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TEORÍA PARA CONTESTAR EL TERCER CUADERILLO
DE PENSAMIENTO NÚMERICO Y ÁLGEBRAICO I
ELABORO: ING. JULIO CRISPÍN JIMÉNEZ RAMÍREZ
GRUPOS: 1°I, 1°II Y 1°III
POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO Y BASE
RACIONAL
1.-
Ejemplo:
2.-
Ejemplo:
3.-
Ejemplo:
PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS DE NÚMEROS RACIONALES
Pulsa en las siguientes pestañas para analizar cada una
de las propiedades de la multiplicación:
4.- Potencia de 0
Un número racional elevado a 0 es igual a la unidad.
5.- Potencia de 1
Un número racional elevado a 1 es igual a sí mismo.
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DE PENSAMIENTO NÚMERICO Y ÁLGEBRAICO I
ELABORO: ING. JULIO CRISPÍN JIMÉNEZ RAMÍREZ
GRUPOS: 1°I, 1°II Y 1°III
PRODUCTO DE POTENCIAS
1.- Potencias con la misma base
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es
la suma de los exponentes.
6.-
Ejemplo:
2.- Potencias con el mismo exponente
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el
producto de las bases.
7.-
Ejemplo:
COCIENTE DE POTENCIAS
1.- Potencias con la misma base
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es
la diferencia de los exponentes.
8.-
Ejemplo:
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DE PENSAMIENTO NÚMERICO Y ÁLGEBRAICO I
ELABORO: ING. JULIO CRISPÍN JIMÉNEZ RAMÍREZ
GRUPOS: 1°I, 1°II Y 1°III
2.- Potencias con el mismo exponente
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el
cociente de las bases.
9.-
Ejemplo:
POTENCIA DE UNA POTENCIA
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es
el producto de los exponentes.
10.-
Ejemplo:
NÚMEROS COMPLEJOS. Una de las necesidades que motiva el surgimiento de este
conjunto es el no poder resolver expresiones como 1 ; x2 + 4 = 0 con los números reales.
Definición. Un número complejo “C”, es la suma algebraica de un real con un imaginario por lo que su representación es a+b i
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GRUPOS: 1°I, 1°II Y 1°III
iyRbabiabaC 1,/,
Si a= 0 se llama imaginario puro. Si b= 0 se llama número real. Entonces: iRC Ejemplos:
4i; -2i; ;3
5i i2 Son imaginarios puros.
9 + 0i; 5 – 0i; i05
3 Degeneran en números reales.
5 + 4i; -2 + 3i; 4 – 8i Son complejos
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS. Suma o adición con C.
Para obtener el total de dos complejos, se suman por separado las partes reales y las partes imaginarias, esto es: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i Ejemplos: (4 + 2i) + (5 – 4i) =
i
i
i
29
45
24
(12 – 3i) + (3 + 16i)=
i
i
i
1315
163
312
Resta o sustracción con C. Para obtener la diferencia de dos complejos se restan (por separado) las partes reales y las partes imaginarias, entonces: (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d) i Ejemplos:
+
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GRUPOS: 1°I, 1°II Y 1°III
(4 + 2i) – (5 – 4i) =
i
i
i
61
45
24
(12 – 3i) – (3 + 16i) =
i
i
i
199
163
312
Potencias de i. Si elevamos a “i” a las primeras cinco potencias, obtenemos:
i= 1
i2= 112
i3= i2 . i= (-1)(i)= -i i4= i2 . i2= (-1)(-1)= 1 i5= i4 . I= (1)(i)= i
Multiplicación con C. Para obtener el producto de dos complejos aplicamos la propiedad distributiva, esto es: (a + bi) (c + di) = ac + adi + cbi + bdi2 = (ac – bd) + (ad + bc) i Ejemplo:
2
2
18920
1815
2420
34
65
ii
ii
i
i
i
Como i2 = -1 (-18) (-1) = 18 el producto es 38 + 9i División con C.
