TEORI BAHASA DAN OTOMATAMATERI KULIAH :1 Topik Substansi Kontrakpembelajaran, Pendahuluan a. Ketentuan dalam Kuliah b. Pengertian Bahasa c. Pengertian Otomata Pengertian Dasar dan Operasi pada string Grammar dan Bahasa a. Pngertian Dasar Simbol dll b. Operasi dasar string a. Definisi Grammar b. Klasifikasi Grammar/bahasa c. Penentuan bahasa dari suatu grammar d. Penentuan grammar dari suatu bahasa 4, 5 6 Mesin Pengenal Bahasa (OTOMATA) Ekspresi Reguler. a. Macam-macam mesin pengenal bahasa b. Finite State Automata c. Ekuivalensi NFA-DFA a. Pengertian ER b. Menentukan ER dari suatu bahasa reguler c. Membuat NFA dari ER a. Penyederhanaan tata bahasa bebas konteks b. Bentuk Normal Chomsky 10 PushDown Automata (PDA) ,1 1 12 Mesin Turing 13 Topik Khusus 15 16 Ujian Akhir a. Pengertian PDA b. PDA deterministik/non deterministik. a. Pengertian Mesin Turing b. Penerimaan pada MT Topik-topik khusus/ masalah2 yang lebih kompleks dari teori bahasa dan otomata.

2 3

7 8, 9

Ujian sisipan Bahasa Bebas Konteks

Buku : Teori Bahasa dan Otomata, John E. Hopcroft dkk. (terjemahan, Edisi 2, 2007) Teori Bahasa dan Otomata, Firrar Utdirartatmo Introduction to Languages and The Theory of Computation, John C. Martin An Introduction to Formal Language and Automata, Peter Linz

Teori BahasaTeori bahasa membicarakan bahasa formal (formal language), terutama untuk kepentingan perancangan kompilator (compiler) dan pemroses naskah (text processor). Bahasa formal adalah kumpulan kalimat. Semua kalimat dalam sebuah bahasa dibangkitkan oleh sebuah tata bahasa (grammar) yang sama. Sebuah bahasa formal bisa dibangkitkan oleh dua atau lebih tata bahasa berbeda. Dikatakan bahasa formal karena grammar diciptakan mendahului pembangkitan setiap kalimatnya. Bahasa Natural/manusia bersifat sebaliknya; grammar diciptakan untuk meresmikan kata-kata yang hidup di masyarakat. Dalam pembicaraan selanjutnya bahasa formal akan disebut bahasa saja.

Otomata (Automata) Otomata adalah mesin abstrak yang dapat mengenali (recognize), menerima (accept), atau membangkitkan (generate) sebuah kalimat dalam bahasa tertentu.

Beberapa Pengertian Dasar : Simbol adalah sebuah entitas abstrak (seperti halnya pengertian titik dalam geometri). Sebuah huruf atau sebuah angka adalah contoh simbol. String adalah deretan terbatas (finite) simbol-simbol. Sebagai contoh, jika a, b, dan c adalah tiga buah simbol maka abcb adalah sebuah string yang dibangun dari ketiga simbol tersebut. Jika w adalah sebuah string maka panjang string dinyatakan sebagai w dan didefinisikan sebagai cacahan (banyaknya) simbol yang menyusun string tersebut. Sebagai contoh, jika w = abcb maka w = 4. String hampa adalah sebuah string dengan nol buah simbol. String hampa dinyatakan dengan simbol (atau ^) sehingga = 0. String hampa dapat dipandang sebagai simbol hampa karena keduanya tersusun dari nol buah simbol. Alfabet adalah hinpunan hingga (finite set) simbol-simbol

Operasi Dasar StringDiberikan dua string : x = abc, dan y = 123 Prefik string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol paling belakang dari string w tersebut. Contoh : abc, ab, a, dan adalah semua Prefix(x) ProperPrefix string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol paling belakang dari string w tersebut.

