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UNIVERSITA DEGLI STUDI DEL SANNIO

DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA

Teorie Quantistiche per la Conduzione Elettricanei Semiconduttori e Superconduttori

TESI DI LAUREAIN

INGEGNERIA ENERGETICA

DIFrancesco Girardi

864000278

5 Ottobre 2017

RELATOREprof. Arturo Stabile

Anno Accademico

2016 - 2017

Alla mia famiglia

Indice

Abstract iii

Introduzione v

1 La Meccanica Quantistica 11.1 Crisi della fisica classica e il sorgere della meccanica quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Principi della Meccanica Quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Propagazione ondosa-pacchetti d’onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 velocita di fase e velocita di gruppo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Interpretazione di Ψ e |Ψ|2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6 Particella libera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.7 Operatori e grandezze fisiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.7.1 Operatore quantita di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.7.2 Operatore energia ed Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.7.3 Commutatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.8 Stati stazionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Soluzioni esatte dell’equazione di Schrodinger 172.1 Buca di potenziale infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Buca di potenziale rettangolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Effetto Tunnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 Modello di Sommerfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5 Potenziale periodico e teorema di Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6 Modello di Kronig e Penney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Semiconduttori 333.1 Studio microscopico dei semiconduttori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.1 Semiconduttori intrinseci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.2 Semiconduttori estrinseci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2 Giunzione p-n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3 Giunzione p-n come elemento circuitale: il diodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4 Superconduttivita 494.1 Cenni storici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2 Proprieta macroscopiche dei superconduttori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2.1 Parametri critici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2.2 Superconduttori del II tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

i

ii INDICE

4.3 Analisi termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.4 Modello di London . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.5 Teoria BCS cenni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5 Misura della caratteristica tensione-corrente di un diodo 635.1 Descrizione del diodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.2 Attivita di laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.3 Misure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Conclusioni 67

Appendice A: Elettromagnetismo di Maxwell 69

Ringraziamenti 71

Abstract

Lo scopo del presente lavoro di tesi e lo studio analitico della fisica quantistica indispensabile per la comprensio-ne a livello microscopico dei fenomeni di conduzione elettrica. Tale lavoro si giustifica nell’ottica di una futuraspecializzazione nel campo dell’ingegneria dell’energia elettrica e come un approfondimento delle conoscenzefisiche di base legate a tali fenomeni. La parte iniziale del lavoro ha coperto lo studio dei principi fondamentalidella meccanica quantistica con particolare riferimento all’equazione di Schrodinger e alle soluzioni dell’equa-zione in particolari configurazioni di potenziale. Si e passati, quindi, alla definizione dei modelli che spieganoil fenomeno conduttivo nei materiali. Nella parte centrale del lavoro abbiamo affrontato lo studio dei materialisemiconduttori giungendo alla definizione della caratteristica di una giunzione p-n. Tale risultato e stato verificatosperimentalmente con relative simulazioni e misure in laboratorio (presso il Dipartimento di Fisica - Universitadegli Studi di Salerno) dove abbiamo ricavato la caratteristica della giunzione per polarizzazione diretta e inversa.I risultati hanno confermato con buona approssimazione l’esattezza delle equazioni ricavate. Abbiamo affrontato,inoltre, lo studio dei superconduttori e, quindi, della superconduttivita analizzando il fenomeno termodinamica-mente e attraverso le equazioni di London. Tali equazioni estendono l’elettromagnetismo di Maxwell dando unainterpretazione classica degli effetti superconduttivi.

Francesco Girardi1

1e - mail address: [email protected]

iii

Introduzione

Lo studio dei fenomeni di conduzione elettrica nei solidi e la conseguente diffusione dell’energia elettrica harappresentato nei secoli la chiave di sviluppo della civilta umana. Le prime indagini risalgono, probabilmente,al filosofo Talete (600 a.C.) che studio le proprieta dell’ambra (ilectron). In eta moderna, grazie al contributodi numerosi scienziati, le conoscenze teoriche e le applicazioni pratiche sviluppate, insieme agli studi sulle ondeelettromagnetiche, hanno posto le basi della societa moderna.

Poiche durante lo svolgimento della prima fase del percorso universitario per ovvie e condivisibili ragioni diconfinamento temporale e di argomenti non e possibile spingersi, nella direzione della fisica di base, oltre l’elet-tromagnetismo di Maxwell (nella sua formulazione ”newtoniana”), il seguente lavoro di tesi si pone l’obbiettivodi dare una spiegazione microscopica dei fenomeni elettrici attraverso lo studio della meccanica quantistica, perun mio interesse personale e per una futura specializzazione nel campo dell’energia elettrica.

Nel primo capitolo abbiamo analizzato i concetti di base della meccanica quantistica ripercorrendo brevementequali sono stati gli input logici e i fenomeni non spiegabili classicamente che hanno portato alla nascita della nuovateoria. Infatti indagando sempre di piu, a livello microscopico, il comportamento della materia ci si rese contoche la teoria classica non era in grado di spiegare i fenomeni su quella scala. Le conclusioni a cui giunsero gliscienziati contraddicevano le conoscenze acquisite mettendo in discussione il determinismo classico. Abbiamostudiato, nello specifico, la meccanica ondulatoria di Schrodinger e come l’equazione da lui dedotta fornisce tuttele informazioni possibili sul sistema quantistico.

Nel secondo capitolo abbiamo risolto l’equazione di Schrodinger in particolari configurazioni di potenzialefino ad arrivare al modello di Kronig e Penney. In questo modello l’interazione tra gli elettroni e gli ioni delreticolo viene schematizzata attraverso una serie di buche di potenziale e l’equazione di Schrodinger, in questaconfigurazione, ammette soluzione solo per valori discreti di energia; cio significa che gli stati di energia occupatidalle particelle non variano con continuita ma ci saranno bande di energia permesse e bande di energia proibite.Questa importante conclusione e alla base della teoria della conduzione elettronica dei solidi e la distribuzionedelle bande rappresenta il discriminante tra i materiali conduttori e isolanti. Abbiamo, inoltre, analizzato il modellodi Sommerfeld che applica al modello classico di Drude l’equazione di Schrodinger e i postulati della meccanicaquantistica.

Nel capitolo 3 abbiamo analizzato le proprieta dei semiconduttori alla luce dei risultati ottenuti nel capitoloprecedente. Abbiamo mostrato come la dinamica degli elettroni e delle lacune influiscono sulle proprieta macro-scopiche del sistema, ovvero, resistenza, tensione e corrente e siamo giunti, teoricamente, alla definizione dellacaratteristica tensione-corrente in una giunzione p-n.

Nel capitolo 4 abbiamo affrontato i superconduttori e il fenomeno della superconduttivita che rappresenta unodei fenomeni elettricamente piu affascinanti. Abbiamo analizzato il fenomeno da un punto di vista termodinamicofacendo vedere come ”l’ordine” (entropia) che compete un superconduttore e maggiore rispetto ad un condut-tore normale. Abbiamo, inoltre, riportato il modello di London che da una spiegazione classica delle proprietaelettriche dei superconduttori.

v

vi Introduzione

Nel capitolo 5 abbiamo riportato l’esperienza effettuata in laboratorio, in cui abbiamo misurato sperimental-mente la caratteristica tensione-corrente in un diodo, dimostrando quindi che l’andamento teorico ricavato nelcapitolo 3 e in accordo con i risultati sperimentali.

Capitolo 1

La Meccanica Quantistica

In questo capitolo cercheremo di illustrare quali sono stati gli imput logici che hanno dato origine alla meccanicaquantistica, senza avere la pretesa di poter dare una panoramica di tutti gli aspetti sperimentali che hanno consen-tito il passaggio dalla teoria classica alla teoria quantistica. Successivamente analizzeremo i principi fondamentalidella teoria necessari per la definizione di un modello di conduzione elettronica nella materia.

1.1 Crisi della fisica classica e il sorgere della meccanica quantistica

Verso la fine del XIX secolo sembrava che la struttura concettuale della fisica fosse ormai completa. Ai sistemifisici di cui si vuole studiare l’evoluzione viene associato un certo numero di variabili dinamiche che possiedonotutte ad un certo istante un valore ben preciso. L’insieme dei valori di queste variabili definisce lo stato dinamicodel sistema, la cui evoluzione e completamente determinata se lo stato dinamico e noto ad un istante dato. L’evo-luzione delle variabili dinamiche di un sistema e governata da sistemi di equazioni differenziali del secondo ordinenel tempo. Si considerino, ad esempio, il caso della meccanica classica, le cui variabili dinamiche posizione ~q eimpulso ~p evolvono secondo le equazioni di Hamilton, e quello dell’elettromagnetismo classico, le cui variabilidinamiche campo elettrico ~E ed induzione magnetica ~B evolvono secondo le equazioni di Maxwell. Quindi lameccanica newtoniana da un lato e la teoria di Maxwell dall’altro parevano fornire la chiave di interpretazione ditutti i fenomeni, dal moto dei pianeti al comportamento delle cariche elettriche.

Solo alcuni fenomeni, apparentemente marginali, erano al di fuori del quadro interpretativo della fisica classi-ca, ma si pensava che anche questi trovassero prima o poi una interpretazione, tuttavia i fatti dimostrarono che lecose non stavano cosı. Con l’approssimarsi del 1900, man mano la conoscenza dei fenomeni microscopici aumen-tava, la teoria classica comincio ad incontrare difficolta e contraddizioni sempre crescenti, per superare le quali sirese necessario introdurre nuovi principi. La teoria costruita su questi principi si chiama meccanica quantistica erappresenta una teoria coerente con i fenomeni microscopici.

Senza entrare nel dettaglio dei processi e degli esperimenti che portarono alla nascita della teoria quantistica,uno dei filoni di ricerca che maggiormente contribuı al superamento della fisica classica fu quello relativo allapropagazione e all’emissione della luce. Gli studi sull’emissione della luce da parte di un corpo nero avevanoportato Max Plank nel 1900 a ipotizzare che gli atomi eccitati emettessero energia non in modo continuo maper quantita discrete, gettando cosı le basi della fisica quantistica. L’ipotesi di Plank permise inoltre nel 1905 adEinstein di interpretare un fenomeno classicamente inspiegabile: l’effetto fotoelettrico.

Un altro potente impulso all’affermazione della fisica quantistica nel microscopico venne dalle teorie sullastruttura dell’atomo, infatti la costruzione di un valido modello atomico confermo l’inadeguatezza, su questascala, della fisica classica e la necessita di interpretare le cose dal punto di vista quantistico. Inoltre, i nuovi modelli

1

2 Capitolo 1 La Meccanica Quantistica

interpretativi permisero di spiegare il dualismo tra particella e onda. Tale analogia, impensabile alla fine dell’800,venne fuori man mano che si studiava sempre di piu il comportamento della materia a livello microscopico.

Rispetto alla fisica classica un’altra rilevante novita e costituita dal principio di indeterminazione di Hei-senberg, che scaturı come semplice conseguenza degli aspetti ondulatori della materia. Tale principio affermal’impossibilita di determinare con precisione la posizione e lo stato dinamico di una particella. Questo indetermi-nazione non ha nulla a che fare con gli errori di misura della fisica classica, esso e indipendente dalla precisionedegli strumenti di misura e rappresenta un principio della nuova teoria. Con questa ipotesi cade l’intero determi-nismo della fisica classica, in quanto non e possibile conoscere esattamente lo stato iniziale di una particella, percui neanche quello finale.

Alla luce di quanto detto, per costruire una teoria che spiegasse in dettaglio il comportamento della materia alivello microscopico, era necessario un salto qualitativo nella comprensione della natura dell’onda associata alleparticelle dotate di massa e l’individuazione di una equazione differenziale che fornisse la dipendenza spazio-temporale dell’onda stessa. Questo traguardo fu raggiunto indipendentemente nel 1925 da Erwin Schrodingere Werner Heisenberg. La teoria basata sull’equazione di Schrodinger e detta meccanica ondulatoria proprioperche permette di ricavare l’espressione dell’onda associata alla particella, detta funzione d’onda, mentre lateoria elaborata da Heisenberg si basa su un formalismo matematico matriciale. Ben presto si dimmostro che ledue teorie, benche matematicamente diverse, erano assolutamente equivalenti dal punto di vista fisico, in quantoconducevano agli stessi risultati.

1.2 Principi della Meccanica Quantistica

Generalizzando quanto detto precedentemente, possiamo dire che i capisaldi su cui si fonda la meccanica quan-tistica sono il principio di indeterminazione di Heisenberg e il dualismo onda-corpuscolo. Infatti, la meccanicaondulatoria di Schrodinger si basa sui lavori di de Broglie sulle onde di materia. Egli ipotizzo, nel 1925, che lastessa corrispondenza che esiste tra un onda luminosa e un quanto di luce deve esistere tra un onda di materia euna particella. Quindi se la legge di Planck E = h ν = ~ω mette in relazione l’energia E con la frequenza ν,dove h e la costante di Plank, ~ = h/2π e ω e la pulsazione, la relazione di de Broglie ~p = ~~k =⇒ |~p| = h/λ

mette in relazione l’impulso ~p di una particella con la lunghezza d’onda λ e con il vettore d’onda ~k.

Ad ogni particella libera di energia E e impulso ~p bisogna associare un’onda monocromatica di frequenza ν evettore d’onda ~k secondo le relazioni espresse precedentemente.

Passiamo ora ai punti fondamentali della meccanica quantistica:

1. al concetto di traiettoria bisogna associare quello di stato dipendente dal tempo. Lo stato quantistico di uncorpuscolo e caratterizzato da una funzione d’onda Ψ(~r, t) che contiene tutte le informazioni che e possibileottenere sul corpuscolo.

2. La funzione d’onda Ψ(~r, t) e interpretata come una ampiezza di probabilita di presenza. Il modulo quadrodella funzione d’onda Ψ∗(~r, t) Ψ(~r, t) = |Ψ(~r, t)|2 rappresenta la densita di probabilita. Pertanto la pro-babilita dP(~r, t) di trovare una particella all’istante di tempo t in un volume infinitesimo d3~r centrato incorrispondenza del punto individuato dal vettore posizione ~r e data dP(~r, t) = |Ψ(~r, t)|2d3~r. Ovviamen-te la probabilita totale P deve essere pari ad 1 in tutto lo spazio V in cui si richiede che debba esserci laparticella

P =

∫VdP(~r, t) =

∫V|Ψ(~r, t)|2d3~r = 1 (1.1)

1.3 Propagazione ondosa-pacchetti d’onda 3

3. Il principio di sovrapposizione si applica alla misura di una qualunque grandezza fisica A

• il risultato trovato appartiene necessariamente all’insieme dei cosiddetti autovalori di A, cioe i possibilivalori della misura di A

• a ciascun autovalore di A corrisponde un autostato Ψa(~r, t). Se Ψ(~r, t0) = Ψa(~r) la misura chepossiamo compiere all’istante t0 deve dare necessariamente l’autovalore a.

• Se la funzione d’onda e arbitraria, la probabilita Pa di trovare, effettuando la misura al tempo t0,l’autovalore a, si ottiene decomponendo lo stato quantistico Ψ(~r, t0) rispetto alle autofunzioni Ψa(~r):

Ψ(~r, t0) =∑a

CaΨa(~r) ⇒ Pa =|Ca|2∑a |Ca|2

(1.2)

4. Se la misura per la grandezza A da il valore a, la funzione d’onda subito dopo la misura deve essereΨ(~r, t0) = Ψa(~r)

5. L’equazione che descrive l’evoluzione della funzione Ψ(~r, t) e l’equazione di Schrodinger. Quando unaparticella di massa me soggetta ad un potenziale V (~r, t), l’equazione si scrive:

− ~2

2m4Ψ(~r, t) + V (~r, t) Ψ(~r, t) = i~

∂Ψ(~r, t)

∂t(1.3)

Come si puo notare l’equazione si Schrodinger e un equazione differenziale lineare del secondo ordine allederivate parziali e Ψ, in generale, e una grandezza complessa. Tale equazione, nella meccanica quantistica,gioca lo stesso ruolo del secondo principio della dinamica ~F = m d2~r

dt all’interno dello schema dellameccanica classica.

Noto il potenziale delle forze applicate al punto materiale e le condizioni al contorno, consente di calcolarela funzione d’onda che ci da accesso a tutte le informazioni possibili sul sistema quantistico. L’equazione diSchrodinger nn puo essere dedotta in modo rigoroso in base ad un ragionamento fisico, in altri termini si puodire che rappresenta un principio della fisica come, appunto, il secondo principio della dinamica di Newton.La correttezza dell’equazione si basa sulla circostanza che i comportamenti da essa dedotti risultano esserein perfetto accordo con gli esperimenti.

1.3 Propagazione ondosa-pacchetti d’onda

Le funzioni d’onda appartengono allo spazio delle funzioni a quadrato sommabile L2 che e una particolare sotto-classe dei generici spazi Lp, spazio funzionale di Hilbert. L’ insieme delle funzioni d’onda sono un sottospazio diL2.

Poiche L2 e uno spazio vettoriale e possibile rappresentare una generica Ψ(~r, t) come combinazione lineare(infinito dimensionale) delle cosiddette onde piane Ψ~k(~r, t) = Aei(

~k·~r−ωt). A tal scopo bisogna introdurre unadefinizione di prodotto scalare che estenda il concetto di prodotto scalare negli spazi vettoriali euclidei agli spazifunzionali L2. Nello spazio funzionale viene definito prodotto scalare funzionale la quantita

(f, g) =

∫ +∞

−∞f∗(x) g(x) dx (1.4)

Si nota che tale prodotto puo essere interpretato come la trasformata di Fourier di g(x). Infatti introdotta lafunzione eikx√

2πcon k ε< si ottiene

(eikx√

2π, g(x)

)=

1√2π

∫ +∞

−∞g(x) e−ikx dx

.= g(k) (1.5)

dove g(k) non sarebbe altro che la definizione di trasformata di Fourier. Eseguendo il prodotto scalare tra dueonde piane diverse possiamo mostrare come queste sono ortornamali. Siano Ψk(x) = eikx√

2πe Ψq(x) = eiqx√

2π

(Ψk(x), Ψq(x)) =1

2π

∫ +∞

−∞ei(q−k)x = δ(q − k) (1.6)

dove δ(q − k) e la delta di Dirac le cui proprieta sono definite come segue

δ(q − k) = 0 ∀ q 6= k

(1.7)∫ ∞−∞

dk f(k) δ(q − k) = f(q)

La grandezza fisica Ψ(~r, t) = Aei(~k·~r−ωt) rappresenta un’onda piana che viaggia nella direzione individuata

dal vettore d’onda ~k con velocita v = ω/k costante in un mezzo omogeneo. In generale la velocita di fasedi propagazione di un onda in mezzo dispersivo e funzione del vettore d’onda ~k. La relazione che fornisce ladipendenza funzionale di ω = ω(~k) e detta relazione di dispersione. La conoscenza della relazione di dispersonepermette di conoscere l’ espressione per l’onda come funzione del tempo se e nota la forma dell’onda in qualcheistante particolare.

Siano date la relazione di dispersione ω(~k) e la forma d’onda a Ψ(~r, 0) all’istante di tempo t = 0. Mediantela trasformata di Fourier, otteniamo:

Ψ(~r, 0) =1√

(2π)3

∫d3~k g(~k) ei

~k·~r (1.8)

La funzione Ψ(~r, t) e ottenuta moltiplicando ciascuna onda piana per il corrispondente fattore dipendente daltempo e−iω(k)t

Ψ(~r, t) =1√

(2π)3

∫d3~k g(~k) ei(

~k·~r−ω(k)t) (1.9)

Facciamo un esempio:

f(x) =

h − a 6 x 6 a

0 x < a, x > a(1.10)

1.4 velocita di fase e velocita di gruppo 5

Figura 1.1: trasformata di Fourier della funzione f(x)

g(k) =1√2π

∫ +∞

−∞dx f(x) e−ikx =

h√2π

∫ a

−adx e−ikx dx = h

√2

π

sin ka

k(1.11)

1.4 velocita di fase e velocita di gruppo

Prima di passare all’analisi dell’equazione di Schrodinger bisogna soffermarsi sul concetto di onda monocroma-tica e treno d’onda. Per una trattazione esauriente delle proprieta di queste particolari onde bisogna introdurre iconcetti di velocita di fase e velocita di gruppo. Quando si studia un’onda confinata in un dato volume, un ottimarappresentazione di questa e una sovrapposizione, idealmente infinita, di onde piane. Tali onde piane differisconoper la loro frequenza, quindi, per il vettore d’onda ~k.

