1

Termodynamiske grunnbegreper

1. Termodynamiske grunnbegreper. 1.1. Termodynamiske system. 1.2. Termodynamiske tilstandsstørrelser. 1.3. Termodynamiske prosesser. 1.4. Varmekapasitet og latent varme. 1.5. Termisk ekspansjon og kompressibilitet. Lars Roseng 18.04.07

2

1. Termodynamiske grunnbegreper. Faget termodynamikk kan defineres som vitenskapen om energi. De fleste har en følelse av hva energi er, enten man tenker på oppvarming eller på fremdrift av kjøretøyer. Energi kan betraktes som en mulighet til å utføre arbeid eller som en mulighet til å forårsake forandring. Disse betraktningsmåtene er selvfølgelig lite egnet som definisjon. Energien i universet er konstant. Den kan derfor ikke gå til spille, men bare endre form. Dette er i korthet termodynamikkens første lov eller første hovedsetning. På engelsk kalles det ”the conservation of energy principle”. Dette forholdet er av aller største betydning for vår egen eksistens og for alle andre naturforhold helt generelt. Termodynamikken er læren om forbruk og omforming av energi i forskjellige former. Denne vitenskapen handler også om egenskapene til stoffene og forandring av disse egenskapene på grunn av energiomforming. Den baserer seg på eksperimentelle observasjoner. Eksperimenter har for eksempel aldri vist avvik i forhold til termodynamikkens første hovedsetning. Målesystem og enheter. Det internasjonale enhetssystemet (SI-systemet) ble offisielt vedtatt i 1960.

Enhet for SI-enhet Symbol Lengde meter m Masse kilogram kg Tid sekund s Elektrisk strøm ampere A Temperatur kelvin K Stoffmengde mol mol Lysstyrke candela cd

Figur 1. SI-systemets 7 grunnenheter. På grunnlag av de 7 grunnenhetene kan vi avlede nye SI-enheter. Disse må være dannet som produkter av positive og negative potenser av grunnenhetene.

Enhet for SI-enhet Symbol Kraft newton N = kg * m/s2

Energi joule J = Nm Effekt watt W = J/s Trykk pascal Pa = N/m2

Figur 2. Avledede SI-enheter ofte brukt i termodynamikken. For de forskjellige energiformene varmemengde, kinetisk energi, stillingsenergi, elektrisk energi og mekanisk arbeid gjelder følgende enheter: 1 J = 1 Nm = 1 Ws = 1 kg * m2/s2 Det har vært vanlig å bruke enheten J for varmemengde, enheten Nm for mekanisk arbeid og enheten Ws for energi dannet av elektrisk strøm.

3

Ulike energiformer. Energi kan forekomme i tallrike former, slik som termisk, potensiell, kinetisk, elektrisk, magnetisk, kjemisk energi og kjerneenergi. Summen av disse energitypene danner et systems totale energi E. Termodynamikken gir ikke alltid opplysninger om den totale energien i et system. Det som egentlig er av interesse i termodynamiske problemer, dreier seg for det meste om endringen av de forskjellige energiformene. I allmenn fysikk kommer kinetisk og potensiell energi inn under samlebegrepet mekanisk energi. Et prosjektil, for eksempel, som skytes ut bratt oppover fra bakken, starter med en kinetisk energi som er bestemt av den farten prosjektilet har fått. Etter som prosjektilet oppnår høyde, øker den potensielle energien, mens farten, og dermed den kinetiske energien, avtar fordi den samlede energien er konstant. Et system som beveger seg og forandrer høyde over bakken, vil ha en kinetisk og potensiell energi som til sammen er bestemt av systemets totale masse, fart og høyde. Fart og høyde bestemmes ut fra referanser til omgivelsene. I og med at systemet (prosjektilet) betraktes som en enhet eller gjenstand, kan man også kalle denne energien for makroskopisk energi. Samtidig kaller man den energien som er forbundet med molekylstruktur og molekylaktivitet (molekylhastighet, rotasjoner, vibrasjoner m.m.) for mikroskopisk energi. Denne energitypen er uavhengig av referanser i omgivelsene. Summen av alle mikroskopiske energityper kalles indre energi i systemet og symboliseres med U.

Et system som beveger seg med farten c (m/s), har en kinetisk energi: 212kE m c= i i

Et system som befinner seg i høyden z (m), over havet har potensiell energi: pE m g z= i i Hvis vi regner at bare kinetisk, potensiell og indre energi har betydning for systemet, kan vi uttrykke den totale energien som;

k pE E E U= + + eller 212

E m c m g z U= + +i i i i I dette pensumet vil lukkede systemer vanligvis være i ro, og det skjer ingen endring av kinetisk og potensiell energi. Vi snakker om stasjonære systemer. Endringen i total energi E for et stasjonært system er identisk med endringen av indre energi U. Figur 3. Energiformer.

God kjennskap til de viktigste energiformene er en forutsetning for å forstå termodynamikken. - Kinetisk energi – knyttet til legemers (stive legemer, væsker, gasser) bevegelse. - Potensiell energi – tiltrekkende eller frastøtende krefter mellom legemer. - Elektrisk energi – krefter som virker på elektriske ladninger og setter disse i bevegelse. - Mekanisk arbeid – en kraft virker på et legeme gjennom en veistrekning. - Volumarbeid – trykkenergi som kan frigjøres fra et system. - Varme – energioverføring forårsaket av en temperaturforskjell. - Kjemisk energi – elektriske krefter mellom elektronene og atomkjernene i molekylene. - Kjernefysisk energi – potensiell energi mellom partiklene i atomkjernen. - Strålingsenergi er den energi som er forbundet med elektromagnetiske bølger. - Indre energi – den energi som er lagret i et legeme eller et system på grunn av molekylenes

varmebevegelse og kreftene som virker mellom dem. - Masse – etter relativitetsteorien er energi og masse likeverdige begreper.

4

1.1. Termodynamiske system. Når man utforsker egenskapene til de stoffene man har med å gjøre og de forandringene som energi kan forårsake, er man nødt til å konsentrere oppmerksomheten om en ting og forsøke å begrense undersøkelsen til et minst mulig område. Vi introduserer derfor begrepet system. Et termodynamisk system kan være;

- gass, væske eller fast stoff (eller alle fasene samtidig), - apparater/utstyr.

Systemgrensen er grensen mellom systemet og omgivelsene. Slike grenser kan være virkelige grenser i form av innsiden i en tank, veggene i et kjølerom osv., eller slike systemgrenser kan være et tenkt skille som omslutter et område i rommet. Lukket system. Et lukket system inneholder konstant mengde stoff. Energi kan passere systemgrensen i form av arbeid eller varme eller begge deler.

Figur 4. Et lukket system har konstant masse – både trykk, temperatur og volum kan variere. Figur 4 viser et spesielt system i form av et fluidum (stoff i væske eller gassform) som er innesperret i en sylinder med et bevegelig stempel. Dette lukkede systemet brukes overalt i termodynamikklitteratur. For leseren er denne arbeidssylinderen en meget enkel illustrasjon av sammenhengen mellom varme Q, indre energi U og arbeid W (behandles senere). Figur 5. Utvidelse av et lukket system på grunn av oppvarming.

Lukket systemm = konstant

System-grense

Omgivelser

Stempel

Energi Sylinder

Stempelet er enbevegelig del avsystemgrensen

Stempel

Gass2 kg

Gass2 kg

Varme-utvikling

5

I den teoretiske behandlingen av arbeidssylinderen gjør man et par antagelser for lettvinthets skyld: For det første tenker man seg at stempelet slutter helt tett til sylinderveggen. For det andre glir stemplet uten friksjon. Trykket på hver side av stempelet er da identisk det samme så lenge stempelet ikke er belastet. Åpent system. Et åpent system som også kalles kontrollvolum, er et system der også stoff kan passere grensen i tillegg til varme og arbeid. Systemgrensen kalles også kontrollflaten, og kontroll-volumet er da det rommet som kontrollflaten omgrenser. Stoff kan passere kontrollflaten i form av en massestrøm m (kg/s). Massestrømmen og dens retning eller hastighet varierer generelt med tiden.

Figur 6. Et åpent system (kontrollvolum) er et system med variabel masse. Isolert system. Systemets masse er konstant, stoffet forblir i systemet. Systemets grenser hindrer effektivt all utveksling av energi. Et fullstendig isolert system er et teoretisk begrep som ikke eksisterer i virkeligheten.

Figur 7. Et 100 % isolert system har ikke noe samspill med omgivelsene. --- En termodynamisk analyse/beregning bør normalt starte med valg av systemtype, enten lukket eller åpent. For mange nybegynnere er dette erfaringsmessig vanskelig. Et termodynamisk system sies å være homogent når den kjemiske sammensetningen og de fysikalske egenskapene til systemets materiale er like overalt i systemet. Hvis dette varierer innenfor systemets grenser kalles systemet for heterogent. En beholder fylt med fuktig damp er et eksempel på et heterogent system da det inneholder to faser (væske og damp) med ulike fysikalske egenskaper.

