teoria de la estrategia

Teoría de Movidas

Teoría Clásica de Juegos

La teoría clásica de juegos de Von Neuman y Morgenstern (1944) distingue entre dos formas de un juego.

•La forma extensiva de un juego representada por un árbol de jugadas.

•La forma normal o estratégica dada por una matriz de pago en la que los jugadores independientemente eligen sus estrategias o planes completos que especifican que harán en cada circunstancia (esto es para cada elección conocida de los demás jugadores).

La teoría de movidas usa ambas formas de representar un juego, combinándolas en forma libre.

Teoría de Movidas

Un ejemplo de esta estructura:

Columna (C) T1 T2

Fila (F) S1 Prospera Prospera (2,4) (4,2)

S2 Desastre Compromiso (1,1) (3,3)

Notar que Fila (jugador) (F) tiene dos estrategias, S1 y S2 y Columna (C) tiene también dos estrategias T1 y T2.

Estrategias

Cooperar o no cooperar

Estas estrategias pueden pensarse como cursos de acción alternativos que los jugadores pueden elegir. Ejemplo: cooperar o no cooperar.

La elección de una estrategia por F y otra estrategia por C lleva a un resultado que está asociada a la matriz de pago. Es la intersección de las estrategias en la matriz de pago.

Resultados

La TOM asume que los jugadores pueden ranquear estrictamente los resultados de la siguiente manera.

C T1 T2

S1 Prospera ProsperaF (2,4) (4,2) S2 Desastre Compromiso

(1,1) (3,3) 4 = el mejor3 = segundo mejor2 = segundo peor1 = peor

Esto implica a mayor número mejor resultado.

Convenciones

Supongan que F elige S1 y C elige T1 en el juego

Por convención el resultado (2,4) implica un pago de 2 para el jugador F y 4 para el jugador C.

Llamamos por convención a los pares: (2,4) “C prospera”, (4,2) “F prospera”, (3,3), “Compromiso”(1,1) “Desastre”.

El juego a través de los ojos de la TJuegos (TJC)

En la TJC se supone que los jugadores hacen sus elecciones de estrategia en forma simultánea o al menos en forma independiente, sin conocimiento de la elección del otro jugador.

¿Cuales son las estrategias es racionales, para los Jugadores?

Columna (C) T1 T2

S1 (2,4) (4,2) (F)

S2 (1,1) (3,3)

Solución x EstrategiaDominante.

SituaciónDeseable

Equilibrio deNash.

Dominadas y dominantes

Claramente a F le conviene elegir la estratega S1 en cualquier circunstancia, esto es para cualquier estrategia que elija C.

Cuando una estrategia es incondicionalmente mejor que cualquier otra estrategia por que su superioridad no depende de la contingencia se llama estrategia dominante.

La estrategia S1 de F es dominante mientras que la estrategia S2 es dominada o incondicionalmente peor que S1, por que da siempre resultados peores.

Paradojas

Curiosamente el resultado de F es el segundo peor (2) aún cuando F es quien tiene la estrategia dominante. En cambio C que no tiene una estrategia dominante, obtiene su mejor resultado (4).

Equilibrio de Nash (1951)

Es un resultado del cual ningún jugador saldría en forma unilateral por que se prejudicaría o al menos no se beneficiaría.

Técnicamente hablando el equilibrio se define por las estrategias (S1 y T1) que dan el resultado (2,4) y no por el resultado mismo. Si F elige S1 y C elige T1 obtienen (2,4), F no cambiaría a S2 por que empeoraría con (1,1) y C no cambiaría a T2 por que empeoraría con (4,2). Luego (2,4) es estable en el sentido de que, una vez elegido, ningún jugador tiene un incentivo para cambiar a una estrategia diferente dado que el otro jugador tampoco cambia.

Estrategias puras y mixtas

Estas estrategias son puras en el sentido en que son elegidas con certeza o en términos probabilisticos con probabilidad 1.

Las estrategias también pueden ser mixtas, lo que significa que el jugador elige su estrategia al azar de acuerdo a cierta distribución de probabilidad.

Puntos de partida y la racionalidad de quedarse o salir de una estrategia

Supongamos que el resultado de las elecciones de estrategias ha llevado a un resultado de (1,1).

Ambos jugadores quieren salir de ese estado. El impulso de ambos de salir los puede llevar a la próxima jugada a estar en el estado (4,2) que es mejor para ambos.

Otras posibles salidas serían una de C solo a (3.3) y finalmente una salida de F solo a (2,4).

Doble Salida

Para C no sería muy feliz la doble salida ya que obtendría sólo el segundo peor resultado (2).

Ambos jugadores quieren que el otro sea el primero en salir del (1,1), por que la salida de F daría como resultado un (2,4) beneficioso para C mientras la salida de C daría como resultado un (3,3) beneficioso para F (más beneficioso que si parte el solo a (2,4) aunque menos que si parten ambos).

Equilibrio de Stackelberg (1934)

Supone que un jugador (el lider) mueve primero, antes que el otro (el seguidor).

Más precisamente un equilibrio de Stackelberg es un resultado en que un jugador (el lider), anticipando la mejor respuesta del otro jugador (el seguidor) a la elección de estrategia lider, no puede obtener una mejor estrategia para sí mismo cambiando de estrategia.

Equilibrio de Stackelberg

En el juego si F es el lider entonces (3,3) será un equilibrio de Stackelberg.

F anticipándose a que C elegirá T1 si F elige S1 dando (2,4) y C elegirá T2 si F elige S2 dando (3,3). F elegirá esta última estrategia obteniendo el equilibrio en (3,3) o S2,T2.

Si el lider fuera C el equilibrio Stackelberg coincidirá con el equilibrio de Nash.

Juego en simultaneidad

En la TJC no se sucitan estas cuestiones por que se supone que ambos jugadores eligen sus estrategias en simultaneidad, lo que no sucita cuestiones sobre la racionalidad de moverse o partir desde ciertas posiciones.

Ajedrez y Go en simultaneidad. Variantes inexploradas. .

Objeciones de la TOM a la TJC

Según la TOM la mayoría de los juegos de la vida real no comienzan con la elección simultánea de estrategias sino con un resultado inicial.

La cuestion para TOM es si un jugador partiendo de resultado puede mejorar no solamente en lo inmediato en un sentido miope sinó en un sentido más visionario, menos miope.

Juegos estrictamente ordinales

Hay 78 juegos estrictamente ordinales de 22 de los cuales 57 son no triviales al excluir el resultado (4,4).

Intercambios de estrategias o jugadores (permutaciones de filas columnas o transposiciones de la matriz) no cambian la estructura de un juego,

¿Cuántos juegos estrictamente ordinales de 33 con nueve resultados por jugador habrá?

¿Y cuántos de NN?

Las reglas de juego de la TOM

Las primeras cuatro reglas de juego de la TOM que describen las posibles elecciones de los jugadores en cada etapa del juego son las siguientes.

1. El juego comienza en un resultado, llamado estado inicial, que es la intersección de una fila y una columna de la matriz de pago de 22.

2. Cualquier jugador puede unilateralmente cambiar su estrategia, y por lo tanto cambiar de estado. El jugador que cambia se llama jugador 1 (J1)


3. El jugador 2 (J2) puede responder unilateralmente cambiando su estrategia y por lo tanto moviendo el juego a un nuevo estado.

4. La respuestas alternadas se suceden hasta que el jugador (P1 o P2) a quien le toca mover decide no cambiar la estrategia. Cuando esto ocurre, el juego termina en un estado final, que es el resultado del juego.


Nota 1: la secuencia de movidas y contramovidas es estrictamente alternante.

Nota 2: El resultado es el estado final y no la suma de los resultados intermedios ya que esto requeriría que los pagos sean cardinales en lugar de ordinales, con lo jugadores acumulandolos mientras pasan por los distintos estados. Si puede coincidir con el esado inicial si ninguno de los jugadores decide moverse de el.

La vida real

Por ejemplo en política el resultado para la mayoría de los políticos no radica la campaña (donde se gastan la plata de los patrocinantes), que es ardua y costosa, sino en la victoria (donde devuelven con creces ese dinero a sus legitimos dueños a costa de los pobres giles que los votamos y de paso se quedan con algun vuelto).

La reflexión inicial de los jugadores deber ser estoy en este estado inicial, ¿conviene quedarme o puedo mejorar cambiando de estado?

