buscamos darle sentido a V (L), con V ∈ TαΩ. Tomamos una variacionx de α y consideramos la curva s ↦ αs. Aplicando L a esta variacion obtenemosla funcion Lx. Por lo tanto, para mantener la analogıa, definiremos V (L) = L′x(0)(la primera variacion). El Corolario 7 nos dice que las geodesicas no nulas son lospuntos crıticos de L en Ω. En el caso de variedades, cuando tenemos un puntocrıtico, tratamos de estudiar las propiedades locales a traves del Hessiano en esepunto. A continuacion, definiremos la forma del ındice, que juega el papel delHessiano en este contexto.

Definicion 42. La forma del ındice Iσ de una geodesica no nula σ ∈ Ω(p, q) esla unica forma simetrica y bilinear

Iσ ∶ TσΩ × TσΩÐ→ R

tal que si V ∈ TσΩ, entonces

Iσ(V,V ) = L′′x(0),

donde x es cualquier variacion de σ con extremos fijos cuyo campo variacional esV .

1En verdad, la mejor forma de caracterizarlo serıa como una variedad de Frechet, pero nodesarrollaremos la teorıa de variedades de Frechet en esta tesis.

40

Para ver que esta bien definida, hay que recordar que en una variacion conextremos fijos, L′′x(0) depende solamente de V , no de x. La existencia de tal formaes consecuencia del siguiente lema.

Lema 23. Si σ ∈ Ω(p, q) es una geodesica con velocidad c y signo ε, entonces

Iσ(V,W ) = εc ∫

b

0(⟨V ′⊥,W ′⊥⟩ − ⟨RV σ′W,σ

′⟩)dt

para toda V,W ∈ TσΩ.

Demostracion. La forma es claramente bilineal y simetrica. Por el Teorema 5, sitomamos V =W obtenemos la segunda variacion.

Corolario 8. Sea σ ∈ Ω(p, q) una geodesica a trozos no nula. Si σ y V ∈ TσΩtienen quiebres en t1 < . . . < tk, entonces

Iσ(V,W ) = −εc ∫

b

0⟨V ′′⊥ −RV σ′σ

′,W ⊥⟩dt − εc

k

∑i=1

⟨∆V ′⊥,W ⊥⟩(ti)

Observacion 13. Notar que si V es un campo de Jacobi que se anula en dospuntos, Iσ(V,V ) = 0.

3.4. Puntos conjugados

Definicion 43. Sea σ una geodesica. Los puntos σ(a), σ(b) son conjugados siexiste un campo de Jacobi no trivial J sobre σ tal que J(a) = J(b) = 0. NotaremosJab al conjunto de campos de Jacobi que se anulan en a y b.

Observacion 14. La Proposicion 25 implica que un campo de Jacobi que cumplecon la definicion previa debera ser perpendicular a la geodesica.

Proposicion 27. Sea σ ∶ [0, b] Ð→ M una geodesica que comienza en p. Sonequivalentes:

1. σ(b) es un punto conjugado de p sobre σ.

2. Existe una variacion x, con campo variacional no identicamente cero, degeodesicas comenzando en p tal que xs(b,0) = 0.

3. La funcion exponencial exp ∶ TpM Ð→ M es singular en bσ′(0). Es decir,existe un vector no nulo v tangente a TpM en bσ′(0) tal que dbσ′(0)expp(v) =0.

41

Demostracion. 2 implica 1: como cada curva longitudinal es una geodesica, elcampo variacional V es un campo de Jacobi que cumple V (b) = 0.1 implica 3: Sea J un campo de Jacobi en σ no trivial que se anula en 0 y enb (podemos suponer que b = 1). Sea v el vector tangente a TpM en σ′(0) quecorresponde canonicamente con J ′(0) ∈ TpM . Por la Proposicion 24, dσ′(0)expp(v) =J(1) = 0. Como J es no trivial y J(0) = 0, J ′(0) ≠ 0, y por lo tanto v ≠ 0.3 implica 2: Sea v ∈ Tbσ′(0)TpM ≃ TpM . De la misma forma que en la demostracionde la Proposicion 24, basta tomar x(t, s) = expp(t(σ′(0) + sv)).

3.5. Maximos y mınimos locales

Consideramos momentaneamente una variedad Riemanniana. Supongamos queσ ∈ Ω(p, q) es una geodesica no nula que es mas corta que las geodesicas vecinasen Ω(p, q), o sea, L(σ) ≤ L(τ). Si V ∈ TσΩ, para cualquier variacion x ligada aV Lx debe alcanzar un mınimo local en 0, por lo tanto Iσ(V,V ) = L′′x(0) ≥ 0.Por lo tanto, Iσ es semidefinida positiva. En el caso Lorentziano nos interesanlas geodesicas temporales, y por lo tanto buscamos que la forma del ındice seasemidefinida negativa, para que esta nos permita encontrar maximos locales de lafuncion longitud.

Teorema 6. Sea σ ∶ [0, b] Ð→ M una geodesica (temporal si la variedad es deLorentz), p = σ(0) y supongamos que existe un r ∈ (0, b) tal que σ(r) es un puntoconjugado de p. Entonces σ no minimiza la longitud entre σ(0) y σ(b) en el casoRiemanniano ni la maximiza en el caso Lorentziano.

Demostracion. Lo que probaremos es que la forma del ındice no es semidefinida:encontraremos una direccion donde es positiva y una direccion donde es negativa.Sea J un campo de Jacobi sobre σ∣[0,r] que se anula en 0 y en r, y lo extendemospor 0 en σ∣[r,b]. El campo resulta continuo, pero su derivada puede no serlo, y suunico punto de quiebre serıa r. Como Y ′(r+) = 0 y Y ′(r−) = J ′(r) ≠ 0 porque elcampo no es nulo, tenemos que ∆Y ′(r) = J ′(r) ≠ 0.Como J es perpendicular a σ en 0 y en r, la Proposicion 25 nos dice que J ⊥ σ′(r).Por lo tanto, como σ es geodesica, obtenemos que J ′(r) ⊥ σ′(r). Tomamos W uncampo perpendicular a σ tal que W (r) = ∆Y ′(r) = J ′(r).Sea ε el indice de la variedad. Para comenzar, buscaremos un δ tal que

εIσ(Y + δW,Y + δW ) < 0

. Tenemos que

εIσ(Y + δW,Y + δW ) = εIσ(Y,Y ) + 2δIσ(Y,W ) + δ2Iσ(W,W )

42

La Observacion 13 implica que Iσ(Y,Y ) = 0 porque Y es un campo de Jacobi quese anula en dos puntos y vale cero en su unico punto de quiebre. Por el Corolario8 tenemos que

εIσ(Y,W ) = −1

c⟨∆Y ′,W ⟩(r) = −1

c⟨∆Y ′,∆Y ′⟩(r) < 0

La ultima desigualdad es claramente cierta en el caso Riemanniano, y tambien loes en el caso Lorentziano, porque el ∆Y ′(r) ⊥ σ′ y σ′ es temporal, lo que implicaque ∆Y ′(r) es espacial.Luego, si tomamos un δ suficientemente chico, obtenemos que

εIσ(Y + δW,Y + δW ) = ε2δIσ(Y,W ) + δ2Iσ(W,W ) < 0

Ahora debemos encontrar un campo V tal que εIσ(V,V ) > 0. Sea y un vectornormal unitario y perpendicular a σ′(0), y lo extiendo mediante transporte paraleloa un campo Y sobre σ. Sea δ > 0 de la forma δ = b/kπ, de tal forma que sen(u/δ)sea igual a cero en 0 y en b. Definimos el campo V = δsen(u/δ)Y ∈ Ω(p, q). ComoY es perpendicular a σ, V tambien lo es.Para simplificar la notacion, supongamos que ∣σ′∣ = c = 1. Tambien usaremos que

⟨RV σ′V,σ′⟩ =K(V,σ′)⟨V,V ⟩⟨σ′, σ′⟩ − ⟨V,σ′⟩2 =K(V,σ′)⟨V,V ⟩ε

Entonces

εIσ(V,V ) = ∫b

0⟨V ′, V ′⟩ −K(V,σ′)⟨V,V ⟩εdu

= ∫b

0cos2(u/δ)⟨y, y⟩ −K(V,σ′)δ2sen2(u/δ)εdu

= ∫b

0cos2(u/δ) −K(V,σ′)δ2sen2(u/δ)εdu (3.1)

Como K esta acotado en [0, b], puedo hacer que δ sea lo suficientemente chico paraque εIσ(V,V ) > 0

3.6. Puntos focales

En esta seccion generalizaremos lo desarrollado en las dos secciones previas.

Definicion 44. Sea P ⊂M una subvariedad semi-Riemanniana, q ∈M . Denota-mos Ω(P, q) al conjunto de curvas suaves a trozos α ∶ [0, b]Ð→M que unen P conq. Una (P,q)-variacion x de α ∈ Ω(P, q) es una variacion suave a trozos tal quetodas las curvas longitudinales estan en Ω(P, q).

43

Proposicion 28. Sea α ∈ Ω(P, q) geodesica con ∣α′∣ > 0. Entonces L′x(0) = 0 paratoda variacion x si y solo si α es una geodesica normal a P (α′(0) ⊥ P )

Demostracion. Por la formula de la primera variacion (Proposicion 26), L′x(0) = 0para cualquier variacion de una geodesica normal a P .Sean y ∈ Tα(0)P , V ∈ TαΩ con V (0) = y. Sea x una (P,q)-variacion de α con campovariacional V . Como α es geodesica, V (b) = 0 y por hipotesis L′x(0) = 0, tenemosque

0 = L′x(0) =ε

c⟨α′(0), y⟩

y por lo tanto α′(0) ⊥ P .

Definicion 45. Sea V un campo de Jacobi a lo largo de una geodesica σ normal aP . Se dice que V es un campo P-Jacobi si cumple que V (0) ∈ Tσ(0)P y tanV ′(0) =Π(V (0), σ′(0))

Definicion 46. Sea σ una geodesica en M normal a P . Se dice que σ(r) con r ≠ 0es un punto focal de P sobre σ si existe un campo P-Jacobi no trivial J talque J(r) = 0.

Los puntos focales son la generalizacion de los puntos conjugados.A continuacion enunciaremos propiedades relacionadas a los campos P-Jacobi y lospuntos focales. El lector notara que estos son muy similares a las propiedades yaprobadas para los campo de Jacobi y los puntos conjugados. Las demostracionesse pueden encontrar en el capıtulo 10 de [15].

Proposicion 29. Sea σ ∶ [0, b]Ð→M una geodesica normal a P. Son equivalentes:

1. σ(b) es un punto focal de P sobre σ.

2. Existe una variacion no trivial x de σ sobre geodesicas P-normales tal quexs(b,0) = 0.

3. La funcion exponencial normal exp⊥ ∶ NP Ð→M es singular en bσ′(0).

Teorema 7. Si hay un punto focal σ(r) de P sobre σ con 0 < r < b, entoncesσ no minimiza distancias en el caso Riemanniano ni las maximiza en el casoLorentziano.

44

CAPITULO 4

Hiperbolicidad global y causalidad

En este capıtulo presentaremos las propiedades relativas a la estructura causalde los espaciotiempos, que son variedad de Lorentz temporalmente orientables.A lo largo de este capıtulo llamaremos con la letra M a un espaciotiempo cone-xo. La teorıa desarrollada en este capıtulo es obra de Roger Penrose y StephenHawking, cuyo objetivo principal era entender porque los modelos relativistas masbasicos contenıan singularidades. En el capıtulo 6 estudiaremos en profundidadesos teoremas y veremos como se relacionan con lo hecho en este capıtulo.

Un camino en M es una funcion continua de un intervalo I ⊆ R con o sinborde, C ∶ I Ð→M , en M . Esta orientada por la orientacion que da R. Un caminoes diferenciable a derecha (izquierda) si las funciones que la representan en coorde-nadas en M son diferenciables a derecha (izquierda). Un camino es diferenciablea trozos si es diferenciable a izquierda y a derecha y tal que en todo compacto[a, b] ⊆ I los vectores tangentes a izquierda y derecha coinciden excepto en a losumo finitos puntos.

Una curva es la imagen de un camino en M . Esta orientada por la parametri-zacion y es invariante por reparametrizaciones que preservan orientacion; es mas,a cada curva se la puede considerar como la clase de equivalencia de caminos don-de un camino C se identifica con D si y solo si hay una reparametrizacion queconvierte a C en D. Si I = (a, . . ., decimos que la curva tiene un punto final a

izquierda C(a) si C(λ) λ→aÐÐ→ C(a) en la topologıa de M . Se define analogamenteel punto final a derecha. Una curva con un punto final se dice que es extendible,ya que existe un embedding de la curva en una curva mas grande.

45

4.1. Cronologıa y causalidad

Definicion 47. Un camino temporal dirigido al futuro (respectivamente,nulo o causal) C ∶ I Ð→M es un camino diferenciable a trozos tal que los vectorestangentes a derecha estan, para cada λ ∈ I, en el cono temporal futuro (respec-tivamente, nulo o causal). Los caminos temporales dirigidos al pasado sedefinen de manera analoga cambiando derecha por izquierda. Las curvas tempora-les, nulas o causales son imagenes en M de caminos temporales, nulas o causales.

Observacion 15. Como no consideramos al vector cero como nulo, una curvacausal nunca se reduce a un punto.

Definicion 48. Un punto y ∈M se dice que esta en el pasado (futuro) cronologicode un punto x ∈ M si existe una curva temporal dirigida al futuro (pasado) queune y con x. Esta relacion la notaremos y ≺ x.El pasado cronologico de un punto x es el conjunto de los puntos y que estan enel pasado cronologico de x. A este conjunto lo notaremos I−(x) = y ∈M ∶ y ≺ x.El futuro cronologico de x se define como I+(x) = y ∈M ∶ x ≺ y.Un punto y ∈M se dice que esta en el pasado (futuro) causal de un punto x ∈M siexiste una curva causal dirigida al futuro (pasado) que une y con x. Esta relacionla notaremos y < x.Notaremos x ≤ y si x < y o x = y. Definimos el futuro causal de x como J+(x) =y ∈M ∶ x ≤ y y al pasado causal como J−(x) = y ∈M ∶ y ≤ x.

Para clarificar los conceptos, es importante comprender la interpretacion fısicade estos conjuntos. Los puntos en un espaciotiempo se los considera como eventos,y los eventos dentro del futuro cronologico de un evento p representan los eventosque pueden ser alcanzados por una partıcula material que comienza en p. Loseventos dentro del futuro causal respresentan los eventos que, en principio, puedenser influenciados por una senal emitida desde p.

Observacion 16.

1. x ≺ y implica x < y.

2. La relacion ≤ no es necesariamente una relacion de orden. Esto se discu-tira mas adelante con las condiciones de causalidad.

3. Si y ≺ x, I−(y) ⊆ I−(x) y si x < y, entonces J+(y) ⊆ J+(x).

4. Las definiciones las realizamos para puntos, pero se generaliza para conjun-tos: si A ⊆M , se define I+(A) = ∪x∈AI+(x) y analogamente para los conjuntosI−(A), J+(A) y J−(A).

46

5. A ∪ I+(A) ⊆ J+(A).

6. Notar que hay una dualidad entre las nociones de futuro y pasado, tantocronologico como causal. Por eso, muchas de las demostraciones para el pa-sado seran identicas a las demostraciones para el futuro pero invirtiendo laorientacion temporal.

Definicion 49. Un subconjunto S ⊆M se dice acronal (respectivamente, acau-sal) si, dados dos puntos p, q ∈ S, no existe una curva temporal (resp. causal) quelos una.

Veremos que forma concreta tienen estos conjuntos en el ejemplo mas simplede variedad de Lorentz: el espacio de Minkowski.

