termalización y localización en sistemas fermiónicos de...
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Termalización y localización en sistemas
fermiónicos de campo medio.
Thermalization and location from fermionic systems at mean field.
Autor. Don Gabriel Carro Sevillano
Director. Doctor Armando Relaño Pérez
keywords
Thermalization, location, without interacting, integrable system, quasiparticle,
correlation, microcanonical, many bodies, shell model, mean field.
Palabras clave
Termalización, localización, sin interacción, sistema integrable, cuasipartícula,
correlación, microcanónica, muchos cuerpos, modelo de capas, campo medio.
Contenidos:
0. Resumen………………………………2
1. Abstract……………………………….3
2. Introducción………………………….3
a. Termalización…………………….3
b. Modelo de muchos cuerpos…….4
3. Descripción del modelo…………….6
a. Aproximación del Hamiltoniano a
un sistema integrable….……….6
b. Descripción de cuasipartículas en
un espacio de Hilbert…………….7
c. Evolución Temporal…………..8
d. Definición del estado inicial…….9
4. Funciones de correlación…………10
a. Descripción matemática……….12
b. Función a programar…………...13
i. Caso Exacto………………….13
ii. Caso Microcanónica…….…..13
5. Resultados…………………………...15
a. Limitaciones de cálculo……........15
b. Correlación para espectro centrado
en distintas energías……………..18
c. Correlación para distintas sigmas
de nuestro sistema de medida….22
d. Correlación para espectro centrado
en distintos coeficientes…………26
e. Correlación según la localidad….30.
6. Conclusiones y comentarios……...31
7. Bibliografía…………………………...32
8. Autorización difusión………………32
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Resumen
En el presente documento se presenta el estudio realizado como trabajo fin de máster,
basado en el estudio de un sistema de fermiones independientes como aproximación más
sencilla a un modelo de muchas partículas. Y para el cual considero una aproximación de
campo medio genérico.
El objetivo de dicho estudio, es evaluar si el sistema termaliza, es decir, si su estado de
equilibrio puede describirse mediante unas pocas variables globales o macroscópicas.
La Motivación de este estudio, se debe al gran interés despertado, por recientes
experimentos basados en fundamentos de la física estadística. En concreto en se
concluye que los observables no locales en el espacio de cuasipartículas, termalizan en
cadenas integrables de espín. Por lo que, este trabajo pretende estudiar la misma
fenomenología en un sistema cuántico integrable genérico con el fin de analizar si los
resultados de , pueden ampliarse a otros sistemas de tipo similar a los estudiados en el
artículo mencionado.
Sin embargo, las conclusiones del presente trabajo, revelan que, en general, la
dependencia con las condiciones iniciales es relevante, con lo que el sistema no termaliza,
frustrando así, las posibilidades de definir el sistema por medio de un modelo térmico de
variables macroscópicas, menos complejas que la descripción puramente cuántica.
Summary
This paper presents the study as Master's Thesis, from the analysis to a system, from
independent fermions as simplest approach by many-particle model. And which consider a
generic mean field approximation.
The objective of this study is, evaluate whether the system thermalize and if its equilibrium
state can be described by a few global macroscopic variables.
The motivation for this, it is due to the great interest aroused by recent experiments based
on fundamentals of statistic physics. Specifically in , where concluded that the non-local
observables in the space of quasiparticles, thermalize in integrable spin chains. So, this
paper aims to study the same phenomenology in a generic integrable quantum system in
order to analyze, whether the results from , can be extended to other systems of a
similar type to those studied in the aforementioned article.
However, the findings of this study see that, in general, the dependence from initial
conditions is remarkable with what the relaxation from the system. That frustrates the
possibilities to define the system using a thermal model of macroscopic variables, less
complex than purely quantum description.
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1. Abstract
Estudio de un sistema de fermiones por medio de una interacción general de campo
medio, mediante un sistema ordenado, de partículas independientes. Centrado en estudiar
su compatibilidad como sistema térmico, por medio del estudio de las condiciones iniciales.
2. Introducción
a. Termalización
La termalización se define como un proceso, por el cual, un sistema llega a un
estado de equilibrio térmico, que guarda dependencia con parámetros macroscópicos del
sistema (Energía, número de partículas, etcétera), pero no, con los detalles
microscópicos del sistema.
Conviene distinguir este concepto de la relajación, que consiste, en la evolución de
un sistema desde un estado de no equilibrio a un estado de equilibrio, y en este, el
sistema fluctúa sin cambios macroscópicos apreciables. A diferencia de la termalización,
el estado de equilibrio en una relajación puede depender, en general de todos los detalles
de la condición inicial.
Dicho esto, cabe afirmar que aunque la mayoría de los sistemas cuánticos relajan,
no todos ellos termalizan, y además no se conoce actualmente un criterio para
discriminar a priori, qué sistemas termalizan y cuales no .
Por tanto, la intención principal de este trabajo, es observar, si un sistema cuántico
integrable concreto termaliza, y por tanto la posibilidad ser descrito por parámetros
macroscópicos.