Contoh : ab, a, dan adalah semua ProperPrefix(x) Postfix (atau Sufix) string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol paling depan dari string w tersebut. Contoh : abc, bc, c, dan adalah semua Postfix(x) ProperPostfix (atau PoperSufix) string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol paling depan dari string w tersebut. Contoh : bc, c, dan adalah semua ProperPostfix(x) Head string w adalah simbol paling depan dari string w. Contoh : a adalah Head(x) Tail string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan simbol paling depan dari string w tersebut. Contoh : bc adalah Tail(x) Substring string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol paling depan dan/atau simbol-simbol paling belakang dari string w tersebut. Contoh : abc, ab, bc, a, b, c, dan adalah semua Substring(x) ProperSubstring string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol paling depan dan/atau simbol-simbol paling belakang dari string w tersebut. Contoh : ab, bc, a, b, c, dan adalah semua Substring(x) Subsequence string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol dari string w tersebut. Contoh : abc, ab, bc, ac, a, b, c, dan adalah semua Subsequence(x) ProperSubsequence string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol dari string w tersebut. Contoh : ab, bc, ac, a, b, c, dan adalah semua Subsequence(x) Concatenation adalah penyambungan dua buah string. Operator concatenation adalah concate atau tanpa lambang apapun. Contoh : concate(xy) = xy = abc123 Alternation adalah pilihan satu di antara dua buah string. Operator alternation adalah alternate atau . Contoh : alternate(xy) = x = abc atau 123 y Kleene Closure : x* = x xxx = x 2 3 xx x x + = x xxx = x 2 3 Positive Closure : x xx x x Tidak selalu berlaku : x = Prefix(x)Postfix(x) Selalu berlaku : x = Head(x)Tail(x) Tidak selalu berlaku : Prefix(x) = Postfix(x) atau Prefix(x) Postfix(x) Selalu berlaku : ProperPrefix(x) ProperPostfix(x) Selalu berlaku : Head(x) Tail(x)

Beberapa Sifat Operasi

Setiap Prefix(x), ProperPrefix(x), Postfix(x), ProperPostfix(x), Head(x), dan Tail(x) adalah Substring(x), tetapi tidak sebaliknya Setiap Substring(x) adalah Subsequence(x), tetapi tidak sebaliknya Dua sifat aljabar concatenation : Operasi concatenation bersifat asosiatif : x(yz) = (xy)z Elemen identitas operasi concatenation adalah : x = x = x Tiga sifat aljabar alternation : Operasi alternation bersifat komutatif : x = y y x Operasi alternation bersifat asosiatif : x z) = (x z (y y) Elemen identitas operasi alternation adalah dirinya sendiri : x = x x Sifat distributif concatenation terhadap alternation : x (y = xy z) xz Beberapa kesamaan : Kesamaan ke-1 : (x*)* = x* Kesamaan ke-2 : x + = x + = x* Kesamaan ke-3 : (x = x xx xy = semua string yang y)* y yy yx merupakan concatenation dari nol atau lebih x, y, atau keduanya.

GRAMMAR DAN BAHASAKonsep Dasar

Anggota alfabet dinamakan simbol terminal.

Kalimat adalah deretan hingga simbol-simbol terminal.

Bahasa adalah himpunan kalimat-kalimat. Anggota bahasa bisa tak hingga kalimat.

Simbol-simbol berikut adalah simbol terminal : huruf kecil, misalnya : a, b, c, 0, 1, .. simbol operator, misalnya : +, dan , simbol tanda baca, misalnya : (, ), dan ; string yang tercetak tebal, misalnya : if, then, dan else.

Simbol-simbol berikut adalah simbol non terminal /Variabel : huruf besar, misalnya : A, B, C

huruf S sebagai simbol awal string yang tercetak miring, misalnya : expr Huruf yunani melambangkan string yang tersusun atas simbol-simbol terminal atau simbol-simbol non terminal atau campuran keduanya, misalnya : , , dan . Sebuah produksi dilambangkan sebagai , artinya : dalam sebuah derivasi dapat dilakukan penggantian simbol dengan simbol . Derivasi adalah proses pembentukan sebuah kalimat atau sentensial. Sebuah derivasi dilambangkan sebagai : .

Sentensial adalah string yang tersusun atas simbol-simbol terminal atau simbol-simbol non terminal atau campuran keduanya.

