teorija grafova - slajd predavanja

8/17/2019 Teorija grafova - slajd predavanja

1/63

Diskretne matematiqke strukture

Vladimir Balti

Elementi Teorijegrafova


2/63

Grafovi su matematiqki objekti koje qestosreemo u svakodnevnom жivotu:

• geografsku mapu sa mnoxtvom gradovakoji su povezani putevima;

• skup ǉudi sa relacijom poznanstva;

• strukturna formula nekog molekula ili jediǌeǌa (npr. 2 alkana C 6H 14);

• xema nekog elektriqnog kola.


3/63

C C C C C CH H

H H H H

H H H H

H

H

H

HC C C C

C

C

H H

H

H

H

H

H

H

H

H

H

H

H

H


4/63

R1 R3 R5 R7 R9

R2

R4

R6

R8

E 1

E 2

+ +

E1 −E2

R11 R22

−R23 −R34 −R45

−R32 −R43 −R54

−R12

−R21

R33 R44 R55

0

1 2 3 4 5


5/63

Grafovi nalaze primenu i u rexavaǌu tzv.problema za razbibrigu:

• Na Slici su prikazani poloжaji 3 kuei 3 bunara. Povezati putem svaku kuu

(K) sa svakim bunarom (B), tako da sesvi ovi putevi meusobno ne seku.

K K K

B B B


6/63

Grafovi nalaze primenu i u rexavaǌu tzv.problema za razbibrigu:

• Na Slici su prikazani poloжaji 3 kuei 3 bunara. Povezati putem svaku kuu(K) sa svakim bunarom (B), tako da se

svi ovi putevi meusobno ne seku.

K K K

B B B

• Obii skakaqem xahovsku tablu m × n,

tako da skakaq proe sva poǉa i da nina jednom ne boravi vixe od jedan put.


7/63

• Obii skakaqem xahovsku tablu m × n,tako da skakaq proe sva poǉa i da nina jednom ne boravi vixe od jedan put.

30 21 50 9 32 19 52 7

49 10 31 20 51 8 33 18

22 29 48 61 42 27 6 53

11 60 41 28 45 62 17 34

40 23 64 47 26 43 54 5

59 12 25 44 63 46 35 16

24 39 2 57 14 37 4 55

1 58 13 38 3 56 15 36


8/63

• Moжe li se jednim potezom (bez dizaǌaolovke sa papira i bez prelaska prekove nacrtanih linija) nacrtati figurasa Slike?


9/63

Xvajcarskom matematiqaru LeonarduOjleru su tokom boravka u Kenigsbergu(nem. Königsberg; danaxǌi Kaliǌingrad)mextani postavili problem da pree prekosvih 7 mostova (koji spajaju 2 obale reke

Pregel meusobno i sa 2 ostrva) tako dapreko svakog mosta pree taqno jedanput.


10/63




11/63




12/63

26. avgusta 1735. godine, Ojler je svoj rad na ovom problemu prezentovao Sant Peters-burgxkoj akademiji nauka dokazujui da jetakav obilazak mostova nemogu, uz napomenuda se ǌegov metod moжe proxiriti na proiz-

voǉan raspored ostrva i mostova.Ojler je qlanak o Problemu Kenigsbergxkihmostova napisao 1736. godine (i stoga se tagodina uzima za osnivaǌe teorije grafova).

Neke stranice iz ovog rada su prikazane nanarednim slikama.


13/63


14/63


15/63

Definicija 1. Graf G je ureen par (V,̺ ),gde je V neprazan skup i ̺ binarna relacijana V .

Elementi skupa V se zovu qvorovi ,(eng. vertex , mn. vertices ), a elementi skupa ̺grane (eng. edge ) grafa G.


16/63

Primer 1. Graf G = (V,̺ ) zadat relacijom̺ =

(1,1),(1,2),(2,1),(2,3),(3,4),(3,5),(4,4),(4,5),(5,3)

na skupu V = {1, 2, 3, 4, 5}.

1

4

5

2 3


17/63


18/63

Primer 2. Graf (V,̺ ) zadat relacijom̺ =

(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(4,1),(4,4)

na skupu V = {1, 2, 3, 4}.