Para este trabajo, nos centramos en sistemas aislados, razón por la cual, los únicos
parámetros de relevancia serán la energía y el número de partículas. Dicho esto, nuestro
objetivo es estudiar si los estados de equilibrio en este tipo de sistemas, dependen o no
de los detalles de la condición inicial, y si coinciden con las predicciones de la física
estadística, en función de la energía y el número de partículas.
Para la mecánica clásica, el requisito para que se observe una termalización, es el
caos, haciendo “olvidar” al sistema su condición inicial, dejando su estado de equilibrio
bien descrito por medio de la energía y el número de partículas.
Sin embargo, en la mecánica cuántica, sobre todo, para sistemas cuánticos
mesoscópicos (de 100, 100, 1000 partículas, es decir, lejos del límite termodinámico), no
está tan claro, qué condiciones se deben dar para que termalicen los sistemas.
Cabe esperar, por analogía a la mecánica clásica, que los sistemas integrables no
termalicen. Ya que clásicamente estos sistemas se caracterizan por poseer varias
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constantes del movimiento no triviales, razón por la cual el estado de equilibrio no se
puede describir únicamente mediante la energía.
Sin embargo, cuánticamente no está tan claro esto, ya que todo sistema cuántico
finito, tiene una única constante de movimiento no trivial, todas las demás son funciones
de esta, por eso, la dinámica integrable no está dada en mecánica cuántica.
Esto ha llevado a estudiar en detalle la dinámica de sistemas integrables. Aunque
no existe una definición absolutamente general, de lo que es un sistema cuántico
integrable, se suele afirmar que un sistema fermiónico integrable puede escribirse
Donde, para nuestro caso, los proceden de la teoría de matrices aleatorias, que
sirven para describir las propiedades generales de sistemas cuánticos integrables y
caóticos. Y los operadores y se refieren al llamado espacio de cuasipartículas, pues
no crean y destruyen partículas reales (electrones, protones, neutrones,…), sino
cuasipartículas, que tienen las mismas propiedades matemáticas que las partículas
reales, pero no existen como tales.
Los resultados de sirven para conjeturar que los observables no locales en el
espacio de estas cuasipartículas termalizan mucho mejor que las locales, a lo cual, se ha
llegado mediante el análisis numérico de sistemas de espines en dicho artículo.
Nuestro objetivo es trabajar en campo medio, analizando observables genéricos en
función de la localidad, y completar o descartar la aplicabilidad de tal afirmación en
modelos de estructura nuclear.
b. Modelo de muchos cuerpos
Para proceder al estudio que se pretende, se debe partir de la descripción de un
sistema de partículas. Donde la interacción más general de muchas partículas es
Suponiendo, que no hay interacciones de tres o más cuerpos y que los potenciales
de interacción dependan solo de las posiciones.
Por lo tanto, esta descripción, contiene toda la información del sistema dado por la
mecánica cuántica, a la que contribuyen todas las partículas del sistema y sus
interacciones.
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El problema, es que, cuanto mayor es el número de partículas o compleja sea la
interacción entre ellas, esta información se hace más inmanejable y se deben realizar
aproximaciones para hacer posible un cálculo. En el caso que nos ocupa, realizo una
aproximación de campo medio, donde la interacción entre partículas se denota como un
potencial asociado a la cada partícula independiente del resto , de manera que se
convierte en algo más manejable con respecto al cálculo:
Como se puede observar en esta relación, se han renombrado las variables
referidas a las partículas, por , referidas a las cuasipartículas.
La relación, entre partícula y cuasipartícula, se aprecia mejor utilizando el
formalismo de la segunda cuantización. En general, una interacción a dos cuerpos puede
escribirse
En algunos casos, puede realizarse una transformación , que permite
reescribir el Hamiltoniano según la cuantización
Donde los operadores y están referidas a las cuasipartículas.
Si dicha transformación es exacta, se dice que el sistema es integrable. Aunque en
general, esto no puede realizarse y se debe ampliar con términos a dos cuerpos análogos
a la ecuación .
Con esta aproximación , se puede definir un conjunto de niveles de energías que
responden a las energías de la ecuación , de manera que podemos definir con
esta última, un modelo de campo medio para nuestro estudio concreto.
Por simplicidad, tratamos el caso sin degeneración, ya que tal caso, no implica
información relevante a nuestro estudio y complica los cálculos, aun así, respetamos el
principio de exclusión de Pauli.
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3. Descripción del modelo
Como se viene indicando, nuestro sistema objeto de estudio es un sistema en un
modelo de campo medio, desgranado ya por el segundo apartado. Sin embargo, sobre el
sistema aun se deben comentar más características.
a. Aproximación del Hamiltoniano a un sistema integrable
Comenzaremos este apartado comentando que, los números de ocupación son
cantidades conservadas y se describen
Cuya suma da el número total de cuasipartículas (o partículas) del sistema
Estas constantes, son las que en analogía a la mecánica clásica, darían un sistema
que no debiera termalizar, pues, contiene tantas constantes de movimiento no triviales,
como niveles tiene el sistema de partícula independiente.
Pese a la analogía clásica, esto no está bien justificado en lo que se refiere al
sistema cuántico. Aunque se puede salvar, ya que, en cualquier sistema cuántico finito (e
incluso infinito), existe una única constante del movimiento no trivial que puede escribirse
Donde son autoestados de energía , tales que:
Independiente de si el sistema es integrable o no, la ecuación sólo se da en
sistemas para los que todos los niveles de energía son diferentes, es decir
Argumento que cumple nuestro sistema de energías utilizado en el cálculo.
Como observación, cualquier constante del movimiento , tal que, , podrá
escribirse como una función analítica del operador .
Así pues, queda justificada la ecuación como representación de un
Hamiltoniano integrable genérico, cuyos niveles contienen las propiedades de los
pozos .
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b. Descripción de cuasipartículas en un espacio de Hilbert
Como ya hemos comentado, las variables gorro no son las que describen
directamente a los nucleones en el sistema de niveles de energía, sino que son sus
representaciones cuyo momento y posición están ajustados a los niveles energéticos
calculados para el campo medio.
Aunque matemáticamente, la idea es idéntica a tener las partículas iniciales y
colocarlas en su nivel energético correspondiente; la energía del nivel no
corresponde al valor fenomenológico de las partículas a ese nivel, sino al de las
cuasipartículas.
No obstante, tenemos una buena descripción matemática del sistema, y con ella,
me voy a centrar el estudio en observables del tipo (transición) , que transforman un
estado con una cuasipartícula en el nivel (destruye la partícula “j”), a otro estado, donde
esta cuasipartícula se encuentra en el nivel (crea una partícula en “i”).
El número de transiciones posibles, depende del número del número de niveles, así
pues el número de transiciones, es la suma de las transiciones a distinto nivel y las que
transicionan a su propio nivel, esto es:
Además, se necesita construir una base de estados sobre un espacio que conserve
las nociones algebraicas para cualquier dimensión (dimensión que coincide con el
número de estados)
Así pues el Hamiltoniano tendrá la dimensión del número de estados:
Donde es la suma de las autoenergías de las cuasipartículas en el estado i,
es el autoestado de energía y la base que estamos usando es,
Cabe observar entonces de cara a los futuros cálculos que:
Además, al tratarse de un sistema no degenerado, lo que encontraré son
para cualquier .
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c. Evolución temporal.
Los operadores que vamos a utilizar, actuarán sobre estados que en un principio
podemos describir por medio de la Imagen de Schrödinger, donde la evolución temporal
está contenida en el ket,
que describe exactamente la evolución del sistema.
Si defino el estado inicial como , puedo tener en cuenta un operador
evolución temporal , tal que,
Donde se describe de forma compatible con la ecuación :
Aunque siguen siendo complicadas matemáticamente, resultan útiles al
definir un operador evolución temporal , que puede aplicarse a los estados (en
imagen de Schrödinger) y a los operadores (en imagen de Heisenberg).
Con lo cual, de aquí se puede extraer la idea de que la dependencia temporal la
tiene el estado del sistema en imagen de Schödinger, y en los observables sobre el
sistema en imagen de Heisenberg.
Dado que la correlación se define como , tanto clásica, como
cuánticamente, y lo que mide, es la correlación que hay entre una magnitud en el instante
0 y el instante t, la existencia de dos imágenes de evolución temporal, es lo que nos
permitirá dotar de sentido a la expresión anterior y calcularla, como haremos en la
sección 4.
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d. Definición del estado inicial
Nuestro estado inicial, es la superposición de autoestados del sistema, sin
embargo, cada uno tendrá asignado un coeficiente, de manera que podamos contener
todos en un solo ket:
Dado que para nuestro estudio, nos fijaremos en torno a una energía, es razonable
suponer que un estado genérico de no equilibrio es una superposición de autoestados,
que podemos describir como una Gausiana, cuyos parámetro serán la energía y su
anchura a la semialtura .
Donde N es el factor de Normalización resultante del la suma de los cuadrados de
todos los coeficientes:
Ambos parámetros energía y anchura dan condiciones iniciales del problema,
luego, serán objeto del estudio que se pretende.
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4. Función de Correlación
El objetivo de estudiar una magnitud habitual en física estadística, que es la
correlación . Se trata de la correlación de cierta magnitud separada por un
espacio de tiempo para observar su evolución. Esta magnitud, para el caso que nos
ocupa es el valor esperado del operador transición.
Dentro de nuestra magnitud a observar en este trabajo, se encuentra la localidad
(relación de conexión niveles), que se define por medio del operador
Cuyo interés reside en la forma matricial , cuya descripción matricial, adaptada
para estudiar su influencia en la termalización será
Aunque nos centraremos en el primer caso de manera que
De manera que la localidad describe la conexión entre niveles muy cercanos entre
sí, y la no localidad para el caso en el que si se conectan niveles cercanos y lejanos con
una amplitud parecida.
Analizaremos los resultados que se obtienen para distintas condiciones iniciales,
con el fin de ver si el estado de equilibrio depende o no del estado inicial. Para ello,
analizaremos el decaimiento de la función de correlación y miraremos si es o no
exponencial.