Historia de un juego

Suponemos en TOM que la mayoría de los juegos tienen una historia, que comienza en algún estado inicial. El juego es diferente si empieza en otro lugar y también lo son los calculos de los jugadores que ocupan posiciones diferentes.

La perspectiva temporal

La elección del estado inicial, y lo que constituyen estados futuros o el resultado, dependen de lo que los analistas busquen explicar.

La perspectiva temporal de la mayoría de los politólogos van desde una semana a una generación.

Los periodistas son más proclives a pensar en términos de horas y dias.

La mayoría de los historiadores estudian intervalos que van de unos pocos dias a uno o dos siglos.

Reglas de racionalidad

Las reglas 1 a 4 no dicen nada de las posibles causas del final de un juego.

La regla 4 dice cuando termina un juego pero no porque un jugador decide no mover y por lo tanto terminar el juego.

¿Cuándo es racional no mover o quedarse en el estado inicial?

Para resolver esta cuestión la TOM define una regla de terminación racional tambien llamada de inercia. Prohibe a un jugador mover de un estado inicial a menos que la movida lo lleve a un mejor (no el mismo) estado final.

5. Un jugador no moverá de un estado inicial si su movida a) Lleva a un estado final peor. b) Vuelve el juego al estado inicial (i.e. lo transforma en estado final).

Visión no cooperativa

La condición a) de la regla 5 no necesita defensa pero la condición b) que prohibe volver estado inicial necesita alguna defensa. Esta parte de la regla depende de los cálculos de P1 haga sobre los intereses de cada jugador. En particular por una cuestión de paridad es P2 quien puede completar un ciclo para volver al estado inicial. Como todas las decisiones son racionales P1 en vista de la reegla b) debería elegir no moverse del estado inicial.

Lo calculos de la TOM son absolutamente individuales, no son producto de decisiones conjuntas que trabajan en forma cooperativa para no repetirse, ya que la TOM tiene una visión no cooperativa de los juegos.

Regla de los dos lados

Una regla final necesaria para asegurar que cada jugador toma en cuenta los calculos del otro antes de tomar la decisión de dejar el estado final.

6. Dado que los jugadores tienen información completa sobre las preferencias del otro y actuan de acuerdo a las reglas de la TOM, cada uno toma en cuenta las consecuencias de las elecciones racionales del otro jugador y de sí mismo para decidir si mueve desde el estado inicial o de otro posterior basado en la retroinducción. Si es racional para un jugador mover desde el estado inicial y no mover para el otro, entonces la decisión del jugador que mueve tiene más importancia que la decisión de quedarse del otro jugador y prima sobre esta.

Retroinducción

Veamos algunos ejemplos con el juego 56 de cómo analizan los jugadores de acuerdo a la TOM y como se aplica la retroinducción

Si F mueve primero la progresión de movidas de (2,4) de regreso a (2,4) se puede ver en el gráfico.

Retroinducción Estado 1 Estado 2 Estado 3 Estado 4 Estado1

F C F CF comienza (2,4) (1,1) (3,3) |(4,2) (2,4)

Sobreviviente (3,3) (3,3) (3,3) (2,4)

El sobreviviente se puede ver trabajando para atrás, luego de que un ciclo putativo se ha completado.

Supongamos que estando en el estado 4 el jugador C debe decidir si detenerse en el estado (4,2) o completar el ciclo y volver a (2,4). Claramente C prefiere (2,4) a (4,2), por eso (2,4) está mencionado como sobreviviente debajo de (4,2).

Retroinducción

Como C movería a (2,4) en caso de llegar a (4,2), ambos jugadores saben que si se llegara a (4,2) el resultado del juego sería (2,4).

Sabiendo esto F en el estado previo (3,3), ¿jugaría a (4,2)?

Dado que F prefiere (3,3) al sobreviviente del próximo estado (4,2) que es (2,4), la respuesta es NO.

Luego (3,3) se transforma en el estado sobreviviente cuando F debe decidir entre pasar a (4,2) o quedarse en (3,3).

Retroinducción

En el estado previo (1.1), C también preferirá moverse a (3,3) que quedarse en (1,1) con lo cual también (3,3) es el estado sobreviviente si el proceso alcanza el (1,1).

En el estado inicial (2,4), F también prefiere el sobreviviente previo, (3,3) a (2,4) asi que (3,3) también es el estado sobreviviente de este estado.

