Trabajo presentado en el Seminario como opción para la obtención del Título de Licenciado en Matemática.

UNIVERSIDAD DE PANAMÁ

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES EXACTAS Y TECNOLOGÍAS

ESCUELA DE MATEMÁTICA

Teorema Chino de los Restos

Zugeily Tejeira.

CED: 5-706-2044

Ciudad Universitaria, Octavio Méndez Pereira

Panamá, 2010

DEDICATORIA

Esta monografía va dedicada en especial a los dos seres más

queridos, a Dios y mi querida abuela Inés B. de Cañizalez por

ser mi mayor inspiración.

A mis padres Manuel Tejeira e Indelida de Tejeira por su

apoyo incondicional, a mis hermanos Emanuel Tejeira e Iann

Tejeira por haber sido una gran motivación en mis estudios.

A mis amigos por sus consejos y apoyo, a mis compañeros

por su ayuda durante mis estudios y en especial a mi querido

amigo, hermano, compañero, Fezal Bhana que durante estos

años hemos compartido y vivido muchas experiencias juntos.

AGRADECIMIENTO

Agradezco al Señor Todo Poderoso por haberme permitido

cumplir esta pequeña meta.

A mis padres y hermanos por apoyarme, aconsejarme y

guiarme en mis decisiones.

A los profesores que durante la licenciatura me llenaron de conocimiento, en especial al profesor Dr. Jaime Gutiérrez por guiarme en la elaboración de esta monografía.

Contenido

Introducción

Contexto Histórico

Aportes de:

Sun Tzu Qin Jiushao Alexander Wylie

Contexto Teórico

Congruencia Clases de restos y sistemas completos de

restos Congruencias lineales Sistemas de congruencias lineales Teorema chino de los restos. Teorema chino de los restos generalizado

Teorema chino de los restos congruentes para enteros

Aplicación

Conclusión

Bibliografía

Introducción

Sabemos que cada congruencia lineal tiene solución, pero como encontraríamos solución a un sistema de congruencias lineales simultáneamente.

Este contexto se reunirá una serie de conceptos para el

desarrollo y entendimiento de la solución del mismo. En este

desarrollaremos el teorema chino de los restos. Se puede

destacar que su origen se remonta a la antigua china, fue

descubierto en el siglo 12 de nuestra era por el chino Sun

Tzu, fue el primero en trabajar con este teorema. A parte de

saber sobre este desarrollo también eran conocidas algunas

de sus aplicaciones. El teorema chino de los restos es uno de

los más usados en la teoría de números, se mostrara

diferentes ejemplos de la resolución del mismo.

Posee una enorme aplicación en diferentes áreas, para

mencionar como en la cronología y la criptografía. En la

cronología, solo conociendo el año juliano de un año

cualquiera, podemos calcular su año solar, dorado y de

indicción y en criptografía, en especial para reducir

operaciones con números enormes mediante el paso a

congruencias. En el algoritmo RSA, por ejemplo, los cálculos

se hacen módulo n, donde n es un producto de dos primos p y

q.

El Teorema Chino de los Restos tuvo una de sus primeras

apariciones en el siglo III.

Sun Tzu (722 aC - 481 aC)

El primero que trabajó con este teorema fue el matemático

chino Sun Tzu, vivió en el pgeríodo de primavera y otoño (722

aC - 481 aC) durante la Dinastía Zhou (1045 aC - 221 aC).

La forma original del teorema, está contenida en un libro

escrito por Sun Tzu llamado "aritmética manual del maestro

Sun", que es un libro chino que datan de 287 d.C. a 473 d.c.

Además fue desarrollado simultáneamente por griegos y

chinos, para resolver algunos problemas en relación con la

astronomía.

Además Sun Tzu fue escritor, pensador, político y militar

chino, autor del más antiguo y brillante tratado militar, "El

arte de la guerra". Dedicó gran parte de su vida a las

confrontaciones y debido a sus innumerables triunfos fue

considerado un experto estratega y militar. Uno de los

discípulos de Sun Tzu, Sun Wu, es el encargado de compilar

en trece tomos sus conocimientos y finalmente Sun Pin,

descendiente de Wu, es el que publica "El arte de la guerra".

Sun Tzu fue el primer estratega y teórico militar de China y ha

sido aclamado como el "sabio militar". Su libro "El arte de la

guerra" es el primer tratado castrense del mundo y su

influencia ha superado las fronteras militares llegando a la

política, la diplomacia, la cultura y la economía.

En su obra describe el armamento chino así como también sus

sistemas de mando, comunicación, disciplina, distinciones de

rango, estrategia y logística.

En "El arte de la guerra" considera que el poder es usado por

los políticos en interés de sus estados, sin acentuar el interés

por la moralidad o la ética en los actos. Lo importante para

esta posición política (que no ha cambiado demasiado con el

transcurso de los siglos) es lograr una mayor cuota de poder

en el orden internacional.

Qin Jiushao (1202 - 1261)

Nació en Ziyang, Sichuan, Su ascendencia era de Shandong,

es considerado como uno de los más grandes matemáticos

del siglo XIII. Además el se llevó a cabo en muchos otros

campos, sin embargo, y celebró una serie de cargos

burocráticos en varios provincias chinas.

Escribió el famoso tratado Shushu Jiuzhang (Tratado

matemático en nueve secciones) que apareció en 1247. El

tratado cubre temas que van desde el análisis indeterminado

a los asuntos militares y de estudio. En el

tratado, Qin incluyó una versión del teorema

chino del resto, el cual contiene un gran

trabajo sobre este, proporciona una ecuación

cuyos coeficientes son variables y, entre otros

resultados. Además en este tratado fue publicado por primera

vez el teorema, el cual es un enunciado sobre congruencias

simultáneas.

En geometría, descubrió "fórmula Qin Jiushao "en encontrar el

área de un triángulo con una longitud dada de tres lados. Este

es el mismo que la fórmula de Herón, descubierto antes.

Qin explica por primera vez como expertos chinos calculaban

datos astronómicos según el ritmo del solsticio de invierno.

Entre de sus logros está la introducción de una técnica para

solucionar ecuaciones( Un algoritmo numérico basado en el

método de Horner), hallar sumas de series aritméticas y

solucionar sistemas lineales. También introdujo el uso del

símbolo cero en las matemáticas chinas

Puesto que también hace comentarios prácticos sobre las

matemáticas, el libro de Qin proporciona una valiosa

información sobre las condiciones sociales y económicas en

China durante el siglo XIII. Qin desarrolló su talento en

muchas otras áreas además de las matemáticas, como en la

música, tiro con arco, esgrima, poesía y arquitectura.

Después de haber completado su trabajo en matemáticas,

entró en la política. Era jactancioso, corrupto, acusado de

soborno y de la intoxicación por sus enemigos, por lo que

varias veces fue relevado de sus funciones, y puesto en

"suspensión". Aun así, se las arregló para llegar a ser muy

rico. A diferencia de muchos matemáticos antiguos, que tenía

fama de sabio y no muy aburrido rápidamente con las

matemáticas, lo que puede ser la razón por él se centró tan

poco de su vida en su estudio.

Alexander Wylie

Nació en Londres, Inglaterra el 6 abril 1815 y falleció 10

febrero 1887, británica protestante cristiana

misionera a China. Él es conocido por su trabajo

de traducción y de becas durante la última

dinastía Qing. Su gran aporte fue en llevar a

Europa el Teorema Chino de los restos.

Fue a la escuela a Drumlithie, Kincardineshire , y al Chelsea .

While apprenticed to a cabinet-maker he picked up a

grammar written in Latin , and after mastering the latter

tongue made such good progress with the former, that in

1846 engaged him to superintend the 's press at . Mientras

que un aprendiz de ebanista cogió una gramática china

escrita en latín , y después de dominar la lengua esta última

hizo un buen progreso como con la primera, que en 1846

James Legge lo contrató para supervisar la Sociedad Misionera

de Londres 'en Shanghai . In this position he acquired a wide

knowledge of Chinese religion and civilization, and especially

of their , so that he was able to show that 's method (1819)

of solving equations of all orders had been known to the

Chinese mathematicians of the 14th century. En esta posición

él adquirió un amplio conocimiento de la religión y la

civilización china, y especialmente de su matemática , de

modo que fue capaz de demostrar que Sir George Horner s

método "(1819) para resolver ecuaciones de todas las

órdenes habían sido conocidos por los matemáticos chinos del

siglo 14.

En chino, tradujo libros sobre aritmética , cálculo ( Loomis ),

álgebra ( De Morgan s '), la mecánica , la astronomía (

Herschel s '), en colloboration con Li Shanlan, y la marina de

vapor del motor (TJ principal Brown y T), como así como las

traducciones del Evangelio según San Mateo y el Evangelio

según Marcos . In English his chief works were Memorials of

Protestant Missionaries (1867), Notes on Chinese Literature

(Shanghai, 1867), Jottings on the Science of Chinese

Mathematics and collection of articles published under the

title Chinese Researches by Alexander Wylie (Shanghai,

1897). En Inglés sus obras más importantes fueron los

monumentos de los misioneros protestantes (1867), Notas

sobre la Literatura China (Shangai, 1867), Apuntes sobre la

ciencia de las matemáticas chinas y la recopilación de

artículos publicados bajo el título chino Investigaciones por

Alexander Wylie (Shangai, 1897). He also published an article

on the in Xian . También publicó un artículo sobre la

nestoriana Tablet en Xian.

Mientras que en China, Alejandro Wylie amasó una gran

colección de libros antiguos chinos. En 1882, vendió su

colección de cerca de 20.000 títulos chinos a la Biblioteca de

Oxford . Su colección se encuentra ahora en la Biblioteca

Bodleian de Alejandro Wylie Colección.

Antes de mencionar el teorema presentaremos algunos

teoremas y definiciones, para poder desarrollar el Teorema

Chino De Los Restos.

1. Congruencia

1.1 Definición

Sean a, b y m enteros con m > 0, se dice que a es

congruente con b módulo m, y se denota simbólicamente

como a≡b (modm ) , si y solo si m divide la diferencia a – b. el

número m se llama módulo de la congruencia. Esto quiere

decir que la congruencia es equivalente a la relación de

divisibilidad m|(a – b). El símbolo de congruencia ≡ fue

elegido por Gauss para sugerir una analogía con el signo de

igualdad =.

En particular a≡0 (modm ) si y solo si, m|a. Por lo tanto

a≡b (modm ) .Si y sólo si a−b≡0(modm). Si m ∤ (a−b )escribimos

a≡b (modm ) , entonces a y b son incongruentes mod m.

Ejemplos

27≡3 (mod 4 ) , ya que 27 – 3 = 24 y este es divisible por

4.

47≡7(mod 8) ya que 47 – 7 =40 y este es divisible por 8.

1≡−1(mod 2), ya que 1- (-1)=2 y este es divisible por 2.

N es par sí, y sólo si, n≡0(mod 2).

Sa≡b(mod m) entonces a≡b(mod d) con d|m, d>0.

1.2 Propiedades

Enunciaremos algunos teoremas que prueban que las

congruencias poseen las propiedades formales de las

ecuaciones y sus respectivas demostraciones.

Teorema 1.2.1

La congruencia es una relación de equivalencia. Tenemos:

a) Reflexiva

a≡a (modm )

b) Simétrica

a≡b(mod m) Implica b≡a(mod m)

c) Transitiva

a≡b (modm ) yb≡c (mod m ) Implica a≡c (modm)

Demostración:

Aplicando las propiedades de la divisibilidad tenemos:

a) Como m|0 entonces queda demostrado.

b) Si m|(a – b) entonces m| (b – a).

c) Si m|(a – b) y m| (b – c) entonces m|(a – b) + (b – c) = m|

(a – c).

Teorema 1.2.2.

Si a≡b (modm ) y α≡ β (mod m ) .Es decir que dos congruencias

respecto del mismo módulo se pueden sumar, restar o

multiplicar, miembro a miembro, como si fuesen ecuaciones.