Ejemplo 1. El espaciotiempo de Minkoswski de dimension n+1 es la variedadde Lorentz orientada temporalmente Mn+1 = (Rn+1, η). Existen unas coordenadasllamadas inerciales donde la metrica toma la forma η = −dt ⊗ dt + ∑n

i dxi ⊗ dxi.

Esta metrica es invariante por traslaciones en Rn+1. En un punto p ∈ Mn+1, elcono causal futuro C+

p ⊆ TpRn+1 es el conjunto de vectores tales que

X0 ≥ n

∑i

(X i)212

Este campos de conos le da a Mn+1 una estructura causal.

Teorema 8. En un espacio de Minkowski Mn+1, vale que

1. I+p es el conjunto de x ∈ Rn+1 tales que

(t − tp)2 −n

∑i

(xi − xip)2 > 0, t > tp

I+p es abierto.

2. J+p es el conjunto de x ∈ Rn+1 tales que

(t − tp)2 −n

∑i

(xi − xip)2 ≥ 0, t ≥ tp

Resulta que J+p = I+p

3. El borde ∂J+p = ∂I+p es el conjunto de geodesicas nulas que comienzan en p:

(t − tp)2 −n

∑i

(xi − xip)2 = 0, t ≥ tp

47

Demostracion. Veamos que si un punto cumple que (t−tp)2−∑ni (xi−xip)2 > 0, t > tp

o (t− tp)2 −∑ni (xi −xip)2 ≥ 0, t ≥ tp, entonces existe una curva temporal dirigida al

futuro que une a p con ese punto. Esto es facil, porque las lıneas rectas, geodesicasdel espacio de Minkowski, que empiezan en p son de la forma x − p = aλ, con aconstante. Estas son temporales o causales dirigidas al futuro si

a0 >n

∑i

(ai)2 o a0 ≥n

∑i

(ai)2

Esto prueba que I+p , y respectivamente J+p contienen a los puntos que cumplen conla ecuacion del teorema.Ahora probaremos la recıproca. En un espaciotiempo de Minkowski un caminotemporal dirigido al futuro se cumple que, en cada parte suave,

dt

dλ>

n

∑i

(dxi

dλ)

2

12

Luego, en los puntos x(λ) de la curva,

t(λp+1) − t(λp) = ∫λp+1

λpn

∑i

(dxi

dλ)

2

12

La parte de la derecha es la longitud euclıdea de la curva en Rn parametrizado porλz→ xi(λ), luego esta es mas grande que ∣x(λp+1) − x(λp)∣. Esta desigualdad valeen cada parte suave de la curva, y esto prueba la vuelta.Analogamente se prueba para J+p . La proposicion 3 es consecuencia de 1 y 2.

Sin embargo, en un espaciotiempo general, estas proposiciones no valen, salvopor la propiedad de que I+p es abierto, como probaremos en el proximo lema.Un abierto U ⊆ M es una variedad de Lorentz orientada temporalmente en simismo, y las relaciones causales intrınsecas de U determinan las relaciones causalescorrespondientes en M . Por ejemplo, si I+(A,U) denota el futuro cronologico delconjunto A ⊆ U , luego I+(A,U) ⊆ U ∩ I+(A). De las propiedades de la funcionexponencial y de la estructura causal del espacio de Minkowski se deduce que si Ces un abierto convexo de M , entonces I+(p,C) es abierto en C.

Lema 24. La relacion ≺ es abierta, o sea, si x ≺ y en M , entonces existen entornosU ,V de x, y respectivamente tales que x′ ≺ y′ para toda x′ ∈ U y y′ ∈ V.

Demostracion. Sea σ una curva temporal desde x a y. Si C es un entorno convexode y, sea y− un punto de σ en C previo a y, y sea p+ un punto de σ entre p y q−

en un entorno convexo C′ de p. Como I+(q−,C), I−(p+,C′) son abiertos en M ,los llamo V ,U respectivamente, y cumple con lo requerido.

48

Observacion 17. Esto prueba que I+p son abiertos. Luego, como los conjuntos dela forma I+(A) son uniones de estos conjuntos, tambien son abiertos.Sin embargo, en un espaciotiempo general los conjuntos J+p , J

−p no necesariamente

son cerrados. Por ejemplo, tomamos el espacio de Minkowski R21 sin el punto (1,1).

Sea p en el origen, y I+p es el cono usual. Las geodesicas causales que pasan por py que se dirigen al punto extraıdo de la variedad no continuan mas alla del puntoen cuestion (de la misma forma que se comportan las geodesicas de R2 cuando sele quita un punto). Luego J+p consta solamente de I+p junto con la geodesica causalque no pasa por el punto extraıdo, mas el segmento de curva causal que va desdep al punto extraıdo, pero lo que esta mas alla del punto extraido en esa curva nopertenece a J+p . Por lo tanto, J+p ⊊ I+p

En general, los pasados/futuros cronologicos/causales pueden ser conjuntoscomplicados si se los analiza globalmente. Sin embargo, localmente las propie-dades causales son similares a las del espacio de Minkowski, como especifica elsiguiente teorema:

Teorema 9. Cada punto p0 ∈ M tiene un entorno abierto V tal que el espacio-tiempo V obtenido al restringir la metrica cumple que:

1. Si p, q ∈ V, existe una unica geodesica que une p con q.

2. q ∈ I+p si y solo si existe una geodesica temporal dirigida al futuro que une ap con q.

3. J+p = I+p

4. q ∈ J+p si y solo si existe una geodesica causal dirigida al futuro que une a pcon q.

5. Una curva causal contenida en un compacto K en V es continuamente ex-tensible.

Demostracion. El ıtem 1 es consecuencia directa de la existencia de entornos con-vexos demostrado en el capıtulo 2.

Para el ıtem 2, primero hay que notar que si existe una geodesica temporaldirigida al futuro que une a p con q, entonces q ∈ I+p . Supongamos que q ∈ I+p .Entonces existe una curva temporal dirigida al futuro C ∶ [0,1] Ð→ V tal queC(0) = p, C(1) = q. Tomamos E0, . . . ,En una base ortonormal de TpM con E0

temporal y apuntando al futuro. Tomamos (x0, . . . , xn) coordenadas inducidas porla parametrizacion

ψ(x0, . . . , xn) = expp(x0E0 + . . . + xnEn)

49

Como V es convexo, estas son coordenadas globales. Si (ηµν) = diag(−1,1, . . . ,1),definimos la funcion

Wp(q) ∶=n

∑µ,ν=0

ηµνxµ(q)xν(q)

Queremos ver que Wp(q) < 0, ya que de esta manera el Lema de Gauss implicarıaque existe una geodesica temporal que une p con q.Como x(p) = 0, tenemos que Wp(0) = 0. Tomando x(t) = x(c(t)), tenemos que

Wp(t) = 2n

∑µν=0

ηµνxµ(t)xν(t)

Wp(t) = 2n

∑µ,ν=0

ηµνxµ(t)xν(t) + 2

n

∑µ,ν=0

ηµ,ν xµ(t)xν(t)

y luegoWp(0) = 0, Wp(0) = 2⟨c(0), c(0)⟩ < 0

Luego, existe ε > 0 tal que Wp(t) < 0 para t ∈ (0, ε). Defino

X ∶= −grad(−W12p ) = 1

2grad(Wp)(−Wp)−

12

Por el Lema de Gauss, ⟨X,X⟩ = −1. Por lo tanto, las curvas integrales de X songeodesicas temporales. Esto implica que el campo grad(Wp) apunta hacia el futuro,tangente a una geodesica temporal dirigida hacia el futuro en p. Supongamos queWp(t) < 0. Entonces

Wp(t) = c(t)(Wp(t)) = ⟨(grad(Wp)c(t), c(t)⟩ < 0

porque ambos vectores son temporales y apuntan al futuro. Como ya sabemos queWp(t) < 0 para t ∈ (0, ε), tenemos que Wp(t) < 0 para todo t ∈ [0,1], y en particularWp(q) =Wp(1) < 0, lo que implica que existe una geodesica temporal orientada alfuturo que una p con q.

El ıtem 3 se prueba utilizando las mismas coordenadas globales y recordandoque, por el Lema de Gauss, el difeomorfismo dado por la funcion exponencialmantiene el caracter causal de las curvas. De esta forma, a cada curva causal laaproximo por curvas temporales en el tangente. O sea, tomo una curva causal, lasubo vıa la exponencial, la aproximo arriba, y la vuelvo a bajar vıa la exponencial.

El punto 4 es consecuencia de los dos puntos anteriores y del hecho que en Vla exponencial es un difeomorfismo.

Veamos el punto 5. Primero, una observacion: como la funcion que manda dospuntos (p, q) ∈ V×V a la geodesica que los une es continua, usando el ıtem 4 tenemosla siguiente propiedad. Supongamos que pn Ð→ p y qn Ð→ q, con todos los puntos

50

en V . Entonces, si qn ∈ J+pn para todo n, q ∈ J+p . Volvamos al teorema. Supongamosque α esta definido en [0,B). Como K es compacto, existe una sucesion si Ð→ Btal que α(si) converge a un punto p ∈K. Debemos ver que toda sucesion convergeal mismo punto. Supongamos ti Ð→ B pero α(ti) Ð→ q ≠ p. O sea, α va y vieneentre p y q. Por la observacion, q ∈ J+p y p ∈ J+q . Por el ıtem 4, la geodesica que unea p y q es dirigida tanto al futuro como al pasado, lo que es absurdo, y p = q.

En base a lo definido, se obtiene el siguiente resultado:

Teorema 10. Sea p ∈M , con M una variedad de Lorentz orientada temporalmente.Entonces vale que:

1. Si q ∈ I+p y r ∈ I+q , entonces r ∈ I+p .

2. Si q ∈ J+p y r ∈ J+q , entonces r ∈ J+p .

El siguiente teorema describe el borde de los conjuntos I+.

Teorema 11. Sea (M,g) un espaciotiempo de dimension n+1, y sea S ⊂ M .Entonces, si ∂I+(S) ≠ ∅, entonces ∂I+(S) es acronal, de dimension n, y es unembedding como C0-subvariedad de M .

Demostracion. Sea q ∈ ∂I+(S). Si p ∈ I+q , entonces q ∈ I−p , y como este ultimoes abierto, existe un entorno abierto O tal que q ∈ O ⊆ I−p . Como q ∈ ∂I+(S),O ∩ I+(S) ≠ ∅ y por lo tanto p ∈ I+(O ∩ I+(S)) ⊂ I+(S). Esto prueba que I+q ⊆I+(S). Similarmente obtenemos que I−q ⊂M − I+(S). Si ∂I+(S) no fuera acronal,podrıamos encontrar q, r ∈ ∂I+(S) tal que r ∈ I+q , y por lo tanto r ∈ I+(S). Peroesto es absurdo porque I+(S) es abierto y por lo tanto ∂I+(S) ∩ I+(S) = ∅. Estoconcluye que I+(S) es acronal. Veamos la estructura de subvariedad. Tomamoscoordenadas normales x0, . . . , xn en q ∈ ∂I+(S) y consideramos un entorno de q losuficientemente chico como para que ∂

∂x0 sea temporal y cada una de sus curvasintegrales ingresa en I+q ⊂ I+(S) y en I−q ⊂ M − I+(S). Pero esto implica quecada curva integral interseca a ∂I+(S), y como I+(S) es acronal, lo interseca unasola vez. Entonces, en cada enotorno tenemos una biyeccion entre los puntos de∂I+(S) con las coordenadas (x1, . . . , xn) que caracterizan a la curva integral de∂∂x0 . Mas aun, es un homeomorfismo entre un entorno de q ∈ ∂I+(S) en Rn (con latopologıa indudida en ∂I+(S)). Repitiendo esta construccion para cada q ∈ ∂I+(S)obtenemos una famlia de cartas continuas compatibles que cubren a I+(S), y porlo tanto este resulta ser una subvariedad embedeada de dimension n.

En lo que queda en este capıtulo, nuestro objetivo es poder estudiar las con-diciones de causalidad, que seran de suma importancia en la construccion de losteoremas de singularidad del ultimo capıtulo. Sin embargo, para poder definir es-tos conceptos primero debemos detenernos momentaneamente a estudiar ciertaspropiedades topologicas del espacio de caminos.

51

4.2. (Cuasi) Lımites en el espacio de caminos

El estudio de la causalidad requiere que desarrollemos cierta teorıa sobre lımi-tes de sucesiones de curvas causales suaves a trozos. El primer problema que seencuentra es que para cualquier definicion razonable de lımite, el espacio de curvascausales suaves a trozos no es cerrado, debido a que el lımite puede no ser suave atrozos. Por eso trabajaremos con los cuasilımites, que definiremos en esta seccion.

Definicion 50. Sea αnn∈N una sucesion de curvas causales dirigidas al futuroen M , y sea R un cubrimiento convexo de M . Una sucesion lımite para αnrelativa a R es una sucesion (finita o infinita) de puntos p = p0 < p1 < . . . en Mtal que

1. Para cada pi existe una subsucesion αnk (que, para que la notacion no

sea tan pesada, llamaremos αk), y para cada k, un conjunto de numerossk,0 < sk,1 < . . . < sk,i tales que

a) limk→∞αk(sk,j) = pj para j ≤ i.b) Para cada j < i, los puntos pj, pj+1 y el segmento αk∣[sk,j ,sk,j+1] para todo

k estan contenidos en un unico Cj ∈R

2. Si el conjunto pi es infinito, la sucesion pi es no convergente. Si pies finito, tiene mas de un punto y ninguna sucesion estrictamente mas largasatisface 1.

Proposicion 30. Sea αnn∈N una sucesion de curvas causales dirigidas al futuroen M tales que αn(0) → p, y existe un entorno relativamente compacto de p quecontiene a lo sumo finitas de las curvas αn. Entonces, para cualquier cubrimientoconvexo R, αn tiene una sucesion lımite que comienza en p relativa a R.

Demostracion. Como M es paracompacto, debe existir un subcubrimiento local-mente finito R′ = Uii∈I tal que cada Ui es compacto y contenido en algun elementode R. Por hipotesis, podemos corregir a R′ de tal forma que contenga un U0 talque infinitos αn comienzan en U0 y salen de U0. Llamaremos 1αn al conjuntode estas curvas, y llamemos 1αn(sn) al primer punto de la curva que pertenece a∂U0 (que existe porque la curva abandona U0). Pasando a una subsucesion si fueranecesario, podemos asumir que 1αn(sn) converge a un punto p1 en ∂U0.Ahora sea U1 ∈ R′ que contiene a p1. Si hay infinitas 1αn que salen de U1, obte-nemos una subsucesion 2αn cuyos primeros puntos de salida de U1 convergen a unpunto p2 en ∂U1. Repetimos este proceso, con una observacion: si hay mas de uncandidato para entorno en R′ conteniendo a pi, elegiremos el candidato que menosveces se haya elegido. Si Ci es cualquier elemento de R que contenga a U i, entoncesse satisface la condicion 1. Como los Ci son convexos, la relacion ≤ es cerrada en

52

cada uno de ellos, luego pi+1 ≥ pi. Por construccion, pi+1 ≠ pi, luego pi+1 > pi. Vea-mos que se cumple la condicion 2. Si pi fuera infinito, supongamos que pi → q.Sea U ∈ R′ que contenga a q, y por lo tanto pi ∈ U salvo para finitos pi. Como Ues compacto y R′ es localmente finito, solo finitos elementos de R′ intersecan U .Luego, alguno de ellos debe haber sido elegido como Ui para infinitos i, pero estoviola la condicion de elegir al candidato que menos veces haya sido elegido, porqueU fue candidato infinitas veces, pero fue elegido a lo sumo finitas veces, porque,como contiene a casi todos los pi, solamente finitos de ellos pueden estar en U . Sipi fuera finito, p = p0 < p1 < . . . < pr. Como la construccion no puede continuar,debe suceder que solamente un numero finito de curvas rαn abandonan Ur. Seanαk esas curvas atrapadas en Ur. Por el Teorema 9(5), estas son extensibles, ypodemos asumir directamente que αk esta definida en [0, bk]. Como U r es compac-to, para alguna subsucesion los puntos finales αk(bk) convergen a un punto q ∈ U r.Si q = pr, entonces no se puede extender p0 < . . . < pr sin que deje de satisfacerla condicion 1, y por lo tanto es una sucesion lımite. Si q ≠ pr, entonces ambascondiciones valen para p0 < . . . < pr < pr+1 = q.

Definicion 51. Una curva dirigida al futuro γ ∶ (a, b) → M admite un puntofinal futuro p si para cada entorno abierto V de p existe un t0 tal que si t ≥ t0entonces γ(t) ∈ V . Si γ no tiene puntos finales futuros (o sea, si limt→bγ(t) noexiste), es futuro-inextensible. Una curva dirigida al pasado γ ∶ (a, b) → M espasado-inextensible si limt→bγ(t) no existe.

Si pi es una sucesion lımite para αn, sea λi la geodesica causal dirigida alfuturo que une pi con pi+1 en un convexo Ci como en la condicion 1. Pegando estossegmentos obtenemos una geodesica rota λ = λ0 ∗ λ1 ∗ . . . llamada el cuasilımitede αn con vertices pi. Claramente, λ comienza en p. Si pi es infinita, lacondicion 2 implica que λ es futuro-inextensible. Ademas, el cuasilımite de unconjunto de curvas futuro-inextensibles es futuro inextensible, ya que toda sucesionlımite sera infinita.El concepto de cuasilımite puede ser confuso, por lo tanto intentaremos hacerlomınimamente mas claro poniendo un ejemplo.

Ejemplo 2. Tomemos R21 el plano de Minkowski, y sea αn el segmento geodesico

temporal que une en punto (0,0) con (n+1/n,n). En toda sucesion lımite de αnlos vertices caen sobre la geodesica nula dada por los puntos (x,x), x ≥ 0, y luegola curva λ(x) = (x,x), x ≥ 0 resulta ser el unico cuasilımite.Si en lugar de tomar R2

1 tomamos M = R21−(1,1), αn tiene como unico cuasilımite

a λ∣[0,1), que es futuro-inextensible e incompleta.

53

4.3. Condiciones de causalidad

Para que la teorıa que venimos desarrollando sea aplicable a la fısica (que esla motivadora de la misma), debemos exigir que las variedades de Lorentz con lasque trabajamos cumplan ciertas condiciones de causalidad, que estan en sintonıacon la percepcion que tenemos del universo.

La mas simple de estas condiciones es la que evita la posibilidad del viaje enel tiempo, o sea, de que un evento sea parte de su propio pasado cronologico.

Definicion 52. Una variedad de Lorentz (M,g) cumple la condicion cronologi-ca si no existen curvas temporales cerradas. Si no existen curvas causales cerradas,se dice que satisface la condicion causal. Se dice que la condicion causal valeen un punto p si no hay curvas causales que pasen por p, y que vale en unconjunto A si vale para cada punto de A. La misma definicion vale para curvastemporales.

En particular, la condicion cronologica evita que consideremos posible un es-paciotiempo compacto, como se deduce de la siguiente proposicion:

Proposicion 31. Toda variedad de Lorentz (M,g) compacta y orientada tempo-ralmente contiene curvas temporales cerradas.

Demostracion. Consideramos el cubrimiento por abiertos I+p p∈M . Si M es com-pacta, tomamos un subcubrimiento finito I+p1 , . . . , I+pN. Si p1 ∈ I+pi con i ≠ 1,entonces I+p1 ⊆ I+pi , y luego lo podemos sacar del cubrimiento. De esta forma, sinperder generalidad, podemos suponer que p1 ∈ I+p1 , y por lo tanto existe una curvatemporal cerrada que comienza y termina en p1.

Definicion 53. Se dice que vale la condicion causal fuerte en un punto p ∈Msi dado un entorno U de p, existe un entorno V ⊆ U de p tal que todo segmento decurva causal con extremos en V esta completamente contenido en U

La condicion causal fuerte impone la condicion extra de que no existan curvascausales casi cerradas ; o sea, que las curvas causales que comienzan arbitraria-mente cerca de p y van mas alla de cierto entorno fijo no pueden volver a estararbitrariamente cerca de p.

Lema 25. Supongamos que vale la condicion causal fuerte en un compacto K ⊂M . Si α es una curva causal futuro-inextensible que comienza en K, entonces αeventualmente abandona K y no vuelve a ingresar: existe un s > 0 tal que si t ≥ s,α(t) ∉K.

Demostracion. Procedemos por el absurdo: supongamos que α se mantiene dentrode K o siempre vuelve a K. Si el dominio de α es [0,B), hay una sucesion si ⊂

54

[0,B) tal que si → B y α(si) ⊂ K. Luego, para alguna subsucesion, tenemosque α(si)→ p ∈K. Como α no tiene punto final futuro, debe existir otra sucesiontj → B tal que α(ti) no converge a p. Tomando una subsucesion si fuera necesario,podemos tomar un entorno p ∈ U que no contenga α(ti). Como tanto si como ticonvergen a B, tienen subsucesiones que se alternan:s1 < t1 < s2 < t2 < . . .. Entonceslas curvas α∣[sk,sk+1] son casi cerradas, lo que contradice la condicion causal fuertede M en p.

Observacion 18. En particular, si K ⊂ M es un compacto en un espaciotiempoque satisface la condicion causal fuerte, toda curva causal contenida en K debetener puntos finales pasados y futuros contenidos en K.

Lema 26. Supongamos que vale la condicion causal fuerte en un compacto K. Seaαn una sucesion de segmentos de curvas causales dirigidas al futuro en K talesque αn(0) → p y αn(1) → q ≠ p. Entonces existe una geodesica rota dirigida alfuturo λ desde p a q y una subsucesion αnk

tal que limm→∞L(αnk) ≤ L(λ).

Demostracion. Por la Proposicion 30 sabemos que αn tiene una sucesion lımitepi que comienza en p. Si pi fuera infinita, el cuasilımite obtenido resulta seruna curva causal futuro-inextensible que comienza en p. Por el Lema 25, esta cur-va eventualmente abandona K y no regresa. En particular, alguno de sus vertices,llamemoslo pk, esta afuera de K, lo que implica que existen αn que no estan conte-nidas en K, lo que es una contradiccion. Por lo tanto, la sucesion lımite es finita,comienza en p y finaliza en limk→∞αnk

(1) = q. El cuasilımite correspondiente λ esuna geodesica rota causal de p a q. Por la definicion de sucesion lımite, para estu-diar longitudes lo tenemos que hacer en un conjunto convexo Ci a la vez. Entonces,si pnk,i = αnk

(snk,i), tenemos que

L(αnk∣[snk,i,snk,i+1

) ≤ ∣ÐÐÐÐÐÐ→pnk,ipnk,i+1∣

Luego

L(αnk) ≤ Lnk

=r

∑i=0

∣ÐÐÐÐÐÐ→pnk,ipnk,i+1∣

Como el vector Ð→pq depende continuamente de p y de q, su norma tambien lo hace.Por lo tanto Lnk

→ ∑ ∣ÐÐÐ→pipi+1∣ = L(λ). Si fuera necesario tomamos otra subsucesiony obtenemos el resultado del lema.

A continuacion definiremos una tercera condicion de causalidad.

Definicion 54. Un espacio tiempo (M,g) es establemente causal si existe unafuncion suave f ∶M Ð→ R tal que grad(f) es un campo vectorial en M temporal.A f se la llama funcion global de tiempo. A la preimagen de cada punto se ladenota Sx = f−1(x) y se la llama porcion de tiempo.

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Proposicion 32. Una variedad de Lorentz establemente causal es temporalmenteorientable y cumple la condicion cronologica.

Demostracion. Consideramos el campo −grad(f). Es un campo vectorial tempo-ral que no se anula, luego la variedad es temporalmente orientable. Para ver quecumple la condicion cronologica, primero debemos notar que, como estamos enuna variedad de Lorentz, el campo grad(f) apunta hacia donde f decrece, lue-go −grad(f) apunta hacia donde crece. Intuitivamente, con −grad(f) queremosun campo que apunte hacia el futuro, que es donde la funcion global de tiempocrece. Ahora supongamos que tenemos una curva α temporal y cerrada. Como estemporal, f α es creciente, cosa que es absurdo porque f α(0) = f α(1).Observacion 19. Como f es constante en cada Sx, si v ∈ TpSx, tenemos que⟨grad(f), v⟩ = v(f) = 0. Como grad(f) es temporal, cada Sx sera una hipersuper-ficie espacial.

4.3.1. Separacion temporal

Es sabido que, en geometrıa Riemanniana, las curvas que realizan el caminomas corto entre un punto y otro son las geodesicas. Es mas, en algunos contextoslas geodesicas se definen de esa manera (ver [7]). En la geometrıa Lorentziana noexisten curvas de longitud mınima ya que, dados dos puntos cualesquiera de lavariedad, los puedo unir por curvas nulas a trozos. Sin embargo, manteniendo esanocion de dualidad con la geometrıa Riemanniana, en la geometrıa Lorentzianasi existen curvas de longitud maxima, y estas son las geodesicas temporales. Elteorema que demostraremos a continuacion formaliza este concepto localmente,y se lo suele llamar la paradoja de los gemelos, porque describe un hipoteticoescenario donde hay un par de gemelos, con uno que se queda en la Tierra y otroviaja a altas velocidades a traves del espacio. Como el segundo no viajo a travesde una geodesica temporal, su tiempo propio (ver capıtulo 6 de [15]) es menor, porlo tanto al regresar a la Tierra termina siendo mas joven que su hermano.

Teorema 12 (La paradoja de los gemelos). Sea (M,g) un espaciotiempo tempo-ralmente orientado y p0 ∈ M . Entonces existe un entorno V ⊆ M de p0 convexoy abierto tal que el espaciotiempo (V, g) (obtenido por restriccion) satisface la si-guiente propiedad: si q ∈ I+p , σ es la geodesica temporal que conecta p con q, γ esuna curva temporal cualquiera que conecta p con q entonces L(γ) ≤ L(σ), y laigualdad vale si y solo si γ es una reparametrizacion de σ.

Demostracion. Tomamos el mismo V que el del teorema 9. De la demostracion delLema de Gauss se deduce que cualquier curva γ ∶ [0,1] Ð→ V que satisface queγ(0) = p,γ(1) = q se puede escribir como

γ(t) = expp(r(t)n(t))

56

con r(t) ≥ 0 y ⟨n(t), n(t)⟩ = −1.Definimos la funcion f(r, t) = expp(rn(t)). Calculemos sus derivadas parciales:

∂f

∂r= (expp)∗(n(t))

∂f

∂t= (expp)∗(rn(t))

Como ⟨n(t), n(t)⟩ = −1, entonces ⟨n(t), n(t)⟩ = 0. Usando el Lema de Gauss tene-mos que

⟨∂f∂r,∂f

∂t⟩ = ⟨(expp)∗(n(t)), (expp)∗(rn(t)) = r⟨n(t), n(t)⟩ = 0

Utilizando la funcion f , tenemos que

γ(t) = (f(r(t), t))′ = ∂f∂r

(r(t), t)r′(t) + ∂f∂t

(r(t), t)

Entonces

⟨γ(t), γ(t)⟩ =

⟨∂f∂r

(r(t), t)r′(t) + ∂f∂t

(r(t), t), ∂f∂r

(r(t), t)r′(t) + ∂f∂t

(r(t), t)⟩ =

(r′(t))2 ⟨∂f∂r

(r(t), t), ∂f∂r

(r(t), t)⟩ + ⟨∂f∂t

(r(t), t), ∂f∂t

(r(t), t)⟩ (4.1)

Como

⟨∂f∂r

(r(t), t), ∂f∂r

(r(t), t)⟩ = ⟨n(t), n(t)⟩ = −1

y recordando que γ es temporal, tenemos que

0 > ⟨γ(t), γ(t)⟩ = −(r′(t))2 + ⟨∂f∂t

(r(t), t), ∂f∂t

(r(t), t)⟩

Por lo tanto

L(γ) = ∫1

0((r′(t))2 − ⟨∂f

∂t(r(t), t), ∂f

∂t(r(t), t)⟩)

12

Por el Lema de Gauss sabemos que ∂f∂r es temporal. Como es perpendicular a ∂f

∂t ,

implica que este ultimo es espacial, y luego ⟨∂f∂t (r(t), t),

∂f∂t (r(t), t)⟩ ≥ 0. Entonces

L(γ) ≤ ∫1

0r′(t)dt = r(1)

57

Por lo tanto, si probamos que L(σ) = r(1), terminarıamos la demostracion. Tenien-do en cuenta que σ es geodesica y que q = σ(1) = γ(1) = expp(r(1)n(1)), entoncesσ(t) = expp(tr(1)n(1)). Por lo tanto, tenemos que

⟨σ(t), σ(t)⟩ = ⟨r(1)n(1), r(1)n(1)⟩ = −(r(1))2

Entonces

L(σ) = ∫1

0(−⟨σ(t), σ(t)⟩) 1

2 = r(1)

Ademas, la igualdad se da si y solo si ⟨∂f∂t (r(t), t),∂f∂t (r(t), t)⟩ = 0 para todo t

(recordar que es espacial). Luego n(t) serıa constante y γ(t) = expp(r(t)n), que esuna reparametrizacion de una geodesica.

La proposicion anterior es local. Ahora trataremos de dar una definicion glo-bal apropiada para la separacion temporal de puntos en una variedad de Lorentzorientada temporalmente.

Definicion 55. Si p, q ∈M , se define la separacion temporal τ(p, q) desde pa q como

supL(α) ∶ α es un segmento de curva causal dirigida al futuro que une p con q

Por convencion, diremos que τ(p, q) = 0 si q ∉ J+p y τ(p, q) = ∞ si la longitudde las curvas no esta acotada. Claramente, esta definicion de separacion tempo-ral tiene sentido si vale la condicion cronologica. Tambien es importante observarque la separacion temporal es, en algun sentido, dual a la distancia Riemanniana:mientras que la distancia Riemanniana busca minimizar valores, τ busca maximi-zarlos.

Lema 27. 1. τ(p, q) > 0 si y solo si p ≺ q

2. Si p ≤ q ≤ r, entonces τ(p, q)+ τ(q, r) ≤ τ(p, r) (desigualdad triangular inver-tida)

Demostracion. 1. La vuelta es obvia. Veamos la ida. Si τ(p, q) > 0, entoncesexiste una curva causal dirigida al futuro α desde p a q con L(α) > 0. Estoimplica que α no es nula (o lumınica). Por lo tanto, puedo deformarla en unacurva temporal sin modificar los extremos p y q.

2. Primero notemos que si no existieran curvas causales dirigidas al futuro entrep y q, tendrıamos que τ(p, q) = 0. Como p ≤ q, p = q, y el resultado serıa trivial.Lo mismo tomando q y r. Ahora supongamos que existen curvas causalesdirigidas al futuro α y β que unen p con q y q con r, respectivamente. Dado

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ε > 0, podemos elegir α y β para que cumplen que τ(p, q) − L(α) < ε/2 yτ(q, r) −L(β) < ε/2. Luego

τ(p, q) ≥ L(α ∗ β) > τ(p, q) + τ(q, r) − ε

Como ε es arbitrario, obtenemos el resultado buscado.

Lema 28. La funcion separacion temporal τ ∶M ×M Ð→ [0,∞] es semicontinuainferiormente.

Demostracion. Para el caso τ(p, q) = 0 no hay nada que probar, por lo tantosupongamos q ∈ I+p y 0 < τ(p, q) <∞. Dado ε > 0, debemos encontrar entornos p ∈ U ,q ∈ V tal que τ(p′, q′) > τ(p, q)−ε para todo p′ ∈ U , q′ ∈ V . Sea α una curva temporaldirigida al futuro que une p con q tal que L(α) > τ(p, q) − ε/3. En lo siguiente,si r, r′ son dos puntos en una geodesica, notaremos [r, r′] al segmento geodesicoentre ambos puntos. Sea C un entorno convexo de q, y sea q1 ∈ C un punto en αprevio a q. Como la longitud de los segmentos geodesicos depende continuamentede los extremos, tomo un entorno q ∈ V tal que si q′ ∈ V , entonces [q1, q′] es causaly L([q1, q′]) > L([q1, q]) − ε/3. Como [q1, q] es geodesico, L([q1, q]) ≥ L(α∣[q1,q]),con α∣[q1,q] es el segmento de α entre q1 y q. Analogamente se contruye un entornop ∈ U tal que si p′ ∈ U , q′ ∈ V , estos pueden ser unidos por una curva causalde longitud L(α) > L(α) − 2ε/3 > τ(p, q) − ε, lo que prueba el lema. Falta verque sucede si τ(p, q) = ∞, pero una construccion analoga muestra que si A > 0,podemos encontrar entornos como los anteriores tales que τ(p′, q′) > A.

Notaciones 3. Notaremos J(p, q) ∶= J+p ∩J−q . Este conjunto representa al conjuntomas chico que contiene a todas las curvas causales dirigidas al futuro que unen pcon q.

Ejemplo 3. La funcion τ no es necesariamente continua. Si borramos un segmentoespacial de R2

1 y tomamos dos puntos p, q como en la figura, τ no es continua en(p, q). La region sombreada es J(p, q), y si ε es suficientemente chico, toda curvacausal entre p y q se aproxima por curvas lumınicas, y por lo tanto resultan sercurvas cortas. Si tomamos q′ cerca de q, aparecen nuevos caminos causales comoβ con L(β) grande, y por lo tanto τ no resulta continua.

Definicion 56. Si A,B son subconjuntos de M, se define τ(A,B) = supτ(a, b) ∶a ∈ A, b ∈ B. Con un razonamiento analogo al anterior, tenemos que las funcionesx↦ τ(x,B) y y ↦ τ(A,y) son semicontinuas inferiormente.

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Imagen extraıda de [15].

4.3.2. Hiperbolicidad global

En esta seccion buscaremos condiciones que nos permitan asegurar la existenciade una geodesica causal de longitud maxima entre p y q.

Teorema 13. Tomando p < q puntos en M , si J(p, q) es compacto y la condicionfuerte causal vale sobre el, entonces existe una geodesica causal entre p y q delongitud τ(p, q).

Demostracion. Sea αn una sucesion de segmentos de curvas causales dirigidasal futuro tal que L(αn) → τ(p, q). Por definicion, αn ⊂ J(p, q). Como J(p, q) escompacto, por Lema 26, existe una geodesica rota dirigida al futuro λ desde p a qtal que L(λ) = τ(p, q). Si λ efectivamente fuera rota, existirıa una curva causal queune p con q mas larga, por lo tanto λ debe ser una geodesica (no rota). Notar que,a priori, τ(p, q) podrıa ser ∞, pero la misma prueba muestra que L(λ) = τ(p, q),por lo tanto τ(p, q) debe ser finita.

Este teorema da lugar a una de las nociones mas importantes a la hora deestudiar espaciotiempos, que es la nocion de hiperbolicidad global.

Definicion 57. Un espaciotiempo M se dice globalmente hiperbolico si vale lacondicion causal fuerte y para cada par p < q, J(p, q) es compacto.

Observacion 20. En un espaciotiempo globalmente hiperbolico, todo par de puntosque se pueden unir por una curva causal pueden ser unidos por una geodesicacausal de longitud maxima. Claramente una variedad de Minkowski es globalmentehiperbolica, pero al extraerle un punto deja de serlo.

Definicion 58. Un subconjunto N de M es globalmente hiperbolico si cumple doscondiciones:

60

1. Vale la condicion causal fuerte en N .

2. Si p < q com ambos en N , entonces J(p, q) ⊂ N y es compacto.

Observacion 21. 1. La definicion no es intrınseca de N , porque relaciona aN con la estructura causal de M .

2. En un conjunto globalmente hiperbolico N , dados p < q, existe una geodesicacausal de M que los une.

Lema 29. Si U ⊂M es un abierto globalmente hiperbolico, τ = τ ∣U×U es continua.

Demostracion. Ya sabemos que τ es finita y semicontinua inferiormente. Supon-gamos que no es semicontinua superiormente en (p, q) ∈ U ×U . Por lo tanto, existeε > 0 y sucesiones pn → p, qn → q tales que τ(pn, qn) ≥ τ(p, q) + ε para todon. Como τ(pn, qn) > 0, existe una curva causal αn que va desde pn a qn tal queL(αn) > τ(pn, qn) − 1/n. Como U es abierto, existen p+, q− ∈ U tal que p+ ≺ p,q ≺ q−. Podemos suponer que pn ⊂ I+p− , qn ⊂ I−q+ . Por lo tanto, αn ⊂ J(p−, q+).Por el Lema 26, recordando que U es globalmente hiperbolico, existe una curvacausal λ que une p con q tal que L(λ) ≥ τ(p, q) + ε, que es absurdo porque τ es elsupremo.

Lema 30. Sea U un abierto globalmente hiperbolico de M, pn → p y qn → q conpn,qn ⊂ U . Si pn ≤ qn, entonces p ≤ q.

Demostracion. Si existen infinitos n tal que pn = qn, el resultado es claro. Supon-gamos que pn < qn para todo n. Imitando la demostracion anterior, tomamos αnuna curva causal entre pn y qn, todos los αn estan contenidos en un J(p−, q+) y sip ≠ q, existe una curva causal λ que implica que p < q.

Observacion 22. En particular, en un espaciotiempo M globalmente hiperbolico,todos los conjuntos J+p , J

−p y J(p, q) son cerrados.

4.4. Condiciones para la hiperbolicidad global

El objetivo de esta seccion es introducir el concepto de hipersuperficie deCauchy y usando esta herramientas dar condiciones que determinen que unavariedad es globalmente hiperbolica. Para hacerlo primero tenemos que tratar bre-vemente un concepto que ya hemos definido, que es el concepto de conjuntosacronales.

61

4.4.1. Conjuntos acronales

Recordemos que un conjunto acronal A ⊂M es un conjunto con la propiedadque toda curva temporal que lo interseca lo hace una sola vez. O sea, si p, q ∈ A,no puede suceder que p ≺ q. Claramente, un subconjunto de un conjunto acronales acronal y, por el Lema 24, la clausura de un conjunto acronal es acronal.

Definicion 59. El borde de un conjunto acronal A se define como los puntosp ∈ A tal que todo entorno p ∈ U contiene una curva temporal desde I−(p,U) aI+(p,U) que no interseca a A. Lo notaremos borde(A).

Ejemplo 4. En R21 (espacio de Minkowski de dimension 2), el segmento A =

(t, x) ∶ 0 ≤ x ≤ 1, t = 0 es acronal con borde (0,0), (0,1). Si consideramos almismo conjunto A en R3

1, el borde de A es A.

Recordemos que una hipersuperficie topologica S ⊂ T es un conjunto talque para todo p ∈ S existe un entorno p ∈ U ⊂ T (al que, claramente, llamaremoscarta) y un homeomorfismo φ ∶ U → φ(U) ⊂ Rn tal que φ(U ∩S) = φ(U)∩Π, con Πun hiperplano.La demostracion de la siguiente proposicion se puede encontrar en la pagina 413de [15].

Proposicion 33. Un conjunto acronal A es una hipersuperficie topologica si ysolo si A ∩ borde(A) = ∅.

Corolario 9. Un conjunto acronal A es una hipersuperficie topoloogica cerrada siy solo si borde(A) = ∅.

Demostracion. La proposicion anterior dice que A ∩ borde(A) = ∅. Pero si A escerrada, borde(A) ⊂ A = A, luego borde(A) = ∅. Ahora supongamos que borde(A) =∅. La proposicion nos dice que A es una hipersuperficie topologica. Falta ver quees cerrada, y para eso probaremos la siguiente inclusion: A − A ⊂ borde(A). Seaq ∈ A − A. Como A es acronal, ninguna curva temporal que pase por q puedeintersecar a A. Luego q ∈ borde(A).Definicion 60. Un subconjunto F ⊂M se llama un conjunto futuro si I+(F ) ⊂F . Por ejemplo, si A es un conjunto cualquiera, J+(A) es un conjunto futuro.

Lema 31. Si F es un conjunto futuro, entonces ∂F es una hipersuperficie to-pologica acronal y cerrada.

Demostracion. Sea p ∈ ∂F . Si q ∈ I+(p), I−(q) es un entorno de p y por lo tantocontiene un punto de F . Luego q ∈ I+(F ) ⊂ F , lo que nos dice que I+(p) ⊂ F .Analogamente, I−(p) ⊂ M − F . Esto tiene dos consecuencias. En primer lugar,I−(∂F ) ∩ I+(∂F ) = ∅, por lo tanto ∂F es acronal. En segundo lugar, el conjuntocerrado ∂F tiene borde vacıo porque, si p ∈ ∂F , I+(p) ⊂ F y I−(p) ⊂ (M − F ).Entonces el resultado es consecuencia del corolario anterior.

62

4.4.2. Hipersuperficies de Cauchy

La definicion de una hipersuperficie de Cauchy fue introducida por Geroch enel ano 1970. Este concepto nos da criterios sumamente utiles para determinar si unespaciotiempo es globalmente hiperbolico (es mas, en muchos textos, estos criteriosreemplazan a la definicion que hemos dado).

Definicion 61. Una hipersuperficie de Cauchy en M es un conjunto S quees intersecado una sola vez por toda curva temporal inextendible en M .

Observacion 23. Si S es una hipersuperficie de Cauchy, entonces M = I−(S) ∪S ∪ I+(S), y la union es disjunta.

Lema 32. Sea α una curva causal pasado-inextensible que comienza en p y nointerseca a un cerrado C. Si p0 ∈ I+(p,M −C), existe una curva temporal pasado-inextensible que comienza en p0 que no interseca a C.

Demostracion. Como α es pasado-inextensible, podemos asumir que tiene dominio[0,∞) y que α(n) no converge. Trabajaremos en la variedad M −C, y todos lospuntos y relaciones de causalidad las consideraremos en ella.Como p0 ≻ α(0), p0 ≻ α(1), y tomamos un punto p1 tal que α(1) ≺ p1 ≺ p0.Inductivamente, construimos una sucesion pn tal que α(n) ≺ pn ≺ pn−1 para todon ≥ 1, y ademas hacemos que cada pn este lo suficientemente cerca de αn de talforma que pn no converja. Unimos a cada pn−1 con pn por una curva temporaly obtenemos una curva temporal dirigida al pasado β ⊂M −C con β(0) = p0 queresulta pasado-inextensible.

Lema 33. Una hipersuperficie de Cauchy S es una hipersuperficie topologica acro-nal, cerrada y es intersecada por toda curva causal inextensible.

Demostracion. Toda curva temporal que pasa por cualquier punto de S intersecatanto a I−(S) como a I+(S), luego S = ∂I−(S) = ∂I+(S). Por el Lema 31, resta verque S es intersecado por toda curva causal inextensible α. Supongamos que eso nosucede, y, sin perder generalidad, podemos asumir que α(0) ∈ I+(S). Por el Lema32, existe una curva temporal pasado-inextensible β que comienza en I+(S) y nointerseca a S. Cualquier curva temporal dirigida al futuro que comienza en β(0)debe mantenerse en I+(S), por lo tanto, si la concatenamos con β, obtenemos unacurva temporal inextensible que no interseca a S, lo que es absurdo.

Proposicion 34. Sea S una hipersuperficie de Cauchy en M , y sea X un campovectorial temporal en M . Si p ∈M , una curva integral que pasa por p debe intersecara S en un unico punto, al que llamaremos ρ(p). La funcion ρ ∶M Ð→ S es continua,sobreyectiva y deja fijo a S.

63

Demostracion. Sabemos que las curvas integrales de X son inextensibles. Sea ψ ∶D Ð→ M el flujo de X. Como D ⊂ M ×R es abierto y S es una hipersuperficietopologica, el conjuntoD(S) = (S×R)∩D es una hipersuperficie topologica enD. Larestriccion ψ ∶ D(S)Ð→M es continua y, como S es de Cauchy, es una biyeccion.D(S) y M son variedades topologicas de la misma dimension. Por el teorema dela invariancia del dominio de Brouwer tenemos que ψ es un homeomorfismo. Laproyeccion canonica π ∶ S × R Ð→ S es abierta, continua y sobreyectiva. Comoρψ(p, t) = ρ(αp(t)) = αp(0) = p (para p ∈ S), tenemos que ρ = π ψ−1. Por lo tantoρ es continua y sobreyectiva, y es claro que deja fijo a S.

Observacion 24. La proposicion anterior nos da una caracterıstica mas de lashipersuperficies de Cauchy: si la variedad M es conexa, tambien lo sera S.

El siguiente corolario corresponde a Geroch, y es un resultado trascendental enel estudio de las hipersuperficies de Cauchy.

Corolario 10. Todas las hipersuperficies de Cauchy en M son homeomorfas.

Demostracion. Sean S, T hipersuperficies de Cauchy de M . Fijando un campovectorial temporal, consideramos ρS y ρT las correspondientes funciones definidasen la proposicion anterior. A partir de la definicion, es claro que ρT ∣S ρS ∣T = id∣Ty ρS ∣T ρT ∣S = id∣S

Existe una equivalencia mas de hiperbolicidad global, que enunciaremos sindemostracion, y se puede encontrar en [17].

Teorema 14. Una variedad es globalmente hiperbolica si y solo si es establementecausal y D(Sx) =M para todo Sx = f−1(x), con f una funcion global de tiempo.

En particular, esta equivalencia nos dice que todo espacio globalmente hi-perbolico es difeomorfo a N × R, con cada Nt = N × t, t ∈ R una hipersuperficiede Cauchy. La prueba de que esta hipersuperficie de Cauchy es suave se puedeencontrar en [2].

4.4.3. Dominios de dependencia

A continuacion definiremos el concepto de dominio de dependencia. Intuitiva-mente, el dominio de dependencia de un conjunto acronal S sera el conjunto deeventos que reciben toda la informacion por parte de S.

Definicion 62. Si S es un conjunto acronal de M , el dominio de dependenciafuturo de S, notado D+(S), es el conjunto de todos los puntos p ∈M tal que todacurva causal inextensible dirigida al pasado que pasa por p interseca a S. Inter-cambiando las palabras ’futuro’ por ’pasado’ y viceversa, obtenemos la definicionde D−(S). El dominio de dependencia de S es D(S) =D−(S) ∪D+(S)

64

Observacion 25. S ⊂D+(S) ⊂ J+(S), y D+(S) es el conjunto de puntos de J+(S)que pueden predecirse a partir de S: ninguna trayectoria pasado-inextensible deuna partıcula o rayo de luz puede alcanzar un evento q ∈ D+(S) sin haber pasadopreviamente por S.

Ejemplo 5. En Rn1 , si A es un hiperplano de la forma t = c, entonces D+(A) =

(t, x) ∶ t ≥ c y similarmente para D−(A). Por lo tanto, D(A) = Rn1 .

Un ejemplo menos trivial: si M = Rn1 × S1, consideramos M = M − p y S un

cırculo espacial en M . Si consideramos α y β las geodesicas nulas que comienzanen p, obtenemos que D+(S) es la union de S con la region abierta comprendidaentre S y las dos geodesicas. Por otro lado, D−(S) = J−(S).