Kalimat adalah string yang tersusun atas simbol-simbol terminal. Kalimat adalah merupakan sentensial, sebaliknya belum tentu..

Grammar :Grammar G didefinisikan sebagai pasangan 4 tuple : V T , V N , S, dan P, dan dituliskan sebagai G(V T , V N , S, P), dimana : V T : himpunan simbol-simbol terminal (alfabet) kamus V N : himpunan simbol-simbol non terminal SV N : simbol awal (atau simbol start) P : himpunan produksi Contoh : 1. G1 : VT = {I, Love, Miss, You}, V N = {S,A,B,C},

P = {S ABC, A I, B Love | Miss, C You} S ABC IloveYou L(G1)={IloveYou, IMissYou} 2. . G2 : VT = {a}, V N = {S}, P = {S aSa} S aS aaS aaa

L(G2) ={an n 1}

L(G2)={a, aa, aaa, aaaa,}

Klasifikasi ChomskyBerdasarkan komposisi bentuk ruas kiri dan ruas kanan produksinya ( ), Noam Chomsky mengklasifikasikan 4 tipe grammar : 1. Grammar tipe ke-0 : Unrestricted Grammar (UG) Ciri : , (V T N )*, > 0 V 2. Grammar tipe ke-1 : Context Sensitive Grammar (CSG) Ciri : , (V T N ) *, 0 < V 3. Grammar tipe ke-2 : Context Free Grammar (CFG) Ciri : V N , (V T N )* V 4. Grammar tipe ke-3 : Regular Grammar (RG) Ciri : V N , {V T , V T V N } atau V N , {V T , VN VT } Tipe sebuah grammar (atau bahasa) ditentukan dengan aturan sebagai berikut : A language is said to be type-i (i = 0, 1, 2, 3) language if it can be specified by a type-i grammar but cant be specified any type-(i+1) grammar. Contoh Analisa Penentuan Type Grammar1.

Grammar G 1 dengan P 1 = {S aB, B bB, B b}.

Ruas kiri semua produksinya terdiri dari sebuah V N maka G 1 kemungkinan tipe CFG atau RG. Selanjutnya karena semua ruas kanannya terdiri dari sebuah V T atau string V T V N maka G 1 adalah RG(3).

2.

Grammar G 2 dengan P 2 = {S Ba, B Bb, B b}.

Ruas kiri semua produksinya terdiri dari sebuah V N maka G 2 kemungkinan tipe CFG atau RG. Selanjutnya karena semua ruas kanannya terdiri dari sebuah V T atau string V N V T maka G 2 adalah RG(3).3.

Grammar G 3 dengan P 3 = {S Ba, B bB, B b}.

Ruas kiri semua produksinya terdiri dari sebuah V N maka G 3 kemungkinan tipe CFG atau RG. Selanjutnya karena ruas kanannya mengandung string V T V N (yaitu bB) dan juga string V N V T (Ba) maka G 3 bukan RG, dengan kata lain G 3 adalah CFG(2).4.

Grammar G 4 dengan P 4 = {S aAb, B aB}.

Ruas kiri semua produksinya terdiri dari sebuah V N maka G 4 kemungkinan tipe CFG atau RG. Selanjutnya karena ruas kanannya mengandung string yang panjangnya lebih dari 2 (yaitu aAb) maka G 4 bukan RG, dengan kata lain G 4 adalah CFG.5.

Grammar G 5 dengan P 5 = {S aA, S aB, aAb aBCb}.

Ruas kirinya mengandung string yang panjangnya lebih dari 1 (yaitu aAb) maka G 5 kemungkinan tipe CSG atau UG. Selanjutnya karena semua ruas kirinya lebih pendek atau sama dengan ruas kananya maka G 5 adalah CSG.

6.

Grammar G 6 dengan P 6 = {aS ab, SAc bc}.

Ruas kirinya mengandung string yang panjangnya lebih dari 1 maka G 6 kemungkinan tipe CSG atau UG. Selanjutnya karena terdapat ruas kirinya yang lebih panjang daripada ruas kananya (yaitu SAc) maka G 6 adalah UG.

Derivasi Kalimat dan Penentuan BahasaTentukan bahasa dari masing-masing gramar berikut :1.