El mismo resultado es verdadero para un número finito de

congruencias respecto al mismo módulo.

a) ax+∝ y≡bx+ βy (mod m) para todo entero x e y.

b) a∝≡b β (modm ) .

c) an≡bn(mod m) para cada entero positivo n.

d) f ( a )≡f (b ) ( modm ) para cada polinomio f con coeficientes

enteros.

Demostración:

a) Como m|(a – b) y m|(∝−β ¿≡0, entonces m| x(a – b) + y(

∝−β ¿= ax+∝ y¿−(bx+βy ) .

b) Partiendo de la demostración anterior (a) tenemos que

a∝−bβ=∝ (a−b )+b (∝−β )≡0 (modm ) .

c) Sustituyendo ∝=a y β=b en (b) y hacemos inducción sobe

n.

d) Utilizar la parte (c) e inducción sobre el grado f.

Ejemplo

Regla de divisibilidad por 11. Un entero z > 0 es divisible por

11 si, y sólo si, la suma de los dígitos de su expresión decimal

es divisible por 11. Sea  z  cualquier entero expresado en el

sistema decimal en la forma

nnaaaaz 10........1010 2

210 , donde i =0,1,…n , 90 ia ,

y   0na   

Esta propiedad se demuestra aplicando congruencias. Por el

teorema (1.2.2) tenemos:

110 ( mod 11 )

1102 ( mod 11 )

1103 ( mod 11 )

1104 ( mod 11 )

…

10n ≡±1 (mod 11)     dependiendo si  n  es par o impar.

Por tanto

00 aa (mod 11)

11 10 aa ( mod 11 )

22

2 10 aa ( mod 11 )

…

an10n ≡±an (mod 11)

Entonces   naaaaaaz ....43210  (mod 11)

Si la suma de los dígitos de un entero alternados en signos es

divisible por 11, entonces el número es divisible por 11.

Por ejemplo. El número    3162819 es divisible por 11 ya

que 3-1+6-2+8-1+9= 22 el cual es divisible por 11.

Teorema 1.2.3

Si c > 0 entonces a≡b(mod m) si y sólo si, ac ≡bc (modmc ) .

Demostración:

Tenemos m|(b – a) si y sólo si, cm| c(b – a).

Teorema 1.2.4

Ley de la simplificación. Si ac ≡bc (mod m) y d= (m,c ), entonces

a≡b(modmd

).

En otras palabras, un factor común c se puede simplificar si el

módulo se divide por d ≡(m,c ). En particular un factor común

que es primo con el módulo se puede simplificar siempre.

Demostración:

Dado que ac ≡bc (mod m) tenemos m|c(a – b) o sea md

∨ cd

(a−b ) .

Pero (m/d, c(d)) = 1 y por tanto m/d|(a – b).

Teorema 1.2.5

Supongamos que a≡b(mod m). Si d|m y d|a, entonces d|b.

Demostración:

Supongamos que d>0. Si d|m entonces a≡b(mod m) implica

a≡b(mod d). Pero, si d|a, entonces a≡0(mod d) por lo que b≡0 (modd ) .

Teorema 1.2.6

Si a≡b(mod m) entonces (a, m) = (b, m). Con otras palabras, los

números que son congruentes módulo m tienen el mismo mcd

con m.

Demostración:

Sea d=(a m) y e= (b, m). Entonces d|m y d|a, luego d|b por

tanto d|e. Análogamente, e|m, y e|b, luego e|a; por tanto

e|d por consiguiente d=e.

Teorema 1.2.7

Si a≡b(mod m) y si 0≤|a−b|<m, entonces a =b.

Demostración:

Como m|(a – b) tenemos m≤∨a−b∨¿ salvo si a –b = 0.

Teorema 1.2.8

Tenemos a≡b(mod m) si, sólo si, a y b tienen el mismo resto

cuando se dividen por m.

Demostración:

Escribimos a≡mq+s , b=mQ+R ,en donde 0≤r<m y 0≤ R<m . Entonces a

– b a−b≡r−R(modm) y 0≤|r−R|<m y aplicamos el teorema anterior

(1.2.7).

Teorema 1.2.9

Si a≡b(mod m) y a≡b(mod n) con (m n) =1, entonces a≡b (modmn ) .

Demostración:

Puesto que m y n dividen a (a – b) y (m, n) =1 también m· n

divide a (a – b).

2. Clases de restos y sistemas completos de

restos.

2.1 Definición

Consideremos un módulo fijo m > 0. Sea â el conjunto de

todos los enteros x tales que x≡a(modm) y llamaremos a â la

clase de restos de a módulo m.

Entonces â consta de todos los enteros de la forma a + mq,

q=0, ±1, ±2,… .

2.2 Propiedades

Las siguientes propiedades de las clases de restos son

consecuencia fácil de esta definición.

Teorema 2.2.1

Para un módulo m dado tenemos:

a) â=b si, y sólo si, a≡b (modm ) .

b) Dos enteros x e y pertenecen a la misma clase de

restos si, y sólo si x≡ y (modm ).

c) Las m clases de restos 1, 2,…, m son disjuntas y su

unión es el conjuntos de todos los enteros.

Definición:

Un conjunto de m representantes, uno de cada una de las

clases de restos 1,2,…, m se llama sistema completo de

restos módulo m.

Ejemplos Todo conjunto formado de m enteros,

incongruentes mod m, es un sistema completo de restos mod

m. Por ejemplo,

{1, 2,…, m}; {0, 1, 2,…, m-1}; {1, m +2, 2m + 3, 3m + 4,…,

m2}.

Teorema 2.2.2

Supongamos (k, m) =1. Si {a1,. . ., am} es un sistema

completo de restos módulo m, también lo es {ka1,…, kam}.

Demostración:

Si ka1 ≡ kaj (mod m) entonces a1 ≡ aj (mod m) ya que (k, m)

=1. Por consiguiente ningún par de elementos del conjunto

{ka1,…, kam} es congruente módulo m. puesto que en este

conjunto existen m elementos constituye un sistema completo

de restos.