Para obtener el cociente de dos complejos se multiplica tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador y se reduce. Ejemplo:
i
i
24
32
+
5 + 6 i2
4 - 3 i
-15 i - 18 i2
20 + 24 i
20 + 9 i - 18 i2
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DE PENSAMIENTO NÚMERICO Y ÁLGEBRAICO I
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GRUPOS: 1°I, 1°II Y 1°III
el conjugado de (4 - 2i) es (4 + 2i)
2
2
416
61248
24
24
24
32
i
iii
i
i
i
i
)1(416
)1(6168
i
20
162 i
20
16
20
2 i
i5
4
10
1
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más
cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o
indeterminadas y se representan por letras. Una expresión algebraica es una combinación
de letras y números ligada por los signos de las operaciones: adición, sustracción,
multiplicación, división y potenciación. Las expresiones algebraicas nos permiten, por
ejemplo, hallar áreas y volúmenes.
Longitud de la circunferencia, donde r es el radio de la circunferencia.
Área del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del cuadrado.
Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS COMUNES
El doble o duplo de un número: 2x
El triple de un número: 3x
El cuádruplo de un número: 4x
La mitad de un número: x/2
Un tercio de un número: x/3
Un cuarto de un número: x/4
Un número es proporcional a 2, 3, 4...: 2x, 3x, 4x...
Un número al cuadrado: x2
Un número al cubo: x3
Un número par: 2x
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GRUPOS: 1°I, 1°II Y 1°III
Un número impar: 2x + 1
Dos números consecutivos: x y x + 1
Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2
Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3
Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x
La suma de dos números es 24: x y 24 − x
La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x
El producto de dos números es 24: x y 24/x
El cociente de dos números es 24: x y 24 · x
MONOMIOS
Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen
entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.
2x2y3z
PARTES DE UN MONOMIO
Coeficiente
El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables.
2da.Parte literal
La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.
3er. Grado
El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables.
El grado de 2x2y3z es: 2 + 3 + 1 = 6
MONOMIOS SEMEJANTES
Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.
2x2y3 z es semejante a 5x2y3 z
OPERACIONES CON MONOMIOS
1. SUMA DE MONOMIOS
Sólo podemos sumar monomios semejantes.
La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo
coeficiente es la suma de los coeficientes.
axn + bxn= (a + b)x n
Ejemplo:
2x2y3z + 3x2y3z = (2 + 3)x2y3z = 5x2y3z
Si los monomios no son semejantes, al sumarlos, se obtiene un polinomio.
Ejemplo:
2x2y3+ 3x2y3z
2. PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN MONOMIO
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El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente
es el producto del coeficiente del monomio por el número.
Ejemplo:
5 · (2x2y3z) = 10x2y3 z
3. MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS
La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de
los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tengan la
misma base.
axn· bxm= (a · b)xn + m
Ejemplo:
(5x2y3z) · (2y2z2) = (2 · 5) x2y3+2z1+2 = 10x2y5z3
4. DIVISIÓN DE MONOMIOS
Sólo se pueden dividir monomios cuando:
Tienen la misma parte literal
El grado del dividendo es mayor o igual que el del divisor
La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los
coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tengan la misma
base.
axn: bxm= (a : b)xn − m
Ejemplo:
Si el grado del divisor es mayor, obtenemos una fracción algebraica.
Ejemplo:
5. POTENCIA DE UN MONOMIO
Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de este, al exponente
que indique la potencia.
(axn)m = am· xn · m
Ejemplos:
(2x3)3 = 23 · (x3)3= 8x9
(−3x2)3 = (−3)3 · (x2)3= −27x6
POLINOMIOS
Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:
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P(x) = an xn + an − 1 x
n − 1 + an − 2 xn − 2+ .. + a1
1 + a0
Siendo:
an, an−1 ... a1, ao números, llamados coeficientes
n un número natural
x la variable o indeterminada
an es el coeficiente principal
ao es el término independiente
GRADO DE UN POLINOMIO
El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la
variable x.
Según su grado los polinomios pueden ser de:
TIPO EJEMPLO
PRIMER GRADO P(x) = 3x + 2
SEGUNDO GRADO P(x) = 2x2+ 3x + 2
TERCER GRADO P(x) = x3− 2x2+ 3x + 2
TIPOS DE POLINOMIOS
Polinomio nulo
Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos.
P(x) = 0x2 + 0x + 0
Polinomio homogéneo
Es aquel polinomio en el que todos sus términos o monomios son del mismo grado.
P(x) = 2x2 + 3xy
Polinomio heterogéneo
Es aquel polinomio en el que no todos sus términos no son del mismo grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 − 3
Polinomio completo
Es aquel polinomio que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el
término de mayor grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x − 3
Polinomio incompleto
Es aquel polinomio que no tiene todos los términos desde el término independiente hasta
el término de
mayor grado.
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Polinomio ordenado
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ELABORO: ING. JULIO CRISPÍN JIMÉNEZ RAMÍREZ
GRUPOS: 1°I, 1°II Y 1°III
Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a
menor grado.
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Polinomios iguales
Dos polinomios son iguales si verifican:
Los dos polinomios tienen el mismo grado.
Los dos polinomios tienen el mismo grado.
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Q(x) = 5x3 − 2x − 7
Polinomios semejantes
Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.
P(x) = 2x3 + 5x − 3 ; x = 1
P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 − 3 = 2 + 5 − 3 = 4
VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO
Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.
P(x) = 2x3+ 5x − 3 ; x = 1
P(1) = 2 · 13+ 5 · 1 − 3 = 2 + 5 − 3 = 4
POLINOMIOS IGUALES
Dos polinomios son iguales si verifican:
Los dos polinomios tienen el mismo grado.
Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.
P(x) = 2x3 + 5x - 3
Q(x) = 5x - 3 + 2x3
POLINOMIOS SEMEJANTES
Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Q(x) = 5x3 − 2x − 7
SUMA DE POLINOMIOS
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.
P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3
Ordenamos los polinomios, si no lo están.
Q(x) = 2x 3− 3x2 + 4x
P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2+ 4x)
Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3
Sumamos los monomios semejantes.
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ELABORO: ING. JULIO CRISPÍN JIMÉNEZ RAMÍREZ
GRUPOS: 1°I, 1°II Y 1°III
P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3
También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los
monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.
P(x) = 7x4 + 4x2 + 7x + 2 Q(x) = 6x3 + 8x +3
P(x) + Q(x) = 7x4 + 6x3 + 4x2 + 15x + 5
RESTA DE POLINOMIOS
La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.
P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x)
P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x
P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x − 4x − 3
P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
1. MULTIPLICACIÓN DE UN NÚMERO POR UN POLINOMIO
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el
producto de los coeficientes del polinomio por el número y dejando las mismas partes
literales.
Ejemplo:
3(2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6
2. MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.
Ejemplo:
3x2(2x3−3x2+4x−2)= 6x5− 9x4 + 12x3 − 6x2
3. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
Este tipo de operaciones se puede llevar a cabo de dos formas distitnas.
Mira la demostración con el siguiente ejemplo:
P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x
OPCIÓN 1
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del
segundo polinomio.
P(x) Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) =
= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3+ 9x2 − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios
que se multiplican.
Grado del polinomio = Grado de P(x) + Grado de Q(x) = 2 + 3 = 5
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GRUPOS: 1°I, 1°II Y 1°III
OPCIÓN 2
EJEMPLO DE DIVISIÓN DE POLINOMIOS
Para explicar la división de polinomios nos valdremos de un ejemplo práctico:
P(x) = x5 + 2x3 − x − 8 Q(x) = x2 − 2x + 1
P(x) ÷ Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en
los lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
x5 ÷ x2 = x3
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos
del polinomio dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
2x4 ÷ x2 = 2 x2
Procedemos igual que antes.