G 1 dengan P 1 = {1. S aAa, 2. A aAa, 3. A b}. Jawab : Derivasi kalimat terpendek : S aAa (1) aba (3) Derivasi kalimat umum : S aAa (1) aaAaa (2) a n Aa n (2) n n a ba (3)

Dari pola kedua kalimat disimpulkan : L 1 (G 1 ) = { a n ba n n 1} G 2 dengan P 2 = {1. S aS, 2. S aB, 3. B bC, 4. C aC, 5. C a}.2.

Jawab : Derivasi kalimat terpendek : S aB (2) abC (3) Derivasi kalimat umum : S aS (1)

aba

(5)

a n -1 S a n B a n bC a n baC a n ba m -1 C a n ba m

(1) (2) (3) (4) (4) (5)

Dari pola kedua kalimat disimpulkan : L 2 (G 2 )={a n ba m 1, n m 1} G 3 dengan P 3 = {1. S aSBC, 2. S abC, 3. bB bb, 4. bC bc, 5. CB BC, 6. cC cc}. Jawab : Derivasi kalimat terpendek 1: Derivasi kalimat terpendek 3: S abC (2) S aSBC (1) abc (4) aaSBCBC (1) Derivasi kalimat terpendek 2 : aaabCBCBC (2) S aSBC (1) aaabBCCBC (5) aabCBC (2) aaabBCBCC (5) aabBCC (5) aabcBC (4) aaabBBCCC (5) aabbCC (3) aaabbBCCC (3) aabbcC (4) aaabbbCCC (3) aabbcc (6) aaabbbcCC (4) aaabbbccC (6) aaabbbccc (6) Dari pola ketiga kalimat disimpulkan : L 3 (G 3 ) = { a n b n c n n 1}

3.

Menentukan Grammar Sebuah Bahasa1.

Tentukan sebuah gramar regular untuk bahasa L 1 = { a n n 1} Jawab : P 1 (L 1 ) = {S aS a}

2. Tentukan sebuah gramar bebas konteks untuk bahasa : L 2 : himpunan bilangan bulat non negatif ganjil Jawab : Langkah kunci : digit terakhir bilangan harus ganjil. Vt={0,1,2,..9} Vn ={S, G,J} P={SHT|JT|J; TGT|JT|J; H2|4|6|8; G0|2|4|6|8;J1|3|5| 7|9} P={SGS|JS|J; G0|2|4|6|8;J1|3|5|7|9}

Buat dua buah himpunan bilangan terpisah : genap (G) dan ganjil (J) P 2 (L 2 ) = {S J JS, G 0 4 8, J 1 5 9} GS 2 6 3 7

3. Tentukan sebuah gramar bebas konteks untuk bahasa : A. L 3 = himpunan semua identifier yang sah menurut bahasa pemrograman Pascal dengan batasan : terdiri dari simbol huruf kecil dan angka, panjang identifier boleh lebih dari 8 karakter Jawab : Langkah kunci : karakter pertama identifier harus huruf. Buat dua himpunan bilangan terpisah : huruf (H) dan angka (A) SHT|H;THT|AT|H|A; Ha|..|z; A0|..|9

P 3 (L 3 ) = {S H HT, T AT H HT A, H a c b , A 0 2 1 }

4. Tentukan gramar bebas konteks untuk bahasa L 4 (G 4 ) = {a n b m n,m 1, n m} Jawab : Langkah kunci : sulit untuk mendefinisikan L 4 (G 4 ) secara langsung. Jalan keluarnya adalah dengan mengingat bahwa x y berarti x > y atau x < y. L 4 = L A L B , L A ={a n b m > m 1}, L B = {a n b m n 1 n < m}.

P A (L A ) = {A aA C aCb aC, ab}, Q(L B ) = {B Bb Db, D aDb ab} P 4 (L 4 ) = {S A A aA B, aC, C aCb B Bb ab, Db, D aDb ab} 5. Tentukan sebuah gramar bebas konteks untuk bahasa : L 5 = bilangan bulat non negatif genap. Jika bilangan tersebut terdiri dari dua digit atau lebih maka nol tidak boleh muncul sebagai digit pertama. Jawab : Langkah kunci : Digit terakhir bilangan harus genap. Digit pertama tidak boleh nol. Buat tiga himpunan terpisah : bilangan genap tanpa nol (G), bilangan genap dengan nol (N), serta bilangan ganjil (J). P 5 (L 5 ) = {S N GA A N JA, NA G 2 6 JA, 4 8, N 0 4 8, J 1 5 9} 2 6 3 7

B.