Imagen extraıda de [15].

Observacion 26. Siguiendo la lınea del Lema 33, un conjunto acronal S ⊂M esuna hipersuperficie de Cauchy si y solo si D(S) =M . Por lo tanto, D(S) resultaser el subconjunto maximal para el cual S cumple el rol de una hipersuperficie deCauchy.

La definicion de D(A) tiene sentido para cualquier conjunto A, y

D+(A) ⊂ A ∪ I+(A) ⊂ J+(A)

Si asumimos que A es acronal, D+(A)∩I−(A) = ∅, por lo tanto D+(A)∩D−(A) = Ay D+(A) −A =D(A) ∩ I+(A).

Lema 34. Una curva causal α dirigida al pasado que comienza en D+(A) no puedeabandonar D+(A) sin pasar por A.

65

Demostracion. Si α(s) ∉D+(A) existe una curva causal pasado-inextensible β quecomienza en α(s) que no interseca a A, pero α∣[0,s] ∗ β debe intersecar a A, luegoα∣[0,s) interseca a A.

En algunos textos se suelen referir al lema anterior como regresion.

Lema 35. Si A es acronal y p ∈ D(A), entonces toda curva causal inextensibleque pasa por p interseca tanto a I−(A) como a I+(A).

Demostracion. Podemos suponer, sin perder generalidad, que p ∈ A ∪ I+(A). Seaα una curva causal inextensible que comienza en p. Por la demostracion del Lema32, tomando C = ∅, tenemos una curva causal pasado-inextensible β que comienzaen D(A) ∩ I+(A) ⊂ D+(A) tal que cada β(s) tiene un punto de α en I−(β(s)).Como β interseca a A, α interseca a I−(A).Ahora sea γ una curva causal futuro-inextensible que comienza en p. Si p ∈ A, unrazonamiento dual al anterior nos dice que γ interseca a A. Si p ∈ I+(A), no haynada que probar.

Este lema nos da la posibilidad de probar el siguiente teorema, que tambiennos dara un criterio (que sera el corolario posterior al teorema) para identificar siuna variedad es globalmente hiperbolica o no.

Teorema 15. Sea A un conjunto acronal. Si D(A) es no vacıo, entonces D(A)es globalmente hiperbolico.

Demostracion. La demostracion consta de 4 pasos.Paso 1: la condicion causal vale en D(A). Supongamos que hay una curva

causal cerrada γ, y sea p ∈ D(A) un punto de ella. Si llamamos γ = γ ∗ γ ∗ . . .,tenemos que γ es una curva causal inextensible que interseca infinitas veces a A,lo que contradice el hecho que A sea acronal.

Paso 2: la condicion causal fuerte vale en p ∈ D(A). Supongamos que estono sucede, y en ese caso podrıamos encontrar una sucesion αn de segmentosde curva causales dirigidos al futuro definidos en [0,1] tal que limn→∞αn(0) =limn→∞αn(1) = p, pero ninguna αn esta contenida en cierto entorno (fijo) de p.Luego αn tiene una sucesion lımite dirigida al futuro pi, con p0 = p. Si pi fuerafinita, terminarıa en lim αn(1) = p, pero esto implicarıa que p < p, lo que contradicelo demostrado en el paso 1. Por lo tanto pi es infinita, lo que nos dice que elcuasilımite λ es futuro-inextensible. Por el Lema 35, λ debe ingresar en I+(A),y por lo tanto quedarse allı. Esto nos dice que alguno de los vertices pi esta enI+(A). Por lo tanto hay una subsucesion αnk

y (quizas bajo reparametrizacion)un numero s ∈ [0,1] tal que lim αnk

(s) = pi. Podemos asumir que todos losαnk

(s) ∈ I+(A). Como pi ≠ p, aplicando el dual de la Proposicion 30 a αnk∣[s,1]

obtenemos una sucecion lımite dirigida al pasado pi con p0 = p. Si pi fuera

66

finita, deberıa terminar en lim αnk(s) = pi, lo que nos dirıa que pi < p. Como ya

sabemos que p < pi, obtenemos nuevamente la contradiccion p < p. Por lo tantopi es infinita. El cuasilımite obtenido λ es una curva causal pasado-inextensibleque comienza en p. Por el Lema 35 debe intersecar a I−(A). Entonces algunosαnk

∣[s,1] deben intersecar a I−(A). El hecho que αnkesten dirigidas al futuro y que

αnk(s) ∈ I+(A) contradicen la acronalidad de A.Paso 3: Si p ≤ q en A, entonces J(p, q) es compacto. Si p = q, el paso 1 nos

dice que J(p, q) = p, por lo tanto podemos suponer que p < q. Tomemos una su-cesion xn ⊂ J(p, q) y veamos que tiene una subsucesion convergente en J(p, q).Sea αn un segmento de curva causal dirigida al futuro que comienza en p, pasa porxn y finaliza en q. Sea R un cubrimiento de M por abiertos convexos tal que siC ∈R, C es compacto y esta contenido en un abierto convexo. Todas las sucesioneslımites que consideraremos seran relativas a este cubrimiento R. Tomamos unade ellas, que comience en p. Supongamos primero que es finita, o sea que pk = q.Siguiendo la parte 1 de la Definicion 50, tomamos una subsucesion αm. Debeexistir un i < k tal que, para infinitos m, el punto xm cae en el i-esimo segmentoα∣[sm,i,sm,i+1]. Nos quedamos entonces solamente en la subsucesion xmr de xm quecumple con esta propiedad, y para no sobrecargar la notacion la notaremos xr. Porla parte 1 de la definicion, los segmentos (y por lo tanto los puntos xr) estan todoscontenidos en un solo abierto convexo C ∈ R. Por las propiedades de C, sabemosque (quizas apelando nuevamente a una subsucesion) xr converge a un punto x.Por la observacion hecha en la demostracion del punto 5 en el Teorema 9, tenemosque pi ≤ x ≤ pi+1. Por lo tanto, p ≤ x ≤ q, lo que significa que x ∈ J(p, q).Hasta aca hemos probado la proposicion asumiendo que pi es finita. Para termi-nar el paso 3, la estrategia es suponer que toda sucesion lımite de αn, relativaa R y que comienza en p es infinita, y llegar a una contradiccion. Sea λ un cua-silımite, que es una curva causal, futuro-inextensible que comienza en p. De lamisma forma que antes, obtenemos una subsucesion αm y (reparametrizando) uns tal que αm(s) converge a un vertice pi ∈ I+(A). Como pi ≠ q, aplicando eldual de la Proposicion 30 a αm∣[s,1] obtenemos una sucesion lımite dirigida alpasado qi que comienza en q. Si esta sucesion lımite fuera finita, debe terminaren lim αm(s) = pi. Por lo tanto, tenemos que p < p1 < . . . < pi < . . . < q1 < q es unasucesion lımite finita para αn que comienza en p, lo que resulta ser una contra-diccion. Por lo tanto, qi es infinita. El cuasilımite obtenido µ es una curva causalpasado-inextensible que comienza en q. De la misma forma que antes, µ intersecaa I−(A), por lo tanto algunos αm∣[s,1] tambien. Como αm(s) ∈ I+(S), obtenemosuna contradiccion con la acronalidad de A.

Paso 4: si p ≤ q en D(A), entonces J(p, q) ⊂ D(A). Como antes, podemosasumir que p < q. Por argumentos de dualidad, solamente tenemos que considerardos casos:

67

1. Caso 1: p, q ∈ I+(A). Tomamos q+ ∈ I+(q) ∩D(A) ⊂D+(A). Como el conjuntoN = I+(A) ∩ I−(q+) es un abierto tal que J(p, q) ⊂ N , con probar que N ⊂D+(A) alcanzarıa. Sea y ∈ N y σ una curva temporal dirigida al pasado desdeq+ hasta y. Como A es acronal e y ∈ I+(A), σ no puede intersecar a A. Porregresion (Lema 34), y ∈D+(A).

2. Caso 2: p ∈ J−(A), q ∈ J+(A). Como p, q ∈ D(A), existen puntos p− ∈D−(A) ∩ I−(p) y q+ ∈ I+(q) ∩D+(A). Necesitamos probar que N = I+(p−) ∩I−(q+) esta contenido en D(A). Sea x ∈ N , y sean σ y γ segmentos de curvastemporales dirigidas al pasado desde q+ a x y desde x a p−, respectivamente.Como ya sabemos que A ⊂D(A), directamente podemos suponer que x ∉ A.Como σ ∗ γ une q+ con p−, por la acronalidad de A, alguna de ambas curvasno interseca a A. Si es σ la que no interseca, por regresion sabemos quex ∈D+(A). Si fuera γ la que no interseca, entonces x ∈D−(A).

Mas adelante daremos resultados que nos garantizaran que D(A) sea abierto,y por lo tanto globalmente hiperbolico. Sin embargo, en este momento tenemos uncorolario inmediato (y no por ello menos importante), que tambien es uno de losenunciados del ya mencionado Teorema de Geroch.

Corolario 11. Si M admite una hipersuperficie de Cauchy S, entonces es global-mente hiperbolico.

Demostracion. D(S) =M Ô⇒D(S) =M .

Lema 36. Sea A es acronal. Si p ∈ D(A) − I−(A), entonces J−(p) ∩D+(A) escompacto.

Demostracion. Si p ∈ A, J−(p) ∩ D+(A) = p, por lo tanto suponemos que p ∈D(A) ∩ I+(A). Sea xn ⊂ J−(p) ∩D+(A) una sucesion y αn segmentos decurvas causales dirigidas al pasado desde p a xn. Si existiera alguna subsucesionde xn que converge a p, ya tendrıamos probado el lema. Si esto no sucediera,existirıa una sucesion lımite dirigida al pasado pi de αn que comienza en p.Si pi fuera infinita, por un razonamiento que ya hemos repetido varias veces,tendrıamos que existen algunos xn en I−(A), cosa que es un absurdo. Si pi fuerafinita, alguna subsucesion xnk

convergerıa a un x ∈ J−(p). Sea σ una curva temporaldesde p+ ∈D+(A)∩ I+(p) a x. Si σ interseca a A, x ∈D+(A) o x ∈ I−(A), pero estasegunda opcion no puede suceder porque implicarıa que existen xn ∈ I−(A). Si σno interseca a A, por regresion tenemos que x ∈D+(A).

68

4.4.4. Hipersuperficies espaciales

Al buscar ejemplos de conjuntos acronales, los primeros que surgen suelen serhipersuperficies espaciales y suaves. Este tipo de conjuntos acronales tienen algu-nas propiedades extra que pueden ser sumamente utiles. En particular, se puedenutilizar elementos de la teorıa de transversalidad (o interseccion) que nos per-mitiran inducir la acronalidad de las hipersuperficies espaciales cerradas de M apartir de la trivialidad del grupo fundamental del M . Las demostraciones de estaseccion se pueden encontrar en las paginas 425 a 427 de [15].

Lema 37. Una hipersuperficie espacial acronal es acausal.

Lema 38. Si S ⊂M es una hipersuperficie topologica acausal, entonces D(S) esabierto.

Observacion 27. Es importante notar que el ultimo lema implica que si S ⊂M esuna hipersuperficie topologica acausal, entonces D(S) es globalmente hiperbolica.

Teorema 16. Sea S una hipersuperficie espacial acronal cerrada de M. Si q ∈D+(S), existe una geodesica γ desde S a q de longitud τ(S, q). Ademas, γ esnormal a S y es temporal (salvo el caso trivial en el que q ∈ S).

Demostracion. El Lema 38 implica que D(S) es un conjunto abierto globalmentehiperbolico. Por el Lema 36 J−(q) ∩D+(S) es compacta, y por lo tanto J−(q) ∩D+(S)∩S = J−(q)∩S es compacta. El Lema 29 implica que la funcion x↦ τ(x, q) escontinua en J−(q)∩S, y por lo tanto existe un p que realiza el maximo. Claramente,τ(p, q) = τ(S, q). Por el Teorema 13, existe una geodesica γ de p a q de longitudτ(S, q). Si q ∉ S, p ≺ q y τ(p, q) > 0, por lo tanto γ es temporal. Por la Proposicion28, γ es normal a S.

Lema 39. Sea S una hipersuperficie espacial conexa y cerrada de M.

1. Si el morfismo j∗ ∶ π1(S) Ð→ π1(M), inducido por la inclusion S ⊂ M , essobreyectivo, entonces S separa a M (M − S no es conexo).

2. Si S separa a M , entonces S es acronal.

Corolario 12. Si M es simplemente conexa, toda hipersuperficie espacial cerradaen M es acronal.

4.4.5. Horizontes de Cauchy

Para finalizar con esta seccion definiremos otro concepto que nos resulta im-portante.

69

Definicion 63. Si A es un conjunto acronal, el horizonte futuro de Cauchyes H+(A) =D+(A) − I−(D+(A)) = p ∈D+(A) ∶ I+(p) ∩D+(A) = ∅.El horizonte pasado de Cauchy se define dualmente y se nota H−(A).El horizonte de Cauchy es H(A) =H−(A) ∪H+(A).

En H+(A) se busca describir al lımite de la region del espaciotiempo controladapor A. Si H+(A) ≠ ∅, tendrıamos que todo el futuro de A no puede predecirse apartir de A. La siguiente imagen ilustra un ejemplo de horizonte futuro de Cauchyen R2

1 al sacarle una semirecta espacial.

Imagen extraıda de [15].

Observacion 28. Claramente, H+(A) es cerrado. Tambien es acronal, porque

I+(H+(A))∩D+(A) = ∅ y luego, como I+(H+(A)) es abierto, I+(H+(A))∩D+(A) =∅, por lo tanto I+(H+(A)) ∩H+(A) = ∅.

Lema 40. Sea A es un conjunto cerrado y acronal, y sea T el conjunto de puntostal que toda curva temporal inextensible que pasa por p interseca a A. EntoncesD+(A) = T .

Demostracion. Veamos que D+(A) ⊆ T . Supongamos que tenemos un p ∈D+(A)−T . Entonces tenemos una curva temporal inextensible α que comienza en p y nointerseca a A. En particular p ∉ A, entonces podemos tomar un entorno convexop ∈ C tal que C ∩ A = ∅. Nos movemos desde p hacia el pasado sobre α hasta unpunto r ∈ C. Por lo tanto p ∈ I+(r,C), lo que implica que debe contener tambienun punto q ∈ D(A). Si concatenamos el segmento geodesico contenido en C queune q con r con la parte de α a partir de r obtenemos una curva temporal pasado-inextensible que no interseca a A, lo que contradice el hecho que q ∈D+(A).Ahora veamos que T ⊆ D+(A). Si q ∉ D+(A), tomamos r ∈ I−(q,M −D+(A)).Existe una curva causal pasado-inextensible α que comienza en r que no intersecaa A. Por el Lema 32, existe una curva temporal pasado-inextensible que comienzaen q que no interseca a A. Por lo tanto q ∉ T .

Lema 41. Si A es un conjunto cerrado y acronal, entonces ∂D+(A) = A∪H+(A).

70

Demostracion. A∪H+(A) ⊂ ∂D+(A) es claro por la definicion de H+(A) y el hechode que A sea acronal.Supongamos que p ∈ ∂D+(A)−A−H+(A). En particular tenemos que p ∈ ∂D+(A)−A, y el Lema 40 nos dice que p ∈ I+(A). Por otro lado, p ∈ ∂D+(A) − H+(A),entonces hay un punto q ∈ I+(p) ∩D+(A). Por lo tanto, I+(A)∩I−(q) es un entornode p que debe estar contenido en D+(A) (por regresion), lo que contradice quep ∈ ∂D+(A)

La demostracion del siguiente lema se puede encontrar en [15], pagina 416.

Lema 42. Sea α una curva causal pasado inextensible que comienza en p queno interseca a un cerrado C. Si α es una geodesica nula sin puntos conjugados,entonces existe una curva temporal pasado inextensible que comienza en α(0) queno interseca a C.