5x3 ÷ x2 = 5 x
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DE PENSAMIENTO NÚMERICO Y ÁLGEBRAICO I
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GRUPOS: 1°I, 1°II Y 1°III
Volvemos a hacer las mismas operaciones.
8x2 ÷ x2 = 8
10x − 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede
continuar dividiendo.
x3 + 2x2 + 5x + 8 es el cociente.
Paolo Ruffini (1765, 1822) fue un matemático italiano, que estableció un método más
breve para hacer la división de polinomios, cuando el divisor es un binomio de la forma x
— a.
Regla de Ruffini
Para explicar los pasos a aplicar en la regla de Ruffini vamos a tomar de ejemplo la
división:
(x4 − 3x2 + 2 ) ÷ (x − 3)
1.- Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan
con ceros.
2.- Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.
3.- Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independendiente del divisor.
4.- Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.
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DE PENSAMIENTO NÚMERICO Y ÁLGEBRAICO I
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5.- Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente
término.
6.- Sumamos los dos coeficientes.
7.- Repetimos el proceso anterior.
Volvemos a repetir el proceso.
Volvemos a repetir.
8.- El último número obtenido, 56, es el resto.
9.- El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos
coeficientes son los que hemos obtenido. x3 + 3 x2 + 6x +18
Ejemplo
Dividir por la regla de Ruffini:
(x5 − 32) ÷ (x − 2)
BINOMIO AL CUADRADO
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(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2
(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2
Ejemplos
1.- (x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 32 = x 2 + 6 x + 9
2.- (2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 32 = 4x2 − 12 x + 9
SUMA POR DIFERENCIA
(a + b) · (a − b) = a2 − b2
Ejemplo
1.- (2x + 5) · (2x - 5) = (2x)2 − 52 = 4x2 − 25
2.- (2x² + y³) · (2x² − y³) = (2x²)2 − (y³)2 = 4x4 − y6
BINOMIO AL CUBO
(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3
(a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3
Ejemplos
1.- (x + 3)3 = x3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x · 32 + 33 = x3 + 9x2 + 27x + 27
2.- (2x − 3)3 = (2x)3 − 3 · (2x)2 · 3 + 3 · 2x · 32 − 33 = 8x3 − 36x2 + 54x − 27
TRINOMIO AL CUADRADO
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c
Ejemplo
(x2 − x + 1)2 = (x2)2 + (−x)2 + 12 + 2 · x2 · (−x) + 2 x2 · 1 + 2 · (−x) · 1= x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 −
2x=
= x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1
SUMA DE CUBOS
a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)
Ejemplo
8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 − 6x + 9)
DIFERENCIA DE CUBOS
a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)
Ejemplos
8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)
PRODUCTO DE DOS BINOMIOS QUE TIENEN UN TÉRMINO COMÚN
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab
Ejemplos
(x + 2) (x + 3) = x2 + (2 + 3) · x + 2 · 3 = x2 + 5x + 6
El resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x − a) es el
valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.
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GRUPOS: 1°I, 1°II Y 1°III
Ejemplos
Calcular, por el teorema del resto, el resto de la división:
(x4 − 3x2 + 2)÷ (x − 3)
P(3) = 34 − 3 · 32 + 2 = 81 − 27 + 2 = 56
Comprobamos la solución efectuando la división por Ruffini.
TEOREMA DEL FACTOR
El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x − a) si y sólo si P(x = a) = 0.
Al valor x = a se le llama raíz o cero de P(x).
RAÍCES DE UN POLINOMIO
Son los valores que anulan el polinomio.
