1.BREVIAR TEORETICLimite de functii

Teoremă:O funcţie are limită într-un punct finit de acumulare dacă şi numai dacă are limite laterale egale în acel punct.

f are limită în x0⇔l s( x0 )=ld ( x0 )⇔ f ( x0−0)=f ( x0+0)⇔lim ¿ x→x 0 ¿

x¿ ¿¿

Obs.:Funcţia f :D→ R nu are limită în punctul de acumulare x0 în una din situaţiile :

a)există un şir xn∈D−{x0}cu limita x0 astfel încât şirul ( f ( xn ) )

nu are limită

b)există şirurile ( xn ), ( yn ), xn , yn∈D−{x0},

astfel încât şirurile ( f ( xn ) ), ( f ( yn ))

au limite diferite.

Teoremă:Fie f :D→ R ,o funcţie elementară şi x0∈Dun punct de acumulare al lui D

⇒ limx→ x0

f ( x )=f ( x0)

Teoremă(Criteriul majorării,cazul limitelor finite)

Fie f,g:D→ R şi x0 un punct de acumulare al lui D.Dacă

limx→x 0

g ( x )=0 şi există l∈R a.î.

|f ( x )−l|≤g( x ) ,∀ x∈D∩V , x≠x0 ,V vecinătate a lui x0 şi dacă

limx→x 0

g ( x )=0⇒ limx→ x0

f ( x )=l

Teoremă(Criteriul majorării,cazul limitelor infinite)

Fie f,g:D→ R , x0 un punct de acumulare al lui D şi f ( x )≤g( x ) ,∀ x∈D∩V ,x≠x0 ,V vecinătate a lui x0 .

a)Dacă

limx→x 0

f ( x )=∞⇒ limx →x0

g( x )=∞

b)Dacă

limx→x 0

g ( x )=−∞⇒ limx→ x0

f ( x )=−∞

Teoremă(Criteriul cleştelui)

Fie f,g,h:D→ R , x0 un punct de acumulare al lui D şi f ( x )≤g( x )≤h( x ) ,∀ x∈D∩V , x≠x0 , V vecinătate a lui x0 .

Dacă

limx→x 0

f ( x )=limx→ x0

h( x )=l⇒ limx→ x0

g ( x )=l

Limite uzuale.Limite remarcabile.

limx→±∞

(an xn+an−1 xn−1+¿⋅¿+a1 x+a0 )= limx→±∞

an xn

limx→±∞

ak xk +ak−1 xk−1+¿⋅¿+a1 x+a0

bm xm+bm−1 xm−1+¿⋅¿+b1 x+b0

=¿ {ak

bm

, k=m ¿ {0 ,m¿k ¿ ¿¿¿

¿

¿

limx→∞

1x

=0

limx→−∞

1x

=0

lim ¿ x→0 ¿x<0 ¿

¿ 1x

=−∞¿

lim ¿ x→0 ¿x>0 ¿

¿ 1x

=+∞¿

limx→∞

√x=∞

limx→∞

3√x=∞

limx→−∞

3√x=−∞

limx→∞

ax=¿ {∞ , daca a>1 ¿ ¿¿¿

limx→−∞

ax=¿ {0 , daca a>1 ¿ ¿¿¿

limx→∞

loga x=¿ {∞ , daca a>1 ¿ ¿¿¿

lim ¿ x→0 ¿x>0 ¿

¿ loga x=¿ {−∞ , daca a>1¿ ¿¿

limx→∞

arctg x= π2

limx→−∞

arctg x=− π2

limx→∞

arcctgx=0

limx→−∞

arcctgx=π

limx→∞(1+ 1

x )x

=e

limx→−∞(1+ 1

x )x

=e

limx→0

(1+x )1x=e

limx→0

sin xx

=1

limx→0

tgxx

=1

limx→0

arcsin xx

=1

limx→0

arctg xx

=1

limx→0

ln (1+x )x

=1

limx→0

ax−1x

= ln a , a>0 , a≠1

limx→0

sin u( x )u ( x )