Proposicion 35. Sea S una hipersuperficie topologica cerrada y acausal. Entoncestenemos las siguientes propiedades:

1. H+(S) = I+(S) ∩ ∂(D+(S)) =D+(S) −D+(S).

2. H+(S) ∩ S = ∅.

3. Si no es vacıa, H+(S) es una hipersuperfcie topologica acronal y cerrada.

4. Comenzando en cada punto de H+(S) existe una geodesica lumınica pasado-inextensible sin puntos conjugados que esta contenida en H+(S).

Demostracion. Empecemos por el punto 1. Para demostrarlo, probaremos pe-quenas propiedades que nos llevaran al resultado deseado.

1. El Lema 40 nos dice que H+(S) ⊂D+(S) ⊂ S ∪ I+(S).

2. Veamos que D+(S)∩H+(S) = ∅. Por el Lema 38, D(S) es abierto, lo que nosdice que si p ∈D+(S) ⊂D(S) entonces I+(p)∩D(S) ≠ ∅, pero I+(p)∩D−(S) =∅. Luego, I+(p) ∩D+(S) ≠ ∅ que implica p ∉H+(S).

3. Como S ⊂D(S), el punto 1 y 2 nos dice que H+(S) ⊂ I+(S).

4. Por Lema 41, I+(S) ∩ ∂(D+(S)) =H+(S).

5. Por 2, H+(S) ⊂ D+(S) −D+(S). Veamos la otra inclusion. Sea p ∈ D+(S) −D+(S). Si q ∈ I+(p), existe una curva temporal dirigida al pasado desde qa p que no interseca a S (porque p ∉ S ∪ I−(S)). Tambien existe una curvatemporal pasado-inextensible que comienza en p que no interseca a S. Estonos dice que q ∉D+(S), que implica que p ∈H+(S).

71

La propiedad 2 se deduce directamente de la 1.Continuamos con la propiedad 3. Llamo P =D+(S)∪I−(S), que, por regresion,

es un conjunto pasado (definido analogamente a la definicion en pagina 62). Por elLema 31 sabemos que ∂P es una hipersuperficie topologica. Como I+(S)∩I−(S) =∅ y ambos son abiertos, y por 1 sabemos que H+(S) = I+(S) ∩ ∂(D+(S)), nosqueda que H+(S) = I+(S) ∩ ∂P . Esto nos dice que H+(S) es una hipersuperficietopologica, y ya sabıamos que era cerrada y acronal.

Nos faltarıa ver el propiedad 4. Sea p ∈ H+(S). Por 1, debe existir una curvacausal γ pasado-inextensible que comienza en p que no interseca a S. Por el Lema40, γ no puede ser temporal. El Lema 42 nos dice que γ es una geodesica nula librede conjugados. Nos faltarıa ver que esta contenida en H+(S). Si γ intersecara aD+(S) tambien intersecarıa a S, cosa que no sucede. Si existiera s > 0 tal que γ(s) ∉D+(S), existirıa una curva temporal β dirigida al pasado pasado-inextensible quecomienza en γ(s) que no interseca a S. Pero si aplicamos el Lema 42 a la curvaγ∣[0,s] ∗ β obtendrıamos una contradiccion al hecho que γ(0) = p ∈D+(S).

En la propiedad 4, si se extiende estas geodesicas lo maximo posible en H+(S),a estas se las llama generadoras de H+(S).

Proposicion 36. Sea S una hipersuperficie topologica cerrada y acausal. EntoncesS es una hipersuperficie de Cauchy si y solo si H(S) = ∅.

Demostracion. Como la frontera de una union esta contenida dentro de la unionde las fronteras, el Lema 41 nos dice que ∂D(S) ⊂ S ∪H(S). Como D(S) esabierto y S ⊂ D(S), tenemos que ∂D(S) ⊂ H(S). Como H(S) ⊂ ∂D(S) valesiempre, probamos la igualdad H(S) = ∂D(S). Como M es conexa, que H(S) = ∅es equivalente a que D(S) =M , que es equivalente a que S sea una hipersuperficiede Cauchy.

Corolario 13. Sea S una hipersuperficie topologica cerrada y acausal. Si todageodesica nula inextensible interseca a S, entonces S es una hipersuperficie deCauchy.

Demostracion. Por la propiedad 36 basta ver que H(S) = ∅. Sin perder genera-lidad, asumamos que existe un p ∈ H+(S). Por la Proposicion 35, el generador γ(geodesica nula pasado-inextensible) de H+(S) que pasa por p no interseca a S. Siextendemos γ a una curva inextensible, este no puede intersecar a S en el futuroporque S es acronal y p ∈ I+(S), lo que es una contradiccion.

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CAPITULO 5

Relatividad General

En el presente capıtulo introduciremos las ecuaciones de Einstein, que relacio-nan la presencia de materia (codificada en el tensor energıa-impulso) con la curva-tura del espaciotiempo. Mostraremos dos metodos distintos para encontrar estasecuaciones, siendo la segunda el estudio de la accion de Einstein-Hilbert. Usandoun razonamiento analogo, podremos encontrar las ecuaciones que se desprenden deuna teorıa mas general de gravedad llamada gravedad f(R). Finalmente, termina-remos el capıtulo definiendo ciertas condiciones de energıa que luego utilizaremosen el capıtulo 6 como hipotesis en los teoremas de singularidad de Hawking.

5.1. Ecuacion de Einstein

Las ecuacion de Einstein es una ecuacion tensorial, donde se relaciona la cur-vatura del espaciotiempo con la presencia de materia en el mismo. La presenciade materia se codifica a traves de un tensor simetrico T de tipo (0,2) llamadotensor de energıa-impulso. Este tensor describe la densidad y el flujo de energıa ymomento en el espaciotiempo.

5.1.1. Heurıstica

Originalmente, Einstein propuso que la ecuacion que relacionara la curvaturadel espaciotiempo con el tensor energıaimpulso fuera de la forma

G = kT

73

para cierto tensor G que debe ser alguna variante del tensor de Ricci. Por comodi-dad, la constante k la tomaremos como unitaria (aunque no lo sea). Por cuestionesfısicas, el tensor T tiene divergencia cero, por lo tanto G tambien deberıa tenerdivergencia cero. La Proposicion 16 nos dice que div(Ric) = 1

2dS, con S = C(Ric).De este hecho surge el candidato:

Definicion 64. Sea M un espaciotiempo con tensor energıa-impulso T , definimosal tensor de Einstein como G = Ric − 1

2Sg y obtenemos la ecuacion de Einstein

Ric − 1

2Sg = T

G es un tensor simetrico de tipo (0,2) con divergencia cero. Ademas

C(G) = C(Ric) − 1

2SC(g) = S − n + 1

2S = 1 − n

2S

Por lo tanto,

Ric = G + 1

2Sg = G − 1

n − 1C(G)g

lo que implica que el tensor de Einstein contiene la misma informacion que eltensor de Ricci. Si contraemos la ecuacion de Einstein, obtenemos que

S = −2

n − 1C(T )

Reemplazando en la misma ecuacion de Einstein nos queda

Ric = T − C(T )n − 1

g

5.1.2. Accion de Einstein Hilbert y gravedad f(R)

En esta seccion mostraremos que las ecuaciones de Einstein se puede obtenertambien como las ecuaciones de Euler-Lagrange de cierta accion.

Definicion 65. Se define la accion de Einstein-Hilbert S a

S[g] = 1

2k ∫S(−g) 1

2dn+1x

con S el escalar de Ricci, g = det(gij) y k una constante. La integral se tomasobre todo el espaciotiempo si converge. Si no converge, se la toma sobre dominiorelativamente compactos arbitrariamente grandes.

74

En [10], capıtulo 11 seccion 95 se demuestra que, vıa el principio de accionmınima, al variar la accion con respecto a la metrica se obtienen las ecuaciones deEuler-Lagrange, que son exactamente las ecuaciones de Einstein.

Muchos fısicos se dedicaron a estudiar una familia de teorıas que generalizande Relatividad General de Einstein. El fısico Hans Adolph Buchdahl fue el primeroen estudiarlas en el ano 1970. Estas teorıas se obtienen de forma analoga a lo vistocon la accion de Einstein-Hilbert, pero consideran una funcion del escalar de Riccien lugar del escalar de Ricci mismo. O sea, la accion que se considera es

Sf [g] =1

2k ∫f(S)(−g) 1

2dn+1x

El interes de estas teorıas radica en que, al considerar una funcion arbitraria,se agrega libertad para poder crear modelos que incluyan ciertas consecuenciascosmologicas que son observadas, o que sean compatibles con otras teorıas fısicas.

En [5] se prueba que al aplicar el principio de mınima accion en Sf se obtienela siguiente ecuacion:

f ′(S)Ric − 1

2f(S)g − [∇∇− g◻]f ′(R) = kT

con ◻ el operador de D’Alembert (◻ = ∑i,j gij∇i∇j).

5.2. Condiciones de energıa

La ecuacion de Einstein relaciona la curvatura del espaciotiempo con el tensorenergıa-impulso. Las condiciones para que el tensor energıa-impulso sea fısicamenterazonable se llaman condiciones de energıa, y son un tema de debate hasta laactualidad. Existen numerosas condiciones diferentes, a saber:

Condicion de energıa nula: T (X,X) ≥ 0 para todo campo vectoriallumınico dirigido al futuro X.

Condicion de energıa nula promediada: ∫C T (X,X) ≥ 0 para toda curvaintegral C de un campo lumınico dirigido al futuro X.

Condicion de energıa debil: T (X,X) ≥ 0 para todo campo temporal.

Condicion de energıa dominante: se cumple condicion de energıa debily para todo campo causal dirigido al futuro se cumple que (− ↑11 T )(Y ) esun campo causal dirigido al futuro.

Condicion de energıa fuerte: (T − 1n−1C(T )g)(X,X) ≥ 0 para todo campo

X temporal dirigido al futuro.

75

Observacion 29. Es importante notar que si se asume la condicion de energıafuerte, la ecuacion de Einstein implica que Ric(X,X) ≥ 0 para todo campo Xtemporal dirigido al futuro.

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CAPITULO 6

Teoremas de singularidad

En este capıtulo buscaremos dar al lector la intuicion de lo que es una sin-gularidad en el contexto de Relatividad General, y utilizaremos toda la teorıadesarrollada en los primeros cinco capitulos de la presente tesis para demostrar ygeneralizar los teoremas de singularidad de Hawking, que predicen la existencia desingularidades bajo ciertas hipotesis basadas en las condiciones de energıa.

Al estudiar soluciones concretas de las ecuaciones de Einstein, en algunos ca-sos se pueden encontrar sectores del espacio patologicos, como por ejemplo lugaresdonde la curvatura es infinita. Sin embargo, este concepto de singularidad pue-de ser confuso: podrıan ser consecuencia de las simetrıas que uno supone en elespaciotiempo. Por ejemplo, en el contexto Newtoniano, si se considera un polvoesferico en reposo, eventualmente toda la materia colapsarıa simultaneamente enel origen. Sin embargo, si se perturba la esfericidad o se supone que existe cier-ta rotacion, entonces tal singularidad no ocurrirıa. Por lo tanto, es interesantesaber si las predicciones de singularidades son consecuencia de las simetrıas delespacio de las soluciones exactas conocidas, o si son una caracterıstica intrınsecade las soluciones de las ecuaciones de Einstein. En este capıtulo probaremos que,efectivamente, sucede lo segundo.

La idea detras de los teoremas de singularidades es utilizar todos los resul-tados topologicos demotrados en el capıtulo 4, relacionarlos con las propiedadesgeometricas probadas en el capıtulo 3 y utilizar las condiciones geometricas dadaspor la ecuacion de Einstein y las condiciones de energıa definidas en el capıtulo5 para mostrar que la variedad que define al espaciotiempo no puede ser geodesi-camente completa. Sabemos que las geodesicas son curvas de longitud extremal.Obtendremos condiciones que impliquen que una geodesica temporal no puede rea-

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lizar la longitud maxima. Usando una desigualdad del tensor de Ricci (dada porlas condiciones de energıa en el tensor energıa-momento) mostraremos que geodesi-cas temporales suficientemente largas no pueden ser curvas de longitud maximal.Sin embargo, ya sabemos que en espaciotiempos globalmente hiperbolicos talesgeodesicas deben existir. Esta contradiccion implica que, bajo ciertas condiciones,geodesicas temporales ”suficientemente largas”no pueden existir, y por lo tanto elespaciotiempo debe ser geodesicamente temporal incompleto.

Notar que en el caso Riemanniano, el teorema de Hopf Rinow nos da condi-ciones suficientes y necesarias para que una variedad sea completa. Los teoremasde singularidad surgen en variedades de Lorentz, en donde el teorema de HopfRinow no vale. Hopf Rinow vale en el contexto de variedades de Finsler en dondese tiene una funcion N ∶ TM Ð→ R≥0 dada por N(p, v) = ∣∣v∣∣p, siendo ∣∣ ⋅ ∣∣p unanorma en cada TpM . Usando esta norma, se define el concepto de distancia dada

por d(x, y) = infL(α), con L(α) = ∫1

0 ∣∣α∣∣α. El problema que se tiene al trabajaren variedades de Lorentz es que, a diferencia del caso Riemanniano, la metricano induce un concepto de norma en cada TpM , y por lo tanto los teoremas queaplican para variedades de Finsler no necesariamente aplican para variedades deLorentz.

6.1. ¿Que es una singularidad?

El primer problema que surgieron al estudiar las singularidades de un espacio-tiempo es que no habıa un definicion formal del concepto de singularidad, sino queconsideraba que eran lugares donde la curvatura se vuelve infinita o en el que lametrica tiene comportamientos patologicos. Esta intuicion falla por varias razones,pero quizas la mas determinante es la de considerar a la singularidad como unlugar. En otras teorıas fısicas, uno trabaja con una metrica y una variedad pre-viamente impuestas, en donde se conoce el lugar y el momento donde suceden loseventos, y el trabajo del fısico es poder determinar los valores de ciertas propieda-des fısicas que suceden en estos eventos. Si alguna propiedad toma un valor infinitoo no esta definida en algun punto, simplemente se dice que hay una singularidaden ese punto. Sin embargo, en Relatividad General la situacion es distinta ya queel enfoque es distinto, porque lo que se busca justamente es poder determinar lavariedad y la metrica del espaciotiempo. Como la nocion de un evento tiene sentidosolamente si la variedad y la metrica estan definidos alrededor de este, lo correctoes pensar a la variedad y a la metrica definida en toda la variedad.

A priori, uno estarıa interesado en definir una nocion de borde singular de unespaciotiempo, al agregar puntos que representen a las singularidades y definir eneste conjunto una estructura de espacio topologico o, en el mejor de los casos,de una variedad diferenciable con borde. Este espacio extendido le darıa a la sin-

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gularidad una nocion de lugar aun cuando la metrica no este definida allı. Auncuando esto se puede lograr en algunos ejemplos concretos de espaciotiempos, nose logro encontrar un metodo general para lograrlo. Hubieron varias propuestaspara definir el borde singular de un espaciotiempo, como el g-boundary de Geroch(1968) o el b-boundary de Schmidt (1971), sin embargo ambas presentaban, aun encasos sencillos, patologıas topologicas. Para profundizar en estos temas se puedeconsultar el segundo capıtulo de [4]. Geroch, Kronheimer y Penrose (1972) definie-ron la nocion de borde causal de un espaciotiempo utilizando clases de equivalenciade curvas temporales inextensibles dirigidas al futuro y al pasado para construirlos puntos del borde. En este caso tambien surgieron problemas topologicos nodeseados. Es interesante destacar que en el caso de una variedad Riemanniana,uno puede darle estructura de espacio metrico definiendo a la distnacia entre dospuntos como el ınfimo de las longitudes de las curvas que los conectan. Si se tomala completacion de Cauchy de tal espacio metrico, se obtiene una nocion satisfac-toria de borde singular. Como una estructura de Lorentz no induce una estructuranatural de espacio metrico, este procedimiento no se puede aplicar.

