KELOMPOK :

Citra Sari (0607127)

Dini Rohaeni (0607131)

Ema Nur Luthfiyani (0607263)

Krisyanti Amalia (060641)

Ratih Rahmawati (060541)

GRAF BERARAH

Walaupun banyak entitas-entitas data dalam masalah – masalah yang nyata

secara alamiah memiliki keterhubungan langsung dengan formulasi teori

grap, konsep dari suatu graph itu sendiri terkadang tidak begitu cukup.

Misalnya saat berhubungan dengan arus lalu lintas, sebagai contoh , telah

diketahui bahwa ada dalam suatu jaringan yang memiliki jalan searah ada

jalan yang bisa dilewati dua arah berlawanan (bolak-balik). Dengan jelas ,

diperlihatkan ada suatu grap dalam jaringan yang tidak banyak digunakan

dalam kasus arus lalulintas. Jadi apa yang kita perlukan adalah suatu grap

yang mana masing-masing hubungannya telah diberi suatu orientasi tanda

(yang bisa kita katakan juga sebagai sebuah graph berarah).

• Definisi :

Graf berarah adalah sebuah graf yang setiap sisinya diberikan

orientasi arah.

• Suatu graf berarah terdiri dari dua himpunan yaitu :

1. Himpunan yang anggotanya disebut simpul, digambarkan sebagai

titik.

2. Himpunan yang merupakan himpunan pasangan terurut dari simpul

yang memiliki arah disebut Arkus (Arc)

Jadi, jika sisi-sisi pada graf G, misalnya {x, y} hanya berlaku pada

arah-arah tertentu saja, yaitu dari x ke y tapi tidak dari y ke x.

Simpul x disebut ekor/pangkal dan simpul y disebut ujung/akhir/kepala

dari sisi tersebut.

1

• Graf berarah (Directed Graph) biasa ditulis dengan digraph.

• Secara formal suatu graf berarah D dapat diartikan (di tulis) dalam triple

order sebagai berikut: ( V(D) , A(D), ΨD ), dimana V(D) adalah himpunan

titik D, A(D) adalah himpunan pasangan terurut dari arkus (Arc). ΨD

adalah sebuah fungsi yang berinsidensi dari setiap arkus yang berkaitan

dengan titik-titik di D. Jika a suatu arc , u dan v sebagai titik-titiknya

sedemikian sehingga ΨD = (u,v),maka a dikatakan sebagai kait dari u dan

v ; u adalah titik pangkal dari a , v adalah titik ujung dari a.

• Arc A (u ,v) digambarkan sebagai garis yang dilengkapi tanda panah yang

mengarah dari titik pangkal (u) ke titik ujung (v)

• Digraf dapat ditulis sebagai D(V,A)

• Contoh : Dapat dilihat graf bearah

G1 pada gambar disamping

yang terdiri dari:

G1 ( V(D) , A(D))

1. G1 mengandung 4 simpul yaitu 1 , 2 , 3

dan 4. V(D) = { 1,2,3,4}

2. A mengandung 7 arkus A(D) = { (1,4) ;

(4,2) ; (2,1) ; (2,1) ; (2,3) ; (4,3) ; (2,2) }

• SUBDIGRAF

Sebuah digraph D’ disebut subdigrap dari D jika

Istilah dan notasi dari subdigrap serupa dengan istilah dan notasi yang

biasa digunakan dalam subgraf.

Dengan tiap digrap D kita bisa mengkaitkan sebuah grap G dengan

himpunan titik yang sama, pada setiap arc di D maka ada satu sisi dari G

dengan titik pangkal yang sama. Grap ini disebut underlying grap dari D.

Sebaliknya bila diberikan beberapa grap G, kita bisa memperoleh sebuah

digrap dari G dengan spesifikasi bahwa untuk setiap hubungannya telah

2

)()'(),()'( DADADVDV ⊆⊆

diberikan tanda yang sama. Digraph seperti itu disebut sebuah orientasi dari

graph G.

Jadi bisa dikatakan bahwa underlying graph adalah graf yang belum

memiliki arah. Representasi dari digraph bisa direprentasikan oleh graf

underlying dengan pemberian arah pada tiap sisinya. Pemberian arah yang

sesuai arc nya.

Semua konsep yang valid dalam graph akan otomatis valid pula dalam

digraph. Maka dari itu digraph dalam gambar 10.1 a (connected and has no

cycles of length three ) adalah terhubung dan tidak memiliki siklus dengan

panjang 3. karena raph underlying pada gambar 10.1b memilikinya.

Bagaimanapun juga banyak konsep yang ikut serta pada pengorientasian

notasi dan pengaplikasiannya hanya pada digraphs.

