teoria potencial equações fundamentais modelo mais geral – equações de navier stokes onde
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Teoria PotencialEquações Fundamentais
0)(
Vt
)(21)( VPgVV
t
V
)()( TKVpeVt
e
222222
2
z
V
y
V
z
V
x
V
x
V
y
V
z
V
y
V
x
V yzxzyXzyX
Modelo mais geral – Equações de Navier Stokes
onde
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Teoria PotencialEquações Fundamentais
0 V
)(21)( VPgVV
t
V
)()( TKVpeVt
e
222222
2
z
V
y
V
z
V
x
V
x
V
y
V
z
V
y
V
x
V yzxzyXzyX
Modelo com as hipóteses simplificadoras abaixo:
onde
Hipóteses:1. Escoamento incompressível (ρ= cte.) e propriedades constantes (ν = cte. ; K = cte.)
NOTA 1: A equação da energia fica desacoplada
# de equações = 4
Incógnitas: PVVV zyX e ,,
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Teoria PotencialEquações Fundamentais
0 V
PgVVt
V
1
)(
Modelo com as hipóteses simplificadoras abaixo:
Hipóteses:1. Escoamento incompressível (ρ= cte.) e propriedades constantes (ν = cte. ; K = cte.)2. Fluido ideal (ν = 0 )
NOTA 1: A equação da energia fica desacoplada
# de equações = 4
Incógnitas: PVVV zyX e ,,
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Teoria PotencialEquações Fundamentais
0 V
PgVVt
V
1
)(
Modelo com as hipóteses simplificadoras abaixo:
Hipóteses:1. Escoamento incompressível (ρ= cte.) e propriedades constantes (ν = cte. ; K = cte.)2. Fluido ideal (ν = 0 )
# de equações = 4
Incógnitas: PVVV zyX e ,,
VxxVV
VV
2)(
2Identidade matemática
0 V
PgVxxVV
t
V
1
2
2
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Teoria PotencialEquações Fundamentais
Modelo com as hipóteses simplificadoras abaixo:
Hipóteses:1. Escoamento incompressível (ρ= cte.) e propriedades constantes (ν = cte. ; K = cte.)2. Fluido ideal (ν = 0 )3. Escoamento irrotacional ( )
0 xIdentidade
matemática 2
Definição de vorticidade
Vx
0ω
0 Vx
V
Logo, o campo de velocidades pode ser expresso através de uma função escalar ( ) , chamado de potencial de velocidades
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Teoria PotencialEquações Fundamentais
Modelo com as hipóteses simplificadoras abaixo:
Hipóteses:1. Escoamento incompressível (ρ= cte.) e propriedades constantes (ν = cte. ; K = cte.)2. Fluido ideal (ν = 0 )3. Escoamento irrotacional ( )
Equações: 1Incógnitas: 0 V
PgVxxVV
t
V
1
2
2
0ω
0 Vx
V
V
0 Vx
0
02
PgV
t
V
1
2
2
NOTA 1: A equação da energia fica desacoplada, devido a hipótese 1NOTA 2: A equação da QDM fica desacoplada da continuidade, devido a hipótese 3
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Teoria PotencialEquações Fundamentais
Modelo com as hipóteses simplificadoras abaixo:
Hipóteses:1. Escoamento incompressível (ρ= cte.) e propriedades constantes (ν = cte. ; K = cte.)2. Fluido ideal (ν = 0 )3. Escoamento irrotacional ( )0ω
Ug
V
V
0 Vx
02
PgV
t
V
1
2
2
PU
V
t
2
2
cteP
UV
t
2
2
gZU onde
zzyx egeZ
Ze
Y
Ze
X
ZggZU
NOTA 3:
cteP
gZV
t
2
2
Equação de Bernoulli
Equação de Laplace (diferencial parcial linear)
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Teoria PotencialEquações Fundamentais
Hipóteses:1. Escoamento incompressível (ρ= cte.) e propriedades constantes (ν = cte. ; K = cte.)2. Fluido ideal (ν = 0 )3. Escoamento irrotacional ( )0ω
V0 Vx
0)(
Vt
)(21)( VPgVV
t
V
)()( TKVpeVt
e
Eq. Navier - Stokes
02
cteP
gZV
t
2
2
Modelo c/ hipóteses simplificadoras
Equações: 5 (escalares)
Incógnitas: TPVVV zyX e , ,,
Equações: 1 (escalar)
Incógnitas:
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Teoria PotencialSoluções Simples da Equação de Laplace
02
cteP
gZV
t
2
2
Eq. diferencial parcial linear