=1

limx→0

tg u( x )u( x )

=1

limx→0

arcsin u ( x )u (x )

=1

limx→0

arctg u( x )u( x )

=1

limx→0

ln (1+u (x ))u( x )

=1

limx→0

au( x )−1u (x )

=ln a , a>0 , a≠1unde

limx→x 0

u ( x )=0

Operaţii fără sens:

∞∞ ,

00

,∞−∞ , 0⋅∞ ,1∞ , 00 ,∞0

Funcţii continue

Definiţie Fie f : D →R şi x0∈D

punct de acumulare pentru D

f este continuă în x0∈D

dacă

limx→x 0

f ( x )=f ( x0 )

Dacă f nu este continuă în x0∈D

,ea se numeşte discontinuă în x0 ,iar

x0 se numeşte punct de discontinuitate.

Definiţii:Un punct de discontinuitate x0∈D

este punct de discontinuitate de prima speţă pentru f ,dacă limitele laterale ale funcţiei f în

punctul x0 există şi sunt finite.

Un punct de discontinuitate x0∈D

este punct de discontinuitate de speţa a doua dacă nu este de prima speţă.(cel puţin una din limitele laterale

ale funcţiei f în punctul x0 nu este finită sau nu există)

Teoremă: Fie f : D →R şi x0∈D

punct de acumulare pentru D⇒ f continuă în x0 ⇔ ls ( x0)=ld ( x0 )

= f(x0 )

Teoremă:Funcţiile elementare sunt continue pe domeniile maxime de definiţie.Operaţii cu funcţii continue

Teoremă:Fie f,g:D→ R continue pe D ⇒ f+g,

f⋅g ,fg

(g≠0 ) ,|f|,max ( f , g ) ,min( f , g )sunt funcţii continue pe D.

Compunerea a două funcţii continue este o funcţie continuă.

Teoremă: Fie f:[a,b]→R o funcţie continuă a.î. f(a)f(b)<0 ⇒∃ c∈(a , b) pentru care f(c)=0.

Asimptote1.Asimptote verticale

Definiţie:Fie f :E→ R , a∈R punct de acumulare pentru E.Se spune că dreapta x = a este asimptotă verticală la stanga pentru f,dacă

lim ¿ x→a ¿x<a ¿

¿ f ( x )=∞¿ sau

lim ¿ x→a ¿x<a ¿

¿ f ( x )=−∞¿.

Definiţie:Fie f :E→ R , a∈R punct de acumulare pentru E.Se spune că dreapta x = a este asimptotă verticală la dreapta pentru f,dacă

lim ¿ x→a ¿x>a ¿

¿ f ( x )=∞¿ sau

lim ¿ x→a ¿x>a ¿

¿ f ( x )=−∞¿.

Definiţie : Fie f :E→ R , a∈R punct de acumulare pentru E.Se spune că dreapta x = a este asimptotă verticală pentru f dacă ea este asimptotă verticală atât la stânga cât şi la dreapta sau numai lateral.

2.Asimptote oblice

Teorema : Fie f :E→ R , unde E conţine un interval de forma(a,∞)Dreapta y=mx+n,m¿0 este asimptotă oblică spre +∞ la graficul lui f dacă şi numai dacă m,n sunt numere reale finite,unde m=

limx→∞

f ( x )x

, n=limx→∞

[ f ( x )−mx ].Analog la -∞ .

3.Asimptote orizontale

Dacă limx→∞

f ( x )=l , l număr finit atunci y = l este asimptotă orizontală spre +∞ la graficul lui f.

Analog la -∞Obs :O funcţie nu poate admite atât asimptotă orizontala cât şi oblică spre +∞ (-∞ )

Funcţii derivabile

Definiţie: Fie f:D→ R ,x0∈Dpunct de acumulare pentru D. Derivata într-un punct: f

' ( x0 )=

limx→x 0

f ( x )−f ( x0)x−x0 .

f este derivabilă în x0 dacă limita precedentă există şi este finită.