Ejemplo
Calcular las raíces del polinomio:
P(x) = x2 − 5x + 6
P(2) = 22 − 5 · 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0
P(3) = 32 − 5 · 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0
x = 2 y x = 3 son raíces o ceros del polinomio: P(x) = x2 − 5x + 6, porque P(2) = 0 y P(3) = 0.
Propiedades de las raíces y factores de un polinomio
1.- Los ceros o raíces enteras de un polinomio son divisores del término independiente
del polinomio.
2.- A cada raíz del tipo x = a le corresponde un binomio del tipo (x − a).
3.- Podemos expresar un polinomio en factores al escribirlo como producto de todos los
binomios del tipo (x — a), que se correspondan a las raíces, x = a, que se obtengan.
Ejemplo
x2 − 5x + 6 = (x − 2) · (x − 3)
4.- La suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado del polinomio.
5.- Todo polinomio que no tenga término independiente admite como raíz x = 0, o lo que
es lo mismo, admite como factor x.
Ejemplo
x2 + x = x · (x + 1)
Raíces: x = 0 y x = − 1
6.- Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en
factores.
Ejemplo
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DE PENSAMIENTO NÚMERICO Y ÁLGEBRAICO I
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GRUPOS: 1°I, 1°II Y 1°III
P(x) = x2 + x + 1
CÁLCULO DE LAS RAÍCES Y FACTORES DE UN POLINOMIO
Partimos de los divisores del término independiente, con estos valores aplicamos el
teorema del resto y sabremos para que valores la división es exacta.
Ejemplo
Q(x) = x2 − x − 6
Los divisores del término independiente son: ±1, ±2, ±3.
Q(1) = 12 − 1 − 6 ≠ 0
Q(−1) = (−1)2 − (−1) − 6 ≠ 0
Q(2) = 22 − 2 − 6 ≠ 0
Q(−2) = (−2)2 − (−2) − 6 = 4 + 2 − 6 = 0
Q(3) = 32 − 3 − 6 = 9 − 3 − 6 = 0
Las raíces son: x = −2 y x = 3.
Q(x) = (x + 2) · (x − 3)
SACAR FACTOR COMÚN
Consiste en aplicar la propiedad distributiva:
a · b + a · c + a · d = a (b + c + d)
Ejemplos
Descomponer en factores sacando factor común y hallar las raíces
1.- x3 + x2 = x2 (x + 1)
La raíces son: x = 0 y x = −1
2.- 2x4 + 4x2 = 2x2 (x2 + 2)
Sólo tiene una raíz x = 0; ya que el polinomio, x2 + 2, no tiene ningún valor que lo anule;
debido a que al estar la x al cuadrado siempre dará un número positivo, por tanto es
irreducible.
3.- x2 − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b)
La raíces son x = a y x = b.
DIFERENCIA DE CUADRADOS
Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.
a2 − b2 = (a + b) · (a − b)
Ejemplos
Descomponer en factores y hallar las raíces
1.- x2 − 4 = (x + 2) · (x − 2)
Las raíces son x = −2 y x = 2
2.- x4 − 16 = (x2 + 4) · (x2 − 4) = (x + 2) · (x − 2) · (x2 + 4)
Las raíces son x = −2 y x = 2
TEORÍA PARA CONTESTAR EL TERCER CUADERILLO
DE PENSAMIENTO NÚMERICO Y ÁLGEBRAICO I
ELABORO: ING. JULIO CRISPÍN JIMÉNEZ RAMÍREZ
GRUPOS: 1°I, 1°II Y 1°III
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado.
a2 ± 2 a b + b2 = (a ± b)2
Ejemplos
Descomponer en factores y hallar las raíces
1.-
La raíz es x = −3, y se dice que es una raíz doble.
2.-
La raíz es x = 2.
TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO
Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado P(x) = ax2 + bx + c , se iguala
a cero y se resuelve la ecuación de 2º grado. Si las soluciones a la ecuación son x1 y x2, el
polinomio descompuesto será:
ax2 + bx + c = a · (x − x1) · (x − x2)
Ejemplos
Descomponer en factores y hallar las raíces
1.-
Las raíces son x = 3 y x = 2.
