teoria_de_portafolio

8/19/2019 teoria_de_Portafolio

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Finanzas I – ENFIN400Profesor: José Luis Ruiz

Otoño 2015


2/80

(1) Paradoja de San Petersburg

• Juego: ‐ Lanzar una moneda hasta que salga cara.

‐

Pagar

con

el

del

lanzamiento

que

sale

cara.Cara Pbb Pago Pbb x

Pago

1 1/2 $

2 1

2 1/4 $ 4 1

3 1/8 $ 8 1

. . . .

. . . .

. . . .

n 1

• pago espera o es:

Prof. José Luis Ruiz


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(1) Paradoja de San Petersburg

• Aunque el pago esperado es infinito, los participantes sólo quierenpagar un modesto (su expectativa es jugar únicamente finitas.

• ¿Cómo resolver? Utilidad marginal de la riqueza esdecreciente!



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Axiomas de elección bajo Incertidumbre VNM ( Vonn‐ Neumann – Morgenstern)

• Axioma

1: Comparabilidad

(Completitud) Resultado x es preferido a resultado y ( x > y) ; ó

Resultado es referido a resultado x > x ó

Resultado x es preferido a resultado y ( x ~ y)

• Si x > y y > z, entonces x > z

Si x ~ y y ~ z, entonces x ~ z

• Axioma 3: Fuerte Independencia Si x ~ y , entonces



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Axiomas de elección bajo Incertidumbre

‐ –

• Axioma 4: Mensurabilit

Si

x

>

y ≥

z

ó

x ≥

y

>

z,

entonces

existe

un

único

tal

que

• Axioma 5: Ranking

Si x ≥y ≥ z ó x ≥u ≥ z, entonces si y , ,

Si , entonces .

Cardinal

toman decisiones racionales.



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Axiomas de elección bajo Incertidumbre

‐ –

• El axioma de “Fuerte Independencia” es el más difícil de aceptar.

Ejemplo: x Zapato izquierdo

y Zapato derecho

z Zapato derecho

Zapato izquierdo Zapato derecho son complementarios !!



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• Condición: es cóncava

• Definición: Un juego es Z actuarialmente justo si



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Ejemplo 1:

Ejemplo 2:



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•

todos los juegos que son actuarialmente justos.



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Premio

al

riesgo.• Sea la riqueza del agente, un juego actuarialmente justo,

entonces el premio al riesgo se resuelve:

• proviene de la Expansión de Taylor

Prof. José Luis Ruiz Finanzas II


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Premio al riesgo.

• proviene de la Expansión de Taylor.



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• Estudios empíricos señalan que la aversión al riesgo depende de la

riqueza. No es lo mismo apostar $1.000 para un rico que para unpobre. Se esperaría mayor aversión al riesgo del más pobre.



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Importantes funciones

Función de Utilidad Cuadrática.



14/80


Función de Utilidad exponencial.



15/80


Power Utility



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• Regla de la Utilidad Esperada



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Teoría

de

Portafolio



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19/80

Set Eficiente de Dos Activos

Combinaciones de Riesgo y Retorno del% en Acciones Riesgo Retorno0% 8,2% 7,0%

9,0%

10,0%

11,0%

12,0%

e t o r n

o5% 7,0% 7,2%

10% 5,9% 7,4%15% 4,8% 7,6%

20% 3,7% 7,8%

100%accione

5,0%

6,0%

7,0%

8,0%25% 2,6% 8,0%

30% 1,4% 8,2%

35% 0,4% 8,4%

40% 0,9% 8,6%

100%

bonos

s

0,0% 2,0% 4,0% 6,0% 8,0% 10,0% 12,0% 14,0% 16,0%

Riesgo (desviación estándar)

, ,

50,00% 3,08% 9,00%

55% 4,2% 9,2%

60% 5,3% 9,4%

65% 6 4% 9 6%

70% 7,6% 9,8%75% 8,7% 10,0%

80% 9,8% 10,2%

85% 10,9% 10,4%

Podemos considerar porfolios conotras ponderaciones además de50% en acciones y 50% en bonos

