tesis analisis kemampuan memecahkan masalah …

i

TESIS

ANALISIS KEMAMPUAN MEMECAHKAN MASALAH MAHASISWA

PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS SANATA DHARMA

PADA MATERI TURUNAN SETELAH MENGALAMI PEMBELAJARAN

MENGGUNAKAN MODEL PEMBELAJARAN BERBASIS MASALAH

DENGAN STRATEGI FLIPPED CLASSROOM

Analysis of the Ability to Solve Problems in Mathematics Education Students of

Sanata Dharma University on Derivative Material After Experiencing Learning

Using a Problem-Based Learning Model with Strategy Flipped Classroom

NOR ANNISA

181442003

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM MAGISTER

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2020

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

i

TESIS

ANALISIS KEMAMPUAN MEMECAHKAN MASALAH MAHASISWA

PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS SANATA DHARMA

PADA MATERI TURUNAN SETELAH MENGALAMI PEMBELAJARAN

MENGGUNAKAN MODEL PEMBELAJARAN BERBASIS MASALAH

DENGAN STRATEGI FLIPPED CLASSROOM

Analysis of the Ability to Solve Problems in Mathematics Education Students of

Sanata Dharma University on Derivative Material After Experiencing Learning

Using a Problem-Based Learning Model with Strategy Flipped Classroom

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Derajat

Magister Pendidikan pada Program Magister Pendidikan Matematika

NOR ANNISA

181442003


JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM



YOGYAKARTA

2020


iv

HALAMAN PERSEMBAHAN

“Ketenangan pikiran adalah kekayaan”

(Penulis)

“Jalan terbaik untuk bebas dari masalah adalah dengan memecahkannya”

(Alan Saporta)

“Maka sesungguhnya bersama kesulitan itu ada kemudahan “

(QS. Al Insyirah : 5)

Dengan penuh syukur dan bangga tesis ini saya persembahkan kepada:

Allah SWT

Kedua orang tua, bapak Naing Sumarto, S.Pd. dan mama Paujiah, S.Pd.SD.

Kakak dan adik-adik, Muhammad Wardani, S.E., Salasiah, serta Ahmad Fauzan

Sahabat-sahabatku

Almamater tercinta Universitas Sanata Dharma


x

ABSTRAK

Annisa, Nor. 2020. Analisis Kemampuan Memecahkan Masalah Mahasiswa

Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma Pada Materi Turunan Setelah

Mengalami Pembelajaran Menggunakan Model Pembelajaran Berbasis Masalah

dengan Strategi Flipped Classroom. Tesis. Program Studi Magister Pendidikan

Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

Penelitian ini bertujuan untuk (1) mendeskripsikan langkah-langkah merencanakan dan

mengimplementasikan materi turunan untuk mahasiswa Pendidikan Matematika

Universitas Sanata Dharma menggunakan model pembelajaran berbasis masalah dengan

strategi Flipped Classroom dan (2) mendeskripsikan kemampuan memecahkan masalah

mahasiswa Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma setelah mengalami proses

pembelajaran menggunakan model pembelajaran berbasis masalah dengan strategi Flipped

Classroom. Jenis penelitian yang digunakan adalah penelitian desain. Subjek penelitian

adalah mahasiswa Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma yang mengikuti

mata kuliah Kalkulus Diferensial di Kelas B. Metode pengumpulan data yang digunakan

adalah catatan harian, dokumentasi, tes tertulis, dan wawancara. Instrumen pengumpulan

data yang digunakan adalah lembar tes tertulis, pedoman wawancara, dan alat dokumentasi.

Teknik analisis data yang digunakan adalah reduksi data, penyajian data, dan penarikan

kesimpulan atau verfikasi.

Penelitian ini menghasilkan rancangan lintasan belajar menggunakan model

pembelajaran berbasis masalah dengan strategi flipped classroom berdasarkan empat fase

flipped classroom untuk materi turunan yang telah diujicobakan pada satu kelas sebanyak

tiga pertemuan dan direvisi untuk diterapkan pada kelas penelitian. Hasil penelitian

menunjukkan bahwa (1) langkah-langkah membelajarkan materi turunan dengan

menggunakan model pembelajaran berbasis masalah dengan strategi flipped classroom

sebagai berikut (a) fase 0, yaitu mahasiswa mencoba membuktikan aturan-aturan turunan

dan setelah selesai membuktikan, mahasiswa diminta untuk membandingkan proses yang

mereka buat dengan proses yang dilakukan oleh peneliti yang dijelaskan oleh peneliti

melalui video; (b) fase 1, yaitu mahasiswa diajak berdiskusi tentang gradien garis singgung

dengan kaitannya pada turunan dan peneliti memberikan masalah tentang bagaimana

mengaplikasikan aturan-aturan turunan kepada mahasiswa untuk diselesaikan secara

berkelompok; (c) fase 2, yaitu para mahasiswa mendiskusikan secara terbimbing

bagaimana menyelesaikan masalah tersebut didalam kelompok dan mempresentasikan

hasil diskusi kelompok; (d) fase 3, yaitu peneliti memberikan tes tertulis tentang bagaimana

mengaplikasikan aturan-aturan turunan kepada mahasiswa untuk mengetahui kemampuan

memecahkan masalah mahasiswa. (2) Kemampuan menyelesaikan masalah berdasarkan

hasil tes tertulis adalah sebagai berikut: (a) untuk penyelesaian masalah satu, ada tiga

kelompok jawaban mahasiswa dari 47 mahasiswa. Kelompok pertama untuk bagian a

terdapat 37 mahasiswa yang memenuhi 3 indikator kemampuan memecahkan masalah dan

bagian b terdapat 33 mahasiswa yang memenuhi 3 indikator kemampuan memecahkan

masalah. Kelompok kedua untuk bagian a terdapat 4 mahasiswa yang memenuhi 3

indikator kemampuan memecahkan masalah dan bagian b terdapat 4 mahasiswa yang

memenuhi 2 indikator kemampuan memecahkan masalah. Kelompok ketiga untuk bagian

a terdapat 4 mahasiswa yang memenuhi 1 indikator kemampuan memecahkan masalah dan

bagian b terdapat 4 mahasiswa yang memenuhi 1 indikator kemampuan memecahkan

masalah; (b) untuk penyelesaian masalah kedua dapat disimpulkan bahwa dari 47


xi

mahasiswa terdapat 20 mahasiswa yang memenuhi 3 indikator kemampuan memecahkan

masalah, 7 mahasiswa yang memenuhi 2 indikator kemampuan memecahkan masalah, dan

12 mahasiswa yang memenuhi 1 indikator kemampuan memecahkan masalah; (c) untuk

penyelesaian masalah ketiga dapat disimpulkan bahwa dari 47 mahasiswa terdapat 39

mahasiswa yang memenuhi 3 indikator kemampuan memecahkan masalah dan 3

mahasiswa memenuhi 1 indikator kemampuan memecahkan masalah; (3) Kemampuan

menyelesaikan masalah berdasarkan hasil tes dan wawancara diperoleh hasil sebagai

berikut: (a) mahasiswa kategori pertama disimpulkan bahwa untuk masalah pertama dan

masalah kedua mahasiswa memenuhi 4 indikator kemampuan memecahkan masalah,

sedangkan untuk masalah ketiga mahasiswa memenuhi 3 indikator kemampuan

memecahkan masalah; (b) mahasiswa kategori kedua disimpulkan bahwa untuk masalah

pertama, masalah kedua, dan masalah ketiga mahasiswa memenuhi 4 indikator kemampuan

memecahkan masalah; dan (c) mahasiswa kategori ketiga disimpulkan bahwa untuk

masalah pertama mahasiswa memenuhi 4 indikator kemampuan memecahkan masalah,

untuk masalah kedua mahasiswa memenuhi 1 indikator kemampuan memecahkan masalah,

sedangkan untuk masalah ketiga mahasiswa memenuhi 3 indikator kemampuan

memecahkan masalah.

Kata kunci: Kemampuan Memecahkan Masalah, Model Pembelajaran Berbasis

Masalah, Flipped Classroom, Penelitian Desain.


xii

ABSTRACT

Annisa, Nor. 2020. Analysis of the Ability to Solve Problems in Mathematics Education

Students of Sanata Dharma University on Derivative Material After Experiencing

Learning Using a Problem-Based Learning Model with Strategy Flipped Classroom.

Thesis. Master of Mathematics Education Study Program, Department of Mathematics

and Natural Sciences Education, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata

Dharma University, Yogyakarta.

This research aims were to (1) describe the steps for planning and implementing

derivative material for Mathematics Education students at Sanata Dharma University

using a problem-based learning model with the strategy Flipped Classroom and (2)

describe the problem-solving skills of students of Sanata Dharma University Mathematics

Education after following the teaching and learning process by using a problem-based

learning model with the strategy Flipped Classroom. This type of research was a design

research. The research subjects were students of Sanata Dharma University Mathematics

Education who took the Differential Calculus course in Class B. Data collection methods

used were diaries, documentation, written tests, and interviews. Data collection

instruments used were written test sheets, interview guides, and documentation tools. Data

analysis techniques used were data reduction, data presentation, and drawing conclusions

or verification.

This research produced a learning path design using a problem-based learning model

with a strategy flipped classroom based on four phases of the flipped classroom for

derivative materials that have been tested in one class for three meetings and revised to be

applied to the research class. The results showed that (1) the steps to teach derivative

material using a problem-based learning model with the strategy were flipped classroom

as follows (a) phase 0, in which students tried to prove the derivative rules and after

completing the proving, students were asked to compare the process they create with a

process carried out by the researcher which is explained by the researcher via video; (b)

Phase 1, in which students were invited to discuss the tangent gradient with its relation to

derivatives and the researcher gave problems on how to apply derivative rules to students

to be solved in groups; (c) phase 2, where students discussed in a guided manner how to

solve these problems in groups and present the results of group discussions; (d) Phase 3,

in which the researcher provided a written test on how to apply derivative rules to students

to determine the student's problem-solving ability. (2) The ability to solve problems based

on the written test results were as follows: (a) for problem-solving one, there were three

groups of student answers from 47 students. The first group for part consists of 37 students

who achieved 3 indicators of problem-solving abilities and in part b 33 students who

achieved 3 indicators of problem-solving abilities. The second group for part a consisted

of 4 students who achieved 3 indicators of problem-solving abilities and in part b 4 students

who achieved 2 indicators of problem-solving abilities. The third group for part a consisted

of 4 students who achieved 1 indicator of problem-solving abilities and in section b there

were 4 students who achieved 1 indicator of problem-solving abilities; (b) for solving the

second problem, it could be concluded that of the 47 students there were 20 students who

achieved 3 indicators of problem-solving abilities, 7 students who achieved 2 indicators of

problem-solving abilities, and 12 students who achieved 1 indicator of problem-solving

abilities; (c) for solving the third problem, it can be concluded that of the 47 students there

were 39 students who achieved 3 indicators of problem-solving abilities and 3 students who

achieved 1 indicator of problem-solving abilities; (3) The ability to solve problems based


xiii

on the results of tests and interviews obtained the following results: (a) students in the first

category concluded that for the first problem and the second problem the students achieved

4 indicators of problem-solving ability, while for the third problem the students achieved 3

indicators of problem-solving ability; (b) students in the second category concluded that

for the first problem, second problem, and third problem the students met 4 indicators of

problem-solving abilities; and (c) students in the third category concluded that for the first

problem students achieved 4 indicators of problem-solving abilities, for the second

problem students achieved 1 indicator of problem-solving abilities, while for the third

problem students achieved 3 indicators of problem-solving abilities.

Keywords: Problem Solving Ability, Problem Based Learning Model, Flipped Classroom,

Design Research.


xiv

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ................................................................................................ i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................... .ii

HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................... .iii

HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................ iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................. v

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ILMIAH UNTUK

KEPENTINGAN AKADEMIS ............................................................................. vi

KATA PENGANTAR .......................................................................................... vii

ABSTRAK .............................................................................................................. x

ABSTRACT ............................................................................................................ xii

DAFTAR ISI ........................................................................................................ xiv

DAFTAR TABEL ................................................................................................ xvi

DAFTAR GAMBAR ............................................................................................ xv

BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1

A. Latar Belakang ............................................................................................. 1

B. Rumusan Masalah ...................................................................................... 12

C. Batasan Masalah......................................................................................... 12

D. Batasan Istilah ............................................................................................ 13

E. Tujuan Penelitian ....................................................................................... 14

F. Manfaat Penelitian ..................................................................................... 14

G. Kebaruan Penelitian ................................................................................... 15

BAB II LANDASAN TEORI ............................................................................... 17

A. Penelitian Desain ........................................................................................ 17

B. Flipped Classroom ..................................................................................... 19

C. Pembelajaran Berbasis Masalah ................................................................. 23

D. Kemampuan Memecahkan Masalah .......................................................... 25

E. Turunan ...................................................................................................... 30

F. Penelitian yang Relevan ............................................................................. 34

G. Kerangka Berpikir ...................................................................................... 38

BAB III METODE PENELITIAN........................................................................ 42

A. Jenis Penelitian ........................................................................................... 42


xv

B. Tempat dan Waktu Penelitian .................................................................... 43

C. Subjek Penelitian dan Objek Penelitian ..................................................... 43

D. Metode Pengumpulan Data ........................................................................ 44

E. Instrumen Pengumpulan Data .................................................................... 46

F. Teknik Analisis Data .................................................................................. 50

BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN ........................................................ 53

A. Deskripsi Proses Perencanaan untuk Kelas Uji Coba ................................ 53

B. Deskripsi Proses Pembelajaran Kelas Uji Coba......................................... 58

C. Deskripsi Hasil Tes Tertulis Kelas Uji Coba ............................................. 89

D. Analisa Jawaban Hasil Tes Tertulis dan Wawancara Kelas Uji Coba ..... 113

E. Deskripsi Proses Perencanaan untuk Kelas Penelitian............................. 177

F. Deskripsi Proses Pembelajaran Kelas Penelitian ..................................... 183

G. Deskripsi Hasil Tes Tertulis Kelas Penelitian .......................................... 217

H. Analisa Jawaban Hasil Tes Tertulis dan Wawancara Kelas Penelitian ... 247

I. Kelemahan Penelitian............................................................................... 309

J. Refleksi .................................................................................................... 310

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN .............................................................. 314

A. Kesimpulan .............................................................................................. 314

B. Saran ......................................................................................................... 319

DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................... 320

LAMPIRAN ........................................................................................................ 324


xvi

DAFTAR TABEL

Tabel 1. 1 Masalah Aturan-Aturan Turunan untuk Tes Awal ................................ 5

Tabel 2. 1 Pengertian Flipped Classroom dalam Arti Sempit dan Luas .............. 20

Tabel 2. 2 Sintaks Problem Based Learning ........................................................ 24

Tabel 3. 1 Kriteria tinggi, sedang, dan rendah ..................................................... 45

Tabel 3. 2 Kisi-kisi Tes Tertulis Mahasiswa ........................................................ 46

Tabel 3. 3 Kisi-kisi Pedoman Wawancara Mahasiswa ........................................ 48

Tabel 4. 1 Tes Masalah Aturan-aturan Turunan Kelas Uji Coba ......................... 90

Tabel 4. 2 Tes Masalah Aturan-aturan Turunan Kelas Penelitian...................... 218


xv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1. 1 Kelompok Jawaban Mahasiswa 1 ..................................................... 6

Gambar 1. 2 Kelompok Jawaban Mahasiswa 2 ..................................................... 8

Gambar 2. 1 Kerangka Berpikir .......................................................................... 41

Gambar 4. 1 Kelompok Jawaban Mahasiswa Pembuktian Teorema Pertama .... 60

Gambar 4. 2 Kelompok Jawaban Mahasiswa Pembuktian Teorema Kedua ....... 61

Gambar 4. 3 Kelompok Jawaban Mahasiswa Pembuktian Teorema Ketiga Cara

Pertama .................................................................................................................. 62

Gambar 4. 4 Jawaban Mahasiswa Pembuktian Teorema Ketiga Cara Kedua ..... 63

Gambar 4. 5 Kelompok Jawaban Mahasiswa Pembuktian Teorema Keempat ... 65

Gambar 4. 6 Kelompok Jawaban Mahasiswa Pembuktian Teorema Kelima...... 66

Gambar 4. 7 Kelompok Jawaban Mahasiswa Pembuktian Teorema Keenam .... 67

Gambar 4. 8 Kelompok Jawaban Mahasiswa Pembuktian Teorema Ketujuh .... 69

Gambar 4. 9 Kelompok Jawaban Mahasiswa Pembuktian Teorema Kedelapan 71

Gambar 4. 10 Video Pembelajaran Aturan-Aturan Turunan Kelas Uji Coba ..... 73

Gambar 4. 11 Kelompok Jawaban Mahasiswa Pertama untuk Masalah Pertama

Kelas Uji Coba ...................................................................................................... 93

Gambar 4. 12 Kelompok Jawaban Mahasiswa Kedua untuk Masalah Pertama

Kelas Uji Coba ...................................................................................................... 98

Gambar 4. 13 Kelompok Jawaban Mahasiswa Pertama untuk Masalah Kedua

Kelas Uji Coba .................................................................................................... 101


xvi

Gambar 4. 14 Kelompok Jawaban Mahasiswa Kedua untuk Masalah Kedua Kelas

Uji Coba .............................................................................................................. 104

Gambar 4. 15 Kelompok Jawaban Mahasiswa Ketiga untuk Masalah Kedua Kelas

Uji Coba .............................................................................................................. 107

Gambar 4. 16 Kelompok Jawaban Mahasiswa Pertama untuk Masalah Ketiga

Kelas Uji Coba .................................................................................................... 109

Gambar 4. 17 Kelompok Jawaban Mahasiswa Kedua untuk Masalah Ketiga Kelas

Uji Coba .............................................................................................................. 111

Gambar 4. 18 Jawaban Hasil Tes Subjek 1 untuk Masalah Pertama ................ 115

Gambar 4. 19 Jawaban Hasil Tes Subjek 1 untuk Masalah Kedua ................... 119

Gambar 4. 20 Jawaban Hasil Tes Subjek 1 untuk Masalah Ketiga ................... 122







Gambar 4. 27 Kelompok Jawaban Mahasiswa Pembuktian Teorema Pertama 185

Gambar 4. 28 Kelompok Jawaban Mahasiswa Pembuktian Teorema Kedua ... 186

Gambar 4. 29 Kelompok Jawaban Mahasiswa Pembuktian Teorema Ketiga Cara

Pertama ................................................................................................................ 187

Gambar 4. 30 Jawaban Mahasiswa Pembuktian Teorema Ketiga Cara Kedua . 189

Gambar 4. 31 Kelompok Jawaban Mahasiswa Pembuktian Teorema Keempat 191


xvii

Gambar 4. 32 Kelompok Jawaban Mahasiswa Pembuktian Teorema Kelima .. 192

Gambar 4. 33 Kelompok Jawaban Mahasiswa Pembuktian Teorema Keenam 193

Gambar 4. 34 Kelompok Jawaban Mahasiswa Pembuktian Teorema Ketujuh 195

Gambar 4. 35 Kelompok Jawaban Mahasiswa Pembuktian Teorema Kedelapan

............................................................................................................................. 197

Gambar 4. 36 Video Pembelajaran Aturan-aturan Turunan Kelas Penelitian ... 199

Gambar 4. 37 Kelompok Jawaban Mahasiswa Pertama untuk Masalah Pertama

Kelas Penelitian ................................................................................................... 221





Gambar 4. 40 Kelompok Jawaban Mahasiswa Pertama untuk Masalah Kedua


Gambar 4. 41 Kelompok Jawaban Mahasiswa Kedua untuk Masalah Kedua Kelas

Penelitian ............................................................................................................. 238

Gambar 4. 42 Kelompok Jawaban Mahasiswa Ketiga untuk Masalah Kedua Kelas

Penelitian ............................................................................................................. 240

Gambar 4. 43 Kelompok Jawaban Mahasiswa Pertama untuk Masalah Ketiga


Gambar 4. 44 Kelompok Jawaban Mahasiswa Kedua untuk Masalah Ketiga Kelas

Penelitian ............................................................................................................. 245

Gambar 4. 45 Jawaban Hasil Tes Subjek 1 Untuk Masalah Pertama ................ 249


xviii










1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Belajar merupakan salah satu kebutuhan hidup bagi umat manusia dalam

usahanya untuk mempertahankan hidup dan mengembangkan dirinya dalam

kehidupan bermasyarakat dan bernegara. Witherington (dalam Sukmadinata,

2009: 155) mengemukakan bahwa belajar merupakan perubahan dalam

kepribadian, yang dimanifestasikan sebagai pola-pola respons yang baru yang

berbentuk keterampilan, sikap, kebiasaan, pengetahuan, dan kecakapan. Setelah

melalui proses belajar maka individu diharapkan dapat mencapai tujuan belajar

yang disebut juga sebagai hasil belajar yaitu kemampuan yang dimiliki

seseorang setelah menjalani proses belajar. Belajar sebagai suatu kebutuhan

yang penting karena kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi yang terus

berkembang diberbagai aspek kehidupan manusia. Tanpa adanya belajar seorang

individu akan mengalami kesulitan dalam menyesuaikan diri dengan kebutuhan

perkembangan zaman yang menjadi tuntutan hidup.

Matematika tidak hanya penting bagi para ilmuwan, doktor, dan astronot

tetapi matematika juga memainkan peran penting dalam kehidupan kita sehari-

hari. Dalam kehidupan sehari-hari dijumpai berbagai masalah yang kita temui

dan diperlukan adanya solusi untuk memecahkan masalah tersebut. Berbicara

matematika tentu tidak terlepas dari masalah dan bagaimana memecahkannya,

karena kedua hal tersebut menjadi bagian dari matematika itu sendiri.


2

Pemecahan masalah merupakan kegiatan yang sangat penting dalam

pembelajaran matematika. Pentingnya pemecahan masalah matematika

ditegaskan dalam National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 2000:

52) bahwa pemecahan masalah merupakan bagian integral dalam pembelajaran

matematika, sehingga hal tersebut tidak boleh dilepaskan dari pembelajaran

matematika. Branca (1980) menyatakan bahwa kemampuan pemecahan masalah

sangat penting dimiliki oleh setiap siswa karena (1) pemecahan masalah

merupakan tujuan umum pengajaran matematika, (2) pemecahan masalah yang

meliputi metode, prosedur, dan strategi merupakan proses inti dan utama dalam

kurikulum matematika, dan (3) pemecahan masalah merupakan kemampuan

dasar belajar matematika. Dengan alasan tersebut, maka sangat penting untuk

mengembangkan kemampuan pemecahan masalah matematika khususnya

dalam pembelajaran di kelas.

Dijumpai dalam praktek pendidikan pada perguruan tinggi banyak

menekankan transformasi pengetahuan sebanyak-banyaknya kepada mahasiswa

dibandingkan dengan mentransformasikan keterampilan yang dibutuhkan

mahasiswa dalam belajar (Mutakin, 2015). Dalam proses perkuliahan, dosen

berperan dalam menyampaikan dan menjelaskan materi untuk dapat dipahami

dan dikuasi oleh mahasiswa. Kemampuan setiap mahasiswa pasti berbeda-beda

dan kemampuan tersebut dapat dilihat dari kemampuan dalam menyelesaikan

soal. Dari proses penyelesaian soal dapat diketahui apakah mahasiswa mampu

menyelesaikan soal dengan benar atau terdapat kesalahan dalam menyelesaikan

soal tersebut. Oleh karena itu, mahasiswa harus dibekali dengan kemampuan-


3

kemampuan yang dapat digunakan untuk mengatasi permasalahan yang mereka

hadapi. Kemampuan tersebut adalah kemampuan memecahkan masalah.

Kemampuan ini dapat dikembangkan melalui pembelajaran dimana masalah

dihadirkan di kelas dan peserta didik diminta untuk menyelesaikannya dengan

segala pengetahuan dan keterampilan yang mereka miliki. Pembelajaran bukan

hanya sebagai “transfer of knowledge”, tetapi mengembangkan potensi peserta

didik secara sadar melalui kemampuan yang lebih dinamis dan aplikatif (Pansa,

2016).

Kalkulus Diferensial adalah mata kuliah yang cukup abstrak bagi mahasiswa.

Didalamnya terdapat materi fungsi, limit fungsi, dan turunan fungsi. Seringkali

mahasiswa dapat menyelesaikan berbagai soal pada mata kuliah Kalkulus

Diferensial, namun memiliki kesulitan apabila soal Kalkulus ini dihubungkan

dengan kehidupan sehari-hari atau lebih tepatnya soal yang aplikatif. Demikian

pula, pembelajaran bagi mahasiswa Pendidikan Matematika Universitas Sanata

Dharma pada matakuliah Kalkulus Diferensial. Kalkulus Diferensial merupakan

salah satu matakuliah wajib yang terdapat pada semester genap yaitu semester

dua Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan Dan Ilmu

Pendidikan Universitas Sanata Dharma. Setiap mahasiswa pendidikan

matematika wajib menempuh matakuliah Kalkulus Diferensial karena sebagai

syarat untuk menempuh mata kuliah Kalkulus selanjutnya yaitu Kalkulus

Integral dan Kalkulus Lanjut.

Berdasarkan wawancara peneliti dengan dosen mata kuliah Kalkulus

Diferensial, peneliti memperoleh informasi bahwa kendala mahasiswa dalam


4

mata kuliah Kalkulus Diferensial materi turunan adalah mahasiswa menganggap

representasi dari fungsi satu-satunya adalah persamaan, padahal representasi

dari fungsi ada beberapa. Jadi, ketika ada permasalahan yang meminta

mahasiswa untuk menganalisis fungsi dan diketahui misalkan grafiknya, maka

mahasiswa akan mencari persamaannya terlebih dahulu, dan untuk beberapa

kasus hal ini tidak mudah untuk dilakukan. Selain itu, ketika memberikan soal

eksplorasi, misalnya dosen memberikan persamaan garis singgung terlebih

dahulu dan meminta mahasiswa untuk menentukan turunan fungsi yang

memiliki garis singgung tersebut di titik tertentu, mahasiswa akan

mengintegralkan persamaan atau fungsi garis singgung dan tentu hal itu

merupakan hal yang tidak tepat. Jadi, mahasiswa menganggap fungsi itu adalah

integral dari persamaan garis singgung. Terkait soal aplikasi aturan turunan,

dosen tidak memberikan soal yang aplikatif karena untuk kurikulum atau silabus

yang dikembangkan pada mata kuliah Kalkulus Diferensial ada tiga topik besar

yaitu, limit, turunan, aplikasi turunan. Pada topik turunan, dosen mengajarkan

materi konseptual terkait dengan pengertian turunan dan sifat-sifat turunan.

Aplikasi dari turunan belum diajarkan pada topik turunan karena akan dibahas

pada aplikasi turunan. Mahasiswa terkendala sulit mengabstraksi ketika

diberikan soal aplikatif dan mahasiswa kesulitan untuk menentukan strategi

yang akan dipergunakan di dalam menyelesaikan masalah tersebut. Dalam

pembelajaran di kelas dosen melakukan penyampaian materi, memberikan

contoh soal, memberikan latihan dan dikerjakan mahasiswa, kemudian

mahasiswa mempresentasikan apa yang telah dikerjakan.


5

Selain melakukan wawancara dengan dosen matakuliah Kalkulus Diferensial,

peneliti juga melakukan tes awal materi aturan-aturan turunan pada mahasiswa

semester III Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma yang telah

menempuh mata kuliah Kalkulus Diferensial pada semester II dengan dosen

yang sama mengampu mata kuliah tersebut. Tes awal yang diberikan kepada

mahasiswa tersebut berupa masalah terkait materi aturan-aturan turunan. Berikut

masalah dan dipaparkan kelompok jawaban mahasiswa:

Tabel 1. 1 Masalah Aturan-Aturan Turunan untuk Tes Awal

Sebuah talang air terbuat dari papan aluminium selebar 3 m, ditekuk kedua

tepinya sehingga membentuk sudut terhadap bidang horizontal seperti pada

gambar.

Tentukan sudut agar kapasitas talang air maksimum!


6

Gambar 1. 1 Kelompok Jawaban Mahasiswa 1

Mahasiswa menjawab masalah dengan menuliskan apa yang diketahui dan

ditanyakan pada soal lalu menyelesaikan dengan menggambar talang air

terlebih dahulu. Mahasiswa membuat segitiga dari talang air yang digambar

sebagai berikut . Mahasiswa membuat garis tinggi untuk membantu

dalam mencari besar sudut 𝜃, kemudian dimisalkan 𝑎 sebagai panjang sisi di

depan sudut 𝜃 dan 1 sebagai panjang sisi miring yang telah diketahui pada

masalah tersebut. Lalu mahasiswa mencari 𝑠𝑖𝑛 𝜃 adalah 𝑎

1, sehingga diperoleh

𝑠𝑖𝑛𝜃 adalah 𝑎 dan akibatnya 𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑎 = 0. Kemudian mahasiswa

menurunkan persamaan tersebut, tetapi proses penurunan tersebut tidak tepat

karena fungsi yang dimaksimumkan bukan fungsi tersebut.

Kelompok Jawaban Mahasiswa 1:


7

Berdasarkan hasil analisa terhadap kelompok jawaban mahasiswa 1 dari tes

yang diberikan oleh peneliti, mahasiswa kurang tepat menentukan jumlah sisi

yang sejajar pada talang air untuk menentukan volume maksimum talang air.

Dalam memecahkan masalahnya mahasiswa membuat segitiga dari talang air

yang digambar sebagai berikut . Mahasiswa membuat garis tinggi untuk

membantu dalam mencari besar sudut 𝜃, kemudian dimisalkan 𝑎 sebagai

panjang sisi di depan sudut 𝜃 dan 1 sebagai panjang sisi miring yang telah

diketahui pada masalah tersebut. Mahasiswa tidak memperhatikan dengan baik

gambar dari talang air sehingga kurang tepat dalam mencari jumlah sisi yang

sejajar.

a 1

𝜃


8

Berdasarkan hasil analisa terhadap kelompok jawaban mahasiswa 2 dari tes

yang diberikan oleh peneliti, mahasiswa kurang tepat dalam menyederhanakan

gambar talang air yang kedua tepinya ditekuk membentuk sudut 𝜃. Dalam

memecahkan masalahnya mahasiswa membuat sudut lancip dari talang air yang

digambar sebagai berikut . Mahasiswa mengasumsikan sudut 𝜃 yang

Gambar 1. 2 Kelompok Jawaban Mahasiswa 2

Mahasiswa menjawab masalah dengan menuliskan apa yang diketahui dan

ditanyakan pada soal lalu menyelesaikan dengan menggambar sudut 𝜃

terlebih dahulu. Mahasiswa membuat sudut lancip dari talang air yang

digambar sebagai berikut . Mahasiswa mengasumsikan sudut 𝜃

yang merupakan sudut lancip dan akibatnya mahasiswa menuliskan sudut

𝜃 sebesar 45°, proses tersebut tidak tepat karena sudut 𝜃 agar kapasitas

talang air maksimum bukan 𝜃 tersebut.

𝜃

𝜃

Kelompok Jawaban Mahasiswa 2:


9

merupakan sudut lancip dan akibatnya mahasiswa menuliskan sudut 𝜃 sebesar

45°. Mahasiswa tidak memperhatikan dengan baik gambar dari talang air

sehingga kurang tepat menyederhanakan gambar talang air yang kedua tepinya

ditekuk membentuk sudut 𝜃.

Dari kelompok jawaban-jawaban mahasiswa tersebut dapat disimpulkan

bahwa mahasiswa mengalami kendala dalam menyusun rencana memecahkan

masalah. Mahasiswa mengalami kesulitan dalam konsep matematika apa yang

dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah dan kurang tepat dalam

menyederhankan gambar.

Flipped classroom merupakan salah satu pendekatan pembelajaran yang

memininimalkan jumlah instruksi langsung tapi memaksimalkan interaksi satu-

satu (Johnson, 2013 dalam Ario dan Asra, 2019). Flipped classroom mengubah

apa yang seharusnya dikerjakan di luar kelas oleh mahasiswa berupa penugasan-

penugasan menjadi dikerjakan di dalam kelas dengan didampingi dosen dan apa

yang seharusnya dikerjakan di dalam kelas berupa pengajaran dan penyampaian

materi oleh dosen menjadi dikerjakan di luar kelas dengan menonton video

pembelajaran yang telah disiapkan (Ridha, Setyosari, dan Kuswandi, 2016

dalam Asra dan Ario, 2019).

Beberapa penelitian menjelaskan mengenai penerapan pendekatan flipped

classroom terkait kemampuan pemecahan masalah. Dari penelitian Harahap dan

Nasution (2019) kemampuan pemecahan masalah matematis mahasiswa di Prodi

Pendidikan Matematika Institut Pendidikan Tapanuli Selatan sebelum

menggunakan model pembelajaran flipped classroom mencapai nilai rata-rata


10

51,60 apabila dikategorikan maka kemampuan pemecahan masalah matematis

mahasiswa berada pada kategori “kurang” sedangkan setelah penggunaan model

pembelajaran flipped classroom kemampuan kemampuan pemecahan masalah

matematis mahasiswa mencapai nilai rata-rata 81,6519 dan apabila

dikategorikan maka kemampuan pemecahan masalah matematis mahasiswa

berada pada kategori “sangat baik”. Hal ini menunjukkan bahwa kemampuan

pemecahan matematis mahasiswa sebelum dan sesudah menggunakan model

pembelajarn flipped classroom mengalami peningkatan. Menurut hasil

penelitian yang dilakukan oleh Ario dan Asra (2019) menunjukkan bahwa video

pembelajaran yang dikembangkan memenuhi kriteria valid, praktis, dan efektif.

Validitas video berada pada kategori sangat baik. Kepraktisan video berada pada

kategori baik. Efektifitas video masuk pada kategori baik. Selain itu hasil

penelitian juga menunjukkan bahwa penggunaan video pembelajaran dengan

model pembelajaran flipped classroom bisa mengoptimalkan waktu

pembelajaran di kelas untuk membahas materi secara lebih luas dan mendalam.

Dari hasil penelitian Harahap dan Nasution (2019) penelitian pretest

mahasiswa di Prodi Pendidikan Matematika Institut Pendidikan Tapanuli

Selatan yang berjumlah 27 orang, diperoleh nilai terendah 36,10 dan nilai

tertinggi 51,60 dalam kategori ”kurang”. Sedangkan hasil postes setelah

pengaplikasian model pembelajaran flipped classroom diperoleh 81,6 dalam

kategori sangat baik. Sehingga terlihat bahwa kemampuan pemecahan masalah

mahasiswa menjadi meningkat dengan diterapkannya model pembelajaran

flipped classroom. Hasil dari pengujian hipoitesis diperolah bahwa H0 ditolak


11

dan Ha diterima yang menyatakan bahwa rata – rata kemampuan pemecahan

mahasiswa setelah diterapkan model pembelajaran flipped classroom lebih

tinggi dibandingkan rata – rata kemampuan pemecahan masalah matematis

mahasiswa sebelum diterapkan model pembelajaran flipped classroom. Jika nilai

sig < 0,05 maka hipotesis alternatif diterima dan jika nilai sig > 0,05 maka

hipotesis alternatif ditolak. Dari hasil yang diperoleh bahwa nilai signifikan

0,000 < 0,05 artinya hipotesis alternatif yang dirumuskan dalam penelitian ini

diterima atau disetujui kebenarannya. Artinya, efektifnya model pembelajaran

flipped classroom terhadap kemampuan pemecahan masalah matematis

mahasiswa di kelas VIII Prodi Pendidikan Matematika IPTS.

Dari hasil penelitian di atas, peneliti ingin mencoba menggunakan strategi

flipped classroom untuk menyelesaikan masalah yang dialami oleh mahasiswa

terkait dengan kemampuan mereka di dalam menyelesaikan masalah dan melihat

pengaruhnya terhadap kemampuan pemecahan masalah mahasiswa di Program

Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma dimana materi

pembelajarannya belum diajarkan sehingga peneliti yang akan mengajarkan

untuk mengetes kemampuan memecahkan masalah mahasiswa. Pembelajaran

akan dilaksanakan dengan menggunakan strategi flipped classroom yang

diaplikasikan menggunakan model pembelajaran berbasis masalah. Model

pembelajaran berbasis masalah diaplikasikan dengan strategi flipped classroom

berdasarkan fase 1 (guru membentuk beberapa kelompok kecil pada saat

pembelajaran di kelas) dan fase 2 (menerapkan kemampuan siswa dalam proyek

dan simulasi lain didalam kelas) pada pertemuan kedua dengan menggunakan


12

sintaks model pembelajaran berbasis masalah. Karena itu, maka peneliti tertarik

untuk melakukan penelitian tentang “Analisis Kemampuan Memecahkan

Masalah Mahasiswa Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma Pada

Materi Turunan Setelah Mengalami Pembelajaran Menggunakan Model

Pembelajaran Berbasis Masalah dengan Strategi Flipped Classroom”

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang permasalahan, maka dapat dirumuskan

permasalahan dalam penelitian ini sebagai berikut:

1. Bagaimana langkah-langkah merencanakan dan mengimplementasikan

materi turunan untuk mahasiswa Pendidikan Matematika Universitas

Sanata Dharma menggunakan model pembelajaran berbasis masalah

dengan strategi Flipped Classroom?

2. Bagaimana kemampuan memecahkan masalah mahasiswa Pendidikan

Matematika Universitas Sanata Dharma setelah mengikuti proses

pembelajaran menggunakan model pembelajaran berbasis masalah dengan

strategi Flipped Classroom?

C. Batasan Masalah

Adapun batasan masalah yang menjadi fokus pada penelitian ini yaitu:

1.Subjek penelitian adalah mahasiswa pendidikan matematika semester II

Universitas Sanata Dharma kelas C sebagai subjek kelas uji coba dan


13

mahasiswa pendidikan matematika semester II kelas B sebagai subjek kelas

penelitian.

2.Materi yang digunakan yaitu materi aturan-aturan turunan.

D. Batasan Istilah

1. Strategi Flipped Classroom

Flipped Classroom merupakan suatu strategi dalam pembelajaran dimana

pendidik mengalihkan pembelajaran langsung dari dalam kelas (kelompok

besar) ke pembelajaran di luar kelas (individu) dengan memanfaatkan

teknologi sebagai media untuk mengakses materi pembelajaran.

2. Kemampuan Memecahkan Masalah

Kemampuan memecahkan masalah adalah kemampuan individu dalam

proses menemukan suatu cara dalam mencari solusi untuk menyelesaikan

masalah secara matematis.

3. Model Pembelajaran Berbasis Masalah

Model pembelajaran berbasis masalah merupakan suatu model

pembelajaran yang memiliki lima tahap pembelajaran yakni: (1) orientasi

peserta didik terhadap masalah, (2) mengorganisasi peserta didik untuk

belajar, (3) membimbing pengalaman individual/kelompok, (4)

mengembangkan dan menyajikan hasil karya, dan (5) menganalisis dan

mengevaluasi proses pemecahan masalah.


14

E. Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah yang telah dikemukakan tersebut, maka

tujuan dari penelitian ini sebagai berikut:

1. Mendeskripsikan langkah-langkah merencanakan dan

mengimplementasikan materi turunan untuk mahasiswa Pendidikan

Matematika Universitas Sanata Dharma menggunakan model pembelajaran

berbasis masalah dengan strategi Flipped Classroom.

2. Mendeskripsikan kemampuan memecahkan masalah mahasiswa

Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma setelah mengikuti

proses pembelajaran menggunakan model pembelajaran berbasis masalah

dengan strategi Flipped Classroom.

F. Manfaat Penelitian

Penelitian ini dilaksanakan dengan harapan dapat mencapai tujuan dan

memberikan manfaat, yaitu:

1. Bagi peserta didik, penelitian ini dapat melatih kemampuan pemecahan

masalah dalam memecahkan masalah dalam kehidupan nyata yang berkaitan

dengan turunan.

2. Bagi pendidik, penelitian ini dapat dijadikan bahan pertimbangan atau

referensi untuk menerapkan proses pembelajaran menggunakan model

pembelajaran berbasis masalah dengan strategi flipped classroom dengan

subjek dan materi yang sama atau berbeda.


15

3. Bagi peneliti, penelitian ini dapat menambah wawasan dan mengasah

kemampuan peneliti dalam merancang pembelajaran menggunakan model

pembelajaran berbasis masalah dengan startegi flipped classroom. Kemudian

melalui penelitian ini, peneliti dapat mengetahui dampak dari proses


startegi flipped classroom yang berlangsung di kelas.

G. Kebaruan Penelitian

Pada penelitian-penelitian sebelumnya yaitu penelitian yang dilakukan oleh

Rahayu (2017) metode penelitian yang digunakan adalah metode kuantitatif

deskriptif. Data pada penelitian tersebut ada dua jenis yaitu data kualitatif dan

data kuantitatif, data kualitatif diperoleh melalui observasi dan catatan lapangan

sedangkan data kuantitatif diperoleh dari tes akhir pertemuan. Penelitian yang

dilakukan oleh Harahap dan Nasution (2019) jenis penelitian yang digunakan

adalah eksperimen semu (Quasi Eksperimental Design), peneliti menggunakan

desain penelitian yang berbentuk one group pretest-posttest design

menggunakan satu jenis perlakuan dan teknik analisis data menggunakan

deskriptif. Penelitian lain yang dilakukan oleh Harahap dan Nasution (2019)

jenis penelitian yang digunakan adalah eksperimen semu (Quasi Eksperimental

Design), peneliti menggunakan desain penelitian yang berbentuk one group

pretest-posttest design menggunakan satu jenis perlakuan dan teknik analisis

data dengan cara statistik deskriptif dan inferensial melalui uji rata-rata.


16

Kebaruan penelitian ini yaitu terletak pada metode penelitian dan teknik

untuk menganalisis data. Pada penelitian sebelumnya metode penelitian yang

biasa digunakan menggunakan metode penelitian kuantitatif dan eksperimen

semu. Pada penelitian ini, jenis penelitian yang digunakan adalah penelitian

desain. Dalam penelitian ini peneliti akan melalui tiga tahap yaitu tahap desain

pendahuluan, tahap percobaan desain, dan tahap analisis retrospektif. Data yang

diperoleh dalam penelitian ini berbentuk data kualitatif sehingga akan dianalisis

secara deskriptif kualitatif berdasarkan yang ditulis oleh Miles dan Huberman

(dalam Sugiyono, 2017) yaitu reduksi data, penyajian data, dan penarikan

kesimpulan atau verifikasi.


17

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Penelitian Desain

Gravemeijer dan Van Eerde (Prahmana, 2017: 13) menyatakan bahwa design

research merupakan suatu metode penelitian yang bertujuan mengembangkan

Local Instruction Theory (LIT) dengan kerja sama peneliti dan tenaga pendidik

untuk meningkatkan kualitas pembelajaran.

Barab dan Squire (dalam van den Akker, 2006: 5) mendefinisikan design

research sebagai serangkaian pendekatan, dengan maksud untuk menghasilkan

teori-teori baru, artefak, dan modal praktis yang menjelaskan dan berpotensi

berdampak pada pembelajaran dengan pengaturan yang alami (naturalistic).

Menurut Plomp (dalam Prahmana, 2017: 13) design research adalah suatu

kajian sistematis mulai dari merancang, mengembangkan, dan mengevaluasi

intervensi pendidikan (seperti program, strategi dan bahan pembelajaran, produk

dan sistem) sebagai solusi untuk memecahkan masalah yang kompleks dalam

praktek pendidikan, yang bertujuan untuk memajukan pengetahuan kita tentang

karakteristik dan intervensi-intervensi tersebut serta proses perancangan dan

pengembangannya.

Jadi dari paparan ahli di atas dapat disimpulkan bahwa penelitian desain

(design research) adalah pedoman atau prosedur dalam metode penelitian

sebagai panduan untuk membangun strategi yang bertujuan mengembangkan

dan menghasilkan pembelajaran.


18

Menurut Prahmana (2017: 15) terdapat dua aspek penting yang berkaitan

dengan design research, yaitu Hypothetical Learning Trajectory (HLT) dan

Local Instruction Theory (LIT). HLT merupakan suatu hipotesis atau prediksi

bagaimana pemikiran dan pemahaman mahasiswa berkembang dalam suatu

aktvitas pembelajaran (Prahmana, 2017: 11). Gravemeijer & Eerde (Prahmana,

2017: 21), menyatakan LIT merupakan sebuah teori tentang proses pembelajaran

yang mendeskripsikan lintasan pembelajaran pada suatu topik tertentu dengan

sekumpulan aktivitas yang mendukungnya. Keseluruhan, design research terdiri

atas tiga tahap (Prahmana, 2017: 15), sebagai berikut:

1. Tahap I: Preliminary Design (Desain Pendahuluan)

Menurut Widjaja dalam Prahmana (2017) tujuan utama dari tahap ini adalah

untuk mengembangkan urutan aktivitas pembelajaran dan mendesain

intrumen untuk mengevaluasi proses pembelajaran tersebut. Dalam tahap ini,

dibuat HLT yang berfungsi sebagai pedoman materi pengajaran yang akan

diembangkan (Prahmana, 2017 : 21). Gravemeijer (Prahmana, 2017 : 20)

menyatakan bahwa HLT terdiri dari tiga komponen utama, yaitu (1) tujuan

pembelajaran matematika bagi mahasiswa; (2) aktivitas pembelajaran dan

perangkat/media yang digunakan dalam proses pembelajaran; dan (3)

konjektur proses pembelajaran bagaimana mengetahui pemahaman dan

strategi mahasiswa yang muncul dan berkembang ketika aktovitas dilakukan

di kelas.


19

2. Tahap II: Design Experiment (Percobaan Desain)

Pada tahap kedua ini, peneliti mengujicobakan kegiatan pembelajaran yang

telah di desain pada tahap pertama. Uji coba ini bertujuan untuk

mengeksplorasi dan menduga strategi dan pemikiran mahasiswa selama

proses pembelajaran yang sebenarnya.

3. Tahap III: Retrospective Analysis (Analisis Retrospektif)

Setelah kegiatan percobaan desain dalam pembelajaran, data yang diperoleh

dari aktivitas pembelajaran di kelas dianalisis secara retrospektif.

Gravemeijer & Cobb (Prahmana, 2017 : 23), menyatakan bahwa analisis

retrospektif berperan untuk pengembangan teori instruksi local (local

instruction theory) dan mengajukan isu atau inovasi selanjutnya.

B. Flipped Classroom

Flipped classroom merupakan strategi yang dapat diberikan oleh pendidik

dengan cara meminimalkan jumlah instruksi langsung dalam praktek mengajar

mereka sambil memaksimalkan interaksi satu sama lain. Strategi ini

memanfaatkan teknologi yang menyediakan tambahan yang mendukung materi

pembelajaran bagi mahasiswa yang dapat diakses secara online, Jenkins dkk

(dalam Harahap dan Nasution, 2019).

Menurut Johnson (2013) flipped classroom merupakan strategi yang dapat

diberikan oleh pendidik dengan cara meminimalkan jumlah instruksi lansgung

dalam praktik mengajar mereka sambal memaksimalkan interaksi satu sama lain.


20

Menurut Bishop dan Verleger (2013), Flipped Classroom adalah teknik

pembelajaran yang terdiri dari dua bagian yaitu, interaksi dalam kelompok

belajar di dalam kelas dan pembelajaran berbasis komputer di luar kelas. Adapun

penjelasan dari pengertian yang dikemukakan oleh Bishop dan Verleger

disajikan dalam tabel berikut:

Tabel 2. 1 Pengertian Flipped Classroom dalam Arti Sempit dan Luas

Model Flipped Classroom dalam arti sempit

Di dalam kelas Di luar kelas

Latihan soal dan memecahkan

masalah

Menonton video pembelajaran yang

diberikan

Model Flipped Classroom dalam arti luas

Di dalam kelas Di luar kelas

Kegiatan tanya jawab

Pembelajaran berkelompok atau

memecahkan masalah

Menonton video pembelajaran

Kuis dan latihan soal yang bersifat

tertutup

Jadi dari paparan ahli di atas dapat disimpulkan bahwa flipped classroom

adalah suatu strategi dalam pembelajaran dimana pendidik mengalihkan

pembelajaran langsung dari dalam kelas (kelompok besar) ke pembelajaran di

luar kelas (individu) dengan memanfaatkan teknologi sebagai media untuk

mengakses materi pembelajaran.

Langkah-langkah pembelajaran flipped classroom menurut John Bergmann

dan Sams (2013) adalah sebagai berikut :

1. Guru menyiapkan dan memberikan sebuah media (berupa video

pembelajaran/digital book) yang akan dilihat dan dipelajari oleh siswa di

rumah.


21

2. Siswa melihat dan mempelajari video pembelajaran yang diberikan oleh guru

melalui video agar terlebih dahulu mengenal materi yang akan diberikan pada

pertemuan selanjutnya.

3. Di dalam kelas, siswa diberikan tugas secara pribadi maupun kelompok

berupa latihan. Dalam hal ini siswa dapat leboh memfokuskan diri pada

kesulitannya dalam memahami materi ataupun kemampuannya dalam

menyelesaikan soal-soal berhubungan dengan materi tersebut. Guru berperan

sebagai fasilitator yang mendampingi siswa dalam mengerjakan tugas

tersebut.

4. Mengarahkan siswa untuk saling membantu sebagaimana dijelaskan, fokus

pembelajaran ini bukan lagi pada guru melainkan proses pembelajaran itu

sendiri, sehingga sangat memungkinkan siswa saling membantu jika ada

kesulitan. Meskipun peran guru tetap dibutuhkan untuk lebih memperjelas

materi pembelajaran.

5. Setelah semua tugas dikerjakan, maka guru dan siswa bersama-sama menarik

kesimpulan dari pembelajaran yang telah dilaksanakan. Guru dapat

mengarahkan siswa untuk membantu membuat catatan tentang hal penting

dari pembelajaran tersebut.

Langkah-langkah pembelajaran flipped classroom menurut Bishop & Jacob

(dalam Munfaridah, 2017) adalah sebagai berikut:

a. Fase 0 (Siswa menonton video berisi materi pembelajaran di rumah yang

telah dibuat oleh guru.)


