teoria e grafeve

“PROJEKTIMI I SISTEMEVE TE TRANSPORTIT”

KAPITULLI V

Tema :

T e o r i a e g r a f e v ePer ndertimin e nje projekt transporti, duhet detyrimisht te merren ne konsiderate shume

elemente, ose kushte, te cilat konvertohen ne nje bashkesi ndervaresie e quajtur Modeli

i sistemit te transportit, ky model eshte i afte ti simuloje keto kushte apo elemente, te

projektit duke ne dhene rezultatet respektive. Sa me siper, nje projekt per nje sistem

transporti, duhet te ece neper keto faza logjike:

Individualizimi i objeketve qe kerkojne levizje (kerkesa per transport)

Analiza sasiore e sistemit te transportit aktual (ose per disa sisteme)

Ndertimi i nje model varesie, qe perfaqeson nje sitem transporti, i cili eshte ne

gjendje te funksionoje me te dhenat (dati) aktuale, si edhe me parametrat e vlerave te

prespektives, ne lidhje me kete sistem qe po projektojme, se bashkeu me sistemet e tjere

konkurues

Verifikimi i modelit

Formimi i zgjidhjeve alternative

Zgjedhjen e variantit optimal

Faza kryesore e delikate e te gjithe procesit te projektimit, te modulit te

nje sitem transporti, eshte faza e ndertimit te ketij moduli, qe duhet patjeter te

shprehi realitetin, si dhe te jete ne gjendje te jape rezultate mbi ndryshimet e

mundeshme te kushteve, ose elementeve te prespektives.

Perpunimi i ketij moduli, ose besueshmeria e ketij moduli, realizohet

nepermjet funksioneve, e teorive matematikore, te cilat jane mbeshtetur ne

koncepte specifike. Nje nder keto teori, eshte teoria e grafeve, e cila eshte e

besueshme ne projektimin e c’do modeli per c’do sistem livizje. Ne po

prezantojme kriteret kryesore te kesaj teorie, se si ajo e parametrizon nje sistem

transporti dhe ne c’form dalin zgjidhjet e mundeshme. Realizimi konkret i nje

zgjidhjeje kerkon atrecature speciale si Hardware, Software, si dhe nje personel

me eksperience ne perdorimin e kesaj fushe.

1


Perkufizimet per grafet dhe metodat e pergatitjes

Jepen nje bashkesi me N elemente, te quajtur Nyje dhe nje bashkesi me L

elemente, te quajtur Dege ose Harqe, te cilat lidhin keto nyje nga njera tek

tjetra. Bashkesia G e ndertuar nga keto lidhje te N (nyjeve), me L (dege), perben

ate qe quhet Graf. ( mund te jepet nga shprehja G={N,L} )

Nje graf mund te ndertohet per te paraqitur nje realitet fizik te c’faredoshem.

Nyjet qe e perbejne grafin, mund te tregojne pikat fizike te nje teritori, ose

komponente te ndryshem fizike te nje sistemi, ose aktivitete te ndryshme te tij.

Deget lidhese qe lidhin dy nyjet, tregojne relacionet e pikave te teritorit, ose

komponente te ndryshem fizike, ose aktivitete te nje sistemi qe ekziston ndermjet

tyre, ose relacion te nje tipi te caktuar.

N.q.se dy nyje jane pikat e nje teritori, lidhja e ketyre nyjeve tregon qe ato jane

te lidhura nje e nga nje sipas:

a) Cifti i nyjeve mund te jene te Rregullta (n.q. se ekzistojne), atehere kur cifti

(i,j) eshte i ndryshem nga cifti (ji), ne kete rast Harku (ij) quhet i Orientuar

b) Ciftet i nyjeve mund te jene jo te rregullta dhe harqet jo te orientuarr .

Ne nje graf mund te kemi harqe te orientuar dhe jo te orientuar. Grafi ne te cilin

te gjithe harqet jane te orientuar, ai vete quhet graf i orientuar. Ne nje hark te

orientuar, nyja e pare e kapjes quhet Nyje origjine, nyja e dyte Nyja fundore.

Grafet qe perdoren pre prezantimin e sistemeve te transportit ne pergjithesi jane

te orientuar. Le te kemi

Nn (numuri i elementeve, nga bashkesia N e nyjeve)

Ln (numuri i elementeve, nga bashkesia L e degeve)

Per te dalluar nje dege, eshte e nevojshme qe te njihen elmentet e bashkesise N

dhe kapjet e marra nga kjo bashkesi, perbejne bashkesine e degeve L. Paraqitja

me e lehete dhe me e qarte per nje graf, eshte ajo grafike, ne kete paraqitje

nyjet konvertohen me nga nje pike, te emertuar me nga nje numer, ndersa

harqet paaqiten me segmente, qe lidhin cifte te ndryshme nyjesh, duke formuar

bashkesise e degeve L. Cdo hark i orientuar konvertohet me nje shigjete, ne kete

rast tregon kahun e orientimit. Per komentimin e sa thame me siper, po

prezantojme nje graf me keto elemente, bashkesia e Nyjeve me 5 nyje qe mund

te perfaqesojne 5 elemente qe kerkojne nje levizje, dhe bashkesia e harqeve me

9 elemente qe perfaqesojne 9 levizje te ndryshme neper kato nyje. Paraqitja

grafike e ketij Grafi (5 nyje / 9 harqe) po e japim ne figuren e meposhme,

2


Por paraqitja grafike e nje grafi mund te ekujvalentohet, ose transformohet ne

menyre qe te perpunohet nga aparati matematikore, si:

Paraqitje Matricor

Paraqitje Vektorial,

Ne keto paraqitje, nyjet e bashkesise Nn tregohen gjithmone me numura

progresive. Per dallimin e kapjeve perberese te bashkesise L perdoren teknika te

ndryshme. Po prezantojme disa prej tyre:

Matrice Katrore

Paraqitja grafike e nje grafi me forme matricore k atrore, eshte konceptuar si nje

mtrice katrore, me dimensionet sa eshte numuri i nyjeve te grafit. Matrica

mbushet me elementet e saj me kete logjike. Elementi “ij” i matrices, eshte i

barabarte me 1 n.q.se kapja e nyjes “ij” (fillohet nga emertimi i rreshtit, tek

emertimi i kolones), ben pjese ne bashkesine harqeve L, me dalje nga “i” dhe me

0 ne te kundert

1 2 3 4 51 0 0 0 1 02 1 0 1 0 13 0 0 0 1 14 0 0 0 0 05 1 0 1 1 0

Matrice e varesise Nyje-Dege

Nje forme tjeter e paraqitjes matricore te grafit, eshte paraqitja matrica varesi

nyje dege. Dimensionimet e kesaj matrice jane ne perputhje me sasiene nyjeve

e degeve, konketisht, c’do rrjeshti i korespondon nje nyje dhe c’do klone nje

dege. Mbushja e matrices realizohet sipas kesaj logjike, elementi “ij” i matrices

eshte 0 n.q.se nyja “i” nuk i perket harkut korespondues te kolones “j” dhe e

3


barabatre me 1 n.q.se nyja “i” eshte nyje fillestare e harkut te orientuar (d.m.th.

elementi i pare i kapjes se harkut te orientuar) dhe me –1 n.q. se nyja “i” eshte

nyja fundore e harkut te orientuar. Per ta bere me te qarte paraqitjen matrice

varesise nyje dege dhe korespondencen e saj, kemi prezantuar nje matrice qe

perfaqeson kete logjike dhe qe i referohet po te njejtin graf, kjo matrice quhet

paraqitjen matricore me varesi nyje dege.

Ne emertimin e cdo rreshti, eshte vendosur sipas rendirjes progresive, numuri i

nyjeve te grafit (1-5). Ne emertimin e c’do kolone, eshte vendosur kapja e nyjeve

qe percaktojne harkun ne graf (1-9). Dhe mbushja e matrices (me 1, ose 0, ose –

1)behet me logjiken e cituar me siper, duke na dhene kete paraqitje:

1-4 2-1 2-3 2-5 3-4 3-5 5-1 5-3 5-41 1 -1 0 0 0 0 -1 0 02 0 1 1 1 0 0 0 0 03 0 0 -1 0 1 1 0 -1 04 -1 0 0 0 -1 0 0 0 -15 0 0 0 -1 -1 -1 1 1 1

Matrice e nyjeve me-harqet maksimale qe dalin nga nje nyje

Paraqitja e gafit jepet nga nje matrice te dimensionuar sipas ketij koncepti,

numuri i rreshtave eshte i barabarte me numurin e nyjeve (progresion rrites),

ndersa numuri i kolonave merret i barabarte me numurin maksimal te harqeve

qe dalin nga nje nyje (s’ka rendesi e sata nyje eshte ne gaf). Mbushja e matrices

rrealizohet sipas kesaj logjike, vlera e elementit “ij” eshte sa numuri rendore i

nyjes, qe shikon harkun dales, n.q. se nuk ka hark (eshte me e vogel se mumuri

max. i harqeve dalese), atehere merr vleren 0. Sa thame me siper ne mund ta

dimensionojme dhe ndertojme te njejtin shembull me matricen nyje harqesh

maksimale si me poshte:

1 2 31 4 0 02 1 3 53 4 5 04 0 0 05 1 3 4

4


Matrica e varesise Harqe-Rrugekalim A

Ne paraqitjen e grafit, sipas matrice varesi harqe rrugekalimi, kemi kete

konceptim. Ndertohet nje matrice me numurin e rreshtave te barabarte me

numurin e harqeve, ose lidhjeve, ndersa numuri i kolonave, eshte me numurin e

mundeshem te intinerareve te realizuara ne kete graf, (levizjeve neper nyje, po

per te njejtin shembull te treguar, rezulton 4 intenerare 2-3-5-1-4/ 2-5-1-4/ 2-5-3-4/

2-3-4 ), pra c’do rrjesht lidhet me nje hark te grafit dhe c’do kolone me nje

intinerar. Mbushja e matrices konceptohet ne vleren 1 dhe 0, Vlera 1 eshte

atehere kur harqet (emertimi i rreshtit) ben pjese ne intinerarin qe korespondon

me kolonen “j” dhe 0 kur nuk ben pjese ne kete intenerar.

