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Trigonometria sferica

Giovanni Torrero

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Indice

Capitolo 1. Geometria sferica 51.1. Concetti introduttivi 51.2. Triangoli sferici 10

Capitolo 2. Trigonometria sferica 152.1. Teoremi sui triangoli sferici 152.2. Teoremi sui triangoli sferici rettangoli 24

Capitolo 3. Coordinate geografiche 273.1. Latitudine e longitudine 273.2. Distanza tra due punti 293.3. Coordinate cartesiane 34

Indice analitico 41

Bibliografia 43

3

CAPITOLO 1

Geometria sferica

1.1. Concetti introduttivi

La geometria sferica studia le proprietà delle figure che sono deisottoinsiemi dell’insieme formato da tutti i punti di una superficiesferica.

Definition 1.1. (Circonferenza massima) Data una sfera si definiscecirconferenza massima ogni circonferenza che si ottiene intersecan-do la superficie sferica con un piano passante per il centro della sferastessa.

FIGURA 1.1.1. Circonferenza massima5

6 1. GEOMETRIA SFERICA

Remark 1.2. Nella geometria sferica la circonferenza massima giocalo stesso ruolo della retta nella geometria piana.

Theorem 1.3. Presi due punti distinti su una sfera per essi passauna ed una sola circonferenza massima.

FIGURA 1.1.2. Circonferenza massima per due punti

DIMOSTRAZIONE. I due puntiA eB e il centroO non sono allineatiquindi individuano uno ed un solo piano che passa per il centro dellasfera e quindi una ed una sola circonferenza massima che passa peri due punti dati. �

Definition 1.4. (Poli di una circonferenza massima) Data una circon-ferenza massima si consideri la perpendicolare al piano della circon-ferenza passante per il centro O della sfera, detta perpendicolareverrà chiamata asse relativo alla circonferenza massima considera-ta. L’asse della circonferenza massima incontra la sfera in due pun-ti chiamati poli, fissato un verso di percorrenza della circonferenza

1.1. CONCETTI INTRODUTTIVI 7

massima, un omino che percorra la circonferenza nel verso prescel-to vedrà il polo nord PN alla sua sinistra e il polo sud PS alla suadestra.

FIGURA 1.1.3. Poli

Definition 1.5. (Distanza sferica o segmento sferico) Dati due puntiA e B , distinti, su una sfera, esiste una ed una sola circonferen-za massima che li contiene, i due punti individuano su questa cir-conferenza due archi, il minore di essi si chiama distanza sferica osegmento sferico tra i due punti


FIGURA 1.1.4. Distanza sferica

Se si indica con a la misura in radianti dell’angolo al centro ˆAOB esi suppone che l’unità di misura per le lunghezze sia il raggio dellacirconferenza 1 allora la misura dell’arco

_

AB è proprio a .

Remark 1.6. D’ora innanzi le sfere considerate avranno tutte raggiounitario, questo equivale a dire che il raggio della sfera viene sceltocome unità di misura per le lunghezze.

Definition 1.7. (Fuso sferico) Data una sfera si considerino due pianipassanti per il suo centro essi individuano due circonferenze mas-sime che dividono la superficie sferica in quattro parti ciascuna dellequali si chiama fuso sferico.

1Imporre che l’unità di misura per le lunghezze si il raggio della sfera è comeimporre che la sfera abbia raggio unitario.

1.1. CONCETTI INTRODUTTIVI 9

FIGURA 1.1.5. Fuso sferico

L’ampiezza α dell’angolo diedro che determina il fuso, espressa inradianti, è anche l’ampiezza del fuso sferico.

Theorem 1.8. L’area di un fuso sferico di ampiezza α è data da:

Area = 2α

DIMOSTRAZIONE. Vi è una proporzionalità diretta tra l’area delfuso e la sua ampiezza e la sfera stessa può essere pensata comeun fuso di ampiezza 2π , di conseguenza è possibile scrivere la


seguente proporzione

2π : 4π = α : Area

Area = 2α

�

Definition 1.9. (Circonferenze massime perpendicolari)Su una su-perficie sferica due circonferenze massime si dicono perpendicolarise incontrandosi individuano quattro fusi retti.

