MATRICES y DETERMINANTES

DEMETRIO CCESA RAYME

Definición de matriz

Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij

dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i

=1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición

del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila ( i ) y

el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el elemento a25 será

el elemento de la fila 2 y columna 5.

Tipos de matrices:

Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es

de orden 1 x n.

naaaa 1131211

Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es

decir, n =1 y por tanto es de orden m x 1.

1

31

21

11

ma

a

a

a

Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de

columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n x n.

Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.

nnnnn

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

321

3333231

2232221

1131211

Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A =

At, es decir, si aij = aji

Matriz anti simétrica: Una matriz cuadrada es anti simétrica si

A = –At, es decir, si aij = –aji

Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de At , la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc.

De la definición se deduce que si A es de orden m x n, entonces At es de orden n x m.

Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0

La matriz

La matriz

es una matriz nula de orden 3

es una matriz nula de orden 2 x 4

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no

pertenecientes a la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la

diagonal iguales

Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los

elementos de la diagonal principal iguales a 1.

Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los

elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal.

Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:

Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la

diagonal principal son todos nulos.

Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la

diagonal principal son todos nulos.

matriz triangular inferior

matriz triangular superior

Operaciones con matrices

Trasposición de matrices

Suma y diferencia de matrices

Producto de una matriz por un número

Propiedades simplificativas

Producto de matrices

Matrices inversibles

Trasposición de matrices

Dada una matriz de orden m x n, A = (aij), se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Es decir:

Propiedades de la trasposición de matrices: 1ª.- Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es

única.

2ª.- La traspuesta de la matriz traspuesta de A es A. a (At)t = A.

La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma

dimensión, es otra matriz S=(sij) de la misma dimensión

que los sumandos y con término genérico sij=aij+bij. Por

tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener

la misma dimensión. La suma de las matrices A y B se denota por A+B. Ejemplo

Sin embargo, no se pueden sumar.

La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define

como: A–B = A + (–B)

Suma y diferencia de matrices

4ª. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0.

Propiedades de la suma de matrices

1ª. A + (B + C) = (A + B) + C Propiedad Asociativa

2ª. A + B = B + A Propiedad conmutativa

Matriz Nula 3ª. A + 0 = A (0 es la matriz nula)

Producto de una matriz por un número

El producto de una matriz A = (aij) por un número real k es otra matriz B =

(bij) de la misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se

obtiene multiplicando aij por k, es decir, bij = k·aij.

Ejemplo:

El producto de la matriz A por el número real k se designa por k·A.

Al número real k se le llama también escalar, y a este producto,

producto de escalares por matrices

Producto de una matriz por un número

Propiedades del producto de una matriz por un escalar

1ª. k (A + B) = k A + k B Propiedad distributiva 1ª

2ª. (k + h)A = k A + h A Propiedad distributiva 2ª

Propiedad asociativa mixta 3ª. k [h A] = (k h) A

Producto de matrices

Propiedades del producto de matrices

A·(B·C) = (A·B)·C (Propiedad asociativa)

El producto de matrices en general no es conmutativo.

El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de

matrices, es decir: A·(B + C) = A·B + A·C

Consecuencias de las Propiedades

Si A · B = 0 no implica que A = 0 ó B = 0

Si A · B = A · C no implica que B = C

En general (A+B)2 A2 + B2 +2AB, ya que A · B B · A

En general (A+B) · (A–B) A2 – B2, ya que A · B B · A

Pivote de una fila

Definición:

Pivote de la fila i, es el 1er elemento

distinto de cero que se encuentra en la

fila i de la matriz.

niki aa ,,00

ai,k≠0 pivot de la fila i

Matriz escalonada por filas

Definición: Una matriz se llama escalonada por filas si:

1. Todas las componentes que se encuentran debajo del pivote de una fila son ceros.

2. Todas las filas nulas se encuentran al final de la matriz.

Matriz escalonada reducida por filas

Definición:

Una matriz se llama escalonada reducida por filas si,

además de ser escalonada por filas se cumple que:

1. Todos los pivotes son iguales a 1.

2. En cada columna donde el pivote es 1 los

otros elementos son iguales a cero.

Rango de una matriz

Llamaremos rango de la matriz A, al número de

filas no nulas de la matriz escalonada que se

obtenga de la matriz A.

982

663

325

A Al escalonar se

obtiene:

000

**0

***

* Indica valor diferente de cero, luego su rango es 2

Dos matrices equivalentes tiene el mismo rango.

Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que

es inversible o regular; en caso contrario recibe el

nombre de singular.

Matrices inversibles

(At) –1 = (A-1) t

La matriz inversa, si existe, es única

A-1·A = A·A-1= I

(A·B)-1 = B-1·A-1

(A-1)-1 = A

(kA)-1 = (1/k) · A-1

La matriz que se ha calculado realmente sería la inversa por la

"derecha", pero es fácil comprobar que también cumple A-1 · A = I,

con lo cual es realmente la inversa de A.

Dada la matriz buscamos una matriz que cumpla A·A-1 = I, es decir

Para ello planteamos el sistema de ecuaciones:

Cálculo Directo de la Matriz Inversa

Hace aproximadamente 2000 años que los

matemáticos chinos conocían bien el

concepto de determinante. Habían

encontrado una relación entre los coeficientes

de sistemas de ecuaciones lineales y la

solución de dichos sistemas. En el mundo

occidental, los determinantes fueron

empleados primeramente por Gottfried

Wilhen Leibniz en 1693.

DETERMINANTES:

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

Sea A una matriz de orden n , si n=1 se tiene: A=[a], det A= a

DETERMINANTE DE LA MATRIZ DE 1x1

DETERMINANTE DE LA MATRIZ DE 2X2

Se llama determinante de la matriz A de orden

2 al número a11.a22-a12.a21 y escribimos:

Determinante de una matriz de orden 3

En el caso de matrices cuadradas de orden 3, también podemos calcular el determinante de la siguiente manera:

Copie la primera y segunda columna de la matriz a su derecha:

312213322311332112322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaaA

3231

2221

1211

333231

232221

131211

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

A

+

-

Ejercicio

134

327

145

A

111

122

110

B

1. Evalúe el determinante de las siguientes

matrices:

1321

3012

1014

2301

B

0214

1311

0432

0001

M

1. Determinante de la transpuesta

Si A es cualquier matriz cuadrada, entonces:

det(A)= det(A )

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

2. Si B se obtiene INTERCAMBIANDO dos filas de A, entonces el determinante cambia de signo: det B = - det A (OPERACIÓN ELEMENTAL 1)

3. Si B se obtiene MULTIPLICANDO una fila de A por el escalar c, entonces el determinante queda multiplicado por c. det B = c (det A) (OPERACIÓN ELEMENTAL 2)

4. Si B se obtiene sumando a una fila de A un múltiplo de otra fila de A, entonces el determinante no se altera det B = det A (OPERACIÓN ELEMENTAL 3)

5. Determinante de una matriz

triangular

El determinante de una matriz

triangular está dado por el

producto de los elementos de su

diagonal.

Si el determinante de una matriz es cero , la matriz no tiene inversa.

6. Determinante de la inversa

Si A es no singular, entonces

det(A) 0, y :

=

Es decir una matriz tiene inversa

si su determinante es diferente de

cero.

)det(

1

A)det( 1A