Teorema de Gauss

El teorema de Gauss dice: El flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada

es igual al cociente entre la carga encerrada en el interior de dicha superficie dividida entre

ε0.

Campo eléctrico en cascarón esférico. Espesor del cascarón mucho menor que su

diámetro, (caso contrario hay que usar densidad de carga volumétrica en el espesor).

Caso r > R (campo en un punto fuera del cascarón esférico)

ds es perpendicular a la superficie (hacia fuera)

E en la superficie también es hacia fuera (es radial)

La suma de todas las líneas de campo eléctrico E será:

∫S E.dS(superficie de la esfera)

En la superficie de la esfera E es radial hacia fuera y dS es perpendicular a la superficie

de la esfera (y por tanto radial también).

El ángulo entre E y dS es 0º, y cos90 = 1, quedando por lo tanto el flujo de E en toda la

superficie de la esfera.

En toda la superficie de la esfera, en cualquiera de los puntos que se considere E y dS son

paralelos, entonces el ángulo entre ellos será 0, y cos0 = 1.

Entonces queda: ∫S E.dS (toda la superficie de la esfera)

E es uniforme y constante en todos los puntos, por lo tanto sale de la integral quedando:

E.∫S dS

La integral de dS es S, así como la integral de dx es x

∫S dS = S, entonces queda: E.S

¿Qué S es? Es la superficie total de la esfera. Es como si sumáramos todos los pequeños

diferenciales de área dS que forman toda la superficie de la esfera gaussiana, lo cual nos

da la superficie total de la esfera.

Ahora bien, la superficie de la esfera es: 4.π.r2.

La esfera gaussiana tiene un radio r minúscula, no R mayúscula.

Entonces E.S queda: E. 4.π.r2, quedando por tanto:

εo: permitividad dieléctrica del vacío

Se sabe que la constante de la ley de Coulomb es K= 9.109, pero en realidad es: K=1/4πεo

si se despeja εo de aquí, queda: εo = 1/4πK= 8,85.10-12

Ahora tenemos el problema de la carga encerrada por la superficie gaussiana. La carga

encerrada por la superficie gaussiana, teniendo en cuenta que la región comprendida entre

la esfera real y la esfera gaussiana, es vacío, no hay carga, va a ser toda la superficie

exterior de la esfera real, por lo tanto la carga encerrada es la carga superficial total de la

esfera. Por lo tanto queda:

E. 4.π.r2= Q/ εo , Q carga superficial total de la esfera

¿Qué Q es? La carga en toda la superficie exterior. La obtenemos a partir de la densidad

superficial de carga σo.

La densidad superficial de carga es la carga dividida por la superficie: σo = Q/S,

despejamos Q de la fórmula Q = σo.S, donde S es la superficie de la esfera real (no la

gaussiana), y la superficie de la esfera es 4π.r2, cambiamos también r por R, quedando,

entonces:

R: radio de la esfera real

Con este dato vamos a la ecuación del campo eléctrico y reemplazamos Q por el valor

obtenido en este paso, quedando: E. 4.π.r2 = (σo . 4π.R2) / εo

De aquí despejamos E E = (σo. (4.π.R2) / (εo. 4.π.r2), simplificando queda finalmente:

E= (σo .R2) / (εo. r

2), r: distancia al punto donde estamos estimando el campo eléctrico.

Como la esfera es hueca no existe campo eléctrico en su interior, pues no hay carga

encerrada en su interior

E. 4.π.r2

Q= σo. 4π.R2