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Temperature & the Kinetic Theory of Gases
溫度與氣體動力理論溫度與氣體動力理論
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Temperature & HeatTemperature & Heat溫度 熱
高溫 低溫高溫 低溫energy能量
Heat 是一種可藉由 temperature 差異傳輸的 energy:若無溫度差,就沒有 heat 傳遞若無溫度差 就沒有 heat 傳遞
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The Zeroth Law of Thermodynamics熱力學第零定律
無法以其他原理證明 但自然界中從未違反無法以其他原理證明,但自然界中從未違反
兩系統溫度相同兩系統溫度相同 系統間無 heat 傳遞
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咖啡溫度 > 體溫熱量:咖啡 => 身體熱量 咖啡 身體感覺熱
冰水溫度 < 體溫熱量:身體 => 冰水熱量:身體 => 冰水感覺冷
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Celsius and Fahrenheit Scale攝氏 華氏 尺度
Celsius and Fahrenheit Scale
水的沸點(boiling point or steam point)100ºC = 212ºF100 C 212 F
相差100ºC
相差180ºF
水的冰點( )水的冰點(ice point or freezing point)0ºC = 32ºF
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Conversion between Celsius & 轉換
Fahrenheit Scale
100ºC 212ºF線性內插轉換:
ice point 到 boiling point兩側溫度對基準溫度差的比例相同 =
ice point 到 boiling point
=T(ºC) T(ºF)T( C) T( F)
( ) ( ) 320 −− FTCT oo0ºC 32ºF
( ) ( )180100
==
-
( ) ( )[ ]F32F95 ooo −= TCT
( ) ( ) F32C9 ooo += TFT移項最好不要用記憶的方法
( ) ( )5
溫度差:
( ) ( )F5C oo TT ΔΔ
( ) ( )9
( ) ( )F95C oo TT Δ=Δ 攝氏變化度數 = 華氏變化度數 x 5/9
華氏變化 1 度 = 攝氏變化 5/9 度
( ) ( )C59F oo TT Δ=Δ 華氏變化度數 = 攝氏變化度數 x 9/5
攝氏變化 1 度 = 華氏變化 9/5 度
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位置 = 比例 x 基準長度 + 原點位置位置 = 比例 x 基準長度 + 原點位置i i t
使用: 位置 = 比例 x 基準長度 + 原點位置boiling boint 對 ice point 溫度差
ice point
80ºF = ?ºC 比例 = (80 – 32)/180 = 0.267基準長度 = 100
由 ºF 側得到
於 ºC 側計算
溫度差
位置 = (0.267)(100) + 0 = 26.780ºF = 26.7ºC
於 C 側計算
於 ºF 側計算-273.15ºC = ?ºF 比例 = (-273.15 – 0)/100 = -2.7315
基準長度 = 180由 ºC 側得到
位置 = (-2.7315)(180) + 32 = -459.67-273.15ºC = -459.67ºF
也適用於比例 > 1 或 < 0 的情況
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例題例題某非洲小國(小國比較愛搞怪)自定一溫度刻度,規定:某非洲小國(小國比較愛搞怪)自定一溫度刻度 規定冰點為 200ºX沸點為 50ºX,(冰點還比沸點數值高)問:(1) 30ºC = ?ºX (2) 120 ºX = ? ºF