90% 12,1% 10,6%

95% 13,2% 10,8%

100% 14,3% 11,0%

…


20/80


21/80

Set Eficiente de Dos Activos

Combinaciones de Riesgo y Retorno del% en Acciones Riesgo Retorno

9,0%

10,0%11,0%

12,0%

e t o r n

o

, ,

5% 7,0% 7,2%

10% 5,9% 7,4%

15% 4,8% 7,6%

20% 3,7% 7,8%

100%accione

5,0%

6,0%

7,0%

8,0%25% 2,6% 8,0%

30% 1,4% 8,2%

35% 0,4% 8,4%

40% 0,9% 8,6%

s

100%bonos

0,0% 2,0% 4,0% 6,0% 8,0% 10,0% 12,0% 14,0% 16,0%

Riesgo (desviación estándar)

45% 2,0% 8,8%

50% 3,1% 9,0%

55% 4,2% 9,2%

60% 5,3% 9,4%“ ”, ,

70% 7,6% 9,8%

75% 8,7% 10,0%

80% 9,8% 10,2%

que otros. Ellos tienen retornos más altospara el mismo o menor nivel de riesgo.Ellos componen la frontera eficiente.

, ,

90% 12,1% 10,6%

95% 13,2% 10,8%

100% 14,3% 11,0%


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El Set Eficiente de Muchos

o

r e t o r n

ActivosIndividuales

Considere un mundo con muchos activos riesgosos; todavía podemos identificar el set

de

oportunidades de ‐ .


23/80

.



24/80

• Para x > x´ Raíz (1) es la relevante (>0):

• Para x < x´

Raíz (2) es la relevante (>0):



25/80

• Caso 1: Dos activos a,b.



26/80

• Caso 2:

2 raíces:



27/80

• Caso 2:

2 raíces:



28/80

• Si x > x´ Raíz (1) es la relevante (>0):



29/80

• Si x 0):



30/80

• Caso 3:



31/80

• Ahora si :



32/80


o

r e t o r n

de mínimavarianza

ActivosIndividuales

identificar el

portafolio de

mínima varianza.


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o

r e t o r n

Activos

de mínimavarianza

Individuales

La sección del set de oportunidades sobre el porfolio de m n ma var anza es a ron era e c en e.

P f li Ri O i


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Portfolio Riesgoso Optimo

o

100%acciones

r e t o r n

r f

100%bonos

Además de acciones y bonos, considere un

riesgo como T‐bills (certificados de tesorería).


35/80



36/80

• Problema.

Suponga que las acciones de Intel tienen una volatilidad de 50% y las de Coca‐

cola de 25% y que no están correlacionadas. ¿Cuál es la volatilidad de unacartera que está corta en $10.000 de Coca‐cola y larga en $30.000 de Intel?

Solución:


P t f li d 1 ti


37/80

Portafolio de 1 activo

.


P i l l tilid d


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Premio a la volatilidad

• Suponga Rf= 5% y el portafolio:

.


P i l l tilid d


39/80

Premio a la volatilidad

•

Continuar hasta la tangenciaAlcanzar el portafolio P




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o

100%acciones r e t o r n

r f

100%bonos

Además de acciones y bonos, considere un

riesgo como T‐bills (certificados de tesorería).

Prestar y Pedir Prestado sin


41/80

Prestar y Pedir Prestado sin

o


r f

Balanceado

100%bonos

Ahora los inversionistas pueden asignar su dinero entre los T‐bills y un fondo balanceado.

Prestar y Pedir Prestado


42/80

Prestar y Pedir Prestado

o

r e

t o r n

f

Con un activo libre de riesgo disponible y la frontera eficiente identificada, podemos elegir la línea de as gnac n e cap a con a pen en e m s pronunciada.


43/80

Equilibrio de Mercado

o

r e

t o r n

P

f

Con

la

línea

de

mercado

de

capitales

identificada,

todos los inversionistas eligen un punto sobre la línea—alguna combinación del activo libre de

. con expectativas homogeneas, M es el mismo para

todos los inversionistas.


