SVEUILITE U ZAGREBUFAKULTET ORGANIZACIJE I INFORMATIKEPITUP SISAK

Ivan LovriS 39835/10 I

Seminarski rad iz kolegija Modeliranje poslovnih pravilaTEORIJA IGARA I IGRA ZATVORENIKOVE DILEME

U Sisku, 22. 11. 2012.SADRAJ:

1.Teorija igara31.1.Povijest teorije igara41.2.Teorija igara kao strategija u ekonomiji51.3.Vrste igara61.3.1.Kooperativna igra61.3.2.Nekooperativna igra61.3.3.Ponavljajue igre61.3.4.Sekvencijalne igre62.Zatvorenikova dilema72.1.Primjeri teorije igara i zatvorenikove dileme u ekonomiji92.1.1.Igra u duopolu102.1.2.Igra zagaivanja123.Zakljuak144.Literatura:15

1. Teorija igara

Teorija igara je specijalna grana matematike koja prouava donoenje odluka u kojima postoji sukob interesa u kompleksnim okolnostima. Analiza zasnovana na teoriji igara pretpostavlja tri faze, a to su identifikacija igraa, definiranje razliitih akcija i strategija koje e igrai primijeniti te popunjavanje matrice rezultata.Teorija igara se moe definirati kao prouavanje kako ljudi meusobno komuniciraju i donose odluke, te kako doneene odluke utjeu na njih. Ta iroka definicija najvie se primjenjuje u drutvenim znanostima dok teorija igara primjenjuje matematike modele u tim interakcijama pod pretpostavkom da ponaanje svake osobe utjee na blagostanje svih ostalih sudionika u igri. Budui da mnogi teoretiari uivaju u igranju igara, igra je apstraktno predstavljanje mnogih ozbiljnih situacija i ima ozbiljnu svrhu. Njezina primjena koristi se u poslovnim pregovaranjima, analizi buduih marketinkih uvjeta, strategijskom odluivanju, odmjeravanju sposobnosti za poslovni pothvat u programima, uslugama ili tehnologiji.Glavno pitanje u teoriji igara je potrebno postavljanje pretpostavki. Svaki model u stvarnom svijetu mora postaviti pretpostavke koje pojednostavljuju kompleksnost svijeta. Pretpostavke su zaodjenute u matematikom obliku, od vrlo jakog do slabijeg oblika u studiranju teorije igara u ponaanju. Eksperimentalna ekonomika ispituje vrijednost tih pretpostavki gledajui kako se ljudi ponaaju u kontroliranoj okolini. Simpleks metoda linearnog programiranja pronalazi optimalne strategije za oba igraa. Drutvene igre su dogovor koji otvara koordinativno ponaanje ravnotei drutva u igri ivota. Teorija igara predstavlja mnogo dublji smisao u cjelokupnom ljudskom ponaanju, nego to se to povrnom analizom moe zakljuiti.Kako bismo mogli analizirati teoriju igara potrebni su nam subjekti koji igraju igru, tzv igrai. Igrai se odluuju na strategiju u kojoj procjenjuju namjeru drugog sudionika igre istovremeno brinui se o vlastitom interesu. Dakle, igrai imaju pravo koristiti strategiju koja im najvie odgovara kako bi si osigurali povoljan ishod igre, pritom potivajui pravila igre. Teorija igara pokuava predvidjeti rezultat u interaktivnom modelu u kojemu odluke svake strane izazivaju odluke druge strane. 1.1. Povijest teorije igara

Formalne osnove teorije igara razvijene su u prvoj polovici 20. stoljea. i vrlo brzo su postale opom znanou racionalnoga drutvenoga izbora kad je pojam strategije s njome eksplicitno povezan.Njemaki matematiar E. Zermelo je bio prvi je koji je, igrajui ah, povezao razmiljanje o strategiji i teoriji igara i o tome napisao lanak[footnoteRef:1]. Zermelov teorem dokazuje da u igrama sa savrenim informacijama, kao to je ah, postoji najmanje jedna sekvencijalna ravnotea u istim strategijama, tako da je vjerojatnost svakog poteza 0 ili 1. Bio je uvjeren da se matematika moe primijeniti na sva podruja te da se sve pojave, psiholoke ili fizike, mogu objasniti matematikom iterpretacijom. [1: E. Zermelo, O primjeni teorije skupova na teoriju aha, 1912.]

Nakon Zermelovog lanka pojavila su se nova dva zvuna imena koja su povezana uz postavljanje stratekih temelja teorije igara kao drutvene znanosti. To su bili Borel i Von Neumann. Borel je napisao mnoge lanke u kojima je pokazivao kako se moe razviti pobjedonosna matematika strategija ukoliko je poznata suparnikova strategijaVon Neumann je utvrdio da je matematiki koncept igre potpuno aksiomatiziran i da postoje rjeenja za sve igre dviju osoba. Tragajui za rjeenjem i nastojanjem da stvori teoriju za tri ili vie igraa von Neumann upoznaje Oskara Morgenstrena i tada teorija igara postaje povezana i poinje se promatrati kroz ekonomske imbenike zahvaljujui knjizi Theory of games and economic behaviour, objavljenoj 1944. godine. Nakon toga, mnogi su ekonomisti razvili modele oligopolistikog ponaanja koji se temelje na samoj teoriji igara meu kojima se najvie istie Martin Shubik[footnoteRef:2]. Smatra se najistaknutijim pobornikom pristupa pomou teorije igara. vrsto je vjerovao da je teorija igara jedina nada za razvoj ope teorije oligopola. [2: M. Shubik, Strategy and Market Structure (John Wiley, 1959). Takoer M. Shubik, A Curmudgeon's Guide to Microecomics', Journal of Economic Literature (1971).]

Jo jedno od fundamentalnih doprinosa je rad John Nesha kojemu je kasnije dodijeljena Nobelova nagrada za ekonomiju i po kojemu je snimljen i film Genijalni um.Unato raznim zanesenjacima, pristup pomou teorije igara nije davao razultate koji bi mogli dovesti do ope teorije oligipola, no njihov doprinos je bio ogroman ve samim time to je u dananje vrijeme omogueno izvoenje pokusa oligopolistikog ponaanja upotrebom raunala.

1.2. Teorija igara kao strategija u ekonomiji

Teorijom igara ekonomisti su se sluili da bi istraili meudjelovanje oligopolista na nain da bi pokuali rijeiti i odgonetnuti sporove izmeu poslodavaca i sindikata, dravnih trgovinskih politika, meunarodnih ekolokih dogovora te mnotva drugih situacija. Kako se teorija igara moe upotrijebiti za analizu strategijske interakcije, tako se njome mogu analizirati najrazliitiji problemi drutvenih znanosti. Razmatrajui ekonomsku primjenu teorije igara, kao najbolji primjer moemo uzeti poduzea koja meusobno konkuriraju te razrauju razne strategije kako bi ostvarili svoje ciljeve. Za primjer moemo uzeti dva poduzea od kojih se jedno, nazovimo ga poduzee A, vodi milju da nee prodavati ispod cijena konkurencije dok se drugo, tzv B, zalae za oblik poslovanja u kojem prodaju za 10% manje u odnosu na cijenu konkurencije. Praenjem modela reakcija i odgovora na reakcije, moemo zakljuiti da e ovaj oblik suparnitva zavriti zajednikom propasti pri nultoj cijeni. No, ako se jedno od ta dva poduzea postavi pitanje to bi moj suparnik napravio kada bih ja spustio, podigao cijenu ili je pak ostavio na istoj razini? tada ulazi u podruje teorije igara gdje su mogue razne kalkulacije i neoekivani ishodi.

Slika 1. Model reakcije i odgovora na rekacije poduzea A i B.U igrama mogu sudjelovati 2 ili vie igraa to u ekonomskom smislu oznaava oligopol, dupol ili poduzee u monopolistikoj konkurenciji.1.3. Vrste igara

Postoje igre sa 2 i sa n igraa, kao i jednopotezne igre, igre sa veim brojem naizmjeninih poteza te igre sa beskonanim brojem poteza. Kada govorimo o igrama u zavisnosti o konanom rezultatu razlikujemo igre s nultom sumom i igre s promijenjivom sumom. Kod igara s nultom sumom sudionici imaju strogo konfliktne interese, to znai da dobitak jednog igraa znai gubitak drugog igraa. U igrama s promijenjivom sumom interesi igraa djelomino su konfliktni, a djelomino suglasni. Dakle, igrai usklauju svoje interese da bi poveali dobitak, a konflikt nastaje onda kada se dobitak dijeli.Ekonomske igre u kojoj sudjeluju poduzea mogu biti kooperativne, nekooperativne, ponavljajue i sekvencijalne.1.3.1. Kooperativna igra Kooperativna igra je igra u kojoj sudionici sklapaju obvezajue ugovore kako bi, voeni zajednikim interesima, isplanirali strategiju u svrhu ostvarivanja ciljeva i dobiti. Primjer kooperativne igre su dva poduzea koja pregovaraju o zajednikoj investiciji u razvoj nove tehnologije. Ako su oba poduzea uloila u investiciju i sklopila ugovor o dijeljenju profita onda su i ostvarila kooperativni rezultat tako da su oba poduzea na dobitku.1.3.2. Nekooperativna igra Nekooperativna igra bi bila situacija u kojoj postoje dva konkurentna poduzea koja uzimaju u obzir vjerojatno ponaanje onog drugog poduzea. Oba poduzea znaju da bi sniavanjem cijena zadobili vei udio na tritu, ali znaju da bi i taj potez uzrokovao manje poeljni rat cijena. Za primjer se mogu uzeti i aukcije tijekom kojih se ponuivai esto nadmeu oko odreenog predmeta te ga na kraju plate u veoj vrijednosti od one koju predmet zapravo ima. U takvim situacijama bi bilo najbolje ne ponuditi nita. 1.3.3. Ponavljajue igre Ponavljajue igre su igre kod kojih se stalno ponavljaju radnje i primljeni povrati. Kod takvih igara strategije mogu postati sloenije.1.3.4. Sekvencijalne igre Sekvencijalne igre su igre u kojima igrai naizmjenino povlae potez, odgovarajui tako na meusobne akcije i reakcije, te ih je na taj nain i mnogo lake analizirati. Jedan od primjera sekvencijalne igre je Stackelbergov model.2. Zatvorenikova dilema

U mnogim sluajevima igara sa nenultim zbrojem ponaanje konkurenata vodi same konkurente u suboptimalne situacije, to jest, u situacije loije od onih u kojima bi oni trebali biti i u kojima su se eljeli nalaziti. Primjer takve igre je zatvorenikova dilema. Izlaganje osnovnih zatvorenikovih dilema moe pomoi kako bi se shvatilo ponaanje poduzea koja se suoavaju s neizvjesnou glede akcije njihovih konkurenata.Moemo pretpostaviti kako se igra igra u prilino neugodnom ambijentu u kojem su dva zatvorenika (zatvorenik A i zatvorenik B) optueni da su u posljednjih godinu dana poinili razna kaznena djela za koja moraju odgovarati. Tijekom istrage ustanovilo se da su optueni vjerojatno poinitelji, no tuiteljima su potrebna i njihova priznanja kako bi sluaj mogao biti u potpunosti rijeen. Istraitelji stoga smjeste zatvorenike u dvije razliite prostorije te obojici kau:Ukoliko prizna ranije poinjene provale, a tvoj partner to odbije uiniti, pustit emo te na slobodu uz jamevinu, a partnera, budui da je odbio priznati, eka zatvorska kazna od 20 godina. Ukoliko obojica priznate, bit ete osueni na 5 godina.Zatvorenici, meutim, znaju da ukoliko niti jedan od njih ne prizna poinjena kaznena djela, zbog nedostatka dokaza, mogu biti osueni samo za posljednju provalu. U tom sluaju obojicu eka zatvorska kazna u trajanju od godine dana. Situacija je prilino sloena jer zatvorenici ne mogu komunicirati i jedno drugome vjerovati.Imamo igru u kojoj sudjeluju dva igraa i svaki od njih bira izmeu dvije strategije, stoga su mogui samo sljedei ishodi:

1. Oba zatvorenika priznaju2. Niti jedan zatvorenik ne prizna3. Zatvorenik A prizna, zatvorenik B ne prizna4. Zatvorenik A ne prizna, zatvorenik B prizna.

Slika 2 prikazuje razultate svih moguih strategija ova dva igraa.

