teoremas con funciones derivables - aula abierta de ... · inclusión del teorema o regla de...

Teoremascon

funciones derivables (Estudio de funciones)

I. E. S. Siete Colinas (Ceuta) Departamento de Matemáticas

Matemáticasde

2º de Bachillerato

Por Javier Carroquino CaZas Catedrático de matemáticas

del I.E.S. Siete Colinas

Ceuta 2006

Teoremas con funciones derivables (estudio de funciones)

Javier Carroquino Cañas

Matemáticas de 2º de bachillerato–•–

Ciencias de la Naturaleza y la SaludTecnología

Teoremas con

funciones derivables( estudio de funciones )

PorJavier Carroquino Cañas

Catedrático de matemáticas

I.E.S. Siete Colinas (Ceuta)Departamento de Matemáticas

Ceuta 2006

© Javier Carroquino CañasI.E.S. Siete Colinas (Departamento de Matemáticas)Teoremas con funciones derivables (estudio de funciones)

Depósito Legal : CE & 127 / 06

ISBN : 84 & 690 & 2657 & 7

Número de Registro :

Ceuta 2006

Prólogo

Se completa el estudio de las funciones reales devariable real con la inclusión de algunos teoremas

válidos para funciones continuas y derivables en ú o enun intervalo de ú que nos permitirán un conocimientomás exhaustivo de aquellas que verifiquen sus hipótesis,logrando así concluir el bloque temático correspondiente,en este nivel, a las funciones de una variable real.

Es de especial interés la posibilidad de encontraralgunos límites de funciones en un punto a o en elinfinito que no podían hallarse con los conocimientosadquiridos en el tema visto con anterioridad “Límites defunciones”, perteneciente a esta colección, gracias a lainclusión del teorema o regla de L´Hôpital, lo quecompleta el estudio de las asíntotas de una función.

Consideramos adecuado que el estudio de estetema sea a continuación de “Aplicaciones de lasderivadas (estudio de funciones)” así como informar deque su nivel corresponde a 2º de bachillerato en lasmodalidades de “Ciencias de la Naturaleza y Salud” y“Científica Tecnológica”, además de aquellos estudiosuniversitarios con contenidos matemáticos en el primercurso.

Matemáticas de 2º de bachillerato Teoremas con funciones derivables....

Índice

Página

1.Introducción ................................................. 12.Teorema sobre la imagen de una función continua............... 1

Ejemplo 1 ................................................. 2Ejercicio 1 ............................................... 3

3.Teorema de Rolle ............................................. 6Ejemplo 2 ................................................. 8Ejercicio 2 ............................................... 9Ejercicio 3 ............................................... 10Ejemplo 3 ................................................. 14

4.Teorema de Cauchy ............................................ 14Ejercicio 4 ............................................... 15Ejemplo 4 ................................................. 17

5.Teorema del valor medio ...................................... 17Ejemplo 5 ................................................. 20Ejercicio 5 ............................................... 21

6.Consecuencias del teorema del valor medio .................... 267.Regla de L´Hôpital ........................................... 27

Ejemplo 6 ................................................. 29Ejercicio 6 ............................................... 30Ejercicio 7 ............................................... 31Ejercicio 8 ............................................... 31Ejercicio 9 ............................................... 32Ejercicio 10 ...............................................33Ejercicio 11 ...............................................33Ejercicio 12 ...............................................34Ejemplo 7 ................................................. 35Ejercicio 13 ...............................................35Ejemplo 8 ................................................. 37Ejercicio 14 .............................................. 38

8.La indeterminación 00 ......................................... 39Ejemplo 9 ................................................. 39Ejercicio 15 ...............................................40

9.La indeterminación 14 ......................................... 41Ejemplo 10 .................................................41Ejercicio 16 ...............................................42

10.La indeterminación 40 ........................................ 42Ejercicio 17 ...............................................43Ejercicio 18 ...............................................44

11.Derivación logarítmica ...................................... 45Ejemplo 11 .................................................46Ejercicio 19 ...............................................46Ejercicio 20 ...............................................47Ejercicio 21 ...............................................47Ejercicio 22 ...............................................48

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 1 Teoremas con funciones derivables....

[ ]( )[ ]( ) { }

f a b Conjunto de todos los numeros de que son imagen de elemento de a b

f a b y x a b que verifica f x y

, & & [ , ]

, [ , ] ( )

=

= ∈ ∃ ∈ = ⊂

R algun

R R

1.Introducción.-Antes de comenzar el estudio de este tema convine que el alumno domine los conceptos

de derivada, límite y continuidad de funciones, así como las técnicas para hallar derivadas,límites y decidir sobre la continuidad de una función en un punto o en un intervalo.

Resulta útil para afianzar conceptos el manejo de la calculadora así como el de algúnsoftware sobre funciones matemáticas que permita la representación gráfica.

2.Teorema sobre la imagen de una función continua.-Si f es una función continua definida en un intervalo cerrado [a,b], entonces el conjunto

imagen (o recorrido) de f es un punto o un intervalo cerrado.Matemáticamente:

Recuerda:f ([a,b]) es el conjunto imagen de la función f correspondiente al intervalo [a,b], es decir,el conjunto en el que “se refleja” [a,b] mediante f. Gráficamente el conjunto [a,b] estaríaen el eje de abcisas, mientras que f ([a,b]) está en el de ordenadas.La forma matemática de definir f ([a,b]) es:

No demostraremos este teorema (que es bastante intuitivo), pero si lo interpretaremos deun modo gráfico.

Teoremascon

funciones derivables(estudio de funciones)

[ ] [ ]( )[ ]( ) [ ]

f a b continuao bien f a b y

o bien f a b y y: ,

,

, ,→ ⇒

= ∈

=

R

R0

1 2


Ejemplo 1.-Sea la función definida de la siguiente forma:

[ ]f

x f x = e x

: ,− →

→

11 R

( )

figura 1.aEn este caso la funcióncontinua f (x) es constante enel intervalo cerrado [a,b], esdecir, f (x)=kpara todo x0[a,b].El conjunto imagen f ([a,b]) esun conjunto formado por unsolo punto, es decir:f ([a,b]) = = {y0ú * ›x0[a,b] que f (x)=y}= { k }dú

figura 1.bEn este caso el conjuntoimagen de la función continuaf es f ([a,b]) = [f (a), f (b)], esdecir un intervalo en el cual elextremo inferior es la imagende a y el extremo superior es laimagen de b. Nótese que estoocurre porque la función esestrictamente creciente en[a,b]. En el caso en que f fueseestrictamente decreciente seríaf ([a,b]) = [f (b), f (a)]

figura 1.cAhora f es una funcióncontinua en [a,b] con unmínimo absoluto en x1 y unmáximo absoluto en x2 por loque el conjunto imagen es:f ([a,b])= [f (x1), f (x2)] = [y1,y2]

siendo:y1 = f (x1) con a < x1 < by2 = f (x2) con a < x2 < b


y f x x x x= = − − + −( ) 10 823210

241700

2 112100

3

¿Podemos asegurar que su conjunto imagen es un punto o un intervalo cerrado?Veamos:

La función f (x) = ex es una funcióncontinua en todo ú. En este caso la funciónestá definida en el intervalo cerrado [&1,1],por lo que podemos asegurar que es continuaen dicho intervalo. Aplicando el teoremaanterior, aseguramos que “el conjuntoimagen de f es un punto o un intervalocerrado”

Además, debemos reconocer a simplevista que f (x) = ex es estrictamente crecienteen ú y, por tanto, lo será en el intervalo[&1,1]. Esto nos permite asegurar que elconjunto imagen de f, restringido al intervalo[&1,1] es el intervalo cerrado [f (&1) , f (1)],es decir:

[ ]( ) [ ]{ } { [ ]

[ ] [ ]

f y x que verifica f x e y f f

e e e

x

por ser estriccreciente

e

− = ∈ ∃ ∈ − = = = − =

= =−

11 11 1 1

1 1

, , ( ) ( ) , ( )

, ,

R

La figura 2 nos muestra una representación aproximada de f (x) = ex restringida a [&1,1],en la que hemos marcado el intervalo imagen (o recorrido) [e&1, e] en el eje de ordenadas.

Ejercicio 1.-El departamento de contabilidad y costes de una empresa productora de aceite ha

obtenido la función que relaciona la cantidad x de aceite producido (en m3) al año con losbeneficios o pérdidas en miles de euros (variable y), siendo dicha función la siguiente:

Se sabe, además, que la capacidad de producción de esa empresa es, como máximo, de52 m3 anuales.

Queremos saber los siguiente:a) ¿Cual es el campo de existencia (o de definición) de esa función?b) ¿Qué beneficio esperamos obtener si la producción fuese de 10 m3 ?c) ¿Qué beneficio esperamos obtener si la producción fuese de 35 m3 ?d) ¿Qué beneficio esperamos obtener si la producción fuese la máxima posible?e) ¿Cuál es el margen de variación del beneficio o pérdida que tiene la empresa en

un año?Solución:a) Del contexto del problema deducimos que la producción posible de aceite oscila entre

un mínimo de 0 m3 y un máximo de 52 m3. Desde un punto de vista matemático seexpresa diciendo que la variable x toma valores dentro del intervalo [0,52], es decir, elcampo de definición o de existencia de la función y = f (x) es el intervalo [0,52].


[ ]0 52 3,( )

f

x y f xcon

x m de aceitey beneficio en milesde euros

→→ =

==

R

x y f= → = = − − ⋅ + ⋅ − ⋅ =

= − − + − = = − = −− − + −

10 10 10 10 10 10

10 20

823210

241700

2 112100

3

82321

2417

11021

210 823 723 11021

42021

( )

x y f= → = = − − ⋅ + ⋅ − ⋅ =

= − − + − = = =− − + −

35 35 10 35 35 35

10 50

823210

241700

2 112100

3

8236

16874

269512

120 1646 5061 269512

60012

( )

x y f

trabajando con decimales

= → = = − − ⋅ + ⋅ − ⋅ =

= = − ′

52 52 10 52 52 52

19 36

823210

241700

2 112100

3( )

[ ]( )[ ]( ) { }

f Conjunto de todos los numeros de que son imagen de elemento de

f y x que verifica f x y

0 52 0 52

0 52 0 52

, & & [ , ]

, [ , ] ( )

=

= ∈ ∃ ∈ = ⊂

R algun

R R

La forma de expresar matemática la relación funcional entre las variables x (producción)e y (beneficio) es:

Desde el punto de vista gráfico, el intervalo de definición de f está representado en el ejede abcisas.

b) Se trata de hallar la imagen de x = 100[0,52]

Interpretamos que habría un beneficio de &20.000 i, es decir, una pérdida.c) Se trata de hallar la imagen de x = 350[0,52]

Interpretamos que habría un beneficio de 50.000 i.d) Como la capacidad máxima de producción es de 52 m3 , se trata de hallar la imagen de

x = 520[0,52]

Interpretamos que si producimos al máximo se obtendría una pérdida de 19.360 ie) Desde un punto de vista práctico y real, nos piden determinar los valores mínimo

(pérdida si es negativo) y máximo (beneficio si es positivo) en el que está comprendidala variable dependiente y. Como la función y = f (x) es polinómica, podemos asegurar quees continua en su campo de existencia [0,52], lo cual no indica que entre esos valoresmínimo y máximo, la variable y puede tomar cualquier valor intermedio.Matemáticamente, aplicando el teorema anterior, no piden que hallemos el conjuntoimagen de la función continua y = f (x), restringido al intervalo cerrado [0,52]:

Como en este caso no podemos asegurar que los extremos (máximo y mínimo) de f (x)se obtengan en los valores x = 0 y x = 52, debemos hallar esos extremos utilizando lasderivadas.Veamos:

Hallamos la primera derivada de f : f x x x′ = − + −( ) 823210

241350

11700

2

Resolvemos la ecuación f ´(x) = 0 :


x fx f

Punto KPunto M

2

1

6 7231 6 7231 22 378237 0951 37 0951 50 9993

6 7231 22 378237 0951 50 9993

= ′ → ′ ≈ − ′= ′ → ′ ≈ ′

⇒

′ − ′′ ′

( )( )

& ( , )& ( , )

minimomaximo

− + − = =

− + − =

− + =

=± −

≈± ′

≈≈ ′≈ ′

823210

241350

11700

2

2

2

1

2

0 210 350 700 2100

33 1446 8230 0

33 1446 8230 0

1446 2090916 108636066

1446 1002 27541166

37 09516 7231

x x m c m

x x

x x

xxx

. . ( , , )

En los puntos (aproximados) [ ][ ]

x

xposibles extremos

1

2

37 0951 0 52

6 7231 0 52

= ′ ∈

= ′ ∈

,

,.

Nótese que los valores no son exactos, es decir, están aproximados a cuatrodecimales.

Hallemos la segunda derivada de f : f x x′ ′ = −( ) 241350

11350

Calculemos los valores de f ´´ (x) para x1 y x2 :x fx f

En x hay

En x hay1

2

1

2

37 0951 37 0951 0 4772 06 7231 6 7231 0 4772 0

= ′ → ′ ′ ′ = − ′ <= ′ → ′ ′ ′ = ′ >

⇒

∗

∗

( ) ...( ) ...

&

&

maximo

minimoInterpretamos lo siguiente: Para una producción (aproximada) de 6´7231 m3 (6723´1 litros) obtenemosel mínimo beneficio posible (podemos sospechar que habrá pérdidas). Para una producción (aproximada) de 37´0951 m3 (37095´1 litros) obtenemosel máximo beneficio posible (podemos sospechar que habrá ganancias)

Ahora calculemos los puntos mínimo y máximo de la curva y = f (x) :

Quede claro que los punto K y M son aproximados.