Isolert systemm (kg) = konstant

EnergiMasse

Kontrollvolum

OmgivelserSystem-grense

6

1.2. Termodynamiske tilstandsstørrelser. Termodynamiske tilstandsstørrelser er størrelser som entydig definerer et systems tilstand dvs. systemets karakteristiske egenskaper. Egenskapene i et system er for eksempel trykk p (Pa), volum V (m3), Temperatur T (K) og masse m (kg). Disse fire størrelsene er kanskje de første vi tenker på i forbindelse med et system. Andre viktige størrelser i termodynamikken er indre energi U (J), entalpi H (J) og entropi S (J/K) Andre egenskaper er for eksempel viskositet, varmeledningsevne, elastitetsmodul, termisk utvidelseskoeffisient, og elektrisk motstand. Alle disse størrelsene kalles tilstandsstørrelser. Til og med hastighet og høyde kan komme inn under dette begrepet. Mange tilstandsstørrelser er en kombinasjon av andre størrelser, slik som tetthet:

mV

ρ = 3

kgm⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

En enda vanligere størrelse enn tetthet er spesifikt volum (omvendte av tetthet):

1 Vvmρ

= = 3m

kg⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

Karakteristisk for tilstandsstørrelser er at dersom verdien av to tilstandsstørrelser er kjent, så kan også verdiene av alle de andre tilstandsstørrelsene bestemmes, under forutsetning av at systemet er homogent, og at det befinner seg i en likevektstilstand. Et system sies å være i termodynamisk likevekt når verdiene av dets tilstandsstørrelsers ikke endrer seg med tiden – også etter at systemet er blitt isolert fra omgivelsene. Et system som inneholder en væske i turbulent bevegelse er for eksempel ikke i en likevektstilstand, siden væsken (etter at systemet er blitt isolert fra omgivelsene) etter hvert vil komme over til en stillstand og tilstandsstørrelsene endrer seg i løpet av denne perioden. Det er kun i likevekts-tilstanden at tilstandsstørrelsene har entydig bestemte verdier. Kjennetegnet til en tilstandsstørrelse er at dets endring mellom to ulike tilstander vil være uavhengig av den måten som tilstandsendringen skjer på. Anta et system som ikke endrer seg. I så fall kan alle størrelser som har noe med systemets egenskaper å gjøre, bli målt eller beregnet for alle deler av systemet. Det gir oss et sett med tilstandsstørrelser som gir en fullstendig beskrivelse av forholdene – tilstanden – til systemet. I en gitt tilstand har alle systemets egenskaper fikserte verdier. Man kan derfor ikke kun endre verdien av bare en størrelse, dette vil samtidig ha konsekvenser for de andre størrelsene.

Figur 8. Et lukket system (arbeidssylinderen) i to forskjellige tilstander.

p1 = 1 atmV1 = 3 dm3

T1 = 20 ºC m = 5 kg

p2 = 2,5 atmV2 = 1,5 dm3

T2 = 25 ºC m = 5 kg

Tilstand 1 Tilstand 2

7

Av de størrelsene som vi benytter oss av i termodynamikken, så er noen av disse uavhengig av den mengden materiale (massen) som man måler. Eksempler på slike mengdeuavhengige størrelser er trykk p, tetthet ρ, og temperatur T. Denne typen av størrelser kalles for intensive størrelser, og de er uavhengig av systemets størrelse. Andre størrelser er derimot avhengig av massen til det legemet eller det materialet som måles. Slike størrelser kalles ekstensive størrelser, og de varierer med størrelsen eller utstrekningen av systemet. Masse m, volum V og entalpi H er eksempler på slike størrelser Forskjellen på intensive og ekstensive størrelser ser vi best når vi deler et system i to, for så å bestemme de nye tilstandsstørrelsene for det halve systemet. De intensive størrelsene vil være uforandret, mens de ekstensive da vil være halvert.

Intensive størrelser Ekstensive størrelser Tetthet ρ (kg/m3) Temperatur T (K) Spesifikk entalpi h (J/kg) Spesifikk indre energi u (J/kg)

Masse m (kg) Volum V (m3) Entalpi H (J) Indre energi U (J)

Figur 9. Noen eksempler på intensive og ekstensive tilstandsstørrelser. Den teoretiske fremstillingen i termodynamikken vil generelt sett bli forenklet hvis vi benytter oss av en masse på m = 1 kg. Det er derfor innført spesifikke størrelser som defineres som størrelser per masseenhet. Slike spesifikke størrelser skal alltid betegnes med små bokstaver. Når man har å gjøre med en masse som ikke er eksakt lik m = 1 kg, men større eller mindre, så benyttes store bokstaver.

Tilstandsstørrelser Spesifikke tilstandsstørrelser Volum Indre energi Entalpi Varme Arbeid Varmekapasitet

V (m3) U (J) H (J) Q (J) W (J) C (J/K)

Spesifikt volum Spesifikk indre energi Spesifikk entalpi Spesifikk varme Spesifikk arbeid Spesifikk varmekapasitet

v = V/m (m3/kg) u = U/m (J/kg) h = H/m (J/kg) q = Q/m (J/kg) w = W/m (J/kg) c = C/m (J/kgK)

Figur 10. Spesifikke tilstandsstørrelser defineres som størrelser per masseenhet Ved behandling at strømmende fluider (gasser og væsker), er det ofte at man studerer den massen eller det volumet som per tidsenhet strømmer forbi et bestemt punkt. Da benyttes betegnelsene m (kg/s) og V (m3/s) for masse- respektive volumstrøm. --- På de neste sidene vil noen av de viktigste tilstandsstørrelsene bli introdusert; temperatur T (K), trykk p (Pa),), indre energi U (J), entalpi H (J) og entropi S (J/K). De fleste av disse vil senere bli grundigere behandlet i andre deler av pensumet. Det er viktig å notere seg at tilstandsstørrelsenes verdier vil gi en fullstendig beskrivelse av forholdene – tilstanden – til systemet. Kjennetegnet til en tilstandsstørrelse er at dets endring mellom to ulike tilstander vil være uavhengig av den måten som tilstandsendringen skjer på.

8

Temperatur (T). Et legemes temperatur er et kvantitativt mål for hvor ”varmt” et legeme er. Temperaturen er en tilstandsstørrelse for dette legemet (eller systemet). Temperaturen er proporsjonal med molekylenes aktivitet i form av kinetisk bevegelsesenergi. Dette forholdet gjør at temperaturen ikke er målbar med direkte metoder – den må i stedet måles indirekte. Det mest brukte termometeret er væskesøyletermometret. Utvidelsen av en væske som er fylt i et tynt rør, leses av på en skala som er montert sammen med væskerøret.

Et volum av en væske innesluttes i en kule eller lignende som er avsluttet med et tynt stigerør. Hvis volumet varmes opp, så vil vesken i stigerøret stige, og høyden h vil vise (både kvantitativt og repeterbart) hvor varmt det er.

Figur 11. Væskesøyletermometeret. For å kunne fastsette en temperaturskala så må man alltid bruke to fikserpunkter. Celsius brukte fryse- og kokepunktet for vann, som han satte til å være 0 °C og 100 °C. Fahrenheit brukte det kaldeste han viste om, en is-vann-salmiakk-salt kuldeblanding (-17,78 °C) og temperaturen i armhulen (på seg selv) – og fastsatte disse til henholdsvis 0 °F og 96 °F. Deretter deles slike temperaturskalaer inn i like lange biter mellom de to fikspunktene. Kelvinskalaen (den absolutte temperaturskala) går ut fra det absolutte nullpunktet -273,15 ºC som det ene av fikserpunktene. Kelvinskalaens andre fikserpunkt er det såkalte trippelpunktet for vann (T = 0,0075 24 °C og pabsolutt = 611 Pa). Sammenhengen mellom Kelvin- og Celsiusskalaen er: T (K) = T (ºC) + 273,15 (i praksis bruker vi: T (K) = T (ºC) + 273) Legg merke til at temperaturdifferansen i ºC og K er like store. En grad Celsius er derfor helt identisk med en ”Kelvin” – det er bare nullpunktet som er blitt byttet om. I land hvor det tales engelsk er Fahrenheits temperaturskala fortsatt i bruk. Fahrenheits og Celsius temperaturskala har verken samme skala eller nullpunkt. En grad Fahrenheit (ºF) er 5/9 grad Celsius (ºC). Sammenhengen mellom celsius- og fahrenheitskalaen er som følger: T (ºF) = T (ºC) * 9/5 + 32 Hvis vi setter inn -40 ºC i denne ligningen, så får vi -40 ºF. Denne kjensgjerning kan også brukes ved omregning fra ºC til ºF.

V

T

h(T)

9

Karakteristisk for temperaturer er: Når legemer som i utgangspunktet har ulike temperaturer (T1, T2, T3, ...) bringes i termisk kontakt med hverandre (og samtidig er isolert fra omverden), så vil det innstille seg en termisk likevekt der alle legemene har samme temperatur T.

Figur 12. Termisk likevekt innstilles når ulike temperaturer kommer i kontakt.

ºC K ºF Kokepunkt for vann 100 373,15 212 Smeltepunkt for is 0 273,15 32 Absolutt null -273,15 0 -459,67

Figur 13. Tre temperaturskalaer som i dag er i bruk. Trykk (p). Trykk er forholdet mellom kraft F som virker loddrett inn mot en flate og arealet A av flaten.

FpA

= 2

NPam

⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

Trykket kan virke mot overflaten av et legeme eller mot en tenkt flate i legemets indre. I væsker og gasser (fluider) vil det alltid være et visst trykk. Hvis en gass får utvide seg ubegrenset, går trykket mot null. Trykk måles i pascal (Pa = N/m2). Denne enheten er relativ liten og er derfor lite anvendelig i tekniske sammenheng. I stedet anvendes gjerne avledede enheter som for eksempel;

1 MPa = 106 Pa, 1 kPa = 103 Pa, 1 bar = 105 Pa Enheter som kp/cm2, atm og mm Hg (torr) har vært brukt i mange år. Vi bør helst unngå å bruke slike enheter. 1 kp/cm2 = 98,0665 * 103 Pa, 1 atm = 760 mm Hg = 101,325 * 103 Pa Det fysiske atmosfæretrykket defineres som trykket av en loddrett kvikksølvsøyle på 760 mm. med temperaturen 0 °C, hvor tyngdeakselerasjonen er g = 9,98665 m/s2. Atmosfæretrykket i våre omgivelser (her på jorden) er ikke konstant, men varierer med tiden (blant annet på grunn av meteorologiske høytrykk og lavtrykk) og hvor høyt over havet vi

TT

T

T3 T2

T1

10

befinner oss. Jo høyere opp vi kommer, desto lavere vil atmosfæretrykket være. Atmosfære-trykk kan betraktes som det trykket massen av molekyler i luftsøylen over oss vil påvirke oss med. Jo høyere opp vi kommer, desto mindre masse vil denne luftsøylen inneholde. De fleste trykkmåleinstrumenter (manometre) måler kun trykket over atmosfæretrykket, såkalt overtrykk eller manometertrykk. Det absolutte trykket er følgelig gitt av: abs atm overp p p= +

Når det absolutte trykket (pabs) skal bestemmes, så må atmosfæretrykket (patm) måles separat og bli lagt til det avleste manometertrykket (pover). Dette er spesielt viktig ved nøyaktige målinger av det absolutte trykket.

pabs = absolutt trykk pover = overtrykk (manometertrykk) punder = undertrykk (vakuum) patm = atmosfæretrykk I punkt 1 er; - absoluttrykk: pabs1 = patm + pover - overtrykk: pover I punkt 2 er; - absoluttrykk: pabs2 = patm – punder - undertrykket: punder

Figur 14. Forholdet mellom ulike typer av trykk. I figuren over illustreres begrepene absolutt trykk, overtrykk og undertrykk. Både overtrykk og undertrykk blir angitt i forhold til det aktuelle atmosfæretrykket på måleplassen. I en tank med stillestående væske eller i et vannbasseng vil trykket øke proporsjonalt med dybden. Det samme gjelder trykk i havet. Jo lengre ned under vannoverflaten vi kommer, desto større blir det trykket ( væskep g hρ= i i ) som massen av molekylene i vannsøylen over oss vil påvirke oss med. En dykker som befinner seg på et 10 m dyp, opplever for eksempel et totalt trykk som skyldes summen av følgende masser (over han):

p(10 m dyp) = 10 m vannsøyle + luftsøylen over dette i atmosfæren. Eksempel:

Hvilket væske trykk og hvilket totalt trykk har vi på et 40 m dyp under vannoverflaten når vannets tetthet er ρ = 1020 kg/m3 og atmosfæretrykket er patm = 1020 mbar.

Løsning:

Væsketrykk: 3 2 51020 / 9,81 / 40 4,002 10væskep g h kg m m s m Paρ= = =i i i i i Totalt trykk: 5 5 51,02 10 4,002 10 5,022 10abs atm væskep p p Pa Pa Pa= + = + =i i i

0-linje

Atmosfæretrykk

pabs1

punder

pabs2

patm

pover

2

1

11

Indre energi (U). Indre energi U er en form for lagret energi, som har sammenheng med et systems molekyl-struktur og graden av molekylenes aktivitet. Den kan sees på som summen av molekylenes kinetiske og potensielle energi, som igjen er en funksjon av temperaturen. Hvis vi tilfører varme til en innestengt gass, så vil temperaturen øke, og dermed også den indre energien. Skal man få en bedre forståelse av den indre energien, så må man undersøke et system på molekylnivå. Et enkelt molekyl vil generelt sett bevege seg med en eller annen fart, vibrere i forhold til andre molekyler og rotere omkring sin egen akse i en vilkårlig bevegelse. Disse bevegelsene utgjør molekylets samlede kinetiske energi. Gassmolekyler er i bevegelse og forandrer fart og retning ved sammenstøt med hverandre. Slike termiske bevegelser er temperaturavhengig. Molekylene beveger seg raskere (de får større energi) når temperaturen i systemet øker. Også atomer og molekyler i faste stoffer har termiske bevegelser. Men i faste stoffer vil det virke krefter mellom molekylene slik at avstanden holder seg konstant og molekylenes posisjon er fastlåst. En temperaturøkning i et fast stoff vil gi seg utslag i sterkere vibrasjon av hvert molekyl. Man kan derfor observere en viss materialutvidelse med økende temperaturer i faste legemer. Den indre energien er også forbundet med intermolekylære krefter i systemet. Disse kreftene er sterkest i faste stoffer og svakes i gasser. Hvis nok energi tilføres molekylene i et fast stoff eller i en væske, så vil de intermolekylære kreftene etter hvert overvinnes. En konsekvens av oppvarmingen er da at systemet endrer fase – for eksempel fra væske til gass. Vi kaller denne prosessen for en faseovergang. I et system vil det ikke være mulig å måle den kinetiske molekylenergien (indre energien) direkte. Termodynamikken gir altså ingen informasjon om et systems absolutte indre energi. Det er bare endringer av den indre energien ∆U i et system som kan bli bestemt ved målinger av varme Q og arbeid W. I praksis har vi imidlertid kun bruk for endringen av indre energi ∆U mellom to tilstander. Vi kan velge ”en passende” referanseverdi ved en bestemt temperatur, og deretter bestemme ∆U basert på ulike formeluttrykk eller tabellverdier. En referanse kan være U = 0 ved T = 0 °C, men andre referanser forekommer også. For en ideell gass ved konstant volum gjelder generelt: 2 1 2 1( )vU U U c m T T∆ = − = −i i cv = spesifikk varmekapasitet ved konstant V. Av denne ligningen følger det at en endring av den indre energien ∆U er like stor som tilført (eller bortført) varmemengde ved konstant volum. Husk at indre energi U er en tilstandsstørrelse på samme måte som temperatur T, trykk p og volum V. Fordi U er en tilstandsstørrelse så gjelder ligningen helt generelt, uavhengig av hva slags prosess (eller tilstandsendring) vi har med å gjøre så lenge gassen regnes som en ideell gass og cv er konstant. Vi sier at endringen av den indre energien U kan bestemmes uavhengig av hva som har skapt tilstanden, på samme måte som vi vet at temperaturen i et rom kan bestemmes uavhengig av hvilken varmekilde vi har brukt for å varme opp rommet.

12

Entalpi (H). I termodynamikken forekommer det ofte ledd som U p V+ i . Denne størrelsen er derfor blitt gitt et eget navn; entalpi H.

H U p V= + i [ ]J eller h u p v= + i Jkg

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

Entalpi H er altså lik summen av indre energi U og ytre energi p Vi og kan oppfattes som et energipotensial som et system har når det er i en bestemt tilstand. I praksis er entalpi en form for lagret energi. En absolutt verdi av entalpi vil derfor representere den energimengden som totalt sett er lagret i systemet – både som molekylær bevegelsesenergi (indre energi) og trykk energi (pV-arbeid). Fordi entalpi H er sammensatt av de tre tilstandsstørrelsene U, p og V, så er selvfølgelig også entalpi en tilstandsstørrelse. På samme måte som for den indre energien U, er det heller ikke mulig å måle et systems absolutte entalpi. Vi har også her, kun bruk for endringen av entalpi ∆H og kan velge ”en passende” referanse verdi. Entalpi for vann ved 0 °C kan for eksempel velges som en referanse verdi og settes lik null. Det vil si at entalpien for damp ved samme temperatur blir ca. 2500 kJ/kg, noe som tilsvarer fordampningsvarmen for vann ved 0 °C. For kjøpemedier kan entalpi lik 200 kJ/kg ved 0 °C gjerne velges som en referanse, dette for å unngå negative skalaverdier. For en ideell gass ved konstant trykk gjelder generelt: 2 1 2 1( )pH H H c m T T∆ = − = −i i cp = spesifikk varmekapasitet ved konstant p. Av denne ligningen følger det at en endring av entalpi ∆H er like stor som tilført (eller bortført) varmemengde ved konstant trykk. Fordi H er en tilstandsstørrelse så gjelder ligningen over helt generelt, det vil si uavhengig av hva slags prosess (eller tilstandsendring) gassen har gjennomgått så lenge gassen regnes som en ideell gass og cp er konstant. Det vil si at denne ligningen vil være gyldig enten prosessen er reversibel eller irreversibel, om den foregår i åpne eller lukkede system, etc. Entropi (S). Entropi S er en ”konstruert” tilstandsstørrelse. Denne størrelsen ble opprinnelig utledet som en konsekvens av termodynamikkens 2. hovedsetning, blant annet som et mål for kvaliteten av termisk energi. Endringen av et systems entropi er direkte knyttet til begrepet irreversibilitet og retningen av naturlige prosesser som varmeoverføring og omforming av arbeid til varme. Mellom et systems tilstand 1 og 2 kan entropiendringen ∆S bestemmes ved ligningen:

2

2 11 rev

dQS ST

⎛ ⎞− = ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ eller

2

2 11 rev

dqs sT

⎛ ⎞− = ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ J

K⎡ ⎤⎣ ⎦

13

Det vil si at entropiendringen ∆S under en reversibel prosess er lik endringen i varmemengde dQ i det systemet som gjennomgår prosessen delt på den absolutte temperaturen T i kelvin som systemet har når varmeoverføringen skjer. Entropi kan bli uttrykt på et mikroskopisk nivå i termer som uorden eller tilfeldigheter. Når en varmemengde Q tilføres et system, så vil systemets grad av uorden øke fordi varmen øker molekylenes tilfeldige bevegelser. På tilsvarende måte vil entropien i en gass som ekspanderer øke, fordi volumøkning gir en økning av tilfeldigheter knyttet til gassmolekylenes posisjon. I begge disse tilfellene er det en sammenheng mellom mikroskopisk kaos og entropi. Et viktig forhold som er knyttet til begrepet entropi er at entropien til et isolert system aldri kan reduseres. Hvis alle system som deltar i en prosess inkluderes, så vil enhver naturlig prosess alltid følges av en økning av entropien. Det er kun i en ideell, fullstendig reversibel prosess som bare inneholder likevektstilstander, at entropiendringen vil være lik null. Alle naturlige (irreversible) prosesser følges av en økning av entropien i universet. Når entropien øker, så blir energien i universet mer uanvendelig – den mister kvalitet. Vi sier at universet blir mer tilfeldig eller går mot økt kaos. Tendensen til alle naturlige prosesser (varmeoverføring, sammenblanding av gasser etc.) er å bringe frem en uniform temperatur, trykk og sammensetning i alle deler av et system. Som en konsekvens av disse prosessene, kan vi se for oss en fjern fremtid der hele universet tilslutt har nådd en tilstand av absolutt uniformitet. Når og hvis en slik tilstand inntreffer (selv om energien i universet fortsatt er konstant) så vil alle fysiske, kjemiske og trolig også biologiske prosesser stoppe opp. Denne skjebnen er blitt beskrevet som universets ”varme død”. Figur 15. Fire betingelser for når et termodynamisk system er i likevekt

Et system er ikke i termodynamisk likevekt før følgende kriterier er tilfredsstilt: 1. Mekanisk likevekt er innstilt.

Mekanisk likevekt knytter seg til trykket. Systemet er i mekanisk likevekt når trykket i et gitt punkt ikke forandrer seg med tiden.

2. Termisk likevekt er innstilt.

Termisk likevekt har vi når temperaturen er jevnt fordelt overalt i systemet. Varmen Q vil gå fra et varmt legeme til et kaldt legeme når to slike legemer bringes i kontakt.

3. Faselikevekt er innstilt.

Faselikevekt i et system innebærer at dampmassen og væskemassen holder seg konstant over tid.

4. Kjemisk likevekt er innstilt.

Kjemisk likevekt har vi når den kjemiske sammensetningen ikke endrer seg med tiden.

14

1.3. Termodynamiske prosesser. Med prosess menes den måten (eller den veien) som et termodynamisk system endrer sin tilstand på. I en arbeidssylinder (stempelkompressor) vil for eksempel luften gjennomgå en prosess når stempelet komprimerer den innestengte luftmengden. I starttilstanden (tilstand 1) hadde luften mindre trykk og temperatur, men større volum, enn i sluttilstanden (tilstand 2). Enhver overgang fra en likevekt i et system til en annen likevekt kalles for en prosess eller for en tilstandsendring. I løpet av en prosess kan det skje en mer eller mindre vilkårlig utvikling av trykk, temperatur og volum. Hvis denne utviklingen er en forholdsvis rolig overgang fra en likevekt til en annen likevekt som skjer kontinuerlig, kalles prosessen for en kvasilikevekts-prosess. Verdiene av trykk og volum kan da plottes inn i et pV-diagram og danne en sammen-hengende kurve, det vil si en prosesskurve. Hvis man skal beskrive en prosess fullstendig, så må man oppgi både start- og sluttilstanden sammen med prosesskurven.

Figur 16. Kvasilikevektsforløp – prosessen går langsom. Prosesskurver er resultatet av et behov for å ”synliggjøre” prosessen. En mulighet som ofte blir brukt, er å utrykke prosessen i et pV-diagram – et diagram med trykkskala loddrett og volumskala vannrett – som illustrert i figuren over. Prosesskurven fra 1 til 2 i diagrammet, viser en kvasilikevektskompresjon av gassen i en sylinder. Stemplet har her beveget seg så langsomt at tilstanden hele tiden kan sies å være uniform, og hvert punkt på kurven gjengir tilstandsstørrelsene riktig. Det er klart at et system der både trykket p og volumet V forandres, ikke vil være i likevekt. En prosess forandrer jo nettopp likevekten. Men et system kan likevel være nær likevekt eller langt ute av likevekt. Hvis en prosess foregår tilstrekkelig langsomt, så kan man karakterisere forløpet som en kvasilikevektsprosess. Når en gass komprimeres raskt i en sylinder av et stempel med høy hastighet og akselerasjon, må man anta at det oppstår trykkgradienter. Det vil si at molekylene ikke får tid til å fordele seg jevnt utover i sylinderen. Under slike forhold der en del av gassen må antas å fordele seg ulikt i forhold til andre deler, så vil den kinetiske energien i de små, lokale strømningene

p1

V1V2

p2

1

2

System

Prosesskurve

Trykk

Volum

En forholdsvis rolig overgang fra en likevekt til en annen likevekt kalles en kvasilikevektsprosess

15

uungåelig gå over til vilkårlige molekylbevegelser og dermed følbar varme, noe som gjør kompresjonen enda mer arbeidskrevende. Systemet er ikke i likevekt under en slik prosess. Mange hurtiggående maskiner må antas å arbeide under slike forhold. Figur 17. Forløpet av en hurtig prosess kan bare antydes. For ikke-likevektsforløp er vi uten kjennskap til verdien av tilstandsstørrelsene. Trykket p og temperaturen T kan variere over tverrsnittet i sylinderen, og det vil derfor ikke være mulig å plotte disse verdiene inn i de ulike mellom-tilstandene. I slike tilfeller kan vi ikke snakke om en prosesskurve, i pV-diagrammet kan vi bare antyde prosessens retning. Det finnes imidlertid mer langsomtarbeidende maskiner, for eksempel store skipsdiesel-motorer. De kommer nærmere forløpet til en kvasilikevekt. Ingeniører er interessert i kvasi-likevektsprosesser av to grunner. For det første er de enkle å analysere. Beregninger som baseres på kvasilikevektstilnærmelsen, gir neglisjerbare feil. For det andre er kraftmaskiner (maskiner som leverer kraft) mest ressursvennlige når prosessen i systemet er langsom. Kvasilikevektsprosessen tjener derfor som sammenlikningsprosesser for aktuelle prosesser. Hvis en prosess følger et kvasilikevektsforløp, og det ikke forekommer (indre) friksjon, sier vi at prosessen er reversibel. I virkelige maskiner og prosesser vil det alltid forekomme større eller mindre friksjonstap og alle virkelige prosesser er derfor irreversible. Hvis noen av tilstandsstørrelsene er konstante i løpet av en prosess, så gir man prosessen navn etter den aktuelle størrelsen. Her vil blant annet trykk, volum og temperatur være av interesse. En isobar prosess er som et eksempel en prosess hvor p er konstant, en isokor prosess er en prosess hvor V er konstant og en isoterm prosess er en prosess hvor T er konstant. --- Et system kan bevege seg fra en tilstand 1 til en annen tilstand 2 på ulike måter:

1. Varme kan overføres fra omgivelsene til systemet (Q > 0). 2. Varme kan overføres fra systemet til omgivelsene (Q < 0). 3. Systemet kan utføre et arbeid på omgivelsene (W > 0). 4. Omgivelsene kan utføre et arbeid på systemet (W < 0).

Energioverføringen vil være avhengig av den måten prosessen skjer på. Av dette følger det at varmemengde Q og arbeid W ikke er tilstandsstørrelser. Resultatet av tilstandsendringen vil være en endring av lagret energi – indre energi ∆U = U2 – U1 og entalpi ∆H = H2 – H1.

1

2p

V

En hurtig overgang fra en likevekt til en annen likevekt kalles en ikke-likevektsprosess.

16

Kretsprosesser. Figur 16 viste en prosess i et pV-diagram. I denne prosessen forandret et lukket system sin tilstand da volumet ble endret og energi i form av varme og arbeid ble transportert over systemgrensen. Hvis systemet gjennomgår en ny prosess, kan tilstanden få en slik utvikling at systemet kommer tilbake til start-tilstanden. Hele forløpet er da en syklus som består av flere prosesser, der den siste prosessen bringer systemet tilbake til start-tilstanden. Systemet er da igjen klar forl å gjennomgå en ny syklus, og den kan fortsette med dette i det uendelige.

Figur 18. Enhver prosess der start- og slutt-tilstanden sammenfaller er en kretsprosess. I figuren over gjennomgår luft først en prosess som startet når stempelet befinner seg lengst ute i sylinderen, og stanset når stempelet er i sin innerste posisjon. I den andre prosessen beveger stemplet seg tilbake til startposisjonen lengst ute i sylinderen. Under denne doble stempelbevegelsen – in og ut av sylinderen – har luften gjennomgått en kretsprosess. Arbeid blir kontinuerlig utført av ulike typer maskinanlegg der fluidet hele tiden gjennom-løper den samme syklusen. Et dampenergianlegg er et eksempel på en slik syklus der fluidet (H2O) sirkulerer gjennom flere apparater i et lukket kretsløp. I diesel- og bensinmotorer går fluidet (luft) gjennom maskinen uten noe kretsløp. Slike bilmotorer kan likevel bli betraktet som en teoretisk kretsprosess.

Figur 19. Otto-prosessen for en bensinmotor. I den klassiske termodynamikken behandles kun systemer som er i en likevektstilstand og prosesser mellom to slike likevektstilstander. I dette pensumet skal vi kun ta for oss noen enkle system der det ikke blir tatt hensyn til eventuelle forekomster av overflatespenninger,

2p

V

1

Eksempel på en kretsprosess (syklus) som består av 4 prosesser: - prosess fra tilstand 1 til 2 - prosess fra tilstand 2 til 3 - prosess fra tilstand 3 til 4 - prosess fra tilstand 4 til 1

Eksempel på en kretsprosess (syklus) som består av 2 prosesser: - prosess fra tilstand 1 til 2 - prosess fra tilstand 2 til 1

3p

V

1

4

2

17

magnetiske- eller elektriske felt. Det vil også bli sett bort fra ytre kraftfelt med unntak av jordens gravitasjonskraft.

