teorh 1 ( elasticitgtii

' ,!,. a

1 'I. si introdricere , ,C inc., w

t '-9

'1 - -- - -- - - s"='

deformabile 1

C U B R I N S U L

Capitold 6 . TEORIA ELEMENTARK A BAREI DREPTE . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 6.1. Statica barei drepte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1. Introducere

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2. Bars dreapt5 . . . . . . . . . . . . 5 6.2. Solicitgri elastice elementare ale barei drepte

6.2.1. Solicit5ri axiale simple . Forfecare simp15 . Solicitare uniform& . . 6.2.2. fncovoierea bwei drepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3. Bare pe mediu elastic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4. Rgsucirea barei drepte de sectiune circular5 . . . . . . . . . .

5 6.3. Solicitgri neelastice elementare ate barei drepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1. fncovoierea simp15 elastoplastic5 a barei drepte

6.3.2. fncovoierea cu forfecare elastoplastic& a barei drepte . . . . 6.3.3. Solicitgri compuse elastoplastice ale barei drepte . . . . . . : . 6.3.4. R5sucirea elastoplastic& a barei drepte de sectiune circular5 . . . 6.3.5. Solicitari vhcoelastice elementare ale barei drepte . . . . . . . .

csp i to l~ l7 . PROBLEME F U N D ~ E N T A L E ALE BAREI D ~ P T E .

3 7.1. Problemele plan& $i antiplaxi5 ale barei drepte . . . . . . . 7.1.1. Problema plan& a teoriei elasticitiltii . . . . . . . . . . . . 7.1.2. Problemele antiplane ale teoriei elasticitgqi . . . . . . . . . .

5 7.2. Problems lui int.Venant . Problema lui Almansi . . . . . . . . . . ? 7.2.1. Problema lui Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2. Problema lui Almansi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

$ 7.3. Probleme bidimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1. Cazul h care o tensiune normal& este nul& . . . . . . . 7.3.2. Cazul h care doug tensiuni tangentiale sfnt nule . .

Capitolul 8 . RASUCIREA ELASTICA A BARE1 DREPTE . . . . . . . . . 5 8.1. Rbucirea elastic& a barei drepte de secqune oarecare . . . . . . . .

8.1.1. Pormul&ri prin functii potengal . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.2. Analogii cu alte probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.3. Integrale particulare ale ecuatiei armonice . . . . . . . . . . .

5 8.2. Solutii Pn problema rkucirii elastice a barei drepte . . . . . . . . . 8'2.1. Solutii elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2. Solutii aproximative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.3. Bare cu pereg subtiri . . . . : . . . . . . . . . . . . . . 8.2.4. Aplicarea metodelor variationale de calcul . . . . . . . . . . . 83.5. Aplicarea metodei functiilor de variabilg complex& . . . . . . 8.2.6. Aplicarea metodei fiferentelor finite . . . . . . . . . . . . . .

Anex& . NOTIUNI DESPRE FUNC'J'II&E DE VARIABIL~ COMPLEX^. DE CALCUL CU DIFE-N'J'E FINITE . . . . . . . . . . . $ A.4. Noguni despre funcgile de variabilg complex& . . . . . .

A.4.1. Rezultate generale . . . . . . . . . . . . . A.4.2. Probleme la limit& . ReprezentHri conforme .

. . . . . 5 A.5. Tehnici de calcul cu diferente finite . . . . . . . A.5.1. Ecuatii diferentiale ordinare

A.5.2. Ecuavi diferentiale cu derivate partiale . .

BIBLIOGRAFIE . . . . . . . . . . . . . . . . . .

TEHNICI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .

. . .

INDICE TEMATIC .

T H E O R Y O F E L A S T I C I T Y A N D I N T R O D U C T I O N T O M E C H A N I C S O F S O L I D S

C O N T E N T S

P a r t I1 .

STRAIGHT BARS

Chn)i.r 6 . ELEMENTARY THEORY OF THE STRAIGHT BAR .

f 6.1. Statics of the straight bar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2. Straight bar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 6.2. Elementary stresses oi the straight bar . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1. Pure axial stresses . Pure shear. Uniform stress . . . . 6.2.2. Bending of the straight bar . . . . . . . . . . . . . 6.2.3. Bars on elastic foundation . . . . . . . . . , . . . . 6.2.4. Torsion of the straight bw of circular cross.section . . .

5 6.3. Elementary inelastic stresses of the straight bar . . . . . . . . . . .6.3.1. Elastic-plastic pure bending of the straight bar . . . . . . . . 6.3.2. Elastic-plastic bending with shear of the straight bar . . . . . . 6.3.3. Elastic-plastic combined stresses of the straight bm . . . . . . 6.3.4. Elastic-plastic torsion of the straight bar of drcnlar cross-section

. . . . . . 6.3.5. Elementary viscoelastic stresses of the straight bar

CB.pter 7 . BASIC PROBLEMS OF THE STRAIGHT BAR . . . . . . .

$ 7.1. Plane and antiplane problems of the straight bar . . . . . . . 7.1.1. Plane problem of the th6ory of elastidty . . . . . . . . . . . 7.1.2. Antiplane problems of the theory of elasticity . . . . . . . . .

f 7.2. Saint-Venant's problem . Almansi's problem . . . . . . . . . . . . . 7.2.1. Saint-Venant's problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2. Almansi's problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 7.3. Two-dimensional problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1. Case of a zero normal stress . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2. Case of two zero tangential stresses . . . . . . . . . . . .

Chapter 8 . ELASTIC TORSION OF THE STRAIGHT BAR . . $ 8.1. Elastic torsion of the straight bar of arbitrary moss-section . . . .

8.1.1. Formulations by the aid of potential functions . . . . . . . . .l. 2. Analogies with other problems . . . . . . . . . . . . . . . . !. 1.3. ~artihular integrals of the harmonic equation . . . . . . . . .

$8.2. Solutions in the problem of elastic torsion of the straight bar . . . . 8.2.1. Elementary solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2. Approximate solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.3. Thin tubes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.4. Application of variational calculus . . . . . . . . . . . . . . 8.2.5. Application of the method of complex variable functions . . . . 8.2.6. Application of the finite difference method . . . . . . . . . .

Appendix . NOTIONS ON THE FUNCTIONS OF A COMPLEX VARIABLE . FINITE . . . . . . . . . . . . . . DIFFERENCE CALCULUS TECHNIQUES

5 A.4. Notions on the functions of a complex variable . . A.4.1. General results . . . . . . . . . . . . . . A.4.2. Boundary value problems . Conformal mapping . . . . .

§ A.5. Finite difference calculus techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . A . 5.1. Ordinary differential equations . . . . .

. . . . . . . . . A.5.2. Partial differential equations . . . . .

BIBLIOGRAPHY . . . . . . . . . . . . . .

NAME INDEX

SUBJECT INDEX . .

Lucrarea pe care o prezerttcim Publicului cititor este dedtcath problernelor mecanicii solidelor elastice ; ea knsd constituie - in acelapi t imp - o intrb- ducere in mecanica solidelor deformabile, punfnd in evident& unele puncte de vedere pi. unele metode de calcul ~tikntifice intr-un domeniu in care metodele simpl$icate sau cu o limit; de valabilitate neprecizatd sint Pncd mult foiosite. Introducerea progrestdui tehnic p i , mai ales, necesitatea realiza'rii unor construc#ii atlt in condi!ii de func/ionalitate sigurd, cit ~i folosznd min imum de muterial, ceea ce se cere imperios d in punct de vedere economic, impzln o cunoaptere aprofundatd a tabloului stdrii de tensiune p i stcirii de deforma/ze, care apar i n timpul exploatcirii construcjiilor respective. Considerdm cri stci- pinirea 9; aplicarea unor cunoptinje avansate d in punct de vedere teoretic sint de o deosebiti importan@ in proiectarea inginereasca' ; intr-adeva'r, ele pot duce ,si duc la realizarea unor prcvederi ale documentelor de partid p i de stat privind economia de materiale de construc/ii, in special de metal p i unele materiale deficitare.