1 2 3 41-4 1 1 0 02-1 0 0 0 02-3 1 0 0 12-5 0 1 1 03-5 1 0 0 04-3 0 0 1 15-1 1 1 0 05-3 0 1 0 05-4 0 0 0 0

Matrice e ciftit Nyje-Rrugekalimi

Ne te cilen c’do rresht i korespondon nje cift nyjesh, dhe c’do kolone i

korespondon nje rrugekalimi (intinerare), mbushja me elemente kete matrice

realizohet sipas kesj logjike elementi “ij” eshte 1 n.q.se ciftin “i” lidhet me

intinerari “j” (d.m.thene intinerari ka nyje te ekstremeve, ato qe ndertojne ciftin e

“i”) dhe 0 ne kundert. Ne kete rast numeri i elementeve te matrices, varet nga

numuri i cifteve per te cilat merren parasysh intineraret, psh. Me posht po japim

per nje cift nyjesh nje matrice cift nyje rruge kalim, qe mbeshtetet ne po te

njejtin graf.

1 2 3 41-5 1 1 1 05-1 0 0 0 1

Metoda e Yjeve e Harqeve (Algoritmi DIJKSTRA)

Prezantimi i grafit qe perdoret me shume ne programet llogaritese dhe qe do te

perdoret me vone eshte quajtur si prezantim me metoden e Yjeve e Harqeve.

5


Nje prezantim i tille bazohet ne faktin qe ne nje graf c’do nyje eshte origjina e

nje ylli prej harqesh, qe dalin prej saj. Ne nje vektor fillestar a sillen nyjet ekstreme

te yjeve te ndryshem, ne blloqe te njepasnjeshem, c’do bllok vendoset pas

tjetrit, me te njejten rregulll, me te cilin gjenden nyjet origjine te yjeve.

Komponentet e vektorit te dyte b (me numur te njejte me numurin e nyjeve te

grafit), jane “shenjuesit “ ose numurat qe tregojne vendet e zena ne vektorin e

pare, nga nyjet e fundit te blloqeve te njepasnjeshme. Sa thame me siper, mund

te paraqesim po te njejten paraqitje te grafit, me nje koncept tjeter (shif figuren

per ndertimin e vektoreve). Keshtu pranojme te lexohen te parin ne bllok, e

pastaj te njohe per c’do bllok, harqet qe kane per origjine. Si perfundim, nyjet e

lidhur ne dalje me nyjen “i” jane komponente te vektorit a perfshire nga bI-1 +1 e

atij b1 . Eshte e mundur te vleresohet se sa pozicione te memories, ose sa

elemente nevoiten per paraqitjen e nje grafi, ne memorien e nje makine

llogaritese. duke perdorur tre metodat e paraqitjes se grafeve, te prezantuar me

lart. Ato jane n2N ; nNxnL dhe nNx(nm +1) ku nm eshte numuri mesatare i harqeve

qe ndertojne ne nje yll.

P.sh. marrim nje graf, me nyjet si qender levizje, ku deget e grafit i atribojme me

cilesite si, gjatesise se rruges, ose kosto e rruges etj. Kerkojme te marrim levizjen

(intineraret) per te gjitha nyjet e grafit me vleren minimale (leviz neper minimum)

Qellimi i levizjes nga Nyja 1 ne nyjen 6 (pretendojme levizjen ekstreme). Per kete

detyre prezantojme bashkesine e intenerareve, bashkesin e qendrave:

Q{1,} bashkesia e intenerarit ne qendren 1, me vleren e intenerarit d int=0 (gjatesi,

kosto)

N{2,3,4,5,6} bashkesia e qendrave te grafit, per tu kapur gjate levizjes

Krijojme te gjitha lidhjet qe ka qendra fillestare ne te cilen ndodhemi, me te

gjitha qendrat e tjera te bashkesise N, duke i vleresuar vektoret si shumen e tyre

nga nyja fillestare1.

1→2 (mini [(distanca direkte 1-2)] 1

1→4 (mini [(distanca direkte 1-4)] 2

1→3 /5 /6 (mini [(distanca direkte 1-3 etj)] eshte ∞ pasi nuk kemi lidhje direkte

per kete hap, eleminojme levizjet ∞ dhe ndertojme dy intinerare paralele, kjo

kondicionohet nga vlera direkte e kapjes 1-4 me distance levizje dmin =2, pra tani

na krijohen 2 intinerare 1-2 dhe 1-4, levizjeje paralele, qe do te merren ne

konsiderate gjate gjith procedures, se levizjes

6


Kalojme ne hapin e dyte, me kete situacion te grafit

Intinerari i pare 1-2 , kapet nyja 2, me distance intinerari d intinerari=1

Q{1,2} bashkesia e intenerarit me levizjen min d int=1 (minimumi i levizjes)

N{3,5,6} bashkesia e qendrave te grafit, per tu kapur

Krijojme te gjitha lidhjet qe ka qendra ne te cilen ndodhemi 2, me te gjitha

qendrat e tjera, te bashkesise N duke i vleresuar vektoret levizes, si shumen e tyre


2→3 (mini [(distanca direkte1-3)(1+d2-3)] ∞ (1+1.5) min=2.5

2→5 /6 (mini [(distanca direkte 1-5 /6 )] eshte ∞

per kete hap, pranojme qe kemi kete levizje minimale d intinerari=2.5 (kapet nyja 3)

Intinerari i dyte 1-4, kapet nyja 4, me distance intinerari d intinerari=2

Q{1,4 } bashkesia e intenerarit me levizjen min d int=2 (minimumi i levizjes)

N{3,5,6} bashkesia e qendrave te grafit, per tu kapur

Krijojme te gjitha lidhjet qe ka qendra ne te cilen ndodhemi 4, me te gjitha



4→3 (mini [(distanca direkte 1-3)(2+d4-3)]∞ (2+∞)

