teorema fundamental de la proporcionalidad y su reciproco
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El Teorema fundamental de la proporcionalidad y su recíproco
Objetivo: aplicar el teorema fundamental de la proporcionalidad y su recíproco en la resolución de ejercicios y problemas.
Observe la foto. Encuentre un triángulo en el que, a uno sus lados, se le haya trazado una paralela la cual pasa por el interior del triángulo.
El teorema fundamental de la proporcionalidad
Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca en puntos distintos a los otros lados, entonces determina sobre ellos segmentos que son proporcionales a dichos lados.
A
BC
El teorema fundamental de la proporcionalidad
Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca en puntos distintos a los otros lados, entonces determina sobre ellos segmentos que son proporcionales a dichos lados.
A
BC
D E
CBDE‖
El teorema fundamental de la proporcionalidad
Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca en puntos distintos a los otros lados, entonces determina sobre ellos segmentos que son proporcionales a dichos lados.
A
BC
D E
=ADAC
AEAB
CBDE‖
El teorema fundamental de la proporcionalidad
Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca en puntos distintos a los otros lados, entonces determina sobre ellos segmentos que son proporcionales a dichos lados.
A
BC
D E
=DCAD AE
EB
CBDE‖
El teorema fundamental de la proporcionalidad
Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca en puntos distintos a los otros lados, entonces determina sobre ellos segmentos que son proporcionales a dichos lados.
A
BC
D E
=AEAD DC
EB
CBDE‖
Ejemplo 1:
A
C B
En la figura, AB=120cm, AC=96cm, AE=80cm. Calcule CD.
CBDE‖
A
C B
D E
Ejemplo 1:
En la figura, AB=120cm, AC=96cm, AE=80cm. Calcule CD.
=12080
96AD
= 120•80•96 AD= 120•7680 AD=7680 ÷120 AD=64 AD
Solución:
CBDE‖
A
C B
D E
Ejemplo 1:
En la figura, AB=120cm, AC=96cm, AE=80cm. Calcule CD.
=64 AD= +AC CDAD=96 +64 CD=96 – 64 CD=32 CD
Ejemplo 2:
En la figura, AB=20cm, AD=3cm, CD=12cm. Calcule EB.
A
••• •
•D
BC
E20cm
12cm
3cm15cm15
=
20
12E
B
CB‖DE
Ejemplo 2:
En la figura, AB=20cm, AD=3cm, CD=12cm. Calcule EB.
A
••• •
•D
BC
E20cm
12cm
3cm15cm
15 =20
12
E
B
EB
CB‖DE
Ejemplo 2:
En la figura, AB=20cm, AD=3cm, CD=12cm. Calcule EB.
A
••• •
•D
BC
E20cm
12cm
3cm15cm
15 =20
12
E
B
EB1520
12EB• = •
CB‖DE
Ejemplo 2:
En la figura, AB=20cm, AD=3cm, CD=12cm. Calcule EB.
A
••• •
•D
BC
E20cm
12cm
3cm15cm
15 =20
12
E
B
EB1520
12EB• = •1520 12 EB=
240 •15 EB÷240240 =15= EB
16 =EB
EB=16cm
Respuesta:
Ejemplo 3:
AD
El recíproco del teorema fundamental de la proporcionalidad
Si una recta interseca a dos lados de un triángulo y determina sobre dichos lados segmentos proporcionales a ellos, entonces es paralela al tercer lado.
B
A
C
ED
El recíproco del teorema fundamental de la proporcionalidad
Si una recta interseca a dos lados de un triángulo y determina sobre dichos lados segmentos proporcionales a ellos, entonces es paralela al tercer lado.
B
A
C
ED
Si AD =AEDCEB
entonces
CB ‖ DE
Ejemplo:
Determine si FG es paralela a QR.
P
QR
F G PQ=24cmGQ=10cmFR=15cmPF=36cm
FG ‖ QR PFFR
PGGQ=si y sólo si
Solución:
P
QR
F G PQ=24cmGQ=10cmFR=15cmPF=36cm
Solución:
P
QR
F G PQ=24cmGQ=10cmFR=15cmPF=36cm
PFFR
PGGQ=
Solución:
PFFR
PGGQ=Entonces hay que verificar si
Note que PQ=24cm y GQ=10cm, entonces PG=14cm, por lo tanto se procede a verificar.
3615
2410
P
QR
F G PQ=24cmGQ=10cmFR=15cmPF=36cm
=
Solución:
PFFR
PGGQ=Entonces hay que verificar si
Note que PQ=24cm y GQ=10cm, entonces PG=14cm, por lo tanto se procede a verificar.
3615
2410 = 2,4 = 2,4
Se concluye que porque FG ‖ QR PFFR
PGGQ=
P
QR
F G PQ=24cmGQ=10cmFR=15cmPF=36cm
Solución:
Se concluye que FG ‖ QR
PFFR
PGGQ=
porque se cumple que: