teoria dei giochi - d'orio - i parte1 il modello di duopolio di bertrand (prodotti...
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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 1
Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti differenziati) Due imprese: impresa 1 e impresa 2. Ogni impresa sceglie il prezzo per il proprio prodotto
senza saper ciò che ha fatto l’altra. I prezzi sono indicati rispettivamente con p1 e p2,.
La quantità che i consumatori domandano all’impr. 1: q1(p1, p2) = a – p1 + bp2.
La quantità che i consumatori domandano all’impr. 2: q2(p1, p2) = a – p2 + bp1.
Il costo per l’impresa i di produrre la quantità qi è Ci(qi)=cqi.
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 2
Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti differenziati)
La rappresentazione in forma normale: Insieme giocatori: { Impresa 1, Impresa 2} Insieme strategie: S1=[0, +∞), S2=[0, +∞)
Funzioni di payoff: u1(p1, p2)=(a – p1 + bp2 )(p1 – c)u2(p1, p2)=(a – p2 + bp1 )(p2 – c)
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 3
Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti differenziati) Ricerca dell’equilibrio di Nash:
Trovare la coppia di prezzi (p1*, p2*) tale che p1* è la risposta ottima dell’impresa 1 al prezzo dell’impresa 2 p2* e p2* è la risposta ottima dell’impresa 2 al prezzo dell’impresa 1 p1*
Quindi , p1* risolve Max u1(p1, p2*) = (a – p1 + bp2* )(p1 – c)s. a 0 p1 +∞
e p2* risolveMax u2(p1*, p2) = (a – p2 + bp1* )(p2 – c)s. a 0 p2 +∞
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 4
Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti differenziati) Ricerca dell’equilibrio di Nash
Risolvere il problema di massimizzazione dell’impresa 1Max u1(p1, p2*) = (a – p1 + bp2* )(p1 – c)s. a 0 p1 +∞
FOC: a + c – 2p1 + bp2* = 0 p1 = (a + c + bp2*)/2
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 5
Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti differenziati) Ricerca dell’equilibrio di Nash
Risolvere il problema di massimizzazione dell’impresa 2 Max u2(p1*, p2)=(a – p2 + bp1* )(p2 – c)s. to 0 p2 +∞
FOC: a + c – 2p2 + bp1* = 0 p2 = (a + c + bp1*)/2
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 6
Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti differenziati) Ricerca dell’equilibrio di Nash
La coppia di prezzi (p1*, p2*) è un equilibrio di Nash se:
p1* = (a + c + bp2*)/2 p2* = (a + c + bp1*)/2
Risolvendo le due equazioni troviamo che p1* = p2* = (a + c)/(2 –b)
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 7
Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti omogenei) Due imprese: impresa 1 e impresa 2. Ogni impresa sceglie il proprio prezzo senza
conoscere le scelte altrui. I prezzi sono denotati rispettivamente con p1 e p2.
La quantità domandata dai consumatori dall’impr. 1: q1(p1, p2) = a – p1 se p1 < p2 ; = (a – p1)/2 se p1 = p2 ; =0, negli altri casi.
La quantità domandata dai consumatori dall’impr. 2: q2(p1, p2) = a – p2 se p2 < p1 ; = (a – p2)/2 se p1 = p2 ; =0, negli altri casi.
Il costo dell’impresa i per produrre qi è Ci(qi)=cqi.
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 8
Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti omogenei)La rappresentsazione in forma normale:
Insieme dei giocatori: { impresa 1, impresa 2} Insieme delle strategie: S1=[0, +∞), S2=[0, +∞)
Funzioni di payoff:
12
2122
1222
212
21
2111
2111
211
se0
se2/))((
se))((
) ,(
se0
se2/))((
se))((
) ,(
pp
pppacp
pppacp
ppu
pp
pppacp
pppacp
ppu
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 9
Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti omogenei)Funzioni di risposta ottima: pm =( a + c )/2
1
1
1122
1122
12
2
2
2211
2211
21
se
se
se} :{
se} :{
)(
se
se
se} :{
se} :{
)(
ppp
ppc
cpppp
cpppp
pB
ppp
ppc
cpppp
cpppp
pB
mm
m
mm
m
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 10
Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti omogenei)Funzioni di risposta ottima:
p1
p2
c
c
pm
pm
p1
p2
c
c
pm
pm
Risposta ottima dell’impresa 1 al p2
dell’impresa 2
Risposta ottima dell’impresa 2 al p1 dell’impresa 1
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 11
Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti omogenei)Funzioni di risposta ottima:
p1
p2
c
c
pm
pm
Equilibrio di Nash
( c, c )
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 12
Concorrere alle spese per i beni pubblici Due individuo: persona 1 e persona 2. Persona 1 ha
una ricchezza di w1 e persona 2 ha una ricchezza w2,
Ogni persona sceglie con quanto contribuire senza sapere ciò che fa l’altra. I contributi sono denotati rispettivamente da c1 e c2.
L’ammontare di bene pubblico ottenuto sarà uguale alla somma dei contributi.
Il payoff di Persona 1: u1(c1, c2) = v1(c1 + c2) + w1 – c1
Il payoff di Persona 2: u2(c1, c2) = v2(c1 + c2) + w2 – c2
v1(c1 + c2) e v2(c1 + c2) sono entrambi funzioni concave
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 13
Concorrere alle spese per i beni pubblici
La rappresentazione in forma normale: Insieme giocatori: { Persona 1, Persona 2} Insieme delle strategie: S1=[0, w1], S2=[0, w2]
Funzione di payoff: u1(c1, c2) = v1(c1 + c2) + w1 – c1 u2(c1, c2) = v2(c1 + c2) + w2 – c2
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 14
Concorrere alle spese per i beni pubblici Ricerca dell’equilibrio di Nash
Trovare la coppia di contributi (c1*, c2*) tale che c1* sia la risposta ottima di sig. 1 al contributo c2* di sig. 2 e c2* sia la risposta ottima di sig. 2 al contributo c1* di sig. 1
Quindi, c1* risolve Max u1(c1, c2*) = v1(c1 + c2*) + w1 – c1 s. a 0 c1 w1
e c2* risolveMax u2(c1*, c2) = v2(c1* + c2) + w2 – c2 s. a 0 c2 w2
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 15
Concorrere alle spese per i beni pubblici Ricerca dell’equilibrio di Nash
Risolvere il problema di max della persona 1Max u1(c1, c2*) = v1(c1 + c2*) + w1 – c1 s. a 0 c1 w1
1111
211
211
0 qualcheper ,1)( :che Assumete
1*)(
01*)( :FOC
wrrv
ccv
ccv
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 16
Concorrere alle spese per i beni pubblici Ricerca dell’equilibrio di Nash
Risolvere il problema di max della persona 2Max u2(c1*, c2) = v2(c1* + c2) + w2 – c2 s. a 0 c2 w2
2222
212
212
0 qualcheper ,1)( :Assumete
1)*(
01)*( :FOC
wrrv
ccv
ccv
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 17
Concorrere alle spese per i beni pubblici Ricerca dell’equilibrio di Nash
La coppia di contributi (c1*, c2*) è un equilibrio di Nash se
2222
1111
212
211
0 qualcheper ,1)(
0 qualcheper ,1)( :Assumete
1*)*(
1*)*(
wrrv
wrrv
ccv
ccv
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 18
Concorrere alle spese per i beni pubblici
Funzione di risposta ottima Funzione risposta ottima persona 1 rispetto al contributo c2:
R1(c2) = r1 – c2 se c2 < r1; =0, se c2 r1
Funzione risposta ottima persona 2 rispetto al contributo c1: R2(c1) = r2 – c1 se c1 < r2 ; =0, se c1 r2
c1
c2
r2
r1
r2
r1
(r1, 0)è un NE
Assumendo che r1 > r2
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 19
Riassunto
Il modello di duopolio di Bertrand I contributi ai beni pubblici
Prossimo argomento L’equilibrio di Nash in strategie miste
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 20
Il problema dei beni comuni
n contadini in un paesino. Ogni estate, tutti i contadini pascolano le capre nel campo comune del paesino.
Sia gi il numero di capre possedute dal contadino i. Il costo d’acquisto e mantenimento di una capra è c, ed è
indipendente dal numero di capre possedute. Il valore complessivo di tutti i greggi è v(G) per singolo gregge,
dove G = g1 + g2 + ... + gn
C’è un numero massimo di capre (greggi) che si possono pascolare nel campo. Considerato ciò si ha che, v(G)>0 se G < Gmax, e v(G)=0 se G Gmax.
Le assunzioni su v(G): v’(G) < 0 e v”(G) < 0. Ogni primavera viene deciso da tutti i contadini
contemporaneamente quante capre comprare.
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 21
Il problema dei beni comuni
La rappresentazione in forma normale: Insieme giocatori: { Contadino 1, ... Contadino n}
Insieme strategie: Si=[0, Gmax), per i=1, 2,..., n
Funzione di Payoff : ui(g1, ..., gn)=gi v(g1 + ...+ gn) – c gi per i = 1, 2, ..., n.
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 22
Il problema dei beni comuni
Ricerca dell’equilibrio di Nash Trovare (g1*, g2*, ..., gn*) tale che gi* sia la risposta
ottima del contadino i alla scelta degli altri. Ciò implica che g1* risolve il problema seguente:
Max u1(g1, g2*, ..., gn*)= g1 v(g1 + g2* ...+ gn*) – c g1 s. a 0 g1 < Gmax
e g2* risolveMax u2(g1*, g2 , g3*, ..., gn*)= g2v(g1*+g2+g3*+ ...+ gn*)–cg2 s. a 0 g2 < Gmax ………..
e gn* risolveMax un(g1*, ..., gn-1*, gn)= gnv(g1*+...+ gn-1*+ gn)–cgn s. a 0 gn < Gmax
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 23
Il problema dei beni comuni
FOCs:
0)*...*()*...*(
.........
0*)...**(*)...**(
0*)...*(*)...*(
1111
3212321
21121
cgggvggggv
cggggvgggggv
cgggvggggv
nnnnn
nn
nn
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 24
Il problema dei beni comuni
Ricerca dell’equilibrio di Nash (g1*, g2*, ..., gn*) è un equilibrio di Nash se
0*)*...*(*)*...*(
.........
0*)...***(*)...***(
0*)...**(*)...**(
1111
3212321
21121
cgggvggggv
cggggvgggggv
cgggvggggv
nnnnn
nn
nn
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 25
Il problema dei beni comuni
Sommando tutte le FOC dei singoli n contadini e quindi dividendo per n otteniamo
*...*** dove
0*)(*1
*)(
21 ngggG
cGvGn
Gv
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 26
Il problema dei beni comuni
Il problema sociale
0*)*(***)*(
soddisfa ** ottima soluzione la Quindi,
0)()(
:FOC
0 s.t.
)(Max
max
cGvGGv
G
cGvGGv
GG
GcGGv
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 27
Il problema dei beni comuni
?***
0*)*(***)*(
0*)(*1
*)(
GG
cGvGGv
cGvGn
Gv
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 28
Nel gioco in forma normale {S1 , S2 , ..., Sn , u1 , u2 , ..., un}, siano si', si" Si strategie fattibili per il giocatore i. la strategia si' è debolmente dominata dalla strategia si" se
ui(s1, s2, ... si-1, si', si+1, ..., sn) (ma non sempre =) ui(s1, s2, ... si-1, si", si+1, ..., sn)
per ogni s1 S1, s2 S2, ..., si-1Si-1, si+1 Si+1, ..., sn Sn.
..sulle strategie debolmente dominate
1 , 1 2 , 0
0 , 2 2 , 2Gioc. 1
Gioc. 2
R
U
B
LIndipendenza dalla scelta altrui
si” almeno tanto buono quanto si’, ma non sempre uguale.
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 29
Matching pennies
Head è la risposta ottima di Player 1alla strategia Tail di Player 2 Tail è la risposta ottima di Player 2 alla strategia Tail di Player 1
Tail è la risposta ottima di Player 1alla strategia Head di Player 2 Head è la risposta ottima di Player 2 alla strategia Head di Player 1
Quindi, NON c’è equilibrio di Nash
-1 , 1 1 , -1
1 , -1 -1 , 1Player 1
Player 2
Tail
Head
Tail
Head
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 30
Risolvere Matching pennies
Rendete casuale la vostra strategia per sorprendere il rivale Player 1 sceglie Head e Tail rispettivamente con probabilità r e
1-r. Player 2 sceglie Head e Tail rispettivamente con probabilità q e
1-q. Strategie miste:
Specificano che una mossa sia scelta casualmente dall’insieme delle strategie pure con delle probabilità specifiche.
Player 2
Head Tail
Player 1Head -1 , 1 1 , -1
Tail 1 , -1 -1 , 1
q 1-q
r
1-r
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 31
Strategia mista
La strategia mista di un giocatore è una distribuzione di probabilità sulle sue strategie (pure). Una strategia mista per Chris è una distribuzione di
probabilità (p, 1-p), dove p è laprobabilità di giocare Opera, e 1-p è la probabilità di giocare Prize Fight (boxe).
Se p=1 allora Chris gioca sicuramente Opera. Se p=0 allora Chris gioca sicuramente Prize Fight.
Battaglia dei sessi Pat
Opera Prize Fight
ChrisOpera (p) 2 , 1 0 , 0
Prize Fight (1-p) 0 , 0 1 , 2
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 32
Risolvere matching pennies
I payoffs attesi dal giocatore 1 sono: Se Player 1 sceglie Head, -q+(1-q)=1-2q Se Player 1 sceglie Tail, q-(1-q)=2q-1
Player 2
Head Tail
Player 1Head -1 , 1 1 , -1
Tail 1 , -1 -1 , 1
q 1-q
1-2q
2q-1
Payoffs attesi
r
1-r
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 33
1 q
r1
1/2
1/2
Risolvere matching pennies
La risposta ottima di Player 1B1(q): Per q<0.5, Head (r=1) Per q>0.5, Tail (r=0) Per q=0.5, indifferente (0r1)
Player 2
Head Tail
Player 1Head -1 , 1 1 , -1
Tail 1 , -1 -1 , 1
q 1-q
1-2q
2q-1
Payoffs attesi
r
1-r
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 34
Risolvere matching pennies
I payoffs attesi dal giocatore 2 sono se Player 2 sceglie Head, r-(1-r)=2r-1 se Player 2 sceglie Tail, -r+(1-r)=1-2r
Player 2
Head Tail
Player 1Head -1 , 1 1 , -1
Tail 1 , -1 -1 , 1
1-2q
2q-1
Payoffs attesi
r
1-rq 1-q
Payoffs attesi 2r-1 1-2r
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 35
Solving matching pennies
Risposta ottima di Player 2B2(r): Per r<0.5, Tail (q=0) Per r>0.5, Head (q=1) Per r=0.5, indifferente (0q1)
Player 2
Head Tail
Player 1Head -1 , 1 1 , -1
Tail 1 , -1 -1 , 1
q 1-q
1-2q
2q-1
Payoffs attesi
r
1-r
Payoffs attesi 2r-1 1-2r
1 q
r1
1/2
1/2
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 36
1 q
r1
1/2
1/2
Risolvere matching pennies
Risposta ottima Player 1B1(q): Per q<0.5, Head (r=1) Per q>0.5, Tail (r=0) Per q=0.5, indifferente
(0r1) Risposta ottima Player 2
B2(r): Per r<0.5, Tail (q=0) Per r>0.5, Head (q=1) Per r=0.5, indifferente
(0q1) Controllo
r = 0.5 B1(0.5)q = 0.5 B2(0.5)
Player 2
Head Tail
Player 1Head -1 , 1 1 , -1
Tail 1 , -1 -1 , 1
r
1-r
q 1-q
Equilibrio di Nash in strategie
miste
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 37
Riassunto
Il problema dei beni comuni Strategie miste Soluzione di matching pennies
Prossimo argomento Equilibrio di Nash in strategie miste
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 38
Strategia mista
Strategia mista: La strategia mista di un giocatore è una distribuzione di
probabilità sulle strategie (pure) del giocatore stesso.
Definizione Sia G un gioco a n-giocatori con insiemi di strategie S1, S2 ,.., Sn. Una startegia mista i per il giocatore i è una distribuzione di probabilità su Si. Se Si ha un numero finito di strategie pure, i.e. } ... , ,{ 21 iiKiii sssS allaora una
strategia mista è una funzione ii S: tale che 1)(
1
iK
jiji s . Possiamo scrivere questa
strategia mista come ))( ..., ),( ),(( 21 iiKiiiii sss .
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 39
Strategia mista: esempio
Matching pennies Player 1 ha due strategie pure: H e T
( 1(H)=0.5, 1(T)=0.5 ) è una strategia mista. Ciò significa, player 1 gioca H e T rispettivamente con una probabilità pari a 0.5 e 0.5.
( 1(H)=0.3, 1(T)=0.7 ) è un’altra strategia mista. Ciò significa, player 1 gioca H e T rispettivamente con una probabilità pari a 0.3 e 0.7.
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 40
Strategia mista: esempio
Player 1: (3/4, 0, ¼) è una strategia mista. Ciò implica,
1(T)=3/4, 1(M)=0 e 1(B)=1/4. Player 2:
(0, 1/3, 2/3) è una strategia mista. Ciò implica, 2(L)=0, 2(C)=1/3 e 2(R)=2/3.