Sia Ψ(~r, t) = Aei(~k·~r−ωt) un onda piana, il cui vettore d’onda ~k e la pulsazione ω sono legati da ω(~k) =

2 |~k|22m . Vedremo che tale Ψ e soluzione dell’equazione di Schrodinger per una particella libera ma e anche

soluzione una combinazione lineare di onde piane del tipo Ψ con vettore d’onda |~k| compreso in un intervallo(k0 −∆k, k0 + ∆k). Se la sovrapposizione e continua possiamo sostituire la sommatoria con l’integrale:

Ψ(~r, t) =

∫ k0+∆k

k0−∆k

d3~k X (|~k|) ei(~k·~r−ωt) (1.12)

Il coefficiente X (|~k|) rappresenta il peso di partecipazione dell’onda piana con il vettore d’onda ~k ed e intuibile,da quanto detto precedentemente, che rappresenta la trasformata di Fourier della Ψ(~r, t) e quindi l’ andamento


Figura 1.2: treno d’onda nello spazio reale x di ampiezza ∆k

dei vettori d’onda. E intuitivo dunque che nel caso in cui Ψ(~r, t) e un onda piana la sua rappresentazione comecombinazione lineare di onde piane rappresenta un solo termine.

Il treno d’onda riportato in figura 1.2 da l’idea del confinamento delle onde in un intervallo ∆x. La sua formaanalitica non e semplice, ma esprimendola come combinazione il problema si risolve enormemente. Poiche ognicomponente si propaga con frequenza diversa, il treno d’onda si sparpagliera ed il confinamento interessera unospazio maggiore. A questo punto ci sara bisogno di dare informazioni sulla velocita di propagazione del pacchettointero (velocita di gruppo ) e del fronte d’onda (velocita di fase). Nel caso dell’ onda piana, essendoci una solafrequenza, le due velocita coincideranno.

1.5 Interpretazione di Ψ e |Ψ|2

Consideriamo l’ equazione di Schrodinger nel caso generale:

− ~2

2m∆Ψ(~r, t) + V (~r, t) Ψ(~r, t) = i~

∂Ψ(~r, t)

∂t(1.13)

moltiplichiamo l’equazione per Ψ∗(~r, t)

− ~2

2mΨ∗(~r, t) ∆Ψ(~r, t) + Ψ∗(~r, t)V (~r, t) Ψ(~r, t) = i~ Ψ∗(~r, t)

∂Ψ(~r, t)

∂t(1.14)

Per questioni di comodita omettiamo le dipendenze delle funzioni d’onda da ~r e t. Considerando anche l’equazioneconiugata moltiplicata per Ψ abbiamo le seguenti due equazioni

− ~2

2mΨ∗∆Ψ + Ψ∗ V Ψ = i~Ψ ∗ ∂Ψ

∂t(1.15)

− ~2

2mΨ∆Ψ∗ + ΨV Ψ∗ = −i~ Ψ

∂Ψ∗

∂t(1.16)

Sottraendo membro a membro la 1.16 dalla 1.15, abbiamo

− ~2

2m(Ψ∗∆Ψ−Ψ∆Ψ∗) = i~ (Ψ∗

∂Ψ

∂t+ Ψ

∂Ψ∗

∂t) (1.17)

1.6 Particella libera 7

e sfruttando la relazione differenziale Ψ∗∆Ψ−Ψ∆Ψ∗ = ~∇ · (Ψ∗ ~∇Ψ−Ψ ~∇Ψ∗) otteniamo

~∇ ·[−i ~2

2m(Ψ∗ ~∇Ψ−Ψ ~∇Ψ∗)

]+∂ (Ψ∗Ψ)

∂t= 0 (1.18)

Definite le grandezze ~J = −i ~2

2m (Ψ∗ ~∇Ψ−Ψ ~∇Ψ∗) e ρ = Ψ Ψ∗ l’equazione (1.18) diviene

~∇ · ~J +∂ρ

∂t= 0 (1.19)

che rappresenta un’equazione di continuita.

Tale relazione comporta una ”continuita” spaziale e temporale per la funzione d’onda. L’interpretazione,simbolicamente, e la stessa della carica elettrica o di altri sistemi continui. Quindi ~J e un vettore densita di”corrente” mentre la grandezza ρ deve essere una densita. Sia dσ un elemento di superficie individuato dal vettoreposizione ~r e n il versore normale alla superficie la grandezza ~J(~r, t) · n dσ deve rappresentare una grandezzafisica connessa all’attraversamento dell’elemento di superficie dσ nell’intervallo di tempo dt. A tal riguardoconsideriamo l’integrazione su un volume finito dell’equazione (1.19)

∫V

(~∇ · ~J) dV +∫V∂ρ∂t dV = 0 ⇒

∫S~J · d~S +

∫Vρ dV = 0 (1.20)

dove S e la superficie che racchiude il volume V . Supponendo che Ψ e ~∇Ψ vadano a zero abbastanza rapidamenteper |~r| → ∞ aumentando il volume V l’integrale di volume si annulla mentre il secondo resta convergente. Quindi

∂

∂t

∫V

ρ dV = 0 ⇒∫V

ρ dV = costante (1.21)

Si deduce quindi che ρ = Ψ Ψ∗ = |Ψ|2 deve essere indipendente dal tempo nel volume V . La grandezza ρ dettadensita di probabilita per la presenza della particella deve ovviamente soddisfare le condizioni di normalizzazione

∫V

dV Ψ∗Ψ = 1 (1.22)

1.6 Particella libera

Una particella e libera di muoversi se le forze che agiscono su di essa sono nulle, quindi se il potenziale V (~r, t) =

0. Per semplicita di calcolo supponiamo che la particella si muova solo lungo l’asse x, quindi: Ψ(~r, t) = Ψ(x, t).L’equazione (1.13) si riscrive come segue

− ~2m

∂2Ψ(x, t)

∂x2= i

∂Ψ(x, t)

∂t(1.23)

Per la soluzione dell’equazione differenziale utilizziamo il metodo delle separazione delle variabili. Supponiamoche la funzione d’onda sia esprimibile come Ψ(x, t) = φ(x) γ(t). L’equazione (1.23) diviene

− ~2m

γ(t)∂2φ(x)

∂x2= i φ(x)

∂γ(t)

∂t(1.24)

Supponendo che φγ 6= 0 (ovviamente deve essere cosı) possiamo dividere la (1.24) per φγ

1

φ(x)

∂2φ(x)

∂x2= −2mi

~1

γ(t)

∂γ(t)

∂t(1.25)

ottenendo un primo membro che dipende solo dalla coordinata spaziale x ed un secondo che dipende solo dallacoordinata temporale t. Poiche l’equazione deve essere valida qualunque sia il valore delle coordinate x e tentrambi i membri devono essere uguali ad una costante. Sia −k2 < 0 tale costante

1

φ(x)∂2φ(x)∂t2 = −k2

− 2mi~

1γ(t)

∂γ(t)∂t = −k2

→

φ(x) = Aeikx +B e−ikx

γ(t) = C e~k22mi t

(1.26)

dove A, B e C sono arbitrarie costanti d’integrazione. La soluzione per Ψ(x, t) puo essere espressa

Ψ(x, t) =

[Aeikx +B e−ikx

]C e−i

~k22m t (1.27)

dove si evince che la costante C puo essere riassorbita all’interno delle altre due

Ψ(x, t) = Aei(kx−~k22m t) +B e−i(kx+ ~k2

2m t) (1.28)

Introducendo la grandezza ω = ~k22m (che ha le dimensioni di una pulsazione) otteniamo

Ψ(x, t) = Aei(kx−ωt) +B e−i(kx+ωt) (1.29)

Il primo termine rappresenta un’onda piana progressiva, il secondo un’onda piana regressiva. Quindi la soluzionedell’equazione di Schrodinger (1.13) calcolata per V (~r, t) = 0 (particella libera) e

Ψ(x, t) = Aei(kx−ωt) (1.30)

che rappresenta un’onda che si muove di moto rettilineo da sinistra verso destra.

Precedentemente abbiamo definito la grandezza ρ = ΨΨ∗ = |Ψ|2. Nel caso di una particella libera ρ vale

ρ = Aei(kx−ωt)A∗ e−i(kx−ωt) = AA∗ = |A|2 (1.31)

Il modulo quadro della funzione d’onda, per una particella libera, e costante. Cio implica che da +∞ a −∞ inogni punto e equiprobabile trovare la particella. Osserviamo inoltre, che in questo caso l’impulso e noto perche

1.7 Operatori e grandezze fisiche 9

e univocamente definita la lunghezza d’onda p = h/λ, dunque possiamo conoscere esattamente l’ energia dellaparticella ma non abbiamo nessuna informazione riguardo la posizione.

Il vettore densita di corrente di probabilita ~J diviene

~J = Jx x = −i ~2

2m

[Ψ∗(x, t)

∂Ψ(x, t)

∂x−Ψ

∂Ψ∗(x, t)

∂x

]x =

~2 k

m|A|2 x (1.32)

che e indipendente dallo spazio e dal tempo. Calcolando il flusso del vettore ~J attraverso una superficie chiusaotterremo il valore nullo quindi la densita di probabilita si conserva.

Nel caso provassimo a confinare la particella (particella non libera) dovremmo introdurre un potenziale V (x, t)

e la soluzione non sarebbe piu un’onda piana. Tuttavia utilizzando lo sviluppo di Fourier potremmo riscrivere lasoluzione come sovrapposizione di onde piane. Il risultato di tutto sarebbe quindi una particella confinata ma unaserie di valori della quantita di moto conducendo ad un’indeterminazione sul valore della quantita di moto. Questoe proprio il principio di indeterminazione di Heisenberg.

1.7 Operatori e grandezze fisiche

In meccanica quantistica, a causa dell’interpretazione statistica dei fenomeni, ci si riferisce ai valori medi dellegrandezze che sono di interesse. Se, ad esempio vogliamo calcolare il raggio vettore ~r, ovvero la posizione dellaparticella, la densita di probabilita per dati valori di ~r si esprime mediante la funzione di stato Ψ(~r, t) secondo larelazione

< ~r >=

∫d3~r ~r ρ(~r) =

∫d3~rΨ∗(~r, t)~rΨ(~r, t) (1.33)

dove < ~r > rappresenta il valore medio della grandezza posizione. Nello stesso modo si calcola la media di unaqualunque funzione del raggio vettore:

< f(~r) >=

∫d3~r f(~r) ρ(~r) =

∫d3~rΨ∗(~r, t) f(~r) Ψ(~r, t) (1.34)

Questa relazione e valida per il raggio vettore e le funzioni che dipendono dal raggio vettore. Le cose cambianoquando andiamo a calcolare altre grandezze fisiche come ad esempio la quantita di moto ~p o l’energia cinetica Tassociati alla particella. In questo caso si puo dimostrare che il valore medio della grandezza quantita di moto, oanalogamente dell’energia, e espresso dalla relazione

< ~p > =

∫d3~rΨ∗(~r, t) pΨ(~r, t) (1.35)

dove la grandezza p e definita: operatore quantita di moto. Analogamente vale la relazione

f(< ~p >) =

∫d3~rΨ∗(~r, t) f(p) Ψ(~r, t) (1.36)

In generale, possiamo dire che F e l’operatore corrispondente alla grandezza fisica F e dal punto di vista matema-tico l’operatore F applicato alla funzione Ψ(~r, t) genera il valore fisicamente misurabile connesso all’operatore.Matematicamente abbiamo un’equazione agli autovalori

F Ψ(~r, t) = aΨ(~r, t) (1.37)

dove la funzione d’onda Ψ rappresenta l’autofunzione e a l’autovalore.Tutte gli operatori che rappresentano grandezze fisiche devono soddisfare le seguenti proprieta matematiche

F (bΨ) = bFΨ F (Ψ1 + Ψ2) = FΨ1 + FΨ2 (1.38)

affinche il principio di sovrapposizione degli stati sia garantito. Gli operatori che soddisfano queste condizioni perogni Ψ appartengono allo spazio delle funzioni preso in esame e si chiamano operatori lineari.

Se F esprime l’operatore connesso ad una grandezza fisica, l’autovalore deve essere necessariamente reale(deve essere sperimentalmente misurabile). In formule

< F >=< F >∗ ⇒∫

d3~rΨ∗(~r, t) F Ψ(~r, t) =

∫d3~r [F Ψ(~r, t)]∗Ψ(~r, t) (1.39)

Un operatore che soddisfa questa condizione e definito Hermitiano o anticoniugato. In generale la condizione diHermitianita puo essere cosı espressa:

(Ψ1, FΨ2) = (FΨ1, Ψ2) (1.40)

Dunque in meccanica quantistica ad ogni grandezza fisica osservabile si fa corrispondere un operatore lineareed hermitiano affinche sia verificato il principio di sovrapposizione e le medie siano reali.

Calcoliamo ora gli operatori delle grandezze fisiche di maggior interesse ovvero: quantita, energia, Hamilto-niano.

1.7.1 Operatore quantita di moto

Consideriamo una particella libera rappresentata dalla funzione d’onda (1.30) la cui quantita di moto e data dal-l’ipotesi di De Broglie p = h/λ = ~k. Partendo dall’impostazione del problema agli autovalori l’operatorequantita di moto p deve soddisfare l’equazione

pΨ(x, t) = ~kΨ(x, t) (1.41)

L’operatore p applicato alla funzione Ψ deve restituire l’autovalore ~k. Sostituiamo nell’equazione 1.41 l’espres-sione di Ψ e otteniamo

p A ei(kx−ωt) = ~k A ei(kx−ωt) → −i~ ∂

∂xΨ(x, t) = ~ kΨ(x, t) (1.42)

Abbiamo ottenuto la rappresentazione operatoriale della quantita di moto p = −i~ ∂∂x . Nel caso tridimensionale

cioe quando la funzione d’onda dipende da ~r otteniamo:


~p = −i~(∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

)= −i~ ~∇ (1.43)

1.7.2 Operatore energia ed Hamiltoniano

Consideriamo ora l’energia associata alla particella, che dalla legge di Plank risulta essere: E = h ν = ~ω.Definiamo l’operatore energia E tale che

EΨ(x, t) = ~ωΦ(x, t) (1.44)

e considerando lo stato di particella libera (1.30) abbiamo

E A ei(kx−ωt) = ~ωAei(kx−ωt) → i~∂

∂tΨ(x, t) = ~ωΨ(x, t) (1.45)

Abbiamo cosi ottenuto E = i~ ∂∂t .

Infine consideriamo l’Hamiltoniana H = T + V dove T e l’energia cinetica e V l’energia potenziale. Espri-mendo l’energia cinetica in termini della quantita di moto ~p possiamo ottenere facilmente l’equivalente operatoreHamiltoniano

H = T + V =~p2

2m+ V → H =

p · p2m

+ V = − ~2

2m∇2 + V (1.46)

Applichiamo l’operatore Hamiltoniano alla funzione Ψ otteniamo l’equazione (1.13) riscritta in termini dell’ope-ratore hamiltoniano

H Ψ(~r, t) = i~∂Ψ(~r, t)

∂t(1.47)

1.7.3 Commutatore

Abbiamo visto, fin ora, che in meccanica quantistica le grandezze fisiche osservabili (posizione, quantita di moto,energia, momento angolare, ecc) non sono rappresentate da semplici funzioni, come in meccanica classica, masono rappresentate da operatori.

~r −→ ~r

~p −→ −i~~∇

~L = ~r × ~p −→ −i~~r × ~∇

E −→ i~ ∂∂t

H −→ − ~2

2m∇2 + V

(1.48)


Bisogna notare, pero che gli operatori non sono, in generale, commutativi. Ad esempio, se nella fisica classicaprendiamo in considerazione il prodotto fra posizione x e quantita di moto p abbiamo: xp− px = 0

In meccanica quantistica x px − px x 6= 0. Infatti, facendo agire gli operatori sulla funzione Ψ(x, t) esostituendo al posto dell’impulso il suo operatore, otteniamo:

x px Ψ(x, t) = x (−i~ ∂∂x )Ψ(x, t) = −i~x∂Ψ(x, t)

∂x

px xΨ(x, t) = −i~ ∂∂x (xΨ(x, t)) = −i~Ψ(x, t)− i~x∂Ψ(x, t)

∂x

(1.49)

Si osserva sostanzialmente che nel primo termine abbiamo solo la derivata della funzione Ψ, mentre nel secondotermine abbiamo la derivata di un prodotto. Di conseguenza il risultato sara:

x px Ψ(x, t)− px xΨ(x, t) = (x px − px x )Ψ(x, t) = i~Ψ(r, t) (1.50)

Definiamo commutatore:

[ x, px ] = xpx − pxx (1.51)

[x, px] Ψ(x, t) = i~Ψ(x, t), siccome quanto scritto deve essere vero per qualsiasi funzione d’onda Ψ(r, t), nelcaso tridimensionale abbiamo:

[ ~r, ~p ] = [~r,−i~~∇ ] = i~ (1.52)

Prima di continuare e necessario soffermarci sulle proprieta degli operatori e del commutatore

1. moltiplicazione di un operatore per una costante: se A e un operatore e c e una costante, l’operatore cA edefinito da

(cA)Ψ = c(AΨ) = A(cΨ) (1.53)

2. somma di due operatori: se A e B sono due operatori, l’ operatore C = A+ B e definito da

CΨ = AΨ + BΨ (1.54)

3. prodotto tra due operatori: se A e B sono due operatori, l’ operatore C = AB e definito da

CΨ = ABΨ = A(BΨ) (1.55)

Come detto precedentemente il prodotto di due operatori non e commutativo: il risultato dell’azione su unastessa funzione del prodotto AB e in generale diverso da quello del prodotto BA.