2.-
TRINOMIOS DE CUARTO GRADO DE EXPONENTES PARES
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Para hallar las raíces se iguala a cero y se resuelve la ecuación bicuadrada.
Ejemplos
1. x4 − 10x2 + 9
x2 = t
x4 − 10x2 + 9 = 0
t2 − 10t + 9 = 0
Las raíces son x = 3 y x = −2.
x4 − 10x2 + 9 = (x + 1) · (x − 1) · (x + 3) · (x − 3)
2. x4 − 2x2 − 3
x2 = t
t2 − 2t − 3 = 0
x4 − 2x2 + 3 = (x2 + 1) · (x + ) · (x − )
FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO DE GRADO SUPERIOR A DOS
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Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini para encontrar las raíces enteras.
Los pasos a seguir los veremos con el polinomio:
P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6
1.- Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.
2.- Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.
P(1) = 2 · 14 + 13 − 8 · 12 − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0
3.- Dividimos por Ruffini.
Por ser la división exacta, D = d · c
(x − 1) · (2x3 + 3x2 − 5x − 6 )
Una raíz es x = 1.
Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.
Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.
P(1) = 2 · 13 + 3 · 12 − 5 · 1 − 6≠ 0
P(−1) = 2 · (−1)3 + 3 · (−1)2 − 5 · (−1) − 6 = −2 + 3 + 5 − 6 = 0
(x −1) · (x + 1) · (2x2 +x −6)
Otra raíz es x = −1.
El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado o tal como
venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces
enteras.
El 1 lo descartamos y seguimos probando por −1.
P(−1) = 2 · (−1)2 + (−1) − 6 ≠ 0
P(2) = 2 · 22 + 2 − 6 ≠ 0
P(−2) = 2 · (−2)2 + (−2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 = 0
(x − 1) · (x + 1) · (x + 2) · (2x − 3)
Sacamos factor común 2 en último binomio y encontramos una raíz racional.
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2x − 3 = 2 (x − 3/2)
La factorización del polinomio queda:
P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 2 (x −1) · (x +1) · (x +2) · (x − 3/2)
Las raíces son : x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2
Raíces racionales
Puede suceder que el polinomio no tenga raíces enteras y sólo tenga raíces racionales.
En este caso tomamos los divisores del término independiente dividido entre los divisores
del término con mayor grado, y aplicamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.
P(x) = 12x3 + 8x2 − 3x− 2
Probamos por: .
Sacamos factor común 12 en el tercer factor.
Fracciones algebraicas equivalentes
Dos fracciones algebraicas
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son equivalentes, y lo representamos por:
si se verifica que P(x) · S(x) = Q(x) · R(x).
Ejemplo
son equivalentes porque:
(x+2) · (x− 2) = x2 − 4
Dada una fracción algebraica, si multiplicamos el numerador y el denominador de dicha
fracciónpor un mismo polinomio distinto de cero, la fracción algebraica resultante es
equivalente a la dada.
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Para simplificar una fracción algebraica se divide el numerador y el denominador de la
fracción por un polinomio que sea factor común de ambos.
Ejemplo
AMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Para amplificar una fracción algebraica se multiplica el numerador y el denominador de la
fracción por un polinomio.
Ejemplo
Definición
Dadas dos fracciones algebraicas, reducirlas a común denominador es encontrar dos
fracciones algebraicas equivalentes con el mismo denominador.
PASOS PARA REDUCIR A COMÚN DENOMINADOR
Nos valdremos de las fracciones siguientes:
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1.- Descomponemos los denominadores en factores para hallarles el mínimo común
múltiplo, que será el común denominador.
x2 − 1 = (x + 1) · (x − 1)
x2 + 3x + 2 = (x +1 ) · (x + 2)
m.c.m. (x2 − 1, x2 + 3x + 2) = (x + 1) · (x − 1) · (x + 2)
2..- Dividimos el común denominador entre los denominadores de las fracciones dadas y
el resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente.