Interpretamos los resultados obtenidosdel siguiente modo: Para una producción aproximada de6´7231 m3 de aceite al año, obtenemosel mínimo beneficio posible, unap é r d i d a d e 2 2 . 3 7 8 ´ 2 iaproximadamente. Para una producción aproximada de37´0951 m3 de aceite al año,obtenemos el máximo beneficioposible, una ganancia de 50.999´3 iaproximadamente.

En definitiva, el recorrido o imagen dela función y = f (x) restringida alintervalo [0 , 52] es f ([0 , 52]) = [-22´3782 , 50´9993] aproximadamente.

La figura 3 nos muestra un esquema de los resultadosobtenidos (no se trata de la representación de lafunción). Apréciese la imagen [y2,y1] = [f (x2),f (x1)]


3.Teorema de Rolle.-Este sencillo teorema aplicable a funciones continuas y derivables que en un intervalo

cerrado las imágenes de los extremos sean iguales, dice lo siguiente:

En forma matemática:

Demostración:Para la demostración de este teorema necesitaremos aplicar el teorema de Weierstrass

(ver Continuidad de funciones , página 36, de esta colección).

[ ] [ ][ ]

f x continua a b Por el teorema de Weierstrass existe un punto a b

y otro punto a b en los cuales la funcion f x alcanza un k yun m respectivamente es decir f k y f m

( ) , , ,

, & ( ) &

& ( ( ) ( ) ).

⇒ ∈

∈= =

α

βα β

minimomaximo

Vamos a distinguir dos casos:

Caso 1ºk = m . Es decir, los valores mínimo f (α) = k y máximo f (β) = m son iguales.

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ] { [ ]

[ ] [ ]

k de f en a b x a b es f x k

m imo de f en a b x a b es f x m

x a b se verifica que k f x m x a b es k f x m

f x k m es una funcion en a b x a b es f xexisten en estecaso puntos x

por ser k m

= ⇒ ∀ ∈ ≥

= ⇒ ∀ ∈ ≤

∀ ∈ ≤ ≤ ⇒ ∀ ∈ = = ⇒

⇒ = = ⇒ ∀ ∈ ′ = ⇒⇒

=

minimo

Por tanto:

constanteinfinitos

& , , ( )

m&ax , , ( )

, ( ) , ( )

( ) & , , ( )( )

0

0 0 0del ervalo a b tales que f xint ( , ) ( )′ =

Caso 2ºk…m. Evidentemente, en este caso k o m será distinto de f (a) = f (b).

[ ] [ ]Supongamos que es k f a f b

f es continua en a b Por el teorema de Weierstrass x a b f x ksiendo x a y x b por ser f x k f a f b a x b

≠ =

⇒ ∃ ∈ =≠ ≠ = ≠ = ⇒ < < ⇒

( ) ( ).

, , , ( ) ,( ) ( ) ( )

0 0

0 0 0 0

Si f (x) es una función continua en el intervalo cerrado [a,b], derivable en elintervalo abierto (a,b) y tal que f (a) = f (b), entonces existe al menos un punto x0 delintervalo (a,b) tal que el valor de la derivada de f (x) en x0 es cero.

[ ]( )

f x funcion continua en a bf x funcion derivable en a bf a f b

x a b f x( ) & ,( ) & ( , )( ) ( )

, ( )=

⇒ ∃ ∈ ′ =0 0 0


⇒ ∃ ∈ = = ⇒

⇒ ∈ ⇒⇒ ′ =

x a b f x k

La funcion f tiene un relativo en x a bComo f es derivanble en a b debe ser f x

0 0

0 0

( , ) ( ) &

& & ( , )( , ), ( )

minimo

minimo 0

[ ] [ ]Supongamos ahora que esm f a f b

f es continua en a b Por el teorema de Weierstrass x a b f x msiendo x a y x b por ser f x m f a f b a x b

x a b f x mLa funcion tiene un relativo en x a bComo f es derivable en a b debe ser f x

≠ =

⇒ ∃ ∈ =≠ ≠ = ≠ = ⇒ < < ⇒

⇒ ∃ ∈ = = ⇒

⇒ ∈ ⇒⇒ ′

( ) ( ).

, , , ( ) ,( ) ( ) ( )

( , ) ( ) &

& & ( , )( , ), (

0 0

0 0 0 0

0 0

0

0

maximomaximo

) = 0

Veamos ahora la interpretación gráfica de este teorema mediante el dibujo de unassupuestas funciones que verifican las hipótesis. Quede claro que la ocurrencia de las hipótesisgarantiza el cumplimiento de la tesis, pero puede ocurrir que una función no cumpla lascondiciones del teorema de Rolle y, sin embargo, su derivada en un punto x0 sea cero.

figura 4.aEn esta figura hemos representado unasupuesta función f (x) continua en [a,b] ,derivable en (a,b) (debe apreciarse a simplevista) y con f (a) = f (b). Se observa que en el punto M(x0, f (x0)) larecta r tangente a la gráfica tiene pendientecero, es decir, f ´(x0) = 0 con x00(a,b).Obsérvese que únicamente hay un punto de(a,b) en el cual se anula la derivada de f,siendo ese punto un máximo relativo.

figura 4.bEn este caso la función f (x) es continua en[a,b] , derivable en (a,b) y con f (a) = f (b),pero existen dos puntos, x0 y x1, en los quese anulan las primeras derivadas , es decir,f ´(x0) = f ´(x1) = 0. Se observa que en el punto K(x0, f (x0)) lafunción tiene un mínimo y en M(x1, f (x1))un máximo.Las rectas r y s tangentes en los puntos K yM tienen pendientes cero.


figura 5.aEn este caso la función f (x) es constante enel intervalo [a,b], por lo que cumple lashipótesis f (x) continua en [a,b], derivableen (a,b) y f (a) = f (b).Por ser una función constante, se verificaque œx0(a,b) es f ´(x) = 0, esto es, existeninfinitos puntos del intervalo abierto (a,b)en los que la derivada es cero.

figura 5.bNos muestra una función f (x) que nocumple dos de las hipótesis del teorema deRolle, a saber, no es continua en el intervalo[a,b], por ser discontinua en c0[a,b] y no esderivable en (a,b), por no serlo en c0(a,b).No obstante se puede apreciar que existentres puntos x0, x1, x2 0(a,b) en los cuales esf ´(x0) = f ´(x1) = f ´(x2) = 0

La figura 6 nos muestra la gráfica deuna supuesta función f (x) que es continua enel intervalo cerrado [a,b], verifica la igualdadf (a) = f (b), pero no es derivable en elintervalo abierto (a,b) por no serlo en lospuntos x0, x10(a,b).

Nótese que en x0 y x1 la funciónalcanza un mínimo y un máximo, sin embargono se verifica que f ´(x0) = f ´(x1) = 0 al noexistir las derivadas f ´(x0) y f ´(x1).

Se trata del caso de una función queno cumple las hipótesis del teorema de Rolley tampoco la tesis.

Ejemplo 2.-Sea la función definida del siguiente modo:

[ ]1 3

4 12

,

( )

f

x f x x x

→

→ = − +

R

Queremos saber si verifica las hipótesis del teorema de Rolle y, en caso afirmativo, hallarlos puntos del intervalo (1,3) en los que se anula la derivada.Veamos:


[ ]( ) ( )

f x continua en

f x derivable enf f

f

( ) ,

( ) ,( ) ( )

, ( )

−

−− =

⇒ ∃ ∈ − ′ =

1 7

1 71 7

1 7 0α α

3 Comprobemos si verifica las hipótesis del teorema de Rolle:4 Es una función polinómica de grado 2, por lo que esf x x x( ) = − +2 4 1

continua en todo ú y, en consecuencia, lo es en el intervalo cerrado [1,3].4 Las funciones polinómicas son derivables, por lo que podemos asegurar que

existe f ´(x) en (1,3). En concreto es f ´(x) = 2x & 4 œx0(1,3)4 f (1) = 12 & 4·1 + 1 = &2 f (3) = 32 & 4·3 + 1 = &2

f (1) = f (3) = &2Por tanto, la función dada verifica las hipótesis del teorema de Rolle.

3 Podemos asegurar la existencia de un punto (al menos) x00(1,2) tal que f ´(x0) = 0Al observar la función f, nos percatamos de que se trata de una parábola, es decir, elpunto x0 debe se único y coincide con la abcisa de vértice.

f x x x′ = ⇒ − = ⇒ = ∈( ) ( , )0 0 00 2 4 0 2 1 3

Hemos comprobado el teorema deRolle para la función f (x) en el intervalocerrado [1,3]

En la figura 7 hemos representado lagráfica de la función f (x). Nótese que se tratade un trozo de parábola cuyo vértice es elpunto mínimo K(2,&3).

Puede apreciarse que la pendiente de lacurva en el punto K es f ´(2) = 0, esto es, elpunto buscado que verifica el teorema deRolle es x0 =2.

Ejercicio 2.-Dada la función , averiguar si cumple las hipótesis delf x x x x( ) = − + +3 29 11 21

teorema de Rolle en el intervalo [&1,7] y, en caso afirmativo, hallar los puntos de dicho intervaloen los cuales se anula la primera derivada.

Solución:± f (x) es una función polinómica y, por tanto, es continua en todo ú. Como está definida

en el intervalo cerrado [&1,7], podemos asegurar que es continua en dicho intervalo.± La derivada de la función f es f ´(x) = 3x2&18x + 11.Puede apreciarse que existe para

cualquier valor de x, por lo que podemos decir que la función f es derivable en (&1,7).± f (&1) = (&1)3&9·(&1)2 + 11·(&1) + 21 = &1 & 9 & 11 + 21 = 0

f (7) = 73&9·72 + 11·7 + 21 = 343 & 441 + 77 + 21 = 0Por tanto: Es decir, la función

dada, f (x), verificael teorema de Rolleen el intervalocerrado [&1,7]


º Busquemos el punto (o puntos) α :f x

x x xx

x

′ =

− + = ⇒ =± −

=±

== +

= −

( ) 0

3 18 11 018 324 132

618 192

6

3

3

2 14 3

3

24 3

3º Obsérvese que:

( )

( )

x

x

14 3

3

24 3

3

3 5 30940107 1 7

3 0 69059892 1 7

= + = ′ ∈ −

= − = ′ ∈ −

.... ,

.... ,

En la figura 8 hemos representado lagráfica de la función f (x) y podemosapreciar como para x1 se produce unmínimo relativo (punto P), mientrasque para x2 se produce un máximo(punto M). Para comprobarlo bastacon hallar la segunda derivada f ´´(x) = 6x & 18 y ver su signo paracada uno de los valores x1 y x2 :f ´´(x1)= 6 x1 & 18 > 0f ´´(x2)= 6 x2 & 18 < 0Nótese que f (&1) = f (7) = 0

Ejercicio 3.-Considera la función de ecuación y considera el conjunto L de los puntosf x x( ) = −3

de su gráfica comprendidos entre A(α, 0) y B(0,β), siendo A y B los puntos de corte de la gráficade f con los ejes. Considera las distancias entre el origen O(0,0) y los puntos de L.Se pide:

a) Representa gráficamente el conjunto Lb) Elige dos puntos cualesquiera de L (distintos de A y B) y halla sus distancias al

punto O(0,0)c) Define la función de una variable x ( llámala d (x) ) que relaciona la abcisa x de

cualquier punto P(x,y)0L con la distancia de P a O.d) Verifica la función obtenida en c) con los resultados del apartado b)e) Comprueba que la función d (x) verifica el teorema de Rolle en el intervalo [0,3].f) Halla el valor t0(0,3) que verifica la igualdad d´(t) = 0 e interpreta el resultado.g) Haz una interpretación gráfica del resultado obtenido en el apartado anterior.

Solución:a) Puede apreciarse que es una función polinómica de grado 1, por lo quef x x( ) = −3

su gráfica es una recta decreciente por ser su pendiente m = &1.Dibujemos su gráfica para posteriormente determinar el conjunto L.

Existen dos puntos en el intervaloabierto (&1,7) en los cuales seanula la primera derivada de f.


Como se trata de una recta, es suficiente con determinar dos puntos. Decidimos hallar lospuntos A(α, 0) y B(0,β) de corte con los ejes.

3

A f con fA corte con OX

B con fB corte con OY

( , ( )) ( )( , )

( , ) ( )( , )

α α αα α

β ββ β

=− = ⇒ =

=− = ⇒ =

03 0 3 3 0

0 03 0 3 0 3

Por tanto

Por tanto

Dibujamos f (x) y determinamosel conjunto L:

En la figura 9.a hemos dibujadola gráfica de la función y = 3&xque se trata de una recta que pasapor los puntos A(3,0) y B(0,3) quecorresponden a los cortes con losejes.

En la figura 9.b hemos resaltadoel conjunto L, formado por todoslos puntos de la gráfica de f (x)comprendidos entre A y B, esdecir, el segmento de extremosdichos puntos.