4→5 /6 (mini [(distanca direkte 1-5 /6 )] eshte ∞

sic shikohet nuk kemi vlere, pra ky intinerar eshte i mbyllur, nuk vazhdon me tej,

problemin e vazhdon intenerari mbetes 1-2-3 me levizje min d inti =2.5

Kalojme ne hapin e trete me kete situacion te grafit (jemi ne nyjen 3)

Q{1,4 dhe 1,2,3} bashkesia e intenerarit me levizjen mini. d int=2.5

N{5,6} bashkesia e qendrave te grafit, per tu kapur

Krijojme te gjitha lidhjet qe ka qendra ne te cilen ndodhemi 3 me te gjitha



3→5 (mini [(distanca direkte1-5)(2.5+d3-5)] ∞ (2.5+2) min=4.5 (nyja 5)

3→6 (mini [(distanca direkte 1-6)(2.5+d3-6)] ∞ (2.5+∞)

per kete hap, pranojme qe kemi kete levizje min. d intinerari=4.5 (kapet nyja 5)

Kalojme ne hapin e katert, me kete situacion te grafit (jemi ne nyjen 5)

Q{1,4 dhe 1,2,3,5} bashkesia e intenerarit levizja min. neper nyjet d int=4.5

N{6} bashkesia e qendrave te grafit, per tu kapur

7


Krijojme lidhjet qe ka qendra ne te cilen ndodhemi 5, me qendren 6 te

bashkesise se njeve N, duke i vleresuar vektoret levizes, si shumen e tyre nga nyja

fillestare1.

5→6 (mini [(distanca direkte 1-6)(4.5+d5-6)] ∞ (4.5+2) min=6.5

Sic shikohet nga rezultati, bashkesia e nyjeve N{ } eshte bosh qe do te thote qe

te gjitha nyjet jane kapur sipas nje logjike renditese tek bashkesia Q { } e

internerareve, kjo bashkesi mund te jete vlere kostoje ose vlere distance etj.

Levizja neper Graf, sipas logjikes me minimumin e levizjes, rezolton kjo kapje e

bashkesise se Nyjeve, ne bashkesine Q te Intinerareve me 2 elemente, ose me

intenerare, te cilat konkretisht jane

Intinerari i pare 1-4

Intinerari i dyte 1-2-3-5-6

Me poshte po japim grafikisht grafin e dimensionuar, te trajtuar me siper, se

bashku me logjiken e kapjeve te nyjeve

figura qe tregon menyren e ndertimit te vektoreve

8


Disa karakterristika te grafeve

Ne nje graf do ta quajme Rruge kalimi ose intenerare, nje lidhje te harqeve ne te

cilin nyja fundore e harkut, cilido, koincidon me nyjen fillestare te harkut ndjekes

ose pasues. P.sh. ne grafin e mesiper lidhja (5,1);(1,4);(4,3);(3,5) eshte nje

intenerar.

Nje ruge kalimi quhet e mbyllur “me lak” n.q. se nyja finale e rruges se

kalimit perputhet me ate fillestare.

Nje rrugekalim quhet me mungese laku n.q.se asnje pjese e tij nuk

perben lak, d.m. thene se nje nyje, nuk eshte njeheresh fillim dhe fund i

nje harku.

P.sh.ne figuren tone kemi :

Intenerari (5,1);(1,4);(4,3);(3,5) eshte nje lak

Intenerari (2,1);(1,4);(4,3);(3,5) ka mungese laku

Ne te ardhme edhe pa e perdorur termin, do te referohemi gjithnje intenerarit te

privuar nga harqet Lak. (keto jane pothuaise te perhershme ne projektet e

transportit, per efekt eficenses ekonomike.)

Nje graf, ne te cilin c’do nyje eshte e lidhur me anen e nje harku, me sejcilen

nyje, quhet komplet i lidhur. Keto grafe, jane grafet qe perdoren per te

perfaqesuar sistemet e transportit ajror ose detar. Ne nje hapsire te caktuar

gjeografike. Ne kete rast nyjet jane aeroportet, ose portet dhe harqet jane

lidhjet ajrore, ose detare, midis tyre.

Nje graf quhet i lidhur n.q.se ne c’do nyje eshte origjina e te pakten e nje

intenerari qe ka si ekstrem nje nyje c’fardo te grafit.

Grafet qe perdoren per paraqitjen e sistemeve te transportit jane shpesh jo

komplet te lidhur.

Nje graf (ne te cilin nuk eshte prezent asnje lak) ne te cilin ekziston nje

intenerare i vetem, qe lidh nje nyje (i) me c’do nyje tjeter quhet pema me

rrenje i

Nje peme e siper treguar, eshte shembulli i grafeve jo te lidhur. N.q.se ne nje graf

eleminojme ndonje nyje dhe harqet e te cileve iu perkasin keto nyje, atehere

perfitohet nje nengraf i grafit te dhene.

Ne nje graf ku shenojme, pemet, duke pasur si origjine nyje te ndryshme, do te

perfitonim shembuj grafesh te pjeseshem. P.sh. duke iu referuar grafit ne figuren

e mesiperme, grafet e ndertuara nga harqet (2,1);(1,4);(2,5);(5,3), te perfituar nga

9


grafi fillestar, si dhe duke hequr te gjithe harqet e tjere, eshte nje graf i

pjeseshem, qe krijon nje peme me rrenje 2

Numuri i intenerareve (pa leqe) qe mund te dallojme ne nje graf, eshte i fundem.