Definition 1.10. (Angolo tra due semicirconferenze massime) Duesemicirconferenze massime, aventi il diametro in comune, indivi-duano un fuso, la sua ampiezza è anche l’ampiezza dell’angolo for-mato dalle due semicirconferenze.

Theorem 1.11. L’ampiezza di un fuso sferico è sempre minore ouguale a π e quindi anche l’angolo tra due circonferenze massimesegue la stessa limitazione.

DIMOSTRAZIONE. Infatti due piani che si intersecano individuanoquattro diedri, a due a due uguali, ciascuno dei quali è minore ouguale ad un angolo piatto.

Questa limitazione può essere in alcuni casi fastidiosa, ma così comesi possono considerare diedri concavi, volendo si possono anchedefinire fusi sferici concavi con ampiezza compresa tra π e 2π . �

1.2. Triangoli sferici

Definition 1.12. (Doppio fuso sferico) Ad ogni fuso sferico possiamoassociare un secondo fuso sferico ad esso opposto al vertice e quin-di ad esso uguale i cui lati sono il prolungamento dei lati del primofuso, come è indicato in figura.

1.2. TRIANGOLI SFERICI 11

FIGURA 1.2.1. Doppio fuso sferico

L’unione di questi due fusi forma il doppio fuso sferico.

Essendo i due fusi uguali se la loro ampiezza è α la loro area sarà4α .

Definition 1.13. (Triangolo sferico) Sulla sfera consideriamo tre pun-ti A, B, C, non appartenenti ad una stessa circonferenza massima,essi individueranno tre fusi sferici, il fuso BAC tale che BA e CAsiano dei segmenti, il fusoABC tale cheAB e CB siano dei segmen-ti, il fuso ACB tale che AC e BC siano dei segmenti, l’intersezionedi questi tre fusi forma il triangolo sferico.


FIGURA 1.2.2. Triangolo sferico

Theorem 1.14. Considerato un triangolo sferico ABC , individuatodai tre fusi sferici di ampiezza rispettivamente: A, B, C , l’area deltriangolo sferico è data da:

Area = A+ B + C − π

DIMOSTRAZIONE. Dalla figura sottostante si deduce che unendoi tre doppi fusi sferici di ampiezza A , B , C si ricopre tutta la sfera,una volta sola la parte esterna ai due triangoli ABC e A′B′C ′ e treA′B′C ′ è il sim-

metrico di ABCrispetto al centrodella sfera

volte ciascuno dei due triangoli.

1.2. TRIANGOLI SFERICI 13

FIGURA 1.2.3. Area del triangolo sferico

Tenendo conto di ciò che è già noto sull’area dei fusi sferici e del fattoche l’area della superficie sferica di raggio 1 è 4π si può scrivere:

4π = 4 A+ 4 B + 4C − 4 Area

Area = A+ B + C − π

�

Corollary 1.15. La somma degli angoli interni di un triangolo sfericoè maggiore, o al più uguale ad un angolo piatto.

DIMOSTRAZIONE. Infatti da quanto detto in precedenza si ha

A+ B + C = π + Area


e Area è una quantità positiva o al più nulla. �

CAPITOLO 2

Trigonometria sferica

2.1. Teoremi sui triangoli sferici

Remark 2.1. Come già detto prima le sfere considerate saranno tuttesfere trigonometriche, cioè sfere di raggio unitario, pertanto un qual-siasi segmento su dette sfere avrà una lunghezza 1 il cui valore saràl’ampiezza del corrispondente angolo al centro espresso in radianti.