1. Escoamento Uniforme
CzByAxzyx ),,(
2
2
2
2
2
22
zyx
Potencial de velocidades
Laplaciano em coordenadas cartezianas
02
Campo de velocidades:
V
Cz
V
By
V
Ax
V
z
y
x
Potencial de velocidades satisfaz a eq. de Laplace
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Teoria PotencialSoluções Simples da Equação de Laplace
2. Escoamento 2D que incide em uma parede
22),,( ByAxzyx
2
2
2
22
yx
Potencial de velocidades
Laplaciano em coordenadas cartezianas (2D)
BA 222
Campo de velocidades (2D):
VAy
yV
Axx
V
y
x
2
2
Potencial de velocidades satisfaz a eq. de Laplace, quando A = -B
22),,( yxAzyx
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Teoria PotencialSoluções Simples da Equação de Laplace
2. Escoamento 2D que incide em uma parede
Campo de velocidades (2D):
VAy
yV
Axx
V
y
x
2
2
22),,( yxAzyx
Linhas de corrente (2D):
yx V
dy
V
dx
Ay
dy
Ax
dx
22 ctexy Hiperboles equiláteras
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Teoria PotencialSoluções Simples da Equação de Laplace
3. Escoamento tipo Fonte / Sumidouro (3D)
Campo de velocidades (3D) – coordenadas esféricas:
V
0sin
1
01
2
rV
rV
r
A
rVr
r
Ar ),,(
2
2
2222
22
sin
1sin
sin
11
rrr
rrr
Laplaceano – coordenadas esféricas:
Determinar o potencial de velocidades de um escoamento que possui apenas componente de velocidade na direção radial
Potencial de velocidades Fonte / sumidouro
NOTA: Este campo de velocidades satisfaz a eq. de Laplace acima
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Teoria PotencialSoluções Simples da Equação de Laplace
3. Escoamento tipo Fonte / Sumidouro (3D)
Campo de velocidades (3D) Vazão volumétrica que flui pela superfície da esfera de raio r
0sin
1
01
2
rV
rV
r
A
rVr
r
S
dsnVQ
S
dsr
AQ
2
ddrds sin2
0
2
0
22
sin ddrr
AQ
4AQ
r
Qr
1
4),,(
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Teoria PotencialSoluções Simples da Equação de Laplace
3. Escoamento tipo Fonte / Sumidouro (3D)
Campo de velocidades (3D)Vazão volumétrica que flui pela superfície da esfera de raio r
0sin
1
01
2
rV
rV
r
A
rVr
r
S
dsnVQ
S
dsr
AQ
2
ddrds sin2
0
2
0
22
sin ddrr
AQ
4AQ
r
Qr
1
4),,(
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Teoria PotencialSoluções Simples da Equação de Laplace
3. Escoamento tipo Fonte / Sumidouro (3D)
Corpo semi-infinito (3D)
2
1
4 r
Q
rVr
r
r
Qr
1
4),,(
V∞V∞
Vr
Combinação de 2 soluções simples da Eq de Laplace
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Teoria Potencial
Corpo Fechado com simetria axial (3D)
2
1
4 r
Q
rVr
r1
r
Qr
1
4),,(
V∞
V∞
Vfr
Combinação de 3 soluções simples da Eq de Laplace
Vsr
r2
F S
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Teoria PotencialSoluções Simples da Equação de Laplace
4. Escoamento tipo Dipolo (3D)
Potencial da fonte
11
1
4),,(
r
Qrf
Campo de velocidades gerado por dipolo
r1
Vfr
Vsr
r2
F SX
Y
Potencial do sumidouro
22
1
4),,(
r
Qrs
2
cos
4),,(
rr
0sin
1
sin
4
1
cos
2
3
3
rV
rrV
rrVr
r θ
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Teoria PotencialSoluções Simples da Equação de Laplace
Campo de velocidades sobre uma esfera
2
cos
4),,(
rr
xUzyx ),,(
r
V∞V∞
Vr
X
Y
θVθ
2
cos
4),,(
rXUr
Combinação de 2 soluções simples da Eq de Laplace
Escoamento sobre a esfera
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Teoria PotencialSoluções Simples da Equação de Laplace
Campo de pressões sobre uma esfera
2
cos
4),,(
rXUr
Combinação de 2 soluções simples da Eq de Laplace
2
cos
4cos),,(
rrUr
cosrX
0sin
1
sin
4cos
1
cos
2cos
3
3
rV
rU
rV
rU
rVr
Escoamento sobre a esfera
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Teoria Potencial