Nótese que se forma un triángulorectángulo e isósceles de vérticesOAB, siendo Ô = 90º

Las distancias del origen O a losvértices A y B son:d(O,A) = d(O,B) = 3

Es fácil ver que la distancia desdeO a cualquier otro punto de L esmenor que 3.

b) Recordemos la forma de hallar la distancia entre dos puntos del plano:P x y punto del planoQ x y punto del plano entre P y Q d P Q x x y y

( , )( , ) ( , ) ( ) ( )1 1

2 22 1

22 1

2

= = − + −distancia

Hallemos dos puntos cualesquiera del conjunto L:

Para x y P LPara x y Q L

d O P

d O Q

= → = − = → ∈= → = − = → ∈

⇒

= − + − = ≈ ′

= − + − = ≈ ′

1 3 1 2 1 22 3 2 1 2 1

1 0 2 0 5 2 2361

2 0 1 0 5 2 2361

2 2

2 2

( , )( , )

( , ) ( ) ( )

( , ) ( ) ( )

Se puede apreciar fácilmente que los puntos P(1,2) y Q(2,1) pertenecen a la recta deecuación y = 3&x y, además, están en el conjunto L.


d d O P

d d O Q

( ) ( , )

( ) ( , )

1 5

2 5

= =

= =

c) Imaginemos un punto cualquier P(x,y)0L. Es evidente que la abcisa x de P debe verificar que 0#x#3Por estar P(x,y) en L, está en la recta de ecuación y = 3&xEntonces, es evidente que el punto P(x,y) verificará que es P(x,3&x)0LHallemos la distancia de O a P:

d O P x y x y x x x x( , ) ( ) ( ) ( )= − + − = + = + − = − +0 0 3 2 6 92 2 2 2 2 2 2

Observamos que la distancia del punto O(0,0) al punto P(x,y)0L depende únicamentede la abcisa (x) de P.Si consideramos que el valor de x debe estar entre 0 y 3 (ambos incluidos), podemosdefinir la función que relaciona el punto P(x,y) su distancia a O(0,0) :

[ ]0 3

2 6 92

,

( )& ( , )

d

x d x x xcon la condicion de que P x y

→

→ = + − +

∈

RL

Comprobemos:

( ) ( )

Para x P d d O P

Para x Q d d O Q

Para x H d d O H

= → ∈ → = − + = =

= → ∈ → = − + = =

= → ∈ → = − + = = = ≈ ′

1 1 2 1 2 6 9 5

2 2 1 2 8 12 9 5

9 2 630625

25

135

25

825

125

17325

1735

( , ) ( ) ( , )

( , ) ( ) ( , )

, ( , )

L

L

L

d) En el apartado c) hemos visto que se verifican las igualdades siguientes:

e) Hemos visto que la función d(x) está definida en el intervalo cerrado [0,3] y nos da, paracada x0[0,3] la distancia desde el origen O hasta el punto de L cuya abcisa es x.Veamos si d(x) verifica el teorema de Rolle en [0,3]T ¿Es d(x) continua en [0,3]?El radicando x x es una funcion polinomica de grado parabolaVeamos para que valores se anula

x x x

2 6 9 2

2 6 9 06 36 72

46 36

4

2

2

− +

− + = ⇒ =± −

=± −

∉

& & ( & )& :

R

Observamos que el radicando de la función no se anula end x x x( ) = + − +2 6 92

ningún punto, es decir, su gráfica no corta al eje de abcisas y como su gráfica es unaparábola cuyo vértice es un punto mínimo, se interpreta como que para cualquier valorde x es positiva, es decir, el radicando de d(x) es siempre positivo.Por tanto, la función d(x) es continua en [0,3] ya que:

∀ ∈= + − + = + ∈

= − + = + − + =

== + ⋅ − ⋅ + = + =

= − + = + ⋅ − ⋅ + = =

→ →

→ →+ +

a esd a a a positivo

d x x x a a d a

Para x esd

d x x x d

x a x a

x x

( , )( )

lim ( ) lim ( )

( )

lim ( ) lim ( )

0 32 6 9

2 6 9 2 6 9

00 2 0 6 0 9 9 3

2 6 9 2 0 6 0 9 3 0

2

2 2

2

0 02 2

R

lo cual es una comprobación de que la imagen de xmediante la función d(x) coincide con la distancia desdeun punto de L de abcisa x hasta el origen O.


d xx

x x

x

x x′ =

−

− +=

−

− +=( )

4 6

2 2 6 9

2 3

2 6 92 2numero positivo o negativo

numero distinto de cero

d tt

t tt t′ =

−

− += ⇒ − = ⇒ = = ′ ∈( ) ( , )

2 2

2 6 90 2 2 0 1 5 0 3

232

d

des decir d d

( )

( ): ( ) ( )

0 2 0 6 0 9 3

3 2 3 6 3 9 30 3

2

2

= + ⋅ − ⋅ + =

= + ⋅ − ⋅ + =

=

Para x esd

d x x x dx x

== + ⋅ − ⋅ + = + =

= − + = + ⋅ − ⋅ + = =

→ →− −

33 2 3 6 3 9 9 3

2 6 9 2 3 6 3 9 3 3

2

3 32 2

( )

lim ( ) lim ( )

Por tanto, “d(x) es continua en el intervalo cerrado [0,3]”

T ¿Es d(x) derivable en (0,3)?Hallemos la derivada de d(x):

Observamos que œx0(0,3) se verifica que d´(x) existe.Por tanto, “d(x) es derivable en el intervalo abierto (0,3)”

T ¿Es d(0) = d(3)?

Conclusión: La función definida en [0,3] verifica eld x x x( ) = + − +2 6 92

teorema de Rolle.

f) Del apartado anterior deducimos que › t 0(0,3) * d´(t) = 0Busquemos el valor de t :

Conclusión: El valor buscado es t = = ′ ∈32 1 5 0 3( , )

Interpretación: En el punto T(1´5 , 1´5)0L se verifica que la distancia de T a O es lamáxima o mínima de todas las distancias de los puntos de L a O.

Es fácil apreciar por la figura 9.b que se trata de una distancia mínima.Hallemos el valor de esa distancia:

( ) ( )d O T d( , ) ....= = + ⋅ − ⋅ + = + − + = = = ′ ≈ ′32

32

2 32

92

32

3 222 6 9 9 9 2 12132034 2 1213

g) Interpretemos gráficamente el resultado:En la figura 10 tenemos la interpretacióngráfica del resultado obtenido en el apartado f)Nótese que T es el punto medio del segmentoAB y el segmento OT es precisamente la altura(sobre la hipotenusa) del triángulo rectánguloAOB, es decir, la menor de las distanciasexistentes entre el punto O y los puntos de L. Eso hace que d´(1´5) = 0 y d´´(1´5)>0


Ejemplo 3.-Sea la función . f x x( ) = 23

Queremos saber si verifica el teorema de Rolle en el intervalo [&1,1]Veamos:3 Recordemos el teorema de Rolle en el caso que nos ocupa:

f x continua enf x derivable enf f

f( ) [ , ]( ) ( , )( ) ( )

( , ) ( )−−

− =

⇒ ∃ ∈ − ′ =

1 11 1

1 11 1 0α α

3 ¿Es f (x) continua en [&1,1]?

Para todo x0[&1,1] f x x positivo o cero( ) = = ∈23 3 R

Para todo a0(&1,1) lim ( ) lim ( )x a x a

f x x a f a→ →

= = = ∈23 23 R

Para x =&1 es ( )lim ( ) lim ( )x x

f x x f→ − → −

++ +

= = − = = = − ∈1 1

23 23 31 1 1 1 R

Para x =1 es ( )lim ( ) lim ( )x x

f x x f→ →

−− −

= = = = = ∈1 1

23 23 31 1 1 1 R

Por tanto, la función f (x) es continua en el intervalo cerrado [&1,1].3 ¿Es f (x) derivable en (&1,1)?

f x x x

f x x xx

( )

( )

= =

′ = = =− −

23

23

1 23 3

23

23

13

23

Conclusión: La función no cumple las hipótesis del teorema de Rolle en elf x x( ) = 23

intervalo [&1,1]. Esto significa que no podemos asegurar que exista un punto αdel intervalo (&1,1) en el cual se anule la derivada. No obstante, puede apreciarsea simple vista que dicho punto no existe.

4.Teorema de Cauchy.-

Matemáticamente lo expresamos del modo:

Observamos que para x = 00(&1,1) ocurre quef ´(0) óú, es decir, la función f no es derivableen el intervalo abierto (&1,1).

f b f ag b g a

fg

( ) ( )( ) ( )

( )( )

−−

=′′

αα

Si f (x) y g(x) son dos funciones continuas en el intervalo cerrado [a,b], derivables en elintervalo abierto (a,b), g(a) … g(b) y sus derivadas f ´(x) y g´(x) no se anulansimultáneamente en ningún punto de (a,b), entonces existe al menos un punto α del intervalo(a,b) tal que:


f x y g x funciones continuas en a bf x y g x derivables en a bg a g b

t a b tal que f t g ta b

f b f ag b g a

fg

( ) ( ) [ , ]( ) ( ) ( , )( ) ( )

( , ) ( ) ( )( , )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

≠/∃ ∈ ′ = ′ =

⇒ ∃ α ∈−−

=′′

0

αα

Demostración:O Definimos la siguiente función en el intervalo [a,b] :

[ ][ ] [ ]

a b

x F x f x g b g a g x f b f a

F,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

→

→ = ⋅ − − ⋅ −

R

O La función F(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] por ser de la forma F(x) = γ f (x) &λ g(x), siendo γ,λ0ú y f (x), g(x) continuas en [a,b], es decir, F (x) es unacombinación lineal de dos funciones continuas.

O La función F (x) es derivable en el intervalo abierto (a,b) ya que por las reglas de laderivación:

F´(x) = [g(b) & g(a)] f ´(x) & [f (b) &f (a)] g´(x) = γ f ´(x) &λ g´(x)donde f ´(x) y g´(x) existen para cualquier valor del intervalo (a,b).

O Además se verifica que F(a) = F(b). En efecto:F(a) = [g(b) & g(a)] f (a) & [f (b) &f (a)] g(a) =

= g(b)·f (a) & g(a)·f (a) & f (b)·g(a) + f (a)· g(a) = g(b)·f (a) & f (b)·g(a)F(b) = [g(b) & g(a)] f (b) & [f (b) &f (a)] g(b) =

= g(b)·f (b) & g(a)·f (b) & f (b)·g(b) + f (a)· g(b) = f (a)· g(b) &g(a)·f (b)Obsérvese que F(a) = F(b) = f (a)· g(b) &g(a)·f (b)

Por tanto, la función F (x) verifica las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalocerrado [a,b], por lo que podemos asegurar que:

∃ α ∈ ′ =( , ) ( )a b F α 0Es decir:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

F g b g a f f b f a gO lo que es lo mismo

g b g a f f b f a gDe donde deducimos quefg

f b f ag b g a

como queriamos demostrar

′ = − ′ − − ′ =

− ′ = − ′

′′

=−−

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ):

( )( )

( ) ( )( ) ( )

&

α α α

α α

αα

0

Ejercicio 4.-Comprobar el teorema de Cauchy en el intervalo cerrado [&3, 2] para las funciones:

f x x

g x x x

( )

( )

= −

= − −

2

2

5

4


Solución:L Tanto f (x) como g(x) son funciones polinómicas de grado 2 (parábolas), por lo que son

continuas en todo ú. Al estar definidas únicamente en el intervalo [&3, 2], podemosasegurar que son continuas en dicho intervalo.

L Las derivadas de f y g son respectivamente:f ´(x) = 2xg´(x) = &2x&4

las cuales existen para cualquier valor x0(&3,2)Por tanto, f y g son derivables en el intervalo abierto (&3,2).

L Veamos si g(&3) … g(2) :g (&3) = &(&3)2 &4·(&3) = &9 + 12 = 3g (2) = &22 & 4·2 = &4 & 8 = &12

Es decir, g(&3) … g(2)L Veamos si las derivadas de f y g se anulan en un mismo punto de (&3,2) :

f ´(x) = 2x = 0 Y x = 0g ´(x) = &2x & 4 = 0 Y x = &2

Es decir, no existe un t 0(&3,2) tal que f ´(t) = g´(t) = 0

Conclusión:

Aseguramos que existe un número α 0(&3,2) tal que fg

f fg g

′′

− −− −=

( )( )

( ) ( )( ) ( )

αα

2 32 3

Hallemos el valor de α :f fg g

( ) ; ( )( ) ; ( )

; ; ; ;

− = = −− = = −

⇒ =

= = = − − = − = −

− −− −

− −

− −−

− − −

3 4 2 13 3 2 12

6 2 4 8 4

22 4

1 412 3

22 4

515

22 4

13

12

αα

αα

αα α α α α

Conclusión:

El valor buscado es , es decir: α = − 12

( )( )

f

gf fg g

′

′− −− −

−

− =1

21

2

2 32 3

( ) ( )( ) ( )

En la figura 11 tenemos representado el problemagráficamente.3 Recuerda que para dibujar las parábolas esconveniente primero determinar los vértices. En estecaso es Vf (0,&5) y Vg (&2,4). Posteriormente, conuna tabla de valores se construyen las curvas.3 Se aprecia como las funciones f(x) y g(x) verificanlas hipótesis del teorema de Cauchy, es decir, soncontinuas en [&3,2], derivables en (&3,2), g(&3) esdistinto de g(2) y no existen dos puntos de lasgráficas, (t , f (t)) y (t , g(t)), en los que laspendientes sean cero (los puntos con la mismaabcisa).3 Hemos dibujado las rectas r y s que correspondena las tangentes a las gráficas en los puntos de abcisaα=&0´5,es decir, P(&0´5,f(&0´5)) y Q(&0´5 , g(&0´5)),esto es, P(&0´5 , &3´8) y Q(&0´5 , 1´75).


