teori graph : vektor
TRANSCRIPT
VektorVektor
Penjumlahan Vektor
s a b
Mengikuti hukum :• Komutatif :
a b b a
Assosiatif :
( ) ( )a b c a b c
Vektor adalah vektor yang memiliki besaran yang sama dengan vektor tetapi berlawanan arah, bila dijumlahkan akan menghasilkan :
b
( ) ( ) 0b b
b
Komponen vektor• merupakan proyeksi vektor pada sumbu sistem
koordinat
Komponen vektor : a
cos dan sinx ya a a a
disebut komponen skalar atau komponen
Penjumlahan vektor dengan komponen
, setiap komponen sama dengan
komponen
s a b
s
a b
x x x
y y y
z z z
s a b
s a b
s a b
Besar vektor :
Khusus untuk penjumlahan 2 vektor ( ), besar vektor dapat dicari dengan rumus :
Dalam perhitungan vektor dibutuhkan rumus trigonometri : Dalil cosinus :
Dalil sinus :
a 2 2 dan tan x
x yy
aa a a
a
s
2 2 2 coss a b ab
dan a b
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
a b c bc
b a c ac
c a b ab
sin sin sin
a b c
Vektor satuan:
Koordinat KartesiusVektor satuan pada arah positif sumbu x, y dan z diberi tanda : ˆˆ ˆ, dan i j k
Kita dapat tulis vektor dan sebagai berikut :a
b
disebut komponen vektor
ˆ ˆx ya a i a j
ˆ ˆx yb b i b j
Perkalian vektor :
• Perkalian vektor dengan skalar : Jika vektor dikalikan dengan skalar s akan
menghasilkan vektor baru dengan besar nilai absolute s dengan arah jika s positif, dan berlawanan arah jika s negatif. Vektor dibagi dengan s berarti kita mengkalikan dengan 1/s.
• Perkalian vektor dengan vektor : Menghasilkan skalar : Scalar ProductDikenal sebagai : Dot product
a
a
a
a
Perkalian titik dan perkalian silang antar vektor satuan dalam koordinat kartesius :
i . i = j . j = k . k = 1
i . j = j . k = I . k = 0
i x i = j x j = k x k = 0
i x j = k ; j x i = - k
i x k = - j ; k x i = j
k x j = - i ; j x k = i
. cosa b ab
Dituliskan secara komponen bagian sebagai berikut :
. ( cos )( ) ( )( cos )a b a b a b
Scalar product berlaku hukum komutatif
Jika ditulis dalam vektor satuan, maka perkalian scalar :
Diperoleh hasil akhir sebagai berikut :
. .a b b a
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ. ( ).( )x y z x y za b a i a j a k b i b j b k
. x x y y z za b a b a b a b
Menghasilkan vector : Vector ProductDikenal sebagai : Cross Product
Dengan besar c adalah :
sinc ab
x a b c
Besaran x a b
ditulis x 0a b
jika //a b
dan maksimum jika a b
Arah dari vektor tegak lurus bidang yang berisi vektor
c
dan a b
dikenal sebagai hukum tangan kanan.
x ( x )b a a b
Penulisan dalam vektor satuan :
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ x ( ) x ( )x y z x y za b a i a j a k b i b j b k
ˆ ˆ ˆ ˆ x ( x ) 0x x x xa i b i a b i i
ˆˆ ˆ ˆ ˆ x ( x )x y x y x ya i b j a b i j a b k
Hasil akhir :
ˆˆ ˆ x ( ) ( ) ( )y z y z z x z x x y x ya b a b b a i a b b a j a b b a k
Cara mudah untuk perkalian silang dengan mengunakan metode determinan
x y z
x y y
i j k
a x b = a a a
b b b
Cara lain : reduksi matrix 3x3 2x2
Latihan soal :1 Dua buah vektor bertitik tangkap sama
saling mengapit dengan sudut . Jika besar vektor
dua kali vektor dan , hitung !Jawab :
dan a b
a
b
3a b a b 2 2
2 2
2 cos
2 cos
a b a b ab
a b a b ab
2 2 2 22 cos 3 2 cosa b ab a b ab
2 216 cos 10 b b
051,32
2 Dua buah vektor yang besarnya 8 dan 15 satuan saling mengapit dengan sudut 45. Hitung besar resultannya dan sudut antara resultan dengan vektor pertama.
Jawab :
Sudut antara resultan dengan vektor pertama dapat dicari dengan 2 cara : dalil cosinus atau dalil sinus
Dalil Cosinus :
Dalil Sinus :
2 2 01 2 1 22 cos 45
458,7
21,4 satuan
r v v v v
r
r
2 2 22 1 1
0
2 cos
297,7 342,4 cos =29,6
v v r v r
20
0
sin sin 13515(0,707)
sin =29,721,4
v r
3 Diketahui 3 buah vektor
Hitung besar vektor dan sudut antara vektor ini dengan sumbu zjika . Hitung juga sudut antara vektor ! Jawab :
Sudut antara dengan sumbu z : men”dot” kan dengan vektor satuan arah sumbu z.
Sudut antara diperoleh dengan men”dot”kan keduanya.
ˆˆ ˆ1 3 4
ˆˆ ˆ1 2 2
ˆˆ ˆ3 1 3
a i j k
b i j k
c i j k
r
2r a b c
dan a b
2 2 2ˆˆ ˆ( 2) ( 7) (13) ( 2) ( 7) (13) 14,9 satuanr i j k r
r
dan a b
0
. 1.( 1) ( 3).( 2) 4.(2)
13 cos 13 cos = =31,8
26 9
a b
a b
0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ. ( 2) . ( 7) . (13) .
13 cos 13 cos = =29.3
14.9
r k i k j k k k
r k
4.Suatu vektor a dalam bidang xy mempunyai besar 5 satuan dan arahnya terhadap sumbu x positif. Vektor b
mempunyai besar 4 satuan dan arahnya searah sumbu y. Hitung besar perkalian titik dan perkalian silang kedua vektor tersebut.
Jawab :Sudut terkecil antara kedua vektor tersebut adalah:
Sehingga diperoleh :
0252
0 0 0252 90 162
0 . cos (5)(4)cos162 19 satuana b ab
0 x sin (5)(4) sin162 6,18 satuana b ab
Soal Tugas1. Dua buah vektor yang besarnya 5 dan 3
satuan membentuk sudut 60 sama lain. Hitung resultan vektor-vektor tersebut!
Hitung pula selisih dua vektor tersebut!2. Tiga buah vektor a, b dan c terletak pada
satu bidang dan mempunyai titik tangkap yang sama. Besar vektor berturut-turut adalah 30, 20 dan 40 satuan. Berapakah besar sudut apit vektor a dan b agar resultan nya besarnya sama dengan vektor c ?
3. Jumlah dua vektor adalah tiga kali vektor yang lebih kecil. Jika vektor- vektor tersebut membentuk sudut 60, berapakah perbandingan kedua vektor tersebut ?
4. Hitung perkalian titik dan perkalian silang dari dua vektor berikut ini :
a = 2i – 2j + 4k b = i – 3j + 2k5. a = 5,1i – 2,3j ; b = i ; c = -3,1i + 6,3j Hitung resultan ketiga vektor tersebut dan kemana
arahnya?