Aunque no se podıa encontrar una definicion satisfactoria de singularidad, enlas soluciones particulares que se encontraban de las ecuaciones de Einstein (porejemplo, la solucion de Schwarzschild o Robertson-Walker) se encontraba que efec-tivamente estas singularidades debıan existir, ya que habıa lımites donde la cur-vatura explotaba. Esto causo que se busque definir a una singularidad como unanocion de patologıa en la curvatura, en donde esta tendıa a infinito. Pero estemetodo tambien presenta dificultades, ya que la curvatura esta definida por el ten-sor R ∈ T1

3, y para efectuar calculos uno toma coordenadas, por lo tanto es difıcildecidir si el hecho de que tienda a infinito es un problema intrınseco de la variedady la metrica, o es un problema de la eleccion particular de coordenadas. Por lotanto, esta definicion tambien resulto insatisfactoria. Como la enumeracion de losposibles comportamientos patologicos de una variedad y su metrica es un objetivolargo y difıcil (aun asumiendo que es posible), este fue descartado.

En base a lo mencionado, es necesario obtener una definicion de singularidadque no caiga en los problemas con las que se encontraron las otras posibles de-finiciones. En este contexto surge el concepto de representar a las singularidadescomo agujeros del espaciotiempo. ¿Como se detecta un agujero? Basta con en-contrar geodesicas con parametro finito, o sea, geodesicas incompletas. De estamanera, se define que un espaciotiempo es singular si posee al menos unageodesica incompleta. Notar que, en el caso Riemanniano, ser geodesicamentecompleto es equivalente a ser completo como espacio metrico (Hopf Rinow), peroeste razonamiento tampoco es valido en variedades de Lorentz.

Bajo esta definicion de singularidad, un espaciotiempo que es temporalmenteo nulamente geodesicamente incompleto presenta ciertas patologıas que van en

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contra de la intuicion. En tales espaciotiempos, es posible para una partıcula encaıda libre (su trayectoria esta representada por una geodesica) o un foton termi-nar su existencia en finito tiempo (o sea, alrededor de la singularidad los conos seinclinan con el futuro hacia la singularidad), o haber comenzado su existencia untiempo finito hacia el pasado (los conos se inclinan con el pasado hacia la singula-ridad). Los teoremas de singularidad, que demostraremos a continuacion, pruebanla existencia de tales singularidades para un amplio espectro de espaciotiemposposibles.

Si uno le quita un punto a un espaciotiempo, el espaciotiempo obtenido se con-siderarıa singular. Para evitar este tipo de ejemplos, nos restringiremos solamentea espaciotiempos inextensibles, o sea, espaciotiempos que no son isometricosa subconjuntos propios de otros espaciotiempos. Una singularidad que puede evi-tarse al considerar un espaciotiempo mayor se la llama singularidad desnuda.Un espacio que tiene la propiedad que J(p, q) es compacto para todo p, q ∈ Mno posee singularidades desnudas. El Lema 36 implica que en un espaciotiempoglobalmente hiperbolico no pueden haber singularidades desnudas.

6.2. Teoremas de singularidad de Hawking

Sea (M,g) un espaciotiempo globalmente hiperbolico y sea S una hipersuperfi-cie de Cauchy espacial (podemos pensarla como una porcion de tiempo -Definicion54-) con un campo vectorial normal N que apunta al futuro. Sea cp la geodesicatemporal con condicion inicial Np para cada p ∈ S. Si la geodesica cp no tienepuntos conjugados entre cp(0) = p y cp(t0), entonces existe un entorno abierto Vde cp([0, t0]) que puede ser foliado por imagenes de geodesicas ortogonales a S.Los vectores tangentes a estas geodesicas generan un campo vectorial temporalunitario X ∈ X(V ). Si t ∶ V Ð→ R es la funcion que a cada punto de V le asigna ladistancia de ese punto a traves de la geodesica hasta el punto donde comienza lageodesica, el Lema de Gauss implica que X = −grad(t).

Recordemos que el Hessiano de la funcion t es un tensor de tipo (0,2) simetricoque cumple que

H(t)(Y,Z) = ⟨∇Y (grad(t)), Z⟩

Definimos el tensor de tipo (0,2) simetrico K ∶= −H(t). De esta forma tenemos que

K(Y,Z) = −⟨∇Y (grad(t)), Z⟩ = ⟨∇YX,Z⟩

Sea T el operador que asigna Y ↦ ∇YX. Como ⟨T (Y ), Z⟩ =K(Y,Z) =K(Z,Y ) =⟨Y,T (Z)⟩, T es autoadjunto. Por lo tanto

⟨T 2(Y ), Z⟩ = ⟨T (Y ), T (Z)⟩ = ⟨∇YX,∇ZX⟩

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Definimos entonces el tensor K2 de tipo (0,2) como

K2(Y,Z) = ⟨∇∇YXX,Z⟩ = ⟨∇YX,∇ZX⟩

Definicion 66. La divergencia del campo X la notaremos θ = div(X) = C(K) yse la denomina la expansion de la familia de geodesicas temporales en V .

Notaciones 4. Notaremos R(W,X,Y,Z) = ⟨RWXY,Z⟩ ∀W,X,Y,Z ∈ X(M).

Lema 43. Sean K y X el tensor y el campo definidos previamente. Entonces

(∇XK)(Y,Z) +K2(Y,Z) +R(X,Y,X,Z) = 0 ∀Y,Z ∈ X(M)

Demostracion. Por la regla del producto, tenemos que

(∇XK)(Y,Z) = ∇X(K(Y,Z)) −K(∇XY,Z) −K(Y,∇XZ)=X(⟨∇YX,Z⟩) − ⟨∇∇XYX,Z⟩ − ⟨∇YX,∇XZ⟩

= ⟨∇X∇YX,Z⟩ + ⟨∇YX,∇XZ⟩ − ⟨∇∇XYX,Z⟩ − ⟨∇YX,∇XZ⟩= ⟨∇X∇YX,Z⟩ − ⟨∇∇XYX,Z⟩ (6.1)

Considerando que [X,Y ] = ∇XY − ∇YX y que ∇XX = 0 (porque X es un campoasociado a geodesicas) tenemos que

RY XX = ∇∇YXX −∇∇XYX −∇Y∇XX +∇X∇YX = ∇∇YXX −∇∇XYX +∇X∇YX(6.2)

Volviendo a la cuenta anterior, obtenemos

(∇XK)(Y,Z) = ⟨∇X∇YX,Z⟩ − ⟨∇∇XYX,Z⟩= R(Y,X,X,Z) − ⟨∇∇YXX,Z⟩

= −R(X,Y,X,Z) −K2(Y,Z) (6.3)

Lema 44. X(θ) +C(K2) +Ric(X,X) = 0

Demostracion. Por el lema previo sabemos que

(∇XK)(Ei,Ei) +K2(Ei,Ei) +R(X,Ei,X,Ei) = 0 ∀i

Contrayendo obtenemos

C(∇XK) +C(K2) +Ric(X,X) = 0

Como las derivaciones tensoriales y la contraccion conmutan, tenemos que

X(C(K)) +C(K2) +Ric(X,X) = 0

Como C(K) = θ, obtenemos el resultado deseado

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Observacion 30. A la igualdad X(θ)+C(K2)+Ric(X,X) = 0 se la conoce comola ecuacion de Raychaudhuri, y es el pilar fundamental sobre el cual se basanlos teoremas de singularidad.

Proposicion 37. Sea (M,g) un espaciotiempo globalmente hiperbolico que satisfacelas ecuaciones de Einstein y la condicion fuerte de energıa, S una hipersuperficieespacial acronal cerrada y p ∈ S un punto donde θ0 = θ < 0. Si la geodesica cp puedeextenderse a una distancia t0 = −nθ al futuro de S, entonces contiene al menos unpunto focal con respecto a S.

Demostracion. Supongamos que no hay puntos focales a S en cp([0, t0]). TomamosV,X,K, θ como hemos definido previamente. Por hipotesis se cumple la condicionfuerte de energıa, lo que implica que Ric(X,X) ≥ 0. Usando la ecuacion de Ray-chaudhuri, esto implica que

X(θ) +C(K2) ≤ 0

Si A fuera una matriz de n × n, la desigualdad de Cauchy-Schwartz aplicada alproducto interno de A con la identidad implicarıa que tr(A)2 ≤ ntr(AtA). Por lotanto

C(K2) = tr(T 2) ≥ 1

ntr(T 2) = 1

nC(K)2 = 1

nθ2

Tomando θ(t) ∶= θ(cp(t)), y notando que X(θ) = dθdt , obtenemos

dθ

dt+ 1

nθ2 ≤ 0

que implica qued

dt(1

θ) ≥ 1

n

Integrando esta desigualdad obtenemos que

1

θ≥ 1

θ0

+ 1

nt

Como θ0 < 0, 1θ0< 0. Esta ultima desigualdad nos indica que, en t = − n

θ0, 1θ ≥ 0. Por

lo tanto, en algun tiempo entre 0 y − nθ0

, θ debe ser infinito. Esto es absurdo, yaque θ es una funcion suave en V . La contradiccion surge de suponer que no haypuntos focales a S en cp([0, t0]).

Observacion 31. Si en la proposicion anterior tuvieramos como hipotesis queθ0 > 0 en lugar de que θ0 < 0, una demostracion casi identica implicarıa que si lageodesica cp puede ser extendida hacia el pasado hasta t0 = − n

θ0< 0, entonces debe

contener al menos un punto focal con respecto a S.

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Teorema 17 (Teorema de singularidad 1). Sea (M,g) un espaciotiempo global-mente hiperbolico que satisface las ecuaciones de Einstein y la condicion fuerte deenergıa y que la expansion satisface que θ ≤ θ0 < 0 en una hipersuperficie espacialacronal cerrada S. Entonces (M,g) es singular.

Demostracion. Probaremos que ninguna geodesica temporal dirigida al futuro or-togonal a S puede extenderse mas alla de τ0 = − n

θ0en el futuro de S. Supongamos

que esto no sucede, y sea c una geodesica temporal dirigida al futuro ortogonal aS definida en [0, τ0 + ε], para algun ε > 0. Llamamos p = c(τ0 + ε). Por el teorema16 debe existir una geodesica temporal γ normal a S de longitud τ(S, p). Comoτ(c) = τ0 + ε, τ(γ) ≥ τ0 + ε. La Proposicion 37 nos garantiza que γ debe tener unpunto conjugado a una distancia de a lo sumo τ0 de S. Por el Teorema 6, γ no ma-ximiza distancias a partir de este punto, lo que resulta ser una contradiccion.

Observacion 32. Si en lugar de pedir que θ ≤ θ0 < 0 pedimos que θ ≥ θ0 > 0,ninguna geodesica temporal dirigida al pasado ortogonal a S puede ser extendidaal pasado de S mas alla de τ0 = n

θ0.

Ahora probaremos el segundo teorema de singularidad, que fue probado ori-ginalmente por Hawking en el 1967. En este se debilita la hipotesis de que elespaciotiempo sea globalmente hiperbolico, pero se paga el precio de tener quesuponer que la hipersuperficie de Cauchy es compacta.

Teorema 18 (Teorema de singularidad 2). Sea (M,g) un espaciotiempo que sa-tisface la condicion causal fuerte y la condicion fuerte de energıa. Supongamos queexiste una hipersuperficie compacta, sin borde, suave, acronal y espacial S tal queθ < 0 en S. Sea θ0 su valor maximo, o sea θ ≤ θ0 < 0 en S. Entonces existe unageodesica temporal inextensible dirigida al pasado desde S γ con L(γ) ≤ − n

θ0

Demostracion. Supongamos que todas las geodesicas temporales inextensibles di-rigidas al pasado desde S satsifacen que L(γ) > − n

θ0. Como el espaciotiempo

(D(S), g) satisface las condiciones del Teorema 17, todas las geodesicas tem-porales inextensibles dirigidas al pasado desde S deben intersecar al complementode D(S). Como H(S) es el borde de D(S), entonces todas estas geodesicas de-ben intersecar a H−(S) antes de que su longitud sea mayor a − n

θ0. En particular,

H−(S) ≠ ∅. Probaremos que H−(S) es compacto y esto nos llevara a una contra-diccion.

Comenzaremos probando que para todo p ∈ H−(S) existe una geodesica orto-gonal a S de longitud maxima desde S a p. La longitud de cualquier curva causaldesde S a p ∈H−(S) esta acotada superiormente por − n

θ0. Llamaremos

τ0 = supL(α) ∶ α es una curva causal desde S a p

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Buscamos una geodesica ortogonal a S desde S hasta p con longitud τ0. Sea λnuna sucesion de curvas temporales desde S a p tal que L(λn) → τ0. Sea qn ∈ λncon qn ≠ p tal que qn → p. Como qn ∈ I+(p), qn ∈D−(S). Por el Teorema 16 existeuna geodesica temporal normal γn desde S en qn que maximiza la longitud paratodas las curvas causales desde S a qn. Tenemos entonces que L(γn) → τ0. Searn el punto de interseccion entre γn y S. Como S es compacto, hay un punto deacumulacion r del conjunto rn. Sea γ la geodesica normal a S que comienza en r.Debido a la continua dependencia de las geodesicas con respecto a sus condicionesiniciales, γ debe intersecar a H−(S) en p y L(γ) = limn→∞L(γn) = τ0. De estaforma encontramos la geodesica temporal ortogonal a S que maximiza la longitudentre S y p.

Para probar la compacidad de H−(S) tomaremos una sucesion pn ⊂ H−(S)y veremos que tiene un punto de acumulacion p ∈ H−(S). Sea βn una sucesionde geodesicas temporales normales a S de longitud maxima desde S hasta pn.Repetimos un argumento similar al anterior: sea rn el punto de interseccion entreβn y S, y sea r un punto de acumulacion de rn. Sea β una geodesica ortogonala S que comienza en r, y sea p la interseccion de β con H−(S). Entonces p es unpunto de acumulacion de pn, y por lo tanto H−(S) es compacto.

Por la propsicion 35 (ıtem 4) H−(S) contiene una geodesica nula futuro inex-tensible. Como (M,g) satisface la condicion causal fuerte, el Lema 18 nos da lacontradiccion.

6.3. Generalizacion de los teoremas de Hawking

En esta seccion reproduciremos y explicaremos los razonamientos hechos en[6] para generalizar el teorema de Hawking. Esta generalizacion busca debilitar lahipotesis de la condicion fuerte de energıa. Numerosos autores buscaron posiblesformas de debilitar la condicion fuerte de energıa utilizando condiciones prome-diadas de energıa, en particular la condicion de energıa nula promediada (ANEC,por sus siglas en ingles), dada por

∫γT (γ′, γ′)dt

con γ una geodesica nula completa (o pasado/futuro completa). La integral se in-terpreta como el lımite inferior de las integrales sobre regiones finitas. Por otro lado,otra posible hipotesis serıa suponer que existe una cota inferior para Ric(X,X)para todo campo vectorial unitario y temporal X y la existencia de una contraccioninicial para que efectivamente existan los puntos focales detallados por el teorema.La generalizacion que se busca se basa en una combinacion de estas dos ideas: re-emplazaremos la hipotesis de la condicion fuerte de energıa por el requerimiento de

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que, para cierta geodesica temporal unitaria y futura completa γ ∶ [0,+∞) Ð→Mnormal a una hipersuperficie de Cauchy espacial y compacta S, exista c ≥ 0 tal que

lim infT→∞∫T

0e−2ctn−1 r(t)dt > θ(γ(0)) + c

2

con r(t) = Ric(γ′(t), γ′(t)).