Ejemplo 4.-Queremos comprobar el teorema de Cauchy para las funciones s(x)= ex y r(x) = x & 3 en

el intervalo cerrado [0, 3].Veamos:W Las funciones s(x) = ex y r(x) = x & 3 son continuas en todo ú (se aprecia a simple vista

porque conocemos sus gráficas), por lo que son continuas en el intervalo cerrado [0, 3].W Sus funciones derivadas son:

s´(x) = ex y r´(x) = 1 que vemos existen para cualquier valor del intervalo (0, 3)W Observamos que tanto s(x) = ex como r(x) = x & 3 verifican las desigualdades

correspondientes en los extremos del intervalo, es decir:

s e

s es s y

rr r r

( )

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

0 1

30 3

0 33 0 0 3

0

3

= =

=

≠

= −=

≠

Por tanto, cualquiera de las dos puede aparecer en el denominador de la fórmula deCauchy.

W Observamos que no existe un valor t0(0,3) tal que s´(t) = r´(t) = 0 ya que la ecuacións´(x) = ex = 0 no tiene solución y r´(x) = 1… 0.

Conclusión:

Podemos asegurar que ›α0(0,3) tal que sr

s sr r

′′

−−=

( )( )

( ) (( ) (

αα

3 0)3 0)

Hallemos el valor de α :

( ) ( )( )

e e e

e

buscamos

e

Le e Le L e L e

Obtenemos que L e L

α

α

α α

α

α

α

1 0 31

33 3 3

3

3 0

3

1 1 1 1

1 19 0855369 2 94893081

=

=

= − = − ⋅ = −

= − = ′ = ′

−+− tomando logaritmos neperianos

; ;

..... ....Por tanto, el valor de α que verifica el teorema de Cauchy en este caso es:

5.Teorema del valor medio.-Este teorema, también conocido como teorema de los incrementos finitos o teorema de

Lagrange, es una consecuencia del teorema de Cauchy y dice lo siguiente:

Observa que α es un valor intermedio entre a y b, de ahí el nombre del teorema.

α = 2´94893081.... 0 (0,3)

Si f (x) es una función continua en el intervalo cerrado [a,b] yderivable en el abierto (a,b), entonces existe un valor α pertenecientea (a,b) tal que se verifica la igualdad f (b) &f (a) = f ´(α)·(b&a)


Demostración:La demostración de este teorema se basa en aplicar el teorema de Cauchy a las funciones

f (x) e I(x) = x (función identidad).Veamos:3 Sea f (x) una función continua en [a,b] y derivable en (a,b).3 La función I(x) = x (su gráfica es una recta) es continua en cualquier intervalo cerrado

y derivable ( I´(x) = 1) en cualquier intervalo abierto.3 Se verifica que I(a) = a … b = I(b) al ser a < b.3 Es evidente que no existe un valor t0(a,b) tal que f ´(t) = I´(t) = 0 ya que I´(t) = 1 para

cualquier valor t.

Por tanto, se cumplen las hipótesis del teorema de Cauchy para las funciones f (x) e I(x)en el intervalo [a,b] y como consecuencia:

∃ α ∈ =

=

− = ′ −

′′

−−

′ −−

( , )

:

: ( ) ( ) ( ) ( ) &

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

a b

Es decir

Despejando f b f a f b a como queriamos demostrar

f f b f ab a

f f b f ab a

αα

α

α

I I I

1

Especialmente interesante es la interpretación gráfica de este teorema. Veamos:


ff b f a

b a′ =−−( )

( ) ( )α

La figura 12 es una interpretación gráfica del teorema del valor medio. Expliquemos esto:

figura 12.aEsta figura nos muestra la gráfica de unafunción f (x). A simple vista se aprecia que escontinua en el intervalo cerrado [a,b] yderivable en el intervalo abierto (a,b).En este caso ocurre que el valor f(a) es menorque f (b), pero podría ser que f (a) $ f(b) y lainterpretación gráfica ser la misma.

figura 12.bHemos trazado el segmento (cuerda) que unelos puntos de la gráfica A(a,f (a)) y B(b,f (b)).Obsérvese que se forma un triángulorectángulo cuyos catetos miden f (b)&f (a) yb&a.No olvidemos que f (a) y f (b) existen por serla función f continua en [a,b]

figura 12.cEl triángulo ACB es rectángulo, siendo†=90ºDestacamos el ángulo de dicho triángulo quese forma en el vértice A, es decir, Â= β.Si tomamos la tangente de ese ángulo :

tg BCAC

f b f ab aβ = =

−−

( ) ( )

Recordemos que este número ( tg β ) puedeser positivo o negativo. En este caso, por laforma de la gráfica ( β es un ángulocomprendido entre 0º y 90º) es positivo.

figura 12.dSegún el teorema visto, existe un punto α delintervalo (a,b) tal que:

Por la interpretación geométrica de laderivada en un punto, es:

m tg frf b f a

b a= = ′ =−−β α( )

( ) ( )

siendo r la recta tangente a la curva en elpunto P(α , f(α)) y mr su pendiente.Es decir, la recta r y la cuerda AB sonparalelas.

Conclusión a la interpretación gráfica:

Observación:La expresión puede modificarse del siguiente modo:f

f b f ab a′ =

−−( )

( ) ( )α

llamamosa xb x h h

x hentonces f x h f x f x h h

== + >= + ⋅ < <

+ − = ′ + ⋅ ⋅( )( )

( ) ( ) ( )00 1α ϑ ϑ

ϑ

Nótese que al ser 0 < θ < 1 es (x + θ · h)0(x , x + h),por lo que la conclusión del teorema podría ser :›θ0(0,1) tal que f (x + h) & f (x) = f (x + θ · h)·hGráficamente se aprecia en la figura 13 en la quehemos dibujado una gráfica de f (x) que cumple elteorema y además existen dos puntos de (x,x+h),x+θ1·h y x+θ2·h en los que se verifica la igualdad.

Si una función f (x) es continua en [a,b] y derivableen (a,b), entonces existe un punto α0(a,b) tal que la rectatangente a la gráfica de f (x) en el punto P(α , f (α)) es paralelaal segmento que une los puntos A(a,f (a)) y B(b,f (b)).


Ejemplo 5.-Queremos comprobar el teorema del valor medio para la función f (x) = &x2 + 5 en el

intervalo [&3,2]Veamos:

3 Es evidente que la función f (x) = &x2 + 5 es continua en [&3,2] y derivable en (&3,2),por lo que es posible aplicar el teorema.

3 En este ejemplo actuaremos del siguiente modo:Î Dibujaremos la gráfica de la función f (x) y el segmento que une los puntos de

dicha gráfica P(&3, f (&3)) y Q(2 , f (2)).Ï Trazamos, con las herramientas necesarias, la recta (o rectas) paralelas al

segmento PQ que sean tangentes a la gráfica de f (x).Ð Determinaremos el punto (o puntos) de tangencia y damos una aproximación de

la abcisa α (o abcisas) de ese punto.Ñ Hallamos esa abcisa (o abcisas) con exactitud, aplicando el teorema del valor

medio.Seguimos los pasos marcados:Î Para dibujar la gráfica de f,

construimos una tabla devalores:

x y = &x2 + 5

0 5

1 4

&1 4

2 1

&2 1

&3 &4

En la figura 14 tenemos larepresentación gráfica de la parábola deecuación y = &x2 + 5, en el intervalocerrado [&3,2]. Hemos señalado lospunto extremos de la curva, es decir,P(&3,&4) y Q(2,1).

En la figura 15 hemos añadidoel segmento que une los puntos P y Q,es decir, segmento PQ.

Debemos buscar un punto de lacurva en el que la recta tangente seaparalela al segmento PQ (o recta quepasa por los puntos P y Q).


ff f

′ =− −

− −( )

( ) ( )( )

α2 32 3

ff f

′ = −

= = =

⇒ − = ⇒ = − = − ′− −

− −− −

( )( ) ( )

( )( )

α αα α

2

12 1 0 52 3

2 31 4

555

12

( ) ( )f f( )α = − = − − + = − + = = ′12

12

2 14

1945 5 4 75

Ï En la figura 16 hemos añadidola recta r, paralela al segmentoPQ y tangente a la parábola enun punto M.

Si el dibujo se hubieserealizado a mano alzada, noshabríamos ayudado de escuadray cartabón hasta encontrar,aproximadamente el punto M.

Ð Ahora de un modo aproximadopodríamos determinar el puntoM. Por ejemplo M(&0´5 , 4´8).

Ñ En este apartado determinaremos el punto M con exactitud. Veamos:4 Aplicando el teorema del valor medio en este caso, sabemos que existe un valor

α0(&3,2) tal que:

Operando:

Por tanto, la abcisa del punto M es α = − = − ′12 0 5

4 Ahora calculamos la ordenada del punto M. Considerando que M está en lagráfica de la función f (x) = &x2 + 5 , tenemos:

Conclusión: En el punto perteneciente a la gráfica de la( )M − = − ′ ′12

194 0 5 4 75, ( , )

función f (x) = &x2 + 5, la recta tangente en M es paralela a la recta queune los puntos P(&3, f (&3)) y Q(2 , f (2)).

Ejercicio 5.-Un punto se mueve en el intervalo de tiempo (en horas) [0,9] de tal modo que el espacio

(en km) recorrido en función de ese tiempo que transcurre es , siendo e el espacio ye t= 2t el tiempo. Contestar a las siguientes cuestiones.

a) Determina la relación existente entre las magnitudes e y t como una funciónreal de variable real.


b) Dibuja, de un modo aproximado, la gráfica de dicha función.c) Halla el espacio recorrido en el instante inicial, después de 4, de 5 horas y al final

del trayecto (9 horas).d) ¿Cuál es la velocidad media en los instantes t = 0, t = 4, t = 5 y t = 9?e) ¿Cuál es la velocidad instantánea cuando el tiempo es 4 horas y media?f) ¿En qué instante la velocidad del punto coincide con la velocidad media final?

Solución:a) El enunciado nos plantea una relación funcional entre dos magnitudes: el espacio (en

kilómetros) que recorre un punto a medida que transcurre un tiempo (en horas). Estaúltima magnitud está condicionada al intervalo [0,9], es decir, t 0[0,9].Por tanto, en forma de función podemos expresar:

[ ]0 9

2

,.

→

=

==

R variablevariablet e t

siendot independientee dependiente

b) Para dibujar la gráfica nos ayudamos de una tabla de valores.

t e t= 2

0 0

1 2

2 2´828427....

3 3´464101....

4 4

5 4´472135....

6 4´898979....

7 5´291502....

8 5´656854....

9 6

c) Hallando las imágenes de la función para los valores t = 0, t = 4, t = 5 ye t t( ) = 2t = 9, tendremos los espacios recorridos al cabo de esos instantes. Veamos:

t e km

t e km

t e km

t e km

= → = =

= → = =

= → = = ′

= → = =

0 0 2 0 0

4 4 2 4 4

5 5 2 5 4 47213

9 9 2 9 6

( )

( )

( ) ....

( )

d) Recordemos que la velocidad media de un vehículo es el cociente entre el espacio

En la figura 17 hemos representado, de un modo aproximado, ala función y señalados los puntos de su gráfica quee t= 2nos serán útiles en los apartados siguientes, es decir:

( )O A B C( , ) ; ( , ) ; , ( , )0 0 4 4 5 2 5 9 6y


recorrido en un tiempo y ese tiempo. En este caso podemos considerar que la velocidadmedia es una función con variable independiente t, es decir:

vet

tt

o lo que es lo mismo v tt

t= = =

2 2: ( )

Debe resultar fácil comprender la siguiente definición para esta función:

( ]v tt

tsi t

si t( ) ,= ∈

=

20 9

0 0

Hallemos las velocidades medias solicitadas:

Instante inicial t =0 (0) =0

Al cabo de 4 horas

Al cabo de 5 horas

Al cabo de 9 horas

→ ⇒

→ = ⇒ = = =

→ = ⇒ = = = ′

→ = ⇒ = = = = ′

v km / h

t vet

km h

t vet

km h

t vet

km h

4 42 4

41

5 52 5

50 89442

9 92 9

923

0 66666

( ) /

( ) .... /

( ) .... /

Puede apreciarse que la velocidad media del punto disminuye a medida que aumenta eltiempo en el intervalo (0,9]

e) En este apartado nos piden la velocidad que lleva el punto en el instante t = 4´5 horas.Quede claro que no se trata de la velocidad media cuando ha pasado ese tiempo, sino dela velocidad que lleva en ese instante. Veamos:Recordemos el concepto de velocidad instantánea:3 Imaginemos el instante t = 4´5 horas. En ese instante el espacio recorrido por el

punto es e km( ) .4 5 2 4 5′ = ′3 Consideremos un incremento del tiempo, ∆t, que suponemos infinitamente

pequeño. En el instante 4´5 + ∆t, el espacio total recorrido por el punto seráe t t km( ) .4 5 2 4 5′ + = ′ +∆ ∆

3 Podemos considerar que la velocidad instantánea de un punto es la velocidadmedia que lleva en ese instante para un incremento de tiempo infinitamentepequeño, es decir:

Velocidad media en el periodo de tiempo t

vespacio recorrido en el tiempo t

t

e t et

tt

[ , ]

( ) ( )

4 5 4 5

4 5 4 5 2 4 5 2 4 5

′ ′ + =

= =

=′ + − ′

=′ + − ′

∆∆

∆

∆∆

∆∆

Tomando límite en la expresión anterior, cuando ∆t 6 0 tendremos la velocidaddel punto en el instante t = 4´5 horas :

velocidad en el t ve t e

ttinstante = ′ → =

′ + − ′→

4 54 5 4 5

0lim

( ) ( )∆

∆∆

Observando la expresión anterior notamos que se trata de la derivada de la

La función anterior se denomina “velocidad media” y nos dala velocidad media del punto en cada instante t. Es evidenteque en el instante inicial dicha velocidad es 0 km/h.


e tt t

tt

′ = = =( ) 21

21

función en el punto t = 4´5, por lo que hallaremos la funcióne t t( ) = 2derivada de e t t( ) = 2

En el instante t = 4´5 horas :

Es la velocidadinstantánea en elinstante t = 4´5 horas.