Para ello, basaremos el análisis en:
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Dichos resultados, van a ser comparados con una predicción estadística, La
colectividad microcanónica.
Dicha predicción, encaja a priori con nuestro sistema ya que se considera el sistema
aislado y no tiene fuga de energía ni de partículas, de manera que puede ser descrito por
su energía y por tanto, se esperarían resultados similares.
Pese a la motivación de ver si el sistema termaliza, también está, la ventaja que
supone un modelo estadístico, frente a la descripción de un estado macroscópico por
medio de una función de onda que es irrealizable según sea el tamaño del sistema, ya
que el número de datos que se dispone acercar del estado microscópico corresponde a
un número de datos muy por debajo de los necesarios para construir su función de onda.
Con lo cual, análoga a la física estadística, no es posible tener en cuenta todas las
condiciones iniciales del sistema, ya que no se puede realizar una descripción mecánica
rigurosa de su comportamiento del sistema. Por ello, en lugar de las condiciones iniciales,
se utiliza la matriz densidad.
La colectividad microcanónica, se caracteriza sobre el resto de las colectividades en
la conservación de la energía y número de partículas (o masa), propiedades que cumple
nuestro sistema. Pero además, se ha de considerar que nuestro sistema es un sistema
cuántico y por ello la colectividad microcanónica debe considerar el carácter cuántico del
sistema.
La microcanónica cuántica, se basa, en sustituir la descripción exacta de la función
de ondas del sistema por una descripción estadística, en la que cada posible función de
ondas tiene cierta probabilidad. En el caso microcanónico, esta depende solo de la
energía. Los autoestados con una energía próxima a la del estado inicial, tienen misma
probabilidad (macroscópicamente indistinguible). Mientras el resto, tienen probabilidad
cero.
De manera que su matriz densidad consiste en una matriz diagonal de dimensión el
número de estados, donde un número de elementos diagonales alrededor de una
pequeña la energía E, donde las energías son casi indistinguibles, pero suficiente para
contener a varias, y el resto son nulos
Siendo M el número de elementos distintos de cero, y la matriz densidad,
elemento a sustituir por los coeficientes de la correlación exacta, para construir la
correlación microcanónica cuántica.
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a. Descripción matemática
Desde lo que ya se ha constatado sobre los estados y operadores, la correlación que
tenemos se describe por medio de la imagen de Schrödinger:
Eligiendo situar el tiempo menor en el instante inicial , así pues, aplicando
la relación correlación queda:
Así que puedo separar por partes la correlación, aplicando los operadores de la
siguiente forma
Aplicando el operador por la derecha, se debe tener en cuenta y :
donde defino , con lo cual:
que para completar podemos tener en cuenta completa
Por otra parte de manera análoga:
Reuniendo y se obtiene:
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De manera que esta es la relación que tengo para programar la correlación.
b. Funciones a programar
i. Caso Exacto
Como acabo de calcular, la correlación exacta para las cuasipartículas es:
Que programaré, teniendo en cuenta que sus componentes son:
ii. Caso Microcanónica
Dado que tratamos con un sistema que conserva la Energía y el número de
partículas, podemos comparar nuestro resultado con una correlación definida en la
colectividad microcanónica, con la siguiente forma
Y nuevamente centro la primera transición en
donde aparece los elementos de matriz de la función de densidad , en lugar
de los coeficientes iniciales, ya que la microcanónica, tiene sentido sólo para los
elementos de la diagonal, puesto que se consideran desviaciones de energía muy
pequeñas respecto de la energía del estado , y además, ya calculados en la
ecuación .
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Por lo tanto
y la resolución del resto de la correlación microcanónica es análoga a la exacta,
con la salvedad de que solo se tienen en cuenta los elementos diagonales de la
base, con lo cual:
iii. Observación.
De Ambas correlaciones se obtiene una suma compleja. Que por
medio de la fórmula de Euler
Separaré para el cálculo en parte Real e Imaginaria. Tomando en cuenta
solamente la parte real, ya que la parte imaginaria, solo será una imagen
desfasada de esta primera y podría perder la información del decaimiento
inicial.
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5. Resultados
a. Limitaciones de cálculo (tiempo y memoria).
Al igual que todo experimento, la simulación numérica en la que trabajo, parte de unas
limitaciones físicas que determinan nuestra ventana de observación, fundamentalmente
tiempo de cálculo y Memoria.
Para ello, el número de estados da un parámetro para poder identificar el número de
variables que debe soportar la memoria, además de la cantidad de procesos que debe
recorrer en tiempo.
El número de estados la obtenemos mediante la relación relacionando Número
de Niveles y el de Fermiones:
Se observa un aumento drástico en el número de estados a tener en cuenta, pues, es
recomendable elegir un sistema lo suficientemente grande como para que sus datos sean
representativos, pero suficientemente pequeño para que se puedan procesar en tiempo.
Y como tengo he de considerar el tiempo que tarda mi sistema, bajo la programación
de Maple, hago una pequeña prueba de estimación, que consiste en hacer que el
ordenador que va a realizar los cálculos, cronometre el tiempo que tarda en contar por
medio de un bucle, obteniendo:
Tabla que da una idea, de no sobrepasar por encima de elementos de cálculo, si
no quiero que el cálculo de las correlaciones se demore o pueda ser interrumpido por
causas ajenas al programa en ese tiempo.