El hecho es que finalmente F inicialmente moverá a (1,1) y C moverá a (3,3) donde el juego se detendrá, coronando a (3,3) como la decisión racional si F tiene la oportunidad de mover primero desde el estado (2,4).

Detención y bloqueo |

La detención ocurre cuando ocurre el primer bloqueo. Un bloqueo ocurre donde un jugador decide que no continuará.

Si C mueve primero desde (2,4) la retroinducción muestra que el último estado sobreviviente es (2,4) lo que determina que a C no le convenga salir. Lo que no nos debe sorprender ya que recibe la mejor recompensa (4) quedándose en el molde.

Retroinducción

Estado 1 Estado 2 Estado 3 Estado 4 Estado1 F C F CF comienza (2,4) | (4,2) | (3,3) (1,1) (2,4)

Sobreviviente (2,4) (4,2) (2,4) (2,4)

Entonces por la regla 6 como a F le conviene mover y a C no le conviene, F se mueve y el resultado final del juego es (3,3).

Equilibrios no miopes

La TOM llama equilibrios no miopes a los resultados finales de un juego para los distintos puntos de partida. Por ejemplo el juego 56 tiene 3 ENP(2,4) (3,3); (4,2) (4,2); (3,3) (2,4); (1,1) (2,4)/(3,3)

El proceso de juego puede verse como una proceso de negociación donde cada jugador puede elegir mover (aceptar una oferta) o no moverse (rechazar una oferta).

Interpretando la TOM. Sanson y Dalila

La importancia del punto de partida esta bien ilustrado en la histora bíblica de Sanson y Dalila

Sanson No cuenta el secreto (C*) Cuenta el secreto (C)

No hostiga a Sanson (H*) I Dalila infeliz II Dalila feliz Sanson poco franco Sanson franco (2,4) (4,2)Dalila

Hostiga a Sanson (H) IV Dalila frustrada III Dalila persuasiva Sanson acosado Sanson renuente (1,1) (3,3)


Dalila podría preferir aún no logrando obtener el secreto de la fuerza de Sansón intentar hallarlo a no hacer el intento ya que se sentiría menos más que si no lo intentara.

En este caso se podrian intercambiar las opciones 1 y 2 de Dalila dando lugar a otro juego, el 47, que de cualquier forma termina teniendo el mismo punto de equilibrio que el anterior.


Sanson No cuenta el secreto (C*) Cuenta el secreto (C)

No hostiga a Sanson (H*) I Dalila frustrada II Dalila feliz Sanson poco franco Sanson franco (1,4) (4,2)Dalila

Hostiga a Sanson (H) IV Dalila infeliz III Dalila persuasiva Sanson acosado Sanson renuente (2,1) (3,3)

Movidas no factibles

Al modelizar la historia de Sansón y Dalila la secuencia de movidas (3,3)(1,1)(2,4), perfectamente lógica desde el punto de vista de la TOM, no tendría sentido ya que una vez que Sansón reveló su secreto ya no se puede volver a un estado donde esa información es desconocida para Dalila.

Eso no quita que haya otras interpretaciones del juego donde si pueda tener sentido dicha secuencia.

ColumnaT1 T2

FilaS1 (4,1) (1,4)

S2 (2,3)ENM

(3,2)ENM

Conflicto total

El juego 44 es uno de los tres ejemplos de conflicto total. En que la mejor opción para un jugador corresponde a la peor para el otro y la segunda mejor de uno corresponde a la segunda peor del otro.

Duhalde

(A) (N)

De la RuaArriesga (A) (3,2)

ENM(4,1)

No arriesga (N) (1,4) (2,3)

Conflicto total

Las elecciones donde se elige un presidente u otro candidato a ocupar un cargo único entre dos candidatos claramente más fuertes que el resto de los contendientes pueden modelizarse con este tipo de juegos.

Duhalde

(A) (N)

De la RuaArriesga (A) (3,2)

ENM(4,1)

No arriesga (N) (1,4) (2,3)

Conflicto total

Como De la Rua era un candidato fuerte la estrategia de arriesgar le proporcionaba los mejores resultados (3 y 4) frente a un Duhalde debilitado por el mal gobierno de Menem.

Una estrategia es arriesgada cuando se elige una estrategia de campaña con consecuencias menos predictibles que al elegir la estrategia alternativa.