3. Congruencias lineales

3.1 Definición

Sea f(x) polinomios con coeficientes enteros, por lo que los

valores de estos polinomios serán enteros cuando x sea

entero. Un entero x que satisfaga la congruencia polinómica

f ( x ) ≡0 (modm)

Se llama solución de la congruencia. Además, si x≡ y (modm)

entonces f (x)≡f ( y )(modm) o sea que cada congruencia que tenga

una solución tiene una infinidad. Por consiguiente, conviene

que las soluciones pertenecientes a la misma clase de restos

no deben contarse como distintas. Y cuando se habla del

número de soluciones de una congruencia, se refiere al

número de soluciones incongruentes, esto es, al número de

soluciones contenidas en el conjunto {1, 2,…, m} o en algún

otro sistema completo de restos módulo m. Por consiguiente

cada congruencia polinómica módulo m tiene a lo sumo m

soluciones.

Ejemplos

La congruencia lineal 2 x≡3 (mod 4) carece de solución,

puesto que 2x -3 es impar para cada x y, por

consiguiente, no puede ser divisible por 4.

La congruencia cuadrática x2≡1(mod 8) admite

exactamente cuatro soluciones dadas por x≡1 ,3 ,5 ,7(mod 8).

La teoría de las congruencias lineales quedará totalmente

descrita mediante los tres teoremas siguientes:

Teorema 3.1.1.

Si mcd(a, m)= 1. Entonces la congruencia lineal ax ≡b (modm)

tiene exactamente una solución.

Demostración:

Es preciso verificar únicamente los números 1, 2,…, m, ya que

constituyen un sistema residual completo. Por consiguiente se

forman los productos a, 2a,…, ma. Puesto que (a, m) =1 estos

números constituyen también un sistema residual completo.

Por tanto solo uno de estos productos es congruente con b

modulo m. esto es, existe un único x que satisface ax ≡b (modm).

Teorema 3.1.2

Si mcd (a, m) = d. Entonces la congruencia lineal ax ≡b (modm)

tiene solución si, sólo si, d/b.

Demostración:

Si existe una solución entonces d|b la congruencia ad

x≡bd(mod

md

)

tiene una solución puesto que (a/d, m/d)=1, y esta solución es

también una solución de ax ≡b (modm)

Teorema 3.1.3

Si (a, m)=d y d|b. Entonces la congruencia lineal

(1)ax≡b(mod m)

tiene exactamente d soluciones módulo m. vienen dadas por

(2) t ,t+md

,t+2md

,… ,t+(d−1 ) md

,

En donde t es la solución única módulo m/d, de la congruencia

lineal (3) ad

x≡bd (mod

md ) .

Demostración:

Cada solución de (3) es solución (1) y recíprocamente, cada

solución de (1) satisface (3). Luego los d números

t ,t+md

,t+2md

,… ,t+(d−1 ) md

, son soluciones de ad

x≡bd (mod

md ) y, por

tanto, de (1). Dos cualesquiera de ellos no son congruentes

módulo m puesto que las relaciones

t+rmd

≡ t+smd

(modm ) , con0≤r<d ,0≤s<d implican

rmd

≡smd

(modm ) , por lo tanto r ≡ s(modd) pero 0≤|r−s|<dluego r = s.

Como vemos falta demostrar que ax ≡b (modm)no tiene más

soluciones que las descritas en (2). Si es una solución de (1)

entonces ay ≡at(modm) luego y ≡t (modmd ) . Por lo tanto y= t + km/d

para un cierto k. pero k ≡r ( modd ) para un r que verifica 0≤r<d .

Por consiguiente kmd

≡rmd

(modm ) , luego y ≡t+rmd

(mod m ) .

por consiguiente y es congruente módulo m con uno de los

números descritos en t ,t+md

,t+2md

,… ,t+(d−1 ) md

,luego queda

demostrado.

Teorema 3.1.4.

Si (a, b) = d existen enteros x e y tales que ax + by =d.

Demostración:

La congruencia lineal ax ≡d (modb ) tiene una solución. Por lo

tanto existe un entero y tal que d – ax = by. Esto nos da ax +

by =d, luego queda demostrado.

Sistemas de congruencias lineales

Un sistema de congruencias lineales es un sistema de la forma

a1 x≡b1(mod n1)

a2 x≡b2(modn2)

…

ak x ≡bk (modnk)

Es decir, se trata de un sistema de k ecuaciones pero con una sola incógnita.

Con el uso de estos teoremas y definiciones desarrollaremos

la parte más importante de este trabajo, el teorema chino de

los restos.

4. Teorema chino de los restos.

Un sistema de dos o más congruencias lineales no tiene

necesariamente solución, aunque cada una de las

congruencias individuales si tenga solución. Por ejemplo no

existe ningún x que satisfaga simultáneamente x≡1 (mod 2 ) y

x≡0(mod 4), a pesar de que cada una de ellas, separadamente

tenga solución. En este ejemplo, los módulos 2 y 4 no son

primos entre sí. Ahora demostraremos que todo sistema de

dos o más congruencias lineales que, separadamente admite

solución única se puede resolver también simultáneamente, si

los módulos son dos a dos primos entre sí. Para resolver este

tipo de sistema de congruencias lineales hay un caso especial

como lo es teorema chino de los restos.

El matemático y poeta chino Sun Tsu planteó hace alrededor

de 1800 años el siguiente problema:

Tengo un conjunto de objetos. Cuando los cuento de tres en

tres, me sobran dos; cuando los cuento de cinco en cinco, me

sobran tres; cuando los cuento de siete en siete, me sobran

dos. ¿Cuántos objetos poseo?

Un resultado clásico de teoría de números proporciona

condiciones para que un problema del tipo anterior tenga

solución. Como homenaje a Sun Tsu, dicho resultado se

conoce como el teorema chino del resto. En su versión más

simple, el teorema se enuncia de la siguiente manera:

Teorema 4.1

Teorema chino de los restos. Supongamos que m1, m2,. . ., mr

son enteros positivos, primos entre sí, dos a dos: (m i, mk) =

1 si i≠ k. Y Sean b1, b2,. . ., br enteros arbitrarios. Entonces el

sistema de congruencias lineales

x≡b1(mod m1)

x≡b2(modm2)

.