Figur 20. Et eksempel på en stempelkompressor i en motor. Varme (Q). Varme Q er den form for energi som passerer grensen mellom to system på grunn av at disse to systemene har ulik temperatur. Det ene systemet avgir en varmemengde som det andre tar opp. Den varmemengde som tilføres et system regnes som positiv, mens den varmemengden som et system avgir regnes som negativ. Innen termodynamikken er det egentlig meningsløst å snakke om en varmemengde som noe et system eller et legeme inneholder. En varmemengde har en termodynamisk betydning kun når den passerer grensen mellom to system. Det er først da denne varmemengden utretter noe ved å endre energiinnholdet (lagret energi) både i det systemet som avgir varme, og i det systemet som tar opp varme, og eventuelt samtidig gjør et arbeid. Varmeendringen i et system under en prosess mellom to gitte tilstand vil være avhengig av på hvilken måte tilstandsendringen (prosessen) skjer. Av dette følger det at varme Q ikke er en tilstandsstørrelse. Varme vil alltid strømme fra et varmt legeme til et kalt legeme når to slike legemer bringes i kontakt. Varme er energi som overføres på grunn av denne temperaturforskjellen. Det varme legemet blir kaldere og det kalde legemet varmere inntil begge har nådd samme temperatur og termisk likevekt opprettes. Et slikt forløp er i overensstemmelse med erfaringer som vi alle har gjort mange ganger. Det er med andre ord et naturlig fenomen – en naturlov. Denne loven betegnes gjerne termodynamikkens 0. hovedsetning.

Figur 21. Varmeoverføring skjer mellom to systemer på grunn av en temperaturforskjell.

A T1

B T2

A T3

B T3Q

Q = 0

Termisk likevekt er opprettetT1 > T2, Q er varmen

18

Termisk likevekt har vi når temperaturen er jevnt fordelt overalt i systemet. Vi sier også at systemet er i termisk likevekt med omgivelsene når netto energioverføring er lik null, det vil si når Q = 0. Det eneste som kan føre til at Q = 0, er at systemet har den samme temperaturen som omgivelsene. Ingen typer av isolasjonsmaterialer vil kunne hindre varmeoverføring hvis det forekommer et temperaturfall mellom et system og dets omgivelser. Selvsagt kan energioverføring mellom to systemer også forekomme uten varmeoverføring. I en arbeidssylinder vil det bevegelige stempelet som trykker mot en luftmengde, utføre et arbeid på luften når den komprimerer den til et redusert volum. I den komprimerte tilstanden har luften en mulighet til å utføre mer arbeid enn tidligere, og har derfor tatt opp energi. Inne i kompressoren vil luften og stempelet også ha ulike temperaturer. Det skjer derfor også en varmeoverføring mellom stempelet og luften. Dette er et eksempel på en prosess som på samme tid involverer to typer av energioverføring – varmeoverføring Q og arbeid W. --- Hvis en prosess mellom to tilstander varer i 10 sek og en varmemengde Q = 20 J strømmer fra omgivelsene til systemet, så blir varmestrømmen:

Varmestrøm: 20 210

JQQ Wtid s

= = =i

J Ws⎡ ⎤=⎣ ⎦

I alle beregninger som inkluderer varme, er det viktig å huske de to fortegnsreglene:

NB! - En varmestrøm fra omgivelsene til et system er alltid positiv. - En varmestrøm fra et system til omgivelsene er alltid negativ.

Arbeid (W). Det er kun energi i form av arbeid W eller varme Q som kan passere en systemgrense i løpet av en prosess, det vil si under en tilstandsendring mellom en tilstand 1 og en tilstand 2. Det arbeidet som et system utretter (arbeid som systemet påfører omgivelsene) er positivt, mens det arbeidet som et system forbruker (arbeid som omgivelsene påfører systemet) er negativt. Det arbeidet som et system utretter under en prosess, vil være avhengig av den måten denne prosessen (tilstandsendringen) skjer på. Dette er også tilfelle ved overføring av varme. Derfor er arbeid (og også varme) ingen tilstandsstørrelse. All energioverføring som ikke er varme, vil alltid være arbeid. Et stempel som blir løftet opp, en roterende aksel eller en elektrisk ledning som krysser en systemgrense må derfor alltid betraktes som en arbeidsutveksling. Termiske bevegelser og volumforandringene som skyldes endringer i molekylenes energi kan også bli betraktet som et arbeidende fluidum. En volumendring er derfor knyttet til et arbeid. Det kommer av at legemets omgivelser må skyves unna for å gi plass til volumendringen.

19

Figur 22. Volumendringsarbeid – et volum skyves unna. I figuren over betrakter vi et lite flateelement dA som er påvirket av en kraft F normalt på overflaten av et vilkårlig legeme. Vi registrerer at en volumendring forårsaker en bevegelse ds normalt på flateelementet. Da er det blitt utført et arbeid dW F ds= i . Energien for å utføre dette arbeidet må enten komme fra legemet eller fra omgivelsene. Hvis arbeidet er blitt utført på legemet slik at volumet er redusert, så kommer energien fra omgivelsene. Derfor må legemets indre energi øke tilsvarende. Hvis arbeidet derimot er blitt utført på omgivelsene ved at volumet har økt, så er energien hentet fra legemets indre energi, som følgelig avtar. Et volumendringsarbeid er det arbeidet som en gass enten utfører eller forbruker når dets volum endres. For å utlede et uttrykk for dette volumendringsarbeidet, så tenker vi oss en arbeidssylinder som vist i figuren under.

Figur 23. Volumendringsarbeidet er arealet under prosesskurven i pV-diagrammet. Når stempelet har beveget seg den infinitesimale strekningen ds, så er gassens volum blitt redusert med dV A ds= i der A er sylinderens tverrsnittsareal. Kraften fra gassen mot stempelet kan under denne korte strekningen betraktes som konstant og er F p A= i . Det arbeidet som stempelet utfører på systemet (gassen) i løpet av strekningen ds er derfor:

dW F ds p A ds p dV= = =i i i i

dW p dV= i 2

1

W p dV= ∫ i

2

p

V

1

ds

V1V2dV

p2

p1

p

p1 p2

Stempel

Sylinder 2 1

FdA i snitt

ds

Volumutvidelse

Start volum

dW F ds p dA ds p dV= = =i i i i

20

Dette arbeidet kalles et volumendringsarbeid da det er relatert til volumendringen dV hos gassen. Produktet p dVi vil alltid være lik det skraverte arealet under prosesskurven i et pV-diagram. I løpet av prosessen (tilstandsendringen) mellom en tilstand 1 og en tilstand 2 vil det totale volumendringsarbeidet være:

2

1

W p dV= ∫ i

Et systems tilstandsendring mellom en gitt start- og sluttilstand kan foregå via ulike prosesser. Volumendringsarbeidet vil da være forskjellig selv om disse prosessene har samme start- og sluttilstand. Det arbeidet som et system utretter under en prosess, vil derfor være avhengig av den måten prosessen (tilstandsendringen) skjer på.

Figur 24. To ulike prosesser med ulikt volumendringsarbeid mellom to gitte tilstand. Ved utledning av uttrykket for volumendringsarbeidet ( p dVi ) ble det tatt utgangspunkt i en kompresjon av en gass. I en kompresjon vil både volumendringen og volumendringsarbeidet være negativt. Hvis gassen hadde ekspandert ville både volumendringen og volumendrings-arbeidet ha vært positivt. --- Hvis en prosess mellom to tilstander varer i 10 sek og et arbeid på W = 20 J blir utført av et system på omgivelsene, så blir effekten:

Effekt: 20 210

JWW Wtid s

= = =i

J Ws⎡ ⎤=⎣ ⎦

I alle beregninger som inkluderer varme, er det viktig å huske de to fortegnsreglene:

NB! - Arbeid som et system utfører på omgivelsene er alltid positiv. - Arbeid som omgivelsene påfører et system er alltid negativ.

Volumendringsarbeidet; //// - under prosess a \ \ \ \ - under prosess b

2

p

V

1

V1V2

p2

p1

a

b

21

1.5. Varmekapasitet og latent varme. De to begrepene varmemengde og temperatur gikk ofte om hverandre frem til om lag 1750 da Joseph Black introduserte kalorimetri (kvantitativ måling av varmemengder), samt begrepene spesifikk varme (eller varmekapasitet) og latent varme (smeltevarme, fordampingsvarme ol.) Hva varme egentlig var, var det delte meninger om. Noen mente at varme trolig hadde med partikkelbevegelser å gjøre, mens andre mente at det måtte finnes et eget ”varmestoff”. Det var først med Joules eksperimenter i 1840-årene, at det ble endelig allment akseptert at varme er (uordnet) bevegelsesenergi på molekylær skala (mikroskopisk energi). Varmemengder ble i utgangspunktet referert til som det som trengs for oppvarming av vann. Gammel enhet for varmemengde er kalori, og 1 kalori er definert som den varmemengden som skal til for å varme opp 1 cm3 H2O fra 14,5 °C til 15,5 °C. Utveksling av varme opptrer ikke bare i forbindelse med temperaturforandringer, men også i forbindelse med faseoverganger – som smelting, fordamping, sublimering (fordamping fra fast fase) og rekrystallisasjon. Varmemengdene vil da ofte bli opptatt eller avgitt ved konstant temperatur – smeltepunkt, kokepunkt mm. Varmekapasitet En vanlig erfaring fra dagliglivet er oppvarming av vann på varmeplaten til en komfyr. La oss si at vi undersøker den tiden det tar å varme opp 1 dm3 (1 kg) vann. Deretter finner vi frem et Fe-stykke med masse 1 kg som vi plasserer på den samme kokeplaten etter at vi er ferdig med å varme opp vannet til kokepunktet. Det vil ta kortere tid å oppnå 100 ºC i jernet, enn det å varme opp vannet like mange grader. Hvis vi måler varmetilførselen omhyggelig, finner vi at det for jern vil kreves 470 J å heve temperaturen 1 kelvin, for vann vil det kreves 4180 J for å oppnå det samme. Den varmemengden Q som må tilføres et legeme for å heve temperaturen en grad, kalles for legemets varmekapasitet C. Sammenhengen er:

dQ C dT= i → 2 1( )Q C T T= −i der C har enheten JK

Spesifikk varmekapasitet (faste og flytende stoffer). Jern og vann er homogene stoffer som det finnes store mengder av. For slike stoffer opererer vi gjerne med spesifikk varmekapasitet c. Et stoffs spesifikke varmekapasitet c er den varme-mengden som vi må tilføre en masseenhet av stoffet for å heve temperaturen 1 kelvin. Av dette følger at varmeendringen dQ til massen m med spesifikk varmekapasitet c, når temperaturen endres med dT grader, vil være:

dQ c m dT= i i → 2 1( )Q c m T T= −i i der c har enheten Jkg Ki

22

Den spesifikke varmekapasiteten c for et bestemt stoff er ikke en konstant størrelse, men en funksjon av temperaturen. Den varmemengdeendringen som skjer mellom en tilstand 1 og en tilstand 2 skal derfor streng tatt bli beregnet ved bruk av ligningen:

2

1

Q m c dT= ∫i i

Den temperaturavhengigheten som man kan måle, er svak. I praksis er det derfor tilstrekkelig å benytte en middelverdi av c. Innenfor et begrenset temperaturintervall kan man sette at c er konstant. Vann opptrer for eksempel i flytende fase i et temperaturintervall på 100 grader, og i hele dette intervallet kan c settes til å være 4180 /J kg Ki . Overført varme blir da bestemt ved bruk av ligningen: 2 1( )Q c m T T= −i i

Metall Spesifikk varmekapasitet Temperaturområde Beryllium Aluminium Jern Kobber Sølv Kvikksølv Bly

1970 J/kgK 910 J/kgK 470 J/kgK 390 J/kgK 234 J/kgK 137 J/kgK 130 J/kgK

20-100 ºC 17-100 ºC 18-100 ºC 15-100 ºC 15-100 ºC 0-100 ºC 20-100 ºC

Figur 25. Midlere spesifikk varmekapasitet c for noen metaller (konstant trykk).

Væsker Faste stoffer Aceton Etanol Bensen Glyserol Kvikksølv Metanol Vann

2300 J/kgK 2420 J/kgK 1700 J/kgK 2400 J/kgK 139 J/kgK 2500 J/kgK 4186 J/kgK

Aluminium Støpejern Stål Kull (grafitt) Nikkel Sølv Polyeten

890 J/kgK 500 J/kgK 460 J/kgK 710 J/kgK 444 J/kgK 235 J/kgK 2100 J/kgK

Figur 26. Spesifikk varmekapasitet c for noen væsker og faste stoffer ved 25 °C. Spesifikk varmekapasitet for kompressible medier (gasser). For faste og flytende stoffer er den spesifikke varmekapasiteten (for praktisk bruk) entydig definert av ligningen:

dQ c m dT= i i For gasser er dette ikke tilfelle. Ved oppvarming av gasser er det nødvendig med to spesifikke varmekapasiteter – en for konstant trykk cp og en annen for konstant volum cv. Hvorfor dette er nødvendig utledes i nedenfor.

23

Vi tenker oss en bestemt gass med masse m inne i en arbeidssylinder hvor vi ved hjelp av et bevegelig stempel holder et konstant trykk p (figur 27a). Den varmemengden som er nødvendig for å øke gassens temperatur dT grader betegnes her med dQp, og er:

p pdQ c m dT= i i Hvis vi gjentar forsøket med et fastlåst stempel (figur 27b) slik at gassens volum holdes konstant under oppvarmingen, men for øvrig under de samme betingelsene som i tilfelle a, finner vi at det kreves an annen varmemengde dQv, som vil være mindre enn dQp.

v vdQ c m dT= i i Da massen m og temperaturendringen dT er den samme i begge tilfellene, viser forsøket at spesifikk varmekapasitet ved konstant volum cv er mindre enn spesifikk varmekapasiteten ved konstant trykk cp. Forklaringen er – i tilfelle a, har tilførte varmemengde dQp ikke bare blitt brukt til oppvarming av massen m med gradeantallet dT, men også til å gjøre et arbeid på det bevegelige stempelet. Derfor kreves det i a at det tilføres en større varmemengde enn i b.

Figur 27. Oppvarming ved konstant trykk (a) og konstant volum (b). Lik temperaturøkning i

begge tilfellene. De to varmekapasitetene cp og cv er forskjellige fordi: - Hvis systemet får lov til å ekspandere under oppvarmingen, så vil noe av den tilførte

energimengden bli brukt til å utføre et volumendringsarbeid på omgivelsene. Hvis volumet er konstant, så forekommer det ikke noe slikt arbeid.

- Verdien til cv representerer den energimengden som er direkte knyttet til økningen av molekylenes kinetiske energi – endring av indre energi ∆U. Verdien til cp representerer i tillegg et volumarbeid – endring av entalpi H U p V∆ = ∆ + ∆i .

Det er allerede blitt fortalt at spesifikk varmekapasitet ikke er konstant. I mange praktiske tilfeller kan det likevel benyttes en middelverdi av cv og cp innenfor det temperaturområdet som betraktes. Da forenkles likningene til:

2 1( )v vQ c m T T= −i i og 2 1( )p pQ c m T T= −i i

ds

p = konstantm = konstant

Bevegeligstempel

a

Varmemengden dQptilføres systemet

V = konstantm = konstant

Faststempel

b

Varmemengden dQvtilføres systemet

24

En viktig termodynamisk sammenheng er: 2 1 2 1( )vU U c m T T− = −i i og 2 1 2 1( )pH H c m T T− = −i i Endringen i et systems indre energi ∆U og entalpi (lagret energi) ∆H kan bli beregnet for alle prosesser i henhold til disse ligningene, uavhengig av hvordan tilstandsendringen skjer. For ideelle gasser er det to viktige sammenhenger mellom cp- og cv-verdiene:

1) cp – cv = R der R er den individuelle gasskonstanten (J/kgK). 2) cp / cv = κ κ er et karakteristisk tall for hver gass.

Her kalles R den individuell gasskonstant, og den har en bestemt tallverdi for hver enkelt gass og for ulike blandinger av gasser. For en bestemt tilstand av en hvilken som helst ideell gass gjelder alltid: p V m R T=i i i , og for en tilstandsendring av en ideell gass fra en tilstand 1 til en tilstand 2 når massen m er konstant gjelder alltid:

p V m R konstantT

= =i i → 1 1 2 2

1 2

p V p VT T

=i i

For praktisk bruk gjelder følgende verdier for κ i trykkområder rundt atmosfæretrykket:

κ = 1,67 for enatomige gasser (He og Ar). κ = 1,40 for toatomige gasser, (H2, N2, O2 og luft). κ = 1,30 for treatomige gasser (CO2, overopphetet H2O).

Hvis vi kjenner κ og R for en bestemt gass, kan verdiene til cp og cv bli beregnet ved bruk av følgende ligninger:

1vRc

κ=

− og

1pRc κ

κ=

−i

Gass Formel cp (J/kgK) cv (J/kgK) Luft Karbondioksid Karbonmonoksid Oksygen Nitrogen

CO2 CO O2 N2

1005 870 1040 920 1040

715 670 740 660 740

Figur 28. Verdier av cp og cv for noen gasser ved 20 ºC.

Temperatur (K) cp (J/kgK) cv (J/kgK) R (J/kgK) 300 500 1000

1005 1029 1142

718 742 855

287 287 287

Figur 29. Verdier av cp, cv og R for luft ved stigende temperatur.

25

Smeltevarme og fordampningsvarme. I naturen forekommer det faste stoffer, væsker og gasser – kalt aggregattilstander eller faser. Samme stoff kan ved ulike betingelser opptre i alle disse fasene. Ofte forekommer to av dem samtidig, og under bestemte forhold alle tre – i det såkalte trippelpunktet. Vann (H2O) forekommer for eksempel i fasen fast stoff som is, i væske fase som vann og i gassfase som damp. Når et stoff endrer fase (går fra en aggregattilstand til en annen), tar stoffet enten opp eller gir fra seg varme Q, i tillegg vil prosessen vanligvis også medføre et arbeid (volumendring). Den temperaturen hvor en faseendring skjer vil være avhengig av trykket. Anta at is (fast H2O) blir tatt ut av en fryser ved temperaturen T1 = -25 ºC. Isen blir så knust og deretter plassert i en beholder tilsluttet en oppvarmingskabel som leverer en varmemengde Q med jevn hastighet. Beholderen isoleres slik at ingen annen varme når isen, og et termometer blir plassert inn i isen. Vi observerer at temperaturen i isen vil øke jevnt helt til isen har nådd en temperatur T2 = 0 ºC. I dette temperaturområdet har is en spesifikk varmekapasitet på rundt 2000 J/kgK.

Spesifikk varmekapasitet for is: cis = 2000 J/kgK Når denne temperaturen er nådd, begynner noe vann (væske) å danne seg i beholderen. Med andre ord isen begynner å smelte. Smelteprosessen (b-c i figur 30) er en faseforandring fra fast stoff til væske fase. Når isen smelter, observerer vi ingen endring i systemets temperatur selv om varme fortsatt tilføres med samme hastighet. Temperaturen vil bli værende på 0 ºC til all is har smeltet (hvis trykket holdes konstant ved 1 atm).

Figur 30. Temperaturforløpet gjennom de to faseforandringene til en H2O-mengde. Etter at all is har smeltet, begynner temperaturen i systemet igjen å stige med jevn hastighet (c-d), men hastigheten av denne temperaturøkningen er nå lavere enn når isen ble varmet opp (a-b). Det skyldes at den spesifikke varmekapasiteten til vann er større enn den for is.

Spesifikk varmekapasitet for vann: cvann = 4180 J/kgK.