El problema de anticipación

Si un juego tiene un único equilibrio no miope (ENM)El resultado del juego no dependerá del estado inicialen cual el juego comienza a desarrollarse

Si un juego tiene más de un ENM como los juegos 56 o 44 la situación depende del estado inicial.

Eso lleva a la pregunta: ¿Cómo se determina el estado inicial?

Veremos que podemos suponer que ambos juagdores pueden seleccionar estrategias en un juego anticipado que define el estado inicial y por ende el resultado.

El problema de anticipaciónConsideremos el juego 44Estado inicial (4,1)

F C F CF comienza (4,1) | (2,3) | (3,2) | (1,4) | (4,1)Sobreviviente (4,1) (2,3) (3,2) (1,4)

C F C FC comienza (4,1) (1,4) (3,2) | (2,3) (4,1)Sobreviviente (3,2) (3,2) (3,2) (4,1)

Resultado (3,2). La movida de C induce (3,2) que tiene prioridad frente a F que prefiere quedarse en (4,1)

El comienzo en el estado (1,4) es equivalente con los papeles de F y C invertidos.

El problema de anticipaciónEstado inicial (3,2)

F C F CF comienza (3,2) | (1,4) | (4,1) | (2,3) | (3,2) Sobreviviente (3,2) (1,4) (4,1) (2,3)

C F C FC comienza (3,2) |c (2,3) (4,1) (1,4) (3,2)Sobreviviente (3,2) (3,2) (3,2) (3,2)

Resultado (3,2). Hay un consenso en quedarse en (3,2), conconstante bloqueo para F y ciclado hasta (3,2) si C comienza a jugar.

El comienzo en el estado (2,3) es equivalente con los papeles de F y C invertidos.


Resumiendo desde los estados iniciales (4,1) y (1,4) el patrón tiene las siguientes características:

•Un jugador decide quedarse y el otro decide moverse.

•Como moverse tiene prioridad sobre quedarse el proceso se moverá.

•Las movidas (4,1) (3,2) y (1,4) (2,3) dan dos ENM, con el jugador que mueve yendo del peor al segundo peor resultado.


En los estados iniciales (3,2) y (2,3) el patrón tiene las siguientes características:

•Para un jugador F en (3,2) y C en (2,3), no sólo la movida inicial sino todas las siguientes llevan a un resultado peor para el jugador que mueve y resultan por lo tanto bloqueadas.

•Para el otro jugador C en (3,2) y F en (2,3) mover resulta en ciclar volviendo al estado inicial y por lo tanto por la regla 6 no se efectua la movida.

•Conclusión nadie mueve y resultan entonces los mismos equilibrios que para los estados iniciales (4,1) y (1,4) .

El juego de anticipación

Con los ENM a los que se llega desde cada punto de partida se llega a un juego de anticipación. Si los jugadores eligen estrategias en un JdA en lugar de comenzar por un estado del juego original, entonces podremos aplicar la teoría clásica al JdA.

Columna (C)T1 T2

Fila (F)

S1 (4,1)[3,2]

(1,4)[2,3]

S2 (2,3) ENM

[2,3] (3,2) ENM

[3,2]


Tanto en el juego 44 como en su JdA, indicado con sus estados entre corchetes, carecen de equilibrio de Nash con estrategias puras. Por que un jugador siempre tiene el incentivo de salir del estado en que esta en sentido horario.

Columna (C)T1 T2

Fila (F)

S1 (4,1)[3,2]

(1,4)[2,3]

S2 (2,3) ENM

[2,3] (3,2) ENM

[3,2]


Aplicar la TOM al JdA en el juego 44 me vuelve a dar el mismo JdA, es decir que por más niveles de anticipación que usemos no seremos capaces de elegir la “mejor” estrategia pura.

Columna (C)T1 T2

Fila (F)

S1 (4,1)[3,2]

(1,4)[2,3]

S2 (2,3) ENM

[2,3] (3,2) ENM

[3,2]

La magnamidad a veces paga

En siete juegos de 2 x 2 ocurre la siguiente situación: si el estado inicial es (4,1) o (4,2), puede resultar racional para F mover aún si obtiene un mejor resultado quedándose en ese estado, suponiendo que C también se queda. El problema es que para C es racional moverse de esos estados si F no se mueve.