.

.

x≡br (modmr)

Todas las soluciones x de este sistema son congruentes

módulo m, donde

m= m1. m2. … . mr.

Demostración:

Sean M= m1. m2. … mr y Mk = M/mk donde Mk es el producto

de todos los módulos excepto el k-ésimo módulo. Entonces

como todos los módulos son tomados dos a dos, primos entre

sí, esto quiere decir que mcd (Mk, mk) =1, y aplicando el

teorema que dice: “Si mcd(a, m) = d. Entonces la

congruencia lineal ax ≡b (modm) tiene solución si, sólo si, d/b”.

Sea

x = b1 · M1 · M’1 + b2 · M2 · M’2 +… + br · Mr · M’r.

Consideremos cada uno de los términos de esta suma módulo

mk. Dado que Mi ≡0(modmk ) si i≠ k tenemos x≡bk M k M ´ k≡bk (modmk ) .

Por tanto x satisface cada una de las congruencias del

sistema. Es fácil probar además que el sistema posee una

única solución módulo M. En efecto, si x e y son dos

soluciones del sistema tenemos x≡ y (modmk ) para cada k y,

puesto que los mk son, dos a dos primos entre sí, también

tenemos x≡ y (mod M ) . luego queda demostrada.

Ejemplo.

1. Encuentre los dos números positivos mínimos que tengan residuos 2, 3, 2 cuando se divide por 3,5,y 7 respectivamente. En congruencias seria:

Tenemos que m=3x5x7= 105. Tomando los primos relativos dos a dos M1= 35, M2= 21, M3= 15.

• Para encontrar N tendríamos que :

M 1 N1 ≡1mod(3)35 N1≡1mod(3)2 N1≡1mod (3)

N1= 2

M 2 N2 ≡1mod (5 )21 N2≡1mod (5)N2 ≡1mod(5)

N2 = 2

M 3 N 3≡1mod (7)15 N3≡1mod(7)N3 ≡1mod(7)

N3 = 1

La solución al sistema de congruencia seria:

X= b1M1N1 + b2 M2N2 + b3 M3N3

X= (2)(35)(2) + (3)(21)(1) + (2)(15)(1)X= 140 + 63 + 30

X= 233

Las dos mínima soluciones son 23 y 128, en general todas las soluciones de este sistema tienen la forma 23 + 105n

Lema

Consideremos la descomposición de n en factores primosn=pe1 1·…· pek k, donde p1 ,…, pkson primos diferentes. Para cualesquiera enteros a y b :a≡b (modn ) a≡b(mod peii)para cada i = 1,..., k

Ejemplo

Vamos a resolver la congruencia 91 x≡419 (mod 440 ) .

Al ser mcd(91, 440) = 1 tiene solución y, por ser 440 = 23 · 5 · 11, la congruencia es equivalente al sistema

91 x≡419 (mod 8 )

91 x≡419 (mod 5 )

91 x≡419 (mod 11 )

esto es

3 x≡3 (mod 8 )

x≡4 (mod 5 )

3 x≡1 (mod 11 )

o lo que es lo mismo:

x≡1 (mod 8 )

x≡4 (mod 5 )

x≡4 (mod 11)

Sistema, este último, en el que

a1=1 , a2=4 , a3=4 , n1=8 ,n2=5 , n3=11 , n=n1 · n2 · n3=440

c1=55 , c2=88 , c3=40

c1 d1≡1 (mod n1 )=55d1≡1 (mod 8 )=d1≡7 ( mod 8 ) ;d1=7

c2 d2≡1 (mod n2 )=88d2 ≡1 (mod 5 )=d2≡2 (mod 5 ); d2=2

c3 d3≡1 (modn3 )=40d3≡1 (mod 11)=d3≡8 (mod 11) ;d3=8

x0=a1c1 d1+a2 c2d2+a3c3 d3=1 ·55 ·7+4 ·88 ·2+4 ·40·=2369

por lo que la solución general viene dada por la de la congruencia

x≡2369 (mod 440 ) x ≡169(mod 440)

Teorema chino de los restos congruentes para

enteros

Sean x1,..., xr valores enteros, y p1,..., pr valores enteros

relativamente primos dos a dos, cuyo producto es n = p1 ×...

× pr. En estas condiciones, el sistema de ecuaciones

congruenciales dado por:

x ≡xi (mod pi ) para i = 1, ..., r

tiene una solución única x ϵ [0, n – 1], tal que:

x = ¿

con yi valores enteros que verifican las relaciones:

y i ≡ (n / pi )−1 (mod p i ) parai=1 ,…, r .

Para verlo, se consideran los valores enteros pi y ( n / pi ),

para i = 1, ..., r. Estos valores son relativamente primos dos a

dos, ya que p1, ..., pr a su vez lo son. Entonces, existen

valores enteros yi, tales que:

(n / pi) yi ≡ 1 ( mod pi) para i = 1, ..., r.

Además, puesto que p j divide a (n / pi) para todo 1≤ i ≠ j ≤ r,

se tiene que:

(n / pi) yi ≡ 0 (mod p j).

Con todo lo anterior, y teniendo en cuenta que pi divide a n,

para i = 1,..., r, el valor entero x dado por la ecuación anterior,

es solución del sistema de ecuaciones congruenciales

formulado al principio del teorema, puesto que se verifica:

x ≡ (n / pi) yi xi ≡ xi (mod pi) para i = 1, ..., r.

La solución x ϵ [0, n – 1] es única. Para verlo, se considera otra

solución x’ _ x, con x’ ϵ [0, n – 1], tal que verificase que x’ ≡

xi (mod pi) para i = 1... r. Entonces, puesto que los enteros

p1,..., pr son relativamente primos dos a dos, se verificaría que

x ≡ x’ (mod n) y, por tanto, que x = x’, lo cual supone una

contradicción de la hipótesis inicial.