Cálculo realizado en condiciones intensivas
Nº de Cuentas Tiempo (s)
28
580 305 (~5 min)
10380 (~3 h)
Tabla 1.
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Dado que tengo dos operadores en la correlación, debo recorrer los elementos de
cada uno, lo que supone recorrer elementos comparados con los elementos del otro
operador, lo que hace recorrer un total de elementos.
Con lo cual, ya tengo dos criterios que me convergen a estimar un tiempo de cálculo
adecuado, que cote superiormente el número de estados por tiempo, de manera que
podré oscilar entre los 50 y 300 estados. Tal cota a la vista de la gráfica 1, me da criterio
para elegir un sistema con adecuada combinación de Número de fermiones y niveles.
Así pues, ya que al planificarme cálculos y ajustes, daba un tiempo de cálculo muy
largo, decidí optar por un sistema de ocho niveles y cuatro fermiones que aunque no
muy grande de cara al estudio, me da como resultado un número de setenta estados
posibles.
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b. Correlación para espectro centrado en distintas energías
En este apartado, he calculado y dibujado las gráficas para distintas energías,
teniendo en cuenta una anchura de la gausiana y distintos tipos de localidad
con la intención de comparar la correlación para distintos valores energía y localidad.
Dentro del espectro de energías, he elegido las distintas energías que he centrado
a un cuarto, un medio y tres cuartos respectivamente del espectro.
Al observar una caída exponencial muy parecida a la de una colectividad
microcanónica, he realizado ajustes a una exponencial para poder comparar
numéricamente resultados. Para realizar este ajuste, me he fijado en los puntos que
están por encima de la suma la amplitud de la posición de equilibrio y dicha posición, de
manera que solo considero estrictamente la caída desde poco más el tiempo cero, ya que
en cero domina la función coseno de la correlación.
Dicho esto presento la tabla con los datos obtenidos en este ajuste.
42.33140441 -3.431778732 5.363739679 0.1 10.14393934 29.58074148 -1.456138187 3.696166346 0.5 10.14393934 22.81028423 -1.040658558 2.659883618 1 10.14393934 16.09655466 -0.7363986147 -1.987544311 5 10.14393934 16.00064774 -0.7318162240 -6.999055388 10 10.14393934 46.41716134 -3.801848421 5.630831229 0.1 13.90640179 31.23292566 -2.140732725 4.074242825 0.5 13.90640179 23.49396848 -1.507159716 2.908413050 1 13.90640179 16.10394579 -0.9577196492 -1.906891964 5 13.90640179 16.00069705 -0.9499996317 -6.920755381 10 13.90640179 42.33140441 -3.431778722 5.363739677 0.1 17.66886423 29.58074148 -1.456138184 3.696166347 0.5 17.66886423 22.81028423 -1.040658559 2.659883620 1 17.66886423 16.09655463 -0.7363986153 -1.987544310 5 17.66886423 16.00064771 -0.7318162244 -6.999055388 10 17.66886423
Tabla 2.
De esta tabla, resalta, la coincidencia de los coeficientes A B y C, a las Energías
0.14 y 17.67. Debido a propiedades de simetría del espectro de Energías, ya que nos
hemos fijado a tres cuartos, un medio y tres cuartos de él:
Espectro de Energías
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Se puede observar, que a en distintos valores de energía en el espectro, la
tendencia es exponencial (por ello el ajuste). Además, para idéntica localidad, los valores
de ajuste, son cercanos entre energías, lo cual, no hace indicar incompatibilidad aun con
la termalización.
En esta misma tabla, cabe destacar el valor de , que es el valor promedio de
equilibrio, al que tiende nuestra función correlación, que se observa, se acercar a 16
cuanto mayor es el parámetro de localidad alfa (cuanto más local es).
Esto se debe, a la propia definición de localidad, incluida en cada operador de
transición, donde
Y que cuanto mayor es el parámetro , más dominante esla importancia del valor
de , para , haciendo tender hacia:
Donde N es el número de partículas. Puesto que la correlación es el producto de
dos transiciones, tendremos que cuanto mayor es la localidad (o el parámetro ) tenderá
la correlación a
Que para este caso que estudiamos
Lo cual, cuadra perfectamente con la tabla 2. Obtenida y sus correspondientes
gráficas.
Por el contrario, cuanto , tiende a ser mayor que N y por ello resultan
valores más altos. Pero esto último no sucede en la microcanónica (ver tabla 7.), lo cual,
hace pensar, viendo la tabla 3., que la gausiana, contiene (según su sigma respectiva),
varios estados potenciales a aportar cerca de valores , contribuyendo a dar valores
por encima de gracias al factor localidad.
Con motivo de documentar la tabla de datos de forma gráfica. Presento dos gráficas
para cada energía calculadas y ajustadas, con distinta localidad, con el propósito de
poder comparar los resultados de las distintas energías y comenzar a intuir cual es el
efecto de la localidad en la termalización.