La interpretación gráfica del resultado obtenido es que la velocidad instantáneaen el instante k 0(0,9] coincide con el valor de la derivada de la función

en ese punto k. Este valor coincide con la pendiente de la rectae t t( ) = 2tangente a la curva en el punto P(k, e(k)). e t t( ) = 2Para el caso visto t = 4´5 la interpretación gráfica es:

f) La velocidad media final es al cabo de las 9 horas, es decir:

v km h( ) ..... /92 9

923

0 6666= = = ′

Ahora buscamos un punto k 0(0,9) talque la velocidad instantánea en k es igual a dicha

e km h km h′ ′ =′

′= ′( ) / .... /4 5

4 54 5

0 471404

En la figura 18 tenemos, además de la gráfica de la función , la rectae t t( ) = 2r, tangente a ella en el punto P( 4´5 , e(4´5)). La pendiente de esa recta es el valor dela derivada de e (t) en t = 4´5 y la velocidad que el punto lleva en el instante t = 4´5Matemáticamente:

e km h v ttg pendiente de r m

inst

r

′ ′ = ′ = = ′ == = =

( ) ..... / ( ) )4 5 0 471404 4 5α


m tg

vv

r

inst

= = =

= == ′

α 69

92 25

( )( )

velocidad media, es decir, a v(9) = 0´6666.....Obsérvese lo siguiente:

vespacio recorrido al cabo delas horas

numero de horase

km h

v t k e kk

km hinst

( )( & )

( ).... /

( ) ( ) /

99

99

92 9

923

0 6666

1 23

= = = = = ′

= = ′ = =

Nos hacemos la siguiente pregunta:¿Existe el valor k 0(0,9) ?. ¿Existe un punto en el intervalo (0,9) tal que la velocidad enese instante coincide con la velocidad media?Para contestar a esas preguntas añadimos lo siguiente:

ve e pendiente del segmento orecta que

une los puntos extremos O y C

v t kpendiente de la recta a la curva

e t t en el punto M k e kinst

( )( ) ( ) ( )

( , ) ( , )

( )( ) ( , ( ))

99 09 0 0 0 9 6

2

=−−

=

= ==

tangente

Nótese que lo expuesto anteriormente se adapta a las condiciones del Teorema del valorMedio aplicado a la función en el intervalo cerrado [0,9]. Veamos:e t t( ) = 2

[ ]( )e t t es una funcion

continua en el

derivable en el( ) &

,=

2

0 9intervalo

interval 0,9Por tanto, podemos asegurar que:

( )∃ ∈ ′ =−−

k e ke e

0 99 09 0

, ( )( ) ( )

Ya sabemos que el valor k buscado, existe. Lo hallamos:

( )2 9 09 0

1 23

1 32

2 2532

2 94

−−

= = = = = = ′k k

k k horas; ; ; .

Por tanto:“En el instante la velocidad que lleva el punto est horas horas= ′2 25 2 15( )minutosigual a la velocidad media al cabo de 9 horas”.Interpretemos el resultado gráficamente:

En la figura 19 seaprecia como la recta r,tangente en el puntoP(2´25,e(2´25)), o seaP(2´25,3), es paralelaal segmento que unelos puntos O(0,0) yC(9,6).N ó t e s e q u e l apendiente de r es:


6.Consecuencias del teorema del valor medio.-Del teorema del valor medio obtenemos las siguientes consecuencias:

Î “Si la derivada de una función es nula en todos los puntos de un intervalo, la función esconstante en él ”En efecto:NOTA: Recordemos que si una función es derivable en un punto, es continua en él. Sea f (x) una función y [a,b] un intervalo en el que f es continua. Supongamos que œx0(a,b) es f ´(x) = 0 Tomemos dos puntos cualesquiera x y x + h ( h>0) del intervalo [a,b]. Entonces, el intervalo [x, x + h] está contenido en el intervalo [a,b]. Es decir:

[x, x + h] d [a,b] y (x, x + h) d (a,b) Es evidente que:

f es continua en [x, x + h]f es derivable en (x, x + h) y la derivada es 0 en cualquier punto de ese intervalo.

Aplicando el Teorema del Valor Medio a la función f en el intervalo [x, x + h] :

( )

[ ]

∃ ∈ + ′ =+ −+ −

=+ −

′ ⋅ = + −′ = + − =

+ =

+

α α

αα

x x h ff x h f x

x h xf x h f x

hf h f x h f x

f f x h f xf x h f x

x y x h a b

, ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) , ( ) ( )

( ) ( )

,

De otro modo: Como entoncesPor tanto:

Recordemos que son dos puntos cualesquiera de

0 0

Conclusión: “Si tomamos dos puntos cualesquiera x y x+ h del intervalo [a,b], susimágenes son iguales, es decir, la función f (x) es constante en todo[a,b]”

Ï “Si dos funciones tienen el mismo valor para la derivada en todos los puntos de unintervalo, dichas funciones difieren en una constante en ese intervalo”Es decir:

( )

f x y g x dos funcionesa b un

f x g x x a b

f x g x k x a b( ) ( )

( , ) .

( ) ( ) ,

( ) ( ) ( ) ( , )intervalo abierto constante

′ = ′ ∀ ∈

⇒ − = ∀ ∈

En efecto:

[ ]∀ ∈ ′ = ′ ⇒ ∀ ∈ ′ − ′ = ⇒

⇒ ∀ ∈ − ′ = ⇒

⇒ = − ⇒⇒ = − ⇒⇒ − = ∀ ∈ ⇒

x a b es f x g x x a b es f x g x

x a b es f x g xLa funcion F x f x g x tiene derivada igual a en el ervalo a bF x f x g x es una funcionf x g x k x a b

( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )

( , ) ( ) ( )& ( ) ( ) ( ) int ( , )

( ) ( ) ( ) &

( ) ( ) ( ) ( , )

0

00

constanteconstante

⇒ Las funciones f x y g x difieren en una en el a b( ) ( ) ( , )constante intervalo

La interpretación gráfica de esta consecuencia es la siguiente:“Si dos funciones tienen igual derivada en un intervalo (a,b), entonces sus gráficas son


dos líneas (rectas o curvas) paralelas en ese intervalo”.Es decir:

La figura 20 nos muestralas gráficas de dosfunciones f(x) y g(x) queson líneas curvas paralelasen el intervalo (a,b). Nótesecomo en cualquier puntoα0(a,b) las rectas (r y s)tangentes a las curvas sonparalelas, es decir, severifica que f´(α) = g´(α) y,además, f(α) & g(α) = k.

Por tanto, si dos funcionestienen igual valor para laderivada en cada punto deun intervalo, sus gráficasson paralelas en eseintervalo.

7.Regla de L´Hôpital.-Esta se apoya en el Teorema de Cauchy y se utiliza para el cálculo de algunos límites

indeterminados. Dice lo siguiente:

Es decir:

Supongamos que deseamos hallar el límite lim( )( )x a

f xg x→

Para ello actuamos del modo conocido: lim( )( )

( )( )x a

f xg x

f ag a→

= =00

Indeterminado

Es decir, nos hemos encontrado con una indeterminación. Para salvar la indeterminación, si se verifican las condiciones adecuadas, podemos

aplicar la Regla de L´Hôpital.:

lim( )( )

lim( )( )

( )( )x a x a

f xg x

f xg x

f ag a→ →

=′′

=′′

Sean f (x) y g(x) dos funciones y a un número real tales que:Î f y g son derivables en un entorno de a Ï f (a) = 0 y g(a) = 0

Entonces se verifica que :

en el caso que exista el segundo límitelim( )( )

lim( )( )x a x a

f xg x

f xg x→ →

=′′

Recordemos que f y g son derivables enun entorno E a a aε ε ε( ) ( , )= − +


Puede ocurrir que el límite no exista y, sin embargo, si existe lim( )( )x a

f xg x→

′′

lim( )( )x a

f xg x→

Demostración:• Al ser f y g dos funciones derivables en el entorno , es posibleE a a aε ε ε( ) ( , )= − +

encontrar un intervalo cerrado [a , x] d(a&ε , a + ε) en el cual las funciones f y g seancontinuas y derivables (recordar que toda función derivable en un punto es continua enél). Gráficamente:

• Supongamos que se puede aplicar elteorema de Cauchy a las funciones f y g en el intervalo [a,x], es decir:— f y g son continuas en el intervalo [a,x]— f y g son derivables en el intervalo (a,x)— g (a) … g (x)— f ´(x) y g´(x) no se anulan simultáneamente en un punto de (a,x)

• Por el teorema de Cauchy :

( )∃ ∈−−

=′′

ααα

a xf x f ag x g a

fg

,( ) ( )( ) ( )

( )( )

Ahora bien:

Como f a g a tenemos quef xg x

fg

( ) ( )( )( )

( )( )

= = =′′

0αα

• Si hacemos que x (ver figura 22) tienda a a, es evidente que α también tenderá a a.Tomando el límite cuando x 6a en el miembro de la izquierda y, como consecuencia,cuando α 6a en el miembro de la derecha:

lim( )( )

lim( )( )

& ,x a a

f xg x

fg

x a a→ →

=′′

→ →α

αα

αlogicamente si

• Como en el límite coinciden a , α y x, podemos poner:

Expresión que nos permite hallar fácilmente el límite cuando noslim( )( )x a

f xg x→

encontramos con una indeterminación del tipo 00

Observación:En la práctica la aplicación de la regla de L´Hôpital es como sigue:

‘ Supongamos que buscamos el límite de la función cuando F xf xg x( )

( )( )= x a→

Obsérvese que F (x) es una función cociente de otras dos.

Es evidente que todas las condiciones quecumplan f y g en el intervalo (a&ε , a + ε),las cumplirán en [a,x]

lim( )( )

lim( )( )

( )( )x a x a

f xg x

f xg x

f ag a→ →

=′′

=′′


‘ Supongamos que ocurre lo siguiente:

lim ( ) lim( )( )

( )( )x a x a

f xg x

f ag aF x

→ →= = = 0

0 Indeterminado

Es decir, al ser f (a) = g (a) = 0, nos encontramos con una indeterminación.‘ Si las funciones f (x) y g (x) son derivables en un entorno del punto a, entonces

podemos aplicar la citada regla, es decir:

lim ( ) lim lim( )( )

( )( )

( )( )x a x a

f xg x x a

f xg x

f ag aF x

→ → →

′′

′′= = =

‘ Supongamos ahora que f ´(a) = g´(a) = 0. En este caso:

lim ( ) lim lim( )( )

( )( )

( )( )x a x a

f xg x x a

f xg x

f ag aF x

→ → →

′′

′′= = = = 0

0 Indeterminado

En este caso, si las funciones f ́ (x) y g´(x) cumplen las condiciones para aplicar la reglade L´Hôpital (que f ´(x) y g´(x) sean derivables en un entorno de a ), tenemos:

lim ( ) lim lim lim( )( )

( )( )

( )( )

( )( )x a x a

f xg x x a

f xg x x a

f xg x

f ag aF x

→ → →

′′ →

′ ′′ ′

′ ′′ ′= = = =

‘ Nuevamente, si ocurriese que f ´´(a) = g´´(a) = 0, aplicamos la regla :

lim ( ) lim lim lim lim( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )x a x a

f xg x x a

f xg x x a

f xg x x a

f xg x

f ag aF x

→ → →

′′ →

′ ′′ ′ →

′ ′ ′′ ′ ′

′ ′ ′′ ′ ′= = = = =

Ejemplo 6.-Queremos hallar el límite de la función F x cuando x

sen xx( ) = → 0

Veamos:

lim ( ) limx x

sen xx

senF x

→ →= = =

0 0

00

00 Indeterminado

Como las funciones f (x) = sen x y g (x) = x son derivables en todo ú, lo serán en cualquierentorno de 0. Además, se verifica que f (0) = sen 0 = 0 y g (0) = 0, por lo que es posible aplicarla regla de L´Hôpital en este caso:

( )( )

lim ( ) lim lim limcos cos

x x

sen xx x

sen x

x x

xF x

→ → →

′

′ →= = = = = =

0 0 0 0 10

111 1

Por tanto:El significado de este resultado es que para x = 0 lafunción F(x) no existe, pero para valores de xinfinitamente próximos a 0, las imágenes de F estáninfinitamente próximas a 1

Utilizando la calculadora, podemos hacer alguna comprobación:

Para x F

Para x F

sen

sen

= ′ → ′ = = ′ ≈

= ′ → ′ = = ′ ≈

′′

′′

0 1 0 1 0 99833416 1

0 01 0 01 0 99998333 1

0 10 1

0 010 01

( ) .....

( ) .....

Recordemos que la expresión no es= 00

una igualdad numérica.

lim ( ) limx x

sen xxF x

→ →= =

0 01


Ejercicio 6.-

Estudiar el comportamiento de la función en x = 0 y sus proximidades.F xe

x

x( ) =

− 1

Solución:3 Para x = 0 tenemos que

Fe

( )01

01 1

000

0=

−=

−= ∉ R

3 Ya sabemos que para x = 0 no existe la función F, pero, ¿qué ocurre para valores de xinfinitamente próximos a 0? Para averiguarlo, hallamos el límite de F(x) cuando x tiende a 0

lim ( ) limx x

xF x

ex

e→ →

=−

=−

=−

=0 0

01 10

1 10

00

Indeterminado

Nótese que las funciones Son derivables en todo ú y, porf x e y g x xx( ) ( )= − =1tanto, lo son en un entorno de 0, por lo que es posible aplicar la regla de L´Hôpital:

( )( )

lim ( ) lim lim limx x

x

x

x

x

xF x

e

x

e ee

→ → → →=

−′

′ =−

= = =0 0 0 0

01 01 1

1

En definitiva:

La imagen de F para x = 0 no existe, pero para valores de xinfinitamente próximos a 0, las imágenes de esos valores estáninfinitamente próximos a 1.