Tem

pera

tur

(ºC)

Tid (min)

0

50

100

a

bc

ed

f

26

Når systemet har nådd en temperatur på T3 = 100 ºC, vil vannet begynne å koke og det oppstår damp. Temperaturen er nå konstant helt til alt vann har fordampet. En ny faseforandring, fra væske til gass fase, har derfor funnet sted. Hvis vi hadde kunnet samlet opp all damp, kunne oppvarmingsprosessen fortsette (e-f). Gassen ville da ha blitt kalt ”overopphetet damp”. Dette eksempelet med vann viser at når varme Q sakte blir tilført et stoff, så vil temperaturen enten øke eller stoffet vil gjennomgå en faseforandring, men aldri begge deler samtidig. Hver gang systemet når en temperatur for en faseforandring (smelte- eller kokepunkt), så vil det ikke skje en ytterligere temperaturendring før alt stoff har gjennomgått faseforandringen. Selv om vann ble valgt i eksemplet over, så vil forløpet i figur 30 også være gjeldende for mange andre stoffer. Noen stoffer vil selvsagt kunne bli ødelagt (dekompositere) før det når sitt smelte- eller kokepunkt. Andre stoffer (som glass) gjennomgår ingen faseforandring ved en bestemt smeltetemperatur, men blir gradvis mykere etter hvert som temperaturen øker. Krystallinske materialer som is og metall vil alltid gjennomgå faseforandringer, og de smelter ved en bestemt temperatur. Den varmemengden Q som må tilføres en masseenhet av et stoff ved dets smeltetemperatur for å omforme det fullstendig til en væske ved denne temperaturen kalles smeltevarme. Den varmemengden som må tilføres en masseenhet av et stoff ved dets koketemperatur for å omforme det fullstendig til en gass ved denne temperaturen kalles fordampningsvarme. I begge tilfeller, så vil den varmemengden som må til, være uttrykt ved:

Q m l= i I dette uttrykket representerer m massen og l den varmemengden (fordampingsvarme eller smeltevarme) som enten blir tatt opp eller avgitt i en faseovergang per masseenhet. Når et fast stoff smelter eller en væske koker, så blir varme tilført (tatt opp) av materialet. Når en gass kondenserer eller en væske størkner, så blir varme frigjort (avgitt) fra materialet.

Fordampningsvarme for vann ved 100 ºC: lvap = 2256 kJ/kg Smeltevarme for vann ved 0 ºC: lmelt = 335 kJ/kg

Den temperaturen hvor en faseovergang skjer vil alltid avhenge av trykket i systemet. Den nødvendige varmen som må tilføres vil også være trykkavhengig. For eksempel, ved normalt trykk (1 atm) koker vann ved 100 ºC med en fordampningsvarme på 2256 kJ/kg. Hvis trykket reduseres til 0,5 atm (trykk 6000 meter over havoverflaten) koker vannet ved 82 ºC med en fordampningsvarme på 2310 kJ/kg. En tilsvarende effekt opptrer ved smelting, men her vil trykket vanligvis ha en mindre effekt. Hvis varme fjernes fra en gass, så faller temperaturen. Ved samme temperaturen som gassen fordamper fra væske til gass, vil den kondensere fra gass til væske. Når gass kondenserer gir den fra seg energi – en mengde som er identisk lik det som ble tatt opp når den fordampet. Verdien av kondensasjonsvarmen er derfor identisk med verdien av fordampningsvarmen, men med motsatt fortegn. Tilsvarende gjelder for smeltevarmen og størknevarmen. Verdiene av fordampningsvarme og smeltevarme til noen stoffer ved normalt atmosfærisk trykk (1 atm) er vist i figur 31 på neste side. Disse størrelsene blir noen ganger kalt latent varme fordi de endrer fasetilstanden til materialet men ikke materialets temperatur.

27

Stoff Normalt smelte

punkt (K) Smeltevarme

(kJ/kg) Normalt koke

punkt (K) Fordampnings-varme (kJ/kg)

Hydrogen Nitrogen Oksygen Etanol Kvikksølv Vann Svovel Bly Sølv Gull Kobber

13,84 63,18 54,36 159 234

273,15 392

600,5 1233,95 1336,15

1356

58,6 25,5 13,8

104,2 11,8 335 38,1 24,5 88,3 64,5 134

20,26 77,34 90,18 351 630

373,15 717,75 2023 2466 2933 1460

452 201 213 854 272 2256 326 871 2336 1578 5069

Figur 31. Fordampningsvarme og smeltevarme for noen stoffer ved et trykk på 1 atm. Under helt bestemte forhold av trykk og temperatur, kan et stoff endre aggregattilstand direkte fra fast til gass fase uten å gå over væske fasen. En slik faseovergang kalles sublimasjon, og forbindelsen blir sagt å sublimere. Tørris (fast fase av CO2) sublimerer ved et trykk på 1 atm. Den varmemengden per masseenhet som er nødvendig for å få et stoff til å sublimere kalles sublimasjonsvarmen.

Figur 32. Eksempel på et pvT (trykk, volum og temperatur)-diagram for en ren forbindelse.

28

1.5. Termisk ekspansjon og kompressibilitet. De fleste stoffer vil utvide seg når temperaturen øker. Denne termiske utvidelsen er liten for faste stoffer, noe større for væsker og størst for gasser. På tilsvarende måte vil volumet av de fleste stoffer minke når trykket øker. Kontraksjonen er veldig liten for faste stoffer, litt større for væsker og størst for gasser. Termisk lengdeutvidelse. De fleste materialer vil gjennomgå dimensjonsendringer når temperaturen endres. Anta at en stav som består av et bestemt materiale, har en lengde l0 ved en bestemt temperatur. Når temperaturen øker med en ∆T, så vil stavens lengde øke med en ∆l. Forsøk har vist at ved små ∆T forandringer, så vil ∆l være direkte proporsjonal med ∆T. Selvfølgelig vil ∆l også være proporsjonal med l0. For to staver av samme materialet, der den ene staven er dobbelt så lang stor den andre, vil endringen i lengde også være dobbelt så stor. Ved hjelp av en konstant α (som vil være ulik for ulike materialer) kan vi oppsummere dette på følgende måte:

0l l Tα∆ = ∆i i der α = lengdeutvidelseskoeffisient (K-1) Konstanten α som karakteriserer de termiske ekspansjonsegenskapene til materialet, kalles temperaturkoeffisienten for lineær ekspansjon eller lengdeutvidelseskoeffisienten. Det må presiseres at den direkte proporsjonaliteten i denne likningen ikke er helt eksakt, men at den er tilnærmet gyldig for små temperaturendringer. For materialer som ikke har noen bestemt retning i rommet, så vil enhver lineær retning endre seg i henhold til denne likningen for termisk lengdeutvidelse. På denne måten kan lengden l like godt representere tykkelsen av staven, sidelengden av en kube eller diameteren av et hull i materialet. Det finnes også noen unntak fra dette.

Materiale α (K-1) Aluminium Kobber Glass Støpejern Stål

2,4 * 10-5 1,7 * 10-5

0,4-0,9 * 10-5

1,1 * 10-5

1,2 * 10-5 Figur 33. Noen koeffisienter for lineær ekspansjon (lengdeutvidelseskoeffisienter). Eksempel:

En stålkabel som er 5 m lang er kalibrert ved en temperatur på 20 ºC. Hva er lengden på denne kabelen på en varm sommerdag når temperaturen er 35 ºC?

Løsning:

5 10 1, 2 10 5 (318 293) 0,0009l l T K m K mα − −∆ = ∆ = − =i i i i i

Lengden av stålbjelken er: l0 + ∆l = 5,0009 m.

29

Termisk volumutvidelse. Økende temperaturer gir vanligvis også økte volumer, både for faste stoffer og væsker. Forsøk viser at ved en temperaturendring hvor ∆T ikke er for stor, så vil økningen i volumet ∆V være tilnærmet proporsjonal med temperaturendringen. Volumøkningen vil også være proporsjonal med startvolumet V0 på samme måte som for lineær ekspansjon. Dette forholdet kan uttrykkes på følgende måte:

0V V Tβ∆ = ∆i i der β = volumutvidelseskoeffisient (K-1) Konstanten β som karakteriserer de termiske ekspansjonsegenskapene til materialet, kalles temperaturkoeffisienten for volum ekspansjon eller volumutvidelseskoeffisienten. På tilsvarende måte som for lengdeutvidelseskoeffisienten α, vil volumutvidelseskoeffisienten β variere noe med temperaturen. Likningen over for termisk volumutvidelse må derfor kun bli betraktet som tilnærmet gyldig – den er gyldig kun for små temperaturendringer. For mange materialer vil β synke når temperaturen blir lavere, og gå mot null når temperaturen går mot absolutt null. Det er også nyttig å observere at jo høyere smeltetemperaturen for et metall er, desto lavere vil β være.

Faste stoffer β (K-1) Aluminium Kobber Glass Stål

7,2 * 10-5 5,1 * 10-5

1,2-2,7 * 10-5

3,6 * 10-5 Væsker β (K-1)

Etanol Karbondisulfid Kvikksølv Vann (20 ºC) Vann (50 ºC) Olje (20 °C)

75 * 10-5 115 * 10-5

18 * 10-5

20 * 10-5 60 * 10-5 90 * 10-5

Figur 34. Noen koeffisienter for volum ekspansjon (volumutvidelseskoeffisienter). Legg

merke til at β-verdiene for væsker er mye større enn for faste stoffer. Hvis det eksisterer et hull i et fast legeme, så vil volumet av dette hullet også øke når legemet ekspanderer som følge av en temperaturøkning. Dette vil være gyldig også hvis hullet blir så stort at det omkringliggende legemet blir redusert til et tynt skall. Derfor vil volumkammeret i et glasstermometer (som er omkranset av tynnvegg glass) øke på tilsvarende måte som et fast legeme av glass med tilsvarende størrelse. Eksempel:

En glassflaske med volum 200 cm3 blir fylt opp med kvikksølv ved en temperatur på 20 ºC. Hvor mye kvikksølv vil flyte over når temperaturen av dette systemet økes til 100 ºC? Volumutvidelseskoeffisienten for glass er her 1,2 * 10-5 K-1.