Slika 2. Zatvorenikova dilema.Razmatramo nain na koji razmilja zatvorenik A, koju strategiju izabire i koji je ishod njegovog odabira. Ako zatvorenik B ne prizna, tada se njemu isplati priznati jer e biti osloboen dok e zatvorenik B biti kanjen sa svih 20 godina zatvora. Ukoliko zatvorenik B prizna tada i on mora priznati kako bi izbjegao zatvorsku kaznu od 20 godina. Dakle, u svakom sluaju i neovisno o tome to uinio zatvorenik B, zatvoreniku A se isplati priznati. Strategija zatvorenika A, priznati, oito je gora situacija od usvajanja nepriznavanja oba pljakaa. Dominantna strategija, koja podrazumjeva pravilo oekuj najgore od drugog, vodi u goru poziciju od one u koju su pljakai mogli zapasti.Na isti nain razmilja i zatvorenik B te odabire istu strategiju, jer se i njemu isplati priznati. Prema tome, konani rezultat, odnosno ravnotea ove igre je priznanje obaju zatvorenika. Istraitelji e rijeiti sluaj i svaki od zatvorenika e u zatvoru provesti 5 godina.Ravnoteu u ovom sluaju nazivamo Nash[footnoteRef:3] ova ili nesuradnika ravnotea. Svaki od igraa odigrao je igru vodei rauna iskljuivo o vlastitom interesu bez dogovora i bez ikakve suradnje s drugim zatvorenikom. Po Nashovoj ravnotei nijedan igra ne moe poboljati svoj rezultat uz danu strategiju drugoga. Drugim rijeima, strategija svakog pojedinanog igraa najbolji je odgovor na strategiju drugog igraa. [3: John F. Nash, matematiar, koji prvi razvija ovaj ravnoteni koncept]

Zamislimo sada situaciju da je komunikacija meu zatvorenicima bila mogua ili da su zatvorenici iz prolog iskustva u poinjenju kaznenih djela nauili vjerovati jedno drugome. Obojica bi se obranila tvrdnjama nismo krivi i oslobodili se optube maksimizirajui tako svoje dobitke.Ravnotea zatvorenikove dileme je specifina zbog toga to ona ne samo da je nesuradnika, ve je istovremeno rije i o dominantnoj strategijskoj ravnotei. Dominantna strategijska ravnotea postoji kada oba igraa imaju dominantnu strategiju, odnosno kada jedan igra ima jedinu najbolju strategiju bez obzira na to koju strategiju slijedi drugi igra.Sluaj zatvorenikove dileme je zanimljivi i poseban jer pokazuje da ponekad voeni vlastitim, sebinim, interesom ne ostvarimo optimalni rezultat. Jasno je vidljivo da postoji kontradikcija izmeu individualne i kolektivne racionalnosti. Paradoks dileme zatvorenika dovodi u sumnju opravdanost primjene principa dominacije u situacijama kada ne postoji konflikt izmeu individualnih interesa.

2.1. Primjeri teorije igara i zatvorenikove dileme u ekonomiji

Neposredno iz primjera zatvorenikove dileme moemo izvui analogiju koja se odnosi na uvijete neizvjesnosti s kojima se suoavaju poduzea na oligopolistikim tritima. Navest u dva primjera suradnje i nesuradnje 2 poduzea na temelju zatvorenikove dileme.

2.1.1. Igra u duopolu

Duopol ine dva poduzea. Pretpostavimo da su poduzea tajno podijelila trite i dogovorila cijenu. Poduzeima su na raspolaganju dvije strategije: izigravati sporazum (ili, grubo reeno, varati) i pridravati se sporazuma, dakle, ne varati. I ovdje su, kao i u zatvorenikovoj dilemi, u pitanju dva igraa koji, nastojei izboriti najpovoljniji ekonomski rezultat, mogu birati izmeu dvije mogue strategije.Mogue su , dakle, sljedee etiri situacije:

1. Oba poduzea ne varaju2. Oba poduzea varaju3. Poduzee A vara, poduzea B ne vara4. Poduzee A ne vara, poduzee B vara.

Varati znai pokuati snienjem cijene ispod dogovorene zauzeti vei dio trita te realizirati, na raun konkurenta, vei ekonomski profit. Matrica isplata moe odbaciti sljedee rezultate (predstavljene u obliku profita i gubitka):

PODUZEE A STRATEGIJE:

Ne varati VaratiA + 2B + 2A + 4B - 2

A - 2B + 4 A 0 B 0

PODUZEE B STRATEGIJE: Ne varati

Varati

Slika 3. Strategije poduzea A i B u igri u duopolu

Ukoliko oba poduzea odlue potovati sporazum svaki realizira ekonomski profit od dva milijuna novanih jedinica. Izigravaju li, pak, sporazum ekonomski je profit obaju poduzea jednak nuli. I konano, ako se jedno poduzee pridrava dogovorene cijene a drugo ne, tada onaj koji izigrava sporazum realizira ekonomski profit od etiri milijuna gurnuvi istovremeno svog konkurenta u gubitak od dva milijuna novanih jedinica. I opet, oba igraa imaju na raspolaganju dominantnu strategiju. Pokuajmo je otkriti. Poduzeu A se isplati, ukoliko poduzee B ne vara, dakako, varati. U tom sluaju poduzee A realizira profit od etiri milijuna nanijevi, istovremeno, poduzeu B gubitak od dva milijuna. Ukoliko poduzee B vara poduzee A, tu doista nema dileme, mora varati. Na taj nain ono izbjegava gubitak i uspijeva realizirati normalni profit. Na isti nain razmilja i ponaa se poduzee B. I njegova najbolja strategija je varati. Dominantna strategijska, ali i Nash-ova ili nesuradnika ravnotea ove igre znai da e oba poduzea ui u rat cijenama i ostvariti tek normalni profit. Njihov e ekonomski profit biti jednak nuli budui da je iznova privatni interes nadmaio zajedniki interes. Zajednikom interesu treba, naime, vremena da bi se profilirao. A naa ga poduzea, na sreu ili nesreu, imaju dovoljno. Igra koju oni igraju ima veliki broj produetaka. Zatvorenici su svoju igru mogli odigrati samo jednom. Poduzea A i B svoju igru mogu ponavljati. Ponavljanje igre otvara mogunost da se druga strana kazni za "nekorektno" ponaanje. Svaki "niski udarac", svaki prekraj moe biti uzvraen. Svaki igra u svoju strategiju moe ukljuiti i tzv. "milo za drago" strategiju (tit-for-tat strategy). Milo za drago strategija jednostavno znai odigravati u sadanjoj rundi ono to je drugi igra odigrao u prethodnoj rundi. Uope, igraima je na raspolaganju itav niz strategijskih poteza. Strategijski potez je potez koji stvara sliku o tome to vai konkurenti mogu od vas oekivati u odreenoj situaciji. Ukoliko, primjerice, va konkurent snizi cijenu vi moete odgovoriti jo veim obaranjem cijene. Od vas se, dakle, moe oekivati da na napad odgovorite jo snanijim napadom. Prema tomu, ova sloenija (budui da ukljuuje ponavljanje) varijanta zatvorenikove dileme moe imati mnogo ravnotea. Jedna je od njih, meutim, i suradnika ravnotea koja e znaiti da su oba igraa (poduzea) tijekom vremena nauila suraivati, te da ostvaruju ekonomski profit od dva milijuna novanih jedinica.

2.1.2. Igra zagaivanja

Jo je jedan primjer, po strukturi slian zatvorenikovoj dilemi, igra zagaivanja, prikazana na slici. Oito, rije u ovoj igri vode poduzea koja ostvaruju profit radei na tetu okolia. U svijetu neureenih poduzea, svako poduzee koje maksimizira svoju dobit radije e zagaivati okoli nego ugraditi skupu opremu za nadzor zagaivanja. ak naprotiv, svako poduzee koje se ponaa savjesno i odgovorno te isti svoj otpad, imat e vie trokove proizvodnje, vie cijene i manje potroaa. Ako su takvom poduzeu trokovi dovoljno visoki ono bi moglo obustaviti proizvodnju i bankrotirati.U matrici su prikazana dva poduzea i rezultati njihovih odluka. U smrtonosnoj igri zagaivanja, svako neureeno poduzee koje tei maksimiziranju dobiti isputa otpadne tvari u rijeke i u zrak. Ako pojedino poduzee uini svoju proizvodnju iom, ono podie cijene da pokrije trokove ienja, gubi poslove i trpi pad dobiti. Pritisci konkurencije i elja za jeftinijom proizvodnjom dovest e sva poduzee u polje 2,2 (prikazano u matrici) gdje je vidljiva Nashova ravnotea. Tu niti jedno poduzee ne moe poboljati svoju dobit smanjivanjem zagaivanja. PODUZEE A Niska zagaenost Visoka zagaenost 100 $100 $ 120 $-30 $

-30 $120 $ 100 $100 $

PODUZEE B Niska zagaenost

Visoka zagaenostSlika 4. Nesuradniko ponaanje vodi do veeg zagaenja (Igra zagaivanja)

Igra zagaivanja primjer je situacije u kojoj se slama mehanizam nevidljive ruke uinkovite savrene konkurencije. Dakle, ovo je situacije u kojoj se nekooperativna ili Nashova ravnotea neuinkovita.Kada Nashova ravnotea postane opasno neuinkovita, drava moe uskoiti. Ona moe potaknuti poduzea da se pomaknu u polje 1,1 koje je polje niskog zagaenja odreivanjem raznih odredaba ili kazni za isputanje tetnih tvari. U toj ravnotei poduzea zarauju istu dobit kao i u svijetu visokog zagaenja, a ipak se zdravije ivi. Drava u toj situaciji namee suradniku ravnoteu (polje 1,1) gdje su dobiti jednake, a okoli ostaje nezagaen.

3. Zakljuak

Teorija igara je specijalna grana matematike koja prouava donoenje odluka u kojima postoji sukob interesa u kompleksnim okolnostima. Ona se jo moe definirati kao prouavanje kako ljudi meusobno komuniciraju i donose odluke, te kako donesene odluke utjeu na njih. Ja sam se u ovom radu objasnio kako teorija igara izgleda gledano sa ekonomskog aspekta. Ona naglaava vanost problema kooperacije te istrauje specifine strategije koje dovode do promjene uspjenosti pojedinih igraa i povrata investicijskog ulaganja. Bitni elementi svake ekonomske igre su poduzea (igrai), strategija i cilj. Kada govorimo o prvim poecima teorije igara vano je spomenuti velika imena poput von Neummana i John Nesha koji su dali velik doprinos u istraivanju teorije igara iako takav pristup nije dao eljene razultate koji bi mogli dovesti do ope teorije oligipola. Postoji vie vrsta igara, no nas najvie zanimaju ekonomske igre u kojima razlikujemo kooperativne, nekooperativne, ponavljajue i sekvencijalne. Najbolji primjer za opisivanje nekooperativne igre je igra zvana zatvorenikova dilema. Ravnotea zatvorenikove dileme je specifina zbog toga to ona ne samo da je nesuradnika, ve je istovremeno rije i o dominantnoj strategijskoj ravnotei. Sluaj zatvorenikove dileme je zanimljivi i poseban jer pokazuje da ponekad voeni vlastitim, sebinim, interesom ne ostvarimo optimalni rezultat. Iz ovog primjera jasno je vidljivo kako postoji kontradikcija izmeu individualne i kolektivne racionalnosti. Kao primjere iz ekonomije naveo sam dvije igre koje esto igraju poduzea, a to su igra u duopolu te igra zagaivanja. Na tim je primjerima takoer jasno vidiljiv zakljuak o sluaju zatvorenikove dileme, koji sam ve naveo, a to je paradoks u analizi odluivanja dvojice igraa da sebi pojedinano priskrbe najbolji interes iako akcije kojima se oni slue ne daju najbolji rezultat.

4. Literatura

1. Ferenak Ivan, Poela ekonomije, drugo dopunjeno i izmjenjeno izdanje, Grafika d.o.o. , Osijek, 2003.2. Frank Robert H., Microeconomics and behavior, fifth edition, McGRAW HILL, International Edition , 2003.3. Koutsoyiannis A., Moderna mikroekonomika, drugo izdanje, Mate d.o.o., Zagreb, 1996.4. Nordhaus Samuelson, Ekonomija, osamnaesto izdanje, Mate d.o.o. , Zagreb, 2007.5. North Douglass C., Institucije, institucionalna promjena i ekonomska uspjenost, Masmedia, Zagreb, 2003.

15