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Teoría de vigas3era Parte
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Deflexiones (“Elástica”) de la viga
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Deflexiones (“Elástica”) de la vigaκ=1/ρ: Curvaturav: desplazamiento perp. al ejeθ: ángulo de giro
Vamos a obtener la relación entre desplazamientos, giros, y curvatura para
cada punto de la viga.
Relación
momento-curvatura: IE
M
.
1=
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Deflexiones (“Elástica”) de la vigaκ=1/ρ: Curvaturav: desplazamiento perp. al ejeθ: ángulo de giro
La relación entre desplazamientos, giros, y curvatura para cada punto de la
viga:
2
2)/(1
dx
d
dx
dxdvd
dx
d
===
dx
d =)tan(
Pequeñas deformaciones:
dx
d =
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Deflexiones (“Elástica”) de la viga
EI
M
dx
d=
2
2Ecuación diferencial de la curva de deflexión (o ecuación de la elástica):
IE
M
.
1=
2
21
dx
d
dx
d
==
En la práctica no haremos la integración analítica, salvo que sea estrictamente
necesario.
Se disponen de varios métodos alternativos, de los cuales, en el curso veremos dos en
detalle: - Método de superposición.
- Viga análoga.
Si conocemos la expresión de M/EI para todo x de la viga, podremos integrar dos veces
la ecuación de la elástica, obteniendo una expresión de v con dos constantes de
integración (C1 y C2).
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Las deflexiones y giros en vigas
empotradas y vigas simplemente
apoyadas se encuentran resueltas y
tabuladas para una serie habitual de
configuraciones de carga. En el EVA,
en el apéndice G del libro Gere, o en
Internet, se pueden encontrar
colecciones completas de casos.
Método de superposición (1º) - TabulaciónEjemplos:
En base a estas tablas, se pueden
determinar los desplazamientos en
estos tipos de vigas para
combinaciones de cargas mediante
el principio de superposición.
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Ejemplo
P
Hallar el descenso y el giro en el extremo de la ménsula en función de EI.
q
qP
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Superposiciónq
P
qP
EI
LqL
8
*)(
4
=EI
LPL
3
*)(
3
=
EI
LP
EI
LqL
3
*
8
*)(
34
+=
EI
LqL
6
*)(
3
=EI
LPL
2
*)(
2
=
EI
LP
EI
LqL
2
*
6
*)(
23
+=
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Método de superposición
A B
Giro en A
θ1A =q*(5 m)^3/(24EI)
C
Giro en A y flecha en C
horario
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2q
θ2A =-2 m*q*1 m*5 m/(6EI)
θATOTAL = q*(5 m)^3/(24EI -2 m*q*1 m*5 m/(6EI)
θATOTAL=θ1A+θ2A
Antihorario
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Deflexión en C
δC1 =q*(5 m)^4/(8EI)
θB2 =-2 m*q*1 m*5 m/(3EI)
2q
δC2 =2*(2 m*q*1 m*5 m/(3EI)θB2
2 m
δC2
δC3 =-2*(q*(5 m)^3/(24EI))
θB32 m
δC3
δC=δC1 +δC2 +δC3
θB3 =q*(5 m)^3/(24EI)
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Las deflexiones y giros en vigas
empotradas y vigas simplemente
apoyadas se encuentran resueltas y
tabuladas para una serie habitual de
configuraciones de carga. En el EVA,
en el apéndice G del libro Gere, o en
Internet, se pueden encontrar
colecciones completas de casos.
Método de superposición (1º) - TabulaciónEjemplos:
En base a estas tablas, se pueden
determinar los desplazamientos en
estos tipos de vigas para
combinaciones de cargas mediante
el principio de superposición.
¿Cómo se resuelven otros tipos de vigas?
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Ejemplo de giros y deflexiones
2a/3
a b
qP
A
B C
- Deflexión o flecha en B
- Giro en A
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Ejemplo de giros y deflexiones
BP
a q
2P/3P/3
2P/3
A
C
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Ejemplo de giros y deflexiones
q2P/3C
- Flecha en B
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Ejemplo de giros y deflexiones
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Viga análoga
EI
xM
dx
vd )(2
2
=EI
x
dx
dv )(=
EI
xV
dx
vd )(3
3
=EI
q
dx
vd −=
4
4
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Viga análoga (Analogía de Mohr)
2
2
dx
Md
dx
dVq ==−
Teorema Fundamental
de Vigas: 2
2
dx
d
dx
d
EI
M ==
Ecuación de la elástica:
Las ecuaciones diferenciales de la curva de deflexión son análogas a las ecuaciones fundamentales de la viga, en el sentido en que en ambas aparecen tres términos, (M/EI, θ, ν) y (q, V, M) respectivamente, relacionados mediante la primera y segunda derivada.
El método consiste en crear una viga que es cargada con una carga análoga q, equivalente a los valores de M/EI de nuestra viga real, y con condiciones de borde en V y M, que reflejen las condiciones de borde de θ y ν de la viga real.
V My qEI
M−
“viga análoga”
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Apoyo fijo Apoyo fijo
Apoyo deslizanteApoyo deslizante
Empotramiento
Empotramiento
Libre
Libre
Apoyo fijo
Apoyo deslizante
Articulación
Articulación
Articulación Apoyo deslizante
qEI
M− V Mv
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Ejemplo
P
M/(EI)
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Viga Análoga
θ=V*
v=M*
-
-
P
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Viga análoga (Analogía de Mohr)Ejemplo con otras condiciones de borde.
MvVqEI
M− ;; Determinar el descenso de D.
Tramo BCD Suma (F)= 0 →RB+Rc=P
Suma(MB)=0 →L.RC-3/2L.P=0 → RC=3/2.P→RB=-1/2.P
Tramo BCD
Tramo AB
RB=1/2.P
Tramo AB Suma (F)= 0 →1/2.P+RA=0 → RA=-1/2.P
Suma(MA)=0 →MA-L/2.P/2=0 →MA=P*L/4RA
MA
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-P/2
PP
-P/2-
+
V
M
PL/4
-PL/2
+
-
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Viga análoga: vínculos
Viga original
Viga análoga
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Carga
MvVqEI
M− ;;
PL/(4EI)
-PL/(2*(2EI) =-PL/(4EI)