Per quanto riguarda il commutatore, ci sono alcune proprieta la cui dimostrazione segue immediatamente dalladefinizione (1.51), che saranno utilizzate in seguito per dimostrare il principio di indeterminazione:

1. [ A, A ] = 0

2. [ A, B ] = −[ B, A ]

3. [ c, A ] = 0 se c = costante

4. [ A, BC ] = B[A, C] + [A, B]C ; [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B

Mostriamo ora che, in generale, la conseguenza delle relazioni di commutazione tra gli operatori corrisponden-ti alle variabili dinamiche, permette di definire la disuguaglianza che devono soddisfare le deviazioni quantistichemedie. Siano A e B due operatori hermitiani che soddisfano la relazione di commutazione:

[ A, B] = iC (1.56)

con C operatore hermitiano. Costruiamo le medie di A e B:

< A >=

∫d3~r Ψ∗(~r, t) A Ψ(~r, t) (1.57)

=

∫d3~r Ψ∗(~r, t) B Ψ(~r, t) (1.58)

Introduciamo gli operatori di scarto ∆A e ∆B

∆A = A− < A > , ∆B = B− (1.59)

Il commutatore tra gli operatori di scarto sara:

[ ∆A, ∆B ] = [ A− < A > , B− ] = [A , B− ]− [< A > , B− ] =

= [ A, B ]− [A, ]− [< A >, B] + [< A >,] = [A, B]

quindi

⇒ [∆A, ∆B] = [A, B] = iC (1.60)

Valutiamo ora il seguente integrale

I(α) =

∫d3~r |(α∆A− i∆B)Ψ|2 (1.61)

al variare del parametro reale α. Poiche I(α) e l’integrale di una funzione definita non negativa risulta evidenteche questo non puo assumere valori negativi

I(α) ≥ 0 ∀α ∈ < (1.62)

Quindi

I(α) =

∫d3~r Ψ∗(α∆A− i∆BΨ) (α∆A+ i∆BΨ) Ψ =

=

∫d3~r Ψ∗(α2∆A

2− iα∆A ∆B + iα∆B ∆A+ ∆B

2)Ψ =

=

∫d3~r Ψ∗(α2∆A

2− iα[∆A, ∆B] + ∆B

2) Ψ = (1.63)

=

∫d3~r Ψ∗(α2∆A

2+ αC + ∆B

2)Ψ =

= α2 < ∆A2> +α < C > + < ∆B

2>

Affinche sia valida la condizione (1.62) deve essere soddisfatta la disuguaglianza

< ∆A2>< ∆B

2> ≥ 1

4< C >2 (1.64)

Nel caso in cui A = x e B = px , (il commutatore vale [x, px] = i~) otteniamo il principio di indetermina-

zione di Heisenberg:

< ∆x >2< ∆px >2 ≥ ~2

4(1.65)

Cio che abbiamo detto fin ora si puo riassumere dicendo che in meccanica quantistica, se due osservabili sonorappresentati da due operatori che non commutano tra di loro, come ad esempio posizione e quantita di moto,non possono avere due valori simultaneamente determinati; se calcolo il commutatore di questi due osservabili[A, B], vale in generale una relazione di indeterminazione. Questo perche se due operatori commutano ammettonolo stesso set di autofunzioni, se non commutano non ammettono le stesso set di autofunzioni cioe, non sonosimultaneamente misurabili. Quindi il principio di indeterminazione di Heisenberg non e altro che la formulazionedi una non commutazione tra gli operatori di quantita di moto e posizione.

1.8 Stati stazionari

Fino a questo punto non abbiamo mai commentato la dipendenza della funzione d’onda, dei valori valori medidelle grandezze fisiche e del potenziale nell’ equazione di Schrodinger dalla variabile tempo. Infatti abbiamosempre considerato la dipendenza della Ψ dal tempo in maniera generica. Osservando l’ equazione di Schrodinger(1.3) si evince che la dipendenza temporale puo essere solo una riflessione della dipendenza del potenziale. Nellamaggior parte dei sistemi fisici possiamo considerare il potenziale indipendente dal tempo: V (~r, t) = V (~r). Intale circostanza il problema si risolve utilizando la tecnica della separazione delle variabili. Infatti supponendoΨ(~r, t) = ϕ(~r) Φ(t) l’equazione (1.3) diviene

− ~2

2m

∆ϕ(~r)

ϕ(~r)+ V (~r) = i~

∂t Φ(t)

Φ(t)(1.66)

Il primo membro dell’equazione (1.66) dipende solo dalla posizione, il secondo membro dipende solo dal tempo.Affiche questa equazione sia valida ∀~r e ∀t i due membri devono essere uguali ad una costante che chiamiamo E.L’equazione dunque diviene un sistema di due equazioni differenziali

1.8 Stati stazionari 15

− ~2

2m∆ϕ(~r)ϕ(~r) + V (~r) = E

i~ ∂t Φ(t)Φ(t) = E

→

(− ~2

2m ∆ + V (~r)

)ϕ(~r) = Eϕ(~r)

∂tΦ(t) = −iE~ Φ(t)

(1.67)

La seconda equazione e di facile ed immediata integrazione:

Φ(t) = Φ0 e−iE~ t (1.68)

dove Φ0 e una costante di integrazione. Al contrario la prima equazione dipende fortemente dalla scelta delpotenziale V (~r) e soltanto quando e noto e possibile risolverla e ricavare ϕ(~r). Notiamo che il termine − ~2

2m ∆ +

V (~r), ricordando l’equazione (1.46), rappresenta l’operatore Hamiltoniano. Si intuisce quindi che la costante E eproprio l’energia.

E da notare la similitudine con la meccanica classica: hamiltoniane non dipendenti dal tempo implicano laconservazione dell’energia. La dipendenza temporale presenta il rapporto E

~ che, coerentemente con la legge diPlank, rappresenta la pulsazione dell’onda associata alla particella di massa m.

Possiamo concludere che, nell’ipotesi di stati stazionari (V ( ~r, t) = V (~r)), la soluzione dell’equazione diSchrodinger e

Ψ(~r, t) = ϕ(~r)e−iE~ t = ϕ(~r)e−iωt (1.69)

dove la parte spaziale della funzione d’onda deve soddisfare l’equazione

− ~2

2m∆ϕ(~r) + V (~r)ϕ(~r) = Eϕ(~r) ⇒ Hϕ(~r) = Eϕ(~r) (1.70)

Cosı scritta l’equazione di Schrodinger e un’equazione agli autovalori, dove l’autovalore e l’ energia dello stato,l’autofunzione e ϕ(~r).

Gli stati stazionari godono di alcune proprieta:

1. La dipendenza dal tempo della funzione d’onda di uno stato stazionario e definita univocamente dal valoredell’energia in questo punto.

2. La densita di probabilita e la densita di corrente di probabilita in uno stato stazionario non dipendono daltempo. |Ψ(~r, t)|2 = |ϕ(~r)|2

3. In uno stato stazionario la media di ogni grandezza fisica, il cui corrispondente operatore non dipendeesplicitamente dal tempo, e costante

< F >=

∫d3~r Ψ∗ F Ψ = costante (1.71)

Capitolo 2

Soluzioni esatte dell’equazione diSchrodinger

Consideriamo, da questo punto in poi, alcuni casi in cui e possibile dare una soluzione esatta dell’equazione diSchrodinger. Analizzeremo vari tipi di buche di potenziale e gradini di potenziale, confrontando i risultati ottenuticon le previsioni della meccanica classica. Sicuramente una della vittorie piu schiaccianti della teoria quantisticaa scapito della teoria classica e il cosiddetto effetto tunnel, di cui parleremo piu avanti.

2.1 Buca di potenziale infinita

Mantenendoci nel caso unidimensionale, consideriamo una buca di potenziale infinita cioe le forze agenti sullaparticella corrispondono ad una energia potenziale V (x) data da:

V (x) = 0 per |x| < a

V (x) =∞ per |x| > a(2.1)

Il problema della definizione degli stati stazionari della particella di massam nel potenziale V (x) assegnato, si ri-duce alla ricerca degli autovalori dell’operatore H , cioe alla soluzione dell’equazione di Schrodinger indipendentedal tempo 1.70, con le condizioni al contorno che nei punti di discontinuita dove il potenziale diventa infinito, lafunzione d’onda si annulli. L’annullamento della funzione d’onda oltre le ”pareti” indica, fisicamente, l’impossi-bilita della particella di trovarsi al di fuori della buca, non potendo superare una barriera energetica infinita. Questacondizione ci fornisce le condizioni al contorno da imporre per risolvere l’equazione.

L’ equazione (1.70) nel caso unidimensionale considerato diventa

Figura 2.1: buca di potenziale a pareti infinite

17

18 Capitolo 2 Soluzioni esatte dell’equazione di Schrodinger

∂2xϕ(x) + 2mE

~2 ϕ(x) = 0 (2.2)

Possiamo dividere il nostro sistema in tre zone: x 6 −a , −a < x < a , x > a. Quindi abbiamo:

ϕ(x) = 0 per |x| > a

∂2xϕ(x) + k2ϕ(x) = 0 per |x| < a

(2.3)

dove abbiamo posto k2 = 2mE~2 . La soluzione del nostro problema e del tipo:

ϕ(x) = C1eikx + C2e

−ikx (2.4)

Per comodita di calcolo, effettuiamo una diversa scelta delle costanti arbitrarie di integrazione ponendo C1 =

12

(A+ B

i

); C2 = 1

2

(A− B

i

). Sostituendo le nuove costanti ed utilizzando le formule di Eulero, otteniamo:

ϕ(x) =1

2

(A+

B

i

)eikx +

1

2

(A− B

i

)e−ikx = A

eikx + e−ikx

2+B

eikx + e−ikx

2i

(2.5)

ϕ(x) = A cos(kx) +B sin(kx)

Le condizioni al contorno da imporre, come detto precedentemente, derivano dal considerare nulla la funzioned’onda al di fuori della buca. Quindi nel punto |x| = a deve esserci il raccordo tra il valore della funzione d’ondainternamente ed esternamente

ϕ(−a) = A cos(ka)−B sin(ka) = 0

(2.6)

ϕ(+a) = A cos(ka) +B sin(ka) = 0

Escludendo la soluzione banale A = B = 0, che renderebbe soddisfatte le condizioni (2.6), restano le seguentidue alternative

1. A = 0 ; sin(ka) = 0 ⇒ ka = nπ ⇒ k = nπa = 2n π2a = N π

2a (N pari)

2. B = 0 ; cos(kx) = 0 ⇒ ka = (2n+ 1)π2 ⇒ k = (2n+ 1) π2a = N π2a (N dispari )

Ricordando la relazione che lega l’energia al numero d’onda per una particella libera (k2 = 2mE~2 ) e indicando con

L la larghezza della buca di potenziale (L = 2a), si hanno i seguenti autovalori discreti dell’energia

EN =~2kN

2

2m=

~2π2

2mL2N2 (2.7)

Lo schema dei livelli energetici e mostrato in Fig 2.2.Da notare che la quantizzazione e derivata dalle condizioni al contorno necessarie per confinare la particella

in uno spazio definito. Nel caso questo non fosse richiesto allora la funzione d’onda rimane non confinata ed il

2.1 Buca di potenziale infinita 19

Figura 2.2: Autovalori dell’energia per una particella in una buca di potenziale a pareti infinite: rosso (livello fondamentaleN = 1), blu (N = 2) e giallo (N = 3).

vettore d’onda k puo assumere valori continui. In questo caso avremmo avuto una completa indeterminazionesulla posizione della particella. Ovviamente confinando la particella non tutti i modi normali di vibrazione sonopossibili ma soltanto quelli che soddisfano le condizioni al contorno. k, quindi, assume un numero intero di volteun valore fondamentale che e connesso alla larghezza della buca.

In corrispondenza di N pari ed N dispari si hanno rispettivamente le autofunzioni

ϕN (x) = BN sen(N π

Lx) (Npari)

ϕN (x) = AN cos(NπLx) (Ndispari)

(2.8)

Le costantiAN eBN vanno determinate imponendo che sia 1 la probabilita di trovare la particella all’interno dellabuca (condizioni di normalizzazione)

∫ +a

−adxϕN (x)ϕ∗N (x) = 1 (2.9)

da cui si ricava AN = BN = 1√a

. In Fig. 2.3 si riporta l’andamento spaziale della funzione d’onda ϕN (x) e delladensita di probabilita |ϕN (x)|2 per i primi tre livelli (N = 1, 2, 3).

Figura 2.3: Andamento spaziale della funzione d’onda ϕN (x) e della densita di probabilita |ϕN (x)|2 per i primi tre livelli:rosso (livello fondamentale N = 1), blu (N = 2) e giallo (N = 3).

Figura 2.4: Rappresentazione schematica di una barriera di potenziale rettangolare.

2.2 Buca di potenziale rettangolare

Analizziamo il caso in cui il potenziale sia ora schematizzabile come in Fig. 2.4

V (x) = 0 per |x| < a

V (x) = V0 per |x| > a(2.10)

Questo potenziale presenta due discontinuita finite nei punti x = −a e x = a. Suddividiamo lo spazio in trezone

zona I x 6 −azona II − a < x < a

zona III x > a

(2.11)

cercando le soluzioni dell’equazione di Schrodinger indipendente dal tempo in ciascuna delle tre regioni. All’inter-no della buca l’equazione risultante e identica al caso precedente (2.2), Quindi la funzione d’onda e semplicementedata come segue

ϕII(x) = A cos(kx) +B sin(kx) (2.12)

Al di fuori della buca (zona I e zona III), invece, abbiamo

∂2xϕ(x)− 2m(V0−E)

~2 ϕ(x) = 0 (2.13)

la cui soluzione piu generale e:

ϕ(x) = C eqx +De−qx (2.14)

dove q2 = 2m(V0−E)~2 > 0. Tale scelta (q2 > 0) implica di considerare i cosiddetti stati legati in cui l’energia

della particella E risulta minore dell’altezza della barriera di energia V0. Sotto tale ipotesi la particella nondovrebbe essere capace di uscire dalla buca (visione classica), mentre quantisticamente e possibile una funzioned’onda non nulla esterna alla buca. Tuttavia non abbiamo soluzioni complesse (prerogative per una propagazionenello spazio indefinito), bensı degli esponenziali reali. Per evitare divergenze alla funzione d’onda nelle zone I e

2.3 Effetto Tunnel 21

II per x→ ±∞, occorre che per x < 0 sia D = 0 e che per x > 0 sia C = 0.

La soluzione dell’equazione di Schroedinger diviene

ϕI(x) = C eqx

ϕII(x) = A cos(kx) +B sin(kx)

ϕIII(x) = D e−qx(2.15)

Le condizioni al contorno da imporre sono la continuita della ϕ(x) e della sua derivata prima nei punti didiscontinuita del potenziale ( x = ±a ). Questo e necessario per soddisfare il requisito fisico che la densita dipresenza dalla particella sia una funzione univocamente definita e continua.

ϕI(−a) = ϕII(−a)

ϕII(a) = ϕIII(a)

ϕ′

I(−a) = ϕ′

II(−a)

ϕ′

II(a) = ϕ′

III(a)

(2.16)

Imposte le condizioni al contorno e possibile svolgere il calcolo esplicito delle autofunzioni e degli autovaloridell’energia. Risolvendo per via numerica ricaviamo gli EN e le ϕN .

2.3 Effetto Tunnel

Consideriamo, ora, una barriera di potenziale cioe un’energia potenziale definita come:

V (x) = 0 per x 6 0 ; x > L

V (x) = V0 per 0 < x < L(2.17)

Figura 2.5: Barriera di potenziale di altezza V0.

Analogamente al problema precedente, abbiamo due punti di discontinuita in 0 e L e possiamo dividere l’assereale in tre regioni

zona I x 6 0

zona II 0 < x < L

zona III x > L

(2.18)

Come al solito, l’equazione di Schrodinger nelle tre regioni diviene

∂2xϕ(x) + k2ϕ(x) = 0 x 6 0 e x > L

∂2xϕ(x)− q2ϕ(x) = 0 0 < x < L

dove abbiamo posto q2 = 2m(V0−E)~2 > 0 e k2 = 2mE

~2 . Anche per la barriera di energia consideriamo il casointeressante in cui l’energia della particella sia minore dell’energia della barriera. Supponendo che la particellagiunga da −∞ le soluzioni sono immediatamente ottenute

ϕI(x) = Aeikx +B e−ikx

ϕII(x) = F e−qx +Geqx

ϕIII(x) = C eikx(2.19)

Il calcolo quantistico va ultimato imponendo la continuita nei punti x = 0 e x = L della funzione d’ondae della sua derivata prima per i motivi espressi precedentemente. Senza risolvere matematicamente il sistema,analizziamo il senso fisico delle equazioni (2.19): possiamo notare come a sinistra della barriera, cioe nella zonaI, abbiamo un’onda piana progressiva (Aeikx) ed una regressiva (Be−ikx) che rappresentano, rispettivamente, unfascio di particelle incidenti sullo scalino e un fascio di particelle riflesso da esso. Nella zona II abbiamo anche quidue fasci di particelle: quelle che hanno superato lo scalino in x = 0 e quelle che sono state riflesse dallo scalinoin x = L. ma le loro funzioni d’onda (dette evanescenti) sono smorzate esponenzialmente (poiche q e reale). Datoche le funzioni esponenziali non raggiungono mai il valore di zero, si ottiene che esiste una piccola probabilita chela particella si trovi dall’altra parte della barriera dopo un certo tempo t. Infine, nella terza regione, abbiamo soloun’onda piana progressiva che rappresenta le particelle che hanno superato la barriera e si allontanano all’infinito.

Quindi, la meccanica quantistica prevede che una particella abbia una probabilita diversa da zero di attraver-sare spontaneamente una barriera arbitrariamente alta di energia potenziale, da quı il nome effetto tunnel. Questofenomeno e inspiegabile dal punto di vista classico. Infatti, classicamente, tutte le particelle con un’energia ci-netica inferiore al dislivello verrebbero riflesse senza la possibilita di superare l’ostacolo. C’e da sottolineare chel’analogia con il dislivello della meccanica classica non sia propriamente corretta per via della presenza di unostacolo materiale che nell’effetto tunnel non e presente.

Una caratteristica fisica molto importante nell’effetto tunnel e rappresentata dal coefficiente di trasmissioneτ che esprime la frazione di particelle incidenti che superano la barriera. Il flusso incidente sulla barriera dasinistra e proporzionale al coefficiente A mentre il flusso di particelle che si allontanano dalla barriera, dopoaverla attraversata, e proporzionale al coefficiente C. Il coefficiente di trasmissione τ e dato dal modulo delrapporto C/A. Questo rapporto puo essere calcolato e risulta

τ =

∣∣∣∣CA∣∣∣∣ =

[1 +

V 20 sinh2

(√2m(V0−E)

~ L

)4E(V0 − E)

]−1

(2.20)

2.4 Modello di Sommerfeld 23

2.4 Modello di Sommerfeld

Il modello di Sommerfeld descrive il comportamento degli elettroni di valenza nella struttura cristallina di unmetallo. E stato sviluppato da Arnold Sommerfeld che ha unito il modello di Drude alla statistica di Fermi-Dirac.Il modello considera un gas di elettroni indipendenti e liberi, quindi in assenza di potenziale, in un dato volumeV , dove la struttura geometrica del sistema e formata da celle elementari di dimensioni L1, L2, L3 che si ripetonoperiodicamente nelle tre direzioni dello spazio e formano il reticolo cristallino.

L’equazione del moto degli elettroni e l’equazione di Schrodinger (1.3) con V = 0 nel caso stazionario

− ~2

2m∆Ψ(~r) = EΨ(~r) (2.21)

La condizione al contorno da imporre per risolvere l’equazione e∫V d

3~r |Ψ(~r)|2 = 1 richiedendo che la Ψ siannulli al di fuori del volume V . Questa ipotesi rompe l’invarianza traslazionale, pero si puo osservare che se ilsistema e macroscopico, anche per 1023 particelle, il volume a disposizione per ogni particella e grande, quindicio che accade alla superficie non influenza le proprieta globali del sistema. Allora possiamo introdurre dellecondizioni sulla superficie comode dal punto di vista matematico, tali da accordare la Ψ tra un volumetto e l’altro.Tali condizioni al contorno dette di Born-von Karman sono di tipo periodico

Ψ(~r + ~L) = Ψ(~r) ⇒ Ψ(~r + Lii) = Ψ(~r) ∀i (2.22)

dove i rappresente il generico versore della terna cartesiana. La soluzione dell’equazione come e noto, e un’ondapiana

Ψ(~r) =1√Vei~k·~r (2.23)

Il coefficiente 1√V e il valore della costante di integrazione che si ricava facilmente applicando le condizioni al

contorno dette precedentemente. Il vettore d’onda ~k e determinato applicando le condizioni periodiche (2.22)

1√Vei~k·(~r+Li i) =

1√Vei~k·~r ∀i ⇒ eikiLi = 1 ∀i ⇒ ki =

2π

Lini (2.24)

I vettori d’onda permessi non variano con continuita ma variano su un reticolo di passo 2πL1

sull’asse x, 2πL2

sull’asse

y e 2πL3

sull’asse z. L’energia e semplicemente data dalla formula E = ~2|~k|22m , che e simile all’energia cinetica se

interpretiamo ~~k come l’impulso dell’elettrone. Alla luce delle condizioni (2.24) sui ki l’energia si trova pari a

En1, n2, n3 =2π2~2

m

(n2

1

L21

+n2

2

L22

+n2

3

L23

)(2.25)

Lo stato quantico del sistema, che stiamo studiando allo zero assoluto (T = 0K), e individuato da tre numeriquantici: n1, n2, n3 ∈ Z1 e dal numero quantico di spin ms. Il sistema e composto da N elettroni, che sidisporranno nello stato di minima energia ma a causa del principio di esclusione di Pauli avremo una coppiadi elettroni nel livello energetico piu basso, una seconda coppia nel secondo livello, una terza coppia nel terzo

1da non confondere con ni espressi precedentemente e che rappresentano un numero intero derivati dal calcolo di ki


livello e cosı via. Il livello di maggiore energia occupato dagli elettroni allo zero assoluto e detto livello di Fermi

e l’energia di Fermi e l’energia corrispondente a tale livello. In corrispondenza di tale livello di energia vi e ilcorrispondente vettore d’onda ~kF .