SUMA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS CON EL MISMO DENOMINADOR
La suma de fracciones algebraicas con el mismo denominador es otra fracción algebraica
con el mismo denominador y cuyo numerador es la suma de los numeradores.
Ejemplo
Sumar las fracciones algebraicas:
SUMA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS CON DISTINTO DENOMINADOR
Si las fracciones tienen distinto denominador en primer lugar se ponen las fracciones
algebraicas a común denominador, posteriormente se suman los numeradores.
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Ejemplo
Sumar las fracciones algebraicas:
El producto de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica donde el numerador
es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los
denominadores.
Ejemplo
Multiplicar las fracciones algebraicas:
Simplificando nos queda:
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El cociente de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica con numerador el
producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda, y con
denominador el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda.
Ejemplo
Dividir las fracciones algebraicas:
Simplificando nos queda:
CONCLUSIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más
cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o
indeterminadas y se representan por letras.
Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligada por los signos de
las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.
VALOR NUMÉRICO
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las
letras de la misma por números determinados y efectuar las operaciones indicadas en la
expresión.
MONOMIOS
Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen
entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural
El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables.
La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.
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El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables.
Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.
OPERACIONES CON MONOMIOS
SUMA DE MONOMIOS
Sólo podemos sumar monomios semejantes.
La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo
coeficiente es la suma de los coeficientes.
PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN MONOMIO
El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente
es el producto del coeficiente de monomio por el número.
PRODUCTO DE MONOMIOS
El producto de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los
coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tenga la misma
base.
Cociente de monomios
El cociente de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los
coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma
base.
POLINOMIOS
Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:
P(x) = an x n + an - 1 x
n - 1 + an - 2 x n - 2 + ... + a1 x
1 + a 0
Siendo an, an - 1 ... a1 , ao números, llamados coeficientes.
n un número natural.
x la variable o indeterminada.
ao es el término independiente.
GRADO DE UN POLINOMIO
El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la
variable x.
POLINOMIO COMPLETO
Es aquel que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de
mayor grado
POLINOMIO ORDENADO
Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a
menor grado.
POLINOMIOS IGUALES
Dos polinomios son iguales si verifican:
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Los dos polinomios tienen el mismo grado.
Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.
VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO
Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.
OPERACIONES CON POLINOMIOS
SUMA DE POLINOMIOS
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.
La diferencia consiste en sumar el opuesto del sustraendo.
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN POLINOMIO
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el
producto de los coeficientes del polinomio por el número.
PRODUCTO DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.
PRODUCTO DE POLINOMIOS
1.- Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo
polinomio.
2.- Se suman los monomios del mismo grado.
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en
los lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos
del polinomio dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
Repetimos el proceso anterior hasta que el grado del resto sea menor que el grado del
divisor, y por tanto no se puede continuar dividiendo.
Para comprobar si la operación es correcta, utilizaríamos la prueba de la división:
D = d · c + r
REGLA DE RUFFINI
Si el divisor es un binomio de la forma x — a, entonces utilizamos un método más breve
para hacer la división, llamado regla de Ruffini .
(x4 −3x2 +2 ) : (x −3 )
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1.- Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan
con ceros.
2.- Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.
3.- Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independiente del divisor.
4.- Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.
5.- Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente
término.
6.- Sumamos los dos coeficientes.
7.- Repetimos los pasos 5y 6las veces que fuera necesarias.
8.- El último número obtenido es el resto.
9.- El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos
coeficientes son los que hemos obtenido.