f n general, construc!iile inginere# s-au bazat, in decursul t impulsi , pe metode empirice ; fnceAind d in secolul a1 XVII- lea, s-au obtinut duerite r e z d e t e care pot f i grupate in ceea ce se obipnuiepte sd se numeasca' asta'ii '.' Rezsstenja materialelor", o disciplind ce se bazeaza' pe introducerea %nor rpoteze suplimentare mult simplificatoare. De fapi, denumirea acestei discipline este. improprie, ,,rezistenfa materialelor" corespunzdnd numai unui fenomen mecanic modelat prin ipotezele de rezistenfl clasice ; a m menjionat ins2 aceasti denurnire, ea fiind incd utilizatd En mod cwent. Teoria elasticita'/ii, capitol a1 tnecanicii solidelor deformabile cu un caracter teoretic, izbtdepte sd exprime mai corect fenomenul fizic, ddnd rezultate aprop'ate de realitate, in anumite limite; ea s-a constituit ca ptiinlci de abia la mijlocul secolulzci trecut, fiind p i i+a prezent in continud. dezvoltare.

~ o d e l u l corpului elastic - in special liniar elastic - este unul d in modekle matematice cele mai simple p i , in acelapi t imp, modelul cel mai des utilizai; cu toatd simplitatea lui , chiar acest model de corp real poate conduce la di f ie l tc j i mari de calcul. f n lucrarea de faid sq prezintd pi unele modele simplqicate, tehnice, punind insa' kn evident8 limitele de aplicabi'litate ale acestora ; astfel, modelele respective au fost cuprinse in modelele fundamentale ale, mecaJci i solidelor deformabile (modelul elastic, modelul elastoplastic ~i modclul ~Qscoelastic) .

Mecanica solidelor deformabile contribuie atft la cunoagterea realitdfii fizice inconjurdtoare, d in punct de vedere teoretic, c f t g i la determinarea stirii de solicitare in diferite elemente de construcfie, d in unct de vedere practic. Solidele deformabile a u tnsd un caracter deosebit &? e complex, ' o modelare matematicd a lor nefiind simplli + condudnd adesea la dijic,ultdfi inextricabile de calcul; de aceea, in qpr insu l lucrdrii, pe ltngd unele metode exacte de calcul, a m prezentat g i diferite metode aproximative, punind fn evidenfd modul lor de aplicare 9i exactitatea lor.

Volumul de fafd continua' tematica iEin primul volum, finfnd seama de considerafiile fdcute mai sus; se pune astfel accentul atit pe studiul teoretic al stcivii de solicitare a unui solid deformabil oarecare, cft - mai ales - pe posibilitatea de determinure practicd a-acestei stdri, evaluind, de fiecare datd, aproximafia care se face folosind diferite metode de calcul; siltt folosite litera- tu ia de specialitate cunoscutd, precum + rezultatele personale g i experien!a acumula ti de autori.

Acest volum cuprinde primele capitole (cap. 6-8) din partea a XI-a a lucrdrii, destinatl teoriei barei drepte, o problemd deosebit de importanti atit d in punct de vedere teoretic cit g i d in punct de vedere practic, precum 9i o anexd.

fn capitolul 6 se face o expunere a teoriei ,,elementare1' a barei h p t e , @in aceasta fnfelegind tratarea problemelor prin metode elementare de calcul (solicitGri axiale, incovoiere simpld, rdsucire simpld a barei drepte de secfiune circulari) sau in cadrul unor modele tehnice simplificate, caz insJ in care se utilizeazd metode matematice mult mai pretenfioase (de exemplu, metode de teoria distribufiilar). Pr in prezentarea Cntregii problematici a solicitdrilor simple g i solicitdrilor compuse, atit in domeniul elastic cft pentru modele elastoplastice (curbe caracteristice idealizate) sau pentru modele vfscoelastice, considerdm c i acest capitol poate f i deosebit de util. Dealtfel, multe d in aceste Probleme sint tratate pentru prima datd la noi fn fard, intr-o lucrare de sintezli. Menfiondm g i unele probleme cu caracter special, cum sint barele pe mediu elastic, sau probleme cu caracter neliniar d in punct de vedere geometric ( n u numai fizic), de exemplu deformafia barelor supuse la solicitdri de incwoiere cu forte axiale (at f t in domeniul elastic, c f t g i fn d o m e n i ~ l elasto-plastic).