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Para energía más baja (10.14), observamos las siguientes gráficas:
El patrón que sigo en este tipo de gráfica es el siguiente:
El color rojo, denota la función de correlación calculada, los puntos verdes,
representan la zona donde se ha realizado el ajuste exponencial de la función de
correlación y el color azul es la representación del ajuste exponencial.
De cara al análisis, vemos como perfectamente se ajusta la correlación a una
exponencial a la cual hemos ajustado, y como advertimos, podemos ver que el valor de
equilibrio, está muy por encima de 16 (aproximadamente 30 y 24) en incluso vemos que
este valor desciende cuanto más local (mayor ).
Aunque ya se observa una oscilación con respecto al valor de equilibrio, me ha
parecido más recomendable observarlo en con otros parámetros más relevantes en los
siguientes apartados, los resultados no dependen de la energía, cosa esperable teniendo
en cuenta que el espectro de partícula independiente procede de la teoría de matrices
aleatorias y no posee ninguna escala de energía característica; además, su densidad de
estados es constante, de forma que la cantidad de estados por unidad de energía es la
misma en las distintas regiones del espectro.
ya que la energía dentro de nuestra formulación, está dentro de una exponencial
compleja (y por tratarse de la parte real, lo que observamos, será la parte del argumento
de un coseno) con lo cual, es un valor acotado (véanse ecuaciones 38 y 39) y no se
espera información con respecto a la oscilación de la correlación.
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Para completar este análisis, implemento para energías de 13.90 y 17.67 sus
gráficas correspondientes, con las mismas consideraciones que la que acabamos de
hacer a Energías 10.14. De manera que podamos comparar o advertir alguna conclusión.
Para energía 13.91:
Para energía 17.67:
Por último, anotar la observación de que la localidad puede afectar a la oscilaciones
en el equilibrio, con lo cual, será un factor interesante a la hora de seguir analizando.
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c. Correlación para distintas sigmas de nuestro sistema de medida
En este caso, nos centramos para un valor central en el espectro de energías, y de
nuevo, varío dos parámetros, en este caso la semianchura de la gausiana y la
localidad .
Donde se detecta nuevamente, una tendencia exponencial y se realiza el ajuste:
18.28411002 3.591134414 -3.639365461 3.798795075 0.1 0.2
17.54094510 1.247724273 - 1.502730151 2.103612546 0.5 0.2
16.93505187 0.600331490 -0.7441337873 0.8887616259 1 0.2
16.01707578 0.009718552 -0.3157223521 - 3.913714518 5 0.2
16.00011504 0.000065452 -0.3075110295 - 8.930711102 10 0.2
27.90538149 7.383187515 -3.447976496 4.703720120 0.1 0.5
23.20362218 2.737069683 -1.474282005 3.148819130 0.5 0.5
20.01064176 1.227311681 -1.061192033 2.173137943 1 0.5
16.06419519 0.015651667 -0.7721684081 - 2.377239666 5 0.5
16.00043144 0.000104824 -0.7690446651 - 7.385882020 10 0.5
46.41716134 16.65360768 - 3.801848422 5.630831229 0.1 1.2
31.23292565 5.367038105 - 2.140732725 4.074242825 0.5 1.2
23.49396848 2.143733462 - 1.507159715 2.908413050 1 1.2
16.10394579 0.024562223 -0.9577196492 - 1.906891964 5 1.2
16.00069705 0.000164303 -0.9499996314 - 6.920755381 10 1.2
62.58076529 24.85586100 - 4.667366634 6.203224287 0.1 5
35.20667635 6.608626112 - 2.583264737 4.400833174 0.5 5
24.56239693 2.403903751 - 1.642224885 3.066037626 1 5
16.11004887 0.0261839915 -0.9089320554 - 1.878850251 5 5
16.00073738 0.0001751304 -0.9012462242 - 6.892959282 10 5
Tabla 3.
- 22 -
Como ya anunciábamos en el anterior análisis, hemos tenido en cuenta la
desviación del A, que a efectos gráficos, es la desviación típica de la posición
estacionaria (A), y que se observa guarda relación con el crecimiento de como
condición inicial y con como condición de localidad.
Aunque ya queda reflejado en la tabla esta desviación del valor inicial, veámoslo
gráficamente para el valor de sigma:
Donde si nos fijamos en las escalas, advertimos, no solo que las amplitudes son
mayores al aumentar sigma, sino que el valor de equilibrio también sube al aumentar
sigma.
Esto presenta ya un aspecto preocupante respecto a la termalización, ya que si
existiera esta dependencia las condiciones iniciales afectarían a la correlación no sería
termalizable el sistema.
Además, a la vista del ajuste de la tabla 3., al observa A (correlación en el
equilibrio), con respecto a sigma, se ve perfectamente como aumenta con sigma la
correlación de equilibrio y a su vez disminuye con alfa.
Por completar la información, dibujo las gráficas para otros valores de sigma, con
idéntico valor de alfa, para poder comparar u observar algún comportamiento diferente.
