UNIVERSIDAD TECNOLGICA CENTROAMERICANA - LIU

CLCULO I INTEGRAL MAYO DE 2013 ING. INGRID ROVELO

SERIES INFINITAS.

Definicin Si nu es una sucesin y n

n

i

in uuuuus 3211

entonces la

sucesin ns se llama una serie infinita.

Definicin Sea 1i

iu una serie infinita dada, y sea ns la sucesin de sumas parciales que

define esta serie infinita. Entonces si nn

slim existe y es igual a S , decimos que la

serie dada es convergente y que S es la suma de la serie infinita dada. Si nn

slim no existe decimos que la serie es divergente y la serie no tiene una suma.

Teorema 1 Si la serie infinita 1n

nu es convergente, entonces 0lim nn

u

CRITERIO O PRUEBA DE LA DIVERGENCIA:

Teorema 2 Si 0lim n

n

u, entonces la serie

1n

nu es divergente

Teorema Si 1n

na y 1n

nb son dos series infinitas que difieren solamente en sus m

primeros trminos (es decir, kk ba si mk ), entonces ambas series convergen o ambas series divergen.

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Teorema Sea c cualquier constante distinta de cero,

(i) Si la serie 1n

nu es convergente y su suma es S , entonces la serie

1n

nuc tambin es convergente y su suma es Sc

(ii) Si la serie 1n

nu es divergente, entonces la serie 1n

nuc tambin es

divergente.

Teorema Si 1n

na y 1n

nb son series infinitas convergentes cuyas sumas son S y R

respectivamente, entonces:

(i) 1

)(n

nn ba es una serie convergente y su suma es RS

(ii) 1

)(n

nn ba es una serie convergente y su suma es RS

Teorema Si la serie 1n

na es convergente y la serie 1n

nb es divergente, entonces la

serie 1

)(n

nn ba es divergente.