Juego 28 Columna (C)T1 T2

Fila (F)

S1 (2,2)[3,4]

(4,1)[3,4]

S2 (1,3)[3,4]

(3,4) ENM

[3,4]

La magnamidad a veces paga

Pero si C mueve primero, ambos juagadores terminan peor que si F se comporta en forma “magnánima” moviendo inicialmente a un estado donde recibe 3 en lugar de 4. El juego 28 ilustra esta situación.


Fila (F)

S1 (2,2)[3,4]

(4,1)[3,4]

S2 (1,3)[3,4]

(3,4) ENM

[3,4]

Convención de los dos lados

7. Si un jugador (digamos, C), moviendo, puede conseguir un mejor estado para sí mismo que quedándose, pero F moviéndose puede conseguir un estado superior al consegido por C desde la óptica de Pareto, entonces F moverá, aún si prefiriera quedarse para obtener un resultado mejor.


Fila (F)

S1 (2,2)[3,4]

(4,1)[3,4]

S2 (1,3)[3,4]

(3,4) ENM

[3,4]

Atacado por un ladrón

Usaremos el juego 28 para aprender a comportarnos de la mejor forma posible ante la desagradable pero no poco probable circunstancia de ser atacados sorpresivamente mientras circulan solos por la gran ciudad por un ladrón solitario.

Supondremos que ustedes van desarmados y que el ladrón puede ir armado con una pistola, con un cuchillo o sin armas.

Pueden elegir ofrecer resistencia tratando de enfrentar al ladrón, o de huir, o de pedir ayuda a los gritos, o pueden entregar mansamente el Rolex para el que ahorraron peso a peso todas su vida.


Supondremos que vuestro objetivo principal es evitar salir lastimado (herida la esperanza), un objetivo secundario es no ser despojado de los bienes y un tercer objetivo puede ser atraer la atención para que el ladrón sea atrapado.

El objetivo principal del ladrón obtener los morlacos y el Rolex y el objetivo secundario es no llamar la atención de los transeuntes un tercer objetivo sería tratar de evitar la fuerza para en caso de ser capturado tener cargos menores.

Estos objetivos implican los siguientes rankings para los cuatro estados


I. Pelea: (2,2). Ustedes se resisten y el ladrón usa la fuerza. El ladrón se lleva los morlacos y el Rolex pero se arma aspaviento y lo persigue la cana.

II. Ladrón falla: (4,1). Ustedes se resisten y el ladrón huye sin atacar. Ustedes alcanzan todos sus objetivos y el ladrón sólo el tercero.

III. Sumisión voluntaria: (3,4). Le dan todo al ladrón y este se va sin herirles el cuerpo. El ladrón obtiene todos sus objetivos y ustedes el principal.

IV. Sumisión involuntaria: (1,3). Le dan los morlacos y el Rolex pero igual usa la violencia. El ladrón sacirfica el tercer objetivo y ustedes no obtienen ninguno.


Según la predicción de la teoría clásica el resultado sería el equilibrio de Nash (2,2), inferior desde la óptica de Pareto.

Juego 28 LadrónUsa violencia No usa

violencia

Ustedes

Resistir I Pelea(2,2)[3,4]

II Ladrón falla(4,1)[3,4]

No resistir IV sumisión I(1,3)[3,4]

III Sumisión V (3,4) ENM

[3,4]

Sed magnánimos con el ladrón

Según la TOM, supondremos que una movida del ladrón de usar violencia a no usarla no es factible. Si el robo no comienza con el uso de violencia puede empezar en (4,1) es racional ir al estado (3,4) antes que el ladrón vaya a (2,2) o directamente si se empieza en (3,4) quedarse ahí.

Juego 28 LadrónUsa violencia

(V)No usa

violencia (V*)

Ustedes

Resisten (R )

I Pelea(2,2)[3,4]

II Ladrón falla(4,1)[3,4]

Noresisten (R*)

IV sumisión I(1,3)[3,4]

III Sumisión V (3,4) ENM

[3,4]


Algunas estadísticas de robos en Boston en 1964 - 1968 Sin armas N=509 Ladrón

Usa violencia No usa violencia

VíctimaResisten 39 6

No resisten 343 121

Con cuchillo N=226 Ladrón



No resisten 70 123

Con pistola N=358 Ladrón



No resisten 45 272

Juego de magnanimidad

Este juego engloba 12 juegos entre los que se encuentra el dilema del prisionero. Es un buen modelo de las postguerras. Por ej. de la 1ra y 2da guerras mundiales.