22

Sebelum tatap muka, siswa belajar mandiri di rumah mengenai materi untuk

pertemuan berikutnya dengan menonton video pembelajaran karya guru itu

sendiri ataupun video pembelajaran dari hasil upload orang lain. Siswa

menyiapkan pertanyaan terkait video yang telah di tonton siswa di rumah

untuk ditanyakan kepada guru ketika di kelas.

b. Fase 1 (Guru membentuk beberapa kelompok kecil pada saat pembelajaran

di kelas)

Pada pembelajaran di kelas, peserta didik dibagi menjadi beberapa kelompok

heterogen untuk mengerjakan tugas yang berkaitan dengan materi yang

disampaikan.

c. Fase 2 (Menerapkan kemampuan siswa dalam proyek dan simulasi lain di

dalam kelas)

Peran guru pada saat kegiatan belajar berlangsung adalah memfasilitasi

berlangsungnya diskusi dengan metode seperti pada metode cooperative

learning. Di samping itu, guru juga akan menyiapkan beberapa pertanyaan

(soal) dari materi tersebut. Sedangkan yang dimaksud proyek pada model

pembelajaran ini adalah lembar kegiatan yang dikerjakan oleh siswa untuk

menerapkan kemampuannya.

d. Fase 3 (Mengukur pemahaman siswa yang dilakukan di kelas pada akhir

materi pelajaran)

Sebelumnya, guru telah memberitahukan bahwa pembelajaran akan

dilakukan kuis/tes pada setiap akhir pertemuan sehingga siswa benar-benar

memperhatikan setiap proses belajar yang dilalui. Tugas guru adalah sebagai


23

fasilitator untuk membantu siswa dalam pembelajaran serta menyelesaikan

soal-soal yang berhubungan dengan materi.

Dalam penelitian ini, peneliti memilih langkah-langkah pembelajaran flipped

classroom menurut Bishop & Jacob (dalam Munfaridah, 2017) karena pada

langkah ini kemampuan memecahkan masalah bukan hanya dikaitkan dengan

pendekatan berbasis masalah tetapi di akhir juga dilakukan tes untuk mengukur

kemampuan memecahkan masalah berdasarkan indikator kemampuan

pemecahan masalah Polya (1957).

C. Pembelajaran Berbasis Masalah

Pembelajaran berbasis masalah (PBM) merupakan salah satu model

pembelajaran inovatif yang dapat memberikan kondisi belajar aktif kepada

siswa. Menurut Ngalimun (2012: 89) model pembelajaran berbasis masalah

merupakan salah satu model pembelajaran inovatif yang dapat memberikan

kondisi belajar aktif kepada siswa.

Ward dan Stepien (dalam Ngalimun, 2012) menyatakan bahwa pembelajaran

berbasis masalah sebagai suatu model pembelajaran yang melibatkan siswa

untuk memecahkan suatu masalah melalui tahap-tahap metode ilmiah sehingga

siswa dapat mempelajari pengetahuan yang berhubungan dengan masalah

tersebut dan sekaligus memiliki keterampilan untuk memecahkan masalah.

Pembelajaran berbasis masalah merupakan sebuah pendekatan pembelajaran

yang menyajikan masalah kontekstual sehingga merangsang peserta didik untuk

belajar. Dalam kelas yang menerapkan pembelajaran berbasis masalah, peserta


24

didik bekerja dalam tim untuk memecahkan masalah dunia nyata (real world)

dalam (Daryanto, 2014: 29).

Jadi dari paparan ahli di atas dapat disimpulkan bahwa pembelajaran berbasis

masalah adalah model pembelajaran yang mendorong peserta didik menjadi

aktif untuk dapat memecahkan dan menyelesaikan masalah.

Problem Based Learning (PBL) merupakan suatu inovasi dalam proses

pembelajaran dikarenakan melalui PBL maka kemampuan berpikir peserta

didik akan dioptimalisasikan melalui proses bekerja di dalam kelompok

sehingga peserta didik dapat memberdayakan, mengasah, menguji, dan

mengembangkan kemampuan berpikirnya secara berkesinambungan. Dalam

proses pembelajaran berbasis masalah, maka ada beberapa tahap yang

digunakan yaitu sebagai berikut (dalam Rusman, 2010):

Tabel 2. 2 Sintaks Problem Based Learning

Tahap yang Dilakukan Aktivitas Pendidik

Tahap 1: Orientasi peserta

didik terhadap masalah

Menjelaskan tujuan pembelajaran,

menjelaskan logistik yang dibutuhkan, dan

memotivasi peserta didik untuk terlibat pada

aktivitas pemecahan masalah

Tahap 2: Mengorganisasi

peserta didik untuk belajar

Membantu peserta didik untuk mendefinisikan

dan mengorganisasikan tugas belajar yang

berhubungan dengan masalah tersebut

Tahap 3: Membimbing

pengalaman

individual/kelompok

Mendorong peserta didik untuk

mengumpulkan informasi yang sesuai,

melaksanakan eksperimen untuk mendapatkan

penjelasan dan pemecahan masalah

Tahap 4: Mengembangkan

dan menyajikan hasil karya

Membantu peserta didik dalam merencanakan

dan menyiapkan karya yang sesuai seperti

laporan, dan membantu mereka untuk berbagai

tugas dengan temannya

Tahap 5: Menganalisis dan

mengevaluasi proses

pemecahan masalah

Membantu peserta didik untuk melakukan

refleksi atau evaluasi terhadap penyelidikan

mereka dan proses yang mereka gunakan


25

Model pembelajaran berbasis masalah diaplikasikan pada langkah-langkah

pembelajaran flipped classroom dimulai fase 1 (guru membentuk beberapa

kelompok kecil pada saat pembelajaran di kelas) pada tahap PBM ini termasuk

pada tahap 1 dan tahap 2, karena guru menjelasakan tujuan pembelajaran dan

mengorganisasikan siswa untuk belajar. Pada fase 2 (menerapkan kemampuan

siswa dalam proyek dan simulasi lain didalam kelas) termasuk pada tahap PBM

yaitu tahap 3 dan tahap 4, karena guru memberikan tantangan untuk

memecahkan masalah karena siswa sudah mempelajari materi sebelumnya dan

menonton video berisi materi pembelajaran. Pada fase 3 (mengukur pemahaman

siswa yang dilakukan di kelas pada akhir materi pelajaran) termasuk pada tahap

PBM yaitu tahap 5, karena guru membantu siswa untuk mengevaluasi

pembelajaran dan mengukur pemahaman siswa pada akhir pembelajaran.

D. Kemampuan Memecahkan Masalah

Kemampuan (ability) adalah penilaian terhadap apa yang telah dilakukan

individu. Greenberg dan Baron (2003) mendefinisikan kemampuan sebagai

kapasitas mental dan fisik untuk melakukan berbagai tugas. Menurut Robbins

(2003), kemampuan individu secara menyeluruh dibentuk oleh dua faktor, yaitu

kemampuan intelektual dan kemampuan fisik. Kemampuan mempunyai sifat

alamiah dan relatif stabil, walaupun dapat berubah sepanjang waktu dengan

praktik dan pengulangan (dalam Farah dan Leny, 2017).

Kemampuan berasal dari kata mampu yang berarti kuasa (bisa, sanggup)

melakukan sesuatu, sedangkan kemampuan berarti kesanggupan, kecakapan,


26

kekuatan (dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia). Menurut Stephen P. Robbins

& Timonthy A. Judge (2009) kemampuan (ability) berarti kapasitas seorang

individu untuk melakukan beragam tugas dalam suatu pekerjaan (dalam

Syaharuddin, 2016).

Askolani dan Machdalena (2019) mendefinisikan kemampuan (ability)

sebagai potensi yang ada dalam diri seseorang untuk berbuat sehingga

memungkinkan seseorang untuk dapat melakukan pekerjaan ataupun tidak dapat

melakukan pekerjaan tersebut. Sumber daya manusia yang memiliki

kemampuan tinggi sangat menunjang tercapainya visi dan misi organisasi untuk

segera maju dan berkembang pesat, guna mengantisipasi kompetisi global.

Jadi dari paparan ahli di atas dapat disimpulkan bahwa kemampuan adalah

kesanggupan atau kecakapan seorang individu dalam melakukan suatu tugas

atau pekerjaan.

Menurut Tatag (2018: 44) pemecahan masalah adalah suatu proses atau upaya

individu untuk mersepons atau mengatasi halangan atau kendala ketika suatu

jawaban atau metode jawaban belum tampak jelas.

Menurut Wardhani (2010: 17) kemampuan pemecahan masalah adalah proses

dalam menerapkan penegtahuan yang telah diperoleh sebelumnya ke dalam

situasi baru yang belum dikenal.

Polya (1973) dalam Kadir (2009) menyatakan bahwa kemampuan pemecahan

masalah adalah kemampuan untuk menemukan makna yang dicari sampai

akhirnya dapat dipahami dengan jelas.


27

Jadi dari paparan ahli di atas dapat disimpulkan bahwa kemampuan

memecahkan masalah adalah kemampuan individu dalam proses menemukan

suatu cara dalam mencari solusi untuk menyelesaikan masalah secara matematis.

Pemecahan masalah merupakan salah satu tujuan dalam proses pembelajaran

ditinjau dari aspek kurikulum. Pentingnya pemecahan masalah dalam

pembelajaran juga disampaikan oleh National Council of Teacher of

Mathematics (NCTM). Menurut NCTM (2000) proses berfikir matematika

dalam pembelajaran matematika meliputi lima kompetensi standar utama yaitu

pemecahan masalah (problem solving), penalaran dan bukti (reasoning and

proof), komunikasi (communication), koneksi (connections), dan representasi

(representation).

Langkah-langkah pemecahan masalah menurut Polya (1957) adalah sebagai

berikut:

a. Memahami Masalah

Langkah awal dalam menyelesaikan masalah yaitu perlu ada pemahaman

terhadap masalah yang dihadapi. Untuk memahami masalah harus melihat

dengan jelas apa yang dibutuhkan, sehingga memahami masalah artinya

memahami bahasa dalam masalah, merumsukan apa yang diketahui, apa yang

ditanyakan, informasi yang diperoleh tersedia, dan dituliskan dalam bentuk

yang operasional agar mempermudah dalam memecahkan masalah. Selain itu

untuk mempermudah memahami masalah dan memperoleh gambaran umum

penyelesaiannya dapat dibuat catatan-catatan penting dimana catatan dapat

berupa gambar, diagram, tabel, garfik, dan lain sebagainya. Jadi apabila


28

mengetahui apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan maka proses

pemecahan masalah akan mempunyai arah yang jelas dalam penyelesaiannya.

b. Menyusun Rencana

Setelah memahami masalah, langkah selanjutnya yaitu menyusun rencana.

Kita harus memiliki rencana saat tahu masalah yang dihadapi, atau paling

tidak tahu secara garis besar gambaran, perhitungan-perhitungan, atau

konstruksi apa yang harus dilakukan untuk mendapatkan yang tidak

diketahui. Hal-hal yang diperlukan untuk memecahkan masalah matematika

adalah sesuatu yang relevan dari pengetahuan-pengetahuan, dan pengetahuan

yang terlebih dahulu yang telah diperoleh dari sebelumnya, atau yang

sebelumnya membuktikan teorema, atau mengingat-ingat masalah yang

pernah diselesaikan dengan kemiripan langkah-langkah dengan masalah yang

akan dipecahkan. Sehingga menyusun sebuah rencana haruslah sesuai dengan

kebutuhan dari masalah yang diberikan, masalah dianalisis dan diidentifikasi

langkah-langkah penyelesaian yang mungkin dilakukan agar memenuhi

masalah tersebut. Jadi apabila mencari konsep atau teori yang saling

menunjang dan mencari rumus yang diperlukan akan memiliki pola untuk

dapat menyusun langkah-langkah penyelesaian masalah.

c. Melaksanakan Rencana

Rencana hanya memberikan garis besar secara umum, sebelum melaksanakan

rencana perlu memeriksa rinciannya satu persatu sampai semuanya

sempurna. Kemudian mulailah melaksanakan rencana yang telah dibuat

dengan strategi yang dibuat pada rencana. Dalam melaksanakan rencana,


29

diperlukan kesabaran dan ketelitian sehingga upaya pemecahan masalah

dapat tercapai sesuai dengan yang diinginkan. Sehingga dalam penyelesaian

masalah, setiap langkah di cek, hasil yang diperoleh harus diuji dan

diperhitungkan apakah hasil tersebut benar-benar hasil yang dicari. Jadi tahap

melaksanakan rencana harus memperhatikan dan melakasanakan proses dari

setiap langkah-langkah yang diimplementasi dalam rencana menyelesaikan

masalah untuk mendapatkan hasil yang akan diperoleh.

d. Melihat Kembali

Setelah melakukan pemecahan masalah yang sesuai dengan langkah-langkah

yang direncanakan sebelumnya, perlu dilakukan pengecekan kembali

terhadap hasil penyelesaian tersebut. Perlu dilihat dan dicek kembali untuk

memastikan semua alternatif tidak diabaikan misalnya dengan cara melihat

kembali hasil, melihat kembali alasan-alasan yang digunakan, menemukan

hasil lain, menggunakan hasil atau metode yang digunakan untuk masalah

lain, menginterpretasikan masalah kembali, menginterpretasikan hasil,

memecahkan masalah baru, dan lain sebagainya. Sehingga akan

meminimalisir kesalahan sebelum penyelesaian dipaparkan. Jadi tahap

melihat kembali untuk menganalisis dan mengevaluasi dari proses dalam

langkah-langkah menyelesaikan masalah.

NCTM (2000: 209) mengemukakan indikator untuk mengukur kemampuan

pemecahan masalah matematika meliputi:

a. Mengidentifikasi unsur-unsur yang diketahui, yang ditanyakan, dan

kecukupan unsur yang diperlukan.


30

b. Merumuskan masalah matematik atau menyusun model matematik.

c. Menerapkan strategi untuk menyelesaikan berbagai masalah (sejenis dan

masalah baru) dalam atau diluar matematika.

d. Menjelaskan hasil sesuai permasalahan asal.

e. Menggunakan matematika secara bermakna.

Dalam penelitian ini, peneliti memilih indikator kemampuan memecahkan

masalah menurut Polya (1957) karena pada pemecaham masalah menurut Polya

memiliki indikator lebih lengkap untuk memecahkan masalah sedangkan pada

indikator menurut NCTM tidak terdapat indikator memeriksa kembali hasil

pemecahan masalah atau mengecek kembali hasil pekerjaan.

E. Turunan

Turunan dari suatu fungsi 𝑓 adalah fungsi 𝑓′(dibaca 𝑓 𝑎𝑘𝑠𝑒𝑛 atau 𝑓 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒)

yang didefinisikan sebagai:

𝑓′(𝑥) = lim∆𝑥→0

𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)

∆𝑥

Jika limit tersebut ada maka dikatakan 𝑓 mempunyai turunan.

Definisi Turunan fungsi 𝑓(𝑥) di titik 𝑥 = 𝑐 adalah nilai dari suatu fungsi

yang berbentuk:

𝑓′(𝑥) = limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

untuk 𝑥 = 𝑐.

Pembuktian Teorema Aturan-Aturan Turunan (Varberg dan Purcell, 2010):


31

TEOREMA 2.1

Jika 𝑓(𝑥) = 𝑘 dengan 𝑘 suatu konstanta dan fungsi 𝑓 didefinisikan untuk

semua nilai 𝑥 ∈ 𝑅, maka 𝑓′(𝑥) = 0.

Bukti Aturan Fungsi Konstan:


𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ= lim

ℎ→0

𝑘 − 𝑘

ℎ= lim

ℎ→00 = 0 ∎

TEOREMA 2.2

Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥, maka 𝑓′(𝑥) = 1.

Bukti Aturan Fungsi Identitas:


𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ= lim

ℎ→0

𝑥 + ℎ − 𝑥

ℎ= lim

ℎ→0

ℎ

ℎ= 1 ∎

TEOREMA 2.3

Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛, dengan 𝑛 bilangan bulat positif dan fungsi 𝑓 didefinisikan

untuk semua nilai 𝑥 ∈ 𝑅 maka 𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1.

Bukti Aturan Pangkat:


𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ= lim

ℎ→0

(𝑥+ℎ)𝑛−𝑥𝑛

ℎ

= limℎ→0

𝑥𝑛+𝑛𝑥𝑛−1ℎ+𝑛(𝑛−1)

2𝑥𝑛−2ℎ2+. . . +𝑛𝑥ℎ𝑛−1+ℎ𝑛−𝑥𝑛

ℎ

= limℎ→0

ℎ[𝑛𝑥𝑛−1+𝑛(𝑛−1)

2𝑥𝑛−2ℎ+. . . +𝑛𝑥ℎ𝑛−2+ℎ𝑛−1]

ℎ

= limℎ→0

𝑛𝑥𝑛−1 +𝑛(𝑛−1)

2𝑥𝑛−2ℎ+. . . + 𝑛𝑥ℎ𝑛−2 + ℎ𝑛−1

= limℎ→0

𝑛𝑥𝑛−1 + limℎ→0

𝑛(𝑛−1)

2𝑥𝑛−2ℎ+. . . + lim

ℎ→0𝑛𝑥ℎ𝑛−2 + lim

ℎ→0ℎ𝑛−1

= limℎ→0

𝑛𝑥𝑛−1

= 𝑛𝑥𝑛−1 ∎


32

TEOREMA 2.4

Jika 𝑘 suatu konstanta dan 𝑓 suatu fungsi yang terdiferensialkan, maka

(𝑘 𝑓)′(𝑥) = 𝑘 . 𝑓′(𝑥)

Bukti Aturan Kelipatan Konstanta:

Misalkan 𝑙(𝑥) = 𝑘𝑓(𝑥), maka

𝑙′(𝑥) = limℎ→0

𝑙(𝑥+ℎ)−𝑙(𝑥)

ℎ

= limℎ→0

𝑘𝑓(𝑥+ℎ)−𝑘𝑓(𝑥)

ℎ

= limℎ→0

𝑘 (𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ)

= 𝑘 limℎ→0


ℎ

= 𝑘𝑓′(𝑥) ∎

TEOREMA 2.5

Jika 𝑓 dan 𝑔 fungsi-fungsi yang terdiferensialkan dan fungsi 𝑓 dan 𝑔

didefinisikan untuk semua nilai 𝑥 ∈ 𝑅, maka

(𝑓 + 𝑔)′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)

(𝑓 − 𝑔)′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥)

Bukti Aturan Penjumlahan:

Misalkan 𝑙(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥), maka



ℎ

= limℎ→0

[𝑓(𝑥+ℎ)+𝑔(𝑥+ℎ)]−[𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)]

ℎ

= limℎ→0

[𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ+

𝑔(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥)

ℎ]

= limℎ→0


ℎ+ lim

ℎ→0


ℎ


33

= 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥) ∎

Aturan Pengurangan dapat dibuktikan dengan cara yang serupa.

TEOREMA 2.6

Jika 𝑓 dan 𝑔 fungsi-fungsi yang dapat terdiferensialkan dan fungsi 𝑓 dan 𝑔

didefinisikan untuk semua nilai 𝑥 ∈ 𝑅, maka

(𝑓 𝑔)′(𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)′ + 𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥)

Bukti Aturan Hasil Kali:

Misalkan 𝑙(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥), maka



ℎ

= limℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)𝑔(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)

ℎ

= limℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)𝑔(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥+ℎ)𝑔(𝑥)+𝑓(𝑥+ℎ)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)

ℎ

= limℎ→0

[𝑓(𝑥 + ℎ).𝑔(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥)

ℎ+ 𝑔(𝑥).


ℎ]

= limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ). limℎ→0


ℎ+ lim

ℎ→0 𝑔(𝑥) . lim

ℎ→0


ℎ

= 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥) ∎

TEOREMA 2.7

Jika 𝑓 dan 𝑔 fungsi-fungsi yang dapat terdiferensialkan dengan 𝑔(𝑥) ≠ 0,

maka

(𝑓

𝑔)

′

(𝑥) =𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)

(𝑔(𝑥))2

Bukti Aturan Hasil Bagi:

Misalkan 𝑙(𝑥) =𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥), maka


34



ℎ

= limℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)

𝑔(𝑥+ℎ)−

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

ℎ

= limℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔(𝑥+ℎ)

ℎ𝑔(𝑥+ℎ)𝑔(𝑥)

= limℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)+𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔(𝑥+ℎ)

ℎ𝑔(𝑥+ℎ)𝑔(𝑥)

= limℎ→0

𝑔(𝑥)𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ−𝑓(𝑥)


ℎ

𝑔(𝑥+ℎ)𝑔(𝑥)

=limℎ→0

𝑔(𝑥)limℎ→0


ℎ−lim

ℎ→0 𝑓(𝑥)lim

ℎ→0


ℎ

limℎ→0

𝑔(𝑥+ℎ)limℎ→0

𝑔(𝑥)

=𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)

(𝑔(𝑥))2 ∎

F. Penelitian yang Relevan

1. Muhammad Syahril Harahap dan Sartika Rati Nasution (2019)

Penelitian ini bertujuan untuk melihat keefektifan pembelajaran flipped

classroom yang dilihat dari kemampuan pemecahan masalah mahasiswa.

Jenis penelitian ini menggunakan eksperimen semu (Quasi Eksperimental


pretest-posttest design menggunakan satu jenis perlakuan. Subjek penelitian

ini adalah seluruh mahasiswa semester III Program Studi Pendidikan

Matematika Institut Pendidikan Tapanuli Selatan yang berjumlah 50

mahasiswa. Pada proses penelitian ini data dikumpulkan secara observasi dan

tes. Observasi diupayakan dapat melihat bagaimana gambaran pelaksanaan

pembelajaran Flipped Classroom berbasis youtube yang ditinjau dari


35

aktivitas mahasiswa melalui observasi. Sedangkan test adalah melihat

bagaimana kemampuan pemecahan masalah mahasiswa sebelum dan sesudah

menggunakan pembelajaran Flipped Classroom berbasis youtube. Teknik

analisis data yang digunakan dalam penelitian ini adalah menggunakan

deskriptif. Analisis deskriptif bertujuan untuk melihat gambaran secara

umum tentang pembelajaran Flipped Classroom berbasis youtube dan

gambaran kemampuan pemecahan masalah matematis mahasiswa pada mata

kuliah geometri.

Hasil dari penelitian ini yaitu (1) Penggunaan model pembelajaran flipped

classroom memperoleh nilai rata-rata 3,800 berada pada kategori "sangat

baik” dan dapat disimpulkan bahwa penggunaan model pembelajaran flipped

classroom di Program Studi Pendidikan Matematika IPTS semester VI sudah

terlaksana dengan baik, (2) Kemampuan Pemecahan Masalah Matematis

mahasiswa di Prodi Pendidikan Matematika IPTS sebelum menggunakan

model pembelajaran flipped classroom mencapai nilai rata-rata 51,60 apabila

dikategorikan maka kemampuan pemecahan masalah matematis mahasiswa

berada pada kategori “kurang” sedangkan setelah penggunaan model

pembelajaran flipped classroom kemampuan kemampuan pemecahan

masalah matematis mahasiswa mencapai nilai rata-rata 81,6519. Apabila

dikategorikan maka kemampuan pemecahan masalah matematis siswa berada

pada kategori “sangat baik”. Hal ini menunjukkan bahwa kemampuan

koneksi matematis mahasiswa sebelum dan sesudah menggunakan model

pembelajarn flipped classroom mengalami peningkatan, (3) Penerapan model


36

pembelajaran flipped classroom menggunakan konten video pembelajaran

digital yang dibuat ke youtube memberikan aktifitas yang positif bagi

mahasiswa, bahkan bagi masyarakat umum yang memerlukan informasi

seputar materi tersebut.

2. Edi Prayitno dan Lusi Rachmiazasi Masduki (2017)

Penelitian ini bertujuan untuk mengembangkan media blanded learning

dengan model flipped classroom. Jenis penelitian ini menggunakan metode

penelitian pengembangan (Research and Development) dimana metode yang

digunakan dalam pengembangan ini menggunakan model desain ADDIE

(Analysis, Design, Development, Implementation, Evaluation). Penelitian R

& D ini bertujuan untuk mengembangkan media blended learning dengan

model flipped classroom.

Hasil penelitian menunjukkan bahwa produk desain blended learning telah

divalidasi oleh 2 orang validator ahli materi dan media dengan rata-rata

validasinya 90,5 dan 92,5 artinya produk blended learning layak untuk

digunakan dalam proses pembelajaran mata kuliah pendidikan matematika II

di Universitas Terbuka, kemudian blended learning telah diterapkan dalam

proses tutorial dengan mahasiswa wajib untuk membuka materi, video

pembelajaran, kuis dan respon timbal balik mahasiswa dengan mahasiswa

wajib membukanya di rumah masing-masing sebelum proses tutorial online.

Berdasarkan pengujian dari ahli media dan ahli materi menunjukan bahwa

media Blended learning dengan model flipped classroom merupakan media


37

yang layak digunakan oleh mahasiswa, dengan nilai dari ahli materi yaitu

88,50% dan ahli media yaitu 92,5%.

3. Muhammad Syahril Harahap dan Sartika Rati Nasution (2019)

Penelitian ini bertujuan untuk melihat keefektifan pembelajaran flipped

classroom yang dilihat dari kemampuan pemecahan masalah mahasiswa.

Jenis penelitian ini menggunakan eksperimen semu (Quasi Eksperimental


pretest-posttest design menggunakan satu jenis perlakuan. Pada proses

penelitian ini data dikumpulkan secara observasi, angket, dan tes. Observasi

untuk melihat keterlaksanaan rancangan model pembelajaran yang

diterapkan. Angket untuk melihat motivasi siswa dalam pembelajaran tes

adalah untuk mengumpulkan data tentang kemampuan pemecahan masalah

mahasiswa. Untuk menganalisis data yang dikumpulkandianalisis dengan

cara statistik deskriptif dan inferensial melalui uji rata-rata. Analisis

inferensial dengan uji “t” digunakan untuk menguji ada tidaknya efektivitas

anatara pembelajaran flipped classroom berbasis youtube terhadap

pemecahan masalah matematis mahasiswa semester VI Program Studi

Pendidikan Matematika Institut Pendidikan Tapanuli Selatan.

Hasil dari penelitian ini yaitu (1) Pada hasil pretest mahasiswa di Prodi

Pendidikan Matematika IPTS yang berjumlah 27 orang, diperoleh nilai

terendah 36,10 dan nilai tertinggi 77,70. Berdasarkan perhitungan yang telah

dilakukan, diperoleh nilai rata-rata (mean) 51,6037dikategorikan kurang jika

dilihat dari kriteria penilaian kemampuan pemecahan masalah matematis


38

mahasiswa, (2) Pada hasil posttest mahasiswa di Prodi Pendidikan

Matematika IPTS yang berjumlah 27 orang, diperoleh nilai terendah 69,4 dan

nilai tertinggi 91,6. Rekapitulasi pada hasil tes akhir (posttest) kemampuan

pemecahan masalah matematis mahasiswa di Prodi Pendidikan Matematika

IPTS, diperoleh nilai rata-rata (mean) 81,6519. Jika nilai rata-rata

kemampuan pemecahan masalah matematis mahasiswa tersebut

dikonsultasikan dengan kriteria penilaian, maka kemampuan pemecahan

masalah matematis mahasiswa sesudah menggunakan model pembelajaran

flipped classroom pada materi geometri di Prodi Pendidikan Matematika

IPTS berada dalam kategori “sangat baik”.

G. Kerangka Berpikir

Berdasarkan wawancara dengan dosen pengampu mata kuliah Kalkulus

Diferensial dan hasil tes awal yang dilakukan peneliti pada mahasiswa semester

III, terdapat beberapa masalah yang ditemukan adalah mahasiswa sulit

mengabstraksi ketika diberikan soal aplikatif dan bingung dalam memilih

pemecahan masalah, mahasiswa mengalami kendala dalam menyusun rencana

memecahkan masalah, dan mahasiswa mengalami kesulitan dalam konsep

matematika apa yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah.

Dari penelitian Harahap dan Nasution (2012) diperoleh hasil bahwa

Kemampuan Pemecahan Masalah Matematis mahasiswa di Prodi Pendidikan

Matematika IPTS sebelum menggunakan model pembelajaran flipped

classroom mencapai nilai rata-rata 51,60 apabila dikategorikan maka


39

kemampuan pemecahan masalah matematis mahasiswa berada pada kategori

“kurang” sedangkan setelah penggunaan model pembelajaran flipped

classroom kemampuan kemampuan pemecahan masalah matematis mahasiswa

mencapai nilai rata-rata 81,6519. Apabila dikategorikan maka kemampuan

pemecahan masalah matematis siswa berada pada kategori “sangat baik”. Hal

ini menunjukkan bahwa kemampuan koneksi matematis siswa sebelum dan

sesudah menggunakan model pembelajarn flipped classroom mengalami

peningkatan. Dari penelitian Harahap dan Nasution (2019) diperoleh hasil

penelitian yaitu (1) Pada hasil pretest mahasiswa di Prodi Pendidikan

Matematika IPTS yang berjumlah 27 orang, diperoleh nilai terendah 36,10 dan

nilai tertinggi 77,70. Berdasarkan perhitungan yang telah dilakukan, diperoleh

nilai rata-rata (mean) 51,6037dikategorikan kurang jika dilihat dari kriteria

penilaian kemampuan pemecahan masalah matematis mahasiswa, (2) Pada hasil

posttest mahasiswa di Prodi Pendidikan Matematika IPTS yang berjumlah 27

orang, diperoleh nilai terendah 69,4 dan nilai tertinggi 91,6. Rekapitulasi pada

hasil tes akhir (posttest) kemampuan pemecahan masalah matematis mahasiswa

di Prodi Pendidikan Matematika IPTS, diperoleh nilai rata-rata (mean) 81,6519.

Jika nilai rata-rata kemampuan pemecahan masalah matematis mahasiswa

tersebut dikonsultasikan dengan kriteria penilaian, maka kemampuan

pemecahan masalah matematis mahasiswa sesudah menggunakan model

pembelajaran flipped classroom pada materi geometri di Prodi Pendidikan

Matematika IPTS berada dalam kategori “sangat baik”.


40

Berdasarkan penelitian-penelitian di atas, peneliti memutuskan untuk

memilih flipped classroom sebagai strategi pembelajaran dan diapliaksikan

dengan model pembelajaran berbasis masalah dalam desain pembelajaran yang

dirancang untuk materi turunan pada subjek mahasiswa pendidikan matematika.

Startegi Flipped Classroom merupakan suatu strategi dalam pembelajaran

dimana pendidik mengalihkan pembelajaran langsung dari dalam kelas

(kelompok besar) ke pembelajaran di luar kelas (individu) dengan

memanfaatkan teknologi sebagai media untuk mengakses materi pembelajaran.

Setelah dilakukan pembelajaran dengan langkah-langkah flipped classroom,

peneliti akan memberikan tes tertulis untuk mendeskripsikan kemampuan

memecahkan masalah berdasarkan indikator kemampuan memecahkan masalah

menurut Polya (1957).


41

Gambar 2. 1 Kerangka Berpikir

Masalah Langkah-langkah

model pembelajaran

Flipped Classroom

Indikator

Kemampuan

Memecahkan

Masalah

Mahasiswa sulit

mengabstraksi

ketika diberikan

soal aplikatif dan

bingung dalam

memilih

pemecahan

masalah.

Mahasiswa

mengalami

kendala dalam

menyusun

rencana

memecahkan

masalah.

Mahasiswa

mengalami

kesulitan dalam

konsep

matematika apa

yang dapat

digunakan untuk

menyelesaikan

masalah.

Fase 0 : Mahasiswa

menonton video berisi

materi yang dibuat oleh

pendidik di rumah.

Fase 1 : Pendidik

membentuk beberapa

kelompok kecil pada

saat pembelajaran di

kelas untuk

mengerjakan tugas

yang berkaitan dengan

materi pembelajaran.

Fase 2 : Menerapkan

kemampuan

mahasiswa dalam

proyek dan simulasi

lain di dalam kelas.

Fase 3 : Mengukur

pemahaman

mahasiswa yang

dilakukan di kelas

pada akhir materi

pelajaran.

1. Memahami

masalah

2. Menyusun

rencana

pemecahan

masalah

3. Melaksanakan

rencana

pemecahan

masalah

4. Memeriksa

kembali hasil

pemecahan

masalah


42

BAB III

METODE PENELITIAN

A. Jenis Penelitian

Jenis penelitian yang digunakan dalam penelitian ini merupakan penelitian

desain (design research). Pada penelitian ini, jenis penelitian desain yang

digunakan berdasarkan tahapan menurut Gravemeijer & Cobb (2006). Alasan

memilih tahapan menurut Gravemeijer & Cobb (2006) karena secara

keseluruhan tahapan yang dilalui dalam penelitian ini dibagi menjadi tiga fase

utama, yaitu persiapan untuk percobaan, percobaan desain, dan analisis

retrospektif.

Penelitian ini bertujuan untuk (1) mendeskripsikan langkah-langkah

merencanakan dan mengimplementasikan materi turunan untuk mahasiswa

Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma menggunakan model

pembelajaran berbasis masalah dengan strategi Flipped Classroom. (2)

mendeskripsikan kemampuan memecahkan masalah mahasiswa Pendidikan

Matematika Universitas Sanata Dharma setelah mengikuti proses pembelajaran

menggunakan model pembelajaran berbasis masalah dengan strategi Flipped

Classroom. Karena tujuan tersebut maka penelitian desain menurut Gravemeijer

& Cobb (2006) sesuai dengan tujuan penelitian yang ingin dicapai peneliti.


43

B. Tempat dan Waktu Penelitian

Penelitian ini dilaksanakan secara daring melalui kelas virtual yaitu google

classroom dan WhatsApp Group untuk kelas C semester II program studi

Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma sebagai kelas uji coba dan

kelas B semester II program studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata

Dharma sebagai kelas penelitian. Penelitian ini dilaksanakan pada bulan April

2020 sampai dengan Mei 2020.

C. Subjek Penelitian dan Objek Penelitian

1. Subjek Penelitian

Subjek penelitian dalam penelitian ini adalah mahasiswa semester II kelas

C program studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma sebagai

subjek kelas uji coba dan mahasiswa semester II kelas B Program Studi

Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma sebagai kelas penelitian.

Subjek dalam penelitian yang akan diwawancarai adalah mahasiswa yang

dipilih peneliti yang dipilih pada tiga kategori berdasarkan klasifikasi batas

interval nilai.

2. Objek Penelitian

Objek penelitian dalam penelitian ini adalah langkah-langkah

membelajarkan materi turunan dengan menggunakan pendekatan Flipped

Classroom dan kemampuan memecahkan masalah mahasiswa setelah

mengalami proses pembelajaran dengan menggunakan pendekatan Flipped

Classroom.


44

D. Metode Pengumpulan Data

1. Catatan Harian

Catatan harian pada penelitian ini dipergunakan sebagai usaha

mendokumentasikan hal-hal penting yang terjadi di dalam proses

perencanaan dan pelaksaaan pembelajaran di kelas. Catatan harian juga berisi

catatan penting yang terjadi pada saat peneliti membuat Hypothetical

Learning Trajectory (HLT) dan pada saat peneliti mengimplementasikan

HLT.

2. Dokumentasi

Dokumentasi pada penelitian ini berupa foto dan rekaman audio.

Dokumentasi pada penelitian yang dilakukan tujuannya agar segala bentuk

aktivitas yang terjadi selama kegiatan penelitian dapat tersimpan dan data

hasil penelitian akan lebih kredibel atau dapat dipercaya keterlaksanaan

penelitian tersebut.

3. Tes Tertulis

Pada tes tertulis, peneliti memberikan masalah dengan materi turunan yang

terdiri dari tiga soal dan dilaksanakan pada tanggal 21 April dan 4 Mei 2020.

Peneliti memberikan tes tertulis kepada mahasiswa semester II kelas C

program studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma dan

mahasiswa semester II kelas B Program Studi Pendidikan Matematika

Universitas Sanata Dharma setelah mengalami proses pembelajaran sebanyak

dua kali pertemuan menggunakan model pembelajaran berbasis masalah

dengan strategi flipped classroom. Tujuan peneliti memberikan tes tertulis


45

untuk mengetahui kemampuan memecahkan masalah mahasiswa setelah

mengalami proses pembelajaran menggunakan model pembelajaran berbasis

masalah dengan strategi flipped classroom.

4. Wawancara

Esterberg (dalam Sugiyono 2018: 316) mendefinisikan wawancara

merupakan pertemuan dua orang untuk bertukar informasi dan ide melalui

tanya jawab, sehingga dapat dikontruksikan makna dalam suatu topik

tertentu. Peneliti melakukan wawancara kepada mahasiswa semester II kelas

C program studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma dan

mahasiswa semester II kelas B Program Studi Pendidikan Matematika

Universitas Sanata Dharma. setelah diberikan tes tertulis sebelumnya dan

wawancara dilaksanakan pada tanggal 17 Juli 2020.

Wawancara akan dilakukan dengan enam mahasiswa, yang terdiri dari dua

mahasiswa dengan kategori tinggi, dua mahasiswa dengan kategori sedang,

dan dua mahasiswa dengan kategori rendah. Berikut tabel kategori

berdasarkan klasifikasi batas interval nilai (Arikunto, 2012) yang diperoleh

mahasiswa, yaitu:

Tabel 3. 1 Kriteria tinggi, sedang, dan rendah

Kategori Batas Nilai

Tinggi 𝑋 > 𝑀 + 1 𝑆𝐷

Sedang 𝑀 − 1 𝑆𝐷 ≤ 𝑋 ≤ 𝑀 + 1 𝑆𝐷

Rendah 𝑋 < 𝑀 − 1𝑆𝐷

Keterangan:

𝑋 ∶ 𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑡𝑒𝑠 𝑚𝑎ℎ𝑎𝑠𝑖𝑠𝑤𝑎

𝑀 ∶ 𝑀𝑒𝑎𝑛 (𝑅𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎)

𝑆𝐷 ∶ 𝑆𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 𝐷𝑒𝑣𝑖𝑎𝑠𝑖


46

E. Instrumen Pengumpulan Data

1. Lembar tes tertulis

Lembar tes tertulis digunakan oleh peneliti setelah melaksanakan


strategi flipped classroom. Dalam penelitian ini peneliti menggunakan lembar

tes untuk mengetahui kemampuan memecahkan masalah mahasiswa. Berikut

kisi-kisi tes tertulis mahasiswa.

Tabel 3. 2 Kisi-kisi Tes Tertulis Mahasiswa

Kompetensi Dasar: 1) Mahasiswa memahami dan mampu menentukan

penyelesaian turunan dan 2) mahasiswa dapat menjelaskan dan

menentukan penyelesaian turunan untuk memecahkan masalah.

Indikator Kemampuan

Memecahkan Masalah

Indikator Soal Soal Tes

1. Memahami masalah Mahasiswa dapat

menuliskan apa yang

diketahui dari masalah

yang diberikan.

1. Sebuah peluru

ditembakkan

vertikal ke atas.

Jika tinggi peluru h

(dalam meter)

sebagai fungsi

waktu t (dalam

detik) dirumuskan

dengan ℎ(𝑡) =

24𝑡 −3

4𝑡2.

a. Apa yang terjadi

dengan

kecepatan

peluru saat 𝑡 =0 sampai 𝑡 =16? Jelaskan

dan gambarkan

grafiknya!

b. Tentukan tinggi

maksimum yang

dapat dicapai

peluru dan

waktu yang

diperlukan!

Mahasiswa dapat

menuliskan apa yang

ditanya dari masalah

yang diberikan.

2. Menyusun rencana

pemecahan masalah

Mahasiswa dapat

menuliskan konsep

matematika apa yang

dapat digunakan untuk

memecahkan masalah.

3. Melaksanakan

rencana pemecahan

masalah

Mahasiswa dapat

menuliskan proses

mengimplementasikan

rencana dalam

menyelesaikan

masalah.

4. Memeriksa kembali

hasil pemecahan

masalah

Mahasiswa melakukan

pengecekan kembali

hasil pekerjaan dari

setiap langkah.


47

2. Sebuah bola

dilemparkan ke

atas dinyatakan

dengan persamaan

𝒔 = 𝟏𝟗, 𝟔𝒕 −𝟒, 𝟗𝒕𝟐. Tunjukkan

bahwa bola itu

kehilangan separuh

dari kecepatan

awalnya di 14,7m

pertama dari

kenaikannya.

3. Biaya untuk

memproduksi

barang x unit

barang adalah 1

3𝑥2 + 20𝑥 + 15.

Jika setiap unit

barang dijual

dengan harga 30 −1

2𝑥, untuk

memperoleh

keuntungan yang

optimal,

banyaknya barang

yang diproduksi

adalah. . .

2. Pedoman Wawancara

Pedoman wawancara dibuat untuk membantu peneliti saat melakukan

wawancara berupa pertanyaan-pertanyaan untuk mneggali informasi tentang

kemampuan memcahkan masalah mahasiswa berdaarkan tes mahasiswa

untuk tes tertulis. Berikut kisi-kisi wawancara mahasiswa:


48

Tabel 3. 3 Kisi-kisi Pedoman Wawancara Mahasiswa

Soal Tes Indikator Kemampuan

Memecahkan Masalah

Pertanyaan Wawancara

1. Sebuah peluru

ditembakkan

vertikal ke atas.

Jika tinggi

peluru h (dalam

meter) sebagai

fungsi waktu t

(dalam detik)

dirumuskan

dengan ℎ(𝑡) =

24𝑡 −3

4𝑡2.

a. Apa yang

terjadi

dengan

kecepatan

peluru saat

𝑡 = 0

sampai 𝑡 =16?

Jelaskan dan

gambarkan

grafiknya!

b. Tentukan

tinggi

maksimum

yang dapat

dicapai

peluru dan

waktu yang

diperlukan!

1. Memahami masalah 1. Apa saja yang diketahui

pada soal?

2. Apa saja yang

ditanyakan pada soal?

3. Coba kamu ceritakan

kembali maksud dari

soal tersebut

menggunakan kata-

katamu.

2. Menyusun rencana

pemecahan masalah

1. Bagaimana kamu

mencoba mengingat

konsep matematika dari

materi yang telah

dipelajari sebelumnya

saat menyelesaikan

permasalahan?

2. Menurutmu konsep

matematika apa yang

dapat digunakan untuk

menyelesaikan masalah

tersebut?

3. Jelaskan bagaimana

rencanamu untuk


tersebut!


49

2. Sebuah bola

dilemparkan ke

atas dinyatakan

dengan

persamaan 𝑠 =19,6𝑡 − 4,9𝑡2. Tunjukkan

bahwa bola itu

kehilangan

separuh dari

kecepatan

awalnya di

14,7m pertama

dari

kenaikannya.

3. Biaya untuk

memproduksi

barang x unit

barang adalah 1

3𝑥2 + 20𝑥 +

15. Jika setiap

unit barang

dijual dengan

harga 30 −1

2𝑥,

untuk

memperoleh

keuntungan

yang optimal,

banyaknya

barang yang

diproduksi

adalah. . .

3. Melaksanakan

rencana pemecahan

masalah

1. Bagaimana proses kamu

mengimplementasikan

rencanamu dalam


tersebut?

2. Apakah kamu

menemukan kendala

ketika

mengimplementasikan

rencana penyelesaian

yang sudah kamu buat?

Jelaskan kendala kamu!

4. Memeriksa kembali

hasil pemecahan

masalah

1. Apakah kamu

melakukan pengecekan

kembali hasil

pekerjaanmu dari setiap

langkah? Kemudian

jelaskan mengapa hal

tersebut kamu lakukan?

2. Jelaskan bagaimana cara

kamu memeriksa

kembali proses

penyelesaian yang kamu

buat!

3. Apa yang kamu temukan

dari proses pemeriksaan

kembali?

4. Apakah kamu mencari

alternatif atau cara lain

dalam menyelesaikan

masalah tersebut?

Jelaskan alasannya!

3. Alat Dokumentasi

Alat dokumentasi yang digunakan dalam penelitian berupa media

pembelajaran melalui sistem jaringan online yaitu google classroom. Selain


50

itu handphone yang digunakan untuk merekam suara ketika wawancara dan

kamera untuk mengambil foto.

F. Teknik Analisis Data

Proses analisis data dimulai dengan menelaah seluruh data yang tersedia dari

berbagai sumber, yaitu dari wawancara, dokumen gambar, foto, dan sebagainya

(Moleong, 2016: 247). Setelah data telah terkumpul maka dilakukan penyusunan

data lagi secara sistematik sehingga kesimpulan diambil dari hasil data tersebut.

Pada penelitian ini, peneliti menggunakan teknik analisis data menurut Miles

and Huberman (dalam Sugiyono, 2017: 336-345) yaitu reduksi data, penyajian

data, dan penarikan kesimpulan atau verifikasi. Berikut dipaparkan teknik

analisis data dalam penelitian ini sebagai berikut:

1. Reduksi Data (Data Reduction)

Reduksi data adalah bentuk analisis yang menajamkan, menggolongkan,

mengarahkan, membuang yang tidak perlu dan mengorganisasi data

sedemikian rupa sehingga kesimpulan akhir dapat diambil. Pada penelitian

ini data yang diperoleh berdasarkan pengumpulan data yaitu catatan harian,

dokumentasi, hasil tes tertulis, dan hasil wawancara. Peneliti melakukan

reduksi data sebagai berikut:

a. Data catatan harian

Reduksi data catatan harian dan dokumentasi dilakukan dengan

memperhatikan langkah-langkah pembelajaran flipped classroom yang

diaplikasikan dengan model pembelajaran berbasis masalah. Data dari


51

catatan harian diklasifikasikan menjadi empat fase langkah-langkah

pembelajaran flipped classroom menurut Bishop & Jacob (dalam

Munfaridah, 2017) sebagai berikut:

1) Fase 0 (Siswa menonton video berisi materi pembelajaran di rumah

yang telah dibuat oleh guru.)

2) Fase 1 (Guru membentuk beberapa kelompok kecil pada saat

pembelajaran di kelas)

3) Fase 2 (Menerapkan kemampuan siswa dalam proyek dan simulasi lain

di dalam kelas)

4) Fase 3 (Mengukur pemahaman siswa yang dilakukan di kelas pada

akhir materi pelajaran)

b. Data hasil tes tertulis dan data hasil wawancara

Reduksi data tes hasil belajar mahasiswa dan data wawancara dilakukan

dengan memperhatikan dan mengklasifikasikan jawaban-jawaban

mahasiswa dengan memperhatikan indikator soal dan indikator

kemampuan memecahkan masalah mahasiswa menurut Polya (1957),

yaitu (1) memahami masalah, (2) menyusun rencana pemecahan masalah,

(3) melaksanakan rencana pemecahan masalah, dan (4) melihat kembali

hasil pemecahan masalah.

2. Penyajian Data (Data Display)

Penyajian data dapat dilakukan dalam bentuk uraian singkat, bagan,

hubungan antar kategori, flowchart, dan sejenisnya. Penyajian data yang

dibuat dalam penelitian ini yaitu (1) data catatan harian dan dokumentasi


52

yang dianalisis berdasarkan langkah-langkah pembelajaran flipped

classroom yang diaplikasikan dengan model pembelajaran berbasis masalah

dan (2) data hasil tes dan wawancara dianalisis berdasarkan indikator

kemampuan memecahkan masalah.

3. Penarikan Kesimpulan atau Verfikasi (Conclusion Drawing/Verification)

Penarikan kesimpulan adalah hasil analisis yang dapat digunakan untuk

mengambil tindakan. Penarikan kesimpulan ini menjawab rumusan masalah

yang telah dirumuskan.Penarikan kesimpulan mengenai kemampuan

memecahkan masasalah mahasiswa untuk materi turunan dilakukan setelah

mahasiswa mengikuti pembelajaran menggunakan model pembelajaran

berbaasis masalah dengan strategi flipped classroom, selanjutnya data hasil

analisis dan pembahasan mengenai hasil tes tertulis dan wawancara kepada

mahasiswa semester II kelas C program studi Pendidikan Matematika

Universitas Sanata Dharma dan mahasiswa semester II kelas B Program

Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma akan diverifikasi

berdasarkan indikator kemampuan memecahkan masalah menurut Polya

(1957).


53

BAB IV

ANALISIS DAN PEMBAHASAN

A. Deskripsi Proses Perencanaan untuk Kelas Uji Coba

Pada penelitian ini, peneliti merancang lintasan belajar untuk membelajarkan

materi turunan pada mahasiswa semester II Program Studi Pendidikan

Matematika Universitas Sanata Dharma yang berisikan tentang langkah-langkah

pembelajaran dan bentuk topangan yang diberikan peneliti. Rancangan lintasan

belajar ini disusun dengan tujuan akhir adalah mahasiswa dapat memecahkan

masalah yang berkaitan dengan turunan menggunakan model pembelajaran

berbasis masalah dengan strategi flipped classroom. Peneliti mengadakan

pembelajaran dengan 6 jam pelajaran untuk 3 kali pertemuan yaitu 2 pertemuan

pembelajaran dan 1 pertemuan tes hasil belajar yang semua dilaksanakan dengan

sistem daring melalui google classroom dan WhatsApp Group. Berikut adalah

penjeleasan untuk pembelajaran tiga pertemuan.

1. Rancangan Lintasan Belajar Pertemuan 1 untuk Kelas Uji Coba

Kegiatan pembelajaran yang direncanakan untuk dilakukan peneliti

maupun mahasiswa pada pertemuan pertama adalah sebagai berikut.

a. Dosen mengawali pembelajaran dengan mengecek kesiapan mahasiswa

dan menyampaikan agenda pembelajaran melalui WhatsApp Group.

b. Dosen mengunggah bahan bacaan yaitu sifat-sifat limit dan mahasiswa

diminta untuk mengakses pada google classroom dan membaca sifat-sifat


54

limit terlebih dahulu untuk mengingatkan kembali terkait limit. Berikut

bahan bacaan yang dibuat oleh peneliti:

Misalkan 𝑛 bilangan bulat positif, 𝑘 adalah konstanta, serta 𝑓 dan 𝑔 adalah

fungsi-fungsi yang mempunyai limit di 𝑎. Maka

1. lim𝑥→𝑎

𝑘 = 𝑘;

2. lim𝑥→𝑎

𝑥 = 𝑎;

3. lim𝑥→𝑎

𝑘𝑓(𝑥) = 𝑘 lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥);

4. lim𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) + lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥);

5. lim𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) − lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥);

6. lim𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)] = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥). lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥);

7. lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) jika lim

𝑥→𝑎𝑔(𝑥) ≠ 0;

8. lim𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥)]𝑛 = [lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)]𝑛

;

9. lim𝑥→𝑎

√𝑓(𝑥)𝑛= √lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) ,𝑛 asalkan lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) > 0 jika 𝑛 genap.

c. Dosen memberikan lembar kerja (LK) Aturan-Aturan Turunan dan

mahasiswa diminta untuk mengerjakan dan mengirimkan berupa foto atau

scan dokumen di forum pada google classroom yang dilaksanakan tanggal

14 April 2020. LK yang diberikan sebagai berikut:

Buktikan teorema-teorema berikut.

1. Jika 𝑓(𝑥) = 𝑘, dengan 𝑘 konstanta maka 𝑓′(𝑥) = 0

2. Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥, maka 𝑓′(𝑥) = 1


55

3. Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛, dengan 𝑛 bilangan bulat positif maka 𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1

4. Jika 𝑘 suatu konstanta dan 𝑓 suatu fungsi yang terdiferensialkan maka

(𝑘𝑓)′(𝑥) = 𝑘. 𝑓′(𝑥)

5. Jika 𝑓 dan 𝑔 fungsi-fungsi yang terdiferensialkan maka (𝑓 + 𝑔)′(𝑥) =

𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)

6. Jika 𝑓 dan 𝑔 fungsi-fungsi yang terdiferensialkan maka (𝑓 − 𝑔)′(𝑥) =

𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥)

7. Jika 𝑓 dan 𝑔 fungsi-fungsi yang dapat terdiferensialkan maka

(𝑓. 𝑔)′(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥)


(𝑓

𝑔)

′(𝑥) =

𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)

(𝑔(𝑥))2

d. Dosen memberikan tugas yaitu terkait aturan-aturan turunan yang telah

dikerjakan mahasiswa agar dicocokkan dengan video pembelajaran yang

diunggah pada forum di google classroom dan masing-masing mahasiswa

diminta untuk membuat 1 pertanyaan terkait video aturan-aturan turunan

tersebut. Batas untuk menonton dan memberikan pertanyaan yaitu

sebelum pertemuan berikutnya.

Berdasarkan uraian mengenai langkah-langkah pembelajaran yang

dilakukan oleh peneliti dan mahasiswa, maka terdapat kegiatan atau usaha

yang dilakukan oleh peneliti berdasarkan langkah-langkah strategi

pembelajaran flipped classroom, yaitu fase 0 (Mahasiswa menonton video

berisi materi pembelajaran di rumah yang telah dibuat oleh dosen).



maupun mahasiswa pada pertemuan kedua adalah sebagai berikut.


56



b. Dosen dan mahasiswa mendiskusikan turunan pada forum di google

classroom.

c. Dosen memberikan lembar kerja (LK) 3 masalah aturan-aturan turunan

dan mahasiswa diminta bersama teman sekelompoknya mendiskusikan

untuk memecahkan masalah tersebut dalam 13 kelompok WhatsApp

Group kecil yang sudah dibagi dan dosen memberikan pendampingan

kepada semua kelompok. Masalah yang diberikan sebagai berikut:

d. Dosen meminta 1 kelompok untuk menyimpulkan apa yang telah

dipelajari. Kemudian dosen menyampaikan agenda pertemuan

selanjutnya.




pembelajaran flipped classroom, yaitu fase 1 (Dosen membentuk beberapa

Masalah Aturan-Aturan Turunan

1. Sebuah peluru ditembakan vertikal ke atas. Jika tinggi peluru h

(dalam meter) sebagai fungsi waktu t (dalam detik) dirumuskan

dengan ℎ(𝑡) = −5𝑡2 + 30𝑡. Tentukan tinggi maksimum yang dapat

dicapai peluru dan waktu yang diperlukan!

2. Sebuah partikel bergerak di sebuah garis lurus dengan persamaan

𝑠 = 𝑡3 − 6𝑡2 + 9𝑡 (s dalam satuan meter dan t dalam satuan detik).

Letak partikel dengan memperhatikan posisi permulaan (t=0) pada 0.

Carilah kecepatannya partikel dari 𝑡 = 0 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘 sampai 𝑡 = 5 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘.

3. Suatu proyek dapat dikerjakan selama p hari dengan biaya setiap

harinya (4𝑝 +2000

𝑝− 48) juta rupiah. Jika biaya minimum proyek

tersebut adalah R juta rupiah, maka R sama dengan . . .


57

kelompok kecil pada saat pembelajaran di kelas) dan fase 2 (Menerapkan

kemampuan mahasiswa dalam proyek dan simulasi lain di dalam kelas) yang

diaplikasikan dengan sintaks model pembelajaran berbasis masalah.



maupun mahasiswa pada pertemuan ketiga adalah sebagai berikut.



b. Dosen memberikan tes aturan-aturan turunan lembar kerja (LK) 3 masalah

Aturan-Aturan Turunan dan mahasiswa diminta untuk mengerjakan dan

mengirimkan berupa foto atau scan dokumen di forum pada google

classroom yang dilaksanakan tanggal 21 April 2020. tes yang diberikan

sebagai berikut:

Tes Aturan-Aturan Turunan

1. Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas. Jika tinggi peluru h


dengan ℎ(𝑡) = 24𝑡 −3

4𝑡2.

a. Apa yang terjadi dengan kecepatan peluru saat 𝑡 = 0 sampai 𝑡 =16? Jelaskan dan gambarkan grafiknya!

b. Tentukan tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru dan waktu

yang diperlukan!

2. Sebuah bola dilemparkan ke atas dinyatakan dengan persamaan 𝑠 =19,6𝑡 − 4,9𝑡2. Tunjukkan bahwa bola itu kehilangan separuh dari

kecepatan awalnya di 14,7m pertama dari kenaikannya.

3. Biaya untuk memproduksi barang x unit barang adalah 1

3𝑥2 + 20𝑥 +

15. Jika setiap unit barang dijual dengan harga 30 −1

2𝑥, untuk

memperoleh keuntungan yang optimal, banyaknya barang yang

diproduksi adalah. . .


58

c. Setelah selesai mengerjakan tes dan tersisa waktu 10 menit, dosen

meminta mahasiswa untuk menuliskan refleksi singkat terkait perkuliahan

aturan-aturan turunan.




pembelajaran flipped classroom, yaitu fase 3 (Mengukur pemahaman

mahasiswa yang dilakukan di kelas pada akhir materi pelajaran).

B. Deskripsi Proses Pembelajaran Kelas Uji Coba

Proses pembelajaran dianalisis dan dideskripsikan berdasarkan kegiatan atau

usaha yang dilakukan oleh peneliti berdasarkan langkah-langkah strategi

pembelajaran flipped classroom yaitu Fase 0 (Siswa menonton video berisi

materi pembelajaran di rumah yang telah dibuat oleh guru.), Fase 1 (Guru

membentuk beberapa kelompok kecil pada saat pembelajaran di kelas), Fase 2

(Menerapkan kemampuan siswa dalam proyek dan simulasi lain di dalam kelas),

dan Fase 3 (Mengukur pemahaman siswa yang dilakukan di kelas pada akhir

materi pelajaran).

1. Pembelajaran pertemuan pertama di kelas uji coba

Pada pertemuan pertama ini, peneliti memberikan lembar kerja dan

memberikan tugas kepada mahasiswa menonton video pembelajaran yang

telah dibuat oleh peneliti dan mahasiswa diminta untuk mengajukan

pertanyaan terkait video pembelajaran.


59

Lembar Kerja Aturan-aturan Turunan:

Buktikan teorema-teorema berikut:





(𝑘𝑓)′(𝑥) = 𝑘. 𝑓′(𝑥)


𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)


𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥)

7. Jika 𝑓 dan 𝑔 fungsi-fungsi yang dapat terdiferensialkan maka (𝑓. 𝑔)′(𝑥) =

𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥)

8. Jika 𝑓 dan 𝑔 fungsi-fungsi yang dapat terdiferensialkan maka (𝑓

𝑔)

′(𝑥) =


(𝑔(𝑥))2

Peneliti memberikan lembar kerja aturan-aturan turunan setelah

mahasiswa membaca sifat-sifat limit. Lembar kerja aturan-aturan turunan

diberikan pada pertemuan pertama dan pemilihan hasil jawaban mahasiswa

berdasarkan kelompok jawaban yang sama. Berikut deskripsi hasil jawaban

kelompok mahasiswa dalam mengerjakan proses pembuktian dari kedelapan

teorema di atas:

1) Deskripsi hasil jawaban mahasiswa dari pembuktian teorema pertama:

Ada 31 mahasiswa dari 39 mahasiswa yang menuliskan proses

pembuktiannya sebagai berikut:


60

Gambar 4. 1 Kelompok Jawaban Mahasiswa Pembuktian Teorema

Pertama

Dari gambar 4.1, dapat dituliskan proses yang dibuat oleh mahasiswa

adalah sebagai berikut: (a) mahasiswa menuliskan definisi turunan dari

𝑓(𝑥), yaitu 𝑓′(𝑥) = limℎ→0


ℎ, (b) setelah itu, mahasiswa

mensubstitusikan rumus fungsi 𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑘 dan 𝑓(𝑥) = 𝑘 ke dalam

definisi tersebut, sehingga mereka memperoleh hasil 𝑓′(𝑥) = limℎ→0

𝑘−𝑘

ℎ ,

dan (c) kemudian mahasiswa menarik nilai limitnya dan diperoleh hasil

bahwa 𝑓′(𝑥) = limℎ→0

0 = 0. Jadi, dari proses yang dilakukan oleh

mahasiswa, mahasiswa dapat membuktikan bahwa teorema 1 berlaku.

2) Deskripsi hasil jawaban mahasiswa dari pembuktian teorema kedua:




61


Kedua






mensubstitusikan rumus fungsi 𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑥 + ℎ dan 𝑓(𝑥) = 𝑥 ke dalam


𝑥+ℎ−𝑥

ℎ ,



ℎ

ℎ= 1. Jadi, dari proses yang dilakukan oleh


3) Deskripsi hasil jawaban mahasiswa dari pembuktian teorema ketiga:

a) Cara pertama yang dibuat oleh mahasiswa untuk membuktikan teorema

ketiga dan ada 30 mahasiswa dari 39 mahasiswa yang menuliskan

proses pembuktiannya sebagai berikut:


62


Ketiga Cara Pertama






mensubstitusikan rumus fungsi 𝑓(𝑥 + ℎ) = (𝑥 + ℎ)𝑛 dan 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 ke

dalam definisi tersebut, sehingga mereka memperoleh hasil 𝑓′(𝑥) =

𝑙𝑖𝑚ℎ→0


ℎ , (c) mahasiswa menuliskan ekspansi binomial dari bentuk

(𝑥 + ℎ)𝑛 sehingga memperoleh hasil 𝑓′(𝑥) =

limℎ→0



ℎ, (d) lalu mahasiswa

mengurangkan suku 𝑥𝑛 dengan suku negative 𝑥𝑛 dan ℎ difaktorkan


63

sehingga memperoleh hasil 𝑓′(𝑥) =

limℎ→0


2𝑥𝑛−2ℎ+. . . +𝑛𝑥ℎ𝑛−2+ℎ𝑛−1]

ℎ, (e) kemudian mahasiswa

menarik nilai limitnya dan diperoleh hasil bahwa 𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1 . Jadi,

dari proses yang dilakukan oleh mahasiswa, mahasiswa dapat

membuktikan bahwa teorema 3 berlaku.

b) Cara kedua yang dibuat oleh mahasiswa untuk membuktikan teorema

ketiga dan ada 3 mahasiswa dari 39 mahasiswa yang menuliskan proses


Gambar 4. 4 Jawaban Mahasiswa Pembuktian Teorema Ketiga

Cara Kedua




64






𝑙𝑖𝑚ℎ→0


ℎ , (c) mahasiswa menggunakan kombinasi dari bentuk


limℎ→0

(𝑛0)𝑥𝑛+(𝑛

1)𝑥𝑛−1ℎ+(𝑛2)𝑥𝑛−2ℎ2+⋯+(𝑛

𝑛)ℎ𝑛−𝑥𝑛


mengurangkan suku 𝑥𝑛 dengan suku negative 𝑥𝑛 sehingga memperoleh

hasil 𝑓′(𝑥) = limℎ→0

[(𝑛1

)𝑥𝑛−1 + (𝑛2

)𝑥𝑛−1ℎ + ⋯ + ℎ𝑛−1], dan (e) kemudian

mahasiswa menarik nilai limitnya dan diperoleh hasil bahwa (𝑛1)𝑥𝑛−1 =

𝑛𝑥𝑛−1. Jadi, dari proses yang dilakukan oleh mahasiswa, mahasiswa dapat


4) Deskripsi hasil jawaban mahasiswa dari pembuktian teorema keempat




65

Gambar 4. 5 Kelompok Jawaban Mahasiswa Pembuktian

Teorema Keempat


adalah sebagai berikut: (a) mahasiswa menuliskan permisalan 𝐹(𝑥) =

𝑘. 𝑓(𝑥) dan definisi turunan dari 𝐹(𝑥), yaitu 𝐹′(𝑥) = limℎ→0

𝐹(𝑥+ℎ)−𝐹(𝑥)

ℎ, (b)

setelah itu, mahasiswa mensubstitusikan rumus fungsi 𝐹(𝑥 + ℎ) =

𝑘. 𝑓(𝑥 + ℎ) dan 𝐹(𝑥) = 𝑘. 𝑓(𝑥) ke dalam definisi tersebut, sehingga

mereka memperoleh hasil 𝐹′(𝑥) = limℎ→0

𝑘.𝑓(𝑥+ℎ)−𝑘.𝑓(𝑥)

ℎ, (c) mahasiswa

menggunakan sifat distributife sehingga menuliskan bentuk limit 𝐹′(𝑥) =

limℎ→0

𝑘𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ , (d) lalu mahasiswa menuliskan sifat limit konstanta 𝑘

menjadi pengali dari limit menjadi 𝐹′(𝑥) = 𝑘 limℎ→0


ℎ, (e)

kemudian mahasiswa menarik nilai limitnya dan diperoleh hasil bahwa


66

𝐹′(𝑥) = 𝑘. 𝑓(𝑥). Jadi, dari proses yang dilakukan oleh mahasiswa,

mahasiswa dapat membuktikan bahwa teorema 4 berlaku.

5) Deskripsi hasil jawaban mahasiswa dari pembuktian teorema kelima




Kelima



𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) dan definisi turunan dari 𝐹(𝑥), yaitu 𝐹′(𝑥) =

limℎ→0


ℎ, (b) setelah itu, mahasiswa mensubstitusikan rumus fungsi

𝐹(𝑥 + ℎ) = 𝑓(𝑥 + ℎ) + 𝑔(𝑥 + ℎ) dan 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) ke dalam


67

definisi tersebut, sehingga mereka memperoleh hasil

𝐹′(𝑥) = limℎ→0


ℎ+


ℎ, (c) mahasiswa menggunakan sifat

distributife sehingga menuliskan bentuk limit 𝐹′(𝑥) = limℎ→0


ℎ+


ℎ, (d) lalu mahasiswa menuliskan sifat limit jumlahan dari

bentuk limit tersebut menjadi 𝐹′(𝑥) = limℎ→0


ℎ+ lim

ℎ→0


ℎ,

(e) kemudian mahasiswa menarik nilai limitnya dan diperoleh hasil bahwa

𝐹′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥) Jadi, dari proses yang dilakukan oleh mahasiswa,


6) Deskripsi hasil jawaban mahasiswa dari pembuktian teorema keenam




Keenam


68



𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) dan definisi turunan dari 𝐹(𝑥), yaitu 𝐹′(𝑥) =

limℎ→0



𝐹(𝑥 + ℎ) = 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥 + ℎ) dan 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) ke dalam


𝐹′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚ℎ→0

[𝑓(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥+ℎ)]−[𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)]



(𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ−


ℎ), (d) lalu mahasiswa menuliskan sifat limit pengurangan dari



ℎ− lim

ℎ→0


ℎ,


𝐹′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥) Jadi, dari proses yang dilakukan oleh mahasiswa,


7) Deskripsi hasil jawaban mahasiswa dari pembuktian teorema ketujuh




69


Teorema Ketujuh



𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) dan definisi turunan dari 𝐹(𝑥), yaitu 𝐹′(𝑥) = limℎ→0


ℎ,

(b) setelah itu, mahasiswa mensubstitusikan rumus fungsi 𝐹(𝑥 + ℎ) =

𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥 + ℎ) dan 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) ke dalam definisi tersebut,

sehingga mereka memperoleh hasil 𝐹′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚ℎ→0


ℎ, (c)

Mahasiswa melakukan pemisahan fungsi-fungsi 𝑓 dan 𝑔 yaitu dengan

menjumlahkan dan mengurangkan suku 𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥) pada pembilang,

maka bentuk limit tersebut dituliskan 𝐹′(𝑥) =


70

limℎ→0


ℎ dan disederhanakan

menjadi 𝐹′(𝑥) = limℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ).𝑔(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥)

ℎ+

𝑔(𝑥).𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ, (d) lalu

mahasiswa menuliskan sifat limit perkalian dari bentuk limit tersebut




ℎ+

limℎ→0

𝑔(𝑥) . limℎ→0


ℎ= 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑓 ′(𝑥), (e) kemudian

mahasiswa menarik nilai limitnya dan diperoleh hasil bahwa 𝐹′(𝑥) =

𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥) Jadi, dari proses yang dilakukan oleh mahasiswa,


8) Deskripsi hasil jawaban mahasiswa dari pembuktian teorema kedelapan




71


Kedelapan

Dari gambar 4.9, dapat dituliskan proses yang dibuat oleh mahasiswa adalah

sebagai berikut: (a) mahasiswa menuliskan permisalan 𝐹(𝑥) =𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)dan

definisi turunan dari 𝐹(𝑥), yaitu 𝐹′(𝑥) = limℎ→0


ℎ, (b) setelah itu,

mahasiswa mensubstitusikan rumus fungsi 𝐹(𝑥 + ℎ) =𝑓(𝑥+ℎ)

𝑔(𝑥+ℎ) dan 𝐹(𝑥) =

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) ke dalam definisi tersebut, sehingga mereka memperoleh hasil


𝑓(𝑥+ℎ)

𝑔(𝑥+ℎ)−

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

ℎ lalu menyamakan penyebut menjadi


𝑔(𝑥)𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)𝑔(𝑥+ℎ)

ℎ.

1

𝑔(𝑥)𝑔(𝑥+ℎ), (c) Mahasiswa melakukan

pemisahan fungsi-fungsi 𝑓 dan 𝑔 yaitu dengan menjumlahkan dan

mengurangkan suku 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) pada pembilang, maka bentuk limit tersebut


72

dituliskan 𝐹′(𝑥) = limℎ→0

[𝑔(𝑥)𝑓(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥)𝑓(𝑥)+𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔(𝑥+ℎ)

ℎ.

1

𝑔(𝑥)𝑔(𝑥+ℎ)],

(d) lalu mahasiswa menuliskan factor yang sama dari bentuk limit tersebut

agar dikeluarkan menjadi 𝐹′(𝑥) = limℎ→0

{[𝑔(𝑥)𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ−

𝑓(𝑥)𝑔(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥)

ℎ]

1

𝑔(𝑥)𝑔(𝑥+ℎ)} dan mahasiswa menyederhanakan bentuk limit

tersebut menjadi 𝐹′(𝑥) = [𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)]1

𝑔(𝑥)𝑔(𝑥), (e) kemudian



(𝑔(𝑥))2 . Jadi, dari proses yang dilakukan oleh mahasiswa,


a. Fase 0 (Mahasiswa menonton video berisi materi pembelajaran di rumah

yang telah dibuat oleh dosen).

Setelah mahasiswa selesai membuktikan kedelapan teorema tersebut

dan mengumpulkan hasil pembuktiannya, mahasiswa diminta menonton

video pembelajaran yang telah dibuat oleh peneliti yang berisi penjelasan

tentang bagaimana cara membuktikan kedelapan teorema tersebut. Setelah

menonton video, peneliti memberikan kesempatan kepada mahasiswa untuk

mengajukan pertanyaan terkait video pembelajaran tersebut.


73

Gambar 4. 10 Video Pembelajaran Aturan-Aturan Turunan Kelas Uji

Coba

Ada beberapa pertanyaan yang ditanyakan oleh mahasiswa. Berikut

rincian pertanyaan dari mahasiswa beserta dengan respon yang diberikan

peneliti untuk menjawab pertanyaan tersebut:

1) M1: Saya mau bertanya, apakah membuktikan turunan kita hanya

menggunakan Limit? Atau adakah cara lain yang bisa digunakan untuk

membuktikan turunan? Kalo ada tolong berikan alasannya dan kalo tidak

ada juga tolong berikan alasannya. Terimakasih kak🙏

P: Ya, membuktikan turunan itu dengan limit, karena secara matematis,

turnan fungsi 𝑓(𝑥) terhadap variabel 𝑥 adalah 𝑓′ yang nilainya pada titik

𝑥 dengan syarat limit tersebut eksis. Artinya jika 𝑓′ eksis pada titik 𝑥

tertentu, dikatakan bahwa 𝑓 memiliki turunan pada 𝑥, dan jika 𝑓′ eksis di

setiap titik pada domain 𝑓, maka 𝑓 terdiferensialkan.

2) M2: Ya kk say ingin bertanya.. mengapa konsep aturan turunan

berhubungan dengan garis singgung , kecepatan sesaat dan juga kecepatan

rata rata ?

P: Konsep turunan berhubungan dengan garis singgung karena kita akan

menentukan turunan suatu fungsi pada satu titik tertentu, dimana nilai


74

turunan itu sendiri adalah gradien garis singgung yang menyinggung satu

titik tersebut. Kemudian turunan mempelajari konsep mengenai

perubahan, dimana suatu benda bergerak jika mengalami perubahan

posisi dengan rentang waktu tertentu.

3) M3: Siang kak. Kak saya mau tanya, dari teorema" yang diberikan dan

sudah dibuktikan, apakah teorema tersebut dapat diaplikasikan ketika kita

mencari persamaan garis singgung dan titik pada grafik? Lalu dari

teorema tersebut apakah ada hubungannya dengan teorema fungsi

aljabar? (yg menggunakan pemisalan 𝑢 dan 𝑣) Terima kasih kak

P: Teorema tersebut dapat diaplikasikan, agar dapat menentukan

turunan suatu fungsi pada titik tertentu, ada hubungannya dengan

pemisalan u dan v karena dapat dinyatakan dengan 𝑢 dan 𝑣 yang biasanya

permisalan yang sering kita dengar ketika materi turunan didapatkan di

SMA.

4) M4: Permisi kak, saya ingin bertanya. Setelah saya pertimbangkan dari

waktu saya mengerjakan soal, operasi pada fungsi semisal pada

penjumlahan dan pengurangan 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) = (𝑓 ± 𝑔) (𝑥) padahal

pada pembuktian operasi fungsi penjumlahan dan pengurangan pada

turunan (𝑓′ ± 𝑔′) (𝑥) = 𝑓′(𝑥) ± 𝑔′(𝑥) kalau dilihat sekilas itu sama

saja dengan cara operasi fungsi. Nah pertanyaan saya, kenapa operasi

fungsi penjumlahan dan pengurangan pada turunan dibuktikan dengan

cara limit? Bukan dengan cara distribusi biasa seperti pada contoh yang

saya berikan di atas.

P: Disini kita membuktikan aturan-aturan turunan dengan definisi

turunan, nah untuk contoh yang vikry berikan memang dalam operator

linear digunakan cara seperti itu, tetapi kita membuktikan teorema pada

aturan penjumlahan dan pengurangan menggunakan definisi turunan yang

tidak langsung tetapi secara syarat pasti akan sama dengan operator linear

tersebut.

5) M5: Kak saya ingin bertanya, bagamana bisa kecepatan menjadi salah

satu fenomena pada turunan? Dan saya juga masih bingung, dari mana

asalnya definisi turunan fungsi 𝑓?

P: Kecepatan menjadi salah satu fenomena karena turunan itu konsep

yang mempelajari mengenai perubahan. kecepatan itu sendiri dimana

suatu benda bergerak jika mengalami perubahan posisi dengan rentang

waktu tertentu yang artinya ada perubahan karena pergerakan. Asal

definisi turunan fungsi 𝑓 dari definisi limit.

6) M6: Kak izin bertanya beberapa hal. Dari video yang sudah kakak

jelaskan, ada 2 hal yang saya tidak tahu asalnya kak. 1. Kenapa limit

ℎ mendekati 0 dengan fungsi 𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑓(𝑥)? Apakah benar karena

subtitusi ℎ yang bernilai 0 sehingga nilai 𝑓(𝑥 + ℎ) jadi sama dengan 𝑓(𝑥)

kak? 2. Dalam pembuktian aturan hasil bagi, ditunjukkan dalam baris


75

kedua, dalam proses perhituangannya disisipkan −𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) +𝑓(𝑥)𝑔(𝑥). Namun dalam baris ketiga kenapa penjumlahannya bisa

berubah menjadi pengurangan ya kak? Terimakasih.

P: 1) ya, caranya dengan subtitusi, karena 𝑓 fungsi yang

terdiferensialkan, kalau fungsi yang terdiferensialkan otomatis fungsi

yang kontinu, untuk sembarang fungsi kontinu maka nilai limitnya bisa

ditentukan dengan subtitusi, 2) Dalam pembuktian aturan hasil bagi

tersebut pada baris ketiga tersebut karena dari baris sebelumnya kita

mencari faktor persekutuan yang sama untuk fungsi 𝑓 dengan 𝑔. coba

diperhatikan 2 suku pertama dan 2 suku terakhir.

7) M7: Saya ingin bertanya terkait laju perubahan, dalam laju perubahan

dikatakan bahwa kecepatan dan laju itu berbeda, mengapa kecepatan dan

laju itu dikatakan berbeda? Dan mengapa laju perubahan ini dikaitkan

dengan turunan?

P: Laju perubahan dan kecepatan itu berbeda, kecepatan itu artinya

dimana suatu benda bergerak jika mengalami perubahan posisi pada

rentang waktu tertentu. laju itu perubahan jarak per satuan waktu, laju

perubahan dikaitkan dengan turunan karena turunan adalah laju

peruabhan 𝑦 apabila 𝑥 berubah.

8) M8: Selamat siang kak, apakah pembuktian teorema-teorema turunan

dapat dibuktikan melalui grafik? Jika ada, bagaimana pembuktiannya?

Terima kasih

P: Ya dapat dibuktuikan dengan grafik, contohnya pada aturan fungsi

konstan, kita gambarkan grafiknya berupa garis lurus dan horizontal, jadi

garis lurus yang horizontal bergradien 0, dari grafik tersebut terlihat untuk

setiap nilai 𝑥 dimanapun 𝑥 nya pasti garis singgung yang berupa garis

lurus tadi memiliki gradien 0, sehingga turunan dari fungsi konstan itu

adalah 0.

9) M9: Saya ingin bertanya, mengapa garis singgung berkaitan dengan

turunan kak ? saya masih agak bingung kak. Terimakasih

P: Karena nilai turunan di satu titik adalah gradien garis yang

menyinggung kurva di titik tersebut.

10) M10: Ka saya ingin bertanya terhadap definisi turunan yang h mendekati

0. Apakah ketentuan definisinya h itu hanya mendekati nol atau mungkin

bisa utk bilangan lain. Dan juga untuk fungsi identitas jika 𝑓(𝑥) = 𝑥 maka

𝑓′(𝑥) = 1 Yg artinya lim h mendekati 0 dengan ℎ bagi ℎ = 1 apa

mungkin langsung dibagi biasa tampa mengubah ℎ = 0. Karena klo di

ubah maka 0 : 0 tdk memiliki nilai. Mohon penjelasan ka🙏

P: ℎ mendekati 0 artinya kita ingin mencari nilai di suatu titik, dimana

rentang perubahannya kita tarik menuju 0, ditambahkan limit lalu ℎ nya

menuju 0, sehingga perubahannya mendekati 0. Untuk fungsi identitas

kita tidak mesubtitusi ℎ nya langsung mendekati 0.


76

11) M11: Saya mau bertanya kak, mengapa konsep turunan berkaitan dengan

fenomena-fenomena yang mengenai kecepatan?

P: Turunan berkaitan dengan kecepatan karena turunan merupakan

konsep yang mempelajari mengenai perubahan, sedangkan kecepatan

dimana suatu benda bergerak jikamengalami perubahan posisi dengan

rentang waktu tertentu yang artinya memiliki perubahan karena

pergerakan.

12) M12: Kak saya mau bertanya : Apa hubungan antara limit dengan

turunan? Apakah hanya karena sebagian besar rumus pada turunan itu

ditentukan melalui limit, seperti menurut definisinya ataukah ada

hubungan yang lainnya antara turunan dan limit? Terimakasih Kak.

P: Limit memiliki hubungan dengan turunan karena seperti yang

dikatakan definisi turunan jika limit tersebut ada maka dikatakan

𝑓 mempunyai turunan. Jika limit fungsinya tidak ada maka dapat

dikatakan fungsi tersebut tidak mempunyai turunan sebab turunan fungsi

𝑓(𝑥) terhadap variabel 𝑥 adalah 𝑓′ yang nilainya pada titik 𝑥 dengan

syarat limit tersebut eksis atau ada.

Berdasarkan video pembelajaran yang diupload oleh peneliti dan beberapa

pertanyaan yang diajukan oleh mahasiswa maka kesimpulan proses

pembelajaran adalah mahasiswa menanyakan untuk bagian fenomena turunan

yaitu mengapa konsep turunan berkaitan dengan fenomena mengenai

kecepatan dan mengapa kecepatan dan laju perubahan dikatakan berbeda.

Pada bagian definisi turunan mahasiswa menanyakan apakah membuktikan

turunan hanya menggunakan limit atau adakah cara lainnya yang dapat

digunakan untuk membuktikan, mengapa konsep turunan berhubungan dan

saling terkait dengan garis singgung, apakah ketentuan definisi turunan h nya

hanya mendekati nol atau mungkin bisa untuk bilangan lain dan bagaimana

hubungan limit dengan turunan. Kemudian pada bagain pembuktian teorema

aturan-aturan turunan mahasiswa menanyakan apakah pembuktian teorema-

teorema turunan dapat dibuktikan melalui grafik, alasan mengapa limit ℎ


77

mendekati 0 dengan fungsi 𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑓(𝑥) apakah karena subtitusi h yang

berniali 0 sehingga nilai 𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑓(𝑥), pada pembuktian aturan hasil bagi

ditunjukkan dalam baris kedua dalam proses perhituangannya disisipkan

−𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) tetapi dalam baris ketiga kenapa penjumlahannya

bisa berubah menjadi pengurangan.

Jadi secara keseluruhan dalam proses pembelajaran pada pertemuan

pertama ini kegiatan yang dilakukan oleh peneliti berdasarkan langkah-

langkah strategi pembelajaran flipped classroom, yaitu fase 0 (Mahasiswa

menonton video berisi materi pembelajaran di rumah yang telah dibuat oleh

dosen). Sebelum menonton video pembelajaran mahasiswa diminta untuk

membuktikan teorema-teorema aturan-aturan turunan dengan membaca sifat-

sifat limit terlebih dahulu untuk mengingatkan kembali terkait limit. Tujuan

diberikan bahan bacaan sifat-sifat limit tersebut adalah untuk membantu

mahasiswa dalam membuktikan teorema-teorma aturan-aturan turunan.

Kemudian dosen menggungah video pembelajaran aturan-aturan turunan dan

mahasiswa mengajukan pertanyaan terkait video pembelajaran tersebut.

2. Pembelajaran pertemuan kedua di kelas uji coba

a. Aktivitas Pertama

Pada pertemuan kedua ini, peneliti dan mahasiswa sama-sama

berdiskusi tentang turunan diawal pembelajaran. Berikut transkrip diskusi

peneliti dan mahasiswa:

P: Menurut kalian apa hubungan nilai turunan di satu titik dengan

gradien garis singgung di titik tersebut? Silakan berpendapat.

M1: Menurut saya, nilai turunan di suatu titik adalah gradien garis

yang menyinggung kurva di titik tersebut


78

M2: Menurut saya nilai turunan di suatu titik adalah gradien garis

yang menyinggung satu titik tersebut... Seperti yang telah kakak

jelaskan dari pertanyaan yang saya berikan pada vidio

sebelumnya

M3: Gradien garis yang menyinggung suatu titik di kurva tersebut

M4: Sama kak, nilai turunan adalah gradien garis singgung pada kurva

𝑦 = 𝑓(𝑥) di satu titik tertentu

M5: Hubungnnya yaitu, turunan di gunakan untuk mencari nilai

gradien, kemonotonan serta kecekungan garis/kurva, serta arah

dari garis tersebut

P: Baik, selanjutnya, Apa yang terjadi dengan gradien garis

singgung di sembarang titik ketika 𝑓 fungsi naik dan 𝑓 fungsi

turun?

M6: Jika ia fungsi naik maka turunan nya lebih besar dari 0 Dan jika

fungsi turun maka 𝑓′(𝑥) < 0

M7: Fungsi naik 𝑓′(𝑥) > 0

M8: Fungsi naik 𝑓′(𝑥) > 0 Fungsi turun 𝑓′(𝑥) < 0

M9: ketika 𝑓 fungsi naik maka turunan fungsi tersebut lebih besar dari

0 sedangkan ketika 𝑓 fungsi turun maka turunan fungsi tersebut

lebih kecil dri 0

P: Ya benar, artinya gradien garis singgungnya bernilai apa?

M10: Bernilai positif bkn kkak?

M11: Kalau 𝑓 fungsi naik maka gradien ke kanan atas (bernilai positif,

kalau 𝑓 fungsi turun maka gradien ke kanan bawah (bernilai

negatif)

P: Pertanyaan selanjutnya: 1. Jika suatu fungsi memiliki turunan

berubah dari naik kemudian turun maka 𝑓 memiliki nilai yang

seperti apa? 2. Jika suatu fungsi memiliki turunan berubah dari

turun kemudian naik maka f memiliki nilai yang seperti apa?

M12: turunan positif akan mengakibatkan suatu fungsi akan naik,

turunan negatif akan mengakibatkan fungsi tersebut turun, dan

turunan nol pada seluruh selang akan mengakibatkan fungsi

tersebut konstan pada selang tersebut

P: Jika habis naik terus turun maka terjadi apa? Jika habis turun

terus naik maka apa yang terjadi? Nilai seperti apa yang terjadi

pada f? Maksimum atau minimum?

M13: Grafik fungsi akan naik jika bergerak ke atas dan akan turun jika

bergerak ge bawah, dan nilainya konstan

M14: Jika naik terus turun maka terjadi nilai maksimum Jika turun terus

naik maka terjadi nilai minimum

M15: Grafik fungai akan naik jika berkerak ke atas maka 𝑓′(𝑥) > 0

Grafik fungsi akan turun jika bergerak ke bawah maka 𝑓′(𝑥) < 0 Dan bernilai konstan 𝑓′(𝑥) = 0

M16: Jika naik terus turun maka yang terjadi nilai maksimum Jika turun

terus naik maka yang terjadi nilai minimum


79

Berdasarkan diskusi diawal pembelajaran antara peneliti dan

mahasiswa maka kesimpulan proses yang dilakukan yaitu karena

mahasiswa telah mempelajari gradien garis singgung suatu kurva pada titik

tertentu maka mahasiswa dapat mengkaitkannya dengan turunan. Tujuan

diskusi pada awal pembelajaran agar mahasiswa memahami definisi

turunan disuatu titik tertentu dan bagaimana kaitanya dengan fungsi naik

dan turun, sehingga mengingatkan mahasiswa agar dapat membantu dalam

memecahkan permasalahan yang akan diberikan.

b. Aktivitas Kedua

Peneliti memberikan lembar kerja masalah aturan-aturan turunan dan

mempersilakan mahasiswa untuk berdiskusi dengan teman kelompok yang

peneliti sudah bagi kedalam 13 kelompok WhatsApp Group kecil sehari

sebelum pertemuan kedua dimulai agar mengurangi waktu agar tidak

terlalu lama memakan waktu dan semua kelompok sudah siap dalam

diskusi serta peneliti memberikan pendampingan kepada semua

kelompok. Masalah yang diberikan sebagai berikut:











80

Berikut salah satu diskusi kelompok dan pendampingan dari peneliti

dalam memecahkan masalah yang diberikan:

M1: Sudah bisa mulai kan kk?

P: Sudahh

M2: No.01 diturunkan dulu kan ya, trus abis diturunkan kita

mendapatkan t nya. Trus disubsitusikan ke persamaan yang belum

diturunkan

M3: hasilnya 45 kan?

M4: Iya , t nya 3 detik

M5: No. 2 diturunkan dulu ga sih?

M6: iya diturunin 1 kali lalu disubstitui t=0-5?

M7: aku bingung no 2 tuh di kalimat letak partikel dbg memperhatikan

posisi permulaan t=0 pada 0

M8: maksud dr pernyataan ini tuh apa kak

P: Maksudnya berpakaah kecepatan partikel saat t=0 sampai t=5, nnti

dilihat maknanya semua dari situ

M9:

Di giniin bukan, terus ketemu p nya

M10: no 3 tuh dikalikan p dlu spy penyebut p nya ilanf. bistu utk cr

minumum diturunin r'=0. bistu dpt nilai r brp disubstitusikan lg

M11: oh gitu ya kak, brti itu diturunin fungsinya habis itu

disubstitusikan t=0-5??

P: Betul

M12: mau nanya kak utk kecepatan apakah boleh bernilai negatif?






81

P: Boleh, dilihat pergerakannya

M13:

Gini gk sih?

M14: iyaa itu r katanya r itu juta rupiah jd 1856 jt

M15: kak mau nanya perihal diforum td kan kalau dia turun terus naik

maka dia nilainya dsb nilai minumun, lalu di nomer 2 itu nilai saat

disubs t=0-5 itu nialinya turun terus naik, apakah itu nilai

minumum. atau gimana kak??

P: Bukan, dilihat dari pergerakannya dek

M16: Kak. Disoal no.02 kan diketahui 𝑠 = 𝑡3 − 6𝑡2 + 9𝑡 nah trus 𝑠

itukan satuannya meter, sementara kecepatan tuh satuannya meter

per sekon, berarti setelah kita subsitusikan t=0-5 berarti kita

menggunakan rumus kecepatan =𝑠

𝑡. Iya ga sih. Sepemahamanku

gitu😅. Kayak fisika

M17: ingat matapel fisika dlu x adalah posisi, jika mau cr 𝑣(kecepatan

diturunin x 1 kali) lalu msal mo cr a(percepatan diturunin x 2 kali)

M18: Berarti nanti gini ga saat t=0 maka s nya adalah 9 terus t=1 maka

s nya adalah 1 gitu sampe t = 5?

M19: begitu pula sebaliknya msalnya mau cr posisi (x) jika diketahui

fungsi kecepatan, brti di naikkan 1 kali


82

M20:

ak si gini aja lgsg


83

M21:

Iya tik aki juga langsung gini

M22: saat t=1 hasilnya 0 sil

M23: ini kam v=s/t. brti v×t=s. itu fungsi kita kan dah berbentuk s=, subs

t bentuknya sama aja jd s= v×t

M24: Iya tik . Udah tau. Udah sadar😅

M25: Ni kita mau pake punya siapa wkwk


84

M26:


85

cb dilihat pnyaku, lengkap gak, atau ada yg perlu ditambahin apa

gitu

M27: Sudah Tik..

M28: Mau gambar grafik ta?

M29: Aku juga bingung gambarnya gimana. Wkwk

M30: samaaaa, itu grafiknya ditunjukkin saat fungsinya dah diturunin

atau blm ya

M31:

ini yg no 1, bsa dilihar saat x nya x

saat x nya 3


86

M32:

titik puncaknya 45

Berdasarkan diskusi kelompok dan pendampingan peneliti maka

kesimpulan proses yang dilakukan yaitu karena mahasiswa telah

mempelajari gradien garis singgung suatu kurva pada titik tertentu maka

mahasiswa dapat mengkaitkannya dengan turunan.

c. Aktivitas Ketiga

Peneliti mempersilakan satu kelompok untuk mempresentasikan hasil

diskusi kelompok dari masalah yang diberikan. Berikut persentasi salah

satu kelompok:


87

P: Silakan renata untuk mempresentasikan masalah nya?

M1: Jadi dari kelompok kami untuk penyelesaian masalah yang tadi

sudah diberikan, dari masing-masing soal kami membuat fungsi

turunannya dahulu, kemudian untuk menentukan nilai suatu

variabel yang ada sebagai acuan agar ditentukan hasil akhir, maka

kami membuat turunan fungsi nya menjadi sama dengan nol.

Setelah menemukan nilainya, kami masukan kedalam persamaan

awal sehingga ditemukan hasil akhir. Lalu untuk fungsi yang

menggunakan pecahan variabel, kami kalikan dengan variabel

yang ada sehingga dihasilkan fungsi baru yang lebih mudah

untuk diturunkan. Kemudian untuk masalah kecepatan yang

dihasilkan nilainya negatif, artinya benda tersebut mengalami

perlambatan. Jadi kesimpulan yang didapat dari pembelajaran

kali ini adalah untuk menyelesaikan suatu masalah aturan

turunan, buat fungsi turunan, kemudian turunan fungsi disama

dengankan nol, temukan acuan, kemudian substitusikan ke

persamaan awal.

P: Bagaimana yang lain?

M2: Saya setuju dengan pendapat kelompok Renata

M3: keompok 4 sama kak dengan renata, bisa juga dengan cara

menggambar grafik untuk melihat pergerakannya

M4: Kalau kelompok kami juga sama, untuk menyelesaikan masalah

pada LK kami menurunkan fungsi awalnya. Setelah diturunkan

maka didapatkam nilai variabel (t,p) lalu untuk mencari

penyelesaiannya variabel yang telah ditemukan nilainya

disubtitusi ke persamaan awal sehingga diperoleh hasil akhir atau

diperolehlah apa yang ditanyakan.

P: Kelompok kami kurang lebih juga seperti itu kak

Pada akhir pembelajaran ini belum ditutup dengan kesimpulan apa yang

telah dipelajari dikarenakan keterbatasan waktu yang sudah melewati.


kedua ini kegiatan yang dilakukan oleh peneliti berdasarkan langkah-

langkah strategi pembelajaran flipped classroom, yaitu fase 1 (Peneliti

membentuk beberapa kelompok kecil pada saat pembelajaran di kelas) dan

fase 2 (Menerapkan kemampuan mahasiswa dalam proyek dan simulasi

lain di dalam kelas) yang diaplikasikan dengan sintaks model


88

pembelajaran berbasis masalah. Sebelum peneliti memberikan masalah

aturan-aturan turunan kepada mahasiswa, peneliti dan mahasiswa sama-

sama mendiskusikan terlebih dahulu tentang gradient gasris singgung

suatu kurva pada titik tertentu dan mengkaitkannya dengan turunan.

Kemudian peneliti memberikan masalah kepada mahasiswa yang

dikerjakan mahasiswa secara kelompok dan pembagian kelompok

dilakukan oleh peneliti sehari sebelum pertemuan kedua agar waktunya

tidak terlalu lama dan semua kelompok sudah siap serta peneliti

memberikan pendampingan kepada semua kelompok. Setelah itu diakhir

pembelajaran peneliti meminta salah satu kelompok untuk

mempresentasikan hasil pekerjaannya dan belum ditutup dengan

kesimpulan apa yang telah dipelajari dikarenakan keterbatasan waktu yang

sudah melewati.

3. Pembelajaran pertemuan ketiga di kelas uji coba

Pada pertemuan ketiga peneliti memberikan tes aturan-aturan turunan

kepada mahasiswa. Tes yang diberikan sebagai berikut:


89

Setelah selesai mengerjakan tes dan tersisa waktu 10 menit, peneliti



Jadi secara keseluruhan dalam proses pembelajaran pada pertemuan ketiga

ini kegiatan yang dilakukan oleh peneliti berdasarkan langkah-langkah

strategi pembelajaran flipped classroom, yaitu fase 3 (Mengukur pemahaman

mahasiswa yang dilakukan di kelas pada akhir materi pelajaran). Peneliti

memberikan tes aturan-aturan turunan untuk mengetahui kemampuan

memecahkan masalah mahasiswa.

C. Deskripsi Hasil Tes Tertulis Kelas Uji Coba

Peneliti mengadakan tes tertulis setelah melaksanakan pembelajaran

menggunakan model pembelajaran berbasis masalah dengan strategi flipped

classroom pada materi turunan. Tes tertulis dilakukan pada pertemuan ketiga.





4𝑡2.

c. Apa yang terjadi dengan kecepatan peluru saat 𝑡 = 0 sampai 𝑡 =16? Jelaskan dan gambarkan grafiknya!

d. Tentukan tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru dan waktu

yang diperlukan!




3𝑥2 + 20𝑥 +


2𝑥, untuk




90

Tes tertulis bertujuan untuk mengetahui kemampuan memecahkan masalah

mahasiswa. Pemilihan hasil jawaban mahasiswa berdasarkan kelompok jawaban

yang sama.

Masalah yang diberikan berupa permasalahan yang berkaitan dengan turunan

dalam kehidupan sehari-hari. Dari masalah tersebut mahasiswa diminta untuk

memecahkan masalah yang diberikan. Peneliti memberikan 3 masalah terkait

dengan turunan sebagai berikut:

Tabel 4. 1 Tes Masalah Aturan-aturan Turunan Kelas Uji Coba

Berikut ini disajikan deskripsi hasil pekerjaan mahasiswa untuk soal nomor 1

berdasarkan kelompok jawaban mahasiswa yang sama.

Soal Tes

1. Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas. Jika tinggi peluru h (dalam

meter) sebagai fungsi waktu t (dalam detik) dirumuskan dengan ℎ(𝑡) =

24𝑡 −3

4𝑡2.

a. Apa yang terjadi dengan kecepatan peluru saat 𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 16?

Jelaskan dan gambarkan grafiknya!

b. Tentukan tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru dan waktu yang

diperlukan!




3𝑥2 + 20𝑥 + 15.

Jika setiap unit barang dijual dengan harga 30 −1

2𝑥, untuk memperoleh

keuntungan yang optimal, banyaknya barang yang diproduksi adalah. . .


91

1. Kelompok jawaban mahasiswa yang pertama

Ada 26 mahasiswa dari 39 mahasiswa yang menjawab dengan cara

berikut dan ada 3 maahsiswa yang hanya menjawab bagian a tetapi tidak

menjawab bagian b dengan cara berikut:


92


93

Gambar 4. 11 Kelompok Jawaban Mahasiswa Pertama untuk Masalah

Pertama Kelas Uji Coba

Deskripsi Pekerjaan Mahasiswa:

Sebelum menjawab bagian a dan bagian b mahasiswa menuliskan apa yang

diketahui dan ditanyakan pada soal nomor 1. Pada proses tersebut mahasiswa


94

dapat menuliskan apa yang diketahui dan ditanyakan dari masalah yang

diberikan dan selaras dengan indikator pertama dari kemampuan memecahkan

masalah yaitu memahami masalah.

Jawaban bagian a:

a. Mahasiswa menuliskan fungsi ketinggian peluru yang ditembakkan yaitu

ℎ(𝑡) = 24𝑡 −3

4𝑡2.

Proses pada poin a ini menunjukkan bahawa mahasiswa dapat memahami

masalah yang diberikan terkait dengan turunan. Hal ini selaras dengan indikator

pertama kemampuan memecahkan masalah yaitu memahami masalah.

b. Mahasiswa menurunkan fungsi tersebut dan menganggap bahwa turunan

pertama dari fungsi tersebut adalah kecepatan dan menuliskan ℎ′(𝑡) = 24 −

3

2𝑡.

c. Mahasiswa mencari t=0 sampai t=16 menggunakan fungsi ℎ(𝑡) yang telah

diturunkan tersebut.

d. Mahasiswa menggambarkan grafik dari kecepatan peluru terhadap waktu

dimana kecepatan sebagai sumbu 𝑦 dan waktu sebagai sumbu 𝑥.

Dari proses pada poin b, c, dan d tersebut mahasiswa dapat menuliskan

konsep matematika yang digunakan untuk memecahkan masalah yaitu turunan

dan merencanakan meyelesaikan masalah dengan mencari t=0 sampai t=16

untuk dapat menggambarkan grafiknya. Hal ini selaras dengan indikator ke dua

dari kemampuan memecahkan masalah yaitu menyusun rencana pemecahan

masalah.


95

e. Mahasiswa menjelasakan dari grafik yang telah digambar tersebut bahwa

ketika peluru ditembakkan di detik 0 (t=0) kecepatan peluru akan maksimal

yaitu 24 𝑚/𝑠. Tetapi semakin lama perjalanan peluru maka kecepatannya

akan semakin berkurang hingga didetik 16 dan kecepatan peluru adalah 0

(mencapai tinggi maksimum).

Dari proses pada poin b, c, d, dan e tersebut mahasiswa melaksanakan rencana

pemecahan masalah dengan menuliskan proses dari pengimplementasian

rencana menyelesaikan masalah dari menurunkan fungsi, mencari kecepatan

peluru saat t = 0 sampai t = 16, menggambarkan grafik berdasarkan kecepatan

peluru saat 𝑡 nya sudah dicari, dan menjelaskan gambar dari grafik yang telah

dibuat. Hal ini selaras dengan indikator ke tiga kemampuan memecahkan

masalah yaitu melaksanakan rencana pemecahan masalah.

Jadi, dapat disimpulkan bahwa kemampuan memecahkan masalah

mahasiswa pada jawaban nomor a memenuhi 3 indikator kemampuan

memechakan masalah menurut Polya (1957), yaitu (1) memahami masalah, (2)

menyusun rencana pemecahan masalah, dan (3) melaksanakan rencana

pemecahan masalah.

Jawaban bagian b:

a. Mahasiswa menuliskan dari penjelesan bagain a sudah dapat diketahui bahwa

waktu yang diperlukan adalah 16 detik. Kemudian secara matematis dapat

dihitung dengan fungsi yang telah diturunkan sama dengan nol sehingga

memperoleh waktu yang diperlukan 16 detik.


96

Proses ini menunjukkan bahwa mahasiswa memahami masalah terkait

dengan turunan dan dapat menuliskan konsep matematika yang digunakan untuk

memecahkan masalah yaitu dari fungsi mencapai maksimum dengan turunannya

sama dengan 0 sehingga diperoleh t=16. Hal ini selaras dengan indikator pertama

dan kedua kemampuan memecahkan masalah yaitu memahami masalah dan

menyusun rencana pemecahan masalah.

b. Mahasiswa menghitung tinggi yang maksimum dengan mensubtitusi t =16 ke

fungsi awal dan diperoleh tinggi maksimumnya 192 m. Sehingga mahasiswa

menyimpulkan tinggi maksimum peluru berada pada ketinggian 192 m

dengan waktu yang diperlukan 16 detik.

Proses ini menunjukkan mahasiswa melaksanakan rencana pemecahan

masalah dengan menuliskan proses mengimplementasikan rencana dalam

menyelesaikan masalah yaitu dari fungsi mencapai maksimum dengan

turunannya sama dengan 0 sehingga diperoleh t=16, mencari tinggi maksimum

dengan mensubtitusi t=16 ke fungsi awal, dan membuat kesimpulan. Hal ini

selaras dengan indikator kemampuan memecahkan masalah yaitu melaksanakan

rencana pemecahan masalah.

Jadi dari hasil deskripsi jawaban mahasiswa di atas, dapat disimpulkan

bahawa kemampuan memecahkan masalah mahasiswa pada jawaban nomor b

memenuhi 3 indikator kemammpuan memechakan masalah menurut Polya

(1957), yaitu (1) memahami masalah, (2) menyusun rencana pemecahan

masalah, dan (3) melaksanakan rencana pemecahan masalah.


97

2. Kelompok jawaban mahasiswa yang kedua

Ada 7 mahasiswa dari 39 mahasiswa yang menjawab dengan cara berikut:


98

Gambar 4. 12 Kelompok Jawaban Mahasiswa Kedua untuk Masalah

Pertama Kelas Uji Coba







Jawaban bagian a:


ℎ(𝑡) = 24𝑡 −3

4𝑡2.


99




b. Mahasiswa menurunkan fungsi tersebut karena kecepatan merupakan turunan

pertama fungsi tersebut dan menuliskan ℎ′(𝑡) = 24 −3

2𝑡.



Dari proses pada poin b dan c tersebut mahasiswa dapat menuliskan konsep

matematika yang digunakan untuk memecahkan masalah yaitu turunan dan

merencanakan meyelesaikan masalah dengan mencari t=0 sampai t=16 tetapi

tidak menggambarkan grafiknya. Hal ini belum memenuhi indikator ke dua dari

kemampuan memecahkan masalah yaitu menyusun rencana pemecahan

masalah.



memechakan masalah menurut Polya (1957), yaitu (1) memahami masalah.

Jawaban bagian b:

a. Mahasiswa menuliskan fungsi yang telah diturunkan dan fungsi tersebut sama

dengan nol. Kemudian secara matematis dihitung dengan fungsi yang telah

diturunkan sama dengan nol sehingga memperoleh waktu yang diperlukan 16

detik.




100
























101



berikut:


Kedua Kelas Uji Coba


a. Mahasiswa menuliskan apa yang diketahui yaitu persamaan 𝑠 = 19,6𝑡 −

4,9𝑡2 dan yang ditanyakan yaitu tunjukkan bahwa bola kehilangan separuh

dari kecepatan awalnya di 14,7m pertama dari kenaikannya.


102

Proses pada poin a menunjukkan bahwa mahasiswa dapat menuliskan apa

yang diketahui dan ditanyakan dari masalah yang diberikan dan selaras dengan

indikator pertama dari kemampuan memecahkan masalah yaitu memahami

masalah.

b. Mahasiswa menurunkan persamaan tersebut dan turunan dari persamaan

tersebut atau kecepatannya sama dengan 0, sehingga memperoleh t=2.

c. Mahasiswa mencari ketinggian bola saat t=2 dari persamaan bola yang

memperoleh 19,6.

d. Mahasiswa mencari setengah dari t=2 yaitu t=1 untuk menunjukkan bola

kehilangan separuh kecepatan awalnya pada ketinggian 14,7m.



dan merencanakan meyelesaikan masalah dengan mencari turunan dari

persamaan bola, lalu mendapatkan t=2 sehingga setengah dari 𝑡 tersebut akan

membuktikan bola kehilangan separuh dari kecepatan awalnya di 14,7m pertama

dari kenaikannya. Hal ini selaras dengan indikator ke dua dari kemampuan

memecahkan masalah yaitu menyusun rencana pemecahan masalah.

e. Mahasiswa menyimpulkan saat t awalanya 2 dan setengahnya yaitu t=1 maka

disubtutusi pada persamaan 𝑠 tingginya 14,7m, sehingga terbukti bahwa bola

akan kehilangan separuh kecepatan awalnya saat di 14,7m pertama dari

kenaikannya.




103

rencana menyelesaikan masalah dari menurunkan persamaan, lalu mendapatkan

t=2 sehingga setengah dari t tersebut yaitu t=1 dan menjelaskan pernyataan

bagaimana bola kehilangan separuh dari kecepatan awalanya di 14,7m pertama

dari kenaikannya. Hal ini selaras dengan indikator ke tiga kemampuan

memecahkan masalah yaitu melaksanakan rencana pemecahan masalah.


mahasiswa pada jawaban nomor 2 memenuhi 3 indikator kemampuan



pemecahan masalah.



berikut:


104








105




masalah.



c. Mahasiswa mensubtitusi t=2 ke persamaan bola dan memperoleh ketinggian

maksimum yaitu 19,6m.

d. Mahasiswa mencari t=3 dan t=1 untuk menunjukkan bola kehilangan separuh

kecepatan awalnya pada ketinggian 14,7m.



dan merencanakan menyelesaikan masalah dengan mencari turunan dari

persamaan bola, lalu mendapatkan t=2 sehingga mendapatkan tinggi maksimum

kemudian akan membuktikan bola kehilangan separuh dari kecepatan awalnya

di 14,7m pertama dari kenaikannya dengan cara memfaktorkan persamaan. Hal

ini selaras dengan indikator ke dua dari kemampuan memecahkan masalah yaitu


e. Mahasiswa menggambar grafik dan menyimpulkan saat t=3 maka bola

kehilangan kecepatan awal di 14,7m.





106

t=2 sehingga memperoleh tinggi maksimum kemudian akan membuktikan bola

kehilangan separuh dari kecepatan awalnya di 14,7m pertama dari kenaikannya

dengan cara memfaktorkan persamaan dan menggambarkan grafik serta

menjelaskan pernyataan bagaimana bola kehilangan separuh dari kecepatan

awalanya di 14,7m pertama dari kenaikannya tetapi t yang diambil adalah t=3

bukan t=1. Hal ini belum memenuhi indikator ke tiga kemampuan memecahkan




memechakan masalah menurut Polya (1957), yaitu (1) memahami masalah dan

(2) menyusun rencana pemecahan masalah.

3. Kelompok jawaban mahasiswa yang ketiga


berikut:


107

Gambar 4. 15 Kelompok Jawaban Mahasiswa Ketiga untuk Masalah









masalah.


108

b. Mahasiswa menurunkan persamaan tersebut dan mencari kecepatan awal dan

memeperoleh 19,6.

c. Mahasiswa menuliskan kecepatan sama dengan ketinggian 14,7m sehingga

memperoleh t=3,5.

d. Mahasiswa mensubtitusi t=3,5 ke kecepatan awal sehingga memperoleh -

14,7.




persamaan bola, lalu mencari kecepatan awal dan mencari nilai t untuk


dari kenaikannya. Hal ini belum memenuhi indikator ke dua dan ke tiga dari

kemampuan memecahkan masalah yaitu menyusun rencana pemecahan masalah

dan melaksanakan rencana pemecahan masalah.



memechakan masalah menurut Polya (1957), yaitu memahami masalah.





berikut:


109


Ketiga Kelas Uji Coba


a. Mahasiswa menuliskan apa yang diketahui yaitu 𝑥 unit barang adalah 1

3𝑥2 +

20𝑥 + 15 dan harga jual barang 30 −1

2𝑥 kemudian harga jual 𝑥 unit barang


110

30 −1

2𝑥2 dan yang ditanyakan yaitu banyak barang yang harus diproduksi

agar memperoleh keuntungan yang optimal.




masalah.

b. Mahasiswa menuliskan rumus keuntungan yaitu harga jual dikurang harga

produksi sehingga memperoleh 10𝑥 −5

6𝑥2 − 15.

c. Mahasiswa mencari keuntungan yang optimal dengan cara menurunkan

fungsi dari keuntungan.


matematika yang digunakan untuk memecahkan masalah yaitu rumus

keuntungan dan turunan untuk merencanakan meyelesaikan masalah dengan

mencari keuntungan terlebih dahulu, lalu mendapatkan keuntungan yang

optimal dengan menurunkan fungsi keuntungan. Hal ini selaras dengan indikator

ke dua dari kemampuan memecahkan masalah yaitu menyusun rencana

pemecahan masalah.

d. Mahasiswa mencari barang yang diproduksi agar optimal dengan fungsi

keuntungan yang diturunkan kemudian mencari nilai 𝑥 atau berapa unit

barang dan menyimpulkan.



rencana menyelesaikan masalah dari mencari keuntungan terlebih dahulu, lalu


111

mendapatkan keuntungan yang optimal dengan menurunkan fungsi keuntungan

dan menyimpulkan unit barang yang harus diproduksi agar optimal. Hal ini

selaras dengan indikator ke tiga kemampuan memecahkan masalah yaitu

melaksanakan rencana pemecahan masalah.





pemecahan masalah.



berikut:


Ketiga Kelas Uji Coba


112


a. Mahasiswa menuliskan apa yang diketahui yaitu total biaya adalah 1

3𝑥2 +


2𝑥 dan yang ditanyakan yaitu banyak

barang yang harus diproduksi agar memperoleh keuntungan yang optimal.




masalah.

b. Sebelum mahasiswa menuliskan rumus keuntungan yaitu harga jual dikurang

harga beli, mahasiswa menyederhanakan total biaya = 1

3𝑥2 + 20𝑥 + 15 dan

harga jual barang = 30 −1

2𝑥 sehingga memperoleh total biaya = 𝑥2 + 60𝑥 +

45 dan harga jual barang = 60𝑥 − 𝑥2.

c. Mahasiswa mencari keuntungan yaitu harga jual barang dikurang total biaya

sehingga memperoleh −2𝑥2 − 45.

d. Mahasiswa mencari keuntungan maksimum dengan cara menurunkan fungsi

dari keuntungan dan mencari nilai 𝑥 atau berapa unit barang kemudian

menyimpulkan.


konsep matematika yang digunakan untuk memecahkan masalah yaitu rumus



optimal dengan menurunkan fungsi keuntungan. Pada proses b mahasiswa tidak


113

tepat dalam melakukan penyederhanaan Hal ini belum memenuhi indikator ke

dua dari kemampuan memecahkan masalah yaitu menyusun rencana pemecahan

masalah.




D. Analisa Jawaban Hasil Tes Tertulis dan Wawancara Kelas Uji Coba

Berikut disajikan deskripsi jawaban hasil tes tertulis mahasiswa dan

wawancara dengan tiga orang mahasiswa yang diambil berdasarkan tiga kategori

yaitu kategori pertama tinggi, kategori kedua sedang, dan kategori ketiga rendah.

1. Jawaban hasil tes untuk subjek 1


114


115

Gambar 4. 18 Jawaban Hasil Tes Subjek 1 untuk Masalah Pertama


116







Jawaban bagian a:


ℎ(𝑡) = 24𝑡 −3

4𝑡2.






3

2𝑡.










117


masalah.

e. Mahasiswa menggambar grafik tersebut dengan sumbu horizontal sebagai

waktu dan sumbu vertikal sebagai kecepatan.





peluru saat 𝑡 nya sudah dicari. Hal ini selaras dengan indikator ke tiga

kemampuan memecahkan masalah yaitu melaksanakan rencana pemecahan

masalah.





pemecahan masalah.

Jawaban bagian b:








118


















memenuhi 3 indikator kemampuan memechakan masalah menurut Polya (1957),

yaitu (1) memahami masalah, (2) menyusun rencana pemecahan masalah, dan

(3) melaksanakan rencana pemecahan masalah.


119

Gambar 4. 19 Jawaban Hasil Tes Subjek 1 untuk Masalah Kedua


120








masalah.



c. Mahasiswa mencari ketinggian bola saat t=2 dari persamaan bola yang

memperoleh 19,6m.

d. Mahasiswa mencari waktu yang dibutuhkan bola untuk mencapai 14,7m dan

dipilih t=1 lalu mensubtitusikan pada persamaan yang diturunkan dan

diperoleh 9,8𝑚/𝑠.




persamaan bola, lalu mendapatkan t=2 sehingga setengah dari t tersebut akan





121

e. Mahasiswa menyimpulkan bola kehilangan separuh dari kecepatan awalnya

yaitu 9,8𝑚/𝑠 saat t=1 yang disubtutusi pada persamaan yang telah

diturunkan sehingga terbukti bahwa bola akan kehilangan separuh kecepatan

awalnya saat di 14,7m pertama dari kenaikannya.




t=1 dan menjelaskan pernyataan bagaimana bola kehilangan separuh dari

kecepatan awalanya di 14,7m pertama dari kenaikannya. Hal ini selaras dengan

indikator ke tiga kemampuan memecahkan masalah yaitu melaksanakan rencana

pemecahan masalah.





pemecahan masalah.


122

Gambar 4. 20 Jawaban Hasil Tes Subjek 1 untuk Masalah Ketiga


a. Mahasiswa menuliskan apa yang diketahui yaitu x unit barang adalah 1

3𝑥2 +


2𝑥 kemudian harga jual x unit barang

30 −1

2𝑥2 dan yang ditanyakan yaitu banyak barang yang harus diproduksi

agar memperoleh keuntungan yang optimal.




123


masalah.



6𝑥2 − 15.









pemecahan masalah.


keuntungan yang diturunkan kemudian mencari nilai x atau berapa unit










124





pemecahan masalah.

Deskripsi hasil wawancara subjek 1 untuk masalah pertama

Kutipan wawancara:

P : Apa saja yang diketahui pada soal?

S1: Jadi, diketahui sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas yang

dirumuskan dengan ℎ(𝑡) = 24𝑡 −3

4𝑡2

P : Apa saja yang ditanyakan pada soal?

S1: Yang ditanya pada soal yang pertama yang terjadi pada kecepatan

peluru saat t=0 sampai t=16. Lalu yang b itu tentukan tinggi

maksimum yang dapat dicapai peluru dan waktu yang diperlukan.

P : Coba kamu ceritakan kembali maksud dari soal tersebut

menggunakan kata-katamu.

S1: Jadi, kan ada peluru kak yang ditembak vertikal ke atas, nah peluru

yang ditembak ke atas itu dirumuskan dengan fungsi (𝑡) =

24𝑡 −3

4𝑡2 . Lalu yang ditanyakan itu kecepatan peluru saat

ditembakkan ke atas dari waktu 0 sampai dengan waktunya itu 16

detik itu yang pertama, yang kedua tinggi maksimum yang dicapai

oleh peluru itu dan waktu yang diperlukan saat peluru ditembakkan

vertikal ke atas, kaya gitu kak.

P : Bagaimana kamu mencoba mengingat konsep matematika dari

materi yang telah dipelajari sebelumnya saat menyelesaikan

permasalahan?

S1: Kalau aku mengingatnya kak melalui catatan terdahulu

P : Menurutmu konsep matematika apa yang dapat digunakan untuk

menyelesaikan masalah tersebut?

S1: Turunan kak.

P : Jelaskan bagaimana rencanamu untuk menyelesaikan masalah

tersebut!

S1: Jadi langkah awal yang saya rencanakan itu mencari turunan pertama

dari fungsi yang diketahui itu kak, setelah dicari turunan pertamanya

maka akan dicari nilai t nya. Jadi kita harus turunkan, fungsi itu

mencari turunan pertamanya untuk mencari nilai t nya.

P: Bagaimana proses kamu mengimplementasikan rencanamu dalam



125

S1: Kalau soal 1a itu kalau sudah dicari turunan pertamanya maka kita

subtitusikan nilai t nya kak dari 0 sampai dengan 16. Kalau soal 1b

juga sama kak, kita cari turunan pertamanya dulu, setelah dicari

turunan pertamanya, lalu turunan pertamanya kita sama dengankan

dengan 0 untuk mencari nilai t nya. Setelah diperoleh nilai t nya maka

nilai t nya kita subtitusikan ke fungsi yang ada di soal itu kak, fungsi

yang diketahui. Jadi kita subtitusi nilai t nya ke turunan fungsi

turunan yang di soal.

P: Pada soal 1a setelah kamu mensubtitusikan dari t=0 sampai t=16 itu

lalu kamu menggambarkan grafiknya, coba jelaskan ke kakak

bagaimana cara kamu menggambarkan grafik kemudian kesimpulan

dari grafiknya.

S1: Jadi kalau waktunya itu lama maka kecepatannya nda ada kak, namun

sebaliknya kalau waktunya nda ada maka kecepatannya semakin

besar kaya gitu kak semakin meningkat kecepatannya, kecepatannya

semakin besar gitu kak.

P: Coba kaitkan dengan grafiknya

S1: Jadi untuk garis horizontalnya itu waktunya, garis vertikal itu

kecepatannya. Semakin lama waktunya maka kecepatannya tidak ada

atau kecepatannya berkurang. Tapi jika waktunya sedikit maka

kecepatannya semakin cepat gitu kak.

P: Apakah kamu menemukan kendala ketika mengimplementasikan

rencana penyelesaian yang sudah kamu buat? Jelaskan kendala

kamu!

S1: Tidak ada kendala kak waktu itu.

P: Baik dek, kenapa di jawabanmu pada 1a tidak menuliskan

kesimpulan dari gambar grafiknya, karena pertanyaannya selain apa

yang terjadi kecepatan peluru saat t=0 sampai t=16 itu, tetapi juga

diminta untuk jelaskan dan gambarkan grafiknya.

S1: Aku lupa kak waktu itu dan aku juga kerjanya buru-buru, takut

waktunya dah lewat.

P: Apakah kamu melakukan pengecekan kembali hasil pekerjaanmu

dari setiap langkah? Kemudian jelaskan mengapa hal tersebut kamu

lakukan?

S1: Tidak lagi kak, aku gak periksa lagi karena buru-buru kerja soalnya.

P: Apakah kamu mencari alternatif atau cara lain dalam menyelesaikan

masalah tersebut? Jelaskan alasannya!

S1: Tidak juga kak, aku udah gak ad acara lain lagi sih kak.

Deskripsi hasil wawancara:

Berdasarkan hasil wawancara yang dilakukan oleh peneliti kepada

mahasiswa pada masalah pertama di atas dapat dilihat bahwa untuk memecahkan


126

masalah yang diberikan, mahasiswa menjelaskan apa yang diketahui dan

ditanyakan dari permasalahan kemudian menceritakan kembali maksud dari

masalah yang diberikan, hal ini selaras dengan indikator pertama dari

kemampuan memecahkan masalah yaitu memahami masalah. Mahasiswa

menyusun rencana memecahakan masalah dengan mengaitkan konsep

matematika yang akan digunakan untuk menyelesaikan masalah yaitu turunan,

lalu mencari turunan pertama dari fungsi yang diketahui kemudian mencari nilai

t nya, hal ini selaras dengan indiaktor kedua dari kemampuan memecahkan

masalah yaitu menyusun rencana pemecahan masalah. Kemudian mahasiswa

mengimplementasikan rencana memecahkan masalah yaitu pada soal 1a dengan

proses yaitu mencari turunan dari fungsi ℎ(𝑡) = 24𝑡 −3

4𝑡2 kemudian

disubtitusi niali t=0 sampai t=16. Pada soal 1b mahasiswa mencari turunanya

dulu kemudian turunannya sama dengan 0 sehingga memperoleh nilai t nya, lalu

nilai t nya disubtitusikan pada fungsi yang ada pada soal atau fungsi yang

diketahui. Peneliti meminta mahasiswa menjelaskan bagaimana mahasiswa

menggambarkan grafik dan menyimpulkan makna grafiknya. Mahasiswa

menjelaskan untuk garis horizontal itu waktu dan garis vertikal itu kecepatan

pada grafik dan kesimpulannya semakin lama waktunya maka kecepatan tidak

ada atau berkurang tapi jika waktunya sedikit maka kecepatannya semakin cepat.

Dari proses pengimplementasian yang dijelaskan mahasiswa selaras dengan

indikator ketiga kemampuan memecahkan masalah yaitu melaksanakan rencana

pemecahan masalah. Mahasiswa tidak melakukan pengecekan kembali hasil

pekerjaan dari setiap langkah dan tidak mencari alternatife atau cara lain dalam


127

menyelesaikan masalah tersebut, hal ini belum memenuhi indikator ke empat

dari kemampuan memecahkan masalah yaitu memeriksa kembali hasil

pemecahan masalah.

Jadi, dapat disimpulkan berdasarkan hasil wawancara kemampuan

memecahkan masalah mahasiswa pada masalah pertama memenuhi 3 indikator

kemampuan memechakan masalah menurut Polya (1957), yaitu (1) memahami

masalah, (2) menyusun rencana pemecahan masalah, dan (3) melaksanakan


Deskripsi hasil wawancara subjek 1 untuk masalah kedua

Kutipan wawancara:


S1: Jadi, yang diketahui itu terdapat sebuah bola yang dilemparkan ke

atas yang ditanyakan dengan persamaan 𝑠 = 19,6𝑡 − 4,9𝑡2 kak.


S1: Jadi dari soal itu kita akan tunjukkan kalau bola itu kehilangan

separuh dari kecepatan awalnya di 14,7m pertama dari kenaikannya.



S1: Jadi, kan ada bola kak yang dilemparkan ke atas. Nah bola yang

dilemparkan ke atas itu dinyatakan dengan persamaan 𝑠 = 19,6𝑡 −4,9𝑡2 kemudian akan ditunjukkan bola itu akan kehilangan separuh


P: Bagaimana kamu mencoba mengingat konsep matematika dari


permasalahan?

S1: Kalau aku mengingatnya kak melalui baca-baca buku catatan

terdahulu dan referensi.

P: Menurutmu konsep matematika apa yang dapat digunakan untuk


S1: Turunan kak

P: Jelaskan bagaimana rencanamu untuk menyelesaikan masalah

tersebut!

S1: Jadi rencana saya itu, pertama kita harus cari turunan pertama dari

persaaman yang ada pada soal itu, kemudian kita cari nilai t nya.




128

S1: Jadi aku kan pertama mencari turunan pertama dari persamaannya

yang s nya itu terus dari turunan pertamanya itu saya cari t nya.

Setelah diperoleh t nya kemudian t nya saya subtitusikan ke

persamaan awalnya kaya gitu kak. Nah itu untuk mencari tinggi

maksimumnya kak. Kemudian dicari waktu yang dibutuhkan oleh

bola itu untuk mencapai 14,7m itu. Kemudian dari persamaan itu kan

𝑠 = 19,6𝑡 − 4,9𝑡2 nah s nya itu saya subtitusikan dengan 14,7m.

Setelah disubtitusikan saya mencari nilai t nya, nah diperoleh lah t

nya kan kak. Lalu pilih t nya itu yang sama dengan 1 itu. Lalu t=1

disubtitusikan ke turunan pertamanya itu kak.



kamu!

S1: Belum ada kendala kak.



lakukan?

S1: Aku gak periksa lagi kak, karena waktu dan takut jamnya sudah lebih.










lalu mahasiswa mencari turunan pertama dari persamaan pada soal kemudian

mencari nilai t nya, hal ini selaras dengan indiaktor kedua dari kemampuan

memecahkan masalah yaitu menyusun rencana pemecahan masalah. Kemudian

mahasiswa mengimplementasikan rencana memecahkan masalah yaitu mencari


129

turunan dari persamaan s kemudian mencari nilai t. Lalu mahasiswa

mensubtitusikan t ke persamaan awal untuk mencari tinggi maksimum,

selanjutnya mahasiswa mencari waktu yang dibutuhkan bola untuk mencapai

14,7m dengan cara dari persamaan s disubtitusi dengan 14,7m. Setelah itu

diperoleh nilai t=1 lalu mahasiswa subtitusi pada turunannya. Dari proses

pengimplementasian yang dijelaskan mahasiswa selaras dengan indikator ketiga


masalah. Mahasiswa tidak melakukan pengecekan kembali hasil pekerjaan dari

setiap langkah, hal ini belum memenuhi indikator ke empat dari kemampuan

memecahkan masalah yaitu memeriksa kembali hasil pemecahan masalah.


memecahkan masalah mahasiswa pada masalah kedua memenuhi 3 indikator




Deskripsi hasil wawancara subjek 1 untuk masalah ketiga

Kutipan wawancara:


S1: Jadi itu kan diketahui biaya untuk memproduksi barang x itu adalah 1

3𝑥2 + 20𝑥 + 15 , nah jika setiap unit barangnya itu dijual dengan

harga 30 −1

2𝑥.


S1: Keuntungan yang optimal untuk memperoleh keuntungan yang

optimal barang yang harus diproduksi itu berapa.




130

S1: Biaya untuk memproduksi x unit barang itu adalah 1

3𝑥2 + 20𝑥 + 15

nah kalo setiap barangnya itu dijual dengan harga 30 −1

2𝑥 maka

untuk memperoleh keuntungan yang optimal barang yang harus

dibutuhkan itu berapa banyak, kaya gitu kak.



permasalahan?

S1: Kalau aku mengingatnya kak baca buku catatan semester 2 dulu sama

cari referensi di internet.



S1: Turunan kak

P : Apakah hanya turunan saja?

S1: Sama operasi aljabar pada fungsi kak, aritmatika kak harga jual,

keuntungan.


tersebut!

S1: Jadi yang pertama kita harus mencari keuntungannya terlebih dahulu

untuk memperoleh keuntungan yang optimal kak.



S1: Jadi yang pertama harga jualnya itu saya kali dengan unit barangnya

itu kan x lalu harga jualnya itu kan 30 −1

2𝑥 itu saya kali, nah setelah

diperoleh hasilnya terus saya cari keuntungannya. Keuntungannya itu

harga jual dikurangi dengan biaya produksinya, diperolehlah 10𝑥 −5

6𝑥2 − 15. Agar diperoleh keuntungan yang optimal maka saya harus

mencari turunan pertama dari keuntungannya. Untuk memperoleh

keuntungan yang optimal maka turunan pertamanya harus sama

dengan 0 kak. Jadi barang yang harus diproduksi untuk memperoleh

keuntungan yang optimal adalah 6 unit.

P : Apakah kamu menemukan kendala ketika mengimplementasikan


kamu!

S1: Gak ada kak.

P : Apakah kamu melakukan pengecekan kembali hasil pekerjaanmu


lakukan?

S1: Kalau yang ini aku cek kak, karena nomor terakhir kan. Nah aku salah

30 bagi 5 itu aku dipikiranku itu tulis pokoknya aku tulis 15 gitu.

Terus pas aku foto loh kok 30 bagi 5 ini kan bukan 15 ya, makanya

aku ganti kak, 30 bagi 5 itu kan 6, untung aku cek lagi kak karena

salah hitung sih itu.

P : Baik, cara kamu memeriksa kembali proses penyelesaian itu kamu

hanya melihat yang dibagian langkah terakhir 30:5=6, apa itu saja?


131

S1: Iya kak betul, itu saja.



S1: Gak lagi kak.



mahasiswa pada masalah ketiga di atas dapat dilihat bahwa untuk memecahkan






matematika yang akan digunakan untuk menyelesaikan masalah yaitu turunan

dan arimatika menggunakan rumus keuntungan, lalu mahasiswa mencari

keuntungannya terlebih dahulu untuk memperoleh keuntungan yang optimal, hal

ini selaras dengan indiaktor kedua dari kemampuan memecahkan masalah yaitu

menyusun rencana pemecahan masalah. Kemudian mahasiswa

mengimplementasikan rencana memecahkan masalah yaitu harga jual 30 −1

2𝑥

dikali dengan x unit, lalu mahasiswa mencari keuntungan dengan rumus harga

jual dikurangi biaya produksi diperoleh 10𝑥 −5

6𝑥2 − 15. Setelah itu mahasiswa

mencari turunan dari keuntungan, agar keuntungan optimal maka turunannya

sama dengan 0, sehingga mahasiswa memperoleh barang yang diproduksi agar

keuntungan optimal adalah 6 unit. Dari proses pengimplementasian yang

dijelaskan mahasiswa selaras dengan indikator ketiga kemampuan memecahkan


132

masalah yaitu melaksanakan rencana pemecahan masalah. Mahasiswa

melakukan pengecekan kembali hasil pekerjaan yaitu mahasiswa menuliskan

30: 5 = 15 dan memperbaiki menjadi 30: 5 = 6, hal ini selaras dengan indikator

ke empat dari kemampuan memecahkan masalah yaitu memeriksa kembali hasil

pemecahan masalah.


memecahkan masalah mahasiswa pada masalah ketiga memenuhi 4 indikator


masalah, (2) menyusun rencana pemecahan masalah, (3) melaksanakan rencana

pemecahan masalah dan (4) memeriksa kembali hasil pemecahan masalah.

Jadi, berdasarkan hasil deskripsi jawaban hasil tes subjek 1 dan hasil

wawancara di atas, dapatdisimpulkan bahwa kemampuan memecahkan masalah

untuk masalah pertama dan masalah kedua mahasiswa memenuhi 3 indikator

kemampuan memecahkan masalah menurut Polya (1957), yaitu (1) memahami


rencana pemecahan masalah. Sedangkan untuk masalah ketiga mahasiswa

memenuhi 4 indikator kemampuan memecahkan masalah menurut Polya (1957),

yaitu (1) memahami masalah, (2) menyusun rencana pemecahan masalah, (3)

melaksanakan rencana pemecahan masalah dan (4) memeriksa kembali hasil

pemecahan masalah.


133



134



135







Jawaban bagian a:


ℎ(𝑡) = 24𝑡 −3

4𝑡2.






3

2𝑡.

c. Mahasiswa mencari 𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 16 menggunakan fungsi ℎ(𝑡) yang

telah diturunkan tersebut.








136


masalah.

e. Mahasiswa menjelaskan dari grafik yang telah digambar tersebut yaitu

semakin lama tingginya bola makin berkurang dan menggambar grafik

dengan sumbu horizontal sebagai waktu dan sumbu vertikal sebagai

kecepatan.





peluru saat t nya sudah dicari, dan menjelaskan gambar grafik yang telah dibuat.

Hal ini selaras dengan indikator ke tiga kemampuan memecahkan masalah yaitu






pemecahan masalah.

Jawaban bagian b:

a. Mahasiswa menuliskan fungsi ketinggian peluru, kemudian turunan fungsi

tersebut sama dengan nol sehingga memperoleh waktu yang diperlukan 16

detik.


137
























138


139









140


masalah.



c. Mahasiswa mencari ketinggian maksimum bola saat t=2 dari persamaan bola

yang memperoleh 19,6m.

d. Mahasiswa menggambar grafik dan saat 14,7m waktunya 1 detik untuk

menunjukkan bola kehilangan separuh kecepatan awalnya.




persamaan bola, lalu mendapatkan t=2 sehingga memperoleh ketinggian

maksimum 19,6, kemudian menggambar grafik dan setengah dari t tersebut akan




e. Mahasiswa menyimpulkan bola kehilangan separuh dari kecepatan awalnya

yaitu saat ketinggian 14,7m dan waktunya 1 detik yang diperoleh dengan

menggambar grafik dan mencari t nya dengan cara pemfaktoran sehingga

terbukti bahwa bola akan kehilangan separuh kecepatan awalnya saat di

14,7m pertama dari kenaikannya.




141


t=1 dan menggambar grafik kemudian mencari t dengan cara pemfaktoran

sehingga terbukti bola kehilangan separuh dari kecepatan awalanya di 14,7m

pertama dari kenaikannya. Hal ini selaras dengan indikator ke tiga kemampuan






pemecahan masalah.



142



3𝑥2 +


2𝑥 kemudian yang ditanyakan yaitu

banyak barang yang harus diproduksi agar memperoleh keuntungan yang

optimal.




masalah.


produksi, kemudain harga jual 𝑥 unit barang 30 −1

2𝑥2, sehingga

memperoleh 10𝑥 −5

6𝑥2 − 15.









pemecahan masalah.


143



barang sehingga memperoleh 6 unit barang dan menyimpulkan.












pemecahan masalah.


Kutipan wawancara:


S2: Jadi yang diketahui pada soal 1a dan b, itu ada peluru ditembakkan

vertikal ke atas dengan ℎ yaitu ketinggian peluru dalam meter dan 𝑡

merupakan fungsi waktu dalam detik serta dirumuskan dengan

ℎ(𝑡) = 24𝑡 −3

4𝑡2.


S2: Baik kak, untuk soal pada 1a itu apa yang terjadi saat t=0 sampai

t=16. Yang b tinggi maksimum dan waktu yang diperlukan.

P : Apakah 1a hanya itu saja yang ditanyakan?

S2: Serta gambarkan dan jelaskan grafiknya kak.




144

S2: Jadi menurut saya maksud dari soal tersebut adalah ℎ(𝑡) itu sebagai

fungsi yaitu 24𝑡 −3

4𝑡2. Nah disini juga terdapat ℎ itu tinggi peluru

dan 𝑡 itu fungsi waktu perdetik. Disini kan ada soal a, apa yang terjadi

dengan kecepatan saat 𝑡 nya 0 dan t nya sampai dengan 16. Jadi saat

𝑡 nya 0 itu kecepatannya gimana sampai 𝑡 nya sampai dengan 16.

Terus tinggi maksimumnya itu dicari dari ℎ(𝑡) nya itu, kan ℎ(𝑡) nya

itu fungsinya, begitu juga waktu yang diperlukan, kaya gitu kak.



permasalahan?

S2: Menurut say acara mengingatnya itu dengan memahami konsepnya

terlebih dahulu. Nah setelah itu saya melihat contoh-contohnya, saya

coba kerjain contohnya, setelah itu sekiranya pada saat saya

menemukan masalah matematika tersebut salah satunya

berhubungan dengan konsep dan contoh-contohnya itu, nah disitu

baru saya aplikasikan kak.



S2: Konsep matematika aturan-aturan turunan kak.


tersebut!

S2: Jadi untuk permasalahan pertama itu yang a, saya lakukan dengan

menurunkan dulu nilai fungsinya yang ℎ(𝑡) setelah itu saya

masukkan perwaktunya kan tadi 0 sampai 16 jadi saya masukkin dari

0 sampai 16 detik tersebut terus saya dapatkan hasilnya. Untuk yang

b saya turunkan dengan menyamadengankan turunan pertama itu

sama dengan 0. Jadi saya peroleh waktunya berapa, nah setelah itu

saya masukkan kembali persamaan fungsi yang pertama dan saya

dapat tinggi maksimumnya.



S2: Untuk yang a itu kana pa yang terjadi dengan kecepatan saat t=0

sampai t=16. Nah itu kan yang pertama saya lakukan itu ℎ(𝑡) =

24𝑡 −3

4𝑡2 saya turunkan terlebih dahulu, setelah diturunkan t nya itu

diganti dengan 0,1,2 sampai 16. Setelah itu saya dapatkan

kesimpulannya bahwa itu semakin lama waktunya maka semakin

rendah pula kecepatan bola itu. Untuk yang b itu kan tinggi

maksimum dan waktu yang diperlukan, nah setelah saya turunkan

ℎ(𝑡) = 24𝑡 −3

4𝑡2 lalu saya samadengankan dengan 0. Setelah itu

saya mendapatkan waktunya, kemudian waktukan sama dengan 𝑡, 𝑡

nya saya masukkan kepersamaan awal tadi ℎ(𝑡) = 24𝑡 −3

4𝑡2 dan

saya mendapatkan tingginya begitu.


145

P: Pada kesimpulan yang 1a, apakah semakin lama tingginya bola

semakin berkurang? Apakah sesuai dengan soal? Kemudian

bagaimana caramu menggambarkan grafiknya?

S2: Untuk yang 1a itu kan apa yang terjadi dengan kecepatan peluru saat

t=0 sampai t=16, nah dengan kesimpulan yang saya buat tadi

kecepatannya itukan makin turun karena dari turunannya yang

pertama itu saya mendapatkan saat t=0 kecepatannya 24 dan saat

t=16 kecepatannya 0. Saya ambil permisalan 𝑡 nya sumbu 𝑥 dan

kecepatan itu sumbu 𝑦. Jadi apabila waktunya semakin lama maka

kecepatannya semakin menurun.

P: Tapi dikesimpulan kamu menuliskan jadi semakin lama tingginya

bola semakin berkurang, apakah yang ditanyakan bola?

S2: Iya kak saya salah tulis, seharusnya saya tulis peluru malah saya tulis

bola kak.



kamu!

S2: Saya belum menemukan kendala karena apabila saya mengerti

soalnya mengerti masalahnya saya pasti mengerti untuk bagaimana

cara saya untuk menyelesaikannya gitu kak. Kendalanya mungkin

kalo saya ngak mengerti disoalnya baru saya agak bingung gitu.



lakukan?

S2: Saya melakukan pengecekan kembali kak agar saya merasa tenang.

Soalnya kalau saya ngak ngecek kembali saya takut ada yang salah,

tetapi saya ngeceknya kurang teliti sehingga peluru saya tulis dengan

bola gitu kak.

P: Jelaskan bagaimana cara kamu memeriksa kembali proses

penyelesaian yang kamu buat!

S2: Kalau saya melihat dari pertama itu turunannya dulu, udah benar apa

belum seperti itu. Nah lanjut saya cek lagi apakah perhitungan saya

benar, kaya gitu sih kak lebihnya cek diperhitungan kata-katanya

apakah sudah pas atau belum, terus kalau lihat digrafiknya saya

melihat gimana saya menggambar grafiknya itu udah pas dititiknya

atau belum.

P: Apa yang kamu temukan dari proses pemeriksaan kembali?

S2: Sebelum saya tau kalo saya salah tulis yang kakak beritahu tau tadi,

saya periksa lagi bahwa jawaban saya menurut saya sudah tepat,

seperti itu kak.



S2: Kalau saya lihat dari soalnya terus saya mengerti bagaimana

tahapannya dan langkah-langkahnya saya mengerjakan, menurut

saya satu cara saja cukup kak, tapi kalau misalnya ada alternative cara


146

lain itu mungkin untuk nanti buat pemeriksaannya biar nda ada miss

gitu biar nda ada yang salah gitu kak









matematika yang akan digunakan untuk menyelesaikan masalah yaitu aturan-

aturan turunan, lalu mencari turunan dari fungsi ℎ(𝑡) kemudian mencari nilai 𝑡

nya, hal ini selaras dengan indiaktor kedua dari kemampuan memecahkan




4𝑡2 kemudian

disubtitusi nilai t=0 sampai t=16 setelah itu mahasiswa menyimpulkan bahwa

semakin lama waktunya maka semakin rendah pula kecepatan bola. Pada soal

1b mahasiswa mencari turunanya dulu kemudian turunannya sama dengan 0

sehingga memperoleh waktunya, lalu nilai t nya disubtitusikan ke persamaan

awal (𝑡) = 24𝑡 −3

4𝑡2 . Peneliti menanyakan kesimpulan yang telah dibuat

mahasiswa sesuai dengan yang ditanyakan dan bagaimana cara mahasiswa

menggambarkan grafik. Mahasiswa menyadari bahwa kesalahan mahasiswa


147

dalam menuliskan kesimpulan seharusnya yang dituliskan peluru bukan bola.

Mahasiswa menjelaskan menggambarkan grafik kecepatan peluru saat t=0

sampai t=16, nah dengan kesimpulan yang mahasiswa buat tadi kecepatannya

itu semakin turun karena dari turunannya yang pertama itu mahasiswa

mendapatkan saat t=0 kecepatannya 24 dan saat t=16 kecepatannya 0. Kemudian

mahasiswa ambil permisalan 𝑡 nya sumbu 𝑥 dan kecepatan itu sumbu 𝑦. Jadi

apabila waktunya semakin lama maka kecepatannya semakin menurun. Dari

proses pengimplementasian yang dijelaskan mahasiswa selaras dengan


pemecahan masalah. Mahasiswa melakukan pengecekan kembali hasil

pekerjaan karena takut ada yang salah tetapi mengeceknya kurang teliti sehingga

kesimpulan grafiknya seharusnya ditulis peluru tetapi mahsiswa menuliskan

bola. Kemudian mahasiswa memeriksa kembali proses penyelesaian yang dibuat

dengan melihat dari turunannya dulu lanjut memeriksa perhitungan, lalu pada

grafik mahasiswa melihat grafiknya itu sudah tepat dititiknya atau belum.

Mahasiswa menemukan dari proses pemeriksaan kembali sebelum tau ketika

peneliti menanyakan apakah kesimpulan yang dibuat sesuai dengan pertanyaan

mahasiswa yakin bahwa jawabannya sudah tepat. Mahasiswa tidak mencari

alternatife atau cara lain dalam menyelesaikan masalah tersebut karena

mahasiswa melihat dari masalah yang diberikan dan mengerti tahapan langkah

mengerjakan maka menurut mahasiswa satu cara saja sudah cukup, hal ini

selaras dengan indikator keempat dar kemampuan memecahkan masalah yaitu

memeriksa kembali hasil pemecahan masalah.


148





pemecahan masalah, dan (4) memeriksa kembali hasil pemecahan masalah.


Kutipan wawancara:


S2: Jadi yang diketahui dari soal nomor 2 ini adalah bola yang

dilemparkan ke atas dengan persamaan 𝑠 = 19,6𝑡 − 4,9𝑡2.


S2: Jadi yang ditanyakan soal nomor 2 itu adalah tunjukkan bahwa bola

itu kehilangan separuh dari kecepatan awalnya di 14,7m pertama dari

kenaikannya.



S2: Jadi maksud soal tersebut menurut saya adalah ada sebuah bola yang

dilemparkan ke atas dengan fungsi yaitu 𝑠 = 19,6𝑡 − 4,9𝑡2 nah

disini kita diperintahkan untuk tunjukkan bahwa bola itu kehilangan

separuh kecepatan awalnya saat berada di 14,7m pertama dari

kenaikannya.



permasalahan?

S2: Saya mengingatnya dengan cara sama seperti yang tadi kak, saya

pahami dulu habis itu baru saya cari sekiranya mana yang cocok

konsepnya saya terrapin kaya gitu kak.



S2: Aturan-aturan turunan kak.


tersebut!

S2: Untuk soal yang nomor 2 ini hampir sama seperti yang pertama tadi

mungkin kak. Saya turunkan terlebih dahulu baru saya sama

dnegankan 0 dan saya mendapatkan t nya gitu kak.

P : Bagaimana proses kamu mengimplementasikan rencanamu dalam


S2: Jadi kak yang pertama itu saya turunkan dulu lantas saya sama

dengankan 0 dan saya mendapat 𝑡 nya. Nah 𝑡 nya itu sama dengan 2


149

lalu saya subtitusikan ke persamaan yang pertama sehingga saya

mendapat ketinggian yang maksimum. Selanjutnya saya gambar

grafik kak, kan tadi ketinggian maksimumnya dapat berapa terus saya

gambar grafik fungsinya, setelah menggambar grafik fungsi tersebut

saya melihat bahwa 14,7 itu ada pada saat 1 detik pertama dan pada

saat 3 detik gitu kak.

P : Apa artinya grafik saat 14,7m itu berada pada titik yang pertama

kemudian detik yang ketiga?

S2: Artinya saat dia berada pada ketinggian 14,7m itu dia punya dua

kemungkinan yaitu pada detik pertama dan detik kedua, dia punya

nilai ganda gitu kak.

P : Jadi apa kesimpulannya dari yang kamu kerjakan dan makna grafik

tersebut bagaimana? Apakah sudah menjawab pertanyaan?

S2: Jadi kak di jawaban saya sebelumnya karena keterbatasan waktu saya

tidak bisa menjelaskaan secara detailnya yaitu kesimpulannya. Nah

menurut grafik dan hitungan yang telah saya buat jawabannya adalah

bola itu benar-benar kehilangan separuh dari kecepatan awalnya di

14,7m pertama dari kenaikannya gitu kak.



kamu!

S2: Ada kak sedikit kendala yaitu saat memahami soalnya mungkin saya

kurang pemahaman banget disoalnya makanya agak-agak rancu gitu

saat saya mengerjakan, gitu aja sih kak.



lakukan?

S2: Saya cuma ngecek yang pertama aja kak karena yang diterakhir itu

udah benar-benar kehabisan waktu sehingga saya tidak bisa sempat

ngecek lagi



S2: Untuk cara alternatifnya nda akak karena saya pikir cara saya yang

saya gunakan itu sudah tepat sudah sesuai dengan soal dan

pemahaman saya. Jadi saya nda cari cara alternative lain.



mahasiswa pada masalah kedua di atas dapat dilihat bahwa untuk memecahkan




150





aturan turunan, lalu mahasiswa mencari turunan dari persamaan pada soal

kemudian menyamadengankan 0 sehingga mendapat nilai 𝒕 nya, hal ini selaras

dengan indiaktor kedua dari kemampuan memecahkan masalah yaitu menyusun

rencana pemecahan masalah. Kemudian mahasiswa mengimplementasikan

rencana memecahkan masalah yaitu mencari turunan dari persamaan kemudian

menyamadengankan dengan 0 dan mendapatkan nilai t=2. Lalu mahasiswa

mensubtitusikan 𝑡 ke persamaan pertama sehingga mendapatkan ketinggian

maksimum, selanjutnya mahasiswa menggambar grafik fungsi dan menemukan

bahwa 14,7 ada pada saat 1 detik pertama dan pada detik ke 3. Peneliti

menanyakan arti grafik 14,7m berada pada detik yang pertama dan ketiga

sehingga mahasiswa menjelaskan saat berada pada ketinggian tersebut

mempunyai dua kemungkinan atau punya nilai ganda yaitu pada 1 detik pertama

dan pada detik ke 3, lalu karena ketrebatasan waktu saat mengerjakan tes

mahasiswa tidak bisa menjelaskan secara detail kesimpulannya tetapi pada saat

wawancara mahasiswa menjelaskan menurut grafik yang telah digambar dan

perhitungan yang dijawab maka bola benar kehilangan separuh dari kecepatan

awalnya di 14,7m pertama dari kenaikannya. Mahasiswa mengalami kendala

pada masalah kedua ini karena mahasiswa kurang paham denagn soal sehingga

agak rancu dalam mengerjakan. Dari proses pengimplementasian yang


151


masalah yaitu melaksanakan rencana pemecahan masalah. Mahasiswa tidak

melakukan pengecekan kembali hasil pekerjaan karena merasa sudah kehabisan

waktu dan tidak mencari alternative atau cara lain karena mahasiswa berpikir

caranya sudah tepat sesuai dengan soal dan pemahaman mahasiswa, hal ini

belum memenuhi indikator keempat dari kemampuan memecahkan masalah

yaitu memeriksa kembali hasil pemecahan masalah.







Kutipan wawancara:


S2: Jadi yang saya ketahui dari soal nomor 3 adalah biaya produksi 𝑥

barang = 1

3𝑥2 + 20𝑥 + 15 , dan harga jual setiap unitnya yaitu 30 −

1

2𝑥.


S2: Untuk memperoleh keuntungan maksimal berapa barang yang harus

diproduksi.



S2: Apabila biaya produksi 𝑥 barangnya itu 1

3𝑥2 + 20𝑥 + 15 sedangkan

harga jual perunitnya adalah 30 −1

2𝑥. Untuk mendapat keuntungan

yang maksimum kita harus memproduksi berapa banyak barang kak.



permasalahan?


152

S2: Saya memahami soalnya terlebih dahulu, memahami konsep apa

yang sekiranya saya dapat gunakan dalam mengatasi masalah

tersebut kak.



S2: Aturan-aturan turunan kak.

P : Apakah hanya aturan-aturan turunan saja?

S2: Sama memadukan aturan-aturan turunan dengan keuntungan kak.

Jadi kan keuntungan harga jualnya dikurangin sama modalnya kak.


tersebut!

S2: Yang pertama saya lakukan itu adalah saya mencari keuntungannya

dulu kak, kan keuntungan itu harga jual dikurangin harga produksi.

Setelah itu baru keuntungannya itu saya lambangkan dengan 𝑈 itu

saya turunkan lalu saya sama dengankan 0 kak.



S2: Jadi yang saya lakukan itu pertama saya cari dulu keuntungannya,

untungannya itu harga jual dikurangin harga produksi. Itu jadi 30𝑥 −1

2𝑥2 − (

1

3𝑥2 + 20𝑥 + 15) memiliki hasil 10𝑥 −

5

6𝑥2 − 15. Setelah

itu dapat keuntungannya, keuntunggannya itu saya turunkan dan

sama dengankan 0 dan akhirnya saya mendapat x nya itu 6, yaitu unit

barangnya yang harus diproduksi itu 6 agar mendapatkan keuntungan

maksimum.



kamu!

S2: Kalo disoal nomor 3 ini saya belum mendapat kendala.



lakukan?

S2: Saya melakukan pengecekan kembali kak karena saya takut ada

kesalahan dalam hasil hitung saya. Jadi saya coba hitung kembali

gitu.

P : Jelaskan bagaimana cara kamu memeriksa kembali proses


S2: Saya coba hitung lagi apakah saya ada kesalahan hitung atau tidak,

saya lihat kata-kata saya juga apakah ada kesalahan gitu kak.


S2: Jadi saat saya melakukan pengecekan ulang itu, ada miss di jawaban

saya. Saya salah hitung, saya perbaiki disalah hitung ternyata

memang benar dihasil akhirnya itu saya salah hitung, jadi saya

perbaiki kak.

P : Apakah kamu mencari alternatif atau cara lain dalam menyelesaikan



153

S2: Saya nda cari alernatif lain kak, mungkin saya lebih kepada melihat

kembali gimana apakah jawaban saya sudah tepat, apakah hitungan

saya sudah tepat.










aturan turunan dan rumus keuntungan, lalu mahasiswa mencari keuntungannya

terlebih dahulu yaitu harga jual dikurang harga produksi setelah itu keuntungan

diturunkan lalu sama dengankan dengan 0, hal ini selaras dengan indiaktor kedua


masalah. Kemudian mahasiswa mengimplementasikan rencana memecahkan

masalah yaitu dengan mencari keuntungan terlebih dahulu dimana harag jual

dikurang dengan harga produksi lalu diperoleh 10𝑥 −5

6𝑥2 − 15. Setelah itu

mahasiswa mencari turunan dari keuntungan dan turunannya sama dengan 0,

sehingga mahasiswa memperoleh barang yang diproduksi agar keuntungan

maksimum adalah 6 unit. Dari proses pengimplementasian yang dijelaskan

mahasiswa selaras dengan indikator ketiga kemampuan memecahkan masalah

yaitu melaksanakan rencana pemecahan masalah. Mahasiswa melakukan


154

pengecekan kembali hasil pekerjaan karena maahsiswa takut ada kesalahan

dalam hasil perhitungan dan melihat kata-kata jika ada kemungkinan kesalahan.

Saat mahasiswa melakukan pengecekan kembali mahasiswa mengalami miss

jawaban sehingga mahasiswa memperbaiki pada kesalahan hitung di hasil akhir

dan mahasiswa tidak mencari alternative lain karena lebih focus melihat apakah

jawaban dan perhitungan sudah tepat, hal ini selaras dengan indikator ke empat

dari kemampuan memecahkan masalah yaitu memeriksa kembali hasil

pemecahan masalah.








untuk masalah kedua mahasiswa memenuhi 3 indikator kemampuan

memecahkan masalah menurut Polya (1957), yaitu (1) memahami masalah, (2)


pemecahan masalah. Sedangkan untuk masalah pertama dan ketiga mahasiswa

memenuhi 4 indikator kemampuan memecahkan masalah menurut Polya (1957),



pemecahan masalah.


155



156


157



158







Jawaban bagian a:


ℎ(𝑡) = 24𝑡 −3

4𝑡2.




b. Mahasiswa mencari t=0 sampai t=16 untuk mencari ketingian peluru lalu

menggambarkan grafiknya dengan sumbu horizontal sebagai waktu dan

sumbu vertikal sebagai tinggi.

c. Mahasiswa mencari kecepatan saat t=0 sampai t=16 lalu menggambarkan

grafiknya dengan sumbu horizontal sebagai waktu dan sumbu vertikal

sebagai tinggi.

Dari proses pada poin b dan c tersebut mahasiswa menuliskan cara mencari

ketinggian peluru saat t=0 sampai t=16 dan dapat menggambarkan grafiknya.

Hal ini selaras dengan indikator ke dua dari kemampuan memecahkan masalah

yaitu menyusun rencana pemecahan masalah.


159

d. Mahasiswa membuat kesimpulan dari proses mencari t=0 sampai t=16 dan

menggambar grafik bahwa kecepatan peluru semakin banyak waktu berjalan

kecepatan semakin menurun. .







masalah.





pemecahan masalah.

Jawaban bagian b:









160





















161







162




masalah.


tersebut atau kecepatannya sama dengan 14,7, sehingga memperoleh t=0,5

detik.

c. Mahasiswa mencari kecepatan memperoleh 29,4 𝑚/𝑠 lalu mencari kecepatan

awal dengan mensubtitusi 0 pada persamaan yang telah diturunkan.

d. Mahasiswa membuktikan dengan cara kecepatan ssaat 14,7m dibagi dengan

kecepatan awal dan memperoleh 1,5.

e. Mahasiswa membuat kesimpulan bahwa tidak terbukti bahwa saat 14,7m

kecepatannya setengah kecepatan awal.

Dari proses pada poin b, c, d, dan e mahasiswa dapat menuliskan konsep


merencanakan meyelesaikan masalah dengan mencari turunan dari persamaan

bola, lalu mendapatkan t=0,5 detik sehingga kecepatannya diperoleh dengan

rumus jarak dibagi waktu dan memperoleh kecepatan 29,4𝑚/𝑠 lalu mencari

kecepatan awal yaitu 19,6 dan mahasiswa membuktikan dengan cara kecepatan

ssaat 14,7m dibagi dengan kecepatan awal dan memperoleh 1,5 sehingga

mahasiswa menyimpulkan tidak terbukti kehilangan separuh dari kecepatan

awalnya di 14,7m pertama dari kenaikannya. Hal ini belum selaras dengan


163

indikator ke dua dari kemampuan memecahkan masalah yaitu menyusun







164


a. Mahasiswa menuliskan biaya adalah 1

3𝑥2 + 20𝑥 + 15 dan harga jual barang

30 −1

2𝑥 dan yang ditanyakan yaitu banyak barang diproduksi agar untung

maksimal.




masalah.

b. Mahasiswa menuliskan persamaan biaya yaitu 1

3𝑥2 + 20𝑥 + 15 lalu

diturunkan dan disamadengankan 0 sehingga memperoleh 𝑥 = −30.

c. Mahasiswa menuliskan persamaan biaya yaitu 30 −1

2𝑥 lalu diturunkan dan

memperoleh −1

2 .

d. Mahasiswa mencari barang maksimal dengan rumus produksi dibagi harga

yaitu −30

−1

2

dan memperoleh 60 kemudian menyimpulkan jumlah barang yang

harus diproduksi agar keuntungan maksimal adalah 60 buah.



dan untuk merencanakan meyelesaikan masalah dengan mencari turunan dari

persaam biaya dan harga kemudian untuk memperoleh barang yang maksimal

menggunakan rumus produksi dibagi harga sehingga memperoleh jumlah barang

yang harus diproduksi agar keuntu ngan maksimal yaitu 60 buah. Hal ini belum


165

selaras dengan indikator ke dua dari kemampuan memecahkan masalah yaitu






Kutipan wawancara:


S3: Kalau menurut saya yang diketahui dari soal pertama itu yaitu rumus

persamaan tinggi peluru sebagai fungsi waktu. Rumusnya yaitu

ℎ(𝑡) = 24𝑡 −3

4𝑡2.


S3: Untuk pertanyaan yang ditanyakan pada soal 1 bagian a, yang

ditanyakan adalah apa yang terjadi dengan kecepatan peluru pada

saat waktu awal atau t=0 hingga t=16 detik. Kemudian disuruh

menjelaskan dan menggambarkan grafiknya. Lalu pada soal yang b

yang ditanyakan adalah ℎ maksimum atau tinggi maksimum yang

dapat dicapai peluru dan waktu yang diperlukan untuk mencapai

tinggi maksimum tadi.



S3: Baik kak, menurut saya soal 1a itu apa yang terjadi dengan kecepatan

peluru saat t=0 sampai t=16 itu disuruh menganalisa bagaimana

kondisi kecepatan peluru saat waktu awal peluru ditembakkan

sampai t=16. Nah disini itu disuruh menjelaskan bagaimana kondisi

kecepatan peluru tersebut, kondisinya itu bisa aja kecepatannya itu

melambat atau kecepatannya itu jadi semakin cepat seperti itu. Nanti

ketika sudah diketahui kecepatannya dari hasil subtitusi t=0 sampai

t=1 ke dalam rumus persamaan yang diketahui diawal tadi ℎ(𝑡) =

24𝑡 −3

4𝑡2 itu nanti ketemu tingginya sama ketemu waktunya yang

udah diketahui dan tingginya juga, tinngi itu kan sama dengan jarak

yang ditempuh peluru sehingga nanti diketahuilah kecepatannya,

sehingga kecepatannya nanti dapat dianalisa dia semakin tambah

cepat atau tambah lambat. Setelah itu barulah digambarkan

grafiknya. Kemudian kalo soal 1b menurut saya disoal ini mahasiswa

disuruh mencari tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru dan

waktu untuk mencapai tinggi maksimum tersebut. Tinggi maksimum

sendiri dapat dicapai ketika 𝑣 = 0 karena peluru kalo ditembakkan


166

ke atas itu kan dapat pengaruh dari gaya gravitasi kan kak sehingga

dia dapat mencapai tinggi maksimum ketika 𝑣 = 0. Maka dari itu

nanti ketemulah tinggi maksimumnya dan waktu yang diperlukan.



permasalahan?

S3: Kalau menurut saya cara mengingatnya itu biasanya itu tiba-tiba

keluar dipikiran aja gitu sih kak. Contohnya waktu baca soal dan

setelah itu coba untuk menyelesaikan soalnya kan dan sebelum

menyelesaikannya itu kan ada kaya bagian yang disuruh menuliskan

bagian yang diketahui itu apa aja. Dari yang diketahui itu kan udah

kaya keliatan gitu, oh ini pakai konsep misal soal yang a pakai rumus

yang b, kaya gitu. Biasanya otomatis aja gitu kak. Secara tidak

langsung bagaimana cara bisa ngingatnya itu karena terbiasa ngerjain

dan hasil dari analisa soal dari yang ditulis diketahui itu sehingga

nanti bisa otomatis ingat konsep yang dulu-dulu gitu kak.



S3: Pakai konsep jarak, kecepatan, sama waktu yang digunakan untuk

menempuh jarak itu kak.

P : Apakah konsep matematika yang digunakan untuk menyelesaikan

masalah hanya itu saja?

S3: Menurut saya ada satu konsep lagi kak, karena didalam soal itu kaya

ada bentuk fungsinya sehingga soal itu pakai konsep fungsi sama

turunan fungsi


tersebut!

S3: Kalau untuk nomor 1 bagian a saya menggunakan konsep kecepatan

yaitu jarak disbanding waktu sedangkan untuk bagian b itu kan

mencari titik maksimum jadi saya menggunakan turunan fungsi dari

fungsi ℎ(𝑡). P: Bagaimana proses kamu mengimplementasikan rencanamu dalam


S3: Untuk yang 1a saya akan mencari kecepatannya dengan cara

membandingkan jarak dari peluru itu dibanding dengan waktu

ditempuhnya. Tapi sebelumnya saya akan mencari jaraknya dulu

yaitu dengan cara mensubtitusikan nilai 𝑡 atau waktunya kedalam

fungsi ℎ(𝑡) sehingga setelah ditemukan nilai dari ℎ(𝑡) dan t nya baru

itu nanti dihitung kecepatannnya. Lalu setelah kecepatannya itu

ketemu maka baru bisa digambar grafiknya. Grafik kecepatan dari

t=0 sampai t=16. Atau untuk nomor 1 itu bisa menggunakan rumus

dari turunan pertama fungsi ℎ(𝑡). Karena turunan pertama fungsi

ℎ(𝑡) itu nanti akan sama dengan kecepatan dari peluru itu tadi. Untuk

yang 1b langkah pertamanya adalah menurunkan fungsi ℎ(𝑡)

sehingga diperoleh ℎ′(𝑡), ℎ′(𝑡) itu sama dengan kecepatan, nah

untuk mencari titik maksimum ketika peluru ditembakkan ke atas


167

kecepatannya ketika sudah mencapai titik maksimum nantikan akan

sama dnegan 0 sehingga ℎ′(𝑡) atau kecepatan tadi ditulis dengan

persamaan sama dengan 0. Sehingga ditemukan waktu yang

diperoleh itu 16 detik. Dari waktu 16 detik itu nanti akan mendapat

tinggi maksimum caranya dengan mensubtitusikan nilai t=16 ke

dalam fungsi ℎ(𝑡) sehinggga diperoleh tinggi maksimum itu 192

meter.

P : Bisa kamu simpulkan makna dari grafik 1a, karena disini kamu

menuliskan jadi kecepatannya semakin banyak waktu berjalan

kecepatan semakin menurun, coba diperjelas kembali maksud dari

kesimpulan grafik tersebut. kemudian grafik dari mencari turunan

pertama itu apakah grafiknya kecepatannya itu di 24 kemudian t nya

itu 16 gambarnya seperti itu? Kenapa grafiknya seperti melayang

dibagian kecepatannya itu tidak pas di waktunya itu.

S3: Kalau dari lembar kerja saya inikan untuk t=0 panjang lintasannya

juga 0, t=1 panjang lintasannya 23,25 dan seterusnya sampai t=16

panjang lintasannya menjadi 192, semakin waktunya bertambah lama

lintasannya semakin panjang kak. Kemudian dari diketahui waktu

dan panjang lintasan atau jarak tadi ketika dihitung kecepatannya

ternyata semakin waktunya bertambah kecepatannya semakin

menurun sehingga dari hasil itu dapat disimpulkan bahwa ketika

waktunya bertambah banyak atau semkain lama waktunya kecepatan

dari peluru itu tadi semakin menurun seperti itu kak. Kemudian untuk

gambar grafik kedua saya membuat dengan t=0 sampai t=16 dicari

dengan t=0 dari persamaan yang diturunkan lalu 𝑡 nya diganti dengan

0 kemudian untuk t=1 sampai t=16 saya mencari dengan rumus jarak

dibagi waktu atau ketinggian dibagi waktu sehingga saya peroleh

seperti itu lalu saya menggambar grafiknya 𝑡 nya 16 dan

kecepatannya saat 𝑣 = 24.

P : Lalu mengapa gambarnya titiknya di atas 17?

S3: Saya salah lihat kak, karena saya mencari kecepatannya yang bawah

t=9 jadi saya lihat 17,25 seharusnya 10,125 kak.



kamu!

S3: Saya belum menemukan kendala karena apabila saya mengerti

soalnya mengerti masalahnya saya pasti mengerti untuk bagaimana

cara saya untuk menyelesaikannya gitu kak. Kendalanya mungkin

kalo saya ngak mengerti disoalnya baru saya agak bingung gitu.



lakukan?

S3: Saya setelah menyelesaikan pekerjaan itu saya cek kembali karena

waktunya masih ada sisa, alasan saya cek kembali untuk memastikan

perhitungannya tepat atau masih ada yang salah gitu kak.


168



S3: Kalau nomor 1 itu saya cek bagian yang diketahui terlebih dahulu,

kan ada rumusnya kak. Rumusnya udah bener gitu nda udah bener

kaya soal kalau udah saya lanjut ke penyelesaiannya,

penyelesaiannya kan banyak subtitusi waktu ke rumusnya itu terus

saya cek satu-satu itu udah benar apa belum cek subtitusinya. Saya

coret-coret hitung dikertas coretan hitungannya udah benar apa

belum kalau udah setelah itu saya cek lagi bagian kesimpulannya

terus grafiknya sama pastiin udah pakai konsep yang benar apa belum

gitu kak.

P : Apa yang kamu temukan dari proses pemeriksaan kembali?

S3: Kalau dari pengecekan itu saya nemuin konsep yang lain gitu kak

contohnya itu kaya bagian b nyari nilai maksimum, kalau dilihat dari

kecepatan itu kan nyarinya bisa dari 𝑠

𝑡 sedangkan ternyata kalau pakai

itu kurang tepat akhirnya pakai turunan dari fungsi yang diketahui

itu. Terus kalau untuk bagian 1a atau cek semuanya nah ditemuin itu

kaya udah yakin gitu perhitungan ku udah benar kok kaya gitu.



S3: Waktu ngerjain kemarin itu kan awalnya saya udah mau cari pakai

yang turunan kak terus agak lupa konsepnya itu gimna, akhirnya

pakai yang cara manual pakai jarak per waktu tapi teruskan saya

kerjain dulu, tapi kok agak ragu-ragu akhirnya ditengah-tengah

ngerjain itu keinget sama konsep turunan kalau turunan pertama itu

bisa diapaki itu akhirnya saya ganti pakai konsep yang turunannya

kaya gitu sih kak. Alasannya karena lebih tepat kalau menurut saya,

tapi karena materinya tentang fungsi akhirnya saya pakai yang

turunan kaya gitu kak.










169

matematika yang akan digunakan untuk menyelesaikan masalah yaitu konsep

jarak, kecepatan, waktu yang digunakan untuk menempuh jarak dan turunan

fungsi, lalu mahasiswa menjawab bagian 1a menggunakan konsep kecepatan

yaitu jarak dibanding waktu sedangkan bagian 1b menggunakan turunan fungsi

dari fungsi ℎ(𝑡) untuk mencari titik maksimum, hal ini selaras dengan indiaktor

kedua dari kemampuan memecahkan masalah yaitu menyusun rencana

pemecahan masalah. Kemudian mahasiswa mengimplementasikan rencana

memecahkan masalah yaitu pada soal 1a dengan proses yaitu mencari kecepatan

dengan membandingkan jarak dari peluru dibanding dengan waktu tempuhnya,

tetapi sebelumnya mahasiswa mencari jarak terlebih dahulu dengan cara

mensubtitusi nilai t atau waktunya ke dalam fungsi ℎ(𝑡) sehingga setelah

ditemukan nilai ℎ(𝑡) dan 𝑡 nya kemudian dihitung kecepatannya. Mahasiswa

menggambarkan grafik kecepatan t=0 sampai t=16 dan mahasiswa juga

menggambar grafik dari turunan persamaan fungsi ℎ(𝑡). Sedangkan 1b

mahasiswa menurunkan fungsi ℎ(𝑡) sehingga memperoleh ℎ′(𝑡) yang sama

dengan kecepatan kemudian disamadengakan dengan 0 sehingga diperoleh

waktu 16 detik. Dari waktu tersebut mahasiswa mendapat tinggi maksimum

dengan cara mensubtitusi niali t=16 ke dalam fungsi ℎ(𝑡) sehingga diperoleh

tinggi maksimum 192 meter. Peneliti menanyakan kesimpulan grafik pertama

yaitu ketika waktunya bertambah banyak atau semkain lama waktunya

kecepatan dari peluru itu tadi semakin menurun dan penjelasan grafik kedua

kepada mahasiswa yaitu mahasiswa salah dalam mennetukan titik pada

grafiknya seharusnya 𝑣 yang dilihat mahasiswa adalah saat t=24 tetapi


170

mahasiswa menuliskan t=9 karena mahasiswa menuliskan kecepatannya dari

bawah ke atas sehingga tidak teliti. Dari proses pengimplementasian yang



melakukan pengecekan kembali hasil pekerjaan karena waktunya masih ada dan

alasan mengecek kembali untuk memastikan perhitungannya tepat. Mahasiswa

mengecek langkah dari penyelesaian dengan memeriksa bagian diketahui, lalu

bagian penyelesaian karena banyak subtitusi waktu ke persamaan maka cek satu-

satu sudah benar atau belum subtitusinya kemudian mahasiswa menghitung

kembali perhitungannya serta bagian kesimpulan dan grafik dipastikan sudah

menggunakan konsep yang benar. Mahasiswa menemukan konsep yang lain

ketika melakukan pengecekan hasil pekerjaan yaitu pada bagian b karena

mahasiswa mencari nilai maksimum dari kecepatan menggunakan 𝑠

𝑡 ternayata

kurang tepat menurut mahasiswa lalu memilih menggunakan turunan dari fungsi

yang diketahui, hal ini selaras dengan indikator ke empat dari kemampuan








171


Kutipan wawancara:


S3: Yang diketahui dari soal nomor 2 persamaan s atau jarak yaitu 𝑠 =19,6𝑡 − 4,9𝑡2.


S3: Yang ditanyakan pada soal nomor 2 adalah buktikan bahwa nilai 𝑣

akan sama dengan 𝑣0 saat jaraknya 14,7m.

P : V itu apa dan 𝑣0 itu apa, coba lebih dijelaskan apa yang ditanyakan

tersebut.

S3: Pada soal nomor 2 tunjukkan bahwa bola itu kehilangan separuh dari

kecepatan awalnya di 14,7m dari kenaikannya. Artinya disuruh

menunjukkan bahwa pada saat kenaikan atau jarak bola itu 14,7m

dari titik awal kecepatan bola itu setengah dari kecepatan awalnya.



S3: Jadi kalau menurut saya kan itu kan persoalan tentang bola yang

dilemparkan ke atas pastikan pada awal dilemparkan ada

kecepatannya. Maksud dari soal nomor 2 ini disini itu disuruh

menunjukkan bahwa ketika bola itu mencapai 14,7m pertama

kenaikannya dari titik awal tadi bola itu akan kehilangan separuh dari

kecepatan awal bola dilemparkan, jadi secara tidak langsung ini itu

artinya disuruh menunjukkan bahwa saat bola itu sudah mencapai

jarak 14,7m jarak dari titik awal bola itu tadi. 𝑣 dari 14,7m itu tadi

akan sama dengan setengah dari 𝑣0 atau setengah kecepatan awal.



permasalahan?

S3: Kalau menurut saya cara mengingatnya itu biasanya itu tiba-tiba

keluar dipikiran aja gitu sih kak. Contohnya waktu baca soal dan

setelah itu coba untuk menyelesaikan soalnya kan dan sebelum

menyelesaikannya itu kan ada kaya bagian yang disuruh menuliskan

bagian yang diketahui itu apa aja. Dari yang diketahui itu kan udah

kaya keliatan gitu, oh ini pakai konsep apa.



S3: Konsep turunan fungsi kak.


tersebut!

S3: Kalau rencana saya itu disitu kan diketahui persamaannya kan kak,

itu diturunkan dulu kak habis itu disubtitusiin nilai 𝑠’ nya itu yang

14,7m. nanti ketemu waktunya, habis ketemu waktunya dicari

kecepatan pada saat jaraknya 14,7m, habis ketemu kecepatan pada


172

saat 14,7m lalu cari kecepatan awalnya. Habis itu baru dicarilah

perbandingannya kaya gitu kak.



S3: Jadi untuk menyelesaikannya itu awalnya kan mencari 𝑣 pada saat

14,7m sama mencari 𝑣 awalnya kemudian nanti diabndingkan. Untuk

langkah yang pertama itu kan persamaan 𝑠 = 19,6𝑡 − 4,9𝑡2

diturunkan sehingga diperoleh 𝑠′ = 19,6 − 9,8𝑡. Kemudian 𝑠′ =14,7𝑚 disubtitusikan ke dalam persamaan 𝑠′ tadi untuk mencari

waktu yang diperlukan untuk mencapai ketinggian 14,7m. sehingga

diperolehlah waktu yang diperlukannya itu 0,5 detik, setelah itu udah

ketemu jaraknya itu dicarilah kecepatan pada saat ketinggiannya

14,7m pakai rumus 𝑣 =𝑠

𝑡 ketemulah kecepatan pada saat mencapai

ketinggian 14,7m itu sama dengn 29,4 𝑚/𝑠. Habis ketemu kecepatan

untuk mencapai 14,7m itu mencari kecepatan awalnya, karena

disuruh menunjukkan bahwa 𝑣 pada ketinggian 14,7m itu sama

dengan setengah dari 𝑣0 nya. Setelah itu kan mencari kecepatan awal,

kecepatan awal itu kan berati waktunya sama dengan 0 sehingga t=0

atau waktunya sama dengan 0 detik itu disubtitusikan ke persamaan

𝑠′ = 19,6 − 9,8𝑡 sehingga diperoleh 𝑠′(0) = 19,6. Sehingga

diperoleh 𝑠′ ketika waktunya 0 detik atau pada saat awal sama dengan

19,6. Kemudian dibandingkan 𝑣 pada saat 14,7 dan 𝑣 awalnya

sehingga diperoleh 1,5 berati perbandingannya itu nda ada

setengahnya kak jadi tidak terbukti bahwa 𝑣 pada saat ketinggian

14,7m itu sama dengan setengah dari 𝑣 awalnya.

P : Mengapa turunan tersebut disama dengankan dengan 14,7m?

S3: Karena waktu yang akan dicari adalah waktu pada saat bola mencapai

tinggi 14,7m kak.



kamu!

S3: Ada kendala kak, lupa konsepnya. Jadi nyoba-nyoba kira-kira pakai

rumus apa gitu kak.



lakukan?

S3: Iya melakukan pengecekan, cuma konsepnya tidak kak dicek lagi,

jadi ngecek cuma perhitungannya.



S3: Memeriksa kembali udah benar perhitungannya kak. Cuma dicek

perhitungannya aja.




173

S3: Kemarin itu sempat mau pakai konsep kecepatan yang jarak banding

waktu cuma kan gara-gara itu ada 𝑠′. Tapi belum paham juga

konsepnya sedangkan waktunya mau habis ya udah pakai itu aja.










turunan fungsi, lalu mahasiswa mencari turunan dari persamaan pada soal

kemudian disubtitusikan nilai 𝑠′ = 14,7𝑚, sehingga menemukan waktunya

untuk mencari kecepatan pada saat jarak 14,7m dan kecepatan awalnya,

kemudian mencari perbandingan. Hal ini belum selaras dengan indiaktor kedua



masalah yaitu mencari 𝑣 saat 14,7m dan mencari 𝑣 awalnya kemudian

dibandingkan lalu dari persamaan s mahasiswa menurunkan persamaan tersebut

sehingga diperoleh 𝑠′ = 19,6 − 9,8𝑡 emudian 𝑠′ = 14,7𝑚 disubtitusikan ke

dalam persamaan 𝑠′ diperoleh waktu yang diperlukan 0,5 detik. Mahasiswa

mencari kecepartan dengan menggunakan rumus 𝑣 =𝑠

𝑡 diperoleh kecepatannya

29,4 𝑚/𝑠 lalu mencari kecepatan awal t=0 disubtitusikan ke persamaan 𝑠′ =


174

19,6 − 9,8𝑡 sehingga diperoleh 𝑠′(0) = 19,6. Mahasiswa membagi 𝑣 pada saat

14,7 dan 𝑣 awalnya sehingga diperoleh 1,5 dan menyimpulkan tidak terbukti

bahwa 𝑣 pada saat ketinggian 14,7m itu sama dengan setengah dari 𝑣 awalnya.

Dari proses pengimplementasian yang dijelaskan mahasiswa belum memenuhi



pekerjaan hanya perhitungannya tetapi konsepnya tidak dicek dan mahasiswa

ingin memakai konsep kecepatan jarak banding waktu tetapi mahasiswa

menggunakan 𝑠′, hal ini selaras dengan indikator ke empat dari kemampuan





masalah dan (4) memeriksa kembali hasil pemecahan masalah.


Kutipan wawancara:


S3: Perumusan biayanya itu fungsinya itu 1

3𝑥2 + 20𝑥 + 15 , terus fungsi

harga barangnya 30 −1

2𝑥.


S3: Yang ditanyakan berapa barang yang diproduksi agar untungnya

maksimum.



S3: Biaya untuk memproduksi 𝑥 unit barang itu adalah 1

3𝑥2 + 20𝑥 + 15

terus jika setiap barangnya itu dijual dengan harga 30 −1

2𝑥 maka

untuk memperoleh keuntungan yang optimal barang yang harus

dibutuhkan itu berapa banyak, kaya gitu kak.


175



permasalahan?

S3: Kalau ini itu seharusnya pakai konsep persamaan dua variabel, dia

kaya program linier seingatku tapi aku lupa kak konsepnya.



S3: Turunan kak.


tersebut!

S3: Jadi pakai konsep turunankan kak jadi dua persamaannya tadi itu

diturunkan terus banyaknya produksi dibagi harganya nanti ketemu

barangnya.



S3: Jadi persamaan biayanyakan 1

3𝑥2 + 20𝑥 + 15 terus diturunkan

persamaan itu jadinya 2

3𝑥 + 20 . Kalau biaya produksi sama dengan

0 lalu barangnya dapat -30. Teruskan persamaan yang kedua

diturunkan kan kak ketemunya −1

2 jadi barang maksimal biaya

produksi dibagi biaya jual. Jadi menemukan 60 unit begitu.



kamu!

S3: Iya kak, kendalanya nda tau mau pakai konsep apa kak, waktunya

juga mepet terus pakai rumus itu kak.



lakukan?

S3: Iya kak cuma cek hitungan, konsepnya tetap lupa kak.



S3: Jadi cocokin soal dengan jawabannya dari yang diketahui itu apa aja

yang ditanyain itu apa aja habis itu ngoreksi perhitungannya benar

apa belum gitu kak.


S3: Kalau misal hasil dari pemeriksaannya itu yang dituliskan sesuai

dengan soal dan sesuai dengan yang ditanyakan.



S3: Tidak kak, udah mepet waktunya.


176









matematika yang akan digunakan untuk menyelesaikan masalah yaitu turunan

lalu mahasiswa mencari turunan dari dua persamaan kemudian banyaknya

produksi dibagi harga untuk menemukan barangnya yang maksimal, hal ini

belum memnuhi indiaktor kedua dari kemampuan memecahkan masalah yaitu

menyusun rencana pemecahan masalah. Kemudian mahasiswa

mengimplementasikan rencana memecahkan masalah yaitu persamaan biaya

1

3𝑥2 + 20𝑥 + 15 diturunkan lalu disamadengankan 0 diperoleh barangnya -30.

Mahasiswa mencari turunan dari persamaan yang kedua diperoleh −1

2, lalu

mahasiswa mencari barang maksimal dengan rumus produksi dibagi harga

sehingga diperoleh 60 buah. Dari proses pengimplementasian yang dijelaskan

mahasiswa belum memenuhi indikator ketiga kemampuan memecahkan


melakukan pengecekan kembali hasil pekerjaan yaitu dengan mengecek

perhitungan dengan mecocokkan soal dan jawaban dari yang diketahui dan

ditanyakan tetapi konsepnya tidak kemudian mahasiswa tidak mencari


177

alternative atau cara lain dalam menyelesaikan masalah karena waktunya sudah

tidak sempat, hal ini selaras dengan indikator keempat dari kemampuan








untuk masalah pertama mahasiswa memenuhi 4 indikator kemampuan


menyusun rencana pemecahan masalah, (3) melaksanakan rencana pemecahan

masalah, dan (4) memeriksa kembali hasil pemecahan masalah. Sedangkan

untuk masalah kedua dan masalah ketiga mahasiswa memenuhi 2 indikator



E. Deskripsi Proses Perencanaan untuk Kelas Penelitian

Pada penelitian ini, peneliti merancang lintasan belajar untuk membelajarkan

materi turunan pada mahasiswa semester II Program Studi Pendidikan

Matematika Universitas Sanata Dharma yang berisikan tentang langkah-langkah

pembelajaran dan bentuk topangan yang diberikan peneliti. Rancangan lintasan

belajar ini disusun dengan tujuan akhir adalah mahasiswa dapat memecahkan


178

masalah yang berkaitan dengan turunan menggunakan model pembelajaran

berbasis masalah dengan strategi flipped classroom. Peneliti mengadakan

pembelajaran dengan 6 jam pelajaran untuk 3 kali pertemuan yaitu 2 pertemuan

pembelajaran dan 1 pertemuan tes hasil belajar yang semua dilaksanakan dengan

sistem daring melalui google classroom dan WhatsApp Group. Berikut adalah

penjelasan untuk pembelajaran tiga pertemuan.

1.Rancangan Lintasan Belajar Pertemuan 1 untuk Kelas Penelitian


maupun mahasiswa pada pertemuan pertama adalah sebagai berikut.



b. Dosen mengunggah bahan bacaan yaitu sifat-sifat limit dan mahasiswa

diminta untuk mengakses pada google classroom dan membaca sifat-sifat

limit terlebih dahulu untuk mengingatkan kembali terkait limit. Berikut

bahan bacaan yang dibuat oleh peneliti:


179

Misalkan 𝑛 bilangan bulat positif, 𝑘 adalah konstanta, serta 𝑓 dan 𝑔 adalah

fungsi-fungsi yang mempunyai limit di 𝑎. Maka

1.lim𝑥→𝑎

𝑘 = 𝑘;

2. lim𝑥→𝑎

𝑥 = 𝑎;

3. lim𝑥→𝑎


𝑓(𝑥);

4. lim𝑥→𝑎



𝑔(𝑥);

5. lim𝑥→𝑎



𝑔(𝑥);

6. lim𝑥→𝑎



𝑔(𝑥);

7. lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) jika lim

𝑥→𝑎𝑔(𝑥) ≠ 0;

8. lim𝑥→𝑎


𝑓(𝑥)]𝑛

;

9. lim𝑥→𝑎



𝑥→𝑎𝑓(𝑥) > 0 jika 𝑛 genap.

c. Dosen memberikan lembar kerja (LK) Aturan-Aturan Turunan dan

mahasiswa diminta untuk mengerjakan dan mengirimkan berupa foto atau

scan dokumen di forum pada google classroom yang dilaksanakan tanggal

27 April 2020. LK yang diberikan sebagai berikut:






(𝑘𝑓)′(𝑥) = 𝑘. 𝑓′(𝑥)


180


𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)


𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥)


(𝑓. 𝑔)′(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥)


(𝑓

𝑔)

′(𝑥) =


(𝑔(𝑥))2

d. Dosen memberikan tugas yaitu terkait aturan-aturan turunan yang telah

dikerjakan mahasiswa agar dicocokkan dengan video pembelajaran yang

diunggah pada forum di google classroom dan masing-masing mahasiswa

diminta untuk membuat 1 pertanyaan terkait video aturan-aturan turunan

tersebut. Batas untuk menonton dan memberikan pertanyaan yaitu





pembelajaran flipped classroom, yaitu fase 0 (Mahasiswa menonton video

berisi materi pembelajaran di rumah yang telah dibuat oleh dosen).

2. Rancangan Lintasan Belajar Pertemuan 2 untuk Kelas Penelitian

Pada kegiatan pembelajaran pertemuan kedua kelas penelitian berbeda

dengan kelas uji coba, perbedaannya yaitu jika pada akhir pembelajaran

belum ditutup dengan kesimpulan maka mahasiswa ditugaskan untuk

membuat resume perkuliahan dari yang telah dipelajari. Kegiatan


181

pembelajaran yang direncanakan untuk dilakukan peneliti maupun

mahasiswa pada pertemuan kedua adalah sebagai berikut.



b. Dosen dan mahasiswa mendiskusikan turunan pada forum di google

classroom.

c. Dosen memberikan lembar kerja (LK) 3 masalah aturan-aturan turunan

dan mahasiswa diminta bersama teman sekelompoknya mendiskusikan

untuk memecahkan masalah tersebut dalam 16 kelompok WhatsApp

Group kecil yang sudah dibagi dan dosen memberikan pendampingan

kepada semua kelompok. Masalah yang diberikan sebagai berikut:

d. Dosen meminta 1 kelompok untuk menyimpulkan apa yang telah

dipelajari. Jika pada akhir pembelajaran belum ditutup dengan kesimpulan

maka peneliti memberikan tugas kepada mahasiswa untuk membuat















182

resume perkuliahan dari yang telah dipelajari. Kemudian dosen

menyampaikan agenda pertemuan selanjutnya.




pembelajaran flipped classroom, yaitu fase 1 (Dosen membentuk beberapa

kelompok kecil pada saat pembelajaran di kelas) dan fase 2 (Menerapkan

kemampuan mahasiswa dalam proyek dan simulasi lain di dalam kelas) yang

diaplikasikan dengan sintaks model pembelajaran berbasis masalah.

3. Rancangan Lintasan Belajar Pertemuan 3 untuk Kelas Penelitian


maupun mahasiswa pada pertemuan ketiga adalah sebagai berikut.



b. Dosen memberikan tes aturan-aturan turunan lembar kerja (LK) 3 masalah

Aturan-Aturan Turunan dan mahasiswa diminta untuk mengerjakan dan

mengirimkan berupa foto atau scan dokumen di forum pada google

classroom yang dilaksanakan tanggal 4 Mei 2020. tes yang diberikan

sebagai berikut:





4𝑡2.



yang diperlukan!


183

c. Setelah selesai mengerjakan tes dan tersisa waktu 10 menit, dosen






pembelajaran flipped classroom, yaitu fase 3 (Mengukur pemahaman

mahasiswa yang dilakukan di kelas pada akhir materi pelajaran).

F. Deskripsi Proses Pembelajaran Kelas Penelitian

Proses pembelajaran dianalisis dan dideskripsikan berdasarkan kegiatan atau

usaha yang dilakukan oleh peneliti berdasarkan langkah-langkah strategi

pembelajaran flipped classroom yaitu Fase 0 (Siswa menonton video berisi

materi pembelajaran di rumah yang telah dibuat oleh guru.), Fase 1 (Guru

membentuk beberapa kelompok kecil pada saat pembelajaran di kelas), Fase 2

(Menerapkan kemampuan siswa dalam proyek dan simulasi lain di dalam kelas),




3𝑥2 + 20𝑥 +


2𝑥, untuk




184

dan Fase 3 (Mengukur pemahaman siswa yang dilakukan di kelas pada akhir

materi pelajaran).

1. Pembelajaran pertemuan pertama di kelas penelitian

Pada pertemuan pertama ini, peneliti memberikan lembar kerja dan

memberikan tugas kepada mahasiswa menonton video pembelajaran yang

telah dibuat oleh peneliti dan mahasiswa diminta untuk mengajukan

pertanyaan terkait video pembelajaran.

Lembar Kerja Aturan-aturan Turunan:

Buktikan teorema-teorema berikut:





(𝑘𝑓)′(𝑥) = 𝑘. 𝑓′(𝑥)


𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)


𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥)

7. Jika 𝑓 dan 𝑔 fungsi-fungsi yang dapat terdiferensialkan maka (𝑓. 𝑔)′(𝑥) =

𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥)

8. Jika 𝑓 dan 𝑔 fungsi-fungsi yang dapat terdiferensialkan maka (𝑓

𝑔)

′(𝑥) =


(𝑔(𝑥))2

Peneliti memberikan lembar kerja aturan-aturan turunan setelah

mahasiswa membaca sifat-sifat limit. Lembar kerja aturan-aturan turunan

diberikan pada pertemuan pertama dan pemilihan hasil jawaban mahasiswa


185

berdasarkan kelompok jawaban yang sama. Berikut deskripsi hasil jawaban

kelompok mahasiswa dalam mengerjakan proses pembuktian dari kedelapan

teorema di atas:

1) Deskripsi hasil jawaban mahasiswa dari pembuktian teorema pertama:




Teorema Pertama






mensubstitusikan rumus fungsi 𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑘 dan 𝑓(𝑥) = 𝑘 ke dalam


𝑘−𝑘

ℎ ,


186



0 = 0. Jadi, dari proses yang dilakukan oleh


2) Deskripsi hasil jawaban mahasiswa dari pembuktian teorema kedua:




Kedua






mensubstitusikan rumus fungsi 𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑥 + ℎ dan 𝑓(𝑥) = 𝑥 ke dalam


𝑥+ℎ−𝑥

ℎ ,



187


ℎ

ℎ= 1. Jadi, dari proses yang dilakukan oleh


3) Deskripsi hasil jawaban mahasiswa dari pembuktian teorema ketiga:

a) Cara pertama yang dibuat oleh mahasiswa untuk membuktikan teorema

ketiga dan ada 34 mahasiswa dari 47 mahasiswa yang menuliskan

proses pembuktiannya sebagai berikut:


Ketiga Cara Pertama







188



𝑙𝑖𝑚ℎ→0


ℎ , (c) mahasiswa menuliskan ekspansi binomial dari bentuk


limℎ→0




mengurangkan suku 𝑥𝑛 dengan suku negative 𝑥𝑛 dan ℎ difaktorkan

sehingga memperoleh hasil 𝑓′(𝑥) =

limℎ→0


2𝑥𝑛−2ℎ+. . . +𝑛𝑥ℎ𝑛−2+ℎ𝑛−1]

ℎ, (e) kemudian mahasiswa

menarik nilai limitnya dan diperoleh hasil bahwa 𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1 . Jadi,

dari proses yang dilakukan oleh mahasiswa, mahasiswa dapat


b) Cara kedua yang dibuat oleh mahasiswa untuk membuktikan teorema

ketiga dan ada 4 mahasiswa dari 47 mahasiswa yang menuliskan proses



189

Gambar 4. 30 Jawaban Mahasiswa Pembuktian Teorema Ketiga

Cara Kedua








𝑙𝑖𝑚ℎ→0


ℎ , (c) mahasiswa menuliskan deret Binomium Newton dari


190

bentuk (𝑥 + ℎ)𝑛 yaitu 𝑓′(𝑥) = limℎ→0

∑ 𝐶(𝑛,𝑟)𝑥𝑛−𝑟𝑏𝑟𝑛𝑥=0

ℎ kemudian

menjabarkan menjadi 𝑓′(𝑥) =

limℎ→0

𝐶(𝑛,0)𝑥𝑛−0ℎ0+𝐶(𝑛,1)𝑥𝑛−1ℎ+𝐶(𝑛,2)𝑥𝑛−2ℎ2+...+𝐶(𝑛,𝑛)𝑥𝑛−𝑛ℎ𝑛−𝑥𝑛

ℎ, (d)

Mahasiswa menggunakan kombinasi sehingga memperoleh 𝑓′(𝑥) =

limℎ→0

𝑥𝑛+𝑛.𝑥𝑛−1ℎ+𝑛!

2(𝑛−2)!𝑥𝑛−2ℎ2+...+ℎ𝑛−𝑥𝑛

ℎ, (e) lalu mahasiswa mengurangkan

suku 𝑥𝑛 dengan suku negative 𝑥𝑛 sehingga memperoleh hasil 𝑓′(𝑥) =

limℎ→0

(𝑛𝑥𝑛−1

ℎℎ +

𝑛!

2(𝑛−2)!𝑥𝑛−2ℎ+ . . . +ℎ𝑛−1), dan (e) kemudian mahasiswa

menarik nilai limitnya dan diperoleh hasil bahwa 𝑛. 𝑥𝑛−1 + 0 +

0 = 𝑛𝑥𝑛−1. Jadi, dari proses yang dilakukan oleh mahasiswa, mahasiswa

dapat membuktikan bahwa teorema 3 berlaku.

4) Deskripsi hasil jawaban mahasiswa dari pembuktian teorema keempat




191


Keempat



𝑘. 𝑓(𝑥) dan definisi turunan dari 𝐹(𝑥), yaitu 𝐹′(𝑥) = limℎ→0


ℎ, (b)

setelah itu, mahasiswa mensubstitusikan rumus fungsi 𝐹(𝑥 + ℎ) =

𝑘. 𝑓(𝑥 + ℎ) dan 𝐹(𝑥) = 𝑘. 𝑓(𝑥) ke dalam definisi tersebut, sehingga

mereka memperoleh hasil 𝐹′(𝑥) = limℎ→0

𝑘.𝑓(𝑥+ℎ)−𝑘.𝑓(𝑥)

ℎ, (c) mahasiswa

menggunakan sifat distributife sehingga menuliskan bentuk limit 𝐹′(𝑥) =

limℎ→0

𝑘𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ , (d) kemudian mahasiswa menarik nilai limitnya dan


192

diperoleh hasil bahwa 𝐹′(𝑥) = 𝑘. 𝑓′(𝑥). Jadi, dari proses yang dilakukan

oleh mahasiswa, mahasiswa dapat membuktikan bahwa teorema 4 berlaku.

5) Deskripsi hasil jawaban mahasiswa dari pembuktian teorema kelima




Kelima



𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) dan definisi turunan dari 𝐹(𝑥), yaitu 𝐹′(𝑥) =

limℎ→0



𝐹(𝑥 + ℎ) = 𝑓(𝑥 + ℎ) + 𝑔(𝑥 + ℎ) dan 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) ke dalam



193


[𝑓(𝑥+ℎ)+𝑔(𝑥+ℎ)]−[𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)]


distributife sehingga menuliskan bentuk limit 𝐹′(𝑥) = [limℎ→0


ℎ+


ℎ], (d) lalu mahasiswa menuliskan sifat limit jumlahan dari



ℎ+ lim

ℎ→0


ℎ,


𝐹′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥) Jadi, dari proses yang dilakukan oleh mahasiswa,


6) Deskripsi hasil jawaban mahasiswa dari pembuktian teorema keenam




Keenam


194



𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) dan definisi turunan dari 𝐹(𝑥), yaitu 𝐹′(𝑥) =

limℎ→0



𝐹(𝑥 + ℎ) = 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥 + ℎ) dan 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) ke dalam



[𝑓(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥+ℎ)]−[𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)]



(𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ−


ℎ), (d) lalu mahasiswa menuliskan sifat limit pengurangan dari



ℎ− lim

ℎ→0


ℎ,


𝐹′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥) Jadi, dari proses yang dilakukan oleh mahasiswa,


7) Deskripsi hasil jawaban mahasiswa dari pembuktian teorema ketujuh




195


Teorema Ketujuh




196

𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) dan definisi turunan dari 𝐹(𝑥), yaitu 𝐹′(𝑥) = limℎ→0


ℎ,

(b) setelah itu, mahasiswa mensubstitusikan rumus fungsi 𝐹(𝑥 + ℎ) =

𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥 + ℎ) dan 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) ke dalam definisi tersebut,

sehingga mereka memperoleh hasil 𝐹′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚ℎ→0


ℎ, (c)

Mahasiswa melakukan pemisahan fungsi-fungsi 𝑓 dan 𝑔 yaitu dengan

menjumlahkan dan mengurangkan suku 𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥) pada pembilang,

maka bentuk limit tersebut dituliskan 𝐹′(𝑥) =

limℎ→0


ℎ dan disederhanakan


[𝑓(𝑥 + ℎ).𝑔(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥)

ℎ+ 𝑔(𝑥)


ℎ], (d) lalu

mahasiswa menuliskan sifat limit perkalian dari bentuk limit tersebut




ℎ+

limℎ→0

𝑔(𝑥) . limℎ→0


ℎ= 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑓 ′(𝑥), (e) kemudian


𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥) Jadi, dari proses yang dilakukan oleh mahasiswa,


8) Deskripsi hasil jawaban mahasiswa dari pembuktian teorema kedelapan




197


Kedelapan

Dari gambar 4.35, dapat dituliskan proses yang dibuat oleh mahasiswa adalah

sebagai berikut: (a) mahasiswa menuliskan permisalan 𝐹(𝑥) =𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)dan

definisi turunan dari 𝐹(𝑥), yaitu 𝐹′(𝑥) = limℎ→0


ℎ, (b) setelah itu,

mahasiswa mensubstitusikan rumus fungsi 𝐹(𝑥 + ℎ) =𝑓(𝑥+ℎ)

𝑔(𝑥+ℎ) dan 𝐹(𝑥) =

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) ke dalam definisi tersebut, sehingga mereka memperoleh hasil


𝑓(𝑥+ℎ)

𝑔(𝑥+ℎ)−

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

ℎ lalu menyamakan penyebut menjadi


𝑔(𝑥)𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)𝑔(𝑥+ℎ)

ℎ.

1

𝑔(𝑥)𝑔(𝑥+ℎ), (c) Mahasiswa melakukan

pemisahan fungsi-fungsi 𝑓 dan 𝑔 yaitu dengan menjumlahkan dan


198

mengurangkan suku 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) pada pembilang, maka bentuk limit tersebut

dituliskan 𝐹′(𝑥) = limℎ→0

[𝑔(𝑥)𝑓(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥)𝑓(𝑥)+𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔(𝑥+ℎ)

ℎ.

1

𝑔(𝑥)𝑔(𝑥+ℎ)],

(d) lalu mahasiswa menuliskan factor yang sama dari bentuk limit tersebut

agar dikeluarkan menjadi 𝐹′(𝑥) = limℎ→0

{[𝑔(𝑥)𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ−

𝑓(𝑥)𝑔(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥)

ℎ]

1

𝑔(𝑥)𝑔(𝑥+ℎ)} , (e) kemudian mahasiswa menarik nilai

limitnya dan diperoleh hasil bahwa 𝐹′(𝑥) =𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)

(𝑔(𝑥))2. Jadi, dari

proses yang dilakukan oleh mahasiswa, mahasiswa dapat membuktikan

bahwa teorema 8 berlaku.

a. Fase 0 (Mahasiswa menonton video berisi materi pembelajaran di rumah

yang telah dibuat oleh dosen).

Setelah mahasiswa selesai membuktikan kedelapan teorema tersebut dan

mengumpulkan hasil pembuktiannya, mahasiswa diminta menonton video

pembelajaran yang telah dibuat oleh peneliti yang berisi penjelasan tentang

bagaimana cara membuktikan kedelapan teorema tersebut. Setelah menonton

video, peneliti memberikan kesempatan kepada mahasiswa untuk

mengajukan pertanyaan terkait video pembelajaran tersebut.


199

Gambar 4. 36 Video Pembelajaran Aturan-aturan Turunan Kelas

Penelitian

Ada beberapa pertanyaan yang ditanyakan oleh mahasiswa. Berikut

rincian pertanyaan dari mahasiswa beserta dengan respon yang diberikan

peneliti untuk menjawab pertanyaan tersebut:

1) M1: Untuk pembuktian teo 6 apakah bisa menggunakan teorema yg

sebelumnya sudah dibuktikan yaitu teo 5? seperti ini 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) −𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) + (−1)𝑔(𝑥) 𝐹′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) + (−1)𝑔′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥) Terimakasih

P: Iya, tentu saja bisa dek.

2) M2: Untuk pembuktiannya, semisal pake 𝑑𝑦

𝑑𝑥, bisa tidak ya kak?

P: Iya bisa dek karena turunan itu disimbolkan juga dengan 𝑑𝑦

𝑑𝑥 artinya

turunan dari fungsi 𝑦 terhadap variabel 𝑥 . Tetapi didalam video kakak

menyimbolkan turunan fungsi dengan 𝑓′ agar konsisten dalam simbolnya,

kemudian notasi 𝑑𝑦

𝑑𝑥biasa disebut dengan notasi Leibniz.


200

3) M3: Untuk aturan hasil bagi, mengapa perlu ditambahkan pengurangan

dan penjumlahan bentuk 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)?

P: Dalam aturan hasil bagi perlu menjumlahkan dan mengurangkan

dengan 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) karena akan memisahkan fungsi 𝑓 dan 𝑔.

4) M4: Dibagian aturan hasil kali, kenapa yang menjadi pemisah 𝑓(𝑥) dan

𝑔(𝑥) itu yang dipakai 𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥) dan pada aturan hasil bagi yang

dipakai 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)? Apakah ada bentuk lainnya?

P: Pada aturan hasil kali yang menjadi pemisah fungsi 𝑓 dan 𝑔 itu

dengan menjumlahkan dan mengurangkan 𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥) pada

pembilang, kemudian aturan hasil bagi yang menjadi pemisah fungsi

𝑓 dan 𝑔 dengan menjumlahkan dan mengurangkan 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) pada

pembilang. Menjumlahkan dan mengurangkan dengan suku pada

pembilang tersebut dilakukan karena total jumlahnya adalah 0, artinya

setiap bentuk jika dijumlahkan dengan 0 akan sama persis dengan bentuk

sebelumnya. Jadi bentuk limit yang memisahkan fungsi 𝑓 dan 𝑔 tersebut

sama dengan bentuk limit sebelumnya.