▪Dacă f este derivabilă înx0 , graficul funcţiei are în punctul

M 0 (x0 , f ( x0 ))tangentă a cărei pantă este

f ' ( x0) .

Ecuaţia tangentei este: y−f ( x0 )=f ' ( x0 )(x−x0) .

Teoremă:Fie f:DR , x0∈D punct de acumulare pentru D⇒ f este derivabilă în punctul de acumulare x00⇔

f s' (x0 )=f d

' ( x0 )∈R( finite)⇔lim ¿ x→x 0 ¿

x¿ ¿¿

= .

lim ¿ x→x 0 ¿x ¿

x0 ¿¿¿f ( x )−f (x0 )

x−x0

∈R ¿.

Teoremă . Orice funcţie derivabilă într-un punct este continuă în acel punct.

Derivatele funcţiilor elementare Operaţii cu funcţii derivabileReguli de derivare

1 c '=0 11 ( loga x )'= 1

x ln aTeoremă:Fie f,g:D→ R derivabile pe D⇒

f+g ,fg,

fg (g¿0 )sunt funcţii derivabile pe D.

Compunerea a două funcţii derivabile este o funcţie derivabilă.

2 x '=1 12 (arctg x )'= 1

x2+1( f ±g )'=f '±g'

3 ( xn )'=nxn−1 13 (arcctg x )'=− 1

x2+1( f⋅g)'=f '⋅g+ f⋅g'

4

(√ x )'= 12√x

14 (arcsin x )'= 1

√1−x2( λ⋅f )'=λ⋅f '

5

( 1x )

'

=− 1x2

15 (arccos x )'=− 1

√1−x2 ( fg )

'

= f '⋅g−f⋅g'

g2

6 (e x )'=ex 16 (sin x )'=cos x ( f ∘u )'=f ' (u)⋅u '

7 ( ax )'=ax ln a17 (cos x )'=−sin x

8

( ln x )'= 1x

18 ( tg x )'= 1

cos2 x9

(ctg x )'=− 1

sin2x

19 (√x2−a2 )'= x

√ x2−a2

10(√x2+a2) '= x

√x2+a2

20 (√a2−x2 )'=− x

√a2−x2

Proprietăţile funcţiilor derivabile

Definiţie:Fie f:DR.Un punct x0∈D se numeşte punct de maxim local(respectiv de minim local)al lui f dacă există o vecinătate U a

punctului x0 astfel încât f(x)¿ f(x0 )(respectiv f(x)¿ f(x0 ) ) pentru orice x∈D∩U .

Dacă f(x)¿ f(x0 )(respectiv f(x)¿ f(x0 ) ) pentru orice x∈D atunci x0 se numeşte punct de maxim absolut(respectiv minim absolut)

Teoremă . ( Fermat) Fie I un interval deschis şi x0∈ I un punct de extrem al unei funcţii ƒ: IR. Dacă ƒ este derivabilă în punctul x0 atunci

ƒ’(x0 )=0.Definiţie:O funcţie ƒ: [a, b] R (a< b) se numeşte funcţie Rolle dacă este continuă pe intervalul compact [a, b] şi derivabilă pe intervalul deschis (a, b). Teorema lui Rolle

Fie ƒ: [a, b] R, a< b o funcţie Rolle astfel încât ƒ(a)= ƒ(b), atunci există cel puţin un punct c∈ (a, b) astfel încât ƒ’(c)=0.

Teorema(teorema lui J. Lagrange). Fie ƒ o funcţie Rolle pe un interval compact [a, b]. Atunci ∃ c∈ (a, b) astfel încât ƒ(b)- ƒ(a)= (b- a)ƒ’(c)Consecinţe:1.Dacă o funcţie derivabilă are derivata nulă pe un interval atunci ea este constantă pe acel interval.2.Dacă două funcţii derivabile au derivatele egale pe un interval atunci ele diferă printr-o constantă pe acel interval.