Para dar una interpretación gráfica de la funciónF (x) en las proximidades de x = 0, damos un valor deltipo x = 0+ y otro x = 0& para comprobar sus imágenes,que estarán próximas a 1.

Utilizando una calculadora, daremos los valoresx = 0´01 y x = &0´01 y compararemos sus imágenes conel valor 1

x Fe

x Fe

= ′ ⇒ ′ =−

′= ′ = >

= − ′ ⇒ − ′ =−

− ′= ′ = <

′+

− ′−

0 01 0 011

0 011 00501 1 1

0 01 0 011

0 010 99501 1 1

0 01

0 01

( ) ....

( ) ....

En la figura 23 hemos dado una interpretación gráfica (no se trata de la gráfica exacta)del comportamiento de la función F (x) en x = 0 y sus proximidades. Nótese que en x = 0 noexiste F (x), para valores x = 0+ las imágenes son F( 0+) =1+ y para x = 0& es F(0& ) = 1&

Para x = 0 no existe la imagen de F, es decir, lafunción F no existe para x = 0.Quede claro que las igualdades anteriores no sonigualdades numéricas, se trata de una forma dededucir que F (0) no existe.

F no existeF x

x

( )lim ( )

01

0→=


Ejercicio 7.-Resolver el siguiente límite: lim

x

L xx x→ + −1 2 2

Solución:

lim&

&x

L xx x

L→ + −

=+ −

=

1 2 221

1 1 200

Indeterminadorecordemos que las dos ultimasigualdades no son igualdades numericas

Veamos si es posible aplicar la regla de L´Hôpital en este caso:

Tenemos ( )f x Lx funcion derivable en

g x x x funcion derivable en

( ) & ,

( ) & ( , )

= + ∞

= + − − ∞ + ∞

0

22

Por tanto, las funciones f (x) y g(x) verifican que f (1) = g(1) = 0 y son derivables en unentorno de 1, por lo que es posible aplicar la regla de L´Hôpital :

{lim lim .....x derivando x

xL xx x x→ →+ −

=+

=⋅ +

= = ′1 2 1

1 11

2 2 1 2 1 113

0 3333

Conclusión:

Ejercicio 8.-Estudiar el comportamiento de la función en x = 0 y sus proximidades.H x

x tg xx

( ) =−

3

Solución:

O Veamos que ocurre para x = 0 : Htg

( )00 0

00 0

0003=

−=

−= ∉ R

Por tanto, para x = 0 no existe imagen, es decir, 0 no pertenece al dominio de H (x).Recordemos de nuevo que las igualdades anteriores no expresan igualdades numéricas,sino una forma de llegar a la conclusión de que en 0 no existe la función H(x).

O Ahora estudiaremos el comportamiento de H(x) en las proximidades de x = 0.

lim ( ) limx x

H xx tg x

xtg

→ →=

−=

−=

−=

0 0 3 30 0

00 0

000

Indeterminado

Como las funciones f (x) = x&tg x y g(x) = x3 cumplen las condiciones para que seaplique la regla de L´Hôpital en x = 0 (no olvidar que para aplicar la regla de L´Hôpital,deben cumplirse ciertas condiciones):

( )( ) { { {lim ( ) lim lim

&

cos

*

cos

* *x x xxH x

x tg x

x x→ → →=

− ′

′ =−

=−

⋅=

−=

0 0 3 0

1

2

10

2

11

1

3

1

3 0

10

00

2 2

Indeterminado

NOTA: (*) no son igualdades numericas

Función que no existe para x =1F xLx

x x( ) =

+ −2 2

Para valores de x infinitamente próximos a 1, laslimx

Lxx x→ + −

=1 2 1

13

imágenes está infinitamente próximas a 0´3333.....


{lim lim( ) ( ) ( )

( ) ( )lim

( ) ( )x x simplificando x

x x xx x

x x xx x

x xx→ → →

− − +

− −=

+ − −− +

=+ −

+=

⋅= = ′

5

3 2

2 5 5

2 25 502 15

5 5 25 3

5 23

10 38

154

3 75

O Aplicamos nuevamente L´Hôpital:

( )( )

( )( )

lim ( ) lim lim lim lim

lim limcos

lim&

&

cos coscoscos

coscos

x x xx

x

x

x

x sen xx

x

sen xx

x x

sen xx x

H xx tg x

x x x x

xsen x

x x

→ → → → →

⋅

→ → →

=− ′

′ =−

=−

′

′ = =

= =−

⋅= − ⋅ ⋅

=

=

=

0 0 3 0

1

2 0

1

2 0

0 0 3 013

1

1

3

1

3 6

3 3

2 2 4

3

3

0 -

el limite de un producto es

igual al producto de los limites.

-2

-

−⋅ ⋅ = =

−⋅ ⋅ =

−⋅ ⋅ = −

=

→ →

→

13

13

11

31

11

13

1 6

0 01 1

0

0

3 3lim lim

: lim ( )

cos cosx

sen xx x x

x

sen xxNOTA ver ejemplo

Por tanto:

Ejercicio 9.-

Resolver limx

x x xx x→

− − +

− −5

3 2

22 25 50

2 15Solución:3 Se trata de hallar el límite cuando x tiende a 5 de una función que es cociente de otras dos

funciones polinómicas.

limx

x x xx x→

− − +− −

=− ⋅ − ⋅ +

− ⋅ −=

− − +− −

=5

3 2

2

3 2

22 25 50

2 155 2 5 25 5 50

5 2 5 15125 50 125 50

25 10 1500

Indeterminado

3 Como las funciones verifican quef x x x x y g x x x( ) ( )= − − + = − −3 2 22 25 50 2 15f(5) = g(5) = 0 y que son derivables en un entorno de x = 5, podemos aplicar la regla deL´Hôpital para resolver el límite:

( )( )

lim lim limx x x

x x xx x

x x x

x x

x xx→ → →

− − +

− −=

− − +′

− −′ =

− −−

=

=⋅ − ⋅ −

⋅ −= = = ′

5

3 2

2 5

3 2

2 5

2

2

2 25 502 15

2 25 50

2 15

3 4 252 2

3 5 4 5 252 5 2

308

154

3 75

NOTA: Recuérdese que este límite también se puede hallar utilizando la regla de Ruffini. En este caso sería:

H xx tg x

x

no existe para xx tg x

xx

( )lim .......

=−

=−

= − = − ′

→3

0 313

0

0 33333

Como comprobación podemos dar,utilizando una calculadora, el valorx = 0´01 :

H(0´01)= &0´333346....• − 13


Ejercicio 10.-Resolver el límite siguiente: lim

x

tg xsen x→ 0

Solución:

lim&x

tg xsen x

tgsen→

= =

0

00

00 Indeterminado

recordemos que las igualdadesanteriores no son numericas

Fácilmente se debe apreciar la posibilidad de aplicar L´Hôpital para resolver el límite,pero veremos que no es necesario:

lim lim lim limcos cos

cos cosx

tg xsen x x

sen xx

x

x

x xsen x

sen x

sen x→ → → →= =

⋅= = = =

0 0 0

1

01 1

011 1

Por tanto:Para valores de x infinitamente próximos 0, el cociente entre la tangente yel seno es un valor infinitamente próximo a 1.Obsérvese que las funciones y = tg x e y = sen x son dos infinitésimos enel punto x = 0 y además, son dos infinitésimos equivalentes en x = 0 (vertema “Límites de funciones” página 30)

Ejercicio 11.-

Estudiar el comportamiento de la función en x = 1 y sus proximidades.F xxx

( ) =−−

3 11

Solución:P Veamos que ocurre para x = 1:

F( )&

11 11 1

1 11 1

00

3=

−−

=−−

= ∉

R

Insistimos en que las igualdadesanteriores no son igualdades numericas.

Es decir, para x = 1 no existe imagen de F. P Veamos que ocurre en las proximidades de x = 1:

lim ( ) limx x

F xxx→ →

=−−

=−−

=1 1

3 311

1 11 1

00

Indeterminado

Aplicando la regla de L´Hôpital :

( )( )

lim ( ) lim lim lim limx x x

xx

x

xx

F xx

x

x x

x→ → → → →=

−′

− ′ = =⋅

= = = = ′

−

1 1

3

1

13

12

1

13

1

12

1 23 23

1

1

2

3

2 1

3 1

23

0 6

23 23 )

Conclusión:Para comprobar, damos dos valores a x:x F

x F

= ′ → ′ = ′ > ′

= ′ → ′ = ′ < ′

0 999 0 999 0 66672223 0 6

1 001 1 001 0 66661113 0 6

( ) ....

( ) ....

)

)

Parece que:x F

x F

= → = ′

= → = ′

− − +

+ + −

1 1 0 6

1 1 0 6

( )

( )

)

)

limx

tg xsen x→

=0

1

F xxx

no existe para x

F x cuando x( )

( )=

−−

=

→ →

3

23

11

1

1


Ejercicio 12.-

Estudiar el comportamiento de la función en x = 0 y sus proximidades.f xx

x( ) =

Solución:

L Para x = 0 tenemos: . Por tanto, 0óDf, esto es, en 0 no existe imagen.f ( )00

0= ∉ R

L Veamos que ocurre en las proximidades de x = 0.

( )

( )

para x tenemos que f porque

para x tenemos que f

= = ∉ ∉

= =

− −−

−−

+ ++

+

0 00

00

0 00

0

R R

Indeterminado

Es decir, a la izquierda de 0 no existe imagen, por lo que debemos hallar el límite de f (x)cuando x tiende a 0 por la derecha.

lim ( ) limx x

f xx

x→ →

+

+

+

++ += = =

0 0

00

00

Indeterminado

Como las funciones son derivables para valores del tipo 0+,g x x y h x x( ) ( )= =podemos aplicar la regla de L´Hôpital :

( )( )

lim ( ) lim lim limx x x

x

xf x

x

x x→ → → → + + ++ + + +=

′

′ = = =⋅

=⋅

= = + ∞0 0 0

12

011

21

2 0

12 0

10

Conclusión:

De lo anterior se deduce que el eje de ordenadases una asíntota vertical por la derecha y hacia

arriba de la función , al ocurrir quef xx

x( ) =

lim ( )x

f x→ +

= + ∞0

(Ver tema “Límites de funciones”)

Para comprobar la veracidad del resultado, damos un par de valores a x:

para x f

para x f

= ′ → ′ = = = = = =

= ′ → ′ = = = = = =

′′

′′

0 01 0 01 10

0 0001 0 0001 100

0 010 01

11001

100

1101

100

10010

0 00010 0001

110000

110000

1100

110000

10000100

( )

( )

Puede apreciarse como “para valores de x infinitamente próximos a 0 por su derecha, lasimágenes son infinitamente grandes positivas”

f x

no existe para xf x no existe

f x

f x no existe

xx

x

x

x

( )

lim ( )

lim ( )

lim ( )

=

=

= + ∞

→

→

→

−

+

0

0

0

0


( )( )

( )lim lim lim limx

L xx x

L x

x xx

x x→ + ∞ → + ∞

′

′ → + ∞ → + ∞ + ∞+= = = = =

11 1

10 0

Ejemplo 7.-Queremos resolver el límite siguiente: lim

x

L xx→ + ∞

Veamos:

lim( )

x

L xx

L

→ + ∞

+ ∞+ ∞

+ ∞+ ∞= = Indeterminado

Hemos llegado a una indeterminación.

Considerando que las funciones numerador y denominador son derivables para valores x = +4,podemos aplicar la regla de L´Hôpital en este caso:

Por tanto:Significa que “para valores de x infinitamente grandespositivos, las imágenes están infinitamente próximas a 0, peroson mayores que 0"Gráficamente, nos indica que el eje de abcisas es una asíntota

horizontal de la función por la derecha, yendo laf x Lxx( ) =

gráfica de la función por encima de la asíntota.

Ejercicio 13.-

Estudiar el comportamiento de la función en el infinito.f xex

x( ) = 3

Solución:

Se trata de hallar los siguientes límites:lim ( )

lim ( )x

x

f x

f x→ − ∞

→ + ∞

( )lim ( ) lim( )x x

ex

e ef xx

→ − ∞ → − ∞ − ∞

+−= = =

− ∞=

− ∞=

−∞ +∞

3 3

1

30

0 0

Obsérvese que al resolver este límite no nos ha salido una indeterminación y no ha sidonecesario aplicar la regla de L´Hôpital.

Resolvamos el otro límite:

La regla de L´Hôpital también puede aplicarse a indeterminaciones de la forma cuando 00

y a indeterminaciones del tipo .x o x→ + ∞ → − ∞ ∞∞

NOTA: A simple vista debería apreciarseque este límite es igual a 0.