Capitolul 7 este de o naturd mai teoreticd; aici problema barei drepte este tratatd in ansamblu, ca o problemd antipland, in domeniul elastic. PC lingd Problema lui Saint-Venant, se trateazb + problemele lu i Almansi ~i Almansi-Mickll , rnai +%#in cunosctcte dar deosebit de importante. De ase- menea, se face o largb prezentare a Problemelor bidimensionale ( i n care proble- mele se reduc la determinarea unor funcfii potcnfitzl de numai douii variabile).

Vltimul capitol cuprinde problema rdsucirii elastice a barei drepte de secfiune oarecare. Dupd formularea general;, introducerea a dverite .andogii mecanice 9i electrice etc., se trece la prezentarea solu~iilor exacte g i aprox imdve pentru diferite secfiuni transversale. Profilele cu pereti subfiri (deschise sau incitise - domenii multiplu conexe) sint tratate tn mod special. 0 atenlie deosebitli se acordd metodelor variafionale, metodei funcfiilor de variabild complexd g i mctodei diferen#elor finite, fdcfndu-se aprecieri comparative intre diferite aproximatii de calcul.

Anetexa c u care se incheie volumul este destinata' %nor elemente de teoria functiilor de variabila' complexa' 9; unor noliuni privind tehnicile de calcul cu diferenje f in i t e ; se d a u astfel, fdrd dernonstra/ie, unele rezzcltate de ordin matematic, zltile atit entru lectura pdrfii a 11-a a lucra'rii, c3t y i pentru lectura pdrfilor ulterioare. f' n felul acesta, volumul devine de sine stlititor, pentru Zectwa lui nefiind necesare decz^t cuno9tin~ele de ordin matematic d i n pr imi i a n i a i faculta'[ilor d2.n institutele tehnice superioare.

Bibliografia datd czcprinde, in continuarea celei prezentate in volumul I , volume destinate mecanicii solidelor deformabile in general 9i teoriei elastici- tZ,tii in particular ; ele sz^nt sugerate cititoru141i dornic sG-9; completeze cunoy- tinjele cdpdtate.

Lucrarea este prezentatd riguros d i n pllnct de vedere matematic, afirmafiile fdcute f i ind , in cea m a i mare parte, justificate.

In volumul a1 I I I - lea , partea a I I - a a lucrdrii v a f i completatd cu capi- tole privind incovoierea elasticd a barei drepte, ra'sucirea 9i incovoierea ~ e e l a s - tica' a barei drepte, bare c u pereji subfiri ~i alte probleme privind bara dreaptd.

Lucrarea se adreseazn' unui cerc larg de cititori, f i ind conceputa' z n spiritul integrdrii dintre invd,tZrnz^nt, cercetare ~i prodzlctie. Astfel, ea poate f i utilizatd atit de cevcetdtori d i n domeniul mecanicii corpului solid, care se ocupd cu probleme de rezistenja materialelor, teoria elasticita'/ii, teoria plasticitdfii etc., cit ~i de matematicieni, pe care z i pune in lega'tura' cu unele probleme de calc.ul practic, putind sugera idea in dorneniul matematicilor aplicate. De asemenea, ea se adreseazd inginerilor d i n domeniul construcjiilor civile y i industr ide , d i n dornefiiul construc/iilor de ca'i ferate y i drumuri , a1 construc#iilor de poduri, a1 construc#iilor hidrotelznice etc., care z^ntflnesc probleme de' acest fel. Inginerii d i n domeniul constrzlc/iilor de mayini, de nave, d i n domeniul aviatic etc. pot f i , in mod analog, interesali, f i ind pzcgi 4% legdturi cu Problemele $tiifsfifice ale unor elemente de construc/ie pe care le proiecteazd. Dealtfel, lucrarea poate f i uti l2 ~i 2*n universitdj!i ~i institute tehnice de .invi/dmint saperior .

A UTORII