Ejemplo:

2. Calcular la solución entera del sistema de ecuaciones

congruentes siguientes, mediante el teorema Chino de

restos congruentes.

x ≡ 67 (mod 92)

x ≡ 42 (mod 87)

x ≡ 24 (mod 77).

Cálculo del sistema de ecuaciones congruenciales mediante el

teorema Chino de restos congruentes.

x ≡ 67 (mod 92)

x ≡ 42 (mod 87)

x ≡ 24 (mod 77)

n = (77) (87)(92) = 616308

Se calculan los valores siguientes:

y i ≡ (n / pi )−1 (mod p i )

y1 ≡(616308 / 92)-1 ≡ 6699 ≡ 27 (mod 92)

y2 ≡ (616308 / 87)-1 ≡ 7084 ≡ 40 (mod 87)

y3 ≡(616308 / 77)-1 ≡8004 ≡ 19 (mod 77)

La solución x ≡¿ es

x ≡( 61630877

.19 .24 ) + (616308

87.40 .42) + (

61630877

.27 .67)

x ≡ 551883 (mod 616308).

Con este último teorema con su respectivo ejemplo, damos por concluida nuestro interesante contexto teórico del teorema chino de los restos.

Resolución del teorema usando ecuaciones diofantinas.

Una congruencia de la forma:

ax ≡ b (mod m)

Donde m es un entero positivo, a y b son números enteros y x es una variable entera, se llama congruencia lineal o ecuación de congruencia lineal (lineal por aparecer la variable x como potencia de grado uno, únicamente).

Resolver esta ecuación consiste (como en el caso de la aritmética entera) en encontrar todos los enteros x que

satisfagan la ecuación diofántica equivalente ax + my = b.

En el caso de Zm, la ecuación tendrá solución si y solo si mcd(a,m)|b , y en este caso tendrá exactamente d = mcd(a,m) soluciones distintas en Zm de la forma:

x= x0 + (m.t)/d

Donde t = 0, 1,2,..., d-1 y x0 es una solución particular de la ecuación diofántica ax + my = b.

Ejemplo:

Se tiene que resolver el sistema de congruencias

n=3(mod 17)

n=4 (mod 11)

n=5(mod 6)

Vamos primero a resolverlo sin usar directamente el algoritmo que se desprende de la demostración del teorema chino del residuo. Las dos primeras ecuaciones de congruencias pueden ser planteadas de la siguiente manera:

n=17 r+3=11 s+4. Utilizaremos el método de las ecuaciones diofantinas para resolver este sistema.

La ecuación diofantina 17 r+3=11s+4puede transformarse a

11 s=17−1.

Entonce s=r+(6 r−1)/11, y para que s resulte entero es claro que x=(6 r−1)/11 debe ser entero. Y si x va a ser entero, entonces r=11 x+1 /6=x+(5 x+1)/6 debe ser también entero. Pero, para ello, y=(5 x+1)/6 debe ser entero. Es decir, x=(6 y−1)/5= y+( y−1)/5. De aquí que z=( y−1)/5 tiene que ser entero. De nuevo, se sigue

que y=5 z+1 debe ser entero. Pero esto se cumple simplemente con tomar z entero.

Ahora nos regresamos hasta poner r o s en términos de z. Entonces, x=5 z+1+z=6 z+1. Y, de aquí, r=x+ y=6 z+1+5 z+1=11z+2. Por lo tanto, un n que satisface las dos primeras condiciones es n=17 (11 z+2 )+3=187 z+37. (Notemos que al dividir este n entre 17 deja 3 de residuo y si lo dividimos entre 11 deja 4.) Pero falta considerar la tercera condición.

Para ello resolvemos el sistema compuesto de esta ecuación recién lograda y la correspondiente a la tercera condición. Y el sistema se reduce a resolver la ecuación diofantina n=187 r+37=6 s+5, la cual podemos poner como 6 s=187 r+32.

Y de nuevo aplicamos el método diofantino: s=31r+5+(r+2)/6 y, como x=(r+2)/6 debe ser entero, r=6 x−2; y ya está, pues basta con tomar entero para que r sea entero.

Ahora, de regreso, ponemos en términos de x: n=187 r+37=187 (6 x−2 )+37=1122 x−374+37=1122 x−337. El lector puede verificar que esta ecuación cumple con las tres condiciones.

Así que si tomamos y la solución es 785.

Una aplicación del teorema chino del resto en la Cronología

Para muchas personas, el calendario ha sido siempre un gran misterio. Al mirar un almanaque colgado en la pared, con sus doce meses invariables, sentimos que algún desconocido ha hecho un plan anual para nosotros, en donde se debe viajar en el tiempo siguiendo una secuencia de meses, días de la semana, fechas religiosas, etc.Como matemático nos preguntamos ¿Porqué es tan complicado el almanaque? ¿De dónde salieron esos nombres

para los meses? ¿Por qué se tiene un calendario distinto para cada año? En este trabajo, como aplicación del tema, trataremos algunos aspectos relacionados con el calendario que, por supuesto, develarán algunos de los misterios planteados arriba. También haremos una incursión en el pasado para enterarnos de otros calendarios anteriores al nuestro, los cuales han pasado de moda pero son de interés para aquellos estudiosos de la historia y la astronomía.Curiosamente, un teorema de la teoría de números, será la clave mágica que permita conocer la relación entre los viejos sistemas de cronología.

El Calendario Gregoriano

El origen de nuestro calendario actual se encuentra en el Calendario Juliano, llamado así por Julio César, quien participó activamente en el diseño de éste.En dicho calendario cada año constaba de 365 días y cada cuatro años había un año bisiesto de 366 días. El calendario de 12 meses comenzaba en el mes de Marzo y finalizaba en Febrero. El nombre y duración de los meses eran los siguientes:

Durante el tiempo de César el mes quinto cambió de nombre por Julio, en honor a este Emperador. Más tarde, el mismo Julio César decidió que el año debería comenzar en Enero. De esta manera quedó organizado el Calendario sin sufrir ninguna modificación hasta la reforma del Papa Gregorio XIII en 1582.