Løsning:

Økningen av volumet i flasken: 5 1 3 3

0 1, 2 10 200 (373 293) 0,192glassV V T K cm K cmβ − −∆ = ∆ = − =i i i i i

30

Økningen av volumet til kvikksølvet:

5 1 3 30 18 10 200 (373 293) 2,88HgV V T K cm K cmβ − −∆ = ∆ = − =i i i i i

Volumet av kvikksølv som flyter over: 2,88 cm3 – 0,19 cm3 = 2,69 cm3

Ved små ∆T-endringer for faste stoffer er det en klar sammenheng mellom volumutvidelses-koeffisienten β og lengdeutvidelseskoeffisienten α. Volumutvidelseskoeffisienten er tilnærmet tre ganger den lineære ( 3β α= i ). For væsker har bare volumutvidelsen noen fysisk mening. Volumet av vann (H2O) i temperaturområdet 0 – 4 ºC vil reduseres med økende temperatur. Dette forholdet for vann, er motsatt oppførselen til de fleste andre stoffer. For vann vil volum-utvidelseskoeffisienten derfor være negativ i dette temperaturområdet. For temperaturer over 4 ºC ekspanderer volumet av vann når det varmes opp. Siden volumet av en bestemt mengde vann er minst ved 4 ºC, så er tettheten av vann ved sitt maksimum ved denne temperaturen. Vann vil også ekspandere når det fryser – ulike de fleste andre materialer.

T (ºC) Tetthet (g/cm3) Volum av 1 gram (cm3)) 0 4

10 20 50

100

0,99984 0,99997 0,99970 0,99820 0,98804 0,95835

1,00016 1,00003 1,00030 1,00180 1,01210 1,04346

Figur 35. Tetthet og volum av vann. Termisk spenning. Hvis de to endene av en massiv bjelke er blitt solid fiksert fast (for å hindre ekspansjon eller kontraksjon) og temperaturen i bjelken endres, så vil det oppstå termisk spenning i bjelken. Den termiske spenningen kan bli veldig stor – stor nok til at ”stresset” i bjelken kan overstige den elastiske grensen eller bjelkens brekkstyrke. Ved design og konstruksjon av strukturer som kommer til å bli utsatt for temperaturendringer, så må det derfor bli tatt hensyn til noen generelle forholdsregler knyttet til termisk ekspansjon. Det er ganske enkelt å beregne den termiske spenningen som vil oppstå i en bjelke som ikke vil være fri til å ekspandere eller fri til å trekke seg sammen. Anta at bjelken har lengden l0 og et tverrsnitts areal A med de to endene solid fiksert fast, mens temperaturen reduseres med en bestemt ∆T. Den relative endringen i bjelkens lengde hvis den var fri til å trekke seg sammen ville ha vært:

0

l Tl

α∆= i

31

I dette tilfellet hvor temperaturen reduseres og bjelken trekker seg sammen vil både ∆l og ∆T være negative. Men fordi bjelken her ikke kan trekke seg sammen, må spenningen i materialet øke med en størrelse som er lik men motsatt rettet til den relativ lengdeendringen. Fra definisjonen av Young’s modulus (Elastitetsmodulen) E har vi;

0

FAE ll

= → 0

l Fl A E=i

I denne definisjonen er ∆l positiv. Den termiske kraften F bli her beregnet ved at den relative lengdeendring (dvs. termisk ekspansjon + elastisk spenning) må bli null:

0FTA E

α + =ii

→ F A E Tα= − i i i

Siden ∆T her representerer en reduksjon av temperaturen (den er negativ), så vil F være en positiv størrelse. Den termiske spenningen inne i bjelken blir:

F E TA

α= − i i 2

N Pam⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

Hvis ∆T i stedet representerte en økning av temperaturen (er positiv), så ville både F og F/A være negative størrelser. Termisk spenning kan også bli indusert (påført) i et fast legeme gjennom en ikke uniform (varierende) oppvarming. Selv om et fast legeme i utgangspunktet ikke inneholder noen former for interne spenninger, så kan termisk spenning bli indusert ved å utsette legemet for en ikke uniform ekspansjon gjennom ujevn oppvarming. Det at en tykkvegget glassbeholder kan sprekke når varmt vann blir helt inn i den er et kjent fenomen. Tilsvarende fenomener kan også oppstå ved termisk volumekspansjon. For eksempel kan en glassflaske som er helt fylt opp med vann og fullstendig korket, når den blir varmet opp, briste på grunn av at den termiske ekspansjonskoeffisienten for vann er større enn den for glass. Et kanskje enda mer velkjent eksempel er at en brusflaske av glass knuser når væsken inne i den fryser til is. Kompressibilitet. Med kompressibiliteten av et stoff mener vi dets relative volumforandring som følger av en gitt trykkendring. Væsker som blir utsatt for høye trykk, vil redusere sitt volum svært lite. For praktiske formål kan vi se helt bort fra denne sammentrykkeligheten. Hvis vannets trykk øker fra 1 bar til 70 bar, så vil volumet kun reduseres med ca. 0,3 %. Vi sier gjerne at vann og andre væsker er lite kompressible, eller at de er innkompressible. Et unntak som bør nevnes, er det som kan skje ved en hurtig hastighetsendring i et rør. Det kan skje dersom en pumpe i et rørsystem plutselig stopper. Da oppstår det en kraftig trykkendring som i det vesentlige er bestemt av veskens kompressibilitet.

32

Kompressibiliteten av et stoff kan matematisk uttrykkes på følgende måte:

dv dpkv E

= = − 2

1m PaN

−⎡ ⎤=⎢ ⎥

⎣ ⎦

Her er k kompressibilitetsfaktoren og E elastisitetsmodulen for det aktuelle stoffet, v er spesifikt volum og p trykk.

Elastitetsmodulen: dpE vdv

= − i 2

N Pam⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

er et mål på et stoffs deformasjon ved en bestemt trykkendring. Elastitetsmodulen har samme dimensjon som trykk, det vil si. kraft per flateenhet (Pa). Minustegnet i likningene skyldes at volumet minker (dv < 0) når trykket øker (dp > 0). Vi ser her at kompressibilitetsfaktoren er omvendt proporsjonal med elastisitetsmodulen:

1 1 dvkE v dp

= = − i

Elastisitetsmodulen til et stoff vil være en funksjon både av trykket og temperaturen. Tabellen under viser som et eksempel hvordan elastitetsmodulen til vann vil endre seg ved varierende trykk og temperaturer.

T = 0 °C T = 50 °C T = 100 °C T = 150 °C 1,034 bar 103,4 bar 310,3 bar 1034 bar

E = 20130 bar E = 20680 bar E = 21860 bar E = 26200 bar

E = 22890 bar E = 23580 bar E = 24960 bar E = 29370 bar

E = 21240 bar E = 21990 bar E = 23300 bar E = 27920 bar

- E = 17100 bar E = 18680 bar E = 24130 bar

Figur 36. Vannets elastitetsmodul E (her i bar) ved ulike trykk og temperaturer. I tabeller kan vi også finne elastitetsmodulen til stål 112,0 10E = i Pa og vann 92, 2 10E = i Pa. Vannet er altså ca. 100 ganger mer kompressibel enn stål.

Kompressibiliteten av en væske kan også uttrykkes slik: 0

1 dvkV dp

= − i → 0dv k dp V= − i i

Her er k kompressibilitetsfaktoren for væsken, dv er volumforandringen, V0 er volumet før trykkendringen og dp trykkendringen.

Væske Kompressibilitetsfaktoren k Karbondisulfid Etanol Kvikksølv Vann

93 * 10-11 Pa-1 110 * 10-11 Pa-1 3,7 * 10-11 Pa-1 45,8 * 10-11 Pa-1

94 * 10-6 atm-1 111 * 10-6 atm-1 3,8 * 10-6 atm-1 46,4 * 10-6 atm-1

Figur 37. Kompressibilitetsfaktoren til noen væsker ved 20 ºC.

33

For gasser vil elastisitetsmodulen være sterkt avhengig både av gassens trykk og på hvilken måte trykkendringen skjer: - Luft er ca. 20000 ganger mer kompressibel enn vann dersom kompresjonen skjer fra

atmosfæretrykk og ved minustemperatur, og dersom lufttemperaturen holdes konstant under kompresjonen.

- Hvis trykkendringen skjer uten varmeoverføring til omgivelsene, kommer temperaturen til å stige under kompresjonen, og luft er da kun ca. 14000 ganger mer kompressibel enn vann.

Eksempel:

En stor hydraulisk sylinder rommer 250 dm3 olje når den er trykkfri. Hva er oljens volumminking når trykket er 26 MPa og kompressibilitetsfaktoren 1120 10−i Pa-1.

Løsning: Volumminkingen er: 11 1 6 3 3 3 3

0 20 10 26 10 250 10 1,3 10V k p V Pa Pa m m− − − −∆ = − ∆ = − = −i i i i i i i i

Litteratur. Ansgar Lund (1999); Termodynamikk og strømningslære, Fagbokforlaget. Ansgard Lund (1994); Teknisk termodynamikk, Fagbokforlaget Francis W. Sears, Mark W. Zemansky og Hugh D. Young (1981); University physics – part 1, Addison-Wesley publishing company. Gunnar Buset og Svein Erik Pedersen (1995); Termodynamikk – Grunnlag for ingeniørfag, Universitetsforlaget. Henrik Alvarez (2003); Energiteknikk – del 1. Studentlitteratur.