- 23 -
Observamos la variación de sigma a alfa 0.5
Observamos la variación de sigma a alfa 1
Y sin necesidad de aportar más gráficas, se observa claramente que el sistema no
será termalizable respecto a la condición inicial sigma, puesto que la correlación crece
con su valor y da esa dependencia sobre las condiciones iniciales.
- 24 -
No obstante, esta relación sigma-correlación, merece la pena representarla, de
manera comparativa, de forma que pueda ver al mismo tiempo y con la misma localidad,
distintas correlaciones de sigma:
Basta con mirar una de las cuatro últimas gráficas, para observar la dependencia de
la correlación con sigma hace, que cuanto mayor sea sigma, mayor es el transitorio de
correlación y la amplitud de la misma. Por tanto el sistema es no termalizable con sigma.
- 25 -
d. Correlación para espectro centrado en distintos coeficientes
En este caso, varío los coeficientes de la condición inicial, de forma que,
aprovechando que los coeficientes son el resultado de una raíz cuadrada y su resolución
contiene raíces positivas y negativas, calcularé tres tipos de correlación atendiendo a las
siguientes situaciones:
- Todos los coeficientes son positivos.
- Los coeficientes positivos se alternan con los negativos.
- Todos los coeficientes son negativos.
Hasta ahora no había considerado el cálculo de la correlación microcanónica, pues
en el caso b, no daba información relevante para distintas energías y para el caso c, la
anchura de la gausiana no es parámetro en la microcanónica, pues presenta
equiprobabilidad entre los estados.
Para este caso, dado que todas las gráficas están saliendo exponenciales, voy
directamente al ajuste exponencial, pero observaré para un caso que no va a ser así.
Expongo el ajuste, para los distintos coeficientes y microcanónica.
Coeficientes Negativos
13.90640179
27.90538148 7.383187515 -3.447976497 4.703720121 0.1 0.5
23.20362218 2.737069683 -1.474282005 3.148819130 0.5 0.5
20.01064176 1.227311681 -1.061192033 2.173137943 1 0.5
16.06419519 0.015651667 -0.7721684083 -2.377239666 5 0.5
16.00043144 0.000104824 -0.7690446651 -7.385882020 10 0.5
41.03997986 14.02421900 -3.669933233 5.428956667 0.1 0.9636
29.26823354 4.704987335 -1.997070978 3.899970437 0.5 0.9636
22.74080222 1.930218347 -1.424140691 2.779397296 1 0.9636
16.09633601 0.022520013 -0.9386474773 -1.979898050 5 0.9636
16.00064628 0.000150658 -0.9316026998 -6.992962687 10 0.9636
56.51412210 21.64244572 -4.181657939 5.974611309 0.1 2
34.18478867 6.353923263 -2.345366616 4.300321070 0.5 2
24.45844241 2.412612277 -1.567021061 3.044789267 1 2
16.11224542 0.026817497 -0.9366798383 1.838904293 5 2
16.00075234 0.000179365 -0.9287361676 6.853286790 10 2
Tabla 4.
- 26 -
Coeficientes positivos y negativos alternados
13.90640179
Tabla 5.
Coeficientes positivos
13.90640179
Tabla 6.
Colectividad Microcanónica
13.90640179
15.92971300 1.237252555 -4.116128538 3.091698747 0.1
15.97003445 0.3734808107 -1.719863404 1.230667611 0.5
15.98933740 0.1274848647 -1.060815400 -0.1925436826 1
15.99999655 0.0000423775 -0.8908247099 -8.327528349 5
16.00000005 0.0000000002 -0.9392452670 -18.32142674 10
Tabla 7.
- 27 -
A primera vista, los datos parece que no nos aportan más información de la que
disponemos en las otras, y se ve que respecto a sigma y alfa, parece que no dan
diferencias significativas con la correlación. Pero a la hora de ver las gráficas nos
encontramos con una sorpresa,
Donde se ve, como coinciden perfectamente las correlaciones con coeficientes
positivos puros y coeficientes negativos puros, pero lo más significativo es para
coeficientes que alternan coeficientes positivos y negativos, que dan una correlación no
exponencial y rompe con la forma exponencial de relajación de un sistema microcanónico.
Por lo cual, se confirma también una dependencia de las condiciones iniciales que rompe
la termalización
Pero, veamos si ocurre con otros valores de sigma y alfa:
- 28 -
A la vista de las gráficas, se ve perfectamente que la correlación para coeficientes
alternados (positivos con negativos), da una ruptura definitiva con la termalización del
sistema que estamos considerando. Así pues el sistema no termalizaría.
- 29 -
e. Correlación según la localidad
En este apartado pretendo remarcar el comportamiento de la correlación frente a la
localidad por medio del parámetro de alfa. Pero como la información está ya expuesta en
las tablas 3 (correlación cuántica) y 7 (esta última la microcanónica), paso directo a ver
como evoluciona la correlación para distintas sigmas y que evolución provoca utilizar
distintas alfas.
En esta gráfica se observa que a pequeñas alfas (es decir, transiciones poco
locales), debemos fijarnos bien en que la correlación tiende a ser mayor (así como su
apmplitud en el equilibrio) en el tiempo, cuanto mayor es la sigma, que ya lo habíamos
comparado antes.