Desde la época de los reyes de Roma, pasando por el Imperio, los años se numeraban de acuerdo al período de cada rey o emperador. Con un nuevo gobernante se iniciaba un nuevo ciclo y con él se comenzaba a contar desde el uno. Esto se modificó con el triunfo del Cristianismo, cuando se comenzó a numerarlos en forma diferente. A partir de entonces, el año 1 fue el nacimiento de Cristo y el día de Navidad el primer día de la era Cristiana, luego los años se cuentan en sucesión creciente, partiendo desde este inicio. Esta reforma fue hecha en el 533 d.c. durante el periodo del Emperador Dionisio Exigus.

ELEMENTO

NECESARIO Nombre en Latin

Marzo 30 Martius

Abril 30 Aprilis

Mayo 31 Maius

Junio 30 Junius

Quinto 31 Quintilis

Sexto 31 Sextilis

Septiembre

30 Septembris

OctubreNoviembre Diciembre Enero Febrero

31 Octobris 30 Novembris 31 Decembris 31 Januaris 28 Februarius

Una de las motivaciones que han tenido todos los pueblos en el momento de establecer un Calendario, es la de ubicar correctamente las fiestas religiosas. Así observamos que en el Calendario Cristiano, el Domingo de Pascua determina las otras fechas movibles como la Ascensión y el Corpus Cristi. Durante el Concilio de Nicea en el 325 d.c. se acordó fijar esta fecha, como el primer domingo después de luna nueva que aparezca en el Equinoccio de primavera (21 de Marzo) o después. Si la luna nueva aparece un Domingo, entonces elDomingo de Pascua sería el domingo siguiente.

Si bien el Calendario Juliano funcionó bien durante algunos siglos, la celebración de una Semana Santa a fines del siglo XVI, en donde el Domingo de Pascua correspondió al 11 de Marzo, hizo pensar a muchos que este Calendario estaba lejos de ser perfecto. Veamos el porqué de semejante error.

El año Astronómico, una revolución completa de la tierra alrededor del sol, es de 365 días, 6 horas, 9 minutos y 9.5 segundos. Sin embargo el año visible o Año Tropical, período entre dos equinoccios de primavera, es más corto: 365 días, 5 horas, 48 minutos y 46.43 segundos.El Calendario Juliano suponía que el año tenía 365 días y un cuarto, lo cual excede en 11 minutos y 14 segundos al Año Tropical. Como consecuencia de esto, se comete un error de un día cada 128 años. Esto explica el desfasaje entre la celebración de Domingo de Pascua y el Calendario Juliano.

A fin de corregir este error, el Papa Gregorio XIII introdujo una reforma en el calendario, mediante la cual se eliminaron 10 días de la historia. Se decidió que el día siguiente al 4 de Octubre de 1582, fuese el 15 de Octubre. Además se redujeron los años bisiestos mediante la siguiente convención. Los años bisiestos seculares (divisibles por 100) serán sólo

aquellos divisibles por 400. Así por ejemplo 1800 y 1900 no son bisiestos, pero 2000 será bisiesto.Esta reforma del Calendario Juliano se conoce con el nombre de CalendarioGregoriano y es el calendario que se ha venido usando hasta el presente.

El periodo juliano

Una de las medidas más usadas en la cronología histórica es la de los Días Julianos. Los Días Julianos tienen la misma duración que los días solares, sin embargo estos se cuentan a partir del primero de Enero del 4713 a.c., el cual es el día juliano 1, y de allí en adelante se numeran los días en sucesión creciente.Este sistema fue ideado por Joseph Justus Scaliger de Leyden, con la finalidad de tener un sistema único de medición del tiempo, compatible con las antiguas cronologías. El mismo apareció por primera vez en su obra " De emendatione temporum" (Paris 1583).

Estos dias julianos se agrupan en periodos de 7980 años. Cada uno de estos periodos se denomina Ciclo Juliano o Periodo Juliano. La razón para elegir semejante número, la veremos a continuación.Tenemos que 7980 = 28 x 19 x 15 y cada uno de estos factores tiene un significado muy especial dentro de los calendarios de distintas cronologías.

1. Ciclo Solar

El número 28 corresponde al llamado Ciclo Solar de 28 años. Este es el ciclo más pequeño en el cual los días de la semana y las fechas del calendario se repiten. El primer año de un ciclo solar es aquel en que el primero de Enero es Lunes. Por ejemplo el año 1560 tiene año solar 1. Ahora bien la pregunta que nos hacemos es la siguiente ¿Porqué se repiten los almanaques cada 28 años? Pues sencillamente un año normal de 365 días contiene 52 semanas más un día, luego cada 7 años (normales) se repiten las fechas del almanaque en los mismos días de la semana. Pero, cada cuatro años hay uno bisiesto, de 366 días lo cual hace que en realidad el ciclo sea de 4x7 = 28 días.

2. Ciclo Lunar

El ciclo lunar o ciclo metónico, es un periodo igual a 19 años solares. La razón de esto se debe al astrónomo griego Metón, siglo 5 d.c., quien descubrió que 19 años solares son iguales a 235 meses lunares.El mes lunar o mes sinódico, es el intervalo de tiempo entre dos conjunciones consecutivas del sol y la luna (4 fases lunares). Este tiene una duración de 29 días, 12 horas y 44 minutos.En la Iglesia Cristiana hubo necesidad de introducir el ciclo lunar dentro delCalendario, debido a la determinación del Domingo de Pascua, el cual depende de la luna llena, como ya hemos explicado. Los años del ciclo metónico se llaman años dorados.El primer año de un ciclo es aquel en que las fases lunares del mes de Enero de dicho año comienzan el 24 de Diciembre.Así por ejemplo en el año 1 de la era cristiana se inició un ciclo metónico. Luego el año 1 d.c. tiene número dorado 1, el año 2 d.c. tiene número dorado 2,…, etc. Luego el año 20

tiene número de oro 1, y así sucesivamente. La regla para calcular el número de oro t, de un año x cualquiera es:

t ≡ x+1mod 19

Por ejemplo 1994 tiene número de oro 19, pues

1994+1=1995≡19mod 19

Este sistema fue introducido por el Emperador Dionisio Exigus en el año 532d.c. y este año tiene número dorado 1.

3. Ciclo de Indicción

Finalmente, el número 15 corresponde a otro ciclo, el cual no tiene nada que ver con astronomía. Se trata de un ciclo fiscal del Imperio Romano que constaba de 15 años y se llama la indicción. Cada 15 años se hacía una valuación de las propiedades de los contribuyentes con el fin de determinar el impuesto a pagar. Este ciclo fue introducido por el Emperador Constantino en el año 313 d.c. correspondiendo a este año el primer año de dicho ciclo.

La idea de Scaliger era usar un sistema de cronología que incluyera todos estos ciclos. Esto permitiría calcular fácilmente una fecha determinada al pasar de un sistema a otro. El problema entonces era escoger una fecha apropiada para iniciar la cuenta de los años julianos. Se necesitaba un

año x de la historia, tal que en ese año se diera inicio a los tres ciclos. Esto es, x debe tener:

Año solar = 1 Año dorado = 1 Año de indicción = 1

Usando congruencias, se origina el sistema

{x≡1560mod 28x≡532mod 19x≡313 mod 15

Reduciendo esto se tiene

{x≡20 mod 28x≡0mod 19x≡13 mod 15

Veamos cómo se resuelve este problema.

Aplicando el Teorema Chino de Restos tenemos lo siguiente:Notemos que (28, 27) = 1, (28,15) = 1 y (15,19) = 1. Luego el sistema anterior posee solución, y por lo tanto es posible hallar una fecha de inicio del periodo juliano con las condiciones antes establecidas.A fin de determinar el valor de x, comenzaremos por usar la primera ecuación.

Luegox= 20 + 28k

Usando la segunda ecuación nos queda

20 + 28k ≡0mod 191 + 9k ≡ 0mod 19

9k ≡ 18mod 19

de dondek ≡ 2mod 19

Luegok = 2 + 19s

y por lo tanto volviendo a x en la última ecuación tenemos

76 + 532s ≡ 13mod 151 + 7s ≡ 13mod 15

luego, 7s ≡ 12mod 15, de donde s ≡ 6mod 15. Por lo tanto s = 6 + 15t.Nuevamente, si reemplazamos este valor en la expresión para x nos da

x = 76 + 532(6 + 15t) = 326 + 7980t

Luego la solución viene dada por

x ≡ 3268mod 7980

Sin embargo, descartamos el año 3268 por ser del futuro y buscamos el año y en que se inició el periodo juliano anterior. Esto es

y = 3268 - 7980 = - 4712

En el calendario gregoriano, el año - 4712 corresponde al 4713 a.c. (no hay año 0) y este se toma como el año 1 juliano.

Ejemplo. Conociendo el año juliano de un año cualquiera, podemos calcular su año solar, dorado y de indicción; basta tomar los restos de la división del número entre 28, 19 y 15 respectivamente. Por ejemplo para buscar el año juliano de 1993, el cual llamaremos x, hacemos

x = 4713 + 1993 = 6706

Luego dividimos a 6706 entre 28, 19 y 15 respectivamente para obtener los restos que nos dan toda la información. Por lo tanto

Año solar de 1993 = 14

Año dorado de 1993 = 18

Año de indicción de 1993 = 1

Buscar el año Juliano de 2010.Tenemos x= 4713 + 2010= 6723. Luego nos encontramos en él:

Año solar = 3Año dorado= 4

Año de indicción= 3

El teorema chino del resto en la Criptografía

El teorema chino del resto también tiene importantes aplicaciones en criptografía, en especial para reducir operaciones con números enormes mediante el paso a congruencias. En el algoritmo RSA, por ejemplo, los cálculos se hacen módulo n, donde n es un producto de dos primos p y q. Tamaños habituales para n son 1024, 2048 ó 4096 bits, haciendo que los cálculos requieran una gran cantidad de tiempo. Usando el teorema chino del resto los cálculos pueden ser transportados del anillo Zn al anillo Zp ×Zq. La suma de las longitudes de bit de p y q es la longitud de bit de n, haciendo p y q considerablemente menor que n. Esto acelera mucho los cálculos. Se puede observar que las implementaciones del algoritmo RSA usando el teorema chino del resto son más susceptibles a ataques de " inyección de fallos".

Conclusiones

Llegamos a las siguientes conclusiones, luego de

haber realizado una nutrida investigación en el

Teorema Chino de los Restos.

Se afirma que los antiguos chinos utilizaban

este resultado para contar a los soldados en

su ejército

El Teorema Chino de los Restos es un resultado

clásico de teoría de números.

Observamos como las congruencias y sus

propiedades juegan un papel importante para

el desarrollo del Teorema Chino de los Restos.

Aprendimos de como este teorema juega un

papel importante para el desarrollo de un

sistema de congruencia.

Al igual que muchos resultados en

Matemática, el teorema chino de los restos

tiene una gran aplicación, algunas como en la

cronología y criptografía.

Bibliografía

Algoritmos Eficientes Para El Cálculo en la Estructura

Algebraica Zm, Autora: Sandra Molina Redondo, Madrid,

Junio De 2006.

Una aplicación del teorema chino del resto en la

Cronología, Boletín de la Asociación Matemática

Venezolana Vol. II, No. 1 (1995), Francisco Rivero.

T. M. Apostol, Introducción a la Teoría Analítica de

Números, Editorial Reverté, S.A., Barcelona – Bogotá –

buenos Aires – Caracas- México

http://enwikipedia.org/wiki/linear_congruence_theorem

http://

www.emis.de/journals/BAMV/conten/vol2/vol2n1p21-

28.pdf.

http://www.dma.fi.upm.es/java/matematicadiscreta/aritmeticamodular/congruencias2.html#1