Campo de pressões sobre uma esfera
Comparação com resultados experimentais Escoamento sobre a esfera
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Teoria PotencialSoluções Simples da Equação de Laplace
5. Escoamento tipo Fonte / Sumidouro (2D)
Campo de velocidades (2D) – coordenadas polares:
V0
1
rV
r
A
rVr
rAr ln),(
2
2
22 11
rr
rrr
Laplaceano – coordenadas polares:
Determinar o potencial de velocidades de um escoamento que possui apenas componente de velocidade na direção radial
Potencial de velocidades Fonte / sumidouro
NOTA: Este campo de velocidades satisfaz a eq. de Laplace acima
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Teoria PotencialSoluções Simples da Equação de Laplace
5. Escoamento tipo Fonte / Sumidouro (2D)
Campo de velocidades (2D) Vazão volumétrica que flui pela superfície do cilindro de raio r
01
rV
r
A
rVr
S
dsnVQ
S
dsr
AQ
rdds
2
0rdr
AQ
2AQ
rQ
r ln2
),(
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Teoria PotencialSoluções Simples da Equação de Laplace
6. Escoamento tipo Dipolo (2D)
Potencial da fonte
11 ln2
),( rQ
rf
Campo de velocidades gerado por dipolo
r1
Vfr
Vsr
r2
F SX
Y
Potencial do sumidouro
22 ln2
),( rQ
rs
rr
cos
2),(
2
2
sin
2
1
cos
2
rrV
rrVr
r θ
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Teoria PotencialSoluções Simples da Equação de Laplace
Potencial de velocidades que descreve o escoamento sobre um cilindro
rr
cos
2),(
xUzyx ),,(
r
V∞V∞
Vr
X
Y
θVθ
rXUr
cos
2),(
Combinação de 2 soluções simples da Eq de Laplace
Escoamento sobre o cilindro
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Teoria PotencialSoluções Simples da Equação de Laplace
rXUr
cos
2),(
Combinação de 2 soluções simples da Eq de Laplace
rrUr
cos
2cos),,(
cosrX
2
2
sin
2sin
1
cos
2cos
rU
rV
rU
rVr
Escoamento sobre o cilindro
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Teoria PotencialSoluções Simples da Equação de Laplace
Escoamento sobre um cilindro - Visualização Escoamento sobre o cilindro
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Teoria Potencial
Resultados Experimentais Escoamento sobre o cilindro
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Teoria PotencialSoluções Simples da Equação de Laplace
7. Escoamento tipo Vortice (2D)
Campo de velocidades (2D) – coordenadas polares:
V
r
A
rV
rVr
1
0 Ar ),(
2
2
22 11
rr
rrr
Laplaceano – coordenadas polares:
Determinar o potencial de velocidades de um escoamento que possui apenas componente de velocidade na direção tangencial
Potencial de velocidades de um vortice
NOTA: Este campo de velocidades satisfaz a eq. de Laplace acima
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Teoria PotencialSoluções Simples da Equação de Laplace
Campo de velocidades (2D) Circulação ao longo do perímetro da circunferencia de raio r
r
A
rV
rVr
1
0
C
ldV
rdds
2A
2
),(
r
C
dlr
A
2
0
rdr
A
7. Escoamento tipo Vortice (2D)
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Teoria PotencialSoluções Simples da Equação de Laplace
Campo de velocidades sobre um cilindro
rr
cos
2),(
xUzyx ),,(
r
V∞V∞
Vr
X
Y
θVθ
2
cos
2),(
r
XUr
Combinação de 2 soluções simples da Eq de Laplace
Escoamento sobre o cilindro com Circulação
2
),(
r
Esc. Uniforme
Dipolo
Vórtice
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Teoria PotencialSoluções Simples da Equação de Laplace
Combinação de 2 soluções simples da Eq de Laplace
cosrX
rrU
rV
rU
rVr
2
sin
2sin
1
cos
2cos
2
2
Escoamento sobre o cilindro com circulação
2
cos
2),(
r
XUr
2
cos
2cos),(
r
rUr
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Escoamentos com Vórtices