• Jaringan

bila arkus suatu graf berarah menyatakan bobot maka graf berarah

tersebut dinamakan jaringan/network

• Contoh:

Arkus (A,B) = 1

Arkus (A,C) = 1

Arkus (B,D) = 2

Arkus (D,C) = 2

Arkus (D,A) = 1

Sedangkan pada G3 bukanlah

jaringan karena tidak ada bobot pada

arkus grapnya

3

• Jalan Berarah (perjalanan) di D adalah sebuah barisan berhingga tak

kosong W = (vo, a1, v1, …., ak,vk). Simpul dan arkus saling bergantian.

v1.e1, v2.e2, v3.e3, . . . , en-1 vn, disini arkus e1 menghubungkan simpul v1 dan

v1+1. Banyaknya arkus dalam barisan disebut panjang perjalanan.

Perjalanan dapat ditulis lebih singkat dengan menulis barisan arkusnya

saja atau baris simpulnya saja.

• Contoh:

Lihat gambar G4

Perjalanan

dengan barisan

arkus = 1, 2, 3, 4, 2,

8, 7, 6

Perjalanan

dengan barisan

simpul = A, B, D, C,

B, D, F, C, E

Panjang perjalanan graf A adalah 8.

• Dari Gambar G4 diperoleh:

1. Perjalanan tertutup (simpul awal = simpul akhir)

Contoh ABDCA pada G4

2. Perjalanan Terbuka (simpul awal ≠ simpul akhir)

Contoh ABDCE

JEJAK BERARAH

• Jejak Berarah adalah jalan berarah (perjalanan) yang semua sisinya

berlainan.

LINTASAN BERARAH

• Lintasan Berarah adalah jalan berarah yang semua arkus dalam

barisan berbeda

Contoh : dalam G4 terdapat lintasan antara lain:

– 1,2,3,6,9

4

– 1,2,3,6

– 1,2,8

– 1,2,3,7

–

Barisan arkus : 1,2,3,4,2,8 bukanlah lintasan karena

ada arkus yang sama yakni 2.

JALUR

• Jalur dapat diartikan perjalanan yang semua simpulnya berbeda

dalam baris.

• Jalur lintasan terbuka dengan Derajat simpulnya = 2 kecuali pada

simpul awal dan akhir berderajat 1.

• Jalur dengan panjang k disebut jalur-k atau k-path. Pada graf G4 A

= 1,2,8,9 adalah galung yang menghubungkan simpul a dan f.

SIKLUS

• Siklus Berarah adalah jejak berarah yang simpul awal dan simpul

internalnya berlainan (tertutup).

• Lintasan tertutup dengan setiap simpul memiliki 1 derajat ke dalam

(indegree) dan 1 derajat keluar (outdegree)

• Siklus dengan panjang k disebut sirkuit k atau k-cycles

• contoh : pada G4 antara lain A , B , D, F ,C, F dan A , B , D, C, A.

arah nya harus sesuai arah dari arkus.

• Semi Perjalanan = graf berarah D adalah suatu perjalanan tanpa

memperhatikan arah dari arkus.

• Semi Jalur = digraph D adalah perjalanan yang semua simpul dalam

barisan adalah berbeda dan tanpa memperhatikan arah dari siklus.

• Semi Lintasan : digraph D yang memiliki perjalanan yang semua arkusnya

dalam barisan berbeda. (tanpa memperhatikan arahnya).

UNDIGRAF

5

• Sebuah graf disebut Undigraf apabila sisinya tidak mempunyai

orientasi arah. Pada graf tak berarah urutan pasangan simpul yang

dihubungkan oleh sisi tidak tidak diperhatikan.

• Setiap sisi {x, y} berlaku pada kedua arah: baik x ke y maupun y ke x.

Secara grafis sisi pada undigraph tidak memiliki mata panah dan

secara notasional menggunakan kurung kurawal.

Diconnected

• Definisi :

Himpunan bagian simpul dari D dikatakan Diconnected jika setiap

pasangan simpul berbeda x dan y dalam D, x diconnected dengan y dan y

diconnected dengan x bila tepat ada satu lintasan dari x ke y atau sebaliknya

dari y ke x.

Dicomponent

• Definisi :

Subdigraf D yang dapat dipartisi menjadi beberapa digraf.

KETERHUBUNGAN pada DIGRAPH

Adjacency ke / dari: Jika terdapat sisi (x,y) maka dalam digraph

dikatakan bahwa x "adjacent ke" y atau y "adjacent dari" x. Demikian pula jika

terdapat path dari x ke y maka belum tentu ada path dari y ke x Jadi dalam

digraph keterkoneksian didefinisikan lebih lanjut lagi sebagai berikut.

1. TERHUBUNG LEMAH

• Himpunan bagian verteks S dikatakan terkoneksi dengan

lemah (weakly connected) bila setiap pasangan verteks

berbeda x dan y dalam S, salah satu: x berkoneksi dengan y

(atau y berkoneksi dengan x) dan tidak kebalikan arahnya

6

(dpl., hanya terdefinisi satu path: dari x ke y atau sebaliknya

dari y ke x).