Passando dallo spazio delle configurazioni a quello dei momenti ~k (tramite la trasformata di Fourier), otte-niamo una superficie sferica dove tutti gli stati quantici occupati sono all’interno e il raggio di tale superficie eil vettore d’onda di Fermi ~kF . L’estensione del sistema dipende, ovviamente, dal numero di elettroni, infatti ilvolume della sfera deve contenere N/2 stati di energia e al crescere di N aumenta il volume della sfera. E danotare che ogni punto individuato dal vettore d’onda ~k nello spazio di Fourier costituisce una parte del reticoloperche ~k non puo essere una variabile continua a causa delle condizioni al contorno (2.22). Siccome il numerodi celle e uguale al numero di punti reticolari, si evince che il numero di ~k possibili e uguale al numero di celle.Dunque, detto Ωk il volume di una singola cella e ΩF il volume della superficie di Fermi, il numero dei vettori ~kpossibili si ottiene dalla relazione

ΩFΩk

=43πk

3F

(2π)3

L1L2L3

=N

2⇒ 4πk3

FV3(2π)2

⇒ k3FV

3π2= N ⇒ n

.=N

V=

k3F

3π2(2.26)

L’energia di Fermi e quindi ottenuta

EF =~2k2

F

2m=

~2(3π2n)3/2

2m∝ n3/2 (2.27)

da cui si intuisce il motivo fisico della dipendenza dell’energia di Fermi dalla densita di elettroni.

Introduciamo una lungherzza rs che dia l’indicazione del volume a disposizione di ogni elettrone. Sempli-cemente abbiamo 4/3π r3

s N = V da cui rs = (3/4πn)1/3. Per la maggior parte dei materiali si ottieners ' (2÷ 6) a0 dove a0 = ~2/mc2 e il raggio di Bohr (raggio dell’orbita dell’elettrone nell’atomo di idrogenonello stato fondamentale). Dunque si ottiene una stima del vettore di Fermi pari a

kF =3.63

rs/a0∗ 1010m−1 (2.28)

e di consegeunza

vF =~kFm

=4.2

rs/a0∗ 10−8cm/s, EF =

50

rs/a20

eV (2.29)

Per fare un confronto con la fisica classica introduciamo la temperatura di Fermi TF = EFKB

, dove KB e la co-stante di Boltzmann. Ovviamente la reale temperatura del gas di elettroni e 0 K. Queste grandezze, classicamente,per un sistema allo zero assoluto sono nulle, cioe tutti gli elettroni hanno velocita nulle e sono allo stato di energiapiu basso. Aumentando la temperatura, l’energia e la velocita aumentano secondo la relazione dell’equipartizionedell’energia E = f

2KBT dove f sono i gradi di liberta.

In meccanica quantistica, mentre, a causa del principio di Pauli, le particelle non possono disporsi tutte al-lo stesso livello di energia ed hanno una velocita non nulla in accordo con il principio di indeterminazione diHeisenberg (altrimenti potremmo conoscere simultaneamente posizione e quantita di moto). Bisogna notare chela temperatura di Fermi TF non e la reale temperatura del sistema ma e una grandezza di origine quantistica erappresenta un termine di confronto con il sistema in fisica classica. Generalmente i valori di TF possono raggiun-gere anche i 103 K dimostrando che gli aspetti quantistici sono connessi ad energie che classicamente si possonoraggiungere solo a quelle temperature.

2.4 Modello di Sommerfeld 25

Consideriamo un sistema reale e quindi la temperatura T > 0. Supponiamo che ci sia uno scambio di energiatra il sistema e un serbatoio termico. Gli elettroni, eccitati termicamente, possono andare ad occupare dei livellidi energia al di sopra del livello di Fermi e lasciare degli spazi liberi al di sotto. Per la descrizione fisica di questosistema, consideriamo la statistica di Fermi-Dirac che vale per le particelle a spin semi intero

f(Ek) =1

eβ(Ek−µ) + 1(2.30)

dove f(Ek) dEk rappresenta la probabilita che ci sia uno stato occupato tra i livelli di energia [Ek, Ek + dEk]. µe il potenziale chimico definito come l’energia che aggiungo ad un gas quando si aggiunge un’ulteriore particella.Infine β = (KBT )−1.

Valutiamo i casi limiti della distribuzione (2.30) a T → 0

per T → 0 ; (β →∞) abbiamo due soluzioni

E < µ : eβ(Ek−µ) → 0 ⇒ f → 1

E > µ : eβ(Ek−µ) →∞ ⇒ f → 0

(2.31)

Figura 2.6: Rappresentazione di f(E) per T = 0.

Se T → 0 il potenziale chimico coincide con l’energia di Fermi e il risultato ottenuto, illustrato in Fig. 2.6, eproprio quello che ci aspettavamo, cioe tutti gli Ek hanno probabilita uno di essere inferiori ad EF e probabilitazero di essere maggiori. Quindi tutti gli stati energetici al di sotto del mare di Fermi sono occupati, mentre quellial di sopra sono vuoti.

Se T > 0 avremo un comportamento diverso da quanto riportato in figura 2.6 per quei valori della temperaturache soddifsano la relazione E − µ ≈ KBT . Infatti l’esponenziale da contributo nell’ordine dell’unita, mentre se(E − µ ≥ KBT ) o (E − µ ≤ kBT ) l’esponenziale e rispettivamente∞ o 0. Quindi la funzione e diversa da zeroe da uno in una regione dell’ordine di KBT , come illustrato in Fig.2.7.

L’intervallo di energia [0, µ] e circa pari a KBTF (perche µ ≈ EF ), mentre il segmento in cui f(E) va azero e circa pari a KBT . La forma piu o meno dolce della caduta a zero della distribuzione di Fermi-Dirac e dataessenzialmente dal rapporto T

TF(10−2 a temperatura ambiente). In sostanza f(E) e praticamente un gradino e

differisce poco dallo stato a T = 0 poiche le fluttuazioni termiche influenzano solo gli elettroni che sono vicini allivello di Fermi.

Calcoliamo, ora, lo stato fondamentale del sistema per T > 0 e considerato che non conosciamo quali sonogli stati fondamentali al di sopra di EF dobbiamo integrare su tutti i possibili valori dei vettori d’onda ~k pesati con


Figura 2.7: Rappresentazione di f(E) per T > 0.

la distribizione (2.30). Nel caso discreto l’energia totale del gas di elettroni e immediatamente scritta come segue

E = 2∑k

E(~k) f(E(~k)) (2.32)

dove il fattore 2 e legato ai due possibili valori di spin. Introducendo la densita di energia u = E/V e passando alcaso continuo abbiamo

u = 2

∫d3~k

(2π)3E(~k) f(E(~k)) (2.33)

L’integrazione deve essere calcolata imponendo che le particelle del gas siano fissate. In particolare bisogna avere

n = 2

∫d3~k

(2π)3f(E(~k)) (2.34)

che e la condizione di normalizzazione per la distribuzione f(Ek). Da questa relazione si otterra la relazione chelega il potenziale chimico alla temperatura e alla densita di elettroni.

Generalmente suppnendo una distribuzione dei vettori d’onda isotropa (quindi tutte le direzioni nello spaziodei momenti sono equiprobabili) il problema si puo semplificare osservando che E(~k) e f(E(~k)) dipendonosoltando dal modulo di ~k. In questi ipotesi (plausibile) utilizzando il passaggio alle coordinate sferiche nellospazio dei momenti gli integrali (2.33) e (2.34) sono

u =1

π2

∫ ∞0

d|~k| |~k|2E(|~k|) f(E(|~k|)) , n =1

π2

∫ ∞0

d|~k| |~k|2f(E(|~k|)) (2.35)

Effettuiamo un ulteriore cambio di integrazione passando dall’integrazione sui moduli del vettore d’onda adun’integrazione sui valori di energia ε

ε =~2k2

2m⇒ k =

√2mε

~⇒ dk =

2mdε

~√

2mε⇒ k2dk =

2mε

~2

mdε

~√

2mε=m

~3

√2mεdε (2.36)

L’espressione per il calcolo della densita di energia di u e

2.5 Potenziale periodico e teorema di Bloch 27

u =1

π2

√2m

~3

∫ ∞0

ε√ε f(ε) dε (2.37)

Introducendo la funzione g(ε) come segue

g(ε) =

1π2

√2m~3

√ε ε > 0

0 ε < 0

(2.38)

le espressioni (2.33) e (2.34) sono riscritte

u =

∫ +∞

−∞ε g(ε) f(ε) dε ; n =

∫ +∞

−∞g(ε) f(ε) dε (2.39)

g(ε) dε esprime quanti sono, per unita di volume gli stati con energia tra [ε, ε + dε] ed e detta densita di stato,mentre f(ε) risulta essere f(ε) = 1

eβ(ε−µ)+1.

Tralasciando il metodo di risoluzione degli integrali, che si risolvono attraverso lo sviluppo di Sommerfeld,otteniamo

n =

∫ EF

0

ε g(ε) dε+π2

6(KBT )2 g(EF ) + o

(T

TF

)4

(2.40)

µ = EF −π2

6

(KBT )2

2EF= EF

[1− π

12

(KBT

EF

)2]= EF

[1− π

12

T 2

T 2F

](2.41)

Figura 2.8: Rappresentazione di g(ε)

2.5 Potenziale periodico e teorema di Bloch

Sia V (x) un potenziale periodico di periodo a tale che

V (x+ a) = V (x) (2.42)

Mostriamo che l’Hamiltoniano H = − ~2

2m∂2x + V (x) commuta con l’operatore traslazione T (a) che e definito

dalla relazione

T (a)ϕ(x) = ϕ(x+ a) (2.43)

Ricaviamo la formula analitica di T (a) sviluppando in serie di Taylor la funzione ϕ nel punto x+ a

ϕ(x+ a) =

∞∑n=0

1

n!an∂nxϕ(x) =

∞∑n=0

1

n!

(ia

~

)npnϕ(x) = e

iap~ ϕ(x)

avendo utilizzato l’espressione per l’operatore quantita di moto (1.43) in una sola dimensione. Di conseguenzal’operatore traslazione risultera

T (a) = eiap~ (2.44)

Valutiamo il commutatore tra l’operatore traslazione T (a) e l’hamiltoniano H (1.46) nell’ipotesi del potenzialeperiodico (2.42). Utilizzando le proprieta del commutore riportate nel paragrafo 1.7.3 si ottiene

[T (a), H]ϕ(x) =

[T (a),

p2

2m

]ϕ(x) + [T (a), V (x)]ϕ(x) =

[eiap~ ,

p2

2m

]ϕ(x) +

[eiap~ , V (x)

]ϕ(x) =

= [T (a), V (x)]ϕ(x) = T (a)

(V (x)ϕ(x)

)−V (x)

(T (a)ϕ(x)

)=

= V (x+ a)ϕ(x+ a)− V (x)ϕ(x+ a) = (2.45)

= V (x+ a)ϕ(x+ a)− V (x+ a)ϕ(x+ a) = 0

Le soluzioni dell’equazione di Schoedringer (1.3) in presenza di potenziale periodico (2.42) sono anche solu-zione dell’equazione agli autovalori per l’operatore traslazione (2.44) in quanto e dimostrato che l’operatoreHamiltoniano e quello di traslazione commutano

[T (a), H] = 0 (2.46)

A partire da questo risultato, il Teorema di Bloch afferma che: l’autofunzione dell’iperatore Hamiltoniano, in

presenza di un potenziale periodico, e esprimibile nella forma

ϕ(x) = ϕk(x) = eikxφk(x)

dove k ∈ < e φk(x+ a) = φk(x)

(2.47)

Notiamo che e φk(x) la funzione periodica e non ϕk(x). Se vogliamo che anche φk(x) sia periodica, bisogna

2.6 Modello di Kronig e Penney 29

porre delle condizioni al vettore d’onda k. Infatti

ϕ(x+ a) = ϕ(x) ⇒ eik(x+a) = eikx ⇒ eika = 1 (2.48)

⇒ ka = 2nπ ⇒ kn =2π

an con n ∈ N

2.6 Modello di Kronig e Penney

Questo modello consiste in una catena di buche di potenziale di profondita Vo, di larghezza a e passo b, comeillustrato in Fig. 2.9.

Figura 2.9: Rappresentazione schematica di una catena di buche di potenziale.

L’equazione di Schrodinger (1.3) per gli stati stazionari, considerando il caso in cui −V0 < E < 0, diviene

∂2xϕ(x) +

2m

~2

(E − V (x)

)ϕ(x) = 0 (2.49)

ed essendo periodico il potenziale V (x) possiamo utilizzare il risultato del teorema di Bloch (2.47) ed otteniamoche deve essere soddisfatta l’equazione

∂2x

(eikx φk(x)

)+

2m

~2

(E − V (x)

)eikx φk(x) = 0 (2.50)

Calcoliamo la derivata prima e seconda del termine eikx φk(x)

∂x

(eikx φk(x)

)= ik eikx φk(x) + eikx ∂xφk(x)

∂2x

(eikx φk(x)

)= −k2 eikx φk(x) + ik eikx ∂xφk(x) + ik eikx ∂xφk(x) + eikx ∂2

xφk(x)

(2.51)

ed inserendo il tutto nell’equazione (2.50) otteniamo nella zona in cui vi e il potenziale l’equazione differenzialeper φk(x)

∂2x φ

(1)k (x) + 2ik ∂x φ

(1)k (x) +

2m

~2

(E − ~2k2

2m− V (x)

)φ

(1)k (x) = 0 (2.52)

ed in assenza di potenziale

∂2x φ

(2)k (x) + 2ik ∂x φ

(2)k (x) +

2m

~2

(E − ~2k2

2m

)φ

(2)k (x) = 0 (2.53)

Al di fuori della buca (0 < x < b), la soluzione puo essere posta nella seguente forma

φ(2)k (x) = C e(β−ik)x +De−(β+ik)x (2.54)

avendo posto β =√

2m|E|~2 . Nella regione della buca (−a < x < 0) abbiamo

∂2x φ

(1)k (x) + 2ik ∂x φ

(1)k (x) +

2m

~2

(−|E| − ~2k2

2m+ V0

)φ

(1)k (x) = 0 (2.55)

la cui soluzione invece puo essere posta come

φ(1)k (x) = Aei(α−k)x +B e−i(α+k)x (2.56)

dove α =√

2m(V0−|E|)~2 .

Le costanti A, B, C e D vanno calcolate, come al solito, imponendo le condizioni di continuita delle φk(x) edelle derivate prime nei punti di discontinuita del potenziale x = 0 e x = b ed inoltre imponendo la condizione diperiodicita delle φk(x)

φ

(1)k (0) = φ

(2)k (0)

φ(1)′

k (0) = φ(2)′

k (0)

φ(1)k (−a) = φ

(2)k (b)

φ(1)′

k (−a) = φ(2)′

k (b)

(2.57)

da cui si ottiene un sistema omogeneo di quattro equazioni in quattro incognite

A+B = C +D

i(α− k)A− i(α+ k)B = (β − ik)C − (β + ik)D

Ae−i(α−k)a +B ei(α+k)a = C e(β−ik)b +D e−(β+ik)b

i(α− k)Ae−i(α−k)a − i(α+ k)B e+i(α+k)a = (β − ik)C e(β−ik)b − (β + ik)De−(β+ik)b

(2.58)

Tale sistema ammette una soluzione non banale sole se il determinante dei coefficienti e nullo. Cioe se e verificatala seguente equazione:

β2 − α2

2αβsinhβb sinαa+ coshβb cosαa = cos k(a+ b) (2.59)

che e l’equazione (implicita) per gli autovalori dell’energia E.Nel caso in cui E > 0, bisogna semplicemente effettuare una posizione per tener conto del passaggio da −|E|

a |E| = E. Infatti ponendo γ =√

2mE~2 e α =

√2m~2 (V0 + E) e si ottengono le stesse soluzioni del caso

2.6 Modello di Kronig e Penney 31

precedente con la sostituzione β = iγ. Quindi l’equazione agli autovalori per l’energia diventa

cos γb cosαa− γ2 + α2

2αγsin γb sin ka = cos k(a+ b) (2.60)

Le condizioni (2.59) e (2.60) sono riassumibili in una sola equazione

F (E) = cos k(a+ b) (2.61)

dove F (E) rappresenta i membri a sinistra delle due condizionii per l’energia tenendo conto che le due funzionisi accordino in E = 0, cosı che una sola funzione e richiesta per tutto l’intervallo E > −V0.

L’aspetto notevole dell’equazione (2.61) e che non ammette soluzioni per certi intervalli di valori dell’energia.Infatti poiche k e reale, abbiamo | cos k(a+ b)| ≤ 1 cosı che i valori di E per cui |F (E)| > 1 sono inaccessibili.Ne risulta che i valori permessi di E cadono in bande di energia che soddisfano la condizione |F (E)| ≤ 1. Questebande sono quindi separate da bande di energia proibite.

Si puo dimostrare che se il periodo l = a + b aumenta, lasciando invariato a e V0 , cioe aumenta la distanzatra le buche, le bande di energia per −V0 < E < 0 si restringono e si contraggono nei livelli discreti di una bucadi potenziale isolata per l→∞. Questo comportamento, illustrato in Fig. 2.10, e facile da intuire.

Figura 2.10: Rappresentazione delle bande di energia al variare del periodo l .

Infatti, aumentando la distanza tra gli ioni, il moto di un elettrone intorno ad uno ione risentira sempre menodell’azione degli altri atomi, cosı che ciascun atomo si comportera come se fosse isolato.

Caratteristica dei potenziali periodici che si estendono su tutto l’asse reale e che lo spettro risulta puramentecontinuo all’interno di ciascuna banda permessa ed e formato da una serie di intervalli, tra loro separati, dettibanda di energia permessa. L’insieme di queste bande si estende tipicamente da un valore minimo di energia −V0

fino all’infinito; in generale la larghezza della banda cresce al crescere dell’energia, mentre la loro separazionediminuisce rapidamente.

Nel caso in cui il potenziale periodico sia definito su un intervallo, allora, l’imposizione delle condizioni alcontorno, ma non di periodicita, determinano uno spettro discreto all’interno di ciascuna banda che contera unnumero di livelli pari al numero di atomi costituenti la catena. Le condizioni al contorno piu semplici sono lecondizioni al contorno periodiche, cioe che la funzione d’onda assume agli estremi della catena di atomi lo stessovalore: ϕ(x+Nl) = ϕ(x). Cio significa che l’elettrone che lascia un estremo rientra dall’altra estremita, oppureanche che stiamo considerando un reticolo unidimensionale formato da N atomi disposti su una circonferenza.