6.3.1. La ecuacion de Riccati

Comenzaremos buscando criterios para la inexistencia de soluciones globales ala ecuacion de Riccati.

Lema 45. Consideremos la ecuacion diferencial

z = z2

q+ p, z(0) = z0 (6.4)

con q(t) y p(t) funciones continuas en [0,∞) y q(t) > 0 en [0,∞). Si

∫∞

0

dt

q(t)= +∞ y lim infT→∞∫

T

0p(t)dt > −z0

entonces la ecuacion 6.4 no tiene solucion en [0,∞).

Demostracion. Supongamos que tenemos una solucion z(t) definida en [0,∞). Porhipotesis, debe existir t1 ≥ 0 tal que

∫t

0p(s)ds > −z0

para todo t ∈ [t1,∞). Integrando la ecuacion diferencial obtenemos

z(t) = ∫t

0

z(s)2

q(s)ds + ∫

t

0p(s)ds + z0 > ∫

t

0

z(s)2

q(s)ds (6.5)

para t ≥ t1. Definiendo R(t) = ∫t

0z(s)2q(s) ds, tenemos que R es no negativa y satisface

la siguiente inecuacion diferencial:

R = z2

q> R

2

q

para t ≥ t1. Como R(t) > 0 para todo t > t1, fijando un t2 > t1 tenemos que, paratodo t ≥ t2,

1

R(t2)≥ 1

R(t2)− 1

R(t)= ∫

t

t2

R

R2ds > ∫

t

t2

ds

q(6.6)

Como el lado derecho tiende a infinito, obtenemos una contradiccion.

85

El hecho de no tener solucion significa que z(t) → ∞ cuando t → b < ∞. Sinotamos que

z(t) ≥ z0 + ∫t

0p(s)ds

para todo t para la cual existe solucion, entonces no puede suceder que z(t)→ −∞en finito tiempo.

Corolario 14. Si en el Lema 45 reemplazamos la condicion integral sobre p por

z0 + infT≥0∫T

0p(t)dt = α > 0

entonces la ecuacion 6.4 no tiene solucion en [0, τ], siendo τ la unica solucion de

∫τ

0

ds

q(s)= 2

α

Demostracion. Siguiendo la demostracion del lema, podemos tomar t1 = 0 y dedu-cimos de la hipotesis y de la ecuacion 6.5 que z(t) ≥ α para todo t ∈ [0,∞). Estoimplica que

R(t2) ≥ α2∫t2

0

ds

q(s)para todo t2 > 0. Por la inecuacion 6.6 deducimos que

1

α2> (∫

t2

0

ds

q(s))(∫

t

t2

ds

q(s))

para todo 0 < t2 ≤ t. Por el Teorema del Valor Intermedio, podemos encontrar t2tal que

(∫t2

0

ds

q(s)) = (∫

t

t2

ds

q(s)) = 1

2 ∫t

0

ds

q(s)que es el resultado que buscamos.

Observacion 33. En particular, el corolario aplica si la parte negativa p−(t) =min0, p(t) es integrable y z0+∫

∞0 p−(s)ds = α > 0, ya que ∫

T

0 p(t)dt ≥ ∫∞

0 p−(t)dtpara toda T .

Observacion 34. En el teorema de singularidad, tomamos q(t) = n− 1, y de esta

forma τ = 2(n−1)α .

Ahora debilitaremos las hipotesis sobre p, y fijaremos a q como constante.

86

Lema 46. Consideremos el problema

z = z2

s+ r, z(0) = z0 (6.7)

con r(t) continua en [0,∞), s > 0 constante. Si existe c ≥ 0 tal que

z0 −c

2+ lim infT→∞∫

T

0e−

2cts r(t)dt > 0

entonces la ecuacion 6.7 no tiene solucion en [0,∞).

Demostracion. Supongamos que existe tal solucion. Definimos

y(t) = (z(t) − c)e−2ct/s

Entonces

y = ze−2ct/s − 2c(z − c)s

e−2ct/s = (z2

s+ r) e−2ct/s − 2c(z − c)

se−2ct/s

= e−2ct/s (r + c2

s) + (z

2

s− 2cz

s+ c

2

s) e−2ct/s

= e−2ct/s (r + c2

s) + y2

se−2ct/s (6.8)

Por lo tanto, tenemos que y cumple con la siguiente ecuacion diferencial:

y = e−2ct/s (r(t) + c2

s) + y2

se−2ct/s , y(0) = z(0) − c (6.9)

en [0,∞). Esta ecuacion es de la forma 6.4, con

q(t) = se−2ct/s

p(t) = e−2ct/s (r(t) + c2

s)

Es claro que

∫∞

0

dt

q(t)= ∫

∞

0

e2ct/s

sdt =∞

Ademas tenemos que

lim infT→∞∫T

0p(t)dt = lim infT→∞∫

T

0e−2ct/s (r(t) + c

2

s)dt

≥ lim infT→∞∫T

0e−2ct/sr(t)dt + lim infT→∞∫

T

0e−2ct/s c

2

sdt

= lim infT→∞∫T

0e−2ct/sr(t)dt + c

2

= lim infT→∞∫T

0e−2ct/sr(t)dt − c

2+ z0 + c − z0

> c − z0 = −y(0) (6.10)

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donde en el ultimo paso utilizamos la hipotesis. Por lo tanto, del Lema 45 se deduceque 6.9 no tiene solucion en [0,∞), lo que resulta en una contradiccion.

Ejemplo 6. Supongamos que r(t) ≥ −AeBt, con A,B > 0. Si c > Bs2 tenemos que

lim infT→∞∫T

0e−2ct/sr(t)dt ≥ limT→∞ −A∫

T

0e−2ct/seBtdt

= −A∫∞

0et(−2(c/s)+B)dt = −A

2(c/s) −B= − As

2c −Bs(6.11)

Por lo tanto

−cs+ lim infT→∞∫

T

0e−2ct/sr(t)dt ≥ −c

s− As

2c −BsSi definimos f(c) = − cs −

As2c−Bs , tenemos que f ′(c) = −1

2 +2As

(2c−Bs)2 . Igualando a cero

y despejando obtenemos que en c = (As) 12 + Bs

2 la funcion f alcanza su maximo,

siendo este −((As) 12 + Bs

4 ). Entonces, si z0 > (As) 12 + Bs

4 , la ecuacion 6.7 no tienesolucion en [0,∞). Mas concretamente, consideremos el caso A = 1,B = 2, s = 1,con r(t) = −e2t. Lo anterior nos indica que no existen soluciones globales paraz0 > 3

2 . Mas aun, en [6] utilizan las funciones de Bessel modificadas para mostrarque z(t) tiene una singularidad en tiempo finito si y solo si z0 > 1,429..., que esconsistente con la cota dada por el lema.

Corolario 15. Si en el Lema 46 reemplazamos la condicion integral sobre r por

z0 − c + infT≥0∫T

0e−2ct/s (r(t) + c

2

s)dt = α > 0

entonces la ecuacion 6.7 no tiene solucion en [0, τ], con

τ = s

2clog (1 + 4c

α)

Demostracion. Siguiendo la demostracion del Lema 46, la hipotesis implica que

y(0) + infT≥0∫T

0p(t)dt = α > 0

Aplicamos el Corolario 14 y obtenemos que no existe solucion a la ecuacion 6.7 en[0, τ], siendo τ la unica solucion de

2

α= ∫

τ

0

ds

q(s)= e

2cτ/s − 1

2c

de donde se deduce que

τ = s

2clog (1 + 4c

α)

88

Observacion 35. En particular, el corolario aplica si r−(t) = min0, r(t) es talque r−(t)e−2ct/s es integrable y z0 − c + ∫

∞0 r−(t)e−2ct/sdt = α > 0, ya que

∫T

0e−2ct/s(r(t) + c2/s)dt ≥ ∫

∞

0r−(t)e−2ct/sdt

para toda T ∈ [0,∞).

Observacion 36. Si α≫ c, como log(1+x) ≃ x cerca del cero, tenemos que τ ≃ 2sα ,

que es consistente con la Observacion 34.

6.3.2. Refinando hipotesis

En esta seccion mostraremos como aplicar lo estudiado sobre la ecuacion deRiccati para refinar las hipotesis relacionadas a las condiciones de energıa en losteoremas de singularidad de Hawking, y de esta manera dar condiciones suficien-tes para la existencia de tales singularidades aun en casos donde se violan lascondiciones de energıa clasicas.

En este caso, por simplicidad pediremos hiperbolicidad global y compacidad dela hipersuperficie de Cauchy. Sin embargo, usando razonamientos analogos a losdel segundo teorema de singularidad, en lugar de hiperbolicidad global podemospedir que el espaciotiempo admita una hipersuperficie espacial acronal, espacial,suave y compacta y trabajar sobre D(S), que es globalmente hiperbolico.

Teorema 19. Sea (M,g) un espaciotiempo globalmente hiperbolico de dimensionmayor a 2, y sea S una hipersuperficie de Cauchy suave, espacial y compacta.Supongamos que para toda geodesica temporal unitaria futuro-inextensible desde Sγ ∶ [0,∞)Ð→M ortogonal a S existe c ≥ 0 tal que

lim infT→∞∫T

0e−2ct/(n−1)r(t)dt > θ(p) + c

2(6.12)

con r(t) = Ric(γ′(t), γ′(t)), p = γ(0). Entonces M es geodesicamente temporalincompleto a futuro.

Demostracion. La demostracion es similar a otras demostraciones ya realizadas.Elegimos una sucesion de puntos qn que se extiende arbitrariamente en el futurode S. Tomamos un segmento geodesico temporal entre pn ∈ S hasta qn que realizala longitud (τ) entre S y qn, y lo llamamos γn. Como S es compacto, sea p ∈ Sun punto de acumulacion de pn. Sea γ ∶ [0, a) Ð→ M (a ∈ (0,∞]) la geodesicatemporal futuro-inextensible ortogonal a S desde p ∈ S, y tiene la propiedad querealiza la distancia desde S de cada uno de sus puntos. Sea t ∶ J+(S) Ð→ R lafuncion distancia Lorentziana desde S: t(x) = τ(S,x). Por hiperbolicidad global,

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t es continua en J+(S) y sera suave hasta un posible punto focal de S. Sobre γno pueden haber puntos focales a S, y entonces existe un entorno U de γ dondet es suave. En este entorno, definimos u ∶= −grad(t), que resulta ser un camposuave, geodesico, dirigido al futuro, temporal y ortogonal a la hipersuperficie talque γ′ = u en γ. Como antes, consideramos la expansion θ = div(u). Sobre γ,θ = θ(t) satisface la ecuacion de Raychaudhuri. En [8] pagina 84, Hawking escribela ecuacion Raycahudhuri reemplazando C(K2) por su descomposicion 2σ2 + 1

nθ2,

con σ el shear. Por lo tanto, tenemos que

dθ

dt= −Ric(γ′, γ′) − 2σ2 − 1

nθ2

Veamos que γ debe ser futuro-incompleta. Supongamos que es futuro-completa,o sea, a = ∞. Fijamos z = −θ, r(t) = Ric(γ′, γ′) + 2σ2, s = n y z(0) = −θ(p) enla ecuacion 6.7, usando la condicion de energıa de la hipotesis tenemos que estaecuacion no tiene solucion en [0,∞), lo que resulta ser una contradiccion.

Observacion 37. Vıa las ecuaciones de Einstein, la hipotesis sobre el tensor deRicci da condiciones sobre el tensor energıa-impulso, y por lo tanto tiene sentidointerpretar a esta hipotesis como una condicion de energıa.

Observacion 38. Una condicion suficiente para que se satisfaga la condicion deenergıa del teorema es que sobre cada geodesica temporal γ valga que

lim infT→∞∫T

0r(t)dt > θ(p)

(o sea, el caso c = 0). Esto ilustra que si θ < 0 sobre S, el teorema puede valer auncuando r(t) es negativo.

Observacion 39. Si Ric(X,X) ≥ 0 para todo campo temporal X y θ < 0 sobre S,entonces recuperamos el teorema de singularidad de Hawking.

6.4. Un problema abierto

Con el ultimo teorema de la seccion anterior, damos por terminada la presen-tacion de los resultados que buscamos describir en la presente tesis. Sin embargo,dedicaremos unas lıneas a comentar una posible pregunta que surge en base a lorealizado.

Nos resulta interesante preguntarnos si esta generalizacion a los teoremas desingularidad de Hawking, que se aplican en el contexto de la Relatividad Gene-ral, pueden ser utiles para encontrar un analogo a estos teoremas en el contexto

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de gravedad f(R). Como se describe en [5], toda teorıa de gravedad f(R) pue-de describirse como una teorıa definida por ecuaciones de segundo orden sobrecierta funcion que toma valores escalares. Vıa una transformacion y un aplica-cion conforme, se deduce que la teorıa es equivalente a una dada por el siguienteLagrangiano:

S′[g, φ] = −∫ (−g) 12 [ S

2k− 1

2∑i,j

gij∇xiφ∇xjφ +U(φ)]

con el potencial U(φ) dado por U(φ) = f(S)−Sf ′(S)2kf ′(S)2 . Esta accion, al ser minimizada,

induce las siguientes ecuaciones:

Ric − 1

2Sg = T

con T un tensor que depende de las derivadas segundas de φ, de g y de U(φ). Lapregunta que queda abierta es: ¿que hipotesis hay que suponer sobre f , o sobre φy U(φ), para que podamos enunciar y probar un teorema similar a 19?

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Bibliografıa

[1] Beem John K., Ehrlich Paul, Easley Kevin Global Lorentzian GeometryCRC Press; 2 edition, 1996

[2] Bernal Antonio N., Sanchez Miguel, On smooth Cauchy hypersurfaces andGeroch’s splitting theoremarXiv:gr-qc/0306108, 2008

[3] Do Carmo Manfredo Riemannian GeometryBirkhauser; 1st ed., 1992.

[4] Duggal Krishan (editor), Sharma Ramesh (editor), Recent Advances in Rie-mannian and Lorentzian GeometriesAmerican Mathematical Society 2004

[5] Ferraro Rafael, f(R) and f(T) theories of modified gravityarXiv:1204.6273v2 [gr-qc], 2012

[6] Fewster Christopher J., Galloway Gregory J., Singularity theorems for wea-kened energy conditionsClassical and Quantum Gravity, v. 28, n. 12, http://stacks.iop.org/0264-9381/28/i=12/a=125009, 2011

[7] Gromov Mikhail Metric Structures for Riemannian and non-Riemannian spa-cesBirkhauser; 1st ed., 1999

[8] Hawking Stephen W., Ellis G. F. R., Landshoff P. V., Nelson D. R., SciamaD. W.,Weinberg S., The Large Scale Structure of Space-TimeCambridge University Press, 1975

92

[9] Hicks Noel J. Notes on Differential GeometryVan Nostrand mathematical studies 3, 1971

[10] Landau L.D., Lifshitz E.M. The Classical Theory of Fields, Fourth EditionCourse of Theoretical Physics Series (Book 2), 1980

[11] Lang Serge Differential and Riemannian ManifoldsGraduate Texts in Mathematics, 1996

[12] Mezzera Cecile Geometrıa Lorentziana y singularidades2014

[13] Milnor John Willard Topology from the Differentiable ViewpointThe University Press of Virginia, 1st edition, 1965

[14] Natario Jose Relativity and Singularities - A Short Introduction for Mathe-maticiansarXiv:math/0603190, 2011

[15] O’Neill Barrett Semi-Riemannian Geometry with Applications to RelativityAcademic Press, Pure and Applied Mathematics (Book 103) series, 1983.

[16] O’Neill Barrett The Geometry of Kerr Black HolesDover Publications; Reprint edition, 2014

[17] Wald Robert M. General RelativityUniversity of Chicago Press, 1984.

93