(1) 比例 = (30 – 0)/100 = 0.3 由 ºC 側得到(1) 比例 (30 0)/ 00 0 3基準長度 = 50 – 200 = -150位置 = (0.3)(-150) + 200 = 155
於 ºX 側計算
30ºC = 155ºX(2) 比例 = (120 – 200)/(-150) = 0.533 由 ºX 側得到
基準長度 = 212 – 32 = 180位置 = (0.533)(180) + 32 = 128120ºX 128ºF
於 ºF 側計算
120ºX = 128ºF不必換算成攝氏後再換為華氏
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或者是以 boiling point 為原點或者是以 boiling point 為原點某非洲小國(小國比較愛搞怪)自定一溫度刻度,規定:某非洲小國(小國比較愛搞怪)自定一溫度刻度 規定冰點為 200ºX沸點為 50ºX,(冰點還比沸點數值高)問:(1) 30ºC = ?ºX (2) 120 ºX = ? ºF
(1) 比例 = (30 – 100)/100 = 0.7由 ºC 側得到(1) 比例 (30 00)/ 00 0 7基準長度 = 200 – 50 = 150位置 = (0.7)(150) + 50 = 155
於 ºX 側計算
30ºC = 155ºX(2) 比例 = (120 – 50)/150 = 0.467 由 ºX 側得到
基準長度 = 32 – 212 = -180位置 = (0.467)(-180) + 212 = 128120ºX 128ºF
於 ºF 側計算
120ºX = 128ºF不必換算成攝氏後再換為華氏
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溫度刻度轉換是線性關係溫度刻度轉換是線性關係
T(ºF)
212 ºF都相同
T(ºF) = ? 180
都相同
若以 boiling point 為原點:
32 ºF
( )T(ºF) - 32
80 g p
都相同
T(ºC)0 ºC 100 ºCT(ºC)
T(ºC) – 0
100100
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日常生活這樣用比較方便日常生活這樣用比較方便
T(ºC) T(ºF)
0 3210 5020 68
+18
+18+180
+10
+1020 6830 86… …
+18+180
+10+100
100 212
用最快的方法求 70 ºF = ? ºC用最快的方法求 70 F ? C
70 ºF 在 68 ~ 86 ºF 之間對應 20~30 ºC 之間所以應該是 幾度所以應該是 20 幾度ºC70 ºF 比 68 ºF 多 2 ºF,這是 18 ºF 的 1/910 ºC 的 1/9 是 1.11 ºC,所以 70 ºF 相當於 21.11 ºC
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線性內插的另一用途線性內插的另一用途
統計 值表統計 z 值表:
z F(z)以 z = -1.28 及 F(z) = 0.1003 為原點
-1.281 29
0.10030 0985
… …( )
比例 = (0.1-0.1003)/(0.0985 – 0.1003) = 0.167
基準長度 = 1 29 ( 1 28) = 0 01-1.29 0.0985… …
問 ? F( ) 0 1
基準長度 = -1.29 – (-1.28) = -0.01
位置 = (0.167)(-0.01) + (-1.28) = -1.2817
問 z = ? F(z) = 0.1 z = -1.2817,F(-1.2817) = 0.1
-1 28 0 1003 0 1 0 1003 0 0003? -1.28
1 29
0.1003
0 0985
z = ? 0.1 0.0985 – 0.1003 = -0.0018
0.1 – 0.1003 = -0.0003
-1.29-(-1.28) = -0.01
?