( )limx

L xx→ + ∞

+= 0 0


lim ( ) lim( )x x

xf x

ex

e→ + ∞ → + ∞

+ ∞= =

+ ∞=

+ ∞+ ∞3 3 Indeterminado

Como las funciones y = ex e y = x3 son derivables en todo ú, podemos aplicar la reglade L´Hôpital

( )( )

lim ( ) lim lim( )x x

x

x

xf x

e

x

ex

e→ + ∞ → + ∞ → + ∞

+ ∞=

′

′ = =+ ∞

=+ ∞+ ∞3 2 23 3

Indeterminado

Volvemos a aplicar L´Hôpital :

( )( )

lim ( ) lim lim( )x x

x

x

xf x

e

x

ex

e→ + ∞ → + ∞ → + ∞

+ ∞=

′

′ = =⋅ + ∞

=+ ∞+ ∞3 6 62

Indeterminado


( )( )

lim ( ) lim limx x

x

x

xf x

e

x

e e→ + ∞ → + ∞ → + ∞

+ ∞=

′

′ = = =+ ∞

= + ∞6 6 6 6

Conclusión:La interpretación gráfica de los resultadosobtenidos es que el eje de abcisas es unaasíntota horizontal por la izquierda que está porencima de la gráfica de la función. Por laderecha la función tiene una rama parabólicahacia arriba (ver tema “Límites defunciones”)

La regla de L´Hôpital también puede aplicarse a indeterminaciones de la forma 0 ⋅ ∞Veamos como resolver este caso:W Sean f (x) y g(x) dos funciones.W Sea a0ú tal que lim ( ) lim ( )

x a x af x y g x o

→ →= = + ∞ − ∞0

W Buscamos el límite de la función producto H (x) = f (x)·g(x) cuando x a→W Recordando que el límite de un producto es igual al producto de los límites:

[ ]lim ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a x a

H x f x g x f x g x→ → → →

= ⋅ = ⋅ = ⋅ ∞0 Indeterminado

W Veamos el modo de salvar esta indeterminación:

[ ] {lim ( ) ( ) lim( ) lim ( )

lim( ) ( )x a x a g x

x a

x a g x

f x g xf x f x

→ →→

→ ∞

⋅ = = = =1 1 10 0

0como el limite de uncociente es el cocientede los limites

Indeterminado

Esta indeterminación la resolvemos como hemos hecho anteriormente.00

( )f x

ex

f x

f x

xx

x

( )lim ( )

lim ( )=

=

= + ∞

→ − ∞−

→ + ∞3

0 0


También podemos actuar de la siguiente forma:

[ ] {lim ( ) ( ) lim( ) lim ( )

lim( ) ( )x a x a f x

x a

x a f x

f x g xg x g x

→ →→

→

⋅ = = =∞

=∞∞1 1 1

0como el limite de uncociente es el cocientede los limites

Indeterminado

Nótese que ahora la indeterminación es del tipo , que resolveríamos como hicimos∞∞

anteriormente.

Ejemplo 8.-Queremos hallar lim

xx e x

→ 0

1

Veamos:En este caso conviene hallar los límites laterales en 0.

( )lim ( )

lim

x

x e

x e e e

x e e e

x

x

→+ + + ∞ +

→− − − ∞ − − + −

+

+

−

−+∞

= ⋅ = ⋅ = ⋅ + ∞

= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

0

0

1

1 10

1 10

0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

Indeterminado

Debemos hallar el limite cuando x → +0

( )( )

lim lim

$

lim lim lim lim lim

x x x

x x x xx

x

x

xx

x ee e e

x ee e e

e e e

xx

xx

x x

x

→ →

+ ∞

→ → → →

−

− →+ ∞

+ +

+

+

+ + + + +

+

= = =+ ∞

=+ ∞+ ∞

= =

′

′ =⋅

= = = = + ∞

0 0 1 10

0 0 1 0 1 0

1

1 0

11 1

0

11

1 1

2

2

1 10

Indeterminado

Resolviendo por L`Hopital:

Por tanto:

Para comprobarlo damos algunos valores a x :

x ee e

x e ee e

= − ′ → − ′ ⋅ =− ′

=− ′

=

= ′ → ′ ⋅ = ′ ⋅ = =

− ′

′

′

−0 01 0 010 01 0 01

0

0 01 0 01 0 01100

10 001

10 001

10 01

100

100100 numero infinitament

grande positivo

( )lim

limlimx

xx

x e

x ex e no existe

x

x

x→

−

→→

−

+

=

= + ∞

⇒0

00

1

1

10 0


Hagamos una interpretación gráfica de los resultados obtenidos:

La figura 24 nos da una idea aproximada de

como se comporta la función eny x e x=1

las proximidades de x = 0 (quede claro queno se trata de la gráfica exacta).Se aprecia que para x = 0 no existe imagen,pero para valores de x infinitamentepróximos a 0 por su izquierda, las imágenesestán infinitamente próximas a 0 (por debajode 0), mientras que por la derecha de x = 0tenemos una asíntota vertical hacia arriba,

esto es, y cuando x→ + ∞ → +0

Ejercicio 14.-Hallar el límite de la función cuando ( )h x x tg

x( ) = − ⋅2

21π

x → +1

Solución:

( ) ( )lim ( ) lim ( )x x

xh x x tg tg tg

→ →+ ⋅ + + +

+ +

+

= − = −

= ⋅ = ⋅ − ∞

1 12

22 1

2 21 1 1 0 0π π π Indeterminado

NOTA:

Recuérdese que ( ) ( )( ) ( )

Para x es tg

Para x es tg

= = − ∞

= = + ∞

+ +

− −

π π

π π

2 2

2 2

Salvemos la indeterminación:

( ) ( )lim ( ) lim lim lim

x x

x

xtg

x xh x x tgx x

x→ → → →

+

⋅

+

+

+

−+ + + + += − =−

=−

=−

= =1 1

22 1

2

1 1

2

2

2

12

11 1 1 1 0 0

02

ππ π π

π cotg cotg cotgIndeter.

2

Ahora tenemos una indeterminación del tipo que podemos resolver por L´Hôpital (obsérvese00

que el límite, caso de existir, será negativo):

( )lim ( ) lim lim lim

x x x x x xsen sen

h xx x x

x→ → → → − −

−

+ + + +=

−=

−′

′ =⋅

=⋅

⋅=

=⋅

=−

= −

1 1

2

21

2

21 2

12

1

21

1 2

1 1 2 2 1

2 2 4

22

22

2

cotg cotgπ π π π

π π

π π

π

Por tanto:

Ver los conceptos “valores borrosos”e “imágenes borrosas de valoresborrosos” del tema “Funciones realesde variable real”, página 33.

( )lim ....x

xx tg

→ +− ⋅ = − = − ′

12

214

1 27323954π

π


{ { {L L f x L f x g x L f x g x L f x

L f x L

x ag x

x ag x

x a x a x a

x a

A

Indeterminado

=

= = = ⋅ =

= ⋅ = ⋅ = ⋅ − ∞

→ ∗ → ∗ ∗ → ∗ ∗ ∗ → →

→

lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

lim ( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

0 0 0 0

8.La indeterminación 00.-Veremos otro tipo de indeterminación que también puede resolverse aplicando la regla

de L´Hôpital.º Sean f (x) y g(x) dos funciones. Sea a un número real, es decir, a0úº Supongamos que lim ( ) lim ( )

x a x af x y g x

→ →= =0 0

º Consideremos la función H x f x g x( ) ( ) ( )=º Queremos hallar lim ( )

x aH x

→Veamos:

lim ( ) lim ( ) lim ( )( )lim ( )

x a x ag x

x a

g xH x f x f x

x a

→ → →= =

=

→00 Indeterminado

Nos encontramos con una indeterminación del tipo 00

Veamos el modo de salvar esta indeterminación:. Llamamos A al límite buscado, es decir: A =

→lim ( ) ( )x a

g xf x

. Tomamos logaritmos neperianos:

NOTAS:(*) ² Puede demostrarse que “el logaritmo de un límite es igual al límite del logaritmo”(**) ² Recuerda que “el logaritmo de una potencia es igual al exponente por el

logaritmo de la base”(***)²Recuerda que “el límite de un producto es el producto de los límites”

Nos encontramos con una indeterminación del tipo &0· 4 que puede resolverse del modovisto anteriormente.

Ejemplo 9.-Queremos estudiar el comportamiento de la función en x = 0 y en lasH x x x( ) =

proximidades de 0 por la derecha.

Veamos:L . Por tanto, 0óDHPara x es H= = ∉0 0 00( ) R

L Estudiemos el límite cuando x → +0

lim ( ) limx x

xH x x→ →+ +

= =0 0

00 Indeterminado

Para resolver la indeterminación, utilizamos la técnica explicada anteriormente:


Llamamos A xx

x=→ +lim

0Tomamos logaritmo neperiano:L L x Lx x Lx Lx

x xx

xA Indeterminado= = = = ⋅ = ⋅ − ∞ = − ⋅ ∞

→ → →+ + +lim lim lim ( )

0 0 00 0 0 0

Nos encontramos con una indeterminación del tipo 0 · 4 que resolvemos:

{L x LxL x L

x x x

A Indeterminado= = = =− ∞+ ∞→ →

+

+ ++

lim lim(*)0 0 1 1

0

0

NOTA:(*) ² Aquí puede apreciarse el motivo de interesarnos por el límite a la derecha de 0,

ya que los L0+ existen, pero L0& no existen.Ahora nos encontramos con una indeterminación del tipo 4/4 que resolvemos aplicandola regla de L´Hôpital:

( )( )

( )LL x L x

xx x x

xx

x

xx x x

A = =′

′ = = = − =→ → → − → − →

−+ + + + +

lim lim lim lim lim ( )0 1 0 1 0

1

1 0 1 02

10 0

Por tanto:L eA A A= ⇒ = ⇒ =0 10

Conclusión:Hagamos alguna comprobación utilizando unacalculadora:x H

x H ERROR

= ′ → ′ = ′ = ′

= − ′ → − ′ = − ′ =

′

− ′

0 001 0 001 0 001 0 99311604

0 001 0 001 0 001

0 001

0 001

( ) ....

( ) ( )

Ejercicio 15.-Resolver ( )lim

x

sen xsen x→ 0

Solución:

( )lim limlim

x

sen x

x

sen xsen x sen x

x

→ →=

=→

0 000

0 Indeterminado

Resolvemos:

( )

( ) ( )

Llamamos A

Tomamos logaritmo : A

Indeterminado

=

= = = =

= ⋅ = ⋅ − ∞ = − ⋅ ∞

→

→ → →

lim

lim lim lim

( )

x

sen x

x

sen x

x

sen x

x

sen x

L L sen x L sen x sen x L sen x

sen L sen

0

0 0 00 0 0 0

Salvamos la nueva indeterminación:

{L sen x L sen xL sen x L sen L

x x sen x sen

A Indeterminado= = = = =− ∞+ ∞→ ∗ →

lim lim( )0 0 1 1

010

0 0

H x xH no existe

H xx

x( )

( )lim ( )= =

→ +

01

0


NOTA:

(*) ² Nótese que es obligado que ya que en el caso sería L sen 0&= L 0&óúx → +0 x → −0Aplicamos la regla de L´Hôpital :

( )L

L sen x L sen x xsen x sen

x sen x xsen x

x

sen xx

sen xx sen x x

A = =′

′ =⋅

= = − = − =→ → → − → − →

lim lim limcos

lim lim ( )cos0 1 0 1 0

1

0 1 02

10 0

Por tanto:L eA A A= ⇒ = ⇒ =0 10

Conclusión:Podemos comprobar utilizando unacalculadora:

( )

( )

x radianes

senx radianes

sen ERROR

sen

sen

= ′

′ = ′= − ′

− ′ =

′

− ′

0 001

0 001 0 993116040 001

0 001

0 001

0 001

....

( ) ( )

9.La indeterminación 14.-

Por el mismo método que para la indeterminación 00 se resuelve la 14. Lo veremos de unmodo práctico, con un ejemplo y un ejercicio:

Ejemplo 10.-Queremos resolver el límite: ( )lim cos

xx x

→ 0

12

Veamos:

( ) ( )lim cos cosx

x x

→+ ∞= =

0

12

1020 1 Indeterminado

( )

( ) ( )

Llamamos A

Tomamos logaritmo A

Indeterminado

=

= = = =

= = + ∞ ⋅ = + ∞ ⋅

→

→ → →

lim cos

: lim cos lim cos lim cos

cos

x

x x x x

x

L L x L x L x

L L

x

x x

0

0 0 01

10

12

12

12

2

2 0 1 0

Salvamos esta indeterminación:

L L xL x

xL L

x x xA Indeterminado= = = = =

→ →lim cos lim

cos cos0

10 2 22

00

10

00

NOTA: Recordemos nuevamente que las últimas igualdades de la expresión anterior noson igualdades numéricas, sino una forma de expresar la indeterminación.

( )

( )

( )

lim

& :lim

lim

x

sen x

x

sen x

x

sen x

sen x

Para ser mas exactosen x

sen x no existe

→

→

→

=

=

+

−

0

0

0

1

1


Aplicamos la regla de L´Hôpital:

( )( )

{

LL x

x

L x

x

sen x

xsen x

x x

sen xx x

sen xx x

x x x

x

x

x x x

A = =′

′ = =−

⋅=

=−

⋅ ⋅

=

−⋅ ⋅ =

−⋅ ⋅ =

−⋅ ⋅ =

−= − ′

→ → →

−

→

→ → → ∗

limcos

limcos

lim limcos

limcos

lim limcos cos

cos

( )

0 2 0 2 0

1

0

0 0 0

2 2

12

1 12

1 12

11

01

21

11

12

0 5

Por tanto:

L e e e eA A= − ⇒ = = = = = ′− −−12

1 112

12 0 60653065.....

Conclusión:Hagamos una comprobación:(no olvidar poner la calculadora en radianes)para x = 0´001 tenemos:( ) ( )cos cos

.....