Valutando la condizione al contorno periodica

ϕ(x+Nl) = ϕ(x) ⇒ eiNkl = 1 ⇒ k =2π

Nln (2.62)

notiamo che la funzione d’onda ϕ(x) e gli autovalori dell’energia non cambiano se k e aumentata o diminuita diun multiplo intero di di 2π

l . Possiamo pertanto assumere che k vari nell’intervallo (−k/l, k/l) e quindi ci sarannoN valori distinti di k. In corrispondenza di ciascun valore distinto di K, in ogni banda ci sara un valore possibileper l’energia per cui ciascuna banda contera N autovalori possibili per l’energia.

Capitolo 3

Semiconduttori

Abbiamo visto nel capitolo precedente ed in particolare nel paragrafo 2.6 che gli elettroni nei solidi hanno un’e-nergia strutturata a bande e, tenendo conto del principio di esclusione di Pauli, riempono man mano le bande apartire da quelle caratterizzate da energia piu basse (Modello di Sommerfeld - paragrafo 2.4). La banda piu esternae detta banda di valenza ed e l’ultima banda ad essere occupata da elettroni. Al di sopra delle banda di valenzaabbiamo la banda di conduzione che risulta normalmente vuota e in essa gli elettroni sono liberi di muoversi sesottoposti ad un campo elettrico. Le due bande sono separate da un intervallo energetico che prende il nome dibanda interdetta o semplicemente gap di energia. Ci preoccuperemo, in seguito, solo della banda di valenza edi quella di conduzione poiche solo esse sono particolarmente importanti per descrivere il comportamento deisemiconduttori e vedremo, in particolare, che dalla banda interdetta dipendono molte delle proprieta elettriche diun materiale.

Al limite di riempimento delle bande corrisponde l’energia della superficie di Fermi e si possono verificaredue casi riportati graficamente in figura 3.1. Superficie di Fermi esterna alle bande, Fig.3.1 (a); superficie di Fermi

Figura 3.1: Rappresentazione delle bande di energia

interna alle bande, Fig.3.1 (b). Nel caso (a) gli elettroni per passare da una banda all’altra devono superare il gap

di energia ∆; quindi, il numero di elettroni presenti nella banda n = 3 dipendera dalla larghezza della banda edall’energia che hanno. Nel caso (b), Invece , basta una piccola energia affinche avvenga il salto. Quindi il caso(a) e quello di un isolante mentre il caso (b) e quello di un conduttore.

Bisogna tener presente che nel caso (a), sebbene per T = 0 non ci sia alcuna conduzione, all’aumentare dellatemperatura c’e una probabilita crescente che gli elettroni si muovano. Si ricava sperimentalmente che il numero

33

34 Capitolo 3 Semiconduttori

di elettroni di conduzione e

n ∼ e−12

EgKbT (3.1)

dove Eg e l’energia di gap.La soglia tra isolanti e conduttori e variabile, orientativamente a temperatura ambiente affermiamo:

Eg < 2 eV 1 materiali conduttori

Eg > 2 eV materiali isolanti

(3.2)

La caratteristica principale dei metalli e che la resistivita ρ aumenta all’aumentare della temperatura a causadegli urti degli elettroni con il reticolo. Mentre i solidi che a T = 0 sono isolanti ma caratterizzati da un gap

Figura 3.2: andamento della resistivita in un metallo.

energetico tali che l’eccitazione termica comporti per essi una conducibilita osservabile a temperature inferioria quelle di fusione, sono noti come: semiconduttori. Come e visibile in Fig. 3.3, la resistivita diminuisce per T

Figura 3.3: andamento qualitativo della resistivita in un semiconduttore.

crescenti per un primo tratto. Cio e dovuto alla forte dipendenza dal numero di portatori di carica dalla temperatura.Dopo il primo tratto si ha una ρ crescente in maniera analoga ai metalli. Questo perche aumenta il numerodei portatori di carica ma aumentano anche gli effetti dissipativi. La resistivita, inoltre, dipende anche dallaconcentrazione di impurezze nel materiale. Infatti, come mostrato in Fig. 3.4 al variare della concentrazione n0

otteniamo valori molto diversi di ρ. In particolare abbiamo nel caso di una temperatura costante le seguenti stime:11 eV = 1, 6× 10−19 J , e l’energia che un elettrone acquista attraversando una zona con differenza di potenziale accelerante di 1 Volt

3.1 Studio microscopico dei semiconduttori 35

(1) n0 ≈ 1014/cm3 ⇒ ρ ≈ 1011 ohm · cm (ramo 1 della figura 3.4), (2) n0 ≈ 1017/cm3 ⇒ ρ ≈10−1 ohm · cm (ramo 2 della figura 3.4).

Figura 3.4: Curve della resistivita per due diversi valori di concentrazione di impurezze.

Per quanto detto finora, possiamo classificare i materiali solidi, in base alle loro caratteristiche elettriche,in tre gruppi: conduttori, isolanti e semiconduttori. Il loro comportamento, oltre che dalla temperatura, dipendefortemente dalla distribuzione delle bande sopracitate. Nei conduttori, la banda di valenza e la banda di conduzionesono sovrapposte (caso 1) Fig. 3.5 gli elettroni di valenza, quindi, hanno la possibilit’a di occupare un gran numerodi stati liberi nella banda di conduzione ed e sufficiente l’azione di un debole campo elettrico per ottenere un motodi elettroni orientato secondo la direzione del campo.

Molto differente e la situazione degli isolanti (caso 2) Fig. 3.5: in questo caso, gli elettroni riempiono total-mente la banda di valenza e non possono occupare gli stati liberi della banda di conduzione a causa del valorenotevole della energia di gap. Il processo di conduzione risulta quindi impossibile.

Il caso intermedio e rappresentato dai materiali semiconduttori (caso 3) Fig. 3.5, in cui il valore energeti-co della banda interdetta e tale da permettere il passaggio degli elettroni dalla banda di valenza alla banda diconduzione.

La classificazione dei materiali rappresentata in Fig. 3.5 e analoga alla Fig.3.1 dove questa volta, pero, abbiamomesso in evidenza il diverso valore energetico della banda interdetta che contraddistingue i diversi materiali.

Figura 3.5: Distribuzione delle bande di valenza (di cui Ev e l’estremo superiore) e della banda di conduzione(di cui Ec el’estremo inferiore) in un 1) conduttore; 2) isolante; 3) semiconduttore.

3.1 Studio microscopico dei semiconduttori

Alla temperatura dello zero assoluto, l’agitazione termica degli elettroni e nulla, pertanto gli elettroni non possonomuoversi all’interno del reticolo e non osserviamo nessun fenomeno di conduzione. La situazione cambia quandoconsideriamo un cristallo a T > 0. L’agitazione termica degli atomi puo produrre la rottura di qualche legame che


dal punto di vista energetico corrisponde alla cessione di una quantita di energia pari o maggiore a Eg a qualcheelettrone puo cosı passare dalla banda di valenza alla banda di conduzione. A tale fenomeno e essenzialmentelegato il processo di conduzione nei semiconduttori e quindi, come gia detto precedentemente, la conducibilita efortemente influenzata dalla temperatura e, in generale, dall’assorbimento di energia di qualsiasi tipo dall’esterno.

La conduzione elettrica nei semiconduttori, pero, non e dovuta soltanto al moto degli elettroni nella bandadi conduzione. Infatti, quando l’elettrone passa dalla banda di valenza alla banda di conduzione, lascia un postovuoto nella banda di valenza e si crea, dal punto di vista del potenziale una carica positiva, detta lacuna di carica+e, che attrae una carica negativa. In questo modo e come se la la carica positiva si sposti nel reticolo e tale motoprende il nome di corrente di lacuna.

Per un’analisi quantitativa del fenomeno e fondamentale calcolare il numero di cariche di conduzione. Par-tiamo dall’espressione (2.34) che fornisce il numero degli elettroni per unita di volume. Nel caso del modello diSommerfeld avevamo in pratica una sola banda (o meglio dire nessuna banda) nella quale gli elettroni si muove-vano. Ora alla luce della struttura a bande dovute al reticolo periodico il numero totale di elettroni per unita divolume n e dovuto all’integrazione su tutti i possibili valori del vettore d’onda ma anche alla somma sul numerodi bande accessibili. In formula abbiamo

n = 2∑m

∫Ω

d3~k

(2π)3

1

eβ(Em(~k)−µ) + 1(3.3)

dove m rappresenta l’indice di somma sul numero di bande. Introducendo la densita di stati

gm(ε) =

∫d3~k

4π3δ(ε− Em(~k)) (3.4)

possiamo riscrivere la (3.3) come

n =∑m

∫ +∞

−∞gm(ε) f(ε) dε (3.5)

Siccome da un punto di vista conduttivo e fisicamente rilevante l’analisi delle sole due ultime bande possiamofocalizzare la nostra attenzione soltanto sulla banda di valenza (la penultima) e su quella di conduzione (l’ultima).In figura 3.6 riportiamo schematicamente quando detto.

Figura 3.6: Rappresentazione dell’energia E in funzione della densita di stati gn(ε).


Le energieEv edEc rappresentano rispettivamente il massimo valore della banda di valenza e il minimo valoredella banda di conduzione e risultano ovviamente legate all’energia di gap Eg = Ec−Ev responsabile dl numerodi portatori nella banda di conduzione (3.1).

Il numero di elettroni per unita di volume nella banda di conduzione alla luce della relazione (3.5) diviene

nc(T ) =

∫ +∞

Ec

gc(ε) f(ε) dε =

∫ ∞Ec

dε gc(ε)

[1

1 + eβ(ε−µ)

](3.6)

dove gc(ε) e la funzione densita di stati caratteristica degli elettroni di conduzione ed e fissata da studi microscopi-ci; ossia e nota dopo aver risolto l’equazione di Schrodinger imponendo le giuste condizioni al contorno. Tuttavia,indipendentemente dalla particolare formulazione matematica della densita di stati gc(ε), l’integrale (3.6) dipendefortemente dalla distribuzione di Fermi-Dirac e, quindi, di conseguenza dalla temperatura.

Analogamente a nc(T ) calcoliamo, ora, anche il numero di lacune per unita di volume nella banda di valenza

pv(T ) =

∫ Ev

−∞gv(ε) [1− f(ε)] dε =

∫ Ev

−∞dε gv(ε)

[1

1 + e−β(ε−µ)

](3.7)

Realisticamente ipotizziamo per semplicita che il potenziale chimico µ si trovi a meta della banda proibita e cheEg > KBT (questo e vero per quasi tutti i semiconduttori). Risulta quindi cheEc−µ KBT e µ−Ev KBT

Con queste ipotesi le equazioni (3.6) e (3.7) si possono scrivere nel seguente modo

nc(T ) =

∫ +∞

Ec

dε gc(ε)

[1

1 + eβ(ε−µ)

]≈∫ +∞

Ec

dε gc(ε) e−β(ε−µ) = e−β(Ec−µ)

∫ +∞

Ec

dε gc(ε) e−β(ε−Ec) (3.8)

pv(T ) =

∫ Ev

−∞dε gv(ε)

[1

1 + e−β(ε−µ)

]≈∫ +∞

Ec

dε gc(ε) eβ(ε−µ) = eβ(Ev−µ)

∫ Ev

∞dε gv(ε) e

β(ε−Ev) (3.9)

Il numero di portatori di carica e di lacune nelle due bande quindi risultano essere

nc(T ) = e−β(Ec−µ)Nc(T )

pv(T ) = eβ(Ev−µ)Pv(T

(3.10)

dove abbiamo introdotto le cosiddette densita efficaci nelle due bande Nc(T ) e Pv(T ) definite dagli integrali

Nc(T ) =

∫ +∞Ec

dε gc(ε) e−β(ε−Ec)

Pv(T ) =∫ Ev∞ dε gv(ε) e

β(ε−Ev)

(3.11)

Abbiamo riscritto le espressioni di nc(T ) e pv(T ) in funzione di Nc(T ) e Pv(T ) in modo da evidenziare che ilcontributo maggiore della temperatura risiede negli esponenziali e−β(Ec−µ) e eβ(Ev−µ) al di fuori degli integrali.

Per il calcolo delle densita efficace Nc(T ) e fondamentale la conoscenza della densita di stati (3.4). Notia-mo che la densita di stati (3.4) e moltiplicata per l’esponenziale e−β(ε−Ec), quindi i valori che contribuiscono


all’integrale sono quelli prossimi ad Ec in un intorno del minimo. Sviluppiamo allora Ec(~k) intorno al valore Ec,trascurando i termini superiore a k2

Ec(~k) = Ec +~2|~k|2

2mc+ o(|~k|4) (3.12)

dovemc rappresenta la massa del portatore di carica nella banda di conduzione. Tale approssimazione dell’energiadi banda consiste fisicamente nel supporre che l’elettrone al di sopra dell’energia di conduzione si muova in primabattuta come una particella libera non soggetta all’interazione con il reticolo. Dunque la densita di stati (3.4)diviene

gc(ε) =

∫d3~k

4π3δ

(ε− Ec −

~2|~k|2

2mc

)(3.13)

E da notare che in questi calcoli abbiamo sottinteso che la banda di energia e isotropa nello spazio ma questo ingenerale non e vero.

Tralasciando gli aspetti puramente matematici per la risoluzione dell’integrale con la delta di Dirac δ, ottenia-mo che il valore di gc(ε) nell’ipotesi che ε ∼ Ec e

gc(ε) =mc

3/2√

2(ε− Ec)π2~3

(3.14)

Sostituendo l’espressione (3.14) ottenuta nell’espressione (3.11) abbiamo

Nc(T ) =

∫ +∞

Ec

dεmc

3/2√

2(ε− Ec)π2~3

e−β(ε−Ec) (3.15)

Per risolvere l’integrale (3.15) effettuiamo il seguente cambiamento di variabili ε− E = x2. Quindi abbiamo

Nc(T ) =2√

2mc3/2

π2~3

∫ +∞

0

x2 e−βx2

dx (3.16)

L’integrale rientra nella casistica dei cosiddetti integrali gaussiani facilmente calcolabili se noto l’integrale gaus-siano fondamentale

∫ +∞

0

e−βx2

dx =1

2

√π

β(3.17)

Infatti si dimostra che

∫ +∞

0

x2 e−βx2

dx = − ∂

∂β

∫ +∞

0

e−βx2

dx = − ∂

∂β

(1

2

√π

β

)=

1

4

√π

β32

(3.18)

Quindi Nc(T ) e presto calcolato


⇒ Nc(T ) =2√

2mc3/2

π2~3

1

4

√π

β32

=1

4

(2mcKBT

π~2

) 32

∼ 1019

cm3(3.19)

ed analogamente per Pv(T ) abbiamo

Pv(T ) =1

4

(2mvKBT

π~2

) 32

∼ 1019

cm3(3.20)

dove mv e la massa efficace associata li portatore di carica nella banda di valenza. I valori riportati sono staticalcolati per una temperatura di circa 300K (temperatura ambiente). Il prodotto della densita dei trasportatori dicarica e

nc(T ) pv(T ) = Nc(T )Pv(T ) e−βEg (3.21)

3.1.1 Semiconduttori intrinseci

Sono definitii semiconduttori intrinseci i semiconduttori in cui non vi sono impurezze. I livelli energetici che parte-cipano alle eccitazioni, quindi, sono quelli degli elettroni legati all’atomo del reticolo. In questo caso l’eccitazionedi un elettrone comporta la creazione contemporanea di una lacuna. Matematicamente questo significa

nc = pv = ni ⇒ Nc(T ) e−β(Ec−µ) = Pv(T ) eβ(Ev−µ) (3.22)

Fissata la temperatura T possiamo calcolare il potenziale chimico µ

e−β(µ−Ev−Ec+µ) = Pv(T )Nc(T ) ⇒ 2µ− Ev − Ec = 1

β ln

(Pv(T )Nc(T )

)

µ = 12 (Ev + Ec) + 1

2β ln

(Pv(T )Nc(T )

)⇒ µ = 1

2 (Ev + Ec) + 34KBT ln

(mvmc

) (3.23)

Siccome 12 (Ev + Ec) = Ev + 1

2Eg e mv ∼ mc otteniamo

µ ∼ Ev +1

2Eg (3.24)

Il potenziale chimico e quasi al centro del gap di energia, quindi, cio che avevamo supposto nel paragrafoprecedente era ragionevole. Inoltre siccome e vera la relazione nc(T )pv(T ) = Nc(T )Pv(T ) e−βEg , otteniamo

ni2 = nc(T )pv(T ) → ni = (Nc(T )Pv(T ))1/2e−

βEg2 (3.25)

che e sperimentalmente osservata (3.1).


3.1.2 Semiconduttori estrinseci

In un semiconduttore intrinseco, a causa della loro scarsa densita, gli elettroni liberi e le lacune non riescono aprodurre una corrente sufficientemente elevata per le normali applicazioni elettroniche. Un metodo efficacie peraumentare la concentrazione di cariche mobili consiste nell’introduzione di alcune particolari impurita all’internodel reticolo. Tale procedimento prende il nome di drogaggio e il semiconduttore si dice drogato o estrinseco. Leimpurezze introducono delle asimmetrie per quello che riguarda i livelli energetici e in questo caso non e piu veroche il passaggio di un elettrone nelle banda di conduzione comporta la creazione di una lacuna nella banda divalenza. In generale deve accadere

nc(T )− pv(T ) = ∆n (3.26)

Notiamo che indipendentemente dalla presenza di impurezza, vale la legge di azione di massa; questo perchenon compare il potenziale chimico µ che e la quantita alterata dalla presenza di impurezza. Assumiamo, quindi,che la funzione densita di stati g(ε) rimanga invariata finche il numero di impurezze non e elevato. Nel caso deisemiconduttori puri vale nc(T ) = pv(T ) = ni e possiamo, quindi scrivere nc(T )pv(T ) = n2

i . Mettendo tuttoinsieme si ottiene il sistema

nc(T )− pv(T ) = ∆n

nc(T )pv(T ) = n2i

(3.27)

che risolto rispetto ai portatori di carica abbiamo le relazioni

nc(T ) =1

2∆n± 1

2

√∆n2 + 4n2

i , pv(T ) =1

2∆n± 1

2

√∆n2 + 4n2

i (3.28)

dove in entrambi i casi va scelto il segno positivo, in modo che per ∆n→∞ otteniamo il caso intrinseco.

Indicando con µi il potenziale chimico dei semiconduttori intrinseci e con µ quello dei semiconduttori estrin-seci, riscriviamo le relazioni (3.10) come segue

nic(T ) = Nc(T ) e−β(Ec−µi)

nc(T ) = Nc(T ) e−β(Ec−µ)

⇒ nc(T ) = nic(T ) e−β(µi−µ) (3.29)

dove una relazione analoga vale per il portatori di lacune pv(T ) = nic(T ) e−β(µ−µi). Siccome la dipendenza da(µ − µi) e esponenziale, anche per piccole variazioni di (µ − µi) possiamo avere grandi variazioni di nc(T ).Notiamo che se aumenta nc(T ), deve diminuire pv(T ) in modo che sia valida la relazione nc(T )pv(T ) = n2

i .L’aumento o la diminuzione di nc(T ) o di pv(T ) dipende da come si colloca µi rispetto a µ . Infatti si dimostrache


nc(T )− pv(T ) = nic(T ) [e−β(µi−µ) − e−β(µ−µi)] =

= nic(T ) [eβ(µ−µi) − e−β(µ−µi)] = nic(T ) 2 sinh [β(µi − µ)]

⇒ ∆nnic(T ) = 2 sinh [β(µi − µ)]

(3.30)

Considerato che sperimentalmente ∆nnic(T ) ∼ 1 allora (µi − µ) ∼ KBT ⇒ µ ' µi + KBT , da cui si evince

che sia µ che µi sono compresi in un intervallo di energia dell’ordine di KBT .

