teo val med 2016 b

Unidad 1 Integral de�nida 1.5 Teorema del Valor Medio

Ejercicio 10 de la Tarea Supongamos que f es una función creciente.

Si P = {x0, x1, ..., xn} es una partición de [a, b]. sea P ′ = {f−1(x0), f−1(x1), ..., f−1(xn)}. Según la

�gura demostrar que

S(f−1, P ) + S(f, P ′) = bf−1(b)− af−1(a)

Y según la �gura demostrar que∫ b

a

f−1 = bf−1(b)− af−1(a)−∫ f−1(b)

f−1(a)

f

Use lo anterior para hallar ∫ b

a

n√x dx para 0 < a < b

Solución Como f es creciente, entonces f−1 es creciente por lo que

mi(f−1) = inf{f(x) | x ∈ [xi−1, xi]} = f−1(xi−1)

por lo tanto

S(f−1, P ) =

n∑i=1

mi(f−1)∆i =

n∑i=1

f−1(xi−1)(xi − xi−1)

POr otro lado como f es creciente, entonces f−1 es creciente por lo que

Mi(f) = f(f−1(xi)) = xi

por lo tanto

S(f, P ′) =

n∑i=1

Mi(f)∆i =

n∑i=1

xi[f−1(xi)− f−1(xi−1)

]de esta manera se tiene

S(f−1, P ) + S(f, P ′) =

n∑i=1

f−1(xi−1)(xi − xi−1) +

n∑i=1

xi[f−1(xi)− f−1(xi−1)

]

=

n∑i=1

(((((((f−1(xi−1)(xi)− f−1(xi−1)(xi−1) + f−1(xi)xi −��

��f−1(xi−1)xi

Facultad de Ciencias UNAM

Cálculo Diferencial e Integral II

Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz

1


=

n∑i=1

f−1(xi)xi − f−1(xi−1)(xi−1) =��f−1(x1)x1 − f−1(x0)(x0) +��

��f−1(x2)x2 −��f−1(x1)(x1) + ...

+f−1(xn)xn −((((((((f−1(xn−1)(xn−1)

= f−1(xn)xn − f−1(x0)(x0) = bf−1(b)− af−1(a)

(b) Demostrar que ∫ b

a

f−1 = bf−1(b)− af−1(a)−∫ f−1b

f−1(a)

f

Solución Según el resultado anterior

S(f−1, P ) + S(f, P ′) = bf−1(b)− af−1(a)

⇒ S(f−1, P ) = bf−1(b)− af−1(a)− S(f, P ′)

⇒ sup{S(f−1, P}) = sup{bf−1(b)− af−1(a)− S(f, P ′)}

⇒︸︷︷︸sup(−A)=− ı́nf(A)

∫ f−1(b)

f−1(a)

f = bf−1(b)− af−1(a)− ı́nf{S(f, P ′)}

⇒∫ b

a

f−1 = bf−1(b)− af−1(a)−∫ f−1(b)

f−1(a)

f

(c) Usando la anterior hallar ∫ b

a

n√x dx para 0 < a < b

Solución Si f(x) = xn entonces f−1(x) = n√x por lo que∫ b

a

n√x dx = b

n√b− a n

√a−

∫ n√b

n√a

xn dx

= bn√b− a n

√a−

(n√b)n+1

− ( n√a)

n+1

n+ 1

= bn√b− a n

√a−

(b1+ 1

n − a1+ 1n

n+ 1

)

= b1+ 1n

(1− 1

n

)− a1+ 1

n

(1− 1

n+ 1

)

= nb n√b

n+ 1− n a

n√a

n+ 1




2


TEOREMA DEL VALOR MEDIO

Teorema 1. Si f: [a,b] → R es continua en [a,b], entonces existe c ∈ [a, b] tal que:∫ b

a

f(x)dx = f(c)(b− a)

Demostración. Como f es continua en [a, b] entonces f alcanza su valor máximo y su valor mínimo, es

decir

m ≤ f(x) ≤Mpor lo tanto

m(b− a) ≤∫ b

a

f(x)dx ≤M(b− a)

es decir

m ≤(

1

b− a

)∫ b

a

f(x)dx ≤M

si llamamos

µ =

(1

b− a

)∫ b

a

f(x)dx

se tiene que

m ≤ µ ≤Mcomo f es continua entonces existe c ∈ [a, b] tal que

f(c) = µ

es decir

f(c) =

(1

b− a

)∫ b

a

f(x)dx

que se puede escribir

f(c)(b− a) =

∫ b

a

f(x)dx




3


Ejemplo Mostar que

2 <

∫ 5

1

x2

x2 + 1dx <

50

13

Solución Si f(x) =x2

x2 + 1Tenemos entonces que

∫ 5

1

x2

x2 + 1dx =

α2

α2 + 1(5− 1), con 1 ≤ α ≤ 5

.

Ahora bien

1 < α⇒ 12 < α2 ⇒ 12 + 1 < α2 + 1⇒ 1

α2 + 1<

1

12 + 1

α < 5⇒ α2 < 52 ⇒ α2 + 1 < 52 + 1⇒ 1

52 + 1<

1

α2 + 1

Por lo tanto

1− 1

12 + 1< 1− 1

α2 + 1< 1− 1

52 + 1⇒ 1

2<

α2

α2 + 1<

25

26

⇒ 1

2(5− 1) <

α2

α2 + 1(5− 1) <

25

26(5− 1)⇒ 2 <

∫ 5

1

x2

x2 + 1dx <

50

13




4

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