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La Propiedad de Separación

o

r e

t o r n

f

La

Propiedad

de

Separación establece que el porfolio de mercado, M, es el mismo para todos los nvers on s as—e os pue en separar su avers n a

riesgo de su elección del porfolio de mercado.


45/80


o

r e

t o r n

f

La aversión al riesgo del inversionista es revelada en su elección de donde ubicarse en la línea de mercado de

— .


46/80


o


r f

Balanceado

100%bonos

Dónde los inversionistas eligen estar en la Línea de Mercado de Capitales depende de su tolerancia al riesgo. El punto mportante es que to os t enen a m sma .


47/80


o


r f

RiesgosoOptimo

100%bonos

Todos los inversionistas tienen la misma LMC, porque ellos tienen el mismo porfolio riesgoso

pt mo, a a a tasa re e r esgo.


48/80


o


r f

RiesgosoOptimo

100%bonos

La propiedad de separación implica que la elección del porfolio puede ser separada en dos tareas: (1)

eterminar e por o io riesgoso ptimo, y 2 seleccionar un punto sobre la LMC.

Línea de Mercado de


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Línea de Mercado de

GRÁFICO

(1) Volatilidad de Exxon debido al riesgo de mercado:

(2) Volatilidad de Exxon debido al riesgo diversificable..



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Modelo de Selección de


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• n estimadores de .

• n x n términos de la matriz de covarianza.• n términos de la diagonal son varianzas.• n²‐n = n(n‐1) términos fuera de la diagonal.

Dado que estimadores diferentes de covarianzas.

• 5 títulos 50 estimadores de retornos.Ejemplo:

.

50 * (49/2) = 1.225 estimadores de covarianzas1.325 términos distintos!!!!!



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.

• Supongamos que todos los títulos tienen la misma desviación estándar

• Si insurance principle

• Si

No hay beneficio de diversificación



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• 1 In uts del modelo de Markowitz.• Ejemplo: 50 Stocks

Necesidad de estimar:n = es ma ores e re ornos espera os.

n = 50 estimadores de varianzas. (n²-n)/2 = 1.225 estimadores de covarianzas.

1.325 estimaciones!!!!!

Ahora, Si n = 100 5.150 estimadores.

. , .

( ~ NYSE stocks)


Í


54/80

Modelos Índice y la diversificación.

,

• Similarmente, aplicando para el portafolio de stocks:

• , si el portafolio de encuentra igualmente distribuido



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• Ahora,

• De (1)



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• También :



57/80

• Ventajas: Con n stocks – n estimadores de

– n

estimadores

de

– N estimadores de varianzas de la firma específica

– es ma or e prem o a r esgo e merca o

– 1 estimador de la varianza del factor macroeconómico

(3n+2) Estimadores!!!

Si n=50 152 estimadores


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• Markowitz Funda la adm. Moderna de portafolio (1952).

• CAPM Sharpe (1964), Linter(1965) y Mossin (1966).

• Supuestos del CAPM. – Hay muchos inversionistas tomadores de precios, riqueza atomizada sus transacciones

no afectan los precios .

– . – Instrumentos son públicamente transados (bonos y acciones). Tasa libre de riesgo para

pedir o prestar.

– No hay costos de transacción ni impuestos. – o os os nvers on s as son op m za ores rac ona es e me a y var anza san e

portafolio de Markowitz – Inversionistas de igual análisis y comparten visión del mundo Expectativas

homogéneas.


CAPM


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Model)• Luego, en equilibrio:

1) Todos los inversionistas van a decidir mantener un portafolio de activos riesgososproporcional al portafolio de mercado.

portafolio de tangencia.

3) El premio al riesgo del portafolio de mercado será proporcional a su riesgo y el grado de

aversión del inversionista representativo.

y


CAPM


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• Derivación del CAPM:


CAPM


61/80

• A su vez,


CAPM


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Relación entre Riesgo y Retorno


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• Retorno esperado del Mercado:

MercadodeRiesgo porPremio

F M R R

• Retorno esperado de un activo individual:

)(βF

M iF

i R R R R

Premio por Riesgo de Mercado

Esto aplica a activos individuales mantenidos dentrode porfolios bien diversificados.