0 001 0 001

0 60653058

10 000001 1000000

1

′ = ′ =

= ′ ≈

′

−e

Ejercicio 16.-Calcular ( )lim cos cos

xx x

→+

π2

1

1 2

Solución:

( ) ( ) ( )lim cos coscos cosx

x x

→∞+ = + = + ⋅ =

π

ππ

2

1

21 2 1 2 1 2 0 12

1 10 Indeterminado

NOTA: Recordemos que las últimas igualdades no son igualdades numéricas, sino unaforma de llegar a la indeterminación.

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Llamamos x

L L x L x L x

L xx

L L L

x

x x x x

x

x

x x

A

Tomamos logaritmo:

A

Indeterminado

= +

= + = + = + =

=+

=+ ⋅

=+ ⋅

= =

→

→ → →

→

lim cos

lim cos lim cos lim cos

limcos

cos

cos

cos

( )

cos

cos cos

cos

π

π π π

π

π

π

2

1

2

1

2

1

2

2

1 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 00

10

00

1

2

2Aplicamos L´Hôpital

( ) ( )[ ]( )

LL x

xL x

x sen x xx x x

sen xx

xA =

+=

+′

′ =−

=+

=+

=+

=→ → →

−+

→lim

coscos

limcos

coslim lim

cos cos

cosπ π π π π2 2 2 2

1 2 1 2 21 2

2

1 2

21 0

2

21 2

2

Por tanto: L eA A= ⇒ = = ′2 7 389056092 ....

( )lim cos ....x ex

ee

ex

→= = = = ′

011

2 10 6053065


Conclusión:

10.La indeterminación 40.-Por el mismo método que para las indeterminaciones 00 y 14 se resuelven las del

tipo 40. Lo veremos de un modo práctico, con dos ejercicios:

Ejercicio 17.-Estudiar el comportamiento de la función en +4( )f x x e ex x x( ) = + + 2

1

Solución:Se trata de hallar el límite de la función f (x) cuando x tiende a +4

( ) ( )lim ( ) limx x

x xf x x e e e ex

→ + ∞ → + ∞+ ∞ + ∞= + + = + ∞ + + = + ∞+∞ +2 2 0

1 1

Indeterminado

Salvamos la indeterminación:

( )llamamos f x x e ex x

x x xA = = + +→ + ∞ → + ∞lim ( ) lim 2

1

Tomamos logaritmo neperiano:

( ) ( ) ( )

( )L L f x L x e e L x e e

L x e e

x

L e e L

x xx x

x xx x

x

x xxA

Indeterminado

= = + + = + + =+ +

=

=+ ∞ + +

+ ∞=

+ ∞+ ∞

=+ ∞+ ∞

→ + ∞ → + ∞ → + ∞ → + ∞+ ∞ + ∞

lim ( ) lim lim lim

( )

2 1 22

2

1

Hemos llegado a una indeterminación del tipo que resolvemos por la regla de L´Hôpital:∞∞

( ) ( )[ ]( )

L L f xL x e e

x

L x e e

x

e ee e

x x

x x

x

x x

x

e ex e e

x

e ex e e

x x

x x

x x

x x

A

Indeterminado

= =+ +

=+ +

′

′ = =

= =+ +

+ ∞ + +=

+ ∞+ ∞

→ + ∞ → + ∞ → + ∞ → + ∞

+ ++ +

→ + ∞

+ ++ +

+ ∞ + ∞

+ ∞ + ∞

lim ( ) lim lim lim

lim

2 2 1 2

1 2 2

2

2

2

2

2

1

1 2


( )( )

L L f xe e

x e e

e e

e e

e e

e ex x

e ex e e x

x x

x x x

x x

x x

x x

x xA = = =+ +

′

+ +′ =

+

+ +=

+

+ +=

+ ∞+ ∞→ + ∞ → + ∞

+ ++ + → + ∞ → + ∞

+ ∞ + ∞

+ ∞ + ∞lim ( ) lim lim lim1 2

2

2

2

2

2

2

2

2

1 2 4

1 2

4

1 2

nos vuelve a salir otra indeterminación del tipo ∞∞


( )lim cos ....cos

xx ex

→+ = = ′

π2

1

1 2 7 389056092


( )( )

L L f xe e

e e

e e

e e

e ee e

e ee ex x

x x

x x x

x x

x x x

x x

x xA = =+

+ +=

+′

+ +′ =

+

+=

+

+=

+ ∞+ ∞→ + ∞ → + ∞ → + ∞ → + ∞

+ ∞ + ∞

+ ∞ + ∞lim ( ) lim lim lim4

1 2

4

1 2

84

84

2

2

2

2

2

2

2

2

Observamos que si aplicamos nuevamente la regla de L´Hôpital, vuelve a salir laindeterminación , por lo que deducimos que el método que empleamos no es el adecuado.∞

∞Veamos otro método para resolver el límite:

Hemos llegado a que L L f xe ee ex x

x x

x xA = =+

+→ + ∞ → + ∞lim ( ) lim

84

2

2

Vamos a dividir numerador y denominador por e2x :

L L f xe ee ex x

x x

x x x

e ee

e ee

x

ee

ee

ee

ee

x

ee e

ee e

xe

e

e

e

x x

x

x x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x x

x

x x

x

x

A = =+

+= =

+

+=

+

+=

=+

+=

+

+=

+

+=

++

→ + ∞ → + ∞ → + ∞

+

+ → + ∞ → + ∞⋅

⋅

→ + ∞+ ∞

+ ∞

+∞

+∞

lim ( ) lim lim lim lim

lim

84

8

4

8

4

8

4

8

4

0 80

2

2

8

4

8

4

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

484

2= =

Por tanto:L eA A= ⇒ = = ′2 7 389056092 ....

Conclusión:

Gráficamente se interpreta como que la función f (x) tiene una asíntota horizontal por laderecha. La asíntota es la recta de ecuación y = e2

Para tener una idea sobre la posición relativa de la asíntota y la función, damos un valorrelativamente grande positivo a x

( )x f e e= ⇒ = + + = ′′

100 100 100 7 38905609100 200 0 01( ) .....

Ejercicio 18.-Calcular ( )lim

x xsen x

→ +0

1

Solución:

( ) ( ) ( )limx x

sen x sen

→ + +

++

= = + ∞0

1 10

0 0 Indeterminado

Llamamos ( )A =→ +lim

x xsen x

0

1

Para resolver la indeterminación tomamos logaritmo en ambos lados de la igualdad:

( )lim ( ) lim ....x x

x xf x x e e ex

→ + ∞ → + ∞= + + = = ′2 2

1

7 38905609


( ) ( )( )

L L L sen x L sen L

Lx x

sen x

x xsen x

x xA

Indeterminado

= = = ⋅ = ⋅ =

= ⋅ + ∞ = ⋅ + ∞→ → →

+

+ +

+ + + +lim lim lim

( )0

1

0

1

0

1 10

0

0 0

Convertimos esta indeterminación en una del tipo :00 o ∞

∞

( )L L sen x LL L L

x xsen x

x x x

x

sen x sen

A Indeterminado= = ⋅ = = =+ ∞

=+ ∞+ ∞→ → →+ + +

+

+ +

lim lim lim( )

0

1

0

1

0

1

1

1010

10

Aplicamos la regla de L´Hôpital:

( ) ( )

{

L LL L

sen xx x

x xsen x

x

x

sen x x

x

sen xx

xx

sen x

x

xx

sen xx x

sen xx

sen xx

x

sen xx x

sen xx

ver ejemplo

sen

xA = = =

′

′ =⋅

=

= = =⋅

= ⋅

=

= ⋅ = ⋅ =

→ → → →

−

−

→

−

− → →

→ →

+ + + +

+ + +

+ +

+

+

lim lim lim lim

lim limcos

lim

lim lim

cos

cos cos

cos cos

0

1

0

1

1 0

1

1 0

1 1

0

1

0

2

0

0 0 6

00

1 2

2

2

1 1⋅ =01 0

Por tanto:L eA A= ⇒ = =0 10

Conclusión:Significa que “para valores de x infinitamente próximos a 0

por su derecha, los valores están infinitamente( )1x

sen x

próximos a 1".

Hagamos una comprobación utilizando la calculadora:

xsen

= ′ ⇒

≈ = ′ ≈′

′′0 001 1000 1 00693166 11

0 001

0 0010 0009999998333 ....

11.Derivación logarítmica.-En este nivel hay que suponer que el alumno conoce las técnicas de derivación mas

usuales, pero conviene conocer la denominada “derivación logarítmica” que permite hallar lafunción derivada de algunas funciones menos usuales.

Veamos su funcionamiento:U Sea y = f (x) una función cuya derivada f ´(x) buscamos.U Supongamos por las técnicas que conocemos no sabemos hallar f ´(x)U Consideramos la función z = L y = L f (x)

U Derivando z con respecto a x tenemos: z f xdzdx f x′ = = ′1

( ) ( )

U Despejando:

( )A = =→ +lim

x xsen x

0

1 1


Nótese que al tomar z = L f (x), obligamos a que f (x)sea positivo, por lo que la técnica es válida solo en loscasos en que f (x) >0

Ejemplo 11.-Sea la función y f x x x= =( )Queremos hallar su función derivada f ´(x)

Veamos:W Llamamos z = L y = L f (x)

Por tanto z L x x L xx= =W Derivando la función z como función logaritmo de otra función:

( )z L f x f xf x

xDespejando f x x z

f x x

x

′ = ′ = ⋅ ′ =′

′ = ⋅ ′ ∗

( ) ( )( )

: ( ) ( )

( )1

W Ahora bien: z L x x L xx= =

Por lo que ( ) {z x Lx Lx x L xderivada deun producto

x′ = ′ = ⋅ + ⋅ = +1 11

W Substituyendo en (*) :

f x x L xx′ = ⋅ +( ) ( )1Conclusión:

Por ejemplo:

Para x esff L

== =

′ = ⋅

5

5 5 31255 3125 6

5( )( )

Notese que es válido para valores x>0

Ejercicio 19.-Hallar la derivada de la función f x x sen x( ) =

Solución:

Por la técnica de derivación logarítmica:Llamamos z L f x L x sen x L xsen x= = = ⋅( )

Derivando z : ( )z L f x f xf x′ = ′ = ⋅ ′( ) ( )( )1

Despejando : f ´(x) = f (x) · z´ (*)

Pero ( )z sen x L x x L x sen x x′ = ⋅ ′ = ⋅ + ⋅cos 1

f x f x z′ = ⋅ ′( ) ( )

( )f x x

f x x Lx

x

x

( )

( )

=

′ = + 1


Substituyendo en (*) : f x f x z x x Lxsen x sen xx′ = ⋅ ′ = ⋅ +

( ) ( ) cos

Conclusión:

Ejercicio 20.-Hallar por el método de derivación logarítmica la derivada de la función g x x( ) = 5

Solución:Buscamos g´(x)Llamamos z L g x L x Lx= = =( ) 5 5

Derivando z : ( )z L g x g xg x′ = ′ = ⋅ ′( ) ( )( )1

Despejando : g x g x z zx′ = ⋅ ′ = ⋅ ′ ∗( ) ( ) ( )5

Pero (no olvidar que L5 es una constante)( )z x L L′ = ′ =5 5

Substituyendo en (*) : g x Lx′ =( ) 5 5Conclusión:

Recuérdese que en cursos anteriores vimos que la derivada de la

función exponencial g x a a era g x a Lax x( ) ( ) ( )= > ′ =0

Ejercicio 21.-Hallar la derivada de la función ( )y sen x x= cos

Solución:Utilizamos el método de derivación logarítmica.Buscamos y´

Llamamos ( )z L y L sen x x L sen xx= = = ⋅cos cos

Derivando z : ( )z L y yy′ = ′ = ′1

Despejando : (*)( )y y z sen x zx′ = ⋅ ′ = ⋅ ′cos

Ahora bien:

( )z x L sen x sen x L sen x x sen x L sen xx

sen xx

sen x′ = ⋅ ′ = − ⋅ + ⋅ = − ⋅ +cos coscos cos2

f x x

f x x x L x x L x

sen x

sen x sen xx

sen x x sen xx

( )

( ) cos cos

=

′ = ⋅ +

= +

g x

g x L

x

x

( )

( )

=

′ =

5

5 5


Substituyendo en (*) : ( )y sen x sen x L sen xx xsen x′ = ⋅ − ⋅

cos cos2

Conclusión:

Ejercicio 22.-La función está definida cuando x > 0.f x x x( ) =Hallar el valor de su derivada para x = 1

Solución:Buscamos f ´(1)Necesitamos conocer f ´(x)Empleamos la técnica de derivación logarítmica:

( )

( )

z L f x L x x L x

z L f x f x

f x f x z

z x L x L x x

f x f x z x x xL x

xx

x

x

f x

x xL x

xx

x

x L xx

xx

x L xx

xx

x

= = =

′ = ′ = ⋅ ′

′ = ⋅ ′

′ = ′ = + ⋅ = +

′ = ⋅ ′ = +

= ⋅ +

= +

( )

( ) ( )

( ) ( )

: ( ) ( )

( )1

12

12

212Por tanto

Conclusión:Para x = 1 tenemos:

( )f

L L′ = ⋅ +

= ⋅ +

=

= ⋅ + = ⋅ =

( )1 1 1

1 0 1 1 1 1

1 11

11

11

11

( )( ) ( )

y sen x

y sen x sen x L sen x sen x L sen x

x

x xsen x

x xsen x

sen x

=

′ = ⋅ − ⋅

= ⋅ −

cos

cos cos cos cos ( )2 2

f x x

f x xL x

xx

xf

x

x

( )

( )

( )

=

′ = +

′ =1 1

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