Rolul primei derivate3. Fie f o funcţie derivabilă pe un interval I.

Dacă f' ( x )>0( f ' ( x )≥0 ) ,∀ x∈ I , atunci f este strict crescătoare( crescătoare) pe I.

Dacă f' ( x )<0( f ' ( x )≤0 ) ,∀ x∈ I , atunci f este strict descrescătoare(descrescătoare) pe I.

4.Fie f:D→ R ,D interval şi x0∈D .Dacă :

1)f este continuă în x0 2)f este derivabilă pe D-

{x0} 3)există

limx→x 0

f ' ( x )=l∈Ratunci f are derivată în

x0 şi f ' ( x0)=l

.Dacă

l∈R atunci f este derivabilă în x0 .

Observaţie: Cu ajutorul primei derivate se stabilesc intervalele de monotonie ale unei funcţii derivabile şi se determină punctele de extrem local.Rolul derivatei a douaTeoremă: Fie f o funcţie de două ori derivabilă pe I.

Dacă f} } \( x \) >= 0, forall x func I} {∈ ¿¿ ¿, atunci f este convexă pe I.

Dacă f} } \( x \) <= 0, forall x func I} {∈ ¿¿ ¿, atunci f este concavă pe I.

Definiţie: Fie f o funcţie continuă pe I si x0∈ I

punct interior intervalului. Spunem că x0 este punct de inflexiune al graficului funcţiei dacă

f este convexă pe o vecinătate stânga a lui x0 şi concavă pe o vecinătate dreapta a lui

x0 sau invers.Observaţie:Cu ajutorul derivatei a doua se stabilesc intervalele de convexitate şi concavitate şi se determină punctele de inflexiune.

Noţiunea de primitivăDefiniţie: Fie I R interval, f : I R. Se numeşte primitivă a funcţiei f pe I, orice funcţie F : I R derivabilă pe I cu proprietatea F '(x) = f (x), x I.Teoremă.Orice funcţie continuă f : I R posedă primitive pe I.Teoremă:Fie f : I R,I interval ,o funcţie care admite primitive pe I.Atunci f are proprietatea lui Darboux.

Consecinţe:1.Dacă g : I R nu are proprietatea lui Darboux pe intervalul I,atunci g nu admite primitive pe I.

2.Fie g : I R.Dacă g(I)={g ( x )/ x∈ I }nu este interval atunci g nu admite primitive pe I.3.Dacă g : I R are discontinuităţi de prima speţă atunci g nu admite primitive pe I.Tabel de integrale nedefinite

∫ xn dx= xn+1

n+1+C

,n∈N ,x∈R ∫ xa= xa+1

a+1+C

,a∈R , a≠−1 ,x∈(0 ,∞)

∫ 1x

dx=ln|x|+C , x∈(0 ,∞) sau x∈(−∞ ,0 )

∫ ax dx= ax

ln a+C , a¿0 , a≠1 , x∈R ¿

∫ 1

x2−a2= 1

2aln|x−a

x+a|+C ,a≠0 , x∈(−∞ ,−a )

sau x∈(−a , a )sau x∈(a ,∞)

∫ 1

x2+a2dx= 1

aarctg

xa

+C , a≠0 , x∈R

∫ 1

√a2−x2dx=arcsin

xa

+C ,a≠0 , x∈(−a ,a )

∫ 1

√ x2+a2dx=ln ( x+√x2+a2 )+C , a≠0 , x∈R

∫ 1

√ x2−a2dx=ln|x+√ x2−a2|+C , a≠0 , x∈(−∞ ,−a )

sau x∈(a ,∞)