Mesin Pengenal Bahasa

Untuk setiap kelas bahasa Chomsky, terdapat sebuah mesin pengenal bahasa. Masing-masing mesin tersebut adalah : Kelas Bahasa Unrestricted Grammar (UG) Context Sensitive Grammar (CSG) Context Free Gammar (CFG) Regular Grammar, RG Mesin Pengenal Bahasa Mesin Turing (Turing Machine), TM Linear Bounded Automata, LBA Pushdown Automata, PDA Finite State Automata, FSA

FINITE STATE AUTOMATA (FSA)

FSA didefinisikan sebagai pasangan 5 tupel : (Q, , , S, F). Q : himpunan hingga state : himpunan hingga simbol input (alfabet) : fungsi transisi, menggambarkan transisi state FSA akibat pembacaan simbol input. Fungsi transisi ini biasanya diberikan dalam bentuk tabel. S Q : state AWAL F Q : himpunan state AKHIR Contoh : FSA untuk mengecek parity ganjil Q ={Gnp, Gjl} diagram transisi = {0,1}tabel transisi

0 1 Gnp Gnp Gjl Gjl Gjl Gnp

S = Gnp, F = {Gjl}

Ada dua jenis FSA : Deterministic

finite automata (DFA) Non deterministik finite automata.(NFA) - DFA : transisi state FSA akibat pembacaan sebuah simbol bersifat tertentu.

-

: Q Q NFA : transisi state FSA akibat pembacaan sebuah simbol bersifat tak tentu. : Q 2Q

DFA :Q = {q0, q1, q2} diberikan dalam tabel berikut : = {a, b} S = q0 F = {q0, q1}q0 a

q0 q1 q2

a b q0 q1 q0 q2 q2 q2q1 b

a a q2 b

b

Kalimat yang diterima oleh DFA : a, b, aa, ab, ba, aba, bab, abab, baba Kalimat yang dittolak oleh DFA : bb, abb, abba DFA ini menerima semua kalimat yang tersusun dari simbol a dan b yang tidak mengandung substring bb. Contoh : Telusurilah, apakah kalimat-kalimat berikut diterima DFA di atas : abababaa diterima aaaabab diterima aaabbaba ditolak

Jawab :i)

Tracing berakhir di q0 (state AKHIR) kalimat abababaa diterima

(q0,abababaa) (q0,bababaa) (q1,ababaa) (q0,babaa) (q1,abaa) (q0,baa) (q1,aa) (q0,a) q0

ii)

(q0, aaaabab) (q0,aaabab) (q0,aabab) (q0,abab) (q0,bab) (q1,ab) (q0,b) q1 Tracing berakhir di q1 (state AKHIR) kalimat aaaababa diterima (q0, aaabbaba) (q0, aabbaba) (q0, abbaba) (q0, bbaba) (q1,baba) (q2,aba) (q2,ba) (q2,a) q2 Tracing berakhir di q2 (bukan state AKHIR) kalimat aaabbaba ditolak

iii)

Kesimpulan : sebuah kalimat diterima oleh DFA di atas jika tracingnya berakhir di salah satu state AKHIR.

NFA :Berikut ini sebuah contoh NFA (Q, , , S, F). dimana : Q = {q 0 , q 1 , q 2 ,q 3 , q 4 } diberikan dalam tabel berikut : = {a, b,c} a b c

S = q0 F = {q 4 }

q0 q1 q2 q3 q4

{q 0 , q 1 } {q 1 , q 4 } {q 2 } {q 3 }

{q 0 , q 2 } {q 1 } {q 2 , q 4 } {q 3 }

{q 0 , q 3 } {q 1 } {q 2 } {q 3 , q 4 }

Ilustrasi graf untuk NFA adalah sebagai berikut :a, b, c a q0 c q3 a, b, c b b q2 a, b, c c q4 q1 a a, b, c

kalimat yang diterima NFA di atas : aa, bb, cc, aaa, abb, bcc, cbb kalimat yang tidak diterima NFA di atas : a, b, c, ab, ba, ac, bc Sebuah kalimat di terima NFA jika : salah satu tracing-nya berakhir di state AKHIR, atau

himpunan state setelah membaca string tersebut mengandung state AKHIR Contoh : Telusurilah, apakah kalimat-kalimat berikut diterima NFA di atas : ab, abc, aabc, aabb Jawab : 1. (q 0 ,ab) (q 0 ,b) (q 1 ,b) {q 0 , q 2 } {q 1 } = {q 0 , q 1 , q2} Himpunan state TIDAK mengandung state AKHIR kalimat ab tidak diterima 2. (q 0 ,abc) (q 0 ,bc) (q 1 ,bc) { (q 0 ,c) (q 2 ,c)}(q 1 , c) {{ q 0 , q 3 }{ q 2 }}{ q 1 } = {q 0 , q 1 , q 2 ,q 3 } Himpunan state TIDAK mengandung state AKHIR kalimat abc tidak diterima 3. (q 0 ,aabc) (q 0 ,abc) (q 1 ,abc){ (q 0 ,bc) (q 1 ,bc)} (q 1 ,bc) {{ (q 0 , c) (q 2 ,c)} (q 1 , c)} (q 1 , c) {{{ q 0 , q 3 } { q 2 }} {q 1 }} {q 1 } = {q 0 , q 1 , q 2 ,q 3} Himpunan state TIDAK mengandung state AKHIR kalimat aabc tidak diterima 4. (q 0 ,aabb) (q 0 ,abb) (q 1 ,abb) { (q 0 ,bb) (q 1 ,bb)} (q 1 ,bb) {{ (q 0 , b) (q 2 ,b)} (q 1 , b)} (q 1 , b)

{{{ q 0 , q 2 } { q 2 , q 4 }} {q 1 }} {q 1 } = {q 0 , q 1 , q2, q4} Himpunan state mengandung state AKHIR kalimat aabb diterimaPengertian Graph Definisi Suatu graph didefinisikan oleh himpunan verteks dan himpunan sisi (edge). Verteks menyatakan entitas-entitas data dan sisi menyatakan keterhubungan antara verteks. Biasanya untuk suatu graph G digunakan notasi matematis G = (V, E) V adalah himpunan verteks dan E himpunan sisi yang terdefinisi antara pasanganpasangan verteks. Sebuah sisi antara verteks x dan y ditulis {x, y}. Suatu graph H = (V1, E1) disebut subgraph dari graph G jika V1 adalah himpunan bagian dari V dan E1 himpunan bagian dari E. Digraph & Undigraph Graph Berarah (directed graph atau digraph): jika sisi-sisi pada graph, misalnya {x, y} hanya berlaku pada arah-arah tertentu saja, yaitu dari x ke y tapi tidak dari y ke x; verteks x disebut origin dan vertex y disebut terminus dari sisi tersebut. Secara grafis maka penggambaran arah sisi-sisi digraph dinyatakan dengan anak panah yang mengarah ke verteks terminus, secara notasional sisi graph berarah ditulis sebagai vektor dengan (x, y). graph di samping ini adalah suatu contoh Digraph G = {V, E} dengan V = {A, B, C, D, E, F, G, H, I,J, K, L, M} dan E = {( (A,B),(A,C), (A,D), (A,F), (B,C), (B,H), (C,E), (C,G), (C,H), (C,I), (D,E), (D,F), (D,G), (D,K), (D,L), (E,F), (G,I), (G,K), (H,I), (I,J), (I,M), (J,K), (J,M), (L,K), (L,M)}. Graph Tak Berarah (undirected graph atau undigraph): setiap sisi {x, y} berlaku pada kedua arah: baik x ke y maupun y ke x. Secara grafis sisi pada undigraph tidak memiliki mata panah dan secara notasional menggunakan kurung kurawal. graph di samping ini adalah suatu contoh Undigraph G = {V, E} dengan V = {A, B, C, D, E, F, G, H, I,J, K, L, M} dan E = { {A,B},{A,C}, {A,D}, {A,F}, {B,C}, {B,H}, {C,E}, {C,G}, {C,H}, {C,I}, {D,E}, {D,F}, {D,G}, {D,K}, {D,L}, {E,F}, {G,I}, {G,K}, {H,I}, {I,J}, {I,M}, {J,K}, {J,M}, {L,K}, {L,M}}. Dalam masalah-masalah graph undigraph bisa dipandang sebagai suatu digraph dengan mengganti setiap sisi tak berarahnya dengan dua sisi untuk masing-masing arah yang berlawanan.

Undigraph di atas tersebut bisa dipandang sebagai Digraph G = {V, E} dengan V = {A, B, C, D, E, F, G, H, I,J, K, L, M} dan E = { (A,B),(A,C), (A,D), (A,F), (B,C), (B,H), (C,E), (C,G), (C,H), (C,I), (D,E), (D,F), (D,G), (D,K), (D,L), (E,F), (G,I), (G,K), (H,I), (I,J), (I,M), (J,K), (J,M), (L,K), (L,M), (B,A), (C,A), (D,A), (F,A), (C,B), (H,B), (E,C), (G,C), (H,C), (I,C), (E,D), (F,D), (G,D), (K,D), (L,D), (F,E), (I,G), (K,G), (I,H), (J,I), (M,I), (K,J), (M,J), (K,L), (M,L)} Selain itu, berdasarkan definisi ini maka struktur data linear maupun hirarkis adalah juga graph. Node-node pada struktur linear atupun hirarkis adalah verteks-verteks dalam pengertian graph dengan sisi-sisinya menyusun node-node tersebut secara linear atau hirarkis. Sementara kita telah ketahui bahwa struktur data linear adalah juga tree dengan pencabangan pada setiap node hanya satu atau tidak ada. Linear 1-way linked list adalah digraph, linear 2-way linked list bisa disebut undigraph. Pohon biner adalah sebuah tree yang pada masingmasing simpulnya hanya dapat memiliki maksimum 2 (dua) simpul anak. Tidak boleh lebih. Pada pohon biner, umumnya kedua node anak disebut dengan posisinya, yaitu kiri dan kanan.

Sifat Bilangan di 05:53 Sifat Komutatif

Dalam penjumlahan dan perkalian, angka yang akan dijumlahkan atau dikalikan dapat dibolak balik : 5 + 2 = 7 dan 2 + 5 = 7 5 x 2 = 10 dan 2 x 5 = 10 Ini adalah merupakan sifat komutatif, yaitu jika angka yang akan dijumlahkan atau dikalikan menghasilkan hasil yang sama. Dalam sebuah variable dapat dituliskan : a+b=b+a axb=bxa sifat ini tidak berlaku pada operasi pengurangan dan pembagian. Contoh : 5 2 = 3 sedangkan 2 5 = -3 4 : 2 = 2 sedangkan 2 : 4 = 0,5

Sifat Asosiatif Dalam operasi penjumlahan dan perkalian pada tiga bilangan, tidak menjadi masalah apakah anda menggabungkan dua bilangan pertama kemudian bilangan ketiga, atau jika anda mulai dengan menggabungkan bilangan kedua dan ketiga baru kemudian bilangan pertama. Contoh : 5 + ( 3 + 6 ) = 14 dan ( 5 + 3 ) + 6 = 14 5(3x6) = 90 dan (5x3)6 = 90

Dalam bentuk variable dapat dituliskan sebagai berikut a+(b+c)=(a+b)+c a(b xc ) = (axb)c sedangkan pada operasi pengurangan dan pembagian sifat asosiatif tidak berlaku.

Sifat Distributif Perkalian dapat didistribusikan pada operasi penjumlahan atau pembagian. Contoh : 3( 4 + 5 ) = 3 x 9 = 27 dan 3(4) + 3(5) = 12 + 15 = 27 Dalam bentuk variable dapat dinyatakan dengan : a( b + c ) = a(b) + a(c) pada operasi pambagian tidak dapt di distribusikan pada operasi penjumlahan ataupun operasi pengurangan.