Ne rrjetat e transportit jane vene ne dukje vetem rruget e kalimit, qe lidhin cifte

nyjesh, te cilet fillojne e mbarojne zhvendosjet. Nyje te tilla, sic do te shohim me

vone, do te quajme qendra. Per nje graf te dhene, me nje numur te caktuar

nyjesh qender, eshte e mundur te numurohen te gjithe rruget e kalimit te

mundeshme pa leqe, duke pasur nyje qendre, si nyje fillestare dhe fundore.

N.se i dhe j jane dy qendra, mund te percaktojme bashkesine e rrugeve te

kalimit te lidhura (i) e (j), bashkesia e rrugeve te kalimit I ij , duke patur (i) si nyje

fillestare dhe (j) si nyje fundore.

Teknika e ndertimit te nje rrjeti

Rrjeti, eshte grafi i cili harqet posedojne nje karakterikstike sasiore. C’do hark i nje

grafi i perdorur per te prezantuar nje sistem transporti, karakterizohet nga koha e

levizjes dhe nga treguesit te tjere, qe konkretizojne perdoruesin e sistemit te

transportit, per levizjen nga nje nyje e harkut tek tjetra, te gjitha keto marrin

pjese, ne percaktimin e te ashtuquajtures Kosto e Tansportit te harkut. Elementet

qe perbejne koston e transportit jane madhesi te karaktereve te ndryshme, pra

jo homogjene p.sh. koha/ kostoja monetare/ stresi/ etj d.m. se kostoja eshte nje

vektor, dhe keto elementet jane komponente te tij. Megjithate kostoja gjithnje

konsiderohet si nje madhesi skalare, sepse ose merret ne konsiderate vetem

koha e levizjes, ose te gjithe komponentet homogjenizohen. Nga ana tjeter, ne i

referohemi gjithmone perdoruesit mesatare, keshtu qe kostoja e nje harku te

grafit, merret konstante per te gjithe perdoruesit e tjere

Vektori i kostos se harkut

Do te gjuajme nje vektor C tek i cili komponentet cij jane emertuar nga kostoja

e transportit te harkut (ij). Vektori i kostos se grafit do te kete dimensionin (nLX1).

Numuri i perdoruesave qe perdorin sistemin e transporit, (kerkesa per transport)

ndryshon ne kohe (sic do te shohim me vone). Ne pergjithesi nje sistem transporti

studiohet duke iu referuar nje intervali kohore, me te cilin funksioni i tij eshte

konstant, qe do te thote, se shmangjet rastesore te numurit te perdoruesave te

jete konstant dhe I pranueshem. Ne kete rast numuri mesatar i perdoruesave, qe

ne intervale te vogla kohe te njepasnjeshme, te supozuar si te njesishme,

10


pershkruajne harkun e nje grafi, perfaqesues te nje sistemi transporti, I cili eshte

konstante. Ky numur quhet ndryshe edhe fluksi i harkut

Fluksi gjithmone konsiderohet si nje madhesi skalare, n.q.se perdoruesit qe e

perbejne jane jo homogjene, ato homogjenizohen mesatarisht duke perdorur

koeficente te pershtatshem te transformimit.

Vektoret te fluksit te harkut

Perkufizohet vektori f me dimesionet (n L x1), komponentet e tij (fij) jane krijuar

nga fluksi mbi harkun (ij) . Ndonjehere ne te ardhmen ai do te tregohet me nje

indeks te vetem, me te cilin eshte e mundur te shoqerohet me nje numer per

sejcilen kapje te nyjeve, d.m. se fluksi mbi harkun i do te tregohet fi. Konceptet e

kostos se transportit dhe i fluksit, mund ti referohen edhe “rruges se kalimit” /

intenerarit.

Do te quajme kosto e transporti te rruges se kalimit, koston (e pergjithesuar ) e

mbajtur nga perdoruesi mesatar, per te kaluar nje intenerar te cktuar. Zakonisht

supozohet qe kostoja Ck e nje rruge kalimi, te pergjithshme k, jepet nga shuma e

kostove te harqeve qe e perbejne ate rruge kalimi. Duke kujtuar perkufizimin e

matrices se varesive Harqe-Rrugekalim mund te shkruajme

Ck = ∑ aki * Ci kostojaa e harqeve (i)

Ose ne forme matricore

C = A * c ku

C eshte vektori i kostove te rrugkalimit me kompponente Ck

A eshte matrica e transformuar te varesise Harqe-Rruge

c eshte vektori i kostove te harkut

Vektore te fluksit te rruges te kalimit

Do te quajmme vektorin F, komponentet e te cilit Fk jane krijuar nga numuri i

perdoruesave (i homogjenizuar) qe e pershkruajne intenerarin k, ne njesine e

kohes. Fluksi qe pershkruan nje hark i, eshte shuma e flukseve te rrugeve qe

perdorin kete hark. Duke perdorur matricen e varesise Hark-Rruge mund te

shkruajme:

fk= ∑ aik Fk

Ne forme matricore

f = A * F

11


kostoja e transportit, ne lidhje me sejcilin hark te grafit, eshte ne pergjithesi

funksion si i fluksit, qe e pershkruan kete hark, ashtu edhe i atyre qe pershkruajne

harqet e tjere te grafit, (sic do ta shohim me vone). Nje funksion i tille skalar C i(f),

pergjithesish me shume variabla, i jepet emri funksion i kostos dhe eshte

karakteristike sasiore qe e kthen nje graf ne nje rrjet te transportit , pra me

perkufizim.