• Jika terdapat suatu semi kalur antara 2 simpul sembarangan

graf D.

2. TERHUBUNG KUAT

• Himpunan bagian verteks S dikatakan terkoneksi dengan

kuat (strongly connected) bila setiap pasangan verteks

berbeda x dan y dalam S, x berkoneksi dengan y dan y

berkoneksi dengan x (dpl., ada path dari x ke y dan

sebaliknya dari y ke x).

• Jika antara setiap 2 simpul sembarang u dan v dari graf D

terdapat jalur dari u ke v DAN dari v ke u.

3. TERHUBUNG UNILATERAL

• Cara pendefinisian lain untuk graph adalah dengan

menggunakan himpunan keterhubungan langsung Vx. Pada

setiap verteks x terdefinisi Vx sebagai himpunan dari

verteks-verteks yang adjacent dari x. Secara formal:

Vx = {y | (x,y) Î E}

• Jika antara setiap 2 simpul sembarang u dan v dari graf D

terdapat jalur dari u ke v ATAU dari v ke u.

Dengan kata lain : u dapat dicapai dari v atau v dapat dicapai

dari u.

Jadi bila terhubung kuat pasti terhubung unilaterla dan pasti terhubung lemah.

Konektivitas pada Undigraph

• + Adjacency: Dua verteks x dan y yang berlainan disebut berhubungan

langsung (adjacent) jika terdapat sisi {x, y} dalam E.

• + Path: Sederetan verteks yang mana setiap verteks adjacent dengan

verteks yang tepat berada disebelahnya.

• + Panjang dari path: jumlah sisi yang dilalui path.

7

• + Siklus: suatu path dengan panjang lebih dari satu yang dimulai dan

berakhir pada suatu verteks yang sama.

• + Siklus sederhana: dalan undigraph, siklus yang terbentuk pada tiga atau

lebih verteks-verteks yang berlainan yang mana tidak ada verteks yang

dikunjungi lebih dari satu kali kecuali verteks awal/akhir.

• + Dua verteks x dan y yang berbeda dalam suatu undigraph disebut

berkoneksi (connected) apabila jika terdapat path yang

menghubungkannya.

• + Himpunan bagian verteks S disebut terkoneksi (connected) apabila dari

setiap verteks x dalam S terdapat path ke setiap verteks y (y bukan x)

dalam S.

• + Suatu komponen terkoneksi (connected components) adalah subgraph

(bagian dari graph) yang berisikan satu himpunan bagian verteks yang

berkoneksi.

• + Suatu undigraph dapat terbagi atas beberapa komponen yang

terkoneksi; jika terdapat lebih dari satu komponen terkoneksi maka tidak

terdapat path dari suatu verteks dalam satu komponen verteks di

komponen lainnya.

• + Pohon bebas (free tree): suatu undigraph yang hanya terdapat satu

komponen terkoneksi serta tidak memiliki siklus sederhana.

DICONNECTED

• Definisi : Himpunan bagian simpul dari D dikatakan Diconnected jika

setiap pasangan simpul berbeda x dan y dalam D, x diconnected

dengan y dan y diconnected dengan x bila tepat ada satu lintasan dari

x ke y atau sebaliknya dari y ke x.

DICOMPONEN

• Definisi : Subdigraf D yang dapat dipartisi menjadi beberapa digraf.

8

Dalam digraph didefinisikan juga terminologi-terminologi berikut ini.

Predesesor dari suatu verteks x (ditulis Pred(x)) adalah himpunan semua

verteks yang adjacent ke x. Suksesor dari verteks x (ditulis Succ(x)) adalah

himpunan semua verteks yang adjacent dari x; yaitu adjacency set di atas. .

DEGREE

• Degree dari suatu verteks x dalam undigraph adalah jumlah sisi di

mana di salah satu ujungnya terdapat x.

• Indegree (derajat masuk) dari suatu verteks x dalam digraph adalah

jumlah dari predesesor x. Banyaknya arkus yang berakhir atau masuk

ke simpul tersebut

• Outdegree (derajat keluar ) dari suatu verteks x dalam digraph adalah

jumlah dari suksesor x. Suatu simpul yang mulai atau keluar dari

simpul tersebut.

• Indegree maksimum ( ) dan minimum( )

• Outdegree maksimum ( ) dan minimum( )

• Jumlah outdegree = jumlah in degree yang merupakan jumlah arkus

pada digraph.

• Simpul yang memiliki indegree = 0 disebut sumber (source)

• Simpul yang memiliki outdegree = 0 disebut muara (sink).

• Pada grap G1 diatas tidak terdapat sumber, karena tidak ada simpul

yang berderajat ke dalam = 0

• Simpul 3 merupakan muara karena outdegree (3) = 0

• Pada graf G1 dengan D=4 A= 7 didapat

•

9

)(D−∆)(D+∆

)(D−δ)(D+δ