5) M5: Kak, aku masih bingung di bagian pembuktian akhir aturan

pembagian, kenapa 𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥 + ℎ) = 𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥) sehingga diperoleh

𝑔(𝑥)^2. Disisilain gimana cara memunculkan idenya ketika pembagian

menggunakan 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)?

P: 𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥 + ℎ) = 𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥) karena 𝑓 dan 𝑔 merupakan fungsi yang

terdiferensialkan maka untuk fungsi yang terdiferensialkan otomatis 𝑔

merupakan fungsi kontinu, untuk sembarang fungsi kontinu maka nilai

limitnya bisa ditentukan dengan subtitusi. Kita subtitusi 𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥 + ℎ)

diperoleh 𝑔(𝑥), begitupun halnya dengan 𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥).

6) M6: Kak mau tanya mengapa untuk mencari setiap turunan, selalu

menggunakan limit h mendekati 0 ?

P: ℎ mendekati 0 artinya kita ingin mencari nilai di suatu titik, dimana

rentang perubahannya kita tarik menuju 0, ditambahkan limit lalu ℎ nya

menuju 0, sehingga perubahannya mendekati 0.

7) M7: Kak masih bingung untuk yang hasil bagi .. itu bagian yang tiba tiba

ada [−𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥)] itu caranya gimana ya bisa

memunculkan itu? Trus apakah bisa langkah yang bagian itu diskip

langsung ke langkah selanjutnya?

P: Pada bagian aturan hasil kali dan aturan hasil bagi bagian tersebut

muncul karena akan memisahkan fungsi-fungsi 𝑓 dan 𝑔, dengan caranya

yaitu menjumlahkan dengan 0 yang diperoleh dengan menjumlahkan dan

mengurangkan suku-suku pada pembilang dengan 𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥) untuk

aturan hasil kali dan 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) untuk aturan hasil bagi. Kemudian jika

langkah tersebut diskip maka yang terjadi kita tidak dapat menyelesaikan


201

bentuk limit tersebut, karena nanti tidak akan sampai kepada tujuan yaitu

membuktikan aturan hasil kali maupun hasil bagi.

8) M8: Kak mengapa 𝑓(𝑥 + ℎ) pada fungsi konstan sama dengan 𝑓(𝑥)

yaitu 𝑘? Kenapa ga beda variabel? Apa pasti sama sehingga diberi

variabel yg sama.

P: Jika 𝑓(𝑥) = 𝑘 maka 𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑘 juga, karena fungsinya adalah

fungsi konstan artinya pada fungsi tersebut berapapun diberikan nilai 𝑥

nya maka akan tetap yaitu berupa konstanta.

9) M9: kak saya mau bertanya, kak kenapa bisa terjadi kalau hubungan

percepatan dan kecepatan dalam kehidupan sehari hari itu termasuk

kedalam turunan kak? selain kecepatan dan percepatan apakah ada contoh

lain kak? soallnya masih bingung dalam penerapan turunan dalam

kehidupan sehari-hari. kebanyakan aplikasi turunan hanya berupa soal

angka yang kemudian diselesaikan dengan rumus yang tersedia kak, jadi

belum paham penerapan turunan dalam kehidupan sehari-harinya itu

bagaimana. terima kasih kak.

P: Kecepatan menjadi salah satu fenomena karena turunan itu konsep

yang mempelajari mengenai perubahan. Kecepatan itu sendiri dimana

suatu benda bergerak jika mengalami perubahan posisi dengan rentang

waktu tertentu yang artinya ada perubahan karena pergerakan. Turunan

dapat diaplikasan ke dalam berbagai masalah dalam kehidupan sehari-

hari, salah satunya adalah dengan cara memaksimumkan dan

meminimmumkan suatu fungsi, di bidang ekonomi kita melihat

fenomenanya dulu kemudian menerapkan turunan misalnya ketika

seorang pedagang yang ingin mendapatkan keuntungan besar, yaitu

dengan menghitung kombinasiantara besar keuntungan dengan biaya

pembelian dan penjualan. Selain itu,penggunaan turunan juga dapat

diaplikasikan untuk mengetahui biaya produksi sekecil-kecilnya

(minimum). Lalu pada bidang biologi, turunan dapat mengukur laju

pertumbuhan organisme.

10) M10: Kak saya mau tanya kenapa untuk membuktikan semua aturan selalu

memisalkan dengan nama aturannya? Misal kaya aturan perkalian nanti

yang di misalkan perkalian, begitu juga pembagian dll. Saya masih

bingung kenapa idenya seperti itu.

P: Selalu dimisalkan untuk membuktikan beberapa aturan turunan

dengan nama aturannya agar permisalan tersebut disesuaikan dengan

tujuan pembuktian yang akan dilakukan.

11) M11: kak saya mau bertanya mengenai teorema yang terakhir bagaimana

memunculkan idenya kak? terima kasih.

P: Pada aturan yang terakhir tersebut atau aturan hasil bagi idenya yaitu

dengan memisahkan fungsi-fungsi 𝑓 𝑑𝑎𝑛 𝑔 seperti pada pembuktian

aturan penjumlahan, caranya yaitu menjumlahkan dengan 0 yang


202

diperoleh dengan menjumlahkan dan mengurangkan suku-suku pada

pembilang dengan 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥). Menjumlahkan dan mengurangkan dengan

suku pada pembilang tersebut dilakukan karena total jumlahnya adalah 0,

artinya setiap bentuk jika dijumlahkan dengan 0 akan sama persis dengan

bentuk sebelumnya. Jadi bentuk limit yang memisahkan fungsi 𝑓 dan 𝑔

tersebut sama dengan bentuk limit sebelumnya. Sehingga kita dapat

menyelesaikan bentuk limit tersebut dan dapat membuktikan aturan hasil

bagi.

12) M12: Kak saya mau tanya terkait teorema yang operasi pembagian dan

perkalian, masi bingung alur ide nya Makasih.

P: Pada aturan tersebut idenya yaitu dengan memisahkan fungsi-fungsi

𝑓 dan 𝑔 seperti pada pembuktian aturan penjumlahan, caranya yaitu

menjumlahkan dengan 0 yang diperoleh dengan menjumlahkan dan

mengurangkan suku-suku pada pembilang dengan 𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥) untuk

aturan hasil kali dan 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) untuk aturan hasil bagi. Menjumlahkan

dan mengurangkan dengan suku pada pembilang tersebut dilakukan

karena total jumlahnya adalah 0, artinya setiap bentuk jika dijumlahkan

dengan 0 akan sama persis dengan bentuk sebelumnya. Jadi bentuk limit

yang memisahkan fungsi 𝑓 dan 𝑔 tersebut sama dengan bentuk limit

sebelumnya. Sehingga kita dapat menyelesaikan bentuk limit tersebut dan

dapat membuktikan aturan hasil kali maupun aturan hasil bagi.

13) M13: kak, saya masih bingung dibagian auran fungsi konstan. kalau saya

tidak salah dengar kakak mengatakan 𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑘 nah saya masih

bingung dibagian ini, kenapa 𝑓(𝑥 + ℎ) bisa menjadi 𝑘?

P: Pada aturan fungsi konstan dari bentuk 𝑓(𝑥) = 𝑘 maka untuk 𝑓(𝑥 +ℎ) = 𝑘 juga, karena pada fungsi tersebut berapapun diberikan nilai 𝑥 nya

maka akan sama dengan 𝑘 (konstanta).

14) M14: Kak, saya mau bertanya mengenai pembuktian teorema terakhir

yang turunan pembagian 2 fungsi. dari yang awalnya terdapat 1

𝑔(𝑥).𝑔(𝑥+ℎ)

sampai didapatkan menjadi (𝑔(𝑥))^2 itu bagaimana ya kak? Terima

kasih kak:))

P: Pada aturan hasil bagi muncul 𝑔(𝑥)^2 karena 𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥 + ℎ) = 𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥) karena 𝑓 dan 𝑔 merupakan fungsi yang terdiferensialkan maka

untuk fungsi yang terdiferensialkan otomatis 𝑔 merupakan fungsi

kontinu, untuk sembarang fungsi kontinu maka nilai limitnya bisa

ditentukan dengan subtitusi. Kita subtitusi 𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥 + ℎ) diperoleh 𝑔(𝑥),

begitupun halnya dengan 𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥). Sehingga diperoleh kuadrat dari

𝑔(𝑥).

15) M15: Kak saya ingin bertanya, yang aturan fungsi identitas untuk limit

mendekati 0 dari ℎ

ℎ itu hasilnya kan 1, nah itu kenapa kok ℎ nya tidak

disubtitusikan dengan 0 kak? Terimakasih kak.


203

P: Pada aturan fungsi identitas di pembuktian bentuk limit ℎ mendekati

0 tidak disubtitusi ℎ nya langsung. Karena bentuk limit tersebut hanya

mendekati 0, jadi ketika ℎ

ℎ maka dibagi menjadi sama dengan 1, sebab ℎ

mendekati 0 bukan sama dengan 0 tetapi mendekati 0.

16) M16: Apakah dengan menggunakan limit fungsi dapat membuktikan

turunan semua fungsi kak? Terima kasih.

P: Iya dek, dengan menggunakan limit fungsi dapat membuktikan

turunan semua fungsi..

Berdasarkan video pembelajaran yang diupload oleh peneliti dan beberapa

pertanyaan yang diajukan oleh mahasiswa maka kesimpulan proses

pembelajaran adalah mahasiswa menanyakan untuk bagian fenomena turunan

yaitu mengapa terjadi hubungan kecepatan dan percepatan dalam kehidupan

sehari-hari yang termasuk kedalam turunan kemudian contoh lainnya dari

turunan selain kecepatan dan percepatan. Pada bagian definisi turunan

mahasiswa menanyakan mengapa untuk mnecari setiap turunan selalu

menggunakan limit ℎ mendekati 0 dan apakah dengan menggunakan limit

fungsi dapat membuktikan turunan semua fungsi. Kemudian pada bagain

pembuktian teorema aturan-aturan turunan mahasiswa menanyakan pada

pembuktian teorema 6 apakah bisa menggunkaan teorema yang sebelumnya

sudah dibuktikan yaitu teorema 5, menggunakan 𝑑𝑦

𝑑𝑥 untuk pembuktian

aturan-aturan turunan, mengapa perlu ditambahkan pengurangan dan

penjumlahan bentuk 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) pada aturan hasil bagi, mengapa pada aturan

hasil kali yang menjadi pemisah 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) menggunakan 𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥)

dan pada aturan hasil bagi yang dipakai 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥), mengapa pada bagian

pembuktian akhir aturan pembagian 𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥 + ℎ) = 𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥) sehingga


204

diperoleh 𝑔(𝑥)2 lalu cara memunculkan idenya ketika pembagian

menggunakan 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥), pada aturan hasil bagi bagian [−𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥) +

𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥)] cara memunculkannya seperti apa, mengapa 𝑓(𝑥 + ℎ) pada

fungsi konstan sama dengan 𝑓(𝑥) yaitu 𝑘, mengapa membuktikan semua

aturan selalu memisalkan dengan nama aturannya, bagaimana memunculkan

ide mengenai teorema hasil bagi, bagaimana alur ide teorema operasi

pembagian dan perkalian, mengapa pada aturan fungsi konstan 𝑓(𝑥 + ℎ) =

𝑘, bagaimana pada pembuktian teorema terakhir terdapat 1

𝑔(𝑥).𝑔(𝑥+ℎ) sampai

didapatkan menjadi 𝑔(𝑥)2, dan pada fungsi identitas untuk limit mendekati 0

dari ℎ

ℎ hasilnya 1 mengapa ℎ nya tidak disubtitusikan dengan 0.


pertama ini kegiatan yang dilakukan oleh peneliti berdasarkan langkah-

langkah strategi pembelajaran flipped classroom, yaitu fase 0 (Mahasiswa

menonton video berisi materi pembelajaran di rumah yang telah dibuat oleh

dosen). Sebelum menonton video pembelajaran mahasiswa diminta untuk

membuktikan teorema-teorema aturan-aturan turunan dengan membaca sifat-

sifat limit terlebih dahulu untuk mengingatkan kembali terkait limit. Tujuan

diberikan bahan bacaan sifat-sifat limit tersebut adalah untuk membantu

mahasiswa dalam membuktikan teorema-teorma aturan-aturan turunan.

Kemudian dosen menggungah video pembelajaran aturan-aturan turunan dan

mahasiswa mengajukan pertanyaan terkait video pembelajaran tersebut.


205

2. Pembelajaran pertemuan kedua di kelas penelitian

a. Aktivitas Pertama

Pada pertemuan kedua ini, peneliti dan mahasiswa sama-sama

berdiskusi tentang turunan diawal pembelajaran. Berikut transkrip diskusi

peneliti dan mahasiswa:

P: Menurut kalian apa hubungan nilai turunan di satu titik dengan

gradien garis singgung di titik tersebut? Silakan berpendapat.

M1: Hubungannya yaitu sama kak, jadi nilai turunan disatu titik itu

sama dengan gradien garis singgung di titik tersebut.

M2: Menurut saya, hubungannya adalah untuk menentukan selang di

mana fungsinya naik atau turun.

M3: Gradien dari 𝑓(𝑥) sama dengan nilai turunannya jadi 𝑓′(𝑥) = 𝑚.

M4: Dari def turunan, 𝑓′(𝑥) pada sebuah titik merupakan nilai gradien

yg menyinggung titik tersebut.

M5: Nilai 𝑦 dari gradien (𝑚) pada sebuah titik tertentu ini merupakan

nilai dari 𝑓′(𝑥) dimana 𝑓′(𝑥) adalah turunan pertama dari 𝑓(𝑥)

yang akan diturunkan nantinya.

P: Baik, selanjutnya, Apa yang terjadi dengan gradien garis

singgung di sembarang titik ketika 𝑓 fungsi naik dan 𝑓 fungsi

turun?

M6: Ketika fungsinya naik gradiennya lebih dari 0, dan ketika turun

gradiennya kurang dari 0.

M7: Jika fungsi naik maka gradien bernilai positif dan jika fungsi

turun gradien bernilai negative.

M8: Gradien garis singgungnya bisa bernilai positif dan negatif kak?

P: Apabila 𝑓 fungsi naik maka gradien garis singgungnya positif dan

𝑓 fungsi turun maka gradien garis singgungnya negative.

P: Pertanyaan selanjutnya: 1. Jika suatu fungsi memiliki turunan

berubah dari naik kemudian turun maka 𝑓 memiliki nilai yang

seperti apa? 2. Jika suatu fungsi memiliki turunan berubah dari

turun kemudian naik maka 𝑓 memiliki nilai yang seperti apa?

M9:: Jika turunan berubah daru naik kemudian turun nilainya dari

positif kemudian negatif atau nilainya positif dan negatif kak?

M10: 1. Maksimum 2 minimum


206

Berdasarkan diskusi diawal pembelajaran antara peneliti dan

mahasiswa maka kesimpulan proses yang dilakukan yaitu karena

mahasiswa telah mempelajari gradien garis singgung suatu kurva pada titik

tertentu maka mahasiswa dapat mengkaitkannya dengan turunan. Tujuan

diskusi pada awal pembelajaran agar mahasiswa memahami definisi

turunan disuatu titik tertentu dan bagaimana kaitanya dengan fungsi naik

dan turun, sehingga mengingatkan mahasiswa agar dapat membantu dalam

memecahkan permasalahan yang akan diberikan.

b. Aktivitas Kedua

Peneliti memberikan lembar kerja masalah aturan-aturan turunan dan

mempersilakan mahasiswa untuk berdiskusi dengan teman kelompok yang

peneliti sudah bagi kedalam 16 kelompok WhatsApp Group kecil sehari

sebelum pertemuan kedua dimulai agar mengurangi waktu agar tidak

terlalu lama memakan waktu dan semua kelompok sudah siap dalam

diskusi serta peneliti memberikan pendampingan kepada semua

kelompok. Masalah yang diberikan sebagai berikut:











207

Berikut salah satu diskusi kelompok dan pendampingan dari peneliti

dalam memecahkan masalah yang diberikan:

M1: Ini kita diskusi disini bukannya?

P: Iya silakan diskusi disini

M2: nomor 2 itu, berarti kita /persamaannya sekali aja kan?

M3: no 1 aku udah nyoba

M4: Sekali

t=3 ga din? terus h= 45?

M5: iyapss sama

M6: nomor 2 gimance?

M7: iya mungkin

terus disubtitusi in

M8: itu dimasuk masukkin gitu 0,1,2,3,4,5?

M9: ayo coba

M10: Iyaaaa

Hasilnya berapa

M11: oh gitu ya kak, brti itu diturunin fungsinya habis itu

disubstitusikan t=0-5??

M12: Okeeeeee

waktu t=2 hasilnya minus?

M13: Klo soalnya gtu, gk cuma ini dong? Gmna dengan 0,1 0,2 0,3 dll?

Gini gk sih?

t=0 sampe 5 kn

M14: eh iya ya

M15: iya -3 je

M16: eh bentar

kok bener

ku kira turunan gini2 cuma semua bil bulat loh

M17: itu berarti kecepatannya menurun?

M18: tapi habis itu naik lagi

M19: Berarti hrafiknya berupa titik-titik di bil bulat?

M20: aku sih ngiranya begitu vin

gapi bener juga loh yang 0,.....

M21: Coba 𝑦 = 𝑥² klo klo di turunin jd apa

M22: 2𝑥






208

M23: Jd fungsi linear to?

M24: Iya

M25: Nah berarti turunan fungsi bukan cuma him bil bulat

M26: ini gaada nilai efisiensi apa gimana gitu? kayak prolin..

sebenernya titionya banyak tapi kita nyari yang di ujung2 aja😭

M27: Mentok tnya kakaknya coba

M28: kakak ini gimana ya kak😭

M29: tapi bentar

aku punya pendapa

M30: Gmna”

M31: eh nggak jadi deng😂

M32: Healah

M33: ini bukan nyari keceoatan maksimum

wkwk

M34: Masa iya kita subtitusi satu", akan ada banyk bgt, karna smestanya

bil real

P: melihat pergerakan partikel saat t=0 sampai t=5

Coba digambarkan grafik fungsinya

M35: Turun naik dong?

M36: kak mensubstitusikannya itu bilangan bulat saja atau bilangan real

juga termasuk?

M37: naik turun

M38: Turun naik ya grafiknya

Orng bntuknya aja 𝑥²

M39: Kok naik turun?

M40: turun naik

M41: berarti kecepatannya turun naik?

gitu?

lha nilai nya🤔

M42: Bisa juga si,

Soalnya carilah kecepatan

Kecepatannya turun naik 🤔

Dh nomer 3 dlu

Weh ada yg nulis sapa tau di kumpulin

M43: Bentar

kalo bola di lempar vertikal

kecepatan bisa minus ya:")

M44: Emm bisaa

M45: itu nanti modelannya kyk gmn hmm

M46: Saat dia turun akn jd -

M47: Tulis aja nomer 1 yg mudah

Di ketahui

Ditnya

Jawab

M48: maksudnya itu kecepatannya menurun -3?

M49: Kesimpulan


209

M50: yaa oke aku tulis

M51: Iyaaa bahkn itu jd kecepatan minimum

Klo dri grafikku

M52: paham makasi:( tapi heran aja gitu kecepatan minus:(

P: Perhatikan fungsinya

M53: Sama

naik motor kecepatan 0 aja nggak jalan

lha ini –

mundur jalannya

M54: tapi kak bentuk fungsinya kuadrat:(

M55: Apa perlu di turunin lagi?

M56: percepatan bukan ?

M57: Pasti edina ngakak sendiri nih? 🤔

P: Bergeraknya dek, arahnya

M58: enggak ngakak, tapi heran😂

M59: Klo arahnya berarti ada dronjongan trus ada tanjakan di depan

M60: berarti kalau kecepatan minus dia kebawah kak?

M61: Heeee itu satuannya apa

M62: s satuan metet kalau di soal

M63: Kecepatan tu stuannya m/s kn, nah sedangkan kita tu msh ada

kuadratnya di turunannya ngaruh gk sama satuannya?

Itu partikelnya bergerk gi garis lurus gaes

Ini ko grafiknya gk lurus yaa

Hee nomer 3 dluu

M64: caranya gimana

bingung aku

M65: Di kali p dlu

dlu kn jd p²

Nah di turun

Gk usah oake turunan gpp si

Cuma kn ini materi furunan ya kita pake turunan

Trus cari minimum nya

M66: Okayy

M67: itu kan ketemu p nya 6, nah kalau di subtitusi ke pers. awal jadinya

nilai max

nah nyari nilai minimum e gimana?

M68: Substitusi

M69: hah kok bisa maksssss

M70: Gradien garsinya = 0

M70: tak kira 1856 itu udah final minimum

M71: Kn jd fungsi min

M72: oh itu langsung jadi nilai minimum?

M73: Nomer 2 jd gmna kesimpulannya gaes

M74: Minimum sayang


210

M75: kev buat nomor 3... kan doi kuadrat tuh, berarti buat cari minimum

pake sumbu x atau y puncak ga si? tapi akau gatau yg dipake x

atau y

M76: Iya pake puncak

Y dong

Saat x

Y tu biaya, x tu hari

M77: Oke

tapi coba deh km substitusiin

kan persamaan nya yg P itu kan dah kayak gitu kan

di turunin

M78:

Mentok pake geogebra aja nomer 2 gini jd naik turun atau gmna

si ko jd ambyar aku 😅

M79: Beda hasilnyaa? 🤔

M80: ketemu deh p minimum

kalau kamu masukkin ke situ gamungkin dong masa kamu

masukkin p minimum

tapi hasilnya maksimum

M81: X² dngn konstanta + ya gk ada mksimumnya lah

M82: apa si kita bahas minimum

M83 nih km bilang kek gini

kan p udah ketemu. p minimum kan itu

yaudah tgl dimasukkin aja ga si, ketemu deh R minimumnya

M84: jawabane ini kan?

M85: yaitu 1856


211

M86: iya menurutku sih itu din

M87: aku juga wkwk

M88: kevin bilang kek gini aku jd makin hah heh hoh

M89: La iyaa

Ko aku juga makin bingung ma kalian 🤔

M90: Ya iya ini

M91: kamu bilang iniiiii. kan ya aku makin bingung

udah ya fic ya

M92: tinggal masukin p=6 ke pers awal

M93: fix*

aku tulis yqq

M94: nomer 2 jadine gimana?

M95: nomor 2 skip?

maksudku skip

M96: Nomer 2 naik turun

Gambar sketsa grafiknyaa

M97: ini aku nulis di lembar jawab loncat2 gitu? dari masalah 1 ke

masalah 3?

M98: Gapapa

M99: kalo bikin grafik dr fungsi itu berarti

masukkin ke pers awal

bukan turunannya kan?

M100: nah kalau gitu turunannya buat apa yakk😂

M101: Nahhh aku juga bingung itu

Td katanya yg digambar grafiknya yg fungsinya

Bukan turunannya

Udh oake 1 2 3 4 5

Nyerah wes

Sbnrnya salah

Tp mau gmna lagi 🤔

Semestanya real, dn kita gk mungkin sub satu" 🤔

M102: iya udah ambil yang bulat aja

mewakili

Berdasarkan diskusi kelompok dan pendampingan peneliti maka

kesimpulan proses yang dilakukan yaitu karena mahasiswa telah

mempelajari gradien garis singgung suatu kurva pada titik tertentu maka

mahasiswa dapat mengkaitkannya dengan turunan.


212

c. Aktivitas Ketiga

Peneliti mempersilakan satu kelompok untuk mempresentasikan hasil

diskusi kelompok dari masalah yang diberikan. Berikut persentasi salah

satu kelompok:

P: Silakan kelompok 7 untuk mempresentasikan masalah nya?

M1: Masalah 1 Diketahui : ℎ(𝑡) = −5𝑡² + 30𝑡 Ditanya : Tinggi

maksimum yang dapat dicapai peluru dalam waktu yang

diperlukan? Penyelesaian : ℎ(𝑡) = −5𝑡² + 30𝑡 ℎ′(𝑡) =0 ℎ′(𝑡) = −5𝑡² + 30𝑡 0 = −10𝑡 + 30 10𝑡 = 30 𝑡 = 3 ℎ(3) = −5(3)² + 30(3) = −5(9) + 90 = −45 + 90 = 45 Jadi tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru yaitu 45

meter dalam waktu 3 detik.

M2: Nomor 2 Diketahui fungsi 𝑠(𝑡) = 𝑡³ − 6𝑡² + 9𝑡. Kita diminta

menentukan kecepatan dari t= 0 detik sampai t= 5 detik.

Penyelesaiannya adalah dengan menurunkan persamaan yang

diketahui ( s(t) menjadi s'(t) ). Karena s'(t) = v(t) maka bisa

langsung disubstitusikan t=0 sampai t=5 pada fungsi tersebut.

Dan diperoleh hasil kecepatannya yaitu pada t=0 kecepatannya 9,

t=1 kecepatannya 0, t=2 kecepatannya -3, t=3 kecepatannya 0,

t=4 kecepatannya 29 dan t=5 kecepatannya 24

M3: No 3. Diberikan persamaan biaya pembangunan proyek . 𝑅(𝑝) = 4𝑝 + (200/𝑝) − 48. Kita diminta untuk menentukan biaya

minimum proyek. Langkah pertama yg harus kita lakukan adalah

mengalikan p (jumlah hari pengerjaan) dengan persamaan biaya

tadi. Diperoleh 𝑅(𝑝) = 4𝑝^2 + 2000 − 48𝑝. Kemudian kita

mencari nilai p (jmlh hari pengerjaan). Dg cara mencari turunan

pertama R(p). Turunan pertama disamadengankan nol agar

diperoleh biaya minimumnya. Diperoleh p =6. Nilai p di

substitusi ke persamaan R(p) sehingga diperoleh biaya minimun

proyek tersebut adalah 1.856.000

Pada akhir pembelajaran ini belum ditutup dengan kesimpulan apa yang

telah dipelajari dikarenakan keterbatasan waktu yang sudah melewati.

Peneliti memberikan tugas kepada mahasiswa untuk membuat resume

perkuliahan dari yang telah dipelajari.

Berikut beberapa resume perkuliahan yang dibuat oleh mahasiswa:


213

M1:

M2

:


214

M3

:

M4:

M5

:


215

M6

:

M7

:


kedua ini kegiatan yang dilakukan oleh peneliti berdasarkan langkah-

langkah strategi pembelajaran flipped classroom, yaitu fase 1 (Peneliti

membentuk beberapa kelompok kecil pada saat pembelajaran di kelas) dan

fase 2 (Menerapkan kemampuan mahasiswa dalam proyek dan simulasi

lain di dalam kelas) yang diaplikasikan dengan sintaks model


216

pembelajaran berbasis masalah. Sebelum peneliti memberikan masalah

aturan-aturan turunan kepada mahasiswa, peneliti dan mahasiswa sama-

sama mendiskusikan terlebih dahulu tentang gradient gasris singgung

suatu kurva pada titik tertentu dan mengkaitkannya dengan turunan.

Kemudian peneliti memberikan masalah kepada mahasiswa yang

dikerjakan mahasiswa secara kelompok dan pembagian kelompok

dilakukan oleh peneliti sehari sebelum pertemuan kedua agar waktunya

tidak terlalu lama dan semua kelompok sudah siap serta peneliti

memberikan pendampingan kepada semua kelompok. Setelah itu diakhir

pembelajaran peneliti meminta salah satu kelompok untuk

mempresentasikan hasil pekerjaannya dan belum ditutup dengan

kesimpulan apa yang telah dipelajari dikarenakan keterbatasan waktu yang

sudah melewati sehingga peneliti memberi tugas untuk membuat resume

perkuliahan.

3. Pembelajaran pertemuan ketiga di kelas penelitian

Pada pertemuan ketiga peneliti memberikan tes aturan-aturan turunan

kepada mahasiswa. Tes yang diberikan sebagai berikut:





4𝑡2.



yang diperlukan!


217

Setelah selesai mengerjakan tes dan tersisa waktu 10 menit, peneliti



Jadi secara keseluruhan dalam proses pembelajaran pada pertemuan ketiga

ini kegiatan yang dilakukan oleh peneliti berdasarkan langkah-langkah

strategi pembelajaran flipped classroom, yaitu fase 3 (Mengukur pemahaman

mahasiswa yang dilakukan di kelas pada akhir materi pelajaran). Peneliti

memberikan tes aturan-aturan turunan untuk mengetahui kemampuan

memecahkan masalah mahasiswa.

G. Deskripsi Hasil Tes Tertulis Kelas Penelitian

Peneliti mengadakan tes tertulis setelah melaksanakan pembelajaran dengan

menggunakan model pembelajaran berbasis masalah dengan strategi flipped

classroom pada materi turunan. Tes tertulis dilakukan pada pertemuan ketiga.

Tes tertulis bertujuan untuk mengetahui kemampuan memecahkan masalah

mahasiswa. Pemilihan hasil jawaban mahasiswa berdasarkan kelompok jawaban

yang sama.




3𝑥2 + 20𝑥 +


2𝑥, untuk




218

Masalah yang diberikan berupa permasalahan yang berkaitan dengan turunan

dalam kehidupan sehari-hari. Dari masalah tersebut mahasiswa diminta untuk

memecahkan masalah yang diberikan. Peneliti memberikan 3 masalah terkait

dengan turunan sebagai berikut:

Tabel 4. 2 Tes Masalah Aturan-aturan Turunan Kelas Penelitian





berikut dan ada 4 mahasiswa yang hanya menjawab bagian a tetapi tidak

menjawab bagian b dengan cara berikut:

Soal Tes Aturan-Aturan Turunan

1. Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas. Jika tinggi peluru h (dalam

meter) sebagai fungsi waktu t (dalam detik) dirumuskan dengan ℎ(𝑡) =

24𝑡 −3

4𝑡2.

a. Apa yang terjadi dengan kecepatan peluru saat 𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 16?

Jelaskan dan gambarkan grafiknya!


yang diperlukan!



3. Biaya untuk memproduksi barang 𝑥 unit barang adalah 1

3𝑥2 + 20𝑥 +


2𝑥, untuk




219


220


221


Pertama Kelas Penelitian


222







Jawaban bagian a:

a. Mahasiswa menurunkan fungsi ketinggian peluru yang ditembakkan dan

menganggap bahwa turunan pertama dari fungsi tersebut merupakan

kecepatan lalu menuliskan ℎ′(𝑡) = 24 −3

2𝑡.

b. Mahasiswa mencari t=0 sampai t=16 menggunakan fungsi h(t) yang telah


c. Mahasiswa menggambarkan grafik dari kecepatan peluru terhadap waktu


Dari proses pada poin a, b, dan c tersebut mahasiswa dapat menuliskan





masalah.

d. Mahasiswa menjelasakan dari grafik yang telah digambar tersebut bahwa

pada saat t=0 benda (peluru) bergerak dengan kecepatan maksimum akan


223

tetapi makin lama kecepatan berkurang dan benda akan berhenti pada saat

t=16.

Dari proses pada poin a, b, c, dan d tersebut mahasiswa melaksanakan rencana

pemecahan masalah dengan menuliskan proses pengimplementasian rencana

menyelesaikan masalah dari menurunkan fungsi, mencari kecepatan peluru saat

t = 0 sampai t = 16, menggambarkan grafik berdasarkan kecepatan peluru saat t

nya sudah dicari, dan menjelaskan gambar dari grafik yang telah dibuat. Hal ini







pemecahan masalah.

Jawaban bagian b:

a. Mahasiswa menuliskan fungsi yang telah diturunkan sama dengan nol

sehingga memperoleh waktu yang diperlukan 16 detik.








224



















225



226









Jawaban bagian a:


227


ℎ(𝑡) = 24𝑡 −3

4𝑡2.






6

4𝑡.

c. Mahasiswa mencari t=0 sampai t=16 menggunakan fungsi h(t) yang telah









masalah.

e. Mahasiswa menjelasakan berdasarkan tabel ketika t=0 kecepatan peluru

24𝑚/𝑑 ketika t=1 kecepatan peluru 22,5𝑚/𝑑 dan seterusnya. Sehingga

mahasiswa menyimpulkan kecepatan peluru semakin lambat atau turun

ketika waktu bertambah.


228



menyelesaikan masalah dari menurunkan fungsi, mencari kecepatan peluru saat

t = 0 sampai t = 16, menjelaskan kecepatan peluru dan menyimpulkan, dan

menggambarkan grafik. Hal ini selaras dengan indikator ke tiga kemampuan






pemecahan masalah.

Jawaban bagian b:

a. Mahasiswa menuliskan fungsi yang telah diturunkan kemudian fungsi

tersebut dituliskan sama dengan 0 sehingga memperoleh waktu yang

diperlukan 16 detik.








229


fungsi yang telah diturunkan dan diperoleh tinggi maksimumnya 0. Sehingga

mahasiswa menyimpulkan 𝑡 maksimum yaitu 16 detik dan ℎ maksimum 0.





dengan mensubtitusi t=16 ke fungsi yang telah diturunkan, dan membuat

kesimpulan. Pada proses mengimplementasian mahasiswa tidak tepat dalam

mencari tinggi maksimum karena fungsi yang dituliskan adalah fungsi yang

telah diturunkan seharusnya untuk mencari tinggi maksimum menggunakan

fungsi ketinggian peluru atau fungsi awal. Hal ini belum memenuhi indikator


masalah.




(1957), yaitu (1) memahami masalah dan (2) menyusun rencana pemecahan

masalah.




230


231







232




Jawaban bagian a:


ℎ(𝑡) = 24𝑡 −3

4𝑡2.




b. Sebelum mahasiswa menurunkan fungsi ketinggian peluru tersebut

mahasiswa menyederhanakan fungsi dengan cara fungsi ketinggian peluru

dikali empat sehingga fungsinya menjadi 𝑣(𝑡) = 96𝑡 − 3𝑡2 kemudian

diturunkan memperoleh 𝑣′(𝑡) = 96 − 6𝑡.

c. Mahasiswa mencari t=0 sampai t=16 menggunakan fungsi ketinggian peluru

yang telah diturunkan tersebut.





dan merencanakan menyelesaikan masalah dengan mencari t=0 sampai t=16

serta menggambarkan grafiknya. Pada proses b mahasiswa tidak tepat dalam

melakukan penyederhanaan karena ℎ(𝑡) = 24𝑡 −3

4𝑡2 merupakan fungsi bukan

persamaan, sehingga tidak sesuai dengan kecepatan peluru yang ditanyakan. Hal


233

ini belum memenuhi indikator ke dua dari kemampuan memecahkan masalah





Jawaban bagian b:

a. Mahasiswa menuliskan fungsi ketinggian peluru dan menyederhanakan

fungsi dengan cara fungsi ketinggian peluru dikali empat sehingga

fungsinya menjadi ℎ(𝑡) = 96𝑡 − 3𝑡2 lalu diturunkan memperoleh ℎ′(𝑡) =

96 − 6𝑡 dan menuliskan fungsi yang telah diturunkan tersebut sama dengan

nol. Kemudian memperoleh waktu yang diperlukan 16 detik.




sama dengan 0 sehingga diperoleh t=16. Pada proses a mahasiswa tidak tepat

dalam melakukan penyederhanaan karena ℎ(𝑡) = 24𝑡 −3

4𝑡2 merupakan fungsi

bukan persamaan. Hal ini selaras dengan indikator pertama memahami masalah

tetapi belum memenuhi indikator kedua kemampuan memecahkan masalah yaitu



fungsi ℎ(𝑡) = 96𝑡 − 3𝑡2 dan diperoleh tinggi maksimumnya 768 m.

Sehingga mahasiswa menyimpulkan tinggi maksimum peluru berada pada

ketinggian 768m dengan waktu yang diperlukan 16 detik.


234





dengan mensubtitusi t=16 ke fungsi ℎ(𝑡) = 96𝑡 − 3𝑡2, dan membuat

kesimpulan. Proses yang dilakukan mahasiswa tidak tepat dalam melakukan

penyederhanaan karena ℎ(𝑡) = 24𝑡 −3

4𝑡2 merupakan fungsi bukan persamaan

sehingga tidak sesuai dengan yang ditanyakan. Hal ini belum memenuhi

indikator kemampuan memecahkan masalah yaitu melaksanakan rencana

pemecahan masalah.




(1957), yaitu memahami masalah.





berikut:


235


Kedua Kelas Penelitian




dari kecepatan awalnya di 14,7m.


236




masalah.



c. Mahasiswa mencari setengah dari t=2 memperoleh t=1 untuk menunjukkan

bola kehilangan separuh kecepatan awalnya pada ketinggian 14,7m.



merencanakan meyelesaikan masalah dengan mencari turunan dari persamaan

bola, lalu mendapatkan t=2 sehingga setengah dari t tersebut akan membuktikan

bola kehilangan separuh dari kecepatan awalnya di 14,7m pertama dari

kenaikannya. Hal ini selaras dengan indikator ke dua dari kemampuan


d. Mahasiswa mensubtitusi t=1 ke persamaan 𝑠 = 19,6𝑡 − 4,9𝑡2 sehingga

terbukti bahwa bola akan kehilangan separuh kecepatan awalnya saat di


Dari proses pada poin b, c, dan d tersebut mahasiswa melaksanakan rencana



t=2 sehingga setengah dari t tersebut yaitu t=1 dan membuktikan menjelaskan

pernyataan bagaimana bola kehilangan separuh dari kecepatan awalanya di


237

14,7m pertama dari kenaikannya. Hal ini selaras dengan indikator ke tiga


masalah.





pemecahan masalah.



berikut:


238

Gambar 4. 41 Kelompok Jawaban Mahasiswa Kedua untuk Masalah Kedua

Kelas Penelitian








masalah.


239

b. Mahasiswa menuliskan persaamaan bola kemudian disamadengankan 14,7

sehingga memperoleh t=1 atau t=3.

c. Mahasiswa mencari separuh kecepatan dengan mensubtitusi t=1 dan t=3 ke

persamaan yang telah diturunkan memperoleh ±9,8.



merencanakan menyelesaikan masalah dengan mencari turunan dari persamaan

bola, lalu mencari waktu untuk memperoleh bola kehilangan separuh dari

kecepatan pertama. Hal ini selaras dengan indikator ke dua dari kemampuan


d. Mahasiswa mencari kecepatan separuh dari ±9,8 yaitu 4,9𝑚/𝑠 kemudian

memperoleh t=1,5 dan t=2,5.

e. Mahsiswa mencari ketinggian dari waktu yang diperoleh saat kecepatan

separuh bola 4,9𝑚/𝑠.



rencana menyelesaikan masalah dari menurunkan persamaan, lalu mencari

waktu untuk memperoleh bola kehilangan separuh dari kecepatan pertama,

kemudian mahasiswa mencari lagi separuh dari kecepatannya sehingga

memperoleh t=1,5 dan t=2,5 untuk mencari ketinggian dari waktu yang

diperoleh tersebut saat kecepatannya 4,9𝑚/𝑠. Pada proses mahasiswa mencari

kecepatan separuh lagi kecepatan dari ±9,8 kurang tepat, karena ketika mencari

separuh kecepatan dan memperoleh t maka mahasiswa sudah dapat


240

menyimpulkan dan membuktikan bahwa bola kehilangan separuh dari kecepatan

awalnya di 14,7m pertama dari kenaikannya. Hal ini belum memenuhi indikator

ke tiga kemampuan memecahkan masalah yaitu melaksanakan rencana

pemecahan masalah.



memechakan masalah menurut Polya (1957), yaitu (1) memahami masalah dan

(2) menyusun rencana pemecahan masalah.



berikut:

Gambar 4. 42 Kelompok Jawaban Mahasiswa Ketiga untuk Masalah

Kedua Kelas Penelitian


241








masalah.

b. Mahasiswa menurunkan persamaan bola dan mencari kecepatan awal di 14,7

dan menuliskan persamaan menjadi 14,7 = 19,6 − 9,8𝑡 dan memperoleh 𝑡 =

1

2.

c. Mahasiswa menyimpulkan bola kehilangan separuh dari kecepatan awalnya

di 14,7m pada 𝑡 =1

2.




bola, lalu mencari kecepatan awal dan mencari nilai t untuk membuktikan bola

kehilangan separuh dari kecepatan awalnya di 14,7m pertama dari kenaikannya.

Hal ini belum memenuhi indikator ke dua dan ke tiga dari kemampuan

memecahkan masalah yaitu menyusun rencana pemecahan masalah dan



242








berikut:


Ketiga Kelas Penelitian


243


a. Mahasiswa menuliskan apa yang diketahui yaitu 𝑥 unit barang adalah

1

3𝑥2 + 20𝑥 + 15, harga jual tiap barang adalah 30 −

1

2𝑥, dan yang

ditanyakan yaitu banyak barang.




masalah.

b. Mahasiswa mencari harga jual barang dengan cara harga jual 𝑥 unit barang

dikali dengan harga jual tiap barang memperoleh 30 −1

2𝑥2.

c. Mahasiswa menuliskan rumus keuntungan yaitu harga jual dikurang biaya

sehingga memperoleh 10𝑥 −5

6𝑥2 − 15.

d. Mahasiswa mencari keuntungan yang optimal dengan cara menurunkan

fungsi dari keuntungan lalu disamadengankan 0.


konsep matematika yang digunakan untuk memecahkan masalah yaitu rumus



optimal dengan menurunkan fungsi keuntungan kemudian disamadengankan 0.

Hal ini selaras dengan indikator ke dua dari kemampuan memecahkan masalah



244

e. Mahasiswa mencari barang yang diproduksi agar optimal dengan fungsi

keuntungan yang diturunkan disamadengankan 0 kemudian mencari nilai 𝑥

atau berapa unit barang dan menyimpulkan.



menyelesaikan masalah dari mencari keuntungan terlebih dahulu, lalu


yang disamadengankan 0 dan menyimpulkan unit barang yang harus diproduksi

agar optimal. Hal ini selaras dengan indikator ke tiga kemampuan memecahkan






pemecahan masalah.



berikut:


245


Ketiga Kelas Penelitian


246



3𝑥2 +







masalah.

b. Mahasiswa menuliskan rumus keuntungan yaitu harga jual semua barang

dikurang biaya produksi sehingga memperoleh −5

6𝑥2 + 50𝑥 + 15.

c. Mahasiswa mencari keuntungan yang maksimum dengan cara menurunkan

fungsi dari keuntungan kemudian disamadengakan 0.







pemecahan masalah.





247





kemudian menyamdengankan 0 dan menyimpulkan unit barang yang harus

diproduksi agar keuntungan maksimum. Hal ini selaras dengan indikator ke tiga


masalah.





pemecahan masalah.

H. Analisa Jawaban Hasil Tes Tertulis dan Wawancara Kelas Penelitian

Berikut disajikan deskripsi jawaban hasil tes tertulis mahasiswa dan

wawancara dengan tiga orang mahasiswa yang diambil berdasarkan tiga kategori

yaitu kategori pertama tinggi, kategori kedua sedang, dan kategori ketiga rendah.


248



249

Gambar 4. 45 Jawaban Hasil Tes Subjek 1 Untuk Masalah Pertama





250




Jawaban bagian a:


ℎ(𝑡) = 24𝑡 −3

4𝑡2.






3

2𝑡.

c. Mahasiswa mencari t=0 sampai t=16 menggunakan fungsi h(t) yang telah









masalah.


251

e. Mahasiswa menjelaskan gambar grafik dan menyimpulkan yang terjadi pada

kecepatan peluru saat t=0 sampai t=16.





peluru saat t nya sudah dicari, dan menjelaskan serta menyimpulkan gambar

grafik. Hal ini selaras dengan indikator ke tiga kemampuan memecahkan






pemecahan masalah.

Jawaban bagian b:

a. Mahasiswa menuliskan ketinggian maksimum diperoleh ketika kecepatannya

sama dengan 0 dan saat t=16.








252


















253









masalah.

b. Mahasiswa menurunkan persamaan tersebut dan menganggap bahwa turunan

pertama dari persamaan tersebut adalah kecepatan lalu menuuliskan 𝑠′ =

19,6 − 9,8𝑡.

c. Mahasiswa mencari kecepatan saat t=0, t=1, dan t=2 kemudian

menyimpulkan bola kehilangan separuh dari kecepatan awalnya pada saat t=1

yaitu 9,8 satuan kecepatan.


254




persamaan bola, lalu mencari kecepatan saat t=0 sampai t=2, dan menyimpulkan

bola kehilangan separuh kecepatan awalnya saat t=1. Hal ini selaras dengan



d. Mahasiswa menuliskan pada ketinggian berapa bola memiliki kecepatan 9,8

satuan kecepatan dengan mensubtitusi t=1 ke persamaan bola, sehingga

terbukti bahwa bola kehilangan separuh kecepatan awalnya di 14,7m pertama

dari kenaikannya.




kecepatan saat t=0 sampai t=2 dan membuktikan bola kehilangan separuh dari

kecepatan awalanya di 14,7m pertama dari kenaikannya dengan subtitusi t=1

pada persamaan bola. Hal ini selaras dengan indikator ke tiga kemampuan






pemecahan masalah.


255



256


a. Mahasiswa menuliskan apa yang diketahui yaitu biaya memproduksi 𝑥 unit

adalah 1

3𝑥2 + 20𝑥 + 15 dan harga jual setiap unit adalah 30 −

1

2𝑥

kemudian yang ditanyakan yaitu banyak barang yang harus diproduksi agar

memperoleh keuntungan maksimum.




masalah.

b. Mahasiswa mencari harga jual 𝑥 unit yaitu harga jual setiap unit dikali 𝑥

memperoleh 30𝑥 −1

2𝑥2.

c. Mahasiswa menuliskan rumus keuntungan yaitu harga jual dikurang biaya


6𝑥2 − 15.

d. Mahasiswa mencari keuntungan yang optimal dengan cara menurunkan








pemecahan masalah.


257

e. Mahasiswa mencari barang yang diproduksi agar keuntungan maksimum

dengan fungsi keuntungan yang diturunkan kemudian mencari nilai 𝒙 atau

berapa unit barang yang harus diproduksi dan menyimpulkan.




mendapatkan keuntungan yang maksimum dengan menurunkan fungsi

keuntungan dan menyimpulkan unit barang yang harus diproduksi agar

maksimum. Hal ini selaras dengan indikator ke tiga kemampuan memecahkan






pemecahan masalah.


Kutipan wawancara:


S1: Untuk nomor 1 yang diketahui tinggi peluru ℎ (dalam meter) sebagai

fungsi waktu 𝑡 (dalam detik) dirumuskan dengan ℎ(𝑡) = 24𝑡 −3

4𝑡2.


S1: Yang ditanya pada soal yang pertama yang terjadi pada kecepatan

peluru ketika t=0 sampai t=16 dan bagaimana bentuk grafiknya.

Yang kedua ketinggian maksimum dan waktu yang diperlukan untuk

mencapai ketinggian maksimum tersebut.



S1: Untuk soal yang pertama yang terjadi dengan kecepatan peluru pada

t=0 sampai t=16 dan bentuklah grafiknya, itu maksudnya apa yang


258

terjadi dengan kecepatan peluru ketika t=0 sampai t=16 ketika

dimasukkan ke fungsi (𝑡) = 24𝑡 −3

4𝑡2 . Jadi yang harus kita cari itu

kecepatannya dengan menggunakan 𝑡 nya itu antara 0 sampai 16

yang kemudian dimasukkan ke fungsi ℎ(𝑡) dan setelah kita

menemukan hasilnya kita buat kedalam grafik. Untuk soal yang

kedua ketinggian maksimum dan waktu yang diperlukan, jadi setelah

kita mengerjakan soal yang pertama kita jadi bisa tau kapan posisi

peluru itu mencapai titik yang paling tinggi dan itu pada waktu

keberapa nah itu bisa kita liat dari soal sebelumnya.



permasalahan?

S1: Cara saya mengingat konsep matematika saya mengingatnya melalui

catatan dan internet.



S1: Konsep yang bisa digunakan itu konsep turunan.


tersebut!

S1: Untuk 1a kan kita punya yang diketahui ℎ(𝑡) = 24𝑡 −3

4𝑡2 dari

fungsi tersebut kita cari turunan pertamanya ℎ′(𝑡) = 24 −3

2𝑡. Saya

tau turunan ℎ(𝑡) itu kecepatannya jadi kita tinggal masukin aja ketika

t=0 berati turunan dari fungsi itu jadi 24. Ketika t=1 turunan fungsi

tadi hasilnya menjadi 45

2 begitu juga selanjutnya sampai t=16. Jadi

fungsinya menjadi sama dengan 0, nah berati yang terjadi ketika

peluru berada pada t=0 sampai t=16 itu akan semakin turun

kecepatannya karena tadi ketika t=0 maka kecepatannya 24 dan

ketika kecepatan t=16 maka kecepatannya sama dengan 0, maka

dapat dibuat grafik dengan sumbu 𝑦 sebagai kecepatannya dan sumbu

𝑥 sebagai waktunya maka grafik itu akan turun. Semakin besar 𝑡 nya

kecepatan dari peluru itu semakin keci. Nah untuk yang b itu kita bisa

lihat dari ketika kita masukkan nilai 𝑡 nya tadi, nilainya itu kan

ketinggian maksimumnya berati ketinggian maksimum itu ketika

peluru itu mencapai titik teratas berati kan dia tidak bisa lagi naik lagi

jadinya kecepatannya itu pasti 0. Nah 𝑡 yang sama dengan berapa

kecepatannya sama dengan 0 disitu kan diketahui t=16 menghasilkan

bahwa kecepatannya itu 0 berati yang kita gunakan itu t=16.

Kemudian untuk mencari ketinggian maksimumnya tinggal

subtitusikan saja ketika t=16 kita masukkan ke fungsi awal yang

24𝑡 −3

4𝑡2 menghasilkan 192, berati ketinggian maksimumnya itu

192 meter dengan waktu yang dibutuhkan 16 detik.