FIGURA 2.1.1. Lunghezza del segmento sferico

Theorem 2.2. (Teorema del coseno o di Eulero) Con riferimento allafigura sottostante, in un triangolo sferico valgono le seguenti formule:

cos(a) = cos(b) · cos(c) + sin(b) · sin(c) · cos(α)

cos(c) = cos(a) · cos(b) + sin(a) · sin(b · cos(γ)

cos(b) = cos(a) · cos(c) + sin(a) · sin(c) · cos(β)

1Le lunghezze vengono espresse usando come unità di misura il raggio dellasfera

15

16 2. TRIGONOMETRIA SFERICA

FIGURA 2.1.2. Teorema del coseno

DIMOSTRAZIONE. Disegnato il triangolo sferico, avente i lati mi-nori di π

2, si completa la costruzione con il piano α individuato dai tre

punti C , O, A . Dal vertice B del triangolo si conduce la tangentealla circonferenza massima che individua il lato a e a quella che in-dividua il lato c , i punti di intersezione di dette tangenti con il pianoα definiscono i due punti M eN . Si fissi l’attenzione sul triangolorettangolo MOB

2.1. TEOREMI SUI TRIANGOLI SFERICI 17

FIGURA 2.1.3. Triangolo MOB

Dalla trigonometria piana si deduce che:

MB = tan(a)

MO =1

cos(a)

In modo analogo, ragionando sul triangolo rettangolo NOB si ricavache

NB = tan(c)

NO =1

cos(c)

Applicando il teorema di Carnot al triangolo MNO si ottiene

MN2 = MO2 +NO2 − 2 ·MO ·NO · cos(b)

MN2 = =1

cos2(a)+

1

cos2(c)− 2 · 1

cos(a)· 1

cos(c)· cos(b)

MN2 =cos2(c) + cos2(a)− 2 · cos(a) · cos(b) · cos(c)

cos2(a) · cos2(c)

Applicando il teorema di Carnot al triangolo MNB si ottiene

MN2 = MB2 +NB2 − 2MB ·NB · cos(β)


cos2(c) + cos2(a)− 2 · cos(a) · cos(b) · cos(c)

cos2(a) · cos2(c)=

= tan2(a) + tan2(c)− 2 tan(a) · tan(c) · cos(β)

cos2(c) + cos2(a)− 2 · cos(a) · cos(b) · cos(c)

(((((((

((cos2(a) · cos2(c)

=

=sin2(a) · cos2(c) + sin2(c) · cos2(a)− 2 · cos(a) · cos(c) · cos(β) · sin(a) · sin(c)

(((((((

((cos2(a) · cos2(c)

2 cos2(a) · cos2(c)− 2 · cos(a) · cos(b) · cos(c) =

= −2 · cos(a) · cos(c) · cos(β) · sin(a) · sin(c)

2 · cos(a) · cos(c) = 2 · cos(b)− 2 cos(β) · sin(a) · sin(c)

cos(b) = cos(a) · cos(c) + sin(a) · sin(c) · cos(β)

In modo analogo si possono dimostrare altre due formule


cos(c) = cos(a) · cos(b) + sin(a) · sin(b · cos(γ)

�

Theorem 2.3. (Teorema dei seni) Dimostrare le seguenti uguaglianze:

sin(a)

sin(α)=

sin(b)

sin(β)=

sin(c)

sin(γ)


FIGURA 2.1.4. Teorema dei seni

DIMOSTRAZIONE. Dal punto A si conduca la perpendicolare AHal piano individuato dai tre punti BOC , dal punto H si conduca laperpendicolare HL alla retta OB e la perpendicolare HK alla rettaOC . Per il teorema delle tre perpendicolari [1, a pagina 134 ] laretta OB è perpendicolare al piano individuato dai punti ALH quindil’angolo ÂLH è una sezione normale del diedro che individua il fusosferico con vertice in B , quindi ÂLH = β . In modo analogo sidimostra che ÂKH = γ . Considerando il triangolo ALO, rettangoloin L , si ha che

AL = sin(c)

Considerando il triangolo ALH, rettangolo in H , si ha che

AH = AL · sin(β)

AH = sin(c) · sin(β)

Considerando il triangolo AKO, rettangolo in K , si ha che

AK = sin(b)


Considerando il triangolo AKH, rettangolo in H , si ha che

AH = AK · sin(γ)

AH = sin(b) · sin(γ)

Dalle precedenti equazioni si deduce che

sin(c) · sin(β) = sin(b) · sin(γ)

sin(c)

sin(γ)=

sin(b)

sin(β)