-1.29 0.0985
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The Third Law of Thermodynamics熱力學第三定律
不可能有溫度低於絕對溫度 0 度
絕對溫度 0 度是自然界所可能存在的最低溫度絕對溫度 0 度是自然界所可能存在的最低溫度
absolute pressure
absolute pressure 不可能 < 0真空時為 0
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Kelvin ScaleKelvin Scale克氏溫度刻度
注意:要寫成 273.15 K不能寫成 273.15ºK
溫度差 1K = 1ºC
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Thermal Expansion熱 膨脹—Linear Expansion
線性膨脹
在相同狀況下在相同狀況下ΔL/L0 都相同
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Δ
Tf - Ti膨脹比率
TLL
i
Δ=Δ αLf - Li
Linear Expansion Coefficient (ºC-1)
ΔT
Lf = Li + αLi(Tf - Ti) = Li[1 + α(Tf – Ti)]
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Area and Volume ExpansionArea and Volume Expansion面 體積
Δb原面積 Ai = ab膨脹後面積 A = (a + Δa)(b + Δb)
b
膨脹後面積 Af (a + Δa)(b + Δb)
a + Δa = a(1 + αΔT)b + Δb b(1 + ΔT)a
Δab + Δb = b(1 + αΔT)
若 αΔT = 0.001膨脹後面積 Af = ab(1.001)(1.001) = 1.002001abΔA = Af – Ai = 1.002001ab – ab = 0.002001abΔA Af Ai 1.002001ab ab 0.002001ab= 2AiαΔT = AiγΔT
area expansion coefficient γ = 2αarea expansion coefficient γ = 2α
同理:volume expansion coefficient β = 3α
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AΔ TAA
i
Δ=Δ γ γ = 2α
TVV
i
Δ=Δ β β = 3α
i
-
Expansion
洞變大
-
α小
α大
加熱 冷卻
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遇熱時 冷卻劑體積增加量 水箱體積變化量遇熱時,冷卻劑體積增加量 > 水箱體積變化量
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例外的狀況 水例外的狀況—水
l 增加volume 增加mass 不變density 減少
volume 增加mass 不變density 減少y
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Ideal GasIdeal Gas
氣體分子距離 分子間作用力有效範圍
理想氣體
• 氣體分子距離 >> 分子間作用力有效範圍• 氣體分子體積可忽略
– 溫度不能太接近液化溫度– 壓力不能太接近液化壓力– 適用於高溫低壓(相對於達到液化的狀況)– 一般常溫常壓氣體下氣體(N2、O2、H2 等)均適2 2 2用
– NH3、CO2 等易液化的氣體可能不適用– 蒸汽(steam)不適用– 相同體積內含有相同數目的分子
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10 atm 1 mole CO10 atm 1 mole CO2
3
4
2
3
V(L
)
真實氣體
1理想氣體
0200 300 400 500
T (K)( )
分子間距離減少分子間作用力變大分子間作用力變大
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所有 ideal gas 的基準狀況所有 ideal gas 的基準狀況Avogadro’s Number NA
n = 1 mole (6.022 x 1023 個)分子T = 25ºC(298.15 K)
g A
P = 1 atm (1.013 x 105 Pa,760 mmHg)V = 24.45 L(2.445 x 10-2 m3)
分子量(每莫耳的質量)
莫耳數 n = m/M = mass/molar mass= N/NA
分子量(每莫耳的質量)
分子數目
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Ideal Gas LawIdeal Gas LawPV = nRT
( )( ) J318m10445.2Pa10013.1325
=×× −
(Pa)(m3) = (N/m2)(m3) = Nm = J
宇宙氣體常數
PVR =
( )( ) Kmole31.8K15.298mole1 ⋅=universal gas constant
物理通常使用nTR
P V T n R1 013 105 P 2 445 10 2 3 298 15 K 1 l 8 31 J/ l K
物理通常使用注意:R 的數值會隨所使用的單位而異
1.013x 105 Pa 2.445 x 10-2 m3 298.15 K 1 mole 8.31 J/mole-K
1 atm 24.45 L 298.15 K 1 mole 0.082 atm-L/mole-K
760 mmHg 24.45 L 298.15 K 1 mole 62.3 mmHg-L/mole-K
1.013x 105 Pa 2.445 x 10-2 m3 298.15 K 6.022 x 1023 1.28 x 10-23 J/K
… … … … …(Boltzmann’s constant kB)
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Ideal gas law 的兩種型式:
mole 數
PV = nRT 用於巨觀(macroscopic view)
PV = NkBT
分子數
用於微觀(microscopic view)
Boltzmann’s constant = 1.28 x 10-23 J/K
nR = NkBA
B NRR
nNR
Nnk ===
/1
A
Avogadro’s Number = 6.022 x 1023
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同樣的氣體在常溫下變化ni = nf Ti = Tf
同樣的氣體在常溫下變化
nTPVR =
ff
ff
ii
ii
TnVP
TnVP
= ffii VPVP =ffii
Boyle’s Law不需要知道 R = ? T = ? n = ?但必須確定 T = T ,n = n但必須確定 Ti = Tf,ni = nf
P 減少P 增大V 減少減少
V 增大V 減少
可停留時間愈短
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壓力 P
300 K
100 K
體積 V
-
同樣的氣體在常壓下變化ni = nf Pi = Pf
同樣的氣體在常壓下變化
nTPVR =
ff
ff
ii
ii
TnVP
TnVP
=f
f
i
i
TV
TV
= ori
f
i
f
VV
TT
=ffii
Charls’ Law:V 與 T 成正比
不需要知道不需要知道 R = ? P = ? n = ?但必須確定 Pi = Pf,ni = nf
將氣球加熱,氣球體積會如何變化?