1 2

34

⇄

1 2

34


19/63

Definicija 3. Dva qvora u i v neorijen-tisanog grafa (V, E ), su susedna ako postojigrana e = {u, v} ∈ E . Za qvorove u i v kaжe-mo da su krajǌe taqke grane e. Za qvor u i

granu e (odnosno qvor v i granu e) kaжemo dasu incidentni i da se grana e stiqe u qvoru u(odnosno v). Dve grane su susedne ako se stiqu

u istom qvoru.


20/63

Definicija 4. Broj grana koje se stiqu uqvoru v zove se stepen qvora v (eng. degree ) ioznaqava se sa d(v).

Qvor v koji nema susednih qvorova, tj. za koji je d(v) = 0, nazivamo izolovan qvor.

Graf G je regularan ako su stepeni svih

ǌegovih qvorova jednaki.


21/63

Primer 3. Odrediti stepene svih qvorovagrafa G. Da li je graf G regularan?

1 2

34


22/63

Primer 3. Odrediti stepene svih qvorovagrafa G. Da li je graf G regularan?

1 2

34

2 2

12

d(1) = 2, d(2) = 2, d(3) = 1 i d(4) = 2.

G NIJE regularan.


23/63

Teorema 1. U neor. grafu G = (V, E ) bez

petǉi sa n 2 qvorova postoje bar 2 qvoraistog stepena.

Teorema 2. U neor. grafu G = (V, E ) bezpetǉi je zbir stepena svih qvorova jednakdvostrukom broju grana, tj. vaжi

d(v1) + d(v2) + . . . + d(vn) = 2m.

Teorema 3. U neor. grafu G = (V, E ) bez

petǉi broj qvorova neparnog stepena je paran.


24/63

Definicija 5. Za granu e = (u, v) orij.

grafa (V,̺ ) kaжemo da vodi iz qvora u u qvorv (e izlazi iz qvora u, a ulazi u qvor v).

Ulazni stepen d−(v) qvora v je broj grana kojeulaze u v.

Izlazni stepen d+(v) qvora v je broj granakoje izlaze iz v.

Ulazni skup I (v) qvora v je skup qvorova izkojih vodi grana u v, tj. I (v) = {x | (x, v) ∈̺ }.

Izlazni skup O(v) qvora v je skup qvorova ukoje vodi grana iz v, tj. O(v) = {x | (v, x) ∈ E }.


25/63

Petǉa je grana koja i ulazi i izlazi izqvora.

Napomena. Vaжi

d−(v) = |I (v)| i d+(v) = |O(v)|.


26/63

Primer 4.

Odrediti d−(v) i d+(v), kao i I (v) i O(v)za svaki qvor v grafa:

1

45

2 3


27/63

Primer 4.

1

45

2 3

I (1) = {1, 2} ⇒ d−(1) = 2,

O(1) = {1, 2} ⇒ d+(1) = 2.


28/63

Primer 4.

1

45

2 3

I (2) = {1} ⇒ d−(2) = 1,

O(2) = {1, 3} ⇒ d+(2) = 2.


29/63

Primer 4.

1

45

2 3

I (3) = {2, 5} ⇒ d−(3) = 2,

O(3) = {4, 5} ⇒ d+(3) = 2.


30/63

Primer 4.

1

45

2 3

I (4) = {3, 4} ⇒ d−(4) = 2,

O(4) = {4, 5} ⇒ d+(4) = 2.


31/63

Primer 4.

1

45

2 3

I (5) = {3, 4} ⇒ d−(5) = 2,

O(5) = {3} ⇒ d+(5) = 1.


32/63

Teorema 4. U orij. grafu G = (V, E ) vaжid−(v1)+d

−(v2)+...+d−(vn)=m=d

+(v1)+d+(v2)+...+d

+(vn).


33/63

Teorema 4. U orij. grafu G = (V, E ) vaжid−(v1)+d

−(v2)+...+d−(vn)=m=d

+(v1)+d+(v2)+...+d

+(vn).

1

4

5

2 3

2 + 1 + 2 + 2 + 2 = 9 = 2 + 2 + 2 + 2 + 1

Da li su sledei grafovi isti?


34/63

Da li su sledei grafovi isti?

a

b

c d

e

1

2

3 4

5


35/63

Definicija 6. Dva grafa G1 = (V 1, E 1)

i G2 = (V 2, E 2) su izomorfna , G1 ∼= G2, akopostoji bijekcija f : V 1 → V 2 za koju je

• (u, v) ∈ E 1 ⇔ f (u), f (v) ∈ E 2(kod orijentisanih grafova);

• {u, v} ∈ E 1 ⇔ f (u), f (v) ∈ E 2(kod neorijentisanih grafova).


36/63

Primer 5. Izomorfizam f grafova

a

b

c d

e

1

2

3 4

5

dat je bijekcijom

f =

a b c d e

1 2 3 4 5

.


37/63

Primer 6. Grafovi

nisu izomorfni. Zaxto?


38/63

Definicija 7. Graf G′ = (V ′, E ′) je podgraf grafa G = (V, E ) ako vaжi V ′ ⊆ V i E ′ ⊆ E .

Graf G je nadgraf grafa G′ ako je G′ podgrafgrafa G.


39/63

Primer 7. Graf G1 = (V 1, E 1) je podgrafgrafa G2 = (V 2, E 2)

f

a b

de

f c

a b

de

G1 G2

jer je V 1 = {a,b,d,e,f } ⊆ V 2 = {a,b,c,d,e,f }

E 1 = {ab, de, df, ef } ⊆ E 2 = {ab, ac, bc, cf, de, df, ef }.


40/63

Definicija 8. Put duжine k

, k

1, u grafu(V, E ) je niz grana iz E oblika

• (v0, v1), (v1, v2), . . . , (vk−1, vk)

(kod orijentisanih grafova);

• {v0, v1}, {v1, v2}, . . . , {vk−1, vk}

(kod neorijentisanih grafova).

Za ovaj put kaжemo da poqiǌe u qvoru v0, ada se zavrxava u qvoru vk. Qvorove v0 i vk se

zovu krajǌi qvorovi puta .


41/63

Put se moжe zadati i kao niz uzastopnihqvorova spojenih granama:

v0 − v1 − v2 − . . . − vk−1 − vk.

Za put kaжemo da prolazi kroz qvorove

v0, v1, v2, . . . , vk−1, vk.


42/63

Definicija 9. Elementarni (prost ) put jeput koji kroz svaki svoj qvor v1, v2, . . . , vk−1prolazi taqno jedanput.

Kruжni (zatvoren ) put je put koji se zavrxa-

va u istom qvoru u kojem i poqiǌe, tj. v0 = vk.Kontura (ciklus ) je elementarni kruжni put.


43/63

Definicija 10. G = (V, E ) neor. graf.Qvorovi u, v ∈ V su povezani ako u G postoji put qiji su krajǌi qvorovi u i v. GrafG je povezan ako su svaka dva ǌegova qvo-

ra povezana, a u suprotnom kaжemo da jenepovezan .

Komponenta povezanosti grafa G je neki

ǌegov maksimalni povezani podgraf. Broj komponeneti povezanosti grafa G oznaqava-mo sa c(G).

Q j ( )


44/63

Qvor v je vezivni (artikulacioni ) qvorukoliko se ǌegovim uklaǌaǌem poveava broj

komponenti povezanosti ovoga grafa, tj. akovaжi c(G) < c(G − v).

Grana e je most u grafu G ako se ǌenim uk-

laǌaǌem poveava broj komponenti povezanos-ti ovog grafa, tj. ako vaжi c(G) < c(G − e).


45/63

Definicija 11. Prazan graf N n (negde K n) je graf koji nema nijednu granu.

12

3

4

5

6

7

8

9

10

N 10

K ( ) f K j f


46/63

Kompletan (potpun ) graf K n je graf kod koga je svaki qvor susedan sa svim ostalim.

12

3

4

56

7

8

9

10

K 10

K b f K j f


47/63

Kompletan bipartitan graf K m,n je graf kod koga je skup qvorova razbijen na 2 klase (sa m

i n qvorova), tako da ne postoji grana izmeuqvorova iste klase, dok su svaka 2 qvora izrazliqitih klasa spojena granom.

4 5 6 7 8

1 2 3

K 3,5

B f j b j f


48/63

Bipartitan graf je bilo koji podgrafkompletnog bipartitnog grafa.

Da je graf bipartitan pokazujemo takoxto ǌegove qvorove obojimo crveno i belo,tako da 2 susedna qvora obojimo razliqitim

bojama. Ako nije bipartitan, onda trebada naemo neku konturu neparne duжine iiskoristimo teoremu Keniga (König):

Teorema 5. Neor. graf G = (V, E ) bez petǉi je bipartitan akko su mu sve konture parne

duжine.