In modo analogo si dimostra che

sin(a)

sin(α)=

sin(b)

sin(β)=

sin(c)

sin(γ)

�

Theorem 2.4. (formule di Vieta) In un triangolo sferico valgono leseguenti formule:

cot(a) · sin(b) = cos(b) · cos(γ) + sin(γ) · cot(α)

cot(a) sin(c) = cos(c) · cos(β) + sin(β) · cot(α)

cot(b) sin(c) = cos(c) · cos(α) + sin(α) · cot(β)

cot(b) sin(a) = cos(a) · cos(γ) + sin(γ) · cot(β)

cot(c) sin(a) = cos(a) · cos(β) + sin(β) · cot(γ)


FIGURA 2.1.5. Regola di Vieta

DIMOSTRAZIONE. Dal teorema di Eulero 2.2 a pagina 15 si ha


cos(c) = cos(a) · cos(b) + sin(a) · sin(b) · cos(γ)

Dal teorema dei seni 2.3 a pagina 18 si ha

sin(a)

sin(α)=

sin(c)

sin(γ)


sostituendo si ha

cos(a) = cos(b) · [cos(a) · cos(b) + sin(a) · sin(b) · cos(γ)] + · · ·· · ·+ sin(b) · sin(c) · cos(α)

sin(c) =sin(a) · sin (γ)

sin(α)

cos(a) = cos(a) · cos2(b) + cos(b) · sin(a) · sin(b) · cos(γ) + · · ·· · ·+ sin(b) · sin(a) · sin (γ) cot(α)

cos(a) · sin2(b) = cos(b) · sin(a) · sin(b) · cos(γ) + · · ·· · ·+ sin(b) · sin(a) · sin (γ) · cot(α)

cos(a) · sin�2(b)sin(a) ·��

��sin(b)=

cos(b) ·��sin(a) ·��

��sin(b) · cos(γ)

��sin(a) ·��

��sin(b)+ · · ·

· · ·+��sin(a) ·��

��sin(b) · sin (γ) · cot(α)

��sin(a) ·��

��sin(b)

cot(a) · sin(b) = cos(b) · cos(γ) + sin(γ) · cot(α)

La regola di cui sopra, detta regola di Vieta, ha uno schema del tipo

cot(..) sin(..) = cos(..) · cos(..) + sin(..) · cot(..)

Per riempire gli spazi vuoti si segue la seguente figura


FIGURA 2.1.6. Schema regola di Vieta

e cioè:

primo lato —>secondo lato —> angolo tra i due lati—> angoloopposto al primo lato

Con questi schemi si possono scrivere altre regole

cot(a) sin(c) = cos(c) · cos(β) + sin(β) · cot(α)

cot(b) sin(c) = cos(c) · cos(α) + sin(α) · cot(β)

cot(b) sin(a) = cos(a) · cos(γ) + sin(γ) · cot(β)

cot(c) sin(a) = cos(a) · cos(β) + sin(β) · cot(γ)

cot(c) sin(b) = cos(b) · cos(α) + sin(α) · cot(γ)

�


2.2. Teoremi sui triangoli sferici rettangoli

Theorem 2.5. =In un triangolo rettangolo sferico, i cui lati siano tutti

minori diπ

2, indicando con c l’ipotenusa e con a e b i due cateti si ha

che:

cos(c) = cos(a) · cos(b)

FIGURA 2.2.1. Triangoli sferici rettangoli

DIMOSTRAZIONE. Ne punto C si tracci il piano α tangente allasfera e quindi perpendicolare al raggio CO . Si consideri la retta OBe sia D il punto di intersezione di tale retta con il piano α , analoga-mente sia E il punto di intersezione della retta OA con lo stessopiano. L’angolo DCE è retto in quanto è la sezione normale dell’an-golo diedro che individua il fuso sferico di vertice C che è retto peripotesi.

2.2. TEOREMI SUI TRIANGOLI SFERICI RETTANGOLI 25

Si consideri il triangolo DCO , rettangolo in C , essendo CO = 1 sipuò scrivere

DC = tan(a)

DO =1

cos(a)

Analogamente considerando il triangolo rettangolo COE si può scri-vere:

CE = tan(b)

OE =1

cos(b)

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo DCE si ha:

DE2 = tan2(a) + tan2(b)

Applicando il teorema di Carnot al triangolo DEO abbiamo

DE2 = DO2 +OE2 − 2 ·DO · OE · cos(c)

tan2(a) + tan2(b) =1

cos2(a)+

1

cos2(b)− 2

cos(a) · cos(b)cos(c)

cos2(b) · sin2(a) + cos2(a) · sin2(b) = cos2(a) + cos2(b)− 2 cos(a) cos(b) cos(c)

2 cos(a) cos(b) cos(c) = 2 cos2(a) · cos2(b)

cos(c) = cos(a) · cos(b)

Questo teorema si poteva dimostrare come semplice applicazionedel teorema del coseno. �

Claim 2.6. Il teorema precedente si poteva dedurre molto più facil-mente dal teorema di Eulero, dalle regole di Vieta 2.4 a pagina 20 sipossono dedurre, ponendo γ = 90° , le seguenti formule valide per iltriangolo rettangolo sferico.


FIGURA 2.2.2. Triangolo sferico rettangolo

Dalle formule di Vieta 2.4 a pagina 20 si ricava che:

cot(a) · sin(b) = cot(α)

sin(b) = tan(a) · cot(α)

In modo analogo si può dimostrare

sin(a) = tan(b) · cot(β)

Da un’altra delle formule di Vieta si ricava:

cot(c) sin(a) = cos(a) · cos(β)

cos(β) = tan(a) · cot(c)

In modo analogo si ricava:

cos(α) = tan(β) · cot(c)

CAPITOLO 3

Coordinate geografiche

3.1. Latitudine e longitudine

Definition 3.1. (Longitudine e latitudine) Come è noto in geografiala terra viene considerata sferica con una particolare retta che passaper il suo centro, l’asse di rotazione terrestre.

27

28 3. COORDINATE GEOGRAFICHE

FIGURA 3.1.1. Terra

Dalla figura è assolutamente evidente come viene individuato unpunto P sulla superficie terrestre, c’è solo da aggiungere che la la-titudine viene suddivisa in Nord e Sud ed è un angolo compreso tra0° e 90°, mentre la longitudine viene suddivisa tra Est e Ovest ed èun angolo compreso tra 0° e 180°.

Se assumiamo come unità di misura per le lunghezze il raggio dellaterra trasformiamo la terra in una sfera trigonometrica e quindi lalunghezza dell’arco FM sarà pari alla longitudine di P , che verràabbreviata con longP ,la lunghezza in metri dell’arco FM sarà alloralongP ·R , dove R è la lunghezza in metri del raggio della terra.

3.2. DISTANZA TRA DUE PUNTI 29

3.2. Distanza tra due punti

Theorem 3.2. Dimostrare che la distanza tra due punti A e B di unostesso quarto di sfera (ad esempio Nord_Est) è data da_

AB = arccos [sin (latA) · sin (latB) + cos (latA) · cos (latB) · cos (∆long)]

, vedere la figura sottostante,

FIGURA 3.2.1. Distanza tra due punti

DIMOSTRAZIONE. Come è noto la distanza tra due punti, in geo-metria sferica, è la lunghezza dell’arco più piccolo che i due puntiindividuano sulla circonferenza massima che passa per i due puntistessi.


Si consideri il triangolo sferico NAB , esso ha:

. l’angolo sferico ÂNB = Â′OB′ = longB − longA = ∆long

. il lato sferico_

NA =π

2− latA

. il lato sferico_

NB =π

2− latB

Applicando il teorema del coseno a detto triangolo , vedere il teore-ma 2.2 a pagina 15, si ottiene :

cos(_

AB) = cos(_

NA) · cos(_

NB) + sin(_

NA) · sin(_

NB) · cos( ÂNB)

cos(_

AB) = cos

(π

2− latA

)· cos

(π

2− latB

)+ sin

(π

2− latA

)· sin

(π

2− latB

)· cos (∆long)

cos(_

AB) = sin (latA) · sin (latB) + cos (latA) · cos (latB) · cos (∆long)(3.2.1)_

AB = arccos [sin (latA) · sin (latB) + cos (latA) · cos (latB) · cos (∆long)]