IDENTIDADES NOTABLES
BINOMIO AL CUADRADO
(a ± b)2 = a2 ± 2 · a · b + b2
Suma por diferencia
(a + b) · (a − b) = a2 − b2
BINOMIO AL CUBO
(a ± b)3 = a3 ± 3 · a2 · b + 3 · a · b2 ± b3
FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO
TEOREMA DEL RESTO
El resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma x - a es el valor
numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.
TEOREMA DEL FACTOR
El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma x - a si y sólo si P(x = a) = 0.
Al valor x = a se le llama raíz o cero de P(x).
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OBSERVACIONES
1.- Los ceros o raíces son divisores del término independiente del polinomio.
2.- A cada raíz del tipo x = a le corresponde un binomio del tipo (x −a).
3.- Podemos expresar un polinomio en factores al escribirlo como producto de todos los
binomios del tipo x — a, que se correspondan a las raíces x = a que se obtengan.
4.- La suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado del polinomio.
5.- Todo polinomio que no tenga término independiente admite como raíz x = 0, ó lo que
es lo mismo, admite como factor x.
6.- Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en
factores.
MÉTODOS PARA FACTORIZAR UN POLINOMIO
Sacar factor común
Consiste en aplicar la propiedad distributiva.
a · b + a · c + a · d = a (b + c + d)
IGUALDADES NOTABLES
DIFERENCIA DE CUADRADOS
Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.
a2 − b2 = (a + b) · (a − b)
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado.
a2 ± 2 a b + b2 = (a ± b)2
TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO
a x2 + bx +c = a · (x -x1 ) · (x -x2 )
POLINOMIO DE GRADO SUPERIOR A DOS.
Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.
1.- Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.
2.- Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.
3.- Dividimos por Ruffini.
4.- Por ser la división exacta, D = d · c
5.- Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor, y los nuevos que
obtengamos, hasta que sea de grado uno o no se pueda descomponer en factores reales.
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios y se representa por:
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P(x) es el numerador y Q(x) el denominador.
FRACCIONES ALGEBRAICAS EQUIVALENTES
Dos fracciones algebraicas
son equivalentes, y lo representamos por:
si se verifica que P(x) · S(x) = Q(x) · R(x).
Dada una fracción algebraica, si multiplicamos el numerador y el denominador de dicha
fracción por un mismo polinomio distinto de cero, la fracción algebraica resultante es
equivalente a la dada.
Simplificación de fracciones algebraicas
Para simplificar una fracción algebraica se divide el numerador y el denominador de la
fracción por un polinomio que sea factor común de ambos.
Reducción de fracciones algebraicas a común denominador
Dadas dos fracciones algebraicas, reducirlas a común denominador es encontrar dos
fracciones algebraicas equivalentes con el mismo denominador.
1.- Descomponemos los denominadores en factores para hallarles el mínimo común
múltiplo, que será el común denominador.
Dividimos el común denominador entre los denominadores de las fracciones dadas y el
resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente.
OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
SUMA Y DIFERENCIA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
FRACCIONES ALGEBRAICAS CON IGUAL DENOMINADOR
La suma de fracciones algebraicas con el mismo denominador es otra fracción algebraica
con el mismo denominador y cuyo numerador es la suma de los numeradores.
FRACCIONES ALGEBRAICAS CON DISTINTO DENOMINADOR
En primer lugar se ponen las fracciones algebraica a común denominador, posteriormente
se suman los numeradores.
PRODUCTO DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
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GRUPOS: 1°I, 1°II Y 1°III
El producto de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica donde el numerador
es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los
denominadores.
COCIENTE DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
El cociente de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica con numerador el
producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda, y con
denominador el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda.
Números complejos.
Una de las necesidades que motiva el surgimiento de este conjunto es el no
poder resolver expresiones como 1 ; x2 + 4 = 0 con los números reales.
Definición.
Un número complejo “C”, es la suma algebraica de un real con un
imaginario por lo que su representación es a+b i
iyRbabiabaC 1,/,