259

S1: Caraku mengimplementasikannya yang pertama aku cari dulu

turunan dari fungsinya kemudian aku masukin tadi yang diketahui

t=0 sampai t=16, jadi aku masukin satu-satu dari t=0 sampai t=16

ketemu hasilnya ketika t nya sama dengan berapa aku mengeetahui

nilai kecepatannya. Kemudian dapat menyimpulkan bahwa

kecepatan peluru pada saat t=0 sampai t=16 semakin menurun dilihat

dari hasil tadi, hasil ketika aku memasukkan nilai 𝑡 tadi ke

turunannya itu tadi terus aku buat grafik. Dari grafik itulah baru

terjawab pertanyaan pertama terus pertanyaan kedua itu aku lihat

kembali dataku yang pertama ketika aku masukkin t=0 sampai t=16.

Aku melihat bahwa ketika t=16 kecepatannya 0 otomatis itu

merupakan titik paling tertinggi dari peluru tersebut kemudian aku

masukkan ke fungsi awal kemudian ganti t nya dengan 16 dan ketemu

hasilnya bahwa ketinggian maksimumnya itu 192 meter dengan

waktu yang dibutuhkan itu 16 detik.

P: Oke, bagaimana kamu menggambarkan grafiknya?

S1: Aku menggambarkan grafiknya dengan memisalkan bahwa sumbu

𝑦 itu kecepatannya terus sumbu 𝑥 itu waktunya. Jadi semakin besar

waktunya jadi 0, 1, semakin besar kearah kanan semakin kecil

kecepatannya jadi grafiknya itu turun. Dari kecepatannya yang paling

tinggi 24 terus turun sampai ke 0.



kamu!

S1: Kendala yang saya alami yang pertama itu kaya ketika memasukkan

nilai 𝑡 nya ke dalam turunan itu kadang kurang teliti jadi terburu-buru

terus agak bingung juga ketika membuat grafiknya kaya ragu.

Grafiknya kaya gini atau bukan yang diminta dari soal tersebut.



lakukan?

S1: Iya sih kak, aku sempat mengulang kembali tapi nda terlalu rinci.

Karena aku kan orangnya nda begitu telitian jadi takut ada yang salah

atau salah ngitung atau ada yang keliru jadi mencegah kemungkinan

salah begitu. Tapi kadang udah diteliti juga ada yang salah juga jadi

ya untuk apa diteliti ulang ya untuk mengurangi resiko ada yang salah

gitu kak sama pemantapan jawaban.



S1: Pertama-tama aku lihat dari soalnya dulu dari kakak, habis itu aku

samain sama yang aku ketahui dan ditanya itu kaya mana. Setelah itu

aku masuk kepenyelesaian, dipenyelesaian ini aku lihat

diperhitungannya jadi aku lihat lagi hitung-hitungannya kumasukiin

angkanya terus aku lihat hasilnya habis itu aku lihat hasil akhirnya,

aku hubungin sama pertanyaan yang tadi ditanyain. Jadinya itu udah


260

sinkron apa belum udah gitu doang kak. Jadi kalau menurut aku udah

ya aku yakin sama jawaban aku walaupun nda 100%.


S1: Yang saya temukan itu kesalahan menulis angka yang misalnya di

t=5 diangka tiganya itu kan ada sedikit coretan disitu seingat saya

salah menulis angka.



S1: Kalau saya tidak mencari lagi kak karena dilihat dari waktunya juga

terus ini kan nomor 1 belum nomor yang lain jadi menurut saya

terlalu lama 𝑠𝑡𝑎𝑘 di 1 nomor itu nda bagus. Jadi kalo saya udah dapat

terus saya koreksi terus menurut saya jawabannya seprti itu saya

lanjut ke nomor selanjutnya.










lalu mencari turunan pertama dari fungsi yang diketahui kemudian mencari nilai

t nya, hal ini selaras dengan indiaktor kedua dari kemampuan memecahkan




4𝑡2 kemudian

disubtitusi niali t=0 sampai t=16. Pada soal 1b mahasiswa menuliskan ketinggian

maksimum diperoleh ketika kecepatannya sama dengan 0 yaitu ketika t=16, lalu


261

nilai t nya disubtitusikan pada fungsi yang ada pada soal atau fungsi yang

diketahui. Dari proses pengimplementasian yang dijelaskan mahasiswa selaras

dengan indikator ketiga kemampuan memecahkan masalah yaitu melaksanakan

rencana pemecahan masalah. Mahasiswa melakukan pengecekan kembali hasil

pekerjaan karena merasa tidak begitu teliti sehingga takut salah menghitung atau

ada yang keliru untuk mencegah kemungkinan salah dan memantapkan jawaban.

Mahasiswa melakukan proses pemeriksaan yaitu dengan meilhat soal yang

diketahui dan ditanyakan, mengecek perhitungannya, menghubungkan hasil

akhir dengan pertanyaan yang ditanyakan, dan mahasiswa yakin sudah sinkron

maka mahasiswa yakin dengan jawaban. Mahasiswa menemukan dari proses

pemeriksaaan kembali yaitu kesalahan menulis angka dan mahasiswa tidak

mencari alternatife atau cara lain dalam menyelesaikan masalah tersebut karena

mahasiswa tidak ingin stak disatu nomor dan melanjutkan ke masalah

berikutnya, hal ini selaras dengan indikator ke empat dari kemampuan








Kutipan wawancara:


S1: Yang diketahui pada soal itu persamaan 𝑠 = 19,6𝑡 − 4,9𝑡2.


262


S1: Yang ditanyakan itu tunjukkan bahwa bola itu kehilangan separuh




S1: Jadi kita harus membuktikan bahwa suatu bola yang dilemparkan

keatas itu akan kehilangan separuh dari kecepatan awalnya

diketinggian 14,7m pertama dari kenaikan bola itu pertama kali. Jadi

waktu dilempar pertama kali terus ketika mencapai ketinggian

14,7meter apakah kecepatan bola tersebut akan berkurang

separuhnya.



permasalahan?

S1: Yang pertama pasti dari catatan sebelumnya, yang kedua melihat dari

soal sebelumnya yaitu soal nomor 1 menurut saya itu berkaitan.



S1: Turunan kak.


tersebut!

S1: Rencana saya yang pertama itu mencari kecepatannya tadi itu, kan

kita udah punya persamaan umumnya nah kita bisa mencari

turunannya kemudian kita bisa mencari kecepatannya ketika dimenit

keberapa dimenit pertama berapa, kedua, dan seterusnya. Kemudian

dari situ bisa dilihat kapan bola tersebut kehilangan setengah

kecepatannya, kemudian kita dapat mencari ketinggiannya benar atau

tidak kalau di 14,7 meter.



S1: Jadi yang pertama kan udah diketahui bahwa persamaan umum 𝑠 =19,6𝑡 − 4,9𝑡2 kemudian kita cari turunan pertama yaitu 19,6 − 9,8𝑡

kita tau itu turunan pertama sama dengan kecepatannya nah kita

masukkan nilai t nya ketika t=0 berati kan pertama kali dia

dilemparkan maka kecepatannya menjadi 19,6 terus ketika t=1 maka

kecepatannya 9,8 dan ketika t=2 maka kecepatannya sama dengan 0.

Jadi kan kita udah tahu ketika t=1 kita tahu kecepatannya 9,8 dan

merupakan setengah dari 19,6 maka bola tersebut kehilangans eparuh

kecepatan awalnya itu ketika di t=1. Kemudian untuk mencari benar

atau tidak tingginya berada di 14,7 meter maka kita masukkan t=1 ke

persamaan awalnya yaitu 𝑠 = 19,6𝑡 − 4,9𝑡2 ternyata setelah dicari

hasilnya 14,7m maka terbukti bahwa bola itu kehilangan separuh dari

kecepatan awalnya pada ketinggian 14,7 meter pertama dari

kenaikannya. Jadi setelah dilempar pertama kali pada ketinggian 14,7

meter itu bola tersebut mengalami perubahan kecepatan yaitu

separuh dari kecepatan awalnya .


263



kamu!

S1: Untuk soal nomor 2 ini saya rasa tidak memiliki kendala karena tadi

kendala saya kan yang maksudnya karena saya ada bantuan dari

nomor 1 udah selesai makanya saya jadikan nomor 1 itu acuan.

Nomor 2 ini tinggal saya menggali pemahaman dari soal nomor 1

juga jadinya tidak ada masalah.



lakukan?

S1: Tentunya melakukan pengecekkan ulang kembali dari awal diketahui

sampai akhir, kenapa dilakukan karena untuk pemantapan jawaban.

Jadi kira-kira ada yang harus diganti nda, terus kira-kira ada yang

salah tulis nda, terus ada yang salah hitung nda, jadi kaya dikoreksi

lagi ada yang salah atau nda. Jadi lebih mantap jawaban setelah

dikoreksi.



S1: Yang pertama lihat soal yang dari kakak, terus samakan yang

diketahui dan ditanya udah pas atau belum udah sama atau belum,

habis itu masuk kepenyelesaian aku lihat perhitungannya udah benar

apa belum, terus penulisannya udah benar apa belum, kemudian

masuk ke tahap selanjutnya ketika mencari benar nda diketinggian

14,7 meter itu, terus aku juga lihat perhitungannya benar atau nda

terus dikesimpulannya.


S1: Yang aku temukan kemantapan jawaban aku jadi udah dilihat-lihat

tenyata udah nda ada yang salah terus aku udah yakin. Jadi yang aku

temukan itu lebih yakin sama jawaban aku sendiri.



S1: Kalau saya sama seperti tadi saya tidak mencari alternatife lainnya

dikarenakan waktu yang terus berjalan dan saya juga masih belum

menyelesaikan dinomor terakhir, makanya saya tidak mencari

alternatif lain.






264






lalu mahasiswa mencari turunan pertama dari persamaan pada soal kemudian

mencari kecepatan saat t=0 sampai t=2 , hal ini selaras dengan indiaktor kedua



masalah yaitu mencari turunan dari persamaan 𝑠 kemudian mencari kecepatan

saat t=0 sampai t=2. Lalu mahasiswa menyimpulkan bola kehilangan separuh

dari kecepatan awalnya pada saat t=1, selanjutnya mahasiswa mensubtitusi t=1

ke persamaan awal dan terbukti bahwa bola itu kehilangan separuh dari

kecepatan awalnya pada ketinggian 14,7m pertama dari kenaikannya. Dari

proses pengimplementasian yang dijelaskan mahasiswa selaras dengan indikator

ketiga kemampuan memecahkan masalah yaitu melaksanakan rencana


pekerjaan untuk pemantapan jawaban dan proses mahasiswa memeriksa yaitu

melihat soal lalu menyamakan dengan diketahui dan ditanya, mengecek

perhitungan, penulisan, dan kesimpulan. Mahasiswa menemukan dari proses

pemeriksaaan kembali yaitu keyakinan atas jawaban setelah melihat sudah tidak

ada yang salah dan yakin, hal ini selaras dengan indikator ke empat dari


265

kemampuan memecahkan masalah yaitu memeriksa kembali hasil pemecahan

masalah.







Kutipan wawancara:


S1: Yang diketahui pada soal itu biaya memproduksi 𝑥 unit yaitu 1

3𝑥2 +

20𝑥 + 15, setelah itu harga jual setiap unitnya 30 −1

2𝑥.


S1: Yang ditanyakan pada soal itu banyaknya barang yang diporduksi

untuk memperoleh keuntungan maksimumnya.



S1: Jadi dari soal yang ditanyakan itu banyaknya barang yang diproduksi

untuk memperoleh keuntungan maksimum. Jadi dari biaya

memproduksi 𝑥 unit itu dan harga jual setiap unitnya kita harus

mencari dulu keuntungan maksimumnya berapa kan. Nah dari situ

kan setelah keuntungannya ditentukan kita mencari nilai berapa

banyaknya barang yang dibutuhkan untuk mencapai keuntungan

maksimum tersebut.



permasalahan?

S1: Yang pertama konsep yang saya ingat itu karena itu mencari

keuntungan maksimum saya ingat rumus mencari laba. Laba itu

rumusnya harga jual dikurang harga produksi nah jadi saya

mengingat itu karena dulu saya juga sempat belajar ekonomi sedikit

jadi saya ingat kemudian menghubungkan dengan materi turunan.




266

S1: Yang pertama konsep matematika tentang laba, rugi, mencari

keuntungan itu berapa, habis itu mencari lagi ke turunan untuk

mencari banyaknya barang yang diproduksi.


tersebut!

S1: Yang pertama itu kan tadi biaya memproduksinya 𝑥 unit sedangkan

harga jualnya itu setiap unit. Jadi aku ubah ke harga jual setiap unit

itu menjadi 𝑥 unit jadi dikali 𝑥 kemudian aku mencari keuntungannya

dengan harga jualnya dikurang harga produksinya nah setelah itu aku

mendapatkan keuntungannya. Kemudian aku turunkan, setelah

diturunkan aku bisa mencari banyaknya yang diperlukan untuk

mencari keuntungan maksimumnya.



S1: Jadi yang pertama aku mengalikan dulu harga jualnya dengan 𝑥 unit

karena biaya produksinya udah dibentuk 𝑥 unit jadi aku harus

mengubah harga jual setiap unitnya ke harga jual untuk 𝑥 unit dengan

cara mengalikan harga jual setiap unitnya dengan 𝑥 jadi −1

2𝑥2 .

Kemudian aku mencari keuntungan dengan harga jual dikurang biaya

produksi. Harga jualnya kan 30𝑥 −1

2𝑥2 dikurang

1

3𝑥2 + 20𝑥 + 15

kemudian menemukan keuntungannya yaitu 10𝑥 −5

6𝑥2 − 15

kemudian aku turunkan menjadi 10 −5

3𝑥. Nah karena turunan itu

𝐿’ = 0 maka 10 −5

3𝑥 = 0 maka nilai 𝑥 adalah 6. Jadi dapat

disimpulkan bahwa banyaknya barang yang harus diproduksi adalah

sebanyak 6 barang.



kamu!

S1: Menurut saya ketika mengimplementasikan itu tidak ada kendala

hanya kehati-hatian dalam menghitung menurut saya sangat

diperlukan.



lakukan?

S1: Untuk soal yang terakhir saya tidak melakukan pengecekkan ulang

karena waktunya udah mepet. Terus saya juga belum memfoto scan

file jadinya saya tidak sempat untuk mengkoreksi ulang.



S1: Untuk soal yang nomor 3 ini sama seperti soal sebelumnya saya tidak

mencari cara lain dalam menyelesaikan soal tersebut karena saya

takut waktunya tidak cukup juga terus takut juga sinyal yang

berubah-ubah takutnya ketika saya kirim dan nda bisa jadinya

menurut saya udah cukup puas dengan jawaban saya ini.


267









matematika yang akan digunakan untuk menyelesaikan masalah yaitu

keuntungan dan turunan, lalu mahasiswa menentukan harga jual setiap unit

menjadi harga jual 𝑥 unit kemudian mencari keuntungannya dan menurunkan

fungsi keuntungan terlebih dahulu untuk memperoleh keuntungan yang

maksimum, hal ini selaras dengan indiaktor kedua dari kemampuan


mahasiswa mengimplementasikan rencana memecahkan masalah yaitu

mengubah harga jual setiap unitnya ke harga jual untuk 𝑥 unit dengan cara

mengalikan harga jual setiap unitnya, kemudian mahasiswa mencari keuntungan

dengan harga jual dikurang biaya produksi. Setelah itu mahasiswa mencari

turunan dari keuntungan, agar keuntungan maksimum maka turunannya sama

dengan 0, sehingga mahasiswa memperoleh barang yang diproduksi agar

keuntungan maksimum adalah 6 barang. Dari proses pengimplementasian yang


masalah yaitu melaksanakan rencana pemecahan masalah. Mahasiswa tidak


268

melakukan pengecekan kembali hasil pekerjaan karena takut waktunya tidak

cukup dan takut terkendala sinyal pada pengumpulan jawaban, hal ini belum

memenuhi indikator ke empat dari kemampuan memecahkan masalah yaitu





masalah, (2) menyusun rencana pemecahan masalah dan (3) melaksanakan




untuk masalah pertama dan masalah kedua mahasiswa memenuhi 4 indikator




Sedangkan untuk masalah ketiga mahasiswa memenuhi 3 indikator kemampuan



pemecahan masalah.


269



270



271







Jawaban bagian a:

a. Mahasiswa menurunkan fungsi ketinggian peluru dan menganggap bahwa

turunan pertama dari fungsi tersebut adalah kecepatan dan menuliskan 𝑣(𝑡) =

24 −3

2𝑡.

b. Mahasiswa mencari t=0 sampai t=16 menggunakan fungsi ℎ(𝑡) yang telah


c. Mahasiswa menggambarkan grafik dari kecepatan peluru terhadap waktu







masalah.

d. Mahasiswa menjelaskan gambar grafik dan menyimpulkan yang terjadi pada

kecepatan peluru saat t=0 sampai t=16.


272





peluru saat t nya sudah dicari, dan menjelaskan serta menyimpulkan gambar

grafik. Hal ini selaras dengan indikator ke tiga kemampuan memecahkan






pemecahan masalah.

Jawaban bagian b:

a. Mahasiswa mencari tinggi maksimum peluru ketika fungsi yang telah

diturunkan sama dengan 0 sehingga memperoleh waktu yang diperlukan 16

detik.








273


















274









masalah.

b. Mahasiswa menurunkan persamaan tersebut dan menganggap bahwa turunan

pertama dari persamaan tersebut adalah kecepatan lalu menuuliskan 𝑠′ =

19,6 − 9,8𝑡.


275

c. Mahasiswa mencari kecepatan saat t=0, t=1, dan t=2 kemudian

menyimpulkan bola kehilangan separuh dari kecepatan awalnya pada saat t=1

yaitu 9,8𝑚/𝑠.




persamaan bola, lalu mencari kecepatan saat t=0 sampai t=2, dan menyimpulkan

bola kehilangan separuh kecepatan awalnya saat t=1. Hal ini selaras dengan



d. Mahasiswa menuliskan pada ketinggian berapa bola memiliki kecepatan 9,8

satuan kecepatan dengan mensubtitusi t=1 ke persamaan bola, sehingga

terbukti bahwa bola kehilangan separuh kecepatan awalnya di 14,7m pertama

dari kenaikannya.




kecepatan saat t=0 sampai t=2 dan membuktikan bola kehilangan separuh dari

kecepatan awalanya di 14,7m pertama dari kenaikannya dengan subtitusi t=1

pada persamaan bola. Hal ini selaras dengan indikator ke tiga kemampuan





276



pemecahan masalah.



277



3𝑥2 +







masalah.

b. Mahasiswa menuliskan rumus keuntungan yaitu harga jual semua barang

dikurang biaya produksi sehingga memperoleh −5

6𝑥2 + 50𝑥 + 15.









pemecahan masalah.





278





kemudian menyamdengankan 0 dan menyimpulkan unit barang yang harus



masalah.





pemecahan masalah.


Kutipan wawancara:


S2: Yang diketahui dari soal adalah fungsi waktu dalam detik yaitu

ℎ(𝑡) = 24𝑡 −3

4𝑡2.


S2: Yang ditanyakan dari soal adalah grafik dari kecepatan t=0 sampai

t=16. Kemudian tinggi maksimum yang dapat dicapai oleh peluru

beserta dengan waktu yang diperlukan.



S2: Dari soal diketahui fungsi dari ketinggian peluru berdasarkan waktu

yaitu ℎ(𝑡) pada soal nomor 1a maksud dari soal adalah untuk

menunjukkan bentuk grafik dan juga perilaku grafik dari kecepatan

peluru disaat t=0 sampai t=16. Dan pada soal 1b kita disuruh mencari

tinggi maksimum yang dapat dicapai oleh peluru dengan waktu

tertentu.


279



permasalahan?

S2: Konsep matematika yang saya ingat pada saat saya menyelesaikan

soal adalah konsep turunan. Saya untuk mengerjakan soal nomor 1

untuk mencari rumus kecepatan dari kecepatan peluru saya

menurunkan fungsi untuk mencari ketinggian pada peluru kemudian

saya mensubtitusikan waktu dari 0 detik sampai 16 detik kedalam

rumus 𝑣(𝑡) atau rumus kecepatan peluru lalu untuk mencari nilai

maksimum atau tinggi maksimum dari peluru itu dapat dicari dengan

menggunakan persamaan 𝑣(𝑡) = 0 lalu saya subtitusikan 𝑣(𝑡) = 0

dan mendapatkan waktu yang diperlukan untuk mencapai tinggi

maksimum peluru yaitu 16 detik. Untuk mencari tinggi maksimum

peluru saya mensubtitusikan waktu 16 detik itu kedalam rumus

mecari ketinggian peluru.



S2: Menurut saya konsep yang dapat digunakan untuk menyelesaikan

soal adalah konsep turunan dimana untuk mencari rumus kecepatan

atau fungsi yang digunakan untuk mencari kecepatan kita harus

menurunkan fungsi yang digunakan untuk mencari ketinggian pada

peluru kemudian untuk mencari tinggi maksimum harus didapatkan

nilai dari t disaat kecepatan peluru sama dengan 0.


tersebut!

S2: Jadi rencana saya setelah mendapatkan rumus kecepatan peluru yang

didapatkan dari menurunkan rumus ketinggain peluru adalah

mensubtitusikan nilai dari 0 sampai 16 detik didalam rumus

kecepatan. Setelah itu saya memasukkan hasil yang didapatkan

kedalam grafik dan didapatkan bentuk grafik yang mempengaruhi

perilaku dari kecepatan peluru yaitu grafik yang didapatkan dari

fungsi turun dimana kecepatan peluru semakin lama semakin

menurun dan setelah saya mendapatkan waktu yang diperlukan untuk

membuat peluru berada diketinggian maksimum saya

mensubtitusikan waktu tersebut kedalam rumus ketinggian peluru

sehingga didapatkan tinggi maksimum dari peluru.



S2: Proses yang dilakukan setelah saya tahu jika untuk mencari

kecepatan harus menurunkan rumus mencari ketinggian pada peluru

maka saya mencari turunan. setelah itu saya melakukan proses

subtitusi kedalam rumus kecepatan peluru dan juga melakukan

beberapa proses aljabar pada persamaan 𝑣(𝑡) = 0.

P: Baik itu untuk yang 1a, kemudian menggambar grafiknya itu

bagaimana dan yang 1b bagaimana kamu mengimplementasikannya?


280

S2: Untuk nomor 1a pada bagian menggambar grafik saya menggunakan

kecepatan dari peluru dari waktu 0 sampai 16 detik sehingga

didapatkan grafik berupa fungsi turun dan juga gradien negative

karena kecepatan peluru dari setiap waktu semakin menurun. Dan

untuk yang 1b saya mengimplementasikannya dengan menggunakan

persamaan 𝑣(𝑡) = 0 sehingga didapatkan t=16 kemudian saya

siubtitusikan t=16 kedalam rumus ketinggian agar didapatkan

ketinggian maksimum yang diperoleh peluru.



kamu!

S2: Kalau untuk saya sebenarnya tidak menemui kendala dalam

mengimplementasikan pengerjaan soal.



lakukan?

S2: Iya saya melakukan pengecekkan kembali setelah menyelesaikan

soal agar meminimalisir kesalahan dan jika terjadi kesalahan saya

masih sempat untuk memperbaiki jawaban saya.



S2: Jadi untuk soal nomor 1 saya mengecek apakah saya menurunkan

fungsi ℎ(𝑡) dengan benar atau tidak lalu saya mengecek hasil

hitungan saya untuk kecepatan peluru dari waktu 0 sampai 16 detik.

Setelahnya saya mengecek grafik saya apakah saya memasukkan

angka-angka yang telah saya dapatkan dengan tepat atau tidak. Lalu

mengecek kesimpulan dan mengecek perhitungan dari tinggi

maksimum peluru dan juga waktu yang diperlukannya.


S2: Dari pemeriksaan kembali saya menemukan beberapa kesalahan

kecil dan juga berusaha memperbaiki kesimpulan agar terlihat lebih

sistematis.



S2: Saya tidak mencari alternative lain dalam menyelesaikan soal karena

menurut saya konsep turunan adalah konsep yang paling tepat dalam

menyelesaikan soal tersebut.






281






lalu mencari turunan dari fungsi ℎ(𝑡) kemudian mencari nilai 𝑡 nya,

menggambarkan grafik, dan mencari tinggi maksimum peluru hal ini selaras



rencana memecahkan masalah yaitu pada soal 1a dengan proses yaitu mencari

turunan dari fungsi ℎ(𝑡) = 24𝑡 −3

4𝑡2 kemudian disubtitusi nilai t=0 sampai

t=16 setelah itu mahasiswa menggambar grafik dan menyimpulkan bahwa

kecepatan peluru semakin lama semakin menurun. Pada soal 1b mahasiswa

mencari turunanya dulu kemudian turunannya sama dengan 0 sehingga

memperoleh waktunya, lalu nilai t nya disubtitusikan ke persamaan awal (𝑡) =

24𝑡 −3

4𝑡2 . Dari proses pengimplementasian yang dijelaskan mahasiswa selaras



pekerjaan agar meminimalisir kesalahan dan jika terjadi kesalahan mahasiswa

sempat memperbaiki jawaban. Kemudian mahasiswa memeriksa kembali proses

penyelesaian yang dibuat dengan mengecek turunan fungsi ℎ(𝑡) dan hasil

perhitungan kecepatan peluru saat t=0 sampai t=16, mengecek gambar grafik

dan kesimpulan. Mahasiswa menemukan dari proses pemeriksaan kembali


282

beberapa kesalahan yaitu pada bagian kesimpulan agar terlihat lebih sistematis,

hal ini selaras dengan indikator keempat dari kemampuan memecahkan masalah








Kutipan wawancara:


S2: Yang diketahui dari soal adalah persamaan s yaitu fungsi yang

digunakan untuk mencari ketinggian bola dan juga jarak 14,7 meter

dari ketinggian bola yang dicapai ketika bola mengalami

pengurangan kecepatan sampai setengahnya.


S2: Pada soal harus ditunjukkan jika bola mengalami pengurangan

kecepatan pada saat jaraknya 14,7 meter sehingga yang ditanyakan

itu adalah waktu yang diperlukan agar bola mengalami pengurangan

kecepatan sampai setengahnya yaitu 14,7 meter.



S2: Untuk soal nomor 2 maksudnya adalah agar kita menunjukkan

kecepatan dari bola pada setiap detiknya dan setelah kita mencarinya

akan telihat didetik keberapa bola mengalami pengurangan kecepatan

sampai setengahnya.



permasalahan?

S2: Konsep yang saya ingat untuk menyelesaikan permasalahan adalah

konsep turunan dimana untuk mendapatkan rumus kecepatan kita

harus menurunkan fungsi yang digunkan untuk menentukan

ketinggian bola.




283

S2: Menurut saya konsep matematika yang dapat digunakan untuk

menyelesaikan permasalahan tersebut adalah konsep turunan.


tersebut!

S2: Rencana saya untuk menyelesaikan soal tersebut adalah untuk

menurunkan fungsi yang digunakan untuk mencari ketinggian bola

agar didapatkan fungsi yang dapat digunakan untuk mencari

kecepatan bola kemudian mencari kecepatan bola dari 0 sampai 2

karena didetik kedua kecepatan bola sudah menjadi 0𝑚/𝑠 setelah itu

saya mencoba mengamati didetik keberapa bola kehilangan

kecepatannya menjadi setengah dari kecepatan awal .



S2: Yang saya lakukan pertama kali adalah menurunkan persamaan

𝑠 menjadi 𝑣(𝑡) yang merupakan rumus yang dapat digunkan untuk

mencari kecepatan bola, lalu saya coba cari kecepatan bola dari detik

0, 1 dan juga detik 2. Saya berhenti didetik kedua karena didapatkan

kecepatan didetik kedua adalah 0𝑚/𝑠 setelah itu saya mengamati

dibagian mana atau didetik keberapa bola mengalami pengurangan

kecepatan setengah dari awal dan saya mendapatkan kecepatan bola

berkurang menjadi setengahnya pada detik kesatu. Kemudian saya

mencoba untuk memasukkan detik kesatu kedalam persamaan 𝑠 dan

didapatkan persamaan 𝑠 didetik pertama adalah 14,7 meter.



kamu!

S2: Pada soal nomor 2 saya tidak menemukan kendala dalam

mengimplemtasikan ide yang saya punya.



lakukan?

S2: Iya saya melakukan pengecekkan kembali agar saya bisa

memperbaiki kesalahan yang saya temukan saat mengerjakan soal.



S2: Saya memeriksa proses saya melakukan turunan dari persamaan 𝑠

menjadi fungsi 𝑣(𝑡), lalu saya memeriksa kembali apakah hasil

perhitungan saya sudah tepat dan juga apakah kesimpulan yang saya

buat kata-katanya sudah dapat dipahami atau belum.


S2: Saya menemukan beberapa kesalahan dalam penulisan angka dan

juga dalam penulisan kata-kata karena saya menuliskannya secara

terburu-buru jadi setelah penulisan ulang saya bisa menemukan

kesalahan-kesalahan tersebut.




284

S2: Untuk soal nomor 2 saya tidak menggunkan alternative jawaban lain.










lalu mahasiswa mencari turunan dari persamaan bola kemudian mencari

kecepatan bola saat t=0 sampai t=2, hal ini selaras dengan indiaktor kedua dari

kemampuan memecahkan masalah yaitu menyusun rencana pemecahan


masalah yaitu mencari turunan dari persamaan kemudian mencari kecepatan

bola saat t=0 sampai t=2, lalu mensubtitusi t=1 ke persamaan 𝑠 dan

membuktikan bola kehilangan separuh kecepatannya di ketinggian 14,7m. Dari

proses pengimplementasian yang dijelaskan mahasiswa selaras dengan indikator

ketiga kemampuan memecahkan masalah yaitu melaksanakan rencana


pekerjaan agar dapat memperbaiki kesalahan saat mengerjakan soal. Kemudian

mahasiswa memeriksa kembali proses penyelesaian yaitu mengecek turunan dari

persamaan 𝑠, mengecek perhitungan, dan kata-kata dalam membuat kesimpulan.


285

Mahasiswa menemukan dari proses pemeriksaan kembali beberapa kesalahan

pada penulisan angka dan penulisan kata-kata dikarenakan menuliskan secara

terburu-buru, hal ini selaras dengan indikator keempat dari kemampuan



memecahkan masalah mahasiswa pada masalah kdeua memenuhi 4 indikator





Kutipan wawancara:


S2: Yang diketahui dari soal nomor 3 adalah biaya produksi dan juga

harga jual dari suatu produk.


S2: Yang ditanyakan pada soal adalah banyaknya produk yang harus

diproduksi agar mendapatkan keuntungan yang maksimal.



S2: Maksud dari soal adalah untuk menemukan jumlah barang yang

harus diproduksi agar perusahaan memperoleh keuntungan yang

maksimal.



permasalahan?

S2: Dari persamaan yang diberikan saya mengingat konsep jika ingin

mencari nilai maksimum dari suatu persamaan maka terlebih dahulu

harus dicari turunan dari persamaan tersebut.



S2: Menurut saya permasalahan matematika dapat diselesaikan dengan

konsep yang berhubungan dengan keuntungan yang diperoleh.

Keuntungan diperoleh dari mengurangkan harga jual barang dengan

biaya produksi. Dan juga untuk mencari nilai maksimum adalah


286

dengan menurunkan persamaan keuntungan yang telah diperoleh

sebelumnya.


tersebut!

S2: Rencana saya untuk menyelesaikan masalah tersebut adalah dengan

mengurangkan persamaan dari harga jual dengan biaya produksi.

Kemudian saya menurunkan persamaan sebelumnya sehingga saya

bisa mendapatkan persamaan 𝑝′(𝑥) = 0 dan bisa memperoleh

banyaknya barang yang harus diproduksi.



S2: Jadi proses saya untuk mengimplementasikan rencana itu adalah

dengan mengurangkan persamaan harga jual barang dengan biaya

produksi dan kemudian saya menurunkan persamaan tersebut

sehingga didapatkan p’(x)=0. Setelah menyelesaikan persamaan

tersebut secara aljabar saya mendapatkan banyaknya barang yang

harus diproduksi agar keuntungan yang didapatkan perusahaan

menjadi maksimum yaitu sebanyak 30 buah.

P: Coba kamu perhatikan pekerjaanmu dibagian keuntungan dimana

harga jual dikurang biaya produksi. Dilihat kembali apakah yang

kamu kerjakan itu sudah benar prosesnya sehingga menemukan

persamaan keuntungan seperti itu.

S2: Kalau menurut saya pada bagian itu, apa yang saya kerjakan mungkin

sudah benar.

P: Baik, coba diperhatikan bagian biaya produksi persamaannya itu 1

3𝑥2 + 20𝑥 + 15 tapi karena rumus keuntungan itu adalah harga jual

dikurang biaya produksi apakah ketika kamu menuliskan kembali

untuk bagian kedua itu nilainya seperti itu persamaan untuk biaya

produksi, kalau yang untuk harga jualnya sudah benar karena kamu

mengalikan 𝑥 nya dengan yang didalam kurung tersebut.

S2: Kalau menurut saya 𝑥 itu terpisah dari biaya produksi sehingga saya

mengalikan 𝑥 dengan harga jual semua barang dan tidak

mengalikannya dengan biaya produksi.

P: Ya benar untuk yang 𝑥 seperti itu, tapi untuk yang biaya produksi

apakah persamaan tadi harga jual dikurangi biaya produksi apakah

pengurang dari rumus keuntungan itu tidak berpengaruh ke biaya

produksi.

S2: Saya rasa mungkin ada kesalahan dipenulisan yang pengurangan itu

seharusnya dibiaya produksi itu persamaannya diberikan kurung,

sehingga kurangnya harus dikalikan kedalam kurung juga.



kamu!

S2: Saya tidak menemukan kendala dalam mengimplementasikan

rencana saya untuk mengerjakan soal hanya saja mungkin ada

beberapa ketidaktelitian yang saya lakukan dan tidak saya sadari saat


287

mengerjakan soal sehingga saya menganggap jawaban saya sudah

benar padahal ada bagian yang saya lewati.



lakukan?

S2: Iya saya melakukan pengecekkan kembali untuk setiap langkah-

langkah yang saya lakukan agar saya bisa memperbaiki bagian yang

saya tau bahwa itu salah.



S2: Saya memeriksa kembali proses perhitungan kemudian proses

menurunkan persamaan dari keuntungan dan juga menghitung

kembali persamaan dari p’(x)=0 sehingga didapatkan hasil jumlah

barang yang harus diproduksi.


S2: Setelah melakukan pemeriksaan dengan lebih teliti saya menemukan

jika saya kurang teliti dengan tidak menuliskan kurung pada bagian

biaya produksi sehingga hasil persamaan untuk bagian keuntungan

berbeda dengan yang seharusnya walaupun hasil dari jumlah barang

yang diproduksi itu sama.

P: Oke baik, tapi itu tadi setelah kakak tanya, maksud kakak pada saat

kamu mengerjakan dulu itu kamu menemukan proses pemeriksaan

kembalinya itu seperti apa?

S2: Pada saat saya menegrjakan saya tidak menemukan kesalahan dalam

hasil pekerjaan saya setelah pemeriksaan ulang.



S2: Saya tidak mencari alternative lain dalam penegrjaan soal karena

saya rasa cara yang saya gunakan sebelumnya adalah cara yang

paling tepat.

P: Oke baik, jika kamu tau kesalahanmu bisakah kamu mengerjakan

sekarang dan kamu mendapatkan berapa keuntungan maksimum

yang didapat dari barang tersebut?

S2: Bisa kak


288








menyusun rencana memecahakan masalah dengan konsep matematika yang

akan digunakan untuk menyelesaikan masalah yaitu keuntungan dan turunan,

lalu mahasiswa mencari keuntungannya terlebih dahulu yaitu mengurangkan

harga jual dan biaya produksi setelah itu keuntungan diturunkan lalu disama

dengankan dengan 0, hal ini selaras dengan indiaktor kedua dari kemampuan


289


mahasiswa mengimplementasikan rencana memecahkan masalah yaitu dengan

mencari keuntungan terlebih dahulu dengan mengurangkan harga jual barang

dengan biaya produksi, mencari turunan dari keuntungan dan turunannya sama

dengan 0, sehingga mahasiswa memperoleh barang yang diproduksi agar

keuntungan maksimum adalah 30 buah. Peneliti meminta mahasiswa agar

memperhatikan jawabannya pada bagian keuntungan yaitu harga jual dikurang

biaya produksi, karena pada bagian pengurangan biaya produksi mahasiswa

kurang lengkap dalam mengoperasikan tandanya. Mahasiswa menyadari bahwa

ada kesalahan penulisan pada biaya produksi karena seharusnya diberi kurung

agar tanda kurangnya dikalikan kedalam kurung semua, kemudian peneliti

meminta mahasiswa untuk memperbaiki dan mahasiswa memperbaiki jawaban

dengan tepat. Dari proses pengimplementasian yang dijelaskan mahasiswa

selaras dengan indikator ketiga kemampuan memecahkan masalah yaitu

melaksanakan rencana pemecahan masalah. Mahasiswa melakukan pengecekan

kembali hasil pekerjaan agar dapat memperbaiki bagian yang salah kemudian

proses pemeriksaan yang dilakukan yaitu proses perhitungan turunan dan cara

menemukan hasil jimlah barang yang harus diproduksi. Mahasiswa tidak

menemukan kesalahan pada jawaban setelah pemeriksaan ulang, hal ini selaras

dengan indikator ke empat dari kemampuan memecahkan masalah yaitu





290






untuk masalah pertama, kedua, dan ketiga mahasiswa memenuhi 4 indikator






291









292

Jawaban bagian a:


ℎ(𝑡) = 24𝑡 −3

4𝑡2.






3

2𝑡.

c. Mahasiswa mencari kecepatan saat t=0 sampai t=16 dan menggambarkan

grafiknya .

Dari proses pada poin b dan c tersebut mahasiswa menuliskan konsep yang

digunakan untuk memecahkan masalah yaitu turunan dan merencanakan

menyelesaikan masalah dengan mencari turunan dari fungsi ℎ(𝑡) lalu mencari

kecepatan saat t=0 sampai t=16 dan dapat menggambarkan grafiknya. Hal ini

selaras dengan indikator ke dua dari kemampuan memecahkan masalah yaitu


d. Mahasiswa menggambar grafik. dengan sumbu horizontal sebagai waktu dan

sumbu vertikal sebagai tinggi






293



masalah.





pemecahan masalah.

Jawaban bagian b:

a. Mahasiswa menuliskan fungsi ketinggian peluru lalu diturunkan dan

menyamadengankan 0 sehingga memperoleh waktu yang diperlukan 16 detik.














294













295








masalah.

b. Mahasiswa menurunkan persamaan bola dan mencari kecepatan awal di 14,7

dan menuliskan persamaan menjadi 14,7 = 19,6 − 9,8𝑡 dan memperoleh 𝑡 =

1

2.

c. Mahasiswa menyimpulkan bola kehilangan separuh dari kecepatan awalnya

di 14,7m pada 𝑡 =1

2.




bola, lalu mencari kecepatan awal dan mencari nilai t untuk membuktikan bola

kehilangan separuh dari kecepatan awalnya di 14,7m pertama dari kenaikannya.

Hal ini belum memenuhi indikator ke dua dan ke tiga dari kemampuan

memecahkan masalah yaitu menyusun rencana pemecahan masalah dan



296







3𝑥2 +







297


masalah.

b. Mahasiswa menuliskan rumus keuntungan yaitu harga jual dikurang biaya

produksi sehingga memperoleh 10𝑥 − 𝑥2 − 15.









pemecahan masalah.



barang.





kemudian menyamdengankan 0 dan memperoleh 𝑥 unit barang yang harus



298


masalah.





pemecahan masalah.


Kutipan wawancara:


S3: Yang diketahui dalam soal yaitu tinggi peluru ℎ dalam meter, waktu

yaitu 𝑡 dalam detik dan juga persamaannya yaitu ℎ(𝑡) = 24𝑡 −3

4𝑡2.


S3: Yang ditanyakan pada soal yaitu mencari kecepatan peluru saat t=0

sampai t=16 dan juga menentukan tinggi maksimum yang dapat

dicapai peluru dan waktu yang diperlukan.

P: Apakah yang ditanyakan pada 1a hanya itu saja?

S3: Yang ditanyakan pada soal 1a tidak hanya mencari kecepatan peluru

saat t=0 sampai t=16 tetapi juga diminta untuk menggambarkan

grafiknya.



S3: Maksud dari soal nomor 1 menurut saya yaitu yang pertama kami

diminta untuk mencari kecepatan peluru ketika t=0 sampai t=16 dari

persamaan yang telah diberikan menggunakan aturan dari turunan.

Untuk nomor 1b kami diminta untuk mencari tinggi maksimum dan

waktu yang diperlukan dari peluru tersebut juga menggunakan aturan

turunan.



permasalahan?

S3: Saya mencoba mengingat dengan melihat pada soal yang terdapat

perubahan nilai waktu dari t=0 sampai t=16 maka dengan itu saya

dapat menyimpulkan bahwa untuk mengerjakan soal tersebut bisa

dicari dengan menggunakan aturan-aturan turunan.




299

S3: Konsep yang digunakan untuk mengerjakan 1a dan 1b yaitu konsep

turunan.


tersebut!

S3: Rencana yang saya lakukan untuk mengerjakan nomor 1a yaitu

pertama-tama mencari turunan pertama dari persamaan ℎ(𝑡) setelah

itu langkah yang kedua saya mencari kecepatan peluru saat t=0

sampai t=16 cara manual satu persatu dengan mensubtitusikan nilai

𝑡 ke persamaan ℎ’(𝑡) setelah itu saya menggambar grafik dari

kecepatan peluru tersebut dengan melihat hasil dari subtitusi yang

telah saya lakukan sebelumnya. Untuk nomor 1b langkah pertama

yang saya lakukan yaitu mencari turunan pertama dari ℎ(𝑡) setelah

itu langakah selanjutnya yang saya lakukan yaitu ℎ’(𝑡) tersebut

disama dengankan 0 dan didapat 𝑡 nya yaitu 16 detik lalu langkah

selanjutnya yang saya lakukan yaitu untuk mencari tinggi

maksimumnya saya mensubtitusikan 𝑡 yang telah didapat tadi yaitu

t=16 ke persamaan ℎ(𝑡) dan didapatkan tinggi maksimumnya yaitu

192 meter.



S3: Proses yang saya lakukan untuk mengerjakan soal nomor 1a yaitu

ketika saya membaca soal dan diketahui bahwa ℎ(𝑡) = 24𝑡 −3

4𝑡2

maka sesuai rencana saya tadi bahwa langkah pertama yaitu saya

mencari turunan pertama dari persamaan ℎ(𝑡) dan didapat bahwa

′(𝑡) = 24 −3

2𝑡 . Setelah itu untuk mencari kecepatan peluru saat t=0

sampai t=16 saya mensubtitusikan nilai 𝑡 tersebut kedalam

persamaan ℎ’(𝑡) hasilnya yaitu ketika t=0 maka ℎ’(0) = 24 ketika

t=1 maka ℎ’(1) = 22,5 dan seterusnya sampai t=16 maka ℎ’(16) =0 dari proses penyelesaian tersebut diperoleh bahwa kecepatan

peluru semakin melambat seiring bertambahnya waktu dan setelah

itu saya menggambarkan grafik prosesnya dengan melihat kembali

pekerjaan saya ketika memasukkan t=0 sampai t=16 dan

menggambarnya ke dalam grafik.

P: Jelasakan bagaimana kamu menggambarkan grafik?

S3: Untuk grafiknya sumbu 𝑦 saya simbolkan dengan 𝑃 yang berarti

kecepatan peluru dan sumbu 𝑥 yang saya simbolkan sebagai 𝑡 yang

berarti waktu yang digunakan peluru tersebut. Grafiknya diperoleh

dengan melihat kembali perhitungan yang telah saya lakukan dengan

memasukkan nilai 𝑡 ke ℎ’(𝑡) ketika t=0 maka h’(0)=24 maka (𝑥, 𝑦)

yaitu (0,24) seterusnya hingga t=16.

P: Coba kamu lihat gambar grafikmu dipekerjaanmu, mengapa bentuk

grafiknya seperti itu?

S3: Untuk grafik yang telah saya gambar memang saya akui penempatan

titik-titik tersebut memang tidak sesuai dengan perhitungan yang

telah saya lakukan sebelumnya hal tersebut karena ketika saya


300

mengerjakan soal tersebut saya merasa tergesa-gesa dan merasa takut

saya akan kehabisan waktu, maka dari itu ketika saya memasukkan

nilai 𝑥 dan 𝑦 ke grafiknya saya hanya memperkirakan letak dari titik

(𝑥, 𝑦) tersebut mendekati pada grafik yang telah saya gambar

tersebut.

P: Bisa kamu gambarkan ulang sekarang grafiknya?

S3: Baik kak

P: Apa yang dapat kamu simpulkan dari grafik tersebut?

S3: Kesimpulan dari grafik tersebut yaitu semakin banyak waktu yang

digunakan maka kecepatan peluru tersebut akan semakin menurun,

jadi semakin waktunya banyak kecepatan pelurunya akan berkurang.

S3: Untuk nomor 1b langkah pertama yang saya lakukan menuliskan

persamaan ℎ(𝑡), sesuai rencana awal saya tadi yaitu mencari turunan

pertama dari ℎ(𝑡) didapat yaitu ℎ′(𝑡) = 24 −3

2𝑡 . Setelah itu h’(t)

tersebut saya samadengankan 0 dan didapat bahwa t=16 detik

langkah selanjutnya mencari tinggi maksimum dari peluru tersebut

ketika 𝑡 nya sudah diketahui dengan cara mensubtitusikan t=16 ke

dalam ℎ(𝑡) = 24𝑡 −3

4𝑡2dan diperoleh tinggi maksimumnya adalah

192 meter.


301



kamu!

S3: Kendala yang saya alami ketika mengerjakan nomor 1 yaitu

menghitung kecepatan peluru saat t=0 sampai t=16 karena saya

mengerjakan secara manual satu persatu jadi membutuhkan waktu

yang lebih lama.



lakukan?

S3: Iya saya melakukan pengecekkan kembali untuk soal nomor 1a dan

1b untuk memastikan bahwa saya sudah mengerjakan dan

menghitung dengan benar.



S3: Untuk pengecekkan kembali pertama saya melihat apakah saya sudah

menurunkan persamaan tersbeuit dengan benar kemudian saya juga

menghitung kembali nilai-nilai yang telah saya subtitusikan ke ℎ’(𝑡)

kemudian untuk yang 1b saya melihat kembali apakah saya sudah

benar ketika mencari 𝑡 tersebut dan juga melihat kembali apakah saya

mensubtitusikan nilai 𝑡 ke persamaan ℎ(𝑡) sudah menghitungnya

dengan benar juga.


S3: Ketika saya memeriksa kembali pekerjaan saya nomor 1 yang saya

dapatkan yaitu ada kesalahan perhitungan ketika saya

mensubtitusikan nilai t=1 ke ℎ′(𝑡) = 24 −3

2𝑡. Awalnya saya

menuliskan bahwa 45

2 itu hasilnya 24,5 namun setelah saya periksa

kembali yang benar adalah 22,5.



S3: Ketika saya mengerjakan soal tersebut dan telah menyelesaikan

nomor 1 saya belum terpikir untuk mencari alternatif cara lainnya,

karena saya juga harus memikirkan waktu untuk mengerjakan nomor

selanjutnya.







302





lalu mencari turunan dari fungsi ℎ(𝑡) kemudian mencari nilai 𝑡 nya,

menggambarkan grafik, dan mencari tinggi maksimum peluru hal ini selaras



rencana memecahkan masalah yaitu pada soal 1a dengan proses yaitu mencari

turunan dari fungsi ℎ(𝑡) = 24𝑡 −3

4𝑡2 kemudian disubtitusi nilai t=0 sampai

t=16 setelah itu mahasiswa menggambar grafik. Peneliti menanyakan bagaimana

menggambarkan grafik dan mahasiswa menjelaskan bahawa sumbu 𝑦

disimbolkan dengan 𝑃 untuk kecepatan peluru dan sumbu 𝑥 disimbolkan dengan

𝑡 untuk waktu yang digunakan peluru lalu grafik diperoleh dengan melihat

kembali perhitungan mencari kecepatan dan memasukkan t=0 maka ℎ’(0) = 24

maka (𝑥, 𝑦) yaitu (0,24) seterusnya hingga t=16 serta peneliti meminta

mahasiswa untuk menggambarkan ulang grafik. Pada soal 1b mahasiswa

mencari turunanya dulu kemudian turunannya sama dengan 0 sehingga

memperoleh waktunya, lalu nilai t nya disubtitusikan ke persamaan awal (𝑡) =

24𝑡 −3

4𝑡2 . Dari proses pengimplementasian yang dijelaskan mahasiswa selaras



pekerjaan agar memastikan sudah mengerjakan dan menghitung dengan benar.


303

Kemudian mahasiswa memeriksa kembali proses penyelesaian yang dibuat

dengan mengecek turunan fungsi ℎ(𝑡) dan hasil perhitungan kecepatan peluru

saat t=0 sampai t=16 dan mengecek perhitungan untuk mencari ketinggian

maksimum. Mahasiswa menemukan dari proses pemeriksaan kembali kesalahan

yaitu kesalahan perhitungan mensubtitusi t=1 ke fungsi diturunkan, hal ini

selaras dengan indikator keempat dari kemampuan memecahkan masalah yaitu








Kutipan wawancara:


S1: Yang diketahui dari soal nomor 2 yaitu persamaan ketika bola

dilemaprkan keatas yaitu 𝑠 = 19,6𝑡 − 4,9𝑡2.


S1: Yang ditanyakan pada soal nomor 2 yaitu saya diminta untuk

menunjukkan bahwa bola tersebut kehilangan setenagh kecepatan

awal di 14,7m pertama dari kenaikannya.



S1: Menurut saya untuk maksud soal nomor 2 yaitu saya diminta untuk

menunjukkan atau membuktikan bahwa benar bola tersebut itu

kehilanagn setengah dari kecepatan awalnya di 14,7m pertama dari

kenaikannya dengan melihat dari persamaan yang telah diberikan.



permasalahan?


304

S1: Untuk konsepnya saya bisa mengerjakan seperti itu secara tiba-tiba

spontan saya berpikir seperti itu setelah saya membaca kembali

soalnya, saya menggunakan turunan untuk menyelesaikannya.



