Teorema Nilai Rata-rata 12Thobirin –Herawan, Analisis Real II BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR) Teorema nilai rata-rata menghubungkan nilai suatu fungsi dengan nilai derivatifnya (turunannya), dimana TNR merupakan salah satu bagian penting dalam kuliah analisis real demikian pula dalm kuliah kalkulus diferensial. Pada bab ini akan diberikan teorema penting terkait dengan derivatif suatu fungsi dan beberapa contohnya, dimulai dengan meninjau hubungan antara nilai ekstrem relatif (maksimum atau minimum relatif) suatu fungsi dan nilai derivatifnya Sebelum pembahasan lebih lanjut, diberikan terlebih dahulu pengertian maksimum dan minimum relatif suatu fungsi. Fungsi f: [a, b] R mempunyai nilai maksimumrelatif di titikc[ a, b] jika terdapat persekitaran dari titik c dengan radius 0,yaitu ()sehingga ≤ ∈ [, ] ∩ (). Fungsi f: [a, b] R mempunyai nilai minimumrelatif di titikc[a, b] jika terdapat persekitar an dari titik c dengan radius 0,yaitu ()sehingga ≥ ∈ [, ] ∩ (). Jika fungsi f: [a, b] R mempunyai nilai maksimum relatif atau minimum relatif di titikc[a, b] maka fungsi f dikatakan mempunyai nilai ekstrem relatifdi titikc[a, b] Pembahasan selanjutnya memberikan justifikasi secara teoritis sebagai suatu proses yang umum untuk menemukan titik dimana fungsi fmempunyai ekstrem relatif dengan mencari harga derivatif fungsi di suatu titik di dalam domainnya agar sama dengan nol. Namun cara tersebut hanya dapat diaplikasikan pada titik-titik interior dari suatu interval. Untuk kejelasan hal ini perhatikan contoh berikut. Diberikan fungsi f: [0, 1] R yang didefinisikan dengan = . Dapat dimengerti bahwa x= 0 adalah satu-satunya titik dimana fmencapai nilai minimum relatif dan x= 1 adalah satu- satunya titik dimana fmencapai nilai maksimum relatif, akan tetapi tak satupun dapat ditemukan harga nol dari derivatifny a. Sebelum diberikan Teorema 2.1 perlu diberikan terlebih dahulu pengertian titik interior (interior point) suatu himpunan tak kosong dengan topologi biasa pada garis real. Diberikan SR, titikcS disebut titikinteriorhimpunan S, jika terdapat persekitaran c dengan radius 0 , yaitu ()sehingga berlaku ()S. Koleksi semua titik interior himpnan S disebut interior (bagian dalam) himpunan S dan dinotasikan dengan . Sangatlah mudah dimengerti bahwa interior setiap interval tertutup terbatas [a, b] pada garis real adalah (a, b). Teorema 2.1 (Teorema Ekstrem Interior) Diberikan c titik interior interval I = [ a, b] dan fungsi f: [a, b] R mempunyai nilai ekstrem relative. Jika fungsi f mempunyai derivatif di titik c, maka ′ = 0.