∫sin xdx=−cos x+C , x∈R ∫cos xdx=sin x+C , x∈R

∫ 1

cos2 xdx=tgx+C ,cos x≠0

∫ 1

sin2 xdx=−ctgx+C ,sin x≠0

Integrala definită

Teoremă.Funcţiile continue pe un interval [ a , b ] sunt integrabile pe [ a , b ] .Teoremă.Funcţiile monotone pe un interval [ a , b ] sunt integrabile pe [ a , b ] .Proprietăţile funcţiilor integrabile.a)(Proprietatea de linearitate)

Dacă f,g : [a . b ]→ R sunt integrabile şi λ∈R ⇒

1)

∫a

b

( f ( x )+g( x )) dx=∫a

b

f ( x )dx+∫a

b

g( x )dx 2)

∫a

b

λf (x )dx=λ∫a

b

f (x )dx

b)Dacă f ( x )≥0 , x∈ [ a , b ] şi este integrabilă pe [ a , b ] , atunci∫a

bf ( x )dx≥0

.

c)Dacă f ( x )≥g( x ) pentru orice x∈ [ a , b ] şi dacă f şi g sunt integrabile pe [ a , b ] , atunci∫a

bf ( x )dx≥∫a

bg ( x )dx

d)(Proprietatea de aditivitate în raport cu intervalul)

Funcţia f : [a, b] R este integrabilă pe [a, b] dacă şi numai dacă, c (a, b) funcţiile sunt integrabile şi are loc formula:

∫a

cf ( x )dx+∫c

bf ( x )dx=∫a

bf (x )dx .

e)Dacă funcţia f este integrabilă pe [ a , b ] , atunci şi |f|

este integrabilă pe [ a , b ] şi

|∫a

bf ( x )dx|≤∫a

b|f ( x )|dx

.Teoremă (Formula Leibniz - Newton)

Dacă f : [a, b] R este o funcţie integrabilă şi f admite primitive pe [a, b] atunci pentru orice primitivă F a lui f pe [a, b] are loc formula Leibniz-

Newton: .Teorema de medie Dacă f : [a, b] R este o funcţie continuă, atunci există c[a, b] a.i.

∫a

bf ( x )dx=(b−a ) f ( c )

.Teorema de existenţă a primitivelor unei funcţii continueDacă g : [a, b] R este o funcţie continuă,atunci funcţia G: [a, b]R,

G( x )=∫a

x

g ( t )dt , x∈[ a ,b ]are proprietăţile:

1)G este continuă pe [a, b] şi G(a) = 0

2)G este derivabilă pe [a, b] şi G' ( x )=g ( x ) ,∀ x∈[ a , b ]

Reţinem:(∫

a

x

g( t )dt)'

=g ( x )

Teoremă (Formula de integrare prin părţi)Fie f , g : [a, b] R cu f , g derivabile cu derivatele continue, atunci are loc formula de integrare prin părţi:

.

Teoremă:Fie f:[-a,a] R,a¿0¿ o funcţie continuă.Atunci

1)

∫−a

a

f ( x )dx=2∫0

a

f ( x )dx ,dacă f este funcţie pară. 2)

∫−a

a

f ( x )dx=0,dacă f este funcţie impară.

Teoremă:Fie f:R R o funcţie continuă de perioadă

T ¿0⇒ ∫a

a+T

f ( x )dx=∫0

T

f ( x )dx ,∀ a∈ R ¿

Aria unui domeniu din plan1. Aria mulţimii din plan D R2 mărginită de dreptele x = a, x = b, y = 0 şi graficul funcţiei f : [a, b] R pozitivă şi continuă se calculează prin

formula: .

2. În cazul f : [a, b] R continuă şi de semn oarecare, avem: .3. Aria mulţimii din plan mărginită de dreptele x = a, x = b şi graficele funcţiilor

f , g : [a, b] R continue este calculată prin formula: .

Volumul unui corp de rotaţie Fie f : [a, b] R o funcţie continuă, atunci corpul Cf din spaţiu obţinut prin rotirea graficului lui f , Gf, în jurul

axei Ox, are volumul calculat prin formula: .V(Cf )=

π∫a

b

f 2 ( x )dx