teoria dos grafos - sistemas.riopomba.ifsudestemg.edu.br · exemplo • em (1) o passeio inicia...
TRANSCRIPT
Exemplo
• Em (1) o passeio inicia pelo vértice 1, avançando na sequência 1-6-4-3-2-6-4-3
• Um passeio é aberto quando o vértice inicial é diferente do vértice final e fechado caso contrário.
• Em (2) tem-se o passeio fechado1-5-3-4-2-3-1
Cadeia ou Trilha• Uma cadeia ou trilha é um
passeio sem repetição de arestas.
• Em (1) cadeia aberta: 5-a8-1-a7-4-a3-3-a4-2-a5-6-a1-1
• Em (2) cadeia fechada: 5-1-3-4-1-6-2-5
• OBS: a cadeia da figura (1) é aberta apesar de possuir uma subcadeia fechada (1-4-3-2-6-1)
Caminho• Um caminho é uma cadeia sem repetição de
vértices.• Um caminho entre os vértices “a” e “b” será
denotado por a-b, por Pa-b ou por Pi.• Em um grafo não ponderado, o comprimento
de um caminho é o número de arestas desse caminho.
• Em um grafo ponderado, o comprimento de um caminho é a soma dos pesos das arestas desse caminho.
Ciclo• Em um grafo G, um ciclo é um caminho
fechado.• Quando um grafo G é orientado, alguns autores
denominam circuito a sequência de arcos distintos que repete somente o primeiro e último nó visitados.
Ciclo Euleriano
• Percurso passando por todas as arestas uma única vez e retornando ao ponto inicial:– este percurso (ciclo) só existe se o grau dos vértices
for par. Onde, o grau de um vértice é o número de arestas incidentes.
A – grau 3B – grau 5C – grau 3D – grau 3
A
D
C
B
Caminho Euleriano• Um vértice com um número ímpar de arcos tem de ser o
primeiro ou o último da trajetória. Isto é, podem haver, no máximo, dois vértices com um número ímpar de arcos ligados a eles.
• No caso das pontes de Königsberg, existem quatro vértices com um número ímpar de arcos, logo, não tem solução.
Grafo euleriano– Possui um ciclo euleriano– Todos os vértices são de grau par
Grafo semi-euleriano– Possui um caminho euleriano– Tem dois vértices de grau ímpar
Alguns autores usam os termos cadeia euleriana e cadeia euleriana fechada para notar caminho euleriano e ciclo
euleriano, respectivamente.
Caminho Hamiltoniano
• Trata-se de um caminho em G, passando por todos os vértices, os visita somente uma vez
Observação• O uso dos termos caminho euleriano e
ciclo euleriano deve ser cuidadoso. Há possibilidade de ambiguidade, tendo em vista que caminhos e ciclos são definidos como sequência de vértices, não como sequência de arestas.
Cintura e Circunferência
• Cintura é o comprimento do menor ciclo de G.
• Circunferência é o comprimento do maior ciclo de G.
Cintura e Circunferência
• Cintura é o comprimento do menor ciclo de G.
• Circunferência é o comprimento do maior ciclo de G.
Grau de um vértice
• Grau ou valência de um vértice, em um grafo não direcionado é igual ao número de arestas incidentes no vértice.
Grafo conexo
• G é conexo se para todo par i,j de vértices existe um caminho que liga i a j.
Grafo desconexo
Grafos acíclicos• Árvore é um grafo conexo que não possui
ciclos.• Em uma árvore, um vértice com grau 1 é
denominado folha ou vértice terminal.• Quando o numero de vértices terminais de
um grafo é 2, é usual denominá-los vértices extremos de G.
• As árvores modelam um enorme número de aplicações reais.
Conexidade ou conectividade em vértices
• κ(G) é o menor número de vértices cuja remoção resulta em um grafo desconexo ou em um grafo trivial.
Conexidade ou conectividade em arestas
• λ(G) é dada pelo menor número de arestas cuja remoção resulta na desconexão de G
Grafos Especiais
Grafo Planar• É um grafo cuja representação geométrica
admite alguma representação plana (R²) e não há cruzamento de arestas.
Conceitos
• Se existe um G representado em uma superfície, ele é imersível.
• Se um G planar está representado em um plano, então as linhas que dividem o plano em regiões são chamadas de faces.
• Existe somente uma face ilimitada que nós chamamos de face externa ou infinita.