Retorno Esperado de un Activo


64/80

• Esta fórmula es el Modelo de Valoración de

)(βF

M iF

i R R R R

RetornoEsperado =

Tasa Libre

de Riesgo+

Beta del

Activo ×

Premio por

Riesgo deMercado

• Asumiendo i = 0, entonces el retorno esperadoes RF

• Asumiendo i = 1, entonces M i R R

Linea de Mercado de Valores (LMV)


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Linea de Mercado de Valores (LMV)

d o

n o E s p e r

R e t o

M R

F

)(β F M iF i R R R R

.

LMV Muestra el rendimientorequerido para cada valor comofunción su beta con el mercado.De acuerdo con el CAPM, todaslas acciones y carteras deben

encontrarse sobre la LMV.

Relación entre Riesgo y


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o r n o

e r a d o

R e E s

%5.13

%3F

R

.

5.1β i %10 M R

CAPM


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• Ejemplo: Suponga que el rendimiento libre de riesgo es 4%, la cartera

de 16%. Las acciones de XYZ S.A. Tienen una volatilidad de

26% y correlación de 0.33 con el mercado. ¿Cuál es el beta deXYZ S.A. CON EL MERCADO?¿Cuál es si rendimientoesperado?.

Entonces,

Los inversionistas requerirán un rendimiento esperado de

Prof.

José

Luis

Ruiz

acciones de XYZ S.A.

Estimando con regresión


68/80

c t i v o

c t i v o

r n o

d e l

r n o

d e l

R e t

R e t

PendientePendiente ==

Retorno delRetorno delmercado %mercado %

RRii == ii ++ iiRRmm ++ eeii


69/80

)( , M i R RCov

)(2 M

i

R

Claramente, el estimado del beta dependerá en la eleccióndel proxy para el porfolio de mercado.


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• Una cartera está en la LMV

Luego, el beta de una cartera es el promedio ponderado de losbetas de la cartera.

Prof.

José

Luis

Ruiz


71/80

• Suponga que las acciones de los activos 1 y 2 suben un 2% su retorno debido a

s s s s f s m f

uenas noticias y que os activos 3 y 4 ajan un 2%.

• Se uede me orar la cartera de mercado con la com ra de accionescon y con la venta de acciones con . – Compras Alza P Baja rendimiento del activo – Ventas Cae P Sube rendimiento del activo.

Prof.

José

Luis

Ruiz


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• Idea: Existencia de errores en data y evidencia que sugiere que con el tiempo los betas tienden a tener una regresión hacia el beta de

Prof.

José

Luis

Ruiz

Metodologías de estimación que utilizan


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provee ores

se ecc ona os

e

a os.VALUE LINE REUTERS BLOOMBERG

Ren imientos Semana Mensua Semana

Horizonte 5 años 5 años 2años

Índice de mercado NYSE Composite S&P 500 S&P 500

Ajustado Si No Si

La tasa libre de riesgo.

Usan títulos del tesoro.

¿Qué horizonte esco en? Cuando se encuesta em resasanalistas informan usos de bonos de largo plazo (10 a 30 años)

Prof.

José

Luis

Ruiz Finanzas

II

Metodologías de estimación que utilizan


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provee ores

se ecc ona os

e

a os.

• La prima de riesgo de mercado. – ¿Datos históricos?

– Si se mira a futuro….¿ qué cantidad de datos usan?

Muy larga la serie Inexactitud (poca relevancia)

– Alternativa, usan un modelo fundamental:

Puede ser inexacto para una empresa individual.

Supuesto de crecimiento constante puede ser razonable para el mercado.

• Ejemplo:

•Rend. Divid. ~ 2% para el S&P 500•Dividendos crecen ~ 6% por año

Prof.

José

Luis

Ruiz

.Investigadores estiman (rm-rf) ~ 3%-5%


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