S1: Konsep turunan kak.


tersebut!

S1: Saya menjawab dengan menurunkan dari persamaan yang telah

diberikan. Kemudian juga saya menyamadengankan 𝑠’ dengan t=14,7

selanjutnya saya merencanakan untuk memasukkan nilai-nilai t yang

telah dicari kedalam persamaan awal yaitu persamaan 𝑠. P: Bagaimana proses kamu mengimplementasikan rencanamu dalam


S1: Proses yang saya lakukan saya menurunkan persamaa. Lalu

menganggap t=14,7 saya salah tulis karena saya menuliskan

diketahuinya kecepatan awal 14,7m seharusnya itu ketinggiannya,

ketika menjawabnya menjadi waktunya. Setelah itu saya menemukan

𝑡 =1

2 itu juga salah karena kembali ke awal saya mengerjakan soal

nomor 2 ini belum paham sepenuhnya arti dari soalnya.



kamu!

S3: Kendala yang saya alami saya merasa susah ketika memahami soal

tersebut dan saya merasa bingung harus mengerjakan bagaimana

untuk menyelesaikan.



lakukan?

S1: Saya tidak melakukan pengecekkan kembali sehingga saya tidak

menyadari jika terdapat pengerjaan yang salah.



S3: Saya tidak mencari alternative lainnya, hal tersebut karena saya

sudah merasa kebingungan dalam mengerjakan soal tersebut..







305





turunan, lalu mahasiswa mencari turunan dari persamaan bola kemudian

menyamadengaankan persamaan 𝑠 dengan 14,7m. Hal ini belum selaras dengan

indiaktor kedua dari kemampuan memecahkan masalah yaitu menyusun rencana


memecahkan masalah yaitu menurunkan persamaan 𝑠 dan menyamadengankan

t=14,7 karena mahasiswa menuliskan yang diketahui kecepatan awal yaitu

14,7m. dan menyimpulkan bola kehilangan separuh kecepatan di 14,7m saat 𝑡 =

1

2. Dari proses pengimplementasian yang dijelaskan mahasiswa belum memenuhi


pemecahan masalah. Mahasiswa tidak melakukan pengecekan kembali sehingga

mahasiswa tidak menyadari pekerjaan salah dan tidak mencari alternative lain

karena mahasiswa kebingungan dalam mengerjakan soal tersebut, hal ini belum

memenuhi indikator ke empat dari kemampuan memecahkan masalah yaitu




kemampuan memechakan masalah menurut Polya (1957), yaitu memahami

masalah.


306


Kutipan wawancara:


S3: Diketahui pada soal nomor 3 yang pertama biaya produksi 𝑥 unit

barang yaitu 1

3𝑥2 + 20𝑥 + 15 , yang kedua harga jual setiap barang

yaitu 30 −1

2𝑥.


S3: Yang ditanyakan pada soal nomor 3 yaitu saya diminta untuk mencari

banyaknya barang yang diproduksi.



S3: Maksud soal nomor 3 yaitu saya diminta untuk mencari banyaknya

barang yang diproduksi untuk memperoleh keuntungan yang optimal

jika diketahui biaya untuk memproduksi 𝑥 unit barang yaitu 1

3𝑥2 +

20𝑥 + 15 dan juga diketahui harga jual setiap barang yaitu 30 −1

2𝑥.



permasalahan?

S3: Melihat kembali soal, karena soal tersebut meminta untuk mencari

banyaknya barang yang diproduksi agar mendapatkan keuntungan

yang maksimal. Karena keuntungan maksimal saya menyimpulkan

konsep matematika yang digunakan keuntungan dan turunan.



S3: Keuntungan dan turunan kak.


tersebut!

S3: Saya mencari keuntungan dulu, lalu menggunakan turunan dan

disamadnegankan 0 sehingga memperoleh keuntungan maksimal.



S3: Jadi pertama saya cari dulu keuntungannya, untungannya itu harga

jual dikurang biaya produksi. Itu jadi 30𝑥 −1

2𝑥2 − (

1

3𝑥2 + 20𝑥 +

15) memiliki hasil 10𝑥 − 𝑥2 − 15. Setelah itu dapat keuntungannya,

keuntunggannya itu saya turunkan dan sama dengankan 0 dan

akhirnya saya mendapat x nya itu 5, yaitu unit barangnya yang harus

diproduksi itu 5 agar mendapatkan keuntungan optimal.



kamu!

S3: Kendala dalam mengerjakan tidak ada tapi waktunya mepet

mengerjakan jadi buru-buru.


307



lakukan?

S3: Saya tidak melakukan pengecekkan kembali karena waktunya sudah

mepet kak.



S3: Tidak juga kak, waktunya mau habis.









matematika yang akan digunakan untuk menyelesaikan masalah yaitu

keuntungan dan turunan, lalu mahasiswa mencari keuntungannya terlebih lalu

keuntungan diturunkan lalu sama dengankan dengan 0, hal ini selaras dengan

indiaktor kedua dari kemampuan memecahkan masalah yaitu menyusun rencana


memecahkan masalah yaitu dengan mencari keuntungan terlebih dahulu dimana

harag jual dikurang biaya produksi lalu diperoleh 10𝑥 − 𝑥2 − 15. Setelah itu

mahasiswa mencari turunan dari keuntungan dan turunannya sama dengan 0,

sehingga mahasiswa memperoleh barang yang diproduksi agar keuntungan

optimal adalah 5 unit. Dari proses pengimplementasian yang dijelaskan


308

mahasiswa selaras dengan indikator ketiga kemampuan memecahkan masalah

yaitu melaksanakan rencana pemecahan masalah. Mahasiswa tidak melakukan

pengecekan kembali hasil pekerjaan karena tidak sempat waktunya sudah mepet

dan tidak mencari alternative lain karena buru-buru waktunya habis, hal ini

belum memenuhi indikator ke empat dari kemampuan memecahkan masalah








wawancara di atas, dapat disimpulkan bahwa kemampuan memecahkan masalah

untuk masalah kedua mahasiswa memenuhi 1 indikator kemampuan

memecahkan maslaah mneurut Polya (1957) yaitu memahami masalah,

kemudian masalah ketiga mahasiswa memenuhi 3 indikator kemampuan



pemecahan masalah, sedangkan untuk masalah pertama mahasiswa memenuhi 4

indikator kemampuan memecahkan masalah menurut Polya (1957), yaitu (1)

memahami masalah, (2) menyusun rencana pemecahan masalah, (3)


pemecahan masalah.


309

I. Kelemahan Penelitian

Penelitian ini dilaksanakan di kelas C semester II program studi Pendidikan

Matematika Universitas Sanata Dharma sebagai kelas uji coba dan kelas B

semester II program studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma

sebagai kelas penelitian. Penelitian dilakukan sebanyak 3 kali pertemuan yaitu 2

pertemuan pembelajaran dan 1 pertemuan tes hasil belajar yang semua

dilaksanakan dengan sistem daring melalui google classroom dan WhatsApp

Group. Proses pembelajaran dianalisis dan didekripsikan berdasarkan kegiatan

atau usaha yang dilakukan peneliti berdasarkan langkah-langkah strategi

pembelajaran flipped classroom. Data tes tertulis dan wawancara dianalisis

berdasarkan indikator kemampuan pemecahan masalah menurut Polya (1957),


melaksanakan rencana pemecahan masalah, dan (4) melihat kembali hasil

pemecahan masalah.

Pada penelitian ini yang menjadi kelemahan adalah (1) keterbatasan waktu

dalam kegiatan apersepsi, memberikan pendampingan kepada semua kelompok,

dan kesimpulan pembelajaran pada lintasan belajar pertemuan kedua, dan (2)

tidak semua mahasiswa mengajukan pertanyaan terkait video pembelajaran

aturan-aturan turunan yang telah diupload oleh peneliti. Keterbatasan waktu

dalam perencanaan rancangan pembelajaran sangat berbeda ketika pembelajaran

dilaksanakan dengan sistem daring karena kendala seperti jaringan sinyal

merupakan hal yang paling utama. Ketika melakukan apersepi, memberikan

pendampingan kepada semua kelompok, dan menyimpulkan pembelajaran pada


310

pertemuan kedua semua waktu sudah dimaksimalkan tetapi terkadang

melampaui waktu sehingga peneliti harus mempersipakan segala kemungkinan

agar tidak terulang pada pertemuan di kelas penelitian. Tidak semua mahasiswa

mengajukan pertanyaan pada video pembelajaran walaupun peneliti telah

mengingatkan melalui WhatsApp Group dan Chat Personal, karena tujuan

peneliti memberikan tugas mahasiswa mengajukan pertanyaan agar mahasiswa

memahami materi pada video pembelajaran yang peneliti telah buat.

J. Refleksi

Berproses dan Berprogres.

Berproses dan berprogres merupakan dua hal utama yang menemai saya

dalam menyelesaikan penulisan karya ilmiah ini. Hal yang selalu saya pikirkan

saat menuliskan penelitian ini yaitu tunda, mundur, atau maju. Proses dalam

mengerjakan sesuatu memang pasti ada dalam segala hal, karena ini bukan

pertama saya menuliskan karya ilmiah tetapi ada hal lain yang akan

menggerakkan dalam menyelesaikan karya ilmiah ini yaitu sebuah kefokusan.

Fokus ketika mengerjakan sesuatu sangat penting, karena dalam mengerjakan

sesuatu kita menginginkan segalanya yang terbaik bukan hanya agar cepat

terselesaikan begitu saja. Proses yang dialami peneliti sendiri yaitu beban

kehidupan, tidak menyelesaikan masalah, dan lari dari kenyataan yang membuat

saya selalu deny untuk mengerjakan karya ilmiah ini. Tetapi saya bersyukur dan

berterima kasih didampingi, dibimbing, oleh dosen pembimbing yang selalu

mengingatkan bahkan mencari yang merupakan sebuah ketakutan bagi saya


311

antara jujur atau tidak dengan apa yang saya alami. Dosen pembimbing yang

selalu memberikan semangat kepada saya merupakan pembangkit saya ketika

saya merasa down dan berjuang untuk mengalahkan diri sendiri.

Karya ilmiah ini dimulai pada bulan Oktober 2019, dimana saya tidak

mengajukan topik karena pergantian topik tesis sehingga saya bingung memilih

topik tesis yang akan saya pilih, kemudian dosen pembimbing memberikan saran

untuk membaca dan mempelajari tentang flip learning. Perasaan saya sebenanya

waktu itu tertantang dan takut karena topik penelitian tersebut belum pernah saya

pelajari dan tidak tahu bagaimana pembelajarannya karena diperkuliahanpun

saya belum mempelajari dan menerapkan. Kemudian saya bertanya dan diberi

gambaran oleh dosen yang mengajar S1 dan merupakan dosen pembimbing saya

ketika melaksanakan praktek pembelajaran matematika, sehingga membuat saya

yakin bahwa saya harus mundur karena model pembelajarannya menggunakan

kecanggihan teknologi dan menurut saya hal tersebut kendala utama saya. Tetapi

dosen pembimbing saya meyakinkan saya untuk dapat mengambil topik

penelitian tesis tersebut karena beliau yakin saya bisa dan belum mencoba

walaupun saya pesimis, tidak percaya akan diri saya sendiri yang akhirnya

membuat saya melawan ketakutan saya untuk melangkah saja dulu. Pada bulan

April dan Mei 2020 akhirnya saya dapat melaksanakan penelitian walaupun

penelitiannya tidak dilaksanakan tatap muka tetapi secara daring karena pandemi

covid-19. Saya merasakan down ketika akan melaksanakan penelitian karena

perencanaan penelitian yang dilakukan secara tatap muka tiba-tiba harus

dipersiapkan segera secara daring dan proses bimibingan juga dilakukan secara


312

online. Saya hanya berpikir waktu itu jadi atau tidak penelitian karena persiapan

kurang dan dosen-dosen S1 yang megampu mata kuliah yang saya akan

laksanakan penelitian juga banyak memberikan masukan dan saran kepada saya.

Akhirnya peneliti dapat menyelesaikan penelitian ditengah-tengah pandemic

yang saya juga harus memikirkan bagaimana cara bertahan hidup dan menjaga

kesehatan dengan baik. Banyak hal yang saya peroleh dari melakukan penelitian

ini, saya belajar bagaimana membuat perangkat pembelajaran yang baik,

memahami konsep, menerapkan pembelajaran secara daring, dan kesabaran,

kerja keras, focus dalam mengerjakan sesuatu, semangat pantang menyerah

dalam kondisi apapun, dan pemahaman dan penerimaan yang baik dalam setiap

keadaan dan kenyataan yang dihadapi.

Dosen pembimbing saya yang selalu ada untuk saya ditengah-tengah

kesibukan Beliau, tidak pernah meninggalkan saya walaupun saya sering lari dan

tidak memberikan kabar. Beliau yang selalu memberikan semangat,

mengingatkan saya, dan memberikan apresiasi terhadap hasil pekerjaan saya.

Beliau yang memberikan arahan, masukan, dorongan, menawarkan bantuan, dan

memberikan nasihat dalam permasalahan yang saya hadapi. Terima kasih

banyak Pak Hongki atas kesabaran, pemberian semangat, ilmu, dan nasihat

kepada saya, semoga Bapak dan Keluarga selalu bahagia, diberi kesehatan dan

penyertaan dari Tuhan yang Maha Kuasa. Kemudian pengalaman berharga dari

semua penulisan karya ilmiah ini hingga terselesaikan yaitu fokus dalam

mengerjakan sesuatu, pemahaman dan penerimaan yang baik proses menuju


313

kedewasaan, dan belajar menjadi seorang pendidik agar ilmu yang dimiliki dapat

bermanfaat bagi diri sendiri dan sesama untuk kedepannya.


314

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitian yang telah dilakasanakan oleh peneliti dapat

disimpulkan sebagai berikut:

1. Peneliti merancang lintasan belajar berdasarkan langkah-langkah strategi

pembelajaran flipped classroom yaitu (a) fase 0 adalah sebagai berikut:

mahasiswa menonton video berisi materi pembelajaran di rumah yang telah

dibuat oleh guru, (b) fase 1 adalah sebagai berikut: guru membentuk beberapa

kelompok kecil pada saat pembelajaran di kelas, (c) fase 2, yaitu menerapkan

kemampuan siswa dalam proyek dan simulasi lain di dalam kelas, dan (d) fase

3, yaitu mengukur pemahaman siswa yang dilakukan di kelas pada akhir

materi pelajaran). Langkah-langkah membelajarkan materi turunan yang

dirancang oleh peneliti dengan menggunakan model pembelajaran berbasis

masalah dengan strategi flipped classroom sebagai berikut:

a. Fase 0: mahasiswa mencoba membuktikan aturan-aturan turunan dan

setelah selesai membuktikan, mahasiswa diminta untuk membandingkan

proses yang mereka buat dengan proses yang dilakukan oleh peneliti yang

dijelaskan oleh peneliti melalui video.

b. Fase 1: mahasiswa diajak berdiskusi tentang gradien garis singgung

dengan kaitannya pada turunan dan memberikan masalah tentang aturan-

aturan turunan kepada mahasiswa untuk diselesaikan secara berkelompok.


315

c. Fase 2: para mahasiswa mendiskusikan bagaimana cara menyelesaikan

masalah tersebut di dalam kelompok dan mempresentasikan hasil diskusi

kelompok.

d. Fase 3: peneliti memberikan tes tertulis aturan-aturan turunan kepada

mahasiswa untuk mengetahui kemampuan memecahkan masalah

mahasiswa.

Dari langkah-langkah pembelajaran yang telah dilakukan untuk

membelajarkan materi turunan menggunakan model pembelajaran berbasis

masalah dengan strategi flipped classroom oleh peneliti merupakan

keberhasilan yang dicapai oleh peneliti.

2. Kemampuan memecahkan masalah mahasiswa pada materi turunan setelah

mengalami proses pembelajaran dengan menggunakan model pembelajaran

berbasis masalah dengan strategi flipped classroom sebagai berikut:

a. Kemampuan memecahkan masalah mahasiswa yang mengikuti mata

kuliah Kalkulus Diferensial di kelas C program studi Pendidikan

Matematika Universitas Sanata Dharma pada kelas uji coba berdasarkan

hasil tes tertulis.

1) Ada dua kelompok jawaban untuk masalah satu dari 39 mahasiswa

yang menyelesaikan masalah. Kelompok pertama untuk bagian a

terdapat 29 mahasiswa yang memenuhi 3 indikator kemampuan

memecahkan masalah dan bagian b terdapat 26 mahasiswa yang

memenuhi 3 indikator kemampuan memecahkan masalah. Kelompok

kedua untuk bagian a terdapat 7 mahasiswa yang memenuhi 1 indikator


316

kemampuan memecahkan masalah dan bagian b terdapat 7 mahasiswa

yang memenuhi 3 indikator kemampuan memecahkan masalah.

2) Untuk masalah kedua, dari 39 mahasiswa terdapat 15 mahasiswa yang

memenuhi 3 indikator kemampuan memecahkan masalah, 4 mahasiswa

yang memenuhi 2 indikator kemampuan memecahkan masalah, dan 15

mahasiswa yang memenuhi 1 indikator kemampuan memecahkan

masalah.

3) Untuk masalah ketiga, dari 39 mahasiswa terdapat 29 mahasiswa yang

memenuhi 3 indikator kemampuan memecahkan masalah dan 3

mahasiswa memenuhi 1 indikator kemampuan memecahkan masalah.

b. Kemampuan memecahkan masalah mahasiswa yang mengikuti mata

kuliah Kalkulus Diferensial di kelas C program studi Pendidikan

Matematika Universitas Sanata Dharma pada kelas uji coba berdasarkan

hasil tes tertulis dan wawancara.

1) Untuk mahasiswa kategori pertama disimpulkan bahwa untuk masalah

pertama dan masalah kedua mahasiswa memenuhi 3 indikator

kemampuan memecahkan masalah sedangkan untuk masalah ketiga


2) Untuk mahasiswa kategori kedua disimpulkan bahwa untuk masalah

pertama dan masalah ketiga mahasiswa memenuhi 4 indikator

kemampuan memecahkan masalah sedangkan untuk masalah kedua



317

3) Untuk mahasiswa kategori ketiga disimpulkan bahwa untuk masalah

pertama mahasiswa memenuhi 4 indikator kemampuan memecahkan

masalah sedangkan untuk masalah kedua dan masalah ketiga


c. Kemampuan memecahkan masalah mahasiswa mahasiswa yang

mengikuti mata kuliah Kalkulus Diferensial di kelas B program studi

Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma pada kelas penelitian

berdasarkan hasil tes tertulis.

1) Untuk masalah pertama, ada tiga kelompok jawaban dari 47 mahasiswa

yang menyelesaikan masalah. Kelompok pertama untuk bagian a

terdapat 37 mahasiswa yang memenuhi 3 indikator kemampuan

memecahkan masalah dan bagian b terdapat 33 mahasiswa yang

memenuhi 3 indikator kemampuan memecahkan masalah. Kelompok

kedua untuk bagian a terdapat 4 mahasiswa yang memenuhi 3 indikator

kemampuan memecahkan masalah dan bagian b terdapat 4 mahasiswa

yang memenuhi 2 indikator kemampuan memecahkan masalah.

Kelompok ketiga untuk bagian a terdapat 4 mahasiswa yang memenuhi

1 indikator kemampuan memecahkan masalah dan bagian b terdapat 4


masalah.

2) Untuk masalah kedua, dari 47 mahasiswa terdapat 20 mahasiswa yang

memenuhi 3 indikator kemampuan memecahkan masalah, 7 mahasiswa

yang memenuhi 2 indikator kemampuan memecahkan masalah, dan 12


318


masalah.

3) Untuk masalah ketiga, dari 47 mahasiswa terdapat 39 mahasiswa yang

memenuhi 3 indikator kemampuan memecahkan masalah dan 3

mahasiswa memenuhi 1 indikator kemampuan memecahkan masalah

d. Kemampuan memecahkan masalah mahasiswa mahasiswa yang

mengikuti mata kuliah Kalkulus Diferensial di kelas B program studi

Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma pada kelas penelitian

berdasarkan hasil tes tertulis dan wawancara.

1) Untuk mahasiswa kategori pertama disimpulkan bahwa untuk masalah

pertama dan masalah kedua mahasiswa memenuhi 4 indikator

kemampuan memecahkan masalah sedangkan untuk masalah ketiga


2) Untuk mahasiswa kategori kedua disimpulkan bahwa untuk masalah

pertama, masalah kedua, dan masalah ketiga mahasiswa memenuhi 4

indikator kemampuan memecahkan masalah.

3) Untuk mahasiswa kategori ketiga disimpulkan bahwa untuk masalah

pertama mahasiswa memenuhi 4 indikator kemampuan memecahkan

masalah, untuk masalah kedua mahasiswa memenuhi 1 indikator

kemampuan memecahkan masalah, sedangkan untuk masalah ketiga



319

B. Saran

Berdasarkan kesimpulan hasil penelitian, ada beberapa saran yang dapat

diberikan oleh peneliti sebagai berikut:

1. Saran untuk pendidik maupun peneliti yang akan melakukan pembelajaran

atau penelitian untuk inovatif dalam pembelajaran dengan menggunakan

model pembelajaran yang siap digunakan untuk kondisi daring maupun luring

serta memberikan soal-soal yang aplikatif untuk melatih kemampuan

memecahkan masalah peserta didik.

2. Saran untuk mahasiswa yaitu agar lebih aktif dalam mengikuti proses

pembelajaran dalam hal bertanya, berpendapat, dan diskusi yang dilakukan

baik secara individu maupun kelompok.


320

DAFTAR PUSTAKA

Aksolani dan Machdalena, R. J. 2019. Pengaruh Motivasi dan Kemampuan Kerja

Terhadap Kinerja Karyawan PT. Inti (PERSERO) Bandung. Jurnal Riset

Manajemen, Hal. 31-44.

Arikunto, S. 2012. Dasar-dasar Evaluasi Pendidikan. Jakarta: Bumi Aksara.

Ario, M. dan Asra, A. 2019. Pengembangan Video Pembelajaran Materi Integral

pada Pembelajaran Flipped Classroom. Jurnal Program Studi Pendidikan

Matematika, Vol. 8, No. 1, Hal 20-31.

Bishop, J. L. dan Verleger, M. A. 2013. The Flipped Classroom: A Survey of the

Research. Atlanta: 120th ASEE Annual Conference & Exposition.

Branca, N. A. 1980. Problem Solving as A Goal, Process and Basic Skill dalam

Problem Solving in School Mathematics. Reston, VA: NCTM

Daryanto. 2014. Pendekatan Pembelajaran Saintifik Kurikulum 2013. Yogyakarta:

Gava Media.

Farah, I. dan Leny, H. 2017. Peran Penguasaan Dasar Matematika dan Persepsi

Mahasiswa Terhadap Kemampuan Pemahaman Konsep Mata Kuliah

Kalkulus I. Jurnal Formatif 7(2): 107-114.

Gravemeijer & Cobb. 2006. Design Research from a Learning Design Perspective.

Dalam Jvd. Akker, K. Gravemeijer, S. Mckenney, & N. Nieveen

9Penyunting), Educational Design Research. London: Routledge Taylor

and Francis Group.

Harahap, M. S. dan Nasution, S. R. A. 2019. Penerapan Flipped Classroom Berbasis

Youtube di Prodi Matematika untuk Meningkatkan Kemampuan


321

Pemecahan Masalah Mahasiswa. Jurnal Education and Development

Institut Pendidikan Tapanuli Selatan, Vol. 7, No.3, Hal. 1-6.

Harahap, M. S. dan Nasution, S. R. A. 2019. Efektivitas Pembelajaran Flipped

Classroom Dilihat dari kemampuan Pemecahan Masalah Mahasiswa.

Prosiding Seminar Nasional Multidisiplin Ilmu Universitas Asahan ke-3,

Hal 115-121.

Johnson, G. B. 2013. Student Perceptions of the Flipped Classroom. Columbia: The

University of British Columbia.

Moleong, Lexy J. 2016. Metodologi Penelitian Kualitatif Edisi Revisi. Bandung:

PT. Remaja Rosdakarya.

Munfaridah, L. 2017. Penerapan Model Pembelajaran Flipped Classroom untuk

Melatih Kemandirian Belajar Siswa dalam Pembelajaran Matematika.

Skripsi. Surabaya: UIN Sunan Ampel.

Mutakin, T. Z. 2015. Analisis Kesulitan Belajar Kalkulus I Mahasiswa Teknik

Informatika. Jurnal Formatif 3(1): 49-60.

National Council of Teacher Mathematics (NCTM). 2000. Principles and Standars

for School Mathematics. Reston, VA: NCTM.

Ngalimun. 2012. Startegi dan Model Pembelajaran. Yogyakarta: Aswaja Pressindo.

Pansa, H. E. 2016. Problem-Based Learning dalam Pembelajaran Matematika.

Prosiding Konferensi Nasional penelitian Matematika dan

Pembelajarannya (KNPMP I), Hal 703-712.

Polya, G. 1957. How To Solve It: A New Aspects of Mathematical Method.

Princeton: Princeton University Press.


322

Prahmana. 2017. Design Research. Depok: PT Raja Graffindo Persada.

Prayitno, E. dan Masduki, L. R. 2017. Pengembangan Media Blended Learning

dengan Model Flipped Classroom pada Mata Kuliah Pendidikan

Matematika II. Jurnal Ilmiah Pendidikan Matematika, Vol. 1, No. 2, Hal.

121-126.

Rahayu, L. P. 2017. Efektivitas Strategi Pembelajaran Flipped Clasroom pada

Materi Pythagoras SMP Kelas VIII Ditinjau Berdasarkan Gender. Prosiding

SI MaNIs (Seminar Nasional Integrasi Matematika dan Nilai Islami), Vol.1,

No.1, Hal. 173-177.

Rusman. 2010. Model-model Pembelajaran: Mengembangkan Profesionalisme

Guru Edisi Kedua. Jakarta: PT. Raja Grafindo Persada.

Sugiyono, 2017. Metode Penelitian. Bandung: Alfabeta.

Sugiyono.2018. Metode Penelitian Kuantitatif, Kualitatif, dan Kombinasi (Mixed

Methods). Bandung: Alfabeta.

Sukmadinata, N. 2009. Landasan Psikologi Proses Pendidikan. Bandung: PT

Remaja Rosdakarya.

Syaharuddin. 2016. Deskripsi Kemampuan Pemecahan Masalah Matematika dalam

Hubungannya dengan Pemahaman Konsep Ditinjau dari Gaya Belajar

Siswa Kelas VIII SMPN 4 Binamu Kabupaten Jeneponto. Tesis. Makassar:

Universitas Negeri Makassar.

Tatag, Y. E. S. 2018. Pembelajaran Matematika Berbasis Pengajuan dan

Pemecahan Masalah. Bandung: PT Remaja Rosdakarya Offset.

Van den Akker, et al. 2006. Education Design Research. New York: Routledge.


323

Varberg, D., Purcell, E. J., dan Rigdon, S. E. 2010. Kalkulus Edisi Kesembilan.

Jakarta: Penerbit Erlangga.


324

LAMPIRAN


325

HIPOTHETICAL LEARNING TRAJECTORY MATERI ATURAN-ATURAN TURUNAN

Disusun untuk Penelitian Tesis

Dosen Pembimbing : Dr. Hongki Julie, M.Si.

Oleh:

Nor Annisa

(181442003)


PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM



YOGYAKARTA

2020


326

HYPOTHETICAL LEARNING TRAJECTORY

Mata Kuliah : Kalkulus Diferensial

Materi : Aturan-Aturan Turunan

Semester : II (Dua)

Pertemuan 1 : 2 Jam Pelajaran

Lintasan Belajar

No Proses Pembelajaran Kemungkinan Respon Mahasiswa Alternatif Kegiatan(Topangan)

1. Peneliti mengawali pembelajaran dengan mengecek

kesiapan mahasiswa dan menyampaikan agenda

pembelajaran melalui WhatsApp Group.

Peneliti menyampaikan agenda atau rencana belajar

yang akan dijalani mahasiswa:

Pendidik mengunggah bahan bacaan yaitu sifat-

sifat limit dan mahasiswa diminta untuk

mengakses pada google classroom dan membaca

Mahasiswa antusias mempersiapkan diri

untuk mengikuti proses perkuliahan.

Pendidik mengapresiasi dan

melanjutkan pembelajaran.

Mahasiswa tidak antusias.

Pendidik mengingatkan kembali

kesiapan mahasiswa sambil

memberi motivasi dan semangat

kepada mahasiswa.


327

sifat-sifat limit terlebih dahulu untuk

mengingatkan kembali terkait limit.

Peneliti menyampaikan pengumpulan tugas

dalam bentuk foto atau scan dokumen pada forum

yang telah disediakan di google classroom.

Peneliti menggunggah bahan bacaan sifat-sifat limit

dan mahasiswa diminta untuk mengakses google

classroom. Berikut bahan bacaan yang dibuat oleh

peneliti:

TEOREMA LIMIT UTAMA

Misalkan 𝑛 bilangan bulat positif, 𝑘 adalah konstanta,

serta 𝑓 dan 𝑔 adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit

di 𝑎. Maka


328

1. lim𝑥→𝑎

𝑘 = 𝑘;

2. lim𝑥→𝑎

𝑥 = 𝑎;

3. lim𝑥→𝑎


𝑓(𝑥);

4. lim𝑥→𝑎



𝑔(𝑥);

5. lim𝑥→𝑎



𝑔(𝑥);

6. lim𝑥→𝑎



𝑔(𝑥);


329

7. lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) jika lim

𝑥→𝑎𝑔(𝑥) ≠ 0;

8. lim𝑥→𝑎


𝑓(𝑥)]𝑛

;

9. lim𝑥→𝑎



𝑥→𝑎𝑓(𝑥) >

0 jika 𝑛 genap.

2. Peneliti memberikan LK Aturan-Aturan Turunan dan

mahasiswa diminta untuk mengerjakan dan mengirimkan

berupa foto atau scan dokumen di google classroom.


1. Jika 𝒇(𝒙) = 𝒌, dengan 𝒌 konstanta maka 𝒇′(𝒙) = 𝟎

2. Jika 𝒇(𝒙) = 𝒙, maka 𝒇′(𝒙) = 𝟏

Mahasiswa antusias mengerjakan lembar

kerja yang diberikan peneliti

Penelitimengapresiasi dan terus

memotivasi mahasiswa untuk

memberikan hasil yang terbaik.

Mahasiswa tidak antusias saat mengerjakan

lembar kerja yang ditugaskan peneliti.

Peneliti memberi semangat dan



330

3. Jika 𝒇(𝒙) = 𝒙𝒏, dengan 𝒏 bilangan bulat positif maka

𝒇′(𝒙) = 𝒏𝒙𝒏−𝟏

4. Jika 𝒌 suatu konstanta dan 𝒇 suatu fungsi yang

terdiferensialkan maka (𝒌𝒇)′(𝒙) = 𝒌. 𝒇′(𝒙)

5. Jika 𝒇 dan 𝒈 fungsi-fungsi yang terdiferensialkan maka

(𝒇 + 𝒈)′(𝒙) = 𝒇′(𝒙) + 𝒈′(𝒙)

6. Jika 𝒇 dan 𝒈 fungsi-fungsi yang terdiferensialkan maka

(𝒇 − 𝒈)′(𝒙) = 𝒇′(𝒙) − 𝒈′(𝒙)

7. Jika 𝒇 dan 𝒈 fungsi-fungsi yang dapat terdiferensialkan

maka (𝒇. 𝒈)′(𝒙) = 𝒇(𝒙)𝒈′(𝒙) + 𝒈(𝒙)𝒇′(𝒙)

8. Jika 𝒇 dan 𝒈 fungsi-fungsi yang dapat terdiferensialkan

maka (𝒇

𝒈)

′(𝒙) =

𝒈(𝒙)𝒇′(𝒙)−𝒇(𝒙)𝒈′(𝒙)

𝒈𝟐(𝒙)

tetap terus mencoba dan



331

3. Peneliti menginformasikan bahwa untuk mengerjakan

lembar kerja sudah selesai dan meminta mahasiswa untuk

memfoto/scan jawaban dan mengirimkan jawaban lembar

kerja mahasiswa pada forum yang telah disediakan.

Semua mahasiswa berhenti mengerjakan

lembar kerja, memfoto jawaban dan memulai

mengirimkan lembar jawaban.

Peneliti memberi apresiasi atas

antusiasme mahasiswa dalam

mengerjakan lembar kerja.

Masih ada mahasiswa yang belum selesai dan

belum siap mengirimkan lembar jawaban.

Peneliti meminta mahasiswa

untuk segera berhenti dan

mengumpulkan lembar kerja.

6. Pendidik memberikan tugas yaitu terkait aturan-aturan

turunan yang telah dikerjakan mahasiswa agar

dicocokkan dengan video pembelajaran yang diunggah

pada forum di google classroom dan masing-masing

mahasiswa diminta untuk membuat 1 pertanyaan

terkait video aturan-aturan turunan tersebut. Batas

untuk menonton dan memberikan pertanyaan yaitu


Mahasiswa mendengarkan informasi yang

disampaikan peneliti dan membalas ucapan

terima kasih dari peneliti.

Peneliti memberi apresiasi

kemudian mengakhiri

perkuliahan.


332

Pendidik mengucapkan terima kasih atas proses

pembelajaran bersama yang telah dilakukan pada hari

ini lalu.


333


I. Tujuan Pembelajaran:

Mahasiswa dapat menjelaskan dan menentukan penyelesaian aturan-aturan turunan untuk memecahkan masalah.

II. Prasyarat atau Asumsi:

Mahasiswa memahami dan mampu menentukan penyelesaian aturan-aturan turunan.

Mahasiswa telah melihat dan memahami isi video pembelajaran kemudian mencocokkan lembar kerja yang telah dikerjakan

pada pertemuan sebelumnya yang diunggah pada forum di google classroom.

III. Lintasan Belajar

Pertemuan 2: 2 Jam Pembelajaran

Kegiatan Proses Pembelajaran Kemungkinan Respon Mahasiswa Alternatif

Kegiatan(Topangan)

Pendahuluan Peneliti mengawali

pembelajaran dengan

mengecek kesiapan

Mahasiswa antusias mempersiapkan diri untuk mengikuti

proses perkuliahan.

Peneliti mengapresiasi

dan melanjutkan

pembelajaran.


334

mahasiswa dan

menyampaikan agenda

pembelajaran melalui

WhatsApp Group.

Peneliti dan mahasiswa

mendiskusikan turunan

yaitu tentang gradien garis

singgung suatu kurva pada

titik tertentu, yang

tujuannya untuk

mengingatkan mahasiswa

agar dapat membantu

untuk memecahkan


Peneliti mengingatkan

kembali kesiapan

mahasiswa sambil

memberi motivasi dan

semangat kepada

mahasiswa.


335

masalah yang akan

diberikan.

Inti Tahap 1 : Orientasi mahasiswa

terhadap masalah

Pada tahap ini, peneliti

memberikan masalah pada

mahasiswa yang tujuannya

adalah agar mahasiswa dapat

menerapkan aturan-aturan

turunan untuk memecahkan

masalah.

Masalah tersebut akan diberikan

sebagai berikut:

Masalah 1:

Mahasiswa menyimak dan memperhatikan apa yang

disampaikan oleh peneliti.


336

Sebuah peluru ditembakan

vertikal ke atas. Jika tinggi peluru

h (dalam meter) sebagai fungsi

waktu t (dalam detik) dirumuskan

dengan ℎ(𝑡) = −5𝑡2 + 30𝑡.

Tentukan tinggi maksimum yang

dapat dicapai peluru dan waktu

yang diperlukan!

Masalah 2:

Sebuah partikel bergerak di

sebuah garis lurus dengan

persamaan 𝑠 = 𝑡3 − 6𝑡2 + 9𝑡 (s

dalam satuan meter dan t dalam

satuan detik). Letak partikel


337

dengan memperhatikan posisi

permulaan (t=0) pada 0. Carilah

kecepatannya partikel dari 𝑡 =

0 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘 sampai 𝑡 = 5 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘.

Masalah 3:

Suatu proyek dapat dikerjakan

selama p hari dengan biaya setiap


𝑝− 48) juta

rupiah. Jika biaya minimum

proyek tersebut adalah R juta

rupiah, maka R sama dengan . . .


338

Tahap 2: Mengorganisasi

mahasiswa

Pada tahap ini pendidik membagi

mahasiswa ke dalam kelompok,

membantu mahasiswa

mendefinisikan dan

mengorganisasikan tugas belajar

yang berhubungan dengan

masalah.

Pada tahap ini peneliti sudah

membagi mahasiswa kedalam

kelompok WhatsApp Group kecil

sehari sebelum pertemuan kedua

dimulai agar tidak terlalu lama

Mahasiswa antusias dan bergegas masuk ke dalam

kelompok serta berdiskusi dengan baik dan tertib.

Peneliti memberi

apresiasi.

Ada mahasiswa yang tidak berdiskusi.

Peneliti

mempersilakan

mahasiswa agar

segera diskusi.


339

memakan waktu dan semua

kelompok sudah siap dalam

diskusi serta peneliti memberikan

pendampingan kepada semua

kelompok.

Tahap 3: Membimbing

penyelidikan individu maupun

kelompok

Pada tahap ini, peneliti

mendorong mahasiswa untuk

mengumpulkan informasi yang

sesuai untuk memcahkan

Mahasiswa bingung dalam langkah pertama

menyelesaikan masalah tersebut.

Peneliri memberi

arahan dengan

meminta mahasiswa

kembali

memperhatikan

masalah yang

diberikan.


340

masalah, melaksanakan

eksperimen dan penyelidikan

untuk mendapatkan penjelasan

dan memecahkan masalah.

Mahasiswa menyelesaikan maasalah 1 dengan proses:

Diketahui : Suatu peluru ditembakan vertikal ke atas

dengan persamaan yaitu ℎ(𝑡) = −5𝑡2 + 30𝑡

(h dalam satuan meter dan t dalam satuan

detik).

Ditanya : Berapakah tinggi maksimum yang dapat


Penyelesaian:

Persamaan ketinggian peluru ditembak:

ℎ(𝑡) = −5𝑡2 + 30𝑡

ℎ′(𝑡) = −10𝑡 + 30

Suatu peluru dikatakan telah berada di titik tertinggi

apabila kecepatannya sama dengan nol.

ℎ′(𝑡) = 0

Pendidik meminta

mahasiswa untuk

mencoba kembali dan

memberikan topangan

dengan bertanya

kepada mahasiswa

yaitu:

1. Apa yang dapat

dilakukan jika

mengetahui

permasalahan yang

diberikan?


341

−10𝑡 + 30 = 0

−10𝑡 = −30

𝑡 = 3

Sehingga tinggi maksimum peluru akan dicapai saat

t=3, dengan tinggi maksimum:

ℎ(𝑡) = −5𝑡2 + 30𝑡

ℎ(3) = −5(3)2 + 30(3)

= −45 + 90

= 45

Jadi, tinggi maksimum peluru yang dicapai adalah 45 m

dan waktu yang diperlukan 3 detik.

2. Apa saja unsu-

unsur yang terdapat

pada masalah?

3. Lihat fungsi

ketinggian peluru!

4. Fungsi ketinggian

peluru merupakan

fungsi apa?

5. Bagaimana dengan

nilai a?


342

6. Apa yang terjadi

ketika a nya negatif

atau positif?

7. Ketinggian

maksimum akan

dicapai dimana?

8. Bagaimana

mencari titik

puncaknya?


343

Mahasiswa menyelesaikan masalah 2 dengan proses:

Diketahui : Suatu partikel bergerak dengan persamaan

gerak yaitu 𝑠 = 𝑡3 − 6𝑡2 + 9𝑡 (s dalam

satuan meter dan t dalam satuan detik).

Ditanya : Berapakah kecepatannya partikel dari 𝑡 =

0 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘 sampai 𝑡 = 5 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘!

9. Bisakah kalian

mencari titik puncak

dengan turunan?

Bagaimana caranya?

10. Bagaimana

kecepatan peluru saat

t=0 sampai t=3?


344

Penyelesaian:

Persamaan pergerakan partikel 𝑠 = 𝑡3 − 6𝑡2 + 9𝑡

𝑣 =𝑑𝑠

𝑑𝑡= 3𝑡2 − 12𝑡 + 9

Pergerakan untuk kecepatan partikel saat 𝑡 = 0 :

𝑣(𝑡) = 3𝑡2 − 12𝑡 + 9

𝑣(0) = 3(0)2 − 12(0) + 9

= 0 − 0 + 9

= 9


𝑣(𝑡) = 3𝑡2 − 12𝑡 + 9

𝑣(0) = 3(1)2 − 12(1) + 9

= 3 − 12 + 9

= 0

Pendidik meminta

mahasiswa untuk

mencoba kembali dan

memberikan topangan

dengan bertanya

kepada mahasiswa

yaitu:

1. Apa yang dapat

dilakukan jika

mengetahui

permasalahan yang

diberikan?


345


𝑣(𝑡) = 3𝑡2 − 12𝑡 + 9

𝑣(0) = 3(2)2 − 12(2) + 9

= 12 − 24 + 9

= −3


𝑣(𝑡) = 3𝑡2 − 12𝑡 + 9

𝑣(0) = 3(3)2 − 12(3) + 9

= 27 − 36 + 9

= 0


𝑣(𝑡) = 3𝑡2 − 12𝑡 + 9

𝑣(0) = 3(4)2 − 12(4) + 9

= 48 − 48 + 9

2. Apa saja unsu-

unsur yang terdapat

pada masalah?

3. Bagaiamana

menentukan

kecepatan partikel?

4. Gambarkan

pergerakan dari

partikel!

5. Apa makna

pergerakan partikel


346

= 9


𝑣(𝑡) = 3𝑡2 − 12𝑡 + 9

𝑣(0) = 3(5)2 − 12(5) + 9

= 75 − 60 + 9

= 24

Jadi, pergerakan partikel saat 𝑡 = 0 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 9, 𝑡 =

1 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 0, 𝑡 = 2 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ − 3, 𝑡 = 3 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 0, 𝑡 =

4 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 9, 𝑑𝑎𝑛 𝑡 = 5 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 24 .

Mahasiswa menyelesaikan masalah 3 dengan proses:

Diketahui : Suatu proyek dikerjakan selama p hari dengan

biaya setiap harinya (4𝑝 +2000

𝑝− 48) juta rupiah.

ketika t=0 sampai

t=5?


347

Ditanya : Berapakah biaya minimum proyek tersebut!

Penyelesaian:

Biaya produksi p hari adalah

𝑅(𝑥) = 𝑝. (4𝑝 +2000

𝑝− 48)

= 4𝑝2 − 48𝑝 + 2000

𝑅′(𝑥) = 8𝑝 − 48

Biaya proyek minimum ketika

𝑅′(𝑥) = 0

8𝑝 − 48 = 0

8𝑝 = 48

𝑝 = 6

Biaya proyek minimum:

𝑅(6) = 4(6)2 − 48(6) + 2000

Pendidik meminta

mahasiswa untuk

mencoba kembali dan

memberikan topangan

dengan bertanya

kepada mahasiswa

yaitu:

1. Apa yang dapat

dilakukan jika

mengetahui

permasalahan yang

diberikan?


348

= 144 − 288 + 2000

= 1856 𝑗𝑢𝑡𝑎 𝑟𝑢𝑝𝑖𝑎ℎ

Jadi, biaya minimum proyek tersebut adalah

1856 𝑗𝑢𝑡𝑎 𝑟𝑢𝑝𝑖𝑎ℎ.

2. Apa saja unsu-

unsur yang terdapat

pada masalah?

3. Bagaimana

menentukan biaya

produksi p hari?

4. Kapan biaya proyek

minimum?

5. Apa arti titik

puncak dari fungsi


349

produksinya? Apa

maknanya?

Tahap 4: Mengembangkan dan

menyajikan hasil

Pada tahap ini, Peneliti menunjuk

satu atau lebih kelompok untuk

mempresentasikan hasil

memecahkan masalah sekaligus

membantu kelompok yang

mengalami kesulitan. Kegiatan

Kelompok yang pertama maju untuk mempresentasikan

hasil mereka.

Dari hasil jawaban

kelompok yang telah

dipaparkan, pendidik

mengkondisikan

mahasiswa untuk

menanggapi hasil

tersebut. Jika ada

jawaban yang berbeda

atau ada kelompok


350

ini berguna untuk mengetahui

hasil pemahaman mahasiswa

terhadap masalah, dan juga hasil

memecahkan masalah tersebut.

lain yang belum

mengerti, pendidik

meminta kelompok

yang lain untuk

menuliskan

jawabannya di depan

kelas.

Kelompok yang lain menanggapi hasil dari kelompok

yang mempresentasikan hasilnya.

Semua kelompok memiliki jawaban yang sama.

Semua kelompok memiliki jawaban yang berbeda.

Jika semua jawaban

kelompok sama maka

peneliti memberikan

apresiasi dan

melanjutkan

pembelajaran ke tahap

selanjutnya.


351

Masih ada mahasiswa yang belum selesai dan belum siap

mempresentasikan hasil diskusi

Peneliti meminta

mahasiswa untuk

secara khusus

mengamati hasil kerja

kelompok lain.

Penutup Fase 5: Menganalisis dan

mengevaluasi proses pemecahan

masalah

Pada tahap ini pendidik

membantu mahasiswa untuk

melakukan refleksi atau evaluasi

terhadap proses dan hasil

penyelidikan yang mereka

Mahasiswa belum dapat menyimpulkan proses

pembelajaran sesuai dengan tujuan pembelajaran.

Peneliti

menyampaikan jika

belum ditutup dengan

kesimpulan apa yang

telah dipelajari

dikarenakan

keterbatasan waktu

yang sudah melewati.

Peneliti memberikan


352

lakukan. Kemudian pemahaman

mahasiswa serta kesimpulan

menyelasikan permasalahan

yaitu menerapkan aturan-aturan

turunan untuk memecahkan

masalah

tugas kepada

mahasiswa untuk

membuat resume

perkuliahan dari yang

telah dipelajari.

Mahasiswa dapat menyimpulkan proses pembelajaran

yang telah berjalan.

Pendidik memberikan

apresiasi kemudian

mengkondisikan kelas

kembali seperti

semula dan mengajak

mahasiswa untuk

menutup

pembelajaran dengan

berdoa.


353


Mata Kuliah : Kalkulus Diferensial

Materi : Aturan-Aturan Turunan

Semester : II (Dua)

Pertemuan 3 : 2 Jam Pelajaran

Lintasan Belajar

No Proses Pembelajaran Kemungkinan Respon Mahasiswa Alternatif Kegiatan(Topangan)

1. Peneliti mengawali pembelajaran dengan mengecek

kesiapan mahasiswa dan menyampaikan agenda

pembelajaran melalui WhatsApp Group.

Peneliti menyampaikan agenda atau rencana belajar

yang akan dijalani mahasiswa:

Mahasiswa mengerjakan tes aturan-aturan turunan.

Mahasiswa menuliskan refleksi terkait

pembelajaran aturan-aturan turunan.

Mahasiswa antusias mempersiapkan diri

untuk mengikuti proses perkuliahan.

Peneliti mengapresiasi dan

melanjutkan pembelajaran.


Peneliti mengingatkan kembali

kesiapan mahasiswa sambil

memberi motivasi dan semangat

kepada mahasiswa.


354

2. Peneliti memberikan tes aturan-aturan turunan kepada

mahasiswa

Tes Aturan-aturan Turunan:

1. Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas. Jika tinggi

peluru ℎ (dalam meter) sebagai fungsi waktu 𝑡 (dalam

detik) dirumuskan dengan ℎ(𝑡) = 24𝑥 −3

4𝑥2.

a. Apa yang terjadi dengan kecepatan peluru saat 𝑡 =

0 sampai 𝑡 = 16? Jelaskan!

b. Tentukan tinggi maksimum yang dapat dicapai

peluru dan waktu yang diperlukan!

2. Sebuah bola dilemparkan ke atas dinyatakan dengan

persamaan 𝑠 = 19,6𝑡 − 4,9𝑡2. Tunjukkan bahwa bola

itu kehilangan separuh dari kecepatan awalnya di


Mahasiswa antusias mengerjakan tes yang

diberikan pendidik.

Pendidik mengapresiasi dan terus



Mahasiswa tidak antusias saat mengerjakan

tes yang diberikan peneliti.

Peneliti memberi semangat dan


tetap terus mencoba dan



355

3. Biaya untuk memproduksi barang x unit barang adalah

1

3𝑥2 + 20𝑥 + 15. Jika setiap unit barang dijual dengan

harga 30 −1

2𝑥, untuk memperoleh keuntungan yang

optimal, banyaknya barang yang diproduksi adalah. . .

3. Peneliti menginformasikan bahwa untuk mengerjakan tes

sudah selesai dan meminta mahasiswa untuk

mengumpulkan jawaban kemudian menuliskan refleksi.

Semua mahasiswa berhenti mengerjakan tes

dan memulai mengumpulkan lembar jawaban

tes pada forum kemudian menuliskan refleksi.

Peneliti memberi apresiasi atas

antusiasme mahasiswa dalam

mengerjakan tes dan menuliskan

refleksi.

Masih ada mahasiswa yang belum selesai dan

belum siap mengirimkan lembar jawaban tes.

Peneliti meminta mahasiswa

untuk segera berhenti dan

mengirimkan lembar jawaban tes.


356

6. Peneliti mengucapkan terima kasih atas proses

pembelajaran bersama yang telah dilakukan pada hari ini.

Mahasiswa membalas ucapan terima kasih

dari pendidik.

Peneliti memberi apresiasi

kemudian mengakhiri

perkuliahan.


357

HASIL TES TERTULIS MAHASISWA

1. Jawaban Hasil Tes Tertulis Mahasiswa untuk Masalah Pertama

a. Hasil Pekerjaan Mahasiswa Pertama


358


359

b. Hasil Pekerjaan Mahasiswa Kedua


360


361

c. Hasil Pekerjaan Mahasiswa Ketiga


362

2. Jawaban Hasil Tes Tertulis Mahasiswa untuk Masalah Kedua



363



364


3. Jawaban Hasil Tes Tertulis Mahasiswa untuk Masalah Ketiga



365



366



tesis analisis kemampuan memecahkan masalah …

Documents