Player 2
L (0) C (1/3) R (2/3)
Player 1
T (3/4) 0 , 2 3 , 3 1 , 1
M (0) 4 , 0 0 , 4 2 , 3
B (1/4) 3 , 4 5 , 1 0 , 7
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 41
Payoff attesi: 2 giocatori ognuno con due strategie
Player 1 gioca una strategia mista (r, 1- r ). Player 2 gioca una strategia mista ( q, 1- q ). Il payoff atteso di Player 1 giocando s11 è:
EU1(s11, (q, 1-q))=q×u1(s11, s21)+(1-q)×u1(s11, s22) Il payoff atteso di Player 1 giocando s12 è: EU1(s12, (q, 1-q))= q×u1(s12, s21)+(1-q)×u1(s12, s22)
Quindi il payoff atteso di Player 1, data la strategia mista è :v1((r, 1-r), (q, 1-q))=rEU1(s11, (q, 1-q))+(1-r)EU1(s12, (q, 1-q))
Player 2
s21 ( q ) s22 ( 1- q )
Player 1
s11 ( r ) u1(s11, s21), u2(s11, s21) u1(s11, s22), u2(s11, s22)
s12 (1- r ) u1(s12, s21), u2(s12, s21) u1(s12, s22), u2(s12, s22)
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 42
Payoff attesi: 2 giocatori ognuno con due strategie
Player 1 gioca una strategia mista (r, 1- r ). Player 2 gioca una strategia mista ( q, 1- q ). Il payoff atteso di Player 2 giocando s21 è:
EU2(s21, (r, 1-r))=r×u2(s11, s21)+(1-r)×u2(s12, s21)
Il payoff atteso di Player 2 giocando s22 è: EU2(s22, (r, 1-r))= r×u2(s11, s22)+(1-r)×u2(s12, s22)
Quindi il payoff atteso di Player 2, data la strategia mista è :v2((r, 1-r),(q, 1-q))=qEU2(s21, (r, 1-r))+(1-q)EU2(s22, (r, 1-r))
Player 2
s21 ( q ) s22 ( 1- q )
Player 1
s11 ( r ) u1(s11, s21), u2(s11, s21) u1(s11, s22), u2(s11, s22)
s12 (1- r ) u1(s12, s21), u2(s12, s21) u1(s12, s22), u2(s12, s22)
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 43
Esempio di payoff attesi
Player 1: EU1(H, (0.3, 0.7)) = 0.3×(-1) + 0.7×1=0.4 EU1(T, (0.3, 0.7)) = 0.3×1 + 0.7×(-1)=-0.4 v1((0.4, 0.6), (0.3, 0.7))=0.40.4+0.6(-0.4)=-0.08
Player 2: EU2(H, (0.4, 0.6)) = 0.4×1+0.6×(-1) = -0.2 EU2(T, (0.4, 0.6)) = 0.4×(-1)+0.6×1 = 0.2 v2((0.4, 0.6), (0.3, 0.7))=0.3×(-0.2)+0.7×0.2=0.08
Player 2
H (0.3) T (0.7)
Player 1H (0.4) -1 , 1 1 , -1
T (0.6) 1 , -1 -1 , 1
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 44
Esempio di payoff attesi
Strategie miste: p1=( 3/4, 0, ¼ ); p2=( 0, 1/3, 2/3 ).
Player 1: EU1(T, p2)=3(1/3)+1(2/3)=5/3, EU1(M, p2)=0(1/3)+2(2/3)=4/3
EU1(B, p2)=5(1/3)+0(2/3)=5/3. v1(p1, p2) = 5/3
Player 2: EU2(L, p1)=2(3/4)+4(1/4)=5/2, EU2(C, p1)=3(3/4)+3(1/4)=5/2,
EU2(R, p1)=1(3/4)+7(1/4)=5/2. v1(p1, p2) = 5/2
Player 2
L (0) C (1/3) R (2/3)
Player 1
T (3/4) 0 , 2 3 , 3 1 , 1
M (0) 4 , 0 0 , 4 2 , 3
B (1/4) 3 , 4 5 , 1 0 , 7
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 45
Equilibrio in strategie miste
Equilibrio in strategie miste Una distribuzione di probabilità per ciascun
giocatore Considerando le distribuzioni di probabilità nei
payoff dei giocatori esse sono risposte ottime mutuali.
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 46
Equilibrio in strategie miste: 2-giocatori ognuno con 2 strategie pure.
Equilibrio di Nash in strategie miste: Una coppia di strategie miste
((r*, 1-r*), (q*, 1-q*))è un equilibrio di Nash se (r*,1-r*) è una risposta ottima a (q*, 1-q*), e (q*, 1-q*) è una risposta ottima a (r*,1-r*). Ciò significa,v1((r*, 1-r*), (q*, 1-q*)) v1((r, 1-r), (q*, 1-q*)), per ogni 0 r 1v2((r*, 1-r*), (q*, 1-q*)) v2((r*, 1-r*), (q, 1-q)), per ogni 0 q 1
Player 2
s21 ( q ) s22 ( 1- q )
Player 1
s11 ( r ) u1(s11, s21), u2(s11, s21) u1(s11, s22), u2(s11, s22)
s12 (1- r ) u1(s12, s21), u2(s12, s21) u1(s12, s22), u2(s12, s22)
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 47
Ricerca dell’equilibrio in strategie miste di un gioco a 2 giocatori ognuno dei quali ha 2 strategie Trovate la distribuzione di probabilità che dia
una risposta ottima per il giocatore 1 data la strategia mista del giocatore 2
Trovate la distribuzione di probabilità che dia una risposta ottima per il giocatore 2 data la strategia mista del giocatore 1
Utilizzate queste due corrispondenze per determinare l’equilibrio di Nash in strategie miste.
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 48
Controllare i dipendenti…. I dipendenti possono lavorare (W) o defilarsi
(S) Salario: $100K a meno che colti senza far niente Costo dello sforzo: $50K
I manager possono monitorare o no Valore del prodotto del dipendente: $200K Profitto se i dipendenti non lavorano: $0 Costo del monitoraggio: $10K
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 49
La risposta ottima del dipendente B1(q): Defilarsi(S) (r=0) se q<0.5 Lavorare (W) (r=1) se q>0.5 Qualsiasi strategia mista (0r1) se q=0.5
Controllare i dipendenti…Manager
Monitor ( q ) Non Monitor (1-q)
Dipend.W ( r ) 50 , 90 50 , 100
S (1-r ) 0 , -10 100 , -100
50
100(1-q)
Payoff attesi
Payoff attesi
100r-10 200r-100
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 50
La risposta ottima dei manager B2(r): Monitor (q=1) if r<0.9 Non Monitor (q=0) if r>0.9 Qualsiasi strategia mista (0q1) se r=0.9
Controllare i dipendenti…Manager
Monitor ( q ) Non Monitor (1-q)
Dipend.W ( r ) 50 , 90 50 , 100
S (1-r ) 0 , -10 100 , -100
50
100(1-q)
Payoffs attesi
Payoffs attesi
100r-10 200r-100
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 51
1 q
r1
0.5
Risposta ottima dei dipendenti B1(q):
S (r=0) se q<0.5 W (r=1) se q>0.5 Qualsiasi strategia mista (0r1) se q=0.5
Risposta ottima dei manager B2(r): Monitor (q=1) se r<0.9 Non Monitor (q=0) se r>0.9 Qualsiasi strategia mista (0q1) se r=0.9
Controllare i dipendenti…
0.9
Equilibrio di Nash in strategie miste
((0.9,0.1),(0.5,0.5))
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 52
2 giocatori ognuno con 2 strategie
Teorema 1 (proprietà dell’equilibrio di Nash in strategie miste) Una coppia di strategie miste ((r*, 1-r*), (q*, 1-q*)) è un
equilibrio di Nash se e solo se v1((r*, 1-r*), (q*, 1-q*)) EU1(s11, (q*, 1-q*))v1((r*, 1-r*), (q*, 1-q*)) EU1(s12, (q*, 1-q*)) v2((r*, 1-r*), (q*, 1-q*)) EU2(s21, (r*, 1-r*))v2((r*, 1-r*), (q*, 1-q*)) EU2(s22, (r*, 1-r*))
Player 2
s21 ( q ) s22 ( 1- q )
Player 1
s11 ( r ) u1(s11, s21), u2(s11, s21) u1(s11, s22), u2(s11, s22)
s12 (1- r ) u1(s12, s21), u2(s12, s21) u1(s12, s22), u2(s12, s22)
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 53
Riassunto
Strategie miste Equilibrio di Nash in strategie miste
Prossimo argomento Equilibrio di Nash in strategie miste Utilizzo dell’indifferenza per la ricerca del MNE
(Equilibrio di Nash in strategie Miste).
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 54
Payoff atteso di Chris giocando Opera: 2q Payoff atteso di Chris giocando Prize Fight: 1-q
Risposta ottima di Chris B1(q): Prize Fight (r=0) se q<1/3 Opera (r=1) se q>1/3 Qualsiasi strategia mista (0r1) se q=1/3
Battaglia dei sessiPat
Opera (q) Prize Fight (1-q)
ChrisOpera ( r ) 2 , 1 0 , 0
Prize Fight (1-r) 0 , 0 1 , 2
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 55
Payoff atteso di Pat giocando Opera : r Payoff atteso di Pat giocando Prize Fight: 2(1-r) La risposta ottima di B2(r):
Prize Fight (q=0) se r<2/3 Opera (q=1) se r>2/3 Qualsiasi strategia mista (0q1) se r=2/3,
Battaglia dei sessiPat
Opera (q) Prize Fight (1-q)
ChrisOpera ( r ) 2 , 1 0 , 0
Prize Fight (1-r) 0 , 0 1 , 2
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 56
1 q
r1
Risposta ottima di Chris B1(q): Prize Fight (r=0) se q<1/3 Opera (r=1) if q>1/3 Qualsiasi strategia mista
(0r1) se q=1/3
Risposta ottima di Pat B2(r): Prize Fight (q=0) se r<2/3 Opera (q=1) se r>2/3 Qualsiasi strategia mista
(0q1) se r=2/3
Battaglia dei sessi
2/3
TRE equilibri di Nash:
((1, 0), (1, 0))
((0, 1), (0, 1))
((2/3, 1/3), (1/3, 2/3))
1/3
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 57
Teorema 1: applicazione
Player 1: EU1(H, (0.5, 0.5)) = 0.5×(-1) + 0.5×1=0
EU1(T, (0.5, 0.5)) = 0.5×1 + 0.5×(-1)=0
v1((0.5, 0.5), (0.5, 0.5))=0.50+0.50=0
Player 2: EU2(H, (0.5, 0.5)) = 0.5×1+0.5×(-1) =0
EU2(T, (0.5, 0.5)) = 0.5×(-1)+0.5×1 = 0
v2((0.5, 0.5), (0.5, 0.5))=0.5×0+0.5×0=0
Matching pennies Player 2
H (0.5) T (0.5)
Player 1H (0.5) -1 , 1 1 , -1
T (0.5) 1 , -1 -1 , 1
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 58
Teorema 1: applicazione
Player 1: v1((0.5, 0.5), (0.5, 0.5)) EU1(H, (0.5, 0.5))
v1((0.5, 0.5), (0.5, 0.5)) EU1(T, (0.5, 0.5))
Player 2: v2((0.5, 0.5), (0.5, 0.5)) EU2(H, (0.5, 0.5))
v2((0.5, 0.5), (0.5, 0.5)) EU2(T, (0.5, 0.5))
Quindi, ((0.5, 0.5), (0.5, 0.5)) è un equilibrio di Nash in strategie miste per l’enunciato del Teorema 1.
Matching pennies Player 2
H (0.5) T (0.5)
Player 1H (0.5) -1 , 1 1 , -1
T (0.5) 1 , -1 -1 , 1
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 59
Payoff atteso dei dipendenti giocando “W (lavoro)” EU1(W, (0.5, 0.5)) = 0.5×50 + 0.5×50=50
Payoff atteso dei dipendenti giocando “S (defilarsi)” EU1(S, (0.5, 0.5)) = 0.5×0 + 0.5×100=50
Payoff atteso di questa strategia mista per i dipendenti v1((0.9, 0.1), (0.5, 0.5))=0.950+0.150=50
Teorema 1: applicazioneControllo dei dipendenti Manager
Monitor (0.5) Non Monitor (0.5)
Dipend.W (0.9) 50 , 90 50 , 100
S (0.1) 0 , -10 100 , -100
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 60
Payoff atteso dei manager giocando“Monitor” EU2(Monitor, (0.9, 0.1)) = 0.9×90+0.1×(-10) =80
Payoff atteso dei manager giocando“Non Monitor” EU2(Not, (0.9, 0.1)) = 0.9×100+0.1×(-100) = 80
Payoff atteso di questa strategia mista per i manager v2((0.9, 0.1), (0.5, 0.5))=0.5×80+0.5×80=80
Teorema 1: applicazioneControllo dei dipendenti Manager
Monitor (0.5) Non Monitor (0.5)
Dipend.W (0.9) 50 , 90 50 , 100
S (0.1) 0 , -10 100 , -100
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 61
Dipendenti v1((0.9, 0.1), (0.5, 0.5)) EU1(W, (0.5, 0.5)) v1((0.9, 0.1), (0.5, 0.5)) EU1(S, (0.5, 0.5))
Manager v2((0.9, 0.1), (0.5, 0.5)) EU2(Monitor, (0.9, 0.1)) v2((0.9, 0.1), (0.5, 0.5)) EU2(Not, (0.9, 0.1))
Quindi, ((0.9, 0.1), (0.5, 0.5)) è un equilibrio di Nash in strategie miste per il Teorema 1.
Teorema 1: applicazioneControllo dei dipendenti Manager
Monitor (0.5) No Monitor (0.5)
Dipend.W (0.9) 50 , 90 50 , 100
S (0.1) 0 , -10 100 , -100
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 62
Usate il teorema 1 per controllare se ((2/3, 1/3), (1/3, 2/3)) è un MNE.
Teorema 1: applicazione
Battaglia dei sessi Pat
Opera (1/3) Prize Fight (2/3)
ChrisOpera (2/3 ) 2 , 1 0 , 0
Prize Fight (1/3) 0 , 0 1 , 2
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 63
Equilibrio in strategie miste: 2 giocatori ognuno con 2 strategie
Teorema 2 Sia ((r*, 1-r*), (q*, 1-q*)) una coppia di strategie miste, dove 0 <r*<1, 0<q*<1. Allora ((r*, 1-r*), (q*, 1-q*)) è un equilibrio di Nash se e solo se EU1(s11, (q*, 1-q*)) = EU1(s12, (q*, 1-q*)) EU2(s21, (r*, 1-r*)) = EU2(s22, (r*, 1-r*))
Ciò significa che ogni giocatore, nell’equilibrio, è indifferente tra le due proprie strategie.