Sin embargo, al comparar con la siguiente gráfica (de alfa mayor):
- 30 -
Se observa bien, cuanto más local es la transición el valor de correlación a tiempo
cero y equilibrio tiende a tomar un valor más cercano a y además su amplitud
desciende.
De nuevo por completar de esta explicación implemento, gráficas de mayor alfa:
Que refuerzan completamente nuestras afirmaciones y hacen pensar en una
posible termalización cuanto mayor localidad (mayor ).
- 31 -
6. Conclusiones y comentarios
El principal argumento que impide totalmente la termalización de nuestro sistema,
ha sido al considerar los distintas fases de los coeficientes, donde hemos probado con los
coeficientes de signo alternado, que existe dependencia de este sistema con las
condiciones iniciales y se ha roto la ley de decaimiento exponencial, con lo cual, ya aquí
se ha producido una ruptura importante, en nuestro camino a termalizar.
Sumado a ello, y dentro de los coeficientes positivos (que en un principio apuntaban
a termalizar el sistema), hemos probado una segunda dependencia con las condiciones
iniciales al considerar la sigma, ya que cuanto mayor es esta, más se desplaza el
equilibrio (este es mayor), aunque, esta consideración hubiera sido predecible, ya que
cuanto mayor es sigma, más deslocalizado está nuestro sistema y es lógico que el
promedio estadístico no funcione, por considerar que solo unos pocos autoestados con
energía próxima a la condición inicial contribuyen. Sin embargo para valores razonables
de sigma (Véase Tabla 3., para sigma 0.2), el sistema tendría un buen comportamiento
exponencial y un valor del equilibrio bueno (cercano a ).
Por otra parte, el parámetro de energía se ajusta muy bien al decaimiento
exponencial, y los valores del ajuste son muy cercanos entre sí a distintas energías, lo
cual, sea probablemente debido a las características de densidad constante del espectro.
En cuanto a la localidad en la correlación, hace más sensible a no termalizar cuanto
menos local sea el sistema (menor ), lo cual no va a nuestro favor para el sistema que
estudiamos, pero es una directriz para posibles futuros estudios o consideraciones.
Por lo tanto, hemos obtenido en contra de las predicciones del artículo , que
nuestro sistema integrable cuanto menos local (menor es ), más dependencia tiene de
las condiciones iniciales, en concreto no termaliza lo que conlleva a que nuestras
consideraciones no son propias para poder describir nuestro sistema por medio de
parámetros macroscópicos, y por tanto, nos advierte, a la hora de calcular magnitudes
termodinámicas, pues tenemos aquí razones fundadas para sospechar que los
razonamientos típicos de la física estadística no son suficientes para describir bien
nuestro sistema.
Sin embargo, sería conveniente probar un sistema de más partículas y niveles de
cara a acercarnos al límite termodinámico y verificarlo completamente.
De cara a posibles continuaciones del trabajo, incluir una interacción a dos cuerpos
que rompa la integrabilidad del sistema acercaría a una dinámica real de muchos
sistemas cuánticos de muchos cuerpos. E incluso, tratar de incluir degeneraciones de
niveles, que nos aproximen a un modelo cuántico más real.
- 32 -
7. Bibliografía
Colloquium: Nonequilibrium dynamivs of closed inteacting quantum systems. Autors. Anatoli Polkovnikov, Krishnendu Sengupta, Alessandro Silva, Mukund Vengalattore. Reviews of modern Physics. Volume 83, July-September 2011. Long time dynamics following a quench in an integrable quantum apin chain: Local versus nonlocal operators and effective thermal behavior. Autors. Davide Rossini, Sei Suzuki, Giuseppe Mussardo, Giusseppe E. Santoro and Alessandro Silva. Physical Review B 82. 144302 (2010) Time Dependent Statical Mechanics. Autor. Hans C. Andersen. November 4, 2009, Stanford University.
Thermalization and its mechanism for generic isolated quantum systems. Autors. Marcos Rigol, Vanja Dunjko and Maxim Olshanli. Vol 452|17 April 2008|dol:10.1038/nature06838
Caracterización del caos cuántico mediante series temporales" Autor. Armando Relaño Pérez Universidad Complutense de Madrid, 2004
- 33 -
8. Autorización
El abajo firmante, director de un Trabajo Fin de Máster presentado en el Máster de Física
Nuclear de la Facultad de Ciencias Físicas, autoriza a la Universidad Complutense de
Madrid (UCM) a difundir y utilizar con fines académicos, no comerciales y mencionando
expresamente a su autor el presente Trabajo de Fin de Máster: Termalización Y
Localización En Sistemas Fermiónicos De Campo Medio, realizado durante el curso
académico 2011-2012 bajo mi dirección en el Departamento de Física Aplicada I
(Termología), y a la Biblioteca de la UCM a depositarla en el Archivo institucional E-Prints
Complutense con el objeto de incrementar la difusión, uso e impacto del trabajo en Internet
y garantizar su preservación y acceso a largo plazo.
La publicación en abierto tendrá un embargo de:
__ Ninguno
__ Un año
Fdo:_____________________