JM Vencidos (D)Cooperan

(C)No cooperan

(C*)

Vencedores (V)

No sonmagnánimos (M)

I Status Quo(V4,di)

IV RechazanStatus Quo

(Vs,dj)

Sonmagnánimos (M*)

II Magnanimidad(V3,di+)

III RechazanMagnanimidad

(Vt,dj+)

V4>V3>Vs,Vt (s,t=1 o 2) y di+ > di; dj+ > dj

Alterando las reglas: el Poder de Mover

Vamos ahora a modificar la regla de la alternancia de jugadas aceptando una asimetría que permita a un jugador continuar moviendo cuando el otro jugador eventualmente se ha detenido.

Las reglas 1 a 4 no decían nada sobre la termináción de los conflictos. Se agregó la regla 5 que impedía el ciclado pero esa regla es un tanto artificial ya que no permite modelizar conflictos como el Arabe-Israelí que se la pasan repitiendo el pasado una y otra vez.

Los conflictos entre Hutus y Tutsis en Ruanda y Burundi son otro ejemplo de coflicto que vuelve al punto de partida.

Juegos cíclicos

Para tratar de modelizar este tipo de conflictos en los que el ciclado es posible eliminando una clase de juegos en los que no es posible, es que definimos una nueva regla.

5’. Si, en algun estado en el proceso de movida-contramovida, un jugador que debe jugar a continuación recibe su mejor pago (Ej. 4), entonces no se moverá desde ese estado.

Juegos cíclicos

Juego 22a No cíclico Juego 35 Cíclico

(4,2) ENM

[4,2](2,1)[4,2]

(4,2) ENM

[4,2](2,1)

[4,2]

(3,3)[4,2]

(1,4)| [4,2]

(3,4) ENM

[3,4] (1,3)

[3,4]

En el juego 22 no se produce ciclado por la regla 5’.

El juego 35 puede ciclar en el sentido de las agujas del reloj ya que nunca el jugador tiene su mejor pago cuando debe mover: F en (2,1), C en (1,3), F en (3,4), C en (4,2).

Juegos cíclicos

Teorema: Si un juego estrictamente ordinal de 2 x 2 es cíclico, el ciclado puede ocurrir en forma levógira, destrógira pero no en ambas.

Corolario: Si un juego estrictamente ordinal de 2 x 2 es simétrico, entonces no es cíclico.

Poder de mover

La regla 5’ no decía que los jugadores no moverían del mejor estado (4) cuando es su turno. Pero no decía nada sobre los 36 juegos donde esto no es aplicable. En estos juegos una regla racional que reemplace a la regla 6 es necesaria.

6’. En un juego cíclico de información completa, P1 moverá desde el estado inicial, aún si el juego vuelve a este estado y cicla reiteradamente, si: a) tiene poder de mover, y b) puede obtener obtener un mejor resultado para sí mismo usando este poder.

Poder de mover

P1 tiene poder de mover si puede inducir a P2 a detenerse, en el proceso de ciclado en alguno de los dos estados en los que P2 tiene la próxima movida.El estado en el que P2 se detiene es uno que P2 prefiere.

El juego de la revelación

Problemas

1. Modelizar la crisis que llevó a la renuncia de Carlos “Chacho” Alvarez a la vicepresidencia de la nación como juego estrictamente ordinal. Fundamentar la elección de los elementos de la matriz de pagos. Puede darse más de un modelo.

2. ¿Qué juego estrictamente ordinal es más adecuado para modelizar la negociación de nuestro pais con sus acredores externos? Pueden dividirse los acreedores externos en varios grupos y dar un juego diferente para cada caso.

Problemas

3. ¿Cómo puede modelizarse mediante un juego estrictamente ordinal la negociación entre gobierno y la CGT reclamando suba de salario en un escenario de aumento de la inflación?

4. ¿Cuántos juegos estrictamente ordinales no triviales de 2 x 3 hay?

5. ¿Cómo puede modelizarse mediante un juego estrictamente ordinal la crisis que llevó a la renuncia de Remes Lenicov?

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