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密封容器氣體的壓力變化ni = nf Vi = Vf
密封容器氣體的壓力變化
nTPVR = or
ff
ff
ii
ii
TnVP
TnVP
=f
f
i
i
TP
TP=
i
f
i
f
PP
TT
=ffii fi ii PT
P 與 T 成正比
不需要知道不需要知道 R = ? V = ? n = ?但必須確定 Vi = Vf,ni = nf
將密封容器加熱,容器內體積會如何變化?
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Kinetic Theory of GasKinetic Theory of Gas
基本假設• 基本假設– 氣體分子數相當多氣體分子數相當多– 分子平均間距遠大於分子大小分子遵循 Newton 運動定律– 分子遵循 Newton 運動定律
– 分子運動方向隨機– 分子間彈性碰撞– 分子與容器壁面彈性碰撞– 所有分子的成分相同
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碰撞前
先考慮 x 方向的碰撞碰撞前
pxi = mvxm vx
碰撞後
-vxpxf = -mvxLz
碰撞前後 momentum 變化
動量 px = mvx
L
Δpx = pxf – pxi = -mvx – mvx = -2mvxLy
Lx
-
紀錄分子受力狀況
撞擊左牆撞擊左牆撞擊左牆撞擊左牆Fx
2Lx/vx
t
撞擊右牆 撞擊右牆 撞擊右牆 撞擊右牆
計算分子撞擊右牆所受的平均力 Fxavg:
(Fxavg)(2Lx/vx) = -2mvxx
xxavg L
mvF2
−=impulse Ix = FxΔt = Δpx衝量 = 動量變化量(momentum-impulse theorem)
x
-
Fxavg
2Lx/vx
面積一樣
-
右牆所受平均力 F (與分子受力相反) xmvF
2
=右牆所受平均力 Fxavg (與分子受力相反)x
xavg LF =
右牆所受平均壓力mvmvFP xxxavg
22一個氣體分子所造成的average pressure
右牆所受平均壓力VLLLLL
P xzyx
x
zy
xavg ===
A V
若容器中有 N 的分子 vmNP x2
對所有分子平均的結果
VNP x=
但是,分子並非只朝 x 方向運動
2222zyx vvvv ++=2222
代入2222zyx vvvv ++=
都一樣,分子運動無方向偏好222zyx vvv ==
22 3 xvv = 3/22 vvx =
-
2 1 注意:這是平方後
VvmNP
3
2
=2
31 vNmPV =
注意 這是平方後的平均,不是平均後的平方
2
Average kinetic energy 21 vmK =
代入代入
Average kinetic energy平均 動能
2vmK =
KNvmNPV32
21
32 2 ==
31
2
根據 ideal gas law of microscopic view
TNkPV =
TkvmK B23
21 2 ==
氣體分子 average kinetic
2
TNkPV B= 氣體分子 average kinetic energy 與絕對溫度相關
-
Internal Energy內能
Internal Energy單原子
macroscopic view單原子
Internal energy of a monatomic gas= 氣體分子隨機運動 kinetic energy 的總和
nRTTNkKNE Bint 23
23
===
microscopic view
22
必須使用 R = 8.31 J/mole-K
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Root mean square均方根
Root mean square
2vvrms = 單位與 v 相同22 vvrms =
22 11 K22221
21
rmsmvvmK ==mKvrms
2=
( )m
TkmTkv BBrms
32/32==
MRT
NRTvrms
33==
一個分子的 mass
MmN Arms
必須使用 R = 8.31 J/mole-K分子量
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平方的平均≠平均的平方平方的平均≠平均的平方
最簡單的例子:x1 = 1,x2 = -1
( ) 02
11=
−+=x 002
2==x
2
平均後平方平均後平方
1122 ==x 11+111 ==x
( ) 11 222 =−=x1
2112 =+=x 2
平方後平均
xrms = 1
平方後平均
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氣體分子速率分佈氣體分子速率分佈
vmpvrmsv