Rrjet transporti, eshte bashkesia T e perbere nga bashkimi i bashkesive N te

nyjeve, bashkesia L e cifteve te nyjeve qe i takojne bashkesise se linjave, dhe

nga nje bashkesi Fc e funksioneve te kostos per sejcilin element te bashkesise L

T= (N,L,Fc)

Skematizimi i nje sistemi ofertash per transport, nepermjet nje rrjeti

Teoria e rrjeteve, si dhe algoritmet qe derivojne per kete teori, formojne nje

instrument teorik adapt dhe shume efikas per projektimin e studimin e nje sistemi

transporti. Nje rrjete eshte efektivisht nje pershkrim i thjeshtezuar i fenomenit te

komplikuar, rreal. Ndertimi i nje rrjete kalon neper disa operacione, te cilat

paraprakisht duhet te grupohen sipas problematikave: Siperfaqja e studimit/

zonifikimi i siperfaqes/ permbledhje e perafert e grafit te realitetit fizik/

individualizimi I pozicioneve ne hapsire dhe kohe te perdoruesave per sistemin

rreal/ si dhe funksionet e kostos per elementet e transportit. Sa me siper eshte e

thjeshte nderttimi i nje rrjeti, kur behet fjale per nje transport detar apo airor, ne

kete rast veshtiresia eshte ne percaktimet e mesatareve te orevonesave apo te

cikleve kohore etj. Veshtiresite e medha per ndertimin e nje rrjeti, jane kur kemi

raste te nderthurjes se llojeve te transportit, si dhe te formave te infrastruktures.

Kjo baze sherben per vleresimet sasiore dhe cilesore te nyjeve dhe harqeve,

kombinacionet e te cilave japin sistuatet, ose modelet e grafeve, dhe rrjetave te

prezantuar me siper. Ne pergjithesi, ndertimi i nje modeli rrjeti, kalon nepermjet

nje serie operacionesh, per te cilet, me poshte do te pershkruajme kriteret e

pergjitheshme.

Persa i perket nyjeve mund te dallojme per nje siperfaqe:

a) vleresimet ne siperfaqe per nyjet qender.

Perfaqesojene nyjet, ne te cilat ipotezohen levizjet e koncentruar per hyrjet dhe

daljet ne c’do zone e trafikut (ose e intenerarit)

b) vleresimet per nyjet reale

Perfaqessojne ato nyje te cilat fizikisht, ne terren paraqesin pozicione fikse

12


Persa i perket harqeve, per nje rrjet transporti, c’do njera korespondon njesise se

fluksit ne nje drejtim perdorimi, me te njejtat karakteristika, konkretisht :

harqet rreale

Pefaqesojne bashkimet e dy nyjeve reale

harqe fiktive

Perfaqesojne ose c’faqen kur basshkojne nje nyje qender te zones me nje nyje

rreale kur keto nuk ekzistojne aktualisht po e njejeta

A) Kufizimi i zones se studimit

Ne kete faze percaktohen zonat gjeografike me te cilan gjendet sistemi i

transportit ne studim,( sistemi ne projekt), ose me te cilin do te trajtohen

hollesisht, pjesa me e madhe e efekteve te nderhyrjeve te projektuara. C’fare

gjendet ne pjesen e jashteme te kordonit te supozuar, qe kufizon zonen e

studimit, perben ambjentin e jashtem te atij, ne ket rast, ne na intereson

vecanerisht, nderlidhjet me sistemin ne projekt.

Zona e studimit mund te jete I gjithe vendi ne rastin e studimeve te nje plani

nacional per transportin, por mund te jete dhe nje pjese e rrjetit rrugore, me te

cilin tentohet, nje nderhyrje ne shfrytezim.

B) Zonifikimi

Zhvendosjet qe ndikojne ne nje zone te dhene mundet ne pergjithesi te fillojne

dhe mbarojne ne ne pike c’fardo te teritorit. Per trajtimin e fenomenit eshte

permbi te gjitha e nevojhme nendarja e zones se studimit (dhe eventualisht zona

e brendeshme e saj) ne zona trafiku , midis se cileve zhvillohen zhvendosje qe I

perkasin sistemit te projektimit. Zhvendosje te tilla quhen zhvendosje

nderzonave, ndersa per zhvendosje zonale zhvillohen zhvendosje qe fillojne dhe

mbarojne ne brendesi te se njejtes zone te trafikut.

Zonat mundt te jene te ndertuar nga i gjithe qyteti, ose grupe qytetesh, ne

planin nacional, deri ne zona te vogla, ne planin e trafikut urban. Perderisa

objektivi i zonifikimit eshte te perofroje te gjitha pikat e fillimit dhe te mbarimit te

zhvendosjeve zonale ne nje pike te vetme (qendra e zones). Kriteri teorike qe do

te ndiqet per zonifikimin eshte, individualizimi i pjeseve te tilla te zones se

studimit, per te cilat koncentrime te tilla paraqesin hipoteza te pranueshme. Nga

pikpamja praktike, si ato, te nohjes se zones se studimit, egzistojne mundesi te

ndryshme zonifikimi per te nejtin problem, nendarja e zones se studimit ne nje

13


numer te madh zonash, zakonisht con ne nje prezantim me te sakt te fenomenit

real, por edhe nje ngarkese te madhe per skematizimin e simulimeve te

sistemeve te transportit. Kriteret praktike, per arritjen e nje kompromisi te mire,

midis nevojave te ndryshme, varen akoma edhe nje here nga tipi i vecante i

planit. Edhe ambjenti i jashtem i zones se studimit, zakonisht ndahet ne zona me

te gjera, ( medha ) se sa ato te brendeshme, te zones vete. Zonat e jashme, na

interesojne vecanerisht si zona me te cilat fillojne e mbarojne zhvendosja, qe

zhvillohen (te pakten pjeserisht) , ne brendesi te zones se studimit. Zonofikimi

konsiston ne nendarjen e zones se studimit, ne zona te trafikut, ne menyre qe

origjinat dhe destinacionet e zhvendosjeve e sejciless zone, te hipotezohen te

koncentruara ne jne pike te vetme te quajtur qender e zones ose qendra e

brendeshme. Edhe per origjinat dhe destinacionet e zhvendosjeve jashte zones

se studimit, hipotezohen te perqendruara ne qendra te jashteme

C) Nxjerrja e grafit

Nyjet e nje grafi te perdorur per prezantimin e nje sistemi transporti tregojne

pozicione ne kuptimin me hapsiren e ne kohe me te cilin mund te vijme e te

gjejme nje perdorues te sistemei te transportit . Keshtu dy nyjet te lidhura nga

nje hark, mund te tregojne dy pika te teritorit te bashkuara nga nje rruge . Ata

kane koordinata te ndryshme gjeografike dhe kohore perdrisa egziston koha e

zhvendosjes nga nje nyje ne nje tjeter. Dy nyje te lidhura nga nje hak, mund te

kene edhe te njejtat koordinata gjeografike dhe ndryshojne vetem nga ato

kohore, sic ndodh kur dy nyjet tregojne situata te ndryshme ne te cilen gjendjet

nje perdorues i sistemit te transporti, ne castin me te cilin ai arrin nje pike te

caktuar (p.sh. nje terminali i transportit puplik) dhe atehere me te cilin ai

largohet. Si rrjedhim harqet mund te tregojne realitete fizike te ndryshme, nje

infrastrukture (rrugore ose hekurudhore) qe lidh dy nyje, ekzistenca e nje sherbimi

e ofruar nga nje mjet i pershtatshem i transportit , por jo ajo e nje infrastrukture

lidhese, dy gjendje te njepasnjeshme me te cilin, ne te njejten vend gjeometrik,

por ne kohe te ndryshme, mund te vijne e te gjejne perdorues (p.sh. ardhja ne je

modelim te autobuzit dhe ngjitja ne makine pas nje kohe te caktuaar pritjeje )

Mbi bazen e karakteristikave te ndryshme eshte e mundur qe te bejme ndarjen e

bashkesise se nyjeve N dhe te harqeve L ne nenbasshkesi:

Per sa thame me siper problemi I skematizimit te nje sistem transporti nepermjet

nje grafi ose, sic mund te themi, nxjerrja e grafit, nga rrealiteti fizike, konsiston ne

14


thelb ne percaktimin e ketyre pozicioneve hapsire/kohe perdoruesave qe

ndalojne qellimisht ne menyre te detajuar ne analizen e sistemeve te transportit

real dhe harqeve qe I lidhin.

Ky operacion ka gradee te ndryshme teveshtiresise ne pershtatje me sistemin ne

projektim. Ne vazhdim do te jepen disa shembuj te ndryshem ne lidhje me

nxjerrjen e grafit per sisteme transporti te caktuar.

Skematizimi eshte ne pergjithesi mjaft I thjeshte kur flitet per nje sistem transporti

detar ose ajrore qe sherben ne nje zone te caaktuar, nyjet jane portet ose

aeroportet dhe harqet jane udhet qe lidhen midis tyre . N.q. se marrim ne

konsiderate kohen e pritjes ne porte ose aeroporte te ndryshme dhe se keto

kohe nuk jane te paperfillshme krahasuar me kohen e udhetimit , porti ose

aerroporti do te percaktohen nepermjet dy nyjeve qe paraqesin te njejten pike

fizike por karakterizohen nga kohe te ndryshme, ajo e mbritjes dhe ajo e nisjes.

Ne hakun qe I lidh do te vendoset kostoja e pritjes. Eshte shume e thjeshte te

perfitosh nje graf qe paraqet nje sistem transporti tokesore, kur ky eshte I perbere

nga nje menyre e vetme transporti, p.sh. mjeti hekurudhore. Ne kete rast, nyjet

jane pikat me te cilat flukset emetohen ose dalin nga sistemi I infrastruktures

(stacionet hekurudhore, qe mund te jene qendra edhe si qendra) dhe atyre ne

te cilet infrastrukturet I intersektohen me njera tjetren, dhe harqet jane deget e

ndryshme hekurudhash qe lidhin

Skematizimi I jne sistemi transporti rezulton shume kompleks kur ehste perbere

nga shume menyra transporti (p.sh. hekurudha tramvaj, autobuza etj) si dhe nga

infrastruktura te niveleve te ndryshme cilesie sic ndodh ne pergjithesi ne zonat

urbane dhe metropolitane.

Ne rastin e sistemeve urbane dhe metropolitane eshte e mundur te ndertosh nje

graf shume te detajuar te sistemit te transportit ne nje zonim shume te imet deri

ne izolimin e nje elementi te vetem, ose duke marre ne konsiderate , paraqitjet

me te komplikuara (agregate) me zona me te medha dhe ne nje graf me me

pak harqe.

Ne pergjithesi ne nxjerrjen e nje grafi merren ne konsiderate pikat e zhvendosjes

nga nje menyre transporti ne nje tjeter , keto pergjithesisht , paraqiten nga

shume nyje qe percaktojne te njejten vend fizik por karakterizohen nga kohe te

ndryshme ajo e arritjes ne kete vend me nje menyer transporti dhe ajo e nisjes

ne menyre pasqrdhese dhe eventualisht nga cmimi I perdorimit te menyres se

15


daljes. \shembuj tipike te kesaj menyre paraqitje jane ndalesat e autobuzave

urbane ku e ka fundin nje rruge kembesore dhe fillimin nje rruge me menyren e

transportit publik dhe kur mbi harkun qe I lidh dy nyjet vendoset koha e pritjes ne

ndalese dhe kostoja e biletes, ose stacionit hekurudhore ku pranohet kembimi

midis mjeteve peersonale dhe hekurudhore.

Jo gjithmone ne nxjerrjen e grafit eshte e nevojshme I njejti nivel drejtimi , sic u

tha dhe me siper menyra me te cilen grafi do te nxiret nga nje realitet teritorial

(ne vecanti urban) varet nga objektivi I studimit. Nje przantim I detajuar eshte I

nevojshem kur I referohemi nje realiteti teritorial te dimensioneve modeste, d.m.

thene kur p.sh. duhet te projektohet nje plan I ushtrimit te autobuzave ne nje

lagje urbane . Ose kur I referohemi ne nje zone te tere urbane nje skematizem

shume I detajuari sistemit te transportit nuk duhet te perdoret per dy arsye :

1) Do te duheshin nje numer shume I madh elementesh te se njejetes (nyje

dhe harqe), edhe per zona urbane te vogla , dhe keshtu veshtiresi te

shumta te llogaritjes.

2) Do te duhej te rrezikohej po te futeshin analizen e sistemit te transportit

edhe gabime te medha te cilet lidhen me nje rrjet shume te detajuar, ne

vecanti per sa I perket cmimit te kerkeses per traansport .

Ne nje mjet transporti c’do hark i korespondon nje fluksi i vetem, me nje hark

kohore i perdoruesave me karakteristikat dalluese, keshtu p.sh.nje rruge dy

drejtimeshe mbi te cilinudhetojne vetem autobuza private paraqiten nepermjet

nje qifft harqes me drejtime te kunderta. por nje rruge njedrejtimeshe mbi te

cilen udhetojne autobuza private dhe automjete publike paraqiten nepermjet

nje harku perkates te autoveturave private dhe nje harku per sherbimin publik

ose per sejcilen vije ne varesi te nivelit te detajizimit te perdorur. Nese ne te

kundert duhet te vendosen ne kategori te ndryshme perdoruesit qe perdorin te

njejten infrastrukture p.sh. sipas shkakut te udhetimit, ose tarifes se paguar se

njejtes infrastrukture fizike, e cila i bashkengjitet nje hark per c’do kategori

perdoruesish.

Ne figure jane sjelle grafet e rrjetit rrugore dhe te transportit publik per nje pjese

te zones urbane. Po atu ne figuren e meposhteme eshte paraqitur nje pjese e

grafit shumemodulesh per gjithe vendin, per nje plan te pergjithshem te

transportit .

16


Nga sa thame me siper eshte e dukshme qe operacioni i trafikimit dhe i nxjerrjes

se grafit jane shume te lidhur me njera tjetren. Niveli i zonifikimit duhet ne fakt te

perputhet me nivelin e paraqitjes te sistemit real dhe e anasjellta, per me teper

ne vcanti ne zonat urbane struktura e sistemit te transportit ekzistues dhe atij te

projektuar, do te influencoje ne mase te konsiderueshme zonifikimin e zones se

studimit.

D) Funksioni i kostos

Kostoja ( e pergjitheshme) e kalimit te nje harku ne graf te nje sistemi transporti

eshte elementi qe lejon te kalohet nga grafi, tek paraqitja me rrjet, e nje sistemi

transporti. Ne pergjithesi ne mjete e transportit private ku ne shume raste

qarkullojne edhe mjete publike kostoja e kalimit te nje harku, eshte nje rrelacion

matematikor qe jep ose perfaqeson koston mesatare te transportit per fluksin,

sigurisht qe varet nga numuri I perdoruesave qe e perdorin harkun vete dhe

harqe te tjere te rrjetit. Komponentet qe perbejne koston e kalimit te nje harku,

jane komplekse, por ne perafrojme ne nje limit duke i konsideruar si te

homogjenizuar, dhe i vetmi faktor viziv, mbetet koha, per te cilen vleresohet si

nje kohe mesatare e harkut. Ne fakt, kjo kohe, prezantohet ne kohen e levizjes

urbane dhe dhe kohen e levizjes extraurbane, kjo e fundit perfshin nocionet e

nderhyrjes me rrjetat e tjere.

Teknikat e sgjidhjes se nje rrjete te ndertuar per nje sistem transporti

Per zgjidhjen matematikore qe propozohen te kryhen mbi rrjetat e sistemeve te

transportit, ose shkurt do ti permendim rrejtat e transportit, jane Algoritmi sipas

“Dijkstras”;”Gjenerimit te pemes” etj.

17

teoria e grafeve

Engineering