Analizziamo, ora, un tipico semiconduttore: il germanio (Ge). L’atomo di Ge presenta quattro elettroni divalenza ed essenzialmente si comporta come uno ione di carica +4e circondato da quattro elettroni. Inseriamo, inquesto cristallo di germanio puro, degli atomi di arsenico (As), che presenta cinque elettroni di valenza. Abbiamodrogato il materiale e alterato il sistema perche quattro elettroni dell’atomo di arsenico saranno condivisi con gliatomi di germanio contigui e formeranno con essi altrettanti legami covalenti. Il quinto elettrone non potra farparte dell’orbita di valenza, in quanto quest’ultima risultera gia piena; non potendo instaurare alcun legame congli atomi vicini, risultera meno legato all’atomo di arsenico e bastara una piccola energia per passare nella bandadi conduzione.

Nel complesso il sistema rimane elettricamente neutro perche appena l’elettrone abbandona la banda di va-lenza, lascia l’atomo di As ionizzato (cioe privo del quinto elettrone). La carica di tale ione, che prende il nomedi carica fissa, e ovviamente positiva e bilancia la carica negativa passata in banda di conduzione. Nel comples-so, possiamo considerare il sistema come se fosse costituito solo dal Ge ma con una carica positiva fissa ed unelettrone mobile. In questo caso la conduzione elettrica e dovuta essenzialmente al moto degli elettroni.

Un semiconduttore drogato con impurita di questo tipo, avente un eccesso di portatori mobili negativi, prendeil nome di semiconduttore di tipo n. E da sottolineare che l’energia necessaria a far passare l’elettrone nella bandadi conduzione e bassa ed e normalmente fornita dall’agitazione termica. Cio significa che a temperatura ambientepraticamente tutti gli atomi droganti risultano ionizzati.

Per calcolare l’energia dell’elettrone aggiuntivo, che va a collocarsi nella banda di conduzione, dobbiamo tenerconto anche dell’energia della carica positiva che altera il sistema. L’interazione tra lo ione positivo e l’elettronesi ricava tenendo presente l’effetto di schermo delle altre cariche presenti nel sistema. In definitiva, l’energiacomplessiva dell’elettrone aggiunto e

E = Ec −m∗e4

2~2ε2= Ec −

me4

2~2

m∗

mε2(3.31)

dove ε e la costante dielettrica che tiene conto dell’alterazione del potenziale, m∗ e la massa effettiva in quantol’elettrone non e isolato. Abbiamo, inoltre, riscritto il risultato per mettere in evidenza il termine me4

2~2 ' 13.6 eV

che rappresenta l’energia del primo livello dell’atomo di idrogeno. Per il Ge la costante dielettrica vale: ε = 16 em∗

m ' 10−1. In sostanza l’energia di legame dell’elettrone con lo ione positivo e nettamente piu piccola rispetto allivello di fondo della banda di conduzione portando quindi l’elettrone ad un livello energetico di poco al di sottodi Ec (vedi figura 3.7)

me4

2~2

m∗

mε2 Ec ⇒ E = Ec − (10−2 eV) (3.32)

Bisogna sottolineare che l’espressione 3.31 vale per T = 0, mentre per temperature maggiori bisogna aggiungere


un termine cinetico. Tuttavia i risultati ottenuti restano ancora validi.

Figura 3.7: Rappresentazione delle bande di energia di un semiconduttore drogato di tipo n (caso a) e di tipo p (caso b). Inentrambi i casi la linea tratteggiata rappresenta l’energia acquisita dal portatore dopo il drogaggio del materiale.

Consideriamo adesso il caso in cui droghiamo il Ge con il gallio (Ga). Ogni atomo di Ga possiede tre elettronidi valenza pertanto, all’interno del reticolo cristallino, ha solo tre elettroni sull’ultima orbita. Per completareil legame mancante, l’atomo di Ga attira un elettrone da uno dei legami Ge-Ge, ricostruendo la simmetria delreticolo. Adesso l’atomo di Ga e ionizzato negativamente e il Ge positivamente. In sostanza otteniamo un sistemain cui abbiamo una carica negativa fissa (Ga) ed una lacuna mobile (Ge). Un semiconduttore drogato con impuritadi questo tipo, avente un eccesso di portatori mobili positivi, prende il nome di semiconduttore di tipo p

In questo caso, il livello aggiuntivo e poco al di sopra della banda di valenza e la conduzione e dovuta essen-zialmente al moto delle lacune. Come e mostrato in Fig. 3.7 b) Ep e il livello aggiunto in seguito al drogaggio ditipo p.

3.2 Giunzione p-n

Una giunzione p-n si ottiene quando in corrispondenza di una sezione di un semiconduttore si ha un brusco pas-saggio da drogaggio di tipo p a drogaggio di tipo n. Per semplicita si puo pensare a due barrette di semiconduttore,una di tipo p, l’altra di tipo n, poste a contatto anche se in realta la giunzione viene creata a partire da un’unicabarretta. Nelle due meta il drogaggio e uniforme ed e effettuato in maniera tale che si hanno le cariche negativefisse e quelle positive mobili in una zona e viceversa nell’altra, come mostrato in Fig. 3.8, dove Na e Nd sono ledensita di drogante.

Figura 3.8: Rappresentazione delle cariche fisse in una giunzione p-n .

La condizione iniziale e che si impedisca che le cariche si spostino e che si abbia una precisa concentrazionedi densita sulle due zone della giunzione

3.2 Giunzione p-n 43

Nd(x) =

Nd x > 0

0 x < 0

, Na(x) =

0 x > 0

Na x < 0

(3.33)

I donatori d (atomi di As) forniscono ulteriori elettroni alla banda di conduzione, mentre gli accettori a (atomi diGa) forniscono ulteriori buche alla banda di valenza.

Facciamo, ora, in modo che le cariche possano muoversi e ridistribuirsi finche non si raggiunga una nuovacondizione di equilibrio. Gli elettroni liberi dal lato n diffondono verso la zona p e vengono catturati dalle lacune.Le lacune scompaiono e gli atomi associati diventano carichi negativamente, diventano cioe ioni negativi. Ovvia-mente lo stesso ragionamento si puo fare per la lacune provenienti dalla zona p che diffondono nella zona n: essevengono ”riempite” dagli elettroni associati agli atomi droganti, che restano carichi positivamente, ossia formanodegli ioni positivi. In corrispondenza della giunzione si forma allora una regione di ioni positivi (lato n) e negativi(lato p), privi di cariche mobili. Tale regione prende il nome di zona di svuotamento.

Figura 3.9: giunzione p-n dopo la diffusione; i segni cerchiati rappresentano gli ioni, non cerchiati le cariche mobili.

Man mano che le cariche diffondono, la zona di svuotamento diventa sempre piu ampia ed un campo elettricodovuto agli ioni si crea proprio in tale zona. Tale campo (diretto dalla zona n a quella p) si oppone alla diffusionedelle cariche libere, sino a quando esso costituisce una vera e propria barriera di potenziale che impedisce aglielettroni e lacune di attraversare ulteriormente la giunzione. In altri termini, un elettrone proveniente dalla zona nche cerca di entrare nella zona p incontra un ”muro” di ioni negativi che lo spinge nuovamente nella zona n. Insostanza il processo tende a caricare positivamente il materiale di tipo n, e negativamente il materiale di tipo p finoad un certo limite. Si crea quindi una differenza di potenziale φ(x) applicata, in pratica, alla zona di svuotamento(Fig. 3.10).

Figura 3.10: Differenza di potenziale che si instaura in una giunzione p-n dopo il fenomeno della diffusione.


Alla luce di quanto detto le espressioni (3.10) di nc(T ) e pv(T ) diventano

nc(T ) = Nc(T ) e−β(Ec−eφ(x)−µ)

pv(T ) = Pv(T ) e−β(µ−Ev+eφ(x))

(3.34)

Queste equazioni sono valide in prossimita della giunzione, dove si e venuta a creare una barriera di potenziale.Mentre per x→∞, ovvero lontano dalla giunzione, la concentrazione dei portatori di carica deve essere pari allaconcentrazione dei droganti Nd ed Na

nc(∞) = Nc(T ) e−β(Ec−eφ(∞)−µ) = Nd

pv(−∞) = Pv(T ) e−β(µ−Ev+eφ(−∞)) = Na

(3.35)

Dalle relazioni (3.34) ed (3.35) si ricava

KBT ln Nc(T )

Nd= Ec − eφ(∞)− µ

KBT ln Pv(T )Na

= µ− Ev + eφ(−∞)

(3.36)

e sommando membro a membro

e∆φ.= e[φ(∞)− eφ(−∞)] = Eg −KBT ln

Nc(T )Pv(T )

NdNa(3.37)

dove ∆φ e la differenza di potenziale ai capi della barretta. Essenzialmente risulta quindi e∆φ ' Eg cioepossiamo trascurare il secondo termine, quindi, la densita dei trasportatori di carica dipende quasi totalmente da∆φ . Dalle espressioni (3.34) e (3.35) possiamo scrivere le relazioni che legano le densita dei portatori nc e pv alpotenziale φ(x). In questo caso le densita dei portatori sono una funzione della posizione.

nc(x) = Nd e

−β(φ(∞)−φ(x))e

pv(x) = Na e−β(φ(x)−φ(−∞))e

(3.38)

Per determinare il potenziale φ(x) utilizziamo l’equazione di Poisson. Sia ε la costane dielettrica del materiale el’equazione fondamentale dell’elettrostatica diviene

4φ(x) = −4π

ερ(x) (3.39)

la cui densita di carica ρ, nel nostro caso, e data come ρ(x) = e[Nd(x) − nc(x) −Na(x) + pv(x)]. Sostituendoquesta espressione in quella di Poisson e tenendo conto delle relazioni (3.38), si ottiene un’equazione differenzialetrascendete la cui soluzione e possibile solo numericamente. Per questo motivo e conveniente effettuare delleapprossimazioni e delle semplificazioni nel modello della giunzione pn. Dividiamo la giunzione in quattro zone(vedi figura 3.11).

3.2 Giunzione p-n 45

In sostanza abbiamo diviso l’asse reale in quattro regioni, indicando con dn e −dp la distanza dopo la qualeφ(x) ha raggiunto rispettivamente il valore φ(∞) e φ(−∞). In corrispondenza delle quattro regioni abbiamo

I)II)III)IV)

x > dn

0 < x < dn

−dp < x < 0

x < −dp

ρ(x) = 0

ρ(x) = eNd

ρ(x) = −eNaρ(x) = 0

(3.40)

Figura 3.11: andamento della densita dei portatori di carica.

L’equazione di Poisson (3.39) diviene

I)

II)

III)

IV)

d2φ

dx2 = 0

d2φ

dx2 = − 4πε eNd

d2φ

dx2 = 4πε eNa

d2φ

dx2 = 0

(3.41)

le cui condizioni al contorno per il potenziale elettrostatico ed il suo gradiente sono

φ(dn) = φ(∞)

φ′(dn) = φ′(x)|x=∞

φ(−dp) = φ(−∞)

φ′(−dp) = φ′(x)|x=−∞

(3.42)

La soluzione del sistema di equazioni (3.41) nelle quattro zone e facilmente riscontrabile come segue

φI(x) = φ(∞)

φII(x) = φ(∞)− 2πeNdε (x− dn)2

φIII(x) = φ(−∞) + 2πeNaε (x+ dp)2

φIV (x) = φ(−∞)

(3.43)

Imponendo che i potenziali φII e φIII sia uguali in x = 0 si ricava la larghezza della zona di svuotamento dellagiunzione

dn,p =

(NaNd

)±1ε∆φ

2πe(Na +Nd)

1/2

(3.44)

L’ordine di grandezza di tali lunghezze per parametri tipici e 102 ÷ 104 angstrom, ossia le regioni II e III sonomolto piccole. Sostituendo i risultati ottenuti nelle espressioni (3.38) otteniamo

nc(x) = Nd e

−β 2πeNdε (x−dn)2

pv(x) = Na e−β 2πeNa

ε (x+dp)2

0 < x < dn

−dp < x < 0

(3.45)

Come notiamo in Fig. 3.12 abbiamo ottenuto che tra −dp e dn non ci sono trasportatori di carica, per cui inseritaun un circuito, la giunzione sara un elemento con alta resistenza.

Figura 3.12: Densita di portatori di carica in funzione della posizione.

3.3 Giunzione p-n come elemento circuitale: il diodo

Consideriamo la dinamica della giunzione quando a questa ultima e applicata una differenza di potenziale. Infigura 3.13 riportiamo schematicamente quanto detto. Il potenziale V e come se si instaurasse ai capi della zona(−dp, dn) poiche presenta maggiore resistenza. Il potenziale agisce, quindi, direttamente sulla barriera e risultera

∆φ(V ) = ∆φ(0)− eV (3.46)

Questo e il caso in cui il potenziale maggiore si trovi a contatto con la zona p e il potenziale minore con la zonan e si dice che la giunzione e polarizzata direttamente. La barriera di potenziale, che si instaura all’equilibrio,risulta abbassata di una quantita ∆φ(0) − eV essendo V il potenziale applicato. Gli elettroni adesso possonopassare facilmente dalla zona n alla zona p con poca spesa di energia.

Se invertiamo la tensione applicata V , cioe la zona p e connessa con il potenziale piu basso e la zona n conil potenziale piu alto, la giunzione si dice polarizzata inversamente. In questo caso il campo impresso da talepolarizzazione allontana gli elettroni liberi dalla regione n della giunzione verso il polo positivo della sorgente di

3.3 Giunzione p-n come elemento circuitale: il diodo 47

Figura 3.13: giunzione polarizzata direttamente.

tensione. Allo stesso modo allontana le lacune dalla zona p della giunzione verso il polo negativo della sorgente. Inpratica, al campo elettrico dovuto agli ioni fissi all’equilibrio si somma un ulteriore campo elettrico che ionizza unmaggior numero di atomi nella zona della giunzione e allarga ulteriormente la zona di svuotamento. Dal punto divista del potenziale, la barriera tra la zona p e la zona n aumenta rispetto al valore di equilibrio e vale ∆φ(0)−eV .

Ripetendo il procedimento precedente, con ∆φ(V ) calcolato in ∆φ(0), ricaviamo le lunghezze dn,p

dn,p(V ) = dn,p(0)

[1− eV

∆φ(o)

] 12

(3.47)

come ci aspettavamo. Abbiamo ottenuto che a seconda del segno di V la zona (−dp, dn) aumenta o diminuisce,come mostrato in Fig. 3.14

Figura 3.14: Variazione della zona (−dp, dn) per polarizzazione diretta e inversa.

Consideriamo ora il flusso di massa, distinguendo tra Jh e Je , cioe rispettivamente il flusso di massa delle la-cune e il flusso di massa degli elettroni. La corrente che circola nel semiconduttore dipende da entrami i contributi,percio avremo

j = e(Jh − Je) (3.48)

Soffermiamoci per il momento su Jh. La maggior parte degli elettroni liberi e dovuta ai donatori ma comunqueci saranno anche delle coppie elettrone-lacuna create per agitazione termica. Le lacune sono accelerate dalladifferenza di potenziale dovuta a V e migrano nel lato p. Questo contributo alla corrente e detto corrente di

generazione e la indichiamo con Jgenh . Tale corrente e diretta da n verso p.

Nel lato p, ci sono le lacune degli accettori che per passare in n devono superare la barriera di potenziale equindi, devono avere una energia sufficiente per farlo. Tale corrente e nota come corrente di ricombinazione e laindichiamo con Jrich risultando essere

Jrich ' e−βe∆ϕ(V ) (3.49)


Tale corrente e diretta da p verso n. Si noti che Jgenh e indipendente dal potenziale V ma dipende solo dalla tem-peratura, quindi possiamo scrivere: Jgenh (V ) = Jgenh (0). Mentre Jgenh e funzione del potenziale V . Imponendoche per V = 0 non ci sia passaggio di cariche otteniamo la relazione

Jrich (V ) = Jgenh eβeV (3.50)

Sommando i due contributi per Jh abbiamo

Jh = Jrich − Jgenh = Jgenh (eβeV − 1) (3.51)

Ripetendo lo stesso discorso per gli elettroni si ricava:

Je = −Jgene (eβeV − 1) (3.52)

Quindi la corrente totale e la seguente

j = e(Jh − Je) = e[Jgenh (eβeV − 1) + Jgene (eβeV − 1)]

j = e(eβeV − 1)(Jgenh + Jgene )

j = A(eβeV − 1) con A = e(Jgenh + Jgene )

(3.53)

In Fig. 3.15 abbiamo riportato il risultato ottenuto dalla 3.53 e come si puo notare per V → +∞ la corrente ha unandamento esponenziale; per V → −∞ la corrente tende a un valore costante −A, mentre per V = 0 , j = 0 .

Figura 3.15: Caratteristica di una giunzione p-n

Capitolo 4

Superconduttivita

4.1 Cenni storici

La superconduttivita e una nuova fase della materia che si presenta quando la temperatura di un sistema scendeal di sotto di un temperatura cosiddetta critica: quest’ultima e caratteristica di ogni materiale. Ripercorriamo,brevemente, la storia che ha portato alla scoperta e alla spiegazione di questo fenomeno.

La scoperta della superconduttivita avvenne fortuitamente nel 1911 in seguito agli esperimenti del fisico olan-dese H. K. Onnes. Nel 1908, egli riusci incredibilmente a liquefare l’elio portandolo alla temperatura di 4 K. Cioaprı la strada all’esplorazione di campi temperatura mai raggiunti prima. Studiando le proprieta elettriche dellamateria, egli osservo la scomparsa della resistenza nel mercurio al di sotto di una certa temperatura. In particolarela resistenza diminuiva con una brusca transizione fino a valori non misurabili. Onnes intuı che si trattava di unnuovo stato della materia con proprieta elettriche completamente diverse da quelle note fino a quel momento e lochiamo: stato superconduttivo.

Nel 1933 due fisici tedeschi, Meissner e Ochsefeld, scoprirono che i superconduttori, oltre ad essere dei perfetticonduttori, sono anche dei perfetti materiali diamagnetici, cioe capaci di impedire al flusso del campo magneticodi penetrarlo, sviluppando delle correnti superficiali di schermo. L’espulsione del flusso magnetico e nota oggicome effetto Meissner. Tale effetto avviene solo se il campo magnetico non e molto grande altrimenti questopenetra nel superconduttore e il materiale perde il suo stato superconduttivo.

Nel 1935 i fratelli London svilupparono un modello classico che spiega macroscopicamente lo stato di resi-stenza nulla e l’effetto Meissner. Questi due fenomeni vengono descritti mediante due equazioni, dette equazionidi London.

Nel 1950 due studiosi russi, Ginzburg e Landau, svilupparono una teoria fenomenologica della supercondutti-vita, basata sulla teoria statistica delle transizioni di fase. Tuttavia, non si riusciva ancora a spiegare il fenomenodal punto di vista microscopico. Tale traguardo fu raggiunto solo nel 1957 grazie a tre fisici americani Bardeen,Schrieffer e Cooper. I quali svilupparono un modello quantistico e microscopico in grado di descrivere comesi forma lo stato superconduttivo. Questa teoria, nota come Teoria BCS, costituisce tuttora la spiegazione piuesauriente della superconduttivita dei materiali metallici ma non e in grado di descrivere il comportamento deimateriali ceramici.

Negli anni successivi, l’interesse per i superconduttori e per le potenziali applicazioni e andato man manocrescendo, sopratutto dopo la scoperta nel 1961 di materiali in grado di sostenere correnti e campi molto elevati,detti superconduttori di tipo II. Un normale superconduttore, infatti, non si presta all’utilizzo industriale a causadelle basse correnti che possono circolare. I superconduttori di secondo tipo, quindi, diedero ulteriore impulsoalla ricerca risvegliando l’interesse per le applicazioni di potenza. La continua ricerca e l’ indagine dei fenomeni

49

50 Capitolo 4 Superconduttivita

conduttivi a basse temperature ha prodotto la scoperta di materiali e leghe ceramiche che manifestano la supercon-duttivita a temperature sempre piu alte. Ad esempio, il composto HgBa2Ca2Cu3O8 e superconduttivo gia a 135K. Tutti i materiali che transiscono a temperature superiori a 90 K sono detti: superconduttori ad alta temperatura

critica (HTS).

