Teoría de

NúmerosInstructor: Luis Eduardo Falcón

Números Primos

Número Primo

Un número p se dice que es primo si p es un entero positivo mayor que 1, cuyos únicos divisores son el 1 y p mismo.

Un número que no es primo se llama compuesto.

Teorema Fundamental de la Aritmética

Cualquier entero positivo mayor a 1 puede escribirse de manera única como un producto de primos, donde los factores primos se escriben en orden no descendente.

732

7332225222

•La cardinalidad del conjunto de todos los números primos es , es decir, infinita numerable.

•Si n es un entero compuesto, entonces n tiene un factor primo no mayor que .

0

n

•Para cualesquier número entero positivo n , existen al menos n enteros compuestos consecutivos.

Al menos se sabe que los enteros consecutivos de la forma:

1!1

3!1

2!1

nn

n

n

son compuestos.

•Conjetura de Goldbach: Cualquier número par positivo mayor a 2, puede escribirse como la suma de dos primos.

131117719524

557310

Una variante de la criba de Eratóstenes nos permite obtener (de una manera no muy eficiente por cierto) todos los primos menores que un entero dado:

Por ejemplo, como

entonces para encontrar todos los primos menores que 30, hay que cancelar todos los múltiplos del 2, 3 y 5.

...4772.530

Máximo

DivisorComún

•Máximo común divisor = Máximo divisor común

•Mínimo común múltiplo = Mínimo múltiplo común

•Mínimo común denominador = Mínimo denominador común

Se dice que el entero d es un divisor común de los enteros a y b si

bdad |y|Por ejemplo,

6,3,2,1

Son los divisores comunes del 24 y el 30.

El máximo divisor común, mdc,de dos enteros a y b, es el mayor entero que divide a ambos.

El mdc de a y b lo denotamos:

ba,mdc

Máximo Divisor Común

1284,24mdc

24 8412 42 6 21 2 7

223

1284,24

Primos Relativos

Decimos que los enteros a y b son primos relativos si

1, ba

116,9

113,8

17,3

Por ejemplo:

Algoritmo de la División

o de Euclides

Algoritmo de Euclides o de la División

Si m y n son dos enteros cualesquiera, n > 0, entonces existe un par único de enteros, q y r, tales que:

rnqm

mn |

donde . nr 0

Si r = 0 decimos que “n divide a m ”, o que “la división es exacta”.

Observemos que en el algoritmo de la división el numerador m puede ser cualesquier entero. Sin embargo, el denominador n debe ser un entero positivo.

¿Qué nos dice entonces la expresión ? rnqm

... que cualquier entero m puede escribirse como un múltiplo q de n, más un residuo r.

Aclaramos que q puede ser positivo, negativo o cero.

Y que el residuo r puede ser 0, 1, 2, ..., n – 1.

Analicemos el caso n = 3, es decir , entonces:m|3

Es decir, cualquier entero m puede escribirse como un múltiplo de 3, más un residuo r : 0, 1 o 2.

Así, podremos agrupar TODOS los enteros en tres clases de equivalencia, módulo 3, las cuales denotaremos como [0], [1] y [2].

rqm 3

,9,6,3,0,3,6,9,]0[

,10,7,4,1,2,5,8,]1[

,11,8,5,2,1,4,7,]2[

Clases de equivalencia, módulo 3:

2032

2135

2238

2234

2131

A

lgu

nos

ele

men

tos d

e la

cla

se [

2 ]

Si m y n son dos enteros cualesquiera, n > 0, entonces por el algoritmo de la división existen q y r, tales que:

rnqm donde , y definimos las operaciones:nr 0

qnm :div

rnm mod

Algoritmo de Euclides para obtener el mdc

Sean a y b enteros positivos, entonces el máximo divisor común, mdc, de a y b es el último residuo no cero de la aplicación sucesiva del algoritmo de Euclides.

Si a y b son enteros positivos y

bca modentonces

bcba ,mdc,mdc

1313221,mdc221234,mdc234689,mdc

Por ejemplo:

234mod689221 221mod23413 13mod2210

0,18,36,54,198,252

Por ejemplo, para obtener (198, 252), se puede hacer en forma de listado calculando el módulo de los dos últimos encontrados:

entonces, en este caso

18252,198mdc

Teorema de LaméEl número de divisiones necesarias para encontrar el máximo divisor común de dos enteros positivos a y b usando el algoritmo de Euclides, no es mayor que

5k,donde k es el número de dígitos (en base 10) del menor de los números a y b .

Por ejemplo, para un número de 1000 dígitos decimales, en vez de realizar 10^1000 divisiones (utilizando el algoritmo que aprendemos en la primaria), con el algoritmo euclidiano se harían 5000 aproximadamente.

Congruencias Lineales

nbxa mod

Teorema:

Sean a, b, n enteros cualesquiera con n > 0 y donde

na,mdc:d

Caso I: no tiene solución si .

nbxa mod

bd |

entonces la congruencia lineal:

Tiene exactamente d soluciones módulo n, si .

Además, dichas soluciones se encuentran espaciadas una distancia .

bd |

Caso II:

nbxa mod na,mdc:d

dn

Caso III:

Tiene solución única si d = 1.Y la solución puede obtenerse con la inversa de a, es decir,

nbax mod1

nbxa mod na,mdc:d

Teorema:

Sea p un número primo.El entero positivo a es su propio inverso multiplicativo módulo p si y sólo si

pa mod1o bien

pa mod1

Teorema:

Existen enteros x y y tales que

si y sólo si,

1byax

Sean a y b enteros.

1,mdc na

Teorema del Residuo Chino

Sean enteros positivos y primos relativos dos-a-dos.

knnn ,,, 21

Entonces el sistema de congruencias

kk nax

nax

nax

mod

mod

mod

22

11

tiene una solución única módulo knnnN 21:

Además, dicha solución se puede expresar como

NyNayNayNax kkk mod222111

dondeknnnN 21:

jj nNN /:

jjj nyN mod1

Lo cual implica 1, jj nN

O sea, jj yN 1

Grupo

*nZ

Sea n un entero positivo. Entonces el conjunto

1,|:* namdcZaZ nn

es un Grupo con la operación de multiplicación en . nZ

Inclusive el número de elementos que hay en es .

Es decir

*nZ n

nZn *#

Donde es la función de Euler.

Función de Euler

Denotaremos por la cantidad de enteros de entre el 1, 2,..., n que son primos relativos con n.

n

Por ejemplo: 412

ya que los enteros 1, 5, 7 y 11 son los únicos primos relativos del 1 al 12 con el 12.

Si p y q son dos números primos diferentes, entonces

1

11

pqpq

qp

qppq

Teorema:

qpppp

pqpp

pqpp

pqpp

32

313233

212222

111211

Demostración:Si expresamos los qp números como sigue:

entonces todos los q múltiplos de p:

qpppp ,,3,2,

dividen a qp. Entonces hay que restarle q términos a qp.

sigue

Análogamente todos los p múltiplos de q

pqqqq ,,3,2,

dividen a pq. Entonces también hay que restarle ahora p términos a qp.

Por ser p y q números primos, en las dos listas que acabamos de dar de los factores de qp el único término que se repitió fue el qp mismo. Entonces hay que sumarle un término qp.Además por ser p y q números primos, estos son los únicos factores que tiene qp. Así 1 pqpqpq

Por ejemplo: 5*315

15105

1494

1383

1272

1161

1512963

1411852

1310741

3 múltiplos de 5

5 múltiplos de 3

8153155*315