Player 2
s21 ( q ) s22 ( 1- q )
Player 1
s11 ( r ) u1(s11, s21), u2(s11, s21) u1(s11, s22), u2(s11, s22)
s12 (1- r ) u1(s12, s21), u2(s12, s21) u1(s12, s22), u2(s12, s22)
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 64
Utilizzo dell’indifferenza per trovare l’ Equilibrio in strategie miste: 2 giocatori ognuno con 2 strategie Usate il Teorema 2 per trovare MNE
Risolvete EU1(s11, (q*, 1-q*)) = EU1(s12, (q*, 1-q*))
Risolvete EU2(s21, (r*, 1-r*)) = EU2(s22, (r*, 1-r*))
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 65
Utilizzo del Teorema 2 per trovare l’MNE: applicazione
Il Player 1 è indifferente fra giocare Head e Tail se: EU1(H, (q, 1–q)) = q×(-1) + (1–q)×1=1–2q EU1(T, (q, 1–q)) = q×1 + ×(1–q) (-1)=2q–1
EU1(H, (q, 1–q)) = EU1(T, (q, 1–q)) 1–2q = 2q–1 4q = 2 Ciò indica la probabilità q = 1/2
Matching pennies Player 2
H ( q ) T ( 1–q )
Player 1H ( r ) -1 , 1 1 , -1
T ( 1–r ) 1 , -1 -1 , 1
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 66
Utilizzo del Teorema 2 per trovare l’MNE: applicazione
Il Player 2 è indifferente fra giocare Head e Tail se: EU2(H, (r, 1–r)) = r ×1+(1–r)×(-1) =2r – 1 EU2(T, (r, 1–r)) = r×(-1)+(1–r)×1 = 1 – 2r
EU2(H, (r, 1–r)) = EU2(T, (r, 1–r)) 2r – 1= 1 – 2r 4r = 2 Ciò indica la probabilità r = 1/2
Quindi, ((0.5, 0.5), (0.5, 0.5)) è un MNE per l’enunciato del Teorema 2.
Matching pennies Player 2
H ( q ) T ( 1–q )
Player 1H ( r ) -1 , 1 1 , -1
T ( 1–r ) 1 , -1 -1 , 1
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 67
Payoff atteso dai dipendenti giocando “W” (lavoro) EU1(Work, (q, 1–q)) = q×50 + (1–q)×50=50
Payoff atteso dai dipendenti giocando “S” (defilarsi) EU1(Shirk, (q, 1–q)) = q×0 + (1–q)×100=100(1–q)
Il dipendente è indifferente se giocare W o giocare S se: 50=100(1–q) q=1/2
Utilizzo del Teorema 2 per trovare l’MNE: applicazione
Controllo dei dipendenti Manager
Monitor ( q ) Non Monitor (1–q )
Dipend.W (r) 50 , 90 50 , 100
S (1–r) 0 , -10 100 , -100
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 68
Payoff atteso dai manager giocando“Monitor” EU2(Monitor, (r, 1–r)) = r×90+(1–r)×(-10) =100r–10
Payoff atteso dai manager giocando“Non MOnitor” EU2(Not, (r, 1–r)) = r×100+(1–r)×(-100) =200r–100
Il Manager è indifferente fra giocare Monitor e Non Monitor se 100r–10 =200r–100 e ciò implica che r=0.9.
Quindi, ((0.9, 0.1), (0.5, 0.5)) è un MNE per l’enunciato del Teorema 2.
Utilizzo del Teorema 2 per trovare l’MNE: applicazione
Controllo dei dipendenti Manager
Monitor ( q ) Non Monitor (1–q )
Dipend.W (r) 50 , 90 50 , 100
S (1–r) 0 , -10 100 , -100
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 69
Usate il Teorema 2 per trovare il MNE
Utilizzo del Teorema 2 per trovare l’MNE: applicazioneBattaglia dei sessi Pat
Opera (q) Prize Fight (1-q)
ChrisOpera ( r ) 2 , 1 0 , 0
Prize Fight (1-r) 0 , 0 1 , 2
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 70
Usate il Teorema 2 per trovare il MNE
Utilizzo del Teorema 2 per trovare l’MNE: applicazioneEsempio Player 2
L (q) R (1-q)
Player 1T ( r ) 6 , 4 2 , 6
B (1-r) 3 , 3 6 , 1
Teoria dei giochi - D'orio - I parte 71
Riassunto
Strategie miste MNE Ricerca del MNE con l’utilizzo
dell’indifferenza
Prossimo argomento Gioco a due giocatori ognuno con un numero
di strategie finite