Nei paragrafi successivi analizzeremo i superconduttori dal punto di vista macroscopico cercando di dareun’interpretazione termodinamica del fenomeno e studieremo le equazioni di London che forniscono una validainterpretazione della resisivita nulla e dell’effetto Meissner. Mentre, daremo solo alcuni cenni della ”Teoria BCS”.

4.2 Proprieta macroscopiche dei superconduttori

La prima proprieta che si osserva, quando e presente la fase superconduttiva, e la scomparsa della resistivitaelettrica nel materiale. La resistivita dipende dall’interazione degli elettroni di conduzione con gli ioni del reticolocristallino, che vibrano intorno alla loro posizione d’equilibrio. Questo fenomeno, al diminuire della temperatura,si smorza e ci aspettiamo che la resistenza tenda ad un valore limite molto basso ma comunque presente a causadell’interazione tra elettroni e reticolo. Sperimentalmente otteniamo, invece, che la resistenza decresce nel mododescritto fino ad un valore di temperatura detto temperatura critica Tc dopodiche precipita bruscamente fino avalori non misurabili. L’andamento e mostrato in figura 4.1 b) e si puo notare la transizione repentina intorno a Tc

Figura 4.1: Andamento della resistivita in funzione della temperatura per: a) materiali conduttori; b) materialisuperconduttori.

Se applichiamo una differenza di potenziale ad un anello di materiale superconduttivo, nascera una corrente~J . Successivamente annullando la differenza di potenziale si osserva che la corrente non decade nel tempo macontinua a circolare senza perdite. Dalla legge di Ohm ~E = ρ ~J segue che in un corpo con resistivita nulla edensita di corrente finita il campo elettrico deve essere nullo ~E = 0.Pertanto dalla legge di Maxwell (5.7) si ricavache il campo magnetico di induzione all’interno del materiale e costante. Infatti

~∇∧ ~E = −1

c

∂ ~B

∂t⇒ −∂

~B

∂t= 0 ⇒ ~B = cost (4.1)

Si osserva, inoltre, che la transizione dalla fase normale alla fase superconduttiva non e regolata solo dalla tempe-ratura ma dipende anche dal campo magnetico esterno ~H . Infatti, dato un campo ~Hc, caratteristico del materiale,per ~H < ~Hc siamo nella fase superconduttiva, mentre per ~H > ~Hc la superconduttivita scompare. Inoltre ~H

dipende dalla temperatura e si ottiene la relazione

4.2 Proprieta macroscopiche dei superconduttori 51

Hc(T ) = Hc(0)

[1−

(T

Tc

)2 ](4.2)

valida per quasi tutti i fenomeni, dove Hc(0) e il campo critico quando T = 0.

Alla luce di quanto detto, si ricava che lo stato superconduttivo non e uno stato di equilibrio dal punto di vistatermodinamico. Infatti, si ottengono, da uno stato iniziale uguale, diversi stati finali, passando per trasformazionidiverse. Consideriamo il seguente schema

(T1 > Tc) , (T2 < Tc) , ~H

(T1, ~H = 0) −→

(T1, ~H = 0) −→

(T2, ~H = 0) −→

(T1, ~H 6= 0) −→

(T2, ~H 6= 0) −→

(T2, ~H 6= 0) −→

~B = 0

~B 6= 0

(4.3)

Nel prima caso, ~B = 0 in quanto abbiamo applicato il campo ~H quando il materiale era nella fase di supercon-duttiva. Nel secondo caso il campo ~H e applicato nella fase normale e poiche il campo ~B si conserva otteniamocome stato finale che ~B = ~H . Gli stati finali sono, quindi, diversi. Successivamente Meissner riuscı a dimostrareche il campo ~B, all’interno del materiale nella fase superconduttiva e sempre costante ma identicamente ugualea zero. Considerando l’equazione costitutiva dell’Elettromagnetismo (5.3) esprimiamo l’induzione magnetica infunzione della magnetizzazione ~M e del campo magnetico applicato ~H

~B = ~H + 4π ~M (4.4)

Questo implica che, per ~B = 0, il vettore magnetizzazione e uguale ed opposto al vettore campo magnetico.Questo singolare comportamento e dovuto macroscopicamente alla circolazione di correnti in prossimita dellasuperficie del materiale, dette supercorrenti superficiali, che danno luogo ad un campo di induzione magneticainterno uguale ed opposto a quello esterno, realizzando uno schermo magnetico. Queste correnti persistono anchequando il campo esterno viene rimosso.

Un altra proprieta della fase superconduttiva e la quantizzazione del flusso magnetico: consideriamo un anellodi materiale superconduttore:

Figura 4.2: Interazione del campo magnetico con un materiale superconduttore al variare di T e ~H .


Come si puo osservare in Fig.4.2, il campo ~H permea il materiale quando quest’ultimo non si trova nella fasenormale. In fase superconduttiva, mentre, il campo esterno non attraversa il materiale. E interessante osservarecosa succede quando annulliamo il campo esterno, le correnti persistenti che si opponevano ad ~H continuanoa circolare e le linee di forza non potendo attraversare il materiale rimangono confinate all’interno e danno uncontributo al flusso magnetico concatenato con l’anello. Questo flusso risulta essere quantizzato e precisamente

Φ =

∫~B · d~S ⇒ Φ = nΦ dove Φ =

hc

2e(4.5)

2e rappresenta la carica unitaria della superconduttivita in quanto quest’ultima e un fenomeno che avviene a causadell’interazione tra una coppia di elettroni.

4.2.1 Parametri critici

Abbiamo visto che la temperatura critica Tc e il campo critico ~Hc determinano il passaggio dallo stato normaleallo stato superconduttivo ma non sono gli unici fattori che influenzano il processo. La superconduttivita, infatti,dipende fortemente anche dalla frequenza del campo applicato e dal valore della corrente che circola nel materiale.Analizziamo dettagliatamente questi parametri.

• Campo critico. L’espulsione del campo magnetico esterno, ovvero l’effetto Meissner, avviene fino ad uncerto valore limite del campo detto ~Hc e che e caratteristico di ogni materiale. Quando ~H > ~Hc il campopenetra all’interno del materiale e perde le proprieta superconduttive. L’andamento del campo ~B e dellamagnetizzazione ~M in funzione del campo ~H sono mostrati in Fig. 4.3

Figura 4.3: Induzione magnetica ~B e magnetizzazione ~M in materiale superconduttore al variare del campo magneticoapplicato.

• Frequenza critica. Quando un superconduttore viene immerso in un campo elettromagnetico variabile neltempo, esso mantiene le sue proprieta solo per frequenze inferiori ad un valore limite detto frequenza cri-tica. Superata questa frequenza la resistivita cresce fino a un valore caratteristico di un metallo normale, ilmateriale quindi perde le sue caratteristiche superconduttive. La frequenza critica e circa 10−11 Hz.

• Corrente critica La corrente critica ~Jc e il massimo valore della corrente che puo circolare in un super-conduttore affinche esso non passi allo stato normale. A differenza dei parametri definiti in precedenza(campo, frequenza e temperatura critica), che sono caratteristiche intrinseche di un materiale, la correntecritica dipende anche dal particolare provino considerato. La corrente che circola nel provino influisce sullatransizione del materiale sempre attraverso il campo magnetico, cioe quando la somma del campo esternoapplicato piu il campo indotto dalla corrente supera il valore ~Hc il materiale transisce.

4.2 Proprieta macroscopiche dei superconduttori 53

Le tre grandezze critiche importanti dal punto di vista tecnico (temperatura, campo e corrente) sono correlateda relazioni ricavate sperimentalmente e il cui andamento e mostrato in Fig. 4.4 per diverse leghe. Tale graficodescrive una superficie nello spazio H-T-J che separa la fase superconduttiva da quella normale e puo quindi essereconsiderato come un diagramma di fase del materiale.

Figura 4.4: Diagramma delle fasi per la lega Niobio Titanio e per i composti Nb3Sn e Nb3Ge.

4.2.2 Superconduttori del II tipo

In base al loro comportamento in presenza dei campi magnetici esterni, i superconduttori si dividono in duecategorie: superconduttori di tipo I e superconduttori di tipo II. Il comportamento magnetico descritto nei paragrafiprecedenti e quello dei materiali superconduttori del I tipo.

Nei materiali tipo II, il passaggio dallo stato normale allo stato superconduttivo non avviene in maniera nettacome nei materiali di tipo I. All’aumentare del campo il materiale rimane inizialmente in uno stato perfettamentediamagnetico, poi, raggiunto un valore di campo detto campo critico inferiore Hc1, il flusso magnetico cominciaa penetrare all’interno del materiale portandolo in uno stato detto stato misto. Se aumentiamo ancora il campoesterno fino ad un valore critico detto Hc2 il materiale ritorna nella fase normale.

Figura 4.5: Induzione magnetica ~B e magnetizzazione ~M in materiale superconduttore di tipo II al variare del campomagnetico applicato.


In Fig. 4.5 abbiamo riportato l’andamento della magnetizzazione e dell’induzione magnetica in un materialedi tipo II. Confrontando tale grafico con quello relativo ai materiali di tipo I (Fig. 4.3) si puo osservare unatransizione dallo stato Meissner ( ~B = 0) allo stato normale piu graduale. Di piu facile comprensione puo essereil confronto fra i diagrammi di fase dei due tipi di materiale (Fig. 4.6)

Figura 4.6: Confronto fra il diagramma delle fasi dei superconduttori di tipo I e II

L’andamento del valore del campo critico inferiore Hc1 e superiore Hc2 in funzione della temperatura con-sente di dividere il diagramma delle fasi dei superconduttori di tipo II in tre zone, rappresentative degli statisuperconduttivo, misto e normale.

4.3 Analisi termodinamica

Studiamo la superconduttivita da un punto di vista termodinamico. Le variabili sono la temperatura e il campoesterno applicato.

δL = PdV − ~H · d ~M = − ~H · d ~M

dU = δQ− δL

dU = TdS + ~H · d ~M

(4.6)

Il termine PdV e nullo in quanto le variazioni di volume non sono apprezzabili. Questo impone che nella fasesuperconduttiva il reticolo non subisca variazioni rispetto alla fase normale. Introduciamo l’energia libera di

Helmholtz cosı definita

F = U − TS (4.7)

quindi

dF = dU − TdS − SdT = −SdT + ~H · d ~M ⇒

S = −∂F∂T | ~H

~H = ∂F

∂ ~M|T

(4.8)

4.3 Analisi termodinamica 55

Siccome ~M e ~B non sono indipendenti fra loro ma devono soddisfare la relazione (4.4) per un dato valore delcampo esterno ~H abbiamo che le variazioni di ~B sono legate a quelle di ~M (d ~B = 4π d ~M )

dF = −SdT +1

4π~H · d ~B ⇒

S = −∂F∂T | ~B

~H = 4π ∂F∂ ~B|T

(4.9)

Nello studio della superconduttivita non e conveniente avere come variabile termodinamica l’induzione ma-gnetica, in quanto non e facile misurarla e soprattutto fare delle misure con ~B costante. Il problema si semplificanotevolmente se consideriamo ~H come variabile, in quanto possiamo variare il suo valore facilmente, essendo unagrandezza che regoliamo esternamente.

Introduciamo, quindi, l’energia libera di Gibbs cosi definita

G = F − 1

4π~H · ~B (4.10)

da cui otteniamo in termini di differenziali

dG = dF − 1

4π~H · d ~B − 1

4π~B · d ~H ⇒

S = −∂G∂T | ~H

~B = −4π ∂G∂ ~H|T

(4.11)

Consideriamo una trasformazione isoterma in cui il campo magnetico ~H ′ vari tra zero ed ~H . Dalla secondaequazione della (4.11) abbiamo

dG = − 1

4π~B · d ~H ⇒ G(T,H)−G(T, 0) = − 1

4π

∫ H

0

~B( ~H ′) · d ~H ′ (4.12)

Tale relazione vale per ogni materiale che si trova sia in fase normale che in fase superconduttiva. Consideriamo,ora, due sistemi, uno in fase normale e uno in fase superconduttiva

Gn(T,H)−Gn(T, 0) = − 1

4π

∫ H

0

~B( ~H ′) · d ~H ′ = − 1

4π

∫ H

0

H ′dH ′ =H2

8π(4.13)

Gs(T,H)−Gs(T, 0) = 0 (4.14)

poiche ~B e nullo per l’effetto Meissner. Le due energie sono uguali quando si ottiene la transizione di fase, equesto avviene quando il campo esterno ~H assume il valore ~Hc

Gn(T,Hc) = Gs(T,Hc)

Gn(T, 0)− H2c (T )8π = Gs(T, 0)

(4.15)

Si nota inoltre che se ~H = 0 l’energia di Helmholtz e l’energia di Gibbs coincidono, quindi abbiamo

Fn(T, 0)− H2c (T )

8π= Fs(T, 0) ⇒ Fn(T, 0)− Fs(T, 0) =

H2c (T )

8π> 0 (4.16)

In assenza di campo esterno ed a una temperatura inferiore a Tc l’energia della fase superconduttiva e minore

di quella nella fase normale e di conseguenza il sistema si pone nello stato superconduttivo.

Tenendo conto che Gs(T,H) = Gs(T, 0) e sommando membro a membro la (4.13) e la (4.16) otteniamo

Gn(T,H)−Gn(T, 0) +Gn(T, 0)−Gs(T, 0) = −H2

8π +H2c (T )8π

Gs(T,H)−Gn(T,H) = 18π (H2 −H2

c (T ))

(4.17)

Con questa relazione abbiamo ottenuto l’informazione riguardante il campo magnetico esterno. Quindi a secondadei valori di ~H , dato un certo valore di ~Hc abbiamo fase normale e superconduttiva. Graficamente otteniamo

Figura 4.7: Andamento di Gn(T,H) in funzione del campo esterno applicato H .

Siccome l’entropia S e legata all’energia di Gibbs dalla relazione (4.11) otteniamo

Ss(T,H)− Sn(T,H) =1

8π

∂H2c (T )

∂T=

1

4πHc(T )

∂Hc(T )

∂T(4.18)

e ricavando dal punto di vista sperimentale che Hc(T ) = Hc(0)

[1−

(TTc

)2 ]otteniamo

Ss(T,H)− Sn(T,H) =1

4πHc(0)

[1−

(T

Tc

)2 ]Hc(0)(−2T

T 2c

) = − 1

πHc(0)Hc(T )

T

T 2c

< 0 (4.19)

Quindi, la fase superconduttiva presenta un’entropia minore ovvero un ordine maggiore.

Calcoliamo, ora, il calore specifico rispetto alle due fasi

c =∂Q

∂T= T

∂S

∂T(4.20)

4.4 Modello di London 57

cs − cn = T [−Hc(0)2πT 2

c]− ∂

∂T [Hc(T )T ] = −Hc(0)2π

TT 2cHc(T ) + T ∂

∂THc(T ) =

= −Hc(0)2π

TT 2cHc(T ) + T [Hc(0)(− 2T

T 2c

)] = −Hc(0)2π

TT 2cHc(T )− 2Hc(0) T

2

T 2c

= −Hc(0)2π

TT 2cHc(0) [1− T 2

T 2c

]− 2Hc(0) T2

T 2c = −H

2c (0)2π

1Tc TTc −

T 3

T 3c− 2T

3

T 3c =

−H2c (0)2π

1Tc TTc − 3T

3

T 3c =

H2c (0)2π

1Tc3T

3

T 3c− T

Tc

(4.21)

In definitiva abbiamo ottenuto:

cs − cn =H2c (0)

2π

1

Tc

3T 3

T 3c

− T

Tc

(4.22)

Conoscendo la differenza tra cs e cn possiamo quantificare il salto nell’andamento del calore specifico perT = Tc

cs − cn = ∆c|T=Tc =H2c (0)

π

1

Tc(4.23)

Figura 4.8: Calore specifico per un materiale superconduttore cs e per un materiale normale cn.

4.4 Modello di London

Il ragionamento fisico che conduce al modello di London e lo stesso che e alla base del modello a due fluidi. Ipo-tizziamo, cioe, che il numero totale di elettroni di conduzione n e dato dalla somma di due contributi: gli elettroninormali nn e gli elettroni superconduttivi ns. Quando la temperatura del sistema si avvicina alla temperatura cri-tica, ns → n, quindi il numero di superelettroni e molto maggiore rispetto agli elettroni normali e si manifestanole proprieta superconduttive. La corrente che circola all’interno del materiale sara, quindi, anch’essa data dallasomma della corrente normale ~Jn piu la corrente superconduttiva ~Js:

~J = ~Jn + ~Js dove: ~Jn = −enn~vn ; ~Js = −ens~vs (4.24)


A differenza del modello a due fluidi, il modello di London considera l’esistenza di un campo esterno diversoda zero ~H 6= 0 e introduciamo inoltre i seguenti campi:

• ~H(~r): e il campo esterno responsabile della scomparsa della superconduttivita per dati valori.

• ~h(~r): e il campo interno microscopico dovuto sia al campo esterno ~H che ad un eventuale magnetizzazione.

• ~B(~r): e il campo interno macroscopico che e legato ad ~h(~r) dalla seguente relazione:

~B(~r) =1

V

∫V

~h(~r) d3~r (4.25)

L’ipotesi fondamentale su cui si basa il modello e la validita dell’equazione di Newton per la dinamica deisuperelettroni. Tale equazione nel nostro caso la possiamo riscrivere come segue:

md~vsdt

= −e[~e(~r) +

~vsc∧ ~h(~r)

](4.26)

dove ~e(~r) e il campo elettrico microscopico. Siccome ~vs = vs(~r, t) abbiamo:

d~vsdt

=

3∑i=1

d~vsdri

ri +∂~vs∂t

= (~vs · ~∇)~vs +∂~vs∂t

(4.27)

∂~vs∂t

+ (~vs · ~∇)~vs =e

m

[~e(~r) +

~vsc∧ ~h(~r)

](4.28)

∂~vs∂t

+ (~vs · ~∇)~vs +e

m~e(~r) = − e

m

~vsc∧ ~h(~r) (4.29)

Dall’analisi vettoriale, otteniamo:

(~vs · ~∇)~vs = ~∇(

1

2v2s

)−~vs ∧ (~∇∧ ~vs) (4.30)

∂~vs∂t

+ ~∇(

1

2v2s

)−~vs ∧ (~∇∧ ~vs) +

e

m~e(~r) = − e

m

~vsc∧ ~h(~r) (4.31)

∂~vs∂t

+ ~∇(

1

2v2s

)+e

m~e(~r) = ~vs ∧

(~∇∧ ~vs −

e

mc~h(~r)

)(4.32)

Definendo ~Q.= ~∇∧ ~vs − e

mc~h(~r) , otteniamo:

∂~vs∂t

+ ~∇(

1

2v2s

)+e

m~e(~r) = ~vs ∧ ~Q (4.33)

Applichiamo il rotore ad ambo i membri:

4.4 Modello di London 59

∂

∂t

(~∇∧ ~vs

)+e

m

(~∇∧ ~e(~r)

)= ~∇∧

(~vs ∧ ~Q

)(4.34)

Poiche ~∇∧ ~e(~r) = − 1c∂~h∂t otteniamo:

∂

∂t

(~∇∧ ~vs

)− e

mc

∂~h

∂t= ~∇∧

(~vs ∧ ~Q

)(4.35)

∂

∂t

~∇∧ ~vs −

e

mc~h(~r)

=

∂

∂t~Q = ~∇∧ (~vs ∧ ~Q) (4.36)

Abbiamo, quindi, ricavato :

∂

∂t~Q = ~∇∧ (~vs ∧ ~Q) (4.37)

Supponiamo che a t = t0 non siano presenti campi magnetici ed abbassiamo la temperatura al di sotto di Tc.Non avendo correnti persistenti e relativi campi magnetici indotti abbiamo:

∂

∂t~Q(t0) = 0 (4.38)

Cio implica che ~Q(t) = 0 ∀t . Infatti:

∂∂t~Q(t0) = 0 ⇒ ∂

∂t~Q(t)|t=0 = 0 ⇒ lim

∆t→0

Q(t0+∆t)−Q(t0)∆t = 0

⇒ lim∆t→0

Q(t0+∆t)∆t = 0 ⇒ Q(t0 + ∆t) = 0

(4.39)

Quindi, ~Q(t) e nulla anche per istanti successivi. Adesso possiamo ricavare le equazioni che sono alla basedel modello di London:

∂∂t~vs + ~∇

(12v

2s

)= − e

m ~e(~r)

~∇∧ ~vs = emc~h

(4.40)

Il termine ~∇(

12v

2s

)si puo trascurare in quanto per ~vs elevati si generano campi magnetici intensi che

annullano la superconduttivita. Quindi, nel nostro caso ~v2s e un termine piccolo e possiamo trascurarlo.

Riscriviamo le equazioni in modo diverso:

~∇∧ ~vs = ~∇∧ (−~Jsens

) =e

mc~h ; ~∇∧ ~Js = −e

2nsmc

~h (4.41)


Introducendo la grandezza λ2L.= mc2

4πnse2, con λL detta: lunghezza di penetrazione di London, abbiamo:

~∇∧ ~Js = − 1

λ2L

c

4π~h (4.42)

In maniera analoga si ricava:

∂

∂t~Js =

c

λ2L

c

4π~e (4.43)

λL si puo esprimere anche in termini di x(T ). Infatti x(T ) = nsn ed abbiamo:

λ2L =

mc2

4πnx(T ) e2⇒ lim

T→Tcλ2L =∞ (4.44)

Quindi, la lunghezza λL diverge per valori di T che annullano la superconduttivita. Notiamo che per campielettrici nulli abbiamo ∂

∂t~Js = 0, ovvero una densita di corrente costante nel tempo non sono presenti appunto

effetti dissipativi.

Le due relazioni appena trovate 4.42 e 4.43 rappresentano le equazioni costitutive per la superconduttivita ehanno un ruolo simile a ~J = σ ~E per l’elettromagnetismo nella fase normale. Le equazioni di Maxwell non sonodisaccoppiate infatti:

~∇∧ ~e = −1

c

∂~h

∂t; ~∇∧ ~h =

4π

c~J +

1

c

∂~e

∂t(4.45)

e per poter poter scrivere delle relazioni contenenti ~e o ~H bisogna introdurre la relazione ~J = σ ~E . Dunqueper poter ricavare l’evoluzione temporale e spaziale dei campi elettromagnetici nella teoria di London bisognadisaccoppiare le equazioni di Maxwell con le equazioni costitutive ricavate precedentemente . Consideriamo:~J = ~Jn + ~Js

~∇∧ ~J = ~∇∧ ~Jn + ~∇∧ ~Js = σ~∇∧ ~e − 1

λ2L

c

4π~h = −σ

c

∂~h

∂t− 1

λ2L

c

4π~h (4.46)

Dalle equazioni di Maxwell abbiamo:

~∇∧ ~h =4π

c~J +

1

c

∂~e

∂t⇒ ~J =

c

4π~∇∧ ~h− 1

4π

∂~e

∂t(4.47)

~∇∧ ~J =c

4π~∇∧ (~∇∧ ~h)− 1

4π

∂

∂t~∇∧ ~e =

c

4π∇2~h− 1

4π

∂

∂t(−1

c

∂

∂t~h)

⇒ ~∇∧ ~J =c

4π∇2~h+

1

4πc

∂2

∂t2~h (4.48)

dall’equazione 4.46 ricaviamo:

4.5 Teoria BCS cenni 61

c

4π∇2~h+

1

4πc

∂2

∂t2~h = −σ

c

∂~h

∂t− 1

λ2L

c

4π~h (4.49)

che possiamo riscrivere come segue:

∇2~h− 1

c2∂2 ~h

∂t2− 4πσ

c2∂~h

∂t− 1

λ2L

~h = 0 (4.50)

Questa equazione descrive il campo ~h nella superconduttivita. Il termine in piu rispetto all’elettromagnetismonormale e 1

λ2L

~h che rappresenta un termine di massa e quindi non si ottiene un onda piana ma una funzione chedecresce esponenzialmente. Per λL →∞ e quindi per T → Tc riotteniamo l’elettromagnetismo normale.

Una relazione simile si ottiene per la corrente ~Js e per il campo elettrico ~e , mentre, per la resistivita ρsabbiamo:

∂2 ρ

∂t2+ 4πσ

∂ρ

∂t+e2

λ2L

ρ = 0 (4.51)

Le quattro equazioni ricavate per ~h, ~Js, ~e e ρs descrivono l’elettromagnetismo superconduttivo nel casopiu generale possibile.

4.5 Teoria BCS cenni

La Teoria BCS descrive con accuratezza il comportamento quantistico dei materiali superconduttori a bassa tem-peratura critica. Il problema iniziale che si pone e la comprensione della natura fisica dei nuovi portatori di caricache abbiamo chiamato superelettroni. Per comprendere questo fenomeno bisogna analizzare l’interazione tra glielettroni di conduzione e gli ioni positivi costituenti il reticolo cristallino.

Quando un elettrone di conduzione passa in prossimita di uno ione del reticolo, tra le due particelle si manifestaun’interazione attrattiva dovuta al segno opposto delle rispettive cariche elettriche. Al passaggio dell’elettrone, gliioni del reticolo tenderanno a spostarsi dalla loro posizione di equilibrio, formando un accumulo di carica positiva,che e in grado di esercitare una forza attrattiva sugli altri elettroni. Si viene cosı a creare una zona di maggioredensita di carica positiva che si muove come un’onda elastica attraverso il reticolo.

Figura 4.9: Rappresentazione della creazione di una disomogeneita locale di carica e di una coppia di Cooper.

Un secondo elettrone viene attratto dalla regione deformata e complessivamente i due elettroni sono sottopostiad una forza attrattiva, mediata dalla loro interazione con il reticolo cristallino, che compete con la forza direpulsione elettrostatica. Si viene a creare, quindi, una coppia di elettroni detta coppia di Cooper legata da unadebole energia che pero e sufficiente ad impedire che la coppia venga divisa a causa degli ostacoli della normale


conduzione. L’esistenza di questa forza di interazione e strettamente legata alla differenza tra l’inerzia degli ionidel reticolo cristallino e quella degli elettroni.

In effetti, se gli ioni spostati dagli elettroni tornassero immediatamente nella loro posizione di equilibrio, ladurata temporale dell’addensamento di carica elettrica non sarebbe sufficiente a creare l’interazione attrattiva. Tut-tavia gli ioni si muovono molto piu lentamente degli elettroni, ed una volta spostati dalla loro posizione originariarimangono nella nuova posizione per un certo tempo anche quando l’elettrone causa dello spostamento si e allon-tanato: per questo si forma la disomogeneita locale di carica. Al diminuire della temperatura l’agitazione termicadiminuisce e il maggiore tempo di permanenza degli ioni nella posizione di non equilibrio facilita il meccanismodi interazione attrattiva descritto.

Affinche si manifesti il fenomeno della superconduttivita e necessario che si formi un numero sufficiente dicoppie di Cooper: questo avviene in corrispondenza della temperatura critica. Gli elettroni della coppia di Cooperinteragiscono solo se loro distanza e inferiore ad un certo valore (caratteristico di ciascun superconduttore) cheprende il nome di lunghezza di coerenza. I due elettroni della coppia di Cooper non perdono energia interagendocon il reticolo cristallino e si scambiano, attraverso il reticolo, energia e momento. Le coppie di Cooper si trovanoquindi in un livello energetico tale da impedire la dissipazione.

Figura 4.10: Gap di energia tra il livello delle coppie di Cooper e gli elettroni normali.

La differenza di energia ∆ che separa lo stato quantico delle coppie di Cooper dal piu basso stato quanticodegli elettroni normali e la stessa energia necessaria per scindere i due elettroni della coppia. Questa energiapuo essere fornita da un campo magnetico esterno, che raggiunge il suo valore critico quando l’energia ad essoassociata e pari a ∆. Per valori di campo superiori le coppie di Cooper si sciolgono e il materiale diventa normale.Il doppietto elettronico puo anche essere distrutto fornendo energia con onde elettromagnetiche. In particolaree sufficiente che ai fotoni dell’onda incidente sia associata un’energia pari a hν = ∆ per rompere il legame eliberare i due elettroni normali. Di qui la spiegazione dell’esistenza di un valore di frequenza critica sopra il qualenon e possibile lo stato superconduttivo.

Capitolo 5

Misura della caratteristicatensione-corrente di un diodo

In questo capitolo descriveremo l’esperienza in laboratorio in cui abbiamo misurato la caratteristica tensione-corrente (3.53) di un diodo in polarizzazione diretta e inversa.

5.1 Descrizione del diodo

Il diodo a nostra disposizione, e a giunzione, costituito dall’unione tra un campione di semiconduttore di tipo p(eccesso di lacune) ed un campione di semiconduttore di tipo n (eccesso di elettroni), creati mediante diffusionedi sostanze droganti, rispettivamente, con impurita di tipo accettore e di tipo donatore. Saldando il materiale ditipo p con quello di tipo n attraverso la loro superficie di giunzione, si ha diffusione di elettroni in un senso e dilacune nell’altro e la loro neutralizzazione. Le cariche fisse vicine al piano di giunzione, e da esso separate, sonoquelle degli ioni donatori ed accettori, le quali generano una differenza di potenziale V0 (cavallo della giunzione),che impedisce un’ulteriore passaggio di carica, o meglio, passano solo quelle che hanno energia termica tale davincere la barriera di potenziale.

La legge che descrive l’andamento teorico della caratteristica tensione-corrente di un diodo a giunzione p-n estata ricavata nel paragrafo 3.3 ed e possibile riscriverla come segue

j = A(eβeV − 1) oppure I = I0(eβeV − 1) (5.1)

dove I e la corrente che scorre nel diodo.

5.2 Attivita di laboratorio

Gli strumenti utilizzati sono stati essenzialmente un Multimetro digitale, una basetta, un generatore di tensione,un diodo, due resistenze ohmiche ed il software Mathematica. L’esperienza e stata effettuata in due parti

1. Polarizzazione diretta del diodo:

2. Polarizzazione inversa del diodo;

La polarizzazione diretta consiste in una tensione esterna applicata al diodo, in modo tale da polarizzarepositivamente, rispetto ad n, il lato p. Questo comporta l’alterazione della barriera di potenziale, si ottiene l’effetto

63

64 Capitolo 5 Misura della caratteristica tensione-corrente di un diodo

di spingere i portatori di maggioranza all’estremita della giunzione, riducendo la zona con ioni non neutralizzati,causando cosı un abbassamento della barriera e quindi passaggio di corrente.

Realizzata la configurazione circuitale, vedi Fig. 5.1, abbiamo polarizzato direttamente il nostro diodo evariando la tensione del generatore misuriamo contemporaneamente la differenza di potenziale ai capi del diodoe quella ai capi della resistenza R2. Note le tensioni ai capi della resistenza e il valore di quest’ultima, tramite lalegge Ohm ricaviamo i valori della corrente che attraversa il circuito. La misura della corrente e stata effettuata nelsuddetto modo, perche la sensibilita dell’amperometro non permetteva una buona misura diretta di quest’ultima,poiche era molto bassa.

Figura 5.1: Schema circuitale per polarizzazione diretta del diodo.

Dopo aver realizzato la configurazione circuitale, Fig. 5.2, abbiamo polarizzato inversamente il nostro diodo,polarizzandone il lato p negativamente rispetto al lato n, innalzando il potenziale V0 della barriera. Cosı facendol’unica corrente che scorrera nel diodo sara quella dovuta ai portatori di minoranza (Piccola corrente). Per lamisura della caratteristica tensione-corrente del diodo, inseriamo una nuova resistenza,R1, che permette la misuradella tensione ai capi del diodo, in quanto in polarizzazione inversa questo assume una resistenza molto elevata,tale da non permettere una misura diretta della tensione ai suoi capi. Contemporaneamente, abbiamo misurato lacaduta di potenziale ai capi della resistenzaR2. Essendo quest’ultima nota, dalla legge di Ohm ricaviamo il valoredella corrente che circola nel diodo.

Figura 5.2: Schema circuitale per polarizzazione inversa del diodo.

5.3 Misure 65

5.3 Misure

Le resistenze utilizzate sono di valore pari a R1 = (986000 ± 1)Ω e R2 = (9830 ± 1)Ω. Riportiamo nel grafico5.3 i dati relativi alle misure della tensione e della corrente. Come si evince dal grafico i dati sperimentali seguonocon buona approssimazione l’andamento della legge 5.1.

Figura 5.3: Caratteristica tensione-corrente per polarizzazione diretta

Infine riportiamo nel grafico 5.4 i valori nel caso della polarizzazione inversa. L’andamento sperimentale ecoerente con quanto supposto che nel caso in cui il diodo sia polarizzato inversamente vi e comunque una piccolacorrente dovuta ai portatori di minoranza. Per quanto riguarda gli errori, sia sulle misure di tensione sia su quelledi resistenza abbiamo attribuito l’errore di sensibilita dei rispettivi strumenti.

Figura 5.4: Caratterizzazione tensione-corrente per polarizzazione inversa

Conclusioni

Il presente lavoro di tesi ha cercato di evidenziare gli aspetti di fisica fondamentale necessari allo studente dellalaurea Magistrale in Ingegneria per una piu agevole comprensione delle problematiche inerenti ai fenomeni con-duttivi. La strategia di sviluppo del lavoro e consistita nell’analizzare, pur brevemente e senza mai scendere inquestioni piu intime per la fisica, la meccanica quantistica e i fenomeni di trasporto di carica riguardo i materialisemiconduttori e superconduttori. Il punto di partenza e stato l’incongruenza sperimentale delle previsioni dellameccanica classica che hanno portato alla formulazione della meccanica quantistica. Siamo passati successiva-mente allo studio dei principi fondamentali della nuova teoria che spiegano microscopicamente la dinamica delleparticelle all’interno del reticolo. Senza scendere nella complessita dei fenomeni di interazione elettrostatica tra leparticelle, abbiamo schematizzato il reticolo prima come una serie di buche di potenziale che simulassero l’intera-zione elettrodinamica degli elettroni con gli ioni positivi (modello di Kronig e Penney), poi abbiamo consideratoun modello di elettroni liberi cioe in assenza di potenziale (modello di Sommerfel). Tali modelli hanno portatoalla definizione di un modello elettronico a bande che spiega le principali caratteristiche dei materiali condutto-ri, semiconduttori e isolanti, con particolare attenzione alle proprieta dei semiconduttori. Attraverso l’analisi delmoto delle lacune e degli elettroni, siamo giunti alla definizione della caratteristica tensione-corrente in una giun-zione p-n. Abbiamo affrontato, inoltre, il fenomeno della superconduttivita evidenziando gli aspetti fondamentalie dando un’interpretazione classica attraverso il modello di London. Mentre della teoria BCS, che rappresenta laformulazione compiuta del fenomeno descrivendo microscopicamente le cause che portano alla formazione dellecoppie di Cooper, abbiamo dato solo alcuni cenni. Il lavoro si e chiuso quindi passando alla sperimentazione inlaboratorio in cui abbiamo misurato sperimentalmente la caratteristica tensione-corrente in un diodo a giunzionep-n.

67

Appendice A: Elettromagnetismo diMaxwell

I fenomeni elettromagnetici nella loro vastita di applicazione e nel loro smisurato campo di validita sono riassu-mibili in pochissime leggi matematiche. In particolare le cosiddette leggi di Maxwell (contraltare della legge diNewton per i fenomeni meccanici) sono la base dell’elettromagnetismo per come oggi lo conosciamo fin dallameta del secolo XIX. In formule abbiamo

∇ ·D = 4π ρ (a) ∇×E +1

c

∂B

∂t= 0 (b)

(5.2)

∇ ·B = 0 (c) ∇×H− 1

c2∂D

∂t=

4π

cJ (d)

dove i cosiddetti campi fisici sono il campo di induzione elettrica D ed il campo magnetico H che sono connessirispettivamente alle sorgenti densita di carica ρ (5.2-a) e densita di corrente J (5.2-d), mentre c e la velocita della

luce c nel vuoto. L’operatore nabla e l’usuale vettore ∇ =

(∂∂x ,

∂∂y ,

∂∂x

). Ai campi D, H sono associati il

campo elettrico E e quello di induzione magnetica B che non sono indipendenti ma sono legati dall’equazione(5.2-b) ed infine l’equazione (5.2-c) che assicura la non esistenza dei monopoli magnetici.

Al set di equazioni differenziali alle derivate parziali bisogna aggiungere ancora quattro equazioni. Le primedue sono equazioni costitutive che legano il campo elettrico a quello di induzione elettrica e quello magneticoa quello di induzione magnetica. In queste relazioni compaiono le proprieta della materia in cui le equazioni diMaxwell sono analizzate

D = E + P, H = B− 4πM (5.3)

dove P ed M sono i campi della polarizzazione e della magnetizzazione del materiale. Nel caso di materialiisotropi le relazioni (5.3) divengono

D = εE, H =B

µ(5.4)

dove ε e µ sono la costante dielettrica e la permeabilita magnetica del materiale.

La conservazione della carica e garantita dall’equazione di continuita

69

70 Capitolo 5 Appendice A: Elettromagnetismo di Maxwell

∇ · J +∂ ρ

∂ t= 0 (5.5)

che lega le sorgnti del campo elettrico e del campo magnetico. Per concludere resta l’equazione di forza cheaccoppia i campi elettromagnetici alla materia. Questa e la cosiddetta forza di Lorentz per la quale ogni particelladotata di una carica q ed immersa in un campo elettromagnetico ne risente. In formula abbiamo

FLorentz = q (E +v

c×B) (5.6)

Nel caso in cui l’analisi avviene nel vuoto (P = 0, M = 0) le equazioni (5.2) collassano nelle piu noteespressioni

∇ ·E = 4π ρ (a) ∇×E +1

c

∂B

∂t= 0 (b)

(5.7)

∇ ·B = 0 (c) ∇×B− 1

c2∂E

∂t=

4π

cJ (d)

Ringraziamenti

Ringrazio il mio relatore Prof.re Arturo Stabile per gli utili consigli e gli insegnamenti accademici ma soprattuttoper essere stato un punto di riferimento. Per avermi insegnato che niente nella vita e troppo difficile e che con lostudio e l’impegno anche i traguardi piu ardui possono essere raggiunti.

Ringrazio i miei compagni di corso che si sono dimostrati essere non dei semplici colleghi ma degli amiciinsostituibili.

Un grazie di cuore a tutti i miei amici che in un modo o nell’altro hanno condiviso con me gioie e sacrifici,senza di voi oggi non sarei qui.

A mia madre e mio padre per aver sempre creduto nelle mie capacita. Spero di averli resi piu orgogliosi e fieridi me e di poter ripagare almeno in parte i sacrifici che hanno fatto per permettermi di arrivare fin qui.

A mia sorella per avermi fatto sempre da spalla e per avermi aiutato nei momenti di bisogno e a tutta la miafamiglia, unica e insostituibile, siete la cosa piu preziosa che ho.

Infine, un ringraziamento speciale va a coloro che oggi non possono essere qui con me, ma so che in qualchemodo sono presenti. Vi portero sempre nel mio cuore.

La felicita non e tale se non e condivisa, percio, a voi tutti, che siete la mia famiglia, dedico questo lavoro equesto traguardo.

Francesco

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Bibliografia

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[2] Jackson J.D., Elettrodinamica classica, Zanichelli

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