Put P n 2 je povezan graf kome su svi


49/63

Put P n, n 2, je povezan graf kome su sviqvorovi stepena 2, sem dva krajǌa koji su

stepena 1.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P 10

Kontura C n 3 je povezan graf koji ima


50/63

Kontura C n, n 3, je povezan graf koji imasve qvorove stepena 2.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

C 10

Toqak W n 4 je graf koji se sastoji od


51/63

Toqak W n, n 4, je graf koji se sastoji od konture C n−1 i jednog qvora koji je povezan

sa svim qvorovima konture2

3

4

5

6

7

1

W 7


52/63


53/63

Definicija 12. Neor. graf G = (V ′, E ′) jekomplement neor. grafa G = (V, E ) ako vaжida je V ′ = V i da su 2 qvora susedna u G akkonisu susedna u G.

Graf je samokomplementaran ako jeizomorfan sa svojim komplementom.

P 8 C j f


54/63

Primer 8. C 5 je samokomplementaran graf.

v1

v2

v3 v4

v5

C 5

v1

v2

v3 v4

v5

C 5 K 5

Izomorfizam f : V (C 5) → V (C 5) izmeu C 5 i

C 5 je: f =

v1 v2 v3 v4 v5v1 v3 v5 v2 v4

.


55/63

Definicija 13. Ojlerova kontura grafa G

je kontura koja sadrжi sve grane iz G. Grafkoji ima Ojlerovu konturu je Ojlerov graf .

Ojlerov put u grafu G je put koji sadrжi svegrane iz G. Graf koji ima Ojlerov put jepoluojlerov graf .


56/63

Teorema 6. Ojlerova teorema. Povezan

graf sa bar jednom granom je Ojlerov ako isamo ako sadrжi sve qvorove parnog stepena.

Teorema 7. Povezan graf sa bar jednomgranom je poluojlerov ako i samo ako sadrжi0 ili 2 qvora neparnog stepena.


57/63

Definicija 14. Hamiltonova kontura grafaG je kontura koja sadrжi sve qvorove izG. Graf koji ima Hamiltonovu konturu jeHamiltonov graf .

Hamiltonov put u grafu G je elementaranput koji sadrжi sve qvorove iz G. Graf kojiima Hamiltonov put je poluhamiltonov graf .


58/63

Primer 9.

C n je i Ojlerov i Hamiltonov graf.

K 4 nije Ojlerov, a jeste Hamiltonov.

K 2,4 jeste Ojlerov, a nije Hamiltonov.

S 4 nije ni Ojlerov ni Hamiltonov graf.

C 3 K 4 K 2,4 S 4

Predstavǉaǌe grafova


59/63

r d r f

• Matrica susedstva A

• Liste susedstva ℓv

• Matrica incidencije R (ili S )

• Matrica rastojaǌa D

Primene grafova


60/63

r r f

Primer 10. Graevinska firma koja trebada zavrxi n = 5 stanova raspolaжe 1 ekipomvodinstalatera i 1 ekipom molera. Molerine mogu poqeti sa radom u stanu u kojem

vodoinstalateri nisu zavrxili svoj posao. Uk-tom stanu (k = 1, 2, . . . , n) vodoinstalateritreba da rade vk qasova, a moleri mk qasova:

v1 = 8, v2 = 20, v3 = 7, v4 = 18, v5 = 9;m1 = 12, m2 = 12, m3 = 15, m4 = 10, m5 = 15.

Kojim redosledom treba da rade vodoinsta-

lateri da bi sav posao bio zavrxen xto pre?

Rexeǌe. Moжe se pokazati da vodoinstala-


61/63

teri treba da rade u stanu i pre nego u stanu

j samo ako je

min(vi, mj) min(vj , mi).

U protivnom bi ekipa molera gubila vixevremena nego xto je potrebno.

Rexeǌe. Formirajno or. graf sa qvorovima


62/63

f1, 2, 3, 4, 5 (to su stanovi) u kome od qvora i ide

grana ka qvoru j ako je min(vi, mj)min(vj, mi).

1

2

3 4

5

Jedini Hamiltonov put je 3, 1, 5, 2, 4. Timredosledom treba i majstori da rade stanove.


63/63

KRAJ

teorija grafova - slajd predavanja

Documents