Maxwell-Boltzmann distributionMaxwell Boltzmann distribution
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例題例題H 原子的速率分佈
7
8
9
4
5
6
7
數目
1
2
3
4數
0
1
300 400 500 600 700 800 900
( / )v (m/s)
H 原子的 mass m = 1.66 x 10-27 kg
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組別 i 速率 v m/s 數目 v 2組別 i 速率 vi m/s 數目 vi2
1 300 2 9.00 x 104
2 400 3 16.0 x 104
3 500 5 25.0 x 104
4 600 8 36.0 x 104
5 700 3 49.0 x 104
6 800 3 64.0 x 104
7 900 1 81.0 x 104
Σ 25
-
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )9001800370036008500540033002 ++++++
相當於 300 + 300 相當於 400 + 400 + 400
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) m/s58025
9001800370036008500540033002=
++++++=v
不能這樣算: (300 + 400 + 500 + 600 + 700 + 800 + 900)/7 = 600 m/s
撇步 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )撇步: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) m/s58010025
91837368554332=×
++++++=v
2 22522 /sm10364.3580 ×==v
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 22522222222 9001800370036008500540033002 ++++++( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2252 /sm10596.325
9001800370036008500540033002×=
++++++=v
m/s600105963 52 =×== vvR t d m/s60010596.3 =×== vvrms
( )( ) J1098.210596.21066.121
21 225272 −− ×=××⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== vmKAverage kinetic energy
Root mean square speed
22 ⎠⎝Internal energy ( )( ) J1046.71098.225 2122int −− ×=×== KNE
-
TkK B23
=( )( )( )( ) K4.141038.13
1098.2232
23
22
=××
== −−
BkKT
注意:用計算機計算的程序
2 X 2 ‧ 9 8 EXP
或其他科學計數鍵
(-) 2 2 ÷ 3 ÷ 1 ‧ 3 8
EXP (-) 2 3 =
or
÷ 1 0 ^ (-) 2 3
-
用統計的方法做做用統計的方法做做
組別 i 速率 v m/s 數目 機率 p v v (v v )2 m/s580=v組別 i 速率 vi m/s 數目 機率 pi vi -vi (vi -vi)2
1 300 2 2/25 -280 78400
2 400 3 3/25 -180 32400
m/s580=v
3 500 5 5/25 -80 6400
4 600 8 8/25 20 400
5 700 3 3/25 120 14400
6 800 3 3/25 220 48400
7 900 1 1/25 320 102400
Σ 25 1變異數 variance ( )[ ] ( ) =−=−= ∑ pvvvvE 22Var變異數 variance( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ] 25/1024001484003144003400864005324003784002 ++++++
= 23200 m2/s2
( )[ ] ( ) === ∑i
iii pvvvvEVar
當 variance = 0 時,所有速率都一樣2 23200 m /s
or 225522 /sm2320010364.310596.3 =×−×=− vv
當 variance = 0 時,所有速率都一樣此時平均的平方 = 平方的平均vrms
2 – v > 02 vrms > v