�

Theorem 3.3. Dimostrare che in un triangolo sferico esiste la seguenterelazione

sin2 (α) =sin2 (∆long) · cos2 (latB)

1− sin2 (latA) · sin2 (latB)− cos2 (latA) · cos2 (latB) · cos2 (∆long) + · · ·· · · − 2 · sin (latA) · sin (latB) · cos (latA) · cos (latB) · cos (∆long)


FIGURA 3.2.2. Calcolo della direzione

DIMOSTRAZIONE. Si applichi il teorema dei seni al triangolo sferi-co NAB

sin(π

2− latB

)sin(α)

=sin( _

AB)

sin (∆long)

cos2 (latB)

sin2 (α)=

1− cos2( _

AB)

sin2 (∆long)


Usando la 3.2.1 a pagina 30 si ha

cos2( _

AB)

= [sin (latA) · sin (latB) + cos (latA) · cos (latB) · cos (∆long)]2 = .0

= sin2 (latA) · sin2 (latB) + cos2 (latA) · cos2 (latB) · cos2 (∆long) + · · ·· · ·+ 2 · sin (latA) · sin (latB) · cos (latA) · cos (latB) · cos (∆long)

Ritornando all’equazione precedente


1− cos2( _

AB)


1− sin2 (latA) · sin2 (latB)− cos2 (latA) · cos2 (latB) · cos2 (∆long) + · · ·· · · − 2 · sin (latA) · sin (latB) · cos (latA) · cos (latB) · cos (∆long)

L’espressione ottenuta è piuttosto complessa, non esiste su nessunmanuale, provo a trovare qualche cosa di più utilizzabile. �

Theorem 3.4. Con riferimento alla figura seguente dimostrare chel’angolo α , detto anche rotta iniziale, soddisfa alla seguente uguaglian-za:

tan (α) =sin (∆long)

tan (latB) · cos (latA)− sin (latA) · cos (∆long)


FIGURA 3.2.3. Rotta iniziale

DIMOSTRAZIONE. Si consideri la formula di Vieta 2.4 a pagina 20

cot( _

NB)· sin

( _

NA)

= cos( _

NA)· cos (∆long) + sin (∆long) · cot (α)

cot

(π

2− latB

)· sin

(π

2− latA

)= cos

(π

2− latA

)· cos (∆long) + sin (∆long) · cot (α)

tan (latB) · cos (latA) = sin (latA) · cos (∆long) + sin (∆long) · cot (α)

cot (α) =tan (latB) · cos (latA)− sin (latA) · cos (∆long)

sin (∆long)

tan (α) =sin (∆long)

tan (latB) · cos (latA)− sin (latA) · cos (∆long)

�


3.3. Coordinate cartesiane

Theorem 3.5. Data la sfera trigonometrica , con riferimento alla figu-La sfera trigono-metrica è la sferadi raggio unitario

ra sottostante, dimostrare le relazioni 3.3.1.

FIGURA 3.3.1. Coordinate cartesiane

DIMOSTRAZIONE. Dalla figura si deduce che∣∣∣−→OQ∣∣∣ = cos (lat)(3.3.1) ∣∣∣−→OZ∣∣∣ = sin (lat)∣∣∣−−→OX∣∣∣ = cos (lat) |cos (long)|∣∣∣−−→OY ∣∣∣ = cos (lat) |sin (long)|

3.3. COORDINATE CARTESIANE 35

La terra può essere considerata approssimativamente una sfera, secome unità di misura delle lunghezze si assume il raggio della terraquesta sfera diventa la sfera trigonometrica. L’equatore e il meridianodi Greenwich dividono la superficie terrestre in quattro parti uguali:la zona di nord-est, la zona di nord-ovest, la zona di sud-est, la zonadi sudovest, ricordando come vengono definite la latitudine e la lon-gitudine di un punto sulla superficie terrestre si può dire che le coor-dinate cartesiane di un punto della superficie terrestre, nel sistemadi riferimento indicato nella figura di cui sopra, saranno:

Nord-est:

x = cos (lat) · cos (long)

y = cos (lat) · sin (long)

z = sin (lat)

Nord-ovest:


y = − cos (lat) · sin (long)

z = sin (lat)

Sud-est:


y = cos (lat) · sin (long)

z = − sin (lat)

Sud-ovest:


y = − cos (lat) · sin (long)

z = − sin (lat)�

Theorem 3.6. Con riferimento alla figura seguente dimostrare chevale la seguente uguaglianza:

tan (ϕ) =

√[cos (latP ) · sin (latQ)− sin (latP ) · cos (latQ) · cos (∆long)]2 + · · ·

· · ·+ [cos (latQ) · sin (∆long)]2

cos (latP ) · cos (latQ) · cos (∆long) + sin (latP ) · sin (latQ)


FIGURA 3.3.2. Distanza tra due punti

DIMOSTRAZIONE. Essendo la sfera una sfera trigonometrica aventeraggio unitario la distanza

_

PQ coincide con l’angolo ϕ formato daidue vettori

−→OP e

−→OQ . Il punto T è il punto di intersezione tra il piano

tangente alla sfera in P e la retta OQ , di conseguenza il segmentoPT rappresenta la tangente dell’angolo ϕ . Le coordinate di P sononote dal teorema precedente, bisogna calcolare quelle di T .

Il piano tangente α ha una equazione del tipo

ax+ by + cz + d = 0


dove a, b, c sono le componenti di un vettore perpendicolare al pianostesso (si veda [2, a pag. 158 ]) , il vettore

−→OP è perpendicolare al

piano α , dal teorema precedente−→OP = [cos (latP ) · cos (longP )]−→ux + [cos (latP ) · sin (longP )]−→uy + [sin (latp)]

−→uz

L’equazione del piano α sarà del tipo

[cos (latP ) · cos (longP )]x+ [cos (latP ) · sin (longP )] y + [sin (latp)] z + d = 0

Il piano α deve passare per il punto P che ha come coordinate

xP = cos (latP ) · cos (longP )

yP = cos (latP ) · sin (longP )

zP = sin (latP )

di conseguenza

[cos (latP ) · cos (longP )]2 + [cos (latP ) · sin (longP )]2 + [sin (latp)]2 + d = 0

cos2 (latP )[cos2 (longP ) + sin2 (longP )

]+ sin2 (latP ) + d = 0

d = −1

L’equazione del piano α sarà la seguente:

[cos (latP ) · cos (longP )]x+ [cos (latP ) · sin (longP )] y + [sin (latP )] z = 1

La retta OQ ha le seguenti equazioni parametriche

x = [cos (latQ) · cos (longQ)] · ty = [cos (latQ) · sin (longQ)] · tz = [sin (latQ)] · t

sostituendo nell’equazione del piano α si ha

[cos (latP ) · cos (longP )] · [cos (latQ) · cos (longQ)] · t+ · · · · · ·· · · · · ·+[cos (latQ) · sin (longQ)]·[cos (latP ) · sin (longP )]·t+[sin (latP )] [sin (latQ)]·t = 1

t =1

cos (latP ) · cos (longP ) · cos (latQ) · cos (longQ) + · · ·· · ·+ cos (latQ) · sin (longQ) · cos (latP ) · sin (longP ) + sin (latP ) · sin (latQ)


t =1

cos (latP ) · cos (latQ) [cos (longP ) · cos (longQ) + sin (longP ) · sin (longQ)] + · · ·· · ·+ sin (latP ) · sin (latQ)

t =1

cos (latP ) · cos (latQ) · cos (longQ − longP ) + sin (latP ) · sin (latQ)

Le coordinate del punto T , intersezione tra la retta OQ e il piano α ,saranno

xT =cos (latQ) · cos (longQ)


yT =cos (latQ) · sin (longQ)


zT =sin (latQ)


∆x = xT − xP =

=cos (latQ) · cos (longQ)

cos (latP ) · cos (latQ) · cos (longQ − longP ) + sin (latP ) · sin (latQ)+ · · ·

· · · − cos (latP ) · cos (longP ) =

=

cos (latQ) · cos (longQ)− sin (latP ) · sin (latQ) · cos (latP ) · cos (longP ) + · · ·· · · − cos2 (latP ) · cos (latQ) · cos (longQ − longP ) · cos (longP )


I calcoli si stanno complicando oltremodo, bisognerebbe calcolareancora ∆y e ∆z per poi usare la formula tan (ϕ) =

√∆x2 + ∆y2 + ∆z2

, un tentativo fatto con Maxima ha condotto a un risultato lungomezza pagina e quindi assolutamente inutilizzabile, l’idea miglioreè quella di abbandonare tutto e cercare un’altra strada.


L’angolo ϕ lo si può calcolare sfruttando le proprietà del prodottoscalare tra due vettori:

−→OP ×

−→OQ = cos (ϕ)

cos (latP ) · cos (longP ) · cos (latQ) · cos (longQ) + · · ·· · ·+ cos (latP ) · sin (longP ) · cos (latQ) · sin (longQ) + sin (latP ) · sin (latQ) = cos (ϕ)

cos (latP ) · cos (latQ) · cos (∆long) + sin (latP ) · sin (latQ) = cos(ϕ)

Il risultato ottenuto è identico alla 3.2.1 a pagina 30, per ottenerequalche cosa di diverso si può usare la famosa formula :

tan (ϕ) =

√1− cos2 (ϕ)

cos (ϕ)

tan (ϕ) =

√1− cos2 (latP ) · cos2 (latQ) · cos2 (∆long)− sin2 (latP ) · sin2 (latQ) + · · ·· · · − 2 cos (latP ) · cos (latQ) · cos (∆long) · sin (latP ) · sin (latQ)


tan (ϕ) =

√√√√√ 1−[1− sin2 (latP )

]· cos2 (latQ) · cos2 (∆long) + · · ·

· · · − [1− cos2 (latP )] · sin2 (latQ)· · · − 2 cos (latP ) · cos (latQ) · cos (∆long) · sin (latP ) · sin (latQ)


tan (ϕ) =

√√√√√ 1 + sin2 (latP ) · cos2 (latQ) · cos2 (∆long)− sin2 (latQ) + · · ·· · ·+ cos2 (latP ) · sin2 (latQ)− cos2 (latQ) ·

[1− sin2 (∆long)

]+

· · · − 2 cos (latP ) · cos (latQ) · cos (∆long) · sin (latP ) · sin (latQ)


tan (ϕ) =

√√√√√ �1−��

sin2 (latQ)−��

cos2 (latQ) + sin2 (latP ) · cos2 (latQ) · cos2 (∆long) + · · ·· · ·+ cos2 (latP ) · sin2 (latQ) + cos2 (latQ) · sin2 (∆long) +

· · · − 2 cos (latP ) · cos (latQ) · cos (∆long) · sin (latP ) · sin (latQ)



tan (ϕ) =

√[cos (latP ) · sin (latQ)− sin (latP ) · cos (latQ) · cos (∆long)]2 + · · ·

· · ·+ [cos (latQ) · sin (∆long)]2


�

Indice analitico

Angolo tra due semicirconferenzemassime, 10

asse relativo alla circonferenzamassima, 6

Circonferenza massima, 5Circonferenze massime

perpendicolari, 10

Distanza sferica o segmento sferico,7

Doppio fuso sferico, 10

formule di Vieta, 20Fuso sferico, 8

Longitudine e latitudine, 27

Poli di una circonferenza massima, 6

rotta iniziale, 32

Teorema dei seni, 18Teorema del coseno o di Eulero, 15Triangolo sferico, 11

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Bibliografia

[1] L. Cateni R. Fortini. La Geometria per il liceo Classico e Artistico 2, volumesecondo. Le Monnier, Firenze, 1986.

[2] C. Longo. LEZIONI DI GEOMETRIA, volume unico. Libreria eredi VirgilioVeschi, Roma Viale dell’Università